[套卷]黑龙江省哈三中2014届高三上学期第四次验收(期末)考试数学(文)试题(word版)

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黑龙江哈三中2024届高三第四次联考数学试题文试卷

黑龙江哈三中2024届高三第四次联考数学试题文试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若(1＋2ai)i ＝1－bi ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋bi|＝( )．A ．12B ．5C ．52D ．52． “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A ．32fB ．322fC ．1252fD ．1272f 3．函数的定义域为（）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）4．定义域为R 的偶函数()f x 满足任意x ∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-.若函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，则a 的取值范围是（）A ．20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．3⎛ ⎝⎭C ．5⎛ ⎝⎭D ．60,6⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 5．若不等式32ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．932,2ln 2ln 5⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．932,2ln 2ln 5⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．932,2ln 2ln 5⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．9,2ln 2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ 6．已知复数z 满足i z11=-，则z =（）A ．1122i +B ．1122i - C ．1122-+i D ．1122i -- 7．若实数x ，y 满足条件25024001x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数2z x y =-，则z 的最大值为( ) A ．52 B ．1 C ．2 D ．08．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的a 的值为（）A ．2-3 B ．3-2 C ．52 D ．259．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为()32222x y x y +=.给出下列四个结论：①曲线C 有四条对称轴；②曲线C 上的点到原点的最大距离为14； ③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为18； ④四叶草面积小于4π. 其中，所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②④ 10．已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，准线为l ，A 是l 上一点，B 是直线AF 与抛物线C 的一个交点，若3FA FB =，则||BF =（）A ．72B ．3C ．52D ．211．已知集合{}0,1,2,3A =，{|22}B x x =-≤≤，则A B 等于（）A ．{}012,,B ．{2,1,0,1,2}--C ．{}2,1,0,1,2,3--D ．{}12, 12．已知0x >，0y >，23x y +=，则23x y xy+的最小值为（） A ．322-B ．221 C 21 D 21二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

黑龙江哈三中2014届高三第二次高考模拟考试数学文试题(word版)

哈尔滨市2014年第三中学第二次高考模拟考试数学（文）试题考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第1I 卷（非选择题）两部分，满分1 50分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证弓‘码填。

与清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，小得折替、小要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题EI 要求的．）1．已知全集U=Z ，集合A={一1，0，1，2}，B={x|x 2=x}，则A C U B 为A ．{一1，2）B ．{一1，0}C ．{0，1）D ．{1，2）2．设i 为虚数单位，则复数31i z i=-在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第_象限C ．第三象限D ．第四象限3．若a=（一1，3），b=（x+1，一4），且（a+b ）//b ，则实数x 为A ．3B ．13C ．一3D ．一134．在等差数列{n a }中，12318192018,78,a a a a a a ++=++=则此数列前20项的和等于A ．160B ．180C ．200D ．2205．如果执行右面的程序框图，那么输出的S 为 A ．96 B ．768C ．1 536D ．7686．已知a ，b ，l ，表示三条不同的直线，,,αβγ表示三个不同的平面，有下列四个命题：A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④7．等比数列{}n a 中，12a =，前n 项和为S n ，且若数列{1}n a +也是等比数列，则S n 等于A ．122n +-B ．3nC ．2nD ．3n —18．一动圆过点A （0，1），圆心在抛物线214y x =上，且恒与定直线，相切，则直线l 的方程为A ．x=1B ．132x =C ．132y =- D ．1y =-9．一只蚂蚁从正方体ABCD —A 1B 2C 1D 1的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C 。

黑龙江省哈三中2014届高三上学期第四次验收(期末)考试英语

哈三中2014届高三上学期第四次验收（期末）考试英语试题第I卷（选择题，共115分）第一节（共5小题；每小题1．5分，满分7．5分）听下面5段对话，每段对话后一个小题，从题中给出的A,B,C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间回答相关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1．Where does the man ask the woman to go?A．To the library．B．To the bookshop．C．To the art school．2．What will the man do on Saturday?A．Go to college．B．Watch a movie．C．Play golf with Todd．3．What does the man show by tapping his head?A．Someone is crazy．B．He’s thinking about something．C．He understands someone’s word s．4．Where does the conversation probably take place?A．In a shop．B．In the man’s home．C．In a hotel．5．What does the man mean?A．The black box has been found．B．The cause of the air crash is still unknown．C．He is unwilling to answer the woman’s question．第二节（共15小题；每小题1．5分，满分22．5分）听下面5 段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A,B,C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

黑龙江省哈尔滨市第三中学高三数学第四次模拟考试试题文

哈尔滨三中2015年第四次模拟考试数学试卷（文史类）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷（选择题, 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 已知复数*()()n f n i n =∈N ，则集合{|()}z z f n =中元素的个数是 A ．4 B ．3 C ．2 D ．无数2. 函数()y f x =的图像关于直线1x =对称，且在[1,单调递减，(0)0f =，则(1)0f x +>的解集为 A ．(1,)+∞ B ．(1,1)-C ．(,1)-∞-D ．(,1)(1,)-∞-⋃+∞3．执行如图程序框图其输出结果是 A ．29B ．31C ．33D ．354. 已知平面,,m n αβαββ⊥⋂=⊂，则“n m ⊥”是“n α⊥”成立的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件5. 某几何体三视图如下，图中三个等腰三角形的直角边长都是2，该几何体的体积为 A ．43正视图侧视图B ．83C ．4D ．1636. 直线:8630l x y --=被圆22:20O x y x a +-+=a 的值是A ．1-B ．0C ．1D ．1 7．5.2PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如图是根据哈尔滨三中学生社团某日早6点至晚9点在南岗、群力两个校区附近的5.2PM 监测点统计的数据（单位：毫克/立方米）列出的茎叶图，南岗、群力两个校区浓度的方差较小的是A ．南岗校区 B ．群力校区C ．南岗、群力两个校区相等D ．无法确定8. 已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差d =（） A. 23-B.13- C. 13 D. 239. 三棱锥P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，2PA PB PC ===，PA PB ⊥，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为A. 48πB.12πC. D.10．若cos 2πsin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin αα+的值为 A. 12- C. 12俯视图11．双曲线C 的中心在原点，焦点在yC 与抛物线24y x =的准线交于A ，B 两点，4AB =，则双曲线C 的实轴长为A. 2 B．4 D．12. 定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，[)[)13log (1),0,2()14,2,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩，则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为A ．31a -B ．13a -C ．31a --D ．13a--哈尔滨三中2015年第四次模拟考试数学试卷（文史类）第Ⅱ卷（非选择题, 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13. 在等比数列{}n a 中，81=a ，534a a a ⋅=，则=7a ．14. 已知变量x 、y 满足条件6200x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，若目标函数2z x y =+，z 的最大值为．15．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c，若22a b -，sin C B =，则A = ．16. 向量(1,1)AB =，(1CD =-，()f x AB CD =⋅，函数()f x 的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分12分）已知函数()2cos 2cos f x x x x =+()x ∈R ．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（Ⅱ）将函数()f x 图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()g x 图像，求()g x 的对称轴方程和对称中心坐标．18.（本小题满分12分）一个袋子中装有大小形状完全相同的5个小球，球的编号分别为1，2，3，4，5 （Ⅰ）从袋子中随机取出两个小球，求取出的小球编号之和大于5的概率；（Ⅱ）先从袋子中取出一个小球，该球编号记为x ，并将球放回袋子中，然后再从袋子中取出一个小球，该球编号记为y ，求4y x >-的概率19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，面11A ABB 为矩形，1=AB ，21=AA ，D 为1AA的中点，BD 与1AB 交于点O ，⊥CO 面11A ABB ．（Ⅰ）证明：1AB BC ⊥；（Ⅱ）若OA OC =，求直线CO 与面ABC 成角的余弦值．20.（本小题满分12分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为1(F、2F ，点P 在椭圆C 上，满足127PF PF =，12tan FPF ∠=．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点(1,0)A ，试探究是否存在直线:l y kx m =+与椭圆C 交于D 、E 两点，且使得||||AD AE =？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数21()(0)2f x ax bx a =+≠，()1ln g x x =+．（Ⅰ）若1b =，且()()()F x g x f x =-存在单调递减区间，求a 的取值范围；（Ⅱ）设函数()g x 的图象1C 与函数()f x 的图象2C 交于点M 、N ，过线段MN 的中点T 作x 轴的垂线分别交1C 、2C 于点P 、Q ，是否存在点T ，使1C 在点P 处的切线与2C 在点Q 处的切线平行？如果存在，求出点T 的横坐标，如果不1B1CCBA1ADO存在，说明理由.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,AB 是圆O 的直径，C 是半径OB 的中点，D 是OB 延长线上一点，且BD OB =，直线MD 与圆O 相交于点M 、T （不与A 、B 重合），DN 与圆O 相切于点N ，连结MC ，MB ，OT ．（Ⅰ）求证：DC DO DM DT ⋅=⋅；（Ⅱ）若30DOT ∠=，求BMC ∠．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知点)sin ,cos 1(αα+P ，[]πα,0∈，点Q 在曲线C ：)4sin(210πθρ-=上.（Ⅰ）求点P 的轨迹方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）求PQ 的最小值.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知正实数a ，b 满足：2=+b a . （Ⅰ）求ba 11+的最小值m ；（Ⅱ）设函数)0(|1|||)(≠++-=t tx t x x f ，对于（Ⅰ）中求得的m ，是否存在实数x ，使得m x f =)(成立，若存在，求出x 的取值范围，若不存在，说明理由．哈尔滨三中2015年第四次模拟考试数学试卷（文史类）答案及评分标准二、填空题： 13.18 14. 10 15. 6π16.三、解答题： 17. ()2sin(2)16f x x π=++，[0,]2x π∈，72[,]666x πππ+∈ ()f x 的最大值为3--------------6分（2）()2cos 22g x x =+,对称轴为直线2k x π=,()k Z ∈对称中心为(,2)42k ππ+，()k Z ∈--------12分 18. (1)符合题意的情况有： (1,5)(2,4)(3,4)(2,5)(3,5)(4,5)135P =---------------6分 (2) 符合题意的情况有：1,3,4,5x y y =>=2,2,3,4,5x y y =>=3,5,1,2,3,4,5x y y =>=4,0,1,2,3,4,5x y y =>=21825P =---------------12分 19．（1）由B AB 1∆与DBA ∆相似，知1AB DB ⊥，又⊥CD 平面11A ABB ，∴1AB CD ⊥，∴⊥1AB 平面BDC ，∴BC AB ⊥1；---------------6分（2）3OA OC ==,3OB =1354AOB V S OC ∆=⋅⋅=分20. (1) 221341,c a b+==2a ∴=∴所求C 的方程为2214x y +=.------4分（2）假设存在直线l 满足题设，设1122(,),(,)D x y E x y ，将y kx m =+代入2214x y +=并整理得 222(14)8440k x kmx m +++-=， ----------------------------6分由222222644(14)(44)16(41)0k m k m m k ∆=-+-=--->，得2241k m +>-----------①又122814kmx x k +=-+,设,D E 中点为00(,)M x y ，22243(,)1414km m k m M k k --++ 1AM k k =-，得②2143k m k +=---------------------10分将②代入①得2221441()3k k k++> 化简得42222010(41)(51)0k k k k +->⇒+->，解得k >k < 所以存在直线l ，使得||||AD AE =，此时k 的取值范围为(,)-∞⋃+∞．-------12分 21. 解：（1）1b =时，设函数21()()()ln 1(0)2h x g x f x x ax x x =-=--+> 则211()1ax x h x ax x x+-'=--=-因为函数()h x 存在单调递减区间，所以()0h x '<有解，即210ax x +->，有0x >的解。

2014年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷(文科)

2014年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知全集U=R，集合A={x|x2-2x-3＞0}，B={x|2＜x＜4}，那么集合C U A∩B=（）A.{x|-1≤x≤4}B.{x|2＜x≤3}C.{x|2≤x＜3}D.{x|-1＜x＜4}【答案】B【解析】解：由不等式的解法，容易解得A={x|x＞3或x＜-1}，B={x|2＜x＜4}．则C U A={x|-1≤x≤3}，于是（C U A）∩B={x|2＜x≤3}，故选B．分析可得，A、B都是不等式的解集，由不等式的解法，容易解得A、B，进而可得C U A，对其求交集可得答案．本题考查集合间的交、并、补的混合运算，这类题目一般与不等式、方程联系，难度不大，注意正确求解与分析集合间的关系即可．2.复数1+i+i2+…+i10等于（）A.iB.-iC.2iD.-2i【答案】A【解析】解：因为i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1，故原式=1+i+i2+0+0=i，故选A．本题考查的知识点是复数的基本及复数代数形式的乘除运算及复数单位i的性质，由i n 呈周期性变化，易得结论．i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1（n∈Z）．3.已知a=0.20.3，b=log0.23，c=log0.24，则（）A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.b＞c＞aD.c＞b＞a【答案】A【解析】解：由于函数y=log0.2x在（0，+∞）上是减函数，故有c＜b＜0．由a=20.3＞20=1，可得a＞b＞c，故选：A．由函数y=log0.2x在（0，+∞）上是减函数，可得b，c的大小．再由a的范围推出a，b，c大小关系．本题主要考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．4.已知直线m n和平面α，则m∥n的一个必要条件是（）A.m∥α，n∥αB.m⊥α，n⊥αC.m∥α，n⊂αD.m，n与α成等角【答案】D【解析】解：A．m、n可以都和平面垂直，不必要B．m、n可以都和平面平行，不必要C．n没理由一定要在平面内，不必要D．平行所以成的角一定相等，但反之如果两直线相交成等边三角形之势则不平行，所以是必要非充分故选：Dm、n可以都和平面垂直，推断A是不必要条件；m、n可以都和平面平行，可推断B是不必要条件；n没理由一定要在平面内，可推断出C是不必要条件；最后平行所以成的角一定相等，但反之如果两直线相交成等边三角形之势则不平行，所以推断D是必要非充分本题主要考查了空间直线与直线之间的关系，必要条件，充分条件与充要条件的判断．熟练掌握判断充分条件，必要条件和充分必要条件的原理，是解题的关键．已求得关于y与x的线性回归方程为=2.1x+0.85，则m的值为（）A.1B.0.85C.0.7D.0.5【答案】D【解析】解：∵==，=，∴这组数据的样本中心点是（，），∵关于y与x的线性回归方程=2.1x+0.85，∴=2.1×+0.85，解得m=0.5，∴m的值为0.5．故选：D．求出这组数据的横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程求出m的值．本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是一个运算量比较小的题目，并且题目所用的原理不复杂，是一个好题．6.等比数列{a n}中，a1+a2+…+a n=2n-1，则a12+a22+…+a n2=（）A.（2n-1）2B.C.4n-1D.【答案】D【解析】解：∵a1+a2+…+a n=2n-1…①∴a1+a2+…+a n-1=2n-1-1，…②，①-②得a n=2n-1，∴a n2=22n-2，∴数列{a n2}是以1为首项，4为公比的等比数列，∴=，故选：D．首先根据a1+a2+…+a n=2n-1，求出a1+a2+…+a n-1=2n-1-1，两式相减即可求出数列{a n}的关系式，然后求出数列{a n2}的递推式，最后根据等比数列求和公式进行解答．本题主要考查数列求和和求数列递推式的知识点，解答本题的关键是求出数列{a n}的通项公式，本题难度一般．7.执行如图所示的程序框图．若输出S=15，则框图中①处可以填入（）A.n＞4B.n＞8C.n＞16D.n＜16【答案】B【解析】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环S n循环前/01第一圈是12第二圈是34第三圈是78第四圈是1516，因为输出：S=15．所以判断框内可填写“n＞8”，故选：B．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加变量k的平方到S并输出S，模拟程序的执行过程，分析出进行循环的条件，可得答案．根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．8.已知z=2x+y，x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则m的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：∵z=2x+y既存在最大值，又存在最小值，∴不等式表示的平面区域为一个有界区域，可得m＜1作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，1），B（m，m），C（m，2-m）设z=F（x，y）=2x+y，将直线l：z=2x+y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值；当l经过点B时，目标函数z达到最小值∴z最大值=F（1，1）=3；z最小值=F（m，m）=3m∵z的最大值是最小值的4倍，∴3=4×3m，解之得m=故选：A根据题意，可得m＜1且不等式的表示的平面区域为一个有界区域．由此作出不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，可得当x=y=1时z取得最大值3，当x=y=m时z取得最小值3m．结合题意建立关于m的方程，解之即可得到m的值．本题给出含有字母参数的二元一次不等式组，求在目标函数z=2x+y的最大值等于最小值的4倍的情况下求参数m的值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．9.已知双曲线＞，＞的右焦点为F，过F的直线l交双曲线的渐近线于A，B两点，且与其中一条渐近线垂直，若，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y=x，则另一渐近线OB的方程为y=-x，设A（m，），B（n，-），∵，∴（c-m，-）=4（n-c，-），∴c-m=4（n-c），-=-4，解之可得m=，n=，∴B（，），由FB⊥OB可得，斜率之积等于-1，即•=-1，化简可得5b2=3a2，即5（c2-a2）=3a2，解之可得5c2=8a2，即e==故选D由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y=x，则另一渐近线OB的方程为y=-x，设A（m，），B（n，-），由可得方程，解之可得m=，n=，可得B（，），由FB⊥OB可得，斜率之积等于-1，进而可得ab的关系式，结合双曲线abc的关系，可得离心率．本题考查双曲线的简单性质，涉及离心率的求解，属中档题．10.已知函数f（x）=3sin（2x-），则下列结论正确的是（）A.若f（x1）=f（x2）=0，则x1-x2=kπ（k∈Z）B.函数f（x）的图象与g（x）=3cos（2x+）的图象相同C.函数f（x）的图象关于（-，0）对称D.函数f（x）在区间[-π，π]上是增函数【答案】D【解析】解：∵f（x）=3sin（2x-），若f（x1）=f（x2）=0，则，，，，∴，．∴选项A错误；当x=0时，f（0）=3sin（-）=-，g（0）=3cos=．∴函数f（x）的图象与g（x）=3cos（2x+）的图象不同．∴选项B错误；∵f（）=3sin[2×（）-]=-3，∴函数f（x）的图象不关于（-，0）对称．∴选项C错误；当x∈[-π，π]时，2x-∈[，]，∴函数f（x）在区间[-π，π]上为增函数．故选：D．由f（x1）=f（x2）=0求解x1-x2的取值集合判断A；取x=0求对应的函数值否定B；直接代值验证否定C；由x的范围得到2x-的范围判断D．本题考查命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，训练了特值验证思想方法，是中档题．11.已知一个正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为3的正方形，则该正四面体的内切球的表面积为（）A.6πB.54πC.12πD.48π【答案】A【解析】解：∵正四面体的俯视图是如图所示的边长为3正方形ABCD，∴此四面体一定可以放在正方体中，∴我们可以在正方体中寻找此四面体．如图所示，四面体ABCD 满足题意，由题意可知，正方体的棱长为3，∴正四面体的边长为6，∴正四面体的高为2∴正四面体的内切球的半径为，∴正四面体的内切球的表面积为4πR2=6π故选：A．由正四面体的俯视图是边长为2的正方形，所以此四面体一定可以放在棱长为2的正方体中，求出正四面体的边长，可得正四面体的内切球的半径，即可求出正四面体的内切球的表面积．本题的考点是由三视图求几何体的表面积，需要由三视图判断空间几何体的结构特征，并根据三视图求出每个几何体中几何元素的长度，代入对应的表面积公式分别求解，考查了空间想象能力．12.定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2-x；记函数g（x）=f （x）-k（x-1），若函数g（x）恰有两个零点，则实数k的取值范围是（）A.[1，2）B.，C.，D.，【答案】C【解析】解：因为对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立，且当x∈（1，2]时，f （x）=2-x所以f（x）=-x+2b，x∈（b，2b]．由题意得f（x）=k（x-1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，如图所示红色的直线与线段AB相交即可（可以与B点重合但不能与A点重合）所以可得k的范围为＜故选C．根据题中的条件得到函数的解析式为：f（x）=-x+2b，x∈（b，2b]，又因为f（x）=k （x-1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，再结合函数的图象根据题意求出参数的范围即可解决此类问题的关键是熟悉求函数解析式的方法以及函数的图象与函数的性质，数形结合思想是高中数学的一个重要数学思想，是解决数学问题的必备的解题工具．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.从1，2，3，4，5，6这六个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是______ ．【答案】【解析】解：其中偶数有2，4，6；奇数有1，3，5，2数之和为偶数有两种情况，一、2数都为奇数，有=3个，二、2数都为偶数，有=3个，从6个数中任取2个有=15个，∴2个数的和为偶数的概率为=．故答案为：．利用分类计数原理计算2数之和为偶数的情况种数，再计算从6个数中任取2个数的情况种数，代入古典概型的概率公式计算．本题考查了排列、组合的应用及古典概型的概率计算，熟练掌握分类计数原理及组合数公式是解答本题的关键．14.若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足=+，则•= ______ ．【答案】【解析】解：∵等边△ABC的边长为2，∴CA=CB=2，=2×2×cos60°=2．∵=+，∴，，∴=，=．∴•==-=--=-．故答案为：-．由等边△ABC的边长为2，可得=2×2×cos60°．由=+，可得，，进而得到=，=．即可得出•=．本题考查了数量积的运算及其性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．15.已知cos（θ+）=-，θ∈（0，），则sin（2θ-）= ______ ．【答案】【解析】解：∵cos（θ+）=-，θ∈（0，），∴θ+∈（，），sin（θ+）=，∴sin2θ=-cos（2θ+）=1-2=，cos2θ=sin2（θ+）=2sin（θ+）cos（θ+）=-，sin（2θ-）=sin2θcos-cos2θsin=+=，故答案为：．由题意可得θ+∈（，），sin（θ+）=，再利用诱导公式、二倍角公式求得sin2θ=-cos（2θ+）的值、cos2θ=sin2（θ+）的值，从而求得sin（2θ-）=sin2θcos-cos2θsin的值．本题主要考查两角和差的三角公式、二倍角公式、诱导公式的应用，属于中档题．16.若在由正整数构成的无穷数列{a n}中，对任意的正整数n，都有a n≤a n+1，且对任意的正整数k，该数列中恰有2k-1个k，则a2014= ______ ．【答案】45【解析】解：∵对任意的正整数k，该数列中恰有2k-1个k，∴数列是1，2，2，2，3，3，3，3，3，…设a2014在第n+1组中，则1+3+5+…+（2n-1）=n2＜2014，解得：n＜45．∴a2014在第45组中，故a2014=45故答案为：45．由对任意的正整数k，该数列中恰有2k-1个k，可知数列为：1，2，2，2，3，3，3，3，3，…假设a2014在第n+1组中，由等差数列的求和公式求出前n组的和，解不等式n2＜2014，得到n值后加1得答案．本题考查数列递推式，解答的关键是对题意的理解，是中档题．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2asin A=（2b-c）sin B+（2c-b）sin C．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，b=2，求△ABC的面积．【答案】解：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得，整理得，所以．又A∈（0，π），故．（Ⅱ）由正弦定理可知，又a=2，，，所以．又，，故或．若，则，于是；若，则，于是．【解析】（Ⅰ）△ABC中，由正弦定理得，再由余弦定理求得cos A=，A=；（Ⅱ）△ABC中，由正弦定理得到，进而得到角B，再由内角和为π得到角C，由三角形面积公式即得结论．本题主要考查正弦定理、余弦定理，以及三角形面积公式的应用，属于中档题18.某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题．（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；（Ⅲ）若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率．【答案】解：（Ⅰ）分数在[70，80）内的频率为1-（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=0.3，∴小矩形的高为0.030，补全频率分布直方图如图：（Ⅱ）由频率频率分布直方图知前三组的频率之和为0.1+0.15+0.15=0.4，∴中位数在第四组，设中位数为70+x，则0.4+0.030×x=0.5⇒x=，∴数据的中位数为70+=，（Ⅲ）第1组有60×0.1=6人（设为1，2，3，4，5，6）第6组有60×0.05=3人（设为A，B，C）从9人中任取2人有=36种方法；其中抽取2人成绩之差的绝对值大于10的抽法是从第1组与第6组各抽取1人，抽法由=18种，∴抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率为．【解析】（I）利用所有小矩形的面积之和为1，求得分数在[70，80）内的频率，再根据小矩形求得小矩形的高，补全频率分布直方图；的高=频率组距（II）根据中位数的左、右两边的小矩形的面积之和相等，求从左数频率之和等于0.5的横坐标的值；（III）利用组合数公式计算从从第1组和第6组所有人数中任取2人的取法种数，再计算从第1组与第6组各抽取1人的取法种数，代入古典概型概率公式计算．本题考查了利用频率分布直方图求数据的中位数、频数，考查了古典概型的概率计算，．在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=频数样本容量19.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，B1B=B1A=AB=BC=2，∠B1BC=90°，D为AC的中点，AB⊥B1D．（Ⅰ）求证：平面ABB1A1⊥平面ABC；（Ⅱ）求三棱锥C-BB1D的体积．【答案】（Ⅰ）证明：取AB中点为O，连接OD，OB1．因为B1B=B1A，所以OB1⊥AB．又AB⊥B1D，OB1∩B1D=B1，所以AB⊥平面B1OD，因为OD⊂平面B1OD，所以AB⊥OD．…（3分）由已知，BC⊥BB1，又OD∥BC，所以OD⊥BB1，因为AB∩BB1=B，所以OD⊥平面ABB1A1．又OD⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABB1A1．…（6分）（Ⅱ）解：三棱锥C-BB1D的体积=三棱锥B1-BCD的体积由（Ⅰ）知，平面ABC⊥平面ABB1A1，平面ABC∩平面ABB1A1=AB，OB1⊥AB，OB1⊂平面ABB1A1所以OB1⊥平面ABC，即OB1⊥平面BCD，B1O即点B1到平面BCD的距离，…（9分）…（11分）所以…（12分）【解析】（Ⅰ）取AB中点为O，连接OD，OB1，证明AB⊥平面B1OD，可得AB⊥OD，又OD⊥BB1，因为AB∩BB1=B，即可证明平面ABB1A1⊥平面ABC；（Ⅱ）证明B1O即点B1到平面BCD的距离，即可求三棱锥C-BB1D的体积．本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积，解题时要认真审题，注意空间思维能力的合理运用．20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，上顶点为B．Q为抛物线y2=12x的焦点，且•=0，2+=0．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过定点P（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点（M在P，N之间），设直线l的斜率为k（k＞0），在x轴上是否存在点A（m，0），使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】解：（Ⅰ）由已知Q（3，0），F1B⊥QB，|QF1|=4c=3+c，所以c=1．…（1分）在R t△F1BQ中，F2为线段F1Q的中点，故|BF2|=2c=2，所以a=2．…（2分）于是椭圆C的标准方程为．…（4分）（Ⅱ）设l：y=kx+2（k＞0），M（x1，y1），N（x2，y2），取MN的中点为E（x0，y0）．假设存在点A（m，0），使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形，则AE⊥MN．⇒，＞⇒＞，又k＞0，所以＞．…（6分）因为，所以，．…（8分）因为AE⊥MN，所以，即，整理得．…（10分）因为＞时，，，，所以，．…（12分）【解析】（Ⅰ）由已知Q（3，0），F1B⊥QB，|QF1|=4c=3+c，解得c=1．在R t△F1BQ中，|BF2|=2c=2，所以a=2，由此能求出椭圆C的标准方程．（Ⅱ）设l：y=kx+2（k＞0），M（x1，y1），N（x2，y2），取MN的中点为E（x0，y0）．假设存在点A（m，0），使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形，由⇒，由此利用韦达定理结合已知条件能求出实数m的取值范围．本题考查椭圆C的标准方程的求法，考查在x轴上是否存在点A（m，0），使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形的确定与实数m的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21.已知函数f（x）=lnx-ax+1（a＞0）．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若a=，且关于x的方程f（x）=-x+b在[1，4]上恰有两个不等的实根，求实数b的取值范围；（Ⅲ）设各项为正数的数列{a n}满足a1=1，a n+1=lna n+a n+2（n∈N*），求证：a n≤2n-1．【答案】（Ⅰ）解：函数的定义域为（0，+∞），＞，，，＞，单调递增，，∞，＜，单调递减当时，f（x）取最大值…（4分）（Ⅱ）解：，由得在[1，4]上有两个不同的实根，设，，，，x∈[1，3）时，g'（x）＞0，x∈（3，4]时，g'（x）＜0，所以g（x）max=g（3）=ln3，因为，，＜，得g（1）＜g（4）所以，…（8分）（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知当a=1时，lnx＜x-1．由已知条件a n＞0，a n+1=lna n+a n+2≤a n-1+a n+2=2a n+1，故a n+1+1≤2（a n+1），所以当n≥2时，＜，＜，…，＜，相乘得＜，又a1=1，故，即…（12分）【解析】（Ⅰ）求导数，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）设，，，求出函数的最大值，比较g（1），g（4），即可求实数b的取值范围；（Ⅲ）证明a n+1+1≤2（a n+1），可得当n≥2时，＜，＜，…，＜，相乘得＜，即可证明结论．本题考查导数知识的运用，考查不等式的证明，考查数列与函数的综合，考查学生分析解决问题的能力，有难度．22.选修4-1：几何证明选讲．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．证明：（1）AD•AE=AC2；（2）FG∥AC．【答案】证明：（1）∵AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，∴AB2=AD•AE，∵AB=AC，∴AD•AE=AC2．（2）由（1）有=，∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，∴∠ADC=∠ACE，∵∠ADC=∠EGF，∴∠EGF=∠ACE，∴GF∥AC．【解析】（1）利用切线长与割线长的关系及AB=AC 进行证明．（2）利用成比例的线段证明角相等、三角形相似，得到同位角角相等，从而两直线平行．本题考查圆的切线、割线长的关系，平面的基本性质．解决这类问题的常用方法是利用成比例的线段证明角相等、三角形相似等知识．23.在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ，直线l的参数方程是（t为参数）．（1）求极点在直线l上的射影点P的极坐标；（2）若M、N分别为曲线C、直线l上的动点，求|MN|的最小值．【答案】解：（1）由直线的参数方程消去参数t得l：，则l的一个方向向量为，，设，，则，，又，则，得：，将代入直线l的参数方程得，，化为极坐标为，．（2）ρ=4cosθ⇒ρ2=4ρcosθ，由ρ2=x2+y2及x=ρcosθ得（x-2）2+y2=4，设E（2，0），则E到直线l的距离，则．【解析】（1）由直线的参数方程设设，，得向量的坐标，再利用它与l的一个方向向量垂直得到一个关于参数t的方程，解得t值，最后将P的坐标化成极坐标即可；（2）欲求|MN|的最小值，即求出圆上一点何时到直线的距离最小，先转化为圆心到直线的距离最小值求解，结合直角坐标系下的点到直线的距离公式求解即得．本题考查点的极坐标、直线的参数方程和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．24.已知函数f（x）=|x-2|，g（x）=-|x+3|+m．（Ⅰ）若关于x的不等式g（x）≥0的解集为{x|-5≤x≤-1}，求实数m的值；（Ⅱ）若f（x）＞g（x）对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）因为g（x）=-|x+3|+m≥0，所以|x+3|≤m，所以-m-3≤x≤m-3，由题意，所以m=2；…（5分）（Ⅱ）若f（x）＞g（x）恒成立，所以|x-2|+|x+3|＞m恒成立，因为|x-2|+|x+3|≥|（x-2）-（x+3）|=5，当且仅当（x-2）（x+3）≤0时取等，所以m＜5．…．（10分）【解析】（Ⅰ）利用关于x的不等式g（x）≥0的解集为{x|-5≤x≤-1}，建立方程组，即可求实数m的值；（Ⅱ）若f（x）＞g（x）恒成立，所以|x-2|+|x+3|＞m恒成立，求出左边的最小值，即可求实数m的取值范围．此题主要考查绝对值不等式的应用问题，有一定的灵活性，属于中档题．。

[套卷]黑龙江省2014届高三上学期阶段性统一考试数学文(扫描版含答案)

黑龙江省2014届高三上学期阶段性统一考试数学试卷参考答案（文科）1．A 由A ∩B ＝B 可得B ⊆A ，故选A. 2．D cos 2α＝1－2sin 2α＝1－225＝2325.3．C ∵D 为BC 的中点，∴AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b .4．A 由题得log a (x －1)≥0，且x －1＞0.因为0<a <1，所以0＜x －1≤1，x ∈(1，2]． 5．D 设底边长为x ，则两腰长为2x ，可得顶角的余弦值cos θ＝（2x ）2＋（2x ）2－x 22×2x ×2x ＝78.6．A 由a ＝(2，0)得|a|＝2，所以a·b ＝|a|·|b|cos 60°＝2×1×12＝1，|a －2b|＝|a －2b |2＝a 2－4a·b ＋4b 2＝4－4＋4＝2.7．B 函数f (x )＝x 2＋2x ＋m 有零点，则Δ＝4－4m ≥0，即m ≤1.8．C f (x )＝－sin x ＋(12sin x ＋32cos x )＝－12sin x ＋32cos x ＝cos(x ＋π6)≤1，∴f (x )的最大值为1.9．B 由题意可知f (－x )＝－f (x )，f (x )＝－f (x ＋1)⇒f (x )是周期为2的奇函数，所以当3＜x ＜4时，有f (x )＝f (x －4)＝－f (4－x )＝－[－(4－x )(4－x ＋1)]＝(4－x )(5－x )．故选B.10．C 设∠MPN ＝2α，因为PM →·PN →＝2，所以|PM |2cos ∠MPN ＝|PM |2(2cos 2α－1)＝|PM |2[2(3|PM |)2－1]＝6－|PM |2＝2，所以|PM |2＝4，所以(3)2＋(T 4)2＝4，T ＝4，所以ω＝2π4＝π2.11．A ∵S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×32＝1543，∴bc ＝15.又5sin B ＝3sin C ，根据正弦定理得5b ＝3c .由⎩⎪⎨⎪⎧bc ＝15，5b ＝3c ，解得b ＝3，c ＝5，∴由余弦定理得a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝19，∴△ABC 的周长为8＋19.12．D 因为OA →·OB →＝0，所以向量OA →⊥OB →，将OA →，OB →放在平面直角坐标系中，如图，因为|OA →|＝1，|OB →|＝2，所以A (1，0)，B (0，2)．因为∠AOC ＝45°，所以点C 在直线y ＝x 上．设C (x ，x )，则OC →＝(x ，x )．由OC →＝mOA →＋nOB →，得(x ，x )＝m (1，0)＋n (0，2)，即(x ，x )＝(m ，2n )，所以m ＝2n ，即m n＝ 2.13.12 由角α终边上一点P (3，1)可得sin α＝12. 14.π4 由a ∥b ，得13×32＝2sin α·12cos α＝12sin 2α＝12.∴sin 2α＝1，又α为锐角，∴α＝π4. 15．120° 设长为7的边所对角为θ，则由余弦定理可知cos θ＝52＋82－722×5×8＝12，所以θ＝60°，所以最大角与最小角的和为120°.16．(1，5) 由f (1－x )＋f (1＋x )＝0得f (x )＝－f (2－x )，所以f (x ＋4)＝－f (2－x －4)，所以不等式f (x 2－7x ＋3)＋f (x ＋4)＜0化为f (x 2－7x ＋3)＜f (－x －2)，因为f (x )是定义在R 上的增函数，所以x 2－7x ＋3＜－x －2，整理x 2－6x ＋5＜0，解得1＜x ＜5.17．解：(1)当q 为真命题时，由x >0得3x >1，∴－3x <－1, 不等式－3x ≤a 对一切正实数x 均成立，∴－1≤a ， ∴实数a 的取值范围是[－1，＋∞).（5分）(2)由“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，得p 、q 一真一假．①当p 真q 假时，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1a <－1，无解，②当p 假q 真时，则⎩⎪⎨⎪⎧a <1a ≥－1，得－1≤a <1，∴实数a 的取值范围是[－1，1].（10分）18．解：(1)由题可知tan α＝43，原式＝sin 2α＋2sin αcos α2cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋2tan α2－tan 2α＝20.（5分）(2)设B (cos (α＋π3)，sin(α＋π3))，且C (1，0)，|BC |2＝[cos(α＋π3)－1]2＋sin 2(α＋π3)＝2－2cos(α＋π3)，∵A ，B 分别在第一、二象限，∴α∈(π6，π2)．∴α＋π3∈(π2，5π6)，∴cos(α＋π3)∈(－32，0)，|BC |2的取值范围为(2，2＋3).（12分）19．解：(1)由已知得a ·b ＝cos 3θ2cos θ2－sin 3θ2sin θ2＝cos 2θ，∵θ∈[0，π3]，∴cos θ∈[12，1]．∴|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2cos θ， ∴a ·b |a ＋b |＝cos 2θ2cos θ＝cos θ－12cos θ.令cos θ＝t ，t ∈[12，1]，∴cos θ－12cos θ＝t －12t ，(t －12t )′＝1＋12t 2>0，∴t －12t 为增函数，其最大值为12，最小值为－12，∴a ·b |a ＋b |的最大值为12，最小值为－12. （6分）(2)假设存在k 的值满足题设，即|k a ＋b |2＝3|a －k b |2， ∵|a |＝|b |＝1，a ·b ＝cos 2θ，∴cos 2θ＝1＋k 24k.∵θ∈[0，π3]，∴－12≤cos 2θ≤1，∴－12≤1＋k24k≤1，∴2－3≤k ≤2＋3或k ＝－1.（12分）20．解：(1)在△ABC 中，由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝82＋52－AB 22×8×5，①在△ABD 中，由余弦定理得cos D ＝AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝72＋72－AB 22×7×7，②由∠C ＝∠D 得cos C ＝cos D ，③解得AB ＝7，所以AB 的长度为7米.（5分） (2)小李的设计使建造费用最低．理由如下：易知S △ABD ＝12AD ·BD sin D ，S △ABC ＝12AC ·BC sin C ，因为AD ·BD >AC ·BC ，且∠C ＝∠D ，所以S △ABD >S △ABC .故选择△ABC 的形状建造环境标志费用较低．因为AD ＝BD ＝AB ＝7，所以△ABD 是等边三角形，∠D ＝∠C ＝60°. 故S △ABC ＝12AC ·BC sin C ＝103，所以所求的最低造价为5000×103＝500003≈86600元.（12分） 21．解：(1)由2a －b 与b 垂直得(2a －b )·b ＝0，所以a ·b ＝b 22，由{x |x 2＋(|a |＋|b |)x ＋|a ||b |＝0}是单元素集合得 Δ＝(|a |＋|b |)2－4|a ||b |＝0⇒|a |＝|b |.设向量a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝12b2|b |2＝12，所以θ＝60°.（6分）(2) 关于t 的不等式|a －t b |<|a －m b |的解集为Ø，故|a －t b |≥|a －m b |的解集为R ，从而a 2－2a ·b ·t ＋t 2b 2≥a 2－2a ·b ·m ＋m 2b 2 对一切t ∈R 恒成立．将a 2＝b 2，2a ·b ＝b 2代入上式得：t 2－t ＋m －m 2≥0对一切t ∈R 恒成立． ∴Δ＝1－4(m －m 2)≤0⇒(2m －1)2≤0⇒m ＝12.（12分）22．解：(1)由f ′(13)＝0，得a ＝b .当a ＝0时，则b ＝0，f (x )＝c 不具备单调性．故f (x )＝ax 3－2ax 2＋ax ＋c .由f ′(x )＝a (3x 2－4x ＋1)＝0，得x 1＝13，x 2＝1.由表可得，函数f (x )的单调增区间是(－∞，13)及(1，＋∞)，单调减区间是[13，1].（5分）(2)当a >0时，f ′(x )＝3ax 2－2(a ＋b )x ＋b ＝3a (x －a ＋b 3a )2－a 2＋b 2－ab3a.当－a ＜b ＜2a ，即0<a ＋b 3a <1时，－a 2＋b 2－ab3a ≤f ′(x )≤M .(i)当－a ＜b ≤a 2时，0＜a ＋b ≤3a2，所以f ′(1)－a 2＋b 2－ab 3a ＝2a 2－b 2－2ab 3a ＝3a 2－（a ＋b ）23a ≥14a 2>0，所以－M <f ′(x )≤M .(ii)当a 2＜b ＜2a 时，(b －a 2)(b －2a )＜0，即a 2＋b 2－52ab ＜0，所以b －a 2＋b 2－ab 3a ＝4ab －a 2－b 23a ＞52ab －a 2－b 23a＞0，即f ′(0)＞a 2＋b 2－ab3a，所以－M <f ′(x )≤M .综上所述：当a ＞0，－a ＜b ＜2a ，0≤x ≤1时，|f ′(x )|≤M .（12分）。

黑龙江省哈尔滨市第三中学2024届高三上学期期末数学试题(解析版)

哈三中2023-2024学年度上学期高三学年期末考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知{}21log 1,12xA x xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=<⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B = （）A. ()1,2- B. ()1,0- C. ()0,2 D. ()1,2【答案】C 【解析】【分析】根据对数函数的单调性、指数函数的单调性，结合集合交集的定义进行求解即可.【详解】由()22log 1log 2020,2x x A <=⇒<<⇒=，由()011100,22x x B ⎛⎫⎛⎫<=⇒>⇒=+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A B = ()0,2，故选：C 2. 复数12iiz +=的虚部为（）A. 1- B. 2C. i- D. i【答案】A 【解析】【分析】利用复数除法的运算法则化简为复数的代数形式，即可得到复数虚部.【详解】由()()2212i i 12i 2i i 2i i iz +-+===--=--，所以虚部为-1.故选：A3. 函数()232f x x x =+的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】先求出定义域，再确定为偶函数，最后由特殊值法确定即可.【详解】定义域为0x ≠，()()()223322f x x x f x xx -=-+=+=-为偶函数，采用特殊值法代入，当x 趋近于零时，2x 趋近于零，23x 趋于正无穷；此时()232f x x x =+取值趋于正无穷；当x 趋近于正无穷时，2x 趋近于正无穷，23x 趋于零，此时()232f x x x=+取值趋于正无穷；所以只有B 图像符合；故选：B4. 若()(),1,2,,3a b a b a b m +=-==，则实数m =（）A. 6B. 6- C. 3D. 3-【答案】B 【解析】【分析】将a b a b +=- 两边平方，结合数量积的运算律求出a b ⋅ ，再根据数量积的坐标公式即可得解.【详解】因为a b a b +=-，所以()()22a ba b +=- ，即222222a b a b a b a b ++⋅=+-⋅，所以0a b ⋅=，即60+=m ，解得6m =-.故选：B.5. 已知命题：2000R,210x ax ax ∃∈+-≥为假命题，则实数a 的取值范围是（）A. ()(),10,-∞-⋃+∞B. ()1,0-C. []1,0-D. (]1,0-【答案】D 【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定，可知命题：2R,210x ax ax ∀∈+-<为真命题，讨论a 是否为0，结合0a ≠时，解不等式，即可求得答案.【详解】由题意知命题：2000R,210x ax ax ∃∈+-≥为假命题，则命题：2R,210x ax ax ∀∈+-<为真命题，故当0a =时，2210ax ax +-<，即为10-<，符合题意；当0a ≠时，需满足2Δ440a a a <⎧⎨=+<⎩，解得10a -<<，综合可得实数a 的取值范围是(]1,0-，故选：D6. 若椭圆221259x y +=和双曲线22197x y -=的共同焦点为12,,F F P 是两曲线的一个交点，则12PF F △的面积值为（）A.B.C. D. 8【答案】A 【解析】【分析】设点(),P m n ，根据方程组求点P 的坐标和焦距，进而可得面积.【详解】对于椭圆221259x y +=可知：半长轴长为5，半短轴长为3，半焦距为4，则128F F =，设点(),P m n ，则22221259197m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得=n 所以12PF F △的面积值为182⨯=.故选：A.7. 等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，若51013S S =，则1015SS =（）A.37B.73C.12D. 1【答案】A 【解析】【分析】根据51051510,,S S S S S --构成等比数列求解即可.【详解】因为{}n a 为等比数列，51013S S =，设510,3,0S k S k k ==>，所以51051510,,S S S S S --构成等比数列.所以15,2,3k k S k -构成等比数列，所以157S k =，所以10153377S k S k ==.故选：A8. 哈三中第38届教改汇报课在2023年12月15日举行，组委会派甲乙等6名志愿者到,A B 两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若甲和乙不能去同一路口，则不同的安排方案总数为（）A. 14 B. 20 C. 28 D. 40【答案】C 【解析】【分析】先安排甲乙两人，再根据分组分配的方法安排其余4名志愿者.【详解】先安排甲乙两人，有22A 2=种方法；再安排其余4名志愿者有两类方法，共有122424C A C 14+=种方法，根据分步计数原理可得共有21428⨯=种方法.故选：C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，9. 下列说法正确的是（）A. 已知111,,,202420232023α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()f x x α=为奇函数，且在()0,∞+上递减，则α只能为1-B. 函数()212log 20242023y x x =-+-的单调递减区间为()1,1012C.函数y =与函数3y x =-是同一个函数D. 已知函数()21f x +的定义域为[]1,1-，则函数()22f x +的定义域为[]1,1-【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，直接由幂函数的奇偶性、单调性即可验证；对于B ，由复合函数单调性以及复合对数函数的定义域即可验证；对于C ，定义域都是全体实数，且对应法则也一样，由此即可判断；对于D ，由抽象函数定义域的求法即可验证.【详解】对于A ，当1α=-时，幂函数()1f x x xα==奇函数，且在()0,∞+上递减，满足题意，当12023α=时，幂函数()1f x x x α==在()0,∞+上递增，不满足题意，当12023α=-时，幂函数()f x x α==()0,∞+上递减，满足题意，当2024α=-时，幂函数()20241f x x xα==为偶函数，在()0,∞+上递减，不满足题意，故A 错误；对于B ，12log y t =关于t 在定义域内单调递减，若函数()212log 20242023y x x =-+-关于x 在定义域内单调递减，则由复合函数单调性可知220242023x x t -+-=关于x 单调递增，而二次函数220242023x x t -+-=开口向下，对称轴为2012x =，所以22024202302012x x x ⎧-+->⎨<⎩，解得12012x <<，所以函数()212log 20242023y x x =-+-的单调递减区间为()1,1012，故B 正确；对于C ，()13333y x x ⎡⎤==-=-⎣⎦，故C 选项正确，对于D ，若函数()21f x +的定义域为[]1,1-，则[][]1,1,211,3x x ∈-+∈-，所以函数()22f x +的定义域满足[]221,3x +∈-，解得[]1,1x ∈-，故D 正确.故选：BCD.10. 已知正数,a b ，2a b +=，且a b >，则下列说法正确的是（）为A.1b a> B. e e a b a b+>+ C.114a b+> D.1<【答案】AB 【解析】【分析】选项A ，将不等式1b a>等价转化为1ab <，由于和式为定值，判断积的取值范围即可；对于选项B ，需要研究函数e x y =的单调性，即可判断不等式；对于选项C ，1111()2a b a b a b ++=+⨯，应用基本不等式即可；对于选项D 平方，2a b =++，判断积的取值范围即可；【详解】对于选项A ，1b a>等价1ab <，2a b =+≥1≤，其中a b >1<，1ab <，不等式成立，选项A 正确；对于选项B ，因为e 1>，指数函数e x y =是增函数，且a b >，所以e e a b >所以e e a b a b +>+，选项B 正确；对于选项C ，1111()112222a b b a a b a b a b ++=+⨯=++≥+=，由于a b >，22b a a b ≠，等号取不到，112a b+>，选项C 不正确；对于选项D ，22()4a b a b +=++≤+=，由于a b >，等号取不到，所以24<2<，选项D 不正确；故选：AB.11. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论正确的有（）A. 11//AC 平面1B CDB. 点1C 到平面1B CDC. 当P 在线段11C D 上运动时，三棱锥11A B PC -的体积不变D. 若Q 为正方体侧面11BCC B 上的一个动点，,E F 为线段1AC 的两个三等分点，则QE QF +的最小值【答案】BCD【解析】【分析】对于A 通过观察可得直线11A C 与平面有公共点1A 所以A 不正确；对于B 利用等体积法计算点到平面距离；对于C 观察到点P 到平面11A B C 的距离为定值，确定三棱锥11A B PC -的体积不变；对于D 利用线段1AC 关于平面11BCC B 的对称直线，将QE QF +转化，利用两点间线段距离最短求解.【详解】对于A ，因为平面1B CD 也就是平面11A B CD 与直线11A C 有公共点1A ，所以A 选项不正确. 对于B ，设点1C 到平面1B CD 的距离为h ，由1111C B CD D CC B V V --=得11111133B CD CC B S h S ⨯=⨯ ，由已知易得11,CD B C D ===则1B CD △是直角三角形，所以1B CD S =112C CD S =，解得h =.故B 选项正确对于C ，设点P 到平面11A B C 的距离为h ，易知点P 所在的直线11C D 与平面11A B C 平行，则点P 到平面11A B C 的距离为定值，因为11111113A B PC P A B C A B C V V S h --==⨯ ，其中11A B C S 也为定值，故C 选项正确.对于D ，如图1QE QF QE QF +=+，当1E Q F 、、共线的时候1QE QF EF +=最小，在1AC M 中222111111cos 23C A C M AMAC M C A C M+-∠==，由余弦定理得22211111111112cos 9EF C E C F C E C F AC M =+-∠=，所以1EF =，所以QE QF +有最小值，故D 正确.故选：BCD12. 已知函数()cos sin (0)f x a x b x ωωω=+>在π6x =处取得最大值2，()f x 的最小正周期为π，将()y f x =图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度得到()g x 的图象，则下列结论正确的是（）A. π6x =是()f x 图象的一条对称轴 B. ()π2cos 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C. π2g x ⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数 D. 方程()2lg 0g x x -=有3个实数解【答案】ACD 【解析】【分析】由()f x 最小正周期为π，求出ω，由最值点和最值，求出,a b ，得()f x 的解析式，判断AB 选项；由函数图象的变换，求()g x 的解析式，验证C 选项，数形结合验证D 选项．【详解】()()cos sin f x a x b x x ωωωϕ=+=-，其中tan b aϕ=，()f x 的最小正周期为πT =，则有2π2π2πT ω===，故()()2f x x ϕ=-，函数()f x 在π6x =处取得最大值2，则πππcos sin 26332f a b ⎧⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭=，解得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩()πcos22cos 23f x x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，B 选项错误；函数()π2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在π6x =处取得最大值2，则π6x =是()f x 图象的一条对称轴，A 选项正确；将()y f x =图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得函数π2cos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度得到()2cos g x x =的图象，ππ2cos 2sin 22g x x x ⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数为奇函数，C 选项正确；在同一直角坐标系下作出函数()2cos g x x =和函数2lg y x =的图象，如图所示，的两个函数图象有3个交点，可知方程()2lg 0g x x -=有3个实数解，D 选项正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知α为第二象限角，2sin 3α=，则tan2α=_______．【答案】-【解析】【分析】根据同角三角函数的关系式，结合正切的二倍角公式即可求得.【详解】因为2sin 3α=，α为第二象限角，所以cos ===α则sin tan cos ===ααα22tan tan21tan ααα=-2⎛⨯==-故答案为：-14. 已知边长为2的等边三角形ABC 所在平面外一点,S D 是AB 边的中点，满足SD 垂直平面ABC，且SD =S ABC -外接球的体积为_______．【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设出球心坐标，根据外接球的性质，列出方程组，即可求出外接球的半径，从而求得三棱锥S ABC -外接球的体积.【详解】因为SD 垂直平面ABC ，ABC 为等边三角形，且D 是AB 边的中点，以D 为坐标原点，分别以,,DB DC DS 所在的直线为x 轴，y 轴，z轴，建系如图，设三棱锥S ABC -外接球的球心(),,O x y z ，半径为R ，因为2AB BC AC ===，则DC ===，又因为SD =(S ，()1,0,0B ，()1,0,0A -，()C ，则====OS OA OB OC R ，即RRR R ====，解得0x y z R =⎧⎪⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪⎪=⎪⎩所以三棱锥S ABC -外接球的体积3344R 33V ππ===.15. 直线l 与抛物线24x y =交于,A B 两点且3AB =，则AB 的中点到x 轴的最短距离为_______．【答案】916【解析】【分析】设出直线方程，利用弦长得到两个变量间的关系式，结合函数单调性可得答案.【详解】设直线l 的方程为y kx m =+，()()1122,,,A x y B x y ；联立24y kx m x y=+⎧⎨=⎩，2440x kx m --=，216160k m ∆=+>，12124,4x x k x x m +==-.AB ==因为3AB =3=，整理可得()229161m k k =-+.由()21212242y y k x x m k m +=++=+，所以AB 的中点到x 轴的距离为()2212292112161y y k m k k +=+=++-+设21t k =+，则1t ≥，1291216y y t t +=+-，由对勾函数的单调性可得129216y y +≥，当且仅当0k =时，取到最小值916.故答案为：91616. 设()f x 是定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，对任意的()12,0,x x ∈+∞满足()()1221120x f x x f x x x ->-且()315f =，则不等式()5f x x >的解集为_______．【答案】(,3)(0,3)-∞-⋃【解析】【分析】根据题意可设()(),0f x g x x x=≠，结合()f x 的奇偶性判断()g x 的奇偶性，再结合题设判断()g x 的单调情况，进而结合不等式()5f x x >，讨论x 的正负，结合()g x 的单调情况，分类求解，即可得答案.【详解】设()(),0f x g x x x=≠，而()f x 是定义在()(),00,∞∞-⋃+上的奇函数，即()()f x f x -=-，故()()()()f x f x g x g x xx---===--，即()(),0f x g x x x=≠为偶函数；对任意的()12,0,x x ∞∈+，不妨设12x x <，则()()()()121212f x f xg x g x x x -=-()()211212x f x x f x x x -=，又对任意的()12,0,x x ∞∈+满足()()1221120x f x x f x x x ->-，当12x x <时，120x x -<，则()()12210x f x x f x -<，即()()21120x f x x f x ->，而120x x >，故()()()()1212120,f x f x g x g x x x ->∴>，则()g x 在()0,∞+上单调递减，又()g x 为偶函数，故()g x 在(),0∞-上单调递增，()315f =，故()3(3)53f g ==，则(3)5g -=-，而不等式()5f x x >，即为不等式()50f x x x ⎧>⎪⎨⎪>⎩或()50f x x x ⎧<⎪⎨⎪<⎩，即()5(3)0g x g x >=⎧⎨>⎩或()5(3)g x g x <=-⎧⎨<⎩，故03x <<或3x <-，即不等式()5f x x >的解集为(,3)(0,3)-∞-⋃，故答案为：(,3)(0,3)-∞-⋃【点睛】方法点睛：诸如此类抽象函数的问题，解答时要结合题设构造出函数，由此判断出其奇偶性和单.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c)sin b C C =-．（1）求角B ；（2）D 为AC 边上一点，DB BA ⊥，且4AD DC =，求cos C 的值．【答案】（1）2π3；（2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，然后由三角形内角和定理与和差公式化简整理即可求解；（2）BCD △和Rt ABD 分别根据正弦定理和三角函数定义列式，联立整理得2c a =，再由余弦定理求得b =，然后可解.在【小问1详解】)sinb C C=-，)sin sinA B C C=-，又()()sin sinπsin sin cos cos sinA B C B C B C B C⎡⎤=-+=+=+⎣⎦，)cos sin sin sinB C B C B C C+=-，整理得)πsin sin2sin sin03C B B C B⎛⎫+=+=⎪⎝⎭，因为()0,π,sin0C C∈>，所以πsin03B⎛⎫+=⎪⎝⎭，又()ππ4π0,π,,333B B⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，所以ππ3B+=，即2π3B=.【小问2详解】由（1）知B，因为DB BA⊥，所以π6CBD∠=，记BDCθ∠=，则πBDAθ∠=-，在BCD△中，由正弦定理得πsinsin6CD aθ=，得2sinaCDθ=，在Rt ABD中，有()sinπsinc cADθθ==-，因为4AD DC=，所以2sin sinc aθθ=，得2c a=，在ABC中，由余弦定理可得22222π422cos73b a a a a a=+-⨯=，即b=，所以cos C==18. 已知{}n a是公差不为零的等差数列，11a=，且125,,a a a成等比数列．（1）求数列{}n a的通项公式；.（2）若114(1)n n n n nb a a ++=-⋅，求{}n b 的前1012项和1012T ．【答案】（1）21n a n =- （2）101220242025T =【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项即可得解；（2）由裂项相消法可求出前1012项和.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，又11a =，则211a a d d =+=+，51414a a d d =+=+，因为125,,a a a 成等比数列，所以2215a a a =⋅，即()()21114d d +=⨯+，得220d d -=，又因为{}n a 是公差不为零的等差数列，所以2d =，即()()1111221n a a n d n n =+-=+-=-.【小问2详解】由（1）知()()11114411(1)(1)(1)21212121n n n n n n n n b a a n n n n ++++⎛⎫=-=-=-+ ⎪⋅-⋅+-+⎝⎭，1012123410111012T b b b b b b =++++++ 11111111111133557792021202320232025⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12024120252025=-=.19. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点为12,A A ，点G 是椭圆C 的上顶点，直线2A G 与圆2283x y +=相切，且椭圆C．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 右焦点F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆C 交于A B 、两点，若点()0,M m ，且MA MB =，求实数m 的取值范围．【答案】（1）22184x y +=（2）[【解析】【分析】（1）先由离心率得出a =，再由直线2A G 与圆2283x y +=相切得到圆心(0,0)O 到直线2A G 的距离等于半径得出2222883a b a b +=，联立即得椭圆方程；（2）依题设出直线AB 方程，与椭圆方程联立，得出韦达定理，求出AB 的中点H 坐标，利用条件MA MB =判断MH 是直线AB 的中垂线，求出方程，将求m 的取值范围转化成求关于t 的函数的值域问题即得.【小问1详解】由c a =可得：a =①因2(,0),(0,)A a G b ，则2:1A Gx y l a b +=即：0bx ay ab +-=，又因直线2A G 与圆2283x y +==2222883a b a b +=②，联立①②，可解得：2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 的标准方程为：22184x y +=.【小问2详解】如图，因直线l 与x 轴不重合，椭圆焦点为(2,0)F ，故可设:2l x ty =+，由222184x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x整理得：22(2)440t y ty ++-=，易得：0∆>，不妨设1122(,),(,)A x y B x y ，则有12212242,42t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩设AB 中点为00(,)H x y ，则：1202222y y t y t +==-+,1212022()442()222222x x t y y t t x t t ++==+=⋅-+=++，即：2242(,)22t H t t -++，因MA MB =，则MH 为直线AB 的中垂线.又因直线AB 的斜率为1t，故直线AB 的中垂线MH 的斜率为t -，于是2224:()22MH t l y t x t t +=--++，因()0,M m ，则有：222422222t t tm t t t =-=+++，①当0=t 时，0m =，此时直线:2l x =，点(0,0)M ，符合题意；②当0t ≠时，22m t t=+，若0t >，则2t t +≥可得m ∈，当且仅当t =时取等号；若0t <，则2t t +≤-,可得[m ∈，当且仅当t =.综上，实数m的取值范围为[.20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，//,4,2,60AB CD AB BC CD BP DP BCD ︒=====∠=，AD PD ⊥．（1）求证：平面PBD ⊥平面ABCD ；（2）若线段PC 上存在点F ，满足CF FP λ= ，且平面BDF 与平面ADP实数λ的值．【答案】（1）证明见解析（2）2λ=【解析】【分析】（1）要证面面垂直，需证线面垂直，就是要证AD ⊥平面PBD ，再进一步判断面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，用向量的方法求解.【小问1详解】如图：因为2CB CD ==，60BCD ∠=︒，所以BCD △为等边三角形，2BD =又//AB CD ，所以60ABD BDC ∠=∠=︒，又4AB =，所以22212··cos 60164242122AD AB BD AB BD =+-︒=+-⨯⨯⨯=.因为222AD BD AB +=，所以ABD △为直角三角形，AD BD ⊥.又AD PD ⊥，BD ，PD 为平面PBD 内的两条相交直线，所以AD ⊥平面PBD ，AD ⊂ABCD ，所以：平面PBD ⊥平面ABCD .【小问2详解】取BD 中点O ，AB 中点E ，因为PB PD =⇒PO BD ⊥，又平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD 平面ABCD BD =，PO ⊂平面PBD ，所以PO ⊥平面ABCD ，又OE BD ⊥，故以O 为原点，建立如图空间直角坐标系，所以()0,1,0B ，()0,1,0D -，()0,0,3P ，)E，()1,0A -，()C .设(),,F x y z ，因为CF FPλ=⇒()(),,,3x y z x y z λ+=---⇒()3x xy y z z λλλ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩解得031x y z λλ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，所以31F λλ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭.设平面ADP 的法向量为()111,,m x y z =，则m AD m DP ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ⇒·0·0m AD m DP ⎧=⎪⎨=⎪⎩⇒()()()()111111,,0,,0,1,30x y z x y z ⎧⋅-=⎪⎨⋅=⎪⎩⇒111030x y z =⎧⎨+=⎩，取()0,3,1m =- ；设平面BDF 的法向量为()222,,n x y z = ，则n BD n BF ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ⇒·0·0n BD n BF ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ⇒()()()222222,,0,2,003,,1,01x y z x y z λλ⎧⋅-=⎪⎛⎫⎨⋅-= ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎩⇒222030y z λ=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取),0,1n =.那么⋅=m n ()0,3,1-⋅),0,11=-，m =，n = .由m n m n ⋅=⋅⇒231λ+=⇒24λ=，又0λ>，所以2λ=.【点睛】关键点睛：根据CF FP λ=，和点C 、F 的坐标，求F 点坐标是本题的一个关键.21. 圆G经过点(()2,,4,0-，圆心在直线y x =上．（1）求圆G 的标准方程；（2）若圆G 与x 轴分别交于,M N 两点，A 为直线:16l x =上的动点，直线,AM AN 与曲线圆G 的另一个交点分别为,E F ，求证直线EF 经过定点，并求出定点的坐标．【答案】（1）2216x y +=（2）证明见详解，直线EF 过定点()1,0【解析】【分析】（1）设出圆心坐标，利用圆心到圆上各点的距离等于半径求解即可；（2）设出直线AM 的方程和直线AN 的方程，分别与圆的方程联立写出E F 、的坐标，进而写出直线EF的方程，化简即可证明直线EF 经过定点，并求出定点的坐标.【小问1详解】因为圆心在直线y x =上，设圆心为(),,a a 又因为圆G经过点(()2,,4,0-则()(()222224a a a a -+-=++，解得0a =，所以圆心()0,0,4=，所以圆G 的标准方程为2216x y +=【小问2详解】由圆G 与x 轴分别交于,M N 两点，不妨设()()4,0,4,0M N -，又A 为直线:16l x =上的动点，设()()16,0A t t ≠，则,,2012==AM AN t t k k 则AM 方程为()420t y x =+，AN 方程为()412ty x =-，设()()1122,,,E x y F x y ，联立方程()2242016t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，解得()()22224008164000t x t x t +++-=，所以()212164004400t x t --=+，即()211224400160,400400t t xy t t --==++，即()2224400160,400400t t E t t ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭.联立方程()2241216t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，解得()()22221448161440t x t x t +-+-=，所以()222161444144t x t -=+，即()22222414496,144144t t x y t t --==++，即()222414496,144144t t F t t ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭.所以()()2222221609640014444004144400144EFt tt t k t t t t --++=----++232240=-t t，所以直线EF 的方程为()222241449632,144240144t t t y x t t t ⎛⎫-- ⎪-=- ⎪+-+⎝⎭化简得()2321,240ty x t =--所以直线EF 过定点()1,0.22. 已知函数()()()22e e e ,,e 12x x x xf xg xh x x -+===+．（1）求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）当0x >时，试比较()()(),,f x g x h x 的大小关系，并说明理由；（3）设n *∈N ，求证：1111111111ln2123421223421n n n -+-+⋅⋅⋅+-<<-+-+⋅⋅⋅+--．【答案】（1）e e 44y x =+ （2）()()()f x g x h x <<；理由见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1（2）构造函数，利用导数确定函数的单调性，求出最值，即可判定结论；（3）构造函数，结合数列知识求和即可证明结论.【小问1详解】由()e1xf x x =+得，()()2e 1xx f x x '=+，所以()f x 在1x =处的切线的斜率()e 14k f ='=，切点e 1,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以所求切线方程：()e e124y x -=-，即e e 44y x =+；【小问2详解】结论：()()()f x g x h x <<；理由如下：要证()()f x g x <，即证e e e 12x x x x -+<+，只需证()()2e 1e e x x xx -<++，为令()()()2e 1e e x x x x x ϕ-=-++，则()()()()()2e e e 1e -e ee x x x x x x x x x x ϕ---=-+-+=-'，当0x >时，1x e -<，e 1x >，故()0x ϕ'<，所以()()()2e 1e e xx x x x ϕ-=-++在0x >时单调递减，所以()()00x ϕϕ<=，即()()2e 1e e 0x x x x --++<，所以e e e 12x x xx -+<+，故()()f x g x <；要证()()g x h x <，即证22e ee 2x x x -+<，只需证22e e ln ln e 2x x x -+<，令()222e e e e 1ln ln e ln 222x x x x x v x x --++=-=-，则()e e e e x x x x v x x ---=-+'，令()e e e ex xx x w x x ---=-+，则()()241e e x x w x -=-+'，当0x >时，e e 2x x -+>，从而()2e 4x ->，故()()2410e e x x w x -=-'<+，所以()e e e ex xx x v x x ---=-+'在0x >时单调递减，所以()()00v x v ''<=，从而()2e e 1ln 22x x v x x -+=-在0x >时单调递减，所以()()00v x v <=，即22e e ln ln e 20x x x -+-<，即22e e ln ln e 2x x x -+<所以22e ee 2x x x -+<，故()()g x h x <，又因为()()f xg x <，所以()()()f x g xh x <<.【小问3详解】令()()()ln 101x u x x x x =-+>+，则()()()22110111x u x x x x -=-=<+++'所以()()ln 11x u x x x =-++在当0x >时单调递减，所以()()00u x u <=，所以()ln 11x x x <++，即()1ln 111x x <++，令1x n =，则有()11ln 1ln 1ln 1n n n n ⎛⎫<+=+- ⎪+⎝⎭，即()1ln 1ln 1n n n <+-+，所以()()1ln 2ln 12n n n <+-++，()()1ln 3ln 23n n n <+-++，⋯()1ln 2ln 212n n n<--，所以111ln 2ln ln 2112n n n n n++<-=++ ，所以111111234212n n-+-+⋅⋅⋅+--11111111223421242n n ⎛⎛⎫=++++⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅+ ⎪-⎝⎝⎭1111111112342122n n n ⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，所以11111111112342121112n n n n n n-+-+⋅⋅⋅+-=+++-+++ ，因为1111ln 21112n n n n+++<+++ ，所以111111ln 2234212n n -+-+⋅⋅⋅+-<-；下面先证当0x >时，ln 1≤-x x ，令()()1ln 0p x x x x =-->，()111x p x x x'-=-=，令()0p x '>，则1x >，所以()1ln p x x x =--在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以()()10p x p ≥=，从而()1ln 0p x x x =--≥，即ln 1≤-x x ，当且仅当1x =时，ln 1x x =-，所以当0x >时，()ln 1x x +<，令1x n =，则有11ln 1n n⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即()1ln 1ln n n n+-<，所以()()1ln 2ln 11n n n +-+<+，()()1ln 3ln 22n n n +-+<+，⋯()()1ln 2ln 2121n n n --<-，所以()1111ln 2ln 1221n n n n n n -<++++++- ，即111ln 2121n n n ++++>+- ，因为1111123421n -+-+⋅⋅⋅+-111111112234212422n n ⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭111111112342121n n ⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以111111111234211221n n n n n -+-+⋅⋅⋅+=++++-++- ，因为1111ln 21221n n n n ++++>++- ，所以11111ln 223421n -+-+⋅⋅⋅+>-，综上所述，1111111111ln2123421223421n n n -+-+⋅⋅⋅+-<<-+-+⋅⋅⋅+--.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。

黑龙江省哈三中2014届高三上学期第四次验收(期末)考试数学(文)

哈三中2014届高三上学期第四次验收（期末）考试数学试卷（文）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合，则B 中所含元素的个数为A ．5B ．6C ．7D ．82．已知复数（i 是虚数单位），则的虚部为A ． -3B ．-3iC ．3D ．3i3．给定命题p ：函数ln[(1)(1)]y x x =-+为偶函数；命题q ：函数为偶函数，下列说法正确的是 A ．是假命题B ．是假命题C ．是真命题D ．是真命题4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2312a a a =，且472a a 与的等差中项为54，则5S = A ．36 B ．33 C ．31D ．295．下列几个命题中，真命题是 A ．,.l m n 是空间的三条不同直线，若B ．α，β，γ是空间的三个不同平面，若C ．两条异面直线所成的角的范围是D ．两个平面相交但不垂直，直线，则在平面β内不一定存在直线与m 平行，但一定存在直线与垂直．6．已知a,b 是两个互相垂直的向量，|a|=1，|b|=2，则对任意的正实数t ，的最小值是A ．2B ．C ．4D ．7．B 1、B 2是椭圆短轴的两端点，O 为椭圆中心，过左焦点F 1作长轴的垂线交椭圆于P ，若|F 1B 2|是|OF 1|和|B 1B 2|的等比中项，则的值是AB ．2C ．2D ．38．函数的零点所在的区间是A ．B ．C ．D ．9．已知正三棱锥P —ABC 的主视图和俯视图如图所示，则此三棱锥外接球的表面积为10．已知直线交于不同的两点A 、B ，O是坐标原点，且有，那么实数k 的取值范围是A ．B ．C ．D ．11．设关于x ，y 的不等式组表示的平面区域内存在点P(a ，b),满足a-3b=4，则实数m 的取值范围是A ．B ．C ．D ．12．在平面直角坐标系中，定义之间的“折线距离”，在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆； ③到两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x=0；④到两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．其中真命题有 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．若直线平行，则m+n= 。

黑龙江省哈三中2014届高三上学期第二次验收数学文试题

哈三中 2013－2014 学年度高三学年第二次验收考试数学试卷（文）考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用 2B 铅笔填涂，非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷一、选择题（本题共有 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 复数 z 满足 z(1 + i) = 1 - 2i （ i 为虚数单位），则复数 z 在复平面内所对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2 xA. x | 0 x 2B. {x | 0 < x < 1}C.{x | 0 < x ≤ 1}D. {x | 0 < x ≤ 2} 3.已知向量 a = (2,3), b = (x,1) ，若 a ⊥ b ，则实数 x 的值为 A.3 2 B. -3 2C.2 3 D. -234. 已知 A, B, C 三点共线， OC =13OB + λOA ，则 λ = A. 13 B. 2 3 C. 1D. 3 2 5. 若 cos α = - 4 5， α 是第二象限角，则 tan 2α =A. 1 2B. - 12 C.24 7 D. - 24 7数学试卷(文)第 1 页共 4 页已知函数 f ( x ) = A sin(ωx +6. 已知 sin(π- x ) =13，则 cos( x + 5π) =A.3B.-3C. -1 3D.1 37.∆ABC 中， BC = a , AC = b ， a , b 是方程 x 2 - 2 3x + 2 = 0 的两个根，C = 60︒，则 ∆ABC 的周长为A. 6 + 2 3B. 10 + 2 3C.6 + 2D. 10 + 28.已知向量 a , b ，若a =b = 1， | a - 2b |=3 ，则 a 与 b 的夹角为9. A. B. C. D. 的两条对称轴间的距离为，则 f ( x ) 的解析式为A. f ( x ) = 3sin(4x + ) + 1B. f ( x ) = 4 sin(4x + ) + 1C. f ( x ) = 3sin(2x + ) + 1D. f ( x ) = 3sin( x + ) + 1466 3 2 3 ) + 1 ( A > 0,ω > 0) ，若10. 将函数 f (x ) = sin 2x - 3 cos 2x 的图象沿 x 轴向左平移 a 个单位 (a > 0) ，所得图象关于 y 轴对称，则 a 的最小值是A.π 6B.π 3C.5π 12D.5π 611. 给定下列命题：①在 ∆ABC 中， ∠A < ∠B 是 cos 2A > cos 2B 的充要条件；② λ, μ 为实数，若 λ a = μ b ，则 a 与 b 共线；③若向量a ,b 满足 a = b ，则 a = b 或 a = -b ；④ f (x ) =| sin x | + | cos x | ，则 f ( x ) 的最小正周期是 π . 其中真命题个数是 A.0 B.1 C.2D.312. 已知函数 f ( x ) = ⎨ 13. 函数 y = sin x + 2 sin x 的值域为, sin ) ， b = (- 3,1) ， f ( x ) = a ⋅ b .（I ）求 f ( x ) 的最小正周期与单调减区间；⎧kx + 1, x ≤ 0 ⎩ln x , x > 0，则下列关于函数 y = f [ f (x )]的零点个数判断正确的是A.当 k > 0 时，有 3 个零点，当 k < 0 时，有 2 个零点B.当 k > 0 时，有 4 个零点，当 k < 0 时，有 2 个零点C.无论 k 为何值时，均有 2 个零点D.无论 k 为何值时，均有 4 个零点第Ⅱ卷二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分） 214. 防洪纪念塔高 22 米，松花江中两条船由船上测得塔尖仰角分别为 30︒,45︒ ，而且两船与塔底部连线成 30︒ ，则两船距离为 _______________ 米（塔底与船在同一水平面）15. 在平行四边形 ABCD 中， AC 与 BD 交于点 O ， E 是线段 OD 的中点， AE 的延长线与 CD 交于点 F ，若AC = a ， BD = b BF = λa + μb ，则 λ + μ =16. 设 O 是 ∆ABC 内部一点， + 2 + 4 0 ,则 ∆ABC 和 ∆OBC 的面积之比为 ________三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本小题满分 10 分）已知 e 1, e 2 为单位向量，且向量a = 2e 1 + e 2 ，b = e 1 - e 2 .（I ）若 a ⋅ b = 32，求 e 1 与 e 2 的夹角θ ；（II ）若a -b ≤ k 恒成立，求实数 k 的取值范围.18. （本小题满分 12 分）已知向量 a = (cos x2 x2．已知函数 f (x ) = log 2 (4 + 1) + kx (k ∈ R ) 是偶函数.（II ）设函数 g ( x ) = log 2 (2 - ) + log 2 a ，若函数 f ( x ) 与 g (x ) 的图象有且只有一已知函数 f (x ) = x - ax+ ln x . （II ）求 f ( x ) 在 [0,π ]上的最大值和最小值.19. （本小题满分 12 分）已知函数 f ( x ) = A cos( x 4 + π 6) ， x ∈ R ,且 f (2π ) = -1.（I ）求 A 的值；（II ）设 α , β ∈ [0, π 2]， f (4α + 4π 3 ) = - 30 17， f (4β - 2π 3) = 8 5，求 cos( α + β ) 的值.20. （本小题满分 12 分）在 ∆ABC中 ,角A ,B , C的对边分别为a ,b ,c ,且2b cos 2A +B 2- c cos B - b = - 2a cos A（I ）求 A ；（II ）若a = 2 2 ，求 ∆ABC 面积的最大值.21. （本小题满分 12 分）x（I ）求 k 的值；x 4 3 个交点，求实数 a 的取值范围.22. （本小题满分 12 分）2（I ）讨论函数 f ( x ) 的单调性；（II ）设函数 f ( x ) 有两个极值点 x 1 ， x 2 ，且 x 1 ∈ ( 0 , 12) ，求证： f ( x 1 ) - f ( x 2 ) > 34- ln 2 ；。

(附加20套期末模拟试卷)黑龙江省哈三中2020届高三上学期第四次验收(期末)考试数学(文)试题及答案

黑龙江省哈三中2020届高三上学期第四次验收（期末）考试数学（文）试题及答案考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合，则B 中所含元素的个数为A ．5B ．6C ．7D ．82．已知复数（i 是虚数单位），则的虚部为A ． -3B ．-3iC ．3D ．3i3．给定命题p ：函数ln[(1)(1)]y x x =-+为偶函数；命题q ：函数为偶函数，下列说法正确的是 A ．是假命题B ．是假命题C ．是真命题D ．是真命题4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2312a a a =，且472a a 与的等差中项为54，则5S =A ．36B ．33C ．31D ．295．下列几个命题中，真命题是 A ．,.l m n 是空间的三条不同直线，若B ．α，β，γ是空间的三个不同平面，若C ．两条异面直线所成的角的范围是D ．两个平面相交但不垂直，直线，则在平面β内不一定存在直线与m 平行，但一定存在直线与垂直．6．已知a,b 是两个互相垂直的向量，|a|=1，|b|=2，则对任意的正实数t ，的最小值是A ．2B ．C ．4D ．7．B 1、B 2是椭圆短轴的两端点，O 为椭圆中心，过左焦点F 1作长轴的垂线交椭圆于P ，若|F 1B 2|是|OF 1|和|B 1B 2|的等比中项，则的值是AB ．2C ．2D ．38．函数的零点所在的区间是A ．B ．C ．D ．9．已知正三棱锥P —ABC 的主视图和俯视图如图所示，则此三棱锥外接球的表面积为10．已知直线交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，且有，那么实数k 的取值范围是A ．B ．C ．D ．11．设关于x ，y 的不等式组表示的平面区域内存在点P(a ，b),满足a-3b=4，则实数m 的取值范围是 A ．B ．C ．D ．12．在平面直角坐标系中，定义之间的“折线距离”，在这个定义下，给出下列命题： ①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆； ③到两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x=0；④到两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．其中真命题有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．若直线平行，，则m+n= 。

黑龙江省哈尔滨市第三中学2014届高三上学期第四次月考数学理答案.docx

哈三中2013－2014学年度高三学年第四次验收考试数学试卷（理）答案一选择题1.D2.A3.B4.C5.D6.A7.C8.B9.B10.C11.B12.C二填空题13.1 14.(0,1) 三解答题17.解：（Ⅰ）()2sin(2)6f x x π=+，2[0,],[,]63πππ单调递增，2[,]63ππ单调递减;（Ⅱ）cos α=18.解：;（Ⅱ）1CE =u u u r u u u u r ． 19.解：（Ⅰ）2214x y += （Ⅱ）由相切知：221m k =+，22440x y y kx m⎧+-=⎨=+⎩，代入得：()222148440k x kmx m +++-=，由于：2480k ∆=>恒成立，设()11,A x y 、()22,B x y ，则：1222212228144441414km x x k m kx x k k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅==⎪++⎩，zxxkAB ==112S =⨯=1≤=当且仅当2231k k =+即212k =时取等;此时,直线斜率22k =±. 20.解：（Ⅰ）设),1,(),,(),,(002211-x x P y x B y x A 由121|'.',2x y x y y x x x ====因此得抛物线C 在点A 处的切线方程为.),(11111y x x y x x x y y -=-=-即……4分而A 点处的切线过点,1),1,(101000y x x x x x P -=--所以即.01)1(101=-+-y x x 同理，.01)1(202=-+-y x x可见，点A 、B 在直线01)1(0=-+-y x x 上．令1,01,01===-=-y x y x 解得，所以，直线AB 过定点()1,1Q ；（Ⅱ）设003344(,1),(,),(,)P x x M x y N x y -，直线PQ 的方程为.1112,1)1(11)1(00000-+--=+----=x x x x y x x x y 即由000221112,x y x x x x y -⎧=+⎪--⎨⎪=⎩，消去y ，得.0121)2(20002=-----x x x x x 由韦达定理，.12,1)2(20430043--=--=+x x x x x x x 而||||||||||||||||QN QM PN PM PN QM QN PM =⇔⋅=⋅ 303304403404343403401()(1)()(1)12()()20()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --⇔=⇔--=----⇔-+-++=*将12,1)2(20430043--=--=+x x x x x x x 代入方程（*）的左边，得（*）的左边000000021)2(21)2(214x x x x x x x +--------=22000000424242201x x x x x x --+-++-==- 因而有PM QN QM PN ⋅=⋅.21.解：（Ⅰ）(0,2)单调递减,(2,)+∞单调递增；（Ⅱ）24ln 2-；（Ⅲ）]13,(--∞e . 22.解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程220x y x +-=,zxxk直线l的普通方程20y -+=；（Ⅱ）6+.23. 解：（Ⅰ）10[2,]3-．zxxk （Ⅱ）实数a 的取值范围[)6,+∞．。

黑龙江省哈三中2013-2014学年高二上学期期末数学文试题 PDF版含word版答案

2013年黑龙江省学业水平考试数学（文科）试卷考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分, 满分150分．考试时间为120分钟；（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷（选择题, 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．一个年级有8个班，每个班50人，每班从501-排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为的12的同学参加交流活动，这里运用的抽样方法是A ．简单随机抽样B ．系统抽样C ．分层抽样D ．以上都不对 2．直线0126=++y x 的倾斜角是 A ．6π B ．3πC ．32πD ．65π3．双曲线1222=-x y 的实轴长为A ．1B ．2C ．2D ． 224．由圆外一点)0,0(P 作圆012222=+--+y x y x 的切线，则切线长为 A ．1 B ．2 C ．3 D ． 25．若用水量x kg 与某种产品的产量y kg 的回归直线方程是ˆ21250y x =+，则用水量为kg 50时，预计的产量是A ．kg 1300B ．kg 1350C ．kg 1400D ．kg 1500 6．将一骰子连掷两次，则两次的点数之和为5的概率是A ．361B ．181C ．91D ．3657．容量为100的样本数据，分为8组，如下表：组号 1 2 3 4 5 6 7 8 频数1013x141513129第三组的频数和频率分别是A ．14和14.0B ．14.0和14C ．141和14.0 D ．31和1418．在半径为2的圆内任取一点，则该点到圆心的距离小于1的概率是A ．81 B ．41 C ．21D ．1 9．过点()2,2-且与双曲线1222=-y x 有相同渐近线的双曲线方程是A ．14222=-y xB ．14222=-x yC ．12422=-y xD ．12422=-x y10．已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y 则y x z +=2的最大值为A ．3-B ．1C ．23D ．3 11．已知F 为抛物线x y 22=的焦点，)1,2(Q 是一个定点，点P 在抛物线上，则PF PQ +的最小值为A ．1B ．2C ．25 D ．27 12．已知),(b a M ()0≠ab 是圆222:r y x O =+内一点，现有以M 为中点的弦所在直线m 和直线2:r by ax l =+，则A ．m ∥l ，且l 与圆相交B ．l m ⊥，且l 与圆相交C ．m ∥l ，且l 与圆相离D ．l m ⊥，且l 与圆相离2400 2700 3000 3300 3600 3900 体重0001频率/组距第Ⅱ卷（非选择题, 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上)13．已知双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的实轴长与虚轴长相等，则双曲线C 的离心率为．14．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在(]3000,2700的频率为．15．已知两点)0,0(A 、)0,1(B ，在线段AB 上任取一点P ，则PB PA 2>的概率为．16．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为21，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为8，则椭圆G 的方程为．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本大题满分10分）袋中有形状、大小完全相同写有号码的5个小球，其中31-号为红球，54-号为黑球．（1）现从中任取一球，求球的编号为奇数的概率；（2）现从中一次取出两个小球，求两球的颜色不同的概率． 18．（本大题满分12分）已知直线0243=++y x 与圆0422=++x y x 相交于A 、B 两点．（Ⅰ）求线段AB 的垂直平分线方程；（Ⅱ）求弦AB 的长．19．（本大题满分12分）对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：问：甲、乙谁的平均成绩更好？谁的各门功课发展较平衡？ 20．(本大题满分12分)已知抛物线)0(2:2>=p px y C 过点()2,2，（1）求抛物线C 的方程；（2）判断直线21:+=x y l 与抛物线C 的位置关系． 21．(本大题满分12分)以下是某公司投入的科研经费x （百万元）与公司利润增长值y （百万元）的数据：科研经费x （百万元） 3 4 5 6 利润增长值y （百万元）5.2345.4（1）若y x ,线性相关，求y 关于x 的线性回归方程∧∧∧+=a x b y ；（2）根据（1）的结果估计当投入科研经费为8（百万元）时的利润增长值．附：()∑∑==∧--=ni ini iixn xyx n yx b 1221，x b y a ∧∧-=．22．(本大题满分12分)已知椭圆的方程为1422=+y x ，直线1+=kx y 与椭圆交于B A ,两点，OB OA ⊥，（1）求k 的值；（2）求三角形OAB 的面积．。

黑龙江哈尔滨第三中学2024届高三上学期第四次验收考试数学试题(含答案与解析)_4987

哈三中2023~2024学年度下学期第四次模拟考试高三数学本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题（共58分）（一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知,R a b ∈，“22a b =”是“222a b ab +=”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件2. 已知101mx A x mx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，若2A ∈，则m 的取值范围是（）A. 1122m -≤< B. 1122m -≤≤ C. 12m ≤-或12m >D. 12m ≤-或12m ≥3. ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin tan a B b A =，ABCbc =（）A.B.C. 2D. 44. 若数列{}n a 满足11222,3,n n n a a a a a --===（3n ≥且*N n ∈），则2024a 的值为（） A. 3B. 2C.12D.235. 已知向量a ，b 满足2a = ，()3,0b =，a b -= ，则向量a 在向量b方向上的投影向量为（）A. 1,06⎛⎫⎪⎝⎭B. 1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,02⎛⎫⎪⎝⎭D. ()1,06. 2025年第9届亚冬会将在哈尔滨举办，某校的五位同学准备前往哈尔滨冰雪文化博物馆、群力音乐公园、哈尔滨极地公园三个著名景点进行打卡，已知每个景点至少有一位同学前往，并且每位同学只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙必须选同一个景点，则不同的选法种数是（） A. 18B. 36C. 54D. 727. 已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（）A. ()e e 32x xf x x --=-B. ()e e 23x xf x x--=-C. ()e e 32x xf x x -+=-D. ()21xf x x =- 8. 过椭圆22:194x y C +=上的任意一点M （不与顶点重合）作椭圆的切线交x 轴于点N ，O 为坐标原点，过N 作直线OM 的垂线交直线OM 于点P ，则OM OP ⋅（） A. 既没最大值也没最小值 B. 有最小值没有最大值 C. 有最大值没有最小值D. 定值（二）多项选择题（共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 已知i 是虚数单位，下列说法正确的是（） A. 复数1z ，2z 满足12z z =，则12z z =B. 已知a ，b ，c ，d ∈R ，若a c >，b d >，则i i a b c d +>+C. 复数z 满足i 2i z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为一条直线为D. 复数z满足2i 1z -=-12340z z z z +++=10. 已知圆锥SO （O 是底面圆的圆心，S1.若,P Q 为底面圆周上任意两点，则下列结论正确的是（） A. 三角形SPQ 面积的最大值为2 B. 三棱锥O SPQ -体积的最大值23C. 四面体SOPQ 外接球表面积的最小值为19π3D. 直线SP 与平面SOQ11. 已知函数()()π0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，()f x '为()f x 导函数，且满足()01f =，则下列结论中正确的是（） A. π4ϕ=B. 函数()()()g x f x f x '=+的图象不可能关于y 轴对称C. 若()f x 最小正周期为2π，且()35f α=，则16sin225α=-D. 若函数()f x 在ππ,44⎛⎫-⎪⎝⎭上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数ω的取值范围是(]3,5 第Ⅱ卷（非选择题，共92分）二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上）12. 已知空间中有三点()0,0,0O，()1,1,1A -，()1,1,0B ，则点O 到直线AB 的距离为______.13. 在5121x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为______.14. 牛顿选代法又称牛顿——拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法.具体步骤如下图示：设r 是函数()y f x =的一个零点，任意选取0x 作为r 的初始近似值，在点()()0,x f x 作曲线()y f x =的切线1l ，设与1l 轴x 交点的横坐标为1x ，并称1x 为r 的1次近似值；在点()()11,x f x 作曲线()y f x =的切线2l ，设与2l 轴x 交点的横坐标为2x，称2x 为r 的2次近似值.一般地，在点()()(),N n n x f x n ∈作曲线()y f x =的切线1n l+，记1n l+与x 轴交点的横坐标为1n x +，并称1n x +为r的的1n +次近似值.设()()330f x x x x =+-≥的零点为r ，取00x =，则r 的1次近似值为______；若nx 为r 的n 次近似值，设33323n nn n x x a x +=+，N n *∈，数列{}n a 的前n 项积为n T .若任意N n *∈，n T λ>恒成立，则整数λ的最大值为______.三、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 如图，边长为4的两个正三角形ABC ，BCD 所在平面互相垂直，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，点G 在棱AD 上，2AG GD =，直线AB 与平面EFG 相交于点H . （1）从下面两个结论中选一个证明：①BD GH ∥；②直线HE ，GF ，AC 相交于一点；注：若两个问题均作答，则按第一个计分. （2）求点A 到平面EGH 的距离.16. 已知正项等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 前n 项和，()1222nn n n a S +=-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令222,1,log log n n nn a n b n a a +⎧⎪=⎨⎪⋅⎩为奇数为偶数，设数列{}n b 的前n 项和n T ，求2n T . 17. 2023年以来，哈尔滨掀起了一波旅游热潮.太阳岛某游乐园的一个迷宫如图，票价为每人10元，游客从A 处进入，沿图中实线游玩且规定只能向北或向东走（且除M ，N 外其他每个路口选择向北和向东的概率均为12），直到从n （1n =，2，3，4，5）号出口走出，且从n 号出口走出后，会得到一份奖金2n 元.的（1）随机调查了进游乐园的50名游客，统计出喜欢走迷宫的人数如表：男性女性总计喜欢走迷宫 141630不喜欢走迷宫 16420总计302050 根据小概率值0.025α=的独立性检验，能否认为喜欢走迷宫与性别有关？如果有关，请解释它们之间如何相互影响；附()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.α 0.100.05 0.025 0.01 0.005 0.001x α 2.70638415.0246.6357.879 10.828（2）设某位游客获得奖金X 元，求随机变量X 的分布列和数学期望；（3）若每天走迷宫的游客大约为100人，则迷宫项目每天收入约为多少？18 已知1,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，平面内动点P 满足MP MN NP ⋅= . （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）动直线l 交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，若..34αβπ+=，求证直线l 过定点，并求出该定点坐标；（3）设（2）中定点为Q ，记OQA 与OQB △的面积分别为1S 和2S ，求12S S ⋅的取值范围.19. 若函数()y f x =的图象上的若干个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数()y f x =的图象的“自公切线”，称这若干个点为函数()y f x =的图象的一组“同切点”例如，如图，直线l 为函数()y f x =的图象的“自公切线”，A ，B 为函数()y f x =的图象的一组“同切点”.（1）已知函数()cos f x x x =在0x =处的切线为它的一条“自公切线”，求该自公切线方程；（2）若R a ∈，求证：函数()tan g x x x a =-+，ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有唯一零点，且该函数的图象不存在“自公切线”；（3）设*N n ∈，函数()tan πn x h x x n =--，πππ,π22x n n ⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭的零点为n q ，求证：()()22,n n n A q f q 为函数()cos f x x x =的一组同切点.参考答案一、选择题（共58分）（一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知,R a b ∈，“22a b =”是“222a b ab +=”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.【详解】由22a b =，则a b =±，当0a b =-≠时222a b ab +=不成立，充分性不成立；由222a b ab +=，则2()0a b -=，即a b =，显然22a b =成立，必要性成立；所以22a b =是222a b ab +=的必要不充分条件. 故选：B2. 已知101mx A x mx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，若2A ∈，则m 取值范围是（）A. 1122m -≤< B. 1122m -≤≤ C. 12m ≤-或12m >D. 12m ≤-或12m ≥【答案】A 【解析】【分析】将2x =代入101mx mx +≤-，然后转化为一元二次不等式求解可得.【详解】因为2A ∈，所以21021m m +≤-，等价于()()21210210m m m ⎧+-≤⎨-≠⎩，解得1122m -≤<. 故选：A3. ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin tan a B b A =，ABCbc =（）A.B.C. 2D. 4【答案】D 【解析】【分析】由2sin tan a B b A =，利用边化角，求解A ,bc ，判断选项. 【详解】由2sin tan a B b A =，则2sin sin sin tan (sin 0)A B B A B =>,故1cos 2A =, 又0A π<<，所以3A π=,由ABC1sin 2ABC bc S A == ,即4bc =. 故选：D的4. 若数列{}n a 满足11222,3,n n n a a a a a --===（3n ≥且*N n ∈），则2024a 的值为（） A. 3 B. 2C.12D.23【答案】A 【解析】【分析】利用递推数列的性质，找到数列的周期，求出即可. 【详解】因为(11222,3,3n n n a a a a n a --===≥且)*N n ∈，所以3567243456781234563112,,,,2,3,2233a a a a a a a a a a a a a a a a a a ============ ，所以数列{}n a 具有周期性，且6T =，所以20243376223a a a ⨯+===. 故选：A.5. 已知向量a ，b 满足2a = ，()3,0b =，a b -= ，则向量a 在向量b方向上的投影向量为（） A. 1,06⎛⎫⎪⎝⎭B. 1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,02⎛⎫⎪⎝⎭D. ()1,0【答案】C 【解析】【分析】由题意可知：3b = ，根据模长关系结合数量积的运算律可得32a b ⋅= ，进而可求投影向量.【详解】由题意可知：3b =，因a b -= ，则2222a b a a b b -=-⋅+r r r r r r ，即10429a b =-⋅+r r，可得32a b ⋅= ，所以向量a 在向量b 方向上的投影向量为211,062a b b b b ⎛⎫⋅⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r r r r .故选：C.6. 2025年第9届亚冬会将在哈尔滨举办，某校的五位同学准备前往哈尔滨冰雪文化博物馆、群力音乐公园、哈尔滨极地公园三个著名景点进行打卡，已知每个景点至少有一位同学前往，并且每位同学只能选择为其中一个景点，若学生甲和学生乙必须选同一个景点，则不同的选法种数是（） A. 18 B. 36 C. 54 D. 72【答案】B 【解析】【分析】先根据甲乙选的景点其他人是否选分成两类情况，①无人再选，按照1,2,2分组计算方法数；②还有人选，按照1,1,3部分平均分组计算方法数，最后用分类加法原理计算总的方法数即可. 【详解】若甲、乙选的景点没有其他人选，则分组方式为：1,2,2的选法总数为：233318C A =，若甲、乙选的景点还有其他人选择，则分组方式为：1,1,3的选法总数为：11332322C C A 18A =，所以不同的选法总数为: 181836+=. 故选：B.7. 已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（）A. ()e e 32x xf x x --=-B. ()e e 23x xf x x--=-C. ()e e 32x xf x x -+=-D. ()21xf x x =- 【答案】A 【解析】【分析】利用()f x 在2,3∞⎛⎫+⎪⎝⎭上的值排除B ，利用奇偶性排除排除C ，利用()f x 在()1,∞+上的单调性排除D ，从而判断选项.【详解】对于B ，当23x >时，()e e 23x xf x x--=-，e e 0x x -->，230x -<，则()0f x <，不满足图象，故B 错误;对于C ，()e e 32x x f x x -+=-，定义域为2222,,,3333∞∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋃-⋃+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而()()e e 32x xf x f x x -+-==-，关于y 轴对称，故C 错误;对于D,当1x >时，()22211x f x x x ==+--，由反比例函数的性质可知()f x 在()1,∞+单调递减，故D 错误;利用排除法可以得到，()e e 32x xf x x --=-在满足题意，A 正确.故选：A8. 过椭圆22:194x y C +=上的任意一点M （不与顶点重合）作椭圆的切线交x 轴于点N ，O 为坐标原点，过N 作直线OM 的垂线交直线OM 于点P ，则OM OP ⋅（） A. 既没最大值也没最小值 B. 有最小值没有最大值 C. 有最大值没有最小值 D. 为定值【答案】D 【解析】【分析】利用导数求得切线斜率以及MN 方程，从而求得点N 坐标，再结合点到直线的距离公式以及两点之间的距离公式求得,OM OP ，再求乘积即可.【详解】设()00,M x y ，对22194x y +=求导可得：292y x +y '0=，解得y '49x y =-，故MN 方程为：()000049x y y x x y -=--，即2200009944y y y x x x -=-+，2200004949x x y y x y +=+，又22004936x y +=，故MN 方程为：004936x x y y +=；令0y =，解得09x x =，故09,0N x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；又OM 方程为00y y x x =，故0NP ===则OP ====，又OM =，故9OM OP ==.故选：D.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用函数求导求得过点M 的切线方程，事实上，也可在选填中根据二级结论直接写出MN 方程.（二）多项选择题（共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 已知i 是虚数单位，下列说法正确的是（） A. 复数1z ，2z 满足12z z =，则12z z =B. 已知a ，b ，c ，d ∈R ，若a c >，b d >，则i i a b c d +>+C. 复数z 满足i 2i z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为一条直线D. 复数z 满足2i 1z -=-12340z z z z +++= 【答案】AD 【解析】【分析】根据共轭复数以及模长公式即可求解A ，根据虚数的性质即可求解B ，根据复数模长即可根据圆的方程求解C ，根据i 的周期性即可求解D.【详解】对于A ，由于12z z =，则12z z =，故12z z =，故A 正确；对于B ，若i,i a b c d ++为虚数，由于虚数不可以比较大小，故B 错误，对于C ，设i,,R z x y x y =+∈，则i 2i z z -=+⇒=，化简可得2251639x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则z 在复平面内对应中的轨迹为圆，故C 错误，对于D ，由2i 1z -=-2i 2z -=，则i z =，故12341234i 1i 10i i i i z z z z =-+++=++-+=+，故D 正确，故选：AD ．10. 已知圆锥SO （O 是底面圆的圆心，S 1.若,P Q 为底面圆周上任意两点，则下列结论正确的是（） A. 三角形SPQ 面积的最大值为2 B. 三棱锥O SPQ -体积的最大值23C. 四面体SOPQ 外接球表面积的最小值为19π3D. 直线SP 与平面SOQ 【答案】BD 【解析】【分析】对于A ，判断PSC ∠为钝角，确保PSQ ∠取得到π2，然后由面积公式求解可判断A ；对于B ，根据1sin 2OPQS OP OQ POQ =⋅⋅∠ 可判断B ；对于C ，利用正弦定理求OPQ △的外接圆半径1sin r θ=，然后可得外接球半径，根据θ范围可判断C ；对于D ，作PD OQ ⊥，然后证明PD ⊥平面SOQ ，可得sin PD POQ SP θ==∠，可判断D.【详解】对于A ，延迟PO 交底面圆于点C ，因为1SP SO ==，所以4PC ==，在SPC 中，由余弦定理得3cos 5PSC ∠==-，所以PSC ∠为钝角，所以15sin 22SPQ S PSQ =∠≤ ，当且仅当2πPSQ ∠=时等号成立，所以三角形SPQ 面积的最大值为52，A 错误；对于B ，因为1sin 2sin 2OPQ S OP OQ POQ POQ =⋅⋅∠=∠ ，所以三棱锥O SPQ -体积为12sin 33OPQ S SO POQ ⋅=∠ ，当πsin 2POQ ∠=时取得最大值23，B 正确；对于C ，记四面体SOPQ 外接球半径为R ，OPQ △的外接圆半径为r ，OPQ θ∠=，因为OP OQ =，OPQ △为等腰三角形，所以π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为球心到,S O 的距离相等，所以球心在SO 的中垂面上，故球心到平面OPQ 的距离为12，由正弦定理得12sin sin OQ r θθ==，所以222112sin R θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, 因为20sin 1θ<<，所以211sin θ>，254R >，所以四面体SOPQ 外接球表面积24π5πS R =>，无最小值，C 错误；对于D ，作PD OQ ⊥，垂足为D ，因为SO ⊥平面OPQ ，SO ⊂平面SOQ ，所以平面SOQ ⊥平面OPQ ，又平面SOQ ⋂平面OPQ OQ =，PD ⊂平面OPQ ，所以PD ⊥平面SOQ ，记直线SP 与平面SOQ 所成角为α，则sin PD PD SP α==，又sin 2sin PD OP POQ POQ =∠=∠，所以sin POQ α=∠，当π2POQ ∠=时，sin α，D 正确.故选：BD11. 已知函数()()π0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，()f x '为的()f x 导函数，且满足()01f =，则下列结论中正确的是（） A. π4ϕ=B. 函数()()()g x f x f x '=+的图象不可能关于y 轴对称C. 若()f x 最小正周期为2π，且()35fα=，则16sin225α=-D. 若函数()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数ω的取值范围是(]3,5【答案】ACD 【解析】【分析】代入()01f =即可求解A ，根据1ω=，结合辅助角公式即可求解B ，根据二倍角公式即可求解C ，根据()f x 可得最值点满足πππ,Z 42x k k ω+=+∈，即可列不等式求解D.【详解】对于A ，()01sin f ϕϕ==⇒=，由于π02ϕ<<，所以π4ϕ=，A 正确，对于B ，()()()()()cos g x f x f x x x ωϕωϕ'++=+，当1ω=时，()πππ2sin 2cos 442x x x x g x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=为偶函数，其图象关于y 轴对称，故B 错误，对于C ，()f x 最小正周期为2π，所以1ω=，故()π4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()π3πsin 454fααα⎛⎫⎛⎫+⇒+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭=，故2ππ16cos 212sin 2425αα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即16sin225α=-，C 正确，对于D ，因为()π4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令πππ,Z 42x k k ω+=+∈，则ππ,Z 4k x k ωω=+∈，故7π3ππ5π,,4444x ωωωω=-- ,,, 由于()f x 在ππ,44⎛⎫-⎪⎝⎭上恰有一个最大值点和一个最小值点，根据对称可知这两个极值点分别为3ππ,44ωω-，故7ππ3π444ππ5π444ωωωω⎧-≤-<-⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩，解得35ω<≤，故D 正确，故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题D 选项解决的关键在于，利用整体代入法求得()f x 的最值点，从而得到关于ω的不等式，由此得解.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上）12. 已知空间中有三点()0,0,0O，()1,1,1A -，()1,1,0B ，则点O 到直线AB 的距离为______.【解析】【分析】求出,OA AB 的坐标，求出cos ,OA AB，根据点O 到直线AB 的距离为sin ,OA OA AB 即可求解.【详解】因为()0,0,0O ，()1,1,1A -，()1,1,0B ，所以()()1,1,1,0,2,1OA AB =-=-,所以OA = ，()()1012113OA AB ⋅=⨯+-⨯+⨯-=-.所以cos ,OA AB OA AB OA AB⋅===所以sin ,OA AB === 所以点O 到直线AB的距离为sin ,OA OA AB ==.13. 在5121x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为______. 【答案】81 【解析】【分析】5121x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中通项公式()215C 1C ,,,N 2k k r r k rr k r T r k r k x --+=-≥∈,令20r k -=，即可得出．【详解】5121x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中通项公式：15C ,0,1,2,351(2,),4rr r T x r x +=-=．1(2)r x x-的通项公式：()()12C 11C ,,,N (2)()2r k k k k r k k r k r kr r k r k x x x ------≥=∈．故5121x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的通项为()215C 1C ,,,N 2k k r r k r r k r T r k r k x --+=-≥∈令20r k -=，则0k =，0r =；1k =，2r =；2k =，4r =．因此常数项2112422525412C (1)C 2C (1)C 81+⨯⨯-⨯+⨯-⨯=．故答案为：81．14. 牛顿选代法又称牛顿——拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法.具体步骤如下图示：设r 是函数()y f x =的一个零点，任意选取0x 作为r 的初始近似值，在点()()0,x f x 作曲线()y f x =的切线1l ，设与1l 轴x 交点的横坐标为1x ，并称1x 为r 的1次近似值；在点()()11,x f x 作曲线()y f x =的切线2l ，设与2l 轴x 交点的横坐标为2x，称2x 为r 的2次近似值.一般地，在点()()(),N n n x f x n ∈作曲线()y f x =的切线1n l+，记1n l+与x 轴交点的横坐标为1n x +，并称1n x +为r的1n +次近似值.设()()330f x x x x =+-≥的零点为r ，取00x =，则r 的1次近似值为______；若nx为r 的n 次近似值，设33323n nn n x x a x +=+，N n *∈，数列{}n a 的前n 项积为n T .若任意N n *∈，n T λ>恒成立，则整数λ的最大值为______.【答案】 ①. 3 ②. 1【解析】【分析】利用给定定义，整理出3122331n n n x x x ++=+，求值解决第一空即可，利用33323n nn n x x a x +=+求出1n n n x x a +=，进而得到n T ，再确定λ的最大值即可.【详解】易知()231f x x ='+，设切点为()3,3n n n x x x +-，由切线几何意义得斜率为231n x +，故切线方程为2331)()3n n n n y x x x x x =(+-++-，由给定定义知1(,0)n x +在该直线上，代入直线得331223233131n n n n n n n x x x x x x x ++-+=-+=++，当00x =时，易知13x =，故r 的1次近似值为3，由33323n nn n x x a x +=+得，331323n n n n n n x x x x a x ++==+， 121223113n n n n n x x x T a a a x x x x ++=⋅=⨯⨯⨯= ，而函数()()330f x x x x =+-≥的零点为r ，且()2310f x x '=+>，故()f x 在(0,)+∞上单调递增，且()10f <，()20f >，故()()21f f ⋅<0，由零点存在性定理得(1,2)r ∈，由题意得1333(,3)2n x r +→∈，故32λ<，而λ是整数，故m 1ax λ=，故答案为：3；1【点睛】关键点点睛：本题考查数列和导数新定义，解题关键是利用给定定义，然后表示出1n nn x x a +=，求出n T ，得到所要求的参数最值即可．三、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 如图，边长为4的两个正三角形ABC ，BCD 所在平面互相垂直，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，点G 在棱AD 上，2AG GD =，直线AB 与平面EFG 相交于点H . （1）从下面两个结论中选一个证明：①BD GH ∥；②直线HE ，GF ，AC 相交于一点；注：若两个问题均作答，则按第一个计分. （2）求点A 到平面EGH 的距离.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）选①，易知//EF BD ，从而得//BD 平面EFGH ，再由线面平行的性质定理，即可得//BD GH ；选②，易知GF 与AC 不平行，设GF AC K = ，根据点、线、面的位置关系，可证K HE ∈，从而得证；（2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，利用向量法求解点面距离即可．【小问1详解】证明：选①，因为E ，F 分别为BC ，CD 中点，所以//EF BD ，又EF ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，所以//BD 平面EFGH ，因为BD ⊂平面ABD ，平面ABD ⋂平面EFGH GH =，所以//BD GH ．选②，因为2AG GD =，F 是CD 的中点，所以GF 与AC 不平行，设GF AC K = ，则K AC ∈，K GF ∈，因为AC ⊂平面ABC ，GF ⊂平面EFG ，的所以K ∈平面ABC ，K ∈平面EFG ，又平面ABC ⋂平面EFG HE =，所以K HE ∈，所以直线HE ，GF ，AC 相交于一点．【小问2详解】连接EA ，ED ，因为ABC 与BCD △均为正三角形，且E 是BC 的中点，所以EA BC ⊥，ED BC ⊥，又平面ABC⊥平面BCD ，平面ABC ⋂平面BCD BC =，EA BC ⊥，EA ⊂平面ABC ，所以EA ⊥平面BCD ，因为ED ⊂平面BCD ，所以EA ED ⊥，故以E 为坐标原点，EB ，ED ，EA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0E ,(2B ,0,0)，()()(0,,2,0,0,0,0,D C A -,(1F -0)，所以(0,AD =-,23AG AD ⎛== ⎝ ，故(0G，所以(0,0,EA = ,(1EF =-0),(0EG =，设平面EFG 的法向量为(n x = ,y ,)z，则00n EF x n EG y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1y =，则x =，2z =-，所以n =,1,2)-，所以点A 到平面EFG的距离为||||EA n n ⋅==，故点A 与平面EFG．16. 已知正项等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，()1222nn n n a S +=-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令222,1,log log n n nn a n b n a a +⎧⎪=⎨⎪⋅⎩为奇数为偶数，设数列{}n b 的前n 项和n T ，求2n T . 【答案】（1）2n n a =（2）2122344n n n +-++ 【解析】【分析】（1）根据等比数列基本量的计算即可求解首项和公比，进而可求解通项，（2）根据等比数列求和公式以及裂项求和，结合分组求和即可求解. 【小问1详解】设{}n a 的公比为q ，0q > 由()1222nn n n a S +=-且0n a >可得：当1n =时，()211122242a a a =-=⇒=，当2n =时，()()2322222222460q q q q +=-=⇒+-=，解得2q =或3q =-（舍去），故2q =，故2n n a = 【小问2详解】的()2,1,2n n n b n n n ⎧⎪=⎨⎪+⎩为奇数为偶数，由于()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，则数列{}n b 的前2n 项和21321242(...)(...)n n n T b b b b b b -=+++++++3211111111(22...2)(...)22446222n n n -=++++-+--+++ ()2121411122142222344nn n n n +--⎛⎫=+-=+ ⎪-++⎝⎭ 17. 2023年以来，哈尔滨掀起了一波旅游热潮.太阳岛某游乐园的一个迷宫如图，票价为每人10元，游客从A 处进入，沿图中实线游玩且规定只能向北或向东走（且除M ，N 外其他每个路口选择向北和向东的概率均为12），直到从n （1n =，2，3，4，5）号出口走出，且从n 号出口走出后，会得到一份奖金2n 元.（1）随机调查了进游乐园的50名游客，统计出喜欢走迷宫的人数如表：男性女性总计喜欢走迷宫14 16 30不喜欢走迷宫164 20 总计 30 20 50 根据小概率值0.025α=的独立性检验，能否认为喜欢走迷宫与性别有关？如果有关，请解释它们之间如何相互影响；附()()()()()22n ad bca b c d a c b d χ-=++++.α0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001xα2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828（2）设某位游客获得奖金X元，求随机变量X的分布列和数学期望；（3）若每天走迷宫的游客大约为100人，则迷宫项目每天收入约为多少？【答案】（1）能，理由见解析；（2）分布列见解析，()6E X=；（3）400元.【解析】【分析】（1）根据列联表数据算出2χ，对照临界值表即可得出结论；（2）通过分析到达n号门需要向东和向北各走几次即可求出相应概率，从而可得分布列，再由期望公式可得期望；（3）利用（2）中期望可得每名走迷宫的游客带来的收入期望，然后可解.【小问1详解】零假设为0H：假设是否喜欢走迷宫与性别相互独立，根据表中数据计算得()22501441616505.556 5.024302030209χ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以，根据小概率值0.025α=的独立性检验，假设不成立，即喜欢走迷宫与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.025.男性中喜欢走迷宫的频率为1473015=，女性喜欢走迷宫的频率为164205=，由41257715=知，女性喜欢走迷宫频率大约是男性喜欢走迷宫频率的127倍.【小问2详解】由题知，X的可能取值有2,4,6,8,10，走到1号门需要向东走1次，向北走5次，或者经过点M 到达1号门，走到5号门需要向东走5次，向北走1次，或者经过点N 到达5号门，走()2,3,4n n =号门走出需要向东走n 次，向北走6n -次. 因为每个路口选择向北和向东的概率均为12，所以()66161172C 2264P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()6261154C 264P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()636156C 216P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()6261158C 264P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()665611710C 2264P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 得分布列如下： X 2 4 6 8 10P 764 1564 516 1564 764所以7155157()24681066464166464E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【小问3详解】由（2）知，每名走迷宫的游客带来的收入期望为1064-=，所以，100名游客带来的收入期望为4100400⨯=元，即迷宫项目每天收入约为400元.18. 已知1,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，平面内动点P 满足MP MN NP ⋅= . （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）动直线l 交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，若34αβπ+=，求证直线l 过定点，并求出该定点坐标；（3）设（2）中定点为Q ，记OQA 与OQB △的面积分别为1S 和2S ，求12S S ⋅的取值范围.【答案】（1）22y x =（2）证明见解析，()2,2--（3）()12,0S S ⋅∈+∞【解析】【分析】（1）确定向量的坐标，利用MP MN NP ⋅= ，化简即可求曲线C 的方程；（2）设直线l 的方程为x my t =+与抛物线方程联立，得韦达定理，根据34αβπ+=，利用和差角公式以及斜率公式可得12211212y x y x y y x x +=⋅-⋅，代入化简即可得即可证得22t m =-，即可求解定点；（3）根据11122211,22S OQ d S OQ d ====，即可根据点线距离得21220S S t >=求解. 小问1详解】设点P 的坐标为(,)x y . 由题意()11,,,,1,022MP x y NP x y MN ⎛⎫⎛⎫=+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，由MP MN NP ⋅=，得12x +=，化简得22y x = ∴所求曲线C 的方程为22y x =.【小问2详解】因为过点F 的直线l 与曲线C 有两个不同的交点A 、B ，所以l 的斜率不为零，故设直线l 的方程为,0x my t t =+≠联立方程组22y x x my t⎧=⎨=+⎩，消x 并整理得2220y my t --=，设A 1(x ，1)y ，B 2(x ，2)y ，于是122y y m +=，122y y t =-，2480m t ∆=+>，由于34αβπ+=，不妨设直线,OA OB 的斜率为12,k k ，则()12121212tan tan tan 1111tan tan 1k k k k k k k k αβαβαβ+++=-=⇒=-⇒+-=---，【所以1212121212121y y y y k k k k x x x x +-=+-⋅=-，即12211212y x y x y y x x +=⋅-⋅，进而()()()()12211212y my t y my t y y my t my t +++=⋅-+⋅+，整理得()()()221212210m m y y t mt y y t +-++++=，将122y y m +=，122y y t =-代入可得()()()2221220m m t t mt m t +--+++=，化简得()222220t mt t t t m -+=-+=，由于0t ≠，所以22022t m t m -+=⇒=-，则直线方程为()2222x my m x m y =+-⇒+=+，故直线l 过定点()2,2--，【小问3详解】由题意可知()2,2Q --，则直线OQ 方程为0x y -=，且OQ =，11122211,22S OQ d S OQ d ====，其中12,d d 分别为,A B 到直线OQ 的距离，12d所以()()1221211S S m y t m y t ==---- ()()()22122111,m y y t m y y t =---++代入122y y m +=，122y y t =-，()()()()2222212*********S S m t t m m t t t mt t t t t t =----+=-+=-++=，由于2480m t ∆=+>且22t m =-，故()22Δ1246320t t t =++=+->，解得6t >-+或6t <--，故220t >，故()120,S S ∞⋅∈+..【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法：（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x -=-，则直线过定点()00,x y ；若直线方程为y kx b =+(b 为定值)，则直线过定点()0,.b19. 若函数()y f x =的图象上的若干个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数()y f x =的图象的“自公切线”，称这若干个点为函数()y f x =的图象的一组“同切点”例如，如图，直线l 为函数()y f x =的图象的“自公切线”，A ，B 为函数()y f x =的图象的一组“同切点”.（1）已知函数()cos f x x x =在0x =处的切线为它的一条“自公切线”，求该自公切线方程；（2）若R a ∈，求证：函数()tan g x x x a =-+，ππ,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭有唯一零点，且该函数的图象不存在“自公切线”；（3）设*N n ∈，函数()tan πn x h x x n =--，πππ,π22x n n ⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭的零点为n q ，求证：()()22,n n n A q f q 为函数()cos f x x x =的一组同切点.【答案】（1）y x =（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程；（2）利用导数探讨单调性结合零点存在性定理推理即得唯一零点，再假定存在“自公切线”，利用导数的几何意义求出切线方程，证明112sin 2x x =在π(0,2上无解即得.（3）利用导数说明()n h x 的单调性，即可得到零点为πn ，则πn q n =，表示出()f x 在()00,x y 处的切线方程，推导出切线恰为y x =即可得证.【小问1详解】由()cos f x x x =，则()00f =，()cos sin f x x x x -'=，则()01f '=，所以函数()cos f x x x =在0x =处的切线方程为y x =，即该自公切线方程为y x =.【小问2详解】由22221sin ()1tan 0cos cos x g x x x x'=-=-=-≤恒成立，当且仅当0x =时()0g x '=，则()y g x =是ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，可得它至多有一个零点，令1()sin ()cos g x x x a x =-++，ππ,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，由y =1()g x 的图象是连续曲线，且11ππ((1022g g -=-<，因此1()g x 在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在零点，即在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上1()()cos g x g x x =存在零点，所以()g x 有唯一零点；假设()g x 的图象存在“自公切线”，则存在12ππ,(,)22x x ∈-且12x x ≠，使得()g x 的图象在1x x =与2x x =处的切线重合，即2212tan tan x x -=-，有21x x =-，不妨设1π(0,2x ∈，切线211111:tan tan ()l y x x a x x x +--=-⋅-，222222:tan tan ()l y x x a x x x +--=-⋅-，有相同截距，即2211112222tan tan tan tan x x x x a x x x x a -++=-++，而21x x =-，则2211111111tan tan tan tan x x x x a x x x x a -++=-+-+，即2111(1tan )tan x x x +=，则有111sin cos x x x =，即112sin 2x x =，令()sin ,0πx x x x ϕ=-<<，()1cos 0x x ϕ'=->，即函数()ϕx 在(0,π)上单调递增，()(0)0x ϕϕ>=，因此当π()0,x ∈时，sin x x >，即112sin 2x x =在π(0,)2上无解，所以()g x 的图象不存在“自公切线”.【小问3详解】由tan π0x x n--=，易知πx n =是方程的根，由()tan πn x h x x n =--，则()2110cos n h x n x '=-≤，则()n h x 在πππ,π22x n n ⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭上单调递减，则πx n =是()n h x 在πππ,π22n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭上唯一零点，所以πn q n =，由（1）可知()f x 在()00,x y 处的切线为()()000000cos cos sin y x x x x x x x -=--，化简得()200000cos sin sin y x x x x x x =-+，对于22πn q n =，222cos sin 1n n n q q q -=，222sin 0n n q q =，则自公切线为1y =，所以()()22,n n n A q f q 为函数()cos f x x x =的一组同切点.【点睛】关键点点睛：对于函数新定义问题关键是准确的理解定义，结合相关数学知识进行推理说明，特别地函数()y f x =是区间D 上的可导函数，则曲线()y f x =在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。

解析2022届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三上学期第四次验收考试数学(文)试卷及答案

2022届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三上学期第四次验收考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}0,M x x x R =≥∈，{}24,N x x x R =≤∈，则MN =（）A ．[]0,2B ．[)0,2C ．(]0,2D ．()0,2答案：A首先解不等式求得集合N ，之后利用交集定义求得结果. 由{|0,}[0,)M x x x R =≥∈=+∞， {}24,[2,2]N x x x R =≤∈=-，所以[0,2]M N =，故选：A.2．已知220.2log 5,2,log 6a b c -===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>答案：A根据指数与对数函数的单调性比大小. 由已知得22log 5log 21a =>=，02122b -<==，且0b >，所以01b <<， 0.20.2log 6log 10c =<=，所以a b c >>，故选：A.3．若直线()1:410l x k y +-+=与2:330l kx y ++=平行，则k 的值为（） A ．1或3 B ．3 C ．1 D ．1-答案：C由两直线平行的条件得结论．显然0k =时，两直线不平行，因此由两直线平行得14133k k -=≠，解得1k =，故选：C ．4．“堑堵”是中国古代数学名著《九章算术》中记载着的一种多面体.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某“堑堵”的三视图，则该“堑堵”的体积等于（）A ．3B ．4C ．5D ．6答案：D由三视图还原直观图，结合柱体体积公式即可求解.如图，为还原后的直观图，则该“堑堵”的体积等于123262V =⨯⨯⨯=.故选：D5．已知数列{}n a 是等差数列，若11a -，33a -，55a -依次构成公比为q 的等比数列，则q =（） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2答案：C设出等差数列的公差，由11a -，33a -，55a -构成公比为q 的等比数列，列式求出公差，则由3131a q a -=-化简得答案. 设等差数列{}n a 的公差为d ，由11a -，33a -，55a -构成等比数列，得：()()2315()135a a a -=--，整理得：23315156595a a a a a a ---=++即()()2111116(2)294645a d a d a a d a d +++=-+-+-．化简得：2(1)0d -=，即1d =． 31112131131a a q a a -+⨯-∴=-==-．故选：C ．6．已知直线l 截圆2220x y y +-＝所得的弦AB 的中点坐标为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则弦AB 的垂直平分线方程为（） A ．10x y --= B ．10x y +-= C ．10x y -+= D ．10x y ++=答案：B根据圆的性质可知弦AB 的垂直平分线过圆心，结合题中所给的弦AB 的中点坐标13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，利用两点式写出直线方程，整理得结果.将圆的方程化为22(1)1y x +-=，得圆心为(0,1)M ，由圆的性质可知弦AB 的垂直平分线过圆心(0,1)M ，弦AB 的中点坐标为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以弦AB 的垂直平分线方程为10311022y x --=---，整理得10x y +-=，故选：B.7．已知()1tan 2πα+=，则sin2cos2αα+=（） A ．15-B ．15C ．75-D ．75答案：D根据诱导公式，同角三角函数关系式及二倍角公式化简整理即可. 由()1tan tan 2παα+==，所以22sin2cos22sin cos cos sin αααααα+=+- 22222sin cos cos sin sin cos αααααα+-=+ 222tan 1tan 7tan 15ααα+-==+，故选：D.8．在直三棱柱111ABC A B C -中，已知ABC 是等边三角形，D ，E ，F 分别是1BB ，1AA ，11A C 的中点，若12AA AB ==，则直线EF 与1C D 所成角的余弦值为A ．12B ．55C ．33D ．105答案：D连接1AC ，AD ，由题可得1EF AC ，即直线EF 与1C D 所成角为1AC D ∠，根据余弦定理即可求解连接1AC ，AD ，由题可得1EF AC ．在直三棱柱111ABC A B C -中，因为12AA AB ==，所以15AD C D ==，122AC =，所以()()()2221522510cos 52522AC D +-∠==⨯⨯，所以直线EF 与1C D所成角的余弦值为105．故选D ．本题主要涉及内容为求异面直线求夹角的问题，将异面直线通过平移其中一条直线或两条直线的方式转化成平面直线的夹角，利用余弦定理的方式进行解决，注意本题中在计算边的时候抓住直三棱柱的性质，即侧棱与地面垂直．9．已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的不同点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2.若球O 的表面积为4π，则SA ＝ A ．22B ．1C ．2D ．32答案：B根据已知把S ABC -补成如图所示的长方体．因为球O 的表面积为4π，所以球O 的半径R ＝1,2R ＝＝2，解得SA ＝1，故选B ．10．已知函数()f x 的定义域为R .当0x <时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-.则(6)f =A ．2-B ．1-C ．0D ．2答案：D【解析】试题分析：当时,11()()22f x f x +=-,所以当时,函数是周期为的周期函数,所以,又函数是奇函数,所以,故选D ．【解析】函数的周期性和奇偶性．11．正四面体A BCD -中，棱长为2，其中E 为AD 中点，F 为AC 中点，则下列四个命题中正确的个数是（）①EF ∥面BCD ； ②EF AB ⊥；③直线BE 与面ACD 3④若P 为棱AC 上一点，则BP PE +6. A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：B由线面平行的判定之理判断①，由线面垂直的性质定理判断②，求出线面角判断③，把空间最小距离问题转化为平面上的最短距离，求得结论判断④．E 为AD 中点，F 为AC 中点，则//EF CD ，而EF ⊄面BCD ，CD ⊂面BCD ，所以EF ∥面BCD ，①正确；取CD 中点G ，连接,AG BG ，则AG CD ⊥，BG CD ⊥，AG BG G =，,AG BG ⊂平面ABG ，所以CD ⊥平面ABG ，又AB平面ABG ，所以CD AB ⊥，所以AB EF ⊥，②正确；设H 是ACD △的中心，连接,BH HE ，则BH ⊥平面ACD ，BEH ∠是直线BE 与面ACD 所成角，正四面体棱长为2，则3BE =3=HE 1cos 3HE BEH BE ∠==，③错；把ABC 和ACD △摊平，如图，当P 是BE 与AC 交点时，BP PE +最小，最小值为2221221cos1207+-⨯⨯⨯︒=．④错．因此正确的有2个．故选：B ．12．已知函数()sin ω>06f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（），函数()()3g x f x =[]0,2π上有3个不同的零点，则ω的取值范围是（）A ．135,124⎛⎫⎪⎝⎭B ．135,124⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．525,412⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．525,412⎛⎤ ⎥⎝⎦答案：B函数()()3g x f x =[]0,2π上有3个不同的零点，即()30f x =有3个不同的根，再结合正弦函数性质即可求解. 由题意知，函数()()3g x f x =[]0,2π上有3个不同的零点，即()30f x =有3个不同的根，所以3sin 6x πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为[]0,2x π∈，所以2,2666x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，因为2222363πππππωπ+≤+<+，所以135124ω≤<，故选：B. 二、填空题13．已知圆222:(3)(0)C x y r r -+=>和圆22:870D x y y +-+=外切，则r =_____ 答案：2根据两圆外切列方程，化简求得r . 圆C 的圆心为()3,0，半径为r . 圆D 的圆心为()0,4，半径为642832-=. 圆心距为22345+=，由于两个圆外切，所以352r r +=⇒=. 故答案为：214．若变量,x y 满足约束条件：3040,10x y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩则42z x y =+的最小值为___________.答案：5由题画出可行域，结合几何意义即可求解.如图，阴影部分面积为对应可行域，由42z x y =+得22z y x =-+，要使z 最小，即22zy x =-+对应截距最小，此时22zy x =-+与可行域交于点A 13,22⎛⎫⎪⎝⎭，求得42235z x y =+=+=，故42z x y =+的最小值为5.故答案为：515．若非零向量,a b 满足32a b a b ==+，则,a b 夹角的余弦值为_______.答案：13-【解析】试题分析：由2a a b =+，得()2222244?a a ba b a b =+=++，即2·a b b =-，所以·cos ,·a ba b a b 〈〉=＝22133b b-=-．【解析】1、平面向量的数量积运算；2、平面向量的夹角．【技巧点睛】平面向量中对模的处理主要是利用公式22||?a a a a ==进行转化，即实现平面向量的运算与代数运算的转化，而求向量,a b 的夹角时，如果已知条件中没有明确关于,a b 的数量积与模的大小，通常要利用已知条件找到·,,a b a b 三者之间的关系．三、双空题16．若函数21()e 3(R)2x f x a x a =-+∈）有两个不同的极值点1x 和2x ，则a 的取值范围为___________；若1212x x x <≤，则a 的最小值为___________. 答案： 10e a << ln 22由题可得ex xa =有两个不相等的实根，利用导数可求函数的最值，再结合图象即得；当212x x =时，可得1ln 2x =，结合函数图象可得ln 22a ≥，即求. 由21()e 3(R)2xf x a x a =-+∈得，()e '=-x f x a x ，则()e 0'=-=x f x a x 有两个不相等的实根12,x x ，即e xxa =有两个不相等的实根，令()e x x h x =，则()1e xxh x -'=，∴当(),1x ∈-∞时，()0h x '>，函数()e x x h x =单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，函数()e xxh x =单调递减，∴()()max 11eh x h ==，∴10ea <<；当212x x =时，1212e e x x x x =即111122e e x x x x =， ∴1ln 2x =，此时ln 22a =， ∴当1212x x x <≤时，ln 22a ≥，∴a 的最小值为ln 22. 故答案为：10e a <<；ln 22四、解答题17．已知圆C 1的圆心为坐标原点，且与直线34100x y +-=相切． (1)求圆C 1的标准方程；(2)若直线l 过点M （1，2），直线l 被圆C 1所截得的弦长为23l 的方程．答案：(1)224x y += (2)1x =或3450x y -+=（1）由圆心到直线的距离求得半径，可得圆C 1的标准方程；（2）当直线的斜率不存在时，求得直线l 被圆C 1所截得的弦长为3l 的斜率存在时，设出直线方程，由已知弦长可得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求k ，则直线方程可求． (1)∵原点O 到直线34100x y +-=的距离为2210234-=+，∴圆C 1的标准方程为224x y +=； (2)当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x ＝1，代入224x y +=，得3y =±，即直线l 被圆C 1所截得的弦长为23，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线方程为()21y k x -=-，即20kx y k --+=． ∵直线l 被圆C 1所截得的弦长为23，圆的半径为2，则圆心到直线l 的距离22222(3)11k d k -+=-==+，解得34k =． ∴直线l 的方程为332044x y --+=，即3450x y -+=．综上，直线l 的方程为1x =或3450x y -+=．18．如图，在ABC 中，2AB =，1cos 3B =，点D 在线段BC 上.(1)若3π4ADC ∠=，求AD 的长； (2)若2BD DC =，ACD △22，求sin BAD ∠的值. 答案：(1)83；6（1）在ABD △中，由正弦定理求得AD ；（2）由题可得ABC 面积，由面积公式求得BC ，再由余弦定理求得AD ，然后利用正弦定理即得．(1)在三角形ABC 中，∵1cos 3B =，∴sin B =，在ABD △中，由正弦定理得sin sin AB ADADB B =∠，又2AB =，4ADB ADC ππ∠∠==-，sin B =，∴2sin 8sin 3AB BAD ADB===∠.(2)∵2BD DC =，∴2ABD ADC S S =△△，3ABC ADC S S =△△，又ACD △，∴ABCS=∵1sin 2ABC S AB BC ABC =⋅∠△，∴1223BC =⨯⨯⨯，∴3,2BC BD ==，在ABD △中，由余弦定理得222221162cos 2222233AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，∴AD =在ABD △中，由正弦定理得sin sin AD BDB BAD=∠∴2sin sin BD BBAD AD⋅∠===19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，2BA BC ==，114AA AC ==，120ABC ∠=︒，160A AB ∠=︒.(1)证明：1A B ⊥平面ABC ； (2)求点A 到平面11BCC B 的距离. 答案：(1)证明见解析； 215. （1）在1A AB 中，利用余弦定理可得123A B =1A B AB ⊥，结合条件及勾股定理可得1A B BC ⊥，再利用线面垂直的判定定理即证；（2）建立空间直角坐标系，利用坐标法即求. (1)在1A AB 中，2BA =，14AA =，160A AB ∠=︒，∴2222211112cos 42242cos 6012A B A A AB A A AB A AB =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯︒=，∴123A B =22211A A A B AB =+，∴1A B AB ⊥，又2BC =，14AC =，123A B = ∴22211A C A B BC =+，∴1A B BC ⊥，又1A B AB ⊥，AB BC B ⋂=， ∴1A B ⊥平面ABC . (2)如图以B 为原点建立空间直角坐标系，则())(()10,0,0,3,1,0,0,0,23,0,2,0B AA C -，∴()(110,2,0,3,1,23BC BB AA ===-，设平面11BCC B 的法向量为(),,n x y z =，则 1n BCn BB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，即120330n BC y n BB x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令1z =，可得()2,0,1n =，设点A 到平面11BCC B 的距离为d ，又()3,1,0BA =-，则232155BA n d n ⋅===，即点A 到平面11BCC B 215. 20．已知数列{}n a 各项都为正数，且11a =，其前n 项和为n S ，当2n ≥时满足：11n n nS S a -+=. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设()1nnnb a =-，求数列{}n b 的前2022项和2022T .答案：(1)1-n a n n (2)20222022T （1）利用n a 与n S 的关系可得2211n n S S --=，可求=n S n ，即得；（2）由题可得()(11nn n b n -=-，即求.(1)∵当2n ≥时，1n n n a S S -=-，又11n n nS S a -+=， ∴111n n n n S S S S --+=-，即2211n n S S --=，又22111S a ==，∴{}2n S 是首项为1，公差为1是等差数列，∴()2111n S n n =+-⨯=，又数列{}n a 各项都为正数，∴n S，)12n n n a S S n -=-≥，又11a =也适合，∴n a (2) ∵()()11nnnnnb a -===-，∴)(2022112021T =-+-+-+=21．已知函数()2ln f x ax x =+.(1)讨论函数()f x 的单调性：(2)若1,13x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，有()()22f x a x ≥+-，求a 的取值范围.（参考数据：ln20.6931,ln3 1.0986≈≈）答案：(1)答案见解析； (2)1a ≤.（1）()f x 的定义域为()0,∞+，求()f x '，讨论0a ≥和0a <时，解不等式()0f x '>与()0f x '<即可求解；（2）由题意可知()()22ln 20g x ax a x x =+++≥-对于1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，且()10g =，分别讨论0a =，0a <，01a <≤，12a <<，2a ≥时判断()g x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，判断()0g x ≥是否成立，即可得a 的取值范围(1)()2ln f x ax x =+的定义域为()0,∞+，由()2ln f x ax x =+可得()21212ax f x ax x x+'=+=，当0a ≥时，()0f x '>对于()0,x ∈+∞恒成立，此时()f x 在()0,∞+上单调递增，当0a <时，由()0f x '>可得0x <<()0f x '<可得x >所以()f x 在⎛ ⎝上单调递增，在∞⎫+⎪⎪⎭上单调递减，综上所述：当0a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递增，当0a <时，()f x 在⎛ ⎝上单调递增，在∞⎫+⎪⎪⎭上单调递减， (2)由题意可知()2ln 22ax x a x +≥+-对于1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，即()22ln 20ax a x x +++≥-对于1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，设()()22ln 2g x ax a x x =+++-，则()0g x ≥对于1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，且()()12ln120g a a =+++=-，()()()()()2221211122ax a x x ax g x ax a x x x-++--'=++=-=，当0a =时，()2ln 2g x x x =++-，()1122xg x x x-'+=-=，此时11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0g x '≥；当1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0g x '<，此时()2ln 2g x x x =++-在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，而12144ln 2ln 3 1.0986033333g ⎛⎫=++=-≈-> ⎪⎝⎭-，()10g =，此时()0g x ≥对于1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，所以0a =符合题意；当0a <时，()g x 在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，()1111422ln 2ln 30393339g a a a ⎛⎫=+⨯++=--> ⎪⎭-⎝，()10g =，此时()0g x ≥对于1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，所以0a <符合题意；当0a >时，若112a ≤即2a ≥时，()g x 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，此时当1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()10g x g <=不符合题意，当1112a <<即12a <<时，()g x 在1,1a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，此时当1,1x a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()10g x g <=不符合题意，当11a ≥即01a <≤时，()g x 在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，此时()1111422ln 2ln 30393339g a a a ⎛⎫=+⨯++=--> ⎪⎭-⎝，()10g =，此时()0g x ≥对于1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，所以01a <≤符合题意；综上所述：a 的取值范围为1a ≤.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为40x y +-=，曲线221x y +=经过伸缩变换x x y '='=⎧⎪⎨⎪⎩后得到曲线C .以O 点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求直线l 的极坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)设射线(0,02)θαραπ=>≤<与直线l 和曲线C 分别交于点,A B ，求2241||||OA OB +的最大值. 答案：(1):cos sin 40l ρθρθ+-=，22:12y C x +=(2)1 （1）结合直角坐标与极坐标互化即可求解l 的极坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）将曲线C 转化为极坐标方程，结合极径的几何意义可求2241||||OA OB +的最大值. (1)由40x y +-=可得cos sin 40ρθρθ+-=，又对曲线x x y '='=⎧⎪⎨⎪⎩，则221x '+=，即2212y x ''+=，所以直线l 的极坐标方程为cos sin 40ρθρθ+-=，曲线C 的普通方程为2212y x +=； (2)直线极坐标方程整理得4sin cos ρθθ=+，即2161sin 2ρθ=+，曲线C ：2212y x +=变形得22220x y +-=，即22222cos sin 20ρθρθ+-=，2222sin 2cos ρθθ=+，由题可知2161sin 2OA α=+，2222sin 2cos OB αα=+，则2222411sin 2sin 2cos 4sin 2cos 2||||424OA OB ααααα+++++=+=，124πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当且仅当sin 214πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即,8k k Z παπ=+∈，当8πα=时，2241||||OA OB +的最大值为1+23．已知函数()f x x a x b =++-.(1)若0a b +=，且不等式()8f x >的解集为{xx c <∣或}3x >，求abc 的值； (2)若,a b 均为正实数，且141a b+=，对任意的R x ∈，不等式()221f x t t ≥++恒成立，求实数t 的取值范围.答案：(1)5abc =； (2)42t -≤≤.（1）将b a -=代入()8f x >可得4x a +>，求出不等式的解集与已知解集比较可求出a 、c 的值，进而可得b 以及abc 的值；（2）根据绝对值三角不等式可得()f x a b ≥+，再由基本不等式1的妙用求出a b +的最小值，进而可得()min f x ，解不等式()m 2in 21t t f x ++≤即可求解.(1)由0a b +=可得a b =-，所以()28f x x a x a x a =+++=+>即4x a +>，所以4x a +>或4x a +<-，可得4x a >-或4x a <--，即不等式()8f x >的解集为{|4x x a <--或}4x a >-，因为不等式()8f x >的解集为{x x c <∣或}3x >，所以434a a c -=⎧⎨--=⎩，可得15a c =⎧⎨=-⎩，所以1b a =-=-，所以()()1155abc =⨯-⨯-=. (2)因为,a b 均为正实数，由绝对值三角不等式可得()()f x x a x b x a x b a b a b =++-≥+--=+=+，所以()f x a b ≥+，因为141a b +=，所以()144555229a a b a b a b a b b ⎛⎫+=++=++≥+=+⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当4141b aa ba b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即36a b =⎧⎨=⎩时等号成立，9a b +≥，()9f x a b ≥+≥，所以()min 9f x =，若不等式()221f x t t ≥++恒成立，则2219t t ++≤，即2280t t +-≤，所以()()420t t +-≤，解得：42t -≤≤，所以实数t 的取值范围为42t -≤≤.。

黑龙江省哈尔滨市第三中学2014届高三下学期第三次高考模拟数学(文)试题

黑龙江省哈尔滨市第三中学2014届高三下学期第三次高考模拟数学（文）试题考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷（选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 已知全集R U =，集合}032{2>--=x x x A ，}42{<<=x x B ，那么集合=B A C U )(（A ）}41{≤≤-x x （B ）}32{≤<x x （C ）}32{<≤x x （D ）}41{<<-x x 2. 复数1021i i i +++等于（A ）i （B ）i - （C ）i 2 （D ）i 2- 3. 已知3.02.0=a ，3log 2.0=b ，4log 2.0=c ，则（A ）c b a >> （B ）b c a >> （C ）a c b >> （D ） a b c >> 4. 已知直线n m ,和平面α，则n m //的一个必要条件是（A ）α//m ，α//n （B ）α⊥m ，α⊥n （C ）α//m ，α⊂n （D ）n m ,与α成等角 5. 已知x 与y 之间的一组数据：已求得关于y 与x 的线性回归方程为＝2.1＋0.85，则m 的值为（A ）1 （B ）85.0 （C ）7.0 （D ）5.06. 在数列{}n a 中，已知1221-=+++n n a a a ，则22221n a a a +++ 等于否1,0==nS开始结束①输出S是nSS+=nn2=（A）()212-n（B）()3122-n（C）14-n（D）314-n7.执行如图所示的程序框图，若输出15=S，则框图中①处可以填入（A）4>n（B）8>n（C）16>n（D）16<n8.已知yxz+=2，其中实数yx,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥axyxxy2，且z的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（A）112（B）41（C）4（D）2119.已知双曲线)0,0(12222>>=-babyax的右焦点为F，过F的直线l交双曲线的渐近线于A, B两点，且与其中一条渐近线垂直，若FBAF4=，则该双曲线的离心率是（A）5（B）52（C）510（D）510210.已知一个正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为23的正方形，则该正四面体的内切球的表面积为（A ）π6 （B ）π54 （C ）π12 （D ）π4811. 定义在),1(+∞上的函数)(x f 满足下列两个条件：（1）对任意的),1(+∞∈x 恒有)(2)2(x f x f =成立；（2）当(]2,1∈x 时，x x f -=2)(．记函数=)(x g )1()(--x k x f ，若函数)(x g 恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（A ）[)2,1 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,34 （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛2,34 （D ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,342014年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学试卷（文史类）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 12. 从1,2,3,4,5,6这六个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是 .13. 若等边ABC ∆的边长为2，平面内一点M 满足2131+=，则=⋅ .14. 已知)2,0(,1010)4cos(πθπθ∈=+，则=-)32sin(πθ . 15. 若在由正整数构成的无穷数列}{n a 中，对任意的正整数n ，都有1+≤n n a a ，且对任意的正整数k ，该数列中恰有12-k 个k ，则2014a = .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. （本小题满分12分）设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，满足C b c B c b A a sin )32(sin )32(sin 2-+-=．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若2=a ，32=b ，求ABC ∆的面积．17. （本小题满分12分）某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩(百分制，均为整数)分成)50,40[，)60,50[，)70,60[，)80,70[，)90,80[，]100,90[六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题.（Ⅰ）求分数在[)80,70内的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；（Ⅲ）若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率.18. （本小题满分12分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，211====BC AB A B B B ，︒=∠901BC B ，D 为AC 的中点，D B AB 1⊥．（Ⅰ）求证：平面⊥11A ABB 平面ABC ；（Ⅱ）求三棱锥D BB C 1-的体积．19. （本小题满分12分）已知椭圆:C 12222=+by a x （0>>b a ）的左，右焦点分别为21,F F ，上顶点为B ．Q 为抛物线x y 122=的焦点，且01=⋅QB B F ，=+1212QF F F 0．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过定点)2,0(P 的直线l 与椭圆C 交于N M ,两点（M 在N P ,之间），设直线lABD1A1B 1CC A的斜率为k （0>k ），在x 轴上是否存在点)0,(m A ，使得以AN AM ,为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．20. （本小题满分12分）已知函数1ln )(+-=ax x x f （0>a ）. （Ⅰ）求函数)(x f 的最大值；（Ⅱ）若21=a ，且关于x 的方程b x x f +-=61)(在[]4,1上恰有两个不等的实根，求实数b 的取值范围；（Ⅲ）设各项为正数的数列{}n a 满足11=a ，2ln 1++=+n n n a a a （*∈N n ），求证：12-≤n n a .请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 21. （本小题满分10分）选修4－1如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，CGE CFD ADE ,,都是⊙O 的割线，AC =（Ⅰ）证明：2AC AE AD =⋅；（Ⅱ）证明：AC FG //．22. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是θρcos 4=，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-= 21 233t y t x （t 为参数）.（Ⅰ）过极点作直线l 的垂线，垂足为点P ，求点P 的极坐标；（Ⅱ）若点N M ,分别为曲线C 和直线l 上的动点，求MN 的最小值.23. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数m x x g x x f ++-=-=3)(,2)(.2014年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学答案（文史类）解答题17. 解：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得c b c b c b a )32()32(22-+-=，整理得bc a c b 3222=-+， ………………………… 2分所以23cos =A ． ………………………… 4分又),0(π∈A ，故6π=A ． ………………………… 5分（Ⅱ）由正弦定理可知B b A a sin sin =，又2=a ，32=b ，6π=A ，所以23sin =B ． ………………………… 6分又)65,0(π∈B ，故3π=B 或32π． ………………………… 8分若3π=B ，则2π=C ，于是3221==∆ab S ABC ； ………………………… 10分若32π=B ，则6π=C ，于是3sin 21==∆C ab S ABC ． ………………………… 12分18.解：（Ⅰ）3.0………………………………2分（Ⅱ）3220………………………………6分（Ⅲ）第1组：61.060=⨯人（设为1，2，3，4，5，6）第6组：31.060=⨯人（设为A ，B ，C ）共有36个基本事件，满足条件的有18个，所以概率为21…………12分 19.解：（Ⅰ）取AB 中点为O ，连接OD ，1OB ．因为A B B B 11=，所以AB OB ⊥1．又D B AB 1⊥，111B D B OB = ，所以⊥AB 平面OD B 1，因为⊂OD 平面OD B 1，所以OD AB ⊥．…3分1A1B 1C由已知，1BB BC ⊥，又BC OD //，所以1BB OD ⊥，因为B BB AB =1 ，所以⊥OD 平面11A ABB ．又⊂OD 平面ABC ，所以平面⊥ABC 平面11A ABB ． ………………6分（Ⅱ）三棱锥D BB C 1-的体积=三棱锥BCD B -1的体积由（Ⅰ）知，平面⊥ABC 平面11A ABB ,平面 ABC 平面AB A ABB =11,AB OB ⊥1, ⊂1OB 平面11A ABB所以ABC OB 平面⊥1,即BCD OB 平面⊥1,OB 1即点1B 到BCD平面的距离,31=O B …………………………9分121==∆∆ABC BCD S S ………………………… 11分所以33313111=⨯⨯==--BCD B D BB C V V ………………………… 12分20. 解：（Ⅰ）由已知)0,3(Q ，QB B F ⊥1，c c QF +==34||1，所以1=c ． ……… 1分在BQ F Rt 1∆中，2F 为线段Q F 1的中点，故=||2BF 22=c ，所以2=a ．……… 2分于是椭圆C 的标准方程为13422=+y x ．…4分（Ⅱ）设2:+=kx y l （0>k ），),(),,(2211y x N y x M ，取MN 的中点为,(00y x E 假设存在点)0,(m A 使得以AN AM ,0416)34(13422222=+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=kx x k y x kx y ， 4102>⇒>∆k ，又0>k ，所以21>k ． ………………………… 6分因为21>k 时，3434≥+k k ，]123,0(341∈+kk ，所以)0,63[-∈m ． ……… 12分21.解：（Ⅰ）函数的定义域为()+∞,0， )0(1)(>--='x xax x f ，单调递增，)(,0)(,1,0x f x f a >'⎪⎭⎫ ⎝⎛单调递减，)(,0)(,1x f x f a <'⎪⎭⎫⎝⎛∞+ 当a x 1=时，)(x f 取最大值aaf ln )1(-= ……………………………………4分（Ⅱ）21=a ，由b x x f +-=61)(得b xx =+-13ln 在[]4,1上有两个不同的实根，设[]4,1,13ln )(∈+-=x xx x gxxx g 33)(-='，[)3,1∈x 时，0)(>'x g ，(]4,3∈x 时，0)(<'x g3ln )3()(max ==g x g ，312ln 2)4(,32)1(-==g g 02ln 21312ln 232)4()1(<-=+-=-g g ，得)4()1(g g <则⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈3ln ,312ln 2b ……………………………………8分（Ⅲ）由（1）知当1=a 时，1ln -<x x 。

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黑龙江省哈三中2014届高三上学期第四次验收（期末）考试数学（文）试题（word版）数学试卷（文）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合，则B 中所含元素的个数为A ．5B ．6C ．7D ．82．已知复数（i 是虚数单位），则的虚部为A ． -3B ．-3iC ．3D ．3i3．给定命题p ：函数ln[(1)(1)]y x x =-+为偶函数；命题q ：函数为偶函数，下列说法正确的是 A ．是假命题B ．是假命题C ．是真命题D ．是真命题4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2312a a a =，且472a a 与的等差中项为54，则5S = A ．36 B ．33 C ．31D ．295．下列几个命题中，真命题是 A ．,.l m n 是空间的三条不同直线，若B ．α，β，γ是空间的三个不同平面，若C ．两条异面直线所成的角的范围是D ．两个平面相交但不垂直，直线，则在平面β内不一定存在直线与m 平行，但一定存在直线与垂直．6．已知a,b 是两个互相垂直的向量，|a|=1，|b|=2，则对任意的正实数t ，的最小值是A ．2B ．C ．4D ．7．B 1、B 2是椭圆短轴的两端点，O 为椭圆中心，过左焦点F 1作长轴的垂线交椭圆于P ，若|F 1B 2|是|OF 1|和|B 1B 2|的等比中项，则的值是A B ．2C ．2D ．38．函数的零点所在的区间是A ．B ．C ．D ．9．已知正三棱锥P —ABC 的主视图和俯视图如图所示，则此三棱锥外接球的表面积为10．已知直线交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，且有，那么实数k 的取值范围是A ．B ．C ．D ．11．设关于x ，y 的不等式组表示的平面区域内存在点P(a ，b),满足a-3b=4，则实数m 的取值范围是 A ． B ． C ． D ．12．在平面直角坐标系中，定义之间的“折线距离”，在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x=0；④到两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．其中真命题有A．1个B．2个C．3个D．4个第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．若直线平行，则m+n= 。

14．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点，C使在塔底的正东方向上，测得点的仰角为60°，再由点沿北偏东15°方向走10米到位置，测得∠BDC=45°，若AB⊥平面BCD，则塔AB的高是米。

15．在长方体中ABCD—A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°，则异面直线和所成的角的余弦值为．16．已知数列的前n项和，对于任意的都成立，则S10= 。

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分10分）已知函数的振幅为2,最小正周期为π，且对恒成立．f x的解析式，并求其单调递增区间（Ι）求函数()（Ⅱ）若的值．18．（本小题满分12分）已知四棱柱中所有棱长都为2，底面ABCD为正方形，侧面DD1C1C⊥底面ABCD，∠D1DC=60°（Ι）证明: 平面CDD1C1⊥平面DAA1D1；（Ⅱ）若O为底面ABCD的对角线交点，求四面体B1—A1OC1的体积．19．（本小题满分12分）设为数列项和,对任意的为正常数）．（Ⅰ）求证:数列是等比数列;（Ⅱ）数列的通项公式;（Ⅲ）在满足（Ⅱ）的条件下,求数列的前项和．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆被直线：截得的弦长为．（Ⅰ）求圆O的方程；（Ⅱ）若斜率为2的直线l与圆O相交于A,B两点，且点D(-1,0)在以AB为直径的圆的内部，求直线L 在y轴上的截距的取值范围．21．（本小题满分12分）已知椭圆，长轴长为4，圆O：（O为原点），直线是圆O的一条切线，且直线l与椭圆M交于不同的两点A、B．（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；（Ⅱ）求的面积取最大值时直线l的斜率k的值22．（本小题满分12分）已知函数．（1）当a=1时，求的单调区间；（2）若函数内恒成立，求实数a 的取值范围。

参考答案一选择题1.D2.A3.B4.C5.D6.A7. B8.D9.B 10.C 11. C 12.C 二填空题13.0 14. 15.416. 91 三解答题17.解：（Ⅰ）()2sin(2)6f x x π=+，单调递增区间：]6,3[ππππ+-k k ，Z k ∈;（Ⅱ）6621cos --=α. 18.解：（Ⅰ）取1DD 中点M ,易证1CM DD ⊥,又因为CM AD ⊥所以面1111CDDC DAA D ⊥（Ⅱ）1111113B A OC O A B C V V --==19.解：(1)证明:当1n =时,111(1)a S m ma ==+-,解得11a = 当2n ≥时,11n n n n n a S S ma ma --=-=-.即1(1)n n m a ma -+= 又m 为常数,且0m >,∴1(2)1n n a m n a m-=≥+ ∴数列{}n a 是首项为1,公比为1mm+的等比数列 (2)解:1122b a == ∵111n n n b b b --=+,∴1111n n b b -=+,即1111(2)n n n b b --=≥∴1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12,公差为1的等差数列 ∴1121(1)122n n n b -=+-⋅=,即2()21n b n N n *=∈-(3)解:由(2)知221n b n =-,则122(21)n n nn b +=-.所以2341123122222n n n n nT b b b b b +-=+++++, 即12312123252(23)2(21)n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯-, ① 则234122123252(23)2(21)n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯-, ②②-①得13412(21)2222n n n T n ++=⨯------,故31112(12)2(21)22(23)612n n n n T n n -++-=⨯---=⨯-+-20.解：（Ⅰ）设222r y x =+，圆心)0,0(到直线：043=+-y x 的距离2=d ，又截得的弦长为32，所以7=r ，圆的方程为722=+y x 4分（Ⅱ）设斜率为2的直线l 的方程：b x y +=2，与圆O 相交于B A ,两点，设),(11y x A ，),(22y x B⎩⎨⎧+==+b x y y x 2722074522=-++⇒b bx x ⇒ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=+>-=∆575404140221212b x x b x x b 5分已知点)0,1(-D 在以AB 为直径的圆的内部，所以0<⋅1))(12(5),1(),1(22121211+++++=+⋅+=⋅b x x b x x y x y x x 10分0654522<--=bb ，解得53<<-b ，满足0>∆，所以直线l 在y 轴上的截距的取值范围为)5,3(- 12分21.解：（Ⅰ）2214x y += （Ⅱ）由相切知：221m k =+，22440x y y kx m⎧+-=⎨=+⎩，代入得：()222148440k x kmx m +++-=，由于：2480k ∆=>恒成立，设()11,A x y 、()22,B x y ，则：1222212228144441414km x x k m k x x k k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅==⎪++⎩，AB ==112S =⨯=1≤= 当且仅当2231k k =+即212k =时取等;此时,直线斜率k =. 22.解：（Ⅰ）(0,2)单调递减,(2,)+∞单调递增；（Ⅱ）≥a 24ln 2-；。