数学分析大一上学期考试试题 B

数学分析第一学期期末考试试卷（B 卷）

一、叙述题（每题5分，共10分）

1.上确界；

2.区间套的定义。

二、填空题（每题4分，共20分）1.函数|3|ln 3)(--=x x x f 的全部间断点是.

2.定义在]1,0[区间上的黎曼函数的连续点为.

3.)1ln()(2

x x f +=,已知5

6)2()(lim 000=--→h h x f x f h ,=0x .4.正弦函数x y sin =在其定于内的拐点为.5.点集}1)1({n S n +-=的所有聚点为.三、计算题(每题4分，共28分)（1）求]1

21

11[lim 222n n n n n ++++++∞→ ；（2）求30sin tan lim x

x x x -→；（3）求)1ln(sin 1tan 1lim 30x x x x ++-+→；（4）求2210)21(e lim

x x x x +-→；（5）求)1ln(2x x y ++=的一阶导；

（6）求3)(sin )(+=x x x f 的一阶导；

（7）求⎩⎨⎧==;

cos ,sin 22t t y t t x 的一阶导。四、讨论题（共12分）1.极限x x 1sin lim 0

→是否存在，说明原因。2.设000)()(=≠⎪⎩⎪⎨⎧-=-x x x e x g x f x

,其中)(x g 具有二阶连续导数,且

1)0(,1)0(-='=g g .求)(x f '并讨论)(x f '在),(+∞-∞上的连续性.

五、证明题（共30分）1.证明.x x f 2cos )(=在),0[+∞上一致连续.

2.设f 在],[b a 上连续,],[,,,21b a x x x n ∈ ，另一组正数n λλλ,,,21 满足121=+++n λλλ .证明：存在一点],[b a ∈ξ，使得

)()()()(2211n n x f x f x f f λλλξ+++= .

3.设函数)(x f 在[]b a ，上连续,在),(b a 内可导,且0>⋅b a .证明存在),(b a ∈ξ，使得)()()()(1

ξξξf f b f a f b a b a '-=-.