2018年高考数学总复习(四十四)排列与组合常考3类型——排列、组合、分组分配
2018年高考数学总复习高考研究课(一)排列与组合常考3类型-排列、组合、分组分配课件理
[全国卷5年命题分析]
考点 排列问题 组合问题 分组分配问题
考查频度 未考查 5年1考 5年1考
考查角度
组合分步 均分问题
排列问题 [典例] 3 名女生和 5 名男生排成一排． (1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？ (2)如果女生都不相邻，有多少种排法？ (3)如果女生不站两端，有多少种排法？ (4)其中甲必须排在乙前面(可不邻)，有多少种排法？ (5)其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种排法？
组合问题
[典例] (1)(2017·山师大附中摸底)某班班会准备从甲、乙
等 7 名学生中选派 4 名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人
参加，当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么
不同的发言顺序的种数为
()
A．360
B．520 C．600
D．720
[解析] 根据题意，分 2 种情况讨论：若只有甲、乙其中一人
[方法技巧]
求解排列应用题的主要方法
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同 时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再 将不相邻的元素插在前面元素排列的间隔中
先整体 后局部
“小集团”排列问题中先整体后局部
第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有 4A44＝4×4×3×2×1＝
96(种)方法．
所以共有 120＋96＝216(种)方法．
答案：B
2．用 1,2,3,4 这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶 数夹在两个奇数之间的四位数的个数为________．
高三数学排列和组合知识点
高三数学排列和组合知识点数学作为一门理科学科，其中的排列和组合是高三学生必须掌握的重要知识点。
本文将为大家详细介绍高三数学排列和组合的知识，并提供一些相关例题和解析，帮助大家理解和掌握这一知识点。
一、排列的概念和性质排列是从给定的对象中选出一部分进行有序排列的方式，每个对象只能使用一次。
在排列中，对象的顺序是重要的。
下面是排列的一些基本概念和性质：1. 排列的定义：从n个不同的对象中取出m个进行有序排列，称为从n个对象中取出m个的排列，记作P(n,m)。
2. 排列的计算公式：P(n,m) = n!/(n-m)!3. 重要性质一：对于任意正整数n，有P(n,n) = n!，即n个不同的对象全排列的总数为n的阶乘。
排列数为1。
5. 重要性质三：P(n,1) = n，即从n个对象中取出一个对象进行排列的方式数为n。
二、组合的概念和性质组合是从给定的对象中选出一部分进行无序组合的方式，每个对象只能使用一次。
在组合中，对象的顺序不重要。
下面是组合的一些基本概念和性质：1. 组合的定义：从n个不同的对象中取出m个进行无序组合，称为从n个对象中取出m个的组合，记作C(n,m)。
2. 组合的计算公式：C(n,m) = n!/[(n-m)!*m!]3. 重要性质一：对于任意正整数n，有C(n,n) = 1，即n个不同的对象全组合的总数为1。
组合数为1。
5. 重要性质三：C(n,1) = n，即从n个对象中取出一个对象进行组合的方式数为n。
三、排列与组合的应用排列和组合在实际生活和数学问题中有着广泛的应用。
下面是一些常见的应用领域：1. 排列的应用：排列在一些需要考虑顺序的情况下很有用，比如密码的穷举破解和赛车比赛的计算等。
2. 组合的应用：组合在一些不考虑顺序的情况下很有用，比如从一组物品中选取特定数量的搭配问题和抽奖活动中奖的计算等。
四、例题和解析下面是一些与排列和组合相关的例题和解析，帮助大家更好地理解和应用这一知识点：例题一：有6个人参加足球比赛，其中3人是A队的球员，3人是B队的球员。
高考数学排列与组合知识点
高考数学排列与组合知识点在高考数学中，排列与组合是一个重要的知识点。
它涉及到集合中元素的选择和排列方式，充满了逻辑思维和计算技巧。
掌握好这个知识点对于高考数学的考试是至关重要的。
下面我将从几个重要方面介绍排列与组合的基础知识和解题技巧。
一、基本概念1. 排列：排列是指从给定的元素集合中选择一部分元素，按照一定的顺序排列起来。
如果从n个不同元素中选取m个元素进行排列，那么排列的数目用P(n, m)表示，其计算公式为：P(n, m) = n! / (n-m)!其中，"!"表示阶乘运算，即n! = n(n-1)(n-2)...1。
2. 组合：组合是指从给定的元素集合中选择一部分元素，不考虑顺序的方式。
如果从n个不同元素中选取m个元素进行组合，那么组合的数目用C(n, m)表示，其计算公式为：C(n, m) = n! / [(n-m)! * m!]二、排列与组合的性质和定理1. 重复排列：当元素中有重复的情况时，排列的计算公式需要进行相应的修正。
假设有n个元素中有r1个元素相同，r2个元素相同......ri个元素相同，排列的数目可以通过以下公式计算：P(n, m) = n! / (r1! * r2! * ... * ri! * (n-m)!)2. 求整数解的排列：当要求整数解的排列时，我们可以使用分别代表每个数位的元素进行排列的方法。
比如，要求x、y、z三个整数之和为10，且满足x>0，y>0，z>0，我们可以将它们看作是从[1, 10]的元素集合中选取的排列。
3. 禁忌排列：禁忌排列是指排列中出现某些特殊情况需要剔除的情况。
比如，要求三个不同字母A、B、C排列成3位数，且BC不得出现，那么我们可以通过计算总的排列数减去BC出现的排列数得到最终的结果。
三、解题技巧1. 确定问题类型：在解决排列与组合问题时，首先需要明确题目中给出的要求是排列还是组合。
排列要考虑元素顺序，组合则不考虑。
2018年高考数学理一轮复习资料 专题54 排列与组合教学
1.理解排列、组合的概念；2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；3.能解决简单的实际问题.1．排列与组合的概念2.(1)从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数．(2)从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．3．排列数、组合数的公式及性质高频考点一 典型的排列问题 【例1】 3名女生和5名男生排成一排 (1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？ (2)如果女生都不相邻，有多少种排法？(3)如果女生不站两端，有多少种排法？(4)其中甲必须排在乙前面(可不邻)，有多少种排法？(5)其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种排法？【规律方法】(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法．【变式探究】用0，1，2，3，4，5这6个数字．(1)能组成多少个无重复数的四位偶数？(2)能组成多少个奇数数字互不相邻的六位数(无重复数字)?解(1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个位时，有A35个；第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个(A14种)，十位和百位从余下的数字中选，有A24种，于是有A14·A24个；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有A14·A24个．由分类加法计数原理得，共有A35＋2A14·A24＝156(个)．(2)先排0，2，4，再让1，3，5插空，总的排法共A33A34＝144(种)，其中0在排头，将1，3，5插在后3个空的排法共A22·A33＝12(种)，此时构不成六位数，故总的六位数的个数为A33A34－A22A33＝144－12＝132(种)．高频考点二组合应用题【例2】男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人．选派5人外出比赛．在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)队长中至少有1人参加；(4)既要有队长，又要有女运动员．【规律方法】组合问题常有以下两类题型：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取；(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解． 【变式探究】 甲、乙两人从4门课程中各选修2门， 求：(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？ (2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？高频考点三 排列、组合的综合应用【例3】 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内． (1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？ (2)恰有2个盒不放球，共有几种放法？解 (1)把4个不同小球分三组，共C 24种分法．对每种分法分成的三组再放入4个盒中的3个盒子，共A 34种放法，所以总的放法种数为C 24A 34＝6×24＝144(种)． (2)确定2个空盒有C 24种方法．4个球放进2个盒子可分成(3，1)、(2，2)两类，第一类有序不均匀分组有C 34C 11A 22种方法；第二类有序均匀分组有C 24C 22A 22·A 22种方法．故共有C 24(C 34C 11A 22＋C 24C 22A 22·A 22)＝84(种)．【规律方法】排列组合的综合题目，一般是先取出符合要求的元素组合(分组)，再对取出的元素排列，分组时要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准．【变式探究】 (1)某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为( ) A ．A 26C 24 B.12A 26C 24C ．A 26A 24 D ．2A 26(2)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．【解析】 (1)法一 将4人平均分成两组有12C 24种方法，将此两组分配到6个班级中的2个班有A 26(种)．所以不同的安排方法有12C 24A 26(种)．法二 先从6个班级中选2个班级有C 26种不同方法，然后安排学生有C 24C 22种，故有C 26C 24＝12A 26C 24(种)．(2)分两类：第一类：3张中奖奖券分给3个人，共A 34种分法；第二类：3张中奖奖券分给2个人相当于把3张中奖奖券分两组再分给4人中的2人， 共有C 23A 24种分法．总获奖情况共有A 34＋C 23A 24＝60(种)． 【答案】 (1)B (2)601.【2016高考新课标2理数】如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9 【答案】B2.【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（A ）24 （B ）48 （C ）60 （D ）72 【答案】D【解析】由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有44A 种排法，所以奇数的个数为443A 72=，故选D.1.【2015高考广东，理4】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。
高三数学排列组合知识点
高三数学排列组合知识点在高三数学学习中，排列组合是一个重要的知识点。
它涉及到数学中的排列和组合两个概念，既有一定的理论知识，也有实际应用的问题。
下面将从排列和组合两个方面进行详细介绍。
一、排列排列是指从给定的对象中选取一部分或全部，按照一定的顺序进行排列的方法。
排列的符号通常用P表示，排列数的计算公式为：P(n, r) = n! / (n - r)!其中，n表示待排列的对象的总数，r表示选取的对象的个数。
排列有几个基本概念需要注意：1.全排列：当选取的对象的个数等于待排列的对象的总数时，称为全排列。
全排列的计算公式为P(n, n) = n!。
2.循环排列：当选取的对象中存在相同的元素时，称为循环排列。
循环排列的计算公式为P(n, r) / r。
3.重复排列：当选取的对象中允许出现重复的元素时，称为重复排列。
重复排列的计算公式为n^r。
二、组合组合是指从给定的对象中选取一部分或全部，不考虑顺序进行组合的方法。
组合的符号通常用C表示，组合数的计算公式为：C(n, r) = n! / [r! * (n - r)!]其中，n表示待组合的对象的总数，r表示选取的对象的个数。
组合也有几个基本概念需要注意：1.常见组合数（二项式系数）：当选取的对象的个数等于待组合的对象的总数时，称为常见组合数。
常见组合数的计算公式为C(n, n) = 1。
2.Pascal三角形：使用组合数构成的一个三角形，其中每个数等于它上方两个数之和。
Pascal三角形的特点是，每一行的数之和都是2^n。
三、排列组合的应用排列组合在实际问题中有广泛的应用，尤其是与概率和统计相关的问题。
1.概率问题：排列组合在计算事件发生的概率时起到重要作用。
例如，从一副扑克牌中随机抽取5张牌，求得到一副顺子的概率等。
2.统计问题：排列组合可以用于统计样本空间的大小，从而计算事件发生的可能性。
例如，从10个人中选取3个人组成一支队伍的可能性等。
3.密码学：排列组合可以用于密码学中的排列和替换，保护信息的安全性。
组合和排列知识点总结
组合和排列知识点总结1. 组合和排列的定义组合和排列是两种基本的组合数学概念，它们都与集合相关。
在数学中，集合是由一些互不相同的对象组成的整体，而排列和组合则是从一个给定的集合中选取一定数量的对象并按照一定的规则进行排列或组合。
排列是指从一个集合中取出一定数量的对象，并按照一定的顺序进行排列，即排列是有序的。
假设集合中有n个对象，要从中取出m个对象按照一定的顺序进行排列，符合条件的排列个数称为排列数。
通常用P(n, m)表示排列数。
组合是指从一个集合中取出一定数量的对象，但不考虑其排列顺序，即组合是无序的。
假设集合中有n个对象，要从中取出m个对象，符合条件的组合个数称为组合数。
通常用C(n, m)表示组合数。
2. 排列的性质排列具有一些基本的性质，这些性质在排列的计算中具有重要的意义。
（1）排列的计算公式在排列中，通过一个简单的计算公式可以求出排列数。
假设集合中有n个对象，要从中取出m个对象按照一定的顺序进行排列，则排列数可以用以下公式计算：P(n, m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 2 × 1。
（2）排列的性质排列具有如下的性质：- P(n, m) = n × (n-1) × … × (n-m+1)- P(n, n) = n!3. 组合的性质组合也具有一些基本的性质，这些性质在组合的计算中同样具有重要的意义。
（1）组合的计算公式在组合中，同样可以通过一个简单的计算公式求出组合数。
假设集合中有n个对象，要从中取出m个对象，组合数可以用以下公式计算：C(n, m) = n! / [m! × (n-m)!]（2）组合的性质组合具有如下的性质：- C(n, m) = C(n, n-m)- C(n, 0) = 1- C(n, n) = 1- C(n, 1) = n- C(n, m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m)4. 组合和排列的应用组合和排列在实际中有着广泛的应用，它们在数学、计算机科学、统计学等领域都有着重要的作用。
高中数学中的排列与组合重要知识点详解
高中数学中的排列与组合重要知识点详解排列与组合是高中数学中的重要知识点之一，它们在概率统计、数论以及实际问题中的应用非常广泛。
本文将详细介绍排列与组合的相关概念、性质以及应用。
一、排列的概念与性质排列是指从给定的元素中选取一部分按照一定的顺序进行排列，其结果不同于组合。
在排列中，每个元素只能使用一次，且不同的顺序会形成不同的排列。
1. 重复排列重复排列是指从给定的元素中选取一部分进行排列，但允许元素的重复使用。
对于n个元素中选取r个进行重复排列的可能数可以表示为n^r。
2. 不重复排列不重复排列是指从给定的元素中选取一部分进行排列，但不允许元素的重复使用。
对于n个元素中选取r个进行不重复排列的可能数可以表示为A(n, r)或nPr，计算公式为A(n, r) = n!/(n-r)!。
二、组合的概念与性质组合是指从给定的元素中选取一部分，不考虑其顺序，将其组成一个集合。
在组合中，不同顺序的元素组合形成的结果是相同的。
1. 重复组合重复组合是指从给定的元素中选取一部分进行组合，允许元素的重复使用。
对于n个元素中选取r个进行重复组合的可能数可以表示为C(n+r-1, r)或C(n+r-1, n-1)，计算公式为C(n+r-1, r) = (n+r-1)! / (r!(n-1)!)。
2. 不重复组合不重复组合是指从给定的元素中选取一部分进行组合，不允许元素的重复使用。
对于n个元素中选取r个进行不重复组合的可能数可以表示为C(n, r)或nCr，计算公式为C(n, r) = n! / (r!(n-r)!。
三、排列与组合的应用排列与组合既有理论上的意义，也有广泛的实际应用。
1. 概率统计排列与组合在概率统计中经常用来计算样本空间的大小，从而计算概率。
例如，在抽取彩票号码、扑克牌的发牌问题中，可以利用排列与组合的知识来计算可能的结果数量。
2. 数论排列与组合也在数论中有重要的应用。
例如，在数论中，可能出现对排列和组合的计数问题，而排列与组合的知识可以帮助解决这些问题。
高考数学专题：排列与组合
高考数学专题：排列与组合在高考数学中，排列与组合是一个重要的知识点，也是很多同学感到头疼的部分。
但别担心，让我们一起来深入了解它，掌握解题的关键。
首先，我们要明白什么是排列，什么是组合。
排列，简单来说，就是从给定的元素中取出一些，然后按照一定的顺序排成一列。
比如说，从 5 个不同的数字中选出 3 个排成三位数，这就是排列问题。
而组合呢，只关注选取的元素，不考虑它们的顺序。
比如，从 5 个不同的水果中选出 3 个，这就是组合问题。
那为什么要区分这两者呢？因为在计算方法上，它们是不同的。
排列的计算方法是用排列数公式：A(n, m) ＝ n! ／（n m)！。
这里的“！”表示阶乘，比如 5! ＝ 5 × 4 × 3 × 2 × 1 。
组合的计算方法是用组合数公式：C(n, m) ＝ n! ／ m! ×（n m)！。
我们通过一些具体的例子来理解。
比如，有 5 个不同的球，分别标有数字 1、2、3、4、5 。
从中取出 3 个排成一排，有多少种排法？这就是一个排列问题。
第一步，从 5 个球中选 3 个，有 C(5, 3) 种选法；第二步，选出的 3 个球进行排列，有 A(3, 3) 种排法。
所以总的排法就是 C(5, 3) × A(3, 3) ＝ 60 种。
再比如，从 5 个不同的球中选出 3 个组成一组，有多少种选法？这就是组合问题，直接用组合数公式 C(5, 3) ＝ 10 种。
在解决排列组合问题时，有几个重要的原则和方法需要掌握。
一个是分类加法原则。
如果完成一件事情有 n 类不同的办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。
举个例子，从甲地到乙地，有 3 条陆路可走，2 条水路可走。
那么从甲地到乙地共有 3 ＋ 2 ＝ 5 种走法。
高中数学中的排列与组合问题
高中数学中的排列与组合问题排列与组合是高中数学中一个重要且具有挑战性的概念，它们在各个数学领域以及实际生活中都有广泛的应用。
本文将介绍排列与组合的基本概念、性质以及应用，帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、排列的基本概念与计算方法在数学中，排列是指从一组元素中选取若干元素按照一定顺序进行排列的方式。
排列的计算方法可以通过阶乘的概念来进行理解和求解。
例如，对于n个元素的排列问题，总的排列数目为n的阶乘，即n!。
排列问题可以分为两种情况：有放回排列和无放回排列。
有放回排列是指在每次选取元素后将其放回原来的位置，下次仍然可以选择该元素。
无放回排列是指在每次选取元素后不再放回原来的位置，下次不能再选择该元素。
二、组合的基本概念与计算方法组合是指从一组元素中选取若干元素不考虑顺序的方式。
组合的计算方法可以通过排列的概念来进行推导和求解。
对于n个元素的组合问题，可以通过先求取这n个元素的所有可能排列数目，再除以元素自身的排列数目来得到结果。
组合问题也可以分为有放回组合和无放回组合两种情况，与排列问题类似。
三、排列与组合的性质与应用1. 互补原理：排列与组合问题中经常运用的一个原则是互补原理。
互补原理指的是如果两个事件A和B互为对立事件，即两个事件不能同时发生，那么它们的排列与组合数目之和等于总的排列与组合数目。
2. 隔板法：排列与组合问题中的隔板法是一种常见的求解方法。
它可以将一组元素划分成若干部分，每部分之间用隔板分隔，通过确定隔板的位置来求解排列与组合问题。
排列与组合在实际生活中有广泛的应用。
例如在概率统计中，我们可以使用排列与组合来计算事件发生的可能性。
在密码学中，排列与组合也被用于生成复杂的密码。
总结：排列与组合是高中数学中重要的概念，它们的基本概念和计算方法需要掌握。
了解排列与组合的性质和应用，可以帮助我们更好地理解和应用这些知识。
希望通过本文的介绍，读者能够对排列与组合有更深入的认识，并能够运用到实际问题中。
排列与组合知识讲解
排列与组合是数学中的基本概念，尤其在概率论、统计学和离散数学等领域中有着重要的应用。
以下是关于排列与组合知识的详细讲解：一、基本概念排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
排列的个数用符号Pₙₙ或P(n,m)表示。
例如，从3个不同的数字（1、2、3）中任取2个数字进行排列，可能的排列有：12、13、21、23、31、32，共6种。
因此，P₃₂= 6。
组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
组合的个数用符号Cₙₙ或C(n,m)表示。
例如，从3个不同的数字（1、2、3）中任取2个数字进行组合，可能的组合有：12、13、21、23、31、32，但由于组合不考虑顺序，所以这6种排列被视为同一种组合。
因此，C₃₂= 1。
二、计算公式排列的计算公式：Pₙₙ= n! / (n-m)!，其中“!”表示阶乘，即n! = n ×(n-1) ×(n-2) × ... ×3 ×2 ×1。
例如，P₄₂= 4! / (4-2)! = (4×3×2×1) / (2×1) = 12。
组合的计算公式：Cₙₙ= n! / [m!(n-m)!]。
这个公式也可以理解为从n个不同元素中取出m个元素的排列数除以m个元素的排列数。
例如，C₄₂= 4! / [2!(4-2)!] = (4×3×2×1) / (2×1) / (2×1) = 6。
三、排列与组合的关系排列和组合之间存在密切的关系。
对于从n个不同元素中取出m个元素的情况，排列数Pₙₙ和组合数Cₙₙ之间的关系为：Pₙₙ= m ×Cₙₙ。
这意味着从n个不同元素中取出m个元素的排列数等于从n个不同元素中取出m个元素的组合数乘以m。
高考数学中的排列组合相关知识点详解
高考数学中的排列组合相关知识点详解高中数学的重头戏之一，主要指排列与组合两个内容，对于考生而言，涉及到排列组合的内容往往是高考数学中难以挑战的一道坎。
因此，本文将从基础概念、题型分析与解题技巧等方面进行详解，希望读者能够一边阅读，一边理解，增加对该内容的熟悉和掌握程度。
一、基础概念排列和组合，其实是两个包含关系的概念。
排列是指在不同的元素中任取若干个进行排列，所得到的结果的总数，称为排列数。
组合是指在不同的元素中任取若干个，不区分顺序地取出来的方案总数，称为组合数。
常用的符号表示如下：排列：A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!/(n-m)!组合：C(n,m)=A(n,m)/A(m,m)=n!/(m!(n-m)!)=C(n,n-m)其中n表示元素数量，m表示需要取出的元素数量。
二、题型分析1. 线性排列线性排列即将元素排列成一行的形式，需要注意的是，取出后的元素不能重复出现。
此类题型比较基础，通常分为基本排列和复杂排列两种情况。
基本排列即只对不重复排列的个数统计，比较简单。
而复杂排列则需要考虑元素可重复使用的情况，比如m件相同的物品取n件，此时就需要采用较为复杂的方法进行推导。
2. 圆排列圆排列即将元素排列成一个环形，此时考虑到环的形状，即将循环同构情况进行折叠，最终推导出不重复的组合个数。
3. 组合组合题目有多种形式，比如问N个人选3个名字的组合个数，或者是将n个不同的物品分配给m个人怎样分配，这些均属于组合范畴。
对于组合，我们需要考虑两个方面：是否需要考虑元素顺序，和元素是否能够重复使用。
对于不考虑元素顺序的组合，我们采用简单的组合公式，即C(n,m)即可。
而对于考虑元素顺序的组合，可以通过将元素排列成一行的形式，再根据排列的公式进行推导。
四、解题技巧1. 借助等式变形在排列组合问题中，常常可以使用等式变形来简化问题，同时减少漏解之类的情况。
比如在组合问题中，我们常常可以将分子分母进行同除同乘等处理，从而简化计算。
高考数学排列组合
高考数学排列组合
高考数学的排列组合问题是考察考生对于排列和组合两个概念的理解和应用能力的重要内容之一。
在解题过程中，我们需要明确排列和组合的定义，灵活运用相关的公式和性质，掌握解题的一般步骤和方法，提高解题的准确性和效率。
首先，排列是指从给定的元素中按照一定的顺序选取若干个元素的方式。
根据排列的定义，可以计算排列数的公式为
P(n,r)=n!/(n-r)!，其中n表示总元素的个数，r表示选取的元素
个数。
组合是指从给定的元素中选取若干个元素的方式，而不考虑其顺序。
根据组合的定义，可以计算组合数的公式为
C(n,r)=n!/(r!(n-r)!)。
在解题过程中，首先要明确题目所问的是排列问题还是组合问题。
如果是排列问题，那么需要确定元素的顺序，并按照排列数的公式进行计算。
如果是组合问题，那么不考虑元素的顺序，并按照组合数的公式进行计算。
其次，要注意题目中的条件和要求，根据具体情况选择合适的方法和步骤。
有时候，可以通过分析题目中的关键词和信息，确定排列或组合问题的具体条件，从而简化解题的过程。
此外，掌握一些常见的排列组合问题的解题思路和技巧也是解题的关键。
比如，根据题目中给出的条件，可以通过添加元素、删除元素、交换元素等方式改变排列或组合的方式，从而解决
问题。
最后，解答问题时要注意展示清晰的解题思路和步骤，合理利用计算器和公式，确保解题过程的准确性和完整性。
通过深入理解和熟练掌握排列组合的基本概念、公式和解题方法，加强练习和应用，提高解题的能力和水平，相信可以在高考数学中取得优异的成绩。
数学高三复习知识点组合与排列
数学高三复习知识点组合与排列数学高三复习知识点：组合与排列在数学中，组合与排列是两个重要的概念，也是数学高三复习的重点知识点之一。
组合与排列在概率统计、离散数学等领域都具有广泛的应用。
本文将介绍组合与排列的基本概念及其相关性质，帮助高三学生复习和理解这一知识点。
一、排列的概念和性质排列是指从一组元素中按一定顺序取出若干个元素的方式。
设有n个元素，从中选取m个进行排列，则记为P(n,m)。
排列的计算公式为：P(n,m) = n!/(n-m)!其中，n!表示n的阶乘，表示从1乘到n的乘积。
排列的性质有以下几点：1. 排列的个数是固定的，对于不同的n和m，排列的个数是不同的。
2. 当m=n时，全排列的个数为n!。
3. 当m>n时，排列的个数为0。
4. 当m<n时，排列的个数为负数，表示无意义。
排列涉及的经典问题有：从n个元素中选出m个元素进行排列，问有多少种不重复的排列方式；从n个元素中选出m个元素进行排列，再将这m个元素进行重排列，问有多少种不同的结果等。
二、组合的概念和性质组合是指从一组元素中选取若干个元素的方式，不考虑元素的顺序。
设有n个元素，从中选取m个进行组合，则记为C(n,m)。
组合的计算公式为：C(n,m) = n!/((n-m)!m!)组合的性质有以下几点：1. 组合的个数是固定的，对于不同的n和m，组合的个数是不同的。
2. 当m=0或m=n时，组合数为1。
3. 当m>n时，组合数为0。
4. 当m<n时，组合数为正整数。
组合涉及的经典问题有：从n个元素中选出m个元素进行组合，问有多少种不重复的组合方式；从n个元素中选出m个元素进行组合，再将这m个元素进行重排列，问有多少种不同的结果等。
三、排列与组合的联系与应用排列与组合有很多联系与应用，在实际问题中经常出现。
以下是一些常见的联系与应用：1. 从n个元素中选取m个元素进行排列，等价于从n个元素中选取m个元素进行组合，再将这m个元素进行排列。
高中数学排列与组合知识点归纳
高中数学排列与组合知识点归纳
数学中的排列与组合是高中数学中的重要内容之一。
下面对排
列与组合的相关知识点进行归纳总结。
排列
排列是指从给定元素集合中选取若干个元素按照一定的顺序排
列形成的一个整体。
以下是排列的相关知识点：
1. 排列的定义：排列是从$n$个不同元素中选取$r$个进行有序
排列的方式，记作$A_n^r$。
- 全排列：当$r=n$时，称为全排列，即从$n$个元素中选取
$n$个进行有序排列，全排列的数量为$n!$。
2. 公式计算方法：对于排列问题，可以使用公式计算：
- $A_n^r=\frac{n!}{(n-r)!}$。
3. 特殊情况：
- 环排列：当排列中的元素形成一个环状排列时，称为环排列。
组合
组合是指从给定元素集合中选取若干个元素，不考虑元素的顺序形成的一个整体。
以下是组合的相关知识点：
1. 组合的定义：组合是从$n$个不同元素中选取$r$个进行无序排列的方式，记作$C_n^r$。
- 组合数：组合数指的是从$n$个元素中选取$r$个进行组合的方式的数量。
2. 公式计算方法：对于组合问题，可以使用公式计算：
- $C_n^r=\frac{n!}{r! \cdot (n-r)!}$。
3. 组合的性质：
- 对称性质：$C_n^r=C_n^{n-r}$。
综上所述，排列与组合是高中数学中常见的概念与计算方法，掌握它们有助于解决相关的概率、统计等数学问题。
2018年高考数学 考点一遍过 专题48 排列与组合 理
专题48 排列与组合（1）理解排列、组合的概念.（2）能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. （3）能解决简单的实际问题.1．排列（1）排列的定义一般地，从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. （2）排列数、排列数公式从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A mn 表示.一般地，求排列数A mn 可以按依次填m 个空位来考虑：假设有排好顺序的m 个空位，从n 个元素12,,,n a a a L 中任取m 个去填空，一个空位填1个元素，每一种填法就对应一个排列，而要完成“这件事”可以分为m 个步骤来实现.根据分步乘法计数原理，全部填满m 个空位共有(1)(2)[(1)]n n n n m ----L 种填法.这样，我们就得到公式A mn =(1)(2)(1)n n n n m ---+L ，其中,m n *∈N ，且m n ≤.这个公式叫做排列数公式.n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个元素的一个全排列，这时公式中m n =，即有A (1)(2)321n n n n n =⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯L ，就是说，n 个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积.正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用!n 表示.所以n 个不同元素的全排列数公式可以写成A !nn n =.另外，我们规定0!=1.于是排列数公式写成阶乘的形式为A mn =!()!n n m -，其中,m n *∈N ，且m n ≤.注意：排列与排列数是两个不同的概念，一个排列是指“按照一定的顺序排成一列”，它是具体的一件事，排列数是指“从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数. 2．组合（1）组合的定义一般地，从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.（2）组合数、组合数公式从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号C mn 表示.A (1)(2)(1)C A !m m n nmm n n n n m m ---+==L ，其中,m n *∈N ，且m n ≤.这个公式叫做组合数公式. 因为A mn =!()!n n m -，所以组合数公式还可以写成C mn =!!()!n m n m -，其中,m n *∈N ，且m n ≤.另外，我们规定0C 1n =.（3）组合数的性质性质1：C C m n mn n -=.性质1表明从n 个不同元素中取出m 个元素的组合，与剩下的n m -个元素的组合是一一对应关系.性质2：11C C C m m m n n n -+=+.性质2表明从1n +个不同元素中任取m 个元素的组合，可以分为两类：第1类，取出的m 个元素中不含某个元素a 的组合，只需在除去元素a 的其余n 个元素中任取m 个即可，有C mn 个组合；第2类，取出的m 个元素中含有某个元素a 的组合，只需在除去a 的其余n 个元素中任取1m -个后再取出元素a 即可，有1C m n-个组合.3考向一 排列数公式和组合数公式的应用A C A mm n nm m=这个公式体现了排列数公式和组合数公式的联系，也可以用这个关系去加强对公式的记忆.每个公式都有相应的连乘形式和阶乘形式，连乘形式多用于数字计算，阶乘形式多用于对含有字母的排列数或者组合数进行变形或证明.典例1 求下列方程中的值. （1）.（2）.,∴原方程的解是.【名师点睛】在解与排列数有关的方程或不等式时，应先求出未知数的取值范围，再利用排列数公式化简方程或不等式，最后得出问题的解.1．（1）求3467–47C C 的值；（2）设m ，n ∈N *，n ≥m ，求证：（m +1）C m m +（m +2）+1C m m +（m +3）+2C mm ++n –1C m n +（n +1）C mn =（m +1）+2+2C m n .考向二 排列问题的求解解决排列问题的主要方法有：（1）“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先.不管是从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置.（2）解决相邻问题的方法是“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列.（3）解决不相邻问题的方法是“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中.（4）对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列. （5）若某些问题从正面考虑比较复杂，可从其反面入手，即采用“间接法”.典例2 室内体育课上王老师为了丰富课堂内容，调动同学们的积极性，他把第四排的8个同学请出座位并且编号为1，2，3，4，5，6，7，8.经过观察这8个同学的身体特征，王老师决定，按照1，2号相邻，3，4号相邻，5，6号相邻，而7号与8号不相邻的要求站成一排做一种游戏，有________种排法.（用数字作答） 【答案】5762．有5盆各不相同的菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花的不同摆放种数是5A ．12B ． 24C ．36D ．48考向三 组合问题的求解组合问题的限制条件主要体现在取出的元素中“含”或“不含”某些元素，在解答时可用直接法，也可用间接法.用直接法求解时，要注意合理地分类或分步；用间接法求解时，要注意题目中“至少”“至多”等关键词的含义，做到不重不漏.典例3 某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为 A ．85B ．86C ．91D ．90【答案】B入选的方法种数为120−34=86.3．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为______________.(结果用最简分数表示)考向四 排列与组合的综合应用先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法，利用先选后排法解答问题只需要用三步即可完成.第一步：选元素，即选出符合条件的元素;第二步：进行排列，即把选出的元素按要求进行排列;第三步：计算总数，即根据分步乘法计数原理、分类加法计数原理计算方法总数.典例4 有甲、乙、丙3项任务，任务甲需要2人承担，任务乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4人承担这3项任务，不同的选法共有_______________种(用数字作答). 【答案】25204．从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为A ．300B ．216C ．180D ．1621．0C C mn m kn k n k --=∑A ．B ．C ．D ．2．某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包,每人最多抢一个,且红包被全部抢光,4个红包中有两个2元,两个3元(红包中金额相同视为相同的红包),则甲、乙两人都抢到红包的情况有7A ．35种B ．24种C ．18种3．某校为了提倡素质教育,丰富学生们的课外生活,分别成立绘画、象棋和篮球兴趣小组,现有甲、乙、丙、丁四名学生报名参加,每人仅参加一个兴趣小组,每个兴趣小组至少有一人报名,则不同报名方法有 A ．12种B ．24种C ．36种4．某节假日,校办公室随机安排从一号至六号由六位领导参加的值班．每一位领导值班一天,则校长甲与校长乙不相邻且主任丙与主任丁也不相邻的概率为 A ．B ．C ．5． 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 A ．81 B ．83 C ．85 D ．87 6．现有2个男生,3个女生和1个老师共6人站成一排照相,若两端站男生,3个女生中有且仅有2人相邻,则不同的站法种数是 A ．12 B ．24 C ．36D ．487．现有8个人排成一排照相,其中甲、乙、丙3人不能相邻的排法有 A ．·种 B ．(-·)种 C ．·种D ．(-)种8．某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教(每个地区1名教师),其中甲和乙不能都去,甲和丙只能都去或都不去,则不同的选派方案有 A ．900种 B ．600种 C ．300种D ．150种9．为了扶助乡村教育,某教育机构派出5名优秀教师志愿者去三所村级小学进行支教,每所小学至少派一名教师志愿者,则不同的分配方法有A．100种B．120种C．150种D．160种10．在二项式(+)n的展开式中,前三项的系数成等差数列,把展开式中所有的项重新排成一列,有理数都互不相邻的概率为A．B．C．D．11．在某足球赛现场,从两队的球迷中各选三名,排成一排照相,要求同一队的球迷不能相邻,则不同的排法种数为.(用数字作答)12．在“心连心”活动中,5名党员被分配到甲、乙、丙三个村子进行入户走访,每个村子至少安排1名党员参加,且A,B两名党员必须在同一个村子，则不同分配方法的种数为.13．给四面体ABCD的六条棱分别涂上红,黄,蓝,绿四种颜色中的一种,使得有公共顶点的棱所涂的颜色互不相同,则不同的涂色方法种数共有.14．现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,要求取出的这些卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为 .15．某房间并排摆有六件不同的工艺品,要求甲、乙两件工艺品必须摆放在两端,丙、丁两件工艺品必须相邻,则不同的摆放方法有种(用数字作答).16．从A,B,C,D,E五名歌手中任选三人出席某义演活动,当三名歌手中有A和B时,A需排在B的前面出场(不一定相邻),则不同的出场方法有种.1．（2017·新课标II理）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A．12种B．18种C．24种D．36种2．（2016·高考四川理）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为A．24 B．48C．60 D．723．（2017·浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______种不同的选法．（用数字作答）4．（2017·天津理）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个．（用数字作答）2．【答案】B【解析】2盆黄菊花捆绑作为一个元素与一盆红菊花排列，2盆白菊花采用插空法，所以这5盆花的不同摆放共有A22A22A23＝24种．3．【答案】28 145【解析】所取的2瓶都是不过保质期饮料的概率为227230C117C145=，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为117281145145 -=.4．【答案】C9根据分类加法计数原理可知，满足题意的四位数共有72＋108＝180个.故选C.1．【答案】D 【解析】∵,∴原式=0C C CC2C mmm k m k m m nmnm n k k ====∑∑.2．【答案】C【解析】若甲、乙抢的是一个2元和一个3元的红包,剩下2个红包,被剩下3名成员中的2名抢走,有=12(种);若甲、乙抢的是两个2元或两个3元的红包,剩下两个红包,被剩下的3名成员中的2名抢走,有=6(种).根据分类加法计数原理可得,甲、乙两人都抢到红包的情况共有12+6=18(种).3．【答案】C【解析】由题意可知,从4人中任选2人作为一个整体,共有=6(种),再把这个整体与其他2人进行全排列,对应3个活动小组,有=6(种)情况,所以共有6×6=36(种)不同的报名方法. 4．【答案】A115．【答案】D解析】由已知，4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有4216=种不同的结果，而周六、周日都有同学参加公益活动有两类不同的情况：（1）一天一人，另一天三人，有1242C A 8=种不同的结果；（2）周六、周日各2人，有24C 6=种不同的结果，故周六、周日都有同学参加公益活动有8614+=种不同的结果，所以周六、周日都有同学参加公益活动的概率为147168=，选D ． 6．【答案】B 【解析】第一步,2个男生站两端,有种站法;第二步,3个女生站中间,有种站法;第三步,老师站正中间女生的左边或右边,有种站法.由分步乘法计数原理,得共有·=24(种)站法. 7．【答案】B【解析】在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数,就得到甲、乙、丙3人不相邻的方法数,即-·,故选B.8．【答案】B【解析】依题意,就甲是否去支教进行分类计数:第一类,甲去支教,则乙不去支教,且丙也去支教,则满足题意的选派方案有=240(种);第二类,甲不去支教,且丙也不去支教,则满足题意的选派方案有=360(种).因此,满足题意的选派方案共有240+360=600(种).9．【答案】C【解析】分组有两类:①2,2,1;②3,1,1,共有+=15+10=25(种)不同的分法,再分到三所小学去,共有=6(种)不同的分法,所以不同的分配方法有25×6=150(种).故选C.10．【答案】DP=.11．【答案】72【解析】由于要求同一队的球迷不能相邻,故可利用插空法求出不同的排法种数.可分两步:第一步,同一队的3名球迷不同的排法有=6(种);第二步,由于要求同一队的球迷不能相邻,所以另一队的3名球迷必须插入首、尾中的任一个空以及中间的两个空中,不同的排法有=12(种),由分步乘法计数原理,可得不同的排法种数为6×12=72.12．【答案】36【解析】把A,B两名党员看作一个整体,则5个人可分为4个部分.把4个部分再分为3个部分,共有种方法;再把这3个部分分配到三个村子,有种不同的方法;根据分步乘法计数原理,得不同分配方法种数为=36.13．【答案】96【解析】由题意知,第一步涂DA有四种方法;第二步涂DB有三种方法;第三步涂DC有两种方法;第四步涂AB,若AB与DC相同,则一种涂法,第五步可分两种情况,若BC与AD相同,最后一步涂AC有两种涂法,若BC与AD不同,最后一步涂AC有一种涂法.若第四步涂AB,AB与CD不同,则AB涂第四种颜色,此时BC,AC只有一种涂法.综上,总的涂法种数是4×3×2×[1×(2+1)+1×1]=96.14．【答案】47213①如果同色,则先从4张红色中选取1张,再从其余三种颜色中任选一种,最后从该种颜色的卡片中选取2张即可,不同的取法有=4×3×6=72(种).②如果不同色,则先从4张红色中选取1张,再从其余三种颜色中任选两种,最后从每种颜色中选取1张,不同的取法有=4×3×4×4=192(种).由分类加法计数原理可得,不同的选取方法共有208+72+192=472(种).15．【答案】24 【解析】甲、乙两件工艺品的摆放方法有种,丙、丁与剩余的两件工艺品的摆放方法有种,由分步乘法计数原理可知,不同的摆放方法有=24种. 16．【答案】51【解析】应分没有A 和B 、只有A 或B 中的一个、A 和B 均有这三种情况进行讨论.第一类, 这三名歌手中没有A 和B ,由其他歌手出席该义演活动,共有种情况;第二类,只有A 或B 中的一个出席该义演活动,需从C ,D ,E 中选两人,共有种情况;第三类, A ,B 均出席该义演活动,需再从C ,D ,E 中选一人,因为A 在B 前,共有种情况.由分类加法计数原理得不同的出场方法有++=51种.1．【答案】D【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有24C 种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有2343C A 36⨯=种． 故选D ．【名师点睛】（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．2．【答案】D【解析】由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有44A 种排法，所以奇数的个数为443A 72=，故选D. 3．【答案】660【名师点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．4．【答案】1080【解析】41345454A C C A 1080+=．【名师点睛】计数原理包含分类加法计数原理和分步乘法计数原理，本题中组成的四位数至多有一个数字是偶数，包括四位数字有一个是偶数和四位数字全部是奇数两类，先利用分步乘法计数原理求每一类中的结果数，然后利用分类加法计数原理求总的结果数．百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。
高考数学复习考点题型归类解析46排列与组合(解析版)
高考数学复习考点题型归类解析专题46排列组合一、关键能力1. 理解排列、组合的概念，掌握排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题. （1）考查两个计数原理；（2）考查排列组合问题、概率计算中两个计数原理的应用．（3）两个计数原理是解决排列、组合问题的基本方法，同时又能独立地解决一些简单的计数问题，通常与排列组合问题或概率计算问题综合考查． 二、必备知识1. 排列的相关概念及排列数公式(1)排列的定义：从个不同元素中取出 ()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从个不同元素中取出 ()个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用表示．(3)排列数公式：这里并且(4)全排列：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，(叫做n 的阶乘).排列数公式写成阶乘的形式为，这里规定.2.组合的相关概念及组合数公式n m m n ≤n m n m m n ≤n m m n A ()()()121mn A n n n n m =---+,n m N∈m n ≤n n ()()1221!n n A n n n n =--⋅⋅=()!!m n n A n m =-0!1=(1)组合的定义：从个不同元素中取出 ()个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从个不同元素中取出 ()个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用表示．[来源:学.科.网](3)组合数的计算公式：，由于，所以.(4)组合数的性质：①；②；③.三、高频考点+重点题型 考点一 、排列问题例1-1、有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，则不同的站法共有( )A ．66种B ．60种C ．36种D ．24种 【答案】B 【分析】首先利用全排列并结合已知条件即可求解. 【详解】首先对五名学生全排列，则共有55120A =种情况，又因为只有甲在乙的左边或右边两种情况， 所以甲不排在乙的左边的不同的站法共有55602A =种情况. 故选：Bn m m n ≤n m n m m n ≤n m m n C ()()()()121!!!!mmnnmm n n n n m A n C A m m n m ---+===-0!1=01n C =m n m n n C C -=11m m m n n n C C C -+=+11r r n n rC nC --=例1-2、男生甲和女生乙及另外2男2女共6位同学排成一排拍照，要求男女生相间且甲和乙相邻，共（ ）种不同排法. 【答案】40 【分析】给6个人编号，在进行分类讨论，即可求解 【详解】不妨给6人从左至右依次编号为：123456，先讨论男女男女男女的排法， 若甲排1号位，则乙只能排二号位，剩下两男两女全排列，共有222214A A ⋅⋅=种；若甲排3号位，则乙可以选择2号位或4号位，剩下两男两女全排列，共有222228A A ⋅⋅=种； 若甲排5号位，则乙可以选择4号位或6号位，剩下两男两女全排列，共有222228A A ⋅⋅=种； 合计20种排法，若再将男女调换位置，则符合条件的总排法有20240⨯=种， 故答案为：40例1-3、名男同学、名女学生和位老师站成一排拍照合影，要求位老师必须站正中间，队伍左右两端不能同时是一男学生与一女学生，则总共有__________种排法． 【答案】 【解析】当两端都是男生时：当两端都是女生时：共有种排法 故答案为例2-1、用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有( )3322576242342288A A A ⨯⨯=242342288A A A ⨯⨯=576576A ．96个B ．78个C ．72个D ．64个 答案 B解析 根据题意知，要求这个五位数比20 000大，则万位数必须是2,3,4,5这4个数字中的一个，当万位数是3时，百位数不是数字3，符合要求的五位数有A 44＝24(个)；当万位数是2,4,5时，由于百位数不能是数字3，则符合要求的五位数有3×(A 44－A 33)＝54(个)，因此共有54＋24＝78(个)这样的五位数符合要求．故选B. 例2-2、用0,1,2,3,4,5这6个数字． (1)能组成多少个无重复数的四位偶数？(2)能组成多少个奇数数字互不相邻的六位数(无重复数字)? (1)156 (2)132(1)符合要求的四位偶数可分为三类： 第一类：0在个位时,有A 35个；第二类：2在个位时,首位从1,3,4,5中选定1个(A 14种),十位和百位从余下的数字中选,有A 24种,于是有A 14·A 24个；第三类：4在个位时,与第二类同理,也有A 14·A 24个．由分类加法计数原理得,共有A 35＋2A 14·A 24＝156(个)．(2) 先排0,2,4,再让1,3,5插空,总的排法共A 33A 34＝144(种),其中0在排头,将1,3,5插在后3个空的排法共A 22·A 33＝12(种),此时构不成六位数,故总的六位数的个数为A 33A 34－A 22A 33＝144－12＝132(种).对点练1．（2021·浙江高二期中）将编号为、、、、的个小球全部放入、、三个盒子内，若每个盒子不空，且放在同一个盒子内的小球编号不相连，则不同的方法总数有（）123455A B CA ．B ．C ．D ． 【答案】A 【解析】将编号为、、、、的个小球，根据小球的个数可分为、、或、、两组. ①当三个盒子中的小球个数分别为、、时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，故个小球的编号只能是、、的在一个盒子里，故只有一种分组方法，再分配到三个盒子，此时共有种分配方法；②当三个盒子中的小球个数分别为、、时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，此时放个小球的盒子中小球的编号分别为、或、或、或、或、或、，共种，再分配到三个盒子中，此时，共有种.综上所述，不同的放法种数为种. 故选：A.对点练2.（2021·江西·横峰中学高二期中（理））现从8名学生干部中选出3名同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是________.（用数字作答） 【答案】336 【分析】根据排列定义及公式即可求解. 【详解】423648601234551131221133135336A =1222()1,3()2,4()1,3()2,5()1,4()2,5()1,4()3,5()1,5()2,4()2,4()3,5633636A =64362+=从8名学生干部中选出3名同学排列的种数为38876336A=⨯⨯=，故共有336种不同的选派方案.故答案为：336考点二.组合问题例3-1、(2018·全国Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有______种．(用数字填写答案)答案16解析方法一按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有C12C24种，有2位女生参加有C22C14种．故所求选法共有C12C24＋C22C14＝2×6＋4＝16(种)．方法二间接法：从2位女生，4位男生中选3人，共有C36种情况，没有女生参加的情况有C34种，故所求选法共有C36－C34＝20－4＝16(种)．例3-2．从7名男生，5名女生中选取5人，至少有2名女生入选的种数为________．答案596解析“至少有2名女生”的反面是“只有一名女生或没有女生”，故可用间接法，所以有C512－C1515C47－C57＝596(种)．例4-1．(2021·衡水中学调研)为了应对美欧等国的经济制裁，俄罗斯天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为________．答案182解析甲、乙中裁一人的方案有C12C38种，甲、乙都不裁的方案有C48种，故不同的裁员方案共有C12C38＋C48＝182(种)．例4-2.（2021·河南高考模拟（理））安排，，，，，，共6名义工照顾A B C D E F甲，乙，丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工不安排照顾老人甲，义工不安排照顾老人乙，则安排方法共有（ ） A.30种B.40种C.42种D.48种 【答案】C 【解析】名义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位老人共有：种安排方法其中照顾老人甲的情况有：种照顾老人乙的情况有：种照顾老人甲，同时照顾老人乙的情况有：种符合题意的安排方法有：种本题正确选项：对点练1、甲、乙两人从4门课程中各选修2门．求：(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？ (2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？ (1)24 (2)30(1)解法1：甲或乙中一人先选,方法有C 24,另一人再选,有C 12C 12种,则选法种数共有C 24C 12C 12＝24(种)．解法2：先确定相同的那一门,有C 14种,再甲、乙各选一本不同的,有A 23种,则选法种数共有C 14·A 23＝24(种)．(2)甲、乙两人从4门课程中各选两门不同的选法种数为C 24C 24,又甲、乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C 24种,因此满足条件的不同选法种数为C 24C 24－C 24＝30(种).对点练2、.（湖南高考真题）在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允A B 62264C C 90=A 1254C C 30=B 1254C C 30=A B 1143C C 12=∴9030301242--+=C许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（ ） A.10B.11C.12D.15 【答案】B 【解析】由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有C 42=6个；第二类：与信息0110有一个对应位置上的数字相同有C 41=4个；第三类：与信息0110有没有两个对应位置上的数字相同有C 40=1个，由分类计数原理与信息0110至多有两个数字对应位置相同的共有6+4+1=11个，故选B ．对点练3．（2021·浙江温州·高三月考）一个盒子里装有7个大小､形状完成相同的小球，其中红球4个，编号分别为1，2，3，4，黄球3个，编号分别为1，2，3，从盒子中任取4个小球，其中含有编号为3的不同取法有________种. 【答案】30 【解析】从反面考虑，总数为,不含有编号为3的总数为,即得解. 【详解】从反面考虑，总数为,不含有编号为3的总数为,所以含有编号为3的总数为.故答案为：30.47C 45C 47C 45C 447530C C -=变式4.(2021·杭州二模)若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有( )A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种 D共有4个不同的偶数和5个不同的奇数,要使和为偶数,则4个数全为奇数,或全为偶数,或2个奇数和2个偶数,故不同的取法有C 45＋C 44＋C 25C 24＝66(种),故选D ．考点三、排列与组合的综合问题例5、（多选题）2021年3月，为促进疫情后复工复产期间安全生产，滨州市某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到，，三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（） A ．若企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种 B ．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种C ．若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到企业，则所有不同分派方案共12种D ．所有不同分派方案共种 【答案】ABC 【解析】对于选项A ：若企业没有派医生去，每名医生有种选择，则共用种，若企业派1名医生则有种，所以共有种.对于选项B ：若每家企业至少分派1名医生，则有种， A B C C A 34C 24216=C 134232C ⋅=163248+=211342132236C C C A A ⋅=对于选项C ：若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到企业，若甲企业分人，则有种；若甲企业分 人，则有种，所以共有种.对于选项D ：所有不同分派方案共有种. 故选：例6、（2017·浙江高考真题）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答） 【答案】660 【解析】第一类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有种；第二类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有种，根据分类计数原理共有种，故答案为.对点练1.（2021·浙江·诸暨市教育研究中心高二期末）用红、黄、蓝三种颜色填涂如图所示的六个方格，要求有公共边的两个方格不同色，则不同的填涂方法有（ ）A ．96种B ．48种C ．144种D ．72种 【答案】D 【分析】A 2336A =12123126C C A =6612+=43ABC 13316240C C =422412A =4012480⨯=22226215C C =422412A =1512180⨯=480180660+=660将涂色方法分为两类，即,,,A B D F 用三种颜色涂和用两种颜色涂，分别计算出两种情况下涂色方案的种数，根据分类加法计数原理即可求得结果.【详解】将六个方格标注为,,,,,A B C D E F ，如下图所示，①若,,,A B D F 用三种颜色涂，则,D F 同色或AF 同色或AD 同色，当,D F 同色时，六个方格的涂色方法有313212A C =种；当AF 同色时，六个方格的涂色方法有313212A C =种；当AD 同色时，六个方格的涂色方法有31132224A C C =种；②若,,,A B D F 用两种颜色涂，则,,A D F 同色，此时六个方格的涂色方法有21132224A C C =种； 综上所述：不同的填涂方法有1212242472+++=种.故选：D.对点练2.(2021·福建福州模拟)福州西湖公园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，不同的安排方案共有 ()A ．90种B ．180种C ．270种D ．360种【答案】B【解析】根据题意，分3步进行分析：①在6位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有166C =种情况；②在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有C 15＝5种情况；③将剩下的4个志愿者平均分成2组，然后安排到剩下的2个展区，有种情况，则一共有6×5×6＝180种不同的安排方案，故选B.巩固训练一. 单选题1．三名学生报名参加校园文化活动，活动共有三个项目，每人限报其中一项，则恰有两名学生报同一项目的报名方法种数有（ ）A ．6种B ．9种C ．18种D ．36种【答案】C【分析】根据题意首先从三名学生中选2名选报同一项目，再从三个项目中选2项项目，全排即可.【详解】由题意可得22233233218C C A ⋅⋅=⨯⨯=，故选：C2．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说:“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说:“你不会是最差的”，从这两个回答分析，这5人的名次排列所有可能的情况共有（ ）A ．18种B ．36种C ．54种D ．72种【答案】C【分析】222422226C C A A ⨯=甲、乙不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有可能是第二、三、四名3种情况；再排甲，也有3种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理即可得到结果．【详解】由题意得：甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有可能是第二、三、四名3种情况；再排甲，也有3种情况；余下3人有33A 种排法．故共有33333332154A ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=种不同的情况．故选：C.3.某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A ．72B ．120C ．144D ．168答案 B解析 安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有A 22C 13A 23＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有A 22A 34＝48(种)安排方法，故共有36＋36＋48＝120(种)安排方法．4.大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A ，B ，C ，D 四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A 家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有( )A．18种B．24种C．36种D．48种答案 B解析根据题意，分两种情况讨论：①A家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C23×C12×C12＝12(种)乘坐方式；②A家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C13×C12×C12＝12(种)乘坐方式，故共有12＋12＝24(种)乘坐方式，故选B.5．某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为()A．16 B．18 C．24 D．32答案 C解析将4个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆不同型号的车，在3个车位上任意排列，有A33＝6(种)排法，再将捆绑在一起的4个车位插入4个空档中，有4种方法，故共有4×6＝24(种)方法．6．互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法() A．A55种B．A22种C．A24A22种D．C12C12A22A22种答案 D解析红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，即红色菊花两边各一盆白色菊花，一盆黄色菊花，共有C12C12A22A22种摆放方法．7．十三届全国人大二次会议于2021年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员(含A，B两市代表团)安排至a，b，c三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A，B两市代表团必须安排在a宾馆入住，则不同的安排种数为()A．6 B．12 C．16 D．18答案 B解析如果仅有A，B入住a宾馆，则余下三个代表团必有2个入住同一个宾馆，此时共有C23A22＝6(种)安排数，如果有A，B及其余一个代表团入住a宾馆，则余下两个代表团入住b，c，此时共有C13A22＝6(种)安排数，综上，共有不同的安排种数为12.8．马路上有七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案共有()A．60种B．20种C．10种D．8种答案 C解析根据题意，可分为两步：第一步，先安排四盏不亮的路灯，有1种情况；第二步，四盏不亮的路灯排好后，有5个空位，在5个空位中任意选3个，插入三盏亮的路灯，有C35＝10(种)情况．故不同的开灯方案共有10×1＝10(种)．9．有5列火车分别准备停在某车站并行的5条轨道上，若快车A不能停在第3道上，货车B不能停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法数为()A．56 B．63 C．72 D．78答案 D解析若没有限制，5列火车可以随便停，则有A55种不同的停靠方法；快车A停在第3道上，则5列火车不同的停靠方法为A44种；货车B停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法为A44种；快车A停在第3道上，且货车B停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法为A33种，故符合要求的5列火车不同的停靠方法数为A55－2A44＋A33＝120－48＋6＝78.10．身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数共有()A．24种B．28种C．36种D．48种答案 D解析分类计数原理，按红红之间有蓝无蓝两类来分．(1)当红红之间有蓝时，则有A22A24＝24(种)．(2)当红红之间无蓝时，则有C12A22C12C13＝24(种)；因此，这五个人排成一行，穿相同颜色衣服的人不能相邻，则有48种排法．11．(2017·全国Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A．12种B．18种C．24种D．36种答案 D解析由题意可知，其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C 13·C 24·A 22＝36(种)，或列式为C 13·C 24·C 12＝3×4×32×2＝36(种)．12．若一个四位数的各位数字之和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2 017”．试问用数字0,1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字且大于2 017的“完美四位数”的个数为( )A ．55B ．59C ．66D ．71答案 D解析 记千位为首位，百位为第二位，十位为第三位，由题设中提供的信息可知，和为10的无重复的四个数字有(0,1,2,7)，(0,1,3,6)，(0,1,4,5)，(0,2,3,5)，(1,2,3,4)，共五组．其中第一组(0,1,2,7)中，7排在首位有A 33＝6(种)情形，2排在首位，1或7排在第二位上时，有2A 22＝4(种)情形，2排在首位，0排在第二位，7排在第三位有1种情形，共有6＋4＋1＝11(种)情形符合题设；第二组中3,6分别排在首位共有2A 33＝12(种)情形；第三组中4,5分别排在首位共有2A 33＝12(种)情形；第四组中2,3,5分别排在首位共有3A 33＝18(种)情形；第五组中2,3,4分别排在首位共有3A 33＝18(种)情形．依据分类计数原理可知符合题设条件的“完美四位数”共有11＋12＋12＋18＋18＝71(个)二. 填空题13．（2018·浙江高考真题）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)【答案】1260.【解析】若不取零，则排列数为224534C C A ,若取零，则排列数为21135333C C A A ,因此一共有22421135345333C C A C C A A 1260+=个没有重复数字的四位数. 14．用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）【答案】1080【解析】41345454A C C A 1080+=15.在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．【答案】120【解析】①1男4女，1436C C 45=种；②2男3女，2336C C 60=种；③3男2女，3236C C 15=种；∴一共有456015120++=种．故答案为：120.16.（2021·全国高考真题（理））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.【答案】36【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学∴先取2名同学看作一组，选法有：246C =现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A =根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636⨯=种故答案为：36.17．用数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的6位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是________．答案40解析第一步将3,4,5,6按奇偶相间排成一列，共有2×A22×A22＝8(种)排法；第二步再将1,2捆绑插入4个数字产生的5个空位中，共有A15＝5(种)插法，插入时需满足条件相邻数字的奇偶性不同，1,2的排法由已排4个数的奇偶性确定．∴不同的排法有8×5＝40(种)，即这样的六位数有40个．18．某省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为________．答案180解析设五名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊，由题意，如果甲不参加“围棋苑”，有下列两种情况：(1)从乙、丙、丁、戊中选一人(如乙)参加“围棋苑”，有C14种方法，然后从甲与丙、丁、戊共4人中选2人(如丙、丁)并成一组与甲、戊分配到其他三个社团中，有C24A33种方法，这时共有C14C24A33种参加方法；(2)从乙、丙、丁、戊中选2人(如乙、丙)参加“围棋苑”，有C24种方法，甲与丁、戊分配到其他三个社团中有A33种方法，这时共有C24A33种参加方法；综合(1)(2)，共有C14C24A33＋C24A33＝180(种)参加方法．19．从4名男生和3名女生中选出4名去参加一项活动，要求男生甲和乙不能同时参加，女生中的丙和丁至少有一名参加，则不同的选法种数为________．(用数字作答) 答案 23解析 ①设甲参加，乙不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为C 35－C 33＝9，②设乙参加，甲不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为C 35－C 33＝9，③设甲，乙都不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为C 45＝5， 综合①②③得，不同的选法种数为9＋9＋5＝23.20．某宾馆安排A ，B ，C ，D ，E 五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A ，B 不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法．(用数字作答)答案 114解析 5个人住3个房间，每个房间至少住1人，则有(3,1，1)和(2,2,1)两种，当为(3,1,1)时，有C 35·A 33＝60(种)，A ，B 住同一房间有C 13·A 33＝18(种)，故有60－18＝42(种)，当为(2,2,1)时，有C 25·C 23A 22·A 33＝90(种)，A ，B 住同一房间有C 23·A 33＝18(种)， 故有90－18＝72(种)，根据分类计数原理可知，共有42＋72＝114(种)．三. 解答题21．求下列各式中的正整数n ：（1）33210n n A A =；（2）101098765n A =⨯⨯⨯⨯⨯．21 / 21 【答案】（1）8n =（2）6【分析】（1）根据排列数公式列出方程即可求解；（2）根据排列数公式列出方程即可求解； （1）解：因为33210n n A A =，所以()()()()221221012n n n n n n ⨯-⨯-=⨯⨯-⨯-，解得8n =； （2）解：因为101098765n A =⨯⨯⨯⨯⨯，又()10109101n A n =⨯⨯⨯-+，所以1015n -+=，解得6n =.22．利用组合数公式证明111m m m n n n C C C ++++=．【答案】证明见解析【分析】利用组合数公式分别计算等式左右两边即可证明.【详解】证明：因为()11(1)!1!()!m n n C m n m +++=+-，()()()1!11!!!(1)!(1)!!()!(1)!()!(1)!()!m m n n n n m m n n n C C n m m m n m m n m m n m +⎡⎤-+++⎣⎦++==--+-+--=+， 所以111m m m n n n C C C ++++=。
2018年高考数学(理)总复习高考达标检测(四十四)排列与组合常考3类型——排列、组合、分组分配
高考达标检测（四十四）排列与组合常考3类型——排列、组合、分组分配一、选择题1．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )A．12种B．18种C．24种D．36种解析:选A 由分步乘法计数原理，先排第一列，有A33种方法，再排第二列，有2种方法，故共有A33×2＝12种排列方法．2．有5名优秀毕业生到母校的3个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为( )A．150 B．180C．200 D．280解析:选 A 分两类:一类，3个班分派的毕业生人数分别为2,2,1，则有C25C23A22·A33＝90种分派方法；另一类，3个班分派的毕业生人数分别为1,1,3，则有C35·A33＝60种分派方法．所以不同分派方法种数为90＋60＝150、3．将标号为1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1,2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为( ) A．15 B．20C．30 D．42解析:选C 四个篮球中两个分到一组有C24种分法，三组篮球进行全排列有A33种，标号1,2的两个篮球分给同一个小朋友有A33种分法，所以有C24A33－A33＝36－6＝30种分法，故选C、4．有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是( )A．24 B．48C．72 D．96解析:选B 据题意可先摆放2本语文书，当1本物理书在2本语文书之间时，只需将2本数学书插在前3本书形成的4个空中即可，此时共有A22A24种摆放方法；当1本物理书放在2本语文书一侧时，共有A22A12C12C13种不同的摆放方法，由分类加法计数原理可得共有A22A24＋A22A12C12C13＝48种摆放方法．5．现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数是( )A．12 B．6C．8 D．16解析:选A 若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法，这时，共有C12×3＝6种方法；若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，这时，共有3×2＝6种方法．综上可得，不同的考试安排方案共有6＋6＝12种．6．(2016·昆明调研)航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学试验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，每侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为( )A．72 B．324C．648 D．1 296解析:选D 核潜艇排列数为A22，6艘舰艇任意排列的排列数为A66，同侧均是同种舰艇的排列数为A33A33×2，则舰艇分配方案的方法数为A22(A66－A33A33×2)＝1 296、7．(2016·青岛模拟)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( )A．18种B．24种C．36种D．72种解析:选C 一个路口有3人的分配方法有C13C22A33(种)；两个路口各有2人的分配方法有C23C22A33(种)．∴由分类加法计数原理，甲、乙在同一路口的分配方案为C13C22A33＋C23C22A33＝36(种)．8．市内某公共汽车站有6个候车位(成一排)，现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是( )A．48 B．54C．72 D．84解析:选C 由题意，先把3名乘客全排列，有A33种排法，产生四个空，再将2个连续空座位和一个空座位插入四个空中，有A24种排法，则共有A33·A24＝72(种)候车方式．故选C、二、填空题9．(2017·洛阳统考)四名学生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案有________种．解析:分两步:先将四名学生分成2,1,1三组，共有C24种；而后，对三组学生进行全排列，有A33种．依分步乘法计数原理有C24A33＝36(种)保送方案．答案:3610．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有________种．解析:把g，o，o，d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步:排g和d，共有A24种排法；第二步:排两个o，共一种排法，所以总的排法种数有A24＝12(种)．其中正确的有一种，所以错误的共有A24－1＝12－1＝11(种)．答案:1111．(2017·江苏淮海中学期中)若A ，B ，C ，D ，E ，F 六个不同元素排成一列，要求A 不排在两端，且B ，C 相邻，则不同的排法有________种(用数字作答)．解析:由于B ，C 相邻，把B ，C 看做一个整体，有2种排法．这样，6个元素变成了5个．先排A ，由于A 不排在两端，则A 在中间的3个位子中，有A 13＝3种方法，其余的4个元素任意排，有A 44种不同方法，故不同的排法有2×3×A 44＝144种．答案:14412．(2017·济南模拟)航天员拟在太空授课，准备进行标号为0,1,2,3,4,5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中0号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为________(用数字作答)．解析:优先安排第一项实验，再利用定序问题相除法求解．由于0号实验不能放在第一项，所以第一项实验有5种选择．最后两项实验的顺序确定，所以共有5A 55A 22＝300种不同的编排方法．答案:300 三、解答题13．将7个相同的小球放入4个不同的盒子中． (1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？ (2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？解:(1)将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空当中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有C 36＝20种不同的放入方式．(2)每种放入方式对应于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有C 310＝120种放入方式．14．(2017·郑州检测)有5名男生和3名女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，分别求符合下列条件的选法数:(1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定要担任语文课代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表． 解:(1)先选后排．符合条件的课代表人员的选法有(C 35C 23＋C 45C 13)种，排列方法有A 55种，所以满足题意的选法有(C 35C 23＋C 45C 13)·A 55＝5 400(种)．(2)除去该女生后，即相当于挑选剩余的7名学生担任四科的课代表，有A 47＝840(种)选法．(3)先选后排．从剩余的7名学生中选出4名有C 47种选法，排列方法有C 14A 44种，所以选法共有C 47C 14A 44＝3 360(种)．(4)先从除去该男生和该女生的6人中选出3人，有C 36种选法，该男生的安排方法有C 13种，其余3人全排列，有A 33种，因此满足题意的选法共有C 36C 13A 33＝360(种)．高考达标检测（一） 集 合一、选择题1．(2017·郑州质量预测)设全集U ＝{x ∈N *|x ≤4}，集合A ＝{1,4}，B ＝{2,4}，则∁U (A ∩B )＝( )A ．{1,2,3}B ．{1,2,4}C ．{1,3,4}D ．{2,3,4}解析:选A 因为U ＝{1,2,3,4}，A ∩B ＝{4}，所以∁U (A ∩B )＝{1,2,3}，故选A 、 2．(2017·福州模拟)集合A ＝{－3，－1,2,4}，B ＝{x |2x<8}，则A ∩B ＝( ) A ．{－3} B ．{－1,2} C ．{－3，－1,2}D ．{－3，－1,2,4}解析:选C 由题意知，集合A ＝{－3，－1,2,4}，B ＝{x |2x <8}＝{x |x <3}，则A ∩B ＝ {－3，－1,2}，故选C 、3．(2017·重庆适应性测试)设全集U ＝R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x －1x －2>0，B ＝{x ∈R|0<x <2}，则(∁U A )∩B ＝( )A ．(1,2]B ．[1,2)C ．(1,2)D ．[1,2]解析:选B 依题意得∁U A ＝{x |1≤x ≤2}，(∁U A )∩B ＝{x |1≤x <2}＝[1,2)，选B 、 4．(2017·武汉调研)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x 2＋2x －8>0}，则A ∪B ＝( )A ．(－∞，－4)∪[－2，＋∞)B ．(2,3]C ．(－∞，3]∪(4，＋∞)D ．[－2,2)解析:选A 因为B ＝{x |x >2或x <－4}，所以A ∪B ＝{x |x <－4或x ≥－2}，故选A 、 5．(2016·浙江高考)已知集合P ＝{x ∈R|1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R|x 2≥4}，则P ∪(∁R Q )＝( )A ．[2,3]B ．(－2,3]C．[1,2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析:选B ∵Q＝{x∈R|x2≥4}，∴∁R Q＝{x∈R|x2＜4}＝{x∈R|－2＜x＜2}．∵P＝{x∈R|1≤x≤3}，∴P∪(∁R Q)＝{x∈R|－2＜x≤3}＝(－2,3]．6．设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数是( )A．7 B．10C．25 D．52解析:选B 因为A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}．由x∈A∩B，可知x可取0,1；由y∈A∪B，可知y可取－1,0,1,2,3、所以元素(x，y)的所有结果如下表所示:所以A*B中的元素共有10个．7．(2017·吉林一模)设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x>a}，若A∩B中只有一个元素，则实数a的取值范围是( )A．{a|a<1} B．{a|0≤a<1}C．{a|a≥1} D．{a|a≤1}解析:选B 由题意知，集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x>a}，画出数轴(图略)．若A∩B 中只有一个元素，则0≤a<1，故选B、8．设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q＝( )A．{x|0<x<1} B．{x|0<x≤1}C．{x|1≤x<2} D．{x|2≤x<3}解析:选B 由log2x<1，得0<x<2，所以P＝{x|0<x<2}．由|x－2|<1，得1<x<3，所以Q＝{x|1<x<3}．由题意，得P －Q ＝{x |0<x ≤1}． 二、填空题9．(2017·辽宁师大附中调研)若集合A ＝{x |(a －1)·x 2＋3x －2＝0}有且仅有两个子集，则实数a 的值为________．解析:由题意知，集合A 有且仅有两个子集，则集合A 中只有一个元素．当a －1＝0，即a ＝1时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，满足题意；当a －1≠0，即a ≠1时，要使集合A 中只有一个元素，需Δ＝9＋8(a －1)＝0，解得a ＝－18、综上可知，实数a 的值为1或－18、答案:1或－1810．(2017·湖南岳阳一中调研)已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是________．解析:由∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥2}， 且A ∪(∁R B )＝R ， 可得a ≥2、 答案:[2，＋∞)11．(2017·贵阳监测)已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是全集U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件:①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A 、则集合A ＝________、(用列举法表示)解析:假设a 1∈A ，则a 2∈A ，由若a 3∉A ，则a 2∉A 可知，a 3∈A ，故假设不成立；假设a 4∈A ，则a 3∉A ，a 2∉A ，a 1∉A ，故假设不成立．故集合A ＝{a 2，a 3}．答案:{a 2，a 3}12．(2016·北京高考)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有________种； ②这三天售出的商品最少有________种．解析:设三天都售出的商品有x 种，第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y 种，则三天售出商品的种类关系如图所示．由图可知:①第一天售出但第二天未售出的商品有19－(3－x )－x ＝16(种)． ②这三天售出的商品有(16－y )＋y ＋x ＋(3－x )＋(6＋x )＋(4－x )＋(14－y )＝43－y (种)．由于⎩⎪⎨⎪⎧16－y ≥0，y ≥0，14－y ≥0，所以0≤y ≤14、所以(43－y )min ＝43－14＝29、 答案:①16 ②29 三、解答题13．设全集U ＝R ，A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2<x <4}，C ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}． (1)分别求A ∩B ，A ∪(∁U B )；(2)若B ∪C ＝B ，求实数a 的取值范围．解:(1)由题意知，A ∩B ＝{x |1≤x ≤3}∩{x |2<x <4}＝{x |2<x ≤3}． 易知∁U B ＝{x |x ≤2或x ≥4}，所以A ∪(∁U B )＝{x |1≤x ≤3}∪{x |x ≤2或x ≥4}＝{x |x ≤3或x ≥4}．(2)由B ∪C ＝B ，可知C ⊆B ，画出数轴(图略)，易知2<a <a ＋1<4，解得2<a <3、故实数a 的取值范围是(2,3)．14．(2017·青岛模拟)若集合M ＝{x |－3≤x ≤4}，集合P ＝{x |2m －1≤x ≤m ＋1}． (1)证明M 与P 不可能相等；(2)若集合M 与P 中有一个集合是另一个集合的真子集，求实数m 的取值范围． 解:(1)证明:若M ＝P ，则－3＝2m －1且4＝m ＋1，即m ＝－1且m ＝3，不成立． 故M 与P 不可能相等．(2)若P M ，当P ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1<4，m ＋1≥2m －1或⎩⎪⎨⎪⎧－3<2m －1，m ＋1≤4，m ＋1≥2m －1，解得－1≤m ≤2；当P ＝∅时，有2m －1>m ＋1，解得m >2，即m ≥－1； 若M P ，则⎩⎪⎨⎪⎧－3≥2m －1，4<m ＋1，m ＋1≥2m －1或⎩⎪⎨⎪⎧－3>2m －1，4≤m ＋1，m ＋1≥m －1，无解．综上可知，当有一个集合是另一个集合的真子集时，只能是P M ，此时必有m ≥－1，即实数m 的取值范围为[－1，＋∞)．。
高中数学复习排列与组合
高中数学复习排列与组合在高中数学学习中，排列与组合是不可或缺的基础知识点。
它们是数学中与选择、安排、计数相关的概念，广泛应用于概率、统计、组合数学等领域。
本文将从排列与组合的基本概念入手，逐步深入探讨相关内容，并通过例题进行巩固和练习。
一、排列与组合的概念1.1 排列的概念排列是指从给定的元素集合中按照一定的顺序取出若干元素进行排列。
对于含有 n 个元素的集合，从中取出 r 个元素进行排列的方式数称为排列数，用符号 P(n,r) 表示。
1.2 组合的概念组合是指从给定的元素集合中任意取出若干元素进行组合。
对于含有 n 个元素的集合，从中取出 r 个元素进行组合的方式数称为组合数，用符号 C(n,r) 表示。
二、排列的计算方法2.1 全排列当从 n 个不同元素中取出 n 个元素进行排列时，所有可能的排列方式数为 n! (n 的阶乘)。
2.2 有限排列当从 n 个不同元素中取出r (r≤n) 个元素进行排列时，所有可能的排列方式数为 P(n,r) = n!/(n-r)!。
2.3 循环排列当从 n 个同类元素中取出 r 个元素进行排列时，所有可能的循环排列方式数为 P(n,r)/r，其中 P(n,r) 表示全排列方式数，r 表示每个循环中的元素个数。
三、组合的计算方法3.1 组合数的计算公式组合数通过以下公式进行计算：C(n,r) = n!/[r!(n-r)!]，其中 n 为总元素个数，r 为取出的元素个数。
3.2 组合数的性质组合数具有以下性质：- 互补性质：C(n,r) = C(n,n-r)- 加法原理：C(n,r) + C(n,r+1) = C(n+1,r+1)- 递推关系：C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r)四、排列与组合的应用4.1 概率问题在概率问题中，排列与组合常被用于计算事件发生的可能性。
通过计算排列与组合数，可以得出不同事件的发生概率，并进行概率的运算与推导。
2018年高考数学专题43排列与组合热点题型和提分秘籍理
专题43 排列与组合1．理解排列、组合的概念2．理解排列数公式、组合数公式3．能利用公式解决一些简单的实际问题热点题型一排列问题例1、有5个同学排队照相，求：(1)甲、乙两个同学必须相邻的排法有多少种？(2)甲、乙、丙3个同学互不相邻的排法有多少种？(3)乙不能站在甲前面，丙不能站在乙前面的排法有多少种？(4)甲不站在中间位置，乙不站在两端两个位置的排法有多少种？解析：(1)这是典型的相邻问题，采用捆绑法。
先排甲、乙，有A22种方法，再与其他3名同学排列，共有A22·A44＝48(种)不同排法。
(2)这是不相邻问题，采用插空法，先排其余的2名同学，有A22种排法，出现3个空，将甲、乙、丙插空，所以共有A22·A33＝12(种)排法。
(3)这是顺序一定问题，由于乙不能站在甲前面，丙不能站在乙前面，故3人只能按甲、乙、丙这一种顺序排列。
(4)方法一：(直接法)若甲排在了两端的两个位置之一，甲有A12种，乙有A13种，其余3人有A33种，所以共有A12·A13·A33种；若甲排在了第2和第4两个位置中的一个，有A12种，这时乙有A12种，其余3人有A33种，所以一共有A12·A12·A33种，因此符合要求的一共有A12·A13·A33＋A12·A12·A33＝60(种)排法。
方法二：(间接法)5个人全排列有A55种，其中甲站在中间时有A44种，乙站在两端时有2A44种，且甲站中间同时乙在两端时有2A33种，所以一共有A55－A44－2A44＋2A33＝60(种)排法。
【提分秘籍】求解排列应用题的主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中先整体后局部“小集团”排列问题中先整体后局部定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反，等价转化的方法【举一反三】8名游泳运动员参加男子100米的决赛，已知游泳池有从内到外编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的8条泳道，若指定的3名运动员所在的泳道编号必须是3个连续数字(如：5,6,7)，则参加游泳的这8名运动员被安排泳道的方式共有( )A．360种 B．4 320种 C．720种 D．2 160种热点题型二组合问题例2、从7名男生5名女生中选取5人当班干部，分别求符合下列条件的选法总数有多少种。
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高考达标检测（四十四）排列与组合常考3类型——排列、组合、分组分配
一、选择题
1．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )
A．12种B．18种
C．24种D．36种
解析：选A 由分步乘法计数原理，先排第一列，有A33种方法，再排第二列，有2种方法，故共有A33×2＝12种排列方法．
2．有5名优秀毕业生到母校的3个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为( )
A．150 B．180
C．200 D．280
解析：选A 分两类：一类，3个班分派的毕业生人数分别为2,2,1，则有C25C23
A22
·A33＝90
种分派方法；另一类，3个班分派的毕业生人数分别为1,1,3，则有C35·A33＝60种分派方法．所以不同分派方法种数为90＋60＝150.
3．将标号为1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1,2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为( ) A．15 B．20
C．30 D．42
解析：选C 四个篮球中两个分到一组有C24种分法，三组篮球进行全排列有A33种，标号1,2的两个篮球分给同一个小朋友有A33种分法，所以有C24A33－A33＝36－6＝30种分法，故选C.
4．有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是( )
A．24 B．48
C．72 D．96
解析：选B 据题意可先摆放2本语文书，当1本物理书在2本语文书之间时，只需将2本数学书插在前3本书形成的4个空中即可，此时共有A22A24种摆放方法；当1本物理书放在2本语文书一侧时，共有A22A12C12C13种不同的摆放方法，由分类加法计数原理可得共有A22A24＋A22A12C12C13＝48种摆放方法．
5．现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数是( )
A．12 B．6
C．8 D．16
解析：选A 若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法，这时，共有C12×3＝6种方法；若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，这时，共有3×2＝6种方法．综上可得，不同的考试安排方案共有6＋6＝12种．
6．(2016·昆明调研)航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学试验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，每侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为( )
A．72 B．324
C．648 D．1 296
解析：选D 核潜艇排列数为A22，6艘舰艇任意排列的排列数为A66，同侧均是同种舰艇的排列数为A33A33×2，则舰艇分配方案的方法数为A22(A66－A33A33×2)＝1 296.
7．(2016·青岛模拟)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( )
A．18种B．24种
C．36种D．72种
解析：选C 一个路口有3人的分配方法有C13C22A33(种)；
两个路口各有2人的分配方法有C23C22A33(种)．
∴由分类加法计数原理，甲、乙在同一路口的分配方案为C13C22A33＋C23C22A33＝36(种)．
8．市内某公共汽车站有6个候车位(成一排)，现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是( )
A．48 B．54
C．72 D．84
解析：选C 由题意，先把3名乘客全排列，有A33种排法，产生四个空，再将2个连续空座位和一个空座位插入四个空中，有A24种排法，则共有A33·A24＝72(种)候车方式．故选
C.
二、填空题
9．(2017·洛阳统考)四名学生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案有________种．
解析：分两步：先将四名学生分成2,1,1三组，共有C24种；而后，对三组学生进行全排列，有A33种．依分步乘法计数原理有C24A33＝36(种)保送方案．
答案：36
10．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有________种．
解析：把g，o，o，d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A24种
排法；第二步：排两个o ，共一种排法，所以总的排法种数有A 2
4＝12(种)．其中正确的有一种，所以错误的共有A 24－1＝12－1＝11(种)．
答案：11
11．(2017·江苏淮海中学期中)若A ，B ，C ，D ，E ，F 六个不同元素排成一列，要求A 不排在两端，且B ，C 相邻，则不同的排法有________种(用数字作答)．
解析：由于B ，C 相邻，把B ，C 看做一个整体，有2种排法．这样，6个元素变成了5个．先排A ，由于A 不排在两端，则A 在中间的3个位子中，有A 13＝3种方法，其余的4个元素任意排，有A 44种不同方法，故不同的排法有2×3×A 44＝144种．
答案：144
12．(2017·济南模拟)航天员拟在太空授课，准备进行标号为0,1,2,3,4,5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中0号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为________(用数字作答)．
解析：优先安排第一项实验，再利用定序问题相除法求解．由于0号实验不能放在第
一项，所以第一项实验有5种选择．最后两项实验的顺序确定，所以共有5A 55A 22
＝300种不同的编排方法．
答案：300
三、解答题
13．将7个相同的小球放入4个不同的盒子中．
(1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？
(2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？
解：(1)将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空当中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有C 36＝20种不同的放入方式．
(2)每种放入方式对应于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有C 310＝120种放入方式．
14．(2017·郑州检测)有5名男生和3名女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，分别求符合下列条件的选法数：
(1)有女生但人数必须少于男生；
(2)某女生一定要担任语文课代表；
(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；
(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表． 解：(1)先选后排．符合条件的课代表人员的选法有(C 35C 23＋C 45C 13)种，排列方法有A 55种，
所以满足题意的选法有(C35C23＋C45C13)·A55＝5 400(种)．
(2)除去该女生后，即相当于挑选剩余的7名学生担任四科的课代表，有A47＝840(种)选法．
(3)先选后排．从剩余的7名学生中选出4名有C47种选法，排列方法有C14A44种，所以选法共有C47C14A44＝3 360(种)．
(4)先从除去该男生和该女生的6人中选出3人，有C36种选法，该男生的安排方法有C13种，其余3人全排列，有A33种，因此满足题意的选法共有C36C13A33＝360(种)．。