青岛科技大学全部高数试卷06-07高等数学C(上)B
青岛科技大学高等代数考研真题试题2008——2012、2016、2017年
青岛科技大学2008年研究生入学考试试卷考试科目：高等代数（答案全部写在答题纸上）一、(30分)1设是三阶方阵，具有三个不同的(非零)特征值：、、，依次对应的特征向量为A 1λ2λ3λ、、，令，试证：、、线性无关。
1α2α3α123βααα=++β()A β2()A β2 设是维线性空间，是上的线性变换，是的一个重特征值， 是对n V n σn V 0λσk 0V λ0λ应的特征子空间，试证：。
（这里表示子空间的维数）0dim V k λ≤0dim V λ二、(30分)1 设，求。
001101010A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭100A 2 设，一元多项式，求，102011010B ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭1187543()2283174f x x x x x x x =+-+++-()f B 并求。
1(())f B -三、(30分)试证：1 当、是两个阶方阵时，有 A B n n n E AB E BA λλ-=- 2 当是矩阵，是矩阵()时有： A m n ⨯B n m ⨯n m >n m n m E BA E AB λλλ--=-四、(30分)试证 矩阵方程有解当且仅当 AX B =()()r A r A B =五、(20分)设阶方阵，，，试求的特征值，的最小多项式。
n ()ij A a =1ij a =,1,2,,i j n = A A A 是否与对角阵相似？若相似求出与其相似的对角阵。
六、(10分)给定方程组(1)与向量， 123412342229242312x x x x x x x x -++=⎧⎨-++=⎩(4,2,5,1)α=-青 岛 科 技 大 学二OO 九年硕士研究生入学考试试题考试科目：高等代数注意事项：1．本试卷共 5 道大题（共计 10 个小题），满分150 分；2．本卷属试题卷，答题另有答题卷，答案一律写在答题卷上，写在该试题卷上或草纸上均无效。
要注意试卷清洁，不要在试卷上涂划；3．必须用蓝、黑钢笔或签字笔答题，其它均无效。
2022-2023学年山东省青岛市高一上册期末选科考试数学试卷(含解析)
2022-2023学年山东省青岛市高一上册期末选科考试数学试卷（含解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21,3,A a =，{}1,2B a =+，且A B B = ，则实数a 的取值集合为（）A.{}1,1,2- B.{}1,2- C.{}1- D.{}2【答案】D2.“,x y Q ∈”是“xy Q ∈”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A3.函数()f x =）A.(1,)+∞B.[2,)+∞ C.(1,2)D.(1,2]【答案】D4.在直角坐标系中，已知圆C 的圆心在原点，半径等于1，点P 从初始位置()0,1开始，在圆C 上按逆时针方向，以角速度2rad /s 9π均速旋转3s 后到达P '点，则P '的坐标为（）A.13,22⎛- ⎝⎭B.3,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C.1,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D.1,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D5.已知0,0,0a b c d e >><<<，则下述一定正确的是（）A.ae be >B.22c d <C.0e ea c db +>-- D.()ea d c b->【答案】C6.设函数()f x 的定义域为,I D I ⊆，记()()1212Δ,Δx x x y f x f x =-=-，则（）A.函数()f x 在区间D 上单调递增的充要条件是：1212,,x x D x x ∀∈≠，都有Δ0Δy x <B.函数()f x 在区间D 上单调递减的充要条件是：1212,,x x D x x ∀∈≠，都有Δ0Δy x >C.函数()f x 在区间D 上不单调递增的充要条件是：1212,,x x D x x ∃∈≠，使得Δ0Δy x ≥D.函数()f x 在区间D 上不单调递减的充要条件是：1212,,x x D x x ∃∈≠，使得Δ0Δy x≥【答案】D7.已知,,x y z 都是正实数，若1xyz =，则()()()x y y z z x +++的最小值为（）A.2B.4C.6D.8【答案】D8.2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，碳14的半衰期为5730年，lg0.51.1665lg0.552≈，以此推断水坝建成的年份大概是公元前（）A.3500年B.2900年C.2600年D.2000年【答案】B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下面选项中，变量y 是变量x 的函数的是（）A.x 表示某一天中的时刻，y 表示对应的某地区的气温B.x 表示年份，y 表示对应的某地区的GDP (国内生产总值)C.x 表示某地区的学生某次数学考试成绩，y 表示该地区学生对应的考试号D.x 表示某人的月收入，y 表示对应的个税【答案】ABD10.已知θ为第一象限角，下述正确的是（）A.02πθ<<B.2θ为第一或第三象限角C.sin tan θθ<D.()1cos sin 2θ>【答案】BCD11.已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，下述正确的是（）A.函数12y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭为偶函数B.函数()y f x =的最小正周期为πC.函数()y f x =在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1D.函数()y f x =的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】ACD12.已知函数()3f x x =-，下述正确的是（）A.若()21f x ->，则1x <B.若()()2g x f x ax bx =++为奇函数，则0a =C.函数()()31g x f x x =+-在区间()1,2-内至少有两个不同的零点D.函数()()23g x f x x =+图象的一个对称中心为()1,0【答案】ABC三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()f x 是定义在R 上的周期4的奇函数，若()11f =，则()2023f =________.【答案】1-14.和角度制、弧度制一样，密位制也是度量角的一种方法.将周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如：469密位写成“469-”1周角等于6000密位，记作“6000-”.如果一个扇形的半径为2，面积为5π6，则其圆心角可以用密位制表示为________.【答案】1250-15.若13a a -+=，则（1）1333lg5lg2223aa ⎛⎫+⨯⨯= ⎪⎝⎭_______；（2）31log 2223a a +-+-=________.【答案】①.5123②.116.已知函数()2f x ax bx c =++，满足不等式()0f x <的解集为()(),2,t -∞-⋃+∞，且()1f x -为偶函数，则实数t =________.【答案】0四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知全集U =R ，集合{}22sin ,R A yy x x ==-∈∣，集合91,4B y y x x A ⎧⎫==-+∈⎨⎬⎩⎭∣，集合{}21,R xC y y x ==+∈∣.（1）求集合A B ；（2）求集合()R A C ⋃ð.【答案】（1）[]0,1；（2）(,0)[2,)-∞⋃+∞.【小问1】∵[]R,sin 1,1x x ∈∈-，∴[]22sin 0,4y x =-∈，即[]0,4A =，∴[]91,8,14B yy x x A ⎧⎫==-+∈=-⎨⎬⎩⎭∣，∴[]0,1A B =I ；【小问2】∵R,0x x ∈≥,∴221,12x x ≥+≥，∴{}21,R [2,)x C yy x ==+∈=+∞∣，又[]0,4A =，∴{R 0A x x =<ð或}4x >，∴()R (,0)[2,)A C ⋃=-∞⋃+∞ð.18.已知函数()sin cos 3cos sin x xf x x x+=-.（1）若()3f θ=，求tan θ的值；（2）若()0,θπ∈，且31sin sin 25θθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，求()f θ的值.【答案】（1）2（2）113-【小问1】由()sin cos 3cos sin x x f x x x +=-得;()tan 13tan x f x x+=-,所以()3f θ=，即tan 133tan θθ+=-，解得tan 2θ=；【小问2】由31sin sin 25θθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭得：1sin cos 5θθ+=①，所以21(sin cos )12sin cos 25θθθθ+=+=，则242sin cos 025θθ=-<，所以(,)2πθπ∈，则249(sin cos )12sin cos 25θθθθ-=-=，而sin 0,cos 0θθ><，所以7sin cos 5θθ-=②，由①②联立可得43sin ,cos 55θθ==-，故4tan 3θ=-，所以41tan 113()43tan 1333f θθθ-++===--+.19.已知函数()()()f x g x h x =+的定义域为()R,g x 为偶函数，()h x 为奇函数.（1）若()e sin xf x x =，求()g x 和()h x 的解析式；（2）若函数()f x 为周期函数，2π为其一个周期，()()()2h x h x x πϕ++=，判断并证明函数()x ϕ的奇偶性.【小问1】解：由题意，函数()()()f x g x h x =+的定义域为()R,g x 为偶函数，()h x 为奇函数，因为()e sin xf x x =，即()()e sin xg x h x x +=，可得()()()()g x h x g x h x -+-=-，即()()esin xg x h x x --=-，联立方程组()()()()e sin e sin xxg x h x xg x h x x -⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩，解得()()()()11e e sin ,e e sin 22x x x x g x x h x x --=-=+.【小问2】解：由函数()()()f x g x h x =+的定义域为()R,g x 为偶函数，()h x 为奇函数，可得()()()()()f x g x h x g x h x -=-+-=-，联立方程组()()()()()()f x g x h x f x g x h x ⎧=+⎪⎨-=-⎪⎩，解得()()()2f x f x h x --=，则()()()()()()()2222f x f x f x f x h x h x x ϕπππ--++==+---+()()()()4f x f x f x f x ππ--++---=，因为函数()f x 为周期函数，2π为其一个周期，可得()()f x f x ππ+=-，所以()()()()()4f x f x f x x f x ϕππ+------=，又由()()()()()4f x f x x x f x f ππϕ-+------=()()()()()4f x f x f x x f x ππϕ+------=--=，所以函数()x ϕ的奇函数.20.已知函数()218x f x x -=+.（1）判断并证明()f x 在区间[]22-,上的单调性；（2）设()1212222log ,sin ,cos3,tan 357a f b f c f d f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，试比较a b c d ,,,的大小并用“<”将它们连接起来.【答案】（1）()f x 在区间[]22-,上为增函数，证明见解析（2）c d b a <<<【小问1】解：任取1222x x -≤<≤，()()121222121188x x f x f x x x ---=-++()()()()()()2212212212181888x x x x xx -+--+=++()()()()1212122212888x x x x x x xx -++-=++，因为1222x x -≤<≤，所以120x x -<，1244x x -<+<，1244x x -≤<，则121280x x x x ++->，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在区间[]22-,上为增函数；【小问2】解：对于121log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由1221log log 33=，则21log 32<<，即1211log 23<<，对于22sin5b f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，由222sin sin 55ππ=，则32sin sin 1235ππ=<<，即322sin 125π<<，对于()cos3c f =，由32ππ<<，得1cos30-<<，对于22tan7d f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，由22tan tan 77ππ=，则0tantan 7632ππ<<=<，即220tan 72π<<，所以12122222log sin tan cos31357ππ>>>>>-，因为函数()f x 在区间[]22-,上为增函数，所以c d b a <<<.21.某呼吸机生产企业本年度计划投资固定成本2300（万元）引进先进设备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，每生产x （单位：百台）另需投入成本()C x （万元），当年产量不足50(百台)时，()210200C x x x =+（万元；当年产量不小于50（百台）时，()100006024500250C x x x =+--(万元)，据以往市场价格，每百台呼吸机的售价为600万元，且依据疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完.（1）求年利润()L x (万元)关于年产量x （百台）的函数解析式；(利润=销售额一投入成本-固定成本)（2）当年产量为多少时，年利润()L x 最大?并求出最大年利润.【答案】（1）()2104002300,050500022200,5025x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪-⎩（2）当年产量为75百台时，年利润最大，最大年利润为1950万元.【小问1】当050x <<时，()()22102002300600400210300x x x L x x x +-=-=-+-；当50x ≥时，()100006024500230022200250250005060L x x x x x x ⎛⎫+--=--+ ⎪--⎝⎭=-，综上：()2104002300,050500022200,5025x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪-⎩【小问2】当050x <<时，()()2240023001010201700L x x x x =+-=--+-，当20x =时，()L x 取得最大值为1700万元，当50x ≥时，()()22200225215021501950252500505000x x x x L x =--+=---≤-=--，当且仅当()50052522x x -=-，即75x =时，等号成立，此时最大利润为1950万元，因为19501700>，所以当年产量为75百台时，年利润最大，最大年利润为1950万元.22.函数()3xf x =且(2)18f a +=，函数()34axxg x =-.（1）求()g x 的解析式；（2）若关于x 的方程()80xg x m -⋅=在区间[]22-,上有实数根，求实数m 的取值范围；（3）设()3xf x =的反函数为()()()()23,[]log p x h x p x p x x λ=-++，()21x x ϕλλ=+-，若对任意的1x ⎤∈⎦，均存在[]21,1x ∈-，满足()()12h x x ϕ≤，求实数λ的取值范围.【答案】（1）()24xxg x =-（2）1,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（3）)5⎡-+∞⎣【小问1】由(2)18f a +=，可得：2318a +=解得：32a =则有：()24xxg x =-故()g x 的解析式为：()24xxg x =-【小问2】由()80xg x m -⋅=，可得：222x xm --=-不妨设2x t-=则有：221124m t t t ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭又22x -≤≤则有：144t ≤≤故当1t =时，m 取得最小值为14-；当4t =时，m 取得最大值为12故1124m -≤≤故实数m 的取值范围为：1,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【小问3】()3x f x =的反函数为：()3log p x x=若对任意的1x ⎤∈⎦，均存在[]21,1x ∈-，满足()()12h x x ϕ≤则只需：()()12max h x x ϕ≤恒成立()()()23[]log h x p x p x xλ=-++不妨设3log x b =，则设()()21b s b b λ=-++1x ⎤∈⎦，则122b ≤≤()21x x ϕλλ=+-在[]21,1x ∈-上可分如下情况讨论：①当0λ=时，()1x ϕ=-，此时()2s b b b =-+，不满足()()12max h x x ϕ≤恒成立②当0λ<时，()()1max 11xϕϕλ=-=-，此时只需：()211b b λλ-++≤-在122b ≤≤上恒成立则只需：()2110b b λλ++-≥-在1,22b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立则只需：12b =时，不等式()2110b b λλ++-≥-成立解得：52λ≥，与0λ<矛盾；③当0λ>时，()()1max 131x ϕϕλ==-，此时，只需保证：()2131b b λλ-++≤-则只需：()21310b b λλ++-≥-在1,22b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立当122λ+≤时，只需保证：当12b λ+=时，()21310b b λλ++-≥-成立则有：21050λλ-+≤解得：55λ-≤≤+又122λ+≤，故有：53λ-≤≤当122λ+>时，只需保证：当2b =时，()21310b b λλ++-≥-成立此时解得：1λ>-又122λ+>故有：3λ>故当0λ>时，5λ≥-综上所述，解得：实数λ的取值范围为：)5⎡-+∞⎣。
高等数学期中A考卷及答案海大
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 微分学的中心概念是（）。
A. 极限B. 导数C. 微分D. 积分A. f(x) = |x|B. f(x) = x^2 + 1C. f(x) = 1/xD. f(x) =√x3. 不定积分∫(1/x)dx的结果是（）。
A. ln|x| + CB. x + CC. x^2/2 + CD. e^x + C4. 多元函数f(x, y) = x^2 + y^2在点(1, 1)处的偏导数f_x'是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 35. 线性方程组Ax=b有唯一解的条件是（）。
A. A为满秩矩阵B. A为方阵C. A为可逆矩阵D. A为零矩阵二、判断题（每题1分，共5分）1. 极限存在的充分必要条件是左极限等于右极限。
（）2. 任何连续函数都一定可导。
（）3. 二重积分可以转换为累次积分。
（）4. 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。
（）5. 两个矩阵的乘积一定是方阵。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 函数f(x) = e^x在x=0处的导数f'(0)等于______。
2. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则该函数在该区间上______。
3. 微分方程y'' y = 0的通解是______。
4. 矩阵A的行列式记作______。
5. 向量组线性相关的充分必要条件是______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 请简要说明罗尔定理的内容。
2. 什么是函数的极值？如何求函数的极值？3. 简述泰勒公式的意义。
4. 什么是特征值和特征向量？5. 简述空间解析几何中直线的方程。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 计算极限lim(x→0) (sin x)/x。
2. 求函数f(x) = x^3 3x的导数。
3. 计算不定积分∫(cos x)dx。
4. 求解微分方程y' = 2x。
5. 计算二重积分∬D (x^2 + y^2) dxdy，其中D是由x轴，y轴和直线x+y=1围成的区域。
（1）青岛科技大学高数试卷10-11高数A2A卷
（1）青岛科技⼤学⾼数试卷10-11⾼数A2A卷2010/20112 ⾼等数学A2（ A 卷）数理学院机电，信息，应物等专业（答案写在答题纸上，写在试题纸上⽆效）⼀、填空题（每⼩题3分，共15分）1．设arctany z x =，则zx= 。
2．⼀阶线性微分⽅程23x dyy e dx+=的通解为。
3．设L 是椭圆周221x y +=，则曲线积分2(21) Lx x ds ++? 。
4．函数()sin f x x x =展开为x 的幂级数是。
5．已知向量(2,1,1),(1,1,3)a b ==-，则a b ?= 。
⼆、选择题（每⼩题3分，共15分）1．函数(,)f x y =0，0）处（）。
()A 偏导数存在 ()B 连续但偏导数不存在 ()C 可微 ()D 连续且偏导数存在2．⼆重积分31(,)xxdx f x y dy ?交换积分次序可化是（）。
()A 1(,)y dy f x y dx ? ()B 10(,)ydy f x y dx ?()C 10(,)ydy f x y dx ? ()D 1(,)ydy f x y dx ?3．曲⾯21z x y =+在点（1,1,2）处的切平⾯⽅程是（）。
()A 210x y z +--= ()B 210x y z +--= ()C 10x y z +--= ()D 10x y z ++-= 4．若级数1nn a∞=∑收敛，则级数20()nn n aa ∞+=+∑（）。
()A 绝对收敛 ()B 发散 ()C 收敛 ()D 敛散性不能确定5．以4为周期的函数在[2,2)-上的表达式为24,20()2,02x x f x x x +-≤的和函数为(),s x 则(2)s =（）。
课程考试试题学期学年拟题学院（系）: 适⽤专业:()A 1 ()B 2 ()C 0 ()D 3.三、（共21分）1、（7分）设(2,2)z f x y x y =-+，其中f 具有⼆阶连续偏导数，求2,z zx x y。
青岛科技大学全部高数试卷09-10高数B(下)B卷_答案
（答案要注明各个要点的评分标准）一、填空题（每小题3分，共15分）1. 2. 22x y d x x d y + 3. ()110,y dy f x y dx ⎰⎰ 4. 5. ()01n n n x ∞=-∑， ()1,1x ∈- .二、选择题（每小题3分，共15分）1.C2.B3.D4. A5.C三、（每小题7分，共21分）1. 解 2xy z y e x∂=∂ ---------------2分 ()1xy z xy e y∂=+∂ ----------------2分 ()222xy z y xy e x y∂=+∂∂ --------------------------7分 2. 解 10x D xyd dx σ=⎰⎰⎰ ------------------------------3分()12012x x x dx =-⎰ --------------------------------6分 124= -----------------------------------------------7分 3．解 由格林公式有原式 ()22Dyx dxdy =+⎰⎰ ----------3分 2200a d d πθρρρ=⎰⎰ --------------------------------6分 412a π= --------------------------------7分 四、（每小题7分，共21分）1.解 由高斯公式有原式 2223()x y z dxdydz Ω=++⎰⎰⎰ ----------3分240003sin R d d r dr ππθϕϕ=⎰⎰⎰ -------------------------------6分5125R π= -------------------------------7分 2.解 所求立体体积为()222DV x y dxdy =--⎰⎰ -------------------3分)22002d d πθρρρ=-⎰ -------------------------------6分 2π= -------------------------------7分3.解 22(,)(,)(,)2y y x y gradf x y f x y i f x y j e i xe j =+=+∴(1,0)2gradf i j =+ ∴ --------------------------3分又()1,01x f = ，()1,02y f =，方向l 即向量()1,1PQ =- ，故c o sα=，cos β= -------------------------5分 于是 (1,0)|(1,0)cos (1,0)cos x y f f f lαβ∂=+∂12222=-=- --------------------------7分 五、（每小题8分，共16分）1.解 因为 1lim 1n n n a R a →∞+== --------------------------2分 当1x =±时级数发散，故级数1n n nx∞=∑收敛域为()1,1-. ----------------4分设幂级数在()1,1-区间内的和函数为()s x ，则()1111()n n n n n n s x nxx nx x x ∞∞∞-==='===∑∑∑ ()2111n n x x x x x x x ∞=''⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪-⎝⎭-⎝⎭∑ .()1,1x ∈- -----------------------8分 2.解 曲面在点()3,1,2-处的法向量为(),,n y z x z y x =+++ ()1,5,2= ----------------4分故所求的切平面方程为 ()()()351220x y z -+++-=即 5220x y z ++-= ----------------6分法线方程为 312152x y z -+-== ----------------8分 六、（每小题6分，共12分） 1.证明 考虑级数 ()111100n n n n ∞∞==-=+∑∑ 因为有100lim 11n n →∞+=，而级数n ∞= 级数1100n n ∞=+∑也发散.所以原级数非绝对收敛. ----------------3分 设()100f x x =+，则()f x '=，当100x >时()f x 单调减少，即当100n >时，1n n u u +>，又有lim 0n n n u →∞→∞==，故由莱布尼兹审敛法知级数()11n n ∞=-∑（从100项开始）收敛. 因此级数()11100n n n ∞=-+∑是条件收敛. ----------------6分 2、证明 ()122z z x zyf u x y x ∂∂'+=∂∂， ()22z x x f u z∂='∂- ----------------2分 ()()222z y z z y y z f u yf u y y ∂-∂∂'+=+∂，()()()22z y f u f u z y y f u z'-+∂='∂-----------------4分 将,z z x y∂∂∂∂带入得， 左端()()()32222224222x xy xz xy xyf u xzf u f u z '--+-+='-()()24222xz xzf u xz f u z'-+=='-=右端----------------6分。
青岛科技大学高数A1试题参考答案答案
高数A1试题参考答案一、填空题：1. 6e；2.2ln2112ln2xyxyydxx--； 3.221(1)2x c--+； 4.()()xf t dt xf x+⎰5.或二、选择题：1).C 2).D 3).A 4).A 5).C三、计算题：20001sin ln(1)sin ln(1)1.lim limln(1)sin1cos(1)cos11lim lim2(1)2x xx xx x x xx x xx x xxx x x→→→→-+-+==+-+-+==+原式(1)cos1lim2xx xx→+-=1cos(1)sin1lim212xx x x→-+==2.lim()xf x-→=lim()(0)xf x f a+→==，lim()xf x-→=lim1xxe-→=，00lim()lim()x xf x a bx a++→→=+=，所以 1.a=()(0)(0)limxf x ffx--→-'=-01lim1xxex-→-==，(1)1(0)limxbxf bx++→+-'==，所以1b=。
3．22133122dy t tdx t t--==-，22231()2d y d t dx dx t -==231()2d t dt dt t dx -=22223122(31)131424t t t t t t --+⨯=--。
4、原式(()()22ln 1ln 1x d x =+++⎰⎰(()231arctanln 13x C =+++235.(0)22tt t x t dx tdtee tdt=≥===⎰⎰，从而，33223t te tdt tde ==⎰⎰ 332()3t t te e dt =-=⎰3321()33t t te e C -+- 2116.1,(1)()u x f x dx f u du-=--=⎰⎰令则01()f u du -=⎰10()f u du +⎰011011x dx dxe x -=+++⎰⎰- 011011[ln(1)]1[ln(1)]ln 2ln(1)x x x x e e dx x e x e e --+-=+++=-++=+⎰7、解：函数的定义域为(),-∞+∞，52338533y x x '=- （2分）y ''= 令0y ''=得14x =，而x o =时y ''不存在。
青岛科技大学860高等代数2007-2012、2016-2018年考研专业课真题试卷
0 0 ... 0 0
1
0
...
0
0
（2）存在V 的一组基，使得 在该组基下的矩阵为 0 1 ... 0 0
... ... ... ... ...
0
0
...
1
0
kk
。
八、（25 分）设V 是复数域上的 n 维线性空间， 和 是V 上的线性变换。
（1） 求 A 的所有不变因子； （2） 写出 A 的 Jordan 标准形。
七、（25 分）设 是数域 P 上线性空间V 0 ，这里 k dimV 。证明：
（1） , ( ),..., k1( ) 线性无关；
A2B
AB
E ，其中 E 是
3 阶单位矩阵，若
A
0
2
0
，则
B
0 0 3
。
5. t 满足
时，二次型 x12 2tx1x2 4x22 (t 1)x32 是正定的。
6.
在
线
性
空
间
P3
中
，
已
知
两
向
量
组
21((11, 2,1,,11,,01), )
1 a1 1
1 ... 1 1
1 1 a2 1 ... 1 1
D 1
1 1 a3 ... 1 1
... ... ... ... ... ...
1
1
1 ... 1 1 an
三、（15
分）给定线性方程组
ax1 x2 x3 x1 ax2 x3
1 1
，讨论当 a 取何值时，方程组有唯一解、无解、
青岛科技大学教案(章节备课)
青岛科技大学教案(章节备课)一、教案基本信息1. 课程名称：高等数学2. 课时安排：45分钟3. 授课对象：大一学生4. 教学目标：使学生掌握函数的极限、连续性、导数和微分的基本概念和计算方法。
二、第一章：函数与极限1. 教学内容：a. 函数的定义与性质b. 极限的概念与性质c. 无穷小与无穷大d. 极限的计算方法e. 函数的连续性2. 教学重点与难点：a. 极限的概念与性质b. 无穷小与无穷大的比较c. 极限的计算方法d. 函数的连续性3. 教学方法：a. 采用讲解与例题相结合的方式进行教学b. 引导学生通过小组讨论与合作交流，加深对极限概念的理解c. 利用数学软件或图形计算器，演示函数的连续性和极限的计算过程4. 教学评估：a. 课堂练习：要求学生在课堂上完成相关的极限计算题目b. 课后作业：布置相关的练习题，巩固学生对极限的理解和应用能力c. 章节测试：进行章节测试，评估学生对极限的掌握程度三、第二章：导数与微分1. 教学内容：a. 导数的定义与性质b. 常见函数的导数c. 微分的概念与计算d. 导数在实际问题中的应用2. 教学重点与难点：a. 导数的定义与性质b. 常见函数的导数c. 微分的概念与计算d. 导数在实际问题中的应用3. 教学方法：a. 采用讲解与例题相结合的方式进行教学b. 引导学生通过小组讨论与合作交流，加深对导数概念的理解c. 利用数学软件或图形计算器，演示函数的导数和微分过程4. 教学评估：a. 课堂练习：要求学生在课堂上完成相关的导数计算题目b. 课后作业：布置相关的练习题，巩固学生对导数的理解应用能力c. 章节测试：进行章节测试，评估学生对导数的掌握程度四、第三章：中值定理与导数的应用1. 教学内容：a. 拉格朗日中值定理与柯西中值定理b. 罗尔定理与费马定理c. 函数的单调性、凹凸性及极值d. 函数的图像与导数的关系2. 教学重点与难点：a. 拉格朗日中值定理与柯西中值定理b. 罗尔定理与费马定理c. 函数的单调性、凹凸性及极值d. 函数的图像与导数的关系3. 教学方法：a. 采用讲解与例题相结合的方式进行教学b. 引导学生通过小组讨论与合作交流，加深对中值定理的理解c. 利用数学软件或图形计算器，演示函数的单调性、凹凸性及极值的计算过程4. 教学评估：a. 课堂练习：要求学生在课堂上完成相关的中值定理和导数应用题目b. 课后作业：布置相关的练习题，巩固学生对中值定理和导数应用的理解能力c. 章节测试：进行章节测试，评估学生对中值定理和导数的掌握程度五、第四章：微分方程1. 教学内容：a. 微分方程的定义与分类b. 常微分方程的解法c. 线性微分方程与非线性微分方程d. 微分方程的应用2. 教学重点与难点：a. 微分方程的定义与分类b. 常微分方程的解法c. 线性微分方程与非线性微分方程d. 微分方程的应用3. 教学方法：a. 采用讲解与例题相结合的方式进行教学b. 引导学生通过小组讨论与合作交流，加深对微分方程的理解c. 利用数学软件或图形计算器，六、第五章：定积分与不定积分1. 教学内容：a. 定积分的定义与性质b. 牛顿-莱布尼茨公式c. 不定积分的概念与计算方法d. 积分表的应用2. 教学重点与难点：a. 定积分的定义与性质b. 牛顿-莱布尼茨公式的推导与应用c. 不定积分的概念与计算方法d. 积分表的应用3. 教学方法：a. 采用讲解与例题相结合的方式进行教学b. 引导学生通过小组讨论与合作交流，加深对定积分与不定积分概念的理解c. 利用数学软件或图形计算器，演示定积分的计算过程4. 教学评估：a. 课堂练习：要求学生在课堂上完成相关的定积分与不定积分计算题目b. 课后作业：布置相关的练习题，巩固学生对定积分与不定积分的理解能力c. 章节测试：进行章节测试，评估学生对定积分与不定积分的掌握程度七、第六章：级数1. 教学内容：a. 数项级数的定义与性质b. 收敛级数与发散级数c. 级数的收敛性判断d. 幂级数的概念与性质e. 函数的幂级数展开2. 教学重点与难点：a. 数项级数的定义与性质b. 收敛级数与发散级数c. 级数的收敛性判断d. 幂级数的概念与性质e. 函数的幂级数展开3. 教学方法：a. 采用讲解与例题相结合的方式进行教学b. 引导学生通过小组讨论与合作交流，加深对级数概念的理解c. 利用数学软件或图形计算器，演示级数的性质与判断过程4. 教学评估：a. 课堂练习：要求学生在课堂上完成相关的级数计算题目b. 课后作业：布置相关的练习题，巩固学生对级数的理解能力c. 章节测试：进行章节测试，评估学生对级数的掌握程度八、第七章：多元函数微分学1. 教学内容：a. 多元函数的定义与性质b. 多元函数的偏导数与全导数c. 多元函数的泰勒公式与极值d. 多元函数的图形与偏导数的关系2. 教学重点与难点：a. 多元函数的定义与性质b. 多元函数的偏导数与全导数c. 多元函数的泰勒公式与极值d. 多元函数的图形与偏导数的关系3. 教学方法：a. 采用讲解与例题相结合的方式进行教学b. 引导学生通过小组讨论与合作交流，加深对多元函数微分学的理解c. 利用数学软件或图形计算器，演示多元函数的偏导数与极值的计算过程4. 教学评估：a. 课堂练习：要求学生在课堂上完成相关的多元函数微分学题目b. 课后作业：布置相关的练习题，巩固学生对多元函数微分学的理解能力c. 章节测试：进行章节测试，评估学生对多元函数微分学的掌握程度九、第八章：重积分1. 教学内容：a. 二重积分的定义与性质b. 二重积分的计算方法c. 三重积分的定义与性质d. 三重积分的计算方法e. 重积分的应用2. 教学重点与难点：a. 二重积分的定义与性质b. 二重积分的计算方法c. 三重积分的定义与性质d. 三重积分的计算方法e. 重积分的应用3. 教学方法：a. 采用讲解与例题相结合的方式进行教学b. 引导学生通过小组讨论与合作交流，加深对重积分概念的理解c. 利用数学软件或图形计算器，演示重积分的计算过程4. 教学评估：a. 课堂练习：要求学生在课堂上完成相关的重积分计算题目b. 课后作业：布置相关的练习题，巩固学生重点和难点解析一、教学内容的深度与广度在教案的设计中，需要重点关注教学内容的深度与广度。
青岛科技大学作业本高数-3.1
练习 证明 arcsin x arccos x (1 x 1). 2
证 设 f ( x) arcsin x arccos x, x [1,1]
f ( x) 1 ( 1 ) 0.
1 x2
1 x2
y
y f (x)
O a
bx
在( a , b ) 内至少存在一点 使
f ( ) 0.
2.罗尔定理的几何意义： 如果连续曲线弧 上除端点外处处有不垂直于x轴的切线，
并且两端点处的纵坐标相等,则在
上至少有一点 ,曲线弧在该点的切线
是水平的。
y
y f (x)
A
B
o a b x
罗尔定理的证明： 证
2) 定理条件只是充分的。 3）本定理可推广为
在 ( a , b ) 内可导, 且
lim
xa
f
(x)
lim
xb
f
(x)
在( a , b ) 内至少存在一点 使
证明提示: 设
证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 .
例题分析
例1. 利用罗尔定理证明方程 有且仅有一个小于1 的正实根 . 证: 1) 存在性 .
设 f (x) x5 5x 1, 则 f (x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且
由零点定理知存在 x0 (0,1), 使 f (x0 ) 0,
即方程有小于 1 的正根
2) 唯一性 .
假设另有
f (x) 在以
x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
至少存在一点
y
O a
使
青岛科技大学高数B2试题参考答案
高数B2试题参考答案一、填空题：1、 2 ； 2 、2cos 202(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθ-⎰⎰； 3、；4、 5 ；5、12(cos2sin 2)x c x c x e +二、选择题：1)、B 2)、A 3)、C 4)、D 5)、B三、计算题：1．解：1) 1yz u y x x z -∂=∂ 2)'''123'3x z F F F F z x F F ++∂=-=-∂2. 解：令cos ,sin ,02,2x r y r r θθθπππ==≤≤≤≤220sin D d r rdr πππθ=⋅⎰⎰⎰⎰222[cos |cos ]r r rdr πππππ=-+⎰ 22[30]6πππ=-+=-3. 解：令2222,.y x P Q x y x y-==++则当220x y +≠时，有 22222.()Q y x P x x y x∂-∂==∂+∂ 记L 所围成的闭区域为D 。
当（0，0）∉D 时，由格林公式得220,L xdy ydx x y -=+⎰当（0，0）D ∈时，选取适当小的0r >，作位于D 内的圆周222:l x y r +=，记L 和l 所围成的区域为1D ，则22220,L l xdy ydx xdy ydx x y x y ---=++⎰⎰其中l 的方向为逆时针方向。
于是2222L l xdy ydx xdy ydx x y x y --==++⎰⎰ 2222220cos sin 2.r r d rπθθθπ+=⎰4、 解：将∑补充成闭曲面，令2221:0,z x y R ∑=+≤上侧。
由高斯公式11333333333x dydz y dzdx z dxdy x dydz y dzdx z dxdy x dydz y dzdx z dxdy ∑∑+∑∑++=++-++⎰⎰⎰2223()0:0x y z dxdydz z z Ω=-++-Ω==⎰⎰⎰围成22220003sin R d d r r dr ππθϕϕ=-⋅⎰⎰⎰ 42006sin Rd r dr ππϕϕ=-⎰⎰ 556655R R ππ=-⨯=- 5、解：113n na =+ 111313lim lim (13)lim 311313n n n n n n n n na R a +→∞→∞→∞++==+==++ 当3x =±时，级数11(3)13n n n ∞=±+∑的一般项为1(3)13n n ±+当n →∞时不为零，故发散。
青岛科技大学考研历年真题之考研历年真题之高等代数2005--2012年考研真题
青岛科技大学考研历年真题之考研历年真题之高等代数2005--2012年考研真题青岛科技大学2005年研究生入学考试试卷考试科目：高等代数（试卷A ）一（25分）.设2V 是数域F 上的2维线性空间，A 是2V 上的线性变换，12,εε是2V 的一组基，()()121221,,10A εεεε??= ?-??，并设()12,ηη=()12,εε1112-?? ?-??，求：线性变换KA 在基()12,ηη下的表示矩阵。
二（25分）.设λ是非零实数，已知n 阶方阵A 满足20A A E λ--=，证明：A 及A E λ+都可逆，并求它们的逆。
三（25分）.设n ()1n >阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，证明：①当0A =时*0A = ②当0A ≠时1*n A A -=四（25分）.设1234,,,εεεε是线性空间4V 的一组基，线性变换A 在这组基下的表示矩阵为1021121312552212A ?? ?- ?= ? ? ?--??,求A 的值域与核。
五（30分）.设1234,,,A A A A 皆为n 阶方阵①若13,A A 皆可逆，求矩阵1230A A A A ??=的逆矩阵。
②若4A 可逆，且矩阵1324A A B A A ??= 可逆，试证()111342A A A A ---存在，并求B 的逆。
六（20分）.设12,,,n ααα是n 维线性空间n V 的一组基，A 是n s ?矩阵，并且()()1212,,,,,,s n A βββααα=，求证()12dim ,,,s Span rank A βββ=。
其中: ()12,,,s Span βββ表示向量组()12,,,s βββ生成的子空间，rank A 是A 的秩。
青岛科技大学2006年研究生入学考试试卷（A 卷）考试科目：高等代数（答案全部写在答题纸上）。