三角恒等变换讲义

《三角恒等变换》

广州卓越教育集团教育学院2011级第三期数学班沈荣春

开心哈哈

三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。

同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割。

制胜装备

（1）和与差的三角函数公式

（a）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；

（b）能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式；

（c）能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解他们的内在联系；

（2）简单的三角恒等变换

能运用上述公式进行简单的恒等变换；

战前动员

失之毫厘，谬以千里

1967年8月23日，苏联的联盟一号宇宙飞船在返回大气层时，突然发生了恶性事故——减速降落伞无法打开。苏联中央领导研究后决定：向全国实况转播这次事故。当电视台的播音员用沉重的语调宣布，宇宙飞船在两小时后将坠毁，观众将目睹宇航员弗拉迪米·科马洛夫殉难的消息后，举国上下顿时被震撼了，人们都沉浸在巨大的悲痛之中。

在电视上，观众们看到了宇航员科马洛夫镇定自若的形象。他面带微笑叮嘱女儿说：“你学习时，要认真对待每一个小数点。联盟一号今天发生的一切，就是因为地面检查时忽略了一个小数点……”

即使是一个小数点的错误，也会导致永远无法弥补的悲壮告别。

古罗马的恺撒大帝有句名言：“在战争中，重大事件常常就是小事所造成的后果。” 换成我们中国的警句大概就是“失之毫厘，谬以千里”吧。

战况分析

扫清障碍

1．两角和与差的三角函数

βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；

βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

±±=

。

2．二倍角公式

αααcos sin 22sin =；

ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=； 22tan tan 21tan α

αα

=

-。

3．半角公式

2cos 12

sin

αα

-±

= 2c o s 12c o s αα+±= αααc o s

1c o s

12t a n +-±= （α

α

ααα

sin cos 1cos 1sin 2

tan

-=+=

）

4．三角函数式的化简

常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。

（1）降幂公式

ααα2sin 21cos sin =

；22cos 1sin 2αα-=；2

2cos 1cos 2

αα+=。

（αα2cos 1sin 22-= αα2

c o s 1c o s 22

+=） （2）辅助角公式

()sin cos sin a x b x x ϕ+=+，

sin cos ϕϕ=

=

其中。

5．三角函数的求值类型有三类

（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；

（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；

（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

6．三角等式的证明

（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；

（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。

小试牛刀

1.已知sin α=53,且α∈⎪⎭

⎫

⎝⎛ππ,2，那么a a 2cos 2sin 的值等于 .

2.已知tan(α+β)=3，tan(α-β)=5，则tan2α= .

3. 设α∈（0，

2π），若sin α=5

3，则2cos （α+4π

）= . 4.（2008·山东理）已知cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πα+sin α=354,则sin ⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+67πα的值是 . 5.函数y =cos x (sin x +cos x )的最小正周期为 .

6.若sin A =55,sin B =10

10

,且A ,B 均为钝角,求A +B 的值.

卓越兵法

【兵法案例】

(

)()10,220m 2sin sin 2

mx m x y conx cony θθθ∈++=+=

+2、已知（π），sin ,cos 是方程4x 的两根，则的值为 、若则的取值范围是

【作战策略】 （1）

2

440,,

cos ,

4

m m m +4

m=1m m

m θθθθ-⨯⨯≥∙=≥≤=2解析：由题意得(2m)m

sin +cos =-2 sin 由（1）式得4或0，由（2）（3）得1，

2解得综上可知，

（2）解析：

22222222t cos cos ,t cos 2cos cos cos .1

=sin 2sin sin sin ,

21

t 22cos().

2

3

2cos().-1cos()1,

2

7

0,.

22

2x y x x y y x x y y x y t x y x y t t =+=+++++=+-∴=+-≤-≤⎡∴≤≤∴∈-⎢⎣⎦令则 又两式相加得又

【适用兵法】

在利用判别式进行三角函数运算时，不要忽视对判别式△≥0的情况；

沙场点兵