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不等式的专题

2019一轮复习（文科数学）不等式专题一、温故知新夯实基础1．两个实数比较大小的依据 (1) 0a b a b ->⇔>. (2) 0a b a b -=⇔=. (3) 0a b a b -<⇔<. 2．不等式的性质(1)对称性：a b b a >⇔<； (2)传递性：,a b b c a c >>⇔>； (3)可加性：a b a c b c >⇔+>+；,a b c d a c b d >>⇔+>+；(4)可乘性：,0a b c ac bc >>⇒>；0,0a b c d ac bd >>>>⇒>；(5)可乘方性：0n n a b a b >>⇒> (,1n N n ∈≥)； (6)可开方性：0a b >>⇒>(,2)n N n ∈≥．3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系在不等式0ax bx c ++> ()中，如果二次项系数，则可根据不等式的性质，将其转化为正数，再对照上表求解．有两相等实数根4.不等式20ax bx c ++> (0<)恒成立的条件 (1)不等式20ax bx c++>对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c >0或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0. (2)不等式20ax bx c++>对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c <0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.5．二元一次不等式(组)表示的平面区域6.确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法步骤7．简单的线性规划中的基本概念82a b+ (1)基本不等式成立的条件：0,0a b >>. (2)等号成立的条件：当且仅当a b =. 9．几个重要的不等式(1) 222(,)a b ab a b R +≥∈；(2)2b aa b+≥ (,a b 同号)； (3) 2()(,)2a b ab a b R +≤∈；(4222()(,)22a b a b a b R ++≤∈． 10．算术平均数与几何平均数设0,0a b >>，则,a b 的算术平均数为2a b+，，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 11．利用基本不等式求最值问题已知0,0x y >>，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x y =时，x y +有最小值是 (简记：积定和最小)． (2)如果x y +是定值q ，那么当且仅当x y =时，xy 有最大值是24q (简记：和定积最大)．二、典例剖析思维拓展考点一：一元二次不等式的解法1.解下列不等式： (1) 2320x x +-≥； (2) 2(1)0x a x a -++<.【解析】(1)原不等式化为x 2－2x －3≤0，即(x －3)(x ＋1)≤0，故所求不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}. (2)原不等式可化为(x －a )(x －1)<0，当a >1时，原不等式的解集为(1，a )；当a ＝1时，原不等式的解集为∅；当a <1时，原不等式的解集为(a,1).3.已知不等式2230x x --<的解集为A ，不等式260x x +-<的解集为B ，不等式20x ax b ++<的解集为A B ，则a b +等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3【答案】A【解析】由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.考点二：由一元二次不等式恒成立求参数范围1.已知不等式2210mx x m --+<，是否存在实数m 使得对所有的实数x ，不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解析】不等式mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数，需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝4－4m 1－m ＜0，不等式组的解集为空集，即m 无解．综上可知不存在这样的实数m 使不等式恒成立．2.设函数2()1(0)f x mx mx m =--≠，若对于[]1,3x ∈，()5f x m <-+恒成立，求m 的取值范围．【答案】m ＜0或0＜m ＜67【解析】要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m 221⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．法一：令g (x )＝m 221⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ＋34m －6，x ∈[1,3]．当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0.所以m ＜6，则m ＜0. 综上所述，m 的取值范围是m ＜0或0＜m ＜67.法二：因为x 2－x ＋1＝221⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝432162+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可．因为m ≠0，所以m 的取值范围是m ＜0或0＜m ＜67.3.对任意[]1,1m ∈-，函数2()(4)42f x x m x m =+-+-的值恒大于零，求x 的取值范围．【解析】由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，则原问题转化为关于m 的一次函数问题．由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎪⎩⎪⎨⎧>+-++-=>+-++-⋅-=-044)2()1(044)1()2()1(2222x x x x g x x x x g ，解得x <1或x >3.故当x 的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．考点三求线性目标函数的最值或范围1．(2017·全国卷Ⅲ)设,x y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则z x y =-的取值范围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]【答案】B【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当直线z ＝x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值2，当直线z ＝x －y 过点B (0,3)时，z 取得最小值－3，所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]．【易错点】本题中目标函数变为z x y -=，所以学生易把最值弄混. 【方法点拨】求解线性目标函数最值的常用方法线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值．2.(2017·全国卷Ⅰ)设,x y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩则32z x y =-的最小值为________．【答案】－5【解析】解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y ＝32x －z2过点A 时，在y 轴上的截距最大，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝1，2x ＋y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.即A (－1,1)．所以z min ＝－5.考点四求非线性目标函数的最值或范围1.已知(,)x y 满足001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则1y k x =+的最大值为( )A.12B.32 C ．1 D.14【答案】C【解析】如图，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1表示的平面区域为△AOB 的边界及其内部区域，k ＝y x ＋1＝y －0x －－1表示平面区域内的点(x ，y )和点(－1,0)连线的斜率．由图知，平面区域内的点(0,1)和点(－1,0)连线的斜率最大，所以k max ＝1－00－－1＝1.2.(2018·太原模拟)已知实数,x y 满足约束条件330220240x y x y x y ++≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩则22z x y =+的取值范围为( )A ．[]1,13B ．[]1,4C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1354， D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡454，【答案】C【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由此得z ＝x 2＋y 2的最小值为点O 到直线BC ：2x －y ＋2＝0的距离的平方，z min ＝45，最大值为点O 与点A (－2,3)的距离的平方，z max ＝|OA |2＝13.【易错点】识别不出目标函数的几何意义【方法点拨】距离平方型目标函数最值问题的求法：目标函数为z ＝(x －a )2＋(y －b )2时，可转化为可行域内的点(x ，y )与点(a ，b )之间的距离的平方求解．考点五利用基本不等式求最值1.(2018·常州调研)若实数x 满足4x >-，则函数9()4f x x x =++的最小值为________．【答案】2【解析】∵x ＞－4，∴x ＋4＞0， ∴f (x )＝x ＋9x ＋4＝x ＋4＋9x ＋4－4≥2(x ＋4)·9x ＋4－4＝2，当且仅当x ＋4＝9x ＋4，即x ＝－1时取等号．故f (x )＝x ＋9x ＋4的最小值为2.2.若直线220(0,0)mx ny m n --=>>过点(1,2)-，则12m n+的最小值为( )A ．2B ．6C ．12 D．3+【答案】D【解析】因为直线2mx －ny －2＝0(m >0，n >0)过点(1，－2)，所以2m ＋2n －2＝0，即m ＋n ＝1，所以1m ＋2n ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+n m 21(m ＋n )＝3＋n m ＋2mn ≥3＋22，当且仅当“n m ＝2mn ，即n ＝2m ”时取等号，所以1m ＋2n的最小值为3＋22，故选D.3.若正数,x y 满足2610x xy +-=，则2x y +的最小值是( )A.223B.23C.33D.233【答案】223【解析】因为正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，所以y ＝1－x 26x.由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1－x 26x>0解得0<x <1.所以x ＋2y ＝x ＋1－x 23x ＝2x 3＋13x ≥22x 3·13x ＝223，当且仅当2x 3＝13x ，即x ＝22，y ＝212时取等号．故x ＋2y 的最小值为223.考点六基本不等式综合运用1.设,x y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则32a b+的最小值为( ) A.256B. 83C. 113 D ．4【答案】D【解析】不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示．由z ＝ax ＋by 得y ＝－a b x ＋zb ，当z 变化时，它表示经过可行域的一组平行直线，其斜率为－a b ，在y 轴上的截距为zb，由图可知当直线经过点A (4,6)时，在y 轴上的截距最大，从而z 也最大，所以4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，所以3a ＋2b ＝2a ＋3b 6·⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a 23＝16⎪⎭⎫ ⎝⎛+++a b b a 9466≥4，当且仅当a ＝32，b ＝1时等号成立．三、举一反三成果巩固考点一利用基本不等式求最值1.已知54x <，则1()4245f x x x =-+-的最大值为________．【答案】1【解析】因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-x x 45145＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.2.已知正实数,x y 满足24xy x y ++=，则x y +的最小值为________．【答案】 26－3【解析】因为xy ＋2x ＋y ＝4，所以x ＝4－y y ＋2.由x ＝4－yy ＋2>0，得－2<y <4，又y >0，则0<y <4，所以x ＋y ＝4－y y ＋2＋y ＝6y ＋2＋(y ＋2)－3≥26－3，当且仅当6y ＋2＝y ＋2(0<y <4)，即y ＝6－2时取等号．3.实数,x y 满足22x y +=，则39x y+的最小值是________．【答案】6【解析】利用基本不等式可得3x ＋9y ＝3x ＋32y ≥23x ·32y ＝23x＋2y.∵x ＋2y ＝2，∴3x ＋9y ≥232＝6，当且仅当3x ＝32y ，即x ＝1，y ＝12时取等号．考点二基本不等式综合运用1.设(1,2)=-OA ，(,1)a =-OB ，(,0)b =OC (0,0a b >>，O 为坐标原点)，若,,A B C 三点共线，则21a b+的最小值是( ) A ．4 B. 92C ．8D ．9 【答案】D【解析】∵AB ＝OB －OA ＝（a －1，1），AC ＝OC －OA ＝(－b －1,2)，若A ，B ，C 三点共线，则有AB ∥AC ，∴(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1，又a >0，b >0， ∴2a ＋1b ＝b a 12+·(2a ＋b )＝5＋2b a ＋2ab≥5＋2 2b a ·2ab＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝2a b ，2a ＋b ＝1，即a ＝b ＝13时等号成立．。

不等式基本原理专题 ---(非常全面)

不等式基本原理专题 ---(非常全面)不等式基本原理专题 - 完整版概述在数学不等式中，有一些基本的原理和定理，这些定理不仅在不等式证明中起到重要的作用，而且在实际问题中也有着广泛的应用。

在本文中，将阐述几个不同的不等式基本原理，并通过相关例题进行演示。

一、加减法原理不等式加减法原理指的是，如果两个不等式关系成立，则将它们加起来或从其中一个减去另一个，得到的结果仍然是不等式关系。

例如：如果 $a>b$ 且 $c>d$，则 $a+c>b+d$如果 $a>b$ 且 $c>d$，则 $a-c>b-d$二、乘法原理不等式乘法原理指的是，如果不等式关系的两侧均为正或均为负，则将它们相乘，得到的结果仍然是不等式关系，而如果一侧为正，另一侧为负，则将它们相乘，则得到一种新的不等式关系。

例如：如果 $a>b>0$ 且 $c>d>0$，则 $ac>bd$如果 $a>b>0$ 且 $c<d<0$ 或 $a<b<0$ 且 $c>d>0$，则 $ac<bd$三、倒数性质不等式倒数性质指的是，如果 $a>b>0$，则$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$。

例如：如果 $3>2>0$，则$\frac{1}{3}<\frac{1}{2}$。

四、平均值不等式平均值不等式是一个常用的不等式概念，它指的是对于一组实数 $a_1,a_2,...,a_n$，它们的算术平均值、几何平均值与调和平均值有以下关系：$\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\geq \sqrt[n]{a_1 a_2 ... a_n}\geq\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}$。

例如：对于一组实数 $1,2,3$，它们的算术平均值是 $2$，几何平均值是 $\sqrt[3]{6}$，调和平均值是$\frac{3}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=\frac{9}{5}$。

基本不等式完整版(非常全面)

基本不等式完整版(非常全面) 基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式1) 若 $a,b\in R$，则 $a^2+b^2\geq 2ab$2) 若 $a,b\in R$，则 $ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}$2、基本不等式一般形式（均值不等式）若 $a,b\in R^*$，则 $a+b\geq 2\sqrt{ab}$3、基本不等式的两个重要变形1) 若 $a,b\in R^*$，则 $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$2) 若 $a,b\in R^*$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。

特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。

4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论1) 若 $x>0$，则 $x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当$x=1$ 时取“=”）2) 若 $x<0$，则 $x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当 $x=-1$ 时取“=”）3) 若 $a,b>0$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）4) 若 $a,b\in R$，则 $ab\leq \frac{a+b}{2}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$5) 若 $a,b\in R^*$，则 $\frac{1}{a^2+b^2}\leq\frac{1}{2ab}\leq \frac{1}{a+b}$特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。

6、柯西不等式1) 若 $a,b,c,d\in R$，则 $(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq(ac+bd)^2$2) 若 $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3\in R$，则$(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)\geq(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2$3) 设 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 与 $b_1,b_2,\dots,b_n$ 是两组实数，则有$(a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\dots+b_n^2)\geq (a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n)^2$二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设 $a,b$ 均为正数，证明不等式：$ab\geq\frac{1}{2}(a+b)^2$2、已知 $a,b,c$ 为两两不相等的实数，求证：$a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca$3、已知 $a+b+c=1$，求证：$a^2+b^2+c^2\geq\frac{1}{3}$4、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $a+b+c=1$，求证：$(1-a)(1-b)(1-c)\geq 8abc$5、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $a+b+c=1$，求证：$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq\frac{9}{2(a+b+c)}$题型二：利用柯西不等式证明不等式1、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}$2、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$3、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $abc=1$，求证：$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq a+b+c$4、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c$5、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{c^2-ca+a^2}+\frac{c^3}{a^2-ab+b^2}\geq a+b+c$题型三：求最值1、已知 $a,b$ 均为正数，且 $a+b=1$，求 $ab$ 的最大值和最小值。

不等式

一、专题精讲题型一：含有参数的一元一次不等式【例1】若a ＜0，关于x 的不等式ax+1＞0的解集是（） A ．B ．C ．D ． x ＞【例2】如果关于x 的不等式（a+1）x ＞a+1的解集为x ＜1，那么a 的取值范围是（） A ． a ＞0B ． a ＜0C ． a ＞﹣1D ． a ＜﹣1【例3】如果关于x 的不等式（a+2012）x ＞a+2012的解集为x ＜l ．那么a 的取值范围是（） A ． a ＞﹣2012B ． a ＜﹣2012C ． a ＞2012D ． a ＜2012【例4】关于X 的不等式322x a -≤-的解集如图，则a 是值是【例5】若关于x 的不等式2m 一1＜x ＜m+l 无解，则m 的取值范围是．【例6】若不等式m （x ﹣2）＞x+1和3x ﹣5＜0是同解不等式，求m 的值．【例7】已知|3m ﹣n+1|+（2m+3n ﹣25）2=0，解不等式2mx ﹣7（x ﹣n ）≥19．题型二：一元一次不等式与方程（组）已知方程ax+12=0的解是x=3，求不等式（a+2）x ＜﹣6的解集．● 已知关于x 的方程3232xm x x -=--的解是非负数，m 是正整数，求m 的值．● 已知方程组：的解x ，y 满足2x+y ≥0，则m 的取值范围是（）A m ≥﹣B ． m ≥C ． m ≥1D ． ﹣≤m ≤1● 若关于的二元一次方程组的解满足x+y ＜2，则a 的取值范围为（） A ． a ＜4 B ． a ＞4C ． a ＜﹣4D ． a ＞﹣4二、专题过关1、若关于x 的方程332x a +=的解是正数，a 的取值范围范围是2、已知不等式x+8＞4x+m （m 是常数）的解集是x ＜3，m 的取值范围范围是．3、已知不等式（a+1）x ＞2的解集是x ＜﹣1，则（） A ． a ＞2B ． a ≤﹣3C ．a=3 D ． a =﹣34、已知x ＜a 的解集中的最大整数为3，则a 的取值范围是______；5、已知x ＞a 的解集中最小整数为－2，则a 的取值范围是______6、若关于x 的不等式（a ﹣1）x ﹣a 2+2＞0的解集为x ＜2，则a 的值为（） A ．0 B ．2 C ． 0或2D ．7、已知m ，n 为常数，若mx+n ＞0的解集为x ＜，则nx ﹣m ＜0的解集是（） A ． x ＞3B ． x ＜3C ． x ＞﹣3D ． x ＜﹣38、当310)3(2k k -<-时，求关于x 的不等式k x x k ->-4)5(的解集．9、解关于x 的不等式mx ﹣2＞3m+5x （m ≠5）10、解关于x 的不等式2x ＋1≥m (x －1)．(m ≠2)11、若关于x ，y 的方程组的解使4x+7y ＞2，则k 的取值范围是.12、已知关于x 、y 的方程组的解适合不等式2x ﹣y ＞1，求a 的取值范围．13、如果关于x 的方程5432bx a x +=+的解不是负值，那么a 与b 的关系是( ) (A)b a 53>(B)a b 53≥(C)5a ＝3b (D)5a ≥3b14、已知二元一次方程组2310432x y x y +=⎧⎨-=⎩的解满足不等式，求的取值范围。

专题-不等式基本性质(解析版)

专题10不等式基本性质1．设{}2560,A x x x x R =--=∈，{}260,B x mx x x R =-+=∈，且A B B ⋂=，则m 的取值范围为 . 【难度】★★【答案】1024m m >=或2．设集合{}{}2135,322,A x a x a B x x A B =+≤≤-=≤≤⊆恒成立，则实数a 的取值范围为 . 【难度】★★ 【答案】(,9]-∞3．设全集{}R y x y x U ∈=,|),(，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=--=,,,123|),(R y x x y y x A ，{}R y x x y y x B ∈+==,,1|),(，则UC AB =.热身练习【难度】★★ 【答案】(){}2,3⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩基本性质比较大小不等式基本性质不等式范围问题不等式综合1.不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇔a >c ；(3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ，a >b ，c >d ⇔a ＋c >b ＋d ；知识梳理模块一：(4)可乘性：a>b，c>0⇔ac>bc；a>b，c<0⇔ac<bc；a>b>0，c>d>0⇔ac>bd；(5)可乘方：a>b>0⇔a n>b n(n⇔N，n≥2)；(6)可开方：a>b>0⇔na>nb(n⇔N，n≥2);(7) a>b,ab>0⇔11a b<；a>b>0,0<c<d⇔a b c d>.【例1】判断下列命题的真假。

（1）若a>b，那么ac>2bc2。

（）（2）若ac>2bc2，那么a>b。

（）（3）若a>b，c>d，那么a-c>b-d。

基本不等式培优专题(推荐)

基本不等式培优专题(推荐) 高中数学——基本不等式培优专题目录1.常规配凑法2.“1”的代换3.换元法4.和、积、平方和三量减元5.轮换对称与万能k法6.消元法（必要构造函数求异）7.不等式算两次8.齐次化9.待定与技巧性强的配凑10.多元变量的不等式最值问题11.不等式综合应用1.常规配凑法1.（2018届温州9月模拟）已知 $2a+4b=2$（$a,b\in R$），则 $a+2b$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$。

2.已知实数 $x,y$ 满足 $x+\frac{1}{6}y=2$，且$\frac{(x+y)^2}{2xy-3}=1$，则 $x^2+y^2$ 的最大值为$\frac{27}{4}$。

3.（2018春湖州模拟）已知不等式$(x+my)(y+\frac{1}{x})\geq 9$ 对任意正实数 $x,y$ 恒成立，则正实数 $m$ 的最小值是 $6$。

4.（2017浙江模拟）已知 $a,b\in R$，且 $a\neq 1$，则$a+b+\frac{1}{a-1}+\frac{1}{b-1}\geq 4$。

5.（2018江苏一模）已知 $a>0,b>0$，且$\frac{2}{3}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})=ab$，则 $ab$ 的最小值是 $\frac{3}{4}$，$\frac{a-1}{b}+\frac{b-1}{a}$ 的最小值是$2$。

6.（诸暨市2016届高三5月教学质量检测）已知 $a>b>0$，$a+b=1$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{1}{ab}\geq 6$。

7.（2018届浙江省部分市学校高三上学期联考）已知$a>0,b>0$，且 $\frac{a+1}{b+1}+\frac{b+1}{a+1}=1$，则$a+2b$ 的最小值是 $2$。

2.“1”的代换8.（2019届温州5月模拟13）已知正数 $a,b$ 满足$a+b=1$，则 $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{a}$ 的最小值是 $4$。

专题05 不等式与不等式组专题详解(解析版)

专题05 不等式与不等式组专题详解专题05 不等式与不等式组专题详解 (1)9.1 不等式 (3)知识框架 (3)一、基础知识点 (3)知识点1 不等式及其解集 (3)知识点2 不等式的基本性质 (4)二、典型题型 (5)题型1 不等式的概念 (5)题型2 根据数量关系列不等式 (5)题型3不等式的解（集） (6)题型4 不等式性质的运用 (6)题型5 实际问题与不等式 (7)三、难点题型 (8)题型1 不等式性质的综合应用 (8)题型2 用作差法比较大小 (9)9.2 一元一次不等式 (10)知识框架 (10)一、基础知识点 (10)知识点1 一元一次不等式的解法 (10)知识点2 列不等式解应用题 (11)二、典型题型 (13)题型1 一元一次不等式的判定 (13)题型2 解一元一次不等式 (13)题型3 列不等式，求取值范围 (14)题型4 一元一次不等式的应用 (14)三、难点题型 (16)题型1 含参数的不等式 (16)题型2 不等式的整数解 (16)题型3 方程与不等式 (17)题型4 含绝对值的不等式 (18)9.3 一元一次不等式组 (19)知识框架 (19)一、基础知识点 (19)知识点1 一元一次不等式组及解集的定义 (19)知识点2 一元一次不等式组解集的确定及解法 (19)知识点3 双向不等式及解法 (21)二、典型题型 (23)题型1 一元一次不等式组的判定 (23)题型2 一元一次不等式组的解集 (23)题型3 解一元一次不等式组 (24)题型4 一元一次不等式组的应用 (25)一、用不等式组解决实际问题 (25)二、方案设计 (26)三、最值问题 (27)三、难点题型 (29)题型1 由不等式组确定字母的取值 (29)题型2 不等式组中的数学思想 (30)一、整体思想 (30)二、数形结合 (31)三、分类讨论 (31)题型3 不等式的应用 (32)题型4 不等式的综合 (33)9.1 不等式知识框架{基础知识点{不等式及其解集不等式的基本性质典型题型{ 不等式的概念根据数量关系列不等式不等式的解（集）不等式性质的运用实际问题与不等式难点题型{不等式性质的综合应用作差法比较大小一、基础知识点知识点1 不等式及其解集1）不等式：用不等符号表示不等关系的式子。

23个经典的不等式专题(修正版)

23个经典的不等式专题--tobeenough证明： (2)221111+223n+++<；若：33a b 2+=，求证：a b 2+≤ ；若：n N +∈，求证：...111112n 1n 22n≤+++<++；若：,a b 0>，且ab a b 3=++，求：a b +的取值范围；若：,,a b c 是ABC ∆的三边，求证：a b c1a 1b 1c+>+++ ；当n 2≥时，求证： (222)11111112n 1n 23n-<+++<-+ ；若x R ∈，求y =的值域；求函数y =；若,,a b c 0>，求证：2229a b b c c a a b c++>+++++ ；若,,a b c R ∈，且222a b c 25++=，试求：a 2b 2c -+的取值范围；若,,a b c R ∈，且2a b 2c 6--=，求222a b c ++的最小值；若,,a b c R ∈，且()()()222a 1b 2c 311654-+-++=，求a b c ++的最大值和最小值；若,,a b c 0>，,,x y z 0>，且满足222a b c 25++=，222x y z 36++=，ax by cz 30++=，求：a b cx y z++++的值；求证：n2k 1153k=<∑；当n 2≥时，求证：()n 1213n<+<；求证：...()......()1131351352n 12242462462n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-++++<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅；求证：)...)2111<+++<；已知：x0>,求证：ln()x1x x1x<+<+；已知：n N+∈，求证：...ln()...111111n123n12n+++<+<++++；已知：n2≥，求证：()n2n n1>-；已知：n N+∈，求证：...n111n123212++++>-；设：...nS=，求证：()()2nn n12S n1+<<+；已知：n N+∈，求证：...11112n1n23n1<+++<+++.23个经典的不等式专题解析(修正版)证明：...2221111+223n+++<；[证明]()n n n n22k1k2k2k2111111111112k k1k1k nk k====⎡⎤⎛⎫=+<+=+-=+-<⎪⎢⎥--⎣⎦⎝⎭∑∑∑∑.从第二项开始放缩后，进行裂项求和. .构建函数：()1f x2x=，则()f x在x R+∈区间为单调递减函数.于是：()nn n n22211k1k2111111111dx1122x n1nk k x===+<+=-=--=-<∑∑⎰从第二项开始用积分，当函数是减函数时，积分项大于求和项时，积分限为[1,]n；积分项小于求和项时，积分限为[2,1]n+. .求证：...2221117412n +++<[证明...+ (2)222222111111112n12131n 1+++<+++--- (111111)11221213131n 1n 1⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11111122131n n 1⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎢⎥--+⎝⎭⎝⎭⎣⎦111122131⎛⎫<++ ⎪--⎝⎭ 11371112244⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭数学上，这种数列求和n S n →∞时，n S若：33a b 2+=，求证：a b 2+≤ [证明]()()()3322a b a b a b ab ab a b +=++-≥+，即：()ab a b 2+≤则：()3ab a b 6+≤，()33a b 3ab a b 8+++≤，即：()3a b 8+≤，即：a b 2+≤.立方和公式以及均值不等式配合. .构建函数：()3f x x =，则在在x R +∈区间为单调递增函数，且是下凸函数.函数值得平均值不小于平均值的函数值. 即：()()...()...()f x f x f x x x x 12n 12nf nn++++++≥对于本题：()()()f a f b a b f 22++≥ 即：a b a b 22++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭即：333a b a b 21222++⎛⎫≤== ⎪⎝⎭，即：a b 12+≤，即：a b 2+≤ 琴生不等式可秒此题..若（a 0>，b 0>，m 0>或m 1<-）则：(...)...(...)m 1m 1m 1n 1n 1m m m 1n 1n a a a a b b b b +++++++≥++已知：33a b2+=331=33333a b 2()++≥=即：33a b 12()+≥，即：a b 2+≤..由于幂均函数...()1r r r r12nr a a a M a n ⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭随r 单调递增而得到幂均不等式： ()()13M a M a ≤，即：1333a b a b 22⎛⎫++≤ ⎪ ⎪⎝⎭即：==113333a b a b 21222⎛⎫++⎛⎫≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即：a b 2+≤..若：n N +∈，求证：...111112n 1n 22n≤+++<++由：n n n k n +≥+> ,,...(),k 12n =得：1112n n k n≤<+ ，则：nn nk 1k 1k 11112n n k n===≤<+∑∑∑，即： ...n 111n2n n 1n 2n n n ≤+++<+++故： (1111)12n 1n 22n≤+++<++ . 从一开始就放缩，然后求和..本题也可以采用不等式性质证明.所证不等式中的任何一项如第k 项，均满足1112n n k n≤<+，当有n 项累加时，不等式两个边界项乘以n 倍，则不等式依然成立. 即：大于最小值得n 倍，小于最大值的n 倍.另外，...111n 1n 22n+++++的最大值是ln ....20693147≈，本题有些松.若：,a b 0>，且ab a b 3=++，求：a b +的取值范围； [解析] ()()()222a b a b 2ab 4ab 4a b 34a b 12+=++≥=++=++，令：t a b =+，则上式为：2t 4t 120--≥，即： ()()t 6t 20-+≥ 故：t 6≥或t2≤-（舍）.两正数之积为定值时，两数相等时其和最小.故：当()()a 1b 12-=-=时，()()a 1b 1-+-为最小值. 即：()()a 1b 1224-+-≥+=，即：a b 6+≥.拉格朗日函数为：(,)()L a b a b ab a b 3λ=++--- 当拉氏函数取极值时，()L 1b 10a λ∂=+-=∂；()L 1a 10bλ∂=+-=∂ 即：11b 1a 1λ=-=---，即：b a = 则(,)L a b 取极值时，b a =，代入ab a b 3=++得：2a 2a 3=+ 即：2a 2a 30--=，即：()()a 3a 10-+=，即：a 3= 故：(,)L a b 取极值时，b a 3==，则：a b 6+=由于当a 2=时，代入ab a b 3=++得：2b b 5=+，即：b 5= 此时，a b 2576+=+=>. 则a b 6+=为最小值，故：a b 6+≥.若：,,a b c 是ABC ∆的三边，求证：a b c 1a 1b 1c+>+++ [证明]构造函数()xf x 1x=+，则在x 0>时，()f x 为单调递增函数. 所以，对于三角形来说，两边之和大于第三边，即：a b c +> 那么，对于增函数有：()()f a b f c +>，即：a b c1a b 1c+>+++ ①a a 1a 1ab >+++，b b1b 1a b>+++ 由上式及①式得：a b a b a b c1a 1b 1a b 1a b 1a b 1c++>+=>+++++++++...当n 2≥时，求证： (2221111)1112n 1n 23n-<+++<-+ [证明] 当n 2≥时，n 1n n 1-<<+，都扩大n 倍得：()()2n n 1n n n 1-<<+，取倒数得：()()2111n n 1n n 1n >>-+，裂项：211111n 1n n n 1n ->>--+，求和：()()n n n2k 2k 2k 211111k 1k kk 1k ===->>--+∑∑∑，即： (22211111)11n 2n 123n->+++>-+ . 先放缩，裂项求和，再放缩. . 构建函数：()21f x x=，则()f x 在x R +∈区间为单调递减函数.由面积关系得到：ABDE AGDE AEFC S S S >>()11k k 1dx f k dx k 1k22x x +>>⎰⎰-即：2k 111x x k k 1k->>--，即：21111111k k k k k ->>--+ 本式实际上是放缩法得到的基本不等式，同前面裂项式. 后面的证法同⑴.由第1题的求证：...2221117114n n 112n +++<--+可得： (221131)4n 2n++<- 故加强版为：当n 2≥时，求证：...22211111312n 14n 23n-<+++<-+.若x R ∈，求y=的值域. [解析]y ==设：1m x 22(,=+，1n x 22(=-，则：m x ⎛= n x ⎛=- m n 10(,)-=代入向量不等式：m n m n -≤-得：y m n m n 1=-≤-=，故：1y 1-≤≤. 当且仅当m n //时，不等式的等号成立. 因为m 与n 不平行，故：1y 1-<<. 这回用绝对值不等式. .求函数y =的极值，从而得到不等式. 极值时导数为0：'y 0=-=函数为奇函数，故我们仅讨论正半轴就可以了，即在[,)x 0∈+∞.y==22===lim m x y 1→+∞==由于是奇函数，故在(,)x 0∈-∞，y===lim (m x y 1→-∞==-故：(,)y11∈-. .求函数cos y 2θθ=-的最大值和最小值；[解析] 将函数稍作变形为：M Ny == ，设点(,)M M M x y ，点(,)N N N xy ，则(,)M 20，(cos ,sin )N θθ-，而点N 在单位圆上，k y 就是一条直线的斜率，是过点M 和圆上点N 直倍，关键是直线过圆上的N 点.k y 的范围为：[tan ,tan ]o o 3030-即：[k y ∈ 而y 是k y 倍，即：k y =，故：1y 1-≤≤ . 即：y 的最大值是1，最小值是1-.原本要计算一番，这用分析法，免计算了. .先变形：cos y 2θθ=-变形为：cos cos 2y y y θθθθ-==+；利用辅助角公式得：))2y θθθϕ=+=+；sin()θϕ=+，即：sin()11θϕ-≤=+≤；即：224y 13y ≤+，即：224y 3y ≤+，即：2y 1≤，即：1y 1-≤≤如果要计算，需要用到辅助角公式. .若,,a b c 0>，求证：2229a b b c c a a b c++>+++++ [证明]由柯西不等式：()()()2111a b b c c a a b b c c a ⎛⎫⎡⎤++⋅+++++≥ ⎪⎣⎦+++⎝⎭ 即：()()21112a b c 39a b b c c a ⎛⎫⎡⎤++⋅++≥= ⎪⎣⎦+++⎝⎭即：()2229a b b c c a a b c ⎛⎫++≥ ⎪+++++⎝⎭.首先将不等式变形：a b c a b c a b c 9a b b c c a 2++++++++≥+++；即：c a b 93a b b c c a 2+++≥+++，即：c a b 3a b b c c a 2++≥+++. 由于对称性，不妨设：a b c ≥≥，则：a b a c b c +≥+≥+；即：111b c a c a b≥≥+++. 由排序不等式得：正序和a b c a b c b c a c a b a c a b b c ++≥++++++++乱序和；正序和a b c a b c b c a c a b a b b c a c ++≥++++++++乱序和；上两式相加得：a b c a b b c a c 23b c a c a b a b b c a c +++⎛⎫++≥++=⎪++++++⎝⎭ 即：c a b 3a b b c c a 2++≥+++ 证毕.. 权方和不等式：若（a 0>，b 0>，m 0>或m 1<-）则：(...)...(...)m 1m 1m 1n 1n 1m m m1n 1n a a a a b b b b +++++++≥++222222a b b c c a a b b c c a++=++++++++9a b b c c a 2a b c a b c(()()()()≥==+++++++++.若a b c R ,,∈，且222a b c 25++=，试求：a 2b 2c -+的取值范围.[解析]设：m 122(,,)=-，n a b c (,,)=则：2m 13==，2n a b 5=+==m n 122a b c a 2b 2c (,,)(,,)⋅=-⋅=-+m n 3515⋅=⨯=代入向量不等式m n m n ⋅≤得：a 2b 2c 15-+≤即：15a 2b 2c 15-≤-+≤由柯西不等式得：()()()2222222122a b c a 2b 2c ⎡⎤+-+++≥-+⎢⎥⎣⎦ 即：()2925a 2b 2c ⨯≥-+，故：a 2b 2c 15-+≤ 所以：15a 2b 2c 15-≤-+≤.构建拉格朗日函数：2221L a b c a 2b 2c a b c 25(,,)()λ=-++++- 由函数在极值点的导数为0得： L 2a 10a λ∂=+=∂，则：2a λ=-，即：a 2λ=-；20a λ=-+=∂，则：b λ=，即：b λ=； L 2b 20a λ∂=+=∂，则：c λ=-，即：c λ=-. 代入222a b c 25++=得：229=54λ，即：103λ=± 极值点为：5a 23λ=-=，10b 3λ==±，10c 3λ=-= 则：y a 2b 2c 15m=-+=，即：15a 2b 2c 15-≤-+≤.2222222222a 2b 2c a 2b 2c a 2b 2c 5= a b c 1441443()()()()()--+-+++=++≥=++ 即：()2925a 2b 2c ⨯≥-+，即: 15a 2b 2c 15-≤-+≤ 其中，2222a 2b 2c a 2b 2c 144144()()()()--+++≥++.若a b c R ,,∈，且2a b 2c 6--=，求222a b c ++的最小值.[解析]设：m 212(,,)=--，n a b c (,,)=，则：2222m 2129()()=+-+-=；2222n a b c =++；m n 2a b 2c ⋅=--；代入向量不等式m n m n ≥⋅得： ()()22229a b c 2a b 2c 36++≥--= 即：222a b c 4++≥，故：222a b c ++最小值为4.由柯西不等式：2222222212a b c 2a b 2c [()()]()()+-+-++≥--即：222222222a b 2c 6a b c 49212()()[()()]--++≥==+-+- 故：222a b c ++最小值为4..构建拉氏函数：222L a b c a b c 2a b 2c 6(,,)()λ=+++---在极值点的导数为0，即：L 2a 20a λ∂=+=∂，即：a λ=-； L 2b 0bλ∂=-=∂，即：2b λ=； L 2c 20cλ∂=-=∂，即：c λ=. 代入2a b 2c 6--=得：43λ=-则：4a 3=，2b 3=-，4c 3=- 故：22222242436a b c 43339⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥+-+-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 求极值时，要判断是极大值还是极小值，只需用赋值法代一下，就像第4(3)题. 本题222a b c ++最小值为4..222222222a b 2c 2a b 2c 6a b c 44144149()()()()--+++=++≥==++ 即：222a b c 4++≥，故：222a b c ++最小值为4..若a b c R ,,∈，且222a 1b 2c 311654()()()-+-++=，求a b c ++的最大值和最小值. [解析]由柯西不等式：()()()2222222a 1c 342a 1b 2c 342⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎢⎥⎡⎤++++≥-+++- ⎪ ⎪⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 即：()2251a b c 2⨯≥++-；故：5ab c 25()-≤++-≤.于是：()3a b c 7-≤++≤..有人说：222a 1b 2c 311654()()()-+-++=是一个椭球面，没错. 它是一个不等轴的椭球. 它的三个半轴长分别为：A 4=，B =C 2=设：x a 1=-，y b 2=+，z c 3=-，则这个椭球的方程为：222222x y z 1A B C ++= ①现在来求a b c ++的最大值和最小值.令：x A sin cos θϕ=，y B sin sin θϕ=，z C cos θ=f x y z A B C sin cos sin sin cosθϕθϕθ=++=++ 42sin cossin cos θϕθϕθ=++2)cosθϕϕθ=++2)sin cos αϕθθ=++]θθ=+)θφ=+故：f x y z =++的峰值是：当21sin()αϕ+=时，m f 5===即：5x y z 5-≤++≤而x y z a 1b 2c 3a b c 2++=-+++-=++-，故：5a b c 25-≤++-≤，即：3a b c 7-≤++≤.. 设拉格朗日函数为：222a 1b 2c 3L a b c a b c 11654()()()(,,)λ⎡⎤-+-=+++++-⎢⎥⎣⎦当拉式函数取极值时，有：L 0a ∂=∂，L 0b ∂=∂，L 0c∂=∂. 则： L a 110a 8λ∂-=+⋅=∂，即：8a 1λ=--或8a 1λ-=-； L 2b 210b 5()λ∂+=+⋅=∂，即：52b 2()λ=-+或5b 22λ+=-；10c 2λ=+⋅=∂，即：c 3λ=--或c 3λ-=-. 则：5a 1b 2c 38216542():():()::::-+-== 设：a 116k -=，则：b 25k +=，c 34k -=代入222a 1b 2c 311654()()()-+-++=得：22216k 5k 4k 1++= 即：225k 1=，即：5k 1=±于是：a 1b 2c 316k 5k 4k 25k ()()()-+++-=++= 即：a b c 55k 25252[,]++=⨯+∈-++ 即：a b c 37[,]++∈-拉格朗日乘数法求出的是极值，即a b c ++的极小值是3-、极大值是7..由权方和不等式得：2222a 1b 2c 3a 1b 2c 3116541654()()()()-+--+++-=++≥++ 即：22a b c 215()++-≤，即：22a b c 25()++-≤ 故：5a b c 25()-≤++-≤，即：3a b c 7-≤++≤..若a b c 0,,>，x y z 0,,>，且满足222a b c 25++=，222x y z 36++=，ax by cz 30++=，求：a b c x y z++++的值. [解析]23个经典的不等式专题 tobeenough 3.0版由柯西不等式：()()()222222a b c x y z ax by cz ++++≥++当柯西不等式中等号成立时，有：a b c x y z λ===，即：a x λ=，b y λ=，c z λ=，0λ> 本题，将222a b c 25++=，222x y z 36++=，ax by cz 30++=代入得： 2253630⨯≥，正是等号成立.则：2222222a b c x y z ()λ++=++；即：2222222a b c 2536x y z λ++==++，即：56λ= 故：a b c a b c 5x y z x y z 6λ++=====++ ..求证：n 2k 1153k =<∑.[证明]n n n 222k 1k 2k 211411k k 4k ====+=+∑∑∑ n n 2k 2k 24111122k 12k 14k 1==⎛⎫<+=+- ⎪-+-⎝⎭∑∑ 1115121232n 133⎛⎫=+⨯-<+⨯= ⎪+⎝⎭.当n 2≥时，求证：n 1213n()<+<. [证明]nn k 12n n n n n k 2n k 0111111C 1C C C n n n n n ...=⎛⎫+=⋅=+⋅+⋅++⋅ ⎪⎝⎭∑;当n 2≥时，12n 1n n n n 2n 11111C C C 1C 2n n n n...+⋅+⋅++⋅≥+⋅= 即：n112n ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭ ①n n k n k k 11111C n n =⎛⎫+=+⋅ ⎪⎝⎭∑ nk k 1n 11k n k n !!()!==+⋅-∑n k k 11n 1k n k n !!()!==+-∑ n k 11n n 1n 2n k 11k n n n n ()()()...!=---+⎡⎤=+⋅⋅⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦∑n n n k 1k 2k 21111112k k k !!!===<+=++=+∑∑∑nn k 2k 211122k k 1k 1k ()==⎛⎫<+=+- ⎪--⎝⎭∑∑1213n=+-< ② 本题由二项式中，分子由从n 开始的k 个递减数连乘，分母由k 个n 连乘，得到的分数必定小于1. 于是得到：n 113n()+<.. 由伯努利不等式得： n1111n 2n n ⎛⎫+≥+⋅= ⎪⎝⎭.本题也可以利用函数的基本性质证明.构建函数：x 1f x 1x ()⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则在x 1≥时，函数为单调递增函数. 故：在x 2≥时，1f x f 1112()()()≥=+=x 1x e +<则：()11y y y x 1f x 11y e e 3x ()()⎛⎫=+=+<=< ⎪⎝⎭. ②式得证..求证：1131352n 12242462n ...()......()⋅⋅⋅⋅⋅-+++<⋅⋅⋅⋅⋅[证明]()()222n 2n 12n 12n 1()()>-=-+ 故：2n 12n 2n 2n 1-<+ ① 令：n 132n 1S 242n ()...()-=⋅⋅⋅， n 242n T 352n 1()...()=⋅⋅⋅+ 由①得：n n S T < ②即：2n n n 132n 1242n 1S S T 242n 352n 12n 1()()......()()⎡⎤⎡⎤-<⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦故：n S<③由><<，代入③式得：n S < ④ 因为12n 1131352n 1S S S =2242462n ...().........()⋅⋅⋅⋅⋅-++++++⋅⋅⋅⋅⋅ 所以待证式为：12n S S S ...+++< ⑤ 将④式代入12n S S S ...+++中采用裂项相消法得：n12n k 1S S S 1...=+++<=<∑⑤式得证.本题的关键在于把根式或其他式子换成两个相邻的根式差，然后利用求和来消去中间部分，只剩两头.，只不过更另类一些.求证：2111)...)<+++<.[证明]由放缩法得：<即：2>= ①则：1+++2...>++由放缩法得：()()()2222228n 18n118n 8n 2->--=-即：()28n 1->③==代入③式得：28n 1->令：x 2n =，则上式可写为：22x 1-> 即：x x 1x x 11()()++--> 即：21>1>1><④1++...<++1)< ⑤由②⑤，本题得证.本题还是采用级数求和的放缩法..设函数f x ()=，函数为递减函数.函数图象如图.其中，k x k 1=>，k 1x k 1-=-，k 1x k 1+=+则：k y =k 1y -=，k 1y +=k k 1k kdx dx +->>⎰⎰即：((k k 1k 1k+->>当k 1>时，上式即：22>>故：nk 12121))=+>>即：n k 211)=<<故：nk 121)=<.积分法可证明②式. 对⑤式，积分法松一些.已知：x 0>,求证：x1x x 1xln()<+<+. [证明]构造函数：f x x 1x ()ln()=-+，则：f 00()=. 当x 0>时，函数的导数为：1f x 101x'()=->+，即当x 0>时，函数f x ()为增函数. 即：f x f 00()()>=；故：f x x 1x 0()ln()=-+>，即：ln()1x x +< ① 当x 0=时，1x x ln()+=. 构造函数：xg x 1x 1x()ln()=+-+，则：g 00()=. 当x 0>时，其导数为：()()2211x xg x 01x 1x 1x 1x '()⎡⎤⎢⎥=--=>++⎢⎥++⎣⎦.故：x g x 1x 01x ()ln()=+->+，即：ln()x1x 1x<++ ② 当x 0=时，x1x 1xln()=++. 由①和②，本题证毕.本题采用构造函数法，利用函数单调性来证题. 当x 0≥时，x1x x 1xln()≤+≤+.. .已知：n N +∈，求证：111111n 123n 12n...ln()...+++<+<++++. [证明] 构造函数：1f x x()=，在函数图象上分别取三点A B C ,, 即：1A k k (,),1B k 1k 1(,)--,1C k 1k 1(,)++ 我们来看一下这几个图形的面积关系：AEFC AEFH AEDG AEDB S S S S <=<即：k 1kkk 111dx f k 1dx xx ()+-⋅<⋅<⋅⎰⎰即：k 1kkk 1x f k x ln ()ln +-<<即：1k 1k k k 1kln()ln ln ln()+-<<-- 左边不等式1k 1k kln()ln +-<求和：k 1k 1111k 1k 1k 2n (ln()ln )...==+-<=+++∑∑即：ln() (11)n 112n+<+++ ① 右边不等式1k k 1kln ln()<--求和： ...ln()n 1k 21111n 1k 23n 1+==+++<++∑ ② 由①和②，本题证毕. 本题采用构造函数、利用函数的面积积分来证题..已知：n 2≥，求证：n 2n n 1()>-. [证明] A> 由于2211n n 1n n n 42()()-<-+=- 所以只要证明n 212n 2()>-即可.即：n 22122n 12()>-，即：n 2222n 1()+>- 即：n 2222n 1()ln ln()+>- 即：2n 22n 12ln ln ln()+>- ① B> 构建函数：2f x x 22x 12ln ()ln ln()=+-- ② 其中：x 2≥ 导函数：22f x 22x 1ln '()=-- ③ 我们求②式得最小值. C> 首先边界：2f 2222212ln ()ln ln()=⋅+-⋅-223430ln ln ln ln =-=-> ④ 当x =+∞时，2f x x 22x 12ln ()ln ln()=+-- x 2222x 1ln ln ln()=+--x x 2222222x 12x 1lnln +⋅==-- 由于x 2x 2x 2222x x x 1222222x 12x 12(ln )limlim lim +++→+∞→+∞→+∞===+∞-- 所以x 2x 222x x 2202x 12x 1lim lnln lim ++→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==+∞> ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑤ D> 由函数取极值时的导数为0得：0022f x 022x 1ln '()=-=- 即：042x 12ln -= ⑥ 即：042x 22ln ln +=⑦ E> 将⑥⑦代入②得到极值点得函数值0002f x x 22x 12ln ()ln ln()=+-- 242422222ln ln ln ln ln ln +⎛⎫⎛⎫=⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭422424ln ln ln ln(ln )+=+-+ []1424244424ln ln ln ln(ln )=++-+ 4143224ln ln(ln )⎡⎤=-+⎣⎦434e 224ln ln ln(ln )⎡⎤=-+⎣⎦ 443341e 2e 2422(ln )ln ln ln ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ ⑧ 由于e 22718069318841ln ...≈⨯>而34216818e 2.ln =≈< 所以：034e 2f x 02ln ()ln=> ⑨F> 由函数的极值和边界值都大于0得：f x 0()> 即： 2f x x 22x 102ln ()ln ln()=+--> 则：2n 22n 12ln ln ln()+>- ①式得证.. 由二项式定理的：nnnkn k 0211C ()==+=∑ ① 其中：knn C k n k !!()!=-当k 1n 1[,]∈-时，k nn C n k n k !!()!=≥- ②在k 1n 1[,]∈-范围，共有n 1()-项。

高考数学不等式专题解析

高考数学不等式专题解析题目1：已知a、b为正实数，且a + b = 1，求证：$ab \leq \frac{1}{4}$。

题目2：若$a > 0$，$b > 0$，$a + b = 1$，求证：$ab \geq \frac{1}{4}$。

题目3：若$a > 0$，$b > 0$，求证：$a^2 + b^2 \geq 2ab$。

题目4：已知$a > 0$，$b > 0$，求证：$a^2 + b^2 \leq 2ab$。

题目5：若$a > 0$，$b > 0$，$a + b = 1$，求证：$a^2 + b^2 \geq 2ab$。

题目6：若$a > 0$，$b > 0$，$a + b = 1$，求证：$a^2 + b^2 \leq 2ab$。

题目7：已知$a > 0$，$b > 0$，$a + b = 1$，求证：$a^2 + b^2 = 2ab$。

题目8：已知$a > 0$，$b > 0$，$a + b = 1$，求证：$a^2 + b^2 = 2ab$。

题目9：已知$a > 0$，$b > 0$，$a + b = 1$，求证：$a^2 + b^2 = 2ab$。

题目10：已知$a > 0$，$b > 0$，$a + b = 1$，求证：$a^2 + b^2 = 2ab$。

题目11：已知$a > 0$，$b > 0$，$a + b = 1$，求证：$a^2 + b^2 = 2ab$。

题目12：已知$a > 0$，$b > 0$，$a + b = 1$，求证：$a^2 + b^2 = 2ab$。

题目13：已知$a > 0$，$b > 0$，$a + b = 1$，求证：$a^2 + b^2 = 2ab$。

初中数学不等式专题练习及答案

不等式(组)专项练习（含答案）A 组基础题组一、选择题 1.不等式x 2-x -13≤1的解集是( )A.x≤4B.x≥4C.x≤-1D.x≥-12.函数y=√3x +6中自变量x 的取值范围在数轴上表示正确的是( )3.不等式组{3x <2x +4,3-x 3≥2的解集在数轴上表示正确的是( )4.对于不等式组{12x -1≤7-32x ,5x +2>3(x -1),下列说法正确的是( )A.此不等式组无解B.此不等式组有7个整数解C.此不等式组的负整数解是-3,-2,-1D.此不等式组的解集是-52<x≤25.不等式组{4x -3>2x -6,25-x ≥-35的整数解的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 6.不等式3x+134>x 3+2的解集是 .7.不等式组{x -3(x -2)>4,2x -15≤x+12的解集为 .8.不等式组{x >-1,x <m有3个整数解,则m 的取值范围是 .9.将函数y=2x+b(b 为常数)的图象位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折至其上方后,所得的折线是函数y=|2x+b|(b 为常数)的图象.若该图象在直线y=2下方的点的横坐标x 满足0<x<3,则b 的取值范围为 .三、解答题10.解不等式组{2x ≥-9-x ,5x -1>3(x +1),并把解集在数轴上表示出来.11. x 取哪些整数值时,不等式5x+2>3(x-1)与12x≤2-32x 都成立?12.解不等式组{x -23<1,2x +16>14.B 组提升题组一、选择题1.关于x 的不等式x-b>0只有两个负整数解,则b 的取值范围是( ) A.-3<b<-2 B.-3<b≤-2C.-3≤b≤-2D.-3≤b<-22.不等式组{1-2x <3,x+12≤2的正整数解的个数是( )A.5B.4C.3D.2 二、填空题3.不等式组{x +1>0,1-12x ≥0的最小整数解是 .三、解答题 4.解不等式:x -22≤7-x 3.5.有甲、乙、丙三种糖果混合而成的什锦糖100千克,其中各种糖果的价格和千克数如表所示,商家用加权平均数来确定什锦糖的单价.甲种糖果乙种糖果丙种糖果价格(元/千克) 1525 30 千克数404020(1)求该什锦糖的价格;(2)为了使什锦糖每千克至少降低2元,商家计划在什锦糖中加入甲、丙两种糖果共100千克,问其中最多可加入丙种糖果多少千克.不等式(组)培优训练一、选择题1.同时满足不等式x4-2<1-x2和6x-1≥3x -3的整数x 是 ( ) A.1,2,3 B.0,1,2,3C.1,2,3,4D.0,1,2,3,42.若三个连续正奇数的和不大于27,则这样的奇数组有( ) A.3组 B.4组 C.5组 D.6组3.在数轴上表示不等式2(1-x)<4的解集,正确的是( )4.如果x 的2倍加上5不大于x 的3倍减去4,那么x 的取值范围是( ) A.x>9 B.x≥9 C.x<9 D.x≤95.如图,直线y=kx+b 经过A(1,2),B(-2,-1)两点,则12x<kx+b<2的解集为( )A.12<x<2 B.12<x<1C.-2<x<1D.-12<x<16.关于x 的不等式组{2x <3(x -3)+1,3x+24>x +a 有四个整数解,则a 的取值范围是( )A.-114<a≤-52 B.-114≤a<-52 C.-114≤a≤-52 D.-114<a<-527.(2017浙江温州)不等式组{x +1>2,x -1≤2的解集是( )A.x<1B.x≥3C.1≤x<3D.1<x≤38.如图,函数y=2x-4与x 轴、y 轴交于点(2,0),(0,-4),当-4<y<0时,x 的取值范围是( )A.x<-1B.-1<x<0C.0<x<2D.-1<x<29.某剧场为希望工程义演的文艺表演有60元和100元两种票价,某团体需购买140张票,其中票价为100元的票数不少于票价为60元的票数的两倍,则购买这两种票最少需要( ) A.12 120元 B.12 140元 C.12 160元 D.12 200元10.某商人从批发市场买了20千克肉,每千克a 元,又从肉店买了10千克肉,每千克b 元,最后他又以a+b 2元的单价把肉全部卖掉,结果赔了钱,原因是( )A.a>bB.a<bC.a=bD.与a 和b 的大小无关11.西宁市天然气公司在一些居民小区安装天然气与管道时,采用一种鼓励居民使用天然气的收费方法,若整个小区每户都安装,收整体初装费10 000元,再对每户收费500元.某小区住户按这种收费方法全部安装天然气后,每户平均支付不足1 000元,则这个小区的住户数( )A.至少为20B.至多为20C.至少为21D.至多为21 二、填空题 12.若代数式t+15-t -12的值不小于-3,则t 的取值范围是 .13.若不等式3x-k≤0的正整数解是1,2,3,则k 的取值范围是 . 14.若(x+2)(x-3)>0,则x 的取值范围是 . 15.若a<b,则2a a+b(填“>”或“<”).16.若不等式组{2x -a <1,x -2b >3的解集为-1<x<1,则(a-3)(b+3)的值为 .17.函数y 1=-5x+12,y 2=12x+1,使y 1<y 2的最小整数x 是 .三、解答题 18.解不等式:3x -25≥2x+13-1.19.若关于x 的方程3(x+4)=2a+5的解大于关于x 的方程(4a+1)x 4=a (3x -4)3的解,求a 的取值范围.20.有人问一位老师,他所教的班有多少位学生,老师说:“一半的学生在学数学,四分之一的学生在学音乐,七分之一的学生在念外语,还剩下不足6位同学在操场上踢足球.”试问这个班共有多少位学生.21.随着教育改革的不断深入,素质教育的全面推进,某市利用假期参加社会实践活动的中学生越来越多.王伟同学在本市丁牌公司实习时,计划发展部给了他一份实习作业:在下述条件下规划出下月的产量范围.假如公司生产部有工人200名,每个工人每2小时可生产一件丁牌产品,每个工人的月劳动时间不超过192小时,本月将剩余原料60吨,下个月准备购进300吨,每件丁牌产品需原料20千克.经市场调查,预计下个月市场对丁牌产品需求量为16 000件,公司准备充分保证市场需求.请你和王伟同学一起规划出下个月的产量范围.参考答案A组基础题组一、选择题1.A 去分母,得3x-2(x-1)≤6, 去括号,得3x-2x+2≤6,移项、合并同类项,得x≤4,故选A.2.A 根据二次根式的非负性得3x+6≥0,解得x≥-2,表示在数轴上如图所示,故选A.3.A 由3x<2x+4得x<4; 由3-x 3≥2得3-x≥6,解得x≤-3.故不等式组的解集为x≤-3.故选A. 4.B {12x -1≤7-32x ,①5x +2>3(x -1),②解①得x≤4,解②得x>-52, 所以不等式组的解集为-52<x≤4,所以不等式组的整数解为-2,-1,0,1,2,3,4. 故选B.5.C {4x -3>2x -6,①25-x ≥-35,② 解不等式①得,x>-32,解不等式②得,x≤1,所以不等式组的解集是-32<x≤1,所以不等式组的整数解为-1、0、1,共3个.故选C. 二、填空题 6.答案 x>-3解析去分母,得3(3x+13)>4x+24, 去括号,得9x+39>4x+24, 移项,得9x-4x>24-39, 合并同类项,得5x>-15, 系数化为1,得x>-3, 故原不等式的解集是x>-3.7.答案 -7≤x<1解析解不等式x-3(x-2)>4得x<1;解不等式2x -15≤x+12得x≥-7,所以不等式组的解集为-7≤x<1. 8.答案 2<m≤3解析由题意得不等式组的整数解是0,1,2,则m 的取值范围是2<m≤3. 9.答案 -4≤b≤-2解析根据题意可画大致图象如下:则{0<-b2<3,-2×0-b ≥2,2×3+b ≥2,解得-4≤b≤-2. 三、解答题10.解析 {2x ≥-9-x ,①5x -1>3(x +1),②解①得x≥-3,解②得x>2,∴原不等式组的解集为x>2,其解集在数轴上表示如下:11.解析根据题意解不等式组{5x +2>3(x -1),①12x ≤2-32x ,② 解不等式①,得x>-52, 解不等式②,得x≤1, ∴-52<x≤1,故满足条件的x 的整数值有-2、-1、0、1. 12.解析解x -23<1,得x<5,解2x+16>14,得x>-1,在数轴上表示两个不等式的解集如下图:故不等式组的解集为-1<x<5.B组提升题组一、选择题1.D 由x-b>0,解得x>b,∵不等式只有两个负整数解,∴-3≤b<-2,故选D.2.C 解不等式1-2x<3,得x>-1,解不等式x+1≤2,得x≤3,2则不等式组的解集为-1<x≤3,所以不等式组的正整数解有1,2,3这3个,故选C.二、填空题3.答案0解析解不等式x+1>0,得x>-1,解不等式1-1x≥0,得x≤2,2则不等式组的解集为-1<x≤2,所以不等式组的最小整数解为0,故答案为0.三、解答题4.解析3(x-2)≤2(7-x),整理得3x-6≤14-2x,3x+2x≤14+6,5x≤20,x≤4.∴不等式的解集为x≤4.5.解析(1)根据题意,得该什锦糖的价格为15×40+25×40+30×20=22(元/千克).100答:该什锦糖的价格是22元/千克.(2)设加入丙种糖果x 千克,则加入甲种糖果(100-x)千克,根据题意得30x+15(100-x )+22×100200≤20,解得x≤20.答:最多可加入丙种糖果20千克.不等式(组)培优训练一、选择题1.B 由题意得{x 4-2<1-12x ,6x -1≥3x -3,解得-23≤x<4,所以整数x 的取值为0,1,2,3.2.B 设三个连续正奇数中间的一个数为x,则(x-2)+x+(x+2)≤27,解得x≤9,所以x-2≤7.所以x-2只能分别取1,3,5,7.故这样的奇数组有4组.3.A 去括号,得2-2x<4.移项,得-2x<4-2.合并同类项,得-2x<2.系数化为1,得x>-1.在数轴上表示时,开口方向应向右,且不包括端点值.故选A.4.B 由题意可得2x+5≤3x -4,解得x≥9,所以x 的取值范围是x≥9.5.C 根据题图可得,12x<kx+b<2的解集为-2<x<1.故选C.6.B 不等式组{2x <3(x -3)+1,3x+24>x +a 的解集为8<x<2-4a. 因为不等式组有四个整数解,所以12<2-4a≤13,解得-114≤a<-52.7.D 解不等式x+1>2得x>1;解不等式x-1≤2得x≤3.所以不等式组的解集是1<x≤3.8.C9.C 设票价为60元的票数为x 张,票价为100元的票数为y 张,故{x +y =140,y ≥2x ,可得x≤4623.由题意可知x,y 为正整数,故x=46,y=94,∴购买这两种票最少需要60×46+100×94=12 160(元).故选C.10.A 根据题意得20a+10b 30-a+b 2=23a+13b-12a-b 2=16a-16b=16(a-b), 当a>b,即a-b>0时,该商人赔钱,故选A.11.C 设这个小区的住户数为x.则1 000x>10 000+500x,解得x>20.∵x 是整数,∴这个小区的住户数至少为21.故选C.二、填空题12.答案 t≤373解析由题意得t+15-t -12≥-3,解得t≤373. 13.答案 9≤k<12解析不等式3x-k≤0的解集为x≤k 3.因为不等式3x-k≤0的正整数解是1,2,3,所以3≤k 3<4,所以9≤k<12.14.答案 x>3或x<-2解析由题意得{x +2>0,x -3>0①或 {x +2<0,x -3<0,② 解不等式组①得x>3,解不等式组②得x<-2.所以x 的取值范围是x>3或x<-2.15.答案 <解析因为a<b,所以a+a<a+b,即2a<a+b.16.答案 -2解析不等式组{2x -a <1,x -2b >3的解集为3+2b<x<a+12.由题意得{3+2b =-1,a+12=1,解得{a =1,b =-2. 所以(a-3)(b+3)=(1-3)×(-2+3)=-2.17.答案 0解析根据题意得-5x+12<12x+1,解得x>-111,所以使y 1<y 2的最小整数x 是0. 三、解答题18.解析去分母,得3(3x-2)≥5(2x+1)-15. 去括号,得9x-6≥10x+5-15.移项、合并同类项,得-x≥-4.系数化为1,得x≤4.19.解析因为关于x 的方程3(x+4)=2a+5的解为x=2a -73, 关于x 的方程(4a+1)x 4=a (3x -4)3的解为x=-163a. 由题意得2a -73>-163a,解得a>718. 故a 的取值范围为a>718.20.解析设该班共有x 位学生,则x-(x 2+x 4+x 7)<6. ∴328x<6.∴x<56.又∵x,x 2,x 4,x 7都是正整数,则x 是2,4,7的公倍数.∴x=28.故这个班共有28位学生.21.解析设下个月的产量为x 件,根据题意,得{2x ≤192×200,20x ≤(60+300)×1 000,x ≥16 000,解得16 000≤x≤18 000.即下个月的产量不少于16 000件,不多于18 000件.。

必修一不等式专题-带答案

必修一不等式专题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若正数,x y 满足40x y xy +-=，则3x y+的最大值为 A.13 B.38 C.37 D.12．已知实数0a >，0b >，11111a b +=++，则2+a b 的最小值是（）A. B.C.3D.2 3．若两个正实数,x y 满足211x y +=，则2x y +的最小值为（） A.8 B.6C.4D.2 4．若正数,x y 满足35x y xy +=，当34x y +取得最小值时，2x y +的值为（） A.245 B.2 C.285 D.55．若正数,a b 满足111a b +=，则4a b +的最小值为（） A.7 B.10C.9D.4 6．若实数a ，b 满足ab ＞0，则2214a b ab ++的最小值为 A.8B.6C.4D.2 7．正数,a b 满足191a b+=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[3,)+∞B ．(,3]-∞C ．(,6]-∞D ．[6,)+∞ 8．设正数,x y 满足,23x y x y >+=,则195x y x y+-+的最小值为( )A ．83B ．3C ．32D 9．若5x >-，则45x x ++的最小值为（） A.-1 B.3 C.-3 D.110．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（）A.2B.92C.143D.5二、填空题 11．若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________. 12．设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy ++的最小值为__________. 13．已知0,5ab a b >+=，则2111a b +++的最小值为__________． 14．设0,0,25x y x y >>+=______. 15．已知1x >-，则函数27101x x y x ++=+的值域为________． 16．若0,0x y >>，且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．17．已知2x >，求()122f x x x =+-的最小值__________． 18．若正数a b ，满足4310a b +-=，则112a b a b +++的最小值为_________.三、解答题19．（1）解关于x 不等式：2(1)10(0)ax a x a -++.（2）对于任意的[0,2]x ∈，不等式2210x ax --≤恒成立，试求a 的取值范围.20．已知函数2()(2)2()f x x a x a a R =-++∈.（1）求不等式()0f x <的解集；（2）若当x ∈R 时，()4f x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.21．已知函数2()1()f x mx mx m R =--∈(1)当0m >,解关于x 的不等式()23f x x <-(2)对于[1,3]x ∈,()1f x m x >-+-,恒成立,求m 的取值范围.22．已知函数2()(,)f x x bx c b c =++∈R ，且()0f x ≤的解集为[]1,2.（1）求函数()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式()(1)(2)f x m x >--，()m ∈R ；（3）设()()31x g x f x x =+-，若对于任意的12,x x ∈R 都有()()12g x g x M -≤，求M 的最小值.23．己知函数()()()211f x m x mx m m R =+-+-∈. （Ⅰ）当2m >-时，解关于x 的不等式()f x m ≥；（Ⅱ）若不等式()0f x ≥的解集为D ，且[]1,1D -⊆，求m 的取值范围。

高考数学基本不等式专题

高考数学基本不等式专题一、选择题1．若实数a 、b 满足0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( ) A.12B ．a 2＋b 2C ．2abD ．a解析：∵a ＋b ＝1，a ＋b ＞2ab ，∴2ab ＜12.由a 2＋b 2＞2·⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝2·14＝12，又0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，∴a ＜12，∴a 2＋b 2最大．答案：B2．(·重庆)已知a ＞0，b ＞0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．5解析：1a ＋1b＋2ab ≥21ab＋2ab ≥4 1ab·ab ＝4 当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 1ab ＝ab ，即a ＝b ＝1时，等号成立，因此1a ＋1b＋2ab 的最小值为4.答案：C3．设a 、b ∈(0，＋∞)，若a ＋b ＝2，则1a ＋1b的最小值等于( )A ．1B ．3C ．2D ．4解析：因为(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥2ab ·21ab ，即(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4，其中a ＋b ＝2，所以1a ＋1b ≥2.当1a ＝1b ，且a ＝b 即a ＝b ＝1时，1a ＋1b 取得最小值2. 答案：C4．(·天津)设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝2 3，则1x ＋1y 的最大值为( )A ．2B.32C ．1 D.12解析：由a x ＝b y ＝3得：x ＝log a 3，y ＝log b 3，由a ＞1，b ＞1知x ＞0，y ＞0，1x ＋1y＝log 3a ＋log 3b＝log 3ab ≤log 3⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝ 3时“＝”号成立，则1x ＋1y 的最大值为1.答案：C二、填空题5．已知a ＞b ＞c ，则(a －b )(b －c )与a －c2的大小关系是________．解析：∵a －b ＞0，b －c ＞0，∴(a －b )(b －c )≤(a －b )＋(b －c )2＝a －c2，当且仅当a －b ＝b －c 即2b ＝a ＋c 时，取“＝”．∴(a －b )(b －c )≤a －c2. 答案：(a －b )(b －c )≤a －c26．(·潍坊质检)设a ＞b ＞c ，且1a －b ＋1b －c ≥ma －c 恒成立，则m 的取值范围是________．解析：∵a ＞b ＞c ，∴a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0.又(a －c )⎝⎛⎭⎫1a －b ＋1b －c ＝×⎝⎛⎭⎫1a －b ＋1b －c ≥2(a －b )(b －c )·21a －b ·1b －c ＝4.当且仅当a －b ＝b －c 且1a －b ＝ 1b －c，即a ＋c ＝2b 时，等号成立．∴m ≤4. 答案：m ≤47．已知a ＞0，b ＞0，且2b ＋ab ＋a ＝30，则ab 的最大值为________．解析：∵a ＞0，b ＞0，∴2b ＋a ≥22ab ，又2b ＋ab ＋a ＝30，∴22ab ＋ab ≤30，即ab ＋22ab －30≤0，解得ab ≤32，即ab ≤18，当且仅当2b ＝a ，即a ＝6，b ＝3时等号成立，则ab 的最大值为18. 答案：18 三、解答题 8．设x ∈R ＋且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2的最大值．解答：∵x >0，∴x 2＋(12＋y 22)＝(x 2＋y 22)＋12＝32 而x 1＋y 2＝2·x 2(12＋y 22)≤2[x 2＋(12＋y 22)]2∴x1＋y 2≤2(12·32)＝324即(x1＋y 2)max ＝324. 9．已知x >0，y >0，x ＋y ＝1，求证：x 4＋y 4≥18.证明：∵x >0，y >0，x ＋y ＝1，∴x 2＋y 2≥2xy ，两边同加上x 2＋y 2得，2(x 2＋y 2)≥(x ＋y )2＝1. 又x 4＋y 4≥2x 2y 2，两边同加上x 4＋y 4得，2(x 4＋y 4)≥(x 2＋y 2)2≥14，∴x 4＋y 4≥18.10．已知x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，求证：(1x －1)(1y －1)(1z－1)＞8.证明：(1x －1)(1y －1)(1z －1)＝y ＋z x ·x ＋z y ·x ＋y z ＞8yz xz xyxyz＝8.1．若0＜a 1＜a 2,0＜b 1＜b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2 C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12解析：(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝a 1(b 1－b 2)＋a 2(b 2－b 1) ＝(a 1－a 2)(b 1－b 2)＞0，则a 1b 1＋a 2b 2＞a 1b 2＋a 2b 1； a 1a 2＋b 1b 2≤⎝⎛⎭⎫a 1＋a 222＋⎝⎛⎭⎫b 1＋b 222＝12，又a 1＜a 2，b 1＜b 2，则a 1a 2＋b 1b 2＜12；(a 1＋a 2)(b 1＋b 2)＝a 1b 1＋a 1b 2＋a 2b 1＋a 2b 2＜2(a 1b 1＋a 2b 2) 即2(a 1b 1＋a 2b 2)＞1，∴a 1b 1＋a 2b 2＞12.答案：A2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，S 是其面积．求证：a 2＋b 2＋c 2≥43·S .证明：根据余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，S ＝12bc sin A ，于是有a 2＋b 2＋c 2－43S ＝2(b 2＋c 2)－2bc cos A －43·12bc sin A ＝2(b 2＋c 2)－2bc (cos A ＋3sin A )＝2(b 2＋c 2)－4bc sin(A ＋30°)≥2(b 2＋c 2)－4bc ＝2(b －c )2≥0， ∴a 2＋b 2＋c 2≥43S .。

不等式专题整理

不等式专题整理1. 一次不等式：- 加减法：- 如果 a>b，则 a+c > b+c （c为任意实数）- 如果 a>b，则 a-c > b-c （c为任意实数）- 乘法：- 如果 a>b 且 c>0，则 ac > bc- 如果 a>b 且 c<0，则 ac < bc- 除法：- 如果 a>b 且 c>0，则 a/c > b/c- 如果 a>b 且 c<0，则 a/c < b/c- 平方：- 如果 a>b 且 a>0 且 b>0，则 a^2 > b^2- 如果 a>b 且 a<0 且 b<0，则 a^2 > b^2- 开方：- 如果 a>b 且 a>0 且 b>0，则√a > √b- 如果 a>b 且 a<0 且 b<0，则√a < √b2. 二次不等式：- 求根：- 如果 ax^2+bx+c > 0 且 a>0，则该二次函数有两个实根。

可以通过求解方程 ax^2+bx+c = 0 来确定实根所在的区间。

- 如果 ax^2+bx+c < 0 且 a<0，则该二次函数有两个实根。

可以通过求解方程 ax^2+bx+c = 0 来确定实根所在的区间。

- 判别式：- 当二次函数 ax^2+bx+c = 0 的判别式 D = b^2-4ac > 0 时，该二次函数有两个不相等的实根。

- 当二次函数 ax^2+bx+c = 0 的判别式 D = b^2-4ac = 0 时，该二次函数有两个相等的实根。

- 当二次函数 ax^2+bx+c = 0 的判别式 D = b^2-4ac < 0 时，该二次函数无实根。

3. 绝对值不等式：- 绝对值大于等于某个数：- 如果|a| ≥ b，则a ≥ b 或a ≤ -b （b为非负实数）- 绝对值小于等于某个数：- 如果|a| ≤ b，则 -b ≤ a ≤ b （b为非负实数）4. 分式不等式：- 分式大于等于某个数：- 如果f(x) ≥ a，则分别对 f(x)-a ≥ 0 进行相应的不等式变形和求解。

高中数学不等式专题-练习题(总结全面深入)

高中不等式专题一、不等式的主要性质：(1)对称性： a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>,(3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>； d b c a d c b a +>+⇒>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,； bc ac c b a <⇒<>0,bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(5)倒数法则：b a ab b a 110,<⇒>>(6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a nn 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a nn 且练习：（1）对于实数中，给出下列命题：①； ②；③； ④；⑤； ⑥；⑦； ⑧，则。

其中正确的命题是______ （2）已知，，则的取值范围是______（3）已知，且则的取值范围是______c b a ,,22,bc ac b a >>则若b a bc ac >>则若,2222,0b ab a b a >><<则若b a b a 11,0<<<则若b a a b b a ><<则若,0b a b a ><<则若,0b c b a c a b a c ->->>>则若,011,a b a b >>若0,0a b ><11x y -≤+≤13x y ≤-≤3x y-c b a >>,0=++c b a ac二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法；8．图象法。

不等式专题：基本不等式求最值的6种常用方法(解析版)

基本不等式求最值的6种常用方法知识梳理：一、基本不等式常用的结论1、如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab （当且仅当a b =时取等号“=”）推论：ab ≤a 2＋b 22（a ，b ∈R ） 2、如果a ＞0，b ＞0，则a ＋b ≥2ab ，（当且仅当a ＝b 时取等号“＝”）.推论：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22（a ＞0，b ＞0）；a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 223、a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b（a ＞0，b ＞0）二、利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三、利用基本不等式求最值的方法1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。

3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法；类型2：分母为多项式时方法1：观察法适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系；方法2：待定系数法，适用于所有的形式，如分母为3a ＋4b 与a ＋3b ，分子为a ＋2b ，设a ＋2b ＝λ(3a ＋4b )＋μ(a ＋3b )＝(3λ＋μ)a ＋(4λ＋3μ)b∴ ⎩⎪⎨⎪⎧3λ＋μ＝1，4λ＋3μ＝2.解得：⎩⎨⎧λ＝15，μ＝25.4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。

5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。

不等式专题练习与解答

不等式专题练习与解答专题一：利用不等式性质，判断其它不等式是否成立 1、a 、b ∈R,则下列命题中的真命题是（ C ）A 、若a>b ，则|a|>|b|B 、若a>b ，则1/a<1/bC 、若a>b ，则a 3>b 3D 、若a>b ，则a/b>1 2、已知a<0.－1<b<0,则下列不等式成立的是（D ） A 、a>ab>ab 2 B 、ab 2>ab>a C 、ab>a>ab 2 D 、ab>ab 2>a 3、当0<a<b<1时，下列不等式成立的是（D ）A 、(1―a)1/b >(1―a)bB 、(1+a)a >(1+b)bC 、(1―a)b >(1―a)b/2D 、(1―a)a >(1―b)b 4、若log a 3>log b 3>0，则a 、b 的关系是（B ） A 、0<a<b<1 B 、b>a>1 C 、0<b<a<1 D 、1<b<a5、若a>b>0，则下列不等式①1/a<1/b ；②a 2>b 2；③lg(a 2+1)>lg(b 2+1)；④2a >2b中成立的是（A ） A 、①②③④ B 、①②③ C 、①② D 、③④ 专题二：比较大小1、若0<α<β<π/4,sin α+cos α=a,sin β+cos β=b ，则（A ） A 、a ＜b B 、a ＞b C 、ab ＜1 D 、ab ＞22、a 、b 为不等的正数，n ∈N ，则(a n b+ab n )－(a n －1+b n －1)的符号是（C ） A 、恒正 B 、恒负C 、与a 、b 的大小有关D 、与n 是奇数或偶数有关3、设1＜x ＜10，则lg 2x,lgx 2,lg(lgx)的大小关系是 lgx 2>lg 2x>lg(lgx) . 4、设a>0,a ≠1,比较log a t/2与log a (t+1)/2的大小。

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不等式专题
一、选择题
(北京市朝阳区)1．不等式4-3x ＞0的解集是（）
A ．34->x
B ．34>x
C ．34-<x
D ．34<x
（北京市海淀区）2．不等式组⎩⎨⎧<<-42,
03x x 的解集是（）
A ．x ＞3
B ．x ＜2
C ．2＜x ＜3
D ．x ＞3 或x ＜2 （河北省课程改革实验区）3.如图2，天平右盘中的每个砝码的质量都是1g ，则物体A
的质量m(g)的取值范围，在数轴上可表示为（）
（深圳市）4、不等式组⎩⎨⎧≤-≥+12x 01x 的解集在数轴上的表示正确的是（）
A B C D （江苏省淮安市）5．下列式子中，不成立．．．
的是（
） A ．-2＞-1
B ．3＞2
C ．0＞-1
D ．2＞-1
二、填空题
（北京市石景山区）1．不等式3x+2>5x-3的正整数解是_____________。

B 图2 A C
D
-1 -1 -1 -1
（福建省福州市）2、如图，数轴上表示的一个不等式组的解集，这
个不等式组的整数解是__________。

（郴州市）3.不等式组26053
x x -<⎧⎨
+>-⎩ 的解集是__________. 三、计算题
(重庆万州区)1、解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥+-<-x x x 2211
32，并把解集在数轴上表示出来。

（广东省） 2. 解不等式组{3(x 2)45x
x 1x 3x 12-+<--≥+
（佛山市）3．解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅->+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-≤-)2(.13
12)
1(),2(34x x x (徐州市)4．解不等式：12
13<--
x x 情感语录
1.爱情合适就好，不要委屈将就，只要随意，彼此之间不要太大压力
2.时间会把最正确的人带到你身边，在此之前，你要做的，是好好的照顾自己
3.女人的眼泪是最无用的液体，但你让女人流泪说明你很无用
4.总有一天，你会遇上那个人，陪你看日出，直到你的人生落幕
5.最美的感动是我以为人去楼空的时候你依然在
6.我莫名其妙的地笑了，原来只因为想到了你
7.会离开的都是废品，能抢走的都是垃圾
8.其实你不知道，如果可以，我愿意把整颗心都刻满你的名字
9.女人谁不愿意青春永驻，但我愿意用来换一个疼我的你
10.我们和好吧，我想和你拌嘴吵架，想闹小脾气，想为了你哭鼻子，我想你了
11.如此情深，却难以启齿。

其实你若真爱一个人，内心酸涩，反而会说不出话来
12.生命中有一些人与我们擦肩了，却来不及遇见；遇见了，却来不及相识；相识了，却来不及熟悉，却还要是再见
13.对自己好点，因为一辈子不长；对身边的人好点，因为下辈子不一定能遇见
14.世上总有一颗心在期待、呼唤着另一颗心
15.离开之后，我想你不要忘记一件事：不要忘记想念我。

想念我的时候，不要忘记我也在想念你
16.有一种缘分叫钟情，有一种感觉叫曾经拥有，有一种结局叫命中注定，有一种心痛叫绵绵无期
17.冷战也好，委屈也罢，不管什么时候，只要你一句软话，一个微笑或者一个拥抱，我都能笑着原谅
18.不要等到秋天，才说春风曾经吹过;不要等到分别，才说彼此曾经爱过
19.从没想过，自己可以爱的这么卑微，卑微的只因为你的一句话就欣喜不已
20.当我为你掉眼泪时，你有没有心疼过。