数学分析大一上学期考试试题 B
数学分析_I_试题(1)doc - 扬州大学
线
学号
班
扬州大学 20 —20 学年度第 学期
《数学分析 1》期末考试试卷（试卷编号： 01）
（闭卷 120 分钟）
题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 复核
应得分 20 20 20 20 5
5
5
5
实得分
阅卷人
一.判断题（每小题 2 分,共 20 分）
1．设 A，B 为非空数集， S = A ∪ B ，则 sup S = max{sup A,sup B}
F(x) = f (x) 在 (0, +∞) 递增.（5 分）
x
八．若函数 f 在闭区间[a,b]上连续，则 f 在[a,b] 上有最大最小值.（5 分）
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姓名
线
学号
班
扬州大学 20 —20 学年度第 学期
5．若
f(x)无界，则存在 { xn }
⊂
D(
f
) ，使得
lim
n→+∞
f
(xn )
=
∞
1
6． lim (1+ x)x = e x→+∞
7．若
lim(
n→∞
xn
−
yn
)
=
0
，
则
lim
n→∞
xn
=
lim
n→∞
yn
8．若
f
′
+
(
x0
),
f−′(x0 )
均存在，则
f
′( x0 )
存在
9． f (x) = x −[x] 是周期为 1 的周期函数
40、中国科学技术大学2019-2020学年第一学期数学分析(B1)期中考试(9页 文字版)
三、(本题 18 分,
每小题 6 分)
设 为实数,
函数 f (x)
x 0,
sin
1 x
,
x x
0. 0
解答下列问题:
(1)问当且仅当 取何值时, f (x) 在 x 0 处连续, 但不可导(需说明理由)?
(2)问当且仅当 取何值时, f (x) 在 x 0 处可导, 但导函数 f (x) 在 x 0 处不连续(需说明理由)?
b2
(*)
(1 a2) 3 2ab 2 b2
lim
x
x2
x x 2 3x 2 ax b
x2
x2
0
因为
第 2 页, 共 9 页
x
lim
x2
3x x2
2
ax x2
b
0
x
lim
(1
a
2
)
3 2ab x
2
b2 x2
1 a2
0
a
1.
其中已用到a 0 . 将a 1 代入式(*), 得:
2g(0) 2
dx 2
dx 2 x 0
说明 注意反函数的求导法则: df 1(x)
1
而不是 1 .
dx
f (f 1(x))
f (x)
三、(本题 18 分,
每小题 6 分)
设 为实数,
函数 f (x)
x 0,
sin
1 x
,
x x
0. 0
解答下列问题:
(1)问当且仅当 取何值时, f (x) 在 x 0 处连续, 但不可导(需说明理由)?
1 n2
.
解 记 Sn a1 a2 an , 则 {Sn } 单调递增.
高等数学大一上册试题
高等数学上册试卷B一、单项选择题（下面每道题目中有且仅有一个答案正确，将所选答案填入题后括号内。
共24分） 1．（3分）设()x f 的定义域为[]1,0，()x f ln 的定义域为（） Ａ．[]1,0Ｂ．()2,0Ｃ．[]e ,1Ｄ．()1,02．（3分）设()xx x f =，()22x x =ϕ，则()[]x f ϕ是（） Ａ．xx 2Ｂ．22x Ｃ．x x 22Ｄ．xx23．（3分）在区间()+∞∞-,内，函数()()1lg 2++=x x x f 是（）Ａ．周期函数Ｂ．有界函数Ｃ．奇函数Ｄ．偶函数4．（3分）()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,2tan x a x xxx f ，当a 为何值时，()x f 在0=x 处连续（） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．0 Ｄ．4-5．（3分）设()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,11x x x x f x α，要使()x f 在0=x 处连续，则=α（） Ａ．0 Ｂ．0 Ｃ．e Ｄ．e 16．（3分）函数1+=x y 在0=x 处满足条件（） Ａ．连续但不可导Ｂ．可导但不连续 Ｃ．不连续也不可导Ｄ．既连续已可导7．（3分）已知()()()()()d x c x b x a x x f ----=且()()()()d c b c a c k f ---='，则=k （） Ａ．a Ｂ．b Ｃ．c Ｄ．d8．（3分）下列函数中，是同一函数的原函数的函数对是（）Ａ．x 2sin 21与x 2cos 41-Ｂ．x ln ln 与x 2lnＣ．2xe 与xe 2Ｄ．2tanx 与x x 2sin 1cot +-二、填空题9．（3分）=→x x x x 2sin 1sinlim 22010．（3分）设()231ln e x y ++=，则='y11．（3分）设⎩⎨⎧==t y t x ln 2，则=dx dy12．（3分）曲线23bx ax y +=有拐点()3,1，则=a ，=b13．（3分）()x F 是()x f 的一个原函数，则()=⎰--dx e f e xx14．（3分）函数()⎰--x t tdte e2的驻点=x15．（3分）=-⎰π2sin 1dx x 16．（3分）=⎰-22cos 2xdx xe x1=-yxe 确定函数()x y y =，求()0y ' 18．（5分）求nx mxx sin ln sin ln lim0→19．（5分）求⎰dxex120．（5分）()⎰-321ln e e x x dx21．（5分）⎰--223cos cos ππdxx x22．（5分）讨论⎰-1121dx x 的收敛性。
上海财经大学 数学分析 测试题 (大一)
《数学分析》考试题一、（满分10分，每小题2分）单项选择题：1、{n a }、{n b }和{n c }是三个数列，且存在N,∀ n>N 时有≤n a ≤n b n c ，（ ）A. {n a }和{n b }都收敛时，{n c }收敛；B. {n a }和{n b }都发散时，{n c }发散；C. {n a }和{n b }都有界时，{n c }有界；D. {n b }有界时，{n a }和{n c }都有界；2、=)(x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<,0 ,2.( ,0 ,0,,sin x x k x k x x kx 为常数）函数 )(x f 在 点00=x 必 （ ）A.左连续；B. 右连续C. 连续D. 不连续 3、''f （0x ）在点00=x 必 （ ）A. x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 02020 ；B. '000)()(lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆+→∆x x f x x f x ; C. '000)()(lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆+→∆x x f x x f x ; D. x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0'0'0 ； 4、设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可微，但≠)(a f )(b f 。
则 （ ）A. ∈∃ξ（b a ,），使0)('=ξf ；B. ∈∃ξ（b a ,），使0)('≠ξf ;C. ∈∀x （b a ,），使0)('≠x f ；D.当)(b f >)(a f 时，对∈∀x （b a ,），有)('x f >0 ；5、设在区间Ⅰ上有⎰+=c x F dx x f )()(， ⎰+=c x G dx x g )()(。
则在Ⅰ上有（ ）A. ⎰=)()()()(x G x F dx x g x f ；B. c x G x F dx x g x f +=⎰)()()()( ；C. ⎰+=+c x G x F dx x F x g dx x G x f )()()]()()()([ ；D. c x G x F dx x G x g dx x F x f +=+⎰)()()]()()()([ ；二、（满分15分，每小题3分）填空题 ：6、121323lim -+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x x ＝ ； 7、)sgn(cos )(x x f =。
大连理工大学数学分析考试题
µÎ inf Å
n≥1 xn
> 0.
§
¦
lim sup 16. xn yn
Ô¤§ ¦
n→∞
n→∞
xn+1 ≥ 1. xn
(1) lim inf xn lim inf yn ≤ lim inf (xn yn ) ≤ lim inf xn lim sup yn .
n→∞ n→∞ n→∞ n→∞
3
(2) lim inf xn lim sup yn ≤ lim sup(xn yn ) ≤ lim sup xn lim sup yn . 17. 18. xn > xn+k . xn > 0, xn
§¦
b > a, f (x)
(1) lim 4n (1 − an ); (2) lim (a1 . . . an ).
n→∞
Å
15. (HOMEWORK)
¤ ¥
f (x)
Ë (a, +∞) ŵÀ¤¥¹
n→∞
¶Ë (a, b)
¦
§4
f (x + 1) − f (x) = e. x→∞ xn lim e f (x) . = n +1 →∞ x n+1 lim
20.
{xn }
§ ¦ ˽ º ¿« n, x < x , k = 1, . . . , n . Å Ô¤¥ lim(x − x ) = 0.a = lim inf x , b = lim sup x . ³Å © © Ì [a, b].
n+1
4
ß ¡ ¥Ëµ f (x) Ë x ¬ ×Ê Å
(iii) an > 0,
¦
第一学期《高等数学B》期末考试试题及答案
武汉大学数学与统计学院2007—2008第一学期《高等数学B 》期末考试试题（180学时）一、（87'⨯）试解下列各题：1、计算n →∞2、计算0ln(1)lim cos 1x x xx →+--3、计算arctan d x x x ⎰4、 计算4x ⎰5、计算d x xe x +∞-⎰6、设曲线方程为sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩，求此曲线在点4t π=处的切线方程。
7、已知2200d cos d y x te t t t =⎰⎰，求x y d d8、设11x y x-=+，求()n y二、（15分）已知函数32(1)x y x =-求： 1、函数)(x f 的单调增加、单调减少区间，极大、极小值；2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线 。
三、（10分）设()g x 是[1,2]上的连续函数，0()()d x f x g t t =⎰1、用定义证明()f x 在(1,2)内可导；2、证明()f x 在1x =处右连续；四、（10分）1、设平面图形A 由抛物线2y x = ，直线8x =及x 轴所围成，求平面图形A 绕x轴旋转一周所形成的立体体积； 2、在抛物线2(08)y x x =≤≤上求一点，使得过此点所作切线与直线8x =及x 轴所围图形面积最大。
五、（9分）当0x ≥，对()f x 在[0,]b 上应用拉格朗日中值定理有： ()(0)()(0,)f b f f bb ξξ'-=∈对于函数()arcsin f x x =，求极限0lim b bξ→武汉大学数学与统计学院 B 卷2007—2008第一学期《高等数学B 》期末考试试题一、（86'⨯）试解下列各题：1、计算30arctan lim ln(12)x x x x →-+2、计算120ln(1)d (2)x x x +-⎰ 3、计算积分：21arctanxd x x +∞⎰ 4、已知两曲线()y f x =与1x yxy e++=所确定，在点(0,0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限2lim ()n nf n→∞5、设，2221cos cos t x t udu y t t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，试求：d d y x，22d |d t y x 的值。
大一高等数学考试试题
高等数学（上）模拟试卷一一、 填空题（每空3分，共42分） 1、函数lg(1)y x =-的定义域是；2、设函数20() 0x x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩在点0x =连续，则a =；3、曲线45y x =-在（-1，-4）处的切线方程是；4、已知3()f x dx x C=+⎰，则()f x = ；5、21lim(1)x x x →∞-=；6、函数32()1f x x x =-+的极大点是；7、设()(1)(2)2006)f x x x x x =---……(，则(1)f '=；8、曲线xy xe =的拐点是；9、21x dx-⎰= ；10、设32,a i j k b i j k λ=+-=-+，且a b ⊥，则λ= ；11、2lim()01x x ax b x →∞--=+，则a =，b = ；12、311lim xx x-→= ；13、设()f x 可微，则()()f x d e = 。
二、 计算下列各题（每题5分，共20分） 1、011lim()ln(1)x x x →-+2、y =y '；3、设函数()y y x =由方程xyex y =+所确定，求0x dy =；4、已知cos sin cos x t y t t t =⎧⎨=-⎩，求dy dx 。
三、 求解下列各题（每题5分，共20分）1、421x dx x +⎰2、2sec x xdx ⎰3、40⎰4、221dx a x +四、 求解下列各题（共18分）：1、求证：当0x >时，2ln(1)2x x x +>-（本题8分）2、求由,,0xy e y e x ===所围成的图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
（本题10分）高等数学（上）模拟试卷二一、填空题（每空3分，共42分）1、函数lg(1)y x =-的定义域是 ；2、设函数sin 0()20xx f x xa xx ⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩在点0x =连续，则a = ；3、曲线34y x =-在(1,5)--处的切线方程是 ； 4、已知2()f x dx x C=+⎰，则()f x = ；5、31lim(1)xx x →∞+=； 6、函数32()1f x x x =-+的极大点是 ； 7、设()(1)(2)1000)f x x x x x =---……(，则'(0)f = ；8、曲线xy xe =的拐点是 ； 9、32x dx-⎰= ；10、设2,22a i j k b i j kλ=--=-++，且a b，则λ= ；11、2lim()01x x ax b x →∞--=+，则a =，b = ；12、311lim xx x-→= ；13、设()f x 可微，则()(2)f x d = 。
高数b大一考试题及答案
高数b大一考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+3x+2的导数为：A. 2x+3B. 2x+6C. x^2+3D. x^2+3x答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x答案：B4. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...C. 1 + 2 + 3 + 4 + ...D. 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...答案：B5. 以下哪个积分是正确的？A. ∫x^2 dx = x^3/3 + CB. ∫x^2 dx = x^3 + CC. ∫x^2 dx = 2x^3 + CD. ∫x^2 dx = 3x^3 + C答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=e^x的不定积分是______。
答案：e^x + C2. 函数f(x)=cos(x)的不定积分是______。
答案：sin(x) + C3. 函数f(x)=ln(x)的不定积分是______。
答案：x*ln(x) - x + C4. 函数f(x)=x^3的不定积分是______。
答案：x^4/4 + C5. 函数f(x)=1/x的不定积分是______。
答案：ln|x| + C三、计算题（每题10分，共30分）1. 计算极限lim(x→∞) (x^2 - 3x + 2) / (x^3 + 5x^2 - 6x)。
答案：02. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx。
答案：1/33. 计算定积分∫(-1 to 1) (x^3 - 2x^2 + 3x - 4) dx。
答案：-4四、证明题（每题10分，共20分）1. 证明函数f(x)=x^3在区间(-∞, +∞)上是单调递增的。
大一第一学期期末高等数学(上)试题及答案
（本小题5分）第一学期期末高等数学试卷、解答下列各题（本小题5分）x 3 12x 162x 3(本小题5分)求 x 2 2 dx. (1 x )（本小题5分）（本小题5分） 求-^dx. 1 x（本小题5分）求— 1 t 2 dt .dx 0（本小题5分）求 cot 6 x esc 4 xdx.(本小题5分)求-1 1 , 求 1 p cos dx. x x（本小题5分）设X e2t cost确定了函数y y e si nt（本小题5分）求'x 1 xdx .0 ■（本小题1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、 11、 12、13、求函数 y 4 2xx 2的单调区间丫（本小题5分) sin x dx.求2 2 0 8 sin 2 x (本小题5分) 设 x(t) e kt(3cos t 4sin t),求 dx .设函数y y （x ）由方程y 2 in y 2 x 6所确定，求史 dx （本大题共16小题, 总计80分）求极限 limx 2 9x 212x求极限 limarctan xx.1 arcsin xy(x),求乎dx14、 （本小题5分）求函数y 2e x e x 的极值15、 （本小题5分）2 2 2 2求极限 lim & “ （2x“ （3xD d°x Dx（10x 1）（11x 1）16、 （本小题5分）cos2x .求dx.1 sin xcosx二、解答下列各题（本大题共2小题，总计14分） 1、（本小题7分）某农场需建一个面积为512平方米的矩形的晒谷场，一边可用原来的石条围 另三边需砌新石条围沿，问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省.（本大题6分）设f （x ） x （x 1）（ x 2）（ x 3）,证明f （x ） 0有且仅有三个实根一学期期末高数考试（答案）、解答下列各题（本大题共16小题，总计77分） 1、（本小题3分）23x 212 26x 18x 122、（本小题3分）x 2\ 2x )1 d(1 x 2) 2(1 x 2)2c.3、（本小题3分） 因为 arctanx而 limarcsin — 02 x x2、（本小题7分）2求由曲线y -和y2三、解答下列各题所围成的平面图形绕 0X 轴旋转所得的旋转体的 体积.解:原式 limx 2lim 歿 x 212x18(19、 116 151故 limarcta n x arcs in o x x求—1 t2 dt .dx 0 '原式 2x 1 x 4cot 6 x(1 1 .7cot x 7(本小题4分) 2求1 工-x2cot x)d(cot x)1. 9cot x c.91cos^d(^) x x2(本小题4分)求 x 1 xdx.令 J 1 x ui u4、 5、(本小题3分)x .dx1 x1 x 1dx 1 x . dx dx1 xx ln 1 x(本小题3分)c.6、(本小题4分)cot 5 6 x csc 4 xd x8、1 （本小题4分） x e 2^st确定了函数y y e si nty(x),求 dy dx解:dy dxe 2t (2sin tt22e (cost 2tsin t ) e t (2 sint cost)22~(cost 2t sin t )cost)7、cos 1dx. x原式1 si n — x2u2)du 原式 2 (u41 \32(—)5 39、116 15解: dxx (t)dt13、（本小题6分）设函数y y （x ）由方程y 2 ln y 2 x 6所确定，求鱼dx2yy 空 6x 5 y3yx 57厂14、（本小题6分）求函数y 2e x ex , 2x1、y 2e (e y1 1驻点：x -| n —2 2由于 y 2e x e x 0故函数有极小值,,1n "2)2 210、（本小题5分） 求函数 y 4 2x x 2的单调区间解: 函数定义域（11、 12、 设 y 当x当x 当xX）2 2x 2(1 1, y 01, y0函数单调增区间为,11, y 0函数的单调减区间为1,(本小题5分)sin x ,2— dx.8 sin x2d cosx 09 cos 2 x原式1, 3 cosx ln ---------- 6 3 cosx丄In 26（本小题x （t ）6分)e kt (3cos t 4sin t),求dx .e kt (43k)cos t (4k 3 )sin t dtx的极值解.定义域）,且连续V x264d(*si n2x 1) 1 丄 si n2x2 1In 1 -si n2x c2、解答下列各题（本大题共2小题，总计13分） 1、（本小题5分）某农场需建一个面积为512平方米的矩形的晒谷场，一边可用原来的石条围 沿, 另三边需砌新石条围沿，问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省•512设晒谷场宽为x,则长为 ----- 米,新砌石条围沿的总长为512xL 2x —— x (x 0)L c 51222x唯— •驻点 x 16 L1024 小3x即 x 16为极小值点 故晒谷场宽为16米，长为51232米时，可使新砌石条围沿16所用材料最省2、（本小题8分）15、（本小题 求极限 原式 2 2 2(x 1)(2x 1) (3x 1)2(10x 1)(10x 1)(11x 1)1 2 1 2 1 2 (1 -)2 (2 -)2 (3 -)2(10 丄)2x x x x1 1(10 -)(11 -)x x 10 11 216 10 11lim x lim x 16、（本小题7 210分) cos2x dx 1 sin xcosx cos2x 1 l sin2xdx2求由曲线y -和y2,8x 22x 3 x 10, x 1 4-)2x 32 (rdx 4x 40(匚6x)dx4J 1 5 (——x 4 5 1 1 7. -------x ) 64 7 04 1 1 512 44(—— )—5 7 35二、解答下列各题(本大题10分)设f (x) x(x 1)( x2)(x 3),证明f (x) 0有且仅有三个实根证明:f (x)在(，)连续,可导,从而在[0,3];连续，可导.又 f(0)f(1)f(2)f(3)则分别在[0,1],[1,2],[2,3]上对f(x)应用罗尔定理得,至少存在1(0,1), 2 (1,2), 3(2,3)使f ( !) f ( 2) f ( 3)即f (x) 0至少有三个实根，又f (x) 0,是三次方程,它至多有三个实根 由上述f (x)有且仅有三个实根高等数学(上)试题及答案D 、不存在2、下列变量中，是无穷小量的为(、填空题(每小题 3分，本题共 15分)1、2、时，f (x)x e 2x在x 0处连续.3、dx ln x ,则巴dyx/x+14、 曲线yx 在点(0, 1 )处的切线方程是y=x+15、 若 f (x)dxsin2x C ，C 为常数，则 f (x)2cos2x —。
大一数学分析上册期中考试
2013.2.25
一、选择题
1. 下列函数在整个R上存在反函数的是 (A) y sin x (B) y ln x
x (C) y e
（ C ）．
2 (D) y x
判别法：反函数存在的充分条件是：
在整个R上严格单调的函数是:
y ex
严格单调
注:
π π y sin x 在 [ , ] 上存在反函数 2 2
(D)
判别法：由拉格朗日中值定理的两个条件
f ( x ) 在开区间(a , b)内可导
] 在闭区间 [ x , x 上可导
1 2
在开区间(a , b)内连续
（但在端点a,b不一定连续）
B班：44∶19（A18、B1、C0）
A班：43∶17（A17、B0、C0）
二、填空题
3n 2n 1. lim n n 3 2 n
判别法：由极限、连续与导数的定义
lim f ( x ) lim( x 1) 0
x 1
lim f ( x ) lim ln x 0
x 1
x 1
x 1
lim f ( x) 0 f (1) 极限存且连续
x 1
f (1) lim
x 1
1 tan x sin x cos x cos x 1 cos x 2 cos x
cos x
数学分析（2）课时安排与学习要求
1.数学分析总课时为272学时，分三个学期，
第二学期96学时（周6×16周）,数学分析习题课：8学时
2.第二学期教学内容： 第六章 §3-§6 第八章 不定积分 第九章 定积分
华东师范大学大一数学分析期末考试题
xx0 g(x)
xx0 g (x)
xx0 g(x)
A、必要条件 B、充分条件 C、充分必要条件
三、计算题（每小题 6 分，共 30 分）
D、既非充分也非必要条件
14、 lim (1 a)(1 a2 )(1 a2n ),(| a | 1) n
15、求函数 y 2x 的单调区间 1 x2
16、 lim xln(1 x) ln x x
学院： 数学与计算机科学学院 适用班级：
题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九
分数
总分
评卷人
一、填空题（每空 2 分，共 20 分）
1、函数 f (x) ln 1 x 的定义域是 1 x
2、 lim sin 5x x0 3x
第
1
3、 lim
n
1n
4、若 f 可导，且 y f (2x), 则 dy =
17、已知 y ln(arccos 1 ) 求 y x
18、求 d
x 1
x2
四、证明题（每小题 10 分，共 20 分）
19、已知数列xn ，它由递推公式
xn1
1 2
(xn
a xn
) 确定， a
0 ，且 x1 可取任意正实数，
证明：数列
x
n
收敛，并求
lim
n
xn
20、 ex 1 x ， (x 0)
五、综合题（15 分）
21、并作图
学号
班级
专业
C、 f (x) 在 x 0的左右极限存在但不相等 D、 f (x) 在 x 0的左右极限不存在
页
n n 1
5、设 f (x) 在 x0 点可导，且在 x0 点取极大值，则 f (x0 ) =
大一开学数学试题及答案
大一开学数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项是实数集的符号表示？A. ZB. NC. QD. R答案：D2. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的零点个数是？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C3. 集合{1, 2, 3}与{3, 4, 5}的交集是？A. {1, 2, 3}B. {3, 4, 5}C. {3}D. 空集答案：C4. 极限lim(x→0) (sin x / x)的值是？A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数y = 2x - 3的斜率是______。
答案：22. 圆的方程为(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25，圆心坐标为______。
答案：(2, -3)3. 等差数列的前n项和公式为______。
答案：S_n = n/2 * (a_1 + a_n)4. 矩阵A = [1, 2; 3, 4]的行列式值为______。
答案：-2三、解答题（每题10分，共60分）1. 解方程：3x^2 - 5x + 2 = 0。
答案：x = 1/3 或 x = 22. 证明：如果a > b > 0，则a^3 > b^3。
答案：略3. 计算定积分：∫(0 to 1) (2x^3 - 3x^2 + 1) dx。
答案：1/24. 求极限：lim(x→∞) (x^2 + 3x + 2) / (x^3 - x + 1)。
答案：05. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值点。
答案：x = 1 或 x = 56. 证明：如果a, b, c是三角形的三边，那么a^2 + b^2 > c^2。
答案：略注意事项：1. 请确保答题卡整洁，字迹清晰。
2. 请在指定的答题区域内作答。
3. 请仔细审题，避免因粗心大意而失分。
4. 请在交卷前检查答案是否与题目对应。
5. 请遵守考场规则，诚信应考。
大一数学分析复习题
方法一：应用数列极限的定义(证明题)用定义求数列极限有几种模式： （1），作差，解方程，解出，则取或（2）将a a n -适当放大，解出()εf n >； （3）作适当变形，找出所需N 的要求。
方法二：常用方法：约去零因子求极限，分子分母同除求极限，分子(母)有理化求极限方法三（迫敛性）设收敛数列都以为极限，数列满足：存在正整数,当时有：则数列{}c n收敛，且。
方法四：（单调有界定理）在实系数中，有界的单调数列必有极限。
方法五：两个重要极限是和方法六：（柯西收敛准则）数列收敛的充要条件是：对任给的，存在正整数N，使得当n，m时，有方法七：Stolz定理：设n>N时，且，若（为有限数或无穷大），则方法八：形如数列极限方法九：用等价无穷小量代换求极限（等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式．．），常见等价无穷小有：当时,,；方法十：用罗必塔法则求极限，用对数恒等式求极限，数列极限转化成函数极限求解。
算术－几何－调和平均不等式：对记(算术平均值)(几何平均值)(调和平均值)有均值不等式:等号当且仅当时成立. （3） Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过)对由二项展开式（４）Cauchy－Schwarz 不等式:(),有（５），；；；导数微分及应用习题判断:1、若可微，且为上的偶函数，则必为][l l-上的偶函数；,（）2 若是上的奇函数，则)f'必为[]l l,-上的偶函数；（）(xx点的极限存在3、如果函数在点的左、右极限都存在，则函数在（）x点可导；（）4、若函数)f在(x(xf在点连续，则)5、若函数)(x f 在点0x x =连续，则)(x f 在0x 点的极限一定存在；（ ）6、若函数)(x f 在点0x x =可微，则)(x f 在0x 点可导 ； （ ）7、如果函数()x f y = 在 0x 点 的左、右 极限都存在，则)(x f 在0x 点可导 ；（ ）8、若函数)(x f 在点0x x =连续，则函数()x f y = 在 0x 点 的左、右 极限都存在且相等；（ ）9、若)(x f 在0x 点不可导，则函数)(x f 在点0x x =一定不连续；（ ） 10、若函数)(x f 在点0x x =不可微，则)(x f 在0x 点不可导 ； （ ） 11、若函数)(x f 在点0x x =不可微，则)(x f 的左、右 极限一定不存在；（ ）12、设函数)(x f 在0x 点可导，导数为，则（ ）13、设函数)(x f 在0x 点可导，导数为)(0x f '，则（ ）14、设函数)(x f 在0x 点可导，导数为)(0x f '，则（ ） 15、函数在处不可导；（ ）16、函数1-=x y 在1=x 处不连续；（ ） 17. 若)(0x f '存在，且，则（ ）18、若)(x f 在上可导，则)(x f 在],[b a 上有界； （ ）19、若)(x f 在0x 点导数不存在，则曲线在点处没有切线；（ ） 20、曲线上点处的法线的斜率为；（ ）21.设)(x f y =在0x x =可微，则当时，是关于高阶的无穷小；（ ） 22、若，则)(x f 在处不可导；（ ）23、若)0()()()(lim2+∞<<=--→l l a x a f x f ax ，则)(x f 在a x =处可导但；（ ） 24、若)0()()()(lim2+∞<<=--→l l a x a f x f ax ，则)(x f 在a x =处可导且；（ ） 25、若，则； （ ）1.设)(x f 在0x x =的某个邻域内具有二阶连续导数，则（ ）.A 、0；B 、)(0x f '；C 、；D 、；.2、设在0x 的邻域内连续，且有，则（ ）.A 、0；B 、；C 、；D 、.3.设，则（ ）. A 、； B 、； C 、； D 、.4.设)(x f 在1=x 点处可微，，则（ ）.A 、2；B 、1；C 、0；D 、.5.设，其中)(x f 为二阶可导函数，则（ ）.A 、；B 、；C 、；D 、.6.如果在区间内，，则在),(b a 内)(x f 与)(x ϕ（ ）.A 、仅相差一个常数；B 、完全相等；C 、均为常数；D 、为常数）.7.设)(x f 为可导的偶函数，则)(x f '为（ ）.A 、偶函数；B 、可能是偶函数；C 、奇函数；D 、非奇非偶函数.8、设()x f 在0x x =处可导，则（ ）. A 、0； B 、； C 、； D 、)(0x f '.9、设，则（ ）.A 、－3；B 、3；C 、0；D 、∞. 10、设()x f 在区间),(b a 内连续，，则在点0x 处()x f （ ）.A 、极限存在且可导；B 、极限不存在，但可导；C 、极限存在，但不一定可导；D 、极限不一定存在. 11.设，则在处()x f （ ）.A 、 无定义；B 、不连续；C 、连续且可导；D 、连续但不可导. 12、设，在0=x 可导，则必有（ ）.A、；B、；C、；D、.13、，则在0x处的导数（）.=A、0；B、－1；C、不存在；D、1.14、可微的周期函数其导数（）.A、一定是周期函数，且周期不变；B、一定是周期函数，但周期可能发生变化；C、不一定是周期函数； D、一定不是周期函数.15、设()xf为可微的偶函数，且对任意的，则（）.A、；B、；C、2；D、－2.16.曲线上，切线平行于直线的点的坐标为（）.A、（1，－3）；B、（3，－3）；C、（－1，5）；D、（2，0）.''y（）.17、设，其中为可微函数，则=A、；B、；C、；D、.18、设，则（）.A、；B、；C、；D、.19.设)f为可微函数，若，则（）.(uA、；B、；C、；D、.20、下列函数中导数等于的是（）.A、；B、；C、；D、.21、曲线在点处的切线与直线垂直，则此曲线在点M 处的切线方程为（ ）. A 、；B 、；C 、； D 、.22.设，则（ ）.A 、；B 、；C 、2；D 、.23、设，则=''y （ ）.A 、；B 、； C 、； D 、.24、下列函数中在点0=x 连续且可导的是（ ）.A 、；B 、；C 、；D 、.25、设方程确定是的函数，则（ ）.A 、；B 、1；C 、；D 、0.26.其中为可微函数，则=22dxyd （ ）.A 、；B 、；C 、；D 、.27.设，其中l 为有限值，则()x f 在a x =处（ ）.A 、可导且0)(='a f ；B 、可导但0)(≠'a f ；C 、不一定可导；D 、肯定不可导.28.曲线在点M 处的切线斜率为3，则M 点的坐标为（ ）.A 、（1，0）；B 、（0，1）；C 、（1，3）；D 、（1，－2）. 29、设，则=dy （ ）.A 、；B 、； C 、； D 、.30.设具有二阶导数，，则=''y （ ）. A 、； B 、； C 、； D 、.31、函数，则()x f 在0=x 处（ ）.A 、间断；B 、连续但不可导；C 、连续且导数为0；D 、连续且导数为－1. 32.设，在0=x 可导，则的值为（ ）.A 、； B 、1,2=-=b a ； C 、1,2==b a ； D 、.33、，则（ ）.A 、；B 、；C 、6；D 、－6.34.若)(x f 在0x 处不可导，则)(x f 在0x 点（ ）.A 、无意义；B 、左、右极限不相等；C 、不一定可导；D 、不可微. 35、若，则( ).A 、；B 、； C 、； D 、.36.若，且，则=)(x f （ ）.A 、； B 、； C 、； D 、．37、设函数 ，则=')0(f （ ）.A 、-1；B 、；C 、1；D 、． 38.，在0=x 处（ ）.A 、不可导；B 、连续且可导；C 、不连续但可导；D 、不连续.39、设，则)(x f 的有关论证正确的是（ ）.A 、)(x f 在点0=x 处可微；B 、，C 、，D 、)(x f 在点0=x 处可导.40.设（其中 为常数），则（ ）. A 、； B 、0； C 、1； D 、x . 41、设（其中 n a a a ,,,21 为常数），则（ ）. A 、!n ； B 、0； C 、1； D 、x .42.设，则（ ）.A 、；B 、；C 、；D 、0.43.设函数，则函数)(x f 在0=x 处（ ）.A 、不连续；B 、连续，不可导；C 、可导，但不连续；D 、可导且导数也存在.44、设，则=22dxy d （ ）. A 、；B 、；C 、；D 、.45.已知函数，则函数)(x f 在点0=x 处的导数（ ）. A 、； B 、； C 、； D 、不存在.46.设，则（ ）. A 、21； B 、； C 、1； D 、0. 47.设，则（ ）. A 、0； B 、1； C 、－1； D 、2.48、设，则=+)1(n y （ ）. A 、； B 、； C 、； D 、0. 49、设，则（ ）. A 、； B 、； C 、； D 、. 50.下列命题中正确的是（ ）.A 、若，则有；B 、若)()(x g x f =，则有)()(x g x f '='； C 、若，则； D 、若0)(0=x f ；则0)(0='x f .51.)(x f y 在点0x 处的左、右导数存在且相等是)(x f 在点0x 处可导的 （ ）.A 、必要条件；B 、充分条件；C 、充分必要条件；D 、无关条件.52.设函数，则为（ ）.A 、2；B 、3；C 、－1；D 、不存在.1. × ；2.∨；3、×；4、×；5、∨；6、∨；7、 × ；8、 ∨ ；9、 × ；10、 ∨ ；11、×；12、×；13、 ∨ ；14、×；15、∨ ；16、×；17、 ∨ ；18、∨ ；19、×；20、∨ ；21、 ∨ ；22、×；23、×；24、∨；25、× ；1、D ；2、B ；3、D ；4、A ；5、C ；6、A ；7、C ；8、B ；9、A ；10、C ；11、D ；12、D ；13、；C ；14、A ；15、B ；16、B ；17、D ；18、C ；19、D ；20、B ；21、A ；22、B ；23、D ；24、C ；25、B ；26、C ；27、A ；28、D ；29、B ；30、D ；31、D ；32、C ；33、C ；34、D ；35、A ；36、C ；37、C ；38、B ；39、C ；40、B ；41、A ；42、B ；43、B ；44、B ；45、D ；46、D ；47、D ；48、B ；49、A ；50、B ；51、C ；52、D.中值定理和罗比达法则★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值。
数学分析考试库选择题
)
６．函数f(x)
在x=x0处的导数
f (x0)可定义 为(
(A)y 1
2 x 0; (B)
y 2x
1; (C)y
2x 3;
(D)
y 1 x.
９．若在区间
a,b内，导数
f x 0，
二阶导数f
x 0，
则函数
f x在区间内
是(
).
(A)单调减少，曲线是凹的
; (B)
单调减少，
曲线是凸的;
b）上的递增函数，则（x）
max{ f (x), g(x)}
b)上
（A）
递增函数;
（B） 递减函数;
（C）
严格递增函数;
（D）严格递减函数.13．limn源自n( n 1 n)()
（A）
1
; (B) 0;
2
（C）;
（D）
14．极限
lim xsin1(x 0x
）
（A）
0 ;(B) 1 ;
(C)2 ;
（D）
(C)单调增加，曲线是凹的
; (D)
单调增加，
曲线是凸的.
10．函数f x
1x33x2
9x在区间
0,4上的最大值点为(
).
3
A)4; (B)0; (C)2; (D)3.
11．函数y f x由参数方程
5et
3et
确定，则dy
dx
）.
A）
53e2t;(B)
3t
e;
5
(C)
3
5
(D)
3
5
12设f
，g为区间（a,
数学分析题库(
． 选择题
(A)
大一数学分析期中练习题
f ( x)、 lim f ( x) 均存在； A． lim f ( x) 存在的充要条件是 lim
lim f ( x) 均存在； B． lim f ( x) 存在的充要条件是 lim f ( x)、
x
x
x
C． f ( x) 在 x0 可导的充要条件是 f ( x) 在 x0 的左右导数均存在； D． f ( x) 在 x0 连续的充要条件是 f ( x) 在 x0 既左连续又右连续； 4、当 x 0 时， f ( x) (1 x ) 1 与 1 cos x 为等价无穷小，则 （）. A．0 B．
1 cos x 1 2 . 2、 lim x 0 x ln(1 x) n 2n
2 3、 lim 1 . x x
x
四、证明题
1 1、叙述极限 lim f ( x) A 的归结原则，并应用它证明 lim cos x 不存在. x x 4
数学分析阶段练习 一、填 空 题 1、 lim
1 n (ln 3) n
； lim n 1 类间断点.
2、设 f ( x)
ln(1 x) ，则 x2 2 x
是 f ( x) 的可去间断点；
1 1 sin ax x sin 3、设 f ( x) x x 2
x
[0, ) 一致连续。
5 已知 lim f ( x) 存在，证明 lim f ( x) 存在。
x x0
x x0
A． an 有两个子列都收敛于 a ； C． 0,U (a; ) 中有 an 无限项；
B． an 10 收敛于 a ； D． an 收敛于 a ； ).
3、设 f ( x) 在 U ( x0 ) 有定义，则下列叙述正确的是 (
华东理工大学《数学分析(上)》期末考试试卷及答案
八、证明方程 x sin x = 2010 在(−∞, +∞)内有无穷多个解.（8分） 九、设 f ( x )在[0, +∞)连续, 且 lim [ f ( x ) − x −1] = 0, 证明 f ( x )在[0, +∞)一致连续.（本
x → +∞
题8分） 十 、 设 函 数 f ( x )在 [a, b] 连 续, 在(a, b)可 导, 求 证 在(a, b)内 存 在 相 异 两 点 ξ 和 η 使 2 f (b) − f (a) 得 f (ξ) f (η) = .（本题8分） b−a
√ n 一、用极限的定义证明 lim 2010 = 1. （本题7分）
n →∞
二、求极限（共14分, 每小题7分） 1. lim x − √ x
x→∞
1 e−1
2.
ห้องสมุดไป่ตู้
x → +∞
lim
√ 5
x5 + x4 −
√ 3
x3 − x2
三、求不定积分（共14分, 每小题7分） 1. e ax sin bx d x (其中a, b为常数) 2. cos x dx sin x + cos x
华东理 工大 学 2009 - 2010 学 年第 一学 期
《 数 学 分 析 (上 )》 课 程 期 末 考 试 标 准答 案 A 2010. 1. 13
√ n 一、用极限的定义证明 lim 2010 = 1. （本题7分）
n →∞
(注: 不等式放缩3分, 定义4分) ln 2010 证：∀ε > 0, 令N = log1+ ε 2010 , 则 ∀n > N 有n > , 因此 ln(1+ ε) √ √ 1 n n ln(1− ε) < 0 < ln 2010 < ln(1+ ε), 即1− ε < 2010 < 1+ ε, 故 lim 2010 = 1. n →∞ n 二、求极限（共14分, 每小题7分） √ √ 5 3 1 5 + x4 − 1. lim x − √ 2. lim x x3 − x2 x x→∞ x → +∞ e−1 1 1 et − t − 1 1. 解: 原式= lim − t (2分) = lim t→0 t t → 0 t(e t − 1) e −1 et − t − 1 et − 1 et 1 = lim (2 分 ) = lim (1 分 ) = lim (1分) = (1分) 2 t→0 t→0 t→0 2 t 2t 2 1 1 1 1 5 3 2. 解: 原式= lim x 1 + − 1− (2分) x → +∞ x x 1 11 8 11 + o( ) − 1 − + o( 1 (1分) ) (4分) = = lim x 1 + x x → +∞ 5x x 3x 15 三、求不定积分（共14分, 每小题7分） cos x 1. e ax sin bx d x (其中a, b为常数) dx 2. sin x + cos x 1. 解: 设 I = e ax sin bx d x (1)当a 0时, 由分部积分 b b 1 1 1 sin bx d (e ax )= e ax sin bx− e ax cos bx d x (2分)= e ax sin bx− 2 cos bx d (e ax ) I= a a a a a b ax b b2 b2 1 ax 1 = e sin bx− 2 e cos bx− 2 e ax sin bx d x (2分)= e ax sin bx− 2 e ax cos bx− 2 I +C1 a a a a a a (a sin bx − b cos bx )e ax 故I = (2分) + C (1分) a2 + b2 (2)当a = 0, b 0时, 上述结果仍成立; (3)当a = 0, b = 0时, I = C . cos x − sin x x d(sin x + cos x) 1 1+ d x (3分) = + (2分) 2.解法一: 原式= 2 sin x + cos x 2 sin x + cos x x 1 = + ln | sin x + cos x | (1分) + C (1分) 2 2 dt 解法二: 设 t = tan x, 则 x = arctan t, d x = . (2分) 1 + t2 dt 2 dx 1 1 1 t 原式= = 1+t = + − d t (2分) 2 1 + tan x 1+ t 2 1+t 1+t 1 + t2 1 d (1 + t) 1 dt 1 d (1 + t 2 ) = + − 2 1+t 2 1 + t2 4 1 + t2 1 1 1 = ln |1 + t | + arctan t − ln(1 + t 2 ) + C (2分) 2 2 4 i
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数学分析第一学期期末考试试卷（B 卷）
一、叙述题（每题5分，共10分）
1.上确界；
2.区间套的定义。
二、填空题（每题4分，共20分）1.函数|3|ln 3)(--=x x x f 的全部间断点是.
2.定义在]1,0[区间上的黎曼函数的连续点为.
3.)1ln()(2
x x f +=,已知5
6)2()(lim 000=--→h h x f x f h ,=0x .4.正弦函数x y sin =在其定于内的拐点为.5.点集}1)1({n S n +-=的所有聚点为.三、计算题(每题4分，共28分)（1）求]1
21
11[lim 222n n n n n ++++++∞→ ；（2）求30sin tan lim x
x x x -→；（3）求)1ln(sin 1tan 1lim 30x x x x ++-+→；（4）求2210)21(e lim
x x x x +-→；（5）求)1ln(2x x y ++=的一阶导；
（6）求3)(sin )(+=x x x f 的一阶导；
（7）求⎩⎨⎧==;
cos ,sin 22t t y t t x 的一阶导。
四、讨论题（共12分）1.极限x x 1sin lim 0
→是否存在，说明原因。
2.设000)()(=≠⎪⎩⎪⎨⎧-=-x x x e x g x f x
,其中)(x g 具有二阶连续导数,且
1)0(,1)0(-='=g g .求)(x f '并讨论)(x f '在),(+∞-∞上的连续性.
五、证明题（共30分）1.证明.x x f 2cos )(=在),0[+∞上一致连续.
2.设f 在],[b a 上连续,],[,,,21b a x x x n ∈ ，另一组正数n λλλ,,,21 满足121=+++n λλλ .证明：存在一点],[b a ∈ξ，使得
)()()()(2211n n x f x f x f f λλλξ+++= .
3.设函数)(x f 在[]b a ，上连续,在),(b a 内可导,且0>⋅b a .证明存在),(b a ∈ξ，使得)()()()(1
ξξξf f b f a f b a b a '-=-.。