高中数学一轮复习微专题第17季直线：第4节 两条直线平行与垂直
两条直线平行和垂直ppt教学课件
D、√3x+y-1=0与3x+√3y+6=0 2、经过点M（4，-1），且与直线3x-4y+6=0 互相平行的直线的方程是（ A）
A、3x-4y-16=0
B、4x+3y-13=0
C、4x+3y-9=0
D、3x-4y-8=0
3、如果直线(2m2+m-3)x+(m2-m)y=4m-1与 直线2x-3y=5互相平行，那么实数m的值等
则l1∥l2的充要条件是 a1 ≠ a2
y
0 l2
x l1
当直线l1和l2有斜截式方程： l1: y=k1x+b1 , l2: y=k2x+b2时，
直线l1∥l2的充要条件是 k1=k2 且b1≠b2
例1.已知直线方程 l1: 2 x-4 y +7=0 ,
l2: x-2 y +5=0，证明 l1∥l2.
垂直
即l1 l2 k1 k2 1
例3 已知两条直线 l1: 2 x-4 y +7=0 , l2: 2x+ y -5=0，
求证 l1⊥l2.
证明：l1的斜率k1
1 2
，l2的斜率k2
2。
k1k2
1 2垂直
设两条直线的方程是
l1: A1x+B1 y +C1=0， l2: A2x+B2 y +C2=0.
解：已知直线的斜率是 2
3
因为所求直线与已知直线平行， 所以所求直线的斜率是 2 。
3
由点斜式的所求直线的方程是：y 4 2 (x 1). 3
即 2x 3y 10 0.
例2.求过点A（1，-4）且与直线 2 x+3 y +5=0平行的直线方程。
两条直线的平行与垂直PPT课件
（2）当直线斜率k存在时
两直线平行或者重合
代入检验排除重合
k1 = k 2
思考8：如何排除掉重合的情况?
检验b1≠b2
1、直线的平行
思考9：对于两条不重合的直线 1：1 + 1 + 1＝0
2：2 + 2 + 2＝0，可否用它们的法向量
1＝（1，1），2＝（2，2）来判断这两条直线是
线呢?
形式
标准方程
设法
斜截式
y＝kx＋b
y=− +m
一般式
Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)
Bx-Ay＋D＝0 (A2＋B2≠0)
1
求过点A(3,2)且垂直于直线4x+5y-8=0的直线方程.
法一：解
4
：已知直线4x+5y-8=0的斜率为- ，所求直线与已知
5
5
直线垂直，所以该直线的斜率为 ，该直线过点A(3,2)，因此所
2
-2 -3 = 0 ,
即
2
≠ 9,
∴m=-1.
故当 m=-1 时,直线 l1 与 l2 平行.
=3 或
= -1,
≠3且
≠ -3,
环节三
直线的垂直
3、直线的垂直
思考1：怎么衡量两条直线y=k1x+b1和y=k2x+b2是垂直的呢
?
思考2：试着用α1等于30°、45°、60°去求一
y
下两条直线的斜率?
解 得 m=4
.
故 所求直线方程为2x-3y+4=0
.
例3
已知两直线l1:x+my+6=0;l2:(m-2)x+3y+2m=0,求m
两条直线的平行与垂直ppt课件
C．垂直
D．重合
3.若直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直,则直线l的方程是( C ) A.2x-3y+5=0 B.2x-3y+8=0 C.3x+2y-1=0 D.3x+2y+7=0
根据今天所学，回答下列问题： 1.怎样根据直线方程的特征判断两条直线的平行或垂直关系呢？ 2.判断两条直线是否平行的步骤是哪些？ 3.判断两条直线是否垂直的方法有哪些？
1.直线l1与l2为两条不重合的直线，则下列命题正确的是( BCD ) A．若l1∥l2，则斜率k1＝k2 B．若斜率k1＝k2，则l1∥l2 C．若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2 D．若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2
2.已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A(1， 3)，B(－2，－2 3)，则 直线l1，l2的位置关系是( A ) A．平行或重合 B．平行
解：（1）由题意知，直线
<m>l1</m>的斜率
<m>k1
=
5−1 −3−2
=
−
45</m>，
直线
<m>l2</m>的斜率
<m>k2
=
−7+3 8−3
=
−
45</m>，
所以直线 <m>l1</m>与直线 <m>l2</m>平行或重合，
又
<mk>BC
=
5− −3 −3−3
=
−
4 3
≠
−
45</m>，所以
所以 <m>l1//l2</m>.
两条直线平行和垂直的判定
两条直线平行和垂直的判定以两条直线平行和垂直的判定为题，我们来探讨一下如何判断两条直线的关系。
在几何学中，直线的平行和垂直是两种重要的关系，它们的判定方法可以通过几何性质和特定条件来得出。
我们先来讨论两条直线平行的判定方法。
在平面几何中，有以下三种常见的判定方法。
1. 通过斜率判定：两条直线平行的条件是它们的斜率相等。
斜率是直线上两个不同点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。
如果两条直线的斜率相等，那么它们就是平行的。
例如，直线y = 2x + 3和直线y = 2x - 1的斜率都是2，所以它们是平行的。
2. 通过法向量判定：两条直线平行的条件是它们的法向量平行。
法向量是垂直于直线的向量，可以通过直线的一般式方程求得。
如果两条直线的法向量平行，那么它们就是平行的。
例如，直线2x - 3y + 4 = 0和直线2x - 3y - 2 = 0的法向量都是(2, -3)，所以它们是平行的。
3. 通过截距判定：两条直线平行的条件是它们的截距比相等。
截距是直线与坐标轴的交点的纵坐标或横坐标。
如果两条直线的截距比相等，那么它们就是平行的。
例如，直线3x + 2y - 1 = 0和直线6x + 4y - 2 = 0的截距比都是1/2，所以它们是平行的。
接下来，我们来讨论两条直线垂直的判定方法。
在平面几何中，有以下两种常见的判定方法。
1. 通过斜率判定：两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积为-1。
即如果直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2，那么k1 * k2 = -1，则直线L1和直线L2垂直。
例如，直线y = 2x + 3和直线y = -1/2x + 1的斜率分别为2和-1/2，而2 * (-1/2) = -1，所以它们是垂直的。
2. 通过方向向量判定：两条直线垂直的条件是它们的方向向量垂直。
方向向量是直线的一个向量，可以通过直线的一般式方程求得。
如果两条直线的方向向量垂直，那么它们就是垂直的。
例如，直线2x - 3y + 4 = 0和直线3x + 2y - 1 = 0的方向向量分别为(2, -3)和(3, 2)，而(2, -3)·(3, 2) = 0，所以它们是垂直的。
直线的平行与垂直
直线的平行与垂直直线是几何学中最基本的概念之一，对于直线的性质和关系的研究是几何学的重要内容之一。
在几何学中，我们经常会遇到两个直线之间的关系，其中最常见的是平行和垂直。
本文将详细介绍直线的平行与垂直的概念、性质和判定方法。
一、平行线的定义和性质1. 定义：两条直线如果在平面上的任意一点都不相交，则它们被称为平行线。
2. 性质1：平行线永远不会相交，即它们在平面上没有公共点。
3. 性质2：平行线的斜率相等。
斜率是指直线上两点之间纵坐标的差与横坐标的差的比值。
如果两条直线的斜率相等，那么它们是平行线。
4. 性质3：平行线的充要条件是它们的任意一条射线与另一条直线都不相交。
二、垂直线的定义和性质1. 定义：两条直线如果相交成直角，则它们被称为垂直线。
2. 性质1：垂直线相交成直角，直角是指两条相交直线所形成的四个角中的一个角为90度。
3. 性质2：垂直线的斜率的乘积为-1。
如果两条直线的斜率的乘积为-1，那么它们是垂直线。
4. 性质3：垂直线的充要条件是它们的斜率互为相反数。
三、判定平行与垂直的方法1. 判定平行线的方法：(1) 如果两条直线的斜率相等，并且它们不重合，那么这两条直线是平行线。
(2) 如果两条直线的斜率不存在且它们不重合，那么这两条直线是平行线。
2. 判定垂直线的方法：(1) 如果两条直线的斜率的乘积为-1，并且它们不重合，那么这两条直线是垂直线。
(2) 如果两条直线一个的斜率不存在，另一条的斜率为0，且它们不重合，那么这两条直线是垂直线。
四、平行和垂直的应用平行和垂直的概念在几何学中有广泛的应用，其中一些常见的应用包括：1. 平行线用于构建平行四边形、平行四边形的性质证明等。
2. 垂直线用于构建矩形、正方形等直角四边形，以及证明直角三角形等。
五、总结直线的平行与垂直是几何学中的基本概念之一，对于理解和应用几何学理论具有重要意义。
通过了解平行线和垂直线的定义、性质和判定方法，我们可以更好地理解和应用几何学中的平行和垂直的概念。
两条直线平行与垂直的判定
两条直线平行与垂直的判定直线平行与垂直的判定，哎呀，听起来就像数学课上那种让人头疼的东西。
不过，别紧张，今天咱们就轻松聊聊这两条直线之间的那些事儿，保证让你听得津津有味，心里也会亮堂许多。
想想吧，生活中咱们可不常碰到直线，但它们却无处不在，像那条街道，永远在你面前延伸，横平竖直，给人一种稳稳的感觉。
说到平行，想象一下两条轨道，永远不会相交，绝对是好兄弟，走自己的路，互不干扰。
它们的斜率完全相等，这就意味着，不管你把它们延伸到多远，它们都不会遇上，真是“同舟共济”的好伙伴。
这就像你和你的朋友，虽然有时候不在一个地方，但心灵相通，总能感受到彼此的存在。
想知道怎么判断直线平行吗？简单得很！只要看它们的方程，斜率相同即可。
比如，y = 2x + 3和y = 2x 5，嘿，都是斜率2，绝对是平行无疑。
再来说说垂直，这可有趣多了！想象两条直线像叉子和刀子，嘻嘻，分工明确，一个负责切，一个负责叉，完美搭档。
直线垂直的条件是什么呢？咱们只需看它们的斜率，一个是m，一个是n的倒数，乘起来得1。
简单点说，假如有一条直线的斜率是2，另一条的斜率就是1/2，这俩就像天生的搭档，绝对能让你信服。
所以啊，数学里的这些关系其实也很像人际关系，有时候互补的才是真正的好伙伴。
举个例子，如果你在街上走，突然遇到一条交叉口，那两条街道就是典型的垂直直线。
看着那交叉的地方，心里是不是会觉得这就是生活的交错，虽说走的方向不同，但还是能有那么一瞬间的相遇。
这就像人生的每个阶段，总会有交叉，虽然最后大家各自走各自的路，但那段时光却是珍贵的，永远不会被遗忘。
回到数学，咱们可以画图，视觉上就能一目了然。
把这两种情况画出来，真是有趣，看到那条条直线，一条横着，一条竖着，真是好不热闹。
掌握这些知识就像掌握了一把打开世界大门的钥匙。
通过这些简单的判定，你会发现，数学不仅仅是公式和符号，更是生活中的一种智慧。
学习这些判定的时候，心态一定要轻松，不要像考数学试那样紧张。
高中数学两条直线平行与垂直
高中数学两条直线平行与垂直大家好，今天我们来聊聊高中数学里的一对“好朋友”——平行线和垂直线。
听名字感觉挺简单的，但当你真正深入了解的时候，会发现它们可是有不少精彩的“故事”的呢！1. 直线平行的基本概念1.1 什么是平行线？首先，咱们得搞明白什么叫平行线。
平行线呢，就是在平面上，永远保持固定的距离，无论你怎么往前走，它们之间的距离都不会变。
这就像是你和你的好朋友一起走在马路上，无论你们走多远，你们之间的距离始终如一。
1.2 平行线的条件要让两条直线平行，可得满足一定的条件。
最简单的条件就是，它们的斜率得一样。
就拿坐标系里的直线来说，如果两条直线的斜率相同，那它们就是平行的。
说白了，就是它们的“坡度”一致，永远不会相交。
2. 直线垂直的基本概念2.1 什么是垂直线？接下来聊聊垂直线。
两条直线垂直，就是说它们的交角是90度。
你可以想象成你站在一面墙角，两条墙壁形成的角度就是直角，它们就是垂直的。
用数学的语言来描述，就是它们的斜率的乘积是1。
2.2 垂直线的条件要让两条直线垂直，斜率的乘积必须等于1。
比如，如果一条直线的斜率是2，那么和它垂直的直线的斜率就得是1/2。
这样，它们在交点上形成一个直角。
3. 平行线与垂直线的关系3.1 如何区分平行与垂直在数学问题里，平行线和垂直线有时候会被同时提到，这时候就需要仔细辨别。
平行线就像是守护在一旁的忠实伙伴，始终不变；而垂直线则像是那个突如其来的转折点，给你带来意外的惊喜。
它们的关系很简单：如果一条直线与另一条直线垂直，那么这两条直线的斜率乘积是1，而如果两条直线平行，它们的斜率是一样的。
3.2 平行线与垂直线的应用在实际生活中，平行线和垂直线的概念常常出现在建筑设计、工程绘图等方面。
比如，你看那些直直的建筑物和整齐的街道，这些都是利用了平行线的概念。
而那些十字路口、交叉路口呢，则是垂直线的应用实例。
可以说，平行线和垂直线在生活中无处不在，虽然它们看似简单，却极大地影响了我们的世界。
平行与垂直知识点总结
平行与垂直知识点总结平行与垂直是几何学中的重要概念，涉及到直线在空间中的位置关系。
在几何学中，我们经常需要理解和利用平行与垂直的概念，这些概念对于解决几何问题、建筑设计、地图绘制等方面都具有重要的作用。
因此，了解平行与垂直的知识点对于我们的数学学习和日常生活都具有重要的意义。
本文将从平行和垂直的定义、性质、判定以及相关定理等方面对平行与垂直进行总结，希望能够对读者有所帮助。
一、平行线的定义在平面几何中，两条直线称为平行线，如果它们在同一平面上，且不相交。
这意味着，平行线在同一平面上不会相交，其间的距离始终保持相等。
1.1 平行线的符号表示：在数学中，我们通常用符号“ ||”来表示两条线段是平行的。
1.2 平行线的特征：1）平行线永远不会相交。
2）平行线的斜率相同。
3）平行线之间的夹角相等。
二、垂直线的定义与平行线相对应的概念是垂直线。
两条直线称为垂直线，如果它们在同一平面上，并且它们的交角为 90 度。
2.1 垂直线的符号表示：在数学中，我们通常用符号“⊥”来表示两条线段是垂直的。
2.2 垂直线的特征：1）垂直线可以相交，但相交的角度为 90 度。
2）垂直线的斜率相乘等于 -1。
3）垂直线之间的夹角为 90 度。
三、平行和垂直线的判定在几何学中，我们常常需要判定两条直线是否平行或垂直，下面来总结一些判定准则。
3.1 判定两条直线是否平行的几种方法：a）斜率判定法：当两条直线的斜率相等时，它们是平行线。
b）观察判定法：在图形上观察两条线段的倾斜情况，如果它们很明显地呈现出平行的形态，则可以判断它们是平行线。
c）角度判定法：两条平行线之间的夹角相等，可以通过观察夹角的大小来判断两条直线是否平行。
3.2 判定两条直线是否垂直的方法：a）斜率判定法：当两条直线的斜率相乘等于 -1 时，它们是垂直线。
b）观察判定法：在图形上观察两条直线的交角，如果它们的交角为 90 度，则可以判断它们是垂直线。
c）角度判定法：两条垂直线之间的夹角为 90 度，可以通过观察夹角的大小来判断两条直线是否垂直。
第4课时 两条直线的平行与垂直的判定(点斜式方程)
第4课时一、两条直线平行与垂直的判定【学习目标】1.理解并掌握两条直线平行及垂直的条件；2.能根据已知条件判断两条直线的平行与垂直；3.能应用两条直线的平行或垂直的判定与性质解决一些简单的问题.课前预习案一、 教材助读，知识归纳： 1、经过两点))(,(),,(21222111x x y x P y x P ≠的直线的斜率公式 。
2、两直线平行的条件：斜率存在时:如果两条不重合直线12,l l 的斜率为12,k k .那么 .注意:上面的等价是在两不重合直线斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立．3注意:并不存立． 特殊情况：当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线斜率为0时，即一条直线的倾斜角为90°,另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相 。
结论：121212 1,0l l k k l l ⊥⇔⋅=-或一斜率不存在另一斜率为 二、 课前预习，自我检测：1、下列说法中不正确的是_______ __ ①斜率均不存在的两条直线平行；②若直线1l ⊥2l ,则两条直线的斜率互为负倒数；③两条直线1l 、2l 中,一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为零,则1l ⊥2l ； ④两条直线的斜率互为负倒数,则这两条直线垂直。
2、直线1l 的倾斜角为30o ,直线1l ⊥2l ,则直线2l 的斜率为 ___________。
3、已知过点A(2-的直线平行,则m的值为__ -,m)和B(m,4)的直线与斜率为2____课堂探究案一、 例题讲解，合作探究：探究1，问题解决已知A(2,3)，B(-4,0)，P(-3,1)，Q(-1,2)，试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论。
变式练习1 已知四边形ABCD的四个顶点分别为 A(0,0)，B(2,-1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明。
探究2，问题解决已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3),Q(6,-6),试判断直线AB与PQ的位置关系.变式练习2已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3)三点,试判断△ABC的形状.二、 变式练习，能力提升1、已知正方形ABCD 中,E,F 分别是边AD,AB 的中点,利用解析法证明:BE ⊥CF.三、 课堂练习，总结归纳 小结：1. 两条直线平行与垂直的条件。
2024年新高二数学讲义两条直线平行与垂直的判定(思维导图+2知识点+6考点+过关检测)(解析版)
2024年新高二数学提升精品讲义两条直线平行与垂直的判定（解析版）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件；2．会运用条件判定两直线是否平行或垂直；3．运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题.知识点1两条直线平行1、直线平行的判定类型斜率存在斜率不存在条件1290︒=≠αα1290︒==αα对应关系1212//＝⇔l l k k 12//⇔l l 两条直线斜率都不存在图示2、对直线平行判定的理解（1）2121//k k l l =⇔成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②21l l 与不重合．（2）1212k k l l =⇒//或21l l 与重合．（3）1212l l k k ⇒=//或两条直线的斜率都不存在．（4）在判断两条不重合的直线是否平行时，先判断两条直线的斜率是否存在，若斜率存在且相等，则两者平行；若斜率都不存在，两者仍然平行．知识点2两条直线垂直1、直线垂直的判定对应关系1l 与2l 的斜率都存在，分别为12,k k ，则12121⊥⇔⋅=-l l k k 1l 与2l 中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则1l 与2l 的位置关系是12⊥l l图示2、对直线垂直判定的理解（1）12121-=⋅⇔⊥k k l l 成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；（2）当两条直线的斜率都存在，且121k k ⋅=-时，两条直线垂直；（30，则两条直线也垂直．考点一：两条直线平行的判定例1．（23-24高二上·全国·课后作业）过点()1,2A 和点()1,2B -的直线与直线3y =的位置关系是（）A ．相交B ．平行C ．重合D ．以上都不对【答案】B【解析】过点()1,2A 和点()1,2B -的直线方程为2y =，斜率为0，又因为直线3y =斜率为0，所以两直线平行.故选：B【变式1-1】（23-24高二上·福建泉州·期末）记平面直角坐标系内的直线1l 、2l 与x 轴正半轴方向所成的角的正切值分别为1k 、2k ，则“12l l //”是“12k k =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【答案】A【解析】由题意可知：12,k k 已经存在，若1l ∥2l ，则12k k =，即充分性成立；若12k k =，则12,l l 可能重合，即必要性均不成立；综上所述：“12l l //”是“12k k =”的充分不必要条件.故选：A ．【变式1-2】（23-24高二上·山西临汾·月考）下列各对直线互相平行的是（）A ．直线1l 经过点()0,1A ，()10B ,，直线2l 经过点()1,3M -，()2,0N B ．直线1l 经过点()1,2--A ，()1,2B ，直线2l 经过点()2,1M --，()0,2N -C ．直线1l 经过点()1,2A ，()1,3B ，直线2l 经过点()1,1C -，()1,4D D ．直线1l 经过点()3,2A ，()3,1B -，直线2l 经过点()1,1M -，()3,2N 【答案】A【解析】对于A ，因为1201301,11012l l k k --==-==----，所以12//l l ；对于B ，因为()12122212,11202l l k k -----====-----，所以直线12,l l 不平行；对于C ，由直线1l 经过点()1,2A ，()1,3B ，直线2l 经过点()1,1C -，()1,4D ，得直线12,l l 的斜率都不存在，且两直线重合；对于D ，因为直线1l 经过点()3,2A ，()3,1B -，所以直线直线1l 的斜率不存在，而2123132l k --==-，所以直线12,l l 不平行.故选：A.【变式1-3】（23-24高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判断直线1l 与直线2l 是否平行．(1)1l 经过点()2,3A ，()4,0B -，2l 经过点()3,1M -，()2,2N -；(2)1l 的斜率为12-，2l 经过点()4,2A ，()2,3B ；(3)1l 平行于y 轴，2l 经过点()0,2P -，()0,5Q ；(4)1l 经过点()0,1E ，()2,1F --，2l 经过点()3,4G ，()2,3H ．【答案】(1)不平行；(2)平行或重合；(3)平行；(4)重合【解析】（1）301242AB k -==+，21123MN k -==-+，AB MN k k ≠，所以1l 与2l 不平行．（2）1l 的斜率112k =-，2l 的斜率2231422k -==--，12k k =，所以l 1与l 2平行或重合．（3）由题意，知1l 的斜率不存在，且不与y 轴重合，2l 的斜率也不存在，且与y 轴重合，所以12l l //.（4）由题意，知11120EF k --==--，43132GH k -==-,EF GH k k =，所以1l 与2l 平行或重合．需进一步研究E ，F ，G ，H 四点是否共线，23114FG k --==--.所以E ，F ，G ，H 四点共线，所以1l 与2l 重合．考点二：两条直线平行关系的应用例2.（23-24高二上·贵州黔西·月考）已知直线1l 过()1,4A -，()2,0B ，且12//l l ，则直线2l 的斜率为（）A ．43B ．34C ．43-D ．34-【答案】C【解析】由题意直线1l 的斜率为1404123k -==---，又因为12//l l ，所以直线2l 的斜率为2143k k ==-.故选：C.【变式2-1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知经过点(3,),(5,)A n B m 的直线1l 与经过点()()2,0,0,(0)P m Q n mn -≠的直线2l 平行，则mn的值为（）A ．－1B ．－2C ．－1或2D ．－2或1【答案】C【解析】由题意得122,2l l m n n k k m-==，因为12//l l ，所以12l l k k =，即22m n nm-=，化简得2220m mn n --=，所以m n =-或2m n =，又由0mn ≠得mn＝－1或2，故选:C .【变式2-2】（22-23高二上·福建漳州·期中）过()(),3,1,A m B m -两点的直线与直线l 平行，直线l 的倾斜角为45 ，则m =（）A ．1B ．2C ．-1D ．-2【答案】A【解析】过()(),3,1,A m B m -两点的直线与直线l 平行，直线l 的倾斜角为45 ，所以1m ≠-，因此过()(),3,1,A m B m -两点的直线的斜率为31m m---，因为过()(),3,1,A m B m -两点的直线与直线l 平行，直线l 的倾斜角为45 ，所以有3tan 45111m m m-==⇒=-- ，故选：A 【变式2-3】（23-24高二上·湖北武汉·期末）张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点()2,0与点()2,4-重合，点()2023,2024与点(),a b 重合，则a b +=（）A ．4046B ．4047C ．4048D ．4049【答案】B【解析】设()2,0A ，()2,4B -，则点A ，B 所在直线的斜率为40122AB k -==---，由题意知，过点()2023,2024，(),a b 的直线与直线AB 平行，所以202412023b a -=--，整理得：202320244047a b +=+=.故选：B考点三：两条直线垂直的判定例3.（23-24高二上·山东潍坊·期末）已知两直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，且12,k k 是方程210x x +-=的两根，则1l 与2l 的位置关系为（）A ．平行B ．相交且垂直C ．重合D ．相交且不垂直【答案】B【解析】由题意121k k =-，因此两直线垂直．平面上的两直线垂直时当然相交．故选：B ．【变式3-1】（23-24高二上·河北邯郸·月考）（多选）满足下列条件的直线1l 与2l ，其中12l l ⊥的是（）A ．1l 的倾斜角为45 ，2l 的斜率为1B ．1l 的斜率为2l经过点()2,0A ，(B C ．1l 经过点()2,1P ，()4,5Q --，2l 经过点()1,2M -，()1,0N D ．1l 的方向向量为()1,m ，2l 的方向向量为11,m ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】BCD【解析】对A ，1tan 451l k =︒=，21l k =，121l l k k ⋅≠-，所以A 不正确；对B ，2l k ==，121l l k k ⋅=-，故B 正确；对C ，151142l k --==--，220111l k -==---，121l l k k ⋅=-，故C 正确；对D ，因为()1,m 11,110m ⎛⎫⋅-=-= ⎝，所以两直线的方向向量互相垂直，故12l l ⊥，故D 正确.故选：BCD【变式3-2】（22-23高二·江苏·假期作业）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由．(1)1l 经过点(3,4),(1,3),A B --2l 经过点(4,3),(3,1)M N --；(2)1l 经过点(3,4),(3,10),A B 2l 经过点(10,40),(10,40)M N -．【答案】(1)不垂直，理由见解析；(2)垂直，理由见解析【解析】（1）由题知直线1l ，2l 的斜率存在，分别设为12,k k ，()()1347134k --==--，()()2134347k --==--，121k k ∴⋅=，∴1l 与2l 不垂直．（2）由题意知1l 的倾斜角为90°，则1l x ⊥轴；由题知直线2l 的斜率存在，设为3k ，34040010(10)k -==--，则2l x ∥轴，∴12l l ⊥．【变式3-3】（23-24高二上·全国·课堂例题）判断直线1l 与2l 是否垂直．(1)1l 的斜率为10-，2l 经过点()10,2A ，()20,3B ；(2)1l 经过点()3,4A ，()3,10B ，2l 经过点()10,40M -，()10,40N ；(3)1l 经过点()1,2A -，()5,1B -，2l 经过点()1,0C ，()4,6D ．【答案】(1)12l l ⊥；(2)12l l ⊥；(3)12l l ⊥【解析】（1）设直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，则110k =-，2321201010k -==-，因为121k k =-，所以12l l ⊥．（2）由点A ，B 的横坐标相等，得1l 的倾斜角为90︒，则1l x ⊥，设直线2l 的斜率为2k ，则()2404001010k -==--，所以2l x ∥轴．故12l l ⊥．（3）方法一：直线1l 的斜率()1121512k --==---，直线2l 的斜率260241k -==-，因为121k k =-，所以12l l ⊥；方法二：直线1l 的方向向量()6,3AB =- ，直线2l 的方向向量()3,6CD =，因为0AB CD ⋅= ，所以AB CD ⊥，所以12l l ⊥．考点四：两条直线垂直关系的应用例4.（23-24高二上·河南郑州·月考）已知1l 的倾斜角为45°，2l 经过点()()2,1,3,P Q m --．若12l l ⊥，则实数m 为（）A ．6B ．－6C ．5D ．－5【答案】B【解析】因为1tan 451l k =︒=，()()211325l m m k --+==--，且12l l ⊥，所以121115l l m k k +⋅=⨯=-，解得6m =-，故选：B.【变式4-1】（23-24高二上·江西宜春·期中）已知点(3,2),(24,4),(,),(3,32)A m B m C m m D m -----+，若直线AB CD ⊥，则m 的值为（）A ．1或1-B ．3-或1-C ．1-或3D ．3或3-【答案】A【解析】∵A ，B 两点纵坐标不相等，∴AB 与x 轴不平行.∵AB CD ⊥，则CD 与x 轴不垂直，∴3m -≠，即3m ≠-.当AB 与x 轴垂直时，324m m --=--，解得1m =-，此时，点C ，D 的纵坐标均为1-，则//CD x 轴，此时AB CD ⊥，满足题意；当AB 与x 轴不垂直时，42224(3)(1)AB k m m m -==------+，322(1)3()3CD m m m k m m +-+==--+，∵AB CD ⊥，∴1AB CD k k =-，即()()212113m m m +⨯=--++，解得1m =.综上，m 的值为1或1-，故选：A .【变式4-2】（23-24高二上·浙江绍兴·期中）已知过()3,1A 、()1,3B -的直线与过()3,C m -、(),2D n 的直线互相垂直，则点(),m n 有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个【答案】D【解析】由()3,1A 与()1,3B -，则直线AB 的斜率13231AB k +==-，由AB CD ⊥，则直线CD 的斜率存在，即3n ≠-，且112CD AB k k -==-，由()3,C m -与(),2D n ，则2132m n -=-+，整理化简可得27n m =-，显然该方程有无数个解.故选：D.【变式4-3】（23-24高二上·广东茂名·期中）已知点()0,2A -，()6,0B ，()0,C a ，且点C 在线段AB 的垂直平分线上，则=a （）A ．2B ．2C ．8D ．8-【答案】C【解析】由点()0,2A -，()6,0B ，可得线段AB 的中点()3,1D -，所以得：线段AB 的斜率为021603AB k +==-，所以得：线段AB 垂直平分线的斜率为1303a k +=-=-，解之得：8a =.故选：C.考点五：直线平行、垂直的综合应用例5.（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）已知点()()()()4,2,6,4,12,6,2,12P Q R S --，则下列结论正确的是（）A ．//PQ SRB ．PQ PS⊥C ．//PS QRD ．PR QS⊥【答案】ABCD【解析】由斜率公式知423645PQ k --==-+，12632125SR k -==--，122532435PS k -==≠-+，PQ SR k k =，且,,,P Q R S 四点不共线，则//PQ SR ，A 选项正确；35153PQ PS k k =⨯⋅-=-，PQ PS ⊥，B 选项正确；6(4)51263QR PS k k --===-，//PS QR ，C 选项正确；124426QS k +==--，6211244PR k -==+，1414QS PR k k ⋅=-⨯=-，PR QS ⊥，D 选项正确．故选：ABCD ．【变式5-1】（22-23高二上·河北石家庄·月考）（多选）直线12,l l 的斜率12,k k 是关于k 的方程2240k k m -+=）A ．若12l l ⊥，则2m =-B ．若12l l ⊥，则=2mC ．若12//l l 则2m =-D ．若12//l l ，则=2m 【答案】AD【解析】直线1l ，2l 的斜率1k ，2k 是关于k 的方程2240k k m -+=的两根，∴122m k k ⋅=，若12l l ⊥，则1212mk k ==-，得2m =-；若12//l l ，则12k k =，∴1680m ∆=-=，得=2m ，故选：AD【变式5-2】（23-24高二上·贵州·开学考试）已知直线1l 经过()(),1,4,3A m B m ---+，直线2l 经过点()()1,2,4,2C D m --+.(1)若1l //2l ，求m 的值；(2)若12l l ⊥，求m 的值.【答案】(1)1或6；(2)3或4-【解析】（1）由题可知直线2l 的斜率存在且()222143m mk -+==--+，若则直线1l 的斜率也存在，由()2113244m mk k m m --+-+===-+-+，得243m m m -+=--+，即2760m m -+=解得1m =或6，经检验，当1m =或6时，12//l l ；（2）若12l l ⊥，当20k =时，此时10,m l =斜率12142k -==-存在，不符合题意，当20k ≠时，直线2l 的斜率存在且不为0，则直线1l 的斜率也存在，且121k k ×=-，即2134m mm -+-⋅=--+，即2120m m +-=，解得3m =或4-，所以当3m =或4-时，12l l ⊥.【变式5-3】（23-24高二上·广东深圳·期中）已知直线1l 经过()(),3,1,A m B m 两点，2l 经过()()2,1,4,2P Q 两点．(1)若12//l l ，求m 的值；(2)若12,l l 的倾斜角互余，求m 的值．【答案】(1)73m =；(2)53m =【解析】（1）211422PQ k -==-，因为12//l l ，所以3112AB PQ m k k m -===-，得73m =，经检验，符合题意，所以73m =；（2）因为12,l l 的倾斜角互余，设1l 的倾斜角为α，则直线2l 的倾斜角为π2α-，所以3121AB PQ m k m k -===-，得53m =．考点六：几何图形的特征的应用例6.（23-24高二上·江苏盐城·期中）以()()()5,1,1,1,2,3A B C -为顶点的三角形是（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．以A 为直角顶点的直角三角形D ．以B 为直角顶点的直角三角形【答案】D【解析】直线AB 的斜率1(1)1152AB k --==--，直线BC 的斜率31221BC k -==-，由1AB BC k k ⋅=-，所以AB BC ⊥，故ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形．故选：D【变式6-1】（23-24高二上·河南南阳·月考）已知(5,1)A -，(1,1)B ，(2,3)C 三点，试判断ABC 的形状.【答案】直角三角形.【解析】如图所示，边AB 所在直线的斜率111512--==--AB k ，边BC 所在直线的斜率13212BC k -==-.由1AB BC k k ⋅=-，得AB BC ⊥，即90ABC ∠=︒，所以ABC 是直角三角形.【变式6-2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为()0,0O ，()1,3A ，()3,2B -，()4,1C --．试判断四边形OABC 的形状，并说明理由.【答案】平行四边形，理由见解析【解析】如下图示：OA 边所在直线的斜率3OA k =，AB 边所在直线的斜率14AB k =，BC 边所在直线的斜率3BC k =，CO 边所在直线的斜率14CO k =．由BC CO k k ≠知：点O 不在BC 上，则OA 与BC 不重合，又OA BC k k =，得//OA BC ．同理，由AB CO k k =且AB 与CO 不重合，得//AB CO ．因此四边形OABC 是平行四边形．【变式6-3】（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为()()()()0,0,1,,12,2,2,2O P t Q t t R t -+-，其中0t >.试判断四边形OPQR 是否为矩形.【答案】四边形OPQR 为矩形，理由见解析.【解析】由斜率公式得010OP t k t -==-，()()222121RQ t t t t k t ----+-===-20120OR k t t -==---,2211122PQ t t t k t t-==-=--所以OP RQ k k =，OR PQ k k =，从而OP ∥RQ ，OR ∥PQ .所以四边形OPQR 为平行四边形.又1OP OR k k ⋅=-,所以OP OR ⊥，故四边形OPQR 为矩形.一、单选题1．（23-24高二上·湖南张家界·月考）已知直线1l 过()2,3A ，()0,4B ，且12l l ⊥，则直线2l 的斜率为（）A ．2B ．12-C ．2-D ．12【答案】A【解析】由题设1431022l AB k k -===--，又12l l ⊥，则直线2l 的斜率为2.故选：A 2．（23-24高二上·河南焦作·月考）已知过(2,)A m -和(,4)B m 的直线与斜率为－2的直线平行，则m 的值是（）A ．－8B ．0C ．2D ．10【答案】A【解析】由题意可知，422AB mk m -==-+，解得8m =-．故选：A 3．（23-24高二上·全国·课后作业）若直线l 经过点()2,1A a --和()2,1B a --，且与斜率为23-的直线垂直，则实数a 的值是（）A ．23-B ．32C ．23±D ．32±【答案】A【解析】由题意得，直线l 的斜率必存在，且1112(2)AB k a a a=－－＝－－－－－()0a ≠.因为直线l 与斜率为23-的直线垂直所以2113a ⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭－，解得23a =-.故选：A .4．（22-23高二下·甘肃兰州·开学考试）已知经过点()2,0A -和点()1,3B a 的直线1l 与经过点()0,1P -和点(),2Q a a -的直线2l a 的值为（）A ．0B ．1C ．0或1D ．1-或1【答案】C【解析】直线1l 的斜率()13012a k a -==--．①当0a ≠时，直线2l 的斜率()221120a ak a a----==-．因为12l l ⊥，所以121k k =-，即121aa a-⋅=-，解得1a =．②当0a =时，()0,1P -、()0,0Q ，此时直线2l 为y 轴，又()2,0A -、()10B ,，则直线1l 为x 轴，显然12l l ⊥．综上可知，0a =或1.故选：C.5．（22-23高二上·浙江杭州·期末）已知点()1,1A 和()2,4B ，点P 在y 轴上，且APB ∠为直角，则点P 坐标为（）A ．()0,2B ．()0,2或()0,3C ．()0,2或()0,4D ．()0,3【答案】B【解析】由题意，设点()0,P y ，APB ∠ 为直角，AP BP ∴⊥，由141,12AP BP y y k y k --==-=，()4112AP BP y k k y -⎛⎫∴⋅=-=- ⎪⎝⎭，解得3y =或2，所以点P 的坐标为()0,2或()0,3故选：B6．（23-24高二上·全国·课后作业）以(2,1),(4,2),(2,6),(3,1)A B C D ---为顶点的四边形是（）A ．平行四边形，但不是矩形B ．矩形C ．梯形，但不是直角梯形D ．直角梯形【答案】D 【解析】在坐标系中画出ABCD 点，大致如上图，其中11622,2,,//3224AD BC AD BC k k k k AD BC +-==-==-∴=-+-，211,1,422AB AB BC k k k AB BC +===-⊥+ ，AD BC AD ====≠，所以四边形ABCD 是直角梯形；故选：D.二、多选题7．（23-24高二上·青海西宁·月考）下列各组直线中1l 与2l 一定平行的是（）A ．1l 经过点()()2,1,3,5AB -，2l 经过点()()3,3,8,7CD --B ．1l 经过点()()0,1,2,1EF --，2l 经过点()()3,4,2,3GH C ．1l 的倾斜角为60 ，2l 经过点(2,M N --D ．1l 平行于y 轴，2l 经过点()()0,2,0,5P Q -【答案】AD【解析】对于A ．由题意知12514734,325835k k --+==-==----，所以直线1l 与直线2l 平行或重合，又5(3)443335BC k --==-≠---，故12//l l ，A 选项正确；对于B ．由题意知1211341,12023k k ---====---，所以直线1l 与直线2l 平行或重合，4(1)13(2)FG k --==--，故直线1l 与直线2l 重合，B 选项错误；对于C ．由题意知12tan 60k k = ，12k k =，所以直线1l 与直线2l 可能平行可能重合，C 选项错误；对于D ．由题意知1l 的斜率不存在，且不是y 轴，2l 的斜率也不存在，恰好是y 轴，所以12//l l ，D 选项确．故选：AD8．（23-24高二上·全国·单元测试）（2023秋·河北石家庄·高二石家庄市第四中学校考月考）以(1,1),(2,1),(1,4)A B C --为顶点的三角形，下列结论正确的有（）A ．23AB k =-B ．14BC k =-C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形【答案】AC【解析】对于A ，因为(1,1),(2,1)A B --，所以1(1)2123AB k --==---，所以A 正确，对于B ，因为(2,1),(1,4)B C -，所以1415214BC k --==-≠--，所以B 错误，对于C ，因为23AB k =-，143112AC k -==--，所以22133AB AC k k ⋅=-⨯=-，所以AB AC ⊥，所以ABC 以A 点为直角顶点的直角三角形，所以C 正确，对于D ，因为23AB k =-，5BC k =-，所以1AB BC k k ⋅≠-，所以D 错误，故选：AC三、填空题9．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）若经过点(),3m 和()2,m 的直线l 与斜率为-4的直线互相平行，则m 的值是．【答案】53/213【解析】由题意32l mk m -=-，又因为直线l 与斜率为-4的直线互相平行，所以342m m -=--，解得53m =.10．（23-24高二上·全国·课后作业）已知(1,3),(5,1),(3,7)A B C ，A ，B ，C ，D 四点构成的四边形是平行四边形，则点D 的坐标为．【答案】(7,5)或(1,9)-或(3,3)-.【解析】由题，(1,3),(5,1),(3,7)A B C ，所以73231AC k -==-，131512AB k -==--，71335BC k -==--，设D 的坐标为(),x y （1x ≠且5x ≠且3x ≠），分以下三种情况：①当BC 为对角线时，有CD AB k k =，BD AC k k =，所以，125BD y k x -==-，71=32CD y x k -=--，解得75x y =⎧⎨=⎩，即(7,5)D ；②当AC 为对角线时，有CD AB k k =，AD BC k k =，所以331AD y k x -==--，71=32CD y x k -=--，解得19x y =-⎧⎨=⎩，即(1,9)D -；③当AB 为对角线时，有BD AC k k =，AD BC k k =所以132351BD AD y y k k x x --====---，，解得33x y =⎧⎨=-⎩，即(3,3)D -；所以D 的坐标为(7,5)或(1,9)-或(3,3)-.11．（22-23高二上·北京丰台·月考）在平面直角坐标系中，直线1l 经过()()1,,4,5M m N -两点，2l 经过()6,0,(1,3)R S --两点，若12l l ⊥，则m =；若12l l ∥，则m =．【答案】0345-【解析】由已知()2303165l k -==---，当12l l ⊥时，所以155413l m k --==--，解得0m =，当12l l ∥时，153415l m k --==-，解得345m =-，经验证：当345m =-时，12,l l 不重合.四、解答题12．（23-24高二上·四川·期中）已知()4,0A ，()1,2B ，(),C m m ，()7,1D -.(1)若直线AB 与CD 平行，求m 的值；(2)若ABC 为直角三角形，求m 的值.【答案】(1)115；(2)1-或12【解析】（1）依题意可得AB CD k k =，即201147m m---=--，解得115m =.又202143AB k -==--，101743AD k --==--，所以AB AD k k ≠，所以A 、B 、C 、D 四点不共线，所以115m =.（2）若A 为直角，则1AB AC k k =-，即2001144m m --⨯=---，解得12m =.若B 为直角，则1AB BC k k =-，即2021141m m --⨯=---，解得1m =-.若C 为直角，则1AC BC k k =-，即02141m m m m --⨯=---，解得m =综上，m 的值为1-或1213．（22-23高二上·广东广州·期中）已知四边形MNPQ 的顶点(1,1),(3,1),(4,0),(2,2)M N P Q -.(1)求斜率MN k 与斜率PQ k ；(2)求证：四边形MNPQ 为矩形.【答案】(1)1,1MN PQ k k =-=-；(2)证明见解析【解析】（1）因为(1,1),(3,1),(4,0),(2,2)M N P Q -，所以1,111203124MN PQ k k ---=-==--=-，即1,1MN PQ k k =-=-.（2）因为1,1MN PQ k k =-=-，所以//MN PQ .又因为01,12112134MQ NP k k -=--=--==，所以//MQ NP ，所以四边形MNPQ 为平行四边形，又因为1MN MQ k k ⋅=-，所以MN MQ ⊥，所以四边形MNPQ 为矩形.。
高考数学一轮复习专题训练—两直线的位置关系
两直线的位置关系考纲要求1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．知识梳理1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2平行． (2)两条直线垂直如果两条直线l 1，l 2斜率都存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直． 2．两直线相交直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应． 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解． 3．距离公式 (1)两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2. (2)点到直线的距离公式平面上任意一点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.4．对称问题(1)点P (x 0，y 0)关于点A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0,2b －y 0)．(2)设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点为P ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y ′－y0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y 02＝k ·x ′＋x2＋b ，可求出x ′，y ′.1．两直线平行的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． 2．两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0. 3．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2的斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( )(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 解析 (1)两直线l 1，l 2有可能重合．(2)如果l 1⊥l 2，若l 1的斜率k 1＝0，则l 2的斜率不存在．2．两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0之间的距离为( ) A.235 B ．2310C ．7D ．72答案 D解析 由题意知a ＝6，直线3x ＋4y －12＝0可化为6x ＋8y －24＝0，所以两平行直线之间的距离为|11＋24|36＋64＝72. 3．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________． 答案 －9解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0， 即m ×1＋2×2＋5＝0，∴m ＝－9.4．(2021·银川联考)若直线ax ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋b ＝0垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c ＝( ) A ．－2 B ．－4 C ．－6 D ．－8答案 B解析 ∵直线ax ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋b ＝0垂直，∴－a 4×25＝－1，∴a ＝10，∴直线ax ＋4y －2＝0的方程即为5x ＋2y －1＝0. 将点(1，c )的坐标代入上式可得5＋2c －1＝0， 解得c ＝－2.将点(1，－2)的坐标代入方程2x －5y ＋b ＝0得2－5×(－2)＋b ＝0，解得b ＝－12. ∴a ＋b ＋c ＝10－12－2＝－4.故选B.5．(2020·淮南二模)设λ∈R ，则“λ＝－3”是“直线2λx ＋(λ－1)y ＝1与直线6x ＋(1－λ)y ＝4平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 A解析 当λ＝－3时，两条直线的方程分别为6x ＋4y ＋1＝0,3x ＋2y －2＝0，此时两条直线平行；若两条直线平行，则2λ×(1－λ)＝－6(1－λ)，所以λ＝－3或λ＝1，经检验，两者均符合，综上，“λ＝－3”是“直线2λx ＋(λ－1)y ＝1与直线6x ＋(1－λ)y ＝4平行”的充分不必要条件，故选A.6．(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的一个动点，则点P到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________． 答案 4解析 法一 由题意可设P ⎝⎛⎭⎫x 0，x 0＋4x 0(x 0>0)， 则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪x 0＋x 0＋4x 02＝⎪⎪⎪⎪2x 0＋4x 02≥22x 0·4x 02＝4，当且仅当2x 0＝4x 0，即x 0＝2时取等号． 故所求最小值是4.法二 设P ⎝⎛⎭⎫x 0，4x 0＋x 0(x 0>0)，则曲线在点P 处的切线的斜率为k ＝1－4x 20.令1－4x 20＝－1，结合x 0>0得x 0＝2，∴P (2，32)，曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的点P 到直线x ＋y ＝0的最短距离即为此时点P 到直线x ＋y ＝0的距离，故d min ＝|2＋32|2＝4.考点一 两直线的平行与垂直【例1】 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. (1)试判断l 1与l 2是否平行； (2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．解 (1)法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2； 当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2； 当a ≠1且a ≠0时，两直线方程可化为l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a ，－3≠－a ＋1，解得a ＝－1，综上可知，当a ＝－1时，l 1∥l 2. 法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0，得a (a －1)－1×2＝0，由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a (a 2－1)－1×6≠0，∴l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧aa －1－1×2＝0，a a 2－1－1×6≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a a 2－1≠6，可得a ＝－1， 故当a ＝－1时，l 1∥l 2.(2)法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0， l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2，故a ＝0不成立； 当a ≠1且a ≠0时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由⎝⎛⎭⎫－a 2·11－a ＝－1，得a ＝23.法二 由A 1A 2＋B 1B 2＝0，得a ＋2(a －1)＝0，可得a ＝23.感悟升华 1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．2．在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论． 【训练1】 (1)(2020·宁波期中)经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( ) A ．6x －4y －3＝0 B ．3x －2y －3＝0 C ．2x ＋3y －2＝0D ．2x ＋3y －1＝0(2)已知P (－2，m )，Q (m,4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，则m ＝________. 答案 (1)A (2)1解析 (1)因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l 的方程为y ＝32⎝⎛⎭⎫x －12，化为一般式，得6x －4y －3＝0. (2)由题意知 m －4－2－m＝1，所以m －4＝－2－m ，所以m ＝1.考点二 两直线的交点与距离问题【例2】 (1)(2020·淮南模拟)已知直线kx －y ＋2k ＋1＝0与直线2x ＋y －2＝0的交点在第一象限，则实数k 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫－32，－1 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪(－1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－13，12(2)(2021·广州模拟)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．答案 (1)D (2)[0,10]解析 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋2k ＋1＝0，2x ＋y －2＝0，解得x ＝1－2k 2＋k ，y ＝2＋6k2＋k(k ≠－2)．∵直线kx －y ＋2k ＋1＝0与直线2x ＋y －2＝0的交点在第一象限， ∴1－2k 2＋k >0，且2＋6k2＋k >0. 解得－13<k <12.故选D.(2)由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解之得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0,10]．感悟升华 1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．2．利用距离公式应注意：(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数分别化为对应相等．【训练2】 (1)(2021·贵阳诊断)与直线2x ＋y －1＝0的距离等于55的直线方程为( ) A ．2x ＋y ＝0 B ．2x ＋y －2＝0C ．2x ＋y ＝0或2x ＋y －2＝0D ．2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0(2)求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程为________________． 答案 (1)C (2)5x ＋3y －1＝0解析 (1)设与直线2x ＋y －1＝0的距离等于55的直线方程为2x ＋y ＋m ＝0(m ≠－1)， ∴|－1－m |22＋12＝55，解得m ＝0或m ＝－2. ∴与直线2x ＋y －1＝0的距离等于55的直线方程为2x ＋y ＝0或2x ＋y －2＝0. (2)先解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1，l 2的交点坐标为(－1,2)， 再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l ： y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.考点三 对称问题角度1 点关于点对称【例3】 过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________． 答案 x ＋4y －4＝0解析 设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.感悟升华 1.点关于点的对称：点P (x ，y )关于M (a ，b )对称的点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .2．直线关于点的对称：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决，也可考虑利用两条对称直线是相互平行的，并利用对称中心到两条直线的距离相等求解．角度2 点关于线对称【例4】 一束光线经过点P (2,3)射在直线l ：x ＋y ＋1＝0上，反射后经过点Q (1,1)，则入射光线所在直线的方程为________． 答案 5x －4y ＋2＝0解析 设点Q (1,1)关于直线l 的对称点为Q ′(x ′，y ′)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ′－1x ′－1＝1，x ′＋12＋y ′＋12＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2，y ′＝－2， 即Q ′(－2，－2)，由光学知识可知，点Q ′在入射光线所在的直线上，又k PQ ′＝3－－22－－2＝54， ∴入射光线所在直线的方程为y －3＝54(x －2)，即5x －4y ＋2＝0.感悟升华 1.若点A (a ，b )与点B (m ，n )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ≠0，B ≠0)对称，则直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直平分线段AB ，即有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n2＋C ＝0.2．几个常用结论(1)点(x ，y )关于x 轴的对称点为(x ，－y )，关于y 轴的对称点为(－x ，y )．(2)点(x ，y )关于直线y ＝x 的对称点为(y ，x )，关于直线y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )． (3)点(x ，y )关于直线x ＝a 的对称点为(2a －x ，y )，关于直线y ＝b 的对称点为(x,2b －y )． 角度3 线关于线对称【例5】 (1)(2021·成都诊断)与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程是( ) A ．3x －4y ＋5＝0 B ．3x －4y －5＝0 C ．3x ＋4y －5＝0D ．3x ＋4y ＋5＝0(2)直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是________________．答案 (1)D (2)x －2y ＋3＝0解析 (1)设所求直线上点的坐标(x ，y )，则关于x 轴的对称点(x ，－y )在已知的直线3x －4y ＋5＝0上，所以所求对称直线方程为3x ＋4y ＋5＝0，故选D. (2)设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－y －y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0.感悟升华 求直线l 1关于直线l 对称的直线l 2有两种处理方法：(1)在直线l 1上取两点(一般取特殊点)，利用点关于直线的对称的方法求出这两点关于直线l 的对称点，再用两点式写出直线l 2的方程．(2)设点P (x ，y )是直线l 2上任意一点，其关于直线l 的对称点为P 1(x 1，y 1)(P 1在直线l 1上)，根据点关于直线对称建立方程组，用x ，y 表示出x 1，y 1，再代入直线l 1的方程，即得直线l 2的方程．【训练3】 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A 对称的直线l ′的方程． 解 (1)设A ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413，即A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点必在m ′上．设对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2×⎝⎛⎭⎫a ＋22－3×⎝⎛⎭⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎨⎧ a ＝613，b ＝3013，即M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0， 得N (4,3)．又m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.(3)法一 在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如P (1,1)，N (4,3)，则P ，N 关于点A 的对称点P ′，N ′均在直线l ′上．易知P ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0.法二 设Q (x ，y )为l ′上任意一点，则Q (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为Q ′(－2－x ，－4－y )，∵Q ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.活用直线系方程具有某些共同特点的所有直线的全体称为直线系，直线系方程问题是高中数学中的一类重要问题，在解题中有着重要的应用．在直线方程求解中，可以由特定条件设出直线系方程，再结合题目中其他条件求出具体直线，这个解题思路在解决许多问题时，往往能起到化繁为简，化难为易的作用．一、相交直线系方程【例1】 已知两条直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点为P ，求过点P 且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．解 法一 解l 1与l 2组成的方程组得到交点P (0,2)，因为k 3＝34，所以直线l 的斜率k ＝－43，方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0. 法二 设所求直线l 的方程为4x ＋3y ＋c ＝0，由法一可知P (0，2)，将其代入方程，得c ＝－6，所以直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.法三 设所求直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0，因为直线l 与l 3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.二、平行直线系方程【例2】 已知直线l 1与直线l 2：x －3y ＋6＝0平行，l 1与x 轴、y 轴围成面积为8的三角形，请求出直线l 1的方程．解 设直线l 1的方程为x －3y ＋c ＝0(c ≠6)，令y ＝0，得x ＝－c ；令x ＝0，得y ＝c 3，依照题意有12×|－c |×⎪⎪⎪⎪c 3＝8，c ＝±4 3.所以l 1的方程是x －3y ±43＝0. 【例3】 已知直线方程3x －4y ＋7＝0，求与之平行且在x 轴、y 轴上的截距和是1的直线l 的方程．解 法一 设存在直线l ：x a ＋y b ＝1，则a ＋b ＝1和－b a ＝34组成的方程组的解为a ＝4， b ＝－3.故l 的方程为x 4－y 3＝1，即3x －4y －12＝0. 法二 根据平行直线系方程可设直线l 为3x －4y ＋c ＝0(c ≠7)，则直线l 在两坐标轴上截距分别对应的是－c 3，c 4，由－c 3＋c 4＝1，知c ＝－12.故直线l 的方程为3x －4y －12＝0. 三、垂直直线系方程【例4】 求经过A (2,1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程．解 因为所求直线与直线2x ＋y －10＝0垂直，所以设该直线方程为x －2y ＋c ＝0，又直线过点A (2,1)，所以有2－2×1＋c ＝0，解得c ＝0，即所求直线方程为x －2y ＝0.思维升华 直线系方程的常见类型1．过定点P (x 0，y 0)的直线系方程是y －y 0＝k (x －x 0)(k 是参数，直线系中未包括直线x ＝x 0)；2．平行于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是Ax ＋By ＋λ＝0(λ是参数且λ≠C )；3．垂直于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是Bx －Ay ＋λ＝0(λ是参数)；4．过两条已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程是A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R ，但不包括l 2).A 级 基础巩固一、选择题1．已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( ) A. 2B ．2－ 2 C.2－1D ．2＋1答案 C解析 由题意得|a －2＋3|1＋1＝1. 解得a ＝－1＋2或a ＝－1－ 2.∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.2．(2021·郑州调研)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( )A ．2B ．－3C ．2或－3D ．－2或－3 答案 C解析 直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2，故m ＝2或－3.3．已知直线l 过点(0,7)，且与直线y ＝－4x ＋2平行，则直线l 的方程为( )A ．y ＝－4x －7B ．y ＝4x －7C ．y ＝4x ＋7D ．y ＝－4x ＋7 答案 D解析 过点(0,7)且与直线y ＝－4x ＋2平行的直线方程为y －7＝－4x ，即直线l 的方程为y ＝－4x ＋7，故选D.4．已知b >0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y －1＝0垂直，则ab 的最小值为() A ．1 B ．2 C ．2 2 D ．2 3 答案 B解析 由已知两直线垂直可得(b 2＋1)－ab 2＝0，即ab 2＝b 2＋1，又b >0，所以ab ＝b ＋1b .由基本不等式得b ＋1b ≥2b ·1b ＝2，当且仅当b ＝1时等号成立，所以(ab )min ＝2.故选B.5．坐标原点(0,0)关于直线x －2y ＋2＝0对称的点的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－45，85 B ．⎝⎛⎭⎫－45，－85C.⎝⎛⎭⎫45，－85 D ．⎝⎛⎭⎫45，85答案 A解析 设对称点的坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 02－2×y 02＋2＝0，y 0＝－2x 0，解得⎩⎨⎧ x 0＝－45，y 0＝85，即所求点的坐标是⎝⎛⎭⎫－45，85.6．(2020·上海浦东新区期末)直线x －2y ＋2＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )A ．x ＋2y －4＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．2x ＋y －4＝0答案 A解析 设P (x ，y )为所求直线上的点，该点关于直线x ＝1的对称点为(2－x ，y )，且该对称点在直线x －2y ＋2＝0上，代入可得x ＋2y －4＝0.故选A.7．(2021·豫西五校联考)过点P (1,2)作直线l ，若点A (2,3)，B (4，－5)到它的距离相等，则直线l 的方程为( )A ．4x ＋y －6＝0或x ＝1B ．3x ＋2y －7＝0C ．4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0D ．3x ＋2y －7＝0或x ＝1答案 C解析 若A ，B 位于直线l 的同侧，则直线l ∥AB .k AB ＝3＋52－4＝－4，∴直线l 的方程为y －2＝－4(x －1)，即4x ＋y －6＝0；若A ，B 位于直线l 的两侧，则直线l 必经过线段AB 的中点(3，－1)，∴k l ＝2－－11－3＝－32， ∴直线l 的方程为y －2＝－32(x －1)，即3x ＋2y －7＝0. 综上，直线l 的方程为4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0，故选C.8．(2020·宝鸡模拟)光线沿着直线y ＝－3x ＋b 射到直线x ＋y ＝0上，经反射后沿着直线y ＝ax ＋2射出，则有( )A ．a ＝13，b ＝6 B ．a ＝－3，b ＝16 C ．a ＝3，b ＝－16D ．a ＝－13，b ＝－6 答案 D解析 由题意，直线y ＝－3x ＋b 与直线y ＝ax ＋2关于直线y ＝－x 对称，所以直线y ＝ax ＋2上的点(0,2)关于直线y ＝－x 的对称点(－2,0)在直线y ＝－3x ＋b 上， 所以(－3)×(－2)＋b ＝0，所以b ＝－6，所以直线y ＝－3x －6上的点(0，－6)关于直线y ＝－x 的对称点(6,0)在直线y ＝ax ＋2上，所以6a ＋2＝0，所以a ＝－13. 二、填空题 9．(2021·南昌联考)已知直线l 1：y ＝2x ，则过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心且与直线l 1垂直的直线l 2的方程为________．答案 x ＋2y －3＝0解析 由题意可知圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，所以圆的圆心坐标为(－1,2)，由已知得直线l 2的斜率k ＝－12，所以直线l 2的方程为y －2＝－12(x ＋1)，即x ＋2y －3＝0. 10．直线x －2y －3＝0关于定点M (－2,1)对称的直线方程是________．答案 x －2y ＋11＝0解析 设所求直线上任一点(x ，y )，则关于M (－2,1)的对称点(－4－x,2－y )在已知直线上，∴所求直线方程为(－4－x )－2(2－y )－3＝0，即x －2y ＋11＝0.11．若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则PQ 的最小值为________．答案 2910解析 因为36＝48≠－125，所以两直线平行， 将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910. 12．以点A (4,1)，B (1,5)，C (－3,2)，D (0，－2)为顶点的四边形ABCD 的面积为________． 答案 25解析 因为k AB ＝5－11－4＝－43，k DC ＝2－－2－3－0＝－43.k AD ＝－2－10－4＝34，k BC ＝2－5－3－1＝34. 则k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，所以四边形ABCD 为平行四边形．又k AD ·k AB ＝－1，即AD ⊥AB ，故四边形ABCD 为矩形．故S 四边形ABCD ＝|AB |·|AD |＝1－42＋5－12×0－42＋－2－12＝25.B 级 能力提升13．设△ABC 的一个顶点是A (3，－1)，∠B ，∠C 的平分线的方程分别是x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程是( )A ．y ＝3x ＋5B ．y ＝2x ＋3C ．y ＝2x ＋5D ．y ＝－x 2＋52 答案 C解析 A 关于直线x ＝0的对称点是A ′(－3，－1)，关于直线y ＝x 的对称点是A ″(－1,3)，由角平分线的性质可知，点A ′，A ″均在直线BC 上，所以直线BC 的方程为y ＝2x ＋5.故选C.14．已知点P (－2,0)和直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y －(2＋5λ)＝0(λ∈R)，则点P 到直线l 的距离d 的最大值为( )A ．2 3B ．10C ．14D ．215 答案 B解析 由(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y －(2＋5λ)＝0，得(x ＋y －2)＋λ(3x ＋2y －5)＝0，此方程是过直线x ＋y －2＝0和3x ＋2y －5＝0交点的直线系方程．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，可知两直线的交点为Q (1,1)，故直线l 恒过定点Q (1,1)，如图所示，可知d ＝|PH |≤|PQ |＝10，即d 的最大值为10.故选B.15．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点，若点A (5,0)到直线l 的距离为3，则l 的方程为________．答案 x ＝2或4x －3y －5＝0解析 法一 两直线交点为(2,1)，当斜率不存在时，所求直线方程为x －2＝0， 此时A 到直线l 的距离为3，符合题意；当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －1＝k (x －2)，即kx －y ＋(1－2k )＝0. 由点到线的距离公式得d ＝|5k ＋1－2k |k 2＋1＝3，解得k ＝43，故所求直线方程为4x －3y －5＝0. 综上知，所求直线方程为x －2＝0或4x －3y －5＝0.法二 经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，所以|10＋5λ－5|2＋λ2＋1－2λ2＝3，解得λ＝2或λ＝12. 所以l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.16．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为________． 答案 2解析 因为点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，所以当点P 处的切线和直线y ＝x －2平行时，点P 到直线y ＝x －2的距离最小．因为直线y ＝x －2的斜率等于1，函数y ＝x 2－ln x 的导数y ′＝2x －1x (x >0)，令y ′＝1，可得x ＝1或x ＝－12(舍去)，所以在曲线y ＝x 2－ln x 上与直线y ＝x －2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，所以点P 到直线y ＝x －2的最小距离为 2.。
2023届高考数学一轮复习计划 第四节 直线、平面垂直的判定与性质(共38张PPT)
(2)证明：连接 A1E，B1M，由(1)知 EM∥A1B1， 所以 ED 在平面 EMB1A1 内． 在正方形 CC1B1B 中，由于 F，M 分别是 CC1，BC 的中点，所以由平面几 何知识可得 BF⊥B1M， 又 BF⊥A1B1，B1M∩A1B1＝B1， 所以 BF⊥平面 EMB1A1， 又 DE⊂平面 EMB1A1，所以 BF⊥DE．
3．(多选)如图，已知 PA⊥矩形 ABCD 所在的平面，则下列说法正确
的有
()
A．平面 PAD⊥平面 PAB
B．平面 PAD⊥平面 PCD
C．平面 PBC⊥平面 PAB
D．平面 PBC⊥平面 PCD
解析：由题意 PA⊥矩形 ABCD，所以 PA⊥AB，PA⊥CD，PA⊥BC，又 CD⊥AD，
PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面 PAD，所以 CD⊥平面 PAD，同理可得 AB⊥平面 PAD，
如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°， PA＝AB＝BC，E 是 PC 的中点．证明：
(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面 ABE．
证明：(1)在四棱锥 P-ABCD 中，∵PA⊥底面 ABCD，CD⊂平面 ABCD， ∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，且 PA∩AC＝A，∴CD⊥平面 PAC．又 AE⊂平面 PAC， ∴CD⊥AE． (2)由 PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得 AC＝PA． ∵E 是 PC 的中点，∴AE⊥PC． 由(1)知 AE⊥CD，且 PC∩CD＝C， ∴AE⊥平面 PCD．又 PD⊂平面 PCD，∴AE⊥PD． ∵PA⊥底面 ABCD，AB⊂平面 ABCD，∴PA⊥AB． 又∵AB⊥AD，且 PA∩AD＝A， ∴AB⊥平面 PAD，又 PD⊂平面 PAD，∴AB⊥PD． 又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面 ABE．
两条直线的平行与垂直-高考数学复习PPT
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
一、两条直线平行 1.思考 (1)在平面几何中，两条平行直线被第三条直线所截形成的同位角、内
错角、同旁内角有什么关系？ 提示 两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行， 同旁内角互补. (2)平面中的两条平行直线被x轴所截形成的同位角相等，而倾斜角是一对同 位角，因此可以得出什么结论？ 提示 两直线平行，倾斜角相等.
两条直线的平行与垂直
索引
课标要求 1.理解两条直线平行与垂直的判定条件.2.能应用两条直线平行或垂 直解决有关问题.
素养要求
通过学习两条直线平行与垂直的判定，提升数学抽象、数学运算及 逻辑推理素养.
内容 索引
问题导学预习教材 必备知识探究
互动合作研析题型 关键能力提升
拓展延伸分层精练 核心素养达成
索引
训练2 判断下列各组中的直线l1与l2是否垂直. (1)l1经过点A(－1，－2)，B(1，2)，l2经过点M(－2，－1)，N(2，1)； 解 直线 l1 的斜率 k1＝21－－（（－－21））＝2，直线 l2 的斜率 k2＝12－ －（ （－ －12） ）＝12， k1k2＝1≠－1，故 l1 与 l2 不垂直.
索引
(2)l1 的倾斜角为 60°，l2 经过点 M(3，2 3)，N(－2，－3 3). (3)l1：x－y＋2＝0，l2：2x－2y＋4＝0. 解 (2)由题意知 k1＝tan 60°＝ 3，k2＝－3－23－ －32 3＝ 3. 因为 k1＝k2，所以 l1∥l2 或 l1 与 l2 重合. (3)l1的方程可变形为y＝x＋2，l2的方程可变形为y＝x＋2，所以直线l1与l2重合.
两条直线的平行与垂直知识点
两条直线的平行与垂直知识点
嘿，咱今天就来好好唠唠两条直线的平行与垂直这些知识点哈！你想啊，两条直线，它们可以像好朋友一样平行地向前走，谁也不碍着谁，多和谐呀！比如说，那马路上的两条白色实线，不就是平行的嘛，它们一直延伸，指引着车辆有序行驶。
然后呢，还有垂直！两条直线垂直那可就厉害啦，就像两个对手在那儿较劲儿！给你举个例子，那房子的墙角，不就是两条直线垂直相交嘛！这多明显呀。
咱说平行这事儿，两条直线平行，它们的斜率那可是相等的哦！这就好比两个人走路的速度一样，才能一直保持平行呀。
要是有一天其中一个加速或者减速了，那可就不平行啦。
就像你和你朋友一起走，你突然跑起来了，那你们不就错开了嘛，哈哈！
再说说垂直，两条直线垂直的时候，它们的斜率相乘可是等于-1 呀！
这就好像两个力量相互抗衡，彼此制约。
你想想看，拔河比赛的时候，两边的力量不就是这样相互垂直对抗的嘛。
哎呀呀，这些知识点是不是超级有趣呀？懂了这些，你再去看那些直线呀，就觉得特别有意思啦！你就会发现，生活中到处都有这些平行和垂直的影子呢！它们就像是数学世界里的小秘密，等着我们去发现和探索！所以呢，一定要好好掌握这些知识点呀，对你以后学习和理解更多的数学知识可有大帮助呢！两条直线都有这么多奇妙之处，数学的世界真是太丰富多彩啦！。
直线平行公式和垂直公式
直线平行公式和垂直公式直线是数学中的基本概念，它是由无数个点构成的一条无限长的线段。
在几何学中，我们经常需要研究直线的性质和特征，以便更好地理解和应用它们。
其中，直线的平行和垂直关系是比较重要的概念，本文将介绍直线平行公式和垂直公式的定义、性质和应用。
一、直线平行公式1.定义两条直线如果在同一平面内，且不存在交点，那么它们就是平行的。
平行的两条直线具有以下性质：它们的斜率相等，但截距不一定相等。
2.公式设直线L1的方程为y=k1x+b1，直线L2的方程为y=k2x+b2，且L1与L2平行，则有：k1=k2例如，直线y=2x+1与直线y=2x+3就是平行的，因为它们的斜率相等。
3.应用直线平行公式在几何学和物理学中有广泛的应用。
例如，在平面几何中，我们可以利用直线平行公式来判断两条直线是否平行，从而推导出一些重要的定理，如平行线之间的夹角定理、平行线之间的比例定理等。
在物理学中，我们可以利用直线平行公式来研究光线的传播和反射，从而推导出光学定律。
二、直线垂直公式1.定义两条直线如果在同一平面内，且它们的交角为90度，那么它们就是垂直的。
垂直的两条直线具有以下性质：它们的斜率互为相反数。
2.公式设直线L1的方程为y=k1x+b1，直线L2的方程为y=k2x+b2，且L1与L2垂直，则有：k1=-1/k2例如，直线y=2x+1与直线y=-1/2x+3就是垂直的，因为它们的斜率互为相反数。
3.应用直线垂直公式在几何学和物理学中同样有广泛的应用。
例如，在平面几何中，我们可以利用直线垂直公式来判断两条直线是否垂直，从而推导出一些重要的定理，如垂直线之间的夹角定理、垂直线之间的比例定理等。
在物理学中，我们可以利用直线垂直公式来研究力的作用和力矩的计算，从而推导出牛顿定律和力学定律。
总之，直线平行公式和垂直公式是数学中非常重要的概念，它们具有广泛的应用价值，能够帮助我们更好地理解和应用直线的性质和特征。
因此，我们应该认真学习和掌握这些公式，以便在实际应用中能够灵活运用。
两条直线平行和垂直的定义和判定
两条直线平行和垂直的定义和判定在数学的世界里，平行和垂直就像是朋友和对手，各自都有自己的特性和定义。
咱们说说平行线。
想象一下，两条平行线就像是两位志同道合的朋友，永远不相遇，永远在同一条跑道上。
无论你走多远，它们都不会碰面，保持着相同的距离，这就好比你和你的好朋友，走在同一条街上，不管路有多长，始终有一米的“私人空间”。
平行线的定义就是：在同一个平面内，永远不交叉的两条线。
听起来简单吧？对，就是这么简单。
咱们得聊聊垂直线。
垂直线就像是两个人的精彩碰撞，想象一下你和朋友在跳舞，一个人转个身，正好和另一个人形成了个十字，简直太完美了！垂直线的定义是这样的：两条线在一个点相交，形成90度的角。
这个角就像是交响乐中的高兴部分，瞬间让人心潮澎湃，仿佛所有的气氛都被点燃了。
它们在空间里显得如此特别，就像是一对情侣，相互依偎，形成美丽的交汇。
如何判断两条线是否平行呢？有很多方法。
最简单的就是看它们的斜率。
如果两条线的斜率完全相同，那它们就是一对亲密的平行线，永远不分开。
就像你们几个朋友，大家都喜欢同样的事情，总是一起做。
图形化的方法也很有趣，画出来的两条线，看看它们的延伸线是否交叉。
如果它们总是平行，那么恭喜你，你发现了一对好朋友。
说到垂直线，判断的方法也不复杂。
你可以通过它们的斜率来判断。
如果一条线的斜率是另一条线的负倒数，那就意味着它们在某个点相交，形成了90度的角。
就像你跟朋友的默契配合，瞬间切换舞步，碰撞出新的火花。
简单来说，搞清楚这两条线的关系，就能知道它们是平行的还是垂直的。
此外，图形的直观性让这些概念更加易懂。
拿个纸笔，画出几条线，看看它们的相互关系，心里会有种“哦，原来是这样”的感觉。
无论是数学课上，还是生活中，理解平行和垂直的概念都能让你在图形的世界里游刃有余。
当我们深入到这两个概念的核心，平行线和垂直线的魅力就显现出来了。
它们不仅仅是数学符号，更是生活中的真实反映。
想想那些走在同一路上的朋友，想想在十字路口相遇的人。
高中数学一轮复习微专题第17季直线：第4节 两条直线平行与垂直
第4节 两条直线平行与垂直【基础知识】1．两直线的平行关系(1) 对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率为12,k k ，有1212//l l k k ⇔=.(2)对于两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，有1212211221//0,0l l A B A B AC A C ⇔-=-≠.2．两条直线的垂直关系(1) 对于两条直线12,l l ，其斜率为12,k k ，有12121l l k k ⊥⇔=-.(2)对于两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，有1211220l l A B A B ⊥⇔+=.【规律技巧】1.解决两直线的位置关系问题要根据已知直线方程的形式灵活选用相应的条件，显然该题中直接利用一般式方程对应的条件更为简洁．另外利用直线的斜率和截距讨论时，不要忘记斜率不存在时的讨论．2.可将方程化成斜截式，利用斜率和截距进行分析；也可直接利用一般式套用两直线垂直与平行的条件求解．一般式方程化成斜截式方程时，要注意直线的斜率是否存在（即y 的系数是否为0）.【典例讲解】【例1】 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)试判断l 1与l 2是否平行；(2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．法二 由A 1A 2＋B 1B 2＝0，得a ＋2(a －1)＝0⇒a ＝23. 规律方法 (1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．【变式探究】 已知过点A (－2，m )和点B (m ，4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( )A ．－10B ．－2C ．0D ．8【针对训练】1、已知两条直线12:2470,:250l x y l x y -+=-+=．求证：12//l l .【答案】见解析【解析】由于122112212(2)(4)10,25170A B A B AC A C -=⨯---⨯=-=⨯-⨯≠，所以12//l l .2、 若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于 .【答案】2a =-3、已知两条直线12:2470,:250l x y l x y -+=++=．求证：12l l ⊥．【答案】见解析【解析】因为112222(4)10A B A B +=⨯+-⨯=，所以12l l ⊥．4、已知直线1:sin 10l x y θ+-=，2:2sin 10l x y θ++=，若12//l l ，则θ= ． 【答案】()4k k Z πθπ=±∉【综合点评】给定两条直线的方程，可以判断两条直线是否平行、相交或垂直.若是告诉我们两条直线平行或是垂直，则可得两直线的斜率间的关系．【巩固提升】1．直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0 解析 由题意知，直线l 的斜率是－32，因此直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.答案 A2．已知两条直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a ＝ ( )A ．－1B ．2C ．0或－2D ．－1或23．已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________．解析 由两直线垂直的条件得2a ＋3(a －1)＝0，解得a ＝35. 答案 354．已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，求m 的值，使得：(1)l 1与l 2相交；(2)l 1⊥l 2；(3)l 1∥l 2；(4)l 1，l 2重合．5．已知△ABC 的顶点A (5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．6.过点)0,1(且与直线220x y --=平行的直线方程是（ ）A.012=-+y xB.012=--y xC.022=-+y xD.012=+-y x【答案】B7. 已知直线01=-+y ax 与直线01=-+ay x 互相垂直，则=a （ ）A ．1或1-B ．1C ．1-D ．0【答案】D。
两直线平行与垂直的判定公式
两直线平行与垂直的判定公式平行与垂直是直线相对关系中的两种特殊情况。
在解决几何题目和实际应用中，我们经常需要判断两条直线是否平行或垂直。
本文将为您介绍两直线平行与垂直的判定公式。
两条直线平行的判定条件是：它们的斜率相等。
直线的斜率表示直线在坐标平面上的倾斜程度，斜率相等就意味着两条直线的倾斜程度相同，即它们平行。
设直线AB的斜率为k1，直线CD的斜率为k2，则有以下公式可以用来判断两条直线是否平行：k1=k2其中，斜率的计算公式为：k=(y2-y1)/(x2-x1)其中，(x1,y1)和(x2,y2)是直线上任意两个点的坐标。
举个例子来说明：设直线AB的两个点的坐标分别是A(x1,y1)和B(x2,y2)，直线CD的两个点的坐标分别是C(x3,y3)和D(x4,y4)。
首先计算直线AB和CD的斜率：k1=(y2-y1)/(x2-x1)k2=(y4-y3)/(x4-x3)然后比较斜率，如果k1=k2，则两条直线平行。
两条直线垂直的判定条件是：它们的斜率的乘积等于-1、这是因为当两条直线互相垂直时，它们的斜率之间具有这样的关系。
设直线AB的斜率为k1，直线CD的斜率为k2，则有以下公式可以用来判断两条直线是否垂直：k1*k2=-1举个例子来说明：设直线AB的两个点的坐标分别是A(x1,y1)和B(x2,y2)，直线CD的两个点的坐标分别是C(x3,y3)和D(x4,y4)。
首先计算直线AB和CD的斜率：k1=(y2-y1)/(x2-x1)k2=(y4-y3)/(x4-x3)然后计算斜率的乘积，如果k1*k2=-1，则两条直线垂直。
需要注意的是，当一条直线的斜率为0时，它与x轴平行；当一条直线的斜率不存在时，它与y轴平行。
总结一下，平行直线的判定公式为k1=k2，垂直直线的判定公式为k1*k2=-1、掌握了这两个公式，我们可以准确地判断两条直线的相对关系，以便于解决几何题目和实际问题。
高中数学复习课件-两条直线的平行与垂直
数学应用
(3)已知直线l 与直线l：3x＋4y－12＝0互 相垂直，且与坐标轴围成的三角形面积为 6，求直线l 的方程．
数学应用
例2．已知三角形的三个顶点分别为 A(2，4)，B(1，－2)，C(－2，3)，求： AC边上的高BE所在直线的方程.
小结
1．利用两直线的斜率关系判断两直线的垂直关系．
②l1，l2中有一条直线斜率不存在，
则另一条斜率为0．yΒιβλιοθήκη l2l2 yO
x
O
l1
x l1
数学应用
例1．已知四点A(5，3)，B(10，6)， C(3，－4)，D(－6，11).
求证：AB⊥CD.
变 (A1()3式已a，练知－习直2：线)，l1的B(斜0，率ak2＋1＝1)43，，且直l1⊥线ll22，经求过实点数 a的值．
2．利用两直线的一般式方程判断两直线的平行关系. l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， l1∥l2 A1B2－B1A2＝0，且A1C2－C1A2≠0或B1C2－B2C1≠0． l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0．
3．利用直线系解题 已知l1∥l2，且l1的方程为Ax＋By＋C1＝0，则设l2的方程为Ax＋By ＋C＝0(C ≠C) ，
数学建构
两直线垂直． 1．利用两直线的斜率关系判断两直线的垂直关系.
已知直线l1⊥l2， ①若l1，l2的斜率均存在，设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2
则k1·k2＝－1；
两条直线的平行与垂直
复习回顾
1．利用两直线的斜率关系判断两直线的平行关系 ①斜率存在， l1∥l2 k1＝k2，且b1≠b2 ； ②斜率都不存在． 注：若用斜率判断，须对斜率的存在性加以分类讨论．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第4节 两条直线平行与垂直
【基础知识】
1．两直线的平行关系
(1) 对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率为12,k k ，有1212//l l k k ⇔=.
(2)对于两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，有
1212211221//0,0l l A B A B AC A C ⇔-=-≠.
2．两条直线的垂直关系
(1) 对于两条直线12,l l ，其斜率为12,k k ，有12121l l k k ⊥⇔=-.
(2)对于两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，有
1211220l l A B A B ⊥⇔+=.
【规律技巧】
1.解决两直线的位置关系问题要根据已知直线方程的形式灵活选用相应的条件，显然该题中直接利用一般式方程对应的条件更为简洁．另外利用直线的斜率和截距讨论时，不要忘记斜率不存在时的讨论．
2.可将方程化成斜截式，利用斜率和截距进行分析；也可直接利用一般式套用两直线垂直与平行的条件求解．一般式方程化成斜截式方程时，要注意直线的斜率是否存在（即y 的系数是否为0）.
【典例讲解】
【例1】 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.
(1)试判断l 1与l 2是否平行；
(2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．
法二 由A 1A 2＋B 1B 2＝0，得a ＋2(a －1)＝0⇒a ＝23
. 规律方法 (1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
【变式探究】 已知过点A (－2，m )和点B (m ，4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( )
A ．－10
B ．－2
C ．0
D ．8
【针对训练】
1、已知两条直线12:2470,:250l x y l x y -+=-+=．求证：12//l l .
【答案】见解析
【解析】由于122112212(2)(4)10,25170A B A B AC A C -=⨯---⨯=-=⨯-⨯≠，所以12//l l .
2、 若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于 .
【答案】2a =-
3、已知两条直线12:2470,:250l x y l x y -+=++=．求证：12l l ⊥．
【答案】见解析
【解析】因为112222(4)10A B A B +=⨯+-⨯=，所以12l l ⊥．
4、已知直线1:sin 10l x y θ+-=，2:2sin 10l x y θ++=，若12//l l ，则θ= ． 【答案】()4k k Z πθπ=±
∉
【综合点评】
给定两条直线的方程，可以判断两条直线是否平行、相交或垂直.若是告诉我们两条直线平行或是垂直，则可得两直线的斜率间的关系．
【巩固提升】
1．直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是
( )
A ．3x ＋2y －1＝0
B ．3x ＋2y ＋7＝0
C ．2x －3y ＋5＝0
D ．2x －3y ＋8＝0 解析 由题意知，直线l 的斜率是－32，因此直线l 的方程为y －2＝－32
(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.
答案 A
2．已知两条直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a ＝ ( )
A ．－1
B ．2
C ．0或－2
D ．－1或2
3．已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________．
解析 由两直线垂直的条件得2a ＋3(a －1)＝0，
解得a ＝35
. 答案 35
4．已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，求m 的值，使得：
(1)l 1与l 2相交；(2)l 1⊥l 2；(3)l 1∥l 2；(4)l 1，l 2重合．
5．已知△ABC 的顶点A (5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．
6.过点)0,1(且与直线220x y --=平行的直线方程是（ ）
A.012=-+y x
B.012=--y x
C.022=-+y x
D.012=+-y x
【答案】B
7. 已知直线01=-+y ax 与直线01=-+ay x 互相垂直，则=a （ ）
A ．1或1-
B ．1
C ．1-
D ．0
【答案】D。