浙江专版高考数学第1部分重点强化专题专题1三角函数与平面向量突破点2解三角形教学案
(浙江专用)高考数学二轮复习专题一三角函数、解三角形与平面向量规范答题示例2解三角形课件
板块三专题突破核心考点规范答题示例2解三角形典例2 (14分)aAABC中，角A 已知。
二3, cos A B 二A +申.⑴求b的值；(2)求AABC的面积.,B, C所对的边分别为o, b, c.审题路线图(1)利用同角公式、诱导公式f求得sin A, sinB-利用正弦定理求方(2)方法一|余弦定理求边c|f S二嘉csin B方法二|用和角正弦公式求sin C|f S二討sin C规范解答•分步得分解(1)在厶ABC中，由题意知，sinA =Ajl-cos2A = %，371 2).R 3><¥由正弦定理，得b二$血4二卫二3\13 b2 + c2 - cr (2)方法一由余弦定理，得cos A二一阪—=3， = cosA = f.兀71又因为B = A + 2,所以sin B - sin A +㊁3&,所以c2- + 9 = 0,解得c二书或3书,71又因为B二A +㊁为钝角，所以b>c,即c10分所以S^ABC - |^csin B = |x3X^3X ； _ ? •14分方法二因为sinB 二+ |>^,所以cos 5 =sin C = sin(A +B) = sin Acos B + cos Asin B = |,10分所以S^A BC= ^absin C」J.14分构建答题模板第一步找条件：寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向.定工具：根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，实施边角之间的转化.I第三步求结果：根据前两步分析，代入求值得出结果.第四步再反思：转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性.评分细则⑴第⑴问：没求sin A而直接求出sin B的值，不扣分；写出正弦定理，但b计算错误，得1分.(2)第(2)问：写出余弦定理，但c计算错误，得1分；求出c的两个值，但没舍去，扣2分；面积公式正确，但计算错误，只给1分；若求出sin C, 利用S二鼻bsinC计算，同样得分.跟踪演练2（2018-全国I）在平面四边形ABCD中，ZADC = 90°Z4 = 45°，AB = 2, BD = 5.⑴求cos ZADB;在△ABD中，由正弦定理得BDsin ZAABsin ZADB5即sin 45。
浙江高考数学专题一三角函数、解三角形与平面向量第1讲三角函数的图象与性质学案
第1讲 三角函数的图象与性质[考情考向分析] 1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点．热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x(x ≠0)．各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2．同角基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 3．诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．例1 (1)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (2，1)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4等于( )A ．－7B ．－17 C.17 D ．7答案 A解析 由角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (2,1)，可得x ＝2，y ＝1，tan α＝y x ＝12，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝11－14＝43， ∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2αtan π4＝43＋11－43×1＝－7.(2)已知曲线f (x )＝x 3－2x 2－x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为α，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－2cos 2α－3sin(2π－α)·cos(π＋α)的值为( ) A.85 B ．－45 C.43 D ．－23 答案 A解析 由f (x )＝x 3－2x 2－x 可知f ′(x )＝3x 2－4x －1，∴tan α＝f ′(1)＝－2，cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－2cos 2α－3sin ()2π－αcos ()π＋α＝(－sin α)2－2cos 2α－3sin αcos α ＝sin 2α－2cos 2α－3sin αcos α ＝sin 2α－2cos 2α－3sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝tan 2α－3tan α－2tan 2α＋1 ＝4＋6－25＝85. 思维升华 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关． (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．跟踪演练1 (1)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π3，cos 5π3，则sin(π＋α)等于( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32答案 B解析 由诱导公式可得，sin 5π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝－sin π3＝－32，cos 5π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝cos π3＝12， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12， 由三角函数的定义可得，sin α＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，则sin ()π＋α＝－sin α＝－12.(2)已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，则sin (π－α)－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α5sin (2π＋α)＋2cos (2π－α)等于( )A.12B.13C.16 D ．－16 答案 D解析 ∵sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α，∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α，则sin (π－α)－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α5sin (2π＋α)＋2cos (2π－α)＝sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝2cos α－4cos α10cos α＋2cos α＝－212＝－16.热点二 三角函数的图象及应用 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．(2)图象变换：(先平移后伸缩)y ＝sin x ――――――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ) ―――――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍纵坐标不变 y ＝sin(ωx ＋φ) ―――――――――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． (先伸缩后平移)y ＝sin x ――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍纵坐标不变 y ＝sin ωx ―――――――→向左(φ>0)或右(φ<0)平移|φ|ω个单位长度y ＝sin(ωx ＋φ) ――――――――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． 例2 (1)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cosωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移5π12个单位长度D ．向右平移5π12个单位长度答案 A解析 由题意知，函数f (x )的最小正周期T ＝π， 所以ω＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，g (x )＝cos 2x . 把g (x )＝cos 2x 变形得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π3，所以只要将f (x )的图象向左平移π12个单位长度，即可得到g (x )＝cos 2x 的图象，故选A.(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)()ω>0，|φ|<π的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向右平移5π12个单位长度后得到函数g (x )的图象，若函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，θ上的值域为[－1,2]，则θ＝________.答案π3解析 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)()ω>0，|φ|<π的部分图象如题图所示，则A ＝2，T 2＝13π12－7π12＝π2，解得T ＝π，所以ω＝2，即f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 当x ＝712π，f⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ＝2， ∴7π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝－23π＋2k π，k ∈Z ， 又|φ|<π，解得φ＝－2π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3， 因为函数f (x )的图象向右平移5π12个单位长度后得到函数g (x )的图象，所以g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －5π12－2π3＝2cos 2x ， 若函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，θ上的值域为[－1,2]，则2cos 2θ＝－1，则θ＝k π＋π3，k ∈Z 或θ＝k π＋2π3，k ∈Z ，所以θ＝π3.思维升华 (1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度数和方向． 跟踪演练2 (1)若将函数y ＝cos ωx (ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sinωx 的图象重合，则ω的最小值为( ) A.12 B.32 C.52 D.72 答案 B解析 将函数y ＝cos ωx (ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后得到函数的解析式为y ＝cos ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ3. ∵平移后得到的函数图象与函数y ＝sin ωx 的图象重合， ∴－ωπ3＝2k π－π2(k ∈Z )，即ω＝－6k ＋32(k ∈Z )．∴当k ＝0时，ω＝32.(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则ω＝________；函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上的零点为________．答案 27π12解析 从图中可以发现，相邻的两个最高点和最低点的横坐标分别为π3，－π6，从而求得函数的最小正周期为T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，根据T ＝2πω可求得ω＝2.再结合题中的条件可以求得函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，令2x －π6＝k π(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )，结合所给的区间，整理得出x ＝7π12.热点三 三角函数的性质 1．三角函数的单调区间y ＝sin x 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )；y ＝cos x 的单调递增区间是[2k π－π，2k π](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )；y ＝tan x 的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )．2．y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数； 当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得．y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得．y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数．例3 (2017·浙江)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间． 解 (1)由sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－23×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2.(2)由cos 2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin 2x ＝2sin x cos x 得，f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.所以f (x )的最小正周期是π. 由正弦函数的性质得，π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．思维升华 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及应用类题目的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式；第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．跟踪演练3 (2018·宁波模拟)已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋1－2sin 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值与最小值．解 (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 所以f (x )的最小正周期为π. (2)因为－π3≤x ≤π4，所以－5π12≤2x ＋π4≤3π4.当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π4＝－5π12，即x ＝－π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝－3＋12， 即f (x )的最小值为－3＋12.真题体验1．(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________． 答案 －332解析 f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝2cos x ＋2(2cos 2x －1) ＝2(2cos 2x ＋cos x －1)＝2(2cos x －1)(cos x ＋1)． ∵cos x ＋1≥0，∴当－1≤cos x <12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当12<cos x ≤1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， ∴当cos x ＝12时，f (x )有最小值．又f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )， ∴当sin x ＝－32时，f (x )有最小值， 即f (x )min ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－32×⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＝－332.2．(2018·全国Ⅱ改编 )若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是________． 答案π4解析 f (x )＝cos x －sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ·22－cos x ·22 ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，即x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时， y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4单调递增， f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4单调递减．∵函数f (x )在[－a ，a ]上是减函数，∴[－a ，a ]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，∴0<a ≤π4，∴a 的最大值为π4.3．(2018·天津改编)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数________．(填序号) ①在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4上单调递增；②在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π上单调递减； ③在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，3π2上单调递增；④在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上单调递减． 答案 ①解析 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度后的解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10＋π5＝sin 2x ，则函数y ＝sin 2x 的一个单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4，一个单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，7π4.由此可判断①正确．4．(2018·全国Ⅲ)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6在[0，π]上的零点个数为______．答案 3解析 由题意可知，当3x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )时， f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＝0.∵x ∈[0，π]， ∴3x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，19π6，∴当3x ＋π6的取值为π2，3π2，5π2时，f (x )＝0，即函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6在[0，π]上的零点个数为3.押题预测1．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5(x ∈R ，ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2.为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移3π20个单位长度B ．向右平移3π20个单位长度C ．向左平移π5个单位长度D ．向右平移π5个单位长度押题依据 本题结合函数图象的性质确定函数解析式，然后考查图象的平移，很有代表性，考生应熟练掌握图象平移规则，防止出错． 答案 A解析 由于函数f (x )图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，则其最小正周期T ＝π，所以ω＝2πT ＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π5，g (x )＝cos 2x . 把g (x )＝cos 2x 变形得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3π20＋π5，所以要得到函数g (x )的图象，只要将f (x )的图象向左平移3π20个单位长度即可．故选A.2.如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中A >0，ω>0，|φ|≤π2 与坐标轴的三个交点P ，Q ，R 满足P (2,0)，∠PQR ＝π4，M 为QR 的中点，PM ＝25，则A 的值为( )A.83 3 B.1633 C ．8 D ．16 押题依据 由三角函数的图象求解析式是高考的热点，本题结合平面几何知识求A ，考查数形结合思想． 答案 B解析 由题意设Q (a,0)，R (0，－a )(a >0)．则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a2，由两点间距离公式，得PM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝25， 解得a 1＝8，a 2＝－4(舍去)，由此得T 2＝8－2＝6，即T ＝12，故ω＝π6，由P (2,0)得φ＝－π3，代入f (x )＝A sin(ωx ＋φ)， 得f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3，从而f (0)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－8， 得A ＝1633.3．已知函数f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x . (1)若x 是某三角形的一个内角，且f (x )＝－22，求角x 的大小； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f (x )的最小值及取得最小值时x 的值．押题依据 三角函数解答题的第(1)问的常见形式是求周期、求单调区间及求对称轴方程(或对称中心)等，这些都可以由三角函数解析式直接得到，因此此类命题的基本方式是利用三角恒等变换得到函数的解析式．第(2)问的常见形式是求解函数的值域(或最值)，特别是指定区间上的值域(或最值)，是高考考查三角函数图象与性质命题的基本模式． 解 (1)∵f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x ＝(cos 2x ＋sin 2x )(cos 2x －sin 2x )－sin 2x ＝cos 2x －sin 2x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫22cos 2x －22sin 2x＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， ∴f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－22，可得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－12.由题意可得x ∈(0，π)， ∴2x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，9π4，可得2x ＋π4＝2π3或4π3，∴x ＝5π24或13π24.(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22， ∴f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈[－2，1]．∴f (x )的最小值为－2，此时2x ＋π4＝π，即x ＝3π8.A 组 专题通关1．函数y ＝sin x (cos x －sin x )，x ∈R 的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－22，－1＋22答案 D解析 y ＝sin x cos x －sin 2x ＝12sin 2x －1－cos 2x 2＝－12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－22，－1＋22， 故选D.2．(2018·浙江金华十校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(x ∈R ，ω>0)与g (x )＝cos(2x＋φ)的对称轴完全相同．为了得到h (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象，只需将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度答案 A解析 由ωx ＋π3＝π2＋k 1π，k 1∈Z 得函数f (x )的对称轴为x ＝π6ω＋k 1πω，k 1∈Z ，由2x ＋φ＝k 2π，k 2∈Z 得函数g (x )的对称轴为x ＝－φ2＋k 2π2，k 2∈Z .因为两函数的对称轴完全相同，所以⎩⎪⎨⎪⎧π6ω＝－φ2，1ω＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝－π6，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，h (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移π4个单位长度后得到的函数解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故选A.3.(2018·浙江省金丽衢十二校联考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，则φ等于( )A ．－π3B ．－π6C.π6D.π3答案 B解析 由题图易得函数f (x )的最小正周期为2πω＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，解得ω＝2，则f (x )＝A sin(2x ＋φ)，又因为当x ＝π3时，f (x )取得最大值，所以2×π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝－π6＋2k π，k ∈Z ，又因为|φ|<π2，所以φ＝－π6，故选B.4．(2018·浙江教育绿色评价联盟适应性考试)设函数f (x )＝sin 2x ＋a cos x ＋b 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( ) A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，且与b 无关 C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，且与b 有关 答案 B解析 令t ＝cos x ，则g (t )＝－t 2＋at ＋b ＋1(0≤t ≤1)，由题意得，①当a2<0，即a <0时，g (0)为最大值，g (1)为最小值，此时M －m ＝1－a ；②当a2>1，即a >2时，g (0)为最小值，g (1)为最大值，此时M －m ＝a －1; ③当12≤a 2≤1，即1≤a ≤2时，M 取g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，m 取g (0)，此时M －m ＝a 24；④当0≤a 2<12，即0≤a <1时，M 取g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，m 取g (1)，此时M －m ＝a 24＋1－a .综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关，故选B.5．函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)图象的相邻对称轴之间的距离为π2，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )的最大值为1 B ．f (x )的图象关于直线x ＝5π12对称 C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2的一个零点为x ＝－π3D ．f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减 答案 D解析 因为f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的相邻的对称轴之间的距离为π2， 所以2πω＝π，得ω＝2，即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (x )的最大值为2，所以A 错误； 当x ＝5π12时，2x ＋π6＝π，所以f⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝0，所以x ＝5π12不是函数图象的对称轴，所以B 错误；由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π6＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，当x ＝－π3时，f⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝2≠0，所以x ＝－π3不是函数的一个零点，所以C 错误；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，7π6，f (x )单调递减，所以D 正确．6．(2018·浙江省金华十校模拟)在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P (－3，－1)，则tan α＝________，cos α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝________. 答案330 解析 ∵角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P (－3，－1)，∴x ＝－3，y ＝－1， ∴tan α＝y x ＝33， cos α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝cos α－cos α＝0. 7．已知tan α＝2，则sin 22α－2cos 22αsin 4α＝________.答案112解析 ∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43， ∴sin 22α－2cos 22αsin 4α＝sin 22α－2cos 22α2sin 2αcos 2α＝tan 22α－22tan 2α＝169－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝112. 8．(2017·全国Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．答案 1解析 f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －322＋1. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0,1]，∴当cos x ＝32时，f (x )取得最大值，最大值为1. 9．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x －π)＝f (x )－sin x ，当－π<x ≤0时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎪⎫2 018π3＝________.答案32解析 ∵f (x －π)＝f (x )－sin x ， ∴f (x )＝f (x －π)＋sin x ，则f (x ＋π)＝f (x )＋sin(x ＋π)＝f (x )－sin x . ∴f (x ＋π)＝f (x －π)，即f (x ＋2π)＝f (x )． ∴函数f (x )的周期为2π， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫2 018π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫672π＋2π3＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋sin 2π3. ∵当－π<x ≤0时，f (x )＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫2 018π3＝0＋sin 2π3＝32. 10．已知向量m ＝(3sin ωx,1)，n ＝(cos ωx ，cos 2ωx ＋1)，设函数f (x )＝m ·n ＋b . (1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，且当ω∈[0,3]时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)在(1)的条件下，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12时，函数f (x )有且只有一个零点，求实数b 的取值范围．解 m ＝(3sin ωx,1)，n ＝(cos ωx ，cos 2ωx ＋1)，f (x )＝m ·n ＋b ＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＋1＋b＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋32＋b ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋32＋b .(1)∵函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，∴2ω·π6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得ω＝3k ＋1(k ∈Z )， ∵ω∈[0,3]，∴ω＝1，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32＋b ， 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32＋b ，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，4π3，∴当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，函数f (x )单调递增；当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，4π3，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π12时，函数f (x )单调递减．又f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3， ∴当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>0≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0时，函数f (x )有且只有一个零点， 即sin 4π3≤－b －32<sin 5π6或1＋32＋b ＝0，∴b 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，3－32∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－52. B 组 能力提高11.如图，单位圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35，∠AOC ＝α，若BC ＝1，则3cos 2α2－sin α2cos α2－32的值为( )A.45B.35 C ．－45 D ．－35 答案 B解析 ∵点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35，设∠AOB ＝θ，∴sin(2π－θ)＝－35，cos(2π－θ)＝45，即sin θ＝35，cos θ＝45，∵∠AOC ＝α，BC ＝1，∴θ＋α＝π3，则α＝π3－θ，则3cos2α2－sin α2cos α2－32＝32cos α－12sin α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ＝35. 12．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为π，若f (x )>2对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，π3恒成立，则φ的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3 C.⎝⎛⎭⎪⎫π12，π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6 答案 D解析 因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为π，所以函数的周期为T ＝π，ω＝2， 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π24，π3时，2x ＋φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋φ，2π3＋φ，且|φ|≤π2，由f (x )>2知，sin(2x ＋φ)>12，所以⎩⎪⎨⎪⎧π6≤π12＋φ，2π3＋φ≤5π6，解得π12≤φ≤π6.13．已知2sin αtan α＝3，且0<α<π. (1)求α的值；(2)求函数f (x )＝4cos x cos(x －α)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4的值域．解 (1)由已知得2sin 2α＝3cos α， 则2cos 2α＋3cos α－2＝0， 所以cos α＝12或cos α＝－2(舍)，又因为0<α<π，所以α＝π3. (2)由(1)得f (x )＝4cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 由0≤x ≤π4，得π6≤2x ＋π6≤2π3，所以当x ＝0时，f (x )取得最小值f (0)＝2， 当x ＝π6时，f (x )取得最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝3， 所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的值域为[2,3]．14．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]， 又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1， 因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得f (x )＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， ∴g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1. 又由lg g (x )>0，得g (x )>1， ∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z 时，g (x )单调递增；当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z 时，g (x )单调递减．∴g (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。
浙江高考数学专题一三角函数、解三角形与平面向量第3讲平面向量学案
第3讲 平面向量[考情考向分析] 1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题，且为基础题.2.考查平面向量数量积及模的最值问题，以选择题、填空题为主，难度为中高档，是高考考查的热点内容.3.向量作为工具，还常与解三角形、不等式、解析几何等结合，进行综合考查．热点一 平面向量的线性运算1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化．2．在用三角形加法法则时，要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点所得的向量；在用三角形减法法则时，要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．例1 (1)如图，在△ABC 中，AB ＝3DB ，AE ＝2EC ，CD 与BE 交于点F .设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则(x ，y )为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫25，25B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫37，37 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫25，920 答案 A解析 由D ，F ，C 三点共线，可得存在实数λ，使得DF →＝λDC →，即AF →－AD →＝λ(AC →－AD →)， 则AF →＝(1－λ)AD →＋λAC →＝23(1－λ)AB →＋λAC →＝23(1－λ)a ＋λb . 由E ，F ，B 三点共线，可得存在实数μ，使得EF →＝μEB →， 即AF →－AE →＝μ(AB →－AE →)，则AF →＝μAB →＋(1－μ)AE →＝μAB →＋23(1－μ)AC →＝μa ＋23(1－μ)b .又a ，b 不共线，由平面向量基本定理可得 ⎩⎪⎨⎪⎧23(1－λ)＝μ，λ＝23(1－μ)，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝25，μ＝25，所以AF →＝25a ＋25b .所以x ＝25，y ＝25，即(x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，25，故选A. (2)已知A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，过点P (m,0)的直线分别与线段AC ，BC 交于点M ，N (点M ，N 不同于点A ，B ，C )，且OA →＝xOM →＋yON →(x ，y ∈R )，若2≤|m |≤3，则x ＋y 的取值范围是____________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12解析 设OP →＝λOA →，则有|λ|＝|OP →||OA →|＝|m |.∵M ，N ，P 三点共线，且点O 不在直线MN 上， ∴OP →＝nOM →＋(1－n )ON →.从而有nOM →＋(1－n )ON →＝λxOM →＋λyON →， 又OM →与ON →是不共线向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧λx ＝n ，λy ＝1－n ，得x ＋y ＝1λ.由2≤|λ|≤3，得x ＋y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12.思维升华 (1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意平面向量基本定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．跟踪演练1 (1)在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是直线BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋25AC →，则实数m的值为( ) A ．－4B ．－1C ．1D ．4答案 B解析 因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫15AC →－AB →＝(1－k )AB →＋k 5AC →，且AP →＝mAB →＋25AC →，又AB →，AC →不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k ＝m ，k 5＝25，解得k ＝2，m ＝－1，故选B.(2)如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，M ，N 分别为线段BC ，CD 上的点，且满足1CM2＋1CN 2＝1，若AC →＝xAM →＋yAN →，则x ＋y 的最小值为________．答案 54解析 连接MN 交AC 于点G .由勾股定理知，MN 2＝CM 2＋CN 2，所以1＝1CM 2＋1CN 2＝MN 2CM 2·CN 2，即MN ＝CM ·CN ，所以C 到直线MN 的距离为定值1，此时MN 是以C 为圆心，1为半径的圆的一条切线(如图所示).AC →＝xAM →＋yAN →＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x x ＋y AM →＋y x ＋y AN →. 由向量共线定理知， AC →＝(x ＋y )AG →，所以x ＋y ＝|AC →||AG →|＝5|AG →|，又因为|AG →|max ＝5－1＝4，所以x ＋y 的最小值为54.热点二 平面向量的数量积1．数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ. 2．三个结论(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)若非零向量a ＝(x 1，y 1)，非零向量b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 例2 (1)已知在直角梯形ABCD 中，AB ＝AD ＝2CD ＝2，∠ADC ＝90°，若点M 在线段AC 上，则|MB →＋MD →|的取值范围为________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤255，22 解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (1,2)，D (0,2)， 设AM →＝λAC →(0≤λ≤1)，则M (λ，2λ)， 故MD →＝(－λ，2－2λ)，MB →＝(2－λ，－2λ)， 则MB →＋MD →＝(2－2λ，2－4λ)， ∴|MB →＋MD →|＝(2－2λ)2＋(2－4λ)2 ＝20⎝⎛⎭⎪⎫λ－352＋45， 当λ＝0时，|MB →＋MD →|取得最大值22， 当λ＝35时，|MB →＋MD →|取得最小值255，∴|MB →＋MD →|∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤255，22.(2)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB→|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值为________． 答案 13解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，AC →＝(0，t )， AP →＝AB→|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1,4)，∴P (1,4)，PB →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋4t ≤17－21t·4t ＝13，当且仅当t ＝12时“＝”成立．思维升华 (1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义． (2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算． 跟踪演练2 (1)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为1，E 为AB 的中点，若F 为正方形内(含边界)任意一点，则OE →·OF →的最大值为________．答案 32解析 ∵E 为AB 的中点，正方形OABC 的边长为1，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，得OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，又F 为正方形内(含边界)任意一点，设F (x ，y )，∴OF →＝(x ，y )，满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，则OE →·OF →＝x ＋12y ，结合线性规划知识可知，当F 点运动到点B (1,1)处时，OE →·OF →取得最大值32.(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，∠ADC ＝45°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰CD 上的动点，则||3PA →＋BP →的最小值为__________． 答案522解析 以DA 为x 轴，D 为原点，过D 与DA 垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．由AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，∠ADC ＝45°，AD ＝2，BC ＝1， 可得D (0,0)，A (2,0)，B (2,1)，C (1,1)， ∵P 在CD 上，∴可设P (t ，t )(0≤t ≤1)， 则PA →＝(2－t ，－t )，BP →＝(t －2，t －1)， 3PA →＋BP →＝(4－2t ，－2t －1)，∴||3PA →＋BP →＝(4－2t )2＋(－2t －1)2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫t －342＋252≥252＝522(当且仅当t ＝34时取等号)，即||3PA →＋BP →的最小值为522.真题体验1．(2017·浙江)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________． 答案 4 2 5解析 设a ，b 的夹角为θ， ∵|a |＝1，|b |＝2，∴|a ＋b |＋|a －b |＝(a ＋b )2＋(a －b )2＝5＋4cos θ＋5－4cos θ. 令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ. 则y 2＝10＋225－16cos 2θ. ∵θ∈[0，π]，∴cos 2θ∈[0,1]， ∴y 2∈[16,20]，∴y ∈[4,25]，即|a ＋b |＋|a －b |∈[4,25]．2．(2017·浙江改编)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则I 1，I 2，I 3的大小关系是________________．答案 I 3<I 1<I 2解析 ∵I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →， ∵AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3， ∴OB →与CA →所成的角为钝角， ∴I 1－I 2<0，即I 1<I 2. ∵I 1－I 3＝OA →·OB →－OC →·OD →＝|OA →||OB →|cos∠AOB －|OC →||OD →|cos∠COD ＝cos∠AOB (|OA →||OB →|－|OC →||OD →|)， 又∠AOB 为钝角，OA <OC ，OB <OD ， ∴I 1－I 3>0，即I 1>I 3.∴I 3<I 1<I 2.3．(2016·浙江)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a·e |＋|b·e |≤6，则a·b 的最大值是________． 答案 12解析 由于e 是任意单位向量，可设e ＝a ＋b|a ＋b |，则|a·e |＋|b·e |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a·(a ＋b )|a ＋b |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b·(a ＋b )|a ＋b |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a·(a ＋b )|a ＋b |＋b·(a ＋b )|a ＋b |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(a ＋b )·(a ＋b )|a ＋b |＝|a ＋b |.∵|a·e |＋|b·e |≤6，∴|a ＋b |≤6， ∴(a ＋b )2≤6，∴|a |2＋|b |2＋2a·b ≤6. ∵|a |＝1，|b |＝2，∴1＋4＋2a·b ≤6， ∴a·b ≤12，∴a·b 的最大值为12.4．(2017·北京)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________． 答案 6解析 方法一 根据题意作出图象，如图所示，A (－2,0)，P (x ，y )．由点P 向x 轴作垂线交x 轴于点Q ，则点Q 的坐标为(x,0)． AO →·AP →＝|AO →|·|AP →|cos θ， |AO →|＝2，|AP →|＝(x ＋2)2＋y 2， cos θ＝AQ AP＝x ＋2(x ＋2)2＋y2，所以AO →·AP →＝2(x ＋2)＝2x ＋4.点P 在圆x 2＋y 2＝1上，所以x ∈[－1,1]． 所以AO →·AP →的最大值为2＋4＝6. 方法二 因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上， 所以可设P (cos α，sin α)(0≤α<2π)， 所以AO →＝(2,0)，AP →＝(cos α＋2，sin α)， AO →·AP →＝2cos α＋4≤2＋4＝6，当且仅当cos α＝1，即α＝0，P (1,0)时“＝”成立． 押题预测1．已知向量a ，b 满足|a |＝3，且向量b 在向量a 方向上的投影为2，则a·(a －b )的值为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1押题依据 向量的数量积是高考命题的热点，常常考查平面向量的运算、化简、证明及其几何意义和平面向量平行、垂直的充要条件及其应用等几个方面． 答案 B解析 由向量b 在向量a 方向上的投影为2，得a·b |a |＝2，即a·b ＝6，则a·(a －b )＝a 2－a·b ＝9－6＝3.2．如图，在△ABC 中，AD →＝13AB →，DE ∥BC 交AC 于点E ，BC 边上的中线AM 交DE 于点N ，设AB→＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示向量AN →，则AN →等于( )A.12(a ＋b ) B.13(a ＋b ) C.16(a ＋b ) D.18(a ＋b ) 押题依据 平面向量基本定理是向量表示的基本依据，而向量表示(用基底或坐标)是向量应用的基础． 答案 C解析 因为DE ∥BC ，所以DN ∥BM ， 则△AND ∽△AMB ，所以AN AM ＝ADAB.因为AD →＝13AB →，所以AN →＝13AM →.因为M 为BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(a ＋b )，所以AN →＝13AM →＝16(a ＋b )．故选C.3．已知两个单位向量OA →，OB →的夹角为60°，向量OP →＝λOA →＋μOB →，且1≤λ≤2,1≤μ≤2，设向量OA →，OP →的夹角为α，则cos α的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤55，255B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤64，63 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤277，5714 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤328，528押题依据 平面向量基本定理在向量中应用广泛，可与数量积等知识结合起来应用． 答案 C解析 如图，由题意知，动点P 在平行四边形CDEF 区域(含边界)内运动．易知∠AOD ≤α≤∠FOA . ∵|OF →|＝|OA →＋2OB →| ＝OA →2＋4OA →·OB →＋4OB →2＝7，∴cos∠FOA ＝OF →·OA →|OF →|·|OA →|＝OA →2＋2OA →·OB →7＝277.∵|OD →|＝|2OA →＋OB →| ＝4OA →2＋4OA →·OB →＋OB →2＝7，∴cos∠DOA ＝OD →·OA →|OD →|·|OA →|＝2OA →2＋OA →·OB →7＝5714.故277≤cos α≤5714，故选C. 4．如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝60°，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →的最小值是_________________________________________________．押题依据 本题将向量与平面几何、最值问题等有机结合，体现了高考在知识交汇点命题的方向，本题解法灵活，难度适中． 答案 －116解析 因为OP →＝OB →＋BP →，所以OP →·BP →＝(OB →＋BP →)·BP →＝OB →·BP →＋BP →2. 又因为∠AOB ＝60°，OA ＝OB ， 所以∠OBA ＝60°，OB ＝1.所以OB →·BP →＝|BP →|cos 120°＝－12|BP →|.所以OP →·BP →＝－12|BP →|＋|BP →|2＝⎝⎛⎭⎪⎫|BP →|－142－116≥－116，当且仅当|BP →|＝14时，OP →·BP →取得最小值－116.A 组 专题通关1．(2018·全国Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →等于( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC → 答案 A解析 作出示意图如图所示．EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →. 故选A.2．设向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,5)，c ＝(4，x )，若a ＋b ＝λc (λ∈R )，则λ＋x 的值为( ) A ．－112 B.112 C ．－292 D.292答案 C解析 由已知可得(1,2)＋(－3,5)＝λ(4，x )⇒⎩⎪⎨⎪⎧4λ＝－2，x λ＝7⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝－14⇒λ＋x ＝－292，故选C.3．已知向量a ，b ，其中a ＝(－1，3)，且a ⊥(a －3b )，则b 在a 方向上的投影为( ) A.43 B ．－43 C.23 D ．－23 答案 C解析 由a ＝(－1，3)，且a ⊥(a －3b )，得a ·(a －3b )＝0， 即a 2－3a ·b ＝4－3a·b ＝0，a·b ＝43，所以b 在a 方向上的投影为a·b |a |＝432＝23，故选C.4.(2018·天津)在如图所示的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM →＝2MA →，CN →＝2NA →，则BC →·OM →的值为( )A ．－15B ．－9C ．－6D ．0答案 C解析 如图，连接MN .∵BM →＝2MA →， CN →＝2NA →， ∴AM AB ＝13＝AN AC， ∴MN ∥BC ，且MN BC ＝13，∴BC →＝3MN →＝3(ON →－OM →)，∴BC →·OM →＝3(ON →·OM →－OM →2)＝3(2×1×cos 120°－12)＝－6.故选C.5．(2018·宁波模拟)已知向量OA →，OB →满足|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝π3，M 为△OAB 内一点(包括边界)，OM →＝xOA →＋yOB →，若OM →·BA →≤－1，则以下结论一定成立的是( ) A.23≤2x ＋y ≤2 B.12x ≤y C ．－1≤x －3y D.23≤x ＋y ≤1 答案 B解析 因为|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝π3，则不妨设OA →＝(1,0)，OB →＝(1，3)，则OM →＝xOA →＋yOB →＝(x ＋y ，3y )，BA →＝(0，－3)， 所以OM →·BA →＝－3y ≤－1，解得y ≥13.又因为点M 为△OAB 内一点(包含边界)，所以x ，y 满足的关系式为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥13，x ＋y ≤1，取x ＝0，y ＝13，此时2x ＋y ＝13<23，故A 选项不一定成立；由y ≥13，x ＋y ≤1，得x ≤23，所以x 2≤13≤y ，故B 选项一定成立；取x ＝0，y ＝1，此时x －3y ＝－3<－1，故C 选项不一定成立；取x ＝0，y ＝13，此时x ＋y ＝13<23，故D 选项不一定成立，综上所述，选B.6．(2018·浙江省金丽衢十二校联考)已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为π3，则|a ＋2b |＝________；a 与a －2b 的夹角为__________． 答案 2 3π3解析 由题意得a ·b ＝|a |·|b |cos π3＝1，所以|a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝23，|a －2b |＝(a －2b )2＝|a |2－4a ·b ＋4|b |2＝2，则cos 〈a ，a －2b 〉＝a ·(a －2b )|a ||a －2b |＝|a |2－2a ·b |a ||a －2b |＝12，所以a 与a －2b 的夹角为π3. 7．若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值是________． 答案 －98解析 由向量减法的三角形法则知，当a 与b 共线且反向时，|2a －b |的最大值为3. 此时设a ＝λb (λ<0)，则有|2a －b |＝|2λb －b |＝3， ∴|b |＝3|2λ－1|，|a |＝3|λ||2λ－1|.又由a ·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉，知 当a 与b 共线且反向时，a ·b 最小． ∴a ·b ＝|a |·|b |·cos π＝－9|λ|(2λ－1)2＝9λ4λ2－4λ＋1＝9－⎝ ⎛⎭⎪⎫－4λ－1λ－4≥－98⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当λ＝－12时取“＝”， ∴a ·b 的最小值为－98.8.如图，半圆的直径AB ＝6，O 点为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA →＋PB →)·PC →的最小值是________．答案 －92解析 ∵PA →＋PB →＝2PO →， ∴(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝2|PO →|·|PC →|cos π＝－2|PO →|·|PC →|， 由AB ＝6，得|CO →|＝3. 设|PO →|＝x (0≤x ≤3)，则－2|PO →|·|PC →|＝－2x (3－x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－92，当x ＝32时有最小值，最小值为－92.9．已知平面内三个单位向量OA →，OB →，OC →，〈OA →，OB →〉＝60°，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的最大值是______． 答案233解析 由已知条件OC →＝mOA →＋nOB →，两边平方可得1＝m 2＋mn ＋n 2＝(m ＋n )2－mn ，∴(m ＋n )2－1＝mn ，根据向量加法的平行四边形法则，判断出m ，n >0， ∴(m ＋n )2－1＝mn ≤14(m ＋n )2，当且仅当m ＝n 时取等号．∴34(m ＋n )2≤1，则m ＋n ≤233， 即m ＋n 的最大值为233.10．(2018·浙江省重点中学联考)已知矩形ABCD ，AB ＝2，BC ＝1，点E 是AB 的中点，点P 是对角线BD 上的动点，若AC →＝xAP →＋yDE →，则AC →·AP →的最小值是________，x ＋y 的最大值是________． 答案 1 5解析 如图，建立平面直角坐标系，则AC →＝(2,1)，DE →＝(1，－1)，直线BD 的方程为x 2＋y ＝1，∴设点P (2－2t ，t )(0≤t ≤1)， 则AP →＝(2－2t ，t )，∴AC →·AP →＝4－4t ＋t ＝4－3t (0≤t ≤1)， ∴当t ＝1时，AC →·AP →取得最小值1. 由AC →＝xAP →＋yDE →，得⎩⎪⎨⎪⎧(2－2t )x ＋y ＝2，tx －y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32－t ，y ＝4t －22－t ，∴x ＋y ＝4t ＋12－t ＝92－t －4(0≤t ≤1)，∴当t ＝1时，x ＋y 取得最大值5.B 组 能力提高11.(2018·天津)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为( )A.2116B.32C.2516 D ．3 答案 A解析 如图，以D 为坐标原点，DA ，DC 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系．连接AC ，由题意知∠CAD ＝∠CAB ＝60°，∠ACD ＝∠ACB ＝30°，则D (0,0)，A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，C (0，3)．设E (0，y )(0≤y ≤3)，则AE →＝(－1，y )，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，y －32，∴AE →·BE →＝32＋y 2－32y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y －342＋2116(0≤y ≤3)，∴当y ＝34时，AE →·BE →有最小值2116. 故选A.12.如图，已知圆O 的半径为2，A ，B 是圆O 上任意两点，且∠AOB ＝2π3，PQ 是圆O 的直径，若点C 满足OC →＝3λOA →＋3(1－λ)OB →(λ∈R )，当CP →·CQ →取得最小值时，λ的值为( )A.12 B.13 C.14 D.15答案 A解析 由已知得OP →＋OQ →＝0，OP →·OQ →＝－4，OA →·OB →＝2×2×cos 2π3＝－2，OA →2＝OB →2＝4，所以CP →·CQ →＝(CO →＋OP →)·(CO →＋OQ →)＝CO →2＋(OP →＋OQ →)·CO →＋OQ →·OP →＝CO →2＋OQ →·OP →＝[3λOA →＋3(1－λ)·OB →]2－4＝9λ2OA →2＋9(1－λ)2OB →2＋18λ(1－λ)OA →·OB →－4＝36λ2＋36(1－λ)2－36λ(1－λ)－4＝36(3λ2－3λ＋1)－4＝108⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122＋5≥5，当且仅当λ＝12时取等号，所以当λ＝12时，CP →·CQ →取得最小值5.故选A.13．(2018·嘉兴市、丽水市教学测试)已知|c |＝2，向量b 满足2|b －c |＝b ·c .当b ，c 的夹角最大时，|b |＝________________________________________________________________________. 答案 2 2解析 设〈b ，c 〉＝θ，则由2|b －c |＝b ·c 得 4(b －c )2＝(b ·c )2，即4|b |2sin 2θ－16|b |cos θ＋16＝0，则4cos θ＝|b |sin 2θ＋4|b |≥2|b |sin 2θ·4|b |＝4sin θ，当且仅当|b |sin 2θ＝4|b |，即|b |＝2sin θ时，等号成立， 则tan θ＝sin θcos θ≤1，所以θ≤π4，当θ＝π4时，|b |＝2 2.14．已知平面向量α，β(α≠0，α≠β)满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎥⎤0，233解析 如图所示，记θ＝〈β，β－α〉，由正弦定理得|β|sin 60°＝|α|sin θ，∴|α|＝sin θ×23＝233sin θ. 又0°<θ<120°，∴0<sin θ≤1. 即0<|α|≤233.15．已知平面向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，－cos x )，c ＝(－cos x ，－sin x )，x ∈R ，函数f (x )＝a·(b －c )． (1)求函数f (x )的单调递减区间； (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝22，求sin α的值．解 (1)因为a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，－cos x )，c ＝(－cos x ，－sin x )，所以b －c ＝(sin x ＋cos x ，sin x －cos x )，f (x )＝a·(b －c )＝sin x (sin x ＋cos x )＋cos x (sin x －cos x )＝sin 2x ＋2sin x cos x －cos 2x ＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4. 当2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8，k ∈Z 时，函数f (x )单调递减．所以函数f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8，k ∈Z .(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝22，则2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝22，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝12. 因为sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝±32. 又sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4sin π4，所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32时，sin α＝12×22＋32×22＝2＋64；当cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－32时， sin α＝12×22－32×22＝2－64.综上，sin α＝2±64. 16．已知向量m ＝(sin x ，－1)，向量n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos x ，－12，函数f (x )＝(m ＋n )·m . (1)求f (x )的单调递减区间；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，a ＝23，c ＝4，且f (A )恰是f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值，求A ，b 和△ABC 的面积S .解 (1)f (x )＝(m ＋n )·m ＝sin 2x ＋1＋3sin x cos x ＋12＝1－cos 2x 2＋1＋32sin 2x ＋12 ＝32sin 2x －12cos 2x ＋2 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2.由2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6(k ∈Z )．所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z )．(2)由(1)知f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＋2，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，由正弦函数图象可知，当2x －π6＝π2时f (x )取得最大值3.所以2A －π6＝π2，A ＝π3.由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得12＝b 2＋16－2×4b ×12，所以b ＝2.所以S ＝12bc sin A ＝12×2×4sin 60°＝2 3.。
(浙江专用版)高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数(二)课件新人教A版必修2
任意角的三角函数
1.2.1 任意Biblioteka 的三角函数(二)学习目标1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域. 2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、 余弦和正切. 3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.
内容索引
问题导学 题型探究
达标检测
问题导学
知识点一
思考
三角函数的定义域
答案
π 正切函数 y＝tan x 为什么规定 x∈R 且 x≠kπ＋2，k∈Z? π 当 x＝kπ＋2，k∈Z 时，角 x 的终边在 y 轴上，此时任取终边上一
yP 点 P(0，yP)，因为 0 无意义，因而 x 的正切值不存在.所以对正切函数 y π ＝tan x，必须要求 x∈R 且 x≠kπ＋2，k∈Z.
解答
反思与感悟 线段的正负.
利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：
(1) 角的位置要 “ 对号入座 ” ； (2) 比较三角函数线的长度； (3) 确定有向
跟踪训练2 比较sin 1 155°与sin(－1 654°)的大小. 解 sin 1 155°＝sin(3×360°＋75°)＝sin 75°，
点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线. (2)作正切线时，应从点A(1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向 延长线于一点T，即可得到正切线AT.
跟踪训练1
集合.
1 在单位圆中画出满足sin α＝ 的角α的终边，并求角α的取值 2
1 解 已知角 α 的正弦值，可知 P 点纵坐标为2. 1 所以在 y 轴上取点0，2， 过这点作 x 轴的平行线，
梳理
正弦函数y＝sin x的定义域是 R ；余弦函数y＝cos x的定义域是 R； π xx∈R且x≠kπ＋ ，k∈Z 2 正切函数y＝tan x的定义域是___________________________.
(浙江专用)高考数学二轮复习专题一三角函数、解三角形与平面向量规范答题示例1三角函数的图象与性质课件
板块三专题突破核心考点规范答题示例1三角函数的图象与性质co>0JT且/U)相邻两条对称轴之间的距离为㊁.(a\、疗( 兀)⑴若/k = - 4，炸2P求cosa的值;(2)将函数y二/W的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，7T然后向左平移石个单位长度，得到函数y二g⑴的图象，求函数y二g⑴的co>0单调递增区间.审题路线图4a 2和差公式cos a(2)y=Xx)图象变换——-- y二g(x)整体思想g(x)的递增区间规范解答•分步得分解/(兀) =cos coxsin cox + 书cos (亦 + 7i)coscox=cos coxsin cox -书cos coxcos coxsin 2cox 萌(cos 2cox + 1) 2 jr・・・夬兀）相邻两条对称轴之间的距离为》7"二兀，/. 69 = 1 ,二 sinU -彳 I a 丿71 ^f(x)= sinl2x - §(1)/sin a \n3j 323 4，• • sin (Z - o= 0, 、71 2j3 4 571 Tl3)・・・—詐• >cos a - sin a\71兀'( \71 71 ・( 、71 a_3 + 3> = coscos g - sin a _ q < a• .cos a - cos ・兀 sin3X2~ 4 X 2 二■ 兀(2畑经过变换可得g(x) = sin” - &jl7T 兀 令-㊁+ 2£兀©-石0，+ 2£兀，k^Z,6"2 兀 2兀得-j + 2k7i^x^~j~ + 2k,胆Z ，7T•: g(Q 的单调递增区间是-§ + 2加, 2兀 T+ 2^71 (^ez). 8分 10分14分构建答题模板第一步化简：利用辅助角公式将/⑴化成y二Asin（处+卩）的形式. 第二步求值：根据三角函数的和差公式求三角函数值.第三步整体代换：将“亦+卩”看作一个整体，确定/任）的性质. 第四步反思：查看角的范围的影响，评价任意结果的合理性，检查步骤的规范性.( 、跟踪演练1 （201&绍兴质检）已知函数» = sin2x-^ -2帝siiA,\ J丿⑴求/普的值;5兀• 5兀扌_ 2羽sin sin（2）求/U ）的最小正周期以及单调递减区间.解 因为 f(x) = sin 2x - ? - 2书sin? J )所以心）的最小正周期卩二兀，7T 71 3 71由㊁ + 2kTtW2x + §£亍 + 2加伙 WZ ）， z 7T 7 71得迁 + hi Wx W 迁 + kn （k 丘 Z ），71 7兀X 二 |sin 2x - 3 厂 1 一 cos2x 书. 二 |sin 2x + c 71 sin 2X + Q -\ 3丿因此/W的单调递减区间是迁+加，迁+加伙wz）・。
浙江高考数学复习专题一三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形学案
第2讲 三角恒等变换与解三角形高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.真 题 感 悟1.(2018·全国Ⅲ卷)若sin α＝13，则cos 2α＝( )A.89B.79C.－79D.－89解析 cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79.答案 B2.(2018·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( ) A.π2B.π3C.π4D.π6解析 根据题意及三角形的面积公式知12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以sin C ＝a 2＋b 2－c22ab＝cosC ，所以在△ABC 中，C ＝π4.答案 C3.(2018·浙江卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.解析 因为a ＝7，b ＝2，A ＝60°，所以由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝2×327＝217.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得c 2－2c －3＝0，所以c ＝3. 答案2173 4.(2017·浙江卷)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.解析 依题意作出图形，如图所示， 则sin∠DBC ＝sin∠ABC .由题意知AB ＝AC ＝4，BC ＝BD ＝2， 则sin∠ABC ＝154，cos∠ABC ＝14. 所以S △BDC ＝12BC ·BD ·sin∠DBC ＝12×2×2×154＝152.因为cos∠DBC ＝－cos∠ABC ＝－14＝BD 2＋BC 2－CD 22BD ·BC ＝8－CD28，所以CD ＝10.由余弦定理，得cos∠BDC ＝4＋10－42×2×10＝104. 答案152104考 点 整 合1.三角函数公式(1)同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.(2)诱导公式：对于“k π2±α，k ∈Z 的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限. (3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos βαsin β；tan(α±β)＝tan α±tan βαtan β.(4)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.(5)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝b a. 2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式 (1)正弦定理在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)；变形：a ＝2R sin A ，sin A ＝a 2R， a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等.(2)余弦定理在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.(3)三角形面积公式S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B.热点一 三角恒等变换及应用【例1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( )A.15B.55C.255D.1(2)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝( )A.1B.2C.3D.4(3)如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－513，∠AOC ＝α.若|BC |＝1，则3cos2α2－sin α2·cos α2－32的值为________. 解析 (1)由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos 2α－1＝23，所以cosα＝306，sin α＝±66，得|tan α|＝55.由题意知|tan α|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b 1－2，所以|a －b |＝55.故选B.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtanπ5－1＝2＋12－1＝3.(3)由题意得|OC |＝|OB |＝|BC |＝1，从而△OBC 为等边三角形，所以sin∠AOB ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513， 所以3cos2α2－sin α2cos α2－32＝3·1＋cos α2－sin α2－32＝－12sin α＋32cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513.答案 (1)B (2)C (3)513探究提高 1.解决三角函数的化简求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示 (1)当已知角有两个时，“所求角”一般表示为“两个已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2.求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解. 【训练1】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.(2)(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sin α＝13，则cos(α－β)＝________.(3)(2018·湖州质检)若cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0<β<π4<α<π2，则α＋β的值为________.解析 (1)∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0， ∴sin 2α＋cos 2β＋2sin αcos β＝1，① cos 2α＋sin 2β＋2cos αsin β＝0，② ①②两式相加可得sin 2α＋cos 2α＋sin 2β＋cos 2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1， ∴sin(α＋β)＝－12.(2)α与β的终边关于y 轴对称，则α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ， ∴β＝π－α＋2k π，k ∈Z .∴cos(α－β)＝cos(α－π＋α－2k π) ＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝－⎝⎛⎭⎪⎫1－2×19＝－79. (3)因为cos(2α－β)＝－1114且π4<2α－β<π，所以sin(2α－β)＝5314.因为sin(α－2β)＝437且－π4<α－2β<π2，所以cos(α－2β)＝17.所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)·cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－1114×17＋5314×437＝12.因为π4<α＋β<3π4，所以α＋β＝π3.答案 (1)－12 (2)－79 (3)π3热点二 正、余弦定理的应用 [考法1] 三角形基本量的求解【例2－1】 (2018·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .解 (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin∠A ＝AB sin∠ADB ，即5sin 45°＝2sin∠ADB，所以sin∠ADB ＝25. 由题设知，∠ADB <90°， 所以cos∠ADB ＝1－225＝235.(2)由题设及(1)知，cos∠BDC ＝sin∠ADB ＝25. 在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2·BD ·DC ·cos∠BDC＝25＋8－2×5×22×25＝25.所以BC ＝5.探究提高 1.解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到.2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”.[考法2] 求解三角形中的最值问题【例2－2】 (2018·绍兴质检)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a cosC ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得 sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 易知sin C ≠0，所以3sin A －cos A ＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)法一 由(1)得B ＋C ＝2π3C ＝2π3－B ⎝⎛⎭⎪⎫0＜B ＜2π3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2sinπ3＝43， 所以b ＝43sin B ，c ＝43sin C .所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×43sin B ×43sin C ·sin π3＝433sin B ·sin C ＝433·sinB ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝ 433⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin B cos B ＋12sin 2B ＝sin 2B －33cos 2B ＋33＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋33. 易知－π6＜2B －π6＜7π6，故当2B －π6＝π2，即B ＝π3时，S △ABC 取得最大值，最大值为233＋33＝ 3.法二 由(1)知A ＝π3，又a ＝2，由余弦定理得22＝b 2＋c 2－2bc cos π3，即b 2＋c 2－bc ＝bc＋4＝b 2＋c 2≥2bcbc ≤4，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×32bc ≤34×4＝3，即当b ＝c ＝2时，S △ABC 取得最大值，最大值为 3.探究提高 求解三角形中的最值问题常用如下方法：(1)将要求的量转化为某一角的三角函数，借助于三角函数的值域求最值.(2)将要求的量转化为边的形式，借助于基本不等式求最值. [考法3] 解三角形与三角函数的综合问题【例2－3】 (2018·嘉兴、丽水高三测试)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋3(sin x ＋cos x )2.(1)求函数f (x )的最大值和最小正周期；(2)设△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若a ＝2，c ＝7，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C 2＝3，求b 的值.解 (1)因为f (x )＝12cos 2x －32sin 2x ＋3(1＋sin 2x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋3，所以f (x )的最大值为1＋3，最小正周期T ＝π. (2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋C ＋π6＋ 3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＋3＝3，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝C ＝π3.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 可得b 2－2b －3＝0， 因为b >0，所以b ＝3.探究提高 解三角形与三角函数的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题，优先考虑角与角之间的关系；解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定理.【训练2】 (2016·浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B .(1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小.(1)证明 由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B ).又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B . (2)解 由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin 2B ＝sin B cos B ，因sin B ≠0，得sin C ＝cos B . 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B . 当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π41.对于三角函数的求值，需关注：(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式； (2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；(3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法.2.三角形中判断边、角关系的具体方法：(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解.3.解答与三角形面积有关的问题时，如已知某一内角的大小或三角函数值，就选择S ＝12ab sin C 来求面积，再利用正弦定理或余弦定理求出所需的边或角一、选择题1.已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( ) A.43B.34C.－34D.－43解析 ∵sin α＋2cos α＝102， ∴sin 2 α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝52.用降幂公式化简得4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C.答案 C2.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A.4 2B.30C.29D.2 5解析 因为cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×15－1＝－35，所以由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝25＋1－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，所以AB ＝42，故选A.答案 A3.(2018·北京西城区调研)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010C.－1010D.－31010解析 设BC 边上的高AD 交BC 于点D ，由题意B ＝π4，BD ＝13BC ，DC ＝23BC ，tan∠BAD ＝1，tan∠CAD ＝2，tan∠BAC ＝1＋21－1×2＝－3，所以cos∠BAC ＝－1010.答案 C4.设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A.3α－β＝π2B.2α－β＝π2C.3α＋β＝π2D.2α＋β＝π2解析 由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，π2－α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴由sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.答案 B5.(2018·杭州调研)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π3＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的值为( )A.－19B.19C.53D.－53解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π3＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3 ＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3 ＝2－3cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝53. 答案 C6.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( ) A.a ＝2bB.b ＝2aC.A ＝2BD.B ＝2A解析 等式右边＝2sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin B . 等式左边＝2sin B cos C ＋sin B ，2sin B cos C ＋sin B ＝sin A cos C ＋sin B ， 因为角C 为锐角三角形的内角，所以cos C 不为0. 所以2sin B ＝sin A ，根据正弦定理，得a ＝2b . 答案 A二、填空题7.(2018·金华模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝________. 解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13； 又0<α<π2，∴π6<π6＋α<2π3， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223. 答案 223 8.(2018·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________.解析 由b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C 得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C ，因为sin B sin C ≠0，所以sin A ＝12.因为b 2＋c 2－a 2＝8，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝82bc ＝32，所以bc ＝833，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233. 答案 233 9.(2018·稽阳联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知c sin A ＝3a cos C ，则C ＝________；若c ＝31，△ABC 的面积为332，则a ＋b ＝________. 解析 由正弦定理可得sin C sin A ＝3sin A ·cos C ，∵在△ABC 中，sin A ≠0，∴tan C ＝3，C ＝π3，又12ab sin C ＝332，∴ab ＝6，再由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即31＝a 2＋b 2－ab ，31＝(a ＋b )2－3ab ，∴a ＋b ＝7.答案 π37 10.(2018·北京卷)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则∠B ＝________；c a 的取值范围是________.解析 △ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝34(a 2＋c 2－b 2)＝34×2ac cos B ，所以tan B ＝3，因为0°<∠B <90°，所以∠B ＝60°.因为∠C 为钝角，所以0°<∠A <30°，所以0<tan A <33，所以c a ＝sin C sin A ＝sin （120°－A ）sin A ＝sin 120°cos A －cos 120°sin A sin A ＝32tan A ＋12>2，故c a 的取值范围为(2，＋∞).答案 60° (2，＋∞)11.(2018·江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________.解析 因为∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，所以∠ABD ＝∠CBD ＝60°，由三角形的面积公式可得12ac sin 120°＝12a ×1×sin 60°＋12c ×1×sin 60°，化简得ac ＝a ＋c ，又a >0，c >0，所以1a ＋1c ＝1，则4a ＋c ＝(4a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c ≥5＋2c a ·4a c＝9，当且仅当c ＝2a 时取等号，故4a ＋c 的最小值为9.答案 9三、解答题12.(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45. (1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值. 解 (1)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45得sin α＝－45， 所以sin(α＋π)＝－sin α＝45. (2)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45得cos α＝－35， 由sin(α＋β)＝513得cos(α＋β)＝±1213. 由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－5665或cos β＝1665. 13.(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55. (1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值.解 (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α， 所以sin α＝43cos α. 因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925， 因此，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725. (2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝255， 因此tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247， 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan （α＋β）1＋tan 2αtan （α＋β）＝－211. 14.(2018·北京卷)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17. (1)求∠A ；(2)求AC 边上的高.解 (1)在△ABC 中，因为cos B ＝－17， 所以sin B ＝1－cos 2B ＝437. 由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝32. 由题设知π2<∠B <π，所以0<∠A <π2. 所以∠A ＝π3. (2)在△ABC 中，因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝3314， 所以AC 边上的高为a sin C ＝7×3314＝332. 15.(2016·北京卷)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac .(1)求角B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值.解 (1)由a 2＋c 2＝b 2＋2ac 得a 2＋c 2－b 2＝2ac . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22. 又0＜B ＜π，所以B ＝π4. (2)A ＋C ＝π－B ＝π－π4＝3π4，所以 C ＝3π4－A ，0＜A ＜3π4. 所以2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A ＝2cos A ＋cos 3π4cos A ＋sin 3π4sin A ＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22sin A ＋22cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4， ∵0＜A ＜3π4，∴π4＜A ＋π4＜π， 故当A ＋π4＝π2， 即A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值为1. 16.(2018·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6. (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值.解 (1)在△ABC 中，由正弦定理asin A＝b sin B ，可得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，即sin B ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得tan B ＝ 3.又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7.由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37. 因为a <c ，故cos A ＝27.因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17， 所以，sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.。
(浙江专版)高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式教
第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.2．诱导公式组序一 二三四五六 角 2k π＋α(k ∈Z )π＋α －απ－απ2－απ2＋α 正弦 sin α－sinα－sinαsin α cosαcos_α余弦 cos α－cosαcos α －cos_α sinα －sin α正切 tan αtan α－tanα－tan_α口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变符号看象限记忆规律奇变偶不变，符号看象限1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( )(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍、偶数倍，变与不变指函数名称是否变化．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α等于( )A ．－513B ．－1213C.513D.1213B [∵sin α＝513，α是第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1213.]3．(2017·某某质检(二))若tan α＝12，则sin 4α－cos 4α的值为( )A ．－15B ．－35C.15D.35B [sin 4α－cos 4α＝(sin 2α－cos 2α)(sin 2α＋cos 2α)＝sin 2α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－1tan 2α＋1＝－35，故选B.]4．sin 750°＝________.12 [sin 750°＝sin(750°－360°×2)＝sin 30°＝12.] 5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)＝________.【导学号：51062098】－45 [因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝1－cos 2α＝45，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－45.]同角三角函数基本关系式的应用(1)已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B.32C ．－34D.34(2)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425B.4825 C ．1D.1625(1)B (2)A [(1)∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且cos α＞sin α， ∴cos α－sin α＞0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32. (2)∵tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝1＋4×34⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋1＝6425，故选A.] [规律方法] 1.利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．2．应用公式时要注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.[变式训练1] 设θ为第二象限角，若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________. －105 [∵tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，∴1＋tan θ1－tan θ＝12，解得tan θ＝－13.∴(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θsin 2θ＋cos 2θ ＝tan 2θ＋2tan θ＋1tan 2θ＋1＝19－23＋119＋1＝25. ∵θ为第二象限角，tan θ＝－13，∴2k π＋3π4＜θ＜2k π＋π，∴sin θ＋cos θ＜0，∴sin θ＋cos θ＝－105.]诱导公式的应用(1)已知A ＝sin k π＋αsin α＋cos k π＋αcos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}(2)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝________.(1)C (2)－33 [(1)当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2； k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.(2)tan ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＋α ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.][规律方法] 1.利用诱导公式应注意已知角或函数名称与所求角或函数名称之间存在的关系，尤其是角之间的互余、互补关系，选择恰当的公式，向所求角和三角函数进行化归．2．诱导公式的应用原则：负化正、大化小、小化锐、锐求值．[变式训练2] 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6的值为________. 【导学号：51062099】－2＋33 [∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝23，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－33－23＝－2＋33.]同角关系式与诱导公式的综合应用(1)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________. (2)(2017·某某质检)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2，则sin3π－α＋cos α＋π5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α的值为________．(1)－43 (2)335 [(1)由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＞0，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－4535＝－43.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2，∴－sin α＝－2cos α，则sin α＝2cos α， 代入sin 2α＋cos 2α＝1，得cos 2α＝15.sin3π－α＋cos α＋π5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫72π－α＝sin 3α－cos α5sin α－3cos α＝8cos 3α－cos α7cos α＝87cos 2α－17＝335.][规律方法] 利用同角三角函数基本关系式和诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．[变式训练3] (2016·某某模拟训练卷(三))已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝23，则sin α＝________，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝________.－2319 [由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝23，得sin α＝－23；sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝cos 2α＝1－2sin 2α＝19.][思想与方法]三角函数求值与化简的常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α进行弦、切互化．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． (3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4等．(4)利用相关角的互补、互余等特殊关系可简化解题步骤． [易错与防X]1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．应特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．课时分层训练(十六)同角三角函数的基本关系与诱导公式A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．若cos α＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan α等于( )A ．－24B.24C ．－22D ．2 2C [∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－232，∴tan α＝sin αcos α＝－2 2.]2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3D [∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.]3.cos 350°－2sin 160°sin －190°＝( )A ．－ 3B ．－32C.32D. 3D [原式＝cos360°－10°－2sin 180°－20°－sin 180°＋10°＝cos 10°－2sin 30°－10°－－sin 10°＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°＝ 3.]4．(2017·某某镇海中学二诊)已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为( )A.23B ．－23C.13 D ．－13B [∵sin θ＋cos θ＝43，∴1＋2sin θcos θ＝169，∴2sin θcos θ＝79.又0＜θ＜π4，故sin θ－cos θ＝－sin θ－cos θ2＝－1－2sin θcos θ＝－23，故选B.] 5．(2017·某某某某五校联盟高三一诊)已知倾斜角为θ的直线与直线x －3y ＋1＝0垂直，则23sin 2θ－cos 2θ＝( ) A.103 B ．－103C.1013D ．－1013C [直线x －3y ＋1＝0的斜率为13，因此与此直线垂直的直线的斜率k ＝－3，∴tan θ＝－3，∴23sin 2θ－cos 2θ＝2sin 2θ＋cos 2θ3sin 2θ－cos 2θ＝2tan 2θ＋13tan 2θ－1，把tan θ＝－3代入得，原式＝2×[－32＋1]3×－32－1＝1013.故选C.]二、填空题6．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝________. 【导学号：51062100】 13 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13.]7．已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15，则tan α＝________.－43[由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1，消去cos α整理，得 25sin 2α－5sin α－12＝0，解得sin α＝45或sin α＝－35.因为α是三角形的内角， 所以sin α＝45.又由sin α＋cos α＝15，得cos α＝－35，所以tan α＝－43.]8．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α·1＋1tan 2α＝________. 【导学号：51062101】0 [原式＝cos α1＋sin 2αcos 2α＋sin α1＋cos 2αsin 2α＝cos α1cos 2α＋sin α1sin 2α＝cos α⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos α＋sin α1sin α＝0.] 三、解答题9．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°. [解] 原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945°4分＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225°8分 ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45°12分 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋12×12＋1＝2.14分 10．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α.[解] 由已知得sin α＝2cos α.2分 (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.7分(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.14分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，当0≤x ＜π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12B.32C ．0D ．－12A [由f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，得f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫236π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋56π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋sin 56π. 因为当0≤x ＜π时，f (x )＝0， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫236π＝0＋12＝12.] 2．(2016·某某高考冲刺卷(二))若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin 2θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，则sin 2θ＝________，tan θ＝________.－12 －2＋3 [由sin 2θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，得sin 2θ＝22(sin θ＋cos θ)，两边平方得sin 22θ＝12(1＋sin 2θ)，解得sin 2θ＝－12或sin 2θ＝1.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴2θ∈(π，2π)，则sin 2θ<0，故sin 2θ＝－12，则有sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝sin 2θ＝－12.显然3π4<θ＋π4<5π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－32，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝33.word 11 / 11 ∴tan θ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π4＝33－11＋33＝－2＋ 3.]3．已知f (α)＝sin π－αcos 2π－αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin －π－α. (1)化简 f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值.【导学号：51062102】 [解] (1)f (α)＝sin α·cos α·ta n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2－2πtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·si n α＝sin α·cos α·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin α＝－cos α.7分(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，∴sin α＝－15，10分又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，故f (α)＝265.14分。
浙江专版2018年高考数学第1部分重点强化专题专题1三角函数与平面向量专题限时集训2解三角形20180305114
专题限时集训(二) 解三角形(对应学生用书第114页) [建议A 、B 组各用时：45分钟][A 组 高考达标]一、选择题1．(2017·杭州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b3cos B ＝asin A，则cos B ＝( )【导学号：68334041】A ．－12B.12 C ．－32D.32B [由正弦定理，得b3cos B＝asin A＝bsin B，即sin B ＝3cos B ，∴tan B ＝ 3.又0<B <π，故B ＝π3，cos B ＝12.]2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若b sin A －3a cos B ＝0，且b 2＝ac ，则a ＋cb的值为( ) 【导学号：68334042】A.22B. 2 C ．2D ．4C [由正弦定理得sin B sin A －3sin A cos B ＝0.∵sin A ≠0，∴sin B －3cos B ＝0，∴tan B ＝ 3.又0＜B ＜π，∴B ＝π3.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，即b 2＝(a ＋c )2－3ac . 又b 2＝ac ，∴4b 2＝(a ＋c )2，解得a ＋cb＝2.故选C.] 3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A ．3B.932C.332D ．3 3C [∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6. ① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.]4．在△ABC 中，c ＝3，b ＝1，∠B ＝π6，则△ABC 的形状为( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形D [根据余弦定理有1＝a 2＋3－3a ，解得a ＝1或a ＝2，当a ＝1时，三角形ABC 为等腰三角形，当a ＝2时，三角形ABC 为直角三角形，故选D.]5．如图21，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A ＝( )图21A.223 B.24 C.64D.63C [∵DE ＝22，∴BD ＝AD ＝DE sin A ＝22sin A .∵∠BDC ＝2∠A ，在△BCD 中，由正弦定理得BCsin ∠BDC ＝BD sin C ，∴4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A，∴cos A ＝64，故选C.]二、填空题6．已知△ABC 中，AC ＝4，BC ＝27，∠BAC ＝60°，AD ⊥BC 于点D ，则BDCD的值为__________.【导学号：68334043】6 [在△ABC 中，由余弦定理可得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos ∠BAC ，即28＝16＋AB 2－4AB ，解得AB ＝6或AB ＝－2(舍)，则cos ∠ABC ＝28＋36－162×27×6＝27，BD ＝AB ·cos∠ABC ＝6×27＝127，CD ＝BC －BD ＝27－127＝27，所以BDCD ＝6.]7．如图22，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A ，B 两点处进行测量，在点A 处测得塔顶C 在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B 处测得塔顶C 在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A ，B 两点相距130 m ，则塔的高度CD ＝______m.图221039 [分析题意可知，设CD ＝h ，则AD ＝h3，BD ＝3h ，在△ADB 中，∠ADB ＝180°－20°－40°＝120°，由余弦定理AB 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos 120°，可得1302＝3h2＋h 23－2·3h ·h 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，解得h ＝1039，故塔的高度为1039 m ．] 8．如图23，△ABC 中，AB ＝4，BC ＝2，∠ABC ＝∠D ＝60°，若△ADC 是锐角三角形，则DA ＋DC 的取值范围是__________．图23(6,43] [在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝12，即AC ＝2 3.设∠ACD ＝θ(30°<θ<90°)，则在△ADC 中，由正弦定理得23sin 60°＝DAsin θ＝DC－θ，则DA ＋DC ＝4[sin θ＋sin(120°－θ)]＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin θ＋32cos θ＝43sin(θ＋30°)，而60°<θ＋30°<120°，43sin 60°<DA ＋DC ≤43sin 90°，即6<DA ＋DC ≤4 3.] 三、解答题9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，2b sin B ＝(2a ＋c )sin A ＋(2c ＋a )sinC .(1)求B 的大小；【导学号：68334044】(2)若b ＝3，A ＝π4，求△ABC 的面积．[解] (1)∵2b sin B ＝(2a ＋c )sin A ＋(2c ＋a )sin C . 由正弦定理得2b 2＝(2a ＋c )a ＋(2c ＋a )c ， 1分化简得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0，2分∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.4分 ∵0<B <π，∴B ＝2π3.5分 (2)∵A ＝π4，∴C ＝π－π4－2π3＝π3－π4，6分 ∴sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4＝sin π3cos π4－cos π3sin π4＝6－24.8分 由正弦定理得c sin C ＝bsin B，9分 ∵b ＝3，B ＝2π3，∴c ＝b sin C sin B ＝6－22，12分∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×3×6－22×sin π4＝3－34.14分10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos B －2cos A 2a －b ＝cos Cc .(1)求ab的值；(2)若角A 是钝角，且c ＝3，求b 的取值范围．[解] (1)由题意及正弦定理得sin C cos B －2sin C cos A ＝2sin A cos C －sin B cos C ，1分∴sin C cos B ＋sin B cos C ＝2(sin C cos A ＋sin A ·cos C )， ∴sin(B ＋C )＝2sin(A ＋C ). 3分 ∵A ＋B ＋C ＝π，4分 ∴sin A ＝2sin B ，∴a b＝2.5分 (2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋9－a 22b ·3＝b 2＋9－4b 26b ＝9－3b 26b<0，8分 ∴b > 3.①10分 ∵b ＋c >a ，即b ＋3>2b ，∴b <3，②12分由①②得b 的取值范围是(3，3). 14分[B 组 名校冲刺]一、选择题1．(2017·温州第二次适应性测试)设角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则“A ＋B <C ”是“△ABC 是钝角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [由A ＋B ＋C ＝π，A ＋B <C ，可得C >π2，故三角形ABC 为钝角三角形，反之不一定成立．故选A.]2．在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010C ．－1010D ．－31010C [法一：设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 则由题意得S △ABC ＝12a ·13a ＝12ac sin B ，∴c ＝23a .由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋29a 2－2×a ×23a ×22＝59a 2，∴b ＝53a .∴cos A ＝b 2＋c 2－a22bc＝59a 2＋29a 2－a 22×53a ×23a ＝－1010.故选C. 法二：同法一得c ＝23a . 由正弦定理得sin C ＝23sin A, 又B ＝π4，∴sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A ＝23sin A ，即22cos A ＋22sin A ＝23sin A ，∴tan A ＝－3，∴A 为钝角． 又∵1＋tan 2A ＝1cos 2A ，∴cos 2A ＝110，∴cos A ＝－1010.故选C.]3．(2017·台州市高三年级调考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1,2b －3c ＝2a cos C ，sin C ＝32，则△ABC 的面积为( ) 【导学号：68334045】A.32 B.34C.32或34D.3或32C [根据正弦定理可得2sin B －3sin C ＝2sin A cos C ，而sin B ＝sin(A ＋C )，整理为2cos A sin C ＝3sin C ，因为在△ABC 中，sin C ≠0，所以cos A ＝32，所以A ＝30°，又asin A ＝c sin C ，解得c ＝ 3.因为sin C ＝32，所以C ＝60°或C ＝120°，当C ＝60°时，B ＝90°，此时△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝32；当C ＝120°时，B ＝30°，此时△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝34，故选C.]4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sinA ＋sinB 的最大值是( )A ．1 B. 2 C ．3D. 3D [∵c sin A ＝3a cos C ，∴sin C sin A ＝3sin A cos C . ∵sin A ≠0，∴tan C ＝3， ∵0＜C ＜π，∴C ＝π3，∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝32sin A ＋32cos A ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6.∵0＜A ＜2π3，∴π6＜A ＋π6＜5π6，∴32＜3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤3，∴sin A ＋sin B 的最大值为 3.故选D.] 二、填空题5．已知在△ABC 中，B ＝2A ，∠ACB 的平分线CD 把三角形分成面积比为4∶3的两部分，则cos A ＝__________. 【导学号：68334046】23[由题意可知S △ACD ∶S △BCD ＝4∶3， ∴AD ∶DB ＝4∶3，AC ∶BC ＝4∶3，在△ABC 中，由正弦定理得 sin B ＝43sin A ，又B ＝2A ，∴sin 2A ＝43sin A ，∴cos A ＝23.]6．(2017·温州第一次适应性检测)已知钝角△ABC 的面积为12，AB ＝1，BC ＝2，则角B ＝________，AC ＝________. 3π45 [由题意可得12×1×2sin B ＝12，则sin B ＝22，当B ＝π4时，由余弦定理可得AC ＝1，此时△ABC 是直角三角形，不是钝角三角形，舍去，所以B ＝3π4，则AC 2＝1＋2＋2＝5，AC ＝ 5.] 三、解答题7．已知a ，b ，c 为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，满足sin B ＋sin C sin A ＝2－cos B －cos Ccos A ，函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上单调递减． (1)证明：b ＋c ＝2a ；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9＝cos A ，证明：△ABC 为等边三角形．[证明] (1)∵sin B ＋sin C sin A ＝2－cos B －cos Ccos A，∴sin B cos A ＋sin C cos A ＝2sin A －cos B sin A －cos C sin A ， 2分 ∴sin B cos A ＋cos B sin A ＋sin C cos A ＋cos C sin A ＝2sin A ， 4分sin(A ＋B )＋sin(A ＋C )＝2sin A ， sin C ＋sin B ＝2sin A ， ∴b ＋c ＝2a .6分 (2)由题意知，2πω＝4π3，解得ω＝32，7分 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9＝sin π6＝12＝cos A ，A ∈(0，π)， ∴A ＝π3，8分由余弦定理知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .∵b ＋c ＝2a ， ∴b 2＋c 2－⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝bc ，即b 2＋c 2－2bc ＝0，∴b ＝c . 10分 又A ＝π3，∴△ABC 为等边三角形.12分8．(2017·浙东北教学联盟高三一模考试)在△ABC 中，角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c .已知cos(A －B )＋cos C ＝3sin(A －B )＋3sin C .【导学号：68334047】(1)求角B 的大小；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． [解] (1)法一：在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，则cos(A －B )－cos(A ＋B )＝3sin(A －B )＋3sin(A ＋B )， 化简得2sin A sin B ＝23sin A cos B ， 5分由于0＜A ＜π，0＜B ＜π，sin A ≠0， 则tan B ＝3，解得B ＝π3.9分 法二：由于cos(A －B )－3sin(A －B )＝3sin C －cos C ， 则－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －B －π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －B ＋5π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫C －π6， 从而A －B ＋5π6＝C －π6或A －B ＋5π6＋C －π6＝π.若A －B ＋5π6＝C －π6，则A －B －C ＝－π，又A ＋B ＋C ＝π，则A ＝0，舍去；5分若A －B ＋5π6＋C －π6＝π，则A －B ＋C ＝π3，又A ＋B ＋C ＝π，则B ＝π3.9分(2)由余弦定理，得4＝c 2＋a 2－ca ≥2ac －ca ＝ac ， 从而S ＝12ca sin π3≤ 3.13分 当且仅当a ＝c 时，S 取最大值 3.15分。
高考数学第1部分重点强化专题专题1三角函数与平面向量专题限时集训2解三角形(2021学年)
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专题限时集训(二) 解三角形(对应学生用书第１14页）[建议A、Ｂ组各用时：45分钟][Ａ组高考达标]一、选择题1．(20１７·杭州模拟)在△ABC中，角A，B，Ｃ所对的边分别为a，ｂ，c,若错误!＝错误!,则cos B＝( ）【导学号:６8３34041】ﻩ A.－错误!B。
错误!ﻩC．-＼r(3)2ﻩＤ．错误!Ｂ[由正弦定理,得错误!＝错误!=错误!，即siｎB=错误!cos B，∴tan B＝错误!.又0<B＜π，故Ｂ=错误!，cｏs Ｂ=错误!.］2．在△AＢC中,内角A，B，C所对应的边分别为ａ,b，c，若ｂsin A－３a cos B=0，且b2=ac，则错误!的值为（ )【导学号:683３４0４2】ﻩA。
错误!Ｂ．错误!C.2 Ｄ．4ﻩC [由正弦定理得sin B sin A－错误!ｓｉn Ａcos B＝0.ﻩ∵siｎA≠０,∴sin B-错误!ｃoｓＢ=0,∴tａn B＝错误!.又0<B<π，∴B＝错误!．由余弦定理得b2＝a2+c2-2ac cos Ｂ=a2+c2－aｃ,即b2＝(a+c）２-３ac．ﻩ又b2＝ac，∴4b２=（a+c）２，解得＼ｆ（ａ＋c，b)=２。
(浙江专版)高考数学 第1部分 重点强化专题 专题1 三角函数与平面向量 突破点2 解三角形教学案-
突破点2 解三角形(对应学生用书第11页)[核心知识提炼]提炼1常见解三角形的题型及解法 (1)两角及一边，利用正弦定理求解．(2)两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一． (3)两边及其夹角，利用余弦定理求解． (4)三边，利用余弦定理求解. 提炼2三角形形状的判断(1)从边出发，全部转化为边之间的关系进行判断．(2)从角出发，全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形，再判断．注意：要灵活选用正弦定理或余弦定理，且在变形的时候要注意方程的同解性，如方程两边同除以一个数时要注意该数是否为零，避免漏解. 提炼3三角形的常用面积公式设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积为S . (1)S ＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c (h a ，h b ，h c 分别表示a ，b ，c 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形ABC 内切圆的半径)．[高考真题回访]回访1 正、余弦定理的应用1．(2017·某某高考)△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，那么△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________. 152104[依题意作出图形，如下图，那么sin ∠DBC ＝sin ∠ABC . 由题意知AB ＝AC ＝4，BC ＝BD ＝2， 那么sin ∠ABC ＝154，cos ∠ABC ＝14. 所以S △BDC ＝12BC ·BD ·sin∠DBC＝12×2×2×154＝152. 因为cos ∠DBC ＝－cos ∠ABC ＝－14＝BD 2＋BC 2－CD 22BD ·BC＝8－CD28，所以CD ＝10.由余弦定理，得cos ∠BDC ＝4＋10－42×2×10＝104.] 2．(2013·某某高考)在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点．假设sin ∠BAM ＝13，那么sin∠BAC ＝________. 63 [因为sin ∠BAM ＝13， 所以cos ∠BAM ＝223.如图，在△ABM 中，利用正弦定理，得BM sin ∠BAM ＝AM sin B，所以BM AM ＝sin ∠BAM sin B ＝13sin B ＝13cos ∠BAC.在Rt △ACM 中，有CM AM ＝sin ∠CAM ＝sin(∠BAC －∠BAM )．由题意知BM ＝CM ，所以13cos ∠BAC＝sin(∠BAC －∠BAM )．化简，得22sin ∠BAC cos ∠BAC －cos 2∠BAC ＝1. 所以22tan ∠BAC －1tan 2∠BAC ＋1＝1，解得tan ∠BAC ＝ 2.再结合sin 2∠BAC ＋cos 2∠BAC ＝1，∠BAC 为锐角可解得sin ∠BAC ＝63.] 3．(2016·某某高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ；(2)假设△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．[导学号：68334039][解] (1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ， 故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B ) ＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， 于是sin B ＝sin(A －B ).3分 又A ，B ∈(0，π)，故0<A －B <π， 所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .6分 (2)由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin A ＝12sin 2B ＝sin B cos B .因为sin B ≠0，所以sin C ＝cos B ．8分 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B .11分 当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.14分回访2 三角形的面积问题4．(2015·某某高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2. (1)求sin 2Asin 2A ＋cos 2A的值；(2)假设B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．[解] (1)由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2，得tan A ＝13，2分 所以sin 2A sin 2A ＋cos 2A ＝2tan A 2tan A ＋1＝25.5分 (2)由tan A ＝13，A ∈(0，π)，得sin A ＝1010，cos A ＝31010.8分 由a ＝3，B ＝π4及正弦定理a sin A ＝bsin B，得b ＝3 5.10分由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4，得sin C ＝255.12分设△ABC 的面积为S ，那么S ＝12ab sin C ＝9.14分5．(2015·某某高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)假设△ABC 的面积为3，求b 的值． [解] (1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C ，所以－cos 2B ＝sin 2C .2分 又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos 2B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ， 解得tan C ＝2.5分(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)，得 sin C ＝255，cos C ＝55.8分因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋C ，所以sin B ＝31010.10分由正弦定理得c ＝22b3，12分又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3.14分6．(2014·某某高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B . (1)求角C 的大小；(2)假设sin A ＝45，求△ABC 的面积. [导学号：68334040][解] (1)由题意得1＋cos 2A 2－1＋cos 2B 2＝32sin 2A －32sin 2B ， 即32sin 2A －12cos 2A ＝32sin 2B －12cos 2B ，2分 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6.由a ≠b ，得A ≠B .又A ＋B ∈(0，π)，得2A －π6＋2B －π6＝π，即A ＋B ＝2π3，所以C ＝π3.5分(2)由c ＝3，sin A ＝45，a sin A ＝c sin C ，得a ＝85.8分由a <c 得，A <C ，从而cos A ＝35，故sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝4＋3310，11分所以，△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝83＋1825.14分(对应学生用书第12页)热点题型1 正、余弦定理的应用题型分析：利用正、余弦定理解题是历年高考的热点，也是必考点，求解的关键是合理应用正、余弦定理实现边角的互化.[例1] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin Cc.(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)假设b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .[解] (1)证明：根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0)．那么a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ， 代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin Ck sin C，2分 即sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B ).4分 在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π， 有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， 所以sin A sin B ＝sin C ．6分(2)由，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35，8分所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.9分由(1)知sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以45sin B ＝45cos B ＋35 sin B ，12分故tan B ＝sin B cos B ＝4.14分[方法指津]关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原那么都适用，同时要注意“三统一〞，即“统一角、统一函数、统一结构〞，这是使问题获得解决的突破口．[变式训练1] (1)(2017·某某市普通高中高考模拟考试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，记S 为△ABC 的面积．假设A ＝60°，b ＝1，S ＝334，那么c ＝________，cos B ＝________. [导学号：68334041] 35714 [因为S ＝12bc sin A ＝12×1×c ×32＝334，所以c ＝3；由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋9－6×12＝7，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝7＋9－12×7×3＝5714.(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且a cos B ＋b cos(B ＋C )＝0. ①证明：△ABC 为等腰三角形；②假设2(b 2＋c 2－a 2)＝bc ，求cos B ＋cos C 的值． [解]①证明：∵a cos B ＋b cos (B ＋C )＝0，∴由正弦定理得sin A cos B ＋sin B cos(π－A )＝0， 即sin A cos B －sin B cos A ＝0，3分 ∴sin(A －B )＝0，∴A －B ＝k π，k ∈Z .4分 ∵A ，B 是△ABC 的两内角， ∴A －B ＝0，即A ＝B ，5分 ∴△ABC 是等腰三角形.6分 ②由2(b 2＋c 2－a 2)＝bc ，得b 2＋c 2－a 22bc ＝14，7分由余弦定理得cos A ＝14，8分cos C ＝cos(π－2A )＝－cos 2A ＝1－2cos 2A ＝78.10分∵A ＝B ，∴cos B ＝cos A ＝14，12分∴cos B ＋cos C ＝14＋78＝98.14分热点题型2 三角形面积的求解问题题型分析：三角形面积的计算及与三角形面积有关的最值问题是解三角形的重要命题点之一，本质上还是考查利用正、余弦定理解三角形，难度中等. [例2] 设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .假设f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值． [解题指导] (1)fx――――→恒等变换化归思想f x ＝A sin ωx ＋φ＋k ―→求f x 的单调区间(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0――→锐角三角形求A ――→余弦定理建立b ，c 的等量关系――→基本不等式求bc 的最大值――→正弦定理求△ABC 的面积[解] (1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12.2分由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z .由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .4分所以f (x )的单调递增区间是－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z ).6分(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，7分由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32.8分 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，12分 即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立． 因此12bc sin A ≤2＋34，所以△ABC 面积的最大值为2＋34.14分 [方法指津]1．在研究三角函数的图象与性质时常先将函数的解析式利用三角恒等变换转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B ，y ＝A tan(ωx ＋φ)＋B )的形式，进而利用函数y ＝sin x (或y ＝cos x ，y ＝tan x )的图象与性质解决问题．2．在三角形中，正、余弦定理可以实现边角互化，尤其在余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 中，有a 2＋c 2和ac 两项，二者的关系a 2＋c 2＝(a ＋c )2－2ac 经常用到，有时还可利用基本不等式求最值．[变式训练2] (名师押题)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＋1a＝4cos C ，b ＝1.(1)假设sin C ＝217，求a ，c ； (2)假设△ABC 是直角三角形，求△ABC 的面积． [解] (1)∵sin C ＝217，∴cos 2C ＝1－sin 2C ＝47，cos C ＝27.1分 ∵4cos C ＝a ＋1a，∴87＝a ＋1a ，解得a ＝7或a ＝77.3分又1a ＋a ＝4cos C ＝4×a 2＋b 2－c 22ab ＝4×a 2＋1－c22a ， ∴a 2＋1＝2(a 2＋1－c 2)，即2c 2＝a 2＋1.5分 ∴当a ＝7时，c ＝2； 当a ＝17时，c ＝27.6分 (2)由(1)可知2c 2＝a 2＋1.又△ABC 为直角三角形，C 不可能为直角． ①假设角A 为直角，那么a 2＝b 2＋c 2＝c 2＋1， ∴2c 2－1＝c 2＋1， ∴c ＝2，a ＝3，8分 ∴S ＝12bc ＝12×1×2＝22.9分②假设角B 为直角，那么b 2＝a 2＋c 2，a 2＋c 2＝1. ∴2c 2＝a 2＋1＝(1－c 2)＋1，∴c 2＝23，a 2＝13，即c ＝63，a ＝33，12分∴S ＝12ac ＝12×63×33＝26.14分。
(浙江专版)高考数学 第1部分 重点强化专题 专题1 三角函数与平面向量 专题限时集训1 三角函数问
专题限时集训(一) 三角函数问题(对应学生用书第111页) [建议A 、B 组各用时：45分钟][A 组 高考达标]一、选择题1．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32B ．－12C.12D.32A [函数f (x )＝sin(2x ＋φ)向左平移π6个单位得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，又其为奇函数，故π3＋φ＝k π，π∈Z ，解得φ＝k π－π3，又|φ|＜π2，令k ＝0，得φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 又∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∴2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，23π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，当x ＝0时，f (x )min ＝－32，故选A.] 2．(2016·某某十校联考)已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝12f (x )，则tan 2x 的值是( )【导学号：68334032】A ．－23B ．－43C.43D.34D [因为f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，所以tan x ＝－3，所以tan 2x ＝2tan x1－tan 2x＝－61－9＝34，故选D.] 3．(2017·某某第二次质检)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则下列结论中正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称C ．由函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度可以得到函数y ＝sin 2x 的图象D ．函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π8，5π8上单调递增C [函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移π8个单位长度得到函数y ＝sin2x －π8＋π4＝sin 2x 的图象，故选C.]4．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图13所示，则f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π12的值为( )图13A ．2－ 3B ．2＋ 3C ．1－32D ．1＋32A [由函数f (x )的图象得函数f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝π，解得ω＝2，则f (x )＝2sin(2x ＋φ)．又因为函数图象经过点－π12，－2，所以f －π12＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝－2，则2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝－π3＋2k π，k ∈Z .又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×0－π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×17π12－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋2sin 5π2＝－3＋2，故选A.]5．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值X 围为( ) 【导学号：68334033】A ．[－1,1]B ．[－1，2]C ．[－2，1]D ．[1，2]A [由sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝1，α，β∈[0，π]，得α－β＝π2，β＝α－π2∈[0，π]⇒α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，且sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋sin(π－α)＝cos α＋sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π⇒α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22⇒2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4∈[－1,1]，故选A.]二、填空题6．(2017·浙东北教学联盟高三一模考试)已知sin α＝13，0＜α＜π，则tan α＝________，sin α2＋cos α2＝________.±24233 [因为0＜α＜π，所以tan α＝sin αcos α＝±sin 2αcos 2α＝±sin 2α1－sin 2α＝±24，又0＜α2＜π2，所以sin α2＞0，cos α2＞0，所以sin α2＋cos α2＝⎝⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22＝1＋2sin α2cos α2＝1＋sin α＝233.]7．(2017·某某第二次适应性测试)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的图象如图14所示，则ω＝______，φ＝________.图142π6 [由图象知函数f (x )的周期为π，所以ω＝2πT ＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)．把点(π，1)代入得2sin(2π＋φ)＝1，即sin φ＝12.因为|φ|<π2，所以φ＝π6.]8．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．【导学号：68334034】π2 [f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ωx ＋π4， 因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z .又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，所以ω2＝π4， 所以ω＝π2.] 三、解答题9．设函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a (a ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，f (x )的最大值为2，求a 的值，并求出y ＝f (x )(x ∈R )的对称轴方程．[解] (1)f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1＋a ，2分则f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，3分且当2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )时，f (x )单调递增，即k π－38π≤x ≤k π＋π8(k∈Z )．所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )为f (x )的单调递增区间.5分 (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时⇒π4≤2x ＋π4≤7π12，7分 当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝1.所以f (x )max ＝2＋1＋a ＝2⇒a ＝1－ 2.11分由2x ＋π4＝k π＋π2得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )，故y ＝f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋π8，k ∈Z .14分10．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)x ∈R ，A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2的部分图象如图15所示，P 是图象的最高点，Q 为图象与x 轴的交点，O 为坐标原点．若OQ ＝4，OP ＝5，PQ ＝13.图15(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移2个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，当x ∈(－1,2)时，求函数h (x )＝f (x )·g (x )的值域. 【导学号：68334035】 [解] (1)由条件知cos ∠POQ ＝42＋52－1322×4×5＝55.2分 又cos ∠POQ ＝x P5，∴x P ＝1，∴y P ＝2，∴P (1,2).3分 由此可得振幅A ＝2，周期T ＝4×(4－1)＝12，又2πω＝12，则ω＝π6.4分将点P (1,2)代入f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1.∵0＜φ＜π2，∴φ＝π3，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3.6分(2)由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －2＋π3＝2sin π6x .7分 ∴h (x )＝f (x )·g (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3·sin π6x＝2sin2π6x ＋23sin π6x ·cos π6x ＝1－cos π3x ＋3sin π3x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6.9分当x ∈(－1,2)时，π3x －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，11分∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6∈(－1,1)， 即1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x －π6∈(－1,3)，于是函数h (x )的值域为(－1,3).14分[B 组 名校冲刺]一、选择题1．已知函数y ＝log a (x －1)＋3(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点P ，若角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P ，则sin 2α－sin 2α的值为( )A.513B ．－513 C.313D ．－313D [根据已知可得点P 的坐标为(2,3)，根据三角函数定义，可得sin α＝313，cos α＝213，所以sin 2α－sin 2α＝sin 2α－2sin αcos α＝⎝⎛⎭⎪⎫3132－2×313×213＝－313.] 2．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向右平移π12个单位，所得到的图象关于y 轴对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A.32B.12 C ．－12D ．－32D [f (x )＝sin(2x ＋φ)向右平移π12个单位得到函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋φ＝sin2x －π6＋φ，此函数图象关于y 轴对称，即函数g (x )为偶函数，则－π6＋φ＝π2＋k π，k ∈Z .又|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3，所以f (x )的最小值为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，故选D.]3．已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ，b 为常数，a ≠0，x ∈R )在x ＝π4处取得最大值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4是( )A ．奇函数且它的图象关于点(π，0)对称B ．偶函数且它的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0对称C ．奇函数且它的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0对称D ．偶函数且它的图象关于点(π，0)对称B [由题意可知f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，即a cos π4＋b sin π4＝0，∴a ＋b ＝0，∴f (x )＝a (sin x ＋cos x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝2a cos x .易知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4是偶函数且图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0对称，故选B.] 4．(2017·某某第二次检测)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图16所示，且f (α)＝1，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝( )【导学号：68334036】图16A ．±223B.223C ．－223D.13C [由题图易得A ＝3，函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3，解得ω＝2，所以f (x )＝3sin(2x ＋φ)．又因为点⎝⎛⎭⎪⎫π3，－3在函数图象上，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝－3，解得2×π3＋φ＝32π＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝5π6＋2k π，k ∈Z .又因为0＜φ＜π，所以φ＝5π6，则f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3时，2α＋5π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，3π2.又因为f (α)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝13＞0，所以2α＋5π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，π，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝－223，故选C.]二、填空题5．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值X 围是______. 【导学号：68334037】⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 [f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ωx ＋π4，令2k π＋π2≤ωx ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得2k πω＋π4ω≤x ≤2k πω＋5π4ω(k ∈Z )．由题意，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，故⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π为函数单调递减区间的一个子区间，故有⎩⎪⎨⎪⎧2k πω＋π4ω≤π2，2k πω＋5π4ω≥π，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54(k ∈Z )．由4k ＋12＜2k ＋54，解得k ＜38.由ω＞0，可知k ≥0，因为k ∈Z ，所以k ＝0，故ω的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54.]6．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． π [∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性， ∴T 2≥π2－π6，∴T ≥2π3. ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3， ∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3，∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π.] 三、解答题7．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值.【导学号：68334038】[解] (1)根据表中已知数据， 解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：4分且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.6分 (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 则g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6.7分 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ， 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .8分由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12， 解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .12分由θ＞0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.14分8．已知函数f (x )＝23sin x cos x －sin 2x ＋12cos 2x ＋12，x ∈R .(1)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π2上的最值；(2)若将函数f (x )的图象向右平移π4个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g (x )的图象．已知g (α)＝－65，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，11π6，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π6的值．[解] (1)f (x )＝23sin x cos x －sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝3sin 2x －1－cos 2x 2＋12cos 2x ＋12＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.2分∵－π4≤x ≤π2，∴－π3≤2x ＋π6≤7π6，3分∴当2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4时，f (x )的最小值为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－ 3.4分当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )的最大值为2×1＝2.5分(2)若将函数f (x )的图象向右平移π4个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.7分由g (α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－65，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－35.8分∵4π3＜α＜11π6，∴π＜α－π3＜3π2， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－45.10分∵π2＜α2－π6＜3π4，12分word11 / 11 ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π6＝－1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π32＝－1－452＝－1010.14分。
【精选】浙江专版高考数学第1部分重点强化专题专题1三角函数与平面向量突破点1三角函数问题教学案
专题一 三角函数与平面向量建知识网络 明内在联系[高考点拨] 三角函数与平面向量是浙江新高考的高频考点，常以“两小一大”的形式呈现，两小题主要考查三角函数的图象和性质与平面向量内容，一大题常考查解三角形内容，有时平面向量还与圆锥曲线、线性规划等知识相交汇．本专题按照“三角函数问题”“解三角形”“平面向量”三条主线分门别类进行备考．突破点1 三角函数问题(对应学生用书第7页)[核心知识提炼]提炼1三角函数的图象问题，利用A 解析式的确定：利用函数图象的最高点和最低点确定)φ＋ωx sin(A ＝y 函数(1).φ，利用图象的某一已知点坐标确定ω周期确定(2)三角函数图象的两种常见变换提炼2三角函数奇偶性与对称性时为偶函)Z ∈k (π2＋πk ＝φ时为奇函数；当)Z ∈k π(k ＝φ，当)φ＋ωx sin(A ＝y (1)φ＋ωx 求得，对称中心的横坐标可由)Z ∈k (π2＋πk ＝φ＋ωx 数；对称轴方程可由解得．)Z ∈k (，πk ＝ 时为偶函)Z ∈k π(k ＝φ时为奇函数；当)Z ∈k (π2＋πk ＝φ，当)φ＋ωx cos(A ＝y (2)πk ＝φ＋ωx 求得，对称中心的横坐标可由)Z ∈k π(k ＝φ＋ωx 数；对称轴方程可由解得．)Z ∈k (π2＋y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；对称中心的横坐标可由ωx ＋φ＝k π2(k ∈Z )解得，无对称轴. 提炼3三角变换常用技巧(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等．(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等．(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．(4)弦、切互化：一般是切化弦.提炼4三角函数最值问题其中c ＋)φ＋x sin(a2＋b2＝y 转化为y 型函数的最值：可将c ＋x cos b ＋x sin a ＝y (1)tan φ＝ba的形式，这样通过引入辅助角φ可将此类函数的最值问题转化为y ＝a2＋b2sin(x ＋φ)＋c 的最值问题，然后利用三角函数的图象和性质求解．(2)y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 型函数的最值：可利用降幂公式sin 2x ＝1－cos 2x 2，sin x cos x ＝sin 2x 2，cos 2x ＝1＋cos 2x 2，将y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 转化整理为y ＝A sin 2x ＋B cos 2x ＋C ，这样就可将其转化为(1)的类型来求最值．[高考真题回访]回访1 三角函数的图象问题1．(2016·浙江高考)函数y ＝sin x 2的图象是( )D [∵y ＝sin(－x )2＝sin x 2，∴函数为偶函数，可排除A 项和C 项；当x ＝π2时，sin x 2＝sin π24≠1，排除B 项，故选D.]2．(2014·浙江高考)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos3x 的图象( ) A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位C [因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，又y ＝2cos 3x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π2＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，所以应由y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位得到．]3．(2013·浙江高考)函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是 ( ) 【导学号：68334026】A ．π，1B ．π，2C ．2π，1D ．2π，2A [f (x )＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以最小正周期为T ＝2π2＝π，振幅A ＝1.]回访2 三角函数的性质问题4．(2016·浙江高考)设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关B [当b ＝0时，f (x )＝sin 2x ＋c ＝1－cos 2x 2＋c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋c －12cos 2x ，其最小正周期为π.当b ≠0时，φ(x )＝sin 2x ＋c 的最小正周期为π，g (x )＝b sin x 的最小正周期为2π，所以f (x )＝φ(x )＋g (x )的最小正周期为2π.综上可知，f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c 的最小正周期与b 有关，但与c 无关．]5．(2015·浙江高考)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，最小值是________．【导学号：68334027】π3－22[f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1 ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝32＋22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4.故最小正周期T ＝2π2＝π.当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝－1时，f (x )取得最小值为32－22＝3－22.] 6．(2017·浙江高考)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间． [解] (1)由sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－23×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，得f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝2.6分 (2)由cos 2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin 2x ＝2sin x cos x 得f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (x )的最小正周期是π.8分由正弦函数的性质得π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，12分所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z ).14分 回访3 三角恒等变换7．(2016·浙江高考)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝________，b ＝________.21[∵2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，∴A ＝2，b ＝1.]8．(2013·浙江高考)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( ) 【导学号：68334028】A.43B.34 C ．－34D ．－43C [把条件中的式子两边平方，得sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52，即3cos 2α＋4sinαcos α＝32，所以3cos2α＋4sin αcos αcos2α＋sin2α＝32，所以3＋4tan α1＋tan2α＝32，即3tan 2α－8tan α－3＝0，解得tan α＝3或tan α＝－13，所以tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－34.](对应学生用书第9页) 热点题型1 三角函数的图象问题题型分析：高考对该热点的考查方式主要体现在以下两方面：一是考查三角函数解析式的求法；二是考查三角函数图象的平移变换，常以选择、填空题的形式考查，难度较低. 【例1】 (1)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π6B.π12C.π3D.5π6(2)(2017·绍兴市方向性仿真考试)函数y ＝sin x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos x sin x (0＜x ＜π)的图象大致是( )(1)A (2)B [(1)设f (x )＝3cos x ＋sin x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ，向左平移m 个单位长度得g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m ＋π3.∵g (x )的图象关于y 轴对称，∴g (x )为偶函数，∴π3＋m ＝π2＋k π(k ∈Z )，∴m ＝π6＋k π(k ∈Z )，又m ＞0，∴m 的最小值为π6.(2)法一：因为0＜x ＜π，所以0＜sin x ≤1，所以y ＝sin x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos x sin x ＝|cos x |≥0，排除A ，C ，D ，故选B.法二：当x ＝π3时，y ＝12，排除C ，D ；当x ＝2π3时，y ＝12，排除A ，故选B.][方法指津]1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式的确定 (1)A 由最值确定，A ＝最大值－最小值2；(2)ω由周期确定；(3)φ由图象上的特殊点确定．提醒：根据“五点法”中的零点求φ时，一般先依据图象的升降分清零点的类型．2．在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．[变式训练1] (1)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象( ) 【导学号：68334029】A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度(2)(2016·金华十校调研)函数f (x )＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0)的部分图象如图11所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)的值为( )图11A ．0B ．2＋2C ．2D ．2－2(1)B (2)B [(1)∵y ＝cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2，∴y ＝cos 2x 的图象向右平移π3个单位长度，得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象．故选B.(2)由题图可得，A ＝2，T ＝8，2πω＝8，ω＝π4，∴f (x )＝2sin π4x .∴f (1)＝2，f (2)＝2，f (3)＝2，f (4)＝0，f (5)＝－2，f (6)＝－2，f (7)＝－2，f (8)＝0，而2 018＝8×252＋2，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝2＋ 2.]热点题型2 三角函数的性质问题题型分析：三角函数的性质涉及周期性、单调性以及最值、对称性等，是高考的重要命题点之一，常与三角恒等变换交汇命题，难度中等.【例2】 已知函数f (x )＝4tan x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．[解] (1)f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x≠π2＋k π，k∈Z.1分f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x －3＝2sin x cos x ＋23sin 2x －3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.4分所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.6分(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z . 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .8分设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝x －π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.12分所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减.14分[方法指津]研究函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质的“两种”意识1．转化意识：利用三角恒等变换把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式．2．整体意识：类比于研究y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”代入求解便可．[变式训练2] (1)(名师押题)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数g (x )的图象．关于函数g (x )，下列说法正确的是( )A ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是增函数B ．其图象关于直线x ＝－π4对称C ．函数g (x )是奇函数D ．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，23π时，函数g (x )的值域是[－2,1](2)已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|＜π)，若⎝⎛⎭⎪⎫π5，5π8是f (x )的一个单调递增区间，则φ的取值范围为( ) 【导学号：68334030】A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π10，－9π10B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤9π10，4π4 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π10，π4D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，π10∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，＋∞(1)D (2)C [(1)因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x .对于A ，由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2可知2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减函数，故A 错；又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝0，故x ＝－π4不是g (x )的对称轴，故B 错；又g (－x )＝2cos2x ＝g (x )，故C 错；又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，故g (x )的值域为[－2,1]，D 正确．(2)令2k π＋π2＜2x ＋φ＜2k π＋3π2，k ∈Z ，所以k π＋π4－φ2≤x ≤k π＋3π4－φ2，k ∈Z ，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4－φ2，k π＋3π4－φ2上单调递增．因为⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，5π8是f (x )的一个单调递增区间，所以5π8≤k π＋3π4－φ2，且k π＋π4－φ2≤π5，k ∈Z ，解得2k π＋π10≤φ≤2k π＋π4，k ∈Z ，又|φ|＜π，所以π10≤φ≤π4.故选C.]热点题型3 三角恒等变换题型分析：高考对该热点的考查方式主要体现在以下两个方面：一是直接利用和、差、倍、半角公式对三角函数式化简求值；二是以三角恒等变换为载体，考查y ＝A ωx ＋φ的有关性质.【例3】 (1)(2017·浙江五校联考)如图12，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1213，－513，∠AOC ＝α，若|BC |＝1，则3cos2α2－sin α2cos α2－32的值为________．图12(2)已知函数f (x )＝sin25x 6－cos 25x6＋23sin 5x 6·cos 5x 6＋λ的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，则函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π10上的最大值为________．(1)513(2)3－2 [(1)由题意可知|OB |＝|BC |＝1，∴△OBC 为正三角形．由三角函数的定义可知，sin ∠AOB ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513，∴3cos2α2－sin α2cos α2－32＝3＋cos α2－sin α2－32＝32cos α－12sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513.(2)f (x )＝sin25x 6－cos 25x6＋23sin 5x 6·cos 5x 6＋λ＝－cos 5x 3＋3sin 5x 3＋λ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x 3－π6＋λ.由f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，得λ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53×π4－π6＝－2sin π4＝－2，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－ 2.因为0≤x ≤3π10，所以－π6≤5x 3－π6≤π3.因为y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增，所以f (x )的最大值为f ⎝⎛⎭⎪⎫3π10＝2sin π3－2＝3－ 2.][方法指津]1．解决三角函数式的化简求值要坚持“三看”原则：一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分；二是“函数名称”，是需进行“切化弦”还是“弦化切”等，从而确定使用的公式；三看“结构特征”，了解变式或化简的方向．2．在研究形如f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx 的函数的性质时，通常利用辅助角公式a sinx ＋b cos x ＝a2＋b2·sin(x ＋φ)把函数f (x )化为A sin(ωx ＋φ)的形式，通过对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)性质的研究得到f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx 的性质．[变式训练3] (1)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )【导学号：68334031】A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2＜α＜0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3等于( ) A ．－45B ．－35C.45D.35(1)B (2)C [(1)法一：由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，π2－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，由sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.法二：tan α＝1＋sin βcos β＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝2cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2， ∴α＝k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2，k ∈Z ， ∴2α－β＝2k π＋π2，k ∈Z .当k ＝0时，满足2α－β＝π2， 故选B.(2)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2＜α＜0， ∴32sin α＋32cos α＝－435， ∴32sin α＋12cos α＝－45， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝cos αcos 2π3－sin αsin 2π31 2cos α－32sin α＝45.]＝－。
(浙江专用)高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量第1讲三角函数的图象与性质课件
专题一三角函数与平面向量第1讲三角函数的图象与性质高考定位三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1•三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2•利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.真题感悟1. （2016•浙江卷）设函数/（x ） = sin2兀+bsinx+c,贝恢x ）的最小正周期（） A •与b 有关，且与c 有关B •与b 有关，但与c 无关—£2|空+c+f,沧）的周期为兀；心0时，的的周期为2兀，即沧）的周期与b 有关但 与C 无关，故选B真题感悟考点整合• •♦•••• ••••••••••• •• • •• ••C.与b 无关,且与c 无关D.与b 无关，但与c 有关解析 因为冷）= sin 2x+Z?sin x~\~c=— cos 2x 2+ bsin JV +C +㊁, 其中当b=0时，f （x ） =答案BI jr | [ 兀）2.（2017-全国III卷）函数/W=gsin卜+gj+cos卜一才的最大值为（）A.|B.lC.|D.|解析cos x—=cosl =sinx+3，则/（x）=gsin x+亍+sin x+3 =|sin ,函数的最大值为答案A7T 7T3.（2018-天津卷）将函数尸sin 2兀+目的图象向右平移希个单位长度，所得图象对应的函数（）3兀A.在区间孚上单调递增3兀上单调递减B.在区间严, 711上单调递增5兀C •在区间孚娶3兀2兀上单调递减D.在区间/ 、解析 把函数y = sin|2x+爲的图象向右平移盒个单位长度得函数g(x) =71 7T 开 71sin 2x 的图象，由一㊁+2刼£2兀£亍+2£兀伙WZ)得一才+£兀WxW 工= 3兀 5兀+加伙WZ),令k=\,得才WxW 才，即函数g(x) = sin 2x 的一个单调递增区间为答案A( 、7t ,7Tsin 2 厂10丿+5 3兀 5兀 故选A.4. ________________________________________________________________ (2016-浙江卷)已知2cos2x + sin 2x = Asin(cox + °) + b(A >0),贝U A = __________________ , b =解析V 2cos2x+sin 2x=cos 2x+l+sin 2x=辺平cos 2^+^sin 2x +1 =-\/2sin^2x+^ +1=Asin(cox++b(A>0), .\A=\[2, b= 1.考点整合1 •常见三种三角函数的图象、性质（下表中XZ）2•三角函数的常用结论(1)y=Asin(ex+卩)，当(p=kit伙UZ)时为奇函数；当(p=kit~\~伙WZ)时为偶函数；对称轴方程可由亦+卩=£兀+伙匸Z)求得.(2)y =4cos(ex+卩)，当(p = ht+伙丘Z)时为奇函数; 当°=kTt(k W Z)时为偶函数；对称轴方程可由ov+°=M(RGZ)求得.(3)y=AUm(ex+°),当(p=hi(k e Z)时为奇函数.3?一Asin(<v.r+^) (A 二 >0 9>0 )•3 •三角函数的两种常见变换横坐标变为原來的丄倍at十初―亦而环—•/,.纵坐标变为原来的A 倍 v = sin （⑺ k 十 ＜p ） - -- -- ---- — -------- $“ 出 横坐标不变 y = Asin （⑺工+卩）CA 二二＞0 心〉0 ）■向左（炉＞0〉或向右（9＞＜0） y — si n cox ----------------------------------- 尸V 平移专个单位•/, 纵/祥堤为原来的A 倍 向左（卩＞0）或向右（护＜0）横坐标变为原来的丄借纵坐标不变严smS+初--------------- 时丽一-3?一Asin(<v.r+^) (A 二>0 9>0 )•热点聚焦分类突礦I热点一三角函数的图象【例1】函数/OO=Asin@r+°)(A, CD,卩为常数'A>0, co>0, 0<(p<7i)的图象(\JT如图所示，则f q的值为_______ .丿• •••••••••••••••;■••••••••••••・•♦♦••••• 毬研热点餵淅考法盘註•••解析根据图象可知，A = 2, ¥=罟又函数过点彳，2 , / \ 71所以有 sin 2X&+。
(浙江专用)2020高考数学专题二三角函数、平面向量与复数第2讲三角恒等变换与解三角形教案
第2讲三角恒等变换与解三角形利用三角恒等变换化简、求值[核心提炼]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin( α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos( α±β)＝cos αcos β?sin αsinβ；tan α±tan β(3)tan( α±β)＝1?tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α＝2sin αcos α；(2)cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；2tan α(3)tan2 α＝1－tan 2α.[典型例题]π4 37π(1)已知cos θ－6＋sinθ＝ 5，则sinθ＋6 的值是()4B ． 4 3C ．－44 3A ．55D ．－55510π3π(2)若sin2 α＝5 ，sin(β－α)＝10，且α∈ 4，π，β∈π，2 ，则α＋β的值是()7π 9π A. 4B. 4C. 5π 7π5π 9π4 或D.或444π4 3【分析】(1)因为cos θ－6 ＋sinθ＝5，所以 3 cos3 θ＝4 3 ，2 θ＋sin52134 3即 3 2cos θ＋ 2 s in θ＝ 5 ，π 43 即3sin θ＋6＝5，π 4所以sin θ＋6＝5，7ππ4所以sinθ＋ 6 ＝－sinθ＋6＝－5.应选C.ππ5π(2)因为α∈ 4，π，所以2α∈2，2π，又sin2α＝5，故2α∈2，π，απ π253ππ 5π∈4， 2，所以cos2α＝－5 .又 β∈π，2 ，故β－ α∈ 2，4，于是cos(β－α)＝－3 10，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2α10sin(β－α)＝－25×－310－ 5× 10＝2，且α＋β∈ 5π，2π，故α＋β＝7π.5 10510244【答案】(1)C(2)A三角函数恒等变换“四大策略”(1) 常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β) ＋ β等；(3) 降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4) 弦、切互化：一般是切化弦．[对点训练]1．(2019·杭州市高三模拟 )函数f (x )＝3sinxcos x ＋4cos 2x (x ∈R)的最大值等于( )2 2 29A ．5B ．25C ．2D ．2分析：选B.因为f (x )＝3sinxcosx＋4cos2x2 223x ＋2cos5 34 x ＋2＝sinx ＋2＝5 sin x ＋cos2 255＝ 2sin(x ＋φ)＋2，此中sin 4φ＝5，cos3 φ＝5，9所以函数 f (x )的最大值为 .22．(2019·浙江五校联考)已知3tanα2α2＋tan 2＝1，sinβ＝3sin(2 α＋β)，则 tan(α＋β)＝()4 4 A.3B ．－32 C ．－3D ．－3分析：选B.因为sinβ＝3sin(2 α＋β)，所以sin[(α＋β)－α]＝3sin[( α＋β)＋α]，所以 sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝3sin( α＋β)·cosα＋3cos(α＋β)sin α，所以2sin(α＋β)cosα＝－4cos( α＋β)sinα，sin （α＋β）4sin α所以tan(α＋β)＝cos （α＋β）＝－2cosα＝－2tanα，αααα又因为3tan2＋tan 2 2＝1，所以3tan2＝1－tan 22，2tan α224所以tan α＝2α＝3，所以tan(α＋β)＝－2tanα＝－3.1－tan 23．(2019·宁波诺丁汉大学附中高三期中检测)若sin(1xπ＋x )＋cos(π＋x )＝，则sin22＝________， 1＋tan x＝________．πsin x cos x －4分析：sin(π＋x )＋cos(π＋ x )＝－sinx －cos ＝ 1 ，x 21即sin x ＋cos x ＝－2，221两边平方得：sinx ＋2sin x cosx ＋cos x ＝4，即1＋sin213x ＝，则sin2x ＝－，4 4sin x 由1＋tan xπ＝1＋cos x2sin x cos x －42sin x （cos x ＋sin x ）2 2 2 x ＝ 2 2 8 2＝sinx cos x ＝sin2 3＝－3.－ 4382答案：－4－3利用正、余弦定理解三角形[核心提炼]1．正弦定理及其变形abcC ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin在△ABC 中，sin A＝sin B ＝sinA ，asin A ＝2R ，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等．2．余弦定理及其变形在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；变形：222，cos＝b 2＋c 2－a 2b ＋c － a＝2cos.bcAA2bc3．三角形面积公式111S △ABC ＝2ab sin C ＝2bc sin A ＝2ac sin B .[ 典型例题](1)(2018·高考浙江卷)在△中，角 ，，所对的边分别为，，.若 a ＝ 7，ABC ABCabcb ＝2，A ＝60°，则sinB ＝________，c ＝________．(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cosB .①证明：＝2；AB②若cos＝2，求cosC 的值．B 33 【解】(1)因为a ＝7，b ＝2，A ＝60°，所以由正弦定理得sinB ＝b sin A 2×2 ＝a ＝7212222217.由余弦定理a ＝b ＋c －2bc cosA 可得c －2c －3＝0，所以c ＝3. 故填：73.(2)①证明：由正弦定理得sin B ＋sin C＝ 2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sinB ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ， 所以A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .2 ＝5 ②由cos ＝得sin ，B 3B32 1cos2B＝2cos B－1＝－9，1 4 5故cos A＝－9，sin A＝9 ，22cos C＝－cos(A＋B)＝－cos A cos B＋sin A sin B＝27.正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和此中一边的对角”应利用正弦定理．(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应利用余弦定理．[对点训练]1．(2019·高考浙江卷)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________．分析：在Rt△ABC中，易得AC＝5，sin C＝AB 4BD＝BC ＝.在△BCD中，由正弦定理得sin∠BDC AC 53 4 12 2×sin∠BCD＝ 2 ×5＝ 5 ，sin∠DBC＝sin[ π－(∠BCD＋∠BDC)]＝sin(∠BCD＋∠BDC)＝24 2 3 2 7 2 πsin∠BCD cos∠BDC＋cos∠BCD sin∠BDC＝5×2＋5×2＝10.又∠ABD＋∠DBC＝2，所以72cos∠ABD＝sin∠DBC＝10.12272答案：5102．(2019·义乌高三月考)在△ABC中，内角A，B，C对应的三边长分别为a，b，c，且a22满足cb cos A－＝b－a.(1)求角B的大小；1129(2)若BD为AC边上的中线，cos A＝7，BD＝2，求△ABC的面积．解：(1)因为cb cos A－ a2＝b2－a2，即2bc cos A－ac＝2(b2－a2)，所以b2＋c2－a2－ac＝2(b2－a2)，所以a2＋c2－b2＝ac，cos B＝1，B＝π.23(2) 法一：在三角形ABD 中，129 2 c 2＋ b 2 b cos ， 由余弦定理得 ＝ －2· 2 22 129 2b 2 1所以4＝c ＋4－7bc ，①4 3在三角形ABC 中，由已知得sin A ＝7，53所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝14， 5 由正弦定理得c ＝7b .②b ＝7，由①，②解得c ＝5. 1所以S △ABC ＝2bc sin A ＝103. 法二：延长BD 到E ，DE ＝BD ， 连接AE ，在△ABE 中，2π∠BAE ＝3，222BE ＝AB ＋AE －2·AB ·AE ·cos ∠BAE ， 因为AE ＝BC ，129＝c 2＋a 2＋a ·c ，①4 3由已知得，sin ∠BAC ＝7，53 所以sin C ＝sin(A ＋B )＝，14c sin ∠ACB 5a ＝sin ＝ .②∠BAC 8由①②解得c ＝5，a ＝8，S ＝2c ·a ·sin ∠ABC ＝103.△ABC1解三角形中的最值(范围)问题[典型例题](1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2c cos B ＝2a －b .①求角C 的大小；②若 →1→2 ABCCA －CB ＝，求△面积的最大值．2(2)(2019·杭州市高考数学二模 )在△中，内角 ，，C 所对的边分别为 a ，， ，ABC AB bc若m sin A ＝sin B ＋sin C (m ∈R)．①当m ＝3时，求cos A 的最小值；π②当A ＝3时，求m 的取值范围．【解】(1)①因为2cos所以2sinC cos B ＝2sin化简得sin B ＝2sin B cos＝2－， A －sinB ＝2sin( C ，B ＋C )－sinB ，因为sin B ≠0，所以 cos 1C ＝2.π因为0＜C ＜π，所以C ＝3.②取 的中点→ 1→→ ＝，则CA － CB ＝2.BCD2|DA |在△中，2＝2＋ 2－2· cos ，ADCAD AC CD ACCD C2a 2 ab a 2b 2 ab ab即有 4＝b ＋2－2≥2 4－2＝2，所以ab ≤8，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．13所以S △ABC ＝2ab sinC ＝ 4ab ≤23，所以△ABC 面积的最大值为23.(2)①因为在△ABC 中m sin A ＝sin B ＋sin C ， 当m ＝3时，3sin A ＝sin B ＋sin C ， 由正弦定理可得3a ＝b ＋c ， 再由余弦定理可得2 2 1 2cos b 2＋c 2－a2 b ＋c －9（b ＋c ） A ＝ 2bc ＝ 2bc8（2＋ c 2）－28·2－279 b9bc≥9bc9bc＝2bc2bc＝，9当且仅当b ＝c 时取等号，7故cos A 的最小值为.9π3②当A ＝3 时，可得 2 m ＝sin B ＋sin C ，2 32 3 C故＝sin＋sinm3B32 32 3 2π－B ＝3 sin B ＋3 sin3 ＝2 3B ＋2 33＋ 13 sin 32 c os B2sin B2 33＝3sin B ＋cos B ＋3sin Bπ＝ 3sin B ＋cos B ＝2sin B ＋6，2π 因为B ∈0，，ππ5所以B ＋6∈6，6π，＋ π 1 所以sin 6 ∈ ，1，B 2π所以2sin B ＋6 ∈(1，2]，所以m 的取值范围为(1，2]． (1)求最值的一般思路由余弦定理中含两边和的平方22222(如a ＋b －2ab cos C ＝c )且a ＋b ≥2ab ，所以在解三角形1 中，若涉及已知条件中含边长之间的关系，且与面积有关的最值问题，一般利用S ＝2ab sin C型面积公式及基本不等式求解，有时也用到三角函数的有界性．(2) 求三角形中范围问题的常有种类①求三角形某边的取值范围．②求三角形一个内角的取值范围，也许一个内角的正弦、余弦的取值范围． ③求与已知有关的参数的范围或最值．[对点训练]→→→→＝3，则△ABC 面积的最大值为( )1．在△ABC 中，AC ·AB ＝|AC －AB | A.213 21B.421D ．3 21C.2分析：选 B.设角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，因为→· → ＝| → － →|＝3，AC AB ACAB 所以bc cos A ＝a ＝3.b 2＋c 2－a 293cos A 又cos A ＝2bc ≥1－2 bc ＝1－2 ，2所以cos A ≥5，21所以0<sin A ≤5 ，所以△的面积1sin33 21 3 21＝＝tan≤×＝，ABCS2bcA 2 A 224故△ABC 面积的最大值为 3 21.42．(2019·浙江“七彩阳光”缔盟联考)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，其面积满足△ABC1 2c)S＝4a ，则b 的最大值为(A. 2－1B. 2C. 2＋1D. 2＋2分析：选C.依据题意，有 S △1 2 1A ，ABC22c2应用余弦定理，可得 b ＋c －2bc cos A ＝2bc sin A ，令t ＝b ，于是t＋1－2t cos A ＝2t sin．于是2 t sin ＋2 t cos ＝ t 2＋1，AAA所以2 2sin ＋π112＋1.A 4 ＝t ＋t ，从而t ＋t ≤22，解得t 的最大值为 3．(2019·浙江绍兴一中模拟 )在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且满足 b 2＋c 2－a 2＝bc .(1) 求角A 的值；(2) 若a ＝3，记△ABC 的周长为y ，试求y 的取值范围．解：(1)因为b 2＋c 2－a 2＝bc ， 所以由余弦定理得2＋ c 2－21cosA ＝ba＝，2bc2因为A ∈(0，π)，π 所以A ＝3. (2) 由a ＝3，A ＝π及正弦定理， 3bca3 ＝2， 得sinB ＝sin C ＝sin A＝32得 b ＝ 2sin ， ＝ 2sin 2π－B ，此中 ∈0， 2π ，B c 3 B 3所以周长＝ 3＋2sin＋2sin2π＋ 3cos ＋3＝23sinB ＋ π y－B ＝3sin＋B3BB63，2ππ π 5π因为B ∈0，3 ，得B ＋6∈6，6 ，从而周长y ∈(23，33]．专题增强训练ππ1．已知sin 6－α＝cos6＋α，则cos2α＝()A ．1B ．－11C ．2D ．0π －π13 31分析：选D.因为sin6 α＝cos＋α，所以2cos α－2sinα＝2cos α－2sin6α，即1－3 sinα＝－1－ 3 cos α，所以tan α＝sin α ＝－1，所以cos2α＝cos 2cos α222 22cos 2α－sin 2α 1－tan 2α α－sinα＝sin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋1＝0.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( )A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为42 2 23 233分析：选B.易知f (x )＝2cosx －sin x＋2＝3cos x ＋1＝2(2cos x －1) ＋2＋1＝2cos2x ＋52，则f ( x )的最小正周期为π，当x ＝k π( k ∈Z)时，f (x )获得最大值，最大值为4.3．(2019·台州市高考一模)在△中，内角，， C 的对边分别为， ， c ，已知aABCABab＝1，2 －3c＝2cos，sin＝ 3 ，则△ 的面积为()baC C 2 ABC33 A.2B. 43 33C.2或4D.3或2分析：选C.因为2b －3c ＝2a cos C ，所以由正弦定理可得2sin B －3sin C ＝2sin A cos C ，所以2sin( A ＋C )－3sin C ＝2sin A cos C ，所以2cossin ＝3sin，AC C3所以cos A ＝，所以A ＝30°，23因为sin C ＝2，所以C ＝60°或120°.A ＝30°，C ＝60°，B ＝90°，a ＝1，所以△ABC 的面积为1×1×2×3＝3，A ＝30°，222133C ＝120°，B ＝30°，a ＝1，所以△ABC 的面积为2×1×1×2＝4，应选C.4．在△中，三个内角，， 所对的边分别为a ，，，若△ABC ＝23，＋＝6，ABCAB Cb cS aba cos B ＋b cos Ac ＝()＝2cos ，则cCA ．27B ．2 3C ．4D ．3 3a cos B ＋b cos Asin A cos B ＋sin B cos A sin （A ＋B ）分析：选B.因为 c＝ sin C＝sin （＋）＝1，所以2cosAB＝1，所以 ＝π.又△ABC＝2 3，则 1 sin ＝2 3，所以 ＝8.因为＋ ＝6，所以c 2＝a 2C C 3 S 2ab C abab＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab －ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝62－3×8＝12，所以c ＝23.5．公元前 6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了2mn黄金切割均为 0.618，这一数值也可以表示为 m ＝2sin 18°，若m ＋n ＝4，则2cos 227°－1＝()A ．8B ．4C ．2D ．1分析：选C.因为m ＝2sin18°，2若m ＋n ＝4，则 n＝4－2＝4－4sin 218°＝4(1－sin 218°)＝4cos 218°，mmn2sin18°4cos 218°4sin18°cos18°2sin36 ° 所以2cos 227°－1＝ cos54°＝sin36°＝sin36°＝2.6．(2019·杭州市高三期末检测 )设点P 在△ABC 的 BC 边所在的直线上从左到右运动， 设 △与△的外接圆面积之比为λ ，当点P 不与 ， C 重合时()ABP ACP BA ．λ先变小再变大B ．当M 为线段BC 中点时，λ最大 C ．λ先变大再变小D ．λ是一个定值 分析：选D.设△ 与△ 的外接圆半径分别为r1， 2，ABPACP r则2 r 1＝ AB ，22＝ AC ，sin ∠APB r sin ∠APC因为∠APB ＋∠APC ＝180°， 所以sin ∠APB ＝sin ∠APC ， 所以 r 1 AB＝ ，r 2AC22r 1AB所以λ＝2＝2.应选D.r 2 AC7．(2019·福州市综合质量检测)已知＝tan （α＋β＋γ） ，若sin2(α ＋ γ )＝3sinmtan （α－β＋γ）2β，则m ＝()1 3 A.2 B.43C.2D.2分析：选D.设A ＝α＋β＋γ，B ＝α－β＋γ， 则2(α＋γ)＝A ＋B ，2β＝A －B ， 因为sin2(α＋γ)＝3sin2β， 所以sin(A ＋B )＝3sin(A －B )，即sin A cos B ＋cos A sin B ＝3(sin A cos B －cos A sin B )， 即2cos A sin B ＝sin A cos B ，所以tan A ＝2tan B ，tan A所以m ＝tan B ＝2，应选D.a 2b 28．(2019·咸阳二模)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2A ＋sin 2B2A (1－cos C )＝sinB sin→→＝2c ，sin C ，b ＝6，AB 边上的点M 满足AM ＝2MB ，过点M 的直线与射线 ， 分别交于 ， 两点，则 2＋ 2 的最小值是() CACBPQMP MQA ．36B ．37C ．38D ．39a 2b 22 2分析：选A.由正弦定理，知sin 2 A ＋sin 2B ＝2c ，即2＝2sin C ，所以sin ＝1，＝ π，所以sin(1－cos )＝sin sin ，即sin ＝CC 2 A C B CA π sinB ，所以A ＝B ＝4.以C 为坐标原点建立以下列图的平面直角坐标系，π 2 216 422则M (2，4)，设∠MPC ＝θ，θ∈ 0，2 ，则MP ＋MQ ＝sin 2θ＋cos 2θ＝(sin θ＋cos16 ＋ 4 2 16 ≥36，当且仅当 tan θ＝ 2时等号建立，即 2θ)2 2＝20＋4tan θ＋ 2 θ MP sin θ cos θ tan2＋MQ 的最小值为36.9．已知2cos 2＋sin2＝sin( ＋ )＋(＞0)，则 ＝________，＝________．xx A ωxφ bAAb分析：因为2cos 2x ＋sin2 x ＝1＋cos2 x ＋sin2 xπ＝2sin(2 x ＋4)＋1，所以A ＝ 2，b ＝1.答案： 21ππ10．若α∈0，2 ，cos 4－α＝22cos2α，则sin2 α＝________．分析：由已知得2α)＝22(cosα－sin α)·(cos α＋sinα)，2 (cos α＋sin所以cos α＋sin α＝0 或cos α－sin1α＝4，由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，π因为α∈0，2，所以cos α＋sin α＝0不满足条件；由cos α－sin 11－sin2α＝1α＝，两边平方得 ，41615所以sin2α＝16.15答案：1611．(2019·金丽衢十二校联考二模)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，a cos B ＝b cos A ，4S ＝2a 2－c 2，此中 S 是△ABC 的面积，则C 的大小为________．分析：△中， a cos ＝cos，ABC Bb A所以sin A cos B ＝sin B cos A ，所以sin A cos B －cos A sin B ＝sin(A －B )＝0， 所以＝，所以＝；A Bab1又△ABC 的面积为S ＝2ab sin C ， 且4S ＝2a 2－c 2，所以2ab sin C ＝2a 2－c 2＝a 2＋b 2－c 2，a 2＋b 2－c 2所以sin＝＝cos，C2abCπ所以C ＝4.答案：π 412．(2019·绍兴市一中高三期末检测)△ABC 中，D 为线段BC 的中点，AB ＝2AC ＝2，tan ∠ CAD ＝sin ∠BAC ，则BC ＝________．分析：由正弦定理可知 sin ∠CAD sin ∠CAD＝2，又tan ∠CAD ＝sin ∠BAC ，则 ＝sin(∠CADsin ∠BAD cos ∠CAD ＋∠BAD )，利用三角恒等变形可化为1cos ∠BAC ＝2，据余弦定理BC ＝2＋2－2· ··cos ∠＝1＋4－2＝3.ACABACAB BAC答案： 313．(2019·惠州第一次调研 )已知a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，a ＝4，b ∈(4，6)，sin2A ＝sinC ，则c 的取值范围为________．分析：由 4 ＝ c ，得 4 ＝ c ，所以 ＝8cos ，因为16＝ 2＋ 2－2 cos ，sin Asin C sin A sin2 A c A b c bc A2 2 2 216－ 2 （4－）（4＋）4＋ b ＝16 所以 16－b ＝64cos A －16b cos A ，又b ≠4，所以cos A ＝64－16b＝ 16（4－b ） ， 所以 2＝64cos 2＝64× 4＋b ＝16＋4.因为 ∈(4，6)，所以32< 2<40，所以4 2<<210.c A 16 b b c c答案：(4 2，2 10)14．(2019·绍兴市一中期末检测)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且1a cos C －2c ＝b .(1) 求角A 的大小；(2) 若a ＝3，求△ABC 的周长l 的取值范围．1 1解：(1) 由a cos C －2c ＝b 得：sin A cos C －2sin C ＝sinB ，又sinB ＝sin(A ＋C )＝sin A cosC ＋cos A sin C ，1C ＝－cos A sin C ，所以2sin 因为sinC ≠0，1所以cos A ＝－2，又0＜A ＜π，2π 所以A ＝3.a sin B(2)由正弦定理得：b ＝sinA ＝23sinB ，c ＝23sinC ，l ＝a ＋b ＋c ＝3＋23(sinB ＋sinC )＝3＋2 3[sin B ＋sin(A ＋B )]＝3＋2 313B ＋2cos B2sinπ＝ 3＋23sin B ＋3， 因为 ＝2π，所以∈0，π，A3B 3ππ 2π 所以B ＋3∈ 3，3 ，π 3所以sin B ＋3∈2，1，则△ABC 的周长l 的取值范围为(6，3＋2 3 ]．15．(2019·湖州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，已知(sinA ＋sin ＋sin)(sin ＋sin －sin )＝3sin sin.BC B C A B C(1) 求角A 的值；(2) 求3sin B －cos C 的最大值．解：(1)因为(sin A ＋sin B ＋sin C )(sin B ＋sin C －sin A ) ＝ 3sin B sin C ，由正弦定理，得(＋＋)( ＋ － )＝3，abcbca bc所以 22 － 2 ＝ ，所以cosb 2＋c 2－a 21 ∈(0，π)，所以πb ＋c a bc＝＝，因为＝.2bc 23π2π(2)由A ＝ 3，得B ＋C ＝3 ，所以3sin－cos ＝3sin2π－B－cosBCB 3＝3sin－ － 1＋ 3＝sin B ＋π.6222π ππ 5π因为0＜B ＜ 3，所以6＜B ＋6＜ 6，π π ，即B ＝ π 3sinB －cosC 的最大值为1.当B ＋＝2 时，6 316．(2019·宁波镇海中学模拟 )在△中，，，分别是角，，的对边，b ＝2sinABC abc ABC，且满足tan2sinB＋tan ＝.BACcos A(1) 求角C 和边c 的大小； (2) 求△ABC 面积的最大值．2sin B sin A sin C解：(1)tan A ＋tan C ＝cos A 可得cos A ＋cos C ＝sincos ＋cos sin C sin （＋） sin B 2sin Bcos A cos C＝cos A cos C ＝cos A cos C ＝cos A ， 1所以cos C ＝，2因为0＜C ＜π，π所以C ＝，3因为b ＝2sin B ，c b由正弦定理可得sin C ＝sin B ＝2，6 所以c ＝2.(2) 由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 所以32＝a 2＋b 2－ab ≥2ab －ab ＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．13 33 3 3所以S △ABC ＝2ab sin C ＝4ab ≤4 ×2＝8 ，3 3故△ABC 面积的最大值为8.17．(2019·成都市第二次诊断性检测)如图，在平面四边形中，已知＝π，＝2π，ABCDA 2B32πAB ＝6.在AB 边上取点E ，使得BE ＝1，连接EC ，ED .若∠CED ＝3，EC ＝7.(1) 求sin ∠BCE 的值； (2) 求CD 的长．解：(1)在△中，由正弦定理，知 BE ＝CE.BECsin ∠BCE sin B2π因为B ＝3，BE ＝1，CE ＝7，3所以sin ∠＝ BE ·sin B2 21＝＝.BCECE7142π(2) 因为∠CED ＝∠B ＝3， 所以∠DEA ＝∠BCE ，223 5 7所以cos ∠DEA ＝ 1－sin ∠DEA ＝ 1－sin ∠BCE ＝1－28＝14.因为 ＝ π，A 2所以△AED 为直角三角形，又AE ＝5，所以ED ＝ AE ＝ 5＝27.cos ∠DEA 5 7142 2 2在△CED 中，CD ＝CE ＋DE －2CE ·DE ·1 cos ∠CED ＝7＋28－2×7×27×－2＝49. 所以CD ＝7.。
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突破点2 解三角形(对应学生用书第11页)[核心知识提炼]提炼1常见解三角形的题型及解法(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一． (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解． (4)已知三边，利用余弦定理求解. 提炼2三角形形状的判断(1)从边出发，全部转化为边之间的关系进行判断．(2)从角出发，全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形，再判断．注意：要灵活选用正弦定理或余弦定理，且在变形的时候要注意方程的同解性，如方程两边同除以一个数时要注意该数是否为零，避免漏解. 提炼3三角形的常用面积公式设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积为S . (1)S ＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c (h a ，h b ，h c 分别表示a ，b ，c 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形ABC 内切圆的半径)．[高考真题回访]回访1 正、余弦定理的应用1．(2017·浙江高考)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.152104[依题意作出图形，如图所示，则sin ∠DBC ＝sin ∠ABC .由题意知AB ＝AC ＝4，BC ＝BD ＝2， 则sin ∠ABC ＝154，cos ∠ABC ＝14. 所以S △BDC ＝12BC ·BD ·sin∠DBC＝12×2×2×154＝152.因为cos ∠DBC ＝－cos ∠ABC ＝－14＝BD 2＋BC 2－CD 22BD ·BC＝8－CD28，所以CD ＝10.由余弦定理，得cos ∠BDC ＝4＋10－42×2×10＝104.]2．(2013·浙江高考)在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝________.63 [因为sin ∠BAM ＝13， 所以cos ∠BAM ＝223.如图，在△ABM 中，利用正弦定理，得BM sin ∠BAM＝AMsin B，所以BM AM ＝sin ∠BAM sin B ＝13sin B ＝13cos ∠BAC.在Rt △ACM 中，有CM AM ＝sin ∠CAM ＝sin(∠BAC －∠BAM )．由题意知BM ＝CM ，所以13cos ∠BAC＝sin(∠BAC －∠BAM )．化简，得22sin ∠BAC cos ∠BAC －cos 2∠BAC ＝1. 所以22tan ∠BAC －1tan 2∠BAC ＋1＝1，解得tan ∠BAC ＝ 2. 再结合sin 2∠BAC ＋cos 2∠BAC ＝1，∠BAC 为锐角可解得sin ∠BAC ＝63.] 3．(2016·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a cosB .(1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．【导学号：68334039】[解] (1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ， 故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B ) ＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， 于是sin B ＝sin(A －B ).3分又A ，B ∈(0，π)，故0<A －B <π， 所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B . 6分(2)由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin A ＝12sin 2B ＝sin B cos B .因为sin B ≠0，所以sin C ＝cos B ． 8分 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B .11分当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.14分回访2 三角形的面积问题4．(2015·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2.(1)求sin 2Asin 2A ＋cos 2A的值；(2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．[解] (1)由tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2，得tan A ＝13，2分 所以sin 2A sin 2A ＋cos 2A ＝2tan A 2tan A ＋1＝25.5分(2)由tan A ＝13，A ∈(0，π)，得sin A ＝1010，cos A ＝31010. 8分由a ＝3，B ＝π4及正弦定理a sin A ＝bsin B，得b ＝3 5.10分由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4，得sin C ＝255.12分 设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ab sin C ＝9.14分5．(2015·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知A ＝π4，b2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值． [解] (1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C ，所以－cos 2B ＝sin 2C . 2分又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos 2B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ， 解得tan C ＝2.5分(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)，得 sin C ＝255，cos C ＝55.8分因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ，所以sin B ＝31010.10分由正弦定理得c ＝22b3，12分又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3.14分6．(2014·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积.【导学号：68334040】[解] (1)由题意得1＋cos 2A 2－1＋cos 2B 2＝32sin 2A －32sin 2B ， 即32sin 2A －12cos 2A ＝32sin 2B －12cos 2B ， 2分sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6.由a ≠b ，得A ≠B .又A ＋B ∈(0，π)，得2A －π6＋2B －π6＝π，即A ＋B ＝2π3，所以C ＝π3.5分 (2)由c ＝3，sin A ＝45，a sin A ＝c sin C ，得a ＝85.8分由a <c 得，A <C ，从而cos A ＝35，故sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝4＋3310，11分所以，△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝83＋1825. 14分(对应学生用书第12页)热点题型1 正、余弦定理的应用题型分析：利用正、余弦定理解题是历年高考的热点，也是必考点，求解的关键是合理应用正、余弦定理实现边角的互化.【例1】 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin Cc.(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .[解] (1)证明：根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0)．则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ， 代入cos A a ＋cos B b ＝sin Cc中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin Ck sin C， 2分 即sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B ). 4分在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π， 有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， 所以sin A sin B ＝sin C ．6分(2)由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35，8分 所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.9分由(1)知sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以45sin B ＝45cos B ＋35 sin B ，12分 故tan B ＝sin Bcos B ＝4.14分[方法指津]关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．[变式训练1] (1)(2017·温州市普通高中高考模拟考试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，记S 为△ABC 的面积．若A ＝60°，b ＝1，S ＝334，则c ＝________，cos B ＝________. 【导学号：68334041】 35714 [因为S ＝12bc sin A ＝12×1×c ×32＝334，所以c ＝3；由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋9－6×12＝7，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝7＋9－12×7×3＝5714.(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且a cos B ＋b cos(B ＋C )＝0. ①证明：△ABC 为等腰三角形；②若2(b 2＋c 2－a 2)＝bc ，求cos B ＋cos C 的值． [解] ①证明：∵a cos B ＋b cos (B ＋C )＝0， ∴由正弦定理得sin A cos B ＋sin B cos(π－A )＝0， 即sin A cos B －sin B cos A ＝0，3分∴sin(A －B )＝0，∴A －B ＝k π，k ∈Z . 4分∵A ，B 是△ABC 的两内角， ∴A －B ＝0，即A ＝B ， 5分 ∴△ABC 是等腰三角形.6分②由2(b 2＋c 2－a 2)＝bc ，得b 2＋c 2－a 22bc ＝14，7分 由余弦定理得cos A ＝14，8分 cos C ＝cos(π－2A )＝－cos 2A ＝1－2cos 2A ＝78.10分 ∵A ＝B ，∴cos B ＝cos A ＝14，12分 ∴cos B ＋cos C ＝14＋78＝98.14分热点题型2 三角形面积的求解问题题型分析：三角形面积的计算及与三角形面积有关的最值问题是解三角形的重要命题点之一，本质上还是考查利用正、余弦定理解三角形，难度中等. 【例2】 设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值． 【解题指导】 (1)f x――――→恒等变换化归思想f x ＝A sin ωx ＋φ＋k ―→求f x 的单调区间(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0――→锐角三角形求A ――→余弦定理建立b ，c 的等量关系――→基本不等式求bc 的最大值――→正弦定理求△ABC 的面积[解] (1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12.2分由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z .由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .4分所以f (x )的单调递增区间是－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z ).6分 (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，7分由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 8分由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ， 12分即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立． 因此12bc sin A ≤2＋34，所以△ABC 面积的最大值为2＋34.14分[方法指津]1．在研究三角函数的图象与性质时常先将函数的解析式利用三角恒等变换转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B ，y ＝A tan(ωx ＋φ)＋B )的形式，进而利用函数y ＝sin x (或y ＝cos x ，y ＝tan x )的图象与性质解决问题．2．在三角形中，正、余弦定理可以实现边角互化，尤其在余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 中，有a 2＋c 2和ac 两项，二者的关系a 2＋c 2＝(a ＋c )2－2ac 经常用到，有时还可利用基本不等式求最值．[变式训练2] (名师押题)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＋1a＝4cos C ，b ＝1.(1)若sin C ＝217，求a ，c ； (2)若△ABC 是直角三角形，求△ABC 的面积． [解] (1)∵sin C ＝217，∴cos 2C ＝1－sin 2C ＝47，cos C ＝27. 1分∵4cos C ＝a ＋1a，∴87＝a ＋1a ，解得a ＝7或a ＝77.3分又1a ＋a ＝4cos C ＝4×a 2＋b 2－c 22ab ＝4×a 2＋1－c 22a ，∴a 2＋1＝2(a 2＋1－c 2)，即2c 2＝a 2＋1. 5分 ∴当a ＝7时，c ＝2； 当a ＝17时，c ＝27.6分(2)由(1)可知2c 2＝a 2＋1.又△ABC 为直角三角形，C 不可能为直角． ①若角A 为直角，则a 2＝b 2＋c 2＝c 2＋1， ∴2c 2－1＝c 2＋1， ∴c ＝2，a ＝3， 8分 ∴S ＝12bc ＝12×1×2＝22.9分②若角B 为直角，则b 2＝a 2＋c 2，a 2＋c 2＝1. ∴2c 2＝a 2＋1＝(1－c 2)＋1，∴c 2＝23，a 2＝13，即c ＝63，a ＝33，12分∴S ＝12ac ＝12×63×33＝26.14分。