高考数学总复习 第二章 函数 课时规范练12 函数与方程 理 新人教A版
高中数学试题含答案-课时规范练12 函数与方程
课时规范练12 函数与方程基础巩固组1.(2020云南玉溪一中二模)函数f (x )=2x +3x 的零点所在的一个区间是( ) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)2.函数f (x )=sin(πcos x )在区间[0,2π]上的零点个数是( )A.3B.4C.5D.63.设f (x )=3x +3x-8,用二分法求方程3x +3x-8=0在x ∈(1,2)内的近似解的过程中得f (1)<0,f (1.5)>0,f (1.25)<0,则方程的根落在( ) A.(1,1.25) B.(1.25,1.5) C.(1.5,2) D.不能确定4.已知x 0是f (x )=12x +1x的一个零点,x 1∈(-∞,x 0),x 2∈(x 0,0),则( )A.f (x 1)<0,f (x 2)<0B.f (x 1)>0,f (x 2)>0C.f (x 1)>0,f (x 2)<0D.f (x 1)<0,f (x 2)>05.已知函数f (x )={|2x -1|,x <2,3x -1,x ≥2,若方程f (x )-a=0有三个不同的实数根,则实数a 的取值范围是( )A.(1,3)B.(0,3)C.(0,2)D.(0,1)6.(多选)(2020山东济南历城二中模拟四,9)已知f (x )是定义域为R 的偶函数,在(-∞,0)上单调递减,且f (-3)·f (6)<0,那么下列结论中正确的是( ) A.f (x )可能有三个零点B.f (3)·f (-4)≥0C.f (-4)<f (6)D.f (0)<f (-6)7.(多选)已知函数f (x )={-x 2-2x ,x ≤0,|log 2x |,x >0,若x 1<x 2<x 3<x 4,且f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)=f (x 4),则下列结论正确的是( ) A.x 1+x 2=-1 B.x 3x 4=1 C.1<x 4<2D.0<x 1x 2x 3x 4<1 8.(多选)(2020山东济宁三模,12)已知直线y=-x+2分别与函数y=e x 和y=ln x 的图像交于点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则下列结论正确的是( ) A.x 1+x 2=2B.e x 1+e x 2>2eC.x 1ln x 2+x 2ln x 1<0D.x 1x 2>√e29.若函数f (x )=log 2x+x-k (k ∈Z )在区间(2,3)上有零点,则k= .10.已知函数f (x )={log 2(x +1),x >0,-x 2-2x ,x ≤0,若函数g (x )=f (x )-m 有3个零点,则实数m 的取值范围是 .11.函数f (x )={|x 2+2x -1|,x ≤0,2x -1+a ,x >0有两个不同的零点,则实数a 的取值范围为 .综合提升组12.(2020湖北恩施高中月考,理11)已知单调函数f (x )的定义域为(0,+∞),对于定义域内任意x ,f ([f (x )-log 2x ])=3,则函数g (x )=f (x )+x-7的零点所在的区间为( ) A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4)D.(4,5)13.已知函数f (x )=|2x -2|+b 的两个零点分别为x 1,x 2(x 1>x 2),则下列结论正确的是( ) A.1<x 1<2,x 1+x 2<2 B.1<x 1<2,x 1+x 2<1 C.x 1>1,x 1+x 2<2D.x 1>1,x 1+x 2<114.(2020安徽安庆二模,理12)函数f (x )=|ln x|-ax 恰有两个零点x 1,x 2,且x 1<x 2,则x 1所在区间为( ) A.0,1e 3B.1e 3,1e 2C.1e 2,1eD.1e,115.(2020天津和平区一模,15)已知函数f (x )={1-|x +1|,x ∈[-2,0],2f (x -2),x ∈(0,+∞),则3log f (3)256= ;若方程f (x )=x+a 在区间[-2,4]有三个不等实根,则实数1a的取值范围为 .创新应用组16.(2020河南实验中学4月模拟,12)已知函数f (x )={-x 2+2x ,x ≥0,x 2-2x ,x <0,若关于x 的不等式[f (x )]2+af (x )<0恰有1个整数解,则实数a 的最大值为( ) A.2B.3C.5D.817.已知函数f (x )=x 2-2x+a (e x-1+e -x+1)有唯一零点,则a=( ) A.-12 B.13C.12D.1参考答案课时规范练12 函数与方程1.B 易知f (x )=2x +3x 在R 上单调递增,且f (-2)=2-2-6<0,f (-1)=2-1-3<0,f (0)=1>0,所以由函数零点存在定理得,零点所在的区间是(-1,0).故选B .2.C 令f (x )=0,得πcos x=k π(k ∈Z ),即cos x=k (k ∈Z ),故k=0,1,-1.若k=0,则x=π2或x=3π2;若k=1,则x=0或x=2π;若k=-1,则x=π,故零点个数为5.故选C .3.B 由f (1.25)<0,f (1.5)>0可得方程f (x )=0的根落在区间(1.25,1.5)内.故选B .4.C 在同一平面直角坐标系内作出函数y=12x ,y=-1x的图像(图略),由图像可知,当x ∈(-∞,x 0)时,12x>-1x ,当x ∈(x 0,0)时,12x <-1x,所以当x 1∈(-∞,x 0),x 2∈(x 0,0)时,有f (x 1)>0,f (x 2)<0,故选C .5.D 画出函数f (x )的图像如图所示,观察图像可知,若方程f (x )-a=0有三个不同的实数根,则函数y=f (x )的图像与直线y=a 有三个不同的交点,此时需满足0<a<1,故选D .6.AC 因为f (x )是偶函数,又f (-3)f (6)<0,所以f (3)f (6)<0.又f (x )在(0,+∞)上单调递增,所以函数f (x )在(0,+∞)上有一个零点,且f (3)<0,f (6)>0.所以函数f (x )在(-∞,0)∪(0,+∞)上有两个零点.但是f (0)的值没有确定,所以函数f (x )可能有三个零点,所以A 选项正确;又f (-4)=f (4),4∈(3,6),所以f (-4)的符号不确定,所以B 选项不正确;C 选项显然正确;由于f (0)的值没有确定,所以f (0)与f (-6)的大小关系不确定,所以D 选项不正确.7.BCD 画出函数f (x )的大致图像如图,由图像得出x 1+x 2=-2,-log 2x 3=log 2x 4,则x 3x 4=1,故A 错误,B 正确;由图可知1<x 4<2,故C 正确;因为-2<x 1<-1,x 1x 2=x 1(-2-x 1)=-x 12-2x 1=-(x 1+1)2+1∈(0,1),所以x 1x 2x 3x 4=x 1x 2∈(0,1),故D 正确.故选BCD .8.ABC 因为函数y=e x 与y=ln x 互为反函数,它们的图像关于直线y=x 对称,直线y=-x+2与直线y=x 垂直,且交点为(1,1),则点(1,1)为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)的中点,所以x 1+x 2=2,故选项A 正确;e x 1+e x 2≥2√e x 1e x 2=2√e x 1+x 2=2√e 2=2e,由题意x 1≠x 2,所以e x 1≠e x 2,所以e x 1+e x 2>2e,故选项B 正确;因为点(1,1)为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)的中点,不妨设x 1<1<x 2,所以x 1ln x 2+x 2ln x 1<x 2ln x 2+x 2ln x 1=x 2(ln x 2+ln x 1)=x 2ln(x 1x 2)<x 2lnx 1+x 222=x 2ln 1=0,故选项C 正确;因为x 1+x 2>2√x 1x 2,则x 1x 2<x 1+x 222=1,所以x 1x 2>√e2错误,故选项D 错误,故选ABC .9.4 由题意可得f (2)f (3)<0,即(log 22+2-k )(log 23+3-k )<0,整理得(3-k )(log 23+3-k )<0,解得3<k<3+log 23,而4<3+log 23<5,因为k ∈Z ,故k=4.10.(0,1) 因为函数g (x )=f (x )-m 有3个零点,所以f (x )-m=0有3个根,所以y=f (x )的图像与直线y=m 有3个交点.画出函数y=f (x )的图像,由抛物线顶点为(-1,1),可知实数m 的取值范围是(0,1).11.-∞,-12 由于当x ≤0,f (x )=|x 2+2x-1|时图像与x 轴只有1个交点,即只有1个零点,故由题意只需方程2x-1+a=0有1个正根即可,变形为2x-1=-a ,结合图形知-a>12,解得a<-12.12.C 因为f (x )在(0,+∞)上为单调函数,且f ([f (x )-log 2x ])=3,设t=f (x )-log 2x ,则f (x )=log 2x+t ,又由f (t )=3,所以f (t )=log 2t+t=3,得t=2,所以f (x )=log 2x+2,所以g (x )=log 2x+x-5.因为g (3)<0,g (4)>0,所以零点所在的区间为(3,4).故选C .13.A 函数f (x )=|2x -2|+b 有两个零点,即y=|2x -2|与y=-b 的图像有两个交点,交点的横坐标就是x 1,x 2(x 1>x 2),在同一坐标系中画出y=|2x -2|与y=-b 的图像,可知1<x 1<2,当y=-b=2时,x 1=2,两个函数图像只有一个交点,当y=-b<2时,由图可知x 1+x 2<2.14.D 当a<0时,f (x )>0恒成立,不符合题意,当a=0时,f (x )=|ln x|只有一个零点为1,也不符合题意,当a>0时,作函数g (x )=|ln x|与h (x )=ax 图像,易知g (x )与h (x )图像在区间(0,1)上必有一个交点,则在区间(1,+∞)上有且仅有一个公共点,当x ∈(1,+∞)时,f (x )=ln x-ax ,f'(x )=1-axx,f (x )在0,1a上单调递增,在1a ,+∞上单调递减,所以f (x )max =f1a =ln 1a-1,则只需ln 1a-1=0,故a=1e,当x ∈(0,1)时,f (x )=-ln x-1ex ,易知f 1e=1-1e2>0,f (1)=-1e<0,可知x 1∈1e,1,故选D . 15.81-∞,-12∪{1} ∵f (x )={1-|x +1|,x ∈[-2,0],2f (x -2),x ∈(0,+∞),∴f (3)=2f (1)=4f (-1)=4×(1-|-1+1|)=4. ∴log f (3)256=lo g 2228=82=4,3log f (3)256=34=81. 若x ∈[0,2],则-2≤x-2≤0,∴f (x )=2f (x-2)=2(1-|x-2+1|)=2-2|x-1|,0≤x ≤2. 若x ∈(2,4],则0<x-2≤2,∴f (x )=2f (x-2)=2(2-2|x-2-1|)=4-4|x-3|,2<x ≤4. ∴f (1)=2,f (2)=0,f (3)=4.设y=f (x )和y=x+a ,则方程f (x )=x+a 在区间[-2,4]内有3个不等实根,等价为函数y=f (x )和y=x+a 在区间[-2,4]内有3个不同的零点.作出函数f (x )和y=x+a 的图像,如图所示,当直线经过点A (2,0)时,两个图像有2个交点,此时直线为y=x-2,当直线经过点O (0,0)时,两个图像有4个交点,此时直线为y=x ,当直线经过点B (3,4)和C (1,2)时,两个图像有3个交点,此时直线为y=x+1,∴要使方程f (x )=x+a 在区间[-2,4]内有3个不等实根,则a=1或-2<a<0.故实数1a的取值范围为{1}∪-∞,-12.16.D 作函数f (x )图像,如图所示,由[f(x)]2+af(x)<0,得f(x)[f(x)+a]<0,当a>0时,-a<f(x)<0,由于关于x的不等式[f(x)]2+af(x)<0恰有1个整数解,因此其整数解为3,又f(3)=-9+6=-3,所以-a<-3<0,-a≥f(4)=-8,则3<a≤8.当a=0时,[f(x)]2<0,则a=0不满足题意;当a<0时,0<f(x)<-a,当0<-a≤1时,0<f(x)<-a,没有整数解,当-a>1时,0<f(x)<-a,至少有两个整数解,综上,实数a的最大值为8,故选D.17.C(方法1)∵f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1),∴f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a[e2-x-1+e-(2-x)+1]=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+e x-1)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1),∴f(2-x)=f(x),即直线x=1为f(x)图像的对称轴.∵f(x)有唯一零点,∴f(x)的零点只能为1,即f(1)=12-2×1+a(e1-1+e-1+1)=0,解得a=12.(方法2)函数的零点满足x2-2x=-a(e x-1+e-x+1)=-a e x-1+1e x-1,设g(x)=e x-1+1e x-1,令t=e x-1>0,则y=t+1t在(0,1)单调递减,在[1,+∞)单调递增,即g(x)=e x-1+1e x-1在(-∞,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,所以当x=1时,y min=2,设h(x)=x2-2x,当x=1时,h(x)min=-1,若-a>0,函数h(x)与-ag(x)有两个交点,不合题意.当-a<0时,-ag(x)的最大值为-2a,当-2a=h(x)min=-1,两个函数有一个交点,解得a=12.。
新课标2020年高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2_12导数的综合应用课时规范练理含解析新人教A版
2-12 导数的综合应用课时规范练(授课提示：对应学生用书第241页)A 组 基础对点练1．(2016·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝ln x －x ＋1.(1)讨论f (x )的单调性；(2)证明当x ∈(1，＋∞)时，1＜＜x ；x －1ln x(3)设c ＞1，证明当x ∈(0,1)时，1＋(c －1)x ＞c x .解析：(1)由题设，f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－1，令f ′(x )＝0，解得x ＝1.1x当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ＞1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．(2)证明：由(1)知，f (x )在x ＝1处取得最大值，最大值为f (1)＝0.所以当x ≠1时，ln x ＜x －1.故当x ∈(1，＋∞)时，ln x ＜x －1，ln ＜－1，1x 1x即1＜＜x .x －1ln x(3)证明：由题设c ＞1，设g (x )＝1＋(c －1)x －c x ，则g ′(x )＝c －1－c x ln c ，令g ′(x )＝0，解得x 0＝ln .c －1ln c当x ＜x 0时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增；当x ＞x 0时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减．由(2)知1＜＜c ，故0＜x 0＜1.c －1ln c又g (0)＝g (1)＝0，故当0＜x ＜1时，g (x )＞0.所以当x ∈(0,1)时，1＋(c －1)x ＞c x .2．设函数f (x )＝e x －ax －2.(1)求f (x )的单调区间；(2)若a ＝1，k 为整数，且当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0，求k 的最大值．解析：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．若a >0，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以，f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．(2)由于a ＝1，所以(x －k )f ′(x )＋x ＋1＝(x －k )·(e x －1)＋x ＋1.故当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0等价于k <＋x (x >0)．①x ＋1e x －1令g (x )＝＋x ，则g ′(x )＝＋1＝.x ＋1e x －1－x e x －1 e x －1 2e x e x －x －2 e x －1 2由(1)知，函数h (x )＝e x －x －2在(0，＋∞)上单调递增．而h (1)<0，h (2)>0，所以h (x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点．故g ′(x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈(1,2)．当x ∈(0，α)时，g ′(x )<0；当x ∈(α，＋∞)时，g ′(x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g (α)，又由g ′(α)＝0，可得e α＝α＋2，所以g (α)＝α＋1∈(2,3)．由于①式等价于k <g (α)，故整数k 的最大值为2.3．已知函数f (x )＝(a ＞0)．9x ax 2＋1(1)若a ＞，且曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线的斜率为－，求函数f (x )的单调区间；232725(2)求证：当x ＞1时，f (x )＞.9＋ln x ax 2＋1解析：(1)由题意得函数f (x )＝的导数为f ′(x )＝，9x ax 2＋19 1－ax 2 ax 2＋1 2所以在点(2，f (2))处的切线的斜率为＝－，解得a ＝＜(舍去)或a ＝1，9 1－4a 1＋4a 2272571223所以f (x )＝的导数为f ′(x )＝，9x 1＋x 29 1－x 2 1＋x 2 2由f ′(x )＞0，可得－1＜x ＜1，由f ′(x )＜0，可得x ＞1或x ＜－1.则函数f (x )的单调递增区间为(－1,1)，单调递减区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)．(2)证明：要证当x ＞1时，f (x )＞(a ＞0)，9＋ln x ax 2＋1即证当x ＞1时，＞(a ＞0)，9x ax 2＋19＋ln x ax 2＋1即当x ＞1时，9＋ln x ＜9x .令g (x )＝9＋ln x －9x (x >1)，g ′(x )＝－9＜0，1x即g (x )在(1，＋∞)上单调递减，则g (x )＜g (1)＝0，即当x ＞1时，9＋ln x ＜9x .故当x ＞1时，f (x )＞.9＋ln x ax 2＋14．(2016·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝αcos 2x ＋(α－1)·(cos x ＋1)，其中α>0，记|f (x )|的最大值为A .(1)求f ′(x )；(2)求A ；(3)证明|f ′(x )|≤2A .解析：(1)f ′(x )＝－2αsin 2x －(α－1)·sin x .(2)当α≥1时，|f (x )|＝|αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)|≤α＋2(α－1)＝3α－2＝f (0)．因此A ＝3α－2.当0<α<1时，将f (x )变形为f (x )＝2αcos 2x ＋(α－1)cos x －1.令g (t )＝2αt 2＋(α－1)t －1，则A 是|g (t )|在[－1,1]上的最大值，g (－1)＝α，g (1)＝3α－2，且当t ＝时，g (t )取得极小值，1－α4α极小值为g ＝－.(1－α4α)α2＋6α＋18α令－1<<1，得α>.1－α4α15①当0<α≤时，g (t )在[－1,1]内无极值点，15|g (－1)|＝α，|g (1)|＝2－3α，|g (－1)|<|g (1)|，所以A ＝2－3α.②当<α<1时，由g (－1)－g (1)＝2(1－α)>0，15知g (－1)>g (1)>g .(1－α4α)又－|g (－1)|＝>0，|g (1－α4α)| 1－α 1＋7α 8α所以A ＝＝.|g (1－α4α)|α2＋6α＋18α综上，A ＝Error!(3)证明：由(1)得|f ′(x )|＝|－2αsin 2x －(α－1)sin x |≤2α＋|α－1|.当0<α≤时，|f ′(x )|≤1＋α≤2－4α<2(2－3α)＝2A .15当<α<1时，A ＝＋＋≥1，15α818α34所以|f ′(x )|≤1＋α<2A .当α≥1时，|f ′(x )|≤3α－1≤6α－4＝2A .所以|f ′(x )|≤2A .B 组 能力提升练1．(2018·郑州二模)已知函数f (x )＝e x －x 2.(1)求曲线f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)求证：当x ＞0时，≥ln x ＋1.e x ＋ 2－e x －1x解析：(1)f ′(x )＝e x －2x ，由题设得f ′(1)＝e －2，f (1)＝e －1，∴f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝(e －2)x ＋1.(2)设g (x )＝f (x )－(e －2)x －1，x ＞0，则g ′(x )＝e x －2x －(e －2)，g ″(x )＝e x －2，g ′(x )在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增，又g ′(0)＝3－e ＞0，g ′(1)＝0,0＜ln 2＜1，∴g ′(ln 2)＜0，所以，存在x 0∈(0，ln 2)，使得g ′(x 0)＝0，所以，当x ∈(0，x 0)∪(1，＋∞)时，g ′(x )＞0；当x ∈(x 0,1)时，g ′(x )＜0，故g (x )在(0，x 0)上单调递增，在(x 0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又g (0)＝g (1)＝0，∴g (x )＝e x －x 2－(e －2)x －1≥0，当且仅当x ＝1时取等号，故x >0时，≥x .又x ≥ln e x ＋ 2－e x －1xx ＋1，即≥ln x ＋1，当且仅当x ＝1时，等号成立．e x ＋ 2－e x －1x2．已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2.(1)求a ；(2)证明：当k <1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点．解析：(1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋a ，f ′(0)＝a .曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线方程为y ＝ax ＋2.由题设得－＝－2，所以a ＝1.2a(2)证明：由(1)知，f (x )＝x 3－3x 2＋x ＋2.设g (x )＝f (x )－kx ＋2＝x 3－3x 2＋(1－k )x ＋4.由题设知1－k >0.当x ≤0时，g ′(x )＝3x 2－6x ＋1－k >0，g (x )单调递增，g (－1)＝k －1<0，g (0)＝4，所以g (x )＝0在(－∞，0]有唯一实根．当x >0时，令h (x )＝x 3－3x 2＋4，则g (x )＝h (x )＋(1－k )x >h (x )．h ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，h (x )在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增，所以g (x )>h (x )≥h (2)＝0.所以g (x )＝0在(0，＋∞)没有实根．综上，g (x )＝0在R 上有唯一实根，即曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点．3．(2017·邢台摸底考试)已知函数f (x )＝ax －e x (e 为自然对数的底数)．(1)当a ＝时，求函数f (x )的单调区间及极值；1e(2)当2≤a ≤e＋2时，求证：f (x )≤2x .解析：(1)当a ＝时，f (x )＝x －e x .1e 1e令f ′(x )＝－e x ＝0，得x ＝－1，1e当x ＜－1时，f ′(x )＞0；当x ＞－1时，f ′(x )＜0，所以，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，单调递减区间为(－1，＋∞)，当x ＝－1时，函数f (x )有极大值－，没有极小值．2e(2)证明：令F (x )＝2x －f (x )＝e x －(a －2)x ，①当a ＝2时，F (x )＝e x ＞0，所以f (x )＜2x .②当2＜a ≤2＋e 时，F ′(x )＝e x －(a －2)＝e x －e ln(a －2)，当x ＜ln(a －2)时，F ′(x )＜0；当x ＞ln(a －2)时，F ′(x )＞0，所以F (x )在(－∞，ln(a －2))上单调递减，在(ln(a －2)，＋∞)上单调递增，所以F (x )≥F (ln(a －2))＝e ln(a －2)－(a －2)·ln(a －2)＝(a －2)·[1－ln(a －2)]．因为2＜a ≤2＋e ，所以a －2＞0,1－ln(a －2)≥1－ln[(2＋e)－2]＝0，所以F (x )≥0，即f (x )≤2x ，综上，当2≤a ≤e＋2时，f (x )≤2x .4．(2017·开封模拟)已知函数f (x )＝x ln x ＋ax (a ∈R )．(1)若函数f (x )在区间[e 2，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围；(2)若对任意x ∈(1，＋∞)，f (x )＞k (x －1)＋ax －x 恒成立，求正整数k 的值．解析：(1)由f (x )＝x ln x ＋ax ，得f ′(x )＝ln x ＋a ＋1，∵函数f (x )在区间[e 2，＋∞)上为增函数，∴当x ∈[e 2，＋∞)时，f ′(x )≥0，即ln x ＋a ＋1≥0在区间[e 2，＋∞)上恒成立，∴a ≥－1－ln x .∵当x ∈[e 2，＋∞)时，ln x ∈[2，＋∞)，∴－1－ln x ∈(－∞，－3]．∴a ≥－3.(2)若对任意x ∈(1，＋∞)，f (x )＞k (x －1)＋ax －x 恒成立，即x ln x ＋ax ＞k (x －1)＋ax －x 恒成立，也就是k (x －1)＜x ln x ＋ax －ax ＋x 恒成立，∵x ∈(1，＋∞)，∴x －1＞0，则问题转化为k ＜对任意x ∈(1，＋∞)恒成立．x ln x ＋x x －1设函数h (x )＝，则h ′(x )＝，x ln x ＋x x －1x －ln x －2 x －1 2再设m (x )＝x －ln x －2，则m ′(x )＝1－.1x ∵x ∈(1，＋∞)，∴m ′(x )＞0，则m (x )＝x －ln x －2在(1，＋∞)上为增函数，∵m (1)＝1－ln 1－2＝－1，m (2)＝2－ln 2－2＝－ln 2，m (3)＝3－ln 3－2＝1－ln 3＜0，m (4)＝4－ln 4－2＝2－ln 4＞0，∴∃x 0∈(3,4)，使m (x 0)＝x 0－ln x 0－2＝0.∴当x ∈(1，x 0)时，m (x )＜0，h ′(x )＜0，当x ∈(x 0，＋∞)时，m (x )＞0，h ′(x )＞0，∴h (x )＝在(1，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，x ln x ＋x x －1∴h (x )的最小值为h (x 0)＝.x 0ln x 0＋x 0x 0－1∵m (x 0)＝x 0－ln x 0－2＝0，∴ln x 0＋1＝x 0－1，代入函数h (x )＝得h (x 0)＝x 0，x ln x ＋x x －1∵x 0∈(3,4)，且k ＜h (x )对任意x ∈(1，＋∞)恒成立，∴k ＜h (x )min ＝x 0，∴k ≤3，又k 为正整数，∴k 的值为1,2,3.。
2024年高考指导数学(人教A版理科第一轮复习)目录
课时规范练(A)课时规范练1集合的概念与运算课时规范练3命题及其关系、充要条件课时规范练5函数及其表示课时规范练7函数的奇偶性与周期性课时规范练9指数与指数函数课时规范练11函数的图象课时规范练13函数模型及其应用课时规范练15利用导数研究函数的单调性课时规范练17定积分与微积分基本定理课时规范练19同角三角函数基本关系式及诱导公式课时规范练21简单的三角恒等变换课时规范练23函数y=A sin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用课时规范练25平面向量的概念及线性运算课时规范练27平面向量的数量积及其应用课时规范练29数列的概念课时规范练31等比数列课时规范练33二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时规范练35合情推理与演绎推理课时规范练37数学归纳法课时规范练39空间几何体的表面积与体积课时规范练41空间直线、平面的平行关系课时规范练43空间向量及其运算课时规范练45直线的倾斜角、斜率与直线的方程课时规范练47圆的方程课时规范练49椭圆课时规范练51抛物线课时规范练53算法初步课时规范练55用样本估计总体课时规范练57分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时规范练59二项式定理课时规范练61古典概型与几何概型课时规范练63二项分布与正态分布课时规范练65极坐标方程与参数方程课时规范练67绝对值不等式课时规范练(B)课时规范练2简单不等式的解法课时规范练4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课时规范练6函数的单调性与最大(小)值课时规范练8幂函数与二次函数课时规范练10对数与对数函数课时规范练12函数与方程课时规范练14导数的概念及运算课时规范练16利用导数研究函数的极值、最大(小)值课时规范练18任意角、弧度制及任意角的三角函数课时规范练20两角和与差的正弦、余弦与正切公式及二倍角公式课时规范练22三角函数的图象与性质课时规范练24余弦定理、正弦定理及应用举例课时规范练26平面向量基本定理及向量坐标运算课时规范练28复数课时规范练30等差数列课时规范练32数列求和课时规范练34基本不等式及其应用课时规范练36直接证明与间接证明课时规范练38空间几何体的结构及其三视图、直观图课时规范练40空间点、直线、平面之间的位置关系课时规范练42空间直线、平面的垂直关系课时规范练44空间几何中的向量方法课时规范练46点与直线、两条直线的位置关系课时规范练48直线与圆、圆与圆的位置关系课时规范练50双曲线课时规范练52直线与圆锥曲线的位置关系课时规范练54随机抽样课时规范练56变量间的相关关系、统计案例课时规范练58排列与组合课时规范练60随机事件的概率课时规范练62离散型随机变量及其分布列课时规范练64离散型随机变量的均值与方差课时规范练66极坐标方程与参数方程的应用课时规范练68不等式的证明解答题专项解答题专项一函数与导数的综合问题第1课时利用导数证明不等式第2课时利用导数研究不等式恒(能)成立问题第3课时利用导数研究函数的零点解答题专项二三角函数与解三角形解答题专项三数列解答题专项四立体几何中的综合问题解答题专项五直线与圆锥曲线第1课时圆锥曲线中的最值(或范围)问题第2课时圆锥曲线中的定点(或定值)问题第3课时圆锥曲线中的存在性(或证明)问题解答题专项六概率与统计单元质检卷单元质检卷一集合与常用逻辑用语单元质检卷二函数单元质检卷三导数及其应用单元质检卷四三角函数、解三角形单元质检卷五平面向量、数系的扩充与复数的引入单元质检卷六数列单元质检卷七不等式、推理与证明单元质检卷八立体几何单元质检卷九解析几何单元质检卷十算法初步、统计与统计案例单元质检卷十一计数原理单元质检卷十二概率。
(名师导学)高考数学总复习 第二章 函数 第12讲 函数的图象练习 理(含解析)新人教A版-新人教A
第12讲 函数的图象夯实基础 【p 26】【学习目标】1．熟练掌握基本初等函数的图象；掌握函数作图的基本方法(描点法和变换法)．2．利用函数图象研究函数性质或求两函数的图象的交点个数．【基础检测】1．函数f(x)＝x 2－2|x|的图象大致是( )【解析】∵函数f(x)＝x 2－2|x|，∴f(3)＝9－8＝1>0，故排除C ，D ，∵f(0)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14－212<－1，故排除A ，故选B . 【答案】B2．为了得到函数y ＝2x ＋1－1的图象，只需把函数y ＝2x的图象上的所有的点( ) A ．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度B ．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度C ．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度【解析】把函数y ＝2x 的图象向左平移1个单位长度得到函数y ＝2x ＋1的图象，再把所得图象再向下平移1个单位长度，得到函数y ＝2x ＋1－1的图象．【答案】A3．函数f(x)＝ln (1－x)向右平移1个单位，再向上平移2个单位的大致图象为( )【解析】将函数f(x)＝ln (1－x)向右平移1个单位，得到函数为y ＝ln [1－(x －1)]＝ln (2－x)，再向上平移2个单位可得函数为y ＝ln (2－x)＋2.根据复合函数的单调性可知y ＝ln (2－x)＋2在(－∞，2)上为单调减函数，且恒过点(1，2)，故选C .【答案】C4．若函数y ＝f(x)的图象经过点(1，2)，则y ＝f(－x)＋1的图象必经过的点坐标是________．【解析】根据y ＝f(x)图象经过点(1，2)，可得y ＝f(－x)的图象经过点(－1，2)，函数y ＝f(－x)＋1的图象经过点(－1，3)．【答案】(－1，3)5．已知偶函数f ()x 和奇函数g ()x 的定义域都是()－4，4，且在(]－4，0上的图象如图所示，则关于x 的不等式f ()x ·g ()x <0的解集为________．【解析】设h ()x ＝f ()x g ()x ，则h ()－x ＝f ()－x g ()－x ＝－f ()x g ()x ＝－h ()x ，∴h ()x 是奇函数．由图象可知，当－4<x<－2时，f ()x >0，g ()x <0，即h ()x <0；当0<x<2时，f ()x <0，g ()x >0，即h ()x <0，∴h ()x <0的解为()－4，－2∪()0，2.【答案】()－4，－2∪()0，2【知识要点】1．基本初等函数(一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数)的图象2．作图方法：描点法，变换法．(1)描点法作图的基本步骤：①求出函数的__定义域和值域__．②找出__关键点__(图象与坐标轴的交点，最值点、极值点)和__关键线__(对称轴、渐近线)，并将关键点列表．③研究函数的基本性质(__奇偶性、单调性、周期性__)．若具有奇偶性就只作右半平面的图象，然后作关于原点或y 轴的对称图形即可；若具有单调性，单调区间上只需取少量代表点；若具有周期性，则只作一个周期内的图象即可．④在直角坐标系中__描点、连线__成图．(2)变换作图法常见的变换法则：__平移变换__、__伸缩变换__和__对称变换__，具体方法如下： 平移变换又包括左右平移变换(针对自变量)和上下平移变换(针对函数值整体)． ①左右平移变换(左加右减)，具体方法是：y ＝f （x ）――→将函数图象向左平移b （b ＞0y ＝f （x ）――→将函数图象向右平移b （b ＞0 ②上下平移变换(上正下负)，具体方法是：y ＝f （x ）――→将函数图象向上平移h （h ＞0y ＝f （x ）――→将函数图象向下平移h （h ＞0③伸缩变换包括左右伸缩变换(针对自变量)和上下伸缩变换(针对函数值整体)，(横缩纵伸)具体方法如下：y ＝f （x ）――→纵坐标保持不变横坐标缩为原来的1a倍y ＝ f （ax ），a ＞0 ， y ＝f （x ）――→横坐标保持不变纵坐标伸长为原来的a 倍y ＝ af （x ），a ＞0 .(3)对称变换包括中心对称和轴对称①y＝f(x)与y ＝－f(x)关于__x 轴__对称；②y＝f(x)与y ＝f(－x)关于__y 轴__对称；③y＝f(x)与y ＝－f(－x)关于__原点__对称；④y＝f(x)与y ＝f(2a －x)关于__x ＝a__对称；⑤y＝f(x)与y ＝|f(x)|，保留x 轴上方的图象，将x 轴下方的图象沿x 轴翻折上去，x 轴下方图象删去；⑥y＝f(x)与y ＝f(|x|)，保留y 轴右方的图象，将y 轴右方的图象沿y 轴翻折到左边，y 轴左方原图象删去．3．识图：通过对函数图象观察得到函数定义域、值域、奇偶性、单调性、特殊点等．4．用图：利用函数的图象可以讨论函数的性质、求最值、确定方程的解的个数、解不等式等．数形结合，直观方便．典 例 剖 析 【p 27】考点1 作函数的图象例1作出下列函数的图象：(1)y ＝2－x x ＋1； (2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋1|；(3)y ＝|log 2x －1|；(4)y ＝|x －2|·(x ＋1)．【解析】(1)易知函数的定义域为{x∈R |x ≠－1}．y ＝2－x x ＋1＝－1＋3x ＋1，因此由y ＝3x的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度即可得到函数y ＝2－x x ＋1的图象，如图①所示． (2)先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ∈[0，＋∞)的图象，然后作其关于y 轴的对称图象，再将整个图象向左平移1个单位长度，即得到y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋1|的图象，如图②所示． (3)先作出y ＝log 2x 的图象，再将图象向下平移1个单位长度，保留x 轴上方的部分，将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方来，即得到y ＝|log 2x －1|的图象，如图③所示．(4)当x ≥2，即x －2≥0时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94； 当x <2，即x －2<0时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94. ∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94，x ≥2，－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94，x <2. 这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)．【点评】为了正确作出函数的图象，除了掌握“列表、描点、连线”的方法外，还要做到以下两点：(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数以及形如y ＝x ＋1x的函数； (2)掌握常用的图象变换方法，如平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等．考点2 函数图象的识别例2(1)函数f (x )＝x 2sin x 的图象可能为( )【解析】因为f (x )是奇函数，图象关于坐标原点对称，排除B 、D ，又因为f (π)＝0，故选C.【答案】C(2)函数y ＝(3x 2＋2x )e x的图象大致是( )【解析】f (x )＝(3x 2＋2x )e x ，则函数f (x )只有两个零点，x ＝－23和x ＝0，故排除B 、D.f′(x )＝(3x 2＋8x ＋2)e x，由f′(x )＝0可知函数有两个极值点，故排除C.【答案】A(3)如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝45°，AB ＝5，AD ＝3，点E 由B 沿折线B －C －D 向点D 移动，EM⊥AB 于M ，EN⊥AD 于N ，设BM ＝x ，矩形AMEN 的面积为y ，那么y 与x 的函数关系图象大致是如图所示的( )【解析】∵EM⊥AB，∠B ＝45°，∴EM ＝MB ＝x ，AM ＝5－x.当点E 在BC 上运动时，即当0≤x≤3时，y ＝x ()5－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋254； 当点E 在CD 上运动时，矩形AMEN 即为矩形AMED ，此时3<x≤5，y ＝－3x ＋15. 所以y 与x 的函数关系为f ()x ＝⎩⎨⎧－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋254，()0≤x≤3，－3x ＋15，（3<x≤5）.画出图象如选项A 所示．【答案】A【点评】函数图象的识别可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．考点3函数图象的应用例3(1)定义域和值域均为[－a，a](常数a>0)的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图所示，给出下列四个命题：①方程f[g(x)]＝0有且仅有三个解；②方程g[f(x)]＝0有且仅有三个解；③方程f[f(x)]＝0有且仅有九个解；④方程g[g(x)]＝0有且仅有一个解．其中正确的结论是________(填写所有正确结论的序号)．【解析】①方程f[g(x)]＝0有且仅有三个解；g(x)有三个不同值，由于y＝g(x)是减函数，所以有三个解，正确；②方程g[f(x)]＝0有且仅有三个解；从图中可知，f(x)∈(0，a)可能有1，2，3个解，不正确；③方程f[f(x)]＝0有且仅有九个解；类似②不正确；④方程g[g(x)]＝0有且仅有一个解．结合图象，y＝g(x)是减函数，故正确．【答案】①④(2)函数y＝f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f(x)的图象是由一段抛物线和一条射线组成(如图所示)．①当x ∈[－1，1]时，y 的取值X 围是________；②如果对任意x ∈[a ，b ](b <0)，都有y ∈[－2，1]，那么a 的最小值是________．【解析】由图象可知，当x ＝0时，函数在[－1，1]上的最小值y min ＝1，当x ＝±1时，函数在[－1，1]上的最大值y max ＝2，所以当x ∈[－1，1]时，函数y ＝f (x )的值域为[1，2]；当x ∈[0，3]时，函数f (x )＝－(x －1)2＋2，当x ∈[3，＋∞)时，函数f (x )＝x －5， 当f (x )＝1时，x ＝2或x ＝6，又因为函数为偶函数，图象关于y 轴对称，所以对于任意x ∈[a ，b ](b <0)，要使得y ∈[－2，1]，则a ∈[－6，－2]，b ∈[－6，－2]，且a ≤b ，则实数a 的最小值是－6.【答案】[1，2]；－6(3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若|f (x )|≥ax 恒成立，则实数a 的取值X 围是__________．【解析】在平面直角坐标系中画出函数y ＝|f (x )|，y ＝ax 的图象如图，结合图象可知当直线y ＝ax 的斜率a 满足a ∈[－2，0]时，不等式|f (x )|≥ax 恒成立．【答案】[－2，0]方 法 总 结 【p 28】1．函数图象是函数性质的具体体现，它是函数的另一种表示形式，因此对基本初等函数的图象必须熟记．2．掌握好函数作图的两种方法：描点法和变换法，作图时要注意定义域，并化简解析式．3．变换法作图时，应先选定一个基本函数，通过变换，找出所求的图象和这个基本函数图象间的关系，再分步画出图形．4．在图象变换中，写函数解析式，也要分步进行，每经过一个变换，对应一个函数解析式．5．合理处理好识图题：对于给定的函数图象，要从图象的左右、上下X 围，端点、特殊点情况，以及图象所反映出的定义域、值域、极值、单调性、奇偶性、对称性、周期性等函数性质多方面进行观察分析，结合题给条件，进行合理解答． 6．充分用好图：数形结合是重要的数学思想方法，函数图象形象地显示了函数性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性．它是探求解题途径，快速获取结果的重要工具，特别是对解答填空选择题、方程根的个数等方面，很有效．因此，一定要注意数形结合，及时作出图象，借用图象帮助解题．走 进 高 考 【p 28】1．(2018·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －x x2的图象大致为( )【解析】∵x ≠0，f (－x )＝e －x －e xx 2＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，舍去A ；∵f (1)＝e －e －1>0，∴舍去D ；∴f ′(x )＝（e x ＋e －x ）x 2－（e x －e －x）2xx4＝（x －2）e x ＋（x ＋2）e－xx 3，∴当x >2，f ′(x )>0， 所以舍去C ；因此选B. 【答案】B2．(2018·全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )【解析】当x ＝0时，y ＝2，排除A ，B ；y ′＝－4x 3＋2x ＝－2x (2x 2－1)，当x ＝0.1时，y ′>0.故选D.【答案】D考 点 集 训 【p 188】A 组题1．如图所示的4个图象中，与所给3个事件最吻合的顺序是( ) ①我离开家后，心情愉快，缓慢行进，但最后发现快迟到时，加速前进； ②我骑着自行车上学，但中途车坏了，我修理好又以原来的速度前进； ③我快速的骑着自行车，最后发现时间充足，又减缓了速度．A ．③①② B．③④② C ．②①③ D ．②④③【解析】离开家后缓慢行进，但最后发现快迟到时，加速前进；对应离开家的距离先缓慢增长再快速增长，对应图象②；骑着自行车上学，但中途车坏了，我修理好又以原来的速度前进；对应离开家的距离直线上升再停止增长再直线上升(与开始直线平行)，对应图象①；快速的骑着自行车，最后发现时间充足，又减缓了速度；对应离开家的距离先快速增长再缓慢增长，对应图象③.【答案】C2．把函数y ＝log 2(x －1)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12个单位长度所得图象的函数解析式为( )A ．y ＝log 2(2x ＋1)B ．y ＝log 2(2x ＋2)C ．y ＝log 2(2x －1)D ．y ＝log 2(2x －2)【解析】把函数y ＝log 2(x －1)图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到y ＝log 2(2x－1)的图象，再向右平移12个单位长度，所得函数的解析式为y ＝log 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12－1＝log 2(2x －2)．【答案】D3．已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是( )A ．y ＝x2|x |B ．y ＝2|x |－2C ．y ＝e |x |－|x | D ．y ＝2|x |－x 2【解析】对于A ，函数f (x )＝x2|x |，当x >0时，y >0；当x <0时，y <0，所以不满足题意．对于B ，当x ≥0时，f (x )单调递增，不满足题意． 对于C ，当x ≥0时，f (x )>0，不满足题意．对于D ，函数y ＝2|x |－x 2为偶函数，且当x ≥0时，函数有两个零点，满足题意． 【答案】D4．函数f (x )＝x ln|x |的图象可能是( )【解析】函数的定义域{x |x ≠0}关于坐标原点对称，且由函数的解析式可知：f (－x )＝－x ×ln|－x |＝－x ln x ＝－f (x )， 则函数f (x )为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项C ，D 错误； 当x ＞0时，f (x )＝x ln x ，则f ′(x )＝ln x ＋x ×1x＝ln x ＋1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 即函数f (x )在区间(0，＋∞)内先单调递减，再单调递增，据此可排除B 选项，故选A. 【答案】A5．已知定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x－a （x ≤0），ln （x ＋a ）（x >0）(e 为自然对数的底数)，若方程f (x )＝12有两个不相等的实数根，则实数a 的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 B.[]0，e C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，e 【解析】(1)若a <0，则函数的定义域不是R ，不合题意；(2)若a ＝0，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x（x ≤0），ln x （x >0），定义域为R ，显然方程f (x )＝12有两个不等实根，符合题意；(3)若a >0，函数的定义域为R .当x ≤0时，－a ＜f (x )≤1－a ；当x >0时，f (x )＝ln(x ＋a )>ln a .结合图象可得要使方程f (x )＝12有两个不等实根，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，－a ＜12≤1－a ，ln a <12，解得0＜a ≤12.综上可得0＜a ≤12.【答案】A6．函数f (x )的定义域为[－1，1]，图象如图①所示；函数g (x )的定义域为[－2，2]，图象如图②所示，方程f (g (x ))＝0有m 个实数根，方程g (f (x ))＝0有n 个实数根，则m ＋n ＝( )A ．6B ．8C ．10D ．12【解析】由图象可知若f (g (x ))＝0，则g (x )＝－1或g (x )＝0或g (x )＝1.由图②知当g (x )＝－1时， x ＝－1或x ＝1；当g (x )＝0时， x 的值有3个；当g (x )＝1时， x ＝2或x ＝－2，故m ＝7.若g (f (x ))＝0，则f (x )＝－2－12＝－1.5或f (x )＝1.5或f (x )＝0.由图①知f (x )＝1.5与f (x )＝－1.5均无解；当f (x )＝0时， x ＝－1, x ＝1或x ＝0，故n ＝3，所以m ＋n ＝10.【答案】C7．已知函数y ＝f (x )是定义在区间[－3，3]上的偶函数，它在区间[0，3]上的图象是如图所示的一条线段，则不等式f (x )＋f (－x )>x 的解集为________．【解析】由题意，函数f (x )过点(0，2)，(3，0)，∴y ＝－23x ＋2.又因为f (x )是偶函数，关于y 轴对称， 所以f (x )＝f (－x )，即2f (x )>x .根据函数f (x )在[－3，3]上的图象可知，当x ∈[－3，0)的时候，y ＝2f (x )的图象恒在y ＝x 的上方，当x ∈[0，3]的时候，令2f (x )＝x ，x ＝127，即当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，127时，满足2f (x )>x ，即f (x )＋f (－x )>x . 【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，127 8．已知二次函数y ＝f ()x 满足f ()2x －1＝4x 2－8x .(1)求f ()x 的解析式；(2)作出函数y ＝||f ()x 的图象，并写出其单调区间； (3)求y ＝f ()x 在区间[]t ，t ＋1(t ∈R )上的最小值． 【解析】(1)令2x －1＝t 则x ＝t ＋12，∴f ()t ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－8·t ＋12＝t 2－2t －3，∴f ()x ＝x 2－2x －3.(2)函数|f (x )|的图象如图：由图象可知：|f ()x |的单调递增区间为[]－1，1，[3，＋∞)； 单调递减区间为(]－∞，－1，[]1，3. (3)f ()x ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，开口向上，对称轴为x ＝1，当t ≥1时，f ()x 在[]t ，t ＋1上为增函数， 所以x ＝t 时y 有最小值为f ()t ＝t 2－2t －3；当t <1<t ＋1，即0<t <1时，f ()x 在[]t ，t ＋1上先减后增， 所以x ＝1时y 有最小值为f ()1＝－4；当t ＋1≤1，即t ≤0时，f ()x 在[]t ，t ＋1上为减函数， 所以x ＝t ＋1时y 有最小值为f ()t ＋1＝t 2－4；综上所述：t ≤0时，f ()x 最小值为t 2－4；0<t <1时，f ()x 最小值为－4；t ≥1时，最小值为t 2－2t －3.B 组题1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0），x 2＋1，x ∈[0，1]，结合图象，则下列选项错误的是( )A ．①是f (x －1)的图象B ．②是f (－x )的图象C ．③是f (|x |)的图象D ．④是|f (x )|的图象【解析】作出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，对于选项A ，f (x －1)的图象是将f (x )的图象向右平移1个单位长度后得到的，正确；对于选项B ，f (－x )的图象与f (x )的图象关于y 轴对称，正确；对于选项C ，f (|x |)的图象为f (x )在y 轴右侧的图象不变，y 轴左侧的图象与右侧图象关于y 轴对称，正确；对于选项D ，|f (x )|的图象为f (x )在x 轴上方的图象不变，下方图象沿x 轴对称翻折到x 轴上方，因为函数f (x )的图象均在x 轴上方，所以|f (x )|的图象应与f (x )的图象相同，错误．【答案】D2．已知函数f ()x 是定义在[)－3，0∪(]0，3上的奇函数，当x ∈(]0，3时，f ()x 的图象如图所示，那么满足不等式f ()x ≥2x－1的x 的取值X 围是________．【解析】由图象可知，当x ∈(]0，3时，f ()x 单调递减，当0<x ≤1时，f ()x ≥1，2x－1≤1，满足不等式f ()x ≥2x－1；当1<x ≤3时，f ()x <1，1<2x－1≤7，不满足不等式f ()x ≥2x－1；∵函数f ()x 是定义在[)－3，0∪(]0，3上的奇函数，∴当x ∈[)－3，0时，f ()x 单调递减，当－3≤x ≤－2时，－34≤f ()x <0，－78<2x－1≤－34，满足不等式f ()x ≥2x －1；当x >－2时，f ()x <－34，2x －1>－34，不满足不等式f ()x ≥2x－1；∴满足不等式f ()x ≥2x－1的x 的取值X 围是[]－3，－2∪(]0，1.【答案】[]－3，－2∪(]0，13．已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f （x －1），x >0，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则a 的取值X 围是__________．【解析】x ≤0时，f (x )＝2－x－1，0<x ≤1时，－1<x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.故x >0时，f (x )是周期函数， 如图所示．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a <1，即a 的取值X 围是(－∞，1)． 【答案】(－∞，1)4．已知函数f (x )＝2x－a2x (a ∈R )，将y ＝f (x )的图象向右平移两个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象．(1)求函数y ＝g (x )的解析式；(2)若函数y ＝h (x )与y ＝g (x )的图象关于直线y ＝1对称，设F (x )＝f (x )＋h (x )，已知F (x )>2＋3a 对任意的x ∈(1，＋∞)恒成立，求a 的取值X 围．【解析】(1)g (x )＝2x －2－a2x －2.(2)设y ＝h (x )的图象上一点P (x ，y )，点P (x ，y )关于y ＝1的对称点为Q (x ，2－y )，由点Q 在y ＝g (x )的图象上，所以2－y ＝2x －2－a 2x －2， 于是y ＝2－2x －2＋a2x －2，即h (x )＝2－2x －2＋a2x －2. F (x )＝f (x )＋h (x )＝34×2x ＋3a2x ＋2. 由F (x )>3a ＋2，化简得14×2x ＋a2x >a ，设t ＝2x ，t ∈(2，＋∞)，F (x )>2＋3a 对任意的x ∈(1，＋∞)恒成立，即t 2－4at ＋4a >0在(2，＋∞)上恒成立．设m (t )＝t 2－4at ＋4a ，t ∈(2，＋∞)，对称轴为t ＝2a ， 则Δ＝16a 2－16a <0，③或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16a 2－16a ≥0，2a ≤2，m （2）≥0，④ 由③得0<a <1，由④得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0或a ≥1，a ≤1，a ≤1，即a ≤0或a ＝1.综上，a ≤1.。
高考数学总复习(基础知识+高频考点+解题训练)第二章
第一节函数及其表示[知识能否忆起]1．函数的概念(1)函数的定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2．函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．映射的概念设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A 到集合B的一个映射．4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．[小题能否全取]1．(教材习题改编)设g(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则f(x)等于( )A．－2x＋1 B．2x－1C．2x－3 D．2x＋7解析：选D f(x)＝g(x＋2)＝2(x＋2)＋3＝2x＋7.2．(2012·江西高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23D.139解析：选D f (3)＝23，f (f (3))＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139.3．已知集合A ＝[0,8]，集合B ＝[0,4]，则下列对应关系中，不能看作从A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝18xB ．f ：x →y ＝14xC ．f ：x →y ＝12xD ．f ：x →y ＝x解析：选D 按照对应关系f ：x →y ＝x ，对A 中某些元素(如x ＝8)，B 中不存在元素与之对应．4．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 2＋5x ，则f (x )＝____________.解析：令t ＝1x ，则x ＝1t .所以f (t )＝1t 2＋5t.故f (x )＝5x ＋1x2(x ≠0)．答案：5x ＋1x2(x ≠0)5．(教材习题改编)若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0，则f (－1)＝________.解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3.即f (x )＝x 2－4x ＋3.所以f (－1)＝(－1)2－4×(－1)＋3＝8. 答案：81.函数与映射的区别与联系(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A 与集合B 只能是非空数集，即函数是非空数集A 到非空数集B 的映射．(2)映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，A 、B 若不是数集，则这个映射便不是函数．2．定义域与值域相同的函数，不一定是相同函数如函数y ＝x 与y ＝x ＋1，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数；再如函数y ＝sin x 与y ＝cos x ，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数．因此判断两个函数是否相同，关键是看定义域和对应关系是否相同．3．求分段函数应注意的问题在求分段函数的值f (x 0)时，一定要首先判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．函数的基本概念典题导入[例1] 有以下判断：(1)f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0表示同一函数；(2)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； (3)f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；(4)若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.其中正确判断的序号是________．[自主解答] 对于(1)，由于函数f (x )＝|x |x的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于(2)，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于(3)，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于(4)，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (0)＝1.综上可知，正确的判断是(2)(3)． [答案] (2)(3)由题悟法两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x－1，g(t)＝2t－1，h(m)＝2m－1均表示同一函数．以题试法1．试判断以下各组函数是否表示同一函数．(1)y＝1，y＝x0；(2)y＝x－2·x＋2，y＝x2－4；(3)y＝x，y＝3t3；(4)y＝|x|，y＝(x)2.解：(1)y＝1的定义域为R，y＝x0的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，故它们不是同一函数．(2)y＝x－2·x＋2的定义域为{x|x≥2}．y＝x2－4的定义域为{x|x≥2，或x≤－2}，故它们不是同一函数．(3)y＝x，y＝3t3＝t，它们的定义域和对应关系都相同，故它们是同一函数．(4)y＝|x|的定义域为R，y＝(x)2的定义域为{x|x≥0}，故它们不是同一函数．求函数的解析式典题导入[例2] (1)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，求f (x )的解析式；(2)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，求f (x )的解析式； (3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )．[自主解答] (1)由于f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)． (2)令2x ＋1＝t 得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1， 故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1(x >1)． (3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)．由题悟法函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式(如例(1))；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法(如例(3))；(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(如例(2))；(4)方程思想：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )(如A 级T6)．以题试法2．(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式；(2)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式．解：(1)法一：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2(t ≥1)；代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：∵x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)， 即f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， ∴a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又∵方程f (x )＝0有两个相等实根， ∴Δ＝4－4c ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.分 段 函 数典题导入[例3] (2012·广州调研考试)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ∈－∞，1，x 2，x ∈[1，＋∞，若f (x )>4，则x 的取值范围是______．[自主解答] 当x <1时，由f (x )>4，得2－x>4，即x <－2； 当x ≥1时，由f (x )>4得x 2>4，所以x >2或x <－2， 由于x ≥1，所以x >2. 综上可得x <－2或x >2.[答案] (－∞，－2)∪(2，＋∞)若本例条件不变，试求f (f (－2))的值． 解：∵f (－2)＝22＝4， ∴f (f (－2))＝f (4)＝16.由题悟法求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．以题试法3.(2012·衡水模拟)已知f (x )的图象如图，则f (x )的解析式为________． 解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,0)分别代入，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤1，3－32x ，1≤x ≤21．下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ＝x －12B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2与y ＝lg x100答案：D2．下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin x B ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx解析：选D 函数y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，选项A 中由sin x ≠0⇒x ≠k π，k ∈Z ，故A 不对；选项B 中x >0，故B 不对；选项C 中x ∈R ，故C 不对；选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x |x ≠0}．3．(2012·安徽高考)下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x解析：选C 对于选项A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于选项B ，f (x )＝x －|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≥0，2x ，x ＜0，当x ≥0时，f (2x )＝0＝2f (x )，当x ＜0时，f (2x )＝4x ＝2·2x ＝2f (x )，恒有f (2x )＝2f (x )；对于选项D ，f (2x )＝－2x ＝2(－x )＝2f (x )；对于选项C ，f (2x )＝2x ＋1＝2f (x )－1.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos πx ，x >0，f x ＋1＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值等于( )A ．－2B ．1C ．2D ．3解析：选D f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋2＝52，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝3. 5．现向一个半径为R 的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h 随时间t 变化的函数关系的是( )解析：选C 从球的形状可知，水的高度开始时增加的速度越来越慢，当超过半球时，增加的速度又越来越快．6．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝( ) A ．x －1 B ．x ＋1 C ．2x ＋1D ．3x ＋3解析：选B 由题意知2f (x )－f (－x )＝3x ＋1.① 将①中x 换为－x ，则有2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1.②①×2＋②得3f (x )＝3x ＋3， 即f (x )＝x ＋1.7．已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)＝________. 解析：由f (1)＝f (2)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋p ＋q ＝0，22＋2p ＋q ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－3，q ＝2.故f (x )＝x 2－3x ＋2.所以f (－1)＝(－1)2＋3＋2＝6. 答案：68．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x＋1，x ＜2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.答案：(－1,3)9．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的是________．解析：由函数的定义，对定义域内的每一个x 对应着唯一一个y ，据此排除①④，③中值域为{y |0≤y ≤3}不合题意．答案：② 10．若函数f (x )＝xax ＋b(a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的解析式．解：由f (2)＝1得22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ＋b －1＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－ba， 又因方程有唯一解，故1－b a＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，所以f (x )＝2x x ＋2. 11.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km ，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (min)的关系．试写出y ＝f (x )的函数解析式．解：当x ∈[0,30]时，设y ＝k 1x ＋b 1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝0，30k 1＋b 1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝115，b 1＝0.即y ＝115x .当x ∈(30,40)时，y ＝2； 当x ∈[40,60]时，设y ＝k 2x ＋b 2，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧40k 2＋b 2＝2，60k 2＋b 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝110，b 2＝－2.即y ＝110x －2.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧115x ，x ∈[0，30]，2，x ∈30，40，110x －2，x ∈[40，60].12．如图1是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象．(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？ (4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？解：(1)点A 表示无人乘车时收支差额为－20元，点B 表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB 上的点表示亏损，AB 延长线上的点表示赢利．(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价．(3)斜率表示票价．(4)图1、2中的票价是2元．图3中的票价是4元．1．(2011·北京高考)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧c x ，x <A ，c A ，x ≥A (A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( ) A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16解析：选D 因为组装第A 件产品用时15分钟，所以c A＝15，① 所以必有4<A ，且c 4＝c2＝30.② 联立①②解得c ＝60，A ＝16.2．(2012·江西红色六校联考)具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．① 解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. 3．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)解不等式f (x )>2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有 a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x .∴a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1>2x ＋5，即x 2－3x －4>0，解得x >4或x <－1.故原不等式解集为{x |x >4，或x <－1}．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________.解析：∵f (0)＝3×0＋2＝2，f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，∴a ＝2.答案：22．若函数的定义域为{x |－3≤x ≤6，且x ≠4}，值域为{y |－2≤y ≤4，且y ≠0}，试在下图中画出满足条件的一个函数的图象．解：本题答案不唯一，函数图象可画为如图所示．3．已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x.(1)若f(2)＝3，求f(1)；又若f(0)＝a，求f(a)；(2)设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，求函数f(x)的解析式．解：(1)因为对任意x∈R有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，所以f(f(2)－22＋2)＝f(2)－22＋2，又f(2)＝3，从而f(1)＝1.若f(0)＝a，则f(a－02＋0)＝a－02＋0，即f(a)＝a.(2)因为对任意x∈R，有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，又有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，故对任意x∈R，有f(x)－x2＋x＝x0.在上式中令x＝x0，有f(x0)－x20＋x0＝x0.又因为f(x0)＝x0，所以x0－x20＝0，故x0＝0或x0＝1.若x0＝0，则f(x)＝x2－x，但方程x2－x＝x有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故x0≠0.若x0＝1，则有f(x)＝x2－x＋1，易证该函数满足题设条件．综上，所求函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.。
(福建共享)新2020高考数学一轮复习课时规范练12函数与方程理新人教A版【下载】
①当 0<m≤１时 , 1, 所以函数 y=( mx-1) 2 在 [0,1] 上是减函数 , 其最大值为 1, 最小值为 ( m-1) 2,
依题意得 ②当 m>1 时 ,0 <
0<m≤1, <1, 函数 y=( mx-1) 2 在区间
上递减 , 在区间
上递增 ,
依题意得
m≥3,
综上可得 m的取值范围是 (0,1] ∪ [3, +∞ ) . 故选 B. 17. C ∵f ( x) =x2- 2x+a(e +e x-1 -x+ 1),
C.(0, ] ∪ [2 , +∞)
D.(0, ] ∪[3, +∞ )
17. (2017
全国 Ⅲ, 理 11) 已知函数
f
(
x)
=x2-
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2x+a(e
x-
+1 -x+ e
1
)
有唯一零点
, 则 a=(
)
A. -
B.
C.
D.1
? 导学号 21500713?
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最新人教版小学试题
课时规范练 12 函数与方程 1. C 当 x 取值分别是 1,2,3,4,5 时 ,
f ( x+T) =f ( x) 有且仅有 3 个不同的实根 , 则实数 T 的取值范围是
. ? 导学号
21500712?
二、综合提升组
13. (2017 江西南昌模拟 ) 已知 f ( x) 是定义在 R上的奇函数 , 且当 x∈ (0, +∞ ) 时 , f ( x) =2
016x +log x, 2 016 则函数 f ( x) 的零点个数是 (
2020版广西高考人教A版数学(理)一 轮复习考点规范练：12 函数与方程 Word版含解析
考点规范练12 函数与方程基础巩固1.已知函数f (x )=则函数f (x )的零点为( ){2x -1,x ≤1,1+log 2x ,x >1, A.,0B.-2,0C. D.01212x ≤1时,由f (x )=2x -1=0,解得x=0;当x>1时,由f (x )=1+log 2x=0,解得x=,12又因为x>1,所以此时方程无解.综上可知函数f (x )的零点只有0,故选D .2.函数y=ln(x+1)与y=的图象交点的横坐标所在区间为( )1x A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)y=ln(x+1)与y=的图象交点的横坐标,即为函数f (x )=ln(x+1)-的零点.1x 1x ∵f (x )在(0,+∞)上是图象连续的,且f (1)=ln 2-1<0,f (2)=ln 3->0,12∴f (x )的零点所在区间为(1,2).故选B .3.由表格中的数据可以判定函数f (x )=ln x-x+2的一个零点所在的区间是(k ,k+1)(k ∈Z ),则k 的值为( )x 12345lnx 00.691.101.391.61x-2-10123A.1B.2C.3D.4x 取值分别是1,2,3,4,5时,f (1)=1,f (2)=0.69,f (3)=0.1,f (4)=-0.61,f (5)=-1.39,∵f (3)f (4)<0,∴函数的零点在区间(3,4)上,∴k=3,故选C .4.(2018山东潍坊月考)若函数f (x )的唯一零点同时在(0,4),(0,2),(1,2),内,则与f (0)符号相同的是(1,32)( )A.f (4)B.f (2)C.f (1)D.f (32).由题意知f (x )的零点在内,可知f (0)与f (1)符号相同.(1,32)5.若f (x )是奇函数,且x 0是y=f (x )+e x 的一个零点,则-x 0一定是下列哪个函数的零点( )A.y=f (-x )e x -1 B.y=f (x )e -x +1C.y=e x f (x )-1 D.y=e x f (x )+1f (x 0)=-,则f (x 0)=-1,f (-x 0)=1,故-x 0一定是y=e x f (x )-1的零点.e x 0e -x 0e -x06.(2018山东滨州月考)函数f (x )=sin(πcos x )在区间[0,2π]上的零点个数是( )A.3 B.4 C.5 D.6f (x )=0,得πcos x=k π(k ∈Z )⇒cos x=k (k ∈Z ),所以k=0,1,-1.若k=0,则x=或x=;π23π2若k=1,则x=0或x=2π;若k=-1,则x=π.故零点个数为5.7.已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx+1,函数y=f (x+1)-1为奇函数,则函数f (x )的零点个数为( )A.0 B.1C.2D.3f (x )=x 3+ax 2+bx+1,∴f (x+1)-1=(x+1)3+a (x+1)2+b (x+1)+1-1=x 3+(3+a )x 2+(3+2a+b )x+1+b+a.∵函数y=f (x+1)-1为奇函数,∴a=-3,b=2.∴f (x )=x 3-3x 2+2x+1.∴f'(x )=3x 2-6x+2=3(x-1)2-1=3.(x -1-33)(x -1+33)经分析可知f (x )在内是增函数,在内是减函数,在内是增函(-∞,1-33)(1-33,1+33)(1+33,+∞)数,且f >0,f >0,(1-33)(1+33)∴函数f (x )的零点个数为1,故选B .8.已知偶函数f (x )满足f (x-1)=f (x+1),且当x ∈[0,1]时,f (x )=x ,则关于x 的方程f (x )=在区间[0,4]上(110)x解的个数是( )A.1B.2C.3D.4f (x-1)=f (x+1),可知函数f (x )的周期T=2.∵x ∈[0,1]时,f (x )=x ,又f (x )是偶函数,∴f (x )的图象与y=的图象如图所示.(110)x由图象可知f (x )=在区间[0,4]上解的个数是4.故选D.(110)x9.若函数f (x )=有两个不同的零点,则实数a 的取值范围是 .{2x -a ,x ≤0,ln x ,x >0x>0时,由f (x )=ln x=0,得x=1.因为函数f (x )有两个不同的零点,所以当x ≤0时,函数f (x )=2x -a 有一个零点.令f (x )=2x -a=0,得a=2x .因为当x ≤0时,0<2x ≤20=1,所以0<a ≤1.所以实数a 的取值范围是0<a ≤1.10.已知函数f (x )=若函数g (x )=f (x )-m 有3个零点,则实数m 的取值范围{log 2(x +1),x >0,-x 2-2x ,x ≤0,是 .g(x)=f(x)-m有3个零点,所以f(x)-m=0有3个根,所以y=f(x)的图象与直线y=m有3个交点.画出函数y=f(x)的图象,由抛物线顶点为(-1,1),可知实数m的取值范围是(0,1).x11.已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x--1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是 .<x2<x31x xy1=2x,y2=ln x,y3=--1,y=-x,∵函数f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x--1的零点分别为x1,x2,x3,x即为函数y1=2x,y2=ln x,y3=--1与函数y=-x交点的横坐标,分别作出函数的图象,结合图象可得x1<x2<x3.12.已知函数f(x)=5x+x-2,g(x)=log5x+x-2的零点分别为x1,x2,则x1+x2的值为 .f(x)=0,g(x)=0,得5x=-x+2,log5x=-x+2.作出函数y=5x,y=log5x,y=-x+2的图象,如图所示.因为函数f(x)=5x+x-2,g(x)=log5x+x-2的零点分别为x1,x2,所以x1是函数y=5x的图象与直线y=-x+2交点A的横坐标,x2是函数y=log5x的图象与直线y=-x+2交点B的横坐标.因为y=5x与y=log5x的图象关于y=x对称,直线y=-x+2也关于y=x对称,且直线y=-x+2与它们都只有一个交点,故这两个交点关于y=x对称.又线段AB的中点是y=x与y=-x+2的交点,即(1,1),故x1+x2=2.能力提升13.已知函数f(x)=|2x-2|+b的两个零点分别为x1,x2(x1>x2),则下列结论正确的是( )A.1<x1<2,x1+x2<2B.1<x1<2,x1+x2<1C.x1>1,x1+x2<2D.x1>1,x1+x2<1f(x)=|2x-2|+b有两个零点,即y=|2x-2|与y=-b的图象有两个交点,交点的横坐标就是x1,x2(x2<x1),在同一坐标系中画出y=|2x-2|与y=-b的图象(如下),可知1<x1<2.当y=-b=2时,x1=2,两个函数图象只有一个交点,当y=-b<2时,由图可知x1+x2<2.14.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上为增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4的值为( )A.8B.-8C.0D.-4定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),∴f(x)=f(x+8),f(4-x)=f(x),f(0)=0.∴函数图象关于直线x=2对称,且函数的周期为8.∵f(x)在区间[0,2]上为增函数,∴f(x)在区间[-2,0]上为增函数,综上条件得函数f(x)的示意图如图所示.由图看出,四个交点中两个交点的横坐标之和为2×(-6),另两个交点的横坐标之和为2×2,故x 1+x 2+x 3+x 4=-8,故选B .15.已知e 是自然对数的底数,函数f (x )=e x +x-2的零点为a ,函数g (x )=ln x+x-2的零点为b ,则下列不等式中成立的是( )A.f (a )<f (1)<f (b )B.f (a )<f (b )<f (1)C.f (1)<f (a )<f (b )D.f (b )<f (1)<f (a ),知f'(x )=e x +1>0在x ∈R 上恒成立,故函数f (x )在R 上单调递增.而f (0)=e 0+0-2=-1<0,f (1)=e 1+1-2=e -1>0,所以函数f (x )的零点a ∈(0,1);由题意,知g'(x )=+1>0在x ∈(0,+∞)内恒成立,故函数g (x )在(0,+∞)内单调递增.1x 又g (1)=ln 1+1-2=-1<0,g (2)=ln 2+2-2=ln 2>0,所以函数g (x )的零点b ∈(1,2).综上,可得0<a<1<b<2.因为f (x )在R 上是单调递增的,所以f (a )<f (1)<f (b ).故选A.16.已知函数f (x )=x 2-2x+a (e x-1+e -x+1)有唯一零点,则a=( )A.-B.C.D.1121312f (x )=x 2-2x+a (e x-1+e -x+1),∴f (2-x )=(2-x )2-2(2-x )+a (e 2-x-1+e -(2-x )+1)=x 2-4x+4-4+2x+a (e 1-x +e x-1)=x 2-2x+a (e x-1+e -x+1),∴f (2-x )=f (x ),即直线x=1为f (x )图象的对称轴.∵f (x )有唯一零点,∴f (x )的零点只能为1,即f (1)=12-2×1+a (e 1-1+e -1+1)=0,解得a=.1217.若定义在R 上的函数y=f (x )满足f (x+1)=-f (x ),且当x ∈[-1,1]时,f (x )=x 2,函数g (x )={log 3(x -1),x >1,2x ,x ≤1,则函数h (x )=f (x )-g (x )在区间[-5,5]上的零点的个数为 .f (x+1)=-f (x ),∴f (x+2)=f (x ).又x ∈[-1,1]时,f (x )=x 2,∴f (x )的图象如图所示,在同一平面直角坐标系中作出函数g (x )的图象,可见y=f (x )(-5≤x ≤5)与y=2x (x ≤1)有5个交点,y=f (x )(-5≤x ≤5)与y=log 3(x-1)(x>1)的图象有3个交点,故共有8个交点.高考预测18.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且对任意的x ∈R 都有f (x+1)=f (x-1).当0≤x ≤1时,f (x )=x 2.若函数y=f (x )-x-a 在[0,2]上有三个不同的零点,则实数a 的取值范围为 .-14,0)x ∈R 都有f (x+1)=f (x-1),所以f (x+2)=f (x ).所以函数f (x )的周期为2.由f (x )-x-a=0,得f (x )=x+a.又当0≤x ≤1时,f (x )=x 2,且f (x )是定义在R 上的偶函数,故可画出f (x )的示意图如图所示.设直线y=x+a 与抛物线f (x )=x 2在[0,1]之间相切于点P (x 0,y 0),由f'(x )=2x ,可得2x 0=1,解得x 0=.12故y 0=,即P ,将点P 代入y=x+a ,得a=-.当直线经过点O ,A 时,a=0.若函数y=f (x )-x-a 在(12)2=14(12,14)14[0,2]上有三个不同的零点,即直线y=x+a 与曲线y=f (x )在[0,2]上恰有三个不同的公共点,则-<a<0.14。
高考数学第二章函数课时规范练12函数与方程文新人教A版
课时规范练12 函数与方程基础巩固组1.(2017北京房山区一模,文7)由表格中的数据可以判定函数f(x)=ln x-x+2的一个零点所在的区间是(k,k+1)(k∈Z),则k的值为()A.1B.2C.3D.42.(2017湖南师大附中模拟)设f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈ (1,2)内的近似解的过程中得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在()A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)C.(1.5,2)D.不能确定3.(2017广东七校联考)已知函数f(x)=-log3x,若实数x0是方程f(x)=0的解,且x0<x1,则f(x1)的值()A.恒为负B.等于零C.恒为正D.不大于零4.已知x0是f(x)=的一个零点,x1∈(-∞,x0),x2∈(x0,0),则 ()A.f(x1)<0,f(x2)<0B.f(x1)>0,f(x2)>0C. f(x1)>0,f(x2)<0D.f(x1)<0,f(x2)>05.若f(x)是奇函数,且x0是y=f(x)+e x的一个零点,则-x0一定是下列哪个函数的零点()A.y=f(-x)e x-1B.y=f(x)e-x+1C.y=e x f(x)-1D.y=e x f(x)+16.已知函数f(x)=若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(0,3)C.(0,2)D.(0,1)7.若a是方程2ln x-3=-x的解,则a在下列哪个区间内()A.(0,1)B.(3,4)C.(2,3)D.(1,2)8.(2017湖北武汉二月调考,文12)若函数f(x)=a e x-x-2a有两个零点,则实数a的取值范围是()A.B.C.(-∞,0)D.(0,+∞)〚导学号24190875〛9.已知g(x)=x+-m(x>0,其中e表示自然对数的底数).若g(x)在(0,+∞)内有零点,则m的取值范围是.10.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是.11.函数f(x)=有两个不同的零点,则实数a的取值范围为.12.(2017北京东城区二模)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x+T)=f(x)有且仅有3个不同的实根,则实数T的取值范围是.〚导学号24190876〛综合提升组13.( 2017江西南昌模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=2016x+log2 016x,则函数f(x)的零点个数是()B.2A.1D.4C.314.(2017江西赣州一模,文11)已知函数f(x)=|2x-2|+b的两个零点分别为x1,x2(x1>x2),则下列结论正确的是()A.1<x1<2,x1+x2<2B.1<x1<2,x1+x2<1C.x1>1,x1+x2<2D.x1>1,x1+x2<115.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在[0,2]上为增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4的值为()B.-8A.8D.-4〚导学号24190877〛C.0创新应用组16.(2017山东潍坊一模,文10)已知函数y=f(x)满足f(2+x)+f(2-x)=0,g(x)=若曲线y=f(x)与。
福建专用2018年高考数学总复习课时规范练12函数与方程文新人教A版20180315463
课时规范练12 函数与方程基础巩固组1.(2017北京房山区一模，文7)由表格中的数据可以判定函数f(x)=ln x-x+2的一个零点所在的区间是(k，k+1)(k∈Z)，则k的值为()A.1B.2C.3D.42.(2017湖南师大附中模拟)设f(x)=3x+3x-8，用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1，2)内的近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在()A.(1，1.25)B.(1.25，1.5)C.(1.5，2)D.不能确定3.(2017广东七校联考)已知函数f(x)=-log3x，若实数x0是方程f(x)=0的解，且x0<x1，则f(x1)的值()A.恒为负B.等于零C.恒为正D.不大于零4.已知x0是f(x)=的一个零点，x1∈(-∞，x0)，x2∈(x0，0)，则()A.f(x1)<0，f(x2)<0B.f(x1)>0，f(x2)>0C.f(x1)>0，f(x2)<0D.f(x1)<0，f(x2)>05.若f(x)是奇函数，且x0是y=f(x)+e x的一个零点，则-x0一定是下列哪个函数的零点()A.y=f(-x)e x-1B.y=f(x)e-x+1C.y=e x f(x)-1D.y=e x f(x)+16.已知函数f(x)=若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是()A.(1，3)B.(0，3)C.(0，2)D.(0，1)7.若a是方程2ln x-3=-x的解，则a在下列哪个区间内()A.(0，1)B.(3，4)C.(2，3)D.(1，2)8.(2017湖北武汉二月调考，文12)若函数f(x)=a e x-x-2a有两个零点，则实数a的取值范围是()A.B.C.(-∞，0)D.(0，+∞) 〚导学号24190875〛9.已知g(x)=x+-m(x>0，其中e表示自然对数的底数).若g(x)在(0，+∞)内有零点，则m的取值范围是.10.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点，则实数m的取值范围是.11.函数f(x)=有两个不同的零点，则实数a的取值范围为.12.(2017北京东城区二模)已知函数f(x)=若关于x 的方程f(x+T)=f(x)有且仅有3个不同的实根，则实数T的取值范围是.〚导学号24190876〛综合提升组13.(2017江西南昌模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，+∞)时，f(x)=2 016x+log2 016x，则函数f(x)的零点个数是()A.1B.2C.3D.414.(2017江西赣州一模，文11)已知函数f(x)=|2x-2|+b的两个零点分别为x1，x2(x1>x2)，则下列结论正确的是()A.1<x1<2，x1+x2<2B.1<x1<2，x1+x2<1C.x1>1，x1+x2<2D.x1>1，x1+x2<115.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x)，且在[0，2]上为增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的值为()A.8B.-8C.0D.-4 〚导学号24190877〛创新应用组16.(2017山东潍坊一模，文10)已知函数y=f(x)满足f(2+x)+f(2-x)=0，g(x)=若曲线y=f(x)与y=g(x)交于A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，…，A n(x n，y n)，则(x i+y i)等于()A.4nB.2nC.nD.0 〚导学号24190878〛17.(2017全国Ⅲ，文12)已知函数f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)有唯一零点，则a=()A.-B.C. D.1 〚导学号24190879〛答案：1.C当x取值分别是1，2，3，4，5时，f(1)=1，f(2)=0.69，f(3)=0.1，f(4)=-0.61，f(5)=-1.39，∵f(3)f(4)<0，∴函数的零点在区间(3，4)上，∴k=3，故选B.2.B由f(1.25)<0，f(1.5)>0可得方程f(x)=0的根落在区间(1.25，1.5)内，故选B.3.A因f(x)=-log3x在(0，+∞)内递减，若f(x0)=0，当x0<x1时，一定有f(x1)<0，故选A.4.C如图，在同一坐标系下作出函数y=，y=-的图象，由图象可知当x∈(-∞，x0)时，>-，当x∈(x0，0)时，<-，所以当x1∈(-∞，x0)，x2∈(x0，0)时，有f(x1)>0，f(x2)<0，选C.5.C由已知可得f(x0)=-，则·f(x0)=-1，f(-x0)=1，故-x0一定是y=e x f(x)-1的零点.6.D画出函数f(x)的图象如图所示，观察图象可知，若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根，则函数y=f(x)的图象与直线y=a有三个不同的交点，此时需满足0<a<1，故选D.7.D令f(x)=2ln x-3+x，则函数f(x)在(0，+∞)内递增，且f(1)=-2<0，f(2)=2ln 2-1=ln 4-1>0，所以函数f(x)在(1，2)内有零点，即a 在区间(1，2)内.8.D函数f(x)=a e x-x-2a的导函数f'(x)=a e x-1，当a≤0时，f'(x)≤0恒成立，函数f(x)在R上单调，不可能有两个零点;当a>0时，令f'(x)=0，得x=ln，函数在递减，在递增，所以f(x)的最小值为f=1-ln-2a=1+ln a-2a.令g(a)=1+ln a-2a(a>0)，g'(a)=-2，a∈，g(a)递增，a ∈递减，∴g(a)max=g=-ln 2<0，∴f(x)的最小值为f<0，函数f(x)=a e x-x-2a有两个零点，综上，实数a的取值范围是(0，+∞)，故选D.9.m≥2e由g(x)=0，得x2-mx+e2=0，x>0，所以解得故m≥2e.10.(0，1)因为函数g(x)=f(x)-m有3个零点，所以f(x)-m=0有3个根，所以y=f(x)的图象与直线y=m有3个交点.画出函数y=f(x)的图象，由抛物线顶点为(-1，1)，可知实数m的取值范围是(0，1).11.由于当x≤0时，f(x)=|x2+2x-1|的图象与x轴只有1个交点，即只有1个零点，故由题意知只需方程2x-1+a=0有1个正根即可，变形为2x=-2a，结合图形(图略)得-2a>1⇒a<-.12.(-4，-2)∪(2，4)化简函数f(x)的表达式，得f(x)=作出f(x)的图象如图所示.∵关于x的方程f(x+T)=f(x)有且仅有3个不同的实根，∴将f(x)的图象向左或向右平移|T|个单位后与原图象有3个交点，∴2<|T|<4，即-4<T<-2或2<T<4.故答案为(-4，-2)∪(2，4).13.C作出函数y=2 016x和y=-log2 016x的图象如图所示，可知函数f(x)=2 016x+log2 016x在x∈(0，+∞)内存在一个零点.∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(x)在x∈(-∞，0)内只有一个零点.又f(0)=0，∴函数f(x)的零点个数是3，故选C.14.A函数f(x)=|2x-2|+b有两个零点，即y=|2x-2|与y=-b的图象有两个交点，交点的横坐标就是x1，x2(x2<x1)，在同一坐标系中画出y=|2x-2|与y=-b的图象(如下)，可知1<x1<2.当y=-b=2时，x1=2，两个函数图象只有一个交点，当y=-b<2时，由图可知x1+x2<2.15.B∵定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x)，∴f(x)=f(x+8)，f(4-x)=f(x)，f(0)=0.∴函数图象关于直线x=2对称，且函数的周期为8.∵f(x)在[0，2]上为增函数，∴f(x)在[-2，0]上为增函数，综上条件得函数f(x)的示意图如图所示.由图看出，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×(-6)，另两个交点的横坐标之和为2×2，故x1+x2+x3+x4=-8，故选B.16.B由题意，得f(x)的图象关于点(2，0)对称;由g(x)=可得图象如下:g(x)的图象也关于点(2，0)对称，即有f(x)与g(x)的图象的交点关于点(2，0)对称，则(x i+y i)=x i+y i，即有y i=0.设t=x1+x2+x3+...+x n，则t=x n+x n-1+x n-2+ (x1)相加可得2t=(x1+x n)+(x2+x n-1)+…+(x n+x1)=4+4+…+4=4n，解得t=2n.故选B.17.C∵f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)，∴f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a(e2-x-1+e-(2-x)+1)=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+e x-1)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)，∴f(2-x)=f(x)，即x=1为f(x)图象的对称轴.∵f(x)有唯一零点，∴f(x)的零点只能为1，即f(1)=12-2×1+a(e1-1+e-1+1)=0，解得a=.。
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课时规范练12 函数与方程基础巩固组1、(2017北京房山区一模，文7)由表格中的数据可以判定函数f(x)=ln x-x+2的一个零点所在的区间是(k，k+1)(k∈Z)，则k的值为()A、1B、2C、3D、42、(2017湖南师大附中模拟)设f(x)=3x+3x-8，用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1，2)内的近似解的过程中得f(1)<0，f(1、5)>0，f(1、25)<0，则方程的根落在()A、(1，1、25)B、(1、25，1、5)C、(1、5，2)D、不能确定3、(2017广东七校联考)已知函数f(x)=-log3x，若实数x0是方程f(x)=0的解，且x0<x1，则f(x1)的值()A、恒为负B、等于零C、恒为正D、不大于零4、已知x0是f(x)=的一个零点，x1∈(-∞，x0)，x2∈(x0，0)，则()A、f(x1)<0，f(x2)<0B、f(x1)>0，f(x2)>0C、f(x1)>0，f(x2)<0D、f(x1)<0，f(x2)>05、若f(x)是奇函数，且x0是y=f(x)+e x的一个零点，则-x0一定是下列哪个函数的零点()A、y=f(-x)e x-1B、y=f(x)e-x+1C、y=e x f(x)-1D、y=e x f(x)+16、已知函数f(x)=若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是()A、(1，3)B、(0，3)C、(0，2)D、(0，1)7、若a是方程2ln x-3=-x的解，则a在下列哪个区间内()A、(0，1)B、(3，4)C、(2，3)D、(1，2)8、(2017湖北武汉二月调考，文12)若函数f(x)=a e x-x-2a有两个零点，则实数a的取值范围是()A、B、C、(-∞，0)D、(0，+∞) 〚导学号24190875〛9、已知g(x)=x+-m(x>0，其中e表示自然对数的底数)、若g(x)在(0，+∞)内有零点，则m的取值范围是、10、已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点，则实数m的取值范围是、11、函数f(x)=有两个不同的零点，则实数a的取值范围为、12、(2017北京东城区二模)已知函数f(x)=若关于x 的方程f(x+T)=f(x)有且仅有3个不同的实根，则实数T的取值范围是、〚导学号24190876〛综合提升组13、(2017江西南昌模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，+∞)时，f(x)=2 016x+log2 016x，则函数f(x)的零点个数是()A、1B、2C、3D、414、(2017江西赣州一模，文11)已知函数f(x)=|2x-2|+b的两个零点分别为x1，x2(x1>x2)，则下列结论正确的是()A、1<x1<2，x1+x2<2B、1<x1<2，x1+x2<1C、x1>1，x1+x2<2D、x1>1，x1+x2<115、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x)，且在[0，2]上为增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的值为()A、8B、-8C、0D、-4 〚导学号24190877〛创新应用组16、(2017山东潍坊一模，文10)已知函数y=f(x)满足f(2+x)+f(2-x)=0，g(x)=若曲线y=f(x)与y=g(x)交于A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，…，A n(x n，y n)，则(x i+y i)等于()A、4nB、2nC、nD、0 〚导学号24190878〛17、(2017全国Ⅲ，文12)已知函数f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)有唯一零点，则a=()A、-B、C、D、1 〚导学号24190879〛答案：1、C当x取值分别是1，2，3，4，5时，f(1)=1，f(2)=0、69，f(3)=0、1，f(4)=-0、61，f(5)=-1、39，∵f(3)f(4)<0，∴函数的零点在区间(3，4)上，∴k=3，故选B、2、B由f(1、25)<0，f(1、5)>0可得方程f(x)=0的根落在区间(1、25，1、5)内，故选B、3、A因f(x)=-log3x在(0，+∞)内递减，若f(x0)=0，当x0<x1时，一定有f(x1)<0，故选A、4、C如图，在同一坐标系下作出函数y=，y=-的图象，由图象可知当x∈(-∞，x0)时，>-，当x∈(x0，0)时，<-，所以当x1∈(-∞，x0)，x2∈(x0，0)时，有f(x1)>0，f(x2)<0，选C、5、C由已知可得f(x0)=-，则·f(x0)=-1，f(-x0)=1，故-x0一定是y=e x f(x)-1的零点、6、D画出函数f(x)的图象如图所示，观察图象可知，若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根，则函数y=f(x)的图象与直线y=a有三个不同的交点，此时需满足0<a<1，故选D、7、D令f(x)=2ln x-3+x，则函数f(x)在(0，+∞)内递增，且f(1)=-2<0，f(2)=2ln 2-1=ln 4-1>0，所以函数f(x)在(1，2)内有零点，即a 在区间(1，2)内、8、D函数f(x)=a e x-x-2a的导函数f'(x)=a e x-1，当a≤0时，f'(x)≤0恒成立，函数f(x)在R上单调，不可能有两个零点;当a>0时，令f'(x)=0，得x=ln，函数在递减，在递增，所以f(x)的最小值为f=1-ln-2a=1+ln a-2a、令g(a)=1+ln a-2a(a>0)，g'(a)=-2，a∈，g(a)递增，a ∈递减，∴g(a)max=g=-ln 2<0，∴f(x)的最小值为f<0，函数f(x)=a e x-x-2a有两个零点，综上，实数a的取值范围是(0，+∞)，故选D、9、m≥2e由g(x)=0，得x2-mx+e2=0，x>0，所以解得故m≥2e、10、(0，1)因为函数g(x)=f(x)-m有3个零点，所以f(x)-m=0有3个根，所以y=f(x)的图象与直线y=m有3个交点、画出函数y=f(x)的图象，由抛物线顶点为(-1，1)，可知实数m的取值范围是(0，1)、11、由于当x≤0时，f(x)=|x2+2x-1|的图象与x轴只有1个交点，即只有1个零点，故由题意知只需方程2x-1+a=0有1个正根即可，变形为2x=-2a，结合图形(图略)得-2a>1⇒a<-、12、(-4，-2)∪(2，4)化简函数f(x)的表达式，得f(x)=作出f(x)的图象如图所示、∵关于x的方程f(x+T)=f(x)有且仅有3个不同的实根，∴将f(x)的图象向左或向右平移|T|个单位后与原图象有3个交点，∴2<|T|<4，即-4<T<-2或2<T<4、故答案为(-4，-2)∪(2，4)、13、C作出函数y=2 016x和y=-log2 016x的图象如图所示，可知函数f(x)=2 016x+log2 016x在x∈(0，+∞)内存在一个零点、∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(x)在x∈(-∞，0)内只有一个零点、又f(0)=0，∴函数f(x)的零点个数是3，故选C、14、A函数f(x)=|2x-2|+b有两个零点，即y=|2x-2|与y=-b的图象有两个交点，交点的横坐标就是x1，x2(x2<x1)，在同一坐标系中画出y=|2x-2|与y=-b的图象(如下)，可知1<x1<2、当y=-b=2时，x1=2，两个函数图象只有一个交点，当y=-b<2时，由图可知x1+x2<2、15、B∵定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x)，∴f(x)=f(x+8)，f(4-x)=f(x)，f(0)=0、∴函数图象关于直线x=2对称，且函数的周期为8、∵f(x)在[0，2]上为增函数，∴f(x)在[-2，0]上为增函数，综上条件得函数f(x)的示意图如图所示、由图看出，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×(-6)，另两个交点的横坐标之和为2×2，故x1+x2+x3+x4=-8，故选B、16、B由题意，得f(x)的图象关于点(2，0)对称;由g(x)=可得图象如下:g(x)的图象也关于点(2，0)对称，即有f(x)与g(x)的图象的交点关于点(2，0)对称，则(x i+y i)=x i+y i，即有y i=0、设t=x1+x2+x3+...+x n，则t=x n+x n-1+x n-2+ (x1)相加可得2t=(x1+x n)+(x2+x n-1)+…+(x n+x1)=4+4+…+4=4n，解得t=2n、故选B、17、C∵f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)，∴f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a(e2-x-1+e-(2-x)+1)=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+e x-1)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)，∴f(2-x)=f(x)，即x=1为f(x)图象的对称轴、∵f(x)有唯一零点，∴f(x)的零点只能为1，即f(1)=12-2×1+a(e1-1+e-1+1)=0，解得a=、。
2022高考数学总复习(人教A理一轮)课时规范练12 函数与方程
课时规范练12 函数与方程基础巩固组1.下列图象表示的函数中,能用二分法求零点的是( )2.(2020湖南十三校联考)已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数,g (x )=[x ]为取整函数,x 0是函数f (x )=ln x-2x的零点,则g (x 0)等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.函数f (x )=ln(2x )-1的零点位于区间( )A.(2,3)B.(3,4)C.(0,1)D.(1,2)4.(2020湖南雅礼中学检测)已知函数f (x )={2|x |,x ≤1,x 2-3x +3,x >1,若关于x 的方程f (x )=2a (a ∈R )恰好有两个不同的实根,则实数a 的取值范围为( ) A.12,1 B.12C.38,12∪(1,+∞)D.R5.已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数,若函数y=f (2x 2+1)+f (λ-x )只有一个零点,则实数λ的值是 ( )A.14B.18C.-78D.-386.(2020山东历城二中模拟四,9改编)已知f (x )是定义域为R 的偶函数,在(-∞,0)上单调递减,且f (-3)·f (6)<0,那么下列结论中正确的是( ) A.f (x )可能有三个零点 B.f (3)·f (-4)≥0 C.f (-4)>f (6) D.f (0)<f (-6)7.已知函数f (x )={-e x ,x ≤0,lnx ,x >0(e 为自然对数的底数),若关于x 的方程f (x )+a=0有两个不相等的实根,则a 的取值范围是( ) A.(-1,+∞) B.(-1,1) C.(0,1]D.(-∞,1)8.(2020山东济宁三模,12)已知直线y=-x+2分别与函数y=e x 和y=ln x 的图象交于点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则下列结论错误的是( ) A.x 1+x 2=2B.e x 1+e x 2>2eC.x 1ln x 2+x 2ln x 1<0D.x 1x 2>√e29.已知函数f (x )={|x |,x ≤m ,x 2-2mx +4m ,x >m ,其中m>0.若存在实数b ,使得关于x 的方程f (x )=b 有三个不同的根,则m 的取值范围是 .综合提升组10.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x+2)=f (x ),且当x ∈[-1,1]时,f (x )=x 2.令g (x )=f (x )-kx-k ,若在区间[-1,3]内,函数g (x )=0有4个不相等实根,则实数k 的取值范围是( ) A.(0,+∞) B.(0,12]C.(0,14]D.[14,13]11.(2020湖北恩施高中月考,理11)已知单调函数f (x )的定义域为(0,+∞),对于定义域内任意x ,f ([f (x )-log 2x ])=3,则函数g (x )=f (x )+x-7的零点所在的区间为( ) A.(1,2) B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)12.已知函数f (x )={2-x -1,x ≤0,f (x -1),x >0,若方程f (x )=x+a 有且只有两个不相等的实数根,则实数a 的取值范围为 ( )A.(-∞,0]B.[0,1)C.(-∞,1)D.[0,+∞)13.(2020安徽安庆二模,理12)函数f (x )=|ln x|-ax 恰有两个零点x 1,x 2,且x 1<x 2,则x 1所在区间为( ) A.0,1e 3B.1e 3,1e 2C.1e 2,1eD.1e,114.(2020天津和平区一模,15)已知函数f (x )={1-|x +1|,x ∈[-2,0],2f (x -2),x ∈(0,+∞),则3log f (3)256= ;若方程f (x )=x+a 在区间[-2,4]有三个不等实根,则实数1a 的取值范围为 .创新应用组15.(2020河南实验中学4月模拟,12)已知函数f (x )={-x 2+2x ,x ≥0,x 2-2x ,x <0,若关于x 的不等式[f (x )]2+af (x )<0恰有1个整数解,则实数a 的最大值为( ) A.2B.3C.5D.816.已知函数f (x )=x 2-2x+a (e x-1+e -x+1)有唯一零点,则a=( ) A.-12B.13C.12D.1参考答案课时规范练12 函数与方程1.C A 中图象表示的函数没有零点,因此不能用二分法求零点;B 中函数的图象不连续;D 中函数在x 轴下方没有图象.故选C .2.B 因为f (x )在(0,+∞)上是增函数,且f (2)=ln 2-1<0,f (3)=ln 3-23>0,所以x 0∈(2,3),所以g (x 0)=[x 0]=2.3.D ∵f (x )=ln(2x )-1是增函数,且是连续函数,f (1)=ln 2-1<0,f (2)=ln 4-1>0,∴根据函数零点的存在性定理可得,函数f (x )的零点位于区间(1,2)上.4.C 作出函数f (x )的图象如图,因为关于x 的方程f (x )=2a 恰好有两个不同的实数根,所以y=2a 与函数y=f (x )的图象恰有两个交点,所以2a>2或34<2a ≤1,解得a>1或38<a ≤12. 5.C 令y=f (2x 2+1)+f (λ-x )=0,则f (2x 2+1)=-f (λ-x )=f (x-λ),因为f (x )是R 上的单调函数, 所以2x 2+1=x-λ,即2x 2-x+1+λ=0只有一个实根, 则Δ=1-8(1+λ)=0,解得λ=-78.6.A 因为f (x )是定义域为R 的偶函数,又f (-3)·f (6)<0,所以f (3)·f (6)<0.又f (x )在(0,+∞)上单调递增,所以函数f (x )在(0,+∞)上有一个零点,且f (3)<0,f (6)>0.所以函数f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上有两个零点.但是f(0)的值没有确定,所以函数f(x)可能有三个零点,所以A项正确;又f(-4)=f(4),4∈(3,6),所以f(-4)的符号不确定,所以B项不正确;C项显然不正确;由于f(0)的值没有确定,所以f(0)与f(-6)的大小关系不确定,所以D项不正确.故选A.7.C画出函数f(x)的图象如图所示,若关于x的方程f(x)+a=0有两个不相等的实根,则函数f(x)的图象与直线y=-a有两个不同交点,由图可知-1≤-a<0,所以0<a≤1.故选C.8.D因为函数y=e x与y=ln x互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称,直线y=-x+2与直线y=x垂直,且交点为(1,1),则点(1,1)为A(x1,y1),B(x2,y2)的中点,所以x1+x2=2,故选项A正确;e x1+e x2≥2√e x1e x2=2√e x1+x2=2√e2=2e,由题意x1≠x2,所以e x1≠e x2,所以e x1+e x2>2e,故选项B正确;因为点(1,1)为A(x1,y1),B(x2,y2)的中点,不妨设x1<1<x2,所以x1ln x2+x2ln x1<x2ln x2+x2ln x1=x2(lnx2+ln x1)=x2ln(x1x2)<x2ln x1+x222=x2ln 1=0,故选项C正确;因为x1+x2>2√x1x2,则x1x2<x1+x222=1,所以x1x2>√e2错误,故选项D错误.故选D.9.(3,+∞)在同一坐标系中,作y=f(x)与y=b的图象.当x>m时,x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2,∴要使方程f(x)=b有三个不同的根,则有4m-m2<m, 即m2-3m>0.又m>0,解得m>3,即m的取值范围为(3,+∞).10.C令g(x)=0,得f(x)=k(x+1).由题意知f(x)的周期为T=2,作出y=f(x)在[-1,3]上的图象,如图所示.设直线y=k1(x+1)经过点(3,1),则k1=14.因为直线y=k(x+1)经过定点(-1,0),且由题意知直线y=k(x+1)与y=f(x)的图象有4个交点,所以0<k≤14.11.C 因为f (x )在(0,+∞)上为单调函数,且f ([f (x )-log 2x ])=3,设t=f (x )-log 2x ,则f (x )=log 2x+t ,又由f (t )=3,所以f (t )=log 2t+t=3,得t=2,所以f (x )=log 2x+2,所以g (x )=log 2x+x-5.因为g (3)<0,g (4)>0,所以零点所在的区间为(3,4).故选C .12.C 当x>0时,f (x )=f (x-1),所以f (x )是以1为周期的函数.又当0<x ≤1时,x-1≤0,所以f (x )=f (x-1)=21-x-1=2(12)x-1.方程f (x )=x+a 的根的个数可看成是两个函数y=f (x )与y=x+a 的图象的交点的个数,画出函数的图象,如图所示,由图象可知实数a 的取值范围是(-∞,1).13.D 当a<0时,f (x )>0恒成立,不符合题意,当a=0时,f (x )=|ln x|只有一个零点为1,也不符合题意,当a>0时,作函数g (x )=|ln x|与h (x )=ax 图象,易知g (x )与h (x )图象在区间(0,1)上必有一个交点,则在区间(1,+∞)上有且仅有一个公共点,当x ∈(1,+∞)时,f (x )=ln x-ax ,f'(x )=1-axx ,f (x )在0,1a 上单调递增,在1a,+∞上单调递减,所以f (x )max =f 1a=ln 1a -1,则只需ln 1a -1=0,故a=1e ,当x ∈(0,1)时,f (x )=-ln x-1e x ,易知f1e=1-1e 2>0,f (1)=-1e <0,可知x 1∈1e,1,故选D .14.81-∞,-12∪{1} ∵f (x )={1-|x +1|,x ∈[-2,0],2f (x -2),x ∈(0,+∞),∴f (3)=2f (1)=4f (-1)=4×(1-|-1+1|)=4. ∴log f (3)256=lo g 2228=82=4,3log f (3)256=34=81. 若x ∈[0,2],则-2≤x-2≤0,∴f (x )=2f (x-2)=2(1-|x-2+1|)=2-2|x-1|,0≤x ≤2. 若x ∈(2,4],则0<x-2≤2,∴f (x )=2f (x-2)=2(2-2|x-2-1|)=4-4|x-3|,2<x ≤4. ∴f (1)=2,f (2)=0,f (3)=4.设y=f (x )和y=x+a ,则方程f (x )=x+a 在区间[-2,4]内有3个不等实根,等价为函数y=f (x )和y=x+a 在区间[-2,4]内有3个不同的零点.作出函数f (x )和y=x+a 的图象,如图所示,当直线经过点A (2,0)时,两个图象有2个交点,此时直线为y=x-2,当直线经过点O (0,0)时,两个图象有4个交点,此时直线为y=x ,当直线经过点B (3,4)和C (1,2)时,两个图象有3个交点,此时直线为y=x+1,∴要使方程f (x )=x+a 在区间[-2,4]内有3个不等实根,则a=1或-2<a<0.故实数1a 的取值范围为{1}∪-∞,-12.15.D 作函数f (x )图象,如图所示,由[f (x )]2+af (x )<0,得f (x )[f (x )+a ]<0,当a>0时,-a<f (x )<0,由于关于x 的不等式[f (x )]2+af (x )<0恰有1个整数解,因此其整数解为3,又f (3)=-9+6=-3,所以-a<-3<0,-a ≥f (4)=-8,则3<a ≤8.当a=0时,[f (x )]2<0,则a=0不满足题意;当a<0时,0<f (x )<-a ,当0<-a ≤1时,0<f (x )<-a ,没有整数解,当-a>1时,0<f (x )<-a ,至少有两个整数解,综上,实数a 的最大值为8,故选D . 16.C (方法1)∵f (x )=x 2-2x+a (e x-1+e -x+1),∴f (2-x )=(2-x )2-2(2-x )+a [e 2-x-1+e -(2-x )+1]=x 2-4x+4-4+2x+a (e 1-x +e x-1)=x 2-2x+a (e x-1+e -x+1),∴f (2-x )=f (x ),即直线x=1为f (x )图象的对称轴.∵f (x )有唯一零点,∴f (x )的零点只能为1,即f (1)=12-2×1+a (e 1-1+e -1+1)=0,解得a=12.(方法2)函数的零点满足x 2-2x=-a (e x-1+e -x+1)=-a e x-1+1e x -1,设g (x )=e x-1+1e x -1,令t=e x-1>0,则y=t+1t 在(0,1)单调递减,在[1,+∞)单调递增,即g (x )=e x-1+1e x -1在(-∞,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,所以当x=1时,y min =2,设h (x )=x 2-2x ,当x=1时,h (x )min =-1,若-a>0,函数h (x )与-ag (x )有两个交点,不合题意.当-a<0时,-ag (x )的最大值为-2a ,当-2a=h (x )min =-1,两个函数有一个交点,解得a=12.内容仅供参考后记亲爱的朋友，你好！非常荣幸和你相遇，很乐意为您服务。
2020年高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用2_12导数的综合应用课时规范练文(含解析)新人教A版
2-12 导数的综合应用课时规范练 A 组 基础对点练1．已知f (x )＝ax 2(a ∈R )，g (x )＝2ln x . (1)讨论函数F (x )＝f (x )－g (x )的单调性；(2)若方程f (x )＝g (x )在区间[2，e]上有两个不等解，求a 的取值范围． 解析：(1)F (x )＝ax 2－2ln x ，其定义域为(0，＋∞)，所以F ′(x )＝2ax －2x＝ax 2－x(x >0)．①当a >0时，由ax 2－1>0，得x >1a；由ax 2－1<0， 得0<x <1a.故当a >0时，F (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递减．②当a ≤0时，F ′(x )<0(x >0)恒成立． 故当a ≤0时，F (x )在(0，＋∞)上单调递减．(2)原式等价于方程a ＝2ln xx2＝φ(x )在区间[2，e]上有两个不等解． 由φ′(x )＝2x －2ln xx 4易知，φ(x )在(2，e)上为增函数，在(e ，e)上为减函数，则φ(x )max ＝φ(e)＝1e，而φ(e)＝2e 2<φ(2)＝2ln 24＝ln 22＝φ(2)，所以φ(x )min ＝φ(e)，如图，可知φ(x )＝a 有两个不等解时需ln 22≤a <1e ，即f (x )＝g (x )在[2，e]上有两个不等解时，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫ln 22，1e .2．已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2. (1)求a ；(2)证明：当k <1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点． 解析：(1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋a ，f ′(0)＝a . 曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线方程为y ＝ax ＋2. 由题设得－2a＝－2，所以a ＝1.(2)证明：由(1)知，f (x )＝x 3－3x 2＋x ＋2. 设g (x )＝f (x )－kx ＋2＝x 3－3x 2＋(1－k )x ＋4. 由题设知1－k >0.当x ≤0时，g ′(x )＝3x 2－6x ＋1－k >0，g (x )单调递增，g (－1)＝k －1<0，g (0)＝4，所以g (x )＝0在(－∞，0]有唯一实根．当x >0时，令h (x )＝x 3－3x 2＋4，则g (x )＝h (x )＋(1－k )x >h (x )．h ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，h (x )在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增，所以g (x )>h (x )≥h (2)＝0.所以g (x )＝0在(0，＋∞)没有实根．综上，g (x )＝0在R 有唯一实根，即曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点． 3．已知函数f (x )＝9xax 2＋1(a ＞0)． (1)若a ＞23，且曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线的斜率为－2725，求函数f (x )的单调区间；(2)求证：当x ＞1时，f (x )＞9＋ln xax 2＋1.解析：(1)函数f (x )的导数为f ′(x )＝－ax 2ax 2＋2，所以在点(2，f (2))处的切线的斜率为－4a ＋4a 2＝－2725， 解得a ＝712＜23(舍去)或a ＝1，所以f (x )＝9x1＋x2的导数为f ′(x )＝－x 2＋x22.由f ′(x )＞0，可得－1＜x ＜1，由f ′(x )＜0，可得x ＞1或x ＜－1.则函数f (x )的单调递增区间为(－1,1)，单调递减区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)． (2)证明：要证当x ＞1时，f (x )＞9＋ln xax 2＋1(a ＞0)，即证当x ＞1时，9x ax 2＋1＞9＋ln xax 2＋1(a ＞0)，即当x ＞1时，9＋ln x ＜9x .令g (x )＝9＋ln x －9x (x >1)，g ′(x )＝1x－9＜0，即g (x )在(1，＋∞)上单调递减，则g (x )＜g (1)＝0，即当x ＞1时，9＋ln x ＜9x .故当x ＞1时，f (x )＞9＋ln xax 2＋1.4．时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y (单位：千套)与销售价格x (单位：元/套)满足的关系式为y ＝m x －2＋4(x －6)2，其中2＜x ＜6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套． (1)求m 的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(精确到0.1) 解析：(1)因为x ＝4时，y ＝21， 代入关系式y ＝mx －2＋4(x －6)2， 得m2＋16＝21，解得m ＝10. (2)由(1)可知，套题每日的销售量y ＝10x －2＋4(x －6)2， 所以每日销售套题所获得的利润为f (x )＝(x －2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤10x －2＋4x －62＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2＜x ＜6)，从而f ′(x )＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2＜x ＜6)．令f ′(x )＝0，得x ＝103，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103上，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫103，6上，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减．所以x ＝103是函数f (x )在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f (x )取得最大值．故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．B 组 能力提升练1．设函数f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为0. (1)求b ；(2)若存在x 0≥1，使得f (x 0)<aa －1，求a 的取值范围．解析：(1)f ′(x )＝a x＋(1－a )x －b . 由题设知f ′(1)＝0，解得b ＝1. (2)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由(1)知，f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－x ，f ′(x )＝a x ＋(1－a )x －1＝1－a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 1－a (x －1)．①若a ≤12，则a1－a ≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(1，＋∞)上单调递增．所以存在x 0≥1，使得f (x 0)<aa －1的充要条件为f (1)<a a －1，即1－a 2－1<aa －1，解得－2－1<a <2－1.②若12<a <1，则a 1－a >1，故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞时，f ′(x )>0.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a1－a ，＋∞上单调递增． 所以存在x 0≥1，使得f (x 0)<aa －1的充要条件为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a <aa －1， 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ＝a ln a 1－a ＋a 2－a＋a a －1>aa －1，所以不合题意．③若a >1，则f (1)＝1－a 2－1＝－a －12<a a －1.综上，a 的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)． 2．设函数f (x )＝e x－ax －2. (1)求f (x )的单调区间；(2)若a ＝1，k 为整数，且当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0，求k 的最大值． 解析：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．若a >0，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． (2)由于a ＝1，所以(x －k )f ′(x )＋x ＋1＝(x －k )·(e x－1)＋x ＋1.故当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0等价于k <x ＋1e x －1＋x (x >0)． ① 令g (x )＝x ＋1e x －1＋x ，则g ′(x )＝－x e x －1x －2＋1＝ex x－x －x －2. 由(1)知，函数h (x )＝e x－x －2在(0，＋∞)上单调递增．而h (1)<0，h (2)>0，所以h (x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点，故g ′(x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点． 设此零点为α，则α∈(1,2)．当x ∈(0，α)时，g ′(x )<0；当x ∈(α，＋∞)时，g ′(x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g (α)，又由g ′(α)＝0，可得e α＝α＋2，所以g (α)＝α＋1∈(2,3)． 由于①式等价于k <g (α)，故整数k 的最大值为2. 3．已知函数f (x )＝ax －e x(e 为自然对数的底数)． (1)当a ＝1e 时，求函数f (x )的单调区间及极值；(2)当2≤a ≤e＋2时，求证：f (x )≤2x . 解析：(1)当a ＝1e 时，f (x )＝1e x －e x.令f ′(x )＝1e－e x＝0，得x ＝－1.当x ＜－1时，f ′(x )＞0；当x ＞－1时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，单调递减区间为(－1，＋∞)，当x ＝－1时，函数f (x )有极大值－2e ，没有极小值．(2)证明：令F (x )＝2x －f (x )＝e x－(a －2)x ， ①当a ＝2时，F (x )＝e x＞0，所以f (x )＜2x . ②当2＜a ≤2＋e 时，F ′(x )＝e x－(a －2)＝e x－eln(a －2)，当x ＜ln(a －2)时，F ′(x )＜0；当x ＞ln(a －2)时，F ′(x )＞0，所以F (x )在(－∞，ln(a －2))上单调递减，在(ln(a －2)，＋∞)上单调递增，所以F (x )≥F (ln(a －2))＝e ln(a －2)－(a －2)ln(a －2)＝(a －2)·[1－ln(a －2)]．因为2＜a ≤2＋e ，所以a －2＞0,1－ln(a －2)≥1－ln[(2＋e)－2]＝0，所以F (x )≥0，即f (x )≤2x ，综上，当2≤a ≤e＋2时，f (x )≤2x .4．(2018·陕西西北九校联考)已知函数f (x )＝－ln x ＋t (x －1)，t 为实数． (1)当t ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)若当t ＝12时，k x －12－f (x )<0在(1，＋∞)上恒成立，求实数k 的取值范围．解析：(1)当t ＝1时，f (x )＝－ln x ＋x －1，x >0， ∴f ′(x )＝－1x ＋1＝x －1x.由f ′(x )<0可得0<x <1，由f ′(x )>0可得x >1，∴函数f (x )的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)．(2)当t ＝12时，f (x )＝－ln x ＋x 2－12，k x －12－f (x )＝k x －12＋ln x －x 2＋12＝ln x －x 2＋kx.当x >1时，k x －12－f (x )<0恒成立，等价于k <x 22－x ln x 在(1，＋∞)上恒成立．令g (x )＝x 22－x ln x ，则g ′(x )＝x －(ln x ＋1)＝x －1－ln x . 令h (x )＝x －1－ln x ，则h ′(x )＝1－1x ＝x －1x.当x >1时，h ′(x )>0，函数h (x )＝x －1－ln x 在(1，＋∞)上单调递增，故h (x )>h (1)＝0， 从而当x >1时，g ′(x )>g ′(1)＝0， 即函数g (x )在(1，＋∞)上单调递增， 故g (x )>g (1)＝12.因此当x >1时，若使k <x 22－x ln x 恒成立，则k ≤12.∴实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12.。
(新课标)高考数学一轮总复习 第二章 函数 第12讲 函数与方程导学案 新人教A版-新人教A版高三全
第12讲 函数与方程【课程要求】1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断根的存在性与根的个数．2．利用函数的零点求解参数的取值范围．对应学生用书p 31【基础检测】概念辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．( )(2)函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( ) (3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)在b 2－4ac<0时没有零点．( )(4)f(x)＝x 2，g(x)＝2x ，h(x)＝log 2x ，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)<f(x)<g(x)．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√教材改编2．[必修1p 92A 组T 5]函数f(x)＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C .⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1和(3，4) D ．(4，＋∞) [解析]∵f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3－23>0，且函数f(x)的图象连续不断，f(x)为增函数， ∴f(x )的零点在区间(2，3)内． [答案]B3．[必修1p 88例1]函数f(x)＝e x＋3x 的零点个数是________．[解析]由已知得f′(x)＝e x＋3>0，所以f(x)在R 上单调递增，又f (－1)＝1e －3<0，f (0)＝1>0，因此函数f (x )有且只有一个零点．[答案]14．[必修1p 92A 组T 4]函数f(x)＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的零点个数为____________． [解析]作函数y 1＝x 12和y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象如图所示，由图象知函数f(x)有1个零点． [答案]1易错提醒5．(多选)下列图象表示的函数中不能．．用二分法求零点的是( )[解析]A 中函数没有零点，因此不能用二分法求零点；B 中函数的图象不连续，因此不能用二分法求零点；D 中函数在x 轴下方没有图象，因此不能用二分法求零点，故选ABD .[答案]ABD6．已知函数f(x)＝x －x(x>0)，g(x)＝x ＋e x，h(x)＝x ＋ln x 的零点分别为x 1，x 2，x 3，则( )A ．x 1<x 2<x 3B ．x 2<x 1<x 3C ．x 2<x 3<x 1D ．x 3<x 1<x 2[解析]作出y ＝x 与y 1＝x ，y 2＝－e x，y 3＝－ln x 的图象如图所示，可知选C .[答案]C【知识要点】1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)，我们把使__f(x)＝0__的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)三个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有__零点__．(3)函数零点的判定(函数存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是__连续不断__的一条曲线，并且有__f(a)·f(b)<0__，那么，函数y＝f(x)在区间__(a，b)__内有零点，即存在c∈(a，b)，使得__f(c)＝0__，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根．2．有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系0)__ __(x，0)__ 无交点对应学生用书p32函数零点区间的判定和求解1 (1)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x≤1，1＋log 2x ，x>1，则函数f(x)在区间[]0，1上有__________个零点．[解析]当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x ＝0∈[]0，1；所以函数f(x)在区间[0，1]上只有1个零点． [答案]1(2)若a<b<c ，则函数f(x)＝(x －a)(x －b)＋(x －b)(x －c)＋(x －c)(x －a)的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b)和(b ，c)内B ．(－∞，a)和(a ，b)内C ．(b ，c)和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a)和(c ，＋∞)[解析]∵a<b<c，∴f(a)＝(a －b)(a －c)>0， f(b)＝(b －c)(b －a)<0，f(c)＝(c －a)(c －b)>0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a ，b)，(b ，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点．因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a ，b)，(b ，c)内，故选A .[答案]A[小结]函数零点的判定方法：(1)解方程法：若对应方程f(x)＝0可解，通过解方程，则方程有几个解就对应有几个零点．(2)函数零点的存在性定理法：利用定理不仅要判断函数图象在区间[a ，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数的零点个数．(3)数形结合法：合理转化为两个函数的图象(易画出图象)的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．1．若x 0是方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝x 13的解，则x 0属于区间( )A .⎝⎛⎭⎪⎫23，1B .⎝⎛⎭⎪⎫12，23C .⎝⎛⎭⎪⎫13，12D .⎝⎛⎭⎪⎫0，13 [解析]令g(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，f(x)＝x 13，则g(0)＝1＞f(0)＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1313， 结合图象可得13＜x 0＜12.[答案]C2．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x≤0，log 2x ，x>0，则函数y ＝f(f(x))＋1在区间()0，＋∞上的零点的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1[解析]由f(f(x))＋1＝0，得f(f(x))＝－1， 由f(－2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1，得f(x)＝－2或f(x)＝12.若f(x)＝－2，则x ＝－3或x ＝14；若f(x)＝12，则x ＝－12或x ＝ 2.综上可得函数y ＝f(f(x))＋1在区间()0，＋∞上的零点的个数是2，故选C . [答案]C函数零点个数的判断和求解2 (1)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x|，x≤2，（x －2）2，x>2，函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y ＝f(x)－g(x)的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析]由已知条件可得g(x)＝3－f(2－x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|＋1，x≥0，3－x 2，x ＜0.函数y ＝f(x)－g(x)的零点个数即为函数y ＝f(x)与y ＝g(x)图象的交点个数，在平面直角坐标系内作出函数y ＝f(x)与y ＝g(x)的图象如图所示．由图可知函数y ＝f(x)与y ＝g(x)的图象有2个交点，所以函数y ＝f(x)－g(x)的零点个数为2，故选A .[答案]A(2)函数f(x)＝4cos 2x2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln (x ＋1)|的零点个数为____________．[解析]f(x)＝2(1＋cos x)sin x －2sin x －|ln (x ＋1)|＝sin 2x －|ln (x ＋1)|，x>－1， 函数f(x)的零点个数即为函数y 1＝sin 2x(x>－1)与y 2＝|ln (x ＋1)|(x>－1)的图象的交点个数．分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则f(x)有两个零点．[答案]2[小结]判断函数零点个数的方法(1)直接法：解方程f(x)＝0，方程有几个解，函数f(x)就有几个零点；(2)图象法：画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x 轴的交点个数即为函数f(x)的零点个数；(3)将函数f(x)拆成两个常见函数h(x)和g(x)的差，从而f(x)＝0⇔h(x)－g(x)＝0⇔h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数即为函数y ＝h(x)与函数y ＝g(x)的图象的交点个数；(4)二次函数的零点问题，通过相应的二次方程的判别式Δ来判断．3．函数y ＝(x －1)2－log a x(其中a>1)零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析]函数y ＝(x －1)2－log a x(其中a>1)零点的个数就是y ＝(x －1)2的图象与y ＝log a x(其中a>1)图象交点个数，在同一坐标系内画出y ＝(x －1)2的图象与y ＝log a x(其中a>1)图象，如图，由图可知，y ＝(x －1)2的图象与y ＝log a x(其中a>1)图象有两个交点，所以函数y ＝(x －1)2－log a x(其中a>1)零点的个数是2.[答案]C4．已知a>1，方程e x＋x －a ＝0与ln x ＋x －a ＝0的根分别为x 1，x 2，若m ＝x 21＋x 22＋2x 1x 2，则m 的取值范围为________．[解析]方程e x＋x －a ＝0的根，即y ＝e x与y ＝a －x 图象交点的横坐标，方程ln x ＋x －a ＝0的根，即y ＝ln x 与y ＝a －x 图象交点的横坐标，而y ＝e x与y ＝ln x 的图象关于直线y ＝x 轴对称，如图所示：∴x 1＋x 2＝a ，∴x 21＋x 22＋2x 1x 2＝()x 1＋x 22＝a 2，又a>1，∴m＝x 21＋x 22＋2x 1x 2>1. [答案] (1，＋∞)二次函数的零点问题3 (1)若函数f(x)＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m 的取值范围是______________．[解析]依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m≠2，f （－1）·f（0）<0，f （1）·f（2）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m≠2，[m －2－m ＋（2m ＋1）]（2m ＋1）<0，[m －2＋m ＋（2m ＋1）][4（m －2）＋2m ＋（2m ＋1）]<0， 解得14<m<12.[答案]⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 (2)已知a ，b ，c ，d 都是常数，a ＞b ，c ＞d.若f(x)＝2021－(x －a)(x －b)的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( )A ．a ＞c ＞b ＞dB ．a ＞b ＞c ＞dC ．c ＞d ＞a ＞bD ．c ＞a ＞b ＞d[解析]f(x)＝2021－(x －a)·(x－b)＝－x 2＋(a ＋b)x －ab ＋2021，又f(a)＝f(b)＝2021，c ，d 为函数f(x)的零点，且a ＞b ，c ＞d ，所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象如图所示，由图可知c ＞a ＞b ＞d ，故选D .[答案]D[小结]解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．5．已知二次函数f(x)＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a ，若y ＝f(x)在区间(－1，0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，则实数a 的取值范围是____________．[解析]依题意，要使y ＝f(x)在区间(－1，0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，只需⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＞0，f （0）＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a ＞0，1－2a ＜0，34－a ＞0，解得12＜a ＜34.故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34.[答案]⎝ ⎛⎭⎪⎫12，346．已知y ＝f(x)是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x ，若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，则a 的取值范围是__________．[解析]设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝x 2＋2x .又因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x .所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0.方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，即y ＝f (x )与y ＝a 的图象有3个不同的交点． 作出y ＝f (x )与y ＝a 的图象如图所示，故若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，只需－1＜a ＜1， 故a 的取值范围为(－1，1)． [答案] (－1，1)函数零点的应用4 (1)(多选)设函数f(x)＝e x＋x －2，g(x)＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f(a)＝0，g(b)＝0，则( )A ．g(a)<0B ．g(a)>0C ．f(b)<0D ．f(b)>0[解析]因为函数f(x)＝e x＋x －2在R 上单调递增，且f (0)＝1－2<0，f (1)＝e －1>0，所以f (a )＝0时，a ∈(0，1)．又g (x )＝ln x ＋x 2－3在(0，＋∞)上单调递增，且g (1)＝－2<0，所以g (a )<0.由g (2)＝ln2＋1>0，所以g (b )＝0时，b ∈(1，2)，又f (1)＝e －1>0，所以f (b )>0.[答案]AD(2)已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋ax 恰有两个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞)C ．(0，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，0)∪{1}[解析]由题意，显然x ＝1是函数f (x )的一个零点，取a ＝－1，则f (x )＝ln x ＋x 2－x ，f ′(x )＝2x 2－x ＋1x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋78x>0恒成立．则f (x )仅有一个零点，不符合题意，排除A 、D ；取a ＝1，则f (x )＝ln x －x 2＋x ，f ′(x )＝1－2x 2＋x x ＝（1＋2x ）（1－x ）x，令f ′(x )＝0，得x ＝1，则f (x )在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，f (x )max ＝f (1)＝0，即f (x )仅有一个零点，不符合题意，排除B ，故选C.[答案]C(3)已知f (x )＝x 2＋kx ＋|x 2－1|，若f (x )在(0，2)上有两个不同的零点x 1，x 2，则k 的取值范围是________．[解析]不妨设0<x 1<x 2<2，∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋kx －1，|x |>1，kx ＋1，|x |≤1，∴f (x )在(0，1]是单调函数， 故f (x )＝0在(0，1]上至多一个解；若1<x 1<x 2<2，则x 1x 2＝－12<0，故不符合题意；∴0<x 1≤1<x 2<2，由f (x 1)＝0可得k ＝－1x 1，∴k ≤－1，由f (x 2)＝0可得k ＝1x 2－2x 2，∴－72<k <－1，综上，k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，－1. [答案]⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，－1[小结]利用函数零点求参数范围的思路方法及步骤 (1)常规思路已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数，这时图形一定要准确，这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题．(2)常用方法(3)一般步骤7．若关于x 的方程22x＋2xa ＋a ＋1＝0有实根，则实数a 的取值范围是____________． [解析]由方程，解得a ＝－22x＋12x ＋1，设t ＝2x(t>0)，则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t ＋1－1＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（t ＋1）＋2t ＋1，其中t ＋1>1， 由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22， 当且仅当t ＝2－1时取等号，故a≤2－2 2. [答案] (－∞，2－22]8．已知函数f(x)＝e x －x 2＋2x ，g(x)＝ln x －1x ＋2，h(x)＝1x －x －2，且－1<x<3，若f(a)＝g(b)＝h(c)＝0，则实数a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a<b<cB ．b<a<cC ．a<c<bD ．c<b<a[解析]同一坐标系内，分别作出函数y ＝e x ，y ＝x 2－2x ，y ＝ln x ，y ＝1x －2，y ＝x 的图象，如图．可得a 是y ＝e x，y ＝x 2－2x 图象交点横坐标； b 是y ＝ln x ，y ＝1x －2图象交点横坐标；c 是y ＝1x －2，y ＝x 图象交点横坐标；即a ，b ，c 分别是图中点A ，B ，C 的横坐标， 由图象可得，a<c<b. [答案]C9．已知以T ＝4为周期的函数f(x)＝⎩⎨⎧1－x 2，x∈[－1，1]，1－|x －2|，x∈（1，3]，若方程f(x)＝mx 恰有5个实数解，则正实数m 的取值范围是________．[解析]因为当x∈[－1，1]时，将函数y ＝1－x 2化为方程x 2＋y 2＝1(y≥0)，其图象为半圆，如图所示，同时在坐标系中作出当x∈(1，3]的图象，再根据周期性作出函数其他部分的图象如图，由图易知直线y ＝mx 与第二个半圆(x －4)2＋y 2＝1(y≥0)相交，而与第二段折线无公共点时，方程恰有5个实数解，将y ＝mx 代入(x －4)2＋y 2＝1得(1＋m 2)x 2－8x ＋15＝0，令Δ＝64－60(1＋m 2)>0，得m 2<115.又当x ＝6时，6m>1，m>16，所以m∈⎝ ⎛⎭⎪⎫16，1515.[答案]⎝ ⎛⎭⎪⎫16，1515对应学生用书p 33(2018·全国卷Ⅰ理)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x≤0，ln x ，x>0，g(x)＝f(x)＋x ＋a.若g(x)存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1，0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)[解析]函数g(x)＝f(x)＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f(x)＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1. [答案]C。
新教材高中数学第2章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质课后课时精练新人教A版必修第一册
新教材高中数学第2章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质课后课时精练新人教A 版必修第一册A 级：“四基”巩固训练一、选择题1．若a >b ，则b 2＋1与3b －a 的大小关系是( ) A ．b 2＋1>3b －a B ．b 2＋1≥3b －a C ．b 2＋1<3b －a D ．b 2＋1≤3b －a答案 A解析 b 2＋1－(3b －a )＝b 2－2b ＋1＋(a －b )＝(b －1)2＋(a －b )．又a >b ，∴a －b >0.又(b －1)2≥0，∴(b －1)2＋(a －b )>0，即b 2＋1>3b －a .2．若1a <1b<0(a ，b ∈R )，则下列不等式恒成立的是( )A ．a <bB ．a ＋b >abC ．|a |>|b |D ．ab <b 2答案 D解析 ∵1a <1b<0，∴b <a <0，故A 不对；又∵a ＋b <0，ab >0，∴a ＋b <ab ，故B 不对；由b <a <0知|a |<|b |，故C 不对；D 中ab －b 2＝b (a －b )<0，即ab <b 2.故选D.3．设a ，b ，c ，d ∈R ，且a >b ，c >d ，则下列结论中正确的是( ) A ．ac 2>bc 2B ．a －d >b －cC ．ad <bdD ．a 2>b 2答案 B解析 对于A ，若c ＝0，则A 不成立；对于B ，正确．对于C ，若d 为正数，则C 不正确；对于D ，若a ，b 为负数，则D 不正确，综上选B.4．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( ) A ．－2<α－β<0 B ．－2<α－β<－1 C ．－1<α－β<0 D ．－1<α－β<1答案 A解析 由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1，所以－2<α－β<2，但α<β，故知－2<α－β<0.5．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x <y <z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a <b <c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A ．ax ＋by ＋czB ．az ＋by ＋cxC ．ay ＋bz ＋cxD ．ay ＋bx ＋cz答案 B解析 解法一：因为x <y <z ，a <b <c ，所以ax ＋by ＋cz －(az ＋by ＋cx )＝a (x －z )＋c (z －x )＝(x －z )(a －c )>0，故ax ＋by ＋cz >az ＋by ＋cx ；同理，ay ＋bz ＋cx －(ay ＋bx ＋cz )＝b (z－x )＋c (x －z )＝(x －z )(c －b )＜0，故ay ＋bz ＋cx ＜ay ＋bx ＋cz .又az ＋by ＋cx －(ay ＋bz ＋cx )＝a (z －y )＋b (y －z )＝(a －b )(z －y )<0，故az ＋by ＋cx <ay ＋bz ＋cx .综上可得，最低的总费用为az ＋by ＋cx .解法二(特殊值法)：若x ＝1，y ＝2，z ＝3，a ＝1，b ＝2，c ＝3，则ax ＋by ＋cz ＝14，az ＋by ＋cx ＝10，ay ＋bz ＋cx ＝11，ay ＋bx ＋cz ＝13.由此可知最低的总费用是az ＋by ＋cx .二、填空题6．有以下四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0. 其中能使1a <1b成立的有________．答案 ①②④解析 ①因为b >0>a ，所以1b >0>1a；②因为0>a >b ，所以1a <1b <0；③因为a >0>b ，所以1a>0>1b；④因为a >b >0，所以1b >1a>0.7．已知60＜x ＜84,28＜y ＜33，则x －y 的取值范围为________，x y的取值范围为________． 答案 27＜x －y ＜562011＜xy＜3 解析 ∵28＜y ＜33，∴－33＜－y ＜－28，133＜1y ＜128.又60＜x ＜84，∴27＜x －y ＜56，6033＜x y ＜8428，即2011＜xy＜3.8．设x ＝a 2b 2＋5，y ＝2ab －a 2－4a ，若x ＞y ，则实数a ，b 应满足的条件为________． 答案 ab ≠1或a ≠－2 解析 ∵x ＞y ，∴x －y ＝a 2b 2＋5－2ab ＋a 2＋4a ＝(ab －1)2＋(a ＋2)2＞0， ∴ab －1≠0或a ＋2≠0， 即ab ≠1或a ≠－2. 三、解答题9．设a >b >0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －ba ＋b的大小．解 解法一(作差法)：a 2－b 2a 2＋b 2－a －ba ＋b＝(a ＋b )(a 2－b 2)－(a －b )(a 2＋b 2)(a 2＋b 2)(a ＋b ) ＝(a －b )[(a ＋b )2－(a 2＋b 2)](a 2＋b 2)(a ＋b ) ＝2ab (a －b )(a ＋b )(a 2＋b 2).∵a >b >0，∴a ＋b >0，a －b >0,2ab >0. ∴2ab (a －b )(a ＋b )(a 2＋b 2)>0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 解法二(作商法)：∵a >b >0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>0，a －ba ＋b>0.∴a 2－b 2a 2＋b 2a －b a ＋b ＝(a ＋b )2a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b 2>1. ∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 10．甲、乙两位采购员同去一家销售公司各自买了两次粮食，且两次粮食的价格不同，两位采购员的购粮方式也不同．其中，甲每次购粮1000 kg ，乙每次购粮用去1000元钱，谁的购粮方式更合算？解 设两次粮食的价格分别为a 元/kg 与b 元/kg ，且a ≠b ，则甲采购员两次购粮的平均单价为1000(a ＋b )2×1000＝a ＋b 2(元/kg)，乙采购员两次购粮的平均单价为2×10001000a ＋1000b＝2aba ＋b(元/kg)．∵a ＋b2－2ab a ＋b ＝(a ＋b )2－4ab 2(a ＋b )＝(a －b )22(a ＋b )，又∵a ＋b ＞0，a ≠b ，(a －b )2＞0， ∴(a －b )22(a ＋b )＞0，即a ＋b 2＞2ab a ＋b . ∴乙采购员的购粮方式更合算．B 级：“四能”提升训练1．已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，求ca的取值范围．解 由已知及三角形的三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a <b ＋c ≤3a ，a ＋b >c ，a ＋c >b⇒⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋c a≤3，1＋b a >ca ，1＋c a >b a⇒⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋c a≤3，－1<c a －ba <1，两式相加得0<2×c a<4， 所以c a的取值范围为(0,2)．2．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，求2x －3y 的取值范围． 解 设2x －3y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )＝(m ＋n )x ＋(m －n )y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝52.∴2x －3y ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )．∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，∴－2<－12(x ＋y )<12，5<52(x －y )<152.∴3<－12(x ＋y )＋52(x －y )<8，即3<2x －3y <8.。
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课时规范练12 函数与方程一、基础巩固组1.(2017北京房山区一模)由表格中的数据可以判定函数f(x)=ln x-x+2的一个零点所在的区间是(k,k+1)(k∈Z),则kA.1B.2C.3D.42.(2017湖南师大附中模拟)设f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,2)内的近似解的过程中得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在()A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)C.(1.5,2)D.不能确定3.(2017广东七校联考)已知函数f(x)=-log3x,若实数x0是方程f(x)=0的解,且x0<x1,则f(x1)的值()A.恒为负B.等于零C.恒为正D.不大于零4.已知x0是f(x)=的一个零点,x1∈(-∞,x0),x2∈(x0,0),则()A.f(x1)<0,f(x2)<0B.f(x1)>0,f(x2)>0C.f(x1)>0,f(x2)<0D.f(x1)<0,f(x2)>05.若f(x)是奇函数,且x0是y=f(x)+e x的一个零点,则-x0一定是下列哪个函数的零点()A.y=f(-x)e x-1B.y=f(x)e-x+1C.y=e x f(x)-1D.y=e x f(x)+16.已知函数f(x)=若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(0,3)C.(0,2)D.(0,1)7.若a是方程2ln x-3=-x的解,则a在下列哪个区间内()A.(0,1)B.(3,4)C.(2,3)D.(1,2)8.(2017湖北武汉二月调考)若函数f(x)=a e x-x-2a有两个零点,则实数a的取值范围是()A.B.C.(-∞,0)D.(0,+∞)9.已知g(x)=x+-m(x>0,其中e表示自然对数的底数).若g(x)在(0,+∞)内有零点,则m的取值范围是.10.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是.11.已知函数f(x)=有两个不同的零点,则实数a的取值范围为.12.(2017北京东城区二模,理14)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x+T)=f(x)有且仅有3个不同的实根,则实数T的取值范围是.〚导学号21500712〛二、综合提升组13.(2017江西南昌模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=2 016x+log2 016x,则函数f(x)的零点个数是()A.1B.2C.3D.414.(2017江西赣州一模,理10)已知函数f(x)=|2x-2|+b的两个零点分别为x1,x2(x1>x2),则下列结论正确的是()A.1<x1<2,x1+x2<2B.1<x1<2,x1+x2<1C.x1>1,x1+x2<2D.x1>1,x1+x2<115.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在[0,2]上为增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4的值为()A.8B.-8C.0D.-4三、创新应用组16.(2017山东,理10)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是()A.(0,1]∪[2,+∞)B.(0,1]∪[3,+∞)C.(0,]∪[2,+∞)D.(0,]∪[3,+∞)17.(2017全国Ⅲ,理11)已知函数f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)有唯一零点,则a=()A.-B.C. D.1 〚导学号21500713〛课时规范练12函数与方程1.C当x取值分别是1,2,3,4,5时,f(1)=1,f(2)=0.69,f(3)=0.1,f(4)=-0.61,f(5)=-1.39,∵f(3)f(4)<0,∴函数的零点在区间(3,4)上,∴k=3,故选C.2.B由f(1.25)<0,f(1.5)>0可得方程f(x)=0的根落在区间(1.25,1.5)内,故选B.3.A f(x)=-log3x在(0,+∞)内递减,若f(x0)=0,则当x0<x1时,一定有f(x1)<0,故选A.4.C如图,在同一坐标系下作出函数y=,y=-的图象,由图象可知当x∈(-∞,x0)时,>-,当x∈(x0,0)时,<-,所以当x1∈(-∞,x0),x2∈(x0,0)时,有f(x1)>0,f(x2)<0,选C.5.C由已知可得f(x0)=-,则f(x0)=-1,f(-x0)=1,故-x0一定是y=e x f(x)-1的零点.6.D画出函数f(x)的图象如图所示,观察图象可知,若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则函数y=f(x)的图象与直线y=a有三个不同的交点,此时需满足0<a<1,故选D.7.D令f(x)=2ln x-3+x,则函数f(x)在(0,+∞)内递增,且f(1)=-2<0,f(2)=2ln 2-1=ln 4-1>0,所以函数f(x)在(1,2)内有零点,即a在区间(1,2)内.8.D函数f(x)=a e x-x-2a的导函数为f'(x)=a e x-1,当a≤0时,f'(x)≤0恒成立,函数f(x)在R上单调,不可能有两个零点;当a>0时,令f'(x)=0,得x=ln,函数在递减,在递增,所以f(x)的最小值为f=1-ln-2a=1+ln a-2a.令g(a)=1+ln a-2a(a>0),g'(a)=-2,a,g(a)递增,a,g(a)递减,所以g(a)max=g=-ln 2<0,所以f(x)的最小值为f<0,函数f(x)=a e x-x-2a有两个零点.综上,实数a的取值范围是(0,+∞),故选D.9.m≥2e由g(x)=0,得x2-mx+e2=0,x>0,所以解得故m≥2e.10.(0,1)因为函数g(x)=f(x)-m有3个零点,所以f(x)-m=0有3个根,所以y=f(x)的图象与直线y=m有3个交点.画出函数y=f(x)的图象,由抛物线顶点为(-1,1),可知实数m的取值范围是(0,1).11由于当x≤0时,f(x)=|x2+2x-1|的图象与x轴只有1个交点,即只有1个零点,故由题意知只需方程2x-1+a=0有1个正根即可,变形为2x=-2a,结合图形(图略)得-2a>1⇒a<-12.(-4,-2)∪(2,4)化简函数f(x)的表达式,得f(x)=作出f(x)的图象如图所示.∵关于x的方程f(x+T)=f(x)有且仅有3个不同的实根,∴将f(x)的图象向左或向右平移|T|个单位后与原图象有3个交点,∴2<|T|<4,即-4<T<-2或2<T<4.故答案为(-4,-2)∪(2,4).13.C作出函数y=2 016x和y=-log2 016x的图象如图所示,可知函数f(x)=2 016x+log2 016x在x∈(0,+∞)内存在一个零点.∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x)在x∈(-∞,0)内只有一个零点.又f(0)=0,∴函数f(x)的零点个数是3,故选C.14.A函数f(x)=|2x-2|+b有两个零点,即y=|2x-2|与y=-b的图象有两个交点,交点的横坐标就是x1,x2(x2<x1),在同一坐标系中画出y=|2x-2|与y=-b的图象(如下),可知1<x1<2.当y=-b=2时,x1=2,两个函数图象只有一个交点,当y=-b<2时,由图可知x1+x2<2.15.B∵定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),∴f(x)=f(x+8),f(4-x)=f(x),f(0)=0.∴函数图象关于直线x=2对称,且函数的周期为8.∵f(x)在[0,2]上为增函数,∴f(x)在[-2,0]上为增函数,综上条件得函数f(x)的示意图如图所示.由图看出,四个交点中两个交点的横坐标之和为2×(-6),另两个交点的横坐标之和为2×2,故x1+x2+x3+x4=-8,故选B.16.B由已知得函数y=+m在[0,1]上是增函数,其最小值为m,最大值为1+m,又因为m>0,故①当0<m≤1时,1,所以函数y=(mx-1)2在[0,1]上是减函数,其最大值为1,最小值为(m-1)2,依题意得0<m≤1,②当m>1时,0<<1,函数y=(mx-1)2在区间上递减,在区间上递增,依题意得m≥3,综上可得m的取值范围是(0,1]∪[3,+∞).故选B.17.C∵f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1),∴f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a(e2-x-1+e-(2-x)+1)=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+e x-1)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1),∴f(2-x)=f(x),即x=1为f(x)图象的对称轴.∵f(x)有唯一零点,∴f(x)的零点只能为1, 即f(1)=12-2×1+a(e1-1+e-1+1)=0,解得a=。