第4章 恒定电流和电路

西门子）。 单位 Ω −1 ⋅ m −1 （西门子）。
由此可得 矢量式为
J = γE r r J = γE
欧姆定律的 微分形式
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4.3.2 一段电路的欧姆定律 电阻
S1
考察电流流过截面不均 匀导体的情况。 匀导体的情况。
S2
ϕ1
ϕ2
假定在某一时刻电流流向导体与绝缘体的交界面， 假定在某一时刻电流流向导体与绝缘体的交界面 ， 电流线将终止于该交界面而形成电荷在该面上的堆 电流线将终止于该交界面而形成电荷在该面上的堆 r r 积， 电荷产生的场强 E 及形成的电流密度 j 均会随时 间变化，造成电流的不稳定。 间变化，造成电流的不稳定。
r dI r r J ≡ r dI = J ⋅ dS = JdS cosθ dS ⊥
单位：安培／ 单位：安培／米2。
P
r dS
θ
5
r j
r 导体中各点 j 有不同的数值和方 这就构成一个矢量场， 向，这就构成一个矢量场，即电 流场。电流场可用电流线来描绘。 流场。电流场可用电流线来描绘。 电流线是这样一簇曲线， 电流线是这样一簇曲线，其上每 点的切线方向都和该点的电流密 度矢量方向一致。 度矢量方向一致。
r 实验表明， 实验表明，导体中的场强 E 与电流 r 方向处处一致， 密度 j 方向处处一致，场强的方向
也是沿电流管的， 也是沿电流管的，从而
∆I = ∆U / R = J∆S
∆l r E
∆S
r J
∆U = E∆l
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电流管部分导体的电阻为
R=
ρ∆ l
∆S
∆l r E
r j ∆S
ρ 为导体的电阻率，单位 Ω ⋅ m 。 导体的电阻率， 1 电阻率的倒数称电导率 γ = ρ
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记
ρdl
R 便是 S1 、 S 2 间的电阻。 间的电阻。
于是得 或者
ϕ1 − ϕ 2 = IR
U = IRBiblioteka 一段导体的欧姆 定律r J
r J
同一导体，当它们的电流流向不同时， 同一导体，当它们的电流流向不同时，所呈现的电阻 是不同的。 是不同的。例如图中的圆筒状导体在通有径向电流和 轴向电流时的电阻是不同的。 轴向电流时的电阻是不同的。但导体的电阻率仅由材 料性质有关，与导体的形状及电流的流向无关。 料性质有关，与导体的形状及电流的流向无关。
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例题1 例题 内外半径分别为 内外半径分别 为 r1 和 r2 的两个同心球壳构成一电阻
元件， 的材料后， 元件，当两球壳间填满电阻率为 ρ 的材料后，证明 该电阻器的电阻值为
ρ 1 1 R= − 4π r1 r2
O
证： 如图所示， 取半径 r 厚度 dr 的 如图所示， 薄球壳，其电阻为 薄球壳，其电阻为
第四章
恒定电流和电路
静电场中的导体处于静电平衡时，其内部的场强为零，内部 静电场中的导体处于静电平衡时，其内部的场强为零， 没有电荷作定向的宏观运动。 没有电荷作定向的宏观运动。 v 如果把导体接在电源的两极上， 如果把导体接在电源的两极上， 则导体内任意两点之间将维持恒 定的电势差， 定的电势差，在导体内维持一个 电场， 电场，导体内的电荷在电场力的 作用下作宏观的定向运动，形成 作用下作宏观的定向运动， 电流。 电流。 U
正电荷移动的方向定义为 电流的方向 电流的方向与自由电子移 动的方向是相反的。 动的方向是相反的。
S
I
2
3. 电流强度（简称电流）(electric current ) 定义:单位时间内通过导体任一截面的电量 定义 单位时间内通过导体任一截面的电量. 单位时间内通过导体任一截面的电量
∆q dq I = lim = dt ∆t → 0 ∆ t
a
b
解 1 石墨中流过半径为 r 的一同轴柱面 的电流为
r r I = ∫S J ⋅ dS = ∫S JdS = 2πrLJ
I J= 2πrL
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离轴 r 处的场强值
Iρ 1 E = Jρ = ⋅ 2π L r
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4.3.3 焦耳定律
电流通过一段电路时，电场力对电荷做功，电势能 电流通过一段电路时，电场力对电荷做功， 转化成其他形式的能量。 转化成其他形式的能量。 当电荷q通过电路时，电场力所做的功为 当电荷 通过电路时， 通过电路时 A A = UIt q = It 由 P = = UI t 单位时间内所做的功即电功率 单位瓦特（ ），千瓦（ ）。工程上用千瓦·小时 ），千瓦 ）。工程上用千瓦 单位瓦特（W），千瓦（kw）。工程上用千瓦 小时 作电功的单位。 作电功的单位。 只含电阻的电路，电流所做的功全部转化成热。 只含电阻的电路，电流所做的功全部转化成热。
dr dr dR = ρ = ρ S 4πr 2 该电阻器的电阻为 dr ρ 1 1 r2 R = ∫r ρ − = 2 1 4π r1 r2 4πr
r1 r r2
dr
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例 2
两同轴铜质圆柱形套管， 两同轴铜质圆柱形套管，内圆柱 圆柱形套管
的半径 a ，外圆柱的半径b ，两圆柱间充 的石墨。 以电阻率为 ρ 的石墨。若以内圆柱作为 一电极，外圆筒为另一电极，求石墨的 一电极，外圆筒为另一电极， 电阻。 电阻。
∆S1
∆S 2
r j
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§4-2 直流电路
4.2.1 电路
根据一定的目的，用导线把电源、用电器（ 根据一定的目的，用导线把电源、用电器（又称负 以及可能存在的中间环节（ 如开关） 载 ） 以及可能存在的中间环节 （ 如开关 ） 连接起来 的电流通路叫做电路 电路。 的电流通路叫做电路。
4.2.2 直流电路
1
§4-1 电流 电流密度
一、电流
1、形成电流的条件 、
• 在导体内有可以自由移动的电荷（载流子） 在导体内有可以自由移动的电荷（载流子） 在半导体中是电子或空穴 在金属中是电子 在电解质溶液中是离子 • 在导体内要维持一个电场，或者说在导体两端要存在 在导体内要维持一个电场， 有电势差
2、电流的方向 、
对截面、 材料均匀的导线， 设 对截面、 材料均匀的导线， 其截面积为 S ，电导率γ ，图 中 S1 、 S 2 间的电势差为
S1
r J
S2
l
r J
ϕ1
ϕ2
r r r r ρdl ϕ1 − ϕ 2 = ∫ E ⋅ dl = ∫ ρJ ⋅ dl = ∫ ρJdl = I ∫ S
l R=∫ =ρ S S
（ 1） 直流电路中同一支路的各个截面有相同的电 ） 流I。 （ 2） 流进直流电路任一节点的电流等于从该节点流 ） 出的电流。 称为基尔霍夫第一定律 称为基尔霍夫第一定律） 出的电流。(称为基尔霍夫第一定律）
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§4.3 欧姆定律和焦耳定律
4.3.1 欧姆定律的微分形式
在导体的电流场内取长 ∆l 垂直截面为 ∆S 的一小电流 管，根据欧姆定律有
r I与 J 的关系为 与
r dS
r en θ r j
r r I = ∫∫ J ⋅ dS =
(S)
(S)
∫∫ J cos θdS
r 可见， 的关系， 可见，J 和 I 的关系，就是一个矢量场和它的通量的
关系。 关系。
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三、电流的连续方程 稳恒电流的闭合性条件 电流的连续方程 在导体内取任一闭合曲面 S，根据电荷守恒定律，dt ，根据电荷守恒定律，
r r dq ∫∫ J ⋅ dS = − ( S) dt
电流连续性方程
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电流线终止或发出于电荷发生变化的地方。 电流线终止或发出于电荷发生变化的地方。 稳恒条件 稳恒电流： 是指电流场不随时间变化。 电荷产生的 稳恒电流 ： 是指电流场不随时间变化 。 电场是稳恒电场， 即静电场。 在稳恒条件下， 电场是稳恒电场 ， 即静电场 。 在稳恒条件下 ， 对于 任意闭合曲面S，面内的电量不随时间变化， 任意闭合曲面 ，面内的电量不随时间变化，即 r r dq = 0 也即 ∫∫ J ⋅ dS = 0 dt ( S) r r r en en j θ θr 电流的稳恒条件 j 通过S面一侧流入的电量等于从 通过 面一侧流入的电量等于从 S 另一侧流出的电量。 另一侧流出的电量 。 稳恒电流 的电流线永远是闭合曲线。 的电流线永远是闭合曲线。
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堆 积电荷的 电场将 使电流密 度 的垂直于 界面分 量减小直 至为零， 至为零，电荷的堆积量不再增 加 ， 从而使 电场达 到稳定状 电流达到稳恒状态。 态，电流达到稳恒状态。
S1
S2
ϕ1
ϕ2
由此可知， 恒稳电流的情况下， 由此可知 ， 恒稳电流的情况下 ， 界面附近的电流密 度只有切向分量而无法向分量。 度只有切向分量而无法向分量。
时间里由此面流出的电量等于在这段时间里 S 面内 包含的电量的减少。 面上取向外为法线正方向， 包含的电量的减少。在 S 面上取向外为法线正方向， r r 则在单位时间里由 S 面流出的电量应等于 ∫∫S j ⋅ dS 。 设时间dt 内 S 面内的电量增量为dq ，则在单位时间
dq 里 S 面内的电量减少为 − ，即应有关系 dt
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由一束电流线围成的管状区叫 电流管。 在稳恒条件下， 做 电流管 。 在稳恒条件下 ， 通 过同一电流管各截面的电流强 度都相等。 度都相等。 在稳恒电路中， 在稳恒电路中 ， 在一段没有分支 的电路里， 的电路里 ， 通过各截面的电流强 度必定相等。 度必定相等 。 稳恒电路必须是闭 合的。 合的。
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二、电流密度
1、引入电流密度的必 、引入电流密度的必 要性： 要性：
描述电流分布的物理 电流密度。 量——电流密度。 电流密度
P vdt
r ds r设q>0 θ J r v
2、定义： 、定义： 电流密度矢量的方向为空间某点处正电荷的运动 电流密度矢量的方向为空间某点处正电荷的运动 的方向为空间某点处 方向, 它的大小等于单位时间内该点附近垂直于 方向, 它的大小等于单位时间内该点附近垂直于 r en 电荷运动方向的单位截面上所通过的电量。