14级本科高等数学期末练习题

2015—2016学年度第一学期期末练习
一、单选题
1、函数1
1
)13ln(2--+-=x x x y 的定义域为 （ ）
A 、),(∞+-∞
B 、),1(∞+
C 、（-1,1）
D 、),1[∞+
2、极限01
lim x x e x
→-= （ ）
A 、0
B 、1
C 、e
D 、1-e
3、已知()sin xf x dx x C =+⎰， 则()f x = （ ） A 、sin x x B 、
sin x x C 、cos x x D 、cos x
x
4、函数()(1)(2)(3)1f x x x x =---+的导数方程0)(='x f 有几个实根？（ ） A 、0
B 、1
C 、2
D 、3 5、设1
()sin sin f x x x
=⋅， 则0x =是()f x 的间断点是 （ ）
A 、可去间断点
B 、跳跃间断点
C 、无穷间断点
D 、振荡间断点
6、设()|3|f x x =-，则((1))f f = （ ） A 、1
B 、2
C 、5
D 、-5
7、函数||1y x =+在点0x =处 （ ） A 、无定义 B 、可导 C 、不连续 D 、连续但不可导
8、下列函数()f x 和()g x 是相同的函数的是 （ ）
A 、()f x =1
()lg(1)2
g x x =+
B 、()(1)x f x x x =
+，1
()1g x x
=+
C 、x x f =)(，2)(x x g =
D 、()cos f x x =，()g x =9、函数)(x f 在点0x 有定义是它在该点有极限的 （ ） A 、充分条件 B 、必要条件 C 、充分条件必要条件 D 、无关条件
A 、]1,0[
B 、]1,0[-e
C 、],1[e
D 、],[1e e -
11、微分方程x e y y x 3cos 2=-''的特解*y 可设为（ ）
A 、x Ae y x 3cos 2*=
B 、)3sin 3cos (2*x B x A e y x +=
C 、)3sin 3cos (2*x B x A xe y x +=
D 、)3sin 3cos (22*x B x A e x y x +=
12、如果⎰=104
a dx x ，⎰=106
b dx x ，
c dx x =⎰4
36，则必有（ ）
A 、c b a <<
B 、c b b a <>,
C 、c b a <=
D 、c b b a ><,
13、5、设()f x 在[,]a b 上连续，且()f x =5，则=⎰dx x f a
b )(（ ）
A 、 b a -
B 、 )(5b a -
C 、)(5a b -
D 、 0
二、填空题
1、2 0
lim(1)
x
x x -→-=_________；
2
、设cos ln y x x =++dy = __________________；
3、函数sin 5 0() 0
x
x f x x k x ⎧≠⎪
=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则k =__________；
4、函数()(1)(2)(3)(4)1f x x x x x =----+的导数方程0)(='x f 有____ 个实根；
5、数列}{n x 有界是此数列收敛的__________________；
6、设,2)(0='x f 则=--=∆-∆-→→∆h h x f x f x x f x x f h x )
()(,
)
()2(000
000
lim lim
__________； 7、设)(x f 是连续函数，dx e x x x
)15cos 2(
3'+⎰=____________；))15cos 2((3'+⎰dx e x
x x =_____________； 8、设)(x f 是连续函数xdx x d 5tan 3⎰=___________； )5tan (3xdx x dx
d
⎰=___________；
9、反常积分=+⎰+∞02
11
dx x ；
10、微分方程096=+'-''y y y 的通解是__________________；
11、设被积)(x f 是连续函数则=+⎰-dx x x
x 3
36
431
sin __________________； 12、设函数dx e
x x
t ⎰=Φ3
sin 2
)(则 =Φ')(x __________________；
三、判断题
1、若0()0f x '=，则函数)(x f y =在点0x 处一定取得极值. （ ）
2、两个无穷小量的积仍是无穷小量. （ ） 3
、函数cos(ln(1))y x =+是初等函数. （ ） 4、如果函数()y f x =在点0x 处不连续，则该函数在点0x 处极限不存在. （ ） 5、常数都不是无穷小量. （ ）
6、已知ln sin1x y e x =++，则1
cos1x y e x
'=++ （ ）
7、凡分段函数都不是初等函数. （ ） 8、函数()y f x =在0x 点处可微的充要条件是函数在0x 点可导.
9、函数||y x =在点0x =处连续且可导. （ ） 10、驻点一定是极值点，极值点不一定是驻点. （ ）
11、设)2sin(3x x y -=，则)2(])2[sin(3
3'-'-='x x x x y 。

（ ）
12、dx e dx
d x ⎰523
=0 （ ） 13、微分方程096=+'-''y y y 的通解是x x
e c e
c y 3231-+= （ ）
四、求下列极限
1、1
3421
lim
++-→x x x 2、
111
lim().ln 1x x x →--
3、322234lim 44x x x x x →-+-+
4、 x
x
x x 32cos 5tan lim 0⋅→
5、n n n x 5sin
5lim ∞
→ 6、2
)3212(lim +∞
→++x n x x
7、x x x sin 0lim +→ 8、x x x )1
(lim 0+
→
9、2
6cos 2lim
x
tdt x x ⎰
→ 10、x
dt
e x
t x 2tan lim 40
⎰-→
五、求下导数或微分（1至6题每题4分，第7题6分共30分）
1、设πsin 838++=x x y ，求y '. 2
、设ln(y x = 求 dy 3、5ln 3
542--+=x
x x y 求y '. 4、x e
y x
2cos 3+=. 求22dx
y
d
5、求由参数方程sin cos 2x t y t =⎧⎨=⎩所确定的函数)(x f y = 的导数dy
dx ，22dx y d
6、 求由方程y e xy =所确定的隐函数的导数y '
7、设函数233x x y -=
（1）求函数的单调区间和极值： （2）求函数的凹凸区间和拐点。

六、求下积分和微分方程
1、dx x x
⎰1
sin 12 2、
dx x x x ]231[2-+-⎰
3、dx x x ⎰
⋅20
20
cos sin π
4、dx e x ⎰9
2
5、求微分方程dx x x y dy )(cos 2+=的通解
6、求微分方程x x y y cos tan =+' 的通解
7、求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧='==+'-''==1,026500
x x x
y y e
y y y
七、应用题
1、己知)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 可导，且)()(b f a f ==0，)0(>a 证明至少存在一点),(b a ∈ξ，使得0)()(=+'ξξξf f 。

2、证明：⎰⎰=20
20
)(sin )(cos π
π
dx x f dx x f
3、证明：),()1()1(1
1
N n m dx
x x dx x x m n n
m
∈-=-⎰⎰
4、设：平面曲线为x y 22=，
（1）求曲线x y 22=与0=x ，2=y 围成图形的面积A;
（2）求曲线x y 22=与0=x ，2=y 围成的图形分别绕x 轴y 轴旋转而成的旋转体的体积V 。

5、设：平面曲线为8
3
x y =，
（1）求曲线8
3
x y =与0=x ，2=x 围成图形的面积A;
（2）求曲线8
3
x y =与0=x ，2=x 围成的图形分别绕y x ,轴旋转而成的旋转体的体积
V 。