【精准解析】陕西省西安市第六十六中学2020届高三上学期期末考试数学(文)试题

2019-2020学年高三上学期期末考数学(文)试卷一､选择题1. 设全集U =R ，集合{}21xA x =>，{}15B x x =-≤≤，则()UA B ⋂=（ ）A. [)1,0-B. (]0,5C. []1,0-D. []0,5【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合A 和A 的补集，再求与B 交集可得答案. 【详解】集合{}{}210xA x x x =>=>， (){}U|0A x x =≤，所以(){}U|10A B x x ⋂=-≤≤，故选：C.【点睛】本题考查了集合的基本运算，考查了解指数不等式，属于基础题. 2. 若复数z 满足13i z i -=+（），则|z|=（ ）A. 5B.C. 2D.【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算，化简求得12z i =+，再利用模的计算公式，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，复数z 满足(1)3i z i -=+，则33124121(1)(1)(2i i i iz i i i i ++++====+--+()），所以z == B.【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数模的计算，其中解答中复数的运算法则，以及复数模的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3. 下图给出的是计算111124620++++的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是( )A i ＞10? B. i ＜10? C. i ＞11? D. i ＜11?【答案】A 【解析】经过第一次循环得到s ＝，i ＝2，此时的i 不满足判断框中的条件；经过第二次循环得到s ＝＋，i ＝3，此时的i 不满足判断框中的条件； 经过第三次循环得到s ＝＋＋，i ＝4，此时的i 不满足判断框中的条件； ……经过第十次循环得到s ＝＋＋＋…＋，i ＝11，此时的i 满足判断框中的条件，执行输出，故判断框中的条件是i ＞10？.故选A.4. 函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图，将()y f x =的图象向右平移π6个单位长得到函数y g x 的图象，则()g x 的单调增区间为（ ）A. ()ππ2π,2π63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z B. ()π5π2π,2π36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ZC. ()πππ,π63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z D. ()π5ππ,π36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】C 【解析】 【分析】根据()f x 的图象，可求出()f x 的解析式，进而根据图象平移变换规律，可得到()g x 的解析式，然后求出单调增区间即可.【详解】由()f x 的图象，可得1A =，311ππ4126T =-，即πT =，则2ππT ω==，所以2ω=， 由π16f ⎛⎫=⎪⎝⎭，可得πsin 216ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，所以ππ22π62k ϕ⨯+=+()k ∈Z ，则π2π6k ϕ=+()k ∈Z ， 又π2ϕ<，所以π6ϕ=，故()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.将()f x 的图象向右平移π6个单位长得到函数πππsin 22sin 2666y x x ⎛⎫⎛⎫=-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故函数()πsin 26g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令πππ2π22π262k x k -≤-≤+()k ∈Z ，解得()ππππ63k x k k -≤≤+∈Z ， 所以()g x 的单调增区间为()πππ,π63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . 故选：C.【点睛】本题考查三角函数的图象性质，考查三角函数图象的平移变换，考查三角函数的单调性，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.5. 如图，正方形ABCD 中，M 、N 分别是BC 、CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ-=（ ）A. 2B.45C.65D.85【答案】B 【解析】 【分析】建立直角坐标系，用坐标分别表示出AC ，BN ，AM ，由已知AC AM BN λμ=+，求解出λ和μ，再计算λμ-即可.【详解】由题意，以A 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴，建立直角坐标系，如图所示， 设正方形ABCD的边长为2，则()0,0A ，()2,0B ，()2,2C ，()21M ,，()1,2N ， 所以()2,2AC =，()1,2BN =-，()2,1AM =，()()()2,11,22,2AM BN λμλμλμλμ+=+-=-+，又AC AM BN λμ=+，所以2222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得6525λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以45λμ-=.故选：B【点睛】本题考查平面向量的线性运算，利用坐标法是解决本题的较好方法，属于基础题. 6. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有这样一道题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿．欲以爵次分之，问各得几何?”其译文是“现有从高到低依次为大夫、不更、簪褭、上造、公士的五个不同爵次的官员，共猎得五只鹿，要按爵次高低分配（即根据爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列），问各得多少鹿?”已知上造分得23只鹿，则大夫所得鹿数为（ ） A. 1只 B. 53只 C. 43只D. 2只【答案】B 【解析】 【分析】将爵次从高到低分配的猎物数设为等差数列{}n a ，可知423a =，55S =，从而求得等差数列的公差，根据等差数列通项公式可求得首项，即为所求结果. 【详解】设爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列{}n a ,则423a =又512345355S a a a a a a =++++== 31a ∴= 4313d a a ∴=-=-13523a a d ∴=-=，即大夫所得鹿数为53只 本题正确选项：B【点睛】本题考查等差数列基本量计算，涉及到等差数列性质和通项公式的应用，属于基础题.7.已知实数,x y 满足10200x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A. -4B. 52-C. -1D. -2【答案】D 【解析】作出可行域，如图所示：当直线y 22x z=-点D ()0,1时z 取到最大值，即2z =- 故选D8. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. 36πB. 8πC.9π2D.27π8【答案】B 【解析】 【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥P-ABC ，其中PA ⊥底面ABC ．由2，AB=2，可得AC ⊥CB ，进而得到BC ⊥CP ．因此该几何体的外接球的球心为PB 的中点． 【详解】由三视图可知：该几何体为三棱锥P−ABC,其中PA ⊥底面ABC. 由AC=CB=2，AB=2，∴AC ⊥CB.又PA ⊥底面ABC ，∴BC ⊥CP. 因此该几何体的外接球的球心为PB 的中点， ∴其半径22112+2=222R PB ==. ∴外接球的表面积24(2)8S ππ=⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查由三视图求面积、体积问题，考查空间想象能力，属于中档题.9. 现有6个大小相同且分别标有2，3，4，5，6，7的小球，若每次取一个后放回，连续取两次，则所取小球上的数字之积是奇数的概率是 A.14 B.12C. 23D.34【答案】A 【解析】试验的所有结果共36个基本事件；其中，数字之积是奇数的所有结果为：（3，3），（3，5），（3，7），（5，3），（5，5），（5，7），（7，3）， （7，5），（7，7），共9个基本事件． 因此，数字之积是奇数的概率为91364P ==. 故选A ．10. 已知双曲线()2222=10,0x y a b a b->>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A. 5,23⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. (]1,2 D. 51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】根据题中条件，由双曲线的定义，得到223aPF =，183a PF =，根据1212+≥PF PF F F ，即可求出结果.【详解】因为点P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得122PF PF a -=， 又124PF PF =，所以232PF a =，即223aPF =，则183a PF =， 因为双曲线中，1212+≥PF PF F F ， 即1023a c ≥，则53c a ≤，即53e ≤， 又双曲线的离心率大于1，所以513e <≤. 故选：D.【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于基础题. 11. 直线10x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP 面积的取值范围是（ ）A. 15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. []2,6C. ,22⎣⎦ D.⎡⎣【答案】A 【解析】 【分析】因为ABP 的底边AB 的长是定值，所以三角形面积的取值范围转化为点P 到直线AB 的距离，即圆上动点到直线的距离问题.【详解】令0x =得1y =-，令0y =得1x =-，所以()()1,0,0,1A B --，||AB =圆心2,0C （）到直线AB 的距离2d ==，所以P 到直线AB 距离d '满足22d ≤'≤+，即22d ≤'≤，又三角形面积122s AB d d '⋅='=，所以1522s ≤≤ ，故选A. 【点睛】圆上的动点到直线的距离问题，一般可以转化为该圆圆心到直线的距离，其范围为圆心到直线的距离加减半径，即[,]d r d r -+.12. 已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意x ∈R 满足'()()0f x f x +<，则下列结论正确的是（ ） A. 23(2)(3)e f e f > B. 23(2)(3)e f e f < C. 23(2)(3)e f e f ≥ D. 23(2)(3)e f e f ≤【答案】A 【解析】令()()x g x e f x = ，则()(()())0xg x e f x f x '+'=<，所以(2)(3),g g > 即()()2323e f e f >，选A.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()xf xg x e =，()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等二､填空题13. 设曲线()1ln y a x x =--在点()1,0处的切线方程为22y x =-，则a =______. 【答案】3 【解析】【分析】利用导数的几何意义()12f '=即可求解. 【详解】由()()1ln y f x a x x ==--， 则()1f x a x'=-， 根据题意可得()12f '=，即12a -=， 解得3a =. 故答案为：3【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 14. 在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且πsin cos 6b A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则角B =______. 【答案】π3B = 【解析】 【分析】由正弦定理及πsin cos 6b A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭可得πsin sin sin cos 6B A A B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合两角差余弦公式可得tanB =B 值.【详解】由正弦定理及πsin cos 6b A a B ⎛⎫=-⎪⎝⎭可得：πsin sin sin cos 6B A A B ⎛⎫=-⎪⎝⎭,在ABC 中，sin 0A ≠， ∴πsin cos 6B B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,即ππsin cos cos sin sin 66B B B =+∴tanB =B 为三角形内角，∴B =3π故答案为:3π. 【点睛】本题考查三角形中求角的问题，涉及到正弦定理，两角差余弦公式，考查计算能力，15. 设P 是抛物线24y x =上的一个动点，F 是焦点，若()4,2B ，则PB PF +的最小值为______. 【答案】5 【解析】 【分析】求出抛物线的准线方程，把P 到焦点F 距离转化为它到准线的距离，然后利用三点共线性质得最小值．【详解】如图，过P 作PM 与准线1x =-垂直，垂足为M ，则PF PM =， ∴PF PB PM PB +=+，易知当,,B P M 三点共线时，PM PB +最小，最小值为4(1)5--=．∴PB PF +的最小值为5．故答案为：5．【点睛】本题考查抛物线的定义，考查抛物线上的点到焦点和到定点距离之和的最小值，解题方法是利用抛物线的定义把点到焦点的距离转化为点到准线距离． 16. 给出下列四个命题：①函数()y f x =，x ∈R 的图象与直线x a =可能有两个不同的交点；②函数22log y x =与函数22log y x =是相等函数；③对于指数函数2xy =与幂函数2yx ，总存在0x ，当0x x >时，有22x x >成立；④已知1x 是方程lg 5x x +=的根，2x 是方程105x x +=的根，则125x x +=.其中正确命题的序号是__________．【解析】 【分析】由函数的定义对①②判断，由指数函数的性质对③判断，利用数形结合思想对④判断． 【详解】根据函数定义，对定义域内的任意一个x 值，只有唯一的y 值与之对应，∴函数()y f x =，x ∈R 的图象与直线x a =可能有一个或0个交点，因此①错；22log y x =中定义域是(,0)(0,)-∞+∞，函数22log y x =的定义域是(0,)+∞，定义域不相同，不是同一函数，②错；当4x >时，22x x >，因此③正确；如图，12,x x 分别是函数lg y x =、10xy =的图象与直线5y x =-的交点P 、Q 的横坐标，由于lg y x =与10xy =是互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称，而直线5y x =-与直线y x =垂直，因此,P Q 两点关于直线y x =对称，直线5y x =-与直线y x =的交点为55(,)22，∴125252x x +=⨯=．④正确． 故答案为③④．【点睛】本题考查函数的概念，考查指数函数与对数函数的图象与性质．掌握函数概念，掌握指数函数与对数函数的性质是解题基础．在解决方程的根与函数零点关系问题时，数形结合思想是重要的方法之一．三､解答题17. 为了调查某中学学生在周日上网的时间，随机对名男生和名女生进行了不记名的问卷调查,得到了如下的统计结果：表1：男、女生上网时间与频数分布表 上网时间（分钟） [30,40）[40,50） [50,60） [60,70） [70,80]男生人数 525 30 25 15女生人数1020 40 2010（Ⅰ）若该中学共有女生750人,试估计其中上网时间不少于60分钟的人数； （Ⅱ）完成下表，并回答能否有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”？ 上网时间少于60分钟上网时间不少于60分钟 合计 男生女生 合计附：公式22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中【答案】（Ⅰ）225；（Ⅱ）没有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”． 【解析】分析：（1）根据样本比例=总体比例，再计算总体人数 （2）先填表，再利用卡方公式计算详解：（Ⅰ）设估计上网时间不少于60分钟的人数x ,依据题意有30750100x =，解得：225x =， 所以估计其中上网时间不少于60分钟的人数是225人.（Ⅱ）根据题目所给数据得到如下列联表：其中()22200603040702002.198 2.7061001001307091K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯, 因此，没有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”.点睛：本题考查概率、统计学的基础内容，卡方的计算要先化简后计算． 18. 已知数列{}n a 等差数列，7210a a -=，且1a ，6a ，21a 依次成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若225n S =，求n 的值. 【答案】（1）23n a n =+；（2）10n =. 【解析】 【分析】（1）由7210a a -=求得公差d ，再由1a ，6a ，21a 依次成等比数列.可求得1a ，从而得通项公式；（2）用裂项相消法法求得和n S 后，易得n ．【详解】解：（1）设数列{}n a 为公差为d 的等差数列，7210a a -=，即510d =，即2d =，1a ，6a ，21a 依次成等比数列，可得26121a a a =，即()()21111040a a a +=+，解得15a =，则()21253n n n a +-=+=. （2）()()111111232522325n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭， 即有前n 项和为1111111257792325n S n n ⎛⎫=-+-++- ⎪++⎝⎭()1112525525n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭， 由225n S =，可得5410n n =+，解得10n =. 【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，考查裂项相消法求和，基本量法是求等差数列的基本方法，裂项相消法、错位相减法、分组（并项）求和法，倒序相加法是几种特殊类型数列的求和方法，19. 如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，侧面PAB 为等边三角形，侧棱22PC =，点E 为线段AC 的中点.（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求直线PE 与平面PAB 所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）1414【解析】 【分析】（Ⅰ）先证明PD ⊥面ABC ，即证平面PAB ⊥平面ABC . （Ⅱ）设AD 中点为F ，连结,,PF EF 项证明EPF ∠是直线PE 与平面PAB 所成的角，再求直线PE 与平面PAB 所成角的正弦值． 【详解】解：（Ⅰ）设AB 中点为D ，连结PD ，CD ∵PAB ∆为等边三角形，∴PD AB ⊥ 又AC BC =，∴CD AB ⊥ 由已知90ACB ∠=，2AC BC ==， ∴2CD =，22AB =又PAB ∆为正三角形，且PD AB ⊥，∴6PD =∵22PC =，∴222PC CD PD =+. ∴90CDP ∠= 即PD CD ⊥ ∴PD ⊥面ABC∴平面PAB ⊥平面ABC .（Ⅱ）设AD 中点为F ，连结,PF EF ∵点E 为线段AC 的中点，∴EF ∥CD 由（Ⅰ）知CD ⊥平面PAB .∴ EF ⊥平面PAB ∴EPF ∠是直线PE 与平面PAB 所成的角.由（Ⅰ）与已知得22PA PC ==∴PE AC ⊥， 又112AE AC ==，∴7PE = 又1222EF CD ==， 在Rt EPF ∆中14sin EF EPF EP ∠==∴直线PE 与平面PAB 14.【点睛】(1)本题主要考查线面垂直关系的证明，考查线面角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理计算能力.（2）直线和平面所成的角的求法方法一：（几何法）找→作（定义法）→证（定义）→指→求（解三角形），其关键是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法）•sin AB n AB nα=，其中AB 是直线l 的方向向量，n 是平面的法向量，α是直线和平面所成的角.20. 已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点()2,1P ，且离心率为32. （1）求椭圆的标准方程；（2）设O 为坐标原点，在椭圆的短轴上有两点M ，N 满足OM NO =，直线PM ，PN 分别交椭圆于A ，B 两点，试证明直线AB 过定点.【答案】（1）22182x y +=；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由离心率及P 点坐标列出关于,,a b c 的方程组解之可得椭圆方程；（2）先确定定点在y 轴上，设直线AB 的方程为y kx t =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程代入椭圆方程后可得1212,x x x x +，写出是PA 方程求得M 点坐标，同理得N 点坐标，由OM NO =得0M N y y +=可得代入1212,x x x x +得关于k 的恒等式，求出t ，得定点坐标．【详解】解：由椭圆的离心率c e a ==，得224a b =，将()2,1P 代入椭圆方程222214x y b b+=，得22111b b+=，解得22b =，则28a =， 所以椭圆的标准方程为22182x y +=.（2）证明：当M ，N 分别是短轴的端点时，显然直线AB 为y 轴，所以若直线AB 过定点，则这个定点一定在y 轴上， 当M ，N 不是短轴的端点时， 设直线AB 的方程为y kx t =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，易知12x ≠，22x ≠，联立22182x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ， 得()222148480k xktx t ++-=＋，则()2216820k t ∆=-+>，122841kt x x k +=-+，21224841t x x k -=+. 又直线PA 的方程为()111122y y x x --=--， 即()111122kx t y x x +--=--，所以点M 的坐标为()111220,2k x t x --⎛⎫⎪-⎝⎭，同理可知()221220,2k x t N x --⎛⎫⎪-⎝⎭， 由OM NO =，得()()1212122122022k x t k x t x x ----+=--，化简整理得，()()()12122424280k x x k t x x t ---+++=，则()()22248824242804141t kt k k t t k k -⎛⎫-⨯--+-+= ⎪++⎝⎭，整理得()()22420t k t t +++-=，当且仅当2t =-时，上式对任意的k 都成立， 所以直线AB 过定点()0,2-.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题，考查定点问题，解题方法是设而不求的思想方法，即设线AB 的方程为y kx t =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程代入椭圆方程后可得1212,x x x x +，把这个结果代入题中其他条件求出相应的结论． 21. 已知函数()()ln f x e x ax a R =-∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当a e =时，证明：()20xxf x e ex -+≤.【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】试题分析：（1）对a 分00a a ≤>、两种情况讨论，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（2））因为0x >，所以原不等式等价于()2x e f x e x ≤-，结合（1）可得()()max 1f x f e ==-，利用导数研究函数()()20xe g x e x x =->的单调性，可得以()()min 1g x g e ==-，所以()()f xg x ≤，即()2x e f x e x≤-，即()20xxf x e ex -+≤.试题解析：（1）()()0ef x a x x-'=>， ①若0a ≤，则()0f x '>，()f x 在()0,+∞上为増函数； ②若0a >，则当e x a <时，()0f x '>；当ex a>时，()0f x '<. 故在0,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()f x 为増函数；在,e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()f x 为减函数.（2）因为0x >，所以只需证()2xe f x e x≤-，由（1）知，当a e =时，()f x 在()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数， 所以()()max 1f x f e ==-.记()()20x e g x e x x =->，则()()21xx e g x x -'=，所以，当01x <<时，()0g x '<，()g x 为减函数；当1x >时，()0g x '>，()g x 为增函数，所以()()min 1g x g e ==-.所以当0x >时，()()f x g x ≤，即()2x e f x e x≤-，即()20xxf x e ex -+≤.22. 在直角坐标系xOy 中，(0,1)A -，(B ，以AB 为直径的圆记为圆C ，圆C 过原点O 的切线记为l ，若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程；（2）若过点(0,1)P ，且与直线l 垂直的直线'l 与圆C 交于M ，N 两点，求||MN ．【答案】（1）sin 0ρθθ++=（2）1 【解析】试题分析：（1）根据()0,1A -，()B 及以AB 为直径的圆，可得圆心C 的坐标，即可求出圆C 的直角坐标方程，再根据cos x ρθ=，sin y ρθ=，即可求出圆C 的极坐标方程；（2）由直线'l 与圆C 过原点O 的切线l 垂直，可得直线'l 的倾斜角，再由直线'l 过点()0,1P ，可得直线'l 的普通方程，即可得圆心C 到直线'l 的距离，即可求出MN ．试题解析：（1）由题意，知圆C 的直径2AB =，圆心C 的坐标为1,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，∴圆C 的直角坐标为22112x y ⎛⎛⎫++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即220x y y ++=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，得到圆C 的极坐标方程为sin 0ρθθ++=． （2）∵直线'l 与圆C 过原点O 的切线l 垂直∴直线'l 的倾斜角为6π，斜率为3， 又∵直线'l 过点()0,1P∴直线'l 的普通方程为13y x =+330y -+=，∴圆心122C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭到直线'l的距离d ==∴1MN ==． 23. 已知函数()12f x x x =--.（Ⅰ）解不等式()3f x >-；（Ⅱ）求函数()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积.【答案】（1）()4,2-（2）23【解析】【分析】试题分析：（1）先根据绝对值定义将不等式转化为三个不等式组，分别求解，最后求并集（2）先求出函数()f x 的图象与x 轴交点的横坐标（有两个），再结合图像确定三角形第三个顶点，最后根据三角形面积公式求面积. 试题解析：解：（Ⅰ）由题意可得()1,013,011,1x x f x x x x x +≤⎧⎪=-<<⎨⎪--≥⎩，因为()3f x >-，所以当0x ≤时，由13x +>-，解得4x >-，即40x -<≤；当01x <<时，由133x ->-，解得43x <，即01x <<； 当1x ≥时，13x -->-，解得2x <，即12x ≤<；故不等式()3f x >-的解集为()4,2-.（Ⅱ）如图画出函数()f x 的图象，可得函数()f x 的图象与x 轴交点的横坐标分别为11,3-，即函数()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积为1421233⨯⨯=.【详解】。