南京航空航天大学 结构力学 课后习题答案 第7章

7-1 图示为各种形式的薄壁梁剖面，设缘条（集中面积）承受正应力，壁板只受剪切，求： （1）剖面各点对x 轴的静矩S x ； （2）剖面对x 轴的惯性矩； （3）剖面的弯心位置。

（a ）解：剖面关于x 轴对称，x 轴是中心主轴。

（1）剖面各点对x 轴的静矩22121fHH f S S x x =⋅==- fH H f fH S x =⋅+=-2232 2243fHH f fH S x=⋅-=- （2）剖面对x 轴的惯性矩22)2(4fH H f J x == （3）剖面的弯心位置结构关于x 轴对称，弯心必在x 轴上 取点3为力矩中心，则：2)2(11241b b H fH fHd S J X s x x-=⋅⋅-⋅==⎰ρ 即剖面弯心位于2b x -=处（1）剖面各点对x 轴的静矩12233445563()28837828711828117()82873()828x x x x x H H S f fH H S fH f fH H S fH f fHH S fH f fH H S fH f fH -----=⋅-==+⋅==+⋅==+⋅-==+⋅-= 剪流沿1-2-3-4-5-6方向为正（2）剖面对x 轴的惯性矩2222412[()2()]28232x i i H H H J f y f f fH ==⋅-+⋅=∑ （3）剖面的弯心结构关于x 轴对称，弯心必在x 轴上设弯心在3-4杆左侧，距3-4杆的距离为X ，由弯心的定义可知当弯心处作用有y Q 时，结构上的剪流和y Q 在结构上任意一点的合力矩为零 现对x 轴和3-4杆交点处取矩，则1223455608228y H H H HQ X q b q b q b q b ----⋅-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅= （1） 又知y x y xQ q S J =则（1）式可化为12234556131()822841x x x x x bH bH bH bH X S S S S b J ----=⋅+⋅+⋅+⋅=即结构弯心在x 轴上3-4杆左侧3141b 处题7-1b 图（1）剖面各点对x 轴的静矩12322545651221221122221()221()22x x x x x H S f fH H S f fH H S fH fH f H S f fHH S f fH-----=⋅==⋅==++⋅=⋅-=-=⋅-=- 剪流方向如图（2）剖面对x 轴的惯性矩22224()22()222x i i H HJ f y f f fH ==⋅+⋅⋅=∑（3）剖面的弯心结构关于x 轴对称，弯心必在x 轴上设弯心在2-5杆左侧，距2-5杆的距离为X ，由弯心的定义可知当弯心处作用有y Q 时，结构上的剪流和y Q 在结构上任意一点 的合力矩为零现对x 轴和2-5杆交点处取矩，则12234556022222222y b H b H b H b HQ X q q q q ----⋅+⋅⋅-⋅⋅+⋅⋅-⋅⋅= （1）又知y x y xQ q S J =则（1）式可化为122345561()04444x x x xx bH bH bH bH X S S S S J ----=-⋅+⋅-⋅+⋅= 即结构弯心在x 轴上与2-5杆相交处题7-1c 图（1）剖面各点对x 轴的静矩x S fR =（2）剖面对x 轴的惯性矩222x i i J f y fR ==∑（3）剖面的弯心结构关于x 轴对称，弯心必在x 轴上11Rx x xs X S ds fR ds J J πρρ=⋅=⋅⎰⎰（1）其中ρ为承受剪流的面积到x 轴的距离，取极坐标θ，记上缘条处0θ=，逆时针方向为正，则cos R ρθ=，代入（1）式得11cos cos 0RxxX fR R ds fR R Rd J J ππθθθ=⋅=⋅⋅=⎰⎰即剖面弯心在两缘条中心连线与x 轴的交点处题7-1d 图（1）剖面各点对x 轴的静矩122343355667871099714452424144515244225722227522221()441()44152()424x x x x x x x x x H S f fH fH H S f fHH S f fHH S fH fH f fHH S fH f fHH S fH f fHH S f fHH S f fHH S fH f fH---------=⋅==+⋅==⋅==++⋅==+⋅==-⋅==⋅-=-=⋅-=-=-+⋅-=- 剪流方向如图（2）剖面对x 轴的惯性矩2222134()62()224x i i H H J f y f f fH ==⋅+⋅⋅=∑ （3）剖面的弯心结构关于x 轴对称，弯心必在x 轴上设弯心在5-6杆右侧，距5-6杆的距离为X ，由弯心的定义可知当弯心处作用有y Q 时，结构上的剪流和y Q 在结构上任意一点的合力矩为零 现对x 轴和5-6杆交点处取矩，则1223433567()42422y H H H H HQ X q a b q a q b q b q b -----⋅-⋅⋅+-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅ 7879910()0424H H Hq b q a q a b ----⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅+= （1） 又知y x y xQ q S J =代入（1）式可得11(2)26X a b =+ 即结构弯心在x 轴上5-6杆右侧11(2)26a b +处 题7-1e 图7-2 题7－2图所示薄壁梁剖面，缘条承受正应力，其截面积为22cm f =。

壁板只承受剪切，已知过剖面弯心的剪力N Q x 5000=，N Q y 6000=，求剖面剪流。

解：1231020xS f cm -=⋅=23321040x S f cm -=⋅=343401020x S f cm -=-⋅=12233431020yy y S S S f cm ---===⋅= 2234(10)800x i iJ f y f cm ===∑2232(10)400y i i J f x f cm ===∑310100100(10)(10)(10)800xy i i i J f x y f f f f cm ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅-+⋅-⋅-=∑xy x y Q q S J =y x y xQ q S J = 22400500060008004000(400)11400800xy x yxx xyx yJ Q Q J Q N JJ J --===--⋅ 22400600050004002000(400)11400800xy y xyy xyx yJ Q Q J Q N J J J --===--⋅ x y q q q =+121212232323343434400020002020250/400800400020002040300/400800400020002020250/400800y x y x y x y x y x y x y x y x y x Q Q q S S N cm J J Q Q q S S N cm J J Q Q q S S N cm J J ---------=+=⋅+⋅==+=⋅+⋅==+=⋅+⋅=题7－2图7-3 求题7-3图示薄壁剖面在剪力y Q 作用下的剪流分布。

y Q 通过剖面的弯心。

设壁板能承受正应力，壁板厚t=0.1cm ，10000N =y Q 。

（a ）解：剖面关于x 轴对称，x 轴是中心主轴以开口处为原点，逆时针方向为正 取极坐标θ（0360θ︒≤≤︒），在θφ=处，剖面对x 轴的静矩220cos cos sin x sS R ds R t d R t φφθθθφ===⎰⎰剖面对x 轴的惯性矩223230(cos )cos x sJ R tds R t d R tπθθθπ===⎰⎰sin y y x y xQ Q q S J Rφπ==题7-3a 图（b ）解：薄壁剖面上下对称，则x 轴为中心主轴。

已知Q y 通过剖面的弯心，壁板能承受正应力。

剖面各点对x 轴的静矩S x 为：)cos 1()sin (20θαθαθ-=⋅=⎰t R R tRd S x剖面对x 轴的惯性矩：t R d R t R J x 3202)sin (πθθπ=⋅=⎰又知 y x y xQ q S J =则)cos 1(θπθθ-==RQ S J Q q yx xy ，其中，πθ20≤≤。

（c ）解：薄壁梁剖面关于x 轴对称，x 轴是中心主轴 剖面对x 轴的静矩12121Rts ds Rt Sx==⎰-（由1到2为1s ）t R S x 22=θθθθd R t R t R tds R t R Sx⎰⎰⋅+=+=-0232232cos cos)sin 1(2θ+=t Rt R S x 23=)(343243s R Rt tds R t R Sx-=-+=⎰-（由3到4为1s ）剖面对x 轴的惯性矩t R d t R ds t R tds R tds R ds t R J Rx 3230243223221224cos 2)cos (πθθθπ+=+=++=⎰⎰⎰⎰⎰ 又知 y x y xQ q S J =则212121)4(2R s Q SJ Q q y xx y π+==--R Q S J Q q y x x y )4()sin 1(23232πθ++==--234343)4()(2R s R Q SJ Q q y xxy π+-==-- 题7-3c 图（d ）解：剖面关于x 轴对称，x 轴是中心主轴 剖面上各点对x 轴的静矩θθθθθsin cos cos 202t R d t R ds t R S sx ==⋅=⎰⎰剖面对x 轴的惯性矩t R d t R ds t R J sx 302322cos )cos (πθθθπ==⋅=⎰⎰又知 y x y xQ q S J =则RQ t R tR Q q y yπθθπsin 2sin 223=⋅=题7-3d 图7-4求题7-4图示薄壁剖面在通过剖面弯心的剪力y Q 作用下的剪流分布，并求剖面的弯心位置。

设壁板能承受正应力，壁板厚为t 。

（a ）解：剖面关于x 轴对称，x 轴是中心主轴。

剖面各点对x 轴的静矩11211515x s S tds ts -==⎰（其中1s 由1到2）23221515x s S tds ts -==⎰（其中2s 由3到2）215101520450x S t t t =⋅+⋅=32522331(15)450152x x s S S s tds t ts ts -=+-=+-⎰（其中3s 由2到5）44541515x s S tds ts -=-=-⎰（其中4s 由4到5）56551515x s S tds ts -=-=-⎰（其中5s 由6到5）剖面对x 轴的惯性矩152202[(1020)15(15)]15750x J t s tds t =+⋅+-=⎰又知 y x y x Q q S J =，则 112121050y y xx Q Q s q SJ --==2323221050y y xxQ Q s q SJ --==25233251(45015)15702y yx x Q Q q S s s J --==++ 445451050y y xxQ Q s q SJ --==-5656521050y y xxQ Q s q SJ --==-设弯心位于X x =处，由弯心的定义可知当弯心处作用有y Q 时，结构上的剪流和y Q 在结构上任意一点的合力矩为零。