4机械波

u

x1 x2
X
同一质点在相邻两时刻的振动位相差
2 1 ( t 2 t1 )
t
T
2
T是波在时间上的 周期性的标志
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第4章 机械波
3.如x,t 均变化y=y(x,t)包含了不同时刻的波形 t时刻的波形方程 t t t y x y( x ) A cos[ ( t ) 0 ] u O t+t时刻的波形方程 x x x x y( x ) A cos[ ( t t ) 0 ] u t时刻,x处的某个振动状态经过t ，传播了x的距离 x ut y( x x , t t ) A cos[ ( t t ) 0 ] u x A cos[ ( t ) 0 ] u
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第4章 机械波
三、波线和波面 波场--波传播到的空间。 波线（波射线）--代表波的传播方向的射线。 波面--波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹。
波前（波阵面）--某时刻波源最初的振动状态 传到的波面。
各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直. 沿波线方向各质点的振动相位依次落后。
t0
t T / 4
t T / 2
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第4章 机械波
t 3T / 4
t T
t 5T / 4


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第4章 机械波
横波在介质中传播时，介质中产生切变，只能在固体 中传播。 纵波在介质中传播时，介质中产生容变，能在固体、 液体、气体中传播。 结论：机械波向外传播的是波源（及各质点） 的振动状态和能量。
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2 k
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第4章 机械波
二、波动方程的物理意义 x y A cos[ ( t ) 0 ] u 1、如果给定x，即x=x0
y
O
T
t
则y=y(t) 为x0处质点的振动方程 2x0 y( t ) A cos( t 0 ) 2x 0 0 x0处质点的振动初相为 2x0 为x0处质点落后于原点的位相
在同一种固体媒质中，横波波速比纵波波速小些
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第4章 机械波
在弦中传播的横波波速为:
u T

T为弦中张力，为弦的线密度
在液体和气体只能传播纵波，其波速为：
u //
B

B为介质的容变弹性模量 为密度
p RT 理想气体纵波声速: u M mol
为气体的摩尔热容比，Mmol为气体的摩尔质量，
I I 0 e 2x
I、I 0分别是x 0和x x处波的强度
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体积元内媒质质点动能为
1 x 1 2 2 2 2 dE k v dm A sin [ ( t ) 0 ]dV 2 u 2
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体积元内媒质质点的弹性势能为 1 2 2 x 2 dE p A sin [ ( t ) 0 ]dV 2 u 体积元内媒质质点的总能量为： x 2 2 2 dE dE k dE p A sin [ ( t ) 0 ]dV u 说明 1）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能 不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同 时等于零。 2）在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。
三、平面波的波动微分方程
求t 的二阶导数
x y A cos[ ( t ) 0 ] u
2y x 2 A cos[ ( t ) 0 ] 2 t u
求x的二阶导数
2y 2 x 1 2y A 2 cos[ ( t ) 0 ] 2 2 x u u u t 2
2y 1 2y 2 2 x u t 2
沿x方向传播的平面 波动微分方程
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4.3 波的能量和能流
*声强
波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振 动能量的传播。 一、波的能量和能量密度 x 有一平面简谐波 y A cos[ ( t ) 0 ] u 在x处取一体积元dV 质量为 dm dV y x A sin[ ( t ) 0 ] 质点的振动速度 v t u
u
y( x x , t t ) y( x , t )
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y( x x , t t ) y( x , t )
在时间t内整个波形沿波的 传播方向平移了一段距离x 行波
y
O
u
t
t t
x x
x
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V
V
B称为容变弹性模量
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六、描述波动的几个物理量 1、波速 u 振动状态（即位相）在单位时间内传播 的距离称为波速 ，也称之相速。 在固体媒质中横波波速为 u 在固体媒质中纵波波速为 u //
G

E

G、 E为媒质的切变弹性模量和杨氏弹性模量 为介质的密度
T为热力学温度， R为气体的普适常数， 为气体的密度
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2、波的周期和频率 波的周期：一个完整波形通过介质中某固定点所需 的时间，用T表示。 波的频率：单位时间内通过介质中某固定点完整波 的数目，用表示。
T
3、波长
2


1

同一波线上相邻的位相差为2 的两质点的距离。 介质决定 u
x为p点在x轴的坐标
y
O
u
x
x
p
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x O点振动状态传到p点需用 t u t 时刻p处质点的振动状态重复
y
u
x O t 时刻O处质点的振动状态 u x p点的振动方程： y A cos ( t ) u 沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程
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机械振动在介质中的传播称为机械波。 声波、水波 波动是一切微观粒子的属性，
与微观粒子对应的波称为物质波。 各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性， 有类似的波动方程。
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4.1 机械波的形成和传播
在一个周期T内通过S1和S2面的能量应该相等
I1 S1T I 2 S2T ,
1 1 2 2 2 u A1 S1T u 2 A2 S 2T 2 2
S1 S2 S
所以,平面波振幅相等。 A1 A2
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对球面波：
S1 4r12 ; S2 4r22 A1r1 A2r2
u
S
u
平均能流：在一个周期内能流的平均值。
p wuS wuS
能流密度（波的强度）： 通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能量。
p I wu S
1 2 2 I A u 2
单位：瓦 米
2
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分析平面波和球面波的振幅 例 试证明在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波 在行进方向上振幅不变，球面波的振幅与离波源的距 离成反比。 证明： 对平面波：
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2 2 2
能量密度
单位体积介质中所具有的波的能量。 dE x 2 2 2 w A sin [ ( t ) 0 ] dV u 平均能量密度 一个周期内能量密度的平均值。
1 w T
x dE A sin [ ( t ) 0 ]dV u
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F
相对面发生相对滑移
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在弹性限度范围内，应力与应变成正比 F G G称为切变弹性模量 S p p p (3) 容变
V
V
容变的应变
p p
p
p p
p
在弹性限度范围内， 压强的改变与容变应变 的大小成正比
p p
p
p B
F
l
S
l
F
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l F 称为应力或胁强 S S 在弹性限度范围内，应力与应变成正比 F l E E称为杨氏弹性模量 S l (2) 切变 d S
F
l
l
F
l
称为应变或胁变
F
S
b

F 切变的应力或胁强 S d arctan 切变的应变或胁变 b
x
x
p
沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动 x 为p点的振动落后与原点振动的时间 u x 沿x轴负向传播的 y A cos ( t ) 平面简谐波的波动方程 u
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第4章 机械波
若波源（原点）振动初位相不为零 y0 A cos( t 0 ) x y A cos[ ( t ) 0 ] u 或
t x y A cos[ 2 ( ) 0 ] T 2x y A cos[ 2 t ) 0 ] 2 y A cos[ ( ut x ) 0 ] A cos[ k ( ut x ) 0 ]
波矢，表示在2 长度内所具有的完整波的 数目。
一、机械波产生的条件 1、有作机械振动的物体，即波源 2、有连续的介质 如果波动中使介质各部分振动的回复力是弹 性力，则称为弹性波。 弹性力： 有正弹性力（压、张弹性力）和切弹 性力；液体和气体弹性介质中只有正弹性力而没有切 弹性力。