2015-2016年北京市清华附中高二(上)期中数学试卷及参考答案(文科)

19． （15 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 x2+（y﹣3）2=4 的圆心为 C，过 点 P（1，0）的直线 l 与圆 C 交于不同的两点 A、B． （1）若|AB|=2 （2）求证： ，求直线 l 的方程； 为定值；
（3）以线段 OA、OB 为边作平行四边形 AOBD，是否存在直线 l，使得直线 OD 与直线 PC 平行？如果存在，求出直线 l 的方程；如果不存在，请说明理由． 20． （15 分）圆 O：x2+y2=16 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，l1，l2 是分别过 A、 B 点的圆 O 的切线， 过此圆上的另一个点 P （P 点是圆上任一不与 A， B 重合的动点）作此圆的切线，分别交 l1、l2 于 C，D 两点，且 AD，BC 两直线交 于点 M． （1）设切点 P 坐标为（x0，y0） ，求证：切线 CD 的方程为 x0x+y0y=16； （2）设点 M 坐标为（m，n） ，试写出 m2 与 n2 的关系表达式（写出详细推理与 计算过程） ； （3）判断是否存在点 Q（a，0） （a＞0） ，使得| 出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由． |的最小值为 ？若存在，求
A．
B．
C．
D．
二、填空题 9． （5 分）直线 y=﹣x+1 的倾斜角是 ． ．
10． （5 分） 将半径为 4 的半圆卷成圆锥的侧面， 则圆锥的轴截面的面积为
11． （5 分）某边长为 1 的正方体展开图如图所示，在原正方体中，△ABC 的面 积为 ．
12． （5 分）若 x，y 满足约束条件
，则 z=x+y 的最大值为
．
13． （5 分）曲线 y=1+ 值范围是 ．
与直线 y=k（x﹣2）+4 有两个交点，则实数 k 的取
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14． （5 分）已知圆 C 过点（0，1） ，且圆心在 x 轴负半轴上，直线 l：y=x+1 被该 圆所截得的弦长为 ，则圆 C 的标准方程为 ．
15． （5 分）P 为正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 对角线 BD1 上的一点，且 BP=λBD1（λ∈ （0，1） ．下面结论： ①AD1⊥C1P； ②若 BD1⊥平面 PAC，则 λ= ； ③若△PAC 为钝角三角形，则 λ∈（0， ） ； ④若 λ∈（ ，1） ，则△PAC 为锐角三角形． 其中正确的结论为 ． （写出所有正确结论的序号）
2015-2016 学年北京市清华附中高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题 1． （5 分）若 A={（x，y）|4x+y=6}，B={（x，y）|3x+2y=7}，则 A∩B=（ A．{2，1} B．{（2，1）} C．{1，2} D．{（1，2）} 2． （5 分）若直线 y=kx+1 与直线 2x﹣y+1=0 垂直，则 k 的值为（ A．k=2 B．k=﹣2 C． D． ） ）
A． （x﹣1）2+（y+1）2=2
D． （x﹣1）2+（y+1）2=4
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7． （5 分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2， 则该球的表面积为（ A． ）
B．16π C．9π D．
8． （5 分）四棱锥 P﹣ABCD 底面为正方形，侧面 PAD 为等边三角形，且侧面 PAD ⊥底面 ABCD，点 M 在底面正方形 ABCD 内运动，且满足 MP=MC，则点 M 在正 方形 ABCD 内的轨迹一定是（ ）
3． （5 分）已知两个平面垂直，下列命题 ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面； ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面． 其中正确的个数是（ A．3 B．2 C．1 ） D．0 ）
2． （5 分）若直线 y=kx+1 与直线 2x﹣y+1=0 垂直，则 k 的值为（ A．k=2 B．k=﹣2 C． D．
4． （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥2+2
D．5 ）
5． （5 分）过点 P（2，3）且平行于直线 2x+y﹣5=0 的直线的方程为（ A．2x+y﹣7=0 B．2x﹣y﹣7=0 C．2x+y+7=0 D．2x﹣y+7=0
6． （5 分）与直线 x﹣y﹣4=0 和圆（x+1）2+（y﹣1）2=2 都相切的半径最小的圆 方程是（ ） B． （x+1）2+（y+1）2=4 C ． （ x+1 ） 2+ （ y+1 ） 2=2
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2015-2016 学年北京市清华附中高二（上）期中数学试卷 （文科）
参考答案与试题解析
一、选择题 1． （5 分）若 A={（x，y）|4x+y=6}，B={（x，y）|3x+2y=7}，则 A∩B=（ A．{2，1} B．{（2，1）} C．{1，2} D．{（1，2）} 【解答】解：A∩B 中的元素即直线 4x+y=6 和直线 3x+2y=7 交点的坐标， 把两直线方程联立方程组解得两直线交点坐标为（1，2） ， 故 A∩B={（1，2）}， 故选：D． ）
三、解答题. 16． （15 分）已知函数 f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣ （1）求 f（x）的最小正周期； （2）求 f（x）在区间[﹣ ， ]上的最大值和最小值． ， ） ，x∈R．
17． （15 分） 如图， 已知 PA⊥平面 ABCD， 四边形 ABCD 是矩形， PA=AB=1， AD= 点 E，F 分别是 BC，PB 的中点． （Ⅰ）求三棱锥 P﹣ADE 的体积； （Ⅱ）求证：AF⊥平面 PBC； （Ⅲ）若点 M 为线段 AD 中点，求证：PM∥平面 AEF．
18． （15 分）如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，D，E 分别为 AC，AB 的中点，点 F 为线段 CD 上的一点，将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置，使 A1F⊥CD，如图 2．
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（1）求证：DE∥平面 A1CB； （2）求证：A1F⊥BE； （3）线段 A1B 上是否存在点 Q，使 A1C⊥平面 DEQ？说明理由．