云南师大附中2020届高三理科数学适应性月考卷(五)附答案解析
2020届云南省昆明市云南师范大学附属中学高三适应性月考卷(五) 数学(理)试题(解析版)
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】化简得到 ，再计算 得到答案.
【详解】
故选：B
【点睛】
本题考查了复平面对应向量的运算，掌握复数和向量的对应关系是解题的关键.
4．已知数列 为等差数列， 为前 项和，若 ， ，则 （）
A． B．
故选：D
【点睛】
本题考查了函数图像的判断，根据奇偶性和特殊点可以快速得到答案是解题的关键.
7．在高中阶段，我们学习的数学教材有必修1～5，选修2系列3册，选修4系列2册，某天晚自习小明准备从上述书中随机取两册进行复习，则他今晚复习的两本均是必修教材的概率是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先求“两本均是必修教材”包含的基本事件个数，再求“从上述书中随机取两册”包含的基本事件总数，然后根据概率计算公式即可求出．
设平面ABE与平面BDE的法向量分别为 ， ，
则 ， ， ， ，
令 、 ，得 ， ，则 ．
∴ ，则 ，则 ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查线面平行的判定与线线平行的判定，考查二面角的应用，属于中档题．
20．设椭圆 ： ， ， 分别是椭圆的左、右焦点， 在椭圆 上.求证：
（1）直线 ： 是椭圆在点 处的切线；
一、单选题
1．已知集合 ， .则 （）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】先计算得到 ，再计算 得到答案.
【详解】
故选：B
【点睛】
本题考查了交集的运算，属于简单题.
2． （）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】直接利用诱导公式和辅助角公式化简得到答案.
2020届云南师大附中高考适应性月考数学(理)试题Word版含答案
2020届云南师大附中高考适应性月考数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{1,}A y y x x R ==+∈，集合2{1,}B y y x x R ==-+∈，则A B =（ ）A ．{(0,1)}B ．{1}C ．φD ．{0} 2. 已知复数11iz i+=-，则z =（ ） A ．2 BC ．4 D3.已知平面向量,a b 的夹角为045，(1,1)a =，1b =，则a b +=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D 4.将函数()sin(2)3f x x π=+的图象向左平移6π个单位，所得的图象所对应的函数解析式是（ ）A ．sin 2y x =B ．cos 2y x = C. 2sin(2)3y x π=+D ．sin(2)6y x π=- 5.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2813a a +=，735S =，则8a =（ ） A ．8 B ．9 C.10 D ．116.已知点(,)P x y 在不等式组20020x y x y y -≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，表示的平面区域上运动，则z x y =+的最大值是（ ）A ．4B ．3 C.2 D ．17.从某社区随机选取5名女士，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程0.6y x a =+，据此得出a 的值为（ ） A ．43.6 B ．-43.6 C.33.6 D ．-33.68.若直线20ax by +-=（0,0a b >>）始终平分圆22222x y x y +--=的周长，则112a b+的最小值为（ ） A ．3224- B ．3222- C. 3222+ D ．3224+ 9.函数()sin lg f x x x =-的零点个数是（ ） A ．2 B ．3 C.4 D ．510.已知,,,,,a b c A B C 分别是ABC ∆的三条边及相对三个角，满足::cos :cos :cos a b c A B C =，则ABC ∆的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形 C.直角三角形 D ．等腰直角三角形 11.已知正三棱锥S ABC -及其正视图如图 所示，则其外接球的半径为（ ）A ．33 B ．433 C. 536 D ．73612.定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，32()ln(1)xf x e x x =+++，且()()f x t f x +>在(1,)x ∈-+∞上恒成立，则关于x 的方程(21)f x t +=的根的个数叙述正确的是（ ） A ．有两个 B ．有一个 C.没有 D ．上述情况都有可能第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 121()x x+展开式中常数项是 ．14.执行如图所示的程序框图后，输出的结果是 ．（结果用分数表示）15.已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的右焦点为F ，过F 作x 轴的垂线，与双曲线在第一象限内的交点为M ，与双曲线的渐近线在第一象限的交点为N ，满足MN MF =，则双曲线离心率的值是 ．16.设O 是ABC ∆的三边垂直平分线的交点，H 是ABC ∆的三边中线的交点，,,a b c 分别为角,,A B C 的对应的边，已知22240b b c -+=，则AH AO •的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 满足11a =，123n n a a +=+（*n N ∈）. （1）求证：数列{3}n a +是等比数列；（2）若{}n b 满足(21)(3)n n b n a =-+，求数列{}n b 的前n 项和n S .18. 某班级体育课举行了一次“投篮比赛”活动，为了了解本次投篮比赛学生总体情况，从中抽取了甲乙两个小组样本分数的茎叶图如图所示.甲 乙（1）分别求出甲乙两个小组成绩的平均数与方差，并判断哪一个小组的成绩更稳定：（２）从甲组成绩不低于60分的同学中，任意抽取3名同学，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[60,70)的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望.19. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AC 与平面11A ADD 及平面ABCD 所成角分别为030，045，,M N 分别为1AC 与1A D 的中点，且1MN =. （1）求证：MN ⊥平面11A ADD ；（2）求二面角1A AC D --的平面角的正弦值.20. 已知椭圆:C 22221x y a b+=（0,0a b >>）的两个顶点分别为(,0)A a -，(,0)B a ，点P 为椭圆上异于,A B 的点，设直线PA 的斜率为1k ，直线PB 的斜率为2k ，1212k k =-. （1）求椭圆C 的离心率；（2）若1b =，设直线l 与x 轴交于点(1,0)D -，与椭圆交于,M N 两点，求OMN ∆的面积的最大值.21. 设函数2()ln f x x x b x =++（1）若函数()f x 在1[,)2+∞上单调递增，求b 的取值范围； （2）求证：当1n ≥时，5ln ln(1)ln 24n n -+<-请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为：13x ty t =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），点(1,0)P ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点.（1）分别写出曲线C 在直角坐标系下的标准方程和直线l 在直角坐标系下的一般方程； （2）求11PA PB+的值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()12f x x x =++-.（1）请写出函数()f x 在每段区间上的解析式，并在图中的直角坐标系中作出函数()f x 的图象； （2）若不等式2122x x a a ++-≥+对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.2020届云南师大附中高考适应性月考数学（理）试题答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）11．由三视图知：三棱锥S ABC-是底面边长为的正三棱锥，设其外接球的半径为R，则有：22)4R R=-+，解得：R=，故选D．12．由题意知：32()e ln(1)xf x x x=+++在(0)+∞，上单调递增，()()f x t f x+>在(1)x∈-+∞，上恒成立，必有2t≥，则(21)f x t+=的根有2个，故选A．13．36122112121C Crrr r rrT xx--+⎛⎫==⎪⎝⎭，3602r-=，解得：4r=，代入得常数项为495．14．该程序执行的是11111111112913248102132481045S⎛⎫=+++=-+-++-=⎪⨯⨯⨯⎝⎭．15．由已知：22||||b bc bFM MNa a a==-，，由||||FM MN=知：22bc ba a=，2c b e==∴，∴．16．2211()3322b cAH AO AB AC AO⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，又22240b b c-+=，代入得：AH AO=2221421(4)3226b b bb b⎛⎫-+=-⎪⎝⎭，又22240c b b=-+>，所以02b<<，代入得AH AO的取值范围为23⎛⎫⎪⎝⎭，．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为123n n a a +=+，所以132(3)n n a a ++=+， 而11a =，故数列{3}n a +是首项为4，公比为2的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得数列{3}n a +是首项为4，公比为2的等比数列，即132n n a ++=，因此123n n a +=-． 所以1(21)2n n b n +=-，2311232(21)2n n S n +=⨯+⨯++-⨯，① 34221232(21)2n n S n +=⨯+⨯++-⨯，②①−②有231222(22)(21)2n n n S n ++-=+++--⨯，所以2(23)212n n S n +=-+．18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）5160626371748182688x +++++++==甲， 5862646669717381688x +++++++==乙，222222222(5168)(6068)(6268)(6368)(7168)(7468)(8168)(8268)8s -+-+-+-+-+-+-+-=甲103=，222222222(5868)(6268)(6468)(6668)(6968)(7168)(7368)(8168)8s -+-+-+-+-+-+-+-=乙45=，所以乙组的成绩更稳定．（Ⅱ）由题意知ξ服从参数为3，3，7的超几何分布，即(337)H ξ，，，ξ的取值可能为：0，1，2，3， 3437C 4(0)C 35P ξ===，214337C C 18(1)C 35P ξ===，124337C C 12(2)C 35P ξ===，3337C 1(3)C 35P ξ===，ξ的分布列为：ξ0 1 2 3 P43518351235135ξ的数学期望：339()77E ξ⨯==． 19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：在长方体1111ABCD A B C D -中，因为11M N A C A D ，分别为，的中点，所以MN 为1A CD △的中位线， 所以MN ∥CD ，又因为CD ⊥平面11A ADD ， 所以MN ⊥平面11A ADD ．（Ⅱ）解：在长方体1111ABCD A B C D -中，因为CD ⊥平面11A ADD ， 所以1CA D ∠为1A C 与平面11A ADD 所成的角， 即1CA D ∠=30︒，又因为1A A ⊥平面ABCD ，所以1A CA ∠为1A C 与平面ABCD 所成的角， 即145A CA ∠=︒，所以1MN =，2CD =，14A C =，1A A =AC =，如图2，分别以AB ，AD ，1AA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，∴A(0，0，0)，D(0，2，0)，1(22C ，，，1(00A ，，，C(2，2，0)，B(2，0，0)， 在正方形ABCD 中，BD ⊥AC ，∴BD 是平面1A AC 的法向量，(220)BD =-，，. 设平面1A CD 的法向量为()n x y z =，，，由(200)DC =，，，1(02DA =-，，，所以有202220x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，， ∴02x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩，，取z=1，得平面1A CD 的一个法向量为(021)n =，，. 设二面角1A A C D --的大小为α，则223|cos |3223α==.∴36sin =α．20．解：（Ⅰ）00()P x y 设，，代入椭圆的方程有：2200221x y a b +=，整理得：2222002()b y x a a =--，又10y k x a=+，20y k x a=-，所以201222012y k k x a ==--，212212b k k a =-=-联立两个方程有，22c e a =解得：．（Ⅱ）由（Ⅰ）知222a b =，又1b =，所以椭圆C 的方程为22121x y +=.设直线l 的方程为：1x my =-，代入椭圆的方程有：22(2)210m y my +--=，设1122()()M x y N x y ，，，， 1212222122m y y y y m m -+==++由韦达定理：，，121||||2OMNS OD y y =-===△所以，(1)t t =≥，则有221m t =-，代入上式有1OMNS t ==△，当且仅当1t =，即0m =时等号成立， 所以OMN △．21．（Ⅰ）解：22()21b x x bf x x x x ++'=++=，当0b ≥时，在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上()0f x '≥恒成立，所以()f x 在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增成立， 当0b <时，由220x x b ++=，解得x =易知，()f x在0⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，12≤，解得1b -≥． 综上所述，1b -≥．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当1b =-时，()f x 在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增， 对任意1n ≥，有112n n +≥成立，所以112n f f n ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭≥，代入()f x 有23ln ln 21114n n n n n n ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭≥，整理得：2223ln 2ln (1)41n n n n n +⎛⎫-- ⎪++⎝⎭≥. 22．解：（Ⅰ）曲线C 的标准方程为：22143x y +=， 直线l0y -=．（Ⅱ）将直线l的参数方程化为标准方程：112()x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，为参数，， 代入椭圆方程得：254120t t +-=，解得12625t t ==-，，所以12114||11||||||3PA PB t t +=+=．23．解：（Ⅰ）12(1)()3(12)21(2)x x f x x x x -<-⎧⎪=-⎨⎪->⎩，≤≤，，函数的图象如图所示．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 的最小值是min ()3f x =，所以要使不等式2|1||2|2x x a a ++-+≥恒 成立，有232a a +≥，解之得[31]a ∈-，．。
2020届云南省名校高考适应性月考统一考试数学(理)试题Word版含解析
2020届云南省名校高考适应性月考统一考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2=680A x N x x ∈-+≤，集合{}=28x B x ≥，则A ∩B ＝（）A ．{3，4}B ．{2，3，4}C ．{2，3}D ．{4} 【答案】A【解析】直接计算出A 、B 两集合，就能求出答案【详解】集合{}2,3,4A =，{|B x x =≥}3，所以{}3,4A B =I .选A ．【点睛】集合的交集运算.属于简单题2．设复数z 满足()1+2i z =，则复平面内z 表示的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】由复数的四则运算求出z ，就能判别相应选项.【详解】因为(1i)2z +=，所以22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-，则复平面内表示z 的点位于第四象限.选D ． 【点睛】复数四则运算，属于简单题.3．已知正项等比数列{}n a 中，234a a a ⋅=,若331S =，则n a ＝（）A ．2•5nB ．2•-15nC ．5nD ．-15n 【答案】D【解析】考查等比数列的定义，通过234a a a ⋅=,331S =就可以求出数列通项公式.【详解】 由234·a a a =得23111·a q a q a q =，即211a a =，解得11a =.又因为3S =12331a a a ++=，即2131q q ++=，解得5q =，所以15n n a -=.选D ．考查等比数列定义，属于简单题.4．设a ＝0.60.6，b ＝log 0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a【答案】C【解析】这是三个不同类型的数字，所以和中间值0和1比较大小，从而得到,,a b c 的大小关系.【详解】解析：因为0.6000.60.61a <=<<，0.60.6log 1.5log 10b =<<，0.601.5 1.51c =>>，所以b a c <<，选C .【点睛】本题考查了指数和对数比较大小，一般同类型的数按单调性比较大小，或是和中间值0，1比较大小. 5．若平面单位向量a r ，b r ，c r 不共线且两两所成角相等，则a b c ++r r r =（）AB ．3C ．0D ．1 【答案】C【解析】首先判断向量两两所成的角为120o ，再根据a b c ++=r r r .【详解】 解析：设向量,a b r r 两两所成的角为θ ，则平面不共线向量a r ，b r ，c r 的位置关系只有一种，即两两所成的角为120o ，所以120θ=o .a b c ++===r r r 当120θ=o 时，0a b c ++=r r ，选C .【点睛】本题考查了向量数量积的运算，本题的关键是确定向量两两所成的角是120o ，意在考查向量数量积求模的基本知识.6．棱长为4的正方体的所有棱与球O 相切，则球的半径为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】考查几何体与球相切的问题，常见的有外接、内切和本题的棱相切.因为球O 与正方体的所有棱相切，所以该球的直径等于正方体的面对角线长.设球的半径为R ，则2R =R =选C .【点睛】考查几何体与球相切的问题，常见的有外接、内切和本题的棱相切.多画图找关系.7．函数()2cos f x x x =⋅在22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的图象大致是()n n A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：利用函数的奇偶性，排除选项，再取特殊值判断即可.详解：由于()()f x f x -=，故函数为偶函数,排除,A B 两个选项. 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()22cos sin f x x x x x -'=，令22cos sin 0x x x x -=，可得tan 2x x =，方程的解4x π>，即函数的极大值点4x π>，排除D.故选C ：.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．8．为计算11111123499100S =-+-++-…，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+【答案】B【解析】分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项. 详解：由11111123499100S =-+-+⋯+-得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入2i i =+，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9．下边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是（ ）A ．45B ．25C ．910D ．710【答案】A【解析】试题分析：记其中被污损的数字为x ，由题知甲的5次综合测评的平均成绩是1(80290389210)905⨯⨯+⨯+++++=，乙的5次综合测评的平均成绩是1442(8039023379)55x x +⨯⨯+⨯+++++=，令442905x +>，解得8x <，即x 的取值可以是07~，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是84105=. 【考点】茎叶图和古典概型的求法.10．古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （k ＞0，k ≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设A （﹣3，0），B （3，0），动点M 满足MA MB ｜｜｜｜＝2，则动点M 的轨迹方程为（） A ．（x ﹣5）2+y 2＝16B ．x 2+（y ﹣5）2＝9C ．（x +5）2+y 2＝16D ．x 2+（y +5）2＝9 【答案】A【解析】首先设(),M x y ，代入两点间的距离求MA 和MB ，最后整理方程.【详解】解析：设(),M x y ，由2MA MB =，得()()2222343x y x y ++=-+，可得：（x +3）2+y 2＝4（x ﹣3）2+4y 2，即x 2﹣10x +y 2+9＝0整理得()22516x y -+=，故动点M 的轨迹方程为()22516x y -+=.选A .【点睛】本题考查了轨迹方程的求解方法，其中属于直接法，一般轨迹方程的求解有1.直接法，2.代入法，3.定义法，4.参数法. 11．设函数222cos ()2()x x e f x x e ππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=+的最大值为M ，最小值为m ，则()20191M m +-的值是（） A ．1B ．2C ．22019D ．32019【答案】A【解析】将函数()f x 构造为()f x =奇函数+常数形函数.【详解】22222cos (e)sin 2e 2()1e e x x x x f x x x πππ⎛⎫-++ ⎪+⎝⎭==+++，设22sin 2e ()e x x g x x π+=+，则()g x 为奇函数，故max min ()()0g x g x +=，则2M m +=，所以2019(1)1M m +-=.选A .【点睛】一般像这种较为复杂函数求最大值与最小值和相关问题，常会考虑函数本身或者能否构建成奇偶函数相关问题.12．棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是AB ，AD ，B 1C 1的中点，那么正方体内过E ，F ，G 的截面面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】正方体截面的考查，可以通过正方体的结构画图可以完成【详解】的正六边形，其面积为26＝.选B .【点睛】通过正方体的机构特征，多画图，将三点所构成的平面去和正方体的棱判断交点位置.二、填空题13．曲线y ＝x 2+lnx 在点（1，1）处的切线方程为_____．【答案】320x y --=【解析】首先求1x =处的导数，再根据切线公式()()000y y f x x x '-=-求切线方程.【详解】 解析：12y x x'=+，在点（1，1）处的切线斜率为3，所以切线方程为320x y --=. 【点睛】本题考查了导数的几何意义求切线方程，属于简单题型.14．在公差为3的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 11成等比数列，则数列{a n }的前n 项和S n ＝_____ 【答案】232n n + 【解析】考查等差数列的定义，通过指定的三项的等量关系及公差的值求出1a ，从而能完成本题.【详解】由题意得23111·a a a =，即()()21116?30a a a +=+，解得12a =，所以31n a n =-，所以()21322n n a a n n n S ++==. 【点睛】考查利用等差数列的定义求其通项公式，进而求前n 项和.15．甲队和乙队进行乒乓球决赛，采取七局四胜制（当一队贏得四局胜利时，该队获胜，决赛结束）根据前期比赛成绩，甲队每局取胜的概率为0.8．且各局比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是_____ 【答案】10243125【解析】直接利用二项分布公式的，但是要注意实际问题4:1不能简单的二项分布.【详解】甲队以4∶1获胜时共进行了5局比赛，其中甲队在前4局中获胜3局，第5局必胜，则概率314144C 555P ⎛⎫=⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=10243125. 【点睛】本题属于易错题，高考中就出现过，4:1获胜是需要前4场3胜一负，并且第五场赢下.16．已知双曲线2222:1?(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线C 与过原点的直线相交于A 、B 两点，连接AF ，BF ．若6AF =，8BF =，3cos 5BAF ∠=，则该双曲线的离心率为 ． 【答案】5e =【解析】试题分析：6AF =，8BF =，3cos 5BAF ∠=，由余弦定理可求得10AB =，90BFA ∠=︒，将A ，B 两点分别与双曲线另一焦点连接，可以得到矩形，结合矩形性质可知，210c =，利用双曲线定义，2862a =-=，所以离心率5e =．【考点】双曲线的定义，双曲线的离心率，余弦定理．三、解答题17．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若23cos 3cos cos 0a B b B A c +-=（1）求cos B ;（2）若2,3sin 2sin AB A B ==,求△ABC 的面积．【答案】（1）1cos 3B =（2）9【解析】本题考查了三角形中正余弦定理的应用.(1)通过条件用正弦定理，将所有边的形式化成角的形式.(2)将条件中3sin 2sin A B =化成边的关系，最后选择余弦定理求另外边，最后再用面积公式.【详解】解：（1）23cos 3cos cos 3cos (cos cos )0a B b B A c B a B b A c +-=+-=，由正弦定理，有3cos (sin cos cos sin )sin 0B A B A B C +-=，即3cos sin sin 0B C C -=，所以1cos 3B =.（2）因为1cos 3B =，所以sin 3B =.又3sin 2sin A B =，所以32a b =.根据余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得43a =，2b =，所以ABC △的面积为1sin 2S ac B ==. 【点睛】 本题单一的考查了正余弦定理，属于简单题.18．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝2，P 为AB 边上一动点，PD ∥BC 交AC 于点D ，现将△PDA 沿PD 翻折至△PDA 1，E 是A 1C 的中点．（1）若P 为AB 的中点证明：DE ∥平面PBA 1．（2）若平面PDA 1⊥平面PDA ，且DE ⊥平面CBA 1，求二面角P ﹣A 1D ﹣C 的正弦值．【答案】（1）详见解析（2）3【解析】（1）通过线线平行去得到线面平行，这也是线面平行证明中十分重要的手段.（2）利用空间向量求二面角的平面角的正弦值，向量法做题，一定要细心运算.【详解】（1）证明：取1A B 的中点F ，连接EF ，PF .因为P 为AB 的中点且//PD BC ,所以PD 是△ABC 的中位线.所以PD //BC ，且PD ＝12BC . 又因为E 是1A C 的中点,且1A B 的中点为F ,所以EF 是△1A BC 的中位线,所以EF //BC ，且EF ＝12BC ,所以PD 与EF 平行且相等, 所以四边形PDEF 是平行四边形,所以//DE PF .因为PF ⊂平面1PBA ，DE ⊄平面1PBA ，所以//DE 平面1PBA .（2）解：因为DE ⊥平面1CBA ，所以1DE A C ⊥.又因为E 是1A C 的中点，所以1A D DC DA ==，即D 是AC 的中点.由//PD BC 可得，P 是AB 的中点.在ABC △中,90B =o ∠，//PD BC ，PDA V 沿PD 翻折至1PDA V ，且平面1PDA ⊥平面PDA ， 利用面面垂直的性质可得1PA ⊥平面PBCD ，以点P 为原点建立坐标系如图所示，则1(0,0,1)A ，(0,1,0)D ，(1,2,0)C -，1(0,1,1)A D =-u u u u r ，(1,1,0)CD =-u u u r . 设平面1A DC 的法向量为(,,)n x y z =r， 有10,·0,(1,1,1)0·0x y n CD n y z n A D ⎧-==⎧⎪⇒⇒=⎨⎨-==⎪⎩⎩u u u v r r u u u u v r ， 容易得到平面1A PD 的法向量(1,0,0)m =r，设二面角1P A D C --的大小为θ，有cos cos ,n m θ===r r ，所以sin 3θ=. 【点睛】证明线面平行，一般三种途径:找线线平行、找面面平行、利用空间向量，第一种方法用的较多. 利用空间向量求相关夹角或者距离问题，运算要格外注意.19．某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响. （1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；（2）请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？【答案】（1)详见解析；（2)甲获得面试通过的可能性大【解析】试题分析：（1）确定甲、乙两人正确完成面试题数的取值，求出相应的概率，即可得到分布列，并计算其数学期望；（2）确定Dξ＜Dη，即可比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大．试题解析：（1）设甲正确完成面试的题数为ξ，则ξ的取值分别为1，2，3()124236115C C P c ξ===；()214236325C C P c ξ===；()304236135C C P c ξ===；应聘者甲正确完成题数ξ的分布列为()1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=设乙正确完成面试的题数为η，则η取值分别为0，1，2，3()()3120133112160;13273327P C P C ηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()2323332112282,33327327P C P C ηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 应聘者乙正确完成题数η的分布列为：()161280123227272727E η=⨯+⨯+⨯+⨯=. （或∵23,3B η⎛⎫~ ⎪⎝⎭∴()2323E η=⨯=） （2）因为()()()()22213121222325555D ξ=-⨯+-⨯+-⨯=， ()()213D np p η=-=所以()()D D ξη<综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2道题的概率考查，甲获得面试通过的可能性大 20．已知点M （x ，y=（1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）设过点N （﹣1，0）的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，若△OAB 的面积为23（O 为坐标原点）．求直线l 的方程．【答案】（1）2212x y +=（2）10x y -+=或10x y ++=【解析】（1）根据几何意义可知，点M 满足动点M 到定点()()1,0,1,0-的距离和为2>，所以点M 满足椭圆的定义，写出轨迹方程；（2）首先分直线l 与x 轴垂直和x 轴不垂直两种情况讨论，当斜率存在时，()1y k x =+与椭圆方程联立，设交点()11,A x y ，()22,B x y ，根据条件可知1212123S y y =⨯⨯-=43=，利用根与系数的关系求k ，即得直线l 的方程. 【详解】解：（1）由已知，动点M 到点()1,0P -，()1,0Q 的距离之和为且PQ <M 的轨迹为椭圆.而a =1c =，所以1b =，所以动点M 的轨迹E 的方程为2212x y +=.（2）当直线l与x 轴垂直时，1,A ⎛-⎝⎭，B ⎛- ⎝⎭，此时AB =则112OAB S ==V ，不满足条件． 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为()1y k x =+，由()221,12y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()2222124220k x k x k +++-=， 所以2122412k x x k +=-+，21222212k x x k -=+.而121211·22OAB S ON y y y y =-=-V ， 由23OABS =V 得1243y y -=.12y y -=又所以()22222441612912k k k k +=++，则4220k k +-=，所以1k =±， 所以直线l 的方程为10x y -+=或10x y ++=． 【点睛】本题考查了定义法求曲线方程和直线与圆锥曲线的位置关系的综合问题，意在考查转化与化归和逻辑推理和计算能力的考查， 直线与椭圆相交时，时常把两个曲线方程联立，消去x 或y 建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系. 21．已知函数f （x ）＝ax ﹣cosx ，a ≠0．（1）若函数f （x ）为单调函数，求a 的取值范围； （2）若x ∈[0，2π]，求：当a ≥23π时，函数f （x ）仅有一个零点． 【答案】（1）1a ≤-或1a ≥（2）详见解析【解析】（1）首先求函数的导数，()sin f x a x '=+，当函数单调递增时()0f x '≥恒成立，当函数单调递减时，()0f x '≤恒成立；（2）根据（1）可知当1a ≥时，函数单调递增，根据零点存在性定理可知只有一个交点，当01a <<时，可得函数存在两个极值点，1233,22x x ππππ<<<<，根据单调性可判断，()111cos f x ax x =-是极大值，()222cos f x ax x =-是极小值，因为()010f =-<，()10f x >，若函数只有一个零点，只需满足()20f x >，即可求得a 的取值范围. 【详解】（1）解：由()cos f x ax x =-，可得()sin f x a x =+',x R ∈. 因为1sin 1x -≤≤，所以当1a ≥时，()sin 0f x a x '=+≥，()f x 为R 上的单调增函数； 当1a ≤-时，()sin 0f x a x '=+≤，()f x 为R 上的单调减函数. 综上，若函数()f x 为单调函数，则1a ≤-或1a ≥.（2）证明：当1a ≥时，由（1）可知()f x 为R 上的单调增函数. 又()01f =-，022a f ππ⎛⎫=>⎪⎝⎭所以函数()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭有且仅有一个零点，满足题意. 当01a <<时，令()sin 0f x a x '=+=，则sin x a =-.由于02πx ≤≤，所以1sin 1x -≤≤， 从而必有1x ，[]20,2πx ∈，使1sin x a =-，且2sin x a =-. 不妨设12x x <，且有13ππ2x <<，23π2π2x <<， 所以当()10,x x ∈时，()sin 0f x a x '=+>，()f x 为增函数； 当()12,x x x ∈时，()sin 0f x a x '=+<，()f x 为减函数； 当()2,2πx x ∈时，()sin 0f x a x '=+>，()f x 为增函数.从而函数()f x 的极大值为()111cos f x ax x =-，极小值为()222cos f x ax x =-. 因为13ππ2x <<，所以1cos 0x <，从而极大值()111cos 0f x ax x =->. 又()01f =-，要使函数()f x 仅有一个零点，则极小值()222cos 0f x ax x =->， 所以()22222cos 0f x ax x ax ax =-==>，即a >.21x <，23π2π2x <<， 所以当23πa ≥时，函数()f x 仅有一个零点. 【点睛】本题考查了利用函数的单调性和零点问题求参数的取值范围，利用导数研究函数的单调性，极值和最值，以及零点存在的问题，考查学生逻辑推理和转化的思想，本题的第二问是一个证明题，可转化为已知函数有一个零点求参数的取值范围.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为ρcosθρsinθ＝3． （1）求直线l 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点到直线l 距离的最大值． 【答案】（1）30x +-=（2）3【解析】（1）根据转化公式可知cos ,sin x y ρθρθ==，代入求得直线的直角坐标方程；（2）设曲线上的任意一点的坐标为),sin θθ，代入点到直线的距离d =，利用三角函数的范围求得d 的最大值. 【详解】解：（1）直线l的直角坐标方程为30x +-=. （2）设曲线C上点的坐标为),sin θθ，则曲线C 上的点到直线l 的距离d ==sin 14πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，d 取得最大值，所以max d = 【点睛】本题考查了直线的极坐标方程和直角坐标方程的转化，以及考查坐标变换和点到直线的距离公式，利用三角函数求函数的最值，属于简单题型.23．已知a ，b ，c ，d 为正数，且满足abcd ＝1，证明： （1）（a +b ）（b +c ）（c +d ）（d +a ）≥16； （2）22221111a b c d ab bc cd ad+++≤+++． 【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】（1）利用基本不等式，a b +≥，b c +≥，c d +≥，d a +≥四个式子相乘即可得到正确结果；（2）首先等式左边变形为1111abcd cd ad ab bc ab bc cd ad ⎛⎫+++=+++ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式证明. 【详解】证明：（1）因为a b c d ,,,为正数，所以a b +≥，b c +≥，c d +≥d a +≥（当且仅当a b c d ===时等号同时成立），所以()()()()16a b b c c d d a abcd ++++≥=. 又1abcd =，所以()()()()16a b b c c d d a ++++≥(当且仅当a =b =c =d 时等号成立). (2)因为1abcd =，所以11111111abcd cd ad ab bc ab bc cd ad ab bc cd ad ⎛⎫+++=+++=+++ ⎪⎝⎭. 又()()()()()22222222222222222a b c da b b c c d d a ab bc cd da +++=+++++++≥+++(当且仅当a b c d ===时等号成立)，所以()2222111122a b c d ab bc cd ad ⎛⎫+++≥+++⎪⎝⎭， 即22221111a b c d ab bc cd ad+++≤+++(当且仅当a =b =c =d 时等号成立). 【点睛】本题考查了不等式的证明，重点考查了基本不等式的应用，意在考查等价转化思想和逻辑推理能力.。
2020年云师大附中高三下期高考适应性月考理科数学试题及答案(解析版)
如图，在 中，
设 ，则 ，取 的中点分别为 则 分别为 和 的外接圆的圆心，连接 ，又直三棱柱 的外接球的球心为O，则O为 的中点，连接OB，则OB为三核柱外接球的半径。设半径为R，因为直三棱柱 ，所以 ，所以三棱锥 的高为2，即 ，又三棱锥 体积为2，所以 .在 中， ，
所以 ，当且仅当 时取“=”，所以球O的表面积的最小值是 ，故选B.
【点睛】
本题主要考查了双曲线的渐近线以及离心率的概念，掌握 是解题的关键，属于中档题.
4．下图的程序框图的算法思路源于我国数学名著《九章算术》中的“中国剩余定理”．若正整数N除以正整数m后得余数r，则记为 ，如： ，则执行该程序框图输出的n等于（）
A．7B．6C．5D．8
【答案】A
【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
等级
珍品
特级
优级
一级
箱数
40
30
10
20
（1）若将频率改为概率，从这100箱橙子中有放回地随机抽取4箱，求恰好抽到2箱是一级品的概率：
（2）利用样本估计总体，庄园老板提出两种购销方案供采购商参考：
方案一：不分等级卖出，价格为27元/kg;
方案二：分等级卖出，分等级的橙子价格如下：
等级
珍品
特级
优级
一级
【详解】
根据给定的程序框图，可知：
第一次执行循环体得 ， ，此时 ，不满足第一个条件；
第二次执行循环体得 ， ，此时 ，不满足第一个条件；
第三次执行循环体得 ， ，此时 且 ，既满足第一个条件又满足第二个条件，退出循环，输出7，故选A．
云南省师范大学附属中学2020届高三上学期第一次月考数学(理)答案
14．由 Sn + 1 = an+1 ，所以当 n ≥ 2 时， Sn−1 + 1 = an ，两式相减得 an+1 = 2an ，由 a1 = 1 ，所以
a2 = 1 + a1 = 2 ， 即 a2 = 2a1 ， 所 以 {an} 是 以 1 为 首 项 ， 2 为 公 比 的 等 比 数 列 ， 所 以
=
1 m
，解得
a
=
1 2e
，
故选 C．
10．以经过 A ，B 的直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，则 A(−1，0) ，
B(1，0)
，设
P( x，y )
，∵
| |
PA PB
| |
=
2 ，∴
(x + 1)2 + y2 = (x −1)2 + y2
2 ，两边平方并整理得 x2 + y2 − 6x
3
，
所以 1 = m + 3 ， 1 = m + 3 ，
k1
y1 k2
y2
因此 1 k12
+
1 k22
=
m
+
3 y1
2
+
m
+
3 y2
2
= 2m2
+
6m
1 y1
+
1 y2
+
9
1 y12
+
1 y22
= 2m2
+ 6m
y1 + y2 y1 y2
云南师范大学附属中学高三上学期适应性月考卷(五)数学答案
数学参考答案·第1页（共10页）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）题号12345678答案DCACBDDA【解析】1．复数20232i 2i z =+=-，则z 的共轭复数2i z =+在复平面内对应的点(21)，位于第一象限，故选D ．3．||2a = ∵且向量a 与b 的夹角为π3，∴向量a 在b 上的投影为||cos 1a a b 〈〉=，，又||1b = ∵，∴向量a 在b 上的投影向量为b，故选A ．4的正方体的棱切球，其半径为面对角线的一半，即：1r =，所以该球的表面积24π4πS r ==，故选C ．5．tan 67tan 68tan 67tan 68tan(6768)(1tan 67tan 68)tan 67tan 681︒︒-︒-︒=-︒+︒-︒⨯︒+︒⨯︒=-tan 67tan 68tan 67tan 681︒⨯︒+︒⨯︒=，故选B ．6．记小明步行上班为事件A ，骑共享单车上班为事件B ，乘坐地铁上班为事件C ，小明上班迟到为事件H ．则()0.2P A =，()0.3P B =，()0.5P C =，(|)1(|)0.09P H A P H A =-=，(|)1(|)0.08P H B P H B =-=，(|)1(|)0.07P H C P H C =-=，所以()()()P H P AH P BH =+()()(|)()(|)(0.20.090.3)(|)0.080.50.07P CH P A P H A P B P H B P C P H C =⨯+⨯+⨯+=++0.077=，所以某天上班他迟到的概率是0.077，故选D ．7．以AB 为直径的圆的方程为224x y +=，若直线上存在一点P ，使得0PA PB <，则点P 是在以AB 为直径的圆的内部．所以直线与圆相交.即圆心(00)，到直线3x my =-的距离2d =，所以2m <或2m >．2m <-或52m >是“22m -<<”成立的既不充分也不必要条件，故选D ．数学参考答案·第2页（共10页）8．对于双曲线，原点到右支的最短距离为a ，所以在函数1()f x x x =-上找一点P 到原点的最小值即为a ．设点0001P x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则d =，所以当2022x =时，min d a ==，所以实轴长为，故选A ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）题号9101112答案BCDABCACDAD【解析】9．对于不等式a b +≥成立的条件之一是：a b *∈N ，，所以A ：令e (0)x t =∈+∞，，12t t+≥，当1t =，即0x =时取等号，A 正确；B ：令ln (0)(0)t x =∈-∞+∞ ，，，不满足上述基本不等式的条件，B 错误；C ：令cos [10)(01]t x =∈- ，，，不满足上述基本不等式的条件，C 错误；D ：(0)(0)x y ∈-∞+∞ ，，，，不满足上述基本不等式的条件，D 错误，故选BCD ．10．对于随机事件A B C ，，，A ：若B 为事件B 的对立事件，由条件概率的性质可知：在事件A 的条件下，事件B 发生和事件B 发生的概率之和为1，所以(|)1(|))P B A P B A =-，A 正确；B ：若事件B C ，A 的条件下，B C ，发生的概率等于在事件A 的条件下，B 发生的概率与C 发生的概率之和．即(|)(|)(|)P B C A P B A P C A =+ ，B 正确；C ：()()(|)()P AB P A P A B P B ==∵，()()()P AB P A P B =∴，∴事件A B ，独立，C 正确；D ：比如投掷一枚骰子，随机事件A 为：向上的点数为奇数，则1()2P A =，随机事件B 为：向上的点数不小于4，则1()2P B =，虽然()()1P A P B +=，但事件A 与事件B 不是对立事件，D 错误，故选ABC ．11．在正三棱柱111ABC A B C -中，其侧面展开图如图1：当1AE EF FA ++取得最小值时，在侧面展开图中连接1AA ，分别为交11BB CC ，图1数学参考答案·第3页（共10页）于点E F ，，由相似可知，点E F ，分别为11BB CC ，的三等分点，A ：如图2，过点E 作1EH CC ⊥交1CC 于点H ，由勾股定理得：AE =EF =，AB BC =∵EH =，BE HF =，∴AE EF =，A 正确；B ：由A 选项知：EF BH ∥，所以EF 与平面ABC 所成的角即为BH 与平面ABC 所成的角，1CC ABC ⊥平面∵，∴HBC∠为BH 与平面ABC 所成的角．又12AA AB =∵且H 为三等分点，tan HCHBC BC∠=∴1122333CC BCBC BC ===，B 错误；C ：在正三棱柱111ABC A B C -中，1CC ABC ⊥平面，1CC AD ⊥∴.又∵AB AC BC ==且点D 为中点，∴AD BC ⊥.又∵1BC CC C = ，11AD BCC B ⊥面平∴，∴AD EF ⊥，即直线AD 与EF 所成角为90︒，C 正确；D ：11D AA F F DAA V V --=，11A ADE E DAA V V --=，取11B C 的中点1D ，连接1DD ，则11CC DD ∥，11BB DD ∥，所以点F 到平面1DAA 的距离等于点E 到平面1DAA 的距离，∴11D AA F A ADE V V --=，D 正确，故选ACD ．12．当0x ≥，0y ≥时，221x y -=；当0x ≥，0y ≤时，221x y +=；当0x ≤，0y ≥时，221x y --=（不存在）；当0x ≤，0y ≤时，221y x -=；1)()1)0)x f x x x ⎪=<⎨⎪⎪⎩≥，≤，≤，∴函数()f x 的图象如图3，()0()()0f x x g x f x x -⎧=⎨--<⎩，≥，，，∴即11)()11)x x g x x ⎧-⎪=-<<≤或≥，，函数()g x 的图象如右图4，∴由图可知：()f x 在定义域内单调递增，A 正确；()f x 关于直线y x =-对称，B 错误；()g x 的值域为(1]-∞，，C 错误；()g x 为偶函数，故其导函数为奇函数，D 正确，故选AD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13141516图2图3图4数学参考答案·第4页（共10页）答案160-π313(44)-，【解析】13．62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项是：33362C 20(8)160x x -⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭．14．假设()f x 的图象如图5所示，∵5EF =，124y y -=，∴32T=，∴2π6||T ω==，π3ω=∴，故答案是π3ω=．15．如图6，设圆柱外切长方体的底边长为x ，则高为1x -，∴圆柱的底面半径为2x ，高为1x -，∴圆柱的体积为232π(1)π244x x x V x ⎛⎫⎛⎫=⨯-=⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23π042x V x ⎛⎫'=⨯-+= ⎪⎝⎭，10x =，∴223x =，∴V 在203⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在23⎫⎡+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递减，∴当23x =，即半径为13时，圆柱的体积最大．16．因为()(1)e 1x f x x '=+=，所以00x =，所以点(00)P ，到直线yx a =+的距离为时，d ==，解得4a =或4-．当4a =-时，函数()e x f x x =图象与直线4y x =-不相交（如图7），从而函数()e x f x x =的图象上只有一点到直线4y x =-的距离为4a =时，函数()e x f x x =图象与直线4y x =+相交（如图），从而函数()e x f x x =的图象上有且仅有三个点到直线4y x =+的距离为．综上，要满足点P 到直线y x a =+的距离为(44)a ∈-，．四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）解：（1）在ABC △中，∵πA B C ++=，图5图6图7数学参考答案·第5页（共10页）∴sin()sin A B C +=，sin()sin A C B +=，sin()sin B C A +=，∴sin sin )sin b B a A c C =++，…………………………………………（2分）∴由正弦定理得：222b a c =++，即：222a c b =+-，………………………………………………………………（3分）∴由余弦定理得：2222cos 22a cb B ac +-==-……………………………（4分）∴3π4B =．…………………………………………………………………（5分）（2）由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C====得：a A =，c C =，………………………………………（7分）∴2sin sin ac A C ==………………………………………………（9分）∴ABC △的面积为11sin 1222ABC S ac B ==⨯=△．………………（10分）18．（本小题满分12分）（1）证明：当2AC =时，此三棱锥A BCD -为正四面体，如图8，取AD 的中点F ，连接CF ，BF ．在正四面体A BCD -中，CF AD ⊥，BF AD ⊥且CF BF F = ，……………………………………………………（3分）∴AD CBF ⊥平面，∴.AD BC ⊥………………（5分）（2）解：当ABD ⊥平面BDC 平面时，取BD 的中点H ，建立如图所示的空间直角坐标系，则00)A ，，(010)B ，，，(00C ，，(010)D -，，.……………………（6分）设平面ACD 的法向量111()m x y z = ，，，(0AC =，(01DC =，(01BC =-，，∴11110000m AC m DC y ⎧⎧+==⎪⎪→⎨⎨=+=⎪⎪⎩⎩，，，令1x =得：3m =- ，……………………………………………………………………（9分）∴设直线BC 与平面ACD 所成角为α，则||sin |cos |||||m BC m BC m BC α=〈〉==，155=图8数学参考答案·第6页（共10页）∴cos 5α==∴直线BC 与平面ACD 所成角的余弦值为105．………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（1）当小灯泡亮的时候，后一个元件A 一定是合格的．在质检员犯错误的情况下，对于前面的元件A ，B 分为两大类：第一类：元件A 合格，元件B 不合格，故1313343416P =⨯⨯=………………（2分）第二类：元件B 合格，元件A 不合格，故221313448P =⨯⨯=，…………………（4分）所以该质检员犯错误的概率为：12315.16816P P +=+=…………………（5分）（2）在图甲中，记小灯泡亮的概率为P ，则5323111643416P =+⨯⨯=…………………………………………………………………（7分）所以X 服从二项分布：11316X N ⎛⎫⎪⎝⎭，，则033115125(0)C 16164096P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1213115825(1)C 16164096P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21231151815(2)C 16164096P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3331151331(3)C 16164096P X ⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭．…………………………………………………………………（11分）∴X 的分布列为：…………………………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）当1n =时，12a =；…………………………………………………（2分）当2n ≥时，312232222n na a a a n ++++= ①，311223112222n n a a a a n --++++=- ②，……………………………………………（4分）0123125409682540961815409613314096数学参考答案·第7页（共10页）①−②得：12nna =，∴2n n a =，当1n =时，12a =，∴2.n n a =…………………………………………………………………（6分）（2）∵50122n nb =+∴100501005050100501112222222222nn nn n n nb b --+=+=+++++ 505050505050501222122(22)2(22)22n n n n n +=+==+++，………………………（8分）∴123991502509950111222222b b b b ++++=++++++ ①，9998972199509850150111222222b b b b b +++++=++++++ ②，又∵1995012b b +=∴①+②得：1239950992()2b b b b ++++= …………………（10分）∴1299b b b +++ =5199.2…………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）（1）解：在椭圆C 中，由题意可得：1c =，…………………（2分）又∵2ABF △的周长为，∴由椭圆的定义可知：4a =，即a =∴1b =，∴椭圆C 的标准方程为2212y x +=．………………………（5分）（2）证明：如图9，设：AB l ：1y kx =+，11()A x y ，，22()B x y ，，3(2)H x ，，联立方程：22121y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，，得：22(2)210k x kx ++-=，∴12222k x x k +=-+，12212x x k -=+．………………………………………（7分）∵点Q B H ，，三点共线，图9数学参考答案·第8页（共10页）∴223222y x x +=，即3x =∴22321)(22HPy k x x +-==11AP y k x =∴212121)(AP HPy y k k x x -+-=-2122112(2)(21)(2)y x y x x x --+=2122112(12)(21)(12)kx x kx x x x +--++=1212121212(222)(12)()()2)(1kx x x x x x k x x x x -+-++==+-，…………………………………………………………………（10分）把12222k x x k +=-+，12212x x k -=+代入得：2)(10AP HP k k k k -=+-=，∴A P H ，，三点共线.…………………………………………………（12分）22．（本小题满分12分）（1）解：当()()f x g x =时，2(0)x a x x =>，两边同时取对数得：2ln ln x a x =，即ln 2ln x a x =，∴2ln ln xa x=……………………………（2分）令2ln x y x =，则22(1ln )0x y x -'==，得：e x =，所以在(0e)，上函数单调递增，在(e )+∞，上函数单调递减，当e x =时，函数2ln x y x =取得最大值2e，函数图象如图10：……………………（4分）∴当()()f x g x =有两个根时，20ln ea <<，∴2e1e .a <<…………………………………………………………………（6分）图10数学参考答案·第9页（共10页）（2）证明：当2e a =时，22ln 2ln ln ()ln(e )2xx x xh x xx ===，2()ln h n n n n =，由不等式ln 1x x -≤，得：ln 11x x x-≤，令2x n =，得：2222ln 2ln 11n n n n n=-≤，22ln 1112n n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤；………………………（8分）当2n ≥时：222(2)(3)()ln 2ln 3ln 2323h h h n nn n+++=+++ ，由22ln 1112n n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭累加可得：222222ln 2ln 3ln 111111123223n n n ⎛⎫+++-+-++- ⎝⎭ 2221111(1)223n n ⎡⎤⎛⎫=--+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ .……………………………………………………………………………（10分）又∵211111(1)1n n n n n n n =>=-++ ，∴2221111111111111(1)(1)22322334451n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+++<---+-+++- ⎪ ⎪⎢⎥⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，即：(2)(3)()23h h h n n +++ 11113(1)2212224n n n n ⎡⎤⎛⎫<---=+- ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦，结论成立．因此，当2n ≥时，(2)(3)()13232224h h h n n n n +++<+-+ 成立．…………………………………………………………………（12分）。
2020届云南省名校高考适应性月考统一考试数学(理)试题(解析版)
【答案】D
【解析】由复数的四则运算求出 ，就能判别相应选项.
【详解】
因为 ，所以 ，则复平面内表示 的点位于第四象限.选D．
【点睛】
复数四则运算，属于简单题.
3．已知正项等比数列 中， ,若 ，则 ＝（）
A．2•5nB．2• C．5nD．
【答案】D
【解析】考查等比数列的定义，通过 , 就可以求出数列通项公式.
【详解】
由 得 ，即 ，解得 .又因为 ，即 ，解得 ，所以 .选D．
【点睛】
考查等比数列定义，属于简单题.
4．设a＝0.60.6，b＝log0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是（）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a
【答案】C
【解析】这是三个不同类型的数字，所以和中间值0和1比较大小，从而得到 的大小关系.
【答案】C
【解析】考查几何体与球相切的问题，常见的有外接、内切和本题的棱相切.
【详解】
因为球O与正方体的所有棱相切，所以该球的直径等于正方体的面对角线长.设球的半径为R，则 ， .选C.
【点睛】
考查几何体与球相切的问题，常见的有外接、内切和本题的棱相切.多画图找关系.
7．函数 在 的图象大致是
A. B.
【详解】
解析： ，在点（1，1）处的切线斜率为 ，所以切线方程为 .
【点睛】
本题考查了导数的几何意义求切线方程，属于简单题型.
14．在公差为3的等差数列{an}中，a1，a3，a11成等比数列，则数列{an}的前n项和Sn＝_____
【答案】
【解析】考查等差数列的定义，通过指定的三项的等量关系及公差的值求出 ，从而能完成本题.
云南师大附中月考(五)2024届高三数学试卷
数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.在复平面内，复数z =2+i 2023'则z 的共扼复数对应的点位于A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限2.若全集u,集合A,B及其关系用韦恩图表示如图1'则图中阴影表示为A.心(An B)B.心(A UB )C.(心A)nBD .An (心B )7T3.巳知向最a 与h 的夹角为—,|矿3=2, lbl=l, 则向最仇生b 上的投影向量为｀图1了A了01_2． B T a ． c T a 1_2． D 4.在棱长为丘的正方体中，与其各棱都相切的球的表面积是A.'TT B.61TC.41rD.21r 5.化简tan67°tan68°-tan67°-tan68°=A.8B.1C.2D .46.随着经济的不断发展，城市的交通问题越来越严重，为倡导绿色出行，某公司员工小明选择了三种出行方式已知他每天上班选择步行、骑共享单车和乘坐地铁的概率分别为0.2、0.3、0.5. 并且小明步行上班不迟到的概率为0.91, 骑共享单车上班不迟到的概率为0.92,乘坐地铁上班不迟到的概率为0.93,则某天上班小明迟到的概率是A.0.24B.0. 14C.0. 067数学．第1页（共4页）D.0.077•二一二7. 已知点A(O,2), 点B(O,-2), 若在直线x =m y-3上存在一点P ,使得“丙．而＜O "成立是"-2<m<2"的迟A.充分不必要条件C.充要条件228.把双曲线二－勹=1 (a>O, b>O)绕着其中心旋转一定的角度可以得到函数f(x)=x-—1a b X的图象，则该双曲线的实轴长为A.2五五三c.2�二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9.下列不等关系不能恒成立的是1A.e x+-�2 ex1B.ln x +—�2ln xB.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件B.4�D.4�ly XC.cos x +�2D. -+—�2COSXXyII10. 已知随机事件A,B, C, 则下列说法正确的是A.若h 为事件B 的对立事件，则P(BIA)=1-P(B IA)B.若事件B,C 互斥，则P(BUCIA)= P(B I A) +P(CIA)C.若P(A)=P(AIB)'则事件A,B 独立D.若P(A)+P(B)=1, 则事件A,B 对立11.如图2,在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AA 1=2AB , D 为棱BC 的中点，点E ,F分别在棱BB 1,ee 1上，当AE+EF+FA 1取得最小值时，则下列说法正确的是C,A .AE =EF1B.EF 与平面AB e 所成角的正切值为—3 C.直线AD 与EF 所成角为90°D.V =V D-AA 1F A 1-ADEA图212. 定义在R 上的函数y =f(x )由关系式Xlxl -Y lrl = 1确定，设函数g(x) = {寸(x ),x;,,O, ． 则下列说法正确的是寸(-x),x <O , A. f(x)在定义域内单调递增B .f (x )关于直线y=x 对称C.g(x)的值域为RD .g(x)的导函数为奇函数二二一二二数学．第2页（共4页）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）2 613.(x-�)的展开式中的常数项是．（用数字作答）14.点E(x1,Y1)利点F(x2,Y2)是函数J(x)= A sin(wx+沪(w>O)图象上相邻的最高点和最低点，当EF=5,Y1-r2==4时，则o的值为15.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA上平面ABCD,PA =AB== 1, 已知圆柱在该四棱锥的内部且圆柱的底面在该四棱锥的底面上，当圆柱的体积最大时，圆柱的底面半径为16.已知点P在函数J(x)=xe义上，若满足到直线y=x+a的距离为2丘的点P有且仅有两个，则实数a的取值范围是四、解答题（共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题满分10分）在6ABC中，角A,B, C对应的边分别为a,b, c, 已知6ABC的外接圆半径为/5,且b sin(A+C) =a sin (B+C) +(丘a+c)sin(A +B).(1)求角B;厄(2)若sin A si n C=—求6AB C的面积10,18.(本小题满分12分）如图3'在菱形ABCD中，A B=2,L DAB=60°, 将!::..B CD沿着BD翻折，形成三棱锥A-BC D.(1)当A C=2时，证明：AD上BC;(2)当平面ABD.l平面BDC时，求直线BC 与平面ACD所成角的余弦值c A厂三、I刁A图319.(本小题满分12分）某电商车间生产了一批电子元件，为了检测元件是否合格，质检员设计了如图4,甲所示的电路．于是他在一批产品中随机抽取了电子元件A,B, 安装在如图甲所示3 2的电路中，已知元件A的合格率都为—，元件B的合格率都为—.4 3(1)质检员在某次检测中，发现小灯泡亮了，他认为这三个电子元件都是合格的，求该质检员犯错误的概率；数学·第3页（共4页）一二一二电子元件A ,B接入了图乙的电路中，记该电路中小灯泡亮的个数为X, 求X的分布列(2)经反复测验，质检员把一此r-------------------------＿ 元件A ＿＿元件A -i兀件B乙厂----------------------,：元件A}亡l ： 元件B l －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－，甲图420.(本小题满分12分）al a 2 a3 a n l 已知数列1a n f 满足：—+-+—+…+-= n (n E N •) , 数列j b n f 满足丸＝2 22 23 2n a n +250·(1)求数列laJ 的通项公式；(2)求b 1+b 2+…+b 99•21.(本小题满分12分）巳知凡，凡为椭圆C 的两焦点，过点凡(0,1)作直线交椭圆C 于A ,B 两点，6AB 凡的周长为4迈．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)椭圆C 的上顶点为P,下顶点为Q,直线Q B 交y =2于点H,求证：A , P, H 三点共线22.(本小题满分12分）已知J(x)=a 无(a>O且a=/c l ,x>O), g(x)=x 2cx>0), h(x)=ln [g (x)] ln lf(X )](1)当J (x)= g (x )有两个根时，求a的取值范围；h(2) h(3) h(n ) n l 3 (2)当a =e 2时，求证：一了-+ 3 +…＋勹厂气十2n+2-4(n E N *).二一二口数学·第4页（共4页）。
云南2020年上学期师范大学附属中学高三数学理高考适应性月考试题
云南2020年上学期师范大学附属中学高三数学理高考适应性月考试题注意事项:1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}{}221,(,)1M x y x N x y y x ==+==-+， 则M N=A.{}1B. (0, 1)C. φD. {}(0,1)2.在复平面内，复数21i i-+ (i 为复数单位)对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限. D.第四象限3.若随机变量x ～N(1, 4)，P(x≤0)=0.2, 则P(0<x<2)=A.0.6B.0.4C.0.3D. 0.84.已知tan 2α=,则sin(2)2πα+= A. 35 B. 45 C. 35- D. 45- 5.电影《达.芬奇密码》中，有这样一个情节:故事女主人公的祖父雅克.索尼埃为了告诉孙女一个惊天的秘密又不被他人所知，就留下了一串奇异的数字13-3-2-21-1-1-8-5,将这串数字从小到大排列，就成为1-1-2-3-5-8-13-21, 其特点是从第3个数字起，任何一个数字都是前面两个数字的和，它来自斐波那契数列，斐波那契数列与黄金分割有紧密的联系，苹果公司的logo(如图1乙和丙)就是利用半径成斐波那契数列(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13)的圆切割而成，在图甲的矩形ABCD 中，任取一点，则该点落在阴影部分的概率是A. 731092πB. 891092π C 1621092π. D. 161092π 6.双曲线C: 22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F(3, 0)，且点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为1,则双曲线C 的离心率为A. 2B. 32 23 D. 37.如图2，在∆ABC 中, AC=3, AB=2， ∠CAB=60°, 点D 是BC 边上靠近B 的三等分点，则AD =A. 37B. 97C. 43D. 43 8.在正项等比数列{}n a 中, 11a =,前三项的和为7,若存在,m n N *∈使得14m n a a a =,则19m n +的最小值为 A. 23 B. 43 C. 83 D. 1149.如图3,某几何体的三视图均为边长为2的正方形，则该几何体的体积是A. 56B. 83C.1D. 16310.已知函数2212cos ()2cos 2x xx x e x e f x x -+-+=+， 则122019()()()202020202020f f f +++= A.2019 B.2020 C.4038 D.4040 11.设动直线x=t 与曲线x y e =以及曲线ln y x =分别交于P, Q 两点，min PQ 表示PQ 的最小值, 则下列描述正确的是A. min 2PQ =B. min 52PQ <<C. min 2PQ <<D. min 3PQ > 12.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作抛物线的弦，与抛物线交于A, B 两点，M 为AB 的中点,分别过A, B 两点作抛物线的切线l 1，l 2相交于点P.，∆PAB 又常被称作阿基米德三角形.下面关于∆PAB 的描述:①P 点必在抛物线的准线上; ②AP ⊥PB; ③设A(x 1，y 1), B(x 2, y 2),则∆PAB 的面积S 的最小值为22p ④PF ⊥AB; ⑤PM 平行于x 轴.其中正确的个数是A. 2B.3C.4D.5二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分)13.设实数x , y 满足0210210x y y x x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩,则z =x +y 的最小值为_________ 14.在9(x x+的展开式中，则x 2的系数为_____________ 15.已知P 是直线l : 260x y ++= 上一动点，过点P 作圆C: 22230x y x ++-=的两条切线，切点分别为A 、B.则四边形PACB 面积的最小值为___________。
2020届云南师范大学附属中学高三上学期高考适应性月考卷(五)理科综合试题及答案详解
9．A项,银镜反应后的试管需要清洗的物质为金属银及剩余的银氨溶液,均可溶于稀硝酸,故而先用稀硝酸清洗,再用水清洗。B项,托盘天平的精确度为0.1,无法称取5.85g的NaCl。C项,少量氨气可通过加热浓氨水制备。D项,测定草酸浓度,可以利用高锰酸钾与其发生氧化还原反应,锥形瓶中出现浅紫红色且半分钟内不褪色时,说明草酸已被完全消耗。
3．无转运蛋白参与的物质进出细胞方式有自由扩散和胞吞、胞吐。
4．破伤风芽胞杆菌是厌氧菌,在有氧的条件下繁殖受抑制；醋酸杆菌在有氧条件下可生产食醋；水果保鲜应在低氧的条件下储藏。
5．MSC的增殖过程是有丝分裂,不发生等位基因的分离；MSC分化成为多种组织细胞的根本原因是基因选择性表达；细胞凋亡是由基因决定的细胞自动结束生命的过程,相关基因会表达。
2020届云南师大附中高考适应性与考卷(五)理科数学及答案详解
理科数学参考答案·第1页（共7页）云南师大附中2020届高考适应性月考卷（五）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案B C B D C D B A B D C B 【解析】1．{11}{|13}{1}A B x x A B =-=-<<= ，，，，故选B ．2．cos152sin(1530)=︒+︒=︒+︒=原式，故选C ．3．121i 1i 1i 1111i 01i 222222z z z OP OQ OP OQ +-+⎛⎫⎛⎫======-= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，∴，，，，，故选B ． 4．24111051244410910(4)3954832a a a d a S a a d d +=+==-⎧⎧⨯⇒=⨯-+⨯=⎨⎨=+==⎩⎩，，，，故选D ． 5．常数项333361C ()20201ax a a x ⎛⎫=-=-=-⇒= ⎪⎝⎭，故选C ． 6．(0)sin 21f =<，且()()f x f x -=，函数为偶函数，故选D ．7．25210C 2C 9P ==，故选B ． 8．通过作图，观察图象可知，1a =，所以ln 22ln 2221(ln 2)(2)e 2e e e 2e e 2e 2f f -+-+=+=⨯+=+，故选A ．9．由题，ππ1()2sin 223g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，图象如图1，由图可知，||PQ 取到的最小可能为12||||PQ PQ ，，因为1||PQ =2||4PQ =，所以最小值为4，故选B ． 10．因为OA OB OC OD R ====，所以A 正确；当AC BD ⊥，A ，C 各在所在圆弧的中点，此时三棱锥的底面BCD 的面积和高均处于最大位置，此时体积为111211233⨯⨯⨯⨯=，所以B 正确；AB 与CD 显然异面，用反证法证明他们不垂直．若AB CD ⊥，过A 作BD 的垂线，垂足为E ，因为为直二面角，所以AE ⊥平面BCD ，所以AE CD ⊥，所以CD ABD ⊥平面，所以CD BD ⊥，这与CD BC ⊥矛盾，所以AB 与CD 不垂直，所以正确，故选D ．图1理科数学参考答案·第2页（共7页）11．有如下两种情况：（1）0ba >>； （2）0ab >>．图2 （1）如图2甲，可求出A ，B 的坐标分别为222222a ab a c abc AB c c a b b a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，，，，所以22112222AOB BOF AOF abc ab S SS c c ab e b a c=-=⨯-⨯=⇒=-△△△；同理可得当0a b >>时，满足条件的离心率2e =，故选C ． 12．设B D βα∠=∠=，，则在2916234cos 2524cos ABC AC ββ=+-⨯⨯=-中，△，在22536256cos 6160cos ACD AC αα=+-⨯⨯=-中，△，5cos 2cos 3αβ-=∴，ABCD ABC S S =+△ 1134sin 56sin 3(5sin 2sin )22ACD S βααβ=⨯⨯+⨯⨯=+△，令5cos 2cos M N αβ=-=， 5sin 2sin αβ+，22222920cos()92020cos()M N N N αβαβ+=-+=+⇒=-+，所以当παβ+=，即33cos cos 77αβ==-，时，N ，所以面积的最大值为故选B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 题号13 14 15 16 答案 答案不唯一，满足条件即可．例如：(2123)--，，， 34或35 26y x = 8【解析】 13．答案不唯一，满足条件即可．例如：(2123).--，，，14．(|120)1(2)0.0228P X X P X μσ>=-<+=，则成绩在120分以上的人数有15000.0228⨯34.2=，所以34或35均可．15．过抛物线的焦点且平行于y 轴的直线与抛物线交于22p p A p B p ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，所围成的面积为33222202222633323p p x x x p p ⎫⎛⎫===⨯==⇒=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭⎰，所以抛物线的方程为26y x =．理科数学参考答案·第3页（共7页）16．2222222221221log 4200log 4log 1000log 23log 10log 3320320n ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤，因为2log 10= 211210log 1lg 20.320=<<，所以22218log 320n n +⇒≤的最大值为8． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（1）40{}n n a a =，为常数列；1110{}n n n n b b b ->-=，，是首项为10，公差为10的等差数列；11120.4n n n c c c ->==，，，所以{}n c 是首项为0.4，公比为2的等比数列．………………………………………（4分）所以1100.42n n n b n c -==⨯，．……………………………………………………………（6分）（2）设投资10天三种投资方案的总收益为101010A B C ，，，由（1）知：101010101090.4(12)400101010550409.2212A B C ⨯-==⨯+⨯===-；；， 因为101010B C A >>，所以应该选择方案二．…………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（1）由表格可知2013，2014，2015，2016，2017，2018年的增长率分别如下： 826592821109213311013813326%12%20%21%4%658292110133-----=====；；；；； 15413812%138-=， 所以2013年的增长率最高，达到了26%．……………………………………………（6分）（2）由表格可计算出：7721177443516()287i i i i i t y t y t t =====-=∑∑，，， 77435167477471515450.57287b a -⨯⨯===-⨯= ，，…………………………………（8分） y 关于t 的回归直线方程为 1550.57y t =+．…………………………………………（10分） 令149.431550.572009.9615t t +>⇒>=． 所以根据回归方程可预测，我国发明专利申请量将在2021年突破200万件．………………………………………………………………………………………（12分）理科数学参考答案·第4页（共7页）19．（本小题满分12分）（1）证明：设BF 的中点为H ，AC BD O = ，连接HG ，HO ．因为G 是BE 的中点，所以12HG EF AO HG EF AO ==∥∥，， 所以四边形AGHO 是平行四边形，所以AG HO ∥，又因为HO ⊂平面BDF ，AG ⊄平面BDF ， 所以AG ∥平面BDF ．……………………………………………………………………（6分） （2）解：因为菱形ABCD 和矩形ACFE 所在平面互相垂直，所以可建立如图3的空间直角 坐标系，设OA a OB b ==，，则(00)(00)(0)(00)A a B b E a a D b -，，，，，，，，，，，，()(00)(200)BE b a a AE a BD b === ，，，，，，，，．设平面ABE 与平面BDE 的法向量分别为11112222()()n x y z n x y z == ，，，，，， 则11112112000000n BE bx ay az n BE az n AE n BD ⎧⎧=++==⎧⎪⎪⇒⎨⎨⎨===⎩⎪⎪⎩⎩ ，，，，2222020bx ay az bx ++=⎧⇒⎨=⎩，， 令12121(0)(011)x a y n a b n ==⇒=-=- ，，，，，，，……………………………………（9分）12cos n n = 〈，〉．……………………………………………………………（10分）33tan 544a ABOb =⇒=⇒∠=，……………………………………（11分） 所以32244tan tan 297116ABC ABO ⨯∠=∠==-．…………………………………………（12分） 20．（本小题满分12分）证明：（1）因为00()P x y ，在椭圆上，所以2200221x y a b+=，所以P 也在直线上．……（1分） 联立直线和椭圆方程图3理科数学参考答案·第5页（共7页）222220222222222224420000000222222221()201x y a b b x x y a b a y a y b x x a b x x b a a y x x y y b x a y a b ab ⎧⎧-+=⎪=⎪⎪⇒⇒+-+-=⎨⎨⎪⎪+=+=⎩⎪⎩，， ………………………………………………………………………………………（3分）因为P 在椭圆上，所以222222222222220000200a y b x a b a b x a b x x a b x +=⇒-+=⇒∆=⇒所以直线l 与椭圆相切，又因为l C P = ，所以直线l 是椭圆在点P 处的切线．……………………………………………………（6分） （2）设2F 关于直线l 的对称点为211()F x y '，，则22F F '，的中点在直线l 上，直线22F F '与l 垂直， 即22210120201210221x c a b b x y a y b x y x c a y +⎧-⎪=⎪⎪⎨⎪-⨯=-⎪-⎪⎩ ……………………………………………………………（8分）244242000142420022200142420022()a b x a y c b x c x a y b x a b y a x c y a y b x ⎧+-=⎪+⎪⇒⎨-⎪=⎪+⎩，， ……………………………………………………（10分） 212222200000014224222222221000000()()()()F F b y a x c b y a x c y a x c y k x c b x a y c b x a b c b x c a c x a c x c'---====+++--+- 120002000()()()PF y a x c y k a x c x c x c-===-++， 所以21F P F '，，三点共线，所以从2F 发出的光线2F P 经直线l 反射后经过1F ．…………………………………（12分）（注：此题证明方法较多，请酌情给分）21．（本小题满分12分）（1）证明：令12()ln ()2h x x h x x x '==-=， 所以()h x 在(04)，上单调递增，在(4)+∞，上单调递减，理科数学参考答案·第6页（共7页）所以()h x 的最大值为(4)ln 422(ln 21)0h =-=-<，即()0h x <，所以(0)x ∀∈+∞，，都有ln x <．……………………………………………………（4分） （2）解：()(01)x a f x a x x a =->>，，ln ln ()0ln ln x a a x f x a x x a a x a x =⇔=⇔=⇔=， 所以()f x 的零点个数等于方程ln ln x a x a =解的个数． 令2ln 1ln ln ()()()x x a g x g x g a x x a-'=⇒==， 所以()g x 在(0e)，上单调递增，在(e )+∞，上单调递减，又因为(1)0g =，且由（1）知，ln ()0x x g x x <=→+∞→当时，， 所以e a =时，()()g x g a =有且只有一个解，所以若函数e ()e ()e x f x a f x x ==-有且只有一个零点，则，此时，…………………（8分） e e 11e 1()e ()e e e(e )x x x f x x f x x x ---'=-⇒=-=-， 令e 1(e 1)()1(e 1)ln ()1x x x x x x xϕϕ---'=---=-=，则， 所以()x ϕ在(0e 1)-，上单调递减，在(e 1)-+∞，上单调递增，(1)(e)0ϕϕ==，所以(01)()0(1e)()0(e )()0x x x x x x ϕϕϕ∈>∈<∈+∞>，，；，时，；，，， 即1e 1(01)1(e 1)ln e ()0x x x x x f x --'∈->-⇔>>，，，即， 同理可得：当(1e)()0(e )()0x f x x f x ''∈<∈+∞>，时，；当，时，，所以1x =和e x =分别是函数()f x 的极大值点和极小值点．所以e a =时，()f x 的极大值为e −1，极小值为0．…………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）因为直线的倾斜角为30°，经过时间t 后，小虫爬行的距离为2t ，其所在位置为(1)t -+，所以该射线的参数方程为1(0)x t t y t ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩为参数，≥，． ………………………………………………………………………………………（5分）理科数学参考答案·第7页（共7页）（2）曲线C 1的直角坐标方程为22100x y x +-=；将射线的参数方程带入曲线C 1的方程，得24110t -+=，设t 1，t 2分别为小虫爬入和爬出的时间，则1212114t t t t =+=，，逗留时间214(min)t t -==，所以小虫在圆内逗留的时间为4min ．…………………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】 解：如图4，（1）22x y x y OD OC +-==，，CD =5分） （2）由（1）知，()2a b CD OD a b +=≥，时取等号， 所以2221224a b a b ++⎛⎫= ⎪⎝⎭， 22441112482a b a b a b +⎛⎫⇒+== ⎪⎝⎭≥≥≥当时取到等号， 所以44a b +的最小值为18．……………………………………………………………（10分） 图4。
云南省师范大学附属中学2020届高三数学上学期第二次月考试题理(扫描版)
云南省师范大学附属中学2020届高三数学上学期第二次月考试题理（扫描版）云南师大附中2020届高考适应性月考卷（二）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．2{|230}{|3A x x x x x=-->=>或1}x<-，{|lg(3)}{|3}Bx y x x x ==+=>-，AB ={|31x x -<<-或3}x >，故选C ．2．12i i(2i)i 2i 2iz -++===++，z 的虚部为1 ，故选A ． 3．依题意，双曲线的焦点在x 轴上时，设它的方程为22221(00)x y a b a b -=>>，；焦点在y 轴上时，设它的方程为22221(00)y x a b a b -=>>，，依题意可知，双曲线的一条渐近线方程为y =，则b a =或a b，所以22213b e a =+=或32，即e =，故选B ．4．由题意，根据给定的程序框图，可知第一次执行循环体得3n =，15M =，此时150(mod 5)≡，不满足第一个条件，1526M =<不满足第二条件；第二次执行循环体得5n =，20M =，此时200(mod 5)≡，不满足第一个条件，2026M =<不满足第二个条件；第三次执行循环体得7n =，27M =，此时272(mod 5)≡且2726M =>，既满足第一个条件又满足第二个条件，退出循环，故选C ．5．根据表中的数据画出散点图如图1所示，由图象可知，回归直线方程为ˆˆybx a =+的斜率0b <，又当0x =时，ˆˆ0ya =>，由表中数据得1(23456)45x =++++=，1(4.0 2.50.50.52)5y =+-+- 0.9=，所以样本中心为(40.9)，，因为回归直线ˆˆybx a =+过样本中心，所以ˆ40.9b a +=，故选D ． 6．因为E 为BD 的中点，所以1122CE CB CD =+，又12AD DC =，23CD CA =∴，12CE CB =∴12111115()23232336CA CB CA CB BA BC BA BC +⨯=+=+-=-，故选A ． 7．由实数x y ，满足约束条件0301x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩≥，≤，≥，作出可行域如图2，则22x y z -+=的图1最大值就是2t x y =-+的最大值时取得，联立01x y y -=⎧⎨=⎩，，解得(11)A ，，化目标函数2t x y =-+为2y x t =+，由图可知，当直线2y x t =+过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 有最大值为12，故选C ． 8．二项式61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的通项6621661C (1)C kk k k k kk T x x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，含2x 的项的系数为223366(1)C 2(1)C 25-+⨯-=-，故选B ．9．令sin ln ||()||x x x f x x =，则()f x 的定义域为(0)(0)-∞+∞，，，因为()f x -=()sin()ln |()|sin ln ||()|()|||x x x x x x f x x x ---==-，所以()f x 为偶函数，则选项C ，D 错误；当x =π2时，πππsin ln π222()ln 0π22f x ⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==> ⎪⎝⎭，所以选项B 错误，故选A ． 10．设直线l 与x 轴交于点N ，连接MF ，因为直线l '的倾斜角为π3，所以π3MAF ∠=，又||||AF AM =，所以AMF △为等边三角形，即π3AFM ∠=，则π3M F N ∠=，在Rt MNF △中，||MF =，所以||FN，即p =，所以抛物线的方程为2y =，故选D ．11．因为0.3log 60a =<，2log 60b =>，所以0ab <，因为66612log 0.32log 2log 1.2a b+=+⨯= 6log 61<=，即21b aab+<，又0ab <，所以2b a ab +>，又(2)(2)40b a b a a --+=->，所以22b a b a ->+，所以22b a b a ab ->+>，故选A ．12．如图3，在Rt ABC △中，设AB c =，=AC b，则BC ，取BC ，11B C 的中点分别为2O ，1O ，则2O ，1O 分别为Rt ABC △和111Rt A B C △的外接圆的圆心，连接2O 1O ，又直三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心为O ，则O 为2O 1O 的中点，连接OB ，则OB 为三棱柱外接球的半径．设半径为R ，因为直三棱柱111ABC A B C -，所以1214BB O O ==，所以三棱锥O ABC -的高为2，即22OO =，又三棱锥O ABC -体积为2，所以1122632O ABC V bc bc -=⨯⨯=⇒=．在2Rt OO B△中，图322222221()4424b cR BC OO+⎛⎫=+=+=+⎪⎝⎭⎝⎭，所以2=4πS R=球表22224π4π()16π2π16π12π16π28π4b cb c bc⎛⎫++=+++=+=⎪⎝⎭≥，当且仅当b c=时取“=”，所以球O的表面积的最小值是28π，故选B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．因为12<，所以2(1)(11)(2)24f f f=+===．14．设等比数列{}na的公比为q，43532S S S=+∵，435422S S S S-=-∴，得452a a=，54aqa= 2=，又24a=，得464264a=⨯=．15．因为()2sin cos2f x x x=-，所以()2cos2sin22cos(12sin)f x x x x x'=+=+，令()0f x'>，则cos012sin0π0xxx>⎧⎪+>⎨⎪-⎩，，≤≤或cos012sin0π0xxx<⎧⎪+<⎨⎪-⎩，，≤≤，所以π6x-<≤或5ππ62x-<<-，所以函数()f x=2sin cos2x x-，[π0]x∈-，的单调递增区间为5ππ62⎛⎫--⎪⎝⎭，和π6⎛⎥-⎤⎝⎦，．16．因为3211()32f x ax bx cx=++，所以2()f x ax bx c'=++，()2f x ax b''=+，即()2g x ax b=+.因为对任意x∈R，不等式()()f xg x'≥恒成立，所以22ax bx c ax b+++≥恒成立，即2(2)0ax b a x c b+-+-≥恒成立，所以2(2)4()0b a ac b∆=---≤且0a>，即2244b ac a-≤，所以2440ac a-≥，所以0c a>≥，所以1ca≥，令cta=，则1t≥．①当1t=时，0a c b==，，222ba c=+；②当1t>时，222222244441cb ac a aa c a c ca--++⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤≤224(1)4(1)4221(1)2(1)2(1)2(1)t tt t t tt--====+-+-+-++-，当且仅当t=1时，取得最大值为2．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（1）因为在ABD△中，1cos7ABD∠=-，所以sin ABD∠==，在CBD△中，11cos14CBD∠=，所以sin CBD∠…………………………………………………（3分）cos cos()cos cos sin sinABC ABD CBD ABD CBD ABD CBD∠=∠-∠=∠∠+∠∠11604919898982=-+==，(0π)ABC∠∈又，，π3ABC∠=∴．……………………………………………………（6分）（2）设ABC△的外接圆的半径为R，2π3πR R=⇒=则由（1）知π3ABC∠=，23AC R==∴，又92BC BA=，得9cos92BC BA ABC BC BA∠=⇒=，………………………………………………………………………（9分）2222cosAC AB BC AB BC ABC=+-∠∴222()39AB BC AB BC AB BC AB BC=+-=+-=，6AB BC+=∴，联立69AB BCAB BC+=⎧⎨=⎩，，解得3AB BC==，ABC△∴的周长为9．………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（1）设“从这100箱橙子中随机抽取一箱，抽到一级品的橙子”为事件A，则201()1005P A==．………………………………………………………………（2分）现有放回地随机抽取4箱，设抽到一级品的个数为ξ， 则145B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 所以恰好抽到2箱是一级品的概率为22241496(2)C 55625P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．……………………………………………………………………………（4分）（2）设方案二的单价为η，则单价η的期望为4312294()3630241829.41010101010E η=⨯+⨯+⨯+⨯==，…………………………………………………………………………（6分）因为()29.427E η=>，所以从采购商的角度考虑应该采用方案一．（3）用分层抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，其中珍品4箱，非珍品6箱， 则现从中抽取3箱，则珍品等级的数量X 服从超几何分布， 则X 的所有可能取值分别为0，1，2，3，36310C 1(0)C 6P X ===，2164310C C 1(1)C 2P X ===，1264310C C 3(2)C 10P X ===，34310C 1(3)C 30P X ===，………………………………………………………………………（10分）X 的分布列为11316()01236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：如图4，在ACD △中，因为M ，N 分别为棱AC ，CD 的中点，连接MN ，所以//MN AD ，又AD ⊄平面BMN ，MN ⊂平面BMN ，所以//AD 平面BMN ．……………………………………（4分） （2）解：取BD 的中点O ，连接AO ，因为AB AD =，所以AO BD ⊥，又因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面BCD BD =，AO ⊂平面ABD ， 所以AO ⊥平面BCD ，所以AO BC ⊥． 又AB BC ⊥，AOAB A =，AO AB ⊂，平面ABO ，所以BC ⊥平面ABO ，BO ⊂平面ABO ，所以BC BO ⊥． 连接ON ，所以//ON BC ，所以ON BO ⊥．如图5建系， ……………………………………………（6分） 设2AB AD BC BD ====，则AO 因为2AM MC =，所以23AM AC =，(00A ，，(010)B -，，，(210)C -，，， (100)N ，，，所以(21AC =-，，，则4233AM ⎛=- ⎝⎭，，，所以4233M ⎛- ⎝⎭，，则4133BM ⎛= ⎝⎭，，(110)BN =，，． 设BMN 平面的一个法向量为()n x y z =，，，则00BM n BN n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即410330x y x y ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，z y x ⎧=⎪⇒⎨=-⎪⎩，， 令1x =，则(11n =-，，． …………………………………………………（10分）设直线AC 与BMN 平面所成的角为θ，则sin |cos |52AC n θ====<，>， 又π02θ≤≤，所以cos θ=所以直线AC 与BMN 平面．……………………………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）图4图5解：（1）由题意得2222c ab a bc ⎧⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎪⎩，，解得a =2b =，所以椭圆C 的标准方程为221124x y +=． ……………………………………………（4分）（2）直线BE 恒过x 轴上的定点(40)，． 证明如下：因为0AE DE =， 所以AE DE ⊥， 因为直线l 过点(20)，．①当直线l 的斜率不存在时，则直线l 的方程为2x =，不妨设22A B ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，，，则6E ⎛ ⎝⎭， 此时，直线BE的方程为4)y x -， 所以直线BE 过定点(40)，； ………………………………………………………（6分）②直线l 的斜率存在且不为零时， 设直线l 的方程为2(0)x my m =+≠， 11()A x y ，，22()B x y ，，所以1(6)E y ，，直线BE ：2112(6)6y y y y x x --=--，令=0y ，得1221(6)6y x x y y --=--， 即1212166y x y x y y -+=+-，又222x my =+，所以12121(2)66y my y x y y -++=+-，即证12121(2)664y my y y y -+++=-，即证12122()0y y my y +-=，（*）…………………………………………………（9分）联立2211242x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，，消x 得22(3)480m y my ++-=，因为点(20)，在C 内，所以直线l 与C 恒有两个交点，由韦达定理得12243m y y m +=-+，12283y y m =-+， 代入（*）中得121222882()033m my y my y m m -+-=--=++， 所以直线BE 过定点(40)，，综上所述，直线BE 恒过x 轴上的定点(40)，． …………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）解：（1）当12a =时，因为()2e 2(122e 2(11x x f x x a x =+-=+-，所以()2e 2(1x f x '=+，所以0(0)2e 2(14f '=+=-又(0)1f =，所以函数()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程为1(40)y x -=--，即(410x y --+=．………………………………………………………（4分）（2）令2()()h x g x x =-，因为2()()2g x g x x +-=，所以222()()()()()()()20h x h x g x x g x x g x g x x +-=-+---=+--=， 所以()h x 为奇函数．……………………………………………………………（6分）当0x ≥时，()g ()20h x x x ''=-<， 所以()h x 在[0)+∞，上单调递减， 所以()h x 在R 上单调递减，又0x 满足不等式()1g(1)2g x x x +-+≥，即000()1g(1)2g x x x +-+≥，所以2200000()1(1)(1)2h x x h x x x ++-+-+≥， 化简得00()(1)h x h x -≥，所以001x x -≤，即012x ≤． ……………………（8分）令1()()22e 2(1222e 22x x x f x x x a x a x ϕ⎛⎫=-=+--=-- ⎪⎝⎭≤，因为0x 是函数()2y f x x =-的一个零点， 所以()x ϕ在12x ≤时有一个零点；当12x ≤时，12()2e 2e 0xx ϕ'=--=，所以()x ϕ在12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，上单调递减，又0a >，102<<，又因为2e 22e 0a ϕ⎛=--=> ⎝，所以要使()x ϕ在12x ≤时有一个零点，只需1212e 202a ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭≤，解得a ，所以实数a的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎣⎭． …………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）将曲线1C ：4cos 4sin x y ββ=⎧⎨=⎩，，β（为参数），消参得2216x y +=，经过伸缩变换12x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，，后得曲线2C ：22143x y +=，化为极坐标方程为22123sin ρθ=+，将直线l 的极坐标方程为3πsin 3ρθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭60y -+=．………………………………………………………………………（5分）（2）由题意知(0)M -在直线l 上，又直线l 的倾斜角为π3， 所以直线l的参数方程为12()x t t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，为参数，，设A B ，对应的参数分别为1t ，2t ，将直线l 的参数方程代入2216x y +=中，得240t --=．………………………………………………………………………（8分）因为M 在1C 内，所以0∆>恒成立， 由韦达定理得124t t =-， 所以12||||||4MA MB t t ==．…………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（1）由题意得22()|2||2|42222x x f x x x x x x -<-⎧⎪=++-=-<⎨⎪⎩，，，≤，，≥，………………………………………………………………………（2分）不等式()6f x <等价于三个不等式组226x x <-⎧⎨-<⎩，或2246x -<⎧⎨<⎩≤，或226x x ⎧⎨<⎩≥，，解得33x -<<，所以不等式()6f x <的解集为(33)M =-，． ……………………………………（5分）（2）由（1）可知(33)M =-，，因为a b M ∈，，所以33a -<<，33b -<<， 所以290a -<，290b -<， 所以22(9)(9)0a b -->， 所以22228199a b a b +>+，所以222218819(2)a b ab a b ab ++>++， ………………………………………（8分） 所以22(9)9()ab a b +>+， 所以|9|3||ab a b +>+， 即3|||9|a b ab +<+． ………………………………………………………（10分）。
2020届云南师大附中高三适应性月考(一)数学(理)试题(解析版)
2020届云南师大附中高三适应性月考（一）数学（理）试题一、单选题1．阿波罗尼斯（约公元前262190-年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A 、B 间的距离为2，动点P 满足PA PB=22PA PB +的最小值为（ ）A ．36-B ．48-C ．D ．【答案】A【解析】以经过A 、B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线y 轴，建立直角坐标系，得出点A 、B 的坐标，设点(),P x y ，利用两点间的距离公式结合条件PA PB=点P 的轨迹方程，然后利用坐标法计算出22PA PB +的表达式，再利用数形结合思想可求出22PA PB +的最小值. 【详解】以经过A 、B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线y 轴，建立直角坐标系，则()1,0A -、()10B ,，设(),P x y ，PA PB=Q ，=两边平方并整理得()222261038x y x x y +-+=⇒-+=，所以P 点的轨迹是以()3,0为圆心， 则有()222222222PA PB x yOP+=++=+，如下图所示：当点P 为圆与x 轴的交点（靠近原点）时，此时，OP 取最小值，且3OP =-，因此，(22223236PA PB +≥⨯-+=- A.【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查坐标法的应用，解题的关键就是利用数形结合思想，将代数式转化为距离求解，考查数形结合思想的应用以及运算求解能力，属于中等题.2．函数()g x 的图象如图所示，则方程3(())0g g x =的实数根个数为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C【解析】令3t x =，()u g t =，先由图象知方程()0g u =有三个根，再根据u 的值确定t 个数，最后根据t 的值与个数确定结果. 【详解】令3t x =，()u g t =，则由3(())0g g x =，有()0g u =，由图象知有三个根1(3,0)u ∈-，20u =，3(0,3)u ∈，分别令1()u g t =，2()u g t =，3()u g t =，由图象知有9个不同的t 符合方程，而3t x =为单调递增函数，所以相应x 的根的个数为9个，故选C. 【点睛】本题主要考查方程的根与函数图象的关系以及数形结合思想的应用，合理换元，逐层分析方程的根的情况是解决本题的关键.3．四边形ABDC 是菱形，60BAC ∠=，AB =BC 翻折后，二面角A BC D --的余弦值为13-，则三棱锥D ABC -的外接球的体积为（ ）ABCD ．【答案】B【解析】取BC 的中点为M ，设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ，在平面BCD 内的射影为2O ，利用二面角的定义得出1cos 3AMD ∠=-，并设2AMD θ∠=，计算出tan θ的值，可得出2OO 的长度和2DO 的长度，然后利用勾股定理得出三棱锥D ABC -外接球的半径R ，最后利用球体体积公式可计算出结果.【详解】如下图所示，取BC 的中点为M ，设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ，在平面BCD内的射影为2O ，则二面角A BC D --的平面角为AMD ∠，AB =所以32DM =，2213DO DM ==，212O M =，设2AMD θ∠=， 则21cos 22cos 13θθ=-=-，21cos 3θ∴=，则22sin 3θ=，2tan 2θ∴=，tan θ∴=22tan OO O M θ∴=⋅=球O 的半径2R ==，所求外接球的体积为243V π=⋅=⎝⎭， 故选：B. 【点睛】本题考查外接球体积的计算，同时也考查了二面角的定义，解题的关键就是要找出球心的位置，并分析几何图形的形状，借助相关定理进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.二、填空题4．边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为上底面1111D C B A 的中心，N 为下底面ABCD 内一点，且直线MN 与底面ABCD 所成线面角的正切值为2，则点N 的轨迹围成的封闭图象的面积为_____. 【答案】【解析】作出图形，设正方体底面ABCD 的中心为点O ，可得出MO ⊥平面ABCD ，由直线与平面所成角的定义得出tan 2MNO ∠=，可得出12ON =，从而可知点N 的轨迹是半径为12的圆，然后利用圆的面积公式可得出结果. 【详解】 如下图所示，由题意知，M 在底面ABCD 内的投影为底面ABCD 的中心O ，连接ON ， 则MNO ∠即为直线MN 与底面ABCD 所成的角，所以，tan 2OMMNO ON∠==， 则12ON =，所以N 的轨迹是以底面ABCD 的中心O 为圆心，以12为半径的圆， 因此，N 的轨迹围成的封闭图象的面积为2124S ππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，故答案为：4π. 【点睛】本题考查立体几何中的轨迹问题，同时也考查直线与平面所成角的定义，解题时要熟悉几种常见曲线的定义，考查空间想象能力，属于中等题.5．设12,F F 为椭圆C :2214x y +=的两个焦点。