2012怀柔高三(二模)数学(理)

2012年怀柔区高三年级调研考试数学（理科） 2012.4一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={一l ，0，1，2}，集合A={一l ，2}，B={0，2}，则=⋂B A C U )(A ．{0}B ．{2}C ．{0，l ，2}D ．φ2．已知i 为虚数单位，2=iz，则复数=zA ．i -1B ．i +1C ．2iD ．－2i 3．“a=2”是“直线ax 十2y=0与直线x+y=l 平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．一个四棱锥的三视图如图所示，其中主 视图是腰长为1的等腰直角三角形，则 这个几何体的体积是 A ．21 B ．1 C ．23D ．2 5．函数2(sin cos )1y x x =+-是A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π2的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数6．过点π4,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭引圆4sin ρθ=的一条切线，则切线长为A ．33B ．36C ．22D ．24 7．将图中的正方体标上字母, 使其成为正方体1111ABCD A BC D -, 不 同的标字母方式共有A ．24种B ．48种C ．72种D ．144种8．若函数()() y f x x R =∈满足()()2f x f x +=，且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，函数()()()lg 01 0x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,5-内的零点的个数为A ．5B ．7C ．8D ．10主视图俯视图二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．二项式521⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中含4x 的项的系数是 （用数字作答）． 10．如图给出的是计算2011151311+⋅⋅⋅+++的值 的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件 是 ． 11．如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆 的割线，且PB PA 3=，则=BCPB． 12． 当(1,2)x ∈时，不等式2(1)log a x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为 ．13．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-≥-≤+122y y x y x 表示的平面区域为,M 若直线13+-=k kx y 与平面区域M 有公共点，则k 的取值范围是 ．14．手表的表面在一平面上．整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为22的圆周上．从整点i 到整点（i ＋1）的向量记作1+i i t t ，则2111243323221t t t t t t t t t t t t ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅＝ ． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，且满足222b c a bc +-=． （Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若a =B 的大小为x ，ABC ∆的周长为y ，求()y f x =的最大值．P如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形， 其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC 上一点．（Ⅰ）当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面SAC ； （Ⅲ）当二面角E BD C --的大小为45︒ 时，试判断点E 在SC 上的位置，并说明理由．17．（本小题满分13分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(]495,490，(]500,495，…，(]515,510．由此得到样本的频率分布直方图，如图所示：（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；（Ⅱ）在上述抽取的40个产品中任职2件，设ξ为重量超过505克的产品数量，求ξ的分布列； （Ⅲ）从流水线上任取5件产品，估计其中恰 有2件产品的重量超过505克的概率．已知xxx g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=∈-=，其中e 是自然常数，R a ∈． （Ⅰ）讨论1=a 时，()f x 的单调性、极值； （Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，1()()2f xg x >+； （Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．19．（本小题满分14分）已知：椭圆12222=+by a x （0>>b a ），过点)0,(a A -，),0(b B 的直线倾斜角为6π，原点到该直线的距离为23． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）斜率大于零的直线过)0,1(-D 与椭圆交于E ，F 两点，若2=，求直线EF 的方程；（Ⅲ）是否存在实数k ，直线2+=kx y 交椭圆于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆过点)0,1(-D ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分13分 ）定义：对于任意*n ∈N ，满足条件212n n n a a a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数）的无穷数列{}n a 称为T 数列．（Ⅰ）若29n a n n =-+(*n ∈N )，证明：数列{}n a 是T 数列；（Ⅱ）设数列{}n b 的通项为3502nn b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且数列{}n b 是T 数列，求常数M 的取值范围；（Ⅲ）设数列1n pc n=-(*n ∈N ，1p >)，问数列{}n c 是否是T 数列？请说明理由．参考答案一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．9．10 10．2011≤i 11．2112．]2,1( 13．)0,31[- 14．936-三、解答题：本大题共6小题，满分80分．15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵222b c a bc +-=，∴2221cos 22b c a A bc +-==又0A π<<，∴3A π=； ------5分 （Ⅱ）∵Aax b sin sin =，∴x x x a b sin 2sin 233sin 3sin=⋅=⋅=π同理)32sin(sin sin x C A a c -=⋅=π∴3)6sin(323)32sin(2sin 2++=+-+=ππx x x y∵320,3ππ<<∴=x A ∴)65,6(6πππ∈+x ， ∴62x ππ+=即3x π=时，max y =分 16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接OE ，由条件可得SA∥OE . 因为SA Ë平面BDE ，OE Ì平面BDE ，所以SA ∥平面BDE .-----------------------------------------4分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知SO ABCD ⊥面，AC BD ⊥.建立如图所示的空间直角坐标系. 设四棱锥S ABCD -的底面边长为2， 则(0, 0, 0)O ，(0, 0,S ，)0, 0A，()0, 0B ，() 0, 0C，()0, 0D -.所以() 0, 0AC =- ，()0, 0BD =-.设CE a =（02a <<），由已知可求得45ECO ∠=︒.设平面BDE法向量为(,,)x y z=n，则0,BDBE⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn即0,()0.yx=⎧⎪⎨=⎪⎩令1z=，得(, 0, 1)2aa=-n.易知()0, 0BD=-是平面SAC的法向量.因为(, 0, 1)(0, 0)02aBDa⋅=⋅-=-n，所以BD⊥n，所以平面BDE⊥平面SAC.-------------------------------------9分（Ⅲ）解：设CE a=（02a<<），由（Ⅱ）可知，平面BDE法向量为(, 0, 1)2aa=-n.因为SO ABCD⊥底面，所以OS=是平面SAC的一个法向量.由已知二面角E BD C--的大小为45︒.所以cos,cos452OS〈〉=︒=n2=，解得1a=.所以点E是SC的中点.-----------------------------------------------------------------14分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）重量超过505克的产品数量是12)501.0505.0(40=⨯+⨯⨯件------------2分（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0,1,2 。

22824063(0)130CPCξ===,11122824056(1)130C CPCξ===,21224011(2)130CPCξ===, ξ的分布列为----------------9分（Ⅲ）由（Ⅰ）的统计数据知，抽取的40件产品中有12件产品的重量超过505克，其频率为3.0，可见从流水线上任取一件产品，其重量超过505克的概率为3.0，令ξ为任取的5件产品中重量超过505克的产品数，则)3.0,5(~Bξ，故所求的概率为3087.0)7.0()3.0()2(3225===Cpξ-----------------------13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） xxxf ln)(-=，xxxxf111)(-=-='∴当10<<x时，/()0f x<，此时()f x单调递减，当ex<<1时，/()0f x>，此时()f x单调递增∴()f x的极小值为1)1(=f-----------------------------------------------------------4分（Ⅱ） ()f x的极小值为1，即()f x在],0(e上的最小值为1，∴0)(>xf，min()1f x=……5分令21ln 21)()(+=+=x x x g x h ，xx x h ln 1)(-='， 当e x <<0时，0)(>'x h ，()h x 在],0(e 上单调递增 ∴min max |)(|12121211)()(x f e e h x h ==+<+== ∴在（1）的条件下，1()()2f xg x >+------------------------------------------------8分 （Ⅲ）假设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3，/1()f x a x =-xax 1-= ① 当0≤a 时，)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，ea 4=（舍去），所以，此时)(x f 无最小值. ② 当e a <<10时，)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在],1(e a上单调递增 3ln 1)1()(min =+==a af x f ，2e a =，满足条件.③ 当e a ≥1时，)(xf 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，ea 4=（舍去），所以，此时)(x f 无最小值. 综上，存在实数2e a =，使得当],0(e x ∈时()f x 有最小值3.---------------------13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由33=a b ，22232121b a b a +⋅⋅=⋅ ，得3=a ，1=b ，所以椭圆方程是：1322=+y x （Ⅱ）设EF ：1-=my x （0>m ）代入1322=+y x ，得022)3(22=--+my y m ， 设),(11y x E ，),(22y x F ，由DF ED 2=，得212y y -=．由322221+=-=+m m y y y ，32222221+-=-=m y y y ----------------------------6分 得31)32(222+=+-m m m ，1=∴m ，1-=m （舍去），（没舍去扣1分） 直线EF 的方程为：1-=y x 即01=+-y x ----------------------------------------9分（Ⅲ）将2+=kx y 代入1322=+y x ，得0912)13(22=+++kx x k （*） 记),(11y x P ，),(22y x Q ，PQ 为直径的圆过)0,1(-D ，则QD PD ⊥，即0)1)(1(),1(),1(21212211=+++=+⋅+y y x x y x y x ，又211+=kx y ，222+=kx y ，得01314125))(12()1(221212=++-=+++++k k x x k x x k ．解得67=k ，此时（*）方程0>∆，∴存在67=k ，满足题设条件．-----------------14分 20．（本小题满分13分 ）解：（Ⅰ） 由29n a n n =-+，得2)1(18)1(2)2(9)2(9222212-=+-+++++-+-=-+++n n n n n n a a a n n n所以数列{}n a 满足212nn n a a a +++≤.又298124n a n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当n =4或5时，n a 取得最大值20，即n a ≤20. 综上，数列{}n a 是T 数列.------------------------------------------------------------4分（Ⅱ）因为11331350(1)50502222n n nn n b b n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以当1350022n⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭即11n ≤时，10n n b b +->，此时数列{}n b 单调递增当12n ≥时，10n n b b +-<，此时数列{}n b 单调递减；故数列{}n b 的最大项是12b ，所以，M 的取值范围是 1236002M ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭----------------------------------------9分（Ⅲ）①当12p <≤时， 当1n =时1231,1,1,23p pc p c c =-=-=- 由13252203p c c c +-=-≤得65p ≤，即当615p <≤时符合122++≤+n n n c c c 条件.若2n ≥，则1≤n p ,此时1n pc n=- 于是 2122(1)(1)2(1)021(1)(2)n n n p p p pc c c n n n n n n ++-+-=-+---=<++++ 又对于*n ∈N 有11n pc n=-<，所以当615p <≤时数列{}n c 是T 数列；②当23p <≤时， 取1n =则：1231,1,1,23p p c p c c =-=-=- 由0322231>-=-+pc c c ，所以23p <≤时数列{}n c 不是T 数列 ③当3p >时， 取1n =则1231,1,1,23p p c p c c =-=-=- 由1325206pc c c +-=>，所以3p >时数列{}n c 不是T 数列. 综上：当615p <≤时数列{}n c 是T 数列；当65p >时数列{}n c 不是T 数列-------------13分。