高中数学2.1.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质练习含解析新人教A版选修1_1

第1课时 椭圆的简单几何性质[学生用书P99(单独成册)])[A 基础达标]1．曲线x 225＋y 29＝1与曲线x 225－k ＋y 29－k ＝1(k <9)的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等解析：选D.两方程都表示椭圆，由方程，可知c 2都为16，所以焦距2c 相等． 2．焦点在x 轴上，右焦点到短轴端点距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1 B ．x 24＋y 2＝1C.y 24＋x 23＝1 D ．x 2＋y 24＝1解析：选A.依题意，得a ＝2，a ＋c ＝3，故c ＝1，b ＝22－12＝3，故所求椭圆的标准方程是x 24＋y 23＝1.3．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A.12 B ．32 C.34D ．64解析：选A.依题意，△BF 1F 2是正三角形，因为在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ，|BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°，所以cos 60°＝c a ＝12，即椭圆的离心率e ＝12，故选A.4．已知焦点在x 轴上的椭圆：x 2a2＋y 2＝1，过焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且|AB |＝1，则该椭圆的离心率为( )A.32 B ．12C.154D ．33解析：选A.椭圆的焦点坐标为(±a 2－1，0)，不妨设A ⎝⎛⎭⎪⎫a 2－1，12，可得a 2－1a 2＋14＝1，解得a ＝2，椭圆的离心率为e ＝a 2－1a ＝32.故选A.5．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，若存在点P 为椭圆上一点，使得∠F 1PF 2＝60°，则椭圆离心率e 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，22 解析：选C.在△PF 1F 2中，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a ，根据余弦定理，得(2c )2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°，配方得(m ＋n )2－3mn ＝4c 2，所以3mn ＝4a 2－4c 2，所以4a 2－4c 2＝3mn ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝3a 2，即a 2≤4c 2，故e 2＝c 2a 2≥14，解得12≤e ＜1.故选C.6．若椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则实数m ＝________．解析：若焦点在x 轴上，则0<m <2，所以a 2＝2，b 2＝m ，所以c 2＝2－m . 因为e ＝12，所以c 2a 2＝14，所以2－m 2＝14，所以m ＝32.若焦点在y 轴上，则m >2，所以a 2＝m ，b 2＝2，所以c 2＝m －2. 因为e ＝12，所以c 2a 2＝14，所以m －2m ＝14，所以m ＝83.答案：32或837．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆C 的标准方程为________．解析：由题意知a ＋c ＝3，a －c ＝1，解得a ＝2，c ＝1，则b 2＝3.又焦点在x 轴上，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝18．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过P (－5，4)，则椭圆的方程为____________．解析：因为e ＝c a ＝55，所以c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15，所以5a 2－5b 2＝a 2即4a 2＝5b 2.设椭圆的标准方程为x 2a 2＋5y 24a 2＝1(a >0)，因为椭圆过点P (－5，4)，所以25a 2＋5×164a2＝1.解得a 2＝45.所以椭圆方程为x 245＋y 236＝1. 答案：x 245＋y 236＝19．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22，过点F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，求椭圆C 的标准方程．解：设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由e ＝22知c a ＝22，故c 2a 2＝12，从而a 2－b 2a 2＝12，b 2a 2＝12.由△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，得a ＝4，所以b 2＝8.故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 28＝1.10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右顶点是A (a ，0)，其上存在一点P ，使∠APO ＝90°，求椭圆离心率的取值范围．解：设P (x ，y )，由∠APO ＝90°知，点P 在以OA 为直径的圆上，圆的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22. 所以y 2＝ax －x 2.①又P 点在椭圆上，故x 2a 2＋y 2b2＝1.②把①代入②化简，得(a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0，即(x －a )[(a 2－b 2)x －ab 2]＝0，因为x ≠a ，x ≠0，所以x ＝ab 2a 2－b 2，又0<x <a ，所以0<ab 2a 2－b2<a ，即2b 2<a 2.由b 2＝a 2－c 2，得a 2<2c 2，所以e >22. 又因为0<e <1，所以22<e <1. [B 能力提升]11．(2019·郑州高二检测)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63 B ．33C.23D ．13解析：选A.以线段A 1A 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，该圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，所以|b ×0－a ×0＋2ab |b 2＋（－a ）2＝a ，即2b ＝a 2＋b 2， 所以a 2＝3b 2，因为a 2＝b 2＋c 2，所以c 2a 2＝23，所以e ＝c a ＝63.12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的三个顶点B 1(0，－b )，B 2(0，b )，A (a ，0)和焦点F (c ，0)，且B 1F ⊥AB 2，则椭圆的离心率为____________．解析：直线B 1F 的斜率为kB 1F ＝b c ，直线AB 2的斜率为k AB 2＝－b a.因为B 1F ⊥AB 2，所以k B 1F ·k AB 2＝－1，即－b 2ac ＝－1，所以a 2－c 2ac ＝1，所以a c －c a＝1，即1e－e ＝1，所以e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12或e ＝－5－12. 因为0<e <1，所以e ＝－5－12舍去．所以椭圆的离心率为5－12. 答案：5－1213．已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，两个焦点分别为A (－1，0)，B (1，0)，一个顶点为H (2，0)．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)对于x 轴上的点P (t ，0)，椭圆E 上存在点M ，使得MP ⊥MH ，求实数t 的取值范围． 解：(1)由题意可得，c ＝1，a ＝2，所以b ＝ 3.所以所求椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设M (x 0，y 0)(x 0≠±2)，则x 204＋y 203＝1.①MP →＝(t －x 0，－y 0)，MH →＝(2－x 0，－y 0)，由MP ⊥MH 可得MP →·MH →＝0， 即(t －x 0)(2－x 0)＋y 20＝0.② 由①②消去y 0，整理得t (2－x 0)＝－14x 20＋2x 0－3.因为x 0≠2，所以t ＝14x 0－32.因为－2＜x 0＜2， 所以－2＜t ＜－1，所以实数t 的取值范围为(－2，－1)．14．(选做题)如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率； (2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c . 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22. (2)由题意知A (0，b )，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)． 其中c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )． 由AF 2→＝2F 2B →⇔(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝3c 2，y ＝－b 2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－b 2.将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b 24b2＝1，即9c 24a 2＋14＝1， 解得a 2＝3c 2.①又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－3b 2＝32⇒b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.②由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2. 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.。