BOSS.初中数学.有理数A级.第02讲.教师版

易错点1：不能正确确定有理数加法结果的符号．辨析：由于在小学进行加法运算时，结果都是正数和0，不用考虑符号问题的影响，当数的范围扩大到有理数后，计算中在确定结果的符号时往往容易忽略或出错． 易错点2：对异号两数相加的加法法则理解不透彻，导致计算结果不正确．辨析：在有理数的加法法则中，同号两数相加的符号问题比较容易确定，而异号两数相加时，符号的取法取决于绝对值较大的加数的符号．可巧记为：“同号相加号不变，异号相加先变减，欲问符号要点解析有理数的加、减有理数的运算有理数的乘除运算律 运算法则加法减法运算法则 运算律 运算法则乘法除法 运算法则相反数（一级运算）（三级运算） 倒数乘方 运算法则科学计数法近似数与 有效数字（二级运算） 有理数的大小比较知识架构中考考纲有理数的运算怎么定，绝对值大把号选．”易错点3：将有理数减法转化为加法时，分不清运算符号和性质符号，导致运算错误．辨析：有理数的减法法则体现了转化的数学思想，将减法转化为加法时，切记“两变”：一是减法变加法，二是把减数变为它的相反数．易错点4：在有理数乘除混合运算和乘方运算时，容易忽略运算顺序．有理数的乘法和除法运算是同级运算，应从左到右进行，不能错误地认为哪两个数比较容易计算就先算哪两个数．乘方运算的优先级高于乘法和除法，如41-，其本质是411111-⨯=-⨯=-，而()41-，其本质是()()()()11111-⨯-⨯-⨯-=． 易错点5：误认为有理数除法也有分配律．乘法分配律的使用使得运算变得简便、准确，但分配律对于除法运算并不完全适用．一、 有理数的加法法则1. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．如()()()35358-+-=--+-=-．2. 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．如：()()()()3131312-++=---+=--=-．3. 一个数同0相加，仍得这个数．4. 互为相反数的两个数和为0．即：若a 、b 互为相反数，则0a b +=． 注意：有理数加法的运算步骤：①确定和的符号；②确定和的绝对值（即确定是两个加数的绝对值之和或差）． 二、 有理数的减法法则减去一个数，等于加这个数的相反数．如：()()2323321-=+-=--=-． 三、 有理数的加减混合运算（1）运用减法法则，把算式中的减法转化为加法； （2）运用加法交换律、加法结合律，使运算简便． 注意：有理数加法的运算技巧主要有：①相反数结合法（互为相反数的两个数先相加）；②同号结合法（符号相同的几个数先相加）；③凑整结合法（几个数相加能凑为整数）；④同分母结合法（即遇到分数，同分母分数或便于化为同分母的分数结合相加）；⑤凑0（即几个和为0的数先相加）；⑥凑10，即几个和为整十的或整百的先相加）知识精讲模块一：有理数的加减四、 代数和根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个正数、负数和0的和，这个和称为代数和．例如：()()()()()30.15951130.159511--+-=++-+-+++-． 它的含义是3+，0.15-，9-，5+，11-的和．【例1】 计算：（1）()()115+++；（2）()()72-+-；（3）()()1645-++；（4）()2912-+；（5）()210-+；（6）111133⎛⎫+- ⎪⎝⎭；（7）()7.5 3.4-+；（8）325243⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．【答案】（1）16，（2）9-，（3）29，（4）17-，（5）21-，（6）0，（7） 4.1-，（8）1312-【例2】 计算：（1）()()7127+-+-；（2）()()13415-++-；（3）()()()()26131718++-+-++； （4）131236353533⎛⎫⎛⎫++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；例题解析（5）1241123523⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （6）()111.54 2.75542⎛⎫-+++- ⎪⎝⎭．【答案】（1）12-，（2）24-，（3）14，（4）1415，（5）15-，（6）0【例3】 出租车司机小李某天下午的营运全都是在东西方向的人民大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程表示如下（单位：千米）:15+，2-，5+，1-，10+，3-，2-，12+，4+，5-，6+．（1）将最后一名乘客送到目的地时，小李距离下午出车时的出发点多远？ （2）如果汽车耗油量为0.5升/千米，这天下午小李共耗油多少升？【解析】（2）中汽车耗油量与汽车行驶方向无关，因此总路程应等于题中各数的绝对值之和 【答案】（1）在出发点以东39千米处；（2）32.5升【例4】 计算：（1）()()129---；（2）()()1415--+；（3）()()0.91 3.09--+；（4）104⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（5）274399⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（6）31352⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）3-，（2）29-，（3）4-，（4）14-，（5）8-，（6）9210-．【例5】 计算：（1）()()()0 5.37 2.372---+--； （2）1115310⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）()()()()499159--+--+-；（4）11112346⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）5，（2）130-，（3）144-，（4）14．【例6】 若0a b c d <<<<，则以下四个结论中，正确的是（）A ．a b c d +++一定是正数B ．d c a b +--可能是负数．C ．d c b a ---一定是正数D ．c d b a ---一定是正数．【解析】A 可正可负可0，B 一定是正数，D 可正可负可0 【答案】C【例7】 把6 2.57 3.259.9-++-写成代数和的形式是________________． 【答案】()()()()()6 2.57 3.259.9++-+++++-．【例8】 计算：（1）()()()10864++---+；（2）()()()4027192432--++---；（3）2651432131313⎛⎫--+- ⎪⎝⎭；（4）()1120.12512726383⎛⎫-++-++ ⎪⎝⎭；（5）()()273.732 3.770299⎛⎫-++--+--- ⎪⎝⎭；（6）()()()()51162.39 1.573527.6132 1.576767⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+++-+-+-+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）20，（2）40-，（3）20-，（4）1133，（5）99，（6）1463-一、 有理数的乘法法则1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．如：()()()21212-⨯-=+-⨯-=+，()()()21212+⨯-=-+⨯-=-． 连乘运算时，负因数的个数与结果的符号，有“奇负偶正”的关系． 如：()()()321-⨯-⨯-，有3个（奇数个）负因数，所以结果为负（6-）．()()2314-⨯⨯-⨯，有2个（偶数个）负因数，所以结果为正（24+）． 2. 任何数同0相乘，都得0．3. 互为倒数的两个数，乘积为1．即：若a 、b 互为倒数，则1ab =．注意：在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算． 二、 有理数的除法法则知识精讲模块二：有理数的乘除除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．如：()1113133⎛⎫÷-=⨯-=- ⎪⎝⎭；()()()172213112277⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-÷-=-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0． 注意：①负数的倒数时，保持“-”号不变，将原数绝对值的分子、分母颠倒； ②求带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再将分子、分母颠倒． 三、 有理数的乘除混合运算有理数的混合运算顺序是：先乘除，后加减，如果有括号，应先算括号里面的． 小学学过的运算律对有理数同样成立．若a 、b 、c 是有理数，则： 加法交换律：a b b a +=+加法结合律：()()a b c a b c ++=++ 乘法交换律：ab ba = 乘法结合律：()()ab c a bc = 乘法分配律：()a b c ab ac ⨯+=+【例9】 计算：（1）()312-⨯-；（2）()35--⨯；（3）34579⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭；（4）21452⎛⎫⎛⎫--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）36，（2）15，（3）-73，（4）115-．【例10】 a 、b 、c 为非零有理数，它们的积必为正数的是（）A ．0a >，b 、c 同号B ．0b >，a 、c 异号C ．0c >，a 、b 异号D ．a 、b 、c 同号【答案】A【例11】 计算：例题解析（1）()4113311559211⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）()1452344513⎛⎫⎛⎫--⨯-⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）111111112345⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（4）21220345-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）9-，（2）1145，（3）3，（4）0【例12】 计算：（1）()111112462⎛⎫-+-⨯- ⎪⎝⎭；（2）()()()32419151515171717-⨯+-⨯--⨯．【答案】（1）5，（2）15-【例13】 计算：（1）()1751÷-；（2）()()1420-÷-；（3）2334⎛⎫÷- ⎪⎝⎭；（4）21432⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）13-，（2）710，（3）89-，（4）283【例14】 用“>”、“<”填空：（1）如果0abc>，0ac <那么b _______0； （2）如果0a b>，0bc <那么ac _______0．【答案】（1）<，（2）<【例15】 计算：（1）21313342⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷⨯-÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）343258-⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⨯÷ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）16121472⎛⎫⎛⎫⨯-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）311313524⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-÷-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）3-，（2）165，（3）97，（4）1425-【例16】 计算：（1）()21134322⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯---÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）()()7351136112462⎡⎤⎛⎫-+---⨯-÷- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．【答案】（1）173-，（2）8【例17】 计算：11111111111111111111246810357911⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯-⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【解析】先将括号内的数分别算出，然后进行约分 【答案】1-【例18】 已知a 的相反数为213，b 的倒数为133-，求()()()2932a b a b ⨯---+÷-⎡⎤⎣⎦的值． 【解析】由题意知，213a =-，310b =-【答案】13620-【例19】 计算：11111111111111232012232011232012232011⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++-+++++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【解析】设111232012a =+++，111232011b =+++ 【答案】12012【例20】 已知：a ，b ，c 是有理数，满足13225034a b c -+++-=，求()()323a c b-⨯+÷-的值． 【答案】2415-1.定义：求多个相同因数的乘积的运算，叫做乘方．一般地将乘方写做n a ，读作a 的n 次方，也读作a 的n 次幂，其中a 叫做底数，n 叫做指数，乘方的结果叫做幂．如105，读作5的10次方（或读作5的10次幂，其中5是底数，10是指数，表示计算10个5连续相乘，即101055555555555=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯个． 乘方运算是作用于指数下的整个数，包括这个数的符号．如：()()()233322--⨯-==__________．知识精讲模块三：乘方另外()23-与23-结果是不同的，()23-=__________，而23-=__________，计算时要仔细．223⎛⎫ ⎪⎝⎭与223的结果也是不同的，223⎛⎫= ⎪⎝⎭__________，而223=__________．【例21】 有理数()21-，()31-，21-，1-，()1--，11--中，其中等于1的个数是（） A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】B【例22】 下列各对数中，数值相等的是（）A ．72-与()72-B ．23-与()23-C ．332-⨯与232-⨯D ．()23--与()32--【解析】B 中，239-=-，()239-=；C 中，33224-⨯=-，23218-⨯=-；D 中，()239--=-，()328--= 【答案】A【例23】 计算：（1）()53-；（2）()42-；（3）42-；（4）313⎛⎫- ⎪⎝⎭．【答案】（1）243-，（2）16，（3）16-，（4）127-【例24】 计算：（1）()201311--；（2）222332⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭；例题解析（3）()()()410110742211---+---；（4）31452⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭；（5）()221055⎛⎫-÷⨯- ⎪⎝⎭；（6）()()()421110.5233⎡⎤---⨯⨯--⎣⎦．【答案】（1）2，（2）3-，（3）32-，（4）548，（5）8-，（6）126【例25】 已知：a ，b ，c 是有理数，满足15510a b c -+++-=，求()()1271132a b c a b c ⨯⨯÷⨯⨯的值．【解析】1a =，5b =-，15c = 【答案】15【例26】 比较553与335的大小．【解析】()115551133243==，()113331155125==【答案】553335>【例27】 在数学活动中，小明为了求23411111 (22222)n +++++的值（结果用n 表示），设计了如图所示的几何图形．（1）请你用这个几何图形求23411111 (22222)n +++++的值；（2）请你用图2，再设计一个能求231111 (2222)n ++++的值的几何图形．【解析】（2）可利用对角线，或者对边中点的连线 【答案】（1）112n-，（2）略1.利用数轴比较大小在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．正数都在原点的右侧，负数都在原点的左侧．正数都大于“0”，负数都小于“0”． 2.利用绝对值比较大小在数轴上，离原点越近的点所对应的数的绝对值越小，离原点越远的点所对应的数的绝对值越大．由于数轴上左边的数总比右边的数大，因此：两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 3. 作差法比较大小0a b a b ->⇔>，0a b a b -=⇔=，0a b a b -<⇔<．4.作商法比较大小 若0a >，0b >，1a a b b >⇔>，1a a b b =⇔=，1aa b b<⇔<． 5. 取倒数法比较大小分子一样，通过比较分母从而判定两数的大小：分母大的反而小； 分母一样，通过比较分子从而判定两数的大小：分子大的数大．6. 特殊值法对于选择、填空题，可以用特殊值的方法进行判断．【例28】 比较大小：23-，34-，45-．图2图1例题解析知识精讲模块四：有理数的大小比较【解析】可以先化为同分母的分数，然后利用绝对值比较大小；也可利用数轴来比较【答案】432543-<-<-【例29】 a 、b 为有理数，在数轴上如图所示，则（ ）A .111a b <<B .111a b <<C .111b a <<D .111b a<<【答案】B【例30】 已知01x <<，则2x ，x ，1x的大小关系是_____________． 【解析】特殊值法，不妨取12x = 【答案】21x x x<<【例31】 若20112012a =，20122013b =，比较a ，b 的大小．【解析】法①：与1作差法．112012a -=，112013b -=，因此11a b ->-，a b <．法②：倒数法：1112011a =+，1112012b =+，11a b>，因此a b <．【答案】a b <【例32】 设23a m a +=+，12a n a +=+，1ap a =+．若3a <-，则m 、n 、p 的大小关系是____________． 【解析】解法一：21133a m a a +==-++，11122a n a a +==-++，1111a p a a ==-++， 根据代数式的相关性质可知，无论a 取什么值，321a a a +>+>+111321a a a ⇒<<+++111123a a a ⇒-<-<-+++111111123a a a ⇒-<-<-+++p n m ⇒<< 解法二：特殊值法，因为3a <-,取4a =-,即可得p n m <<【答案】p n m <<【习题1】计算：（1）214333⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）2315⎛⎫-++ ⎪⎝⎭；（3）1232⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（4）()23---；（5）12524733⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（6）()()()()3133514--+----；【答案】（1）8-，（2）315-，（3）152，（4）1，（5）243-，（6）33．【习题2】计算：（1）31212 1.753463--+；（2）()18 3.50.254⎛⎫+--+- ⎪⎝⎭；【答案】（1）112，（2）4．【习题3】下列等式成立的是（）A ．()()111007100777⎡⎤÷⨯-=÷⨯-⎢⎥⎣⎦B ．()()11007100777÷⨯-=⨯⨯-C ．()111007100777÷⨯-=⨯⨯D ．()11007100777÷⨯-=⨯⨯【答案】B随堂练习【习题4】下面计算正确的是（）A ．()2222--= B ．()22363⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭C ．()4433-=-D ．()220.10.1-=【答案】D【习题5】计算：（1）()()222172363⎛⎫-+⨯-+-÷- ⎪⎝⎭（2）()()999812512412161616⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】（1）85-，（2）91216-【习题6】下列式子中正确的是（）A ．()()234222-<-<- B ．()()324222-<-<- C ．()()324222-<-<-D ．()()234232-<-<-【答案】C【作业1】计算：（1）11(0.75)0.375(2)84+-++-；（2）11113233⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（3） 4.7( 3.3)( 5.6)( 2.1)--+----；（4）11110()()()()3462-----+--．（5）7876439279⎛⎫⎛⎫-++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（6）131211442⎛⎫--+-- ⎪⎝⎭．【答案】（1） 2.75-，（2）16-，（3）0.3-，（4）14（5）8127，（6）132【作业2】超市新进了10箱橙子，每箱标准重量为50kg ，到货后超市复秤结果如下（超市标准重量的千克数记为正数，不足的千克数记为负数）：0.5+，0.3+，0.9-，0.1+，0.4+，0.2-，0.7-，0.8+，0.3+，0.1+．那么超市购进的橙子共多少千克？【解析】橙子重量等于5010⨯再加上上述所有正负数之和 【答案】500.7【作业3】计算：（1）114()1()16845-⨯⨯-⨯；（2）11111()()234560-+-÷-；（3）231(4)()324+÷⨯÷-；（4）()()()3.2289 3.7729 1.59⨯-+-⨯--⨯．【答案】（1）2，（2）13-，（3）36-，（4）49.5-课后作业【作业4】一个非零数a 的倒数等于它本身，求212233a a ⎛⎫⎛⎫⨯-+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．【解析】倒数等于它本身的数有1和1-，因此1a =或者1a =- 【答案】当1a =时，原式值为8；当1a =-时，原式值为4【作业5】()65-表示的意义是（）A ．6个5-相乘的积B ．5-乘以6的积C ．5个6-相乘的积D ．6个5-相加的和【答案】A【作业6】下列各数对中，数值相等的是（）A ．23+与32B ．32-与()32-C ．23-与()23-D ．232⨯与()232⨯【答案】B【作业7】计算：（1）()2422-÷-；（2）()231425-÷-⨯；（3）()20131110.53---⨯；（4）22323223⎡⎤⎛⎫-⨯-⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．（5）()21110.5233⎡⎤⎛⎫⎡⎤--⨯⨯-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦（6）5315()( 1.25)(3) 1.4()24423--÷÷-⨯-÷⨯-【答案】（1）4-，（2）135-，（3）116-，（4）9，（5）76-，（6）2527-【作业8】比较11.5-，2115-，4117-的大小关系.【答案】421111.51175-<-<-【作业9】比较下列每组数的大小：（1）()5--与5--（2）()3-+与0（3）45-与34--（4）π-与 3.14--【答案】（1）()55-->--，（2）()30-+<，（3）4354-<--，（4） 3.14π-<--【作业10】下列判断，正确的是（ ） A ．若a b =，那么a b = B ．若a b >，那么a b > C ．若a b <，那么a b <D ．若a b =，那么a b =【解析】利用绝对值比较大小时，需要考虑数的正负 【答案】D。