函数的定义域与思维品质
初中政治互动与开放式教学策略的研究
来 ，其实很简单，只要使用 表示 的各个变量均 令 ｕ＝ｘ＇－＋２ｘ，知在 ∈（一 ，－２）￣ＩＮ， 为减 育 出版社 １９９３． ，
有意义即可 。 ‘ ．
：函数 ，在 ∈（０，＋ ）上时 ，“为增 函数 。
［３］庄亚栋主编
．
高 中数学教与学（９９．２、
此题体现了学生解题思维的严密性。 ； 又‘· ）＝ｌ。ｇ 在［０，＋ ）是增函数。 ；９９．６）．扬州：中学数学教与学编辑部出版．１９９９．
； 此题体现学生解题思维的敏捷性。
解 ：设矩形的宽为 米 ，则 长为（三一 ）米 ，： 此题体现 了学生解题思维 的批判性 。
：
综上所 述
，
在求解函数 函数关系式、最值
由题意得：
三、函数单调性与定义域
ｌｌ（值域）、单调性、奇偶性等问题中，若能精细地
．Ｓ （三一 ）
： 函数单调性是 函数 非常重要 的性质之 一 ，：检查思维过 程， 思辨 函数定义域有无改变（指对
例 １：一段长为 ￡米 的篱笆围成一个一边
以上例子说 明，变量的允许值范围是何 等
：不关 于原点对称
，
所 以不用奇偶性定义进行判
靠墙酌矩形菜园，问这个矩形的长宽各为多少 ：的重要，换元后必须标明换元的范围才能保证 ：断也可知此函数是非奇非偶函数。
时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 燹彤是等价变彤。
求函数的关系式时必须要考虑所求 函数关系式的 １在［ｏ，＋ ）上是增 函数 ，所 以当 ｔ－－０时 ，ｙｍ＝ｌ。
错解 ：．．：Ｒ－ｘ）： ）．．．是奇 函数。
定义域 ，否则所求函数关系式可能是错误。如： ： 故所求的函数值域是【１＇＋ａ。）。
函数定义域与思维品质
函数定义域与思维品质函数是近代数学中的一个重要概念。
它是一种将自变量映射到因变量上的表达式，通常用f(x)来表示。
在函数中，自变量x的取值范围被称为定义域。
定义域对于函数的性质和应用有着重要的影响。
同时，函数定义域的探究也涉及到了人类思维品质的多个方面。
定义域是函数的重要特征之一。
定义域的概念在人类发展史上一直存在，但是它的最早形式，可以追溯到古希腊的哲学家。
例如，关于物理世界的形而上学分析，是关于表象和实在的分析。
类似地，关于概念世界的分析，是关于其内涵和外延的分析，而定义域就是这一分析的重要内容。
在古代，关于定义域的思考，显然是由对现实世界中的对象和属性进行分类和归纳而来的。
然而，定义域的概念不仅仅在哲学中存在，它也在近代数学中得到了广泛的应用。
由于其在数学中的重要性，许多数学家开始思考如何更好地描述函数的定义域。
他们开发了各种不同的工具和方法，如集合论、拓扑学和函数论等，这些工具使得我们能够更加深入地理解函数定义域的性质。
数学家们在设计这些工具的时候，不仅需要考虑如何形式化地描述定义域，还需要考虑如何进一步拓展函数的定义域，以满足数学和科学应用的需求。
例如，在微积分中，为了计算曲线的长度和面积等重要量，需要更加广泛地定义函数的定义域。
因此，微积分中的函数定义域通常包含无理数和复数等更广泛的数域，以满足计算的要求。
这样，我们就可以使用微积分来解决各种实际的物理和应用问题。
除了在数学中的应用外，函数定义域还涉及到了人类思维品质的多个方面。
首先，函数定义域需要我们精细地进行分类和归纳工作，这种分类和归纳思维是人类长期发展的结果。
其次，在拓展函数定义域的过程中，我们需要开拓新视野和胆大心细的创造力，这种创造性思维也是人类进步的重要保障。
总之，函数定义域不仅仅是数学中的一个概念，也是人类思维品质的体现。
我们需要在实际应用中不断拓展和深化对它的理解和应用，同时，也需要在日常生活中通过分类和归纳思维和创造性思维等方面的训练，不断提升我们的思维品质。
浅析函数的定义域与思维品质
浅析函数的定义域与思维品质思维品质是指个体思维活动特殊性的外部表现，包括思维的严密性、思维的灵活性、思维的深刻性、思维的批判性和思维的敏捷性等品质。
函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。
函数的定义域是构成函数的两大要素之一。
函数的定义域(或变量的允许值范围)似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途。
在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的数学思维品质是十分有益的。
一、函数关系式与定义域函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误的。
如：例1.某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式。
解：设矩形的长为x米，则宽为(50-x)米。
由题意得：S=x（50-x）。
故函数关系式为：S=x（50-x）。
如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的范围，也就说学生的解题思路不够严密。
因为当自变量x取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量的范围：0<x<50。
即：函数关系式为S=x（50-x）（0<x<50）。
这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。
若考虑不到这一点，就体现出学生思维缺乏严密性；若注意到了定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好的思维的严密性。
二、函数最值与定义域函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大(小)值的问题。
如果不注意定义域，将会导致最值的错误。
如：以上例子说明了变量的允许取值范围是何等的重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。
也就是说，学生若能在解好题目后，检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便能体现出良好的思维批判性。
函数定义域与思维品质
函数定义域与思维品质函数是数学中的一个重要概念，它描述了输入与输出之间的关系。
在函数中，定义域是指所有可以作为输入的值的集合，而值域则是所有对应的输出值的集合。
函数的定义域通常是由函数的表达式或图像决定的，它决定了函数可以接受的输入范围。
在数学中，函数的定义域通常是有限的，但在现实生活中，函数的定义域可能是无限的，甚至是整个实数集。
思维品质是指一个人的思维特点和品质，它包括了思维的敏锐度、逻辑思维能力、创造性思维、批判性思维等方面的素质。
思维品质是一个人的思维方式和习惯的体现，它决定了一个人在处理问题和挑战时的表现和结果。
思维品质高的人通常具有灵活的思维方式，善于分析问题和提出解决方案，而思维品质差的人则可能会陷入固化的思维框架，难以应对复杂和新颖的情况。
函数定义域与思维品质之间存在着一定的联系和影响。
函数的定义域决定了函数的输入范围，它决定了函数能够接受的信息和条件。
一个函数的定义域越广，意味着它可以接受更多不同范围的输入，反之亦然。
在这个过程中，对定义域的理解和把握需要一定程度的思维能力和逻辑推理能力。
一个人如果具备较高的思维品质，通常可以更准确地理解和运用函数的定义域，从而更好地把握函数的特点和规律。
函数的定义域也可以反映一个人的思维品质。
一个人能否正确地理解函数的定义域，是否能够准确地把握函数的输入范围，通常会受到他的思维方式和品质的影响。
思维方式灵活、逻辑推理能力强的人，通常能够更好地理解和掌握函数的定义域，而思维方式僵化、逻辑推理能力差的人则可能会有困难。
函数定义域与思维品质的关系还可以从另一个角度来理解。
在数学中，函数的定义域通常用来描述函数的输入范围和条件，它决定了函数的性质和特点。
而思维品质则决定了一个人在处理复杂问题和挑战时的表现和结果。
如果把函数的定义域看作一个“思维空间”，那么一个人的思维品质就会决定他能够在这个空间中游走的范围和深度。
思维品质高的人通常可以更广泛地认识和利用这个“思维空间”，而思维品质差的人则可能会局限于某一小部分空间之中。
函数的定义域对学生思维品质的培养
函数的定义域对学生思维品质的培养作者：裴艳霞来源：《新一代》2014年第02期摘要：函数是高中数学的主线，函数的定义域是构成函数的两大要素之一，在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，可以提高学生质疑辨析能力，有利于培养学生的思维品质，从而不断提高学生思维能力，有利于培养学生思维的严密性、灵活性、深刻性、批判性和敏捷性等品质。
关键词：关系式；最值；单调性；奇偶性；定义域思维品质是指个体思维活动特殊性的外部表现。
它包括思维的严密性、思维的灵活性、思维的深刻性、思维的批判性和思维的敏捷性等品质。
函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。
函数的定义域是构成函数的两大要素之一，函数的定义域（或变量的允许值范围）似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途。
在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的数学思维品质是十分有益的。
一、函数关系式与定义域函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。
这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。
若考虑不到这一点，就体现出学生思维缺乏严密性。
若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。
二、函数最值与定义域初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。
产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化。
这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。
三、函数单调性与定义域函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。
四、函数奇偶性与定义域判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域是否关于原点成中心对称，如果定义域关于原点不对称，则函数就无奇偶性可谈。
否则要用奇偶性定义加以判断。
函数定义域与思维品质
函数定义域与思维品质函数的定义域是指函数中所有可能的输入值的集合，也就是使函数有意义的输入值的范围。
定义域的确定对于理解函数的性质和求解问题非常重要。
在数学中，函数的定义域可以是实数集、有理数集、自然数集、非负数集等不同的数集。
不同的函数可能有不同的定义域。
函数的定义域与思维品质之间存在着一定的关系。
下面将从几个方面探讨这种关系。
1. 逻辑思维能力：确定函数的定义域需要运用逻辑思维的能力。
在确定定义域时，需要根据函数的性质和表达式进行分析推理，以判断哪些值能够使函数有意义。
逻辑思维能力强的人在分析问题时能够更准确地确定函数的定义域。
函数的定义域可以是一段区间或者一个集合，需要运用抽象思维的能力。
抽象思维是指将具体问题抽象成一般概念的能力，将不同的具体问题归纳成一类问题，从而更好地理解问题的本质。
抽象思维能力较强的人在确定函数的定义域时能够更好地抓住问题的关键。
3. 探索精神：在某些情况下，函数的定义域可能并不显而易见，需要通过不断地尝试和探索来确定。
具有探索精神的人在面对这种情况时能够主动地去寻找解决方法，通过试错来确定函数的定义域。
4. 批判性思维：确定函数的定义域时还需要考虑各种限制条件和特殊情况，这就需要运用批判性思维的能力。
批判性思维是指对问题进行全面、深入、客观的分析和评价的能力。
具有批判性思维的人能够更好地考虑到各种情况下函数的定义域的特殊性和复杂性。
函数的定义域与思维品质密切相关。
通过培养和提高逻辑思维能力、抽象思维能力、探索精神和批判性思维等思维品质，能够更好地确定函数的定义域，从而更好地理解和应用函数。
这也对培养学生的数学思维能力和解决问题的能力有着积极的影响。
谈函数定义域与思维品质
故 所 求 舳 数 值域 是［ 埘
剖析： 经换元后，应 有ｆ ０ ，而 函数． ｙ ２ ｔ ＋ ｆ ＋ １ 在［ ０ ， ＋ ∞） 上是增函数
所以当ｔ ＝ ０ 时， ｙ ． ｌ ＿
故所求的函 数值域是［ １ ，＋ ｏ ｏ ） ．
以上 例子 说明 ，变量 的允许 值范 围是何 等的重 要 ，若 能发 现变量 隐含 的取值 范围 ， 精细 地检查解 题思维 的过程 ， 就可 以避免 以上错误 结果 的产 生。 也就 是 说，学 生若 能在 解好 题 目后 ，检 验 已经得 到 的结果 ，善 于找 出和 改 正 自己的错误 ，善于精 细地检 查思维 过程，便 体现 出良好的思 维批 判性 。 四 、函数单调 性与定 义域 函数 单调 性是指 函数在 给定 的定 义域 区间上 函数 自变量增 加时 ，函数 值随着 增减 的情 况 ， 所 以讨论 函数单调性 必须在给 定的定义 域区 间上 进行
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倒３ ＝ 求 函 数ｙ ＝ ４ ｘ 一 ５ ＋ 、 ／ ２ ｘ － ３ 的 值 域．
话 解 ＿ 令ｆ ＝
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谈函数定义域与思维品质
０ ６ ２ １ ５ ０ 河 北省 泊头 市第二 中学 尹 钢
摘 薹 ：思 维品质是 指个体 思维活动特 殊性 的外部表 现。它 包括 思维的严 密性 、思 维的灵 活性、思 维的深刻性 、思维的批 判性和 思维的敏捷 性等品质 。 函数 作为 高 中数 学的主线 ， 贯 穿于整个 高 中数 学的始终 。 函数 的定义域 是构成 函数的 两大要素之 一 ， 函数的 定义域 （ 或变量 的允许值 范 围） 似 乎是非 常简单 的， 然 而在解 决问题 中不加以 注意 ，常 常使人误入 歧途 。 关奠 词 ：函数 关 系 定义域 思维品质
函数定义域与数学思维品质培养
浅谈函数定义域与数学思维品质的培养摘要：函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。
而函数的定义域是构成函数的三大要素之一，函数的定义域似乎是非常简单的，然而在解决实际问题中稍不注意，常常会使人得到错误答案。
数学思维品质是指个体在数学实践或数学训练中所表现出来的思维活动的外部特征，它包括思维的严密性、思维的灵活性、思维的深刻性、思维的批判性和思维的敏捷性等品质。
在数学教学活动中，有意识地加强数学思维品质的培养是数学教学的一个主要目的所在。
下面本人就函数定义域教学与数学思维品质的培养来浅谈自己的看法。
关键词：函数定义域；思维品质；严密性；灵活性；深刻性；批判性；敏捷性一、函数关系式与定义域函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。
例如：例1.现有铝材总长度为6 m，可做一个矩形窗框，求矩形窗框的面积s与其长x的函数关系式。
解：设矩形的长为x m，则宽为（6-x） m，由题意得：s=x（6-x），故函数关系式为：s=x（6-x）。
如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的范围。
也就说学生的解题思路不够严密。
因为当自变量x取负数或不小于6的数时，s的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量x的范围：00）在r上适用，而在指定的定义域区间［n，m］上，它的最值应分如下情况：（1）当- m时，y=f（x）在［n，m］上为单调递减函数，f（x）max=f（n），f（x）min=f（m）；（3）当n≤- ≤m时，y=f（x）在［n，m］上的最值情况是：f（x）min=f（- ）= ，f（x）max=maxf（n），f（m）即最大值是f（n），f（m）中最大的一个值。
故本题还要继续做下去：∵-2≤2≤5∴f（-2）=（-2）2-4×（-2）-3=9f（5）=52-4×5-3=2∴f（x）max=maxf（-2），f（5）=f（-2）=9∴函数y=x2-4x-3在［－2，5］上的最小值是－7，最大值是9。
浅析函数定义域在解题中的重要性
文 化 教ｌ ｉｌ 育
浅析 函数定义域在解题 中的重要性
孔庆 发
（ 尔滨 市建 筑 材料 工业技 工 学校 ， 哈 黑龙 江 哈 尔滨 １０ ０ ） ５０ ０
摘 要： 重点讨论 函数关 系式与定义域的关系， 函数最值 与定义域的关 系， 函数值域与定义域的关系， 函数单调性与定义域的关系， 函数奇偶性
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增函数 ｆｘ ｆＰ ， ） “ｑ ； （ ） （ ）“ｘ ）
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解： 先求定义域 ：
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与定义域的关系。
关键词： 函数最值 ； 函数值 式； 函数单调性 ； 定义域
‘＋ ｘ Ｏ ｘ ２＞ ２ ．＞ 或 ｘ一 ‘ Ｏ ． ｘ ＜２ 函数作 为数学 的主线 ， 贯穿于整个数学 的 （ ） ＿＞ ２ 当一 ｐ时 ，＝ （） Ｉ，】 ｙｆｘ 在 ＿ ｑ上单 调 递 ｐ 函 数定 义 域 为 （ ∞ ，２ ｕ（ ， ∞） 一 一 ） ０＋ 。 始终。函数 的定义域是构成 函数的两大要 素之 （） （ ｆ ） ＝ ｑ ； Ｐ） （ ｆ 令Ｉｘ２． １ Ｚ ｘ 知在 Ｘ 一 一 ） 时 ， 减 ＝＋ ∞，２ 上 Ｅ（ ｕ为 函数 的定义域 （ 或变量 的允 许值范围 ） 似乎 减 函数 ｆｘ ｆ ， ｘ ｌ （ ） 是非常简单的 ， 然而在解决问题 中不加以注意 ， 函数 ， （） ｐ 。 ３ 当 ｓ一 ｑ时 ，＝（ ） Ｉ，］ｌ ｙ ｆｘ 在 ｐｑ － 最 在 ｘ Ｏ，ａ） 时 ， 为 增 函 数 。 ∈（ ＋ 。上 Ｉ １ 常常会使人误人歧途 。在解 函数题中强调定义 值情况是： 域对解题结论的作用 与影响 ，对提 高学生 的数 又 ’ （ ）ｌ ． ｘ ＝ｏ ‘ ｆ ￣ｕ在『， ｍ） ０ ＋ 是增函数。 学思 维 品质 是 十分 有 益 的 。 函数 ｆｘ ＝ｏ２ｘ＋ ｘ 在 （ ＊， ２ 上是 （ ）ｌｇ（ ２ ） 一 一 ） １函数关系式 与定义域 减函数 ， Ｏ ＋ 上是增函数。 在（ ，＊） ｆｘ￣ ｍ ｘ （ ） （ ） 即最大值是 ｆ ）ｆ （ ） ＝ ａ｛ ｐ ， ｑ ） ｆ ｆ ， （ ， ｐ 函数关系式包括定义域和对 应法则 ， 以 所 即函数 ｆｘ ＝ｏ２ｘ＋ ｘ 的单调 递增 区间 （ ）ｌｇ（２２ ） （） ｑ 中最大 的一个值。 在求 函数的关系式时必须要考虑所求 函数关系 （ ＋ ， Ｏ，＊）单调递减区间是（ ０ ，２ 。 一０一 ） 故本题还要继续做下去 ： 式 的定义域 ， 否则所求函数关系式 可能是错误。 如果在做题时 ， 没有在定义域 的两个 区间 ２ ｌ ５ 如： 上分别考虑函数 的单调性 ，就说明学生对函数 ２＝一 ） ２ （２一＝ ３ ）（ ２ ２ × 一 ）３ 一 ＿ 例 １某单位计划建筑一矩形 围墙 ， ： 现有材 单调性的概念一知半解 ， 没有理解 ， 在做 练习或 ｆ５ ＝ Ｚ２ ５ ３ １ （ ）５－ ｘ — ＝ ２ 料 可 筑 墙 的 总 长度 为 ｌＯ 求 矩 形 的 面 积 Ｓ与 Ｏ ｍ， 作业 时 ， 只是对题 型 ， 套公式 ， 而不去领会解题 』ｘ ＝ ｘｆ一 ）ｆ５ １“５ ＝ ２ （ ） ｍａ｛ ２ ， ）＝ ） １ （ （ 矩形长 ｘ的函数关系式 ？ 方法的实质， 也说明学生的思维缺乏深刻性。 函数 ｙｘ ｘ ３在 【２ ５上 的最 小 值 是 一 ＝ Ｌ２ 一 ＿ ，ｌ 解 ： 矩 形 的 长 为 ｘ米 。 宽 为 （０ Ｘ米 ， 设 则 ５ 一） ５函数奇偶性与定义域 ４ 最大值是 １ 。 ， ２ 由题 意得 ： 判断函数 的奇偶性 ， 应先考虑该函数的定 这 个 例 子 说 明 ，在 函 数 定 义 域 受 到 限 制 Ｓｘ ５ － ） ＝ （０ ｘ 义域区间是否关于坐标原点成中心对称 ，如果 时，若能注意定义域的取值范 围对函数最值的 故 函数关系式为：－ （０ ｘ 。 Ｓ ｘ５ － ） 定义域区间是关于坐标原点不成 中心对称 ， 则 影 响 ， 在解 题 过 程 中加 以 注意 ， 体 现 出 学 生 并 便 如果解题到此为止 ， 则本题的 函数关系式 函数就无奇偶性可谈 。否则要用奇偶性定义加 思 维 的 灵 活性 。 还欠完整 ， 缺少 自变量 ｘ的范围。 也就说学生 的 以判断。如： ３函数值域与定义域 解题思路不够严密。因为 当自变量 ｘ 取负数或 例 ５ 判断函数 ｙ ｘ， 卜１３的奇偶性。 ： ＿，ｘ ，】 函数的值域是该 函数全体函数值 的集 合 ， 不小 于 ５ ０的数时 ， 的值是负数 ，即矩形的面 ｓ 解 ：。 ‘ ． ２∈卜ｌ ３ 而一 ， １ ２硭卜１ ３ ，１ 当定义域 和对应法则确定 ， 函数值也随之而定 。 积为负数 ， 这与实 际问题相矛盾 ， 以还应补上 所 定义域区间［１ ３关于坐标原点不对称 － ，１ 因此在求 函数值域时， 应注意函数定义域 。如 ： 自变量 ｘ的范围 ：＜＜ ０ Ｏｘ５。 函数 ｙｘ， ∈卜１３是非奇非偶函数 。 ＝ ，Ｘ ，】 例 ３ 求函数 ｙ ４ 一 ＋ ／ ｉ 的值域 ： ＝ ｘ ５ 、 二 即： 函数关 系式为 ：＝ （０ ｘ （ ＜ ＜ Ｏ Ｓ ｘ５ － ）Ｏ ｘ ５ ） 若学生像以上这样 的过程解完这道题 目， 错解 ： ｔ、 乏二 令 ＝ ／ ｉ 则 ２＝２３ ｘｔ ＿ 这个例子说明 ， 函数方法解决 实际问 在用 就很好地体现 出学生解题思维 的敏捷性 题时 ，必 须要注意到函数定义域的取值范围对 如果学生不注意 函数定义域 ， 那么判断 函 ２ ） ＋２ ｔ＝（｝） （ ３ ５ｔｔ＋ ２＋ ｔ 一 ＝ｚ １ ｔ ＋ ＋ ＋ 实际问题 的影响 。 若考虑不到这一点 ， 就体现 出 数的奇偶性得 出如下错误结论 ： ７ 学生思维 缺乏严密性。 注意到定义域的变化， 若 ｆ一 ）（ ｘ 一 一 ） （ｘ ＝ 一 ）： ｘ “ｘ ＝ ８ 就说明学生 的解题思维过程体现出较好思维 的 函 数 ｙ ｘ，∈卜 １３是 奇 函数 。 ＝ ｘ ，１ 严 密性 。 错 误剖 析 ： 因为 以上 做 法 是 没 有 判 断 该 函 故所 求的函 数值域是 ｝， 。 ［ ＋ ） ２ 函数 最 值 与定 义 域 数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前 剖析 ： 经换元后 ， 应有 ｔ ， － 而函数 ｙ ２ ＞０ ＝ｔ ＋ 函数 的最值是 指函数在 给定的定 义域区 提下直接加以判断所造成 ，这是学生极易忽视 ｔｌ Ｏ ＋ 上是增 函数 ， ＋ 在ｆ， ｍ） 间上能否取到最大（ ） 小 值的问题 。如果不注意 的步骤 ， 也是造成结论错误的原因。 所 以当 ｔｏ时， １ ＝ ｙ 。 定 义域 ， 将会导致最值的错误。如 ： 综上所 述 ， 在求 解函数 函数关 系式 、 值 最 故所求的函数值域是『， ＊） １＋ 。 例 ２ 求 函数 ｙ ｘ － ｘ ３ 卜 ，】 的最 ： ＝２ ２ 一 在 ２ ５上 值 、 单 奇偶性等问题 中， 若能精 细地 以上例 子说明 ， 变量的允许值范 围是何等 （ 域 ） 调性 、 值。 思辨函数定义域有无改变（ 指对 的重要 ， 若能发现变量 隐含的取值范围， 精细地 检查思维过程 ， 解 ： ｘ ｘ ３ （ ２２＋ ） 一 ｘ １ ４ ’ ２ － ＝ ｘ＿ｘ １ （一 ） ． Ｈ 定义域为 Ｒ来说 ）对解题结果有无影 响， ， 就能 检查 解 题 思 维 的过 程 ，就 可 以避 免 以上 错 误 结 当 ｘ ｌ ， ＿ ＝ 时 ｙ ４ 提高学生质疑辨析能力 ， 有利于培养学生 的思 果 的产生。也就是 说， 学生若能在解好题 目后 ， 初 看结论 ， 题似乎没 有最大值 ， 本 只有最 维品质 ， 从而不断提高学生思维能力 ， 而有利 进 检 验 已经 得 到 的结 果 ，善 于找 出 和改 正 自己的 小值。产生这种错误的根 源在于学生是按照求 于培养学生思维的创造性 。 错误 ， 善于精细地检查思维过程 ， 便体现 出良好 二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件 的思 维 批判 性 。 发生变化 。 这是思维呆板性 的一种表现， 也说明 ４ 函数单调性与定义域 学生思维缺乏灵活性 。 函数单调性是 指 函数 在给定 的定 义域 区 其实以上结论只是对二次 函数 ｙ ａ ｂ十 ＝ ｘ ｘ ＋ 间上函数 自变量增加时 ，函数值随着增 减的情 ｃａ ｏ 在 Ｒ上适用 ， （＞ ） 而在指定的定义域区问【， ｐ 况 ，所 以讨 论 函 数单 调 性 必 须 在 给定 的定 义域 ｑ ， 】 它的最值应分如下情况 ： 上 区间上进行。如 ： Ｌ （） （ １ 当一 ｐ时 ，－（ ） ［，】 ｙ－ ｘ在 ｐｑ上单调递 ｆ 例 ４ 指 出函数 ｆｘ ＝ｏ ｘ＋ ｘ 的单调 区 ： （ ） Ｉ （ ２ ）
函数教学中培养学生思维的严密性
函数教学中培养学生思维的严密性作者：***来源：《中学教学参考·理科版》2020年第12期[摘要]函数教学中，培养高中生优秀思维品质是新课标的要求.巧妙地将函数教学和培养学生数学思维品质联系在一起并有序开展教学活动很有意义.[关键词]函数教学;思维品质;培养[中图分类号]G633.6[文献标识码] A[文章编号] 1674-6058（ 2020） 35-0008-03一、培养中学生数学思维品质的紧迫性人们常说“数学是训练思维的体操，学习数学可以锻炼人的思维”.从评价中可以看出，学习数学对改善思维品质的积极作用.反之，学生数学思维品质（尤其是逻辑思维严密性）的优劣也直接影响数学学习的效果，二者密切相关，中学生逻辑思维严密性的差异主要体现在解题上.解题框架明确，分类讨论能考虑到所有情况且互不重叠，推理过程严谨、数学用语使用规范，条理清晰，结论明确，这些都是思维严密的具体体现.良好的思维品质可以高效地服务学习和生活，学生优异成绩的背后更离不开严密的思维.《普通高中数学课程标准（2017年版）》中明确提出，中国学生发展的核心是人的全面发展，具体包括文化基础、自主发展、社会参与等三个方面，在“文化基础”层面，着重提到要培养学生理性思维、批判质疑、勇于探究的科学精神，这就要求教师在教学过程中注重培养学生思维的严密性、批判性和创新性等思维品质.在“自主发展”和“社会参与”层面也对学生提出了勤于反思以及实践创新的要求，同样也要求教师注重并加快对学生的数学思维品质的培养.总之，在新课改背景下，教师需将学生思维品质的培养放到与传授专业知识同等的地位上来，二、函数定义域案例教学中培养学生思维的严密性函数定义域直接影响单调区间、最值、优化问题最优解等各个方面，函数教学的基础是定义域教学.[例1]（2015.湖北文科，6）函数厂（x）=√4一-|x|+“粗心造成的”“我以为它可以直接约”等，这些则是学生在进行错误剖析时口述的各种原因.那么，上述事例带给我们教师什么启示呢？首先，备课阶段要精心准备，设想学生会出现哪些错误，如何引导学生分析题中隐含的条件（尤其是“陷阱”），以何种方式点拨、甄选变式题，如何调动学生学习积极性，等等，其次，在课堂上，对于学生可能出现的各种错误要心中有数，并在充分把握课堂整体节奏的前提下留出时间给学生独立演算，和学生一起见证这些“错误”的到来，对于能通过提示点拨达到教学效果的无须多说，把主动权交给学生，以培养学生自主学习和反思总结的能力，最后，课后还需加强对个别学生的单独辅导，帮助其加深理解，形成深刻印象，也帮助学生提振信心，增强学习兴趣.结合上述两个案例不难看出，在教学过程中（这里不仅限于函数定义域教学）教师应重视自主学习、合作学习等，鼓励和支持学生通过这些学习方式获取知识，通过自主学习掌握的知识印象更深刻，尤其是对改善自身思维严密性非常有益，此外，在教学活动中，教师除了示范正确的解题过程之外，还应帮助学生发现和认识错误，加强反思总结，归纳易错的“陷阱”，并利用一题多解、一题多变的方式培养学生的发散性思维.从而达到改善学生思维严密性的目的，三、抽象函数不等式案例教学中培养学生思维的严密性在抽象函数的应用专题课上，笔者首先介绍了抽象函数定义域的求解方法，再引入本题作为拓展教学的例题.课堂上，笔者让学生训练本题并就学生的解题结果进行了统计.经统计发现，半数以上学生存在两个方面的问题：一是上述五个不等式罗列不全，漏掉了前两个不等式;二是虽能列出不等式组，但求解不等式组出错，通过课堂反馈不难发现，出现上述错误的学生并非完全不会，而是知其一不知其二，没能做到依据客观实际情况的变化而及时改变解决问题的思路，忽略了抽象函数的定义域限制导致出错，这反映出思维不严谨.此外，部分学生的计算能力还有待提升，对此，教师有必要在课堂上强调抽象函数的定义域对不等式解集的影响，引导学生归纳和记忆高中数学各类函数的定义域并做变式训练加深理解，形成自身知识体系，以此培养学生思维的敏捷性和严密性.对于数学运算能力偏弱导致求解根式不等式和求交集运算出错的问题，教师引导学生发现错误反思错因、示范正确解题过程、课后反复训练提升学生数学运算能力都是必不可少的，数学思维的严密性离不开反复地、有针对性地练习，通过训练形成的深刻印象会很大程度上帮助学生准确快速地解决新问题，改善思维的敏捷性和严密性.四、复合函数单调性案例教学中培养学生思维的严密性有近半学生求解本题出错，或是不理解“同增异减”性质而无从下手，或是忽略了“函数单调区间是包含在定义域范围之内的”这一限制条件，思维缺乏严密性，直接得出答案（一1，+∞）.在错题讲解时，笔者并未直接板书正确解题步骤，而是针对学生存在的问题逐个分析，讲解“同增异减”的依据，点出定义域之上才能讨论单调性，之后再由学生完成错题更正.在其后的变式训练中，学生大都能快速准确地解决关于指数函数、对数函数、幂函数与二次函数组成的复合函数单调性问题，这说明经讲解后学生避开了原先的错误，体现出了良好的思维严密性，作为延伸，课堂上笔者给出了如下抽象函数与复合函数的综合题拓展学生思维，优秀思维品质可以高质量地服务学习和生活，学生优异成绩的背后离不开严密的思维，哪些方法可以快速高效地改善高中生的思维品质（尤其是思维的严密性），一直以来都是教育工作者探讨的热点话题.巧用函数教学培养学生思维严密性就是其中一种认可度较高的方法.在新课改背景下，培养学生优秀思维品质更显迫切，作为一线教育工作者，有必要教育学生从思想上意识到培养优秀思维品质的重要性和紧迫性;有必要激发学生学习兴趣，增强学生学习动力;有必要强调反思总结和针对性训练的重要性，学生只有形成深刻印象才能生成自身知识体系;同时教师也要吃透教材，精心准备每一堂课，重视教学方法的选择和例题的甄选，严格把关解题步骤，培养学生良好的学习习惯，进而逐步改善学生的数学思维品质，尤其是改善学生的逻辑思维严密性.[参考文献][1]刘晨亮.“教学合一学案式”教学在高中数学教学中的应用及实践研究[D].武汉：华中师范大学，2011.[2]常春艳.数学反思性教学研究[D].南京：南京师范大学， 2008.[3]韩兆凤.优化教学设计落实高中数学核心素养[J].好家长，2018（73）：134.[4]韓玮.从一则案例谈数学教学中严谨性思维的培养[J].中学数学月刊，2017（ 12）：24-25.[5]孙荣，吴锡梅.函数定义域与思维品质[J].理科考试研究（高中版），2013（11）：17.（责任编辑黄桂坚）。
函数定义域教学与学生思维品质培养
函数定义域教学与学生思维品质培养作者：李新功来源：《数理化学习·教育理论版》2013年第03期摘要：函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终因此，利用函数的定义域培养学生的数学思维品质，十分必要本文通过函数几个重要知识点的教学与函数定义域的关系，探讨了培养学生的思维品质，使得学生的思维品质得到提高，从而提高解题能力关键词：数学教学；函数定义域；思维品质；培养一、函数之解析式与定义域函数解析式包括定义域和对应法则，所以在求函数解析式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误的例等腰三角形的周长是，底边长y是腰长x的函数，写出这个函数解析式解：由题意易得函数解析式为：y=-x但是作为三角形的腰长和底边， x和y 都应该是正数，即而且三角形两边之和大于第三边，所以x>y ，即函数解析式为：很多学生在解这道题时总是写到对应法则时就认为结束了，其实此时本题的函数关系式还欠完整，因为还没有自变量的范围，也就说学生的解题思路不够严密这个例子告诉我们，在用函数方法解决实际问题时，函数定义域应该由问题的实际意义确定在教学中，教师应该引导学生理解并充分认识到应用问题中自变量的实际意义，从而不断提高学生思维品质的严密性二、函数之单调性问题与定义域函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行例指出函数f （x）=log（x+x）的单调区间.如果在做题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明学生对函数单调性的概念一知半解，没有理解，在做练习或作业时，只是对题型，套公式，而不去领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性三、函数之奇偶性问题与定义域判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈否则要用奇偶性定义加以判断例3判断函数y=x3，x∈[-，3]的奇偶性.若学生像以上这样的过程解完这道题目，就很好地体现出学生解题思维的敏捷性如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论：错误剖析：因为以上做法是没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成，这是学生极易忽视的步骤，也是造成结论错误的原因综上所述，在求解函数函数关系式、单调性、奇偶性等问题中，若能精细地检查思维过程，思辨函数定义域有无改变（指对定义域为R来说），对解题结果有无影响，就能提高学生质疑辨析能力，有利于培养学生的思维品质，从而不断提高学生思维能力，进而有利于培养学生思维的创造性当然，函数的问题不仅于此，它还有很多更为精彩和深刻的内容，函数的定义域只是作为一个基础如果基础没有掌握好，对于整个函数内容的良好掌握肯定要产生很大的影响[江苏省句容市实验高级中学（4）]。
在求函数定义域中培养学生的思维品质
ＷＥ Ｉ Ａ Ａ Ｇ Ｎ Ｌ Ｄ ０Ｈ Ｎ
在 求函数定义域 中培 学生的思维 品质
大连 市开发 区第十 高级 中学 赵新 刚
无 批
新 课 标理 念 强 调 知 识 结 构 ” “ 习过 程 ” Ｈ的 在 于发 学 ， 学生 的思 维能 力 。 只有 把 掌握 知识 、 能 作 为 巾介 来 发 展 学 生 技 的心 维 － 质才 符 合 素 质 教 育 的 荩 奉要 求 。如 何 在 教学 实践 巾 培养 学 生 的思 维 品 质 呢 ？ 在 教学 实 践 巾 作 了一 些探 索 ， 我 下 仅就求函数的定义域的教学实例 ， 谈谈我的做法和体会 。 函数 的定 义 域 是 构 成 函数 的 个 要 素 之 一 ， 数 的 定 义 域ｆ 或变量的允许值范 嗣） 似于是非常简单 的 ， 在解题 巾如 然 果 不 注 重 函数 定 义 域 ， 常常 会 解 题 不 完 整 ， 至 误 人歧 途 。 住 甚 解 函数 题 巾强 调 定 义 域 对 解 题结 论 的作 用 影 响 ，对 提 高 学 生 的数 学 思维 晶质 是 十 分有 益 的 ： 思维 的灵 活 性 心 维 的灵 活 性 是 指 能 够 根据 题 Ｈ条 什 的变 化 ，及 时 的 改 变 先 前思 维 过 程 ， 脱 心 维 心 邢 定 势 ， 找 新 的 解 题途 径 。 在 摆 寻 数 学 学 巾 ， 表现 在 学 生 能 随着 新 条 什 迅 速 确 定 解 题 方 向 ， 有的放矢地转化解题方法 。 例 １求 函数 ｙ ｘ ２一 ： ＝ ２ ｘ ３在Ｉ ２ ５ 的最值． — ＿ ， 错 解 ：． ＝ ２２一 ＝ｘ ２＋ ）４ （ １一 ． ‘ｙ ｘ ｘ ３ （－ ｘ １ ＝ｘ ） ４ ’ － ２ 一 一 ｜当 ｘ １ ， Ｉ－ ＿ ： 时 ｌ４ ＝ 剖 析 ： 看 结 论 ， 题 似 乎 没有 最 大 值 ， 有 最小 值 。 生 初 本 只 产 这 种 错 误 的 根 源 在 于 学 生 是 按 照 求 二 次 数 最 值 的 心 路 ， 而 没有 注 意 到 已 知条 件 发 生 变 化 。 这是 心 维 呆板 性 的一 种表 现 ， 也说 明学 生思 维缺 乏 灵 活 性 。 正 解 ：． ２ １ √ ． ｘ ｌ ，…＿ ４ ≤ 一 ｓ５ 当 ＝ 时 ｖ ＿
函数的思维品质与定义域
ｘ ２ ＋ ２ ｘ ＞ Ｏ ． ‘ ． ｘ ＞ Ｏ 或 ｘ ＜ ． ２
初 看结 论 ，本题 似 乎没 有最 大值 ，只有最 小 值 。产 生这 种错 误 的根源 在于学生是按照求二次函数最值的思路， 而没有注意到已知条件发生变化。 这是 思 维呆板 性 的一 种表 现 ，也说 明学 生 思维缺 乏 灵活性 。 其 实 以上 结 论只 是对 二次 函数 ｙ ＝ ａ ｘ ２ ＋ ｂ ｘ ＋ ｃ（ ａ ＞ Ｏ ）在 Ｒ 上适 用 ，而在 指定 的 定义域 区间 ［ ｐ ，ｑ ］上 ，它 的最 值应 分如 下情 况 ： （ １ ） 当． ｂ ２ ａ ＜ ｐ时，ｙ ＝ ｆ（ ｘ ）在 Ｅ ｐ ，ｑ ］上单 调 递增 函数 ｆ（ ｘ ）ｍｉ ｎ ＝ ｆ（ ｐ ） ，
ｆ（ ｘ ） ｍｉ ｎ ＝ ｆ（ ｑ） ；
（ ２ ） 当． ｂ ２ ａ ＞ ｑ时，ｙ ＝ ｆ（ ｘ ）在 Ｅ ｐ ， ｑ ］上 单调 递减 函数 ｆ （ ｘ ）ｍａ ｘ ＝ ｆ（ ｐ ） ，
ｆ（ ｘ ） ｍｉ ｎ ＝ ｆ（ ｑ） ：
（ ３ ） 当Ｐ — ｂ ２ ａ ｑ时 ，ｙ ＝ ｆ（ ｘ ）在 ［ Ｐ ，ｑ ］上最 值情 况是
在 Ｌ 一２ ，５ Ｊ上 的最 值 ． 解：Ｏ ｏ Ｏ ｙ ＝ ｘ ２ — ２ ｘ ． ３ ＝（ ｘ ２ — ２ ｘ ＋ １ ）． ４ ＝（ Ｘ 一 １ ）２ ． ４ ，． ’ ． 当ｘ ＝ ｌ 时 ，ｙ ｍｉ ｎ ＝ － ４
函数 的值 域 是该 函数 全 体 函数值 的集 合 ，当 定义域 和 对应 法则 确定 ， 函数 值也 随之 而定 。 因此在 求 函数值 域 时 ，应 注意 函数 定义 域 。如 ：例 ３ ： 求 函数 ｙ － ＝ ４ ｘ 一 ５ ＋ ２ ｘ 一 ３的值 域 ． 错解 ：令 ｔ － ＝ ２ ｘ 一 ３ ，则 ２ ｘ ＝ ｔ ２ ＋ ３
函数定义域与思维品质
函数定义域与思维品质作者：严艳助来源：《中学课程辅导·教学研究》2016年第12期摘要：思维品质是指个体思维活动特殊性的外部表现。
它包括思维的严密性、思维的灵活性、思维的深刻性、思维的批判性和思维的敏捷性等品质。
函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。
函数的定义域是构成函数的两大要素之一，函数的定义域（或变量的允许值范围）似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途。
在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的数学思维品质是十分有益的。
关键词：函数；定义域；思维品质中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）06-0103思维品质是指个体思维活动特殊性的外部表现。
它包括思维的严密性、思维的灵活性、思维的深刻性、思维的批判性和思维的敏捷性等品质。
函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。
函数的定义域是构成函数的两大要素之一，函数的定义域（或变量的允许值范围）似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途。
在解函数题中，强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的数学思维品质是十分有益的。
一、函数关系式与定义域函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误的。
如：例1. 某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式？解：设矩形的长为x米，则宽为（50-x）米，由题意得：S=x（50-x）故函数关系式为：S=x（50-x）如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量的范围。
也就是说学生的解题思路不够严密。
因为当自变量取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量的范围：即：函数关系式为：S=x（50-x）（0这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。
函数定义域与思维品质
函数定义域与思维品质函数是一种重要的数学概念，在数学中具有广泛的应用。
函数的定义域是指函数定义的自变量的取值范围，即函数能接受隶属于哪些数集的自变量值。
在函数中，定义域的选择对于函数的性质、解的存在性以及函数的应用等方面有着决定性的影响。
此外，函数的定义域也反映了不同思维品质的表现。
首先，正确认识函数定义域对于综合素质的提高至关重要。
在解决实际问题时，如何选择函数的定义域，关系到出题者对问题的理解和对计算机应用的掌握等综合素质。
例如，对于给定的函数，如果定义域是一个区间，则需要考虑函数在该区间的单调性和极值点等性质，以便确定函数的取值范围和最值等问题。
对于各类含参数的函数，如三角函数、指数函数等，还需准确确定定义域使函数具有良好的性质，即保证函数能取到有意义的值。
在求解实际问题的过程中，明确函数的定义域是五花八门的自然科学和社会科学问题相互关联、相互影响的根本，也是学习数学思维的重要一步。
其次，不同的定义域反映了不同的思维品质。
在数学思考中，定义域选择意味着在认知范围内有哪些前提条件和限制。
对于确定的函数，不同的定义域反映出了不同的思考维度和视角。
例如，在初中阶段学习函数的极值和最值时，扩大或缩小函数的定义域，会影响到解题者对函数活动性的直观感受，从而反映出解题者的思维灵活性和变通能力。
在高中阶段，同一函数在实数域、有理数域和整数集合等不同的定义域上所具有的性质各异，涉及到不同的思考视角和方法选择，逐渐发展出批判性、创新性和探究性等先进的思维品质。
总之，准确理解函数的定义域，推求出函数定义的自变量取值范围具有重要的实际意义和思维价值。
函数定义域的选择反映了出题者的视角和思考方式，同时也反映了学生的综合素质和思维品质。
学生应该总结函数定义域对解题的影响规律，提高解决实际问题的能力和批判性思维的水平，为今后的学习打下更加扎实的数学基础。
函数定义域与思维品质
函数定义域与思维品质
李艳玲
【期刊名称】《课外阅读：中下》
【年(卷),期】2012(000)016
【摘要】思维品质是指个体思维活动特殊性的外部表现，它包括思维的严密性、思维的灵活性、思维的深刻性、思维的批判性和思维的敏捷性等品质．函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终．函数的定义域是构成函数的三大要素之一，函数的定义域似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误人歧途．在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的数学思维品质是十分有益的．
【总页数】2页(P195-196)
【作者】李艳玲
【作者单位】衡山四中,湖南衡山421341
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
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拨云见日,细说函数定义域
拨云见日,细说函数定义域
周海勇
【期刊名称】《中学数学》
【年(卷),期】2012(000)017
【摘要】函数是中学数学最基本的内容，函数的数学思想贯穿整个高中数学学习的始终，定义域是函数“三要素”（定义域、值域、对应法则）之一，是函数最本质的特征．在解决问题的过程中，如果忽视函数的定义域，常常会事倍功半，甚至误入歧途，住求函数解析式时，必须考虑函数的定义域，否则所求函数关系式足不完整的．下面就对求函数定义域的方法进行分类说明，希颦对大家在教学中引导学生解决与定义域有关的问题时有所帮助．
【总页数】2页(P25-26)
【作者】周海勇
【作者单位】江苏省沭阳高级中学
【正文语种】中文
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1.高志明细说老鸭——记细说老鸭大酒店 [J], 江南
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3.巧借函数定义域培养学生的数学思维能力 [J], 陈静
4.高中数学函数定义域的求解 [J], 闫秀珠
5.高中数学函数定义域的求解 [J], 闫秀珠
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是增 函数。 ’１ ０ 。 ｏ ＜２ ・＋ ＞ ＞ 或 －
・
．
题时 ，必须要注意到函数定义域的取值范 围对
实际问题的影响。有些学生不知定 义域从何而 ： 来， 其实很简单， 只要使用 表示 的各个变量均 有意义即可 。 ‘ ．
，
故 数 系 为Ｓ （ 函 关 式 ：ｘ 一 ） ＝Ｌ
单 性 建 在 义 基 之 的 离 定 定 域 来 ） 解 结 有 影 ，能 调 是 立 定 域 础 上 ， 开 义； 义 为Ｒ 说 ， 庖 果 无 响就 对
有利于培养学生的思
此题很明显缺少 自变量 的范围。ＮＮＮ ： 域谈单调性是毫无意义的 。如 ：
函 数 的 定 义 域 与 思 维 品 质
山西省文水中学 韩舂娥
思 品 实 是 的 维 个 特 ， 维 质 质 人 思 的 性 征主
要包括思维的严密性 、 深刻性 、 批判性和敏捷性 ：
二函 值 与 义 、数 域 定 域
－ （ ） －， ） 减 ； ・ 数 ） ＆ ｘ （ｏ２ 是 ・ 函 】 冉２在 ｏ－上 ｏ
［ ］庄亚栋主编 高 中数学教与学（９２ ３ ９ ．、
此 体 了 生 题 维 严 性 题现学解思的密。
； 又‘ ）。 在０ 是 函 。 ・ ＝ｇ ［＋）增 数 ｌ ，
； ．扬 ：学 学 与 编 部 版１９ ９６ 州 中 数 教 学 辑 出 ．９ ９） ． ９．
・ 函数定义ｊ 为 （ ∞，２ Ｕ（ ， ） ’ 或 一 一 ） Ｏ＋ 。
［］ ２ 田万海主编 数 学教 育学． 江 ： 浙 浙江教
．
令 ｕ ｘ＋ｘ 知在 ∈（ ，２ ￣Ｉ 为减 育 出版社 ＝＇２ ， － 一 － ） Ｎ，
，
１９ ９ ３．
．
： 函数 ， 在 ∈（ ， ） ０ ＋ 上时 ， “为增 函数 。
三大要素之一 ，函数的定义域似乎是非 常简单 ： 的， 而在解决问题 中不加以注意 ， 会使人误 ： 然 的作用 与影响 ，对 提高学生的数学思维品质是 十分有益 的。 函数关 系式与定义域 ： 函数关系式包括定 义域和对应法则 ，所 以在 ：
一
高中数学的始终。函数 的定义域是构成 函数 的 ： 此在求 函数值 域时 ， 注意 函数定义域 。如 ： ： ∞）单调递减 区间是（ ａ，２ 。 应 ＋ ， 一 。一 ） 例 ２ 求函数 ： － ＋ ／ ５、 芝 的值域 。 － ： ： 错 解 ：令 、 二 ， ： ／ 则 ： ３ 冉 ’ ＿ （ ）５ ‘ ２ｍ 一 帖 ＿ （ １） ２
、
定义域 ， 否则所求函数关系式可能是错误。如： ：
例１ ：一段长为 ￡米 的篱笆围成一个一边
故所求的函数值域是【＇ａ） １＋。。
：
分析 ：判 断奇偶性先看定义域 ， 因为定义域
，
以上例子说 明，变量的允许值范围是何 等 ： 不关 于原点对称 所 以不用奇偶性定义进行判
靠 矩 菜园 问 个 形 长 各为 少 ： 重 换 后 须 明 元的 围 能 证 ： 也 知 数是 奇 偶 数。 墙酌 形 ， 这 矩 的 宽 多 的 要， 元 必 标 换 范 才 保 断 可 此函 非 非 函
自 量 取 数 ，则 意 ，与 际 题 例 ：出 数 ＝ 变 负 时宽 无 义这 实 问 相； ３ 函 ） 指 ｌ ０
矛 所以 盾， 还应补上自 的 变量 范围： ｘＬ ， Ｏ ＜／ ： ＜ ２
即： 函数关系式为 ： ￡ 及） ＯｘＬ２ Ｓ （一 ＜＜／
这个例子说 明，在用 函数方法解决实际 问 ：
）单 区 。 品 ，而 断 高 生 维 力进 有 的 调 间 维 质从 不 提 学 思 能 ，而 利
参 考文献 ：
： ： 数 学教师的素质与中学生 数学素质 的培养论文集 北京 ： 海洋出版社 ，９ ８ １９ ．
． ．
错解： 一 ，１ 在（。 一） ｏ 上是减函 （ｌ 上 ： 养学生思维的 数， ， ） 于培 一士 创造性。
函数 ）ｌ （ ） ＝ ＆冉 ｏ 的单调递增 区Ｎ（， ｏ
此题体现 了学生解题思维的深刻性。 四、 函数奇偶性与定义域 如果定义域不关于原点对称 ， 则
定义域 应法则值域是 函数的三要素 ， ： 当 函数 ， （ ， ｏ） 在 ｏ ＋ 。上是增 函数。
等品质 。 函数作为高中数学 的主线 ， 贯穿于整个 ： 定义域和对应法则确定 ， 函数值也随之而定 。 ： 因
：
，
综上所 述 在求解函数 函数关系式、最值
三函 单 性 定 域 、数 调 与 义
ｌ 域） 调 奇 性 问 ｌ 、 性、 偶 等 题中，能 细 （ 单 值 若 精 地
，
函数单调性是 函数 非常重要 的性质之 一 ，： 检查思维过 程 思辨 函数定义域有无改变（ 指对 ： 提高学生质疑辨析能力
，
≥ 关 于原点对 称 ／
。
故所求的函数值域是【 ＋ ） 源自∞。 。 分析 ： 经换元后 ， 应有 ｔ ，ｉ ≥０ Ｎ ￣
函 数就一 定不具有奇偶 性， 定义 即 域关于 原点
： 对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件。 如： ｙ ２ ＋＋： ＝Ｐｔ 例４ ：判断 函数 ｙ ， ， ＿ ，】 ∈［１３的奇偶性。 求函数的关系式时必须要考虑所求 函数关系式的 １ ｏ＋ 上是增 函数 ， 以当 ｔ０ ，ｍ ｌ 在［， ） 所 － 时 ｙ＝。 － 错解 ：：－ ） ） 是奇 函数。 ． ｘ： ． Ｒ ． ． ．
时 菜 的 积 大 最 面 是 少 ，园 面 最 ？ 大 积 多 ？ 由意 题 得：
． 三 ） Ｓ （ 一
解： 设矩形的宽为 米 ， 长为（ 一 米 ， 则 三 ） ： ：
燹 是 价 彤。 彤 等 变
此题体现 了学生解题思维 的批判性 。
； 此 体学 解 思 的捷 。 题 现 生 题 维 敏 性