2015-2016学年高中数学 2.3.2 平面与平面垂直的判定课件

图 2316
2.3.2 │ 考点类析
证明：(1)取 PA 的中点 H，连接 EH，DH，如图所示．
1 因为 E 为 PB 的中点，所以 EH∥AB，EH＝2AB. 1 又 AB∥CD，CD＝2AB，所以 EH∥CD，EH＝CD， 因此四边形 DCEH 是平行四边形，所以 CE∥DH. 又 DH⊂平面 PAD，CE⊄平面 PAD， 因此 CE∥平面 PAD.
2.3.2 │ 备课素材 备课素材
1．二面角的作法： (1)定义法： 在二面角的棱上找一个特殊点， 在两个半平面内分别作垂直于棱且与 棱交于此点的射线(三线合一)． (2)垂面法： 过二面角棱上一点作与棱垂直的平面， 该平面与二面角的两个半平面 角形成交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角或其补角． (3)垂线法：在二面角的一个半平面内取不在棱上的一点作另一个半平面的垂线， 过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角． [例]如图 2334，四边形 ABCD 是圆柱 OQ 的轴截面，点 P 在圆柱 OQ 的底面圆 周上，G 是 DP 的中点，圆柱 OQ 的底面圆的半径 OA＝2，侧面积为 8 3π ，∠AOP ＝120°.
► 知识点二 二面角的平面角 如图 239 所示，在二面角 αlβ 的棱 l 上任取一点 O，以点 O 为垂足， 在半平面α 和 β 内分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB， 射线 OA 和 OB 构成的∠AOB 则________________________________ 叫作二面角 α­l­β 的平面 [0°，180°] ． 角．二面角的平面角的范围是______________ 特别地，当平面角是直角时，二面角叫作直二面角．
2.3.2 │ 预习探究
[思考] 判断两个平面垂直的方法有哪些？
解： 两个平面的二面角为直角；两平面垂直的判定定理．
2.3.2 │ 备课素材 备课素材
1．二面角的理解 (1)二面角的大小与垂直平面的位置无关， 一个二面角的平面角有无数个， 它们的 大小是相等的． (2)二面角的平面角必须具备三个条件：①二面角的平面角的顶点在二面角的棱 上；②二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个半平面内；③二面角的平面角的 两条边都与棱垂直． (3)二面角的平面角 θ 的范围为 0°≤θ ≤180°， 当两个半平面重合时， θ ＝0°； 当两个平面合成一个平面时，θ ＝180°. 2．面面垂直的判定定理解读 (1)判定定理简记为：“线面垂直，则面面垂直”．因此要证明平面与平面垂直， 可转化为寻找平面的垂线，即证线面垂直． (2)两个平面垂直的判定定理不仅是判定两个平面面互相垂直的依据， 而且是找出 与一个平面垂直的平面的依据．
2.3.2 │ 考点类析
(2)因为 E， F 分别为 PB， AB 的中点， 所以 EF∥PA.又 AB⊥PA， 所以 AB⊥EF. 同理可证 AB⊥FG.又 EF∩FG＝F，EF⊂平面 EFG，FG⊂平面 EFG， 所以 AB⊥平面 EFG. 又 M，N 分别为 PD，PC 的中点，所以 MN∥CD. 又 AB∥CD，所以 MN∥AB， 因此 MN⊥平面 EFG.又 MN⊂平面 EMN， 所以平面 EFG⊥平面 EMN.
2.3.2 │ 考点类析
► 考点二 证明面面垂直
[ 导入 ] 两条直线垂直可以利用两直线所成的角是直角来判 断，且两直线可能相交，也可能不相交，对于两个平面垂直怎么来 判断？两平面垂直是否一定相交呢？
解： 两个平面垂直可利用相交平面所成的二面角是直二面角 来判断，并且两平面垂直一定相交．
2.3.2 │ 考点类析
例 2 如图 2314 所示，在边长为 a 的菱形 ABCD 中， ∠ABC＝60°，PC⊥平面 ABCD，PC＝2a，E，F 分别是 PA 和 AB 的中点．求证： (1)EF∥平面 PBC； (2)平面 PDB⊥平面 PAC.
图 2314
2.3.2 │ 考点类析
证明： (1)∵在△ABP 中， AE＝PE， AF＝BF， ∴EF∥PB. 又 EF⊄平面 PBC，PB⊂平面 PBC，∴EF∥平面 PBC. (2)∵PC⊥平面 ABCD， BD⊂平面 ABCD， ∴PC⊥BD.∵ 四边形 ABCD 为菱形， ∴AC⊥BD， 又 PC∩AC＝C， ∴BD⊥ 平面 PAC. ∵BD⊂平面 PBD，∴平面 PDB⊥平面 PAC.
2.3.2 │ 考点类析 考点类析
► 考点一 求二面角的大小
例 1 已知三棱锥 A -BCD 的各棱长均为 2， 求二面角 ACDB 的余弦值．
图 2312
2.3.2 │ 考点类析
解： 取 CD 的中点 M， 连接 AM， BM， 则 AM⊥CD， BM⊥CD. 由二面角的定义可知∠AMB 为二面角 ACDB 的平面角． 设点 H 是△BCD 的中心，则 AH⊥平面 BCD，且点 H 在 BM 上． 3 3 1 3 在 Rt△AMH 中，AM＝ ×2＝ 3，HM＝ ×2× ＝ ， 2 2 3 3 3 3 1 1 则 cos∠AMB＝ ＝ ，即二面角的余弦值为 . 3 3 3
2.3.2 │ 新课导入 新课导入
【导入一】 在铁路、公路旁，为防止山体滑坡，常用石块修筑护坡斜面， 并使护坡斜面与水平面成适当的角度；修筑水坝时，为了使水 坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度．如何从数 学的观点认识这种现象？ 【导入二】 (直接导入) 前边举过门和墙所在平面的关系，随着门的开启，其所在平面 与墙所在平面的相交程度在变，怎样描述这种变化呢？今天我 们一起来探究两个平面所成角的问题．
► 知识点三 两平面垂直的判定定理 垂线 ，则这两个平 文字语言：一个平面过另一个平面的 ________ 面垂直． 符号语言：若直线 AB⊂平面 α，AB⊥平面 β，垂足为 B，则 α⊥β _______________ (简称：线面垂直⇒面面垂直)． 图形语言：如图 2311 所示．
图 2311
1．在二面角的概念教学中可多举生活中的一些实例，如教 室的门在打开的过程中与墙面成一定的角度；书本翻开的过程中， 两张纸面呈一定的角度等，以增强学生对二面角的感性认识． 2．在二面角的教学中，要让学生体会： ①二面角的大小是用平面角来度量的； ②二面角的平面角的大小由二面角的两个面的位置唯一确定，与 棱上点的选择无关； ③平面角的两边分别在二面角的两个平面内，且两边都与二面角 的棱垂直，由这个角所确定的平面和二面角的棱垂直． 3．两个平面互相垂直的概念与两条直线互相垂直的概念都是通 过所成的角是直角定义的，教学中可以对这两个概念进行类比．
2.3.2 │ 备课素材
(1)求证：AG⊥BD； (2)求二面角 PAGB 的平面角的余弦值． 解：(1)证明：由题意可知 8 3π ＝2×2π ·AD，解得 AD＝2 3. 在△AOP 中，AP＝ 22＋22－2· 2· 2· cos 120°＝2 3， ∴AD＝AP.又∵G 是 DP 的中点，∴AG⊥DP.① ∵AB 为圆 O 的直径，∴AP⊥BP.由已知知 DA⊥底面 ABP，∴DA⊥BP， ∴BP⊥平面 PAD，又 AG⊂平面 PAD， ∴BP⊥AG，又 DP∩BP＝P，∴AG⊥平面 PBD. 又 BD⊂平面 PBD，∴AG⊥BD. (2)由(1)知：AG⊥平面 DPB，∴AG⊥BG，AG⊥PG， ∴∠PGB 是二面角 PAGB 的平面角． 1 1 PG＝2PD＝2× 2AP＝ 6，BP＝OP＝2，∠BPG＝90°. PG 6 15 ∴BG＝ PG2＋BP2＝ 10.∴cos∠PGB＝BG＝ ＝ 5 . 10
2.3.2 │ 考点类析
证明：(1)延长 C1F 交 CB 的延长线于点 N，连接 AN. ∵F 是 BB1 的中点，BF∥CC1，∴F 为 C1N 的中点，B 为 CN 的中点． 又 M 是线段 AC1 的中点，∴MF∥AN. 又∵MF⊄平面 ABCD， AN⊂平面 ABCD， ∴MF∥平面 ABCD. (2)连接 BD.由四棱柱 ABCD A1B1C1D1 为直四棱柱， 可知 AA1 ⊥平面 ABCD， 又∵BD⊂平面 ABCD， ∴A1A⊥BD.∵四边形 ABCD 为菱形， ∴AC⊥BD. 又∵AC∩A1A＝A，AC，A1A⊂平面 ACC1A1，∴BD⊥平面 ACC1A1.在四边形 DANB 中，DA∥BN 且 DA＝BN，∴四边形 DANB 为平行四边形，∴NA∥BD，∴NA⊥平面 ACC1A1.又∵NA ⊂平面 AFC1，∴平面 AFC1⊥平面 ACC1A1.
2.3.2 │ 考点类析
【变式】如图 2315 所示，已知直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD＝AA1，F 为棱 BB1 的中点， M 为线段 AC1 的中点．求证： (1)直线 MF∥平面 ABCD； (2)平面 AFC1⊥平面 ACC1A1.
图 2315
2.3.2 │ 三维目标
【情感、态度与价值观】 通过揭示概念的形成、发展和应用的过程，使学生体会数学存 在于观实生活周围，从而激发学生的积极思维，培养学生观察、 分析、解决问题能力．
2.3.2 │ 重点难点 重点难点
【重点】 平面与平面垂直的判定． 【难点】 找出二面角的平面角．
2.3.2 │ 教学建议 教学建议
2.3.2 平面与平面垂直的判定
2.3.2 │ 三维目标 三维目标
【知识与技能】 (1)正确理解和掌握“二面角”“二面角的平面角”及“直二 面角”“两个平面互相垂直”的概念． (2)掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用． (3)体会“类比归纳”思想在教学问题解决上的作用． 【过程与方法】 (1)通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程． (2)类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂 直的判定定理．
[思考] 在两个半平面内分别向棱作垂线，两条直线所成的角 是否为二面角的平面角？与二面角的平面角的大小有什么关系？
解： 当两条直线相交时， 所得到的角即为二面角的平面角． 当 两条直线不相交时，其对应的图形不是二面角的平面角，但这两 条异面直线所成的角或其补角与二面角的大小相等．