第五节 矢量的混合积与二重矢积

定理 三矢量a 、 b 、 c 共面的充分必要条件是它们的混合积)(c b a ⨯⋅=0，也即0321321321=c c c b b b a a a证 因为),cos()(c b a c b a c b a ⨯⨯=⨯⋅ 若0)(=⨯⋅c b a ，则只有0=a 或0=⨯c b 或0),cos(=⨯c b a10若0=a ，则a, b, c 共面；20若0=⨯c b ，则 b, c 共线，即a, b, c 共面；30若0),cos(=⨯c b a ，则2πθ=，即a 垂直于c b ⨯，也即a, b, c 共面. 反之亦然.图7-28如果a , b , c 共面，将它们的起点移到一起，并以三矢量为棱作成一个平行六面体，如图7-28所示. 若当a 与c b ⨯的夹角为锐角，)20(πθ<≤ 由),cos()(c b a c b a c b a ⨯⨯=⨯⋅ 其中c b ⨯等于平行六面体的底面面积. c b a c b a a ⨯=⨯)(),cos(，即a 在c b ⨯上的投影, 也即，)cos(c b a,a ⨯等于这个平行六面体的高.得)(c b a ⨯⋅等于平行六面体的体积.若a 与c b ⨯的夹角为钝角，)2(πθπ≤<0),cos(<⨯c b a 则)(c b a ⨯⋅-等于平行六面体的体积.这样，我们得到以a 、 b 、 c 为棱边的平行六面体的体积)()(c b a c b a ⨯⋅=⨯⋅±=V这也是三矢量a 、 b 、 c 的混合积的几何意义. 例1 已知k j i c k j i b k j i a 32,3,32-+=-+=+-=求 )(c b a ⨯⋅.解 由三矢量混合积的坐标表达式1333113)1(32112321113312)(+------=---=⨯⋅c b a553)8()1()1(2=⨯+-⨯---⨯= 例2 试求以A (2,0,0), B (-1,2,3), C (4,1,0), D (5,0,1)为顶点的四面体的体积.解 如图7-29由几何知识可得)(6161AD AC V V ⨯⋅==六面体四面体其中k j i 323++-=→AB , j i +=→2AC , k i +=→3AD .16943103012323)(-=---=-=⨯⋅→→→AD AC AB 则所求四面体的体积 381661=-=四面体V图7-29 下面讨论三矢量a 、 b 、 c 所确定的混合积的性质.10 顺次轮换混合积中三个矢量，所得混合积不变，即)()()(b a c a c b c b a ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅设k j i a 321a a a ++=，k j i b 321b b b ++=，k j i c 321c c c ++=由三阶行列式的性质：交换行列式任意两行的元素行列式要改变符号.我们有)(212121321321321321321321b a =-==⨯⋅a a c c b b c c c a a a b b b c c c b b b a a a c同理可证 )()(b a c a c b ⨯⋅=⨯⋅由上述行列式的性质还可得20 任意对调混合积中两矢量的位置所得混合积的绝对值不变，但符号相反，即有)()(b c a c b a ⨯⋅-=⨯⋅;)()(c a b c b a ⨯⋅-=⨯⋅;)()(a b c c b a ⨯⋅-=⨯⋅.§5.2 三矢量的二重矢积定义 由三矢量a 、b 、c 的乘积)(c b a ⨯⨯所确定的矢量称为三矢量的二重矢积.当a, c 共线或a 垂直b 和c 的时候，有0=⨯⨯)(c b a ，由于)(c b a ⨯⨯垂直于)(c b ⨯所以它是与b, c 共面的矢量，c b a ⨯⨯)(的意义可以类似地说明，但一般说来这两个矢积)(c b a ⨯⨯与c b a ⨯⨯)(并不相等.定理 设a, b, c 是三个任意矢量，则 c b a b c a c b a )()()(⋅-⋅=⨯⨯证 设j i c k j i b k j i a 21321321,,c c b b b a a a ++=++=++=)(c b a ⨯⨯i ])()[(3311321221a c b c b a c b c b ---=j ])()[(1122132332a c b c b a c b c b ----k ])()[(2233213113a c b c b a c b c b ---+i ])()[(13322111332211c b a b a b a b c a c a c a ++-++=j ])()[(23322112332211c b a b a b a b c a c a c a ++-+++k ])()[(33322113332211c b a b a b a b c a c a c a ++-+++))((321332211k j i b b b c a c a c a ++++=))((321332211k j i c c c b a b a b a ++++-c b a b c a ⋅⋅-⋅=)()(而 )()(b a c c b a ⨯⨯-=⨯⨯a b c b a c )()(⋅-⋅=第六节 平面与直线方程在前面几节我们已经介绍了矢量及其运算，从本节开始介绍空间解析几何.本节我们以矢量代数为工具，在空间直角坐标系中建立平面和直线方程，并讨论有关平面和直线的一些基本性质.§6.1 平面及平面方程平面可以看成满足一定条件的点的集合，在建立了空间直角坐标系后，平面作为点集，当其位置确定之后，平面可以用其上任一点坐标所满足的方程来表示，这个方程称为平面方程，就是指平面上任一点的坐标都满足该方程，不在该平面上的点的坐标都不满足该方程，这样的方程叫做该平面的方程.下面我们介绍平面方程的几种形式.（1）平面的点法式方程平面在空间中的位置是由一定的几何条件所决定.例如，通过某定点的平面有无穷多个，如果 限定平面与一已知非零矢量垂直，这个平面就可完全确定.而这个与一平面垂直的非零矢量称为该平面的法矢量.下面我们给出一平面过已知点与其法矢量的平面方程. n PP 0OZX Y图7-30已知平面过点),,(0000z y x P ，且垂直于矢量k j i n C B A ++=，如图7-30, 试求该平面方程. 在平面上任取一点P ，设其坐标为),,(z y x P ，作矢量k j i )()()(0000z z y y x x P P -+-+-=→因为→⊥P P 0n , 由两矢量垂直的条件知 00=⋅→P P n即有 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 由P 的任意性可知平面上的任一点的坐标都满足上述方程.反之，不在该平面上的点的坐标都不满足该方程，因为这样的点与P 所连成的矢量与法矢量不垂直.因此，上述方程就是所求平面方程. 因为该平面方程过已知点P 0及已知法矢量n ，所以，称其为平面方程的点法式.然而一个平面方程的法矢量不是唯一的，因为任何一个与该平面垂直的非零矢量都是该平面的法矢量.（2）平面方程的一般式平面的点法式方程是关于x , y , z 的一次方程，而任何平面都可以在其上任取一点),,(0000z y x p ，还可以任意取一垂直于该平面的矢量作为法矢量，这样，都可以用点法式方程来表示这个平面.所以，任何平面方程都是x, y, z 的一次方程.反之，我们将平面点法式方程0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 改写成 0=+++D Cz By Ax其中 A, B, C 不全为零，)(000Cz By Ax D ++-=则任何一个关于x , y , z 的一次方程0=+++D Cz By Ax一定表示一个平面.这是因为设),,(0000z y x p 是适合上述方程的一组解，即0=+++D Cz By Ax o o o而由0=+++DCz By Ax ，0000=+++D Cz By Ax两式相减，得 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 这就是过),,(0000z y x p ，法矢量k j i n C B A ++=的平面点法式方程.这样我们得到定理 任何平面都可用关于x , y , z 的一次方程，0=+++D Cz By Ax （其中A , B , C 不全为零）来表示，而任意一个一次方程0=+++D Cz By Ax 表示一张以k j i n C B A ++=为法矢量的平面.方程0=+++DCz By Ax 称为平面方程的一般式 在上述方程中，如果系数A 、B 、C 及常数D 有部分为零时则方程有缺项，此时它所表示的平面在空间直角坐标系中具有特殊的位置.10 若D =0, 则方程为0=++CzBy Ax ，该平面过原点；20若C =0，则方程为0=++DBy Ax ，这时法矢量j i n B A +=.因为0=⋅k n ，所以该法矢量垂直于Oz 轴，从而平面平行于Oz 轴，如图7-31.同样当B =0或A =0时，平面0=++D Cz Ax 平行于Oy 轴，平面0=++D Cz By 平行Ox 轴；30 若B =0，C =0则方程变为0=+D Ax ，这时该平面的法矢量n =A i ，与Ox 轴平行，所以平面0=+D Ax 与坐标平面Oyz 平行，且在Ox 轴上的截距为AD -，如图7-32.同样A =0, C =0或B =0, C =0时，情况类似，读者不难得到；图7-31图7-3240特别，若A=0, B=0, D=0，则方程变为z=0，它表示和Oxy平面重合的平面.同样x=0，y=0分别表示Oyx，Ozx平面.请读者注意：在平面解析几何中，一次方程表示一条直线；在空间解析几何中，一次方程表示一张平面，两者不要混淆，请分清所讨论的坐标系.例如x+y=1在平面解析几何中表示一条直线，而在空间解析几何中则表示一张平面.（3）平面方程的截距式对平面方程0=+++D Cz By Ax ，当A 、B 、C 、D 都不等于零时，方程可化为1=-+-+-CD z B D y A D x 令y =0,z =0得到平面与Ox 轴的交点为)0,0,(AD -，同样可得到平面与Oy 轴、Oz 轴的交点分别为)0,,0(B D -，),0,0(CD -，故数A D -、B D -、C D -分别称为平面在Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴上的截距，所以上式也称为平面的截距式方程.图7-33若设A D a -=、BD b -=、C D c -=，则方程可简为 1=++cz b y a x 其中a 、b 、c 分别是Ox 、 Oy 、 Oz 轴上的截距.因为不在同一直线上的三点可确定一个平面，所以利用平面截距式方程可方便地作出平面的图形.如图7-33. 例1 求过点M （2，4，-3）且与平面2x +3y -5z =5平行的平面方程.解 因为所求平面和已知平面平行，而已知平面的法矢量k j i n 532-+=，设所求平面的法矢量为1n ，则有n 1∥n ，故可设n n =1，则所求平面方程为：0)3(5)4(3)2(2=+--+-z y x 即31532=-+z y x .例2 求过三点M 1（1, 1, 2），M 2（3, 2, 3），M 3（2, 0, 3）的平面方程.解法1 先求平面的法矢量n , 因为k j i ++=→221M M , k j i +-=→32M M取→→⨯=3121M M M M n =k j i k j i 32111112--=-又平面过点M 1（1, 1, 2），故所求平面方程为 0)2(3)1()1(2=-----z y x 即 0532=+--z y x解法2 设M （x,y,z ）为所求平面上的任一点, 则由三矢量k j i )2()1()1(1-+-+-=→z y x M M ,k j i ++=→221M M , k j i +-=→31M M共面的性质，有 0111112211=----z y x可得 0)2(3)1()1(2=-----z y x 即 0532=+--z y x解法3 设所求平面方程为0=+++D Cz By Ax 因为M 1、M 2、M 3三点在平面上，那么它们的坐标一定满足方程，将它们代入方程得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++0302032302D C B A D C B A D C B A 解之得D A 52=，D B 51-=，D C 53-= 代入方程0=+++D Cz By Ax 并消去D 得所求平面方程为 0532=+--z y x（4）两平面的夹角两平面法矢量的夹角或它们的补角称为该两平面的夹角，也称为二两角，如图7-34.设有两平面：平面1：01111=+++D z C y B x A , k j i n 1111C B A ++=;平面2：02222=+++D z C y B x A , k j i n 2222C B A ++=.则该两平面的夹角的余弦为图7-3422222221212121212121),cos(cos C B A C B A C C B B A A ++++++==n n θ 若两法矢量垂直21n n ⊥，即有021=⋅n n由两矢量垂直的充要条件可得两平面垂直的充要条件是0212121=++C C B B A A若两法矢量平行1n ∥2n ，即有0=⨯21n n ，由两矢量平行的充要条件可得两平面平行的充要条件是 212121C C B B A A ==. （5）点到平面的距离求空间一点),,(0000z y x p 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离.设),,(111z y x p 为平面0=+++D Cz By Ax 上的任一点，则有0111=+++D Cz By Ax ,作矢量k j i )()()(0101010z z y y x x p p -+-+-=→则该矢量在该平面法矢量上的投影的绝对值就是点P 0到平面的距离.如图7-35.0000),cos(n n ⋅=⋅=→→→p p p p p p d由k j i n C B A ++= 则222010101)()()(C B A z z C y y B x x A d ++-+-+-=222000C B A DCz By Ax +++++=图7-35（其中因为D Cz By Ax -=++111） 例3 求点P (2，3，1)到平面052=+++z y x 的距离解 由222000C B A D Cz By Ax d +++++= 得6141215113221222=+++⨯+⨯+⨯=d §6.2 空间直线方程和平面一样，直线也可以看作满足一定条件的点的集合.在空间直角坐标系中，直线作为点集，当其位置确定之后可以用其上任一点的坐标所满足的方程来表示，这个方程称为直线方程.一、直线的方程表示（1）直线的点向式方程空间直线的位置可由其上一点及它的方向完全确定.设L 是过点),,(0000z y x p 且与一非零矢量k j i v n m l ++=平行的直线，求其方程. 设),,(z y x p 是直线上任一点，引矢量k j i )()()(0000z z y y x x p p -+-+-=→由题设→p p 0∥v 得 n z z m y y l x x 000-=-=-. 可见凡是直线上的点其坐标一定满足上述方程，反之凡坐标不满足上述方程的点p 一定不在直线L 上，因为这样的点p 与p 0所连的矢量与v 不平行. 上述方程称为直线的点向式方程或称对称式方程，其中k j i v n m l ++=叫做直线的方向矢量，l 、m 、n 为方向数.如果l ，m ， n 中有一个为零，例如l =0上述方程可写成nz z m y y x x 0000-=-=-形式.此时00x x -并不表示除式，这时应理解为直线的方向矢量在Ox 轴上的投影为零，即直线垂直于Ox 轴，所以上述方程也应理解为：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-0x x n z z m y y（2）直线的参数式方程若将直线点向式方程令t n z z m y y l x x =-=-=-000则直线方程可写成⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ntz z mt yy ltx x 000（+∞<<∞-t ）其中t 为参数，称为直线的参数式方程.（3）直线的两点式方程若已知直线上两点),,(1111z y x p 和),,(2222z y x p 则直线唯一确定，此时引矢量k j i )()()(12121221z z y y x x p p -+-+-=→ 可作为直线的方向矢量，由点向式方程可得 121121121z z z z y y y y x x x x --=--=--. 上式称为直线的两点式方程.（4）直线的一般式方程空间直线可以看成是通过该直线的任意两张平面的交线，在空间直角坐标系中，可以用不平行的两张平面的交线来表示.设有两张不平行的平面方程01111=+++D z C y B x A ，02222=+++D z C y B x A 将它们联立成方程组⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A （其中A 1、B 1、C 1，A 2、B 2、C 2不成比例）称为直线的一般式方程.特别⎩⎨⎧==00z y 、⎩⎨⎧==00z x 、⎩⎨⎧==00y x 分别表示与坐标轴Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴重合的直线.二、直线、平面间的相互关系（1）将直线的一般式方程化为点向式方程 设直线的一般式方程中的平面1：01111=+++D z C y B x A 的法矢量为1n ; 平面2：02222=+++D z C y B x A 的法矢量为2n . 直线的方向矢量为v ，则有1n v ⊥，2n v ⊥，则可取2n n v 1⨯=再在直线上取一点即可得该直线的点向式方程.例1 将⎩⎨⎧=--+=+--0620232z y x z y x 化为点向式方程解 设直线的方向矢量为v由⎩⎨⎧=--+=+--0620232z y x z y x 得k j i n k j i n -+=--=23221 取k j i k j in n v 5712131221+-=---=⨯=再在直线上取一点，为此可令z =0得⎩⎨⎧=-+=+-062022y x y x 解得52=x ，514=y 故直线方程为：501514752-=--=-z y x . 写成参数式为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=+=t z t y t x 5514527. （2）两直线的夹角称两直线的方向矢量的夹角θ或它们的补角θπ-为该两直线的夹角.设直线L 1：111111n z z m y y l x x -=-=-，k j i v 1111n m l ++=直线L 2：222222n z z m y y l x x -=-=-，k j i v 2222n m l ++=2222222121212121212121cos n m l n m l n n m m l l ++++++=⋅=v v v v θ 若21L L ⊥，则21v v ⊥则有0221211=++n n m m l l ；若1L ∥2L ，则1v ∥2v 则有212121n n m m l l ==，反之亦成立.（3）直线与平面的位置关系设有平面π：0=+++D Cz By Ax 其法矢量k j i n C B A ++=；直线L ：nz z m y y l x x 000-===- 其方向矢量k j i v n m l ++=.设v 与n 夹角为θ，则θπ-2或2πθ-称为直线L 与平面π的交角，如图7-36 θnv图7-36图7-37当π⊥L 时，即v ∥n 即则有nC m B l A ==； 当L ∥π时，即n v ⊥则有0=++Cn Bm Al .（4）点到直线的距离已知点),,(111z y x p 和直线L ：nz z m y y l x x 000-=-=-，求点p 到直线L 的距离. 解法1 直线L 的方向矢量k j i v n m l ++=，在L 上任取一点),,(0000z y x p 引矢量k j i )()()(0101010z z y y x x p p -+-+-=→,设v =→00M p 如图7-37,平行四边形PP 0M 0M 的面积为 ),sin(000000→→→→→⋅⋅=⨯=⋅v v v p p P P P P M P p p .v vv ⨯=⋅=→→→p p p p p p h 000),sin( 则h 即为所求点P 到直线L 上距离.解法2 过P 点作与L 垂直的平面方程为 0)()()(111=-+-+-z z n y y m x x l 与直线方程联立⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-=-+-+-)()()()(0)()()(0000111z z l x x n y y l x x m z z n y y m x x l其解即为平面与直线L 的交点M 的坐标，再求两点P 、M 之间的距离即为所求点P 到直线L 的距离,如图7-38.例2 求点P 0（1，-4，5）到直线1112-=-+=z y x 的距离.解法1 直线L 的方向矢量k j i v--=2, 在L上取一点P （2,-2,-1）.k j i 620-+=→p p M PL图7-38511861112621610=---=---=⨯=→k j i k j i v vp p h . 解法2 过P 0点且与L 垂直的平面方程是：0)5()4()1(2=--+--z y x .直线方程取22--=y x ，z x 2-=联立得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=--0202212z x y x z y x 解得0=x ，1-=y ，0=z .由两点间的距离35)05()14()01(222=-++-+-=d .（5）直线在平面上的投影直线方程例3 求直线⎩⎨⎧=++-=--+0101:z y x z y x L 在平面0:=++z y x π上的投影直线方程.解： 设1π是过直线L 且垂直于平面π的平面，则1π与π的交线即为L 在π上的投影直线，下面求1π的方程.设π的法矢量为n ，直线L 的方向矢量为v ，1π的法矢量为1n ，则有n n ⊥1，v n ⊥1取 k j k j iv n n 222201111-=--=⨯= 在直线L 上取一点P （0,1,0），所得平面方程02)1(2=--z y 与平面0=++z y x 联立 ⎩⎨⎧=++=-01z y x z y 即为所求投影直线方程. （6）两异面直线间的距离例 设有两异面直线1111111:n z z m y y l x x L -=-=-，k j i v 1111n m l ++=;2222222:n z z m y y l x x L -=-=-，k j i v 2222n m l ++=.求该二直线之间的距离. 解 端点分别在两异面直线上的公垂线的长度称为两异面直线之间的距离.如图7-39，过直线L 1作平面π平行直线L 2，在L 2上取一点M 2，在L 1上取一点M 1，从M 2引平面π的垂线M 2M ，于是→=M M d 2即为L 1与L 2的距离.设平面π的法矢量为n ，则→21M M 在n 上的投影的绝对值即为所求的距离.图7-39n nn ⋅==→→2121)(M M M M d 而21v v n ⨯=所以212121)(v v v v ⨯⨯⋅=→M M d .§6.3 平面束方程通过一已知直线L 的平面有无穷多个，其所有平面构成的集合叫做过直线L 的平面束，其中直线L 称为平面束的轴, 如图7-40.如果直线L 用一般式方程表示⎩⎨⎧=+++=+++00:22221111D z C y B x A D z C y B x A L 21ππ平面平面 设λ，μ为不同时为零的任意实数，则图7-40)()(22221111=+++++++D z C y B x A D z C y B x A μλ（6.1）就表示以L 为轴的平面束方程.证 首先证明（6.1）式表示通过L 的平面方程.事实上，由（6.1）式可得()()()(1212121+++++++D z C C y B B x A A λμλμλμλ上述方程中, z y x ,,的系数不同时为零（因为1π与2π不平行，所以λμ-===212121C C B B A A 不成立）且在轴L 上任取一点),,(000z y x ，则必同时满足平面1π、2π，也就满足（6.1）式，所以（6.1）式确定—平面且通过直线L.其次证明通过L 的平面均可由（6.1）式适当地选取λ、μ来确定.事实上，设),,(111z y x p 为不在L 上的空间任一点, 要使P 点的坐标满足（6.1）式，即有()(1212121111111+++++++z C y B x A D z C y B x A μλ并设 11111111k D z C y B x A =+++，22121212k D z C y B x A =+++，因为P 点不在直线L 上，所以1k ，2k 不同时为零.不妨设01≠k ，则021=+k k μλ，12k k μλ-=则有 ()(222111112+++++++-z C y B x A D z C y B x A k k μμ 即可确定过),,(111z y x p 的平面方程例1 求过直线⎩⎨⎧=+-+=++-013202:z y x z y x L 且与已知平面05324=++-z y x 垂直的平面方程 解 设过直线L 的平面束方程为0)132()2(=+-++++-z y x z y x μλ 其法矢量k j i n )()3()2(μλμλμλ-++-++= 已知平面的法矢量k j i n 3241+-=. 则有1n n ⊥即03)()2()3(4)2(=⋅-+-⋅+-+⋅+μλμλμλ. 解得 λμ9= 代入方程得所求平面方程为 01182619=+-+z y x .对于平面束方程)()(22221111=+++++++D z C y B x A D z C y B x A μλ当0≠λ时，可令αλμ= 则有0)()(22221111=+++++++D z C y B x A D z C y B x A α以上式子在计算时常带来方便，但上式漏了0=λ的情形，即平面0:22222=+++D z C y B x A π无法表示，计算时应注意.例2 试求通过直线⎩⎨⎧=+-=++0405z x z y x L 且与已知平面01284=+--z y x 组成4π角的平面方程. 解 设过直线L 的平面束方程为 0)5()4(=++++-z y x z x α.即 04)1(5)1(=+-+++z y x ααα，法矢量k j i n )1(5)1(1-+++=ααα平面01284=+--z y x 的法矢量k j i n 84--=81)1(25)1()1(820)1(cos 22211⋅-+++---+=⋅=ααααααθn n n n2222731922792722=+-=⋅++-=αααα 解得21227)31(22=+-αα 即01292=+αα，0=α，34-=α，当0=α、34-=α时，所求平面分别为04=+-z x 、012720=-++z y x ，如果设平面束方程为0)4()5(=+-+++z x z y x α，请读者注意会遗漏一平面.第七节 曲面方程与空间曲线方程§7.1曲面方程概念上节我们在讨论平面及平面方程时，我们将平面看成是满足一定条件的点的集合.在空间直角坐标系中，将平面上的点与关于z y x 、、的一次方程相对应，并得到了平面方程.对于曲面、空间曲线等空间几何图形，在空间直角坐标系中，因为空间的点与有序数组（z y x ,,）构成了一一对应关系, 所以空间曲面与曲线可以看成符合某种规则的点的轨迹（点的集合）. 那么其几何图形就可以用点的坐标（z y x ,,）所满足的方程式来表示.一、球面方程设动点M （x, y, z ）到定点),,(000z y x C 的距离等于正数R , 则该动点M 的几何轨迹是中心在点),,(000z y x C , 半径为R 的球面（图7-41）, 于是, 由两点间的距离公式，得R z z y y x x CM =-+-+-=202020)()()( 两边平方，消去根号，得2202020)()()(R z z y y x x =-+-+- (7.1)。