第五节 矢量的混合积与二重矢积
定理 三矢量a 、 b 、 c 共面的充分必要条件是它们的混合积)(c b a ??=0，也即
03
21321321
=c c c b b b a a a
证 因为),cos()(c b a c b a c b a ??=?? 若0)(=??c b a ，则只有0=a 或0=?c b 或0),cos(=?c b a
10若0=a ，则a, b, c 共面；
20若0=?c b ，则 b, c 共线，即a, b, c 共面；
30若0),cos(=?c b a ，则2
πθ=，即a 垂直于c b ?，也即a, b, c 共面. 反之亦然.
图7-28
如果a , b , c 共面，将它们的起点移到一起，并以三矢量为棱作成一个平行六面体，如图7-28所示. 若当a 与c b ?的夹角为锐角，)2
0(π
θ<≤ 由),cos()(c b a c b a c b a ??=?? 其中c b ?等于平行六面体的底面面积. c b a c b a a ?=?)(),cos(，即a 在c b ?上的投影, 也即，)cos(c b a,a ?等于这个平行六面体的高.得)(c b a ??等于平行六面体的体积.
若a 与c b ?的夹角为钝角，
)2
(πθπ≤<0),cos(
这样，我们得到以a 、 b 、 c 为棱边的平行六面体的体积
)()(c b a c b a ??=??±=V
这也是三矢量a 、 b 、 c 的混合积的几何意义.
例1 已知
k j i c k j i b k j i a 32,3,32-+=-+=+-=
求 )(c b a ??.
解 由三矢量混合积的坐标表达式
1333113)1(32112321
113
31
2)(+------=---=??c b a
553)8()1()1(2=?+-?---?= 例2 试求以A (2,0,0), B (-1,2,3), C (4,1,0), D (5,0,1)为顶点的四面体的体积.
解 如图7-29由几何知识可得
)(6161AD AC AB V V ??==六面体四面体
其中
k j i 323++-=→AB , j i +=→2AC , k i +=→3AD .
169431
03
012
323)(-=---=-=??→→→AD AC AB 则所求四面体的体积 381661=-=四面体
V
图7-29 下面讨论三矢量a 、 b 、 c 所确定的混合积的性质.
10 顺次轮换混合积中三个矢量，所得混合积不变，即
)()()(b a c a c b c b a ??=??=??
设k j i a 321a a a ++=，k j i b 321b b b ++=，k j i c 321c c c ++= 由三阶行列式的性质：交换行列式任意两行的元素行
列式要改变符号.我们有
)(2
1
21
21
321321321321321321b a =-==??a a c c b b c c c a a a b b b c c c b b b a a a c
同理可证 )()(b a c a c b ??=??
由上述行列式的性质还可得
20 任意对调混合积中两矢量的位置所得混合积的绝对值不变，但符号相反，即有
)()(b c a c b a ??-=??;
)()(c a b c b a ??-=??;
)()(a b c c b a ??-=??.
§5.2 三矢量的二重矢积
定义 由三矢量a 、b 、c 的乘积)(c b a ??所确定的矢量称为三矢量的二重矢积.
当a, c 共线或a 垂直b 和c 的时候，有
0=??)(c b a ，由于)(c b a ??垂直于)(c b ?所以它是与b, c 共面的矢量，c b a ??)(的意义可以类似地说明，但一般说来这两个矢积)(c b a ??与
c b a ??)(并不相等.
定理 设a, b, c 是三个任意矢量，则
c b a b c a c b a )()()(?-?=??
证 设
j i c k j i b k j i a 21321321,,c c b b b a a a ++=++=++=
)(c b a ??i ])()[(3311321221a c b c b a c b c b ---=
j ])()[(1122132332a c b c b a c b c b ----
k ])()[(2233213113a c b c b a c b c b ---+
i ])()[(13322111332211c b a b a b a b c a c a c a ++-++=
j ])()[(23322112332211c b a b a b a b c a c a c a ++-+++
k ])()[(33322113332211c b a b a b a b c a c a c a ++-+++
))((321332211k j i b b b c a c a c a ++++=
)
)((321332211k j i c c c b a b a b a ++++-c b a b c a ??-?=)()(
而 )()(b a c c b a ??-=??a b c b a c )()(?-?=
第六节 平面与直线方程
在前面几节我们已经介绍了矢量及其运算，从本节开始介绍空间解析几何.本节我们以矢量代数为工具，在空间直角坐标系中建立平面和直线方程，并讨论有关平面和直线的一些基本性质.
§6.1 平面及平面方程
平面可以看成满足一定条件的点的集合，在建立了空间直角坐标系后，平面作为点集，当其位置确定之后，平面可以用其上任一点坐标所满足的方程来表示，这个方程称为平面方程，就是指平面上任一点的坐标都满足该方程，不在该平面上的点的坐标都不满
足该方程，这样的方程叫做该平面的方程.下面我们介绍平面方程的几种形式.
（1）平面的点法式方程
平面在空间中的位置是由一定的几何条件所决
定.例如，通过某定点的平面有无穷多个，如果 限定平面与一已知非零矢量垂直，这个平面就可完全确定.而这个与一平面垂直的非零矢量称为该平面的法矢量.下面我们给出一平面过已知点与其法矢量的平面方程. n P
P 0O
Z
X Y
图7-30
已知平面过点),,(0000z y x P ，且垂直于矢量k j i n C B A ++=，如图7-30, 试求该平面方程. 在平面上任取一点P ，设其坐标为),,(z y x P ，作矢量
k j i )()()(0000z z y y x x P P -+-+-=→
因为 →
⊥P P 0n , 由两矢量垂直的条件知 00=?→P P n
即有 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 由P 的任意性可知平面上的任一点的坐标都满足上述方程.反之，不在该平面上的点的坐标都不满足该方程，因为这样的点与P 所连成的矢量与法矢量不垂直.因此，上述方程就是所求平面方程. 因为该平面方程过已知点P 0及已知法矢量n ，所以，称其为平面方程的点法式.然而一个平面方程的法矢量不是唯一的，因为任何一个与该平面垂直的非零矢量都是该平面的法矢量.
（2）平面方程的一般式
平面的点法式方程是关于x , y , z 的一次方程，而任何平面都可以在其上任取一点),,(0000z y x p ，还可以任意取一垂直于该平面的矢量作为法矢量，这样，都可以用点法式方程来表示这个平面.所以，任何平面方程都是x, y, z 的一次方程.
反之，我们将平面点法式方程
0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A
改写成 0=+++D Cz By Ax
其中 A, B, C 不全为零，
)(000Cz By Ax D ++-=
则任何一个关于x , y , z 的一次方程
0=+++D Cz By Ax
一定表示一个平面.这是因为设),,(0000z y x p 是适合上述方程的一组解，即0=+++D Cz By Ax o o o 而由0=+++D Cz By Ax ，
0000=+++D Cz By Ax
两式相减，得
0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 这就是过),,(0000z y x p ，法矢量k j i n C B A ++=的平面点法式方程.这样我们得到
定理 任何平面都可用关于x , y , z 的一次方程，0=+++D Cz By Ax （其中A , B , C 不全为零）来表示，而任意一个一次方程0=+++D Cz By Ax 表示一张以k j i n C B A ++=为法矢量的平面.
方程0=+++D Cz By Ax 称为平面方程的一般式
在上述方程中，如果系数A 、B 、C 及常数D 有部分为零时则方程有缺项，此时它所表示的平面在空间直角坐标系中具有特殊的位置.
10 若D =0, 则方程为0=++Cz
By Ax ，该平面过原点；
20若C =0，则方程为0=++D By Ax ，这时法矢量j i n B A +=.因为0=?k n ，
所以该法矢量垂直于Oz 轴，从而平面平行于Oz 轴，如图7-31.同样当B =0或A =0时，平面0=++D Cz Ax 平行于Oy 轴，
平面0=++D Cz By 平行Ox 轴； 30 若B =0，C =0则方程变为0=+D Ax
，这时该平面的法矢量n =A i ，与Ox 轴平行，所以平面0=+D Ax 与坐标平面Oyz 平行，且在Ox 轴上的截距为A
D -，如图7-32.同样A =0, C =0或B =0, C =0时，情况类似，读者不难得到；
图7-31
图7-32
40特别，若A=0, B=0, D=0，则方程变为z=0，它表示和Oxy平面重合的平面.同样x=0，y=0分别表示Oyx，Ozx平面.
请读者注意：在平面解析几何中，一次方程表示一条直线；在空间解析几何中，一次方程表示一张平面，两者不要混淆，请分清所讨论的坐标系.例如
x+y=1在平面解析几何中表示一条直线，而在空间解
析几何中则表示一张平面.
（3）平面方程的截距式
对平面方程0=+++D Cz By Ax ，当A 、B 、C 、D 都不等于零时，方程可化为
1=-+-+-C
D z B D y A D x 令y =0,z =0得到平面与Ox 轴的交点为)0,0,(A
D -，同样可得到平面与Oy 轴、Oz 轴的交点分别为
)0,,0(B D -，),0,0(C
D -，故数A D -、B D -、C D -分别称为平面在Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴上的截距，所以
上式也称为平面的截距式方程.
图7-33
若设A D a -=、B
D b -=、C D c -=，则方程可简为 1=++c
z b y a x 其中a 、b 、c 分别是Ox 、 Oy 、 Oz 轴上的截距.因
为不在同一直线上的三点可确定一个平面，所以利用平面截距式方程可方便地作出平面的图形.如图7-33. 例1 求过点M （2，4，-3）且与平面2x +3y -5z =5平行的平面方程.
解 因为所求平面和已知平面平行，而已知平面的法矢量k j i n 532-+=，设所求平面的法矢量为1n ，则有n 1∥n ，故可设n n =1，
则所求平面方程为：
0)3(5)4(3)2(2=+--+-z y x 即
31532=-+z y x .
例2 求过三点M 1（1, 1, 2），M 2（3, 2, 3），M 3（2, 0, 3）的平面方程.
解法1 先求平面的法矢量n , 因为
k j i ++=→221M M , k j i +-=→32M M
取
→→?=3121M M M M n =k j i k j i 321
11112--=-
又平面过点M 1（1, 1, 2），故所求平面方程为 0)2(3)1()1(2=-----z y x 即 0532=+--z y x
解法2 设M （x,y,z ）为所求平面上的任一点, 则由三矢量
k j i )2()1()1(1-+-+-=→z y x M M ,
k j i ++=→221M M , k j i +-=→31M M
共面的性质，有 0111112
2
11=----z y x
可得 0)2(3)1()1(2=-----z y x 即 0532=+--z y x
解法3 设所求平面方程为0=+++D Cz By Ax 因为M 1、M 2、M 3三点在平面上，那么它们的坐标一定满足方程，将它们代入方程得方程组
??
???=+++=+++=+++0302032302D C B A D C B A D C B A 解之得
D A 5
2=，D B 51-=，D C 53-= 代入方程0=+++D Cz By Ax 并消去D 得所求平面方程为 0532=+--z y x
（4）两平面的夹角
两平面法矢量的夹角或它们的补角称为该两平
面的夹角，也称为二两角，如图7-34.
设有两平面：
平面1：01111=+++D z C y B x A , k j i n 1111C B A ++=;
平面2：02222=+++D z C y B x A , k j i n 2222C B A ++=.
则该两平面的夹角的余弦为
图7-34
22222221212121212121),c o s (c o s C B A C B A C C B B A A ++++++=
=n n θ 若两法矢量垂直21n n ⊥，即有021=?n n
由两矢量垂直的充要条件可得两平面垂直的充
要条件是0212121=++C C B B A A
若两法矢量平行1n ∥2
n ，即有0=?21n n ，由两矢量平行的充要条件可得两平面平行的充要条件是 2
12121C C B B A A ==. （5）点到平面的距离
求空间一点),,(0000z y x p 到平面
0=+++D Cz By Ax 的距离.设),,(111z y x p 为平面0=+++D Cz By Ax 上的任一点，则有
0111=+++D Cz By Ax ,作矢量
k j i )()()(0101010z z y y x x p p -+-+-=→则该矢量在该平面法矢量上的投影的绝对值就是点P 0到平面的距离.如图7-35.
000),cos(n n ?=?=→→→p p p p p p d
由k j i n C B A ++= 则 222010101)()()(C B A z z C y y B x x A d ++-+-+-=
222000C B A D
Cz By Ax +++++=
图7-35
（其中因为D Cz By Ax -=++111
） 例3 求点P (2，3，1)到平面052=+++z y x 的距离
解 由222000C B A D Cz By Ax d +++++= 得
6
141215113221222=+++?+?+?=d §6.2 空间直线方程
和平面一样，直线也可以看作满足一定条件的点的集合.在空间直角坐标系中，直线作为点集，当其
位置确定之后可以用其上任一点的坐标所满足的方程来表示，这个方程称为直线方程.
一、直线的方程表示
（1）直线的点向式方程
空间直线的位置可由其上一点及它的方向完全确定.设L 是过点),,(0000z y x p 且与一非零矢量k j i v n m l ++=平行的直线，求其方程.
设),,(z y x p 是直线上任一点，引矢量
k j i )()()(0000z z y y x x p p -+-+-=→
由题设→p p 0∥v 得 n
z z m y y l x x 000-=-=-. 可见凡是直线上的点其坐标一定满足上述方程，反之凡坐标不满足上述方程的点p 一定不在直线L 上，因为这样的点p 与p 0所连的矢量与v 不平行. 上述方程称为直线的点向式方程或称对称式方程，其中k j i v n m l ++=叫做直线的方向矢量，l 、m 、n 为方向数.
如果l ，m ， n 中有一个为零，例如l =0上述方
【2019年整理】03第三节数量积向量积混合积
第三节 数量积 向量积 混合积 分布图示 ★两向量的数量积 ★例1 ★例4 ★向量积概念的引入 ★向量积的运算 ★例6 ★例9 ★向量的混合积 ★例11 ★内容小结 ★习题8-3 内容要点 一、两向量的数量积 定义1设有向量 示b ,它们的夹角为0 ,乘积| a ||b | cose 称为向量a 与b 的数量积(或 称为内积、 点积)，记为a b,即 a b 却 a || b | cos . 根据数量积的定义，可以推得： (1) a b =|b |Pr j b a =|a |Pr j a b ; I — - 2 (2) a a a | ; (3) 设a*、b 为两非零向量，贝U a_L b 的充分必要条件是 a ， b = 数量积满足下列运算规律: (1)交换律 a b = b a; (2)分配律 (a b) c = a c b c; (3)结合律 人(』b)=(杯b =a ，(Lb),( &为实数) 二、两向量的向量积 定义2若由向量a 与b 所确定的一个向量 c 满足下列条件： ★数量积的运算 ★例2 ★例3 ★例5 ★向量积的定义 ★例7 ★例8 ★例10 ★混合积的几何意义 ★例12 ★例13 ★课堂练习 ★返回
(1) c的方向既垂直于a又垂直于b, c的指向按右手规则从a转向b来确定(图
8-3-4); (2) C的模| C|=|a〔|b | sin6 ,(其中8为a与b的夹角)， 则称向量c为向量a与b的向量积(或称外积、叉积)，记为 c = a b . 根据向量积的定义，即可推得 (1) a 3 =0 ； (2) 设a、b为两非零向量，贝U a//b的充分必要条件是』xb = 0. 向量积满足下列运算规律： (1) a b = -b a; (2) 分配律(a b) c = a c b c; (3) 结合律u￡xb) = (?a)Xb = ax(7_b),(岛为实数). 三、向量的混合积 例题选讲 两向量的数量积 例1(E01)已知a={1,1,~4}, b={1,—2,2},求 (1)a b; (2) a与b的夹角0 ; (3) a与b上的投影. 解(1) a b =1 1 1 (-2) (-4) 2 = -9. a x b x a y b y a z b z 1 . 3■: (2) cos@=j2 2；j 2 2 2 =_了，」.nr a x a y a z , b x b y b z 2 4 a b (3) a b =|b|PrRa, . Pr j b a = ------------- = -3. |a| 例2证明向量c与向量(￡ d)b —(b 3)￡垂直. 证[(a c)b - (b c)a] c =[(a c)b c - (b c)a c] =(b c)[a c - a c] =0,
第五节 矢量的混合积与二重矢积
定理 三矢量a 、 b 、 c 共面的充分必要条件是它们的混合积)(c b a ??=0，也即 03 21321321 =c c c b b b a a a 证 因为),cos()(c b a c b a c b a ??=?? 若0)(=??c b a ，则只有0=a 或0=?c b 或0),cos(=?c b a 10若0=a ，则a, b, c 共面； 20若0=?c b ，则 b, c 共线，即a, b, c 共面； 30若0),cos(=?c b a ，则2 πθ=，即a 垂直于c b ?，也即a, b, c 共面. 反之亦然. 图7-28
如果a , b , c 共面，将它们的起点移到一起，并以三矢量为棱作成一个平行六面体，如图7-28所示. 若当a 与c b ?的夹角为锐角，)2 0(π θ<≤ 由),cos()(c b a c b a c b a ??=?? 其中c b ?等于平行六面体的底面面积. c b a c b a a ?=?)(),cos(，即a 在c b ?上的投影, 也即，)cos(c b a,a ?等于这个平行六面体的高.得)(c b a ??等于平行六面体的体积. 若a 与c b ?的夹角为钝角， )2 (πθπ≤<0),cos(
常用地一些矢量运算公式
常用的一些矢量运算公式 1.三重标量积 如a ，b 和c 是三个矢量，组合 ()a b c ??叫做他们的三重标量积。三重标量积等于这三 个矢量为棱边所作的平行六面体体积。在直角坐标系中，设坐标轴向的三个单位矢量标记为 (),,i j k ，令三个矢量的分量记为()()1 2 3 1 2 3 ,,,,,a a a a b b b b 及()1 2 3 ,,c c c c 则有 ( )() 123123123123 123123 c c c i jk a b c a a a c i c j c k a a a b b b b b b ??=?++= 因此，三重标量积必有如下关系式： ()()()a b c b c a c a b ??=??=??即有循环法则成立，这就是说不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合，其结果相等。 2.三重矢量积 如a ，b 和c 是三个矢量，组合 ( ) a b c ??叫做他们的三重标量积，因有 ()()()a b c a c b c b a ??=-??=?? 故有中心法则成立，这就是说只有改变中间矢量时，三重标量积符号才改变。三重标量积有一个重要的性质（证略）:() ()()a b c a b c a c b ??=-?+? （1-209） 将矢量作重新排列又有：()()() a b c b a c b a c ?=??+? （1-210） 3.算子（ a ? ） ? 是哈密顿算子，它是一个矢量算子。（ a ? ）则是一个标量算子，将它作用于标量φ ，即 ()a φ?是φ在a 方向的变化速率的a 倍。如以无穷小的位置矢量 d r 代替以上矢量a ，则 ()dr φ ?是φ在位移方向 d r 的变化率的 d r 倍，即 d φ 。 () ()d dr dr φφφ=?=? 若将 () dr ?作用于矢量v ，则 ()dr v ?就是v 再位移方向 d r 变化率的 d r 倍，既为速度矢量 的全微分() dv dr v =? 应 用 三 重 矢 量 积 公 式 （ 1-209 ） ()()() 00()()()() a b a b a b b a a b b a a b ???=???+???=??-??-??+??
1.4向量的向量积 向量的混合积
§1.4 向量的向量积、向量的混合积本节重点：1。向量的向量积及其运算律、坐标运算 2．向量的混合积及其运算律、坐标运算 1.4.1向量积 物理学中研究刚体转动问题时，“力矩”是一重要概念；所谓一个力→f关于 定点O的力矩,指的是一个向量→m,它的模等于这个力的大小│→f│与从O到这个力作用线所引垂直线段OH之积,它垂直于通过O与力作用线的平面,并且向 量→OH, →f,→m组成一个右手标架{O;→OH, →f,→m}。但是，要获得力矩→m，也可以不使用垂足H。我们在ｆ作用线上任取一点R。如图以→r记向量→OR。则→m垂 直于→r，→f。且→r，→f，→m仍组成一个右手标架{O; →r, →f,→m}。 由于OH＝OR sin∠ORH 而∠ORH＝π－∠(→r，→f) （或∠(→r, →f)） 故│→m│＝│→f││→OH│＝│→f││→r│sin（π-∠(→r, →f)） ＝│→r│·│→f│sin∠(→r, →f) 我们把由→r，→f得出→m的方法推广到一般向量，就产生一种新的运算。 1.4.1定义设→a，→b为两不共线非零向量，作一向量→c，其模等于→a，→b之模 与→a，→b夹角正弦之积，它的方向与→a，→b垂直且→a，→b，→c组成一个右手标架{ｏ; → a, →b,→c}, 则→c称为→a, →b的向量积(或叫外积),记作 → c＝→a×→b或[→a, →b] 系1:│→a×→b│等于以→a, →b为邻边的平行四边形的面积。 系2: 两向量→a, →b共线充要条件为→a×→b＝0。 由定义可以推出向量积的运算规律。 1.4.2定理向量积满足下述运算律 (1) →b×→a＝－(→a×→b) (2) λ→a×→b＝→a×λ→b＝λ(→a×→b) 证:(1)若→a, →b共线,则等式显然成立。今设→a，→b不共线，则当交换→a, →b次序时, →a, →b的夹角及各自的模均未改变,故│→b×→a│＝│→a×→b│。又根据向量积定义，→a×→b与→b×→a都同时垂直于→a与→b，因此→a×→b与→b×→a是共线向量，且按顺序→a，→b，→a×→b和→b，→a，→b×→a都分别构成右手标架{ｏ; →a, →b,→a× → b},{ｏ; →b,→a, →b×→a}所以→a×→b与→b×→a方向相反。 从而得→a×→b＝-(→b×→a) (2) 不妨设λ≠0且→a, →b不共线
向量的运算法则
（1）实数与向量的运算法则：设λ、μ为实数，则有： 1）结合律：a a )()(λμμλ=。 2）分配律：a a μλμλ+=+)(，b a b a λλλ+=+)(。 （2）向量的数量积运算法则： 1）a b b a ??=。 2）)()()(b a b a b a b a λλλλ===???。 3）c b c a c b a ???+=+)(。 （3）平面向量的基本定理。 21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任何一向量a ，有且仅有一对实数21,λλ，满足2211e e a λλ+=。 （4）a 与b 的数量积的计算公式及几何意义：θcos ||||b a b a =?，数量积b a ?等于a 的 长度||a 与b 在a 的方向上的投影θcos ||b 的乘积。 （5）平面向量的运算法则。 1）设a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ，则a +b ＝1212(,)x x y y ++。 2）设a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ，则a -b ＝1212(,)x x y y --。 3）设点A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--。 4）设a ＝(,),x y λ∈R ，则a λ＝(,)x y λλ。 5）设a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ，则a ? b ＝1212()x x y y +。 （6）两向量的夹角公式： cos θ（a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ）。 （7）平面两点间的距离公式： ,A B d ＝||AB AB AB =?（A 11(,)x y ，B 22(,)x y ）。 （8）向量的平行与垂直：设a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ，且b ≠0，则有： 1）a ||b ?b ＝λa 12210x y x y ?-=。 2）a ⊥b （a ≠0）? a ·b ＝012120x x y y ?+=。 （9）线段的定比分公式： 设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点，λ是实数，且12P P PP λ=，则
矢量计算题
矢量的基本知识和运算法则 1．矢量和标量的不同点在于：矢量除了有大小之外，还有方向，矢量A 记做A ，其大小等于A 矢量的图示：通常用一条带有箭头的线段来表示，（线段的长度表示大小，箭头表示方向）如图5－1所示。 两个矢量相等的条件是：大小相等，方向相同。如图5－2所示。两矢量的夹角定义为两矢量所构成的小于或等于1800的角。在一般问题中（除非特别指明），矢量的始点位置不关重要的，在进行矢量运算时可将矢量平移。 2．矢量的加减法运算遵从平行四边形法则或三角形法则。 对三个以上的矢量相加，通常使用多边形法则。 3．矢量A 与数量K 相乘时，其结果仍是一个矢量。所得矢量的大小等于原矢量大小乘以，所得矢量的方向：当K ＞0时，与原矢量方向相同；当K<0 时，与原矢量方向相反 如动量()mV 、冲量()F t ??都是矢量，其方向分别与矢量V 和F 矢量相同。动量的变化量()m V ?也是矢量，其方向与V ?相同。 矢量A 与数量K 相除，可以看成A 矢量乘以数量 1K ，如加速度1F a F m m ==?，方向与F 相同。 4．矢量A 与矢量B 相乘 一种乘法叫做两矢量的数量积（又叫点积），用AB ?表示，乘得的积是标量，大小等于两矢量的大小与两矢量夹角余弦的积。即：c o s A B A B θ?=。如：功是力F 与位移S 的数量积，是标量。c o s W F S F S θ=?= 另一种乘法运算是两矢量的矢量积（又叫叉积），用A B ?表示，矢量积A B C ?=还是一个矢量，其大小等于两矢量的大小和两矢量夹角的正弦的乘积。sin C A B θ=?，即矢量C 的大小等于两矢量A 和B 为邻边的平行四边形的面积，矢量C 的方向垂直于矢量A 和B 所决定的平面，指向用“右手螺旋法则”来确定，如图5－5（甲）或（乙）所示。 A B B A ?≠?，A B ?与B A ?大小相等，方向相反。 如力矩M 等于力F 和矢径r 两矢量的矢量积，力矩M r F =?，大小为sin M Fr θ=。带电粒子所受的磁场力（即洛仑兹力）F qV B =?，大小为sin F q vB θ=?（若是负电荷受力方向与此相反） 例5－1为什么说匀速园周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动？物体在运动过程中合外力是否做功？ 解：因为速度和加速度都是矢量，在图5－6所示的圆周上任意取两点A 、B ，虽然,A B A B v v a a ==，但方向不同，由矢量相等的条件可知：A B v v ≠，A B a a ≠，因此匀速园周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动。
1.4向量的向量积,向量的混合积
本节重点: 2 1.4.1向量积 § 1.4 向量的向量积、向量的混合积 1。向量的向量积及其运算律、坐标运算 ?向量的混合积及其运算律、坐标运算 物理学中研究刚体转动问题时， 亠冃 T 向量m ,它的模等于这个力的大小| ,并且向量O H , 与力作用线的平面 “力矩”是一重要概念；所谓一个力/关于定点O 的力矩，指的是 也可以不使用垂足 H 。我们在f 作用线上任取一点 R 。 与从O 到这个力作用线所引垂直线段 OH 之积，它垂直于通过 O T c T ,m ｝。但是，要获得力矩 m , 如图以r 记向量OR 。则m 垂直于r , f 。且/ , f , m 组成一个右手标架｛ O ；OH , f', T f , m 仍组成一个右手标架｛ O ; 由于 而 故丨m | = | T T T r , f , m }。 OH = OR sin / ORH / ORH = n —Z ( r , f )(或/ 我们把由 f | |OH | = |f' | | ?I f | sin Z ( r , f 得出m 的方法推广到一般向量， a , b 为两不共线非零向量，作一向量 b 垂直且a , b , c 组成一个右手标架｛ o ; T r T r , r | sin ( n - Z ( r , f ) 141 定义设 积，它的方向与a , (或叫外积),记作 T T c = a x T T 系 1: | a x b T 就产生一种新的运算。 c ,其模等于a , b 之模与a , b 夹角正弦之 则c 称为a , b 的向量积 T T b , c }, T b ] T T a , b 为邻边的平行四边形的面积。 T T a x b = 0。 等于以 T 系2:两向量a , b 共线充要条件为 由定义可以 推出向量积的运算规律。 1.4.2定理向量积满足下述运算律 T T T T b x a =—(a x b ) T T T T T 入 a x b = a x 入 b =入(a x b ) 证:(1)若a , b 共线,则等式显然成立。今设 T T T T 及各自的模均未改变，故|b x a | = |a x b T T T T T T —f —f b 次序时，a , b 的夹角 与b ,因此a x b 与b x a 是共线向量，且按顺序 T 标架｛o ; a , T T T a , b 不共线，则当交换a , T T T T T 。又根据向量积定义， a x b 与b x a 都同时垂直于a TTTTTT T T a , b , a x b 和b , a , b x a 都分别构成右手 从而得 (2) 不妨设 当入＞0时, TTT TTTT TTTT b , a x b },{ o ; b , a , b x a }所以 a x b 与 b x a 方向相反。 T T T T a x b = -( b x a ) T T 入工0且a , b 不共线 TT TTTT TT 入a 与a 同向，故入a x b 与a x b 同向，又与入(a x b )同向， 、., T T T T T T 另一方面 | 入 a x b | = | 入 a | | b | sin Z (入 a , b ) T T T =| 入 | |a | | b | sin Z (入 a T T T T b )) T T =| 入 | |a | | b | sin Z ( a , b ) =| 入(a x b ) | ,
向量内积、外积和混合积
向量内积、外积和混合积 1 点乘 1.1 定义 点乘，也叫向量的内积、数量积。两个向量的点乘结果是一个标量，不妨假定向量为a b 、，则点乘大小为： cos ,a b a b a b =<> 令cos ,a b θ<>=，则[]0,θπ∈。 1.2 坐标表示 设a =（x1,y1,z1）,b =（x2,y2,z2），则： 121212 a b x x y y z z =++ 1.3 几何意义 点乘的几何意义是：是一条边向另一条边的投影乘以另一条边的长度。 1.4 应用 （1）计算两个矢量的夹角，取值范围为[]0,θπ∈。这里有两个特殊值，当点乘为零时，则表示两个向量垂直；点乘取最大值（等于两个向量模的乘积）时，表示两个向量平行；（非零向量） （2）如果两个矢量均为单位矢量（即模为1），则点乘结果表示夹角余弦； （3）如果其中一个矢量是单位矢量，则点乘结果表示非单位矢量在单位矢量方向上的投影； （4）从视点到多边形任意一个顶点的矢量与多边形的法向量的点积的符号（>0）多边形在视点背面看不到应 删除。（<0）多边形在视点的正面能看到。 （5）求平面外一点到平面的距离。从该点向平面上的点画一条矢量再与平面的法向量点乘求的绝对值。 （6）方向角与方向余弦。方向角定义为非零向量与坐标轴正向的夹角。设于x, y, z 轴的夹角分别为,,αβγ，则： 222cos ,cos ,cos cos cos cos y x z a a a a a a αβγαβγ= ==++ 如果是单位向量，则()0cos ,cos ,cos a αβγ=。 2 叉乘 2.1 定义 叉乘，也叫向量的外积、向量积。两个向量叉乘的结果仍为一向量，不妨设为c （x3,y3,z3）。向量c 的方向与a,b 所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断（用右手的四指先表示向量a 的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b 的方向，大拇指所指的方向就是向量c 的方向）。大小为： sin ,c a b a b =<> 令sin ,a b θ<>=，则[]/2,/2θππ∈-，指的是a 到b 的夹角，具有方向性。 2.2 坐标表示 c =（x3,y3,z3）=（y1z2-z1y2, z1x2-x1z2, x1y2-y1x2），矩阵表示为
浅谈向量混合积的应用
浅谈向量混合积的应用 摘要 向量代数在数学学习过程中有着很重要的作用，本文重点列举了向量的混合积在微分 几何、立体几何、空间解析几何及数学分析等方面的应用，从而体现了向量的混合积应用的广泛性. 关键词 向量；混合积 向量的混合积在实际应用中在不同的方面都有着广泛的作用，下面就混合积 在各领域的运用予以举例说明. 混合积的定义 给定空间的三个矢量→ →→c b a ,,，如果先做前两个矢量→ →b a 和的失性积，再做所得的矢量与第三个矢量→ c 的数性积，最后得到的这个数叫做三矢量 → →→c b a ,,的混合积，记做→→→??c b a )(或),,(→→→c b a 或).(→ →→c b a 性质1三个不共面矢量→→→c b a ,,的混合积的绝对值等于以→ →→c b a ,,为棱的平行六面体的体积V ，并且当→ →→c b a ,,构成右手系时混合积是正数；当→ →→c b a ,,构成左手系时，混合积是负数，也就是有 ,)(V c b a ε=→ →→ 当→→→c b a ,,是右手系时;1=ε当→ →→c b a ,,是左手系时.1-=ε 性质2 三矢量→ →→c b a ,,共面的充要条件是.0),,(=→ →→c b a 性质 3 轮换混合积的三个因子，并不改变它的值，对调任何两个因子要改变乘积符号，即 ).()()()()()(→ →→→ →→→ →→→ →→→ →→→ →→-=-=-===b c a a b c c a b b a c a c b c b a 推论 →→→??c b a )(=).(→ →→??c b a 性质 3 如果,,,333222111→ →→→→→→→→→→→++=++=++=k Z j Y i X c k Z j Y i X b k Z j Y i X a 那么 .)(3 3 3 222 111Z Y X Z Y X Z Y X c b a =→ →→ 一、在微分几何中的应用 引理 1 向量函数→ )(t r 具有固定长的充要条件是对于t 的每个值，→ ')(t r 都与 → )(t r 垂直.
§1.9三矢量的混合积
§1.9三矢量的混合积 一、概念 定义给定空间的三个矢量，如果先做前两个矢量与的矢性积，再做所得 的矢量与第三个矢量的数性积，最后得到的这个数叫做三矢量, , 的混合积，记 做 (?)?或(,,)或(). 二、性质 定理1. 三个不共面矢量, , 的混合积的绝对值等于以, ,为棱的平行六面 体的体积V，并且当, , 构成右手系时混合积是正数；当, , 构成左手系时，混合积是负数，也就是有 () = εV ，当, , 是右手系时ε=1；当, , 是左手系时ε= -1. 证明：平行六面体的底面是以, 为边的平行四边形，面积为S=∣?∣，它的高∣OH∣=h,它的体积 V = S h （如图1-26）. 而 () = (?)?=∣?∣∣∣cosθ = S h =V（, , 构成右手标架）， 或 () = (?)?=∣?∣∣∣cos（－ θ） =－S h=－V（, , 构成右手标架）. 定理2. 三矢量, , 共面的充要条件是 ( )=0. 证明：当与共线即?=时，或=时，显然, , 共面且有 ()=0. 下面假设与不共线且≠： 如果()=0，即(?)?=0，则(?)⊥，又根据矢性积的定义知(?)⊥， (?)⊥，所以三矢量, , 共面. 反过来，如果, , 共面，那么由(?)⊥， (?)⊥知(?)⊥，于是 (?)?=0，即()=0. 定理3. 轮换混合积的三个因子，并不改变它的值，对调任何两个因子要改变混合积符号，即 ()=()=()= -()= -()= -(). 证明：当, , 共面时，显然成立；当, , 不共面时，轮换混合积的三个因 子或对调任何两个因子，混合积的绝对值都等于以, ,为棱的平行六面体的体积. 而 轮换, , 的顺序不会改变左（右）手系，因而混合积不变；而对调任何两个因子，将左（右）手系变为右（左）手系，所以混合积要改变符号. 推论.(?)?= ?(?). 证明：(?)?=()=()=(×)?=?(?).
§2 数量积 矢量积 混合积
489 §2 数量积 矢量积 混合积 2.1 两矢量的数量积 在物理学中，设物体在力F 的作用下沿直线从点1M 移动到2M ，即取得位移12s M M =，力与位移的夹角为,θ即),(=θ，则力F 所做的功为 ||||cos W F s θ=??。 这里功是一个数量，它由力与位移所唯一确定。一般地，两个矢量a 与b 可 唯一确定数值),cos(b a ，于是有： 定义2.1 设有矢量a 与b ，称数),cos(b a 为矢量a 与b 的数量积，记为 ?，即? ),cos(。 两矢量的数量积有称为两矢量的点积或内积。零矢量与任何矢量的数量积为零；a 与a 数量积也记为2 ，即2 ＝a a ? ),cos( 。 由数量积的定义知，物体在力F 作用下沿直线取得位移s 所做的功W ，就是力F 与位移s 的数量积，即W ?=。 数量积有下列运算规律： (1) ?=?； (交换率) (2) ()()() λλλ?=?=?； (结合率) (3) ()?+?=+?。 (分配率) 例2.1 设矢量a 与b 的夹角为 ,3 π||2,||3,a b ==求?。
490 解： ? =),cos(b a ＝33 cos 32=??π 。 例2.2 设0a b c ++=，||1,||2,||3,a b c === 求?+?+?。 解： 由0a b c ++= 得： ()++?＝+2 a ?+0=?， ()++?＝?++2 0=?， ()++?＝c a ?+c b ?+02 =。 将以上三式相加并代入||1,||2,||3,a b c === 得： () 142-=?+?+? 所以?+?+7-=?。 下面我们来推导数量积的坐标表示。 设 k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，根据数量积的运算规律，得 b a ?x y z x y z a i a j a k b i b j b k ()()x x y z y x y z a i b i b j b k a j b i b j b k ()z x y z a k b i b j b k x x x y x z y x y y y z a b i i a b i j a b i k a b j i a b j j a b j k z x z y z z a b k i a b k j a b k k ， 因为i j k 都是单位向量，知1=?=?=?k k j j i i ；又因为i j k 是互相垂直的， 有0=?=?=?=?=?=?k i i k j k k j i j j i ，所以 b a ?=z z y y x x b a b a b a ++。 (2.1) 这就是数量积的坐标表示。 再者，前已知b a ?=θcos b a ，可见θcos b a =z z y y x x b a b a b a ++，那么，当a 与b 都不是零向量时，有θcos =b a b a ?，即得两向量夹角余弦的坐标表示：
第8讲 矩阵的直积及其应用
第8讲 矩阵的直积及其应用 内容：1. 矩阵直积的定义与性质 2. 矩阵直积在解矩阵方程中的应用 矩阵直积（Kronecker 积）在矩阵论及系统控制等工程研究领域有十分重要的应用．运用矩阵直积运算，能够将线性矩阵方程转化为线性代数方程组． §1 矩阵直积的定义与性质 1.1 矩阵直积 定义1.1 设n m ij C a A ?∈=)(，q p ij C b B ?∈=)(，称如下的分块矩阵 ? ??? ??? ??=?B a B a B a B a B a B a B a B a B a B A mn m m n n 21 22221 11211为A 与B 的直积（Krionecker 积，张量积），记为B A ?．B A ?是一个n m ?个块的分块矩阵，简写为nq mp ij C B a B A ?∈=?)(． 显然B A ?与A B ?为同阶矩阵，但一般A B B A ?≠?，即矩阵的直积不满足交换律. 对单位矩阵，有m n n m mn E E E E E ?=?=. 例1.1 设??? ? ??=1001A ，)1,1(-=B ，则 ???? ??--=?11000011B A ，??? ? ??--=?10100101A B . 定义 1.2 若 n T n T n C y y y y x x x x ∈==),,,(,),,,(2121 ，则 T T y x xy ?=，称T xy 为向量x 与y 的外积. 1.2 矩阵直积的性质
定理1.1 矩阵的直积具有如下基本性质： （1）)()()(kB A B kA B A k ?=?=?； （2）)()(C B A C B A ??=??； （3）C A B A C B A ?+?=+?)(，A C A B A C B ?+?=?+)(； （4）T T T B A B A ?=?)(； （5）H H H B A B A ?=?)(； （6）若,,,,t q s n q p n m C D C C C B C A ????∈∈∈∈则 )()())((BD AC D C B A ?=??， 若g E B =，n E C =，则D A D E E A n g ?=??))((； （7）若A ，B 均可逆，则B A ?可逆，且111)(---?=?B A B A ； （8）若A 和B 都是对角矩阵、上（下）三角矩阵、实对称矩阵、Hermite 矩阵、正交矩阵、酉矩阵，则B A ?也分别是这种类型的矩阵. 定义 1.3二元复系数多项式为∑==l j i j i ij y x c y x f 0,),(，若矩阵 m m C A ?∈，n n C B ?∈，则mn 阶矩阵∑=?=l j i j i ij B A c B A f 0 ,),(，其中m E A =0， n E B =0. 定理1.2 设∑==l j i j i ij y x c y x f 0 ,),(，∑=?=l j i j i ij B A c B A f 0 ,),(，m m A ?的 特征值为m λλλ,,,21 ，n n B ?的特征值为n μμμ,,,21 ，则),(B A f 的全体特征值为),(j i f μλ，),,2,1,,,2,1(n j m i ==． 证明 由Schur 定理知存在酉矩阵Q P ,使得
5量子测量及相关问题
[第5讲] 量子测量及相关问题（III）——广义测量与POVM 目录 一，广义测量 二，局域测量——POVM（正值算符测度）1）直和子空间解释 2）直积子空间解释 三，POVM举例 四，Neumark定理 1）Neumark定理 2）举例说明
一，广义测量 1）开放系统 以前研究的量子力学都是针对封闭系统的。现在开始研究开放系统的量子力学。这时的量子力学出现三个新特点： a ）量子态可能是混的； b ）量子演化可能是非幺正的、不可逆的； c ）量子测量造成的投影分解可能是非正交的分解—POVM 2）广义测量 广义测量是指，在一个由若干子系统组成的大系统上进行正交测量时，在局部的子系统上所实现的局限性测量，称为广义测量，又称为局域测量。从大系统的角度来看，现在的子系统是个开放系统，对其进行的观测是片面的观测、局部的观测。广义测量也可以说成是对开放系统的量子测量。 通过把与所考虑系统有相互作用的外部系统都计算进来，构成足够大系统的办法，总能以足够好的近似将这个大复合系统看作是孤立体系。我们知道，对孤立体系所作的测量是正交投影测量。因此可以说，对如此构成的大系统中某一组相互对易力学量完备组进行的量子测量，必定是正交投影测量。就是说，测量所得的必定是这个完备组共同本征态的量子数，测量所实现的也必定是向这个完备组相互正交共同本征态的投影。 但是，大系统这组相互正交的本征态族在子系统所属子空间中的对应态未必仍然相互正交。于是可以设想，不知道（根本就不知道，或是不想知道，或是难以知道）大系统、只知道子系统的观察者会认为：通常情况下的量子测量将投影出一组非正交态，而不是一组正交态。这就是通常所说的“广义测量不一定是正交投影”的原故[3]。 二，局域测量——POVM 1） 直和子空间解释 假设所关心的态空间A H 是一个更大的直和空间 的一部分（设A H 的基是{}i ，⊥H 的基是{μ，μμ,,0i i ?=）。H 有正交基{}αu 。设A M 是A H 中的一个可观察量，于是有以下正交分解关系
高等量子力学
研究生课程教学大纲 高等量子力学 一、课程编码：21-070200-B01-17 课内学时： 64 学分： 4 二、适用学科专业：理学，工学 三、先修课程：数理方法，理论力学，电动力学，量子力学，热力学统计物理 四、教学目标 通过本课程的学习，使研究生掌握希尔伯特空间，量子力学基本理论框架，了解狄拉克 方程，量子力学中的对称性与守恒定律，二次量子化等理论知识，提升在微观体系中运用量 子力学的基本能力。 五、教学方式：课堂讲授 六、主要内容及学时分配 1 希尔伯特空间10学时 1.1 矢量空间 1.2 算符 1.3 本征矢量和本征值 1.4 表象理论 1.5 矢量空间的直和与直积 2 量子力学基本理论框架20学时 2.1 量子力学基本原理 2.2 位置表象和动量表象 2.3 角动量算符和角动量表象 2.4 运动方程 2.5 谐振子的相干态 2.6 密度算符 3 狄拉克方程 6学时 4 量子力学中的对称性 5学时 5 角动量理论简介 5学时 6 二次量子化方法16学时 6.1 二次量子化 6.2 费米子 6.3 玻色子 复习 2学时七、考核与成绩评定：以百分制衡量。 成绩评定依据: 平时作业成绩占30%，期末笔试成绩占70%。 八、参考书及学生必读参考资料 1. 喀兴林，《高等量子力学》，.[M]北京：高等教育出版社，2001 2. Franz Schwabl,《Advanced Quantum Mechanics》，.[M]北京：世界图书出版公司：2012 3. 曾谨言，《量子力学》，.[M]北京：科学出版社：第五版2014或第四版2007 4. https://www.360docs.net/doc/011728551.html,ndau, M.E.Lifshitz，《Quantum Mechanics (Non-reativistic Theory)》，.[M]北京：世界 图书出版公司：1999 5. 倪光炯，《高等量子力学》，. [M]上海：复旦大学出版社：2005 九、大纲撰写人：曾天海
数量积向量积混合积
第三节 数量积 向量积 混合积 内容分布图示 ★ 两向量的数量积 ★ 数量积的运算 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 引例 ★ 向量积的定义 ★ 向量积的运算 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 向量的混合积 ★ 混合积的几何意义 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题7-3 ★ 返回 内容要点： 一、 两向量的数量积： 定义1设有向量a 、b ，它们的夹角为θ，乘积θcos ||||b a 称为向量a 与b 的数量积 （或称为内积、点积），记为b a ?，即 θcos ||||b a b a =?. 根据数量积的定义，可以推得： （1） b j a a j b b a a b Pr ||Pr ||==?; （2） 2 ||a a a =?; （3） 设a 、b 为两非零向量，则 b a ⊥的充分必要条件是 0=?b a . 数量积满足下列运算规律： （1） 交换律 ;a b b a ?=? （2）分配律 ;)(c b c a c b a ?+?=?+ （3）结合律 )()()(b a b a b a λλλ?=?=?,（λ为实数）. 二、两向量的向量积 定义2 若由向量a 与b 所确定的一个向量c 满足下列条件： （1）c 的方向既垂直于a 又垂直于b , c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定（图
7-3-5）； （2）c 的模 θsin ||||||b a c =，(其中θ为a 与b 的夹角)， 则称向量c 为向量a 与b 的向量积（或称外积、叉积），记为 b a c ?=. 根据向量积的定义，即可推得 （1）0 =?a a ； （2）设a 、b 为两非零向量，则 b a //的充分必要条件是 0=?b a . 向量积满足下列运算规律: （1）;a b b a ?-=? （2）分配律 ;)(c b c a c b a ?+?=?+ （3）结合律 )()()(b a b a b a λλλ?=?=?,（λ为实数）. 三、向量的混合积 例题选讲： 两向量的数量积 例1 (讲义例1) 已知},2,2,1{},4,1,1{-=-=b a 求 (1) ;b a ? (2) a 与b 的夹角θ; (3) a 与b 上的投影. 例2 证明向量c 与向量a c b b c a )()(?-?垂直. 例3 (讲义例2) 试用向量方法证明三角形的余弦定理. 例4 (讲义例3) 设b a 3+与b a 57-垂直, b a 4-与b a 27-垂直, 求a 与b 之间的夹 角θ. 例5 (讲义例4) 设液体流过平面S 上面积为A 的一个区域, 液体在这区域上各点处的流速均为(常向量) v . 设n 为垂直于S 的单位向量(图7-3-3a), 计算单位时间内经过这区域流向n 所指一方的液体的质量P (液体的密度为ρ). 两向量的向量积 例6 (讲义例5) 求与k j i b k j i a 2,423-+=+-=都垂直的单位向量. 例7 (讲义例6) 在顶点为)2,6,5(),2,1,1(--B A 和)1,3,1(-C 的三角形中, 求AC 边上的高BD . 例8 设向量p n m ,,两两垂直, 伏隔右手规则, 且
原子与分子物理学专业硕士研究生培养方案(精)
原子与分子物理学专业硕士研究生培养方案 （专业代码：070203） 一、学科概况 原子与分子物理学研究原子分子结构、性质、相互作用和运动规律，阐明物理学基本定律，提供各种原子分子的科学数据。原子与分子物理学是揭示微观世界奥秘的先驱，是现代物理学创立的奠基石。原子、分子和团簇是物质结构从微观过渡到宏观过程的必经层次和桥梁。从天体到凝聚态、等离子体，从化学到生命过程都与原子分子过程密切相关。 原子与分子物理学是基础性强、渗透面宽、应用范围广的物理学分支学科。不仅为现代科学各分支学科提供基础理论、实验方法和基本数据，而且在能源、材料、环境、医学和生命科学以及国防研究中发挥重要作用，在开拓高新技术产业、推动科技发展和促进社会进步方面占有不可忽视的重要地位。 二、培养目标 本专业培养的硕士研究生应是热爱祖国、学风良好、治学严谨、身体健康，具有本专业扎实的理论基础和系统的专门知识及技能，有一定的创新能力，较熟练的掌握一门外语，并初步具有独立从事与原子分子物理学专业有关学科的教学、科研和管理工作的专门人才。 三、研究方向 A、原子结构与原子光谱 B、原子碰撞 C、激光与原子、分子和物质的相互作用 D、分子结构与分子光谱 四、学习年限及应修学分 学习年限为三年；应修34分。 五、课程设置（见课程设置与教学计划表） 六、培养方式与方法 本专业硕士生的培养主要由导师或指导小组负责，对课程学习和科研工作进行指导。课程学习应采取教师授课和小组式讨论的方式进行，并在学习过程中强调对研究生能力的培养。对研究生的课程考试采用书面考试和提交与该课程有关的小型论文结合进行。对实验课程的教学要充分发挥研究生的创造能力，与教师密切配合，共同参与对实验内容的制定、实验过程的具体操作以及对实验结果的分析。科研工作应在导师的指导下结合学位论文进行。 七、学位论文 研究生在修满规定学分后，可开始进入学位论文阶段。学位论文应在导师指导下，在通过阅读文献资料、调查研究、分析总结前人工作的基础上，结合导师的科研课题，提出开题报告和设计方案，经导师组讨论通过后实施。在论文撰写阶段，导师要经常检查并和学生进行必要的讨论，对论文中出现的问题及时加以解决。研究生独立完成学位论文撰写后，应聘请本专业有影响的专家学者进行评阅，评阅人至少应有三分之一为外单位具有副高级职称人员。学位论文评阅通过后，可组织答辩，答辩通过后方能授予硕士学位。 - 385 -
三矢量的混合积
§9 三矢量的混合积 定义 1 给定空间的三个矢量a b c ，我们()a b c ? 叫做三矢量,,a b c 的混合积，记做(,,)a b c 或()abc . 定理1 三个不共面矢量,,a b c 的混合积的绝对值等于以,,a b c 为棱的平行六面体的体积V ，并且当,,a b c 构成右手系时混合积为正；当,,a b c 构成左手系时混合积为负. 证 由于矢量,,a b c 不共面，所以把它们归结到共同的试始点O 可构成以,,a b c 为棱的平行六面体，它的 底面是以,a b 为边的平行四边形，面积为S a b =? ，它的高为OH h = ，体积是V Sh =. 根据数性积的定义()cos cos a b c a b c S c θθ ?=?= ， 其中θ是a b ? 与c 的夹角. 当,,a b c 构成右手系时，02πθ≤≤，cos h c θ= ，因而可得 ()a b c sh V ?== . 当,,a b c 构成左手系时，2πθπ≤≤，cos()cos h c c πθθ =-=- ，因而可得 ()a b c sh V ?=-=- . 定理2 三矢量,,a b c 共面的充要条件是()0abc = . 证 若三矢量,,a b c 共面，由定理1.9.1知|()|0a b c sh V ?=== ，所以|()|0abc = ，从而()0abc = . 反过来，如果()0abc = ，即()a b c ? ，那么根据定理1.7.1有()a b c ?⊥ ，另一方面，有矢性积的定义知(),()a b a a b b ?⊥?⊥ ，所以,,a b c 共面. 定理3 轮换混合积的三个因子，并不改变它的值；对调任何俩因子要改变混合积符号，即 ()()()()()()abc bca cab bac cba acb ===-=-=- . 证 当,,a b c 共面时，定理显然成立；当,,a b c 不共面时，混合积的绝对值等于以,,a b c 为棱的平行六面 体的体积V ，又因轮换,,a b c 的顺序时，不改变左右手系，因而混合积不变，而对调任意两个之间的顺序时， 将右手系变为左，而左变右，所以混合积变号. 推论1 ()()a b c a b c ?=? . 定理4 设111a x i y j z k =++ ，222b x i y j z k =++ ，333c x i y j z k =++ ，那么 1 112 223 3 3()x y z abc x y z x y z = . 证 由矢量的矢性积的计算知 111 11 12 2222 2y z z x x y a b i j k y z z x x y ?= ++ ， 再根据矢量的数性积得