2019届高三文科数学一轮单元金卷：第三单元 指数函数、对数函数、幂函数 A卷
高三复习数学(文)_专题3_幂函数、指数函数、对数函数(有答案)
(文)_专题3 幂函数、指数函数、对数函数一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. （河南适应性测试）已知a =0.63.1，b =4.10.6，c =log 0.64.1，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A.a >b >cB.b >a >cC.b >c >aD.a >c >b2. 若a =(2+√3)−1，b =(2−√3)−1，则(a +1)−2+(b +1)−2的值是（ ）A.1B.14C.√22D.233. （武汉4月调研）若实数a ，b 满足a >b >1，m =log a (log a b)，n =(log a b)2，l =log a b 2，则m ，n ，l 的大小关系为（ ）A.m >l >nB.l >n >mC.n >l >mD.l >n >m4. （重庆南开中学二诊）已知f (x )=a sin x +b √x 3+4，若f (lg 3)=3，则f (lg 13)=（ ）A.13B.−13C.5D.85. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080，则下列各数中与M N 最接近的是（ ）（参考数据：lg 3≈0.48） A.1033B.1053C.1073D.10936. （石家庄二中模拟）已知0<b <a <1，c >1，则下列各式中成立的是（ ）A.a b <b aB.c b >c aC.log a c >log b cD.b log c a >a log c b7. （广州综测二）函数f(x)=ln (|x|−1)+x 的大致图象是（ ）A. B.C. D.8. （重庆巴蜀中学下学期一次月考）已知函数y=x a，y=x b，y=log c x和y=log d x 的图象如图所示，记M=c a，N=d b，则M，N的大小关系为（）A.M>NB.M<NC.M=ND.M，N大小关系不确定9. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30）A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年10. （湖北七市（州）教科研协作体联考）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(−∞,0]上单调递增，若实数a满足f(2log3a)>f(−√2)，则a的取值范围是（）A.(−∞,√3)B.(0,√3)C.(√3,+∞)D.(1,√3)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）=y，则x+y的值等于________．（合肥三次质检）已知2x=3，log243（甘肃二诊）已知幂函数f(x)的图象过点(8,2)，则f(127)=________．（东北三省三校二模）函数f(x)=log3(8x+1)的值域为________．（湖北七市（州）教科研协作体联考）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P（毫克/升）与时间t（小时）的关系为P＝P0e−kt．如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时．三、解答题（本大题共3小题，共30分）已知函数f(x)=2x −x m，且f(4)=−72．求m的值；判断f(x)在(0,+∞)上的单调性，并给予证明．（合肥一中一次段考）已知函数f(x)=lg1−x1+x．求f(x)的定义域，并判断其单调性；解关于x的不等式f(2x−1)<0．已知函数f(x)=2x−2−x．判断f(x)的奇偶性；证明函数y=f(x)在R上为增函数；若当x∈(−1,1)时，有f(1−m)+f(1−m2)<0，求m的取值范围．参考答案与试题解析(文)_专题3 幂函数、指数函数、对数函数一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.【答案】B【考点】对数函数的图象与性质对数值大小的比较【解析】此题暂无解析【解答】因为a=0.63.1∈(0,1)，b=4.10.6>1，c=log0.64.1<0，所以b>a>c，故选B．本题考查指数式、对数式的大小比较．2.【答案】D【考点】有理数指数幂的化简求值【解析】此题暂无解析【解答】a=2−√3，b=2+√3，所以(a+1)−2+(b+1)−2=(3−√3)−2+(3+√3)−2=1 36[(3+√3)2+(3−√3)2]=136×24=23，故选D．3.【答案】B【考点】对数函数的图象与性质【解析】此题暂无解析【解答】由题可知0=loga 1<logab<logaa=1，从而0<(logab)2<2logab=logab2，所以n<l，又因为m=loga (logab)<0，所以m<n<l，故选B．本题考查对数函数及不等式的性质．比较大小时常利用函数的单调性及不等式．4.【答案】C【考点】对数的运算性质函数的求值【解析】此题暂无解析【解答】设g (x )=a sin x +b √x 3，∵ g(−x)=a sin (−x)+b √−x 3=−(a sin x +b √x 3)=−g(x)，∴ 函数g(x)为奇函数，则f (x )=g (x )+4，又∵ f (lg 3)=g (lg 3)+4=3，∴ g (lg 3)=−1，∴ f (lg 13)=g (lg 13)+4=−g (lg 3)+4=−(−1)+4=5，故选C ． 本题考查函数的奇偶性、对数的运算．5.【答案】D【考点】对数的运算性质【解析】此题暂无解析【解答】由M ≈3361得lg M ≈361×lg 3≈361×0.48=173.28，由N ≈1080得lg N ≈80，所以lg M N =lg M −lg N ≈173.28−80=93.28，所以M N ≈1093.28≈1093，故选D ．本题考查指对数函数的计算．本题首先要读懂题意，搞清其本质就是利用对数来比较两个数的大小，然后根据相关计算公式直接计算即可．6.【答案】D【考点】对数值大小的比较对数的运算性质【解析】此题暂无解析【解答】由于0<b <a <1，c >1，根据指数函数与幂函数的图象与性质有a b >a a >b a ，故选项A 错误；根据指数函数的图象与性质有c b <c a ，故选项B 错误；根据对数函数的图象与性质有log a c <log b c ，故选项C 错误；因为a b >b a ，c >1，则log c a b >log c b a ，即b log c a >a log c b ，故选D ．本题考查指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质．熟练掌握基本初等函数中的指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质是解决本题的关键．7.【答案】A【考点】函数的图象与图象的变换【解析】此题暂无解析【解答】函数f (x )=ln (|x|−1)+x ，当x >1时，f (x )=ln (x −1)+x ，易知函数f(x)在(1,+∞)上单调递增，观察各选项只有A 选项符合题意，故选A ．本题考查函数的图象．排除法是解答此类图象问题的常用方法．8.【答案】A【考点】函数的图象与图象变化【解析】此题暂无解析【解答】由图象可知b<a<0，d>c>1，因为y=x a在(0,+∞)上为减函数，所以c a>d a．又y=d x，在R上为增函数，所以d a>d b，所以c a>d b，即M>N，故选A．本题考查幂函数与对数函数的图象、幂函数与指数函数的单调性．本题解答的关键是要根据图象确定出a与b，c与d的大小关系．9.【答案】B【考点】函数模型的选择与应用【解析】此题暂无解析【解答】根据题目条件，从2015年开始，每年投入的研发资金为y=130(1+12%)x−2015，则由130×1.12x−2015>200，两边取常用对数得lg130+(x−2015)⋅(lg1.12)>lg200，整理得x>2018.8，即从2019年开始该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，故选B．本题考查指数和对数函数的计算，先根据题目要求列出函数式，再计算即可．本题直接根据指数函数的性质列式计算，最后计算时直接计算无法得出，要考虑使用对数来帮忙解决．10.【答案】B【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】此题暂无解析【解答】因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在(−∞,0]上单调递增，所以f(x)在[0,+∞)上单调⇒递减，不等式f(2log3x)>f(−√2)⇔f(2log3x)>f(√2)⇔2log3x<√2⇔log3x<120<x<√3，故选B．本题考查函数的性质．【方法归纳】偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【答案】2【考点】对数的运算性质指数式与对数式的互化【解析】此题暂无解析【解答】由2x =3可得x =log 23，那么x +y =log 23+log 243=log 2(3×43)=log 24=2． 本题考查指数式与对数式的转化与运算．【归纳总结】熟练掌握指数式与对数式之间的转化是解决涉及此类代数运算问题的关键．【答案】13【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】此题暂无解析【解答】设f (x )=x α，则由2=8α，得α=13，所以f (x )=x 13，所以f (127)=(127)13=13． 本题考查幂函数的解析式．求得幂函数的解析式是解答本题的关键．【答案】(0,+∞)【考点】对数函数的图象与性质函数的值域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】因为8x +1>1，所以f (x )=log 3(8x +1)>0，所以函数f (x )的值域是(0,+∞)． 本题考查对数函数的值域．利用对数函数的单调性求值域是解答本题的关键．【答案】10【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】此题暂无解析【解答】由题意可得0.9P 0=P 0e−5k ，则k =−15ln 0.9，则P =P 0e t 5ln 0.9．当P =0.81P 0时，0.81P 0=P 0e t 5ln 0.9，t =5ln 0.81ln 0.9=10． 本题考查指数函数在实际问题中的应用．正确将实际问题转化为数学问题是本题求解的关键．三、解答题（本大题共3小题，共30分）【答案】1f (x )=2x −x 在(0,+∞)上单调递减，证明如下： 任取0<x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(2x 1−x 1)−(2x 2−x 2) =(x 2−x 1)(2x 1x 2+1)．因为0<x 1<x 2，所以x 2−x 1>0，2x 1x 2+1>0，所以f (x 1)−f (x 2)>0，所以f (x 1)>f (x 2)， 即f (x )=2x −x 在(0,+∞)上单调递减．【考点】利用导数研究函数的单调性函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】解：因为f (4)=−72，所以24−4m =−72，所以m =1．略【答案】f (x )定义域为{x|−1<x <1}；在(−1,1)上是减函数． 12<x <1 【考点】对数函数的图象与性质奇偶性与单调性的综合【解析】此题暂无解析【解答】解：由函数f (x )=lg 1−x 1+x 有1−x 1+x >0，即(1−x )(1+x )>0，即−1<x <1，故f (x )定义域为{x|−1<x <1}． f (x )=lg 1−x 1+x =lg (−1+21+x )，∵ y =lg x 为增函数，y =−1+21+x 在(−1,1)上是减函数， 故f (x )=lg 1−x 1+x 在(−1,1)上是减函数．∵ f (2x −1)<0，∴ lg 1−(2x−1)1+2x−1<0，∴ lg 1−x x <0，∴ 0<1−x x<1，∴ 0<1x −1<1， ∴ 1<1x <2，∴ 12<x <1．【答案】f (x )为奇函数证明：设x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(2x 1−2−x 1−(2x 2−2−x 2) =(2x 1−12x 1−2x 2+12x 2) =[(2x 1−2x 2)+2x 1−2x 22x 1⋅2x 2] =(2x 1−2x 2)(2x 1⋅2x 2+12x 1⋅2x 2)．因为x 1<x 2，所以2x 1<2x 2．又2x 1>0，2x 2>0，所以f (x 1)<f (x 2)， 所以f(x)在R 上是增函数．1<m <√2【考点】函数单调性的性质函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】解：原函数的定义域为R ，f (−x )=2−x −2x =−(2x −2−x )=−f (x )， 所以f (x )为奇函数．略由（Ⅰ）可知f (x )为奇函数，又f (1−m )+f (1−m 2)<0，所以f (1−m )<−f (1−m 2)=f (m 2−1)， 又f (x )在(−1,1)上为增函数，所以{1−m <m 2−1，−1<1−m <1，−1<m 2−1<1⇒1<m <√2．。
2019年最新高三题库 届高三文科数学第一轮复习函数统考统阅卷
高三文科数学第一轮复习函数统考统阅卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1．已知函数的图象过点（3，2），则函数的图象关于x 轴的对称图形一定过点 A. （2，-2）B. （2，2）C. （-4，2）D. （4，-2）2．如果奇函数()f x 在区间[](),0a b b a >>上是增函数，且最小值为m ，那么()f x 在区间[],b a --上是A.增函数且最小值为mB.增函数且最大值为m -C.减函数且最小值为mD.减函数且最大值为m -3. 与函数()lg 210.1x y -=的图象相同的函数解析式是A.121()2y x x =->B.121y x =-C.11()212y x x =>-D.121y x =-4．对一切实数x ，不等式1||2++x a x ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是A ．-∞(，－2］B ．［－2，2］C ．［－2，)+∞D ．［0，)+∞5．已知函数)12(+=x f y 是定义在R 上的奇函数，函数)(x g y =的图象与函数)(x f y =的图象关于直线x y =对称，则)()(x g x g -+的值为A ．2B ．0C ．1D ．不能确定6．把函数)(x f y =的图像沿x 轴向右平移2个单位，所得的图像为C ,C 关于x 轴对称的图像为x y 2=的图像，则)(x f y =的函数表达式为A. 22+=x yB. 22+-=x yC. 22--=x y D. )2(log 2+-=x y7. 当01a b <<<时，下列不等式中正确的是A.bba a )1()1(1->- B.(1)(1)aba b +>+ C.2)1()1(b ba a ->- D.(1)(1)aba b ->-8．当[]2,0∈x 时，函数3)1(4)(2--+=x a ax x f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值范围是A.1[,)2-+∞B. [)+∞,0C. [)+∞,1D.2[,)3+∞9．已知(31)4,1()log ,1aa x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是A.(0,1)B.1(0,)3C.1[,1)7D.11[,)7310．如果函数()f x 的图象与函数1()()2xg x =的图象关于直线y x =对称，则2(3)f x x -的单调递减区间是A.3[,)2+∞B.3(,]2-∞C.3[,3)2D.3(0,]2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知偶函数()f x 在[]0,2内单调递减，若()()0.511,(log ),lg 0.54a fb fc f =-==，则,,a b c 之间的大小关系为 。
高三数学一轮复习《指数函数、对数函数和幂函数》练习题(含答案)
高三数学一轮复习《指数函数、对数函数和幂函数》练习题（含答案）一、单选题1．已知0.33a =，0.413b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4log 0.3c =，则（ ）A ．b a c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >>2．设3log 2a =，ln 2b =，125c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）. A ．a b c <<B ．c<a<bC ．b a c <<D ．c b a <<3．已知函数()2222()1m m f x m m x --=--是幂函数，且为偶函数，则实数m =（ ）A ．2或1-B ．1-C ．4D ．24．已知函数33,0()e 1,0x x x f x x --+<⎧=⎨+≥⎩，则不等式()(31)<-f a f a 的解集为（ ）A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭5．已知函数()241,012,02x x x x f x x ⎧+-≤⎪=⎨⎛⎫->⎪ ⎪⎝⎭⎩，若方程()()2230f x af x ++=⎡⎤⎣⎦有5个不同的实数解，则实数a 的取值范围为（ ） A．(,-∞B ．714,45⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．)2D ．7,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．若3log 2a =，53b =，7log 4c =，则a ，b ，c 的大小关系（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a <<D ．b<c<a7．设0.74a =，0.814b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.70.8c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b<c<aB ．c<a<bC ．a b c <<D ．c b a <<8．“1n =”是“幂函数()()22333nnf x n n x-=-+⋅在()0,∞+上是减函数”的一个（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要9．已知函数(),0()23,0x a x f x a x a x ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩，满足对任意x 1≠x 2，都有()()1212f x f x x x -<-0成立，则a 的取值范围是（ ） A ．a ∈(0,1)B ．a ∈[34,1)C ．a ∈(0,13]D ．a ∈[34,2)10．已知函数()f x 的图像如图所示，则该函数的解析式为（ ）A ．3()e ex x x f x -=+B ．3e e ()x xf x x -+=C ．2()e e x x x f x -=-D ．3e e ()x xf x x --=11．若lg 2lg5a =⋅，ln 22b =，ln 33c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b<c<aC ．b a c <<D ．a c b <<12．为践行"绿水青山就是金山银山”的发展理念，全国各地对生态环境的保护意识持续增强，某化工企业在生产中产生的废气需要通过过滤使废气中的污染物含量减少到不高于最初的20%才达到排放标准．已知在过滤过程中，废气中污染物含量y （单位：mg/L ，）与时间t （单位：h ）的关系式为0e kty y -=（0y ，k 为正常数，0y 表示污染物的初始含量），实验发现废气经过5h 的过滤，其中的污染物被消除了40%．则该企业生产中产生的废气要达标排放需要经过的过滤时间至少约为（ ）（结果四舍五入保留整数，参考数据ln 3 1.1,ln 5 1.6≈≈） A ．12h B ．16h C ．26h D ．33h二、填空题13．已知幂函数()233my m m x =--在()0,∞+上单调递增，则m ＝______．14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =________. ①定义域为R ；②值域为(,1)-∞；③对任意12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，均有()()12120f x f x x x ->-.15．已知函数()()212log 1,1,3,1,x x x f x x -⎧+-<=⎨≥⎩则()()31log 12f f -+=______.16．若函数2()2535xm y m m ⎛⎫- ⎝=+⎪⎭-是指数函数，且为指数增长型函数模型，则实数m =________.三、解答题17．已知函数1()x xf x a a =-（0a >且1a ≠）. (1)判断函数()f x 的奇偶性，并证明；(2)若()10f >，不等式2()(4)0f x bx f x ++->在x R ∈上恒成立，求实数b 的取值范围；(3)若()312f =且221()2()xxh x a mf x a =+-在[)1,x ∞∈+上最小值为2-，求m 的值.18．已知函数4()12x f x a a=-+（0a >且1a ≠）为定义在R 上的奇函数.(1)利用单调性的定义证明函数()f x 在R 上单调递增；(2)求不等式()22(4)0f x x f x ++->的解集.(3)若函数()()1g x kf x =-有零点，求实数k 的取值范围.19．已知函数()()()22log 2log 2f x x x =+--． (1)求函数()f x 的定义域，并判断函数()f x 的奇偶性； (2)解关于x 的不等式()()2log 1f x x ≥-．20．已知函数()xf x a =（0a >且1a ≠）的图象经过点12⎛- ⎝⎭.(1)求a 的值；(2)设()()()F x f x f x =--， ①求不等式()83F x <的解集； ②若()23xF x k ≥-恒成立，求实数k 的取值范围.21．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数．．．，当0x ≥时，()()R 3xf x a a =+∈． (1)求函数()f x 在R 上的解析式；(2)若R x ∀∈，()()240f x x f mx -+->恒成立，求实数m 的取值范围．22．已知函数()()24f x x x a x =-+∈R .(1)若(1,3)x ∈时，不等式2log ()1f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若关于x 的方程(21)(2)|21|80x x f a +++-+=有三个不同的实数解，求实数a 的取值范围.23．已知函数2()21x x af x -=+为定义在R 上的奇函数.（1）求a 的值；（2）判断函数()f x 的单调性，并用单调性定义证明；（3）若关于x 的不等式(())()0f f x f t +<有解，求t 的取值范围。
2019年高三理科数学一轮单元卷：第三单元 指数函数、对数函数、幂函数 A卷含解析
一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ） 第三单元 指数函数、对数函数、幂函数注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列判断正确的是（ ） A ． 1.521.6 1.6>B ．0.20.30.50.5>C ．0.3 3.11.60.5<D ．23log 0.5log 2>2．幂函数()y f x =的图象经过点(，则()f x 的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．3．当01a <<时，在同一坐标系中，函数log x a y a y x -==与的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知01a <<，则2a ，2a ，2log a 的大小关系为（ ） A ．222log a a a >> B ．22log 2a a a >> C ．222log a a a >>D ．222log a a a >>5．函数()()212log 23f x xx =--的单调递减区间是（ ）A ．()1-∞，B ．()1-∞-，C ．()3+∞，D ．()1+∞，6．已知122．a =，0812．b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，62log 2c =则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．a c b <<7．关于x 的方程1204xa ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭有解，则a 的取值范围是（ ）A ．01a ≤<B ．12a ≤<C ．1a ≥D ．2a >8．已知函数()()2log 41x x a f x a a =-+，且01a <<，则使()0f x <的x 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞B ．()0,+∞C ．()2log 2,a +∞D ．(),2log 2a -∞9．函数()2ln 2f x x x =-+与()4g x x =，两函数图象所有交点的横坐标之和为（ ） A ．0B ．2C ．4D ．810．若不等式()2log 210a ax x -+>（0a >，且1a ≠）在[]1,2x ∈上恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,2B ．()2,+∞C ．()()0,12,+∞D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭11．已知函数()f x 为偶函数，当0x >时，()4x f x -=，设()3log 0.2a f =，()0.23b f -=，()1.13c f =-，则（ ）A ． c a b >>B ． a b c >>C ． c b a >>D ． b a c >>12．设函数()21,25,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数a ，b ，c 满足()()()f a f b f c ==，则222a b c ++的取值范围是（ ）A ．()16,32B ．()18,34C ．()17,35D ．()6,7二、填空题13．已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________． 14．ln133log 18log 2e -+=__________．15．函数()20152017x f x a -=+（0a >且1a ≠）所过的定点坐标为__________．16．已知函数()f x =()123,1ln ,1a x a x x x ⎧⎪⎨+<≥⎪⎩-，的值域为R ，那么a 的取值范围是________． 三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．(10分）计算题（1（218．(12分）已知函数()31log 1xf x x+=-． （1）求函数的定义域． （2）判断()f x 的奇偶性．（3）判断()f x 的单调性（只写出结论即可），并求当1425x -≤≤时，函数()f x 的值域．19．(12分）已知函数()xf x a =（0a >且1a ≠）的图象经过点12,9⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）比较()2f 与()22f b +的大小；（2）求函数()22xxg x a-=，()0x ≥的值域．20．(12分）已知函数()xf x b a =⋅(其中a ，b 为常量且0a >且1a ≠）的图象经过点()1,8A ，()3,32B ．（1）试求a ，b 的值；（2）若不等式110x xm a b ⎛⎫⎛⎫+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(],1x ∈-∞时恒成立，求实数m 的取值范围．21．(12分）已知函数()3axf x a-=（0a >且1a ≠）．（1）当2a =时，()4f x <，求x 的取值范围；（2）若()f x 在[]0,1上的最小值大于1，求a 的取值范围．22．(12分）已知函数()x f x b a =⋅（其中a ，b 为常量，且0a >，1a ≠的图象经过点()1,2A ，()3,8B ． （1）求a ，b 的值．（2）当2x ≤-时，函数11xy a b⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像恒在函数4y x m =+图像的上方，求实数m 的取值范围．（）定义在[],p q 上的一个函数()m x ，如果存在一个常数0M >，使得式子()()11nii i m x m xM-=-≤∑对一切大于1的自然数n 都成立，则称函数()m x 为“[],p q 上的H 函数”（其中，011)i n P x x x x x q -=<<<<<<=．试判断函数()f x 是否为“[]1,3-上的H 函数”．若是，则求出M 的最小值；若不是，则请说明理由．（注：()()()()121nin i k x k x k x k x ==+++∑）．一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（A ） 第三单元 指数函数、对数函数、幂函数一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】B【解析】 1.6x y =是单调递增函数，1.52<，所以 1.521.6 1.6<，A 不正确；0.5x y =是单调递减函数，0.20.3<，所以0.20.30.50.5>，B 正确；0.301.6 1.61>=，而 3.100.51<<，所以0.3 3.11.60.5>，C 不正确；2log 0.50<，30log 21<<，所以23log 0.5log 2<，D 不正确，故选B ． 2．【答案】D【解析】设函数()f x x α=，8α=12α=，所以()12f x x ==D ．3．【答案】A【解析】∵函数xy a -=与可化为函数1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，底数11a >，其为增函数，又log a y x =，当01a <<时是减函数，两个函数是一增一减，前增后减，故选A ． 4．【答案】C【解析】由已知，根据幂函数、指数函数、对数函数的单调性，可得201a <<，122a <<，2log 0a <，由此可得22log 2a a a <<，故正确答案为C ． 5．【答案】C【解析】要使函数有意义，则2230x x -->，解得1x <-或3x >，设223t x x =--，则函数在(]1-∞，上单调递减，在[)1+∞，上单调递增． 因为函数0.5log t 在定义域上为减函数，所以由复合函数的单调性性质可知，则此函数的单调递减区间是()3+∞，．故选C ． 6．【答案】B【解析】根据指数函数与对数函数的图象与性质可得：08081211222．．．b a -⎛⎫<==<= ⎪⎝⎭，而662log 2log 41c ==<，所以c b a <<，故选B ． 7．【答案】B【解析】1204x a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭有解等价于124x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有解，由于0x ≥，所以1014x⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，由此11224x⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭,可得关于x 的方程1204xa ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭有解，则a 的取值范围是12a ≤<，故选B ．8．【答案】D【解析】由于01a <<，且()0f x <，所以2411x x a a -+>，()2440x x x x a a a a -=->，即4x a >，log 42log 2a a x <=，故选D ．9．【答案】C【解析】由2ln 24x x x -+=，得2ln 24x x x -=-+，画出ln 2y x =-，24y x x =-+，两个函数图像如下图所示，由图可知，两个函数图像都关于直线2x =对称，故交点横坐标之和为．故选C ．10．【答案】B【解析】满足题意时，二次函数()2210f x ax x =-+>恒成立，结合0a >有：()22410a ∆=--⨯<，求解不等式有：1a >， 则二次函数的对称轴：()210,12a a--=∈，函数()f x 的最小值为()11f a =-， 结合对数函数的性质可得不等式：()log 10a a ->，11a ∴->，2a >， 即a 的取值范围是()2,+∞．本题选择B 选项． 11．【答案】A 【解析】y x =在定义域内为增函数，4x y -=-在R 上为减函数，()f x ∴在()0,+∞上为增函数，函数()f x 为偶函数，且()()33log 0.2log 0.2a f f ==-，3log 0.21<-，33log 0.21>->，()0.23b f -=，0.2103-<<，()()1.1 1.133c f f =-=， 1.133>， 故 1.10.233log 0.23->->，由单调性可得()()()1.10.233log 0.23f f b f -->>=，c a b ∴>>，故选A ．12．【答案】B【解析】画出函数()f x 的图象如图所示．不妨令a b c <<，则1221ab-=-，则222ab+=．结合图象可得45c <<，故16232c <<，∴1822234a b c <++<．故选B ．二、填空题 13．【答案】-7【解析】根据题意有()()23log 91f a =+=，可得92a +=，所以7a =-，故答案是7-． 14．【答案】3【解析】ln1333318log 18log 2e log 1log 912132-+=+=+=+=，故答案为3． 15．【答案】()2015,2018【解析】当2015x =时，()2015201502015201720172018﹣f a a =+=+=，∴()20152017﹣x f x a =+（0a >且1a ≠）过定点()2015,2018A ．故答案为()2015,2018．16．【答案】11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】由题意得当1x ≥时，ln 0x ≥， 要使函数()f x 的值域为R ，则需满足120123ln1a a a ->-+≥⎧⎨⎩，解得112a -≤<．所以实数的取值范围为11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，故答案为11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）5；（2）3．322231log 3lg5lg212=++++332lg52lg222=+++ ()32lg5lg2=++32lg10=+321=+⨯ 5=．()()222lg52lg2lg52lg5lg2lg2=+++⨯+()()22lg 5lg 2lg 5lg 2=+++ ()22lg10lg10=+21=+3=．18．【答案】（1）{}|11x x -<<；（2）奇函数；（3）增函数，[]1,2-． 【解析】（1）由()()10110111xx x x x+>⇔+->⇔-<<-， ∴此函数定义域为{}|11x x -<<．（2()f x 为奇函数．（3()f x 在定义域内为增函数． ∵()f x 在区间14,25⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，∴函数的值域为14,25f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即[]1,2-为所求．19．【答案】（1）()()222f f b ≥+；（2）(]0,3．【解析】（1）由已知得219a =，∴13a =， ∵()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，222b ≤+，∴()()222f f b ≥+．（2）∵0x ≥，∴221x x -≥-，∴22133x x-⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()g x 的值域为(]0,3．20．【答案】（1）2a =，4b =；（2）34m ≤． 【解析】（1）由已知可得8b a ⋅=且323242b a a a ⋅=⇒=⇒=且4b =．（2）解：由（1）可得1124xxm ⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(],1x ∈-∞令1124xxu ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(],1x ∈-∞，只需min m u ≤，易得1124x xu ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(],1x ∈-∞，在(],1-∞为单调减函数，min 34u ∴=，34m ∴≤．21．【答案】（1）12x >；（2）13a <<． 【解析】（1）当2a =时，()322242xf x -=<=，322x -<，得12x >． （2）令3y ax =-，则3y ax =-在定义域内单调递减，当1a >时，函数()f x 在[]0,1上单调递减，()()30min 11a f x f a a -==>=，得13a <<．当01a <<时，函数()f x 在[]0,1上单调递增，()()3min 01f x f a ==>，不成立．综上13a <<．22．【答案】（1）2a =，1b =；（2）13m <；（3）152． 【解析】（1）代入点()1,2A ，()3,8B ，得328b a b a ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩下式除上式得24a =，11 ∵0a >，∴2a =，1b =，()2x f x =．（2）函数11xy a b⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像恒在函数4y x m =+图像的上方， 代入2a =，1b =得函数112x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像恒在函数4y x m =+图像的上方，设()1142x g x x m ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭， ∵12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(],2-∞上单调递减，4y x =-在(],2-∞-上单调递减， ∴()g x 在(],2-∞-上为单调递减函数， ∴()()min 213g x g m =-=-，要使()g x 在x 轴上方恒成立，即130m ->恒成立，即13m <．（3）∵()2x f x =在[]1,3-上单调递增， ∴()()()()()()()()1102111|(|n ii n n i f x f x f x f x f x f x f x f x =-=-=-+-++-∑ ()()()()()()10211n n f x f x f x f x f x f x -=-+-++- ()()()()()()10211n n f x f x f x f x f x f x -=-+-++-()()0n f x f x =-+()()31f f =--3122-=- 152=． ∴M 的最小值为152．。
(必考题)高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试题(含答案解析)
一、选择题1．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．211x y x -=-与1y x =+B ．y x =与log xa y a =（0a >且1a ≠）C ．21y x =-与1y x =-D ．lg y x =与21lg 2y x =2．函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的大致图象是（ ）. A ． B ．C ．D ．3．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学学习中和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，页常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数()22xy xx R =-∈的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知函数()()3,<1log ,1a a x a x f x x x ⎧--=⎨≥⎩的值域．．是R ，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．()1,+∞C ．()()0,11,3D ．3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭5．已知函数22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的值域为R ．则实数a 的取值范围是（ ） A ．5[1,]3B ．5(1,]3C ．(]5,1(,)3-∞-⋃+∞D ．()5,1[1,)3-∞-6．已知：23log 2a =，42log 3b =，232c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<7．函数()212()log 4f x x =-的单调递增区间为（ ）. A ．(0,+∞)B ．(-,0)C ．(2,+∞)D ．(-,-2)8．已知函数()f x 是定义在R 上的单调递增的函数，且满足对任意的实数x 都有[()3]4x f f x -=，则()()f x f x +-的最小值等于（ ）.A ．2B ．4C ．8D ．129．函数1()1x f x a +=-恒过定点（ ）A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,0)-D ．(1,1)--10．如图是指数函数①y =x a ；②y =x b ；③y =c x ；④y =d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是（ ）A ．a <b <1<c <dB ．b <a <1<d <cC ．1<a <b <c <dD ．a <b <1<d <c11．函数2()ln(43)f x x x =+-的单调递减区间是（ ）A ．32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，B ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦12．已知函数()2,01,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若()()10f a f +=，则实数a 的值等于（ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．3二、填空题13．下列命题中所有正确的序号是_____________.①函数1()3x f x a -=+(0a >且1)a ≠的图像一定过定点(1,4)P ； ②函数(1)f x -的定义域是(1,3)，则函数()f x 的定义域为(2,4)； ③若1log 12a>，则a 的取值范围是112⎛⎫⎪⎝⎭，； ④若22ln ln()x y x y -->-- (0x >,0y <)，则0x y +<.14．函数()log 31a y x =+-.（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上（其中m ，0n >），则12m n+的最小值等于__________. 15．设函数2()ln(1)f x x x =+，若()23(21)0f a f a +-<，则实数a 的取值范围为_____.16．函数()()cos1log sin f x x =的单调递增区间是____________. 17．函数()()212log 56f x x x =-+的单调递增区．．．间是__________． 18．已知奇函数()()y f x x R =∈满足：对一切x ∈R ，()()11f x f x +=-且[]0,1x ∈时，()1xf x e =-，则()2019f f =⎡⎤⎣⎦__________.19．设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()2f x ≤的x 的取值范围是_______________.20．如果()231log 2log 9log 64x x x f x =-+-，则使()0f x <的x 的取值范围是______.三、解答题21．已知函数()log (1)log (1)a a f x x x =+--，（0a >且1a ≠） （1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性，并予以证明； （3）求使()0f x >的x 取值范围. 22．已知函数122()log 2xf x x-=+． （1）求函数()f x 的定义域，并判断其奇偶性；（2）判断()f x 在其定义域上的单调性，并用单调性定义证明． 23．已知函数()421()x x f x a a R =-+⋅-∈. （1）当1a =时，求()f x 的值域； （2）若()f x 在区间[]1,0-的最大值为14-，求实数a 的值. 24．已知函数35()log 5xf x x-=+． （1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 奇偶性，并证明你的结论.25．已知集合(){}2log 33A x x =+≤，{}213B x m x m =-<≤+. （1）若2m =-，求AB ；（2）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围.26．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x 时，()121xaf x =++. （1）求实数a 的值及()f x 的解析式； （2）求方程4|(1)|5f x -=的解.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】分析各个选项中每组函数的定义域和对应关系，若定义域和对应关系均相同则为同一个函数，由此判断出正确选项. 【详解】A ．211x y x -=-的定义域为{}1x x ≠，1y x =+的定义域为R ，所以不是同一个函数；B ．y x =与log xa y a =的定义域均为R ，且log xa y a =即为y x =，所以是同一个函数； C．y =(][),11,-∞-+∞，1y x =-的定义域为R ，所以不是同一个函数；D ．lg y x =的定义域为()0,∞+，21lg 2y x =的定义域为{}0x x ≠，所以不是同一个函数， 故选：B. 【点睛】思路点睛：同一函数的判断步骤：（1）先判断函数定义域，若定义域不相同，则不是同一函数；若定义域相同，再判断对应关系；（2）若对应关系不相同，则不是同一函数；若对应关系相同，则是同一函数.2．A解析：A 【分析】去绝对值符号后根据指数函数的图象与性质判断． 【详解】由函数解析式可得：1,022,0xx x y x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪<⎩可得值域为：01y <≤，由指数函数的性质知：在(),0-∞上单调递增；在()0,∞+上单调递减. 故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.3．A解析：A 【分析】分析函数()()22xf x xx R =-∈的奇偶性，结合()01f =可得出合适的选项.【详解】令()22=-xf x x ，该函数的定义域为R ，()()()2222xxf x x x f x --=--=-=，函数()22=-xf x x 为偶函数，排除B 、D 选项；又()010f =>，排除C 选项. 故选：A. 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）从函数的特征点，排除不合要求的图象.4．A解析：A 【分析】当0＜a ＜1时，当1≥x 时，log 0a y x =≤，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0,+∞，，当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，,从而可得答案. 【详解】由题意，()f x 的值域为R ，当0＜a ＜1时，当1≥x 时，log 0a y x =≤，所以当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0,+∞，当1x <时，()3y a x a =--单调递增，()332y a x a a =--<- 所以不满足()f x 的值域为R .当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，， 所以当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，, 若3a =时，当1x <时，3y a =-=-，不满足()f x 的值域为R .若3a >时，当1x <时，()3y a x a =--单调递减，()332y a x a a =-->- 所以不满足()f x 的值域为R .若13a <<时，当1x <时，()3y a x a =--单调递增，()332y a x a a =--<- 要使得()f x 的值域为R ，则320a -≥，即32a ≤ 所以满足条件的a 的取值范围是：312a <≤， 故选：A ．【点睛】关键点睛：本题考查根据函数的值域求参数的范围，解答本题的关键是当0＜a ＜1时，当1≥x 时，log 0a y x =≤，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0,+∞，，当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，，属于中档题. 5．A解析：A 【分析】当函数的值域为R 时，命题等价于函数()()22111y a x a x =-+++的值域必须包含区间()0+∞，得解 【详解】22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的值域为R令()()22111y a x a x =-+++，则()()22111y a x a x =-+++的值域必须包含区间()0+∞，当210a -=时，则1a =± 当1a =时，21y x =+符合题意； 当1a =-时，1y =不符合题意；当1a ≠±时，()()222101410a a a ⎧->⎪⎨∆=+--≥⎪⎩，解得513a <≤ 513a ∴≤≤，即实数a 的取值范围是5[1,]3故选：A 【点睛】转化命题的等价命题是解题关键.6．A解析：A 【分析】由换底公式和对数函数的性质可得112b a <<<，再由指数函数的性质可得102c <<，即可得解. 【详解】23ln3ln12log =02ln 2ln 2a ==>，4212ln ln 2ln1323log =03ln 4ln 2ln 2b ====<， a b ∴>22223231log log 410,239222a c -⎛⎫⎛⎫<===< ⎪ ⎪⎭=⎝>⎭=⎝，b c a ∴<<， 故选：A 【点睛】方法点睛：本题考查了对数式、指数式的大小比较，比较大小的常用方法为同底的对数式和指数式利用其单调性进行比较，也可以借助于中间值0和1进行比较，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于常考题.7．D解析：D 【分析】求出函数的定义域，根据对数型复合函数的单调性可得结果. 【详解】函数()212()log 4f x x =-的定义域为()(),22,-∞-+∞，因为函数()f x 是由12log y u =和24u x =-复合而成，而12log y u =在定义域内单调递减，24u x =-在(),2-∞-内单调递减，所以函数()212()log 4f x x =-的单调递增区间为(),2-∞-， 故选：D. 【点睛】易错点点睛：对于对数型复合函数务必注意函数的定义域.8．B解析：B 【分析】根据()3x f x -为定值，可假设()3xf x m =+，然后计算()()f x f x +-，并计算m 的值，然后使用基本不等式，可得结果. 【详解】由题可知：()3xf x -为定值故设()3xf x m -=，即()3xf x m =+又[()3]4xf f x -=，所以()341mf m m m =+=⇒= 则()31xf x =+()()3131x x f x f x -+-=+++则1()()32243x x f x f x +-=++≥= 当且仅当133xx =时，取等号 所以()()f x f x +-的最小值为：4故选：B 【点睛】本题考查基本不等式的应用，还考查镶嵌函数的应用，难点在于()3xf x -为定值，审清题意，细心计算，属中档题.9．C解析：C 【分析】根据指数函数性质求定点. 【详解】因为01a =,所以()011f a -=-=0,因此过定点()1,0-,选C.【点睛】本题考查指数函数性质以及定点问题，考查基本分析求解能力，属于基础题.10．B解析：B 【分析】根据指数函数的图象与性质可求解. 【详解】根据函数图象可知函数①y =x a ；②y =x b 为减函数，且1x =时，②y =1b <①y =1a ， 所以1b a <<，根据函数图象可知函数③y =c x ；④y =d x 为增函数，且1x =时，③y =c 1>④y =d 1， 所以1c d >> 故选：B 【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，指数函数的图象，数形结合的思想，属于中档题.11．B解析：B 【分析】先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性同增异减，即可求解. 【详解】由2430x x +->得2340x x --<，解得：14x -<<，2()ln(43)f x x x =+-由ln y t =和234t x x =-++复合而成，ln y t =在定义域内单调递增，234t x x =-++对称轴为32x =，开口向下， 所以 234t x x =-++在31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 单调递增，在3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减， 所以2()ln(43)f x x x =+-的单调减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选：B 【点睛】本题主要考查了利用同增异减求复合函数的单调区间，注意先求定义域，属于中档题12．A解析：A 【分析】先求得()1f 的值，然后根据()f a 的值，求得a 的值. 【详解】由于()1212f =⨯=，所以()()20,2f a f a +==-，22a =-在()0,∞+上无解，由12a +=-解得3a =-，故选A.【点睛】本小题主要考查分段函数求函数值，考查已知分段函数值求自变量，属于基础题.二、填空题13．①③④【分析】由指数函数的图象函数的定义域对数函数的性质判断各命题①令代入判断②利用函数的定义求出的定义域判断③由对数函数的单调性判断④引入新函数由它的单调性判断【详解】①令则即图象过点①正确；②则解析：①③④ 【分析】由指数函数的图象，函数的定义域，对数函数的性质判断各命题．①，令1x =代入判断，②利用函数的定义求出()f x 的定义域判断，③由对数函数的单调性判断，④引入新函数1()ln 2ln 2xxg x x x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由它的单调性判断．【详解】①令1x =，则(1)4f =，即()f x 图象过点(1,4)，①正确； ②13x <<，则012x <-<，∴()f x 的定义域是(0,2)，②错；③1log 1log 2a a a ，∴0112a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩，∴112a <<．③正确；④由22ln ln()x y x y -->-- (0x >,0y <)，得ln 2ln()2x y x y --<--， 又1()ln 2ln 2xx g x x x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭是(0,)+∞上的增函数， ∴由ln 2ln()2x y x y --<--，得x y <-，即0x y +<，④正确． 故答案为：①③④【点睛】关键点点睛：本题考查指数函数的图象，对数函数的单调性，函数的定义域问题，定点问题：（1）指数函数(0x y a a =>且1)a ≠的图象恒过定点(0,1)；（2）对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠的图象恒过定点(1,0)，解题时注意整体思想的应用．14．8【分析】根据函数平移法则求出点得再结合基本不等式即可求解【详解】由题可知恒过定点又点在直线上故当且仅当时取到等号故的最小值等于8故答案为：8【点睛】本题考查函数平移法则的使用基本不等式中1的妙用属 解析：8【分析】根据函数平移法则求出点A ()2,1--，得21m n +=，再结合基本不等式即可求解【详解】由题可知，()log 31a y x =+-恒过定点()2,1--，又点A 在直线 10mx ny ++=上，故21m n +=，()121242448n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当122n m ==时取到等号，故12m n+的最小值等于8 故答案为：8【点睛】本题考查函数平移法则的使用，基本不等式中“1”的妙用，属于中档题15．【分析】根据已知可得为奇函数且在上单调递增不等式化为转化为关于自变量的不等式即可求解【详解】的定义域为是奇函数设为增函数在为增函数在为增函数在处连续的所以在上单调递增化为等价于即所以实数的取值范围为 解析：1(1,)3- 【分析】根据已知可得()f x 为奇函数且在R 上单调递增，不等式化为()23(12)f a f a <-，转化为关于自变量的不等式，即可求解.【详解】()f x 的定义域为R ，()()))ln10f x f x x x +-=+==，()f x ∴是奇函数，设,[0,)()x u x x =∈+∞为增函数，()f x 在[0,)+∞为增函数，()f x 在(,0)-∞为增函数，()f x 在0x =处连续的，所以()f x 在R 上单调递增，()23(21)0f a f a +-<，化为()23(12)f a f a <-，等价于2312a a <-，即213210,13a a a +-<-<<， 所以实数a 的取值范围为1(1,)3-.故答案为: 1(1,)3-【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，熟练掌握函数的性质是解题的关键，属于中档题. 16．【分析】根据对数型复合函数单调性列不等式再根据正弦函数性质得结果【详解】单调递增区间为单调递减区间且所以故答案为：【点睛】本题考查对数型复合函数单调性以及正弦函数性质考查基本分析求解能力属基础题 解析：[2,2),()2k k k Z ππππ++∈ 【分析】根据对数型复合函数单调性列不等式，再根据正弦函数性质得结果.【详解】()()cos1cos1(0,1)log sin f x x ∈∴=单调递增区间为sin y x =单调递减区间且sin 0x >， 所以22,()2k x k k Z ππππ+≤<+∈， 故答案为：[2,2),()2k k k Z ππππ++∈【点睛】 本题考查对数型复合函数单调性以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 17．【分析】求出函数的定义域利用复合函数法可求得函数的单调递增区间【详解】对于函数有解得或所以函数的定义域为内层函数在区间上单调递减在区间上单调递增外层函数为减函数所以函数的单调递增区间为故答案为：【点 解析：(),2-∞【分析】求出函数()f x 的定义域，利用复合函数法可求得函数()()212log 56f x x x =-+的单调递增区间.【详解】对于函数()()212log 56f x x x =-+，有2560x x -+>，解得2x <或3x >. 所以，函数()()212log 56f x x x =-+的定义域为()(),23,-∞+∞，内层函数256u x x =-+在区间(),2-∞上单调递减，在区间()3,+∞上单调递增， 外层函数12log y u =为减函数，所以，函数()f x 的单调递增区间为(),2-∞. 故答案为：(),2-∞.【点睛】复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的单调性规律是“同则增，异则减”，即()y f u =与()u g x =.若具有相同的单调性，则()y f g x ⎡⎤=⎣⎦为增函数，若具有不同的单调性，则()y f g x ⎡⎤=⎣⎦必为减函数．18．【分析】根据题意求得的周期性则可求再结合函数解析式求得函数值即可【详解】由题可知：因为对一切故关于对称；又因为是奇函数则可得故可得故函数是周期为的函数则又当故则故答案为：【点睛】本题考查利用函数周期 解析：31e e --【分析】根据题意，求得()f x 的周期性，则()2019f 可求，再结合函数解析式，求得函数值即可.【详解】由题可知：因为对一切x R ∈，()()11f x f x +=-，故()f x 关于1x =对称；又因为()f x 是奇函数，则可得()()()()()21111f x f x f x f x f x +=++=--=-=-，故可得()()()()4222f x f x f x f x +=++=-+=，故函数()f x 是周期为4的函数.则()()()201911f f f =-=-，又当[]0,1x ∈，()1x f x e =-，故()()201911f f e =-=-， 则()()()()()320191131e f f f e f e f e e -=-=--=--=-.故答案为：31e e --.【点睛】本题考查利用函数周期性求函数值，属综合中档题；难点在于求得函数的周期. 19．【分析】根据分段函数分段解不等式最后求并集【详解】当时因为解得：∴当时解得：所以综上原不等式的解集为故答案为：【点睛】本题主要考查了解分段函数不等式涉及指数与对数运算属于基础题解析：[0,)+∞【分析】根据分段函数，分段解不等式，最后求并集.【详解】当1x ≤时，1()2x f x -=，因为11x -≤，解得：0x ≥，∴01x ≤≤ ，当1x >时，2()1log 2f x x =-≤，2log 1x ≥-，解得：12x ≥，所以1x >， 综上，原不等式的解集为[)0,+∞.故答案为：[)0,+∞.【点睛】 本题主要考查了解分段函数不等式，涉及指数与对数运算，属于基础题.20．【分析】可结合对数化简式将化简为再解对数不等式即可【详解】由由得即当时故；当时无解综上所述故答案为：【点睛】本题考查对数化简公式的应用分类讨论求解对数型不等式属于中档题 解析：81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】可结合对数化简式将()f x 化简为()1log 2log 3log 4x x x f x =-+-，再解对数不等式即可【详解】由()2323231log 2log 9log 641log 2log 3log 4x x x x x x f x =-+-=-+- 31log 2log 3log 41log 8x x x x =-+-=+，由()0f x <得81log 03x -<， 即8log log 3x x x >， 当1x >时，83x <，故81,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；当()0,1x ∈时，83x >，无解 综上所述，81,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 故答案为：81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查对数化简公式的应用，分类讨论求解对数型不等式，属于中档题三、解答题21．（1）{|11}x x -<<；（2）函数()f x 是奇函数，证明见解析；（3）当1a >时，01x <<；当01a <<时，10x -<<【分析】（1）根据对数的真数为正数列式可解得结果；（2）函数()f x 是奇函数，根据奇函数的定义证明即可；（3）不等式化为log (1)log (1)a a x x +>-后，分类讨论底数a ，根据对数函数的单调性可解得结果.【详解】（1）要使函数数()f x 有意义，则必有1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<， 所以函数()f x 的定义域是{|11}x x -<< .（2）函数()f x 是奇函数，证明如下：∵(1,1)x ∈-，(1,1)x -∈-，()log (1)log (1)a a f x x x -=--+[]log (1)log (1)a a x x =-+--()f x =-，∴函数()f x 是奇函数（3）使()0f x >，即log (1)log (1)a a x x +>-当1a >时，有111010x x x x +>-⎧⎪->⎨⎪+>⎩，解得01x <<，当01a <<时，有111010x x x x +<-⎧⎪->⎨⎪+>⎩，解得10x -<<.综上所述：当1a >时，01x <<；当01a <<时，10x -<<.【点睛】方法点睛：已知函数解析式，求函数定义域的方法：有分式时：分母不为0；有根号时：开奇次方，根号下为任意实数，开偶次方，根号下大于或等于0；有指数时：当指数为0时，底数一定不能为0；有根号与分式结合时，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0；有指数函数形式时：底数和指数都含有x ，指数底数大于0且不等于1；有对数函数形式时，自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大0且不等于1.22．（1）定义域为(2,2)-，奇函数（2）函数()f x 在(2,2)-上为增函数，证明见解析【分析】（1）根据真数大于0可得定义域，根据奇函数的定义可得函数为奇函数；（2）设1222x x -<<<，根据对数函数的单调性可得12()()f x f x <，再根据定义可证函数()f x 在(2,2)-上为增函数.【详解】（1）由函数有意义得202x x->+，解得22x -<<， 所以函数的定义域为(2,2)-， 因为1112222()log log ()22x x f x f x x x -+-⎛⎫-===- ⎪-+⎝⎭， 所以函数为奇函数.（2）因为124()log 12f x x ⎛⎫=-+⎪+⎝⎭，所以函数()f x 在(2,2)-上为增函数， 证明：设1222x x -<<<，则120224x x <+<+<，则1244122x x >>++，则124411022x x -+>-+>++， 因为1012<<，所以12()()f x f x <，所以函数()f x 在(2,2)-上为增函数， 【点睛】思路点睛：判断函数的奇偶性的思路：①求出定义域，并判断其是否关于原点对称；②若定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，再判断()f x -与()f x 的关系，若()()f x f x -=-，则函数为奇函数；若()()f x f x -=，则函数为偶函数.23．（1）3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；（2）a =【分析】（1）令()20,xt =∈+∞，可得21y t t =-+-，利用二次函数的性质可求出； （2）令12,12x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，可得21y t at =-+-，讨论对称轴2a t =的取值范围结合二次函数的性质即可求出.【详解】（1）()2()421221x x x x f x a a =-+⋅-=-+⋅-.令()20,xt =∈+∞，21y t at =-+-，1a =时，2213124y t t t ⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝⎭在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. ∴当12t =时，max 34y =-，∴3,4y ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦， 所以()f x 的值域为3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. （2）令12,12x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，22211124a y t at t a ⎛⎫=-+-=---+ ⎪⎝⎭， 其图象的对称轴为2a t =. ①当122a ≤，即1a ≤时，函数y 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 当12t =时，max 1111424y a =-+-=-，解得2a =，与1a ≤矛盾； ②当12a ≥，即2a ≥时，函数y 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 当1t =时，max 1114y a =-+-=-，解得74a =，与2a ≥矛盾， ③当1122a <<，即12a <<时，函数y 在1,22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,12a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.当2a t =时，2max 11144y a =-=-，解得a =，舍去a =综上，a =【点睛】思路点睛：求二次函数在闭区间[],a b 的最值的思路；（1）二次函数开口向上时，求函数的最大值，讨论对称轴和2a b +的大小求解； （2）二次函数开口向上时，求函数的最小值，讨论对称轴在(]()[),,,,,a a b b -∞+∞三个区间的范围求解.24．（1）(5,5)- （2）奇函数，见解析【分析】（1）若()f x 有意义,则需满足505x x->+,进而求解即可； （2）由（1）,先判断定义域是否关于原点对称,再判断()f x -与()f x 的关系即可.【详解】（1）由题,则505x x->+,解得55x -<<,故定义域为()5,5-（2）奇函数,证明:由（1）,()f x 的定义域关于原点对称,因为()()33355log log log 1055x x f x f x x x +--+=+==-+,即()()f x f x -=-, 所以()f x 是奇函数【点睛】本题考查具体函数的定义域,考查函数的奇偶性的证明.25．（1）{}31A B x x ⋂=-<≤；（2）[][)1,24,m ∈-+∞ 【分析】（1）计算{}35A x x =-<≤，{}51B x x =-<≤，再计算交集得到答案.（2）A B A ⋃=，故B A ⊆，讨论B =∅和B ≠∅，计算得到答案.【详解】（1）(){}{}2log 3335A x x x x =+≤=-<≤，{}51B x x =-<≤， 故{}31A B x x ⋂=-<≤.（2）{}35A x x =-<≤，A B A ⋃=，故B A ⊆， 当B =∅时，213m m -≥+，解得4m ≥；当B ≠∅时，4m <，故21335m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得12m -≤≤. 综上所述：[][)1,24,m ∈-+∞.【点睛】本题考查交集运算，根据集合的包含关系求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 26．(1) 2a =-,()2121x x f x -=+;(2) 212log 3x =+或212log 3x =- 【分析】(1)根据奇函数(0)0f =求解a ,再根据奇函数的性质求解()f x 的解析式即可.(2)根据(1)可得()2121x x f x -=+为奇函数,可先求解4|()|5f t =的根,再求解4|(1)|5f x -=即可. 【详解】(1)因为()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时,()121x a f x =++,故0(0)1021a f =+=+,即102a +=,解得2a =-.故当0x ≥时,()22112121x x x f x -=-=++. 所以当0x < 时, ()()211221211221x x x x x x f x f x -----=--=-=-=+++.故()2121x x f x -=+ (2) 先求解4|()|5f t =,此时()214215t t f t -==±+. 当()()214421521215t t t t -=⇒+=-+,即29t =解得22log 92log 3t ==. 因为()2121x x f x -=+为奇函数,故当214215t t -=-+时, 22log 3t =-. 故4|(1)|5f x -=的解为212log 3x -=或212log 3x -=-, 解得212log 3x =+或212log 3x =-【点睛】本题主要考查了根据奇函数求解参数的值以及解析式的方法,同时也考查了根据函数性质求解绝对值方程的问题,属于中档题.。
(压轴题)高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》检测卷(含答案解析)(4)
一、选择题1．设a ，b ，c 为正数，且3a =4b =6c ，则有（ ） A ．111c a b=+ B ．221c a b=+ C ．122c a b=+ D ．212c a b=+ 2．设0.60.6a =， 1.20.6b =，0.61.2c =中，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ． a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<3．若函数()()23log 5f x x ax a =+++，()f x 在区间(),1-∞上是递减函数，则实数a的取值范围为（ ） A ．[]3,2-- B ．[)3,2--C ．(],2-∞-D ．(),2-∞-4．集合{}1002,xx x x R =∈的真子集的个数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．75．已知函数3131()(),()log ,()(0)2xf x xg x x xh x x x x =-=-=->的零点分别为,,a b c ，则,,a b c 的大小顺序为（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．b a c >>6．若函数()()20.3log 54f x x x =+-在区间()1,1a a -+上单调递减，且lg0.3=b ，0.32c =，则A ．b a c <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a <<7．设函数()21xf x =-，c b a <<，且()()()f c f a f b >>，则22a c +与2的大小关系是（ ） A ．222a c +> B ．222a c +≥ C ．222a c +≤D ．222a c +<8．已知函数()sin 2f x x x =-，且()0.3231ln ,log ,223a f b f c f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则以下结论正确的是 A ．c a b >> B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b a c >>9．已知函数()a f x x 满足(2)4f =，则函数()log (1)a g x x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知()lg(10)lg(10)f x x x =++-，则()f x 是（ ） A ．偶函数，且在(0,10)是增函数 B ．奇函数，且在(0,10)是增函数 C ．偶函数，且在(0,10)是减函数D ．奇函数，且在(0,10)是减函数11．函数2()ln(43)f x x x =+-的单调递减区间是（ ） A ．32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，B ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦12．已知函数()y f x =与x y e =互为反函数，函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于x 轴对称，若()1g a =，则实数a 的值为 A ．e -B ．1e-C ．eD ．1e二、填空题13．下列命题中所有正确的序号是_____________.①函数1()3x f x a -=+(0a >且1)a ≠的图像一定过定点(1,4)P ； ②函数(1)f x -的定义域是(1,3)，则函数()f x 的定义域为(2,4)； ③若1log 12a>，则a 的取值范围是112⎛⎫⎪⎝⎭，； ④若22ln ln()x y x y -->-- (0x >,0y <)，则0x y +<. 14．若函数()2log 12a a f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()0,1a a >≠没有最小值，则实数a 的取值范围是______.15．已知函数()212log y x ax a =-+在()3,+∞上是减函数，则a 的取值范围是______. 16．函数()()cos1log sin f x x =的单调递增区间是____________.17．已知函数1(2)1,2(),2x a x x f x a x --+<⎧=⎨≥⎩，在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是_______．18．已知函数2,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥恒成立，则a 的取值范围是________．19．设函数()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使得00(1)()(1)f x f x f +=+，则称0x 为函数()f x 的“可拆点”.若函数22()log 1af x x=+在(0,)+∞上存在“可拆点”，则正实数a 的取值范围为____________.20．设函数()f x 满足()22221x f x ax a =-+-，且()f x 在21222,2a aa --+⎡⎤⎣⎦上的值域为[]1,0-，则实数a 的取值范围为______.三、解答题21．设函数()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠． （1）求函数()f x 的定义域（2）若(1)2f =，求函数()f x 在区间3[0,]2上的最大值． （3）解不等式：log (1)log (3)a a x x +>-．22．已知函数()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，函数()13log g x x =.（1）若函数()22y g mx mx =++的定义域为R ，求实数m 的取值范围；（2）是否存在非负实数,m n ，使得函数()2y g f x ⎡⎤=⎣⎦的定义域为[],m n ，值域为[]2,2m n ，若存在，求出,m n 的值；若不存在，则说明理由；（3）当[]1,1x ∈-时，求函数()()223y f x af x =-+⎡⎤⎣⎦的最小值()h a . 23．设函数()()22()log 4log 2f x x x =⋅的定义域为1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （1）求()y f x =的最大值和最小值，并求出最值时对应的x 值； （2）解不等式()60f x ->.24．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0，且a ≠1. （1）求f (x )的定义域；（2）判断f (x )的奇偶性，并予以证明； （3）当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的取值范围. 25．已知函数()22x x f x k -=+. （1）若()f x 为偶函数，求实数k 的值；（2）若()4f x 在2[log x m ∈，2log (2)](m m +为大于0的常数)上恒成立，求实数k 的最小值.26．分别计算下列数值：（1）1lg3lg94lg81lg 27+-- （2）已知()1401x xx -+=<<，求221122x x x x---+.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】首先根据指对互化求出,,a b c ，再根据换底公式表示111,,a b c，最后根据对数运算法则化简. 【详解】设3a =4b =6c =k ， 则a =log 3k ， b =log 4k ， c =log 6k ，∴311log 3log k a k ==， 同理1log 4k b =，1log 6k c=， 而11log 2,log 3log 22k k k b c ==+， ∴1112c a b =+，即221c a b=+． 故选：B 【点睛】本题考查指对数运算，换底公式，以及对数运算的性质，关键是灵活应用对数运算公式，公式1log log a b b a=是关键. 2．C解析：C 【分析】根据指数函数，幂函数的单调性即可判断． 【详解】因为指数函数0.6x y =是单调减函数，0.6 1.2<，所以0.6 1.20.60.6>，即a b >； 因为幂函数0.6y x =在()0,∞+上是增函数，0.6 1.2<，所以0.60.61.20.6>，即c a >． 综上，b a c <<． 故选：C ． 【点睛】熟练掌握指数函数，幂函数的单调性是解题关键．3．A解析：A 【分析】判断复合函数的单调性，首先要分清楚内外层函数，根据复合函数“同增异减”原则，同时内层函数的值域要满足外层函数的定义域要求即可. 【详解】由题意知，()f x 在区间(),1-∞上是递减函数， 由()()23log 5f x x ax a =+++可知，此复合函数外层函数为：()3log f x x =，在定义域上为增函数， 内层函数为()25h x x ax a =+++，要使()f x 在区间(),1-∞上是递减函数， 根据复合函数“同增异减”原则，内层函数为()h x 在区间(),1-∞上必须是递减函数， 同时须保证最大值()10h ≥，所以()1210a h ⎧-≥⎪⎨⎪≥⎩，解得32a --≤≤. 故选：A. 【点睛】易错点睛：判断复合函数的单调性，根据复合函数“同增异减”原则，同时内层函数的值域要满足外层函数的定义域要求.4．D解析：D 【分析】分析指数函数2x y =与幂函数100y x =的图像增长趋势，当0x <时，有1个交点；当0x >时，有2个交点；即集合{}1002,x x x x R =∈有3个元素，所以真子集个数为3217-=【详解】分析指数函数2x y =与幂函数100y x =的图像增长趋势， 当0x <时，显然有一个交点；当0x >时，当1x =时，110021>；当2x =时，210022<；故()1,2x ∈时，有一个交点；分析数据发现，当x 较小时，100y x =比2x y =增长的快；当x 较大时，2x y =比100y x =增长的快，即2x y =是爆炸式增长，所以还有一个交点.即2x y =与100y x =的图像有三个交点，即集合{}1002,x x x x R =∈有3个元素，所以真子集个数为3217-= 故选：D. 【点睛】结论点睛：本题考查集合的子集个数，集合A 中含有n 个元素，则集合A 的子集有2n 个，真子集有()21n -个，非空真子集有()22n-个.5．B解析：B 【分析】将函数3131()(),()log ,()(0)2x f x x g x x x h x x x x =-=-=->的零点，转化为函数y x=的图象分别与函数3131(),log ,(0)2x y y x y x x ===>的图象交点的横坐标，利用数形结合法求解. 【详解】函数3131()(),()log ,()(0)2xf x xg x x xh x x x x =-=-=->的零点， 即为函数y x =的图象分别与函数3131(),log ,(0)2x y y x y x x ===>的图象交点的横坐标， 如图所示：由图象可得：c a b >>， 故选：B 【点睛】本题主要考查函数的零点以及指数函数，对数函数和幂函数的图象的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.6．A解析：A【分析】求出原函数的定义域，再求出内函数二次函数的增区间，由题意列关于a 的不等式组，求得a 的范围，结合b=1g0.3＜0，c=20.3＞1得答案． 【详解】由5+4x-x 2＞0，可得-1＜x ＜5， 函数t=5+4x-x 2的增区间为（-1，2），要使f(x)＝log 0.3(5+4x−x 2)在区间（a-1，a+1）上单调递减， 则1112a a -≥-⎧⎨+≤⎩，即0≤a≤1．而b=1g0.3＜0，c=20.3＞1， ∴b ＜a ＜c ． 故选A ． 【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．7．D解析：D 【分析】运用分段函数的形式写出()f x 的解析式，作出()21xf x =-的图象，由数形结合可得0c <且0a >，21c <且21a >，且()()0f c f a ->，去掉绝对值，化简即可得到结论．【详解】()21,02112,0x xxx f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩， 作出()21xf x =-的图象如图所示，由图可知，要使c b a <<且()()()f c f a f b >>成立， 则有0c <且0a >， 故必有21c <且21a >，又()()0f c f a ->，即为()12210c a--->，∴222a c +<． 故选：D ． 【点睛】本题考查指数函数单调性的应用，考查用指数函数单调性确定参数的范围，本题借助函数图象来辅助研究，由图象辅助研究函数性质是函数图象的重要作用，以形助数的解题技巧必须掌握，是中档题．8．D解析：D 【解析】因为()cos 20f x x '=-<，所以函数()sin 2f x x x =-的单调递减函数，又因为0.3213log 0,ln ln 1,12232e <<=<<，即0.3213log ln 232<<，所以由函数的单调性可得：0.3213(log )(ln )(2)32f f f >>，应选答案D ．9．C解析：C 【分析】由已知求出a ，得()g x 表达式，化简函数式后根据定义域和单调性可得正确选项． 【详解】由恬24a =，2a =，222log (1),10()log (1)log (1),0x x g x x x x -+-<<⎧=+=⎨+≥⎩，函数定义域是(1,)-+∞，在(1,0)-上递减，在(0,)+∞上递增． 故选：C ． 【点睛】本题考查对数型复合函数的图象问题，解题方法是化简函数后，由定义域，单调性等判断．10．C解析：C 【分析】先判断函数的定义域关于原点对称，再由奇偶性的定义判断奇偶性，根据复合函数的单调判断其单调性，从而可得结论. 【详解】由100100x x +>⎧⎨->⎩，得(10,10)x ∈-， 故函数()f x 的定义域为()10,10-，关于原点对称，又()()lg 10lg(10)()f x x x f x -=-++=，故函数()f x 为偶函数，而()()2lg(10)lg(10)lg 100f x x x x =++-=-，因为函数2100y x =-在()0,10上单调递减，lg y x =在()0,∞+上单调递增， 故函数()f x 在()0,10上单调递减，故选C.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，()()1f x f x -=±（1 为偶函数，1- 为奇函数） .11．B解析：B 【分析】先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性同增异减，即可求解. 【详解】由2430x x +->得2340x x --<，解得：14x -<<，2()ln(43)f x x x =+-由ln y t =和234t x x =-++复合而成，ln y t =在定义域内单调递增，234t x x =-++对称轴为32x =，开口向下， 所以 234t x x =-++在31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 单调递增，在3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减， 所以2()ln(43)f x x x =+-的单调减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用同增异减求复合函数的单调区间，注意先求定义域，属于中档题12．D解析：D 【分析】根据指数函数与对数函数的关系，以及函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于x 轴对称，求得()ln g x x =-，再由()1g a =，即可求解. 【详解】由题意，函数()y f x =与x y e =互为反函数，所以()ln f x x =，函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于x 轴对称，所以()ln g x x =-， 又由()1g a =，即ln 1a -=，解得 1a e= 故选D. 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的关系，其中熟记指数函数与对数函数的关系，以及函数的对称性求得函数()g x 的解析式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.二、填空题13．①③④【分析】由指数函数的图象函数的定义域对数函数的性质判断各命题①令代入判断②利用函数的定义求出的定义域判断③由对数函数的单调性判断④引入新函数由它的单调性判断【详解】①令则即图象过点①正确；②则解析：①③④ 【分析】由指数函数的图象，函数的定义域，对数函数的性质判断各命题．①，令1x =代入判断，②利用函数的定义求出()f x 的定义域判断，③由对数函数的单调性判断，④引入新函数1()ln 2ln 2xx g x x x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由它的单调性判断． 【详解】①令1x =，则(1)4f =，即()f x 图象过点(1,4)，①正确； ②13x <<，则012x <-<，∴()f x 的定义域是(0,2)，②错；③1log 1log 2a a a ，∴0112a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩，∴112a <<．③正确； ④由22ln ln()x y x y -->-- (0x >,0y <)，得ln 2ln()2x y x y --<--，又1()ln 2ln 2xxg x x x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭是(0,)+∞上的增函数，∴由ln 2ln()2x y x y --<--，得x y <-，即0x y +<，④正确．故答案为：①③④ 【点睛】关键点点睛：本题考查指数函数的图象，对数函数的单调性，函数的定义域问题，定点问题：（1）指数函数(0x y a a =>且1)a ≠的图象恒过定点(0,1)； （2）对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠的图象恒过定点(1,0)， 解题时注意整体思想的应用．14．【分析】讨论和两种情况结合对数函数的单调性可判断求解【详解】当时在单调递减没有最大值没有最小值符合题意；当时在单调递增则可得当有解时没有最小值解得综上的取值范围为故答案为：【点睛】关键点睛：结合对数 解析：(0,1)[4,)∞⋃+【分析】讨论01a <<和1a >两种情况结合对数函数的单调性可判断求解. 【详解】当01a <<时，log ay x =在(0,)+∞单调递减，212a y x x =-+没有最大值，()2log 12a a f x x x ⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭没有最小值，符合题意；当1a >时，log ay x =在(0,)+∞单调递增，则可得当2102ax x -+≤有解时，()2log 12a a f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭没有最小值，2402a ⎛⎫∴∆=--≥ ⎪⎝⎭，解得4a ≥，综上，a 的取值范围为(0,1)[4,)∞⋃+.故答案为：(0,1)[4,)∞⋃+. 【点睛】关键点睛：结合对数函数的单调性进行讨论求解，将题目转化为2102ax x -+≤有解进行求解.15．【分析】函数为复合函数且原函数为减函数根据题意需要满足一元二次函数在上是增函数且在上恒大于或等于零然后求解关于a 的不等式即可得到结果【详解】令则原函数化为此函数为定义域内的减函数要使函数在上是减函数解析：9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】函数为复合函数,且原函数为减函数,根据题意需要满足一元二次函数2x ax a -+在()3,+∞上是增函数,且在()3,+∞上恒大于或等于零,然后求解关于a 的不等式即可得到结果. 【详解】令2t x ax a =-+,则原函数化为12()log g t t =,此函数为定义域内的减函数,要使函数()212log y x ax a =-+在()3,+∞上是减函数,则函数2t x ax a =-+在()3,+∞上是增函数,且在()3,+∞上恒大于或等于零,即有232330aa a ⎧≤⎪⎨⎪-+≥⎩,解得92a ≤. 故答案为:9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查了复合函数的单调性,需要掌握复合函数的同增异减,本题还要注意对数函数的定义域是求解的前提,这里容易漏掉,需要掌握此类题目的解题方法.16．【分析】根据对数型复合函数单调性列不等式再根据正弦函数性质得结果【详解】单调递增区间为单调递减区间且所以故答案为：【点睛】本题考查对数型复合函数单调性以及正弦函数性质考查基本分析求解能力属基础题解析：[2,2),()2k k k Z ππππ++∈【分析】根据对数型复合函数单调性列不等式，再根据正弦函数性质得结果. 【详解】()()cos1cos1(0,1)log sin f x x ∈∴=单调递增区间为sin y x =单调递减区间且sin 0x >，所以22,()2k x k k Z ππππ+≤<+∈，故答案为：[2,2),()2k k k Z ππππ++∈【点睛】本题考查对数型复合函数单调性以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.17．【分析】根据分段函数单调性列出各段为增函数的条件并注意两段分界处的关系即可求解【详解】函数在R 上单调递增则需满足（1）当时函数单调递增；则（2）当时函数单调递增；则(3)函数在两段分界处满足即所以满 解析：23a <≤【分析】根据分段函数单调性，列出各段为增函数的条件，并注意两段分界处的关系，即可求解. 【详解】 函数1(2)1,2(),2x a x x f x a x --+<⎧=⎨≥⎩，在R 上单调递增 则需满足（1）当2x <时，函数()f x 单调递增；则2a > （2）当2x ≥时，函数()f x 单调递增；则1a >(3)函数()f x 在两段分界处2x =，满足()21221a a --⨯+≤，即3a ≤所以满足条件的实数a 的范围是23a <≤ 故答案为：23a <≤ 【点睛】关键点睛：本题考查由函数的单调性求参数范围，解答本题的关键是分段函数在上单调递增，从图象上分析可得从左到右函数图象呈上升趋势，即函数()f x 在[)2+∞，上的最小值大于等于函数在(),2-∞上的最大值.则()21221a a--⨯+≤，这是容易忽略的地方，属于中档题.18．【分析】分两种情况讨论当时结合图象可知；当时再分两种情况讨论分离参数后化为函数的最值可解得结果【详解】当时则恒成立等价于恒成立函数的图象如图：由图可知；当时所以恒成立等价于恒成立若则若则恒成立所以综 解析：10a -≤≤【分析】分0x >，0x ≤两种情况讨论，当0x >时，结合图象可知0a ≤；当0x ≤时，再分0x =，0x <两种情况讨论，分离参数后化为函数的最值可解得结果.【详解】当0x >时，()ln(1)0f x x =+>，则|()|f x ax ≥恒成立等价于ln(1)x ax +≥恒成立， 函数ln(1)y x =+的图象如图：由图可知0a ≤；当0x ≤时，2()0f x x x =-+≤，所以|()|f x ax ≥恒成立等价于2x x ax -≥恒成立， 若0x =，则a R ∈，若0x <，则1a x ≥-恒成立，所以1a ≥-， 综上所述：10a -≤≤. 故答案为：10a -≤≤ 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： ①若()k f x ≥在[,]a b 上恒成立，则max ()k f x ≥； ②若()k f x ≤在[,]a b 上恒成立，则min ()k f x ≤； ③若()k f x ≥在[,]a b 上有解，则min ()k f x ≥； ④若()k f x ≤在[,]a b 上有解，则max ()k f x ≤；19．【分析】首先根据定义列出的等式转化为再根据分离常数和换元法求的取值范围【详解】函数为可分拆函数存在实数使得且设当时等号成立即故答案为：【点睛】思路点睛：本题是一道以新定义为背景的函数性质的综合应用题 解析：[35,2)【分析】首先根据定义，列出()()()0011f x f x f +=+的等式，转化为()()20202111x a x +=++，再根据分离常数和换元法，求a 的取值范围. 【详解】 函数()22log 1af x x =+为“可分拆函数”，∴存在实数00x >，使得()2222200log log log 1211aa a x x =++++且0a >，()()222002111a a x x ∴=+++，()()()2220000002222000000021222422242222222211x x x x x x a x x x x x x x +++--++∴====-++++++++， 设0422x t +=>，024t x -∴=， 2161622204204t a t t t t∴=-=-++++ ，20444t t ++≥=，当t =即32a <. 故答案为：)32⎡⎣ 【点睛】思路点睛：本题是一道以新定义为背景的函数性质的综合应用题型，首先正确利用新定义，并正确表示()()20202111x a x +=++，利用01x >，转化为求函数的值域，即求a 的取值范围.20．【分析】利用换元法可得然后采用等价转换的方法可得在的值域为最后根据二次函数的性质可得结果【详解】由令所以则令由在上的值域为等价为在的值域为的对称轴为且所以可得或所以故答案为：【点睛】本题主要考查函数解析：⎤⎡⋃⎥⎢⎣⎦⎣⎦【分析】利用换元法，可得()2221g x x ax a =-+-，然后采用等价转换的方法，可得()g x 在21,22a a a ⎡⎤--+⎣⎦的值域为[]1,0-，最后根据二次函数的性质，可得结果.【详解】由()22221x f x ax a =-+-令22,log xt x t ==，所以()()2222log 2log 1f t t a t a =-+-则令()2221g x x ax a =-+-由()f x 在21222,2a aa --+⎡⎤⎣⎦上的值域为[]1,0-等价为()g x 在21,22a a a ⎡⎤--+⎣⎦的值域为[]1,0-()g x 的对称轴为x a =，且()()1,10g a g a =--= 所以()()22122222a a a a a a -+-+≤≤-+1a ≤≤或2a ≤≤所以a ⎤⎡∈⋃⎥⎢⎣⎦⎣⎦故答案为：⎤⎡⋃⎥⎢⎣⎦⎣⎦【点睛】本题主要考查函数值域的应用，难点在于使用等价转换思想，使问题化繁为简，属中档题.三、解答题21．（1）(1,3)-；（2）2；（3）答案见解析. 【分析】 （1）由1030x x +>⎧⎨->⎩得解定义域（2）由(1)2f =求得2a =．化简 22()log (1)4f x x ⎡⎤=--+⎣⎦，求得函数单调性得解（3）分类1a >和01a <<讨论得解 【详解】 （1）由1030x x +>⎧⎨->⎩得13x ，所以函数()f x 的定义域为(1,3)-．（2）因为(1)2f =，所以log 42(0,1)a a a =>≠，所以2a =．22222()log (1)log (3)log [(1)(3)]log (1)4f x x x x x x ⎡⎤=++-=+-=--+⎣⎦，所以当(1,1]x ∈-时，()f x 是增函数；当(1,3)x ∈时，()f x 是减函数， 故函数()f x 在(1,3)-上的最大值是2(1)log 42f ==． （3）当1a >时1330x x x +>-⎧⎨->⎩解得13x x >⎧⎨<⎩不等式解集为：{|13}x x <<当01a <<时1310x xx +<-⎧⎨+>⎩解得11x x <⎧⎨>-⎩不等式解集为：{|11}x x -<<【点睛】简单对数不等式问题的求解策略(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．(2)对数函数的单调性和底数a 的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按1a >和01a <<进行分类讨论．22．（1）08m ≤<；（2）存在，0,2m n ==；（3）答案不唯一，见解析. 【分析】（1）根据函数定义域为R ，转化为220mx mx ++>恒成立，分类讨论求解；（2）根据二次函数单调性可得2222m mn n ⎧=⎨=⎩，求解即可；（3）换元，令11,333xt ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，分类讨论求二次函数的最小值即可. 【详解】（1）∵定义域为R ，即220mx mx ++>恒成立 ∴0m =， 或0m >⎧⎨∆<⎩得08m << 综上得08m ≤< （2）2yx 的定义域为[],m n ，值域为[]2,2m n∴222(0)2m mm n n n ⎧=≤<⎨=⎩ ，解得0,2m n ==. （3）令11,333xt ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则223y t at =-+ 若13a ≤，则228()39a h a =-+；若133a <<，则2()3h a a =-； 若3a ≥，则()612h a a =-+； 【点睛】关键点点睛：涉及指数型复合函数的单调性最值问题，多采用换元法，能够使问题简捷，突出问题本质，大多转化为二次函数，利用二次函数的图象和性质，体现转化思想，属于中档题. 23．（1）当x =时，()f x 取得最小值14-；当4x =时，()f x 取得最大值12；（2）{}24x x <≤【分析】（1）令2log t x =，可得[]2,2t ∈-，从而()()22log 4log 2x x ⋅232t t =++，结合二次函数的性质，可求出最大值和最小值，及取得最值时对应的x 值；（2）由（1）知，2()32f x t t =++，[]2,2t ∈-，则不等式可化为2340t t +->，可求出t 的范围，结合2log t x =，可求出x 的范围. 【详解】 （1）由题意，()()()()222222log 4log 2log 4log log 2log x x x x ⋅=+⋅+=()()222log 1log x x +⋅+，令2log t x =，∵1,44x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，∴[]2log 2,2t x =∈-则()()22132y t t t t =++=++，根据二次函数的性质，可得当32t =-，即3224x -==时，232y t t =++取得最小值，最小值为233132224⎛⎫⎛⎫-+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 当2t =时，即224x ==时，232y t t =++取得最大值，最大值为2232212+⨯+=. （2）由（1）知，2()32f x t t =++，[]2,2t ∈-， 则()60f x ->可化为2340t t +->，解得1t >或4t <-， 因为[]2,2t ∈-，所以12t <≤， 则222log 2log log 4x <≤，即24x <≤， 故不等式()60f x ->的解集为{}24x x <≤. 【点睛】关键点点睛：本题考查求复合函数的最值，及函数不等式的解.解决本题的关键是利用换元法，令2log t x =，可将()f x 转化为关于t 的二次函数232y t t =++，进而可求出最值，并解不等式即可，注意不要漏掉[]2,2t ∈-.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.24．（1）{x |－1＜x ＜1}；（2）f (x )为奇函数；证明见解析；（3）(0，1). 【分析】（1）根据真数大于零，列出不等式，即可求得函数定义域；（2）计算()f x -，根据其与()f x 关系，结合函数定义域，即可判断和证明； （3）利用对数函数的单调性，求解分式不等式，即可求得结果. 【详解】（1）因为f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )， 所以1010x x +>⎧⎨->⎩解得－1＜x ＜1.故所求函数的定义域为{x |－1＜x ＜1}. （2）f (x )为奇函数.证明如下：由（1）知f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x ). 故f (x )为奇函数.（3）因为当a ＞1时，f (x )在定义域{x |－1＜x ＜1}上是增函数， 由f (x )＞0，得11x x+-＞1，解得0＜x ＜1. 所以x 的取值范围是(0，1). 【点睛】本题考查对数型复合函数单调性、奇偶性以及利用函数性质解不等式，属综合中档题. 25．（1）1k =；（2）当02m <<时，k 的最小值为4，当2m 时，k 的最小值为24m m -+. 【分析】（1）根据函数是偶函数，利用偶函数的定义求解.（2）将()4f x ，转化为2(2)42x x k -+⨯，令2[x t m =∈，2]m +，构造函数2()4g t t t =-+，利用二次函数的性质求得其最大值即可..【详解】 （1）()f x 为偶函数，()()f x f x ∴=-， 2?22?2x x x x k k --∴+=+，即(1)(22)0x x k ---=，对任意的x 恒成立，1k ∴=.（2）由()4f x ，可得2?24x x k -+，即2(2)42x x k -+⨯， 令2[x t m =∈，2]m +，2()4g t t t ∴=-+，当02m <<时，对称轴2[t m =∈，2]m +， 则()max g t g =（2）4244=-+⨯=， 当2m 时，对称轴2t m =， 则2()()4max g t g m m m ==-+，故当02m <<时，k 的最小值为4，当2m 时，k 的最小值为24m m -+. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的和不等式恒成立的问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题. 26．（1）32；（2）- 【分析】（1）利用对数的运算性质化简可求得所求代数式的值；（2）由已知条件可求得1x x --的值，可求得22x x -+，并求得1122x x -+的值，代入计算可求得所求代数式的值. 【详解】（1）原式11lg3lg3lg3111lg3322lg5lg 2lg1081222lg32lg 27+-=++=+=； （2）因为()()()221114x x x x x x x x -----=+-=-，所以()()2211412x xx x ---=+-=，因为01x <<，则1x x -<，所以1x x --=-，所以22x x --=-又因为21112226x x x x --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，所以1122x x -+=所以221122x x x x---=-+【点睛】本题考查指数式与对数式的计算，考查了平方关系以及对数运算性质的应用，考查计算能力，属于基础题.。
(压轴题)高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试题(包含答案解析)(3)
一、选择题1．设a ，b ，c 为正数，且3a =4b =6c ，则有（ ）A ．111c a b =+ B ．221c a b =+ C ．122c a b =+ D ．212c a b =+ 2．设()|lg |f x x =，且0a b c <<<时，有()()()f a f c f b >>，则（ ）A ．(1)(1)0a c -->B ．1ac >C ．1ac =D ．01ac <<3．已知1311531log ,log ,363a b c π-===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a <<4．函数()212()log 4f x x =-的单调递增区间为（ ）. A ．(0,+∞)B ．(-,0)C ．(2,+∞)D ．(-,-2)5．一种放射性元素最初的质量为500g ，按每年10%衰减．则这种放射性元素的半衰期为（ ）年.（注：剩余质量为最初质量的一半，所需的时间叫做半衰期），（结果精确到0.1，已知lg 20.3010=，lg30.4771=）A ．5.2B ．6.6C ．7.1D ．8.36．若函数ya >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．47．设52a -=，5log 2b =，8log 5c =，则（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<8．在数学史上，一般认为对数的发明者是苏格兰数学家——纳皮尔（Napier ，1550-1617年）．在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科．可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间．纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数．在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法．让我们来看看下面这个例子：这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂．如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现． 比如，计算64×256的值，就可以先查第一行的对应数字:64对应6，256对应8，然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有：64×256＝16384,按照这样的方法计算：16384×32768=（ ）A ．134217728B ．268435356C ．536870912D ．5137658029．已知()243,1log 2,1a x ax x f x x a x ⎧-+<=⎨+≥⎩满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，那么a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭10．函数()22x xxf x -=+的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．11．如果函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数是增函数，那么函数log (1)a y x =-+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．实数,a b 满足2510a b ==，则下列关系正确的是（ ） A ．212a b+= B ．111a b+= C ．122a b+= D ．1212a b += 二、填空题13．设函数123910()lg 10x x x x x af x +++++=,其中a 为实数,如果当(,1]x ∈-∞时()f x 有意义,则a 的取值范围是________.14．定义{},,max ,,x x y x y y x y≥⎧=⎨<⎩，设{}()max ,log xa f x a a x=--(),1x R a +∈>.则不等式()2f x ≥的解集是_____________.15．若函数()()20.2log 1f x kx kx =-+的定义域是R ，则实数k 的取值范围是______.16．设log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，则log b ac =______.17．若幂函数()2()57m f x m m x =-+在R上为增函数则1log 2log 2lg5lg4mm m+-=_____．18．设实数x 满足01x <<，且2log 4log 1x x -=，则x =______.19．设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()2f x ≤的x 的取值范围是_______________.20．设函数()122,12log ,1x x f x x x +⎧≤=⎨->⎩，若()()04f f x =则0x ______.三、解答题21．已知函数()x x f x a k a -=-⋅（0a >且1a ≠）是定义域为R 的奇．函数，且3(1)2f =. （1）求k 的值，并判断()f x 的单调性（不要求证明）； （2）是否存在实数()2,3mm m >≠，使函数()()22(2)log 1x xm g x a a mf x --⎡⎤=+-+⎣⎦在[]1,2上的最大值为0？如果存在，求出实数m 所有的值；如果不存在，请说明理由.22．已知函数22()log (23).f x x x =-++（1）求函数()f x 的定义域和值域；（2）写出函数()f x 的单调增区间和减区间（不要求证明）. 23．已知函数()()()ln 1ln 1f x x k x =++-，0k ≠. （1）当()f x 分别为奇函数和偶函数时，求k 的值；（2）若()f x 为奇函数，证明：对任意的m 、()1,1n ∈-，()()1m n f m f n f mn +⎛⎫+=⎪+⎝⎭.24．（1）已知12x y +=，9xy =，且x y <，求11221122x y x y-+值；（2）求值：2(lg 2)lg5lg 20+⋅.25．已知函数()2()log log 2(0,1)a a f x x x a a =-->≠.（1）当2a =时，求(2)f ； （2）求解关于x 的不等式()0f x >；（3）若[2,4],()4x f x ∀∈≥恒成立，求实数a 的取值范围.26．已知函数()442xx f x =+；（1）若01a <<，求()()1f a f a +-的值； （2）求12320202021202120212021f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】首先根据指对互化求出,,a b c ，再根据换底公式表示111,,a b c，最后根据对数运算法则化简. 【详解】设3a =4b =6c =k ， 则a =log 3k ， b =log 4k ， c =log 6k ， ∴311log 3log k a k ==， 同理1log 4k b =，1log 6k c=， 而11log 2,log 3log 22k k k b c ==+， ∴1112c a b =+，即221c a b =+． 故选：B 【点睛】本题考查指对数运算，换底公式，以及对数运算的性质，关键是灵活应用对数运算公式，公式1log log a b b a=是关键. 2．D解析：D 【分析】作出()f x 的图象，利用数形结合即可得到结论． 【详解】∵函数()|lg |f x x =，作出()f x 的图象如图所示，∵0a b c <<<时，有()()()f a f c f b >>，∴0＜a ＜1，c ＞1，即f （a ）＝|lga |＝﹣lga ，f （c ）＝|lgc |＝lgc ，∵f （a ）＞f （c ），∴﹣lga ＞lgc ，则lga +lgc ＝lgac ＜0，则01ac <<. 故选：D ．【点睛】关键点点睛：利用对数函数的图象和性质，根据条件确定a ，c 的取值范围.3．D解析：D 【分析】根据指数函数和对数函数性质，借助0和1进行比较． 【详解】由对数函数性质知151log 16>，13log 03π<，由指数函数性质知13031-<<，∴b c a <<． 故选：D ． 【点睛】方法点睛：本题考查指数式、对数式的大小比较，比较指数式大小时，常常化为同底数的幂，利用指数函数性质比较，或化为同指数的幂，利用幂函数性质比较，比较对数式大小，常常化为同底数的对数，利用对数函数性质比较，如果不能化为同底数或同指数，或不同类型的数常常借助中间值如0或1比较大小．4．D解析：D 【分析】求出函数的定义域，根据对数型复合函数的单调性可得结果. 【详解】函数()212()log 4f x x =-的定义域为()(),22,-∞-+∞，因为函数()f x 是由12log y u =和24u x =-复合而成，而12log y u =在定义域内单调递减，24u x =-在(),2-∞-内单调递减，所以函数()212()log 4f x x =-的单调递增区间为(),2-∞-，故选：D. 【点睛】易错点点睛：对于对数型复合函数务必注意函数的定义域.5．B解析：B 【分析】先根据题意列出关于时间的方程，然后利用指对互化以及对数换底公式并结合所给数据可计算出半衰期. 【详解】设放射性元素的半衰期为x 年，所以()500110%250x-=， 所以()1110%2x-=，所以0.91log 2x =，所以109log 2x =， 所以lg 2lg10lg9x =-，所以lg 212lg 3x =-，所以0.3010120.4771x =-⨯，所以 6.6x ≈，故选：B. 【点睛】思路点睛：求解和对数有关的实际问题的思路： （1）根据题设条件列出符合的关于待求量的等式；（2）利用指对互化、对数运算法则以及对数运算性质、对数换底公式求解出待求量的值.6．C解析：C 【分析】先分析得到a ＞1，再求出a =2,再利用对数的运算求值得解. 【详解】由题意可得a －a x ≥0，a x ≤a ，定义域为[0，1]， 所以a >1，y [0，1]上单调递减，值域是[0，1]，所以f (0)1，f (1)＝0， 所以a ＝2， 所log a 56＋log a 485＝log 256＋log 2485＝log 28＝3. 故选C 【点睛】本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.7．A【分析】由551112,2332log -<<<，8152log >，即可得出a ，b ，c 的大小关系. 【详解】52112243--<=<，11325551152532log log log =<<=，12881582log log >=，a b c ∴<<.故选：A 【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，对数的运算性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.8．C解析：C 【分析】先找到16384与32768在第一行中的对应数字，进行相加运算，再找和对应第二行中的数字即可. 【详解】由已知可知，要计算16384×32768，先查第一行的对应数字: 16384对应14，32768对应15，然后再把第一行中的对应数字加起来：14＋15＝29，对应第二行中的536870912， 所以有：16384×32768＝536870912, 故选C. 【点睛】本题考查了指数运算的另外一种算法，关键是认真审题，理解题意，属于简单题.9．C解析：C 【分析】判断函数的单调性．利用分段函数解析式，结合单调性列出不等式组求解即可． 【详解】解：243,1log 2,1a x ax x f x x a x ⎧-+<=⎨+≥⎩（）满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x --＜成立， 所以分段函数是减函数，所以：0121442a a a a<<⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩，解得12,23a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选C ． 【点睛】本题考查分段函数的单调性的应用，函数的单调性的定义的理解，考查转化思想以及计算10．B解析：B 【分析】根据函数为奇函数排除C ，取特殊值排除AD 得到答案. 【详解】当()22x xx f x -=+，()()22x x xf x f x ---==-+，函数为奇函数，排除C ； 2221(2)22242f -=<=+，排除A ；3324(3)22536f -==+，4464(4)224257f -==+，故()()34f f >，排除D.故选：B. 【点睛】本题考查了函数图象的识别，意在考查学生的计算能力和识图能力，取特殊值排除是解题的关键.11．C解析：C 【分析】由题意求得1a >，再结合对数函数的图象与性质，合理排除，即可求解. 【详解】因为函数(0,1)xy a a a =>≠的反函数是增函数，可得函数xy a =为增函数，所以1a >， 所以函数log (1)a y x =-+为减函数，可排除B 、D ； 又由当0x =时，log (01)0a y =-+=，排除A. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数和对数函数的图象与性质，以及指数函数与对数的关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．B解析：B 【分析】根据指数式与对数的互化公式，求得11lg2,lg5a b==，再结合对数的运算公式，即可求解. 【详解】因为2510a b ==，可得25log 10,log 10a b ==，所以11lg2,lg5a b==，则11lg 2lg5lg101a b +=+==. 故选：B. 【点睛】本题主要考查指数式与对数的互化，以及对数的运算公式的化简、求值，其中解答中熟记指数式与对数的互化公式，以及对数的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.二、填空题13．【分析】由题意可得对任意的恒成立分离变量后利用函数的单调性求得在上的范围即可得解【详解】根据题意对任意的恒成立即恒成立则因为函数在上为增函数所以故答案为：【点睛】本题考查对数函数的定义域指数函数的单 解析：[ 4.5,)-+∞【分析】由题意可得对任意的(,1]x ∈-∞，10210x x a ⋅+⋯++>恒成立，分离变量a 后利用函数的单调性求得981()101010x x xg x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⋯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在(,1]x ∈-∞上的范围，即可得解. 【详解】根据题意对任意的(,1]x ∈-∞，123910010x x x x x a+++++>恒成立，即10210x x a ⋅+⋯++>恒成立，则981101010x x xa ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>---⋯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为函数981()101010xxxg x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⋯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在(,1]x ∈-∞上为增函数，所以111981 4.5101010a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：[ 4.5,)-+∞【点睛】本题考查对数函数的定义域，指数函数的单调性，不等式恒成立问题，属于基础题.14．【分析】利用分段函数列出不等式求解即可【详解】解：在上为单调递增函数又当时当时不等式或解得或故答案为：【点睛】本题考查分段函数的应用函数值的求法考查转化思想以及计算能力 解析：21(0,][log (2),)a a a++∞ 【分析】利用分段函数列出不等式求解即可.【详解】解：()log log xxa a a a x a a x ---=-+，1a >，()log xa g x a a x =-+在()0,∞+上为单调递增函数，又1(1)log 10a g a a =-+=， 当()0,1x ∈时，log 0xa a a x -+<，当()1,x ∈+∞时，log 0xa a a x -+>，,1()log ,01x a a a x f x x x ⎧->∴=⎨-<<⎩不等式()2f x ≥，21x a a x ⎧-≥∴⎨>⎩或log 201a x x -≥⎧⎨<<⎩，解得log (2)a x a ≥+或210x a <≤， 故答案为：21(0,][log (2),)a a a ++∞. 【点睛】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查转化思想以及计算能力.15．【分析】由题可知恒成立再分情况讨论即可【详解】由题可知恒成立当时成立当时当时不等式不恒成立故实数k 的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查了对数的定义域以及二次函数恒成立问题属于中等题型 解析：[)0,4【分析】由题可知210kx kx -+>恒成立.再分情况讨论即可. 【详解】由题可知210kx kx -+>恒成立.当0k =时成立.当0k >时,24004k k k ∆=-<⇒<<. 当k 0<时，不等式不恒成立. 故实数k 的取值范围是[)0,4. 故答案为：[)0,4 【点睛】本题主要考查了对数的定义域以及二次函数恒成立问题.属于中等题型.16．【分析】根据题意由韦达定理得进而得再结合换底公式得【详解】解：因为､是方程的两个实根所以由韦达定理得所以所以所以故答案为：【点睛】本题解题的关键在于根据韦达定理与换底公式进行计算其中两个公式的转化是解析：37±【分析】根据题意由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-，进而得()2log log 37c c a b -=，再结合换底公式得1log log b acc b a==【详解】解：因为log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根， 所以由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-， 所以()()22log log log log 4log log 37c c c c c c a b a b a b -=+-⋅=，所以log log c c b a -=所以11log log log log b c c acc b b a a===-故答案为： 【点睛】本题解题的关键在于根据韦达定理与换底公式进行计算，其中()()22log log log log 4log log c c c c c c a b a b a b -=+-⋅，1log log b acc b a=两个公式的转化是核心，考查运算求解能力，是中档题.17．3【分析】利用幂函数的定义与性质求得将代入利用对数的运算法则化简得解【详解】在上为增函数解得(舍去）故答案为：3【点睛】正确理解幂函数的定义求得的值和熟练运用对数恒等式是关键解析：3 【分析】利用幂函数的定义与性质求得3m =，将3m =代入，利用对数的运算法则化简得解. 【详解】()()257m f x m m x =-+在R 上为增函数，25710m m m ⎧-+=∴⎨>⎩，解得3,2m m ==(舍去），1log 2log 2lg 5lg 4mm m∴+-=31log 23l l og 3g1003+=故答案为：3.【点睛】正确理解幂函数的定义求得m 的值和熟练运用对数恒等式是关键.18．【分析】利用换底公式和对数运算法则可将方程转化为解方程求得或进而结合的范围求得结果【详解】即解得：或或故答案为：【点睛】本题考查对数方程的求解问题涉及到对数运算法则和换底公式的应用；考查基础公式的应解析：14【分析】利用换底公式和对数运算法则可将方程转化为222log 1log x x-=，解方程求得2log 2x =-或2log 1x =，进而结合x 的范围求得结果.【详解】22log 42log 2log x x x ==2222log 4log log 1log x x x x∴-=-= 即()222log log 20x x +-=，解得：2log 2x =-或2log 1x = 14x ∴=或2x = 01x << 14x ∴=故答案为：14【点睛】本题考查对数方程的求解问题，涉及到对数运算法则和换底公式的应用；考查基础公式的应用能力.19．【分析】根据分段函数分段解不等式最后求并集【详解】当时因为解得：∴当时解得：所以综上原不等式的解集为故答案为：【点睛】本题主要考查了解分段函数不等式涉及指数与对数运算属于基础题 解析：[0,)+∞【分析】根据分段函数，分段解不等式，最后求并集. 【详解】当1x ≤时，1()2xf x -=，因为11x -≤，解得：0x ≥，∴01x ≤≤ ，当1x >时，2()1log 2f x x =-≤，2log 1x ≥-，解得：12x ≥，所以1x >， 综上，原不等式的解集为[)0,+∞. 故答案为：[)0,+∞. 【点睛】本题主要考查了解分段函数不等式，涉及指数与对数运算，属于基础题.20．或2【分析】已知复合函数值求自变量从外层求出里层设求出对应的的值再由求出即可【详解】令则当若若当（舍去）故答案为：或【点睛】本题考查由函数值求自变量涉及到简单指数和对数方程考查分类讨论思想和数学计算解析：1-或2 【分析】已知复合函数值求自变量，从外层求出里层，设0()t f x =，求出()4f t =对应的t 的值，再由0()t f x =求出0x 即可. 【详解】令0()t f x =，则()4f t =，当11,24,1tt t +≤==，若010001,()21,1x x f x x +≤===-，若00202001,()2log 1,log 1,2x f x x x x >=-===， 当2211,()2log 4,log 2,4t f t t t t >=-==-=（舍去） 故答案为：1-或2. 【点睛】本题考查由函数值求自变量，涉及到简单指数和对数方程，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于中档题.三、解答题21．（1）1k =；()f x 为R 上的增函数；（2）存在，176m =. 【分析】（1）根据奇函数的性质和()312f =，代入求函数的解析式，并判断单调性；（2）由（1）可知()()2(2)2log 22221xx x x m g x m ---=+--+⎡⎤⎣⎦，并通过换元22x x t -=-，转化为()()()22log 3m g t t mt -=-+，讨论底数21m ->，和021m <-<两种情况，并讨论内层函数的对称轴和定义域的关系，结合外层函数的单调性，确定内层函数的最值，最后确定函数的最大值求m . 【详解】（1）∵函数()x xf x a k a -=-⋅（0a >且1a ≠）是定义域为R 的奇函数，0R ∈，∴(0)0f =，10k -=，∴1k =. 因为3(1)2f =，∴132a a -=，22320a a --=，2a =或12a =-， ∵0a >，∴2a =，()22x x f x -=-，因为2x 为增函数，2x -为减函数，所以()f x 为R 上的增函数.（Ⅱ）()()22(2)log 1xx m g x aa mf x --⎡⎤=+-+⎣⎦()22(2)log 22221x x x x m m ---=+--+⎡⎤⎣⎦()()2(2)log 22223x x x x m m ---⎡⎤=---+⎢⎥⎣⎦， 设22x x t -=-，则()()22222233x x x x m t mt -----+=-+，∵[]1,2x ∈，∴315,24⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ，记()23h t t mt =-+， （1）当021m <-<，即23m <<时，要使()g x 最大值为0，则要min ()1h t =，∵22()()(3)24m m h t t =-+-，312m <<，315,24⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ，∴()h t 在315,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴min 3213()()242h t h m ==-，由min ()1h t =，得176m =，因17(2,3)6∈，所以176m =满足题意. （2）当21m ->，即3m >时，要使()g x 最大值为0，则要max ()1h t =，且min ()0h t >. ∵322m >， ①若321228m <≤ ，则max 1522515()()314164h t h m ==-+=，25760m =，又2min ()()3024m m h t h ==->，∴3m <<25760>∴25760m =不合题意. ②若2128m > ，即214m >，则max 32132132121()()02424248h t h m ==-<-⨯=-<，max ()1h t ≠，综上所述，只存在176m =满足题意. 【点睛】关键点点睛：本题考查对数型复合函数根据最值，求参数的取值范围，属于中档题型，本题的第一个关键点是换元化简函数，设22x x t -=-，则()()22222233x x x x m t mt -----+=-+，第二个关键点是需分析外层函数的单调性，并讨论内层函数的对称轴和定义域的关系.22．（1）定义域为(1,3)-,值域为(,2]-∞（2）递增区间为(1,1)-，递减区间为[1,3) 【分析】（1）由2230x x -++>解得结果可得定义域，根据二次函数知识求出真数的值域，根据对数函数的单调性可求得()f x 的值域；（2）在定义域内求出真数的单调区间，根据底数大于1可得函数()f x 的单调区间.【详解】（1）由函数有意义可得2230x x -++>，即2230x x --<， 解得13x ，所以函数()f x 的定义域为(1,3)-， 因为13x，所以2223(1)4x x x -++=--+(0,4]∈，所以()(,2]f x ∈-∞，即函数()f x 的值域为(,2]-∞.（2）因为函数()f x 的定义域为(1,3)-，且函数2y x 2x 3=-++在(1,1)-上递增，在(1,3)上递减，又对数函数的底数为21>，所以函数()f x 的递增区间为(1,1)-，递减区间为[1,3). 【点睛】方法点睛：已知函数解析式，求函数定义域的方法： 有分式时：分母不为0；有根号时：开奇次方，根号下为任意实数，开偶次方，根号下大于或等于0； 有指数时：当指数为0时，底数一定不能为0；有根号与分式结合时，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0； 有指数函数形式时：底数和指数都含有x ，指数底数大于0且不等于1；有对数函数形式时，自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大0且不等于1. 23．（1）()f x 为奇函数时，1k =-，()f x 为偶函数时，1k =；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出函数的定义域，利用函数的奇偶性的定义列等式即可求得k 的值； （2）根据函数解析式分别求得()()+f m f n ，1m n f mn +⎛⎫⎪+⎝⎭，即可证明结论.【详解】（1）由1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，得函数()f x 的定义域为()1,1-，当()f x 为奇函数时，()()0f x f x +-=，即()()()()ln 1ln 1ln 1ln 10x k x x k x ++-+-++=， 整理可得()()()1ln 1ln 10k x x +-++=⎡⎤⎣⎦， 因为上式恒成立，所以10k +=，所以1k =-； 当()f x 为偶函数时，()()0f x f x --=，即()()()()ln 1ln 1ln 1ln 10x k x x k x ++----+=， 整理得()()()1ln 1ln 10k x x -+--=⎡⎤⎣⎦， 因为上式恒成立，所以10k -=，所以1k =.综上，当()f x 为奇函数时，1k =-，当()f x 为偶函数时，1k =；（2）由（1）知，1k =-，()()()1ln 1ln 1ln1xf x x x x+=+--=-， ()()()()()()1111ln ln ln 1111m n m nf m f n m n m n +++++=+=----，()()()()11111ln ln ln 111111m nm n m n mn m n mn f m n mn mn m n m n mn++++++++⎛⎫+=== ⎪+++----⎝⎭-+， 所以()()1m n f m f n f mn +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭.【点睛】方法点睛：已知函数的奇偶性求参数值一般思路是：（1）利用函数的奇偶性的定义转化为()()f x f x -=（偶函数）或()()f x f x -=-（奇函数），从而建立方程，使问题获得解决；（2）取一对互为相反数的自变量的函数值，建立等式求出参数的值，但同时要对此时函数的奇偶性进行验证. 24．（1）3-2）1. 【分析】（1）求出x y -的值，再化简11221122x y x y-+即得解；（2）利用对数的运算法则化简求解. 【详解】（1）因为222()()41249108x y x y xy -=+-=-⨯=，又x y <，所以x y -=-所以1111222221122()3x y x y x y x y--====--+. （2）原式22(lg 2)lg5(1lg 2)(lg 2)lg5lg 2lg5=+⋅+=+⋅+lg2(lg2lg5)lg5lg2lg51=++=+=.【点睛】关键点点睛：解答指数对数运算题的关键是通过观察式子的特点，再熟练利用指数对数的运算法则和性质求解.25．（1）2-；（2）当1a >时，()0f x >的解集为()210,,a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，当01a <<时；()210,,a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（3）(31,2⎫⎤⎪⎦⎪⎣⎭.【分析】（1）将2a =直接代入解析式计算即可.（2）将()2()log log 20a a f x x x =-->整理为()()log 2log 10a a x x -+>，解得log 1<-a x 或log 2a x >，再对a 讨论即可解不等式.（3）将问题转化为min ()4f x ≥，分别分1a >和01a <<讨论，求()f x 最小值，令其大于4，即可求解.【详解】（1）当2a =时，()()222log log 2f x x x =--()21122f ∴=--=-（2）由()0f x >得：()()()2log log 2log 2log 10a a a a x x x x --=-+>log 1a x ∴<-或log 2a x >当1a >时，解不等式可得：10x a<<或2x a > 当01a <<时，解不等式可得：1x a>或20x a << 综上所述：当1a >时，()0f x >的解集为()210,,a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；当01a <<时，()0f x >的解集为()210,,aa ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（3）由()4f x ≥得：()()()2log log 6log 3log 20a a a a x x x x --=-+≥log 2a x ∴≤-或log 3a x ≥①当1a >时，()max log log 4a a x =，()min log log 2a a x =2log 42log a a a -∴≤-=或3log 23log a a a ≥=，解得：1a <≤②当01a <<时，()max log log 2a a x =，()min log log 4a a x =2log 22log a a a -∴≤-=或3log 43log a a a ≥=1a ≤<综上所述：a 的取值范围为(3,11,22⎫⎤⎪⎦⎪⎣⎭【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性、考查函数的最值和恒成立问题、考查分类讨论的思想，属于中档题. 26．（1）1；（2）1010． 【分析】（1）根据4()42xx f x =+的表达式，求出()(),1f a f a -的表达式，再进行分式通分运算，可得()()11f a f a +-=． （2）设12320202021202120212021S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再把S 的表达式运用加法交换律改写成20201202120212021202321S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，把两式相加利用()(1)1f x f x +-=求出S 的值．【详解】 （1）4()42xxf x =+，x ∈R ． ∴()()1f a f a +-1144444442424224aaaa a a a a--=+=+++++4214224a a a=+=++，（2）设12320202021202120212021S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则 20201202120212021202321S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 两式相加得：12[][][]92022020220120201202120212022120211021S f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由（1）得：20202201109211,1,,221202120212021202120220101f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴220201010S S =⇒=.【点睛】本题考查指数幂运算，分式运算，利用函数的性质进行式子求值，考查运算求解能力.。
2019高考数学文科总复习第3单元【指数函数、对数函数、幂函数】测试A卷及答案解析
b
1 2
0．8
20．8
21．2
a
，
而 c 2 log6 2 log6 4 1 ，所以 c b a ，故选 B．
7．【答案】B
【解
析】
1x 4
a
2
0
有解等价
于
a
2
1 4
x
有解，由于
x
0
，所以
0
1x 4
6
2019 高考数学文科总复习第 3 单元【指数函数、对数函数、幂函数】测试 A 卷及答案解析
b f 30.2 ， 0 30.2 1 ， c f 31.1 f 31.1 ， 31.1 3 ， 故 31.1 log3 0.2 30.2 ，由单调性可得 f 31.1 f log3 0.2 b f 30.2 ，
（1）试求 a ， b 的值；
3
2019 高考数学文科总复习第 3 单元【指数函数、对数函数、幂函数】测试 A 卷及答案解析
（2）若不等式
1 a
x
1 b
x
m
0
在
x
,1
时恒成立，求实数
m
的取值范围．
21．(12 分）已知函数 f x a3ax （ a 0 且 a 1 ）． （1）当 a 2 时， f x 4 ，求 x 的取值范围； （2）若 f x 在0,1 上的最小值大于 1，求 a 的取值范围．
3
18．(12
高中文科数学一轮复习——指数函数和对数函数部分
第三章 指数函数和对数函数第一节 指数函数A 组1．(2010年黑龙江哈尔滨模拟)若a >1，b <0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b 的值等于________．解析：∵a >1，b <0，∴0<a b <1，a －b >1.又∵(a b ＋a －b )2＝a 2b ＋a －2b ＋2＝8，∴a 2b ＋a －2b ＝6，∴(a b －a －b )2＝a 2b ＋a －2b －2＝4，∴a b －a －b ＝－2.答案：－2 2．已知f (x )＝a x ＋b 的图象如图所示，则f (3)＝________.解析：由图象知f (0)＝1＋b ＝－2，∴b ＝－3.又f (2)＝a 2－3＝0，∴a ＝3，则f (3)＝(3)3－3＝33－3.答案：33－33．函数y ＝(12)2x －x 2的值域是________．解析：∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1， ∴(12)2x －x 2≥12.答案：[12，＋∞) 4．(2009年高考山东卷)若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点，0<a <1时两函数图象有惟一交点，故a >1. 答案：(1，+∞)5．(原创题)若函数f (x )＝a x－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a 等于________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1a 2－1＝0a 0－1＝2无解或⎩⎪⎨⎪⎧a >1a 0－1＝0a 2－1＝2⇒a ＝ 3.答案： 3 6．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1.从而有f (x )＝－2x＋12x ＋1＋a .又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2.(2)法一：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0⇔f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k .即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.法二：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2，又由题设条件得－2t 2－2t ＋12t 2－2t ＋1＋2＋－22t 2－k ＋122t 2－k ＋1＋2<0即(22t 2－k ＋1＋2)(－2t 2－2t ＋1)＋(2t 2－2t ＋1＋2)(－22t 2－k ＋1)<0整理得23t 2－2t －k >1，因底数2>1，故3t 2－2t －k >0上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.B 组1．如果函数f (x )＝a x ＋b －1(a >0且a ≠1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有________．①0<a <1且b >0 ②0<a <1且0<b <1 ③a >1且b <0 ④a >1且b >0解析：当0<a <1时，把指数函数f (x )＝a x 的图象向下平移，观察可知－1<b －1<0，即0<b <1.答案：②2．(2010年保定模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析：f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2，所以f (x )在[a ，＋∞)上为减函数，又f (x )，g (x )都在[1,2]上为减函数，所以需⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1a ＋1>1⇒0<a ≤1.答案：(0,1]3．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，且满足以下条件①f (x )＝a x ·g (x )(a >0，a ≠1)；②g (x )≠0；若f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，则a 等于________．解析：由f (x )＝a x ·g (x )得f (x )g (x )＝a x ，所以f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52⇒a ＋a －1＝52，解得a ＝2或12.答案：2或124．(2010年北京朝阳模拟)已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，其反函数为f －1(x )．若f (2)＝9，则f －1(13)＋f (1)的值是________．解析：因为f (2)＝a 2＝9，且a >0，∴a ＝3，则f (x )＝3x ＝13，∴x ＝－1，故f －1(13)＝－1.又f (1)＝3，所以f －1(13)＋f (1)＝2.答案：25．(2010年山东青岛质检)已知f (x )＝(13)x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________．解析：设y ＝g (x )上任意一点P (x ，y )，P (x ，y )关于x ＝1的对称点P ′(2－x ，y )在f (x )＝(13)x 上，∴y ＝(13)2－x ＝3x －2.答案：y ＝3x －2(x ∈R ) 6．(2009年高考山东卷改编)函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为________．解析：∵f (－x )＝e －x＋e x e －x －e x ＝－e x＋e－xe x －e －x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除④.又∵y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝e 2x ＋1e 2x －1＝e 2x －1＋2e 2x －1＝1＋2e 2x －1在(－∞，0)、(0，＋∞)上都是减函数，排除②、③.答案：①7．(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝(12)x ；当x <4时，f (x )＝f (x＋1)，则f (2＋log 23)＝________.解析：∵2<3<4＝22，∴1<log 23<2.∴3<2＋log 23<4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝f (log 224)＝(12)log 224＝2－log 224＝2log 2124＝124.答案：1248．(2009年高考湖南卷改编)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ， f (x )>K .取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为________．解析：由f (x )＝2－|x |≤12得x ≥1或x ≤－1，∴f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x|，x ≥1或x ≤－1，12，－1<x <1.则单调增区间为(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]9．函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,16]，当a 变动时，函数b ＝g (a )的图象可以是________．解析：函数y ＝2|x |的图象如图．当a ＝－4时，0≤b ≤4，当b ＝4时，－4≤a ≤0，答案：②10．(2010年宁夏银川模拟)已知函数f (x )＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值为14，求实数a 的值．解：f (x )＝a 2x ＋2a x －1＝(a x ＋1)2－2，∵x ∈[－1,1]，(1)当0<a <1时，a ≤a x ≤1a ，∴当a x ＝1a时，f (x )取得最大值．∴(1a ＋1)2－2＝14，∴1a ＝3，∴a ＝13. (2)当a >1时，1a≤a x ≤a ，∴当a x ＝a 时，f (x )取得最大值．∴(a ＋1)2－2＝14，∴a ＝3.综上可知，实数a 的值为13或3.11．已知函数f (x )＝－22x －a ＋1.(1)求证：f (x )的图象关于点M (a ，－1)对称；(2)若f (x )≥－2x 在x ≥a 上恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)证明：设f (x )的图象C 上任一点为P (x ，y )，则y ＝－22x －a ＋1，P (x ，y )关于点M (a ，－1)的对称点为P ′(2a －x ，－2－y )．∴－2－y ＝－2＋22x －a ＋1＝－2·2x －a 2x －a ＋1＝－21＋2－(x －a )＝－22(2a －x )－a＋1， 说明点P ′(2a －x ，－2－y )也在函数y ＝－22x －a ＋1的图象上，由点P 的任意性知，f (x )的图象关于点M (a ，－1)对称．(2)由f (x )≥－2x 得－22x －a ＋1≥－2x ，则22x －a ＋1≤2x ，化为2x －a ·2x ＋2x －2≥0，则有(2x )2＋2a ·2x －2·2a ≥0在x ≥a 上恒成立．令g (t )＝t 2＋2a ·t －2·2a ，则有g (t )≥0在t ≥2a 上恒成立．∵g (t )的对称轴在t ＝0的左侧，∴g (t )在t ≥2a 上为增函数． ∴g (2a )≥0.∴(2a )2＋(2a )2－2·2a ≥0，∴2a (2a －1)≥0，则a ≥0.即实数a 的取值范围为a ≥0.12．(2008年高考江苏)若f 1(x )＝3|x －p 1|，f 2(x )＝2·3|x －p 2|，x ∈R ，p 1、p 2为常数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x )，f 1(x )≤f 2(x )，f 2(x )，f 1(x )>f 2(x ).(1)求f (x )＝f 1(x )对所有实数x 成立的充要条件(用p 1、p 2表示)；(2)设a ，b 是两个实数，满足a <b ，且p 1、p 2∈(a ，b )．若f (a )＝f (b )，求证：函数f (x )在区间[a ，b ]上的单调增区间的长度之和为b －a2(闭区间[m ，n ]的长度定义为n －m )．解：(1)f (x )＝f 1(x )恒成立⇔f 1(x )≤f 2(x )⇔3|x －p 1|≤2·3|x －p 2|⇔3|x －p 1|－|x －p 2|≤2⇔|x －p 1|－|x －p 2|≤log 32.(*)若p 1＝p 2，则(*)⇔0≤log 32，显然成立；若p 1≠p 2，记g (x )＝|x －p 1|－|x －p 2|，当p 1>p 2时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧p 1－p 2，x <p 2，－2x ＋p 1＋p 2，p 2≤x ≤p 1，p 2－p 1，x >p 1.所以g (x )max ＝p 1－p 2，故只需p 1－p 2≤log 32. 当p 1<p 2时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧p 1－p 2，x <p 1；2x －p 1－p 2，p 1≤x ≤p 2；p 2－p 1，x >p 2.所以g (x )max ＝p 2－p 1，故只需p 2－p 1≤log 32.综上所述，f (x )＝f 1(x )对所有实数x 成立的充要条件是|p 1－p 2|≤log 32. (2)证明：分两种情形讨论． ①当|p 1－p 2|≤log 32时，由(1)知f (x )＝f 1(x )(对所有实数x ∈[a ，b ])，则由f (a )＝f (b )及a <p 1<b易知p 1＝a ＋b2.再由f 1(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3p 1－x ，x <p 1，3x －p 1，x ≥p 1，的单调性可知，f (x )在区间[a ，b ]上的单调增区间的长度为b －a ＋b 2＝b －a2.②当|p 1－p 2|>log 32时，不妨设p 1<p 2，则p 2－p 1>log 32.于是，当x ≤p 1时，有f 1(x )＝3p 1－x<3p 2－x <f 2(x )，从而f (x )＝f 1(x )．当x ≥p 2时，f 1(x )＝3x －p 1＝3p 2－p 1·3x －p 2>3log 32·3x －p 2＝f 2(x )，从而f (x )＝f 2(x )．当p 1<x <p 2时，f 1(x )＝3x －p 1及f 2(x )＝2·3p 2－x ，由方程3x 0－p 1＝2·3p 2－x 0，解得f 1(x )与f 2(x )图象交点的横坐标为x 0＝p 1＋p 22＋12log 32.①显然p 1<x 0＝p 2－12[(p 2－p 1)－log 32]<p 2，这表明x 0在p 1与p 2之间．由①易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x )，p 1≤x ≤x 0，f 2(x )，x 0<x ≤p 2.综上可知，在区间[a ，b ]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x )，a ≤x ≤x 0，f 2(x )，x 0<x ≤b .故由函数f 1(x )与f 2(x )的单调性可知，f (x )在区间[a ，b ]上的单调增区间的长度之和为(x 0－p 1)＋(b －p 2)，由于f (a )＝f (b )，即3p 1－a ＝2·3b －p 2，得p 1＋p 2＝a ＋b ＋log 32.②故由①②得(x 0－p 1)＋(b －p 2)＝b －12(p 1＋p 2－log 32)＝b －a 2.综合①、②可知，f (x )在区间[a ，b ]上单调增区间的长度之和为b －a2.第二节 对数函数A 组1．(2009年高考广东卷改编)若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (x )＝________.解析：由题意f (x )＝log a x ，∴a ＝log a a 12＝12，∴f (x )＝log 12x .答案：log 12x2．(2009年高考全国卷Ⅱ)设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a 、b 、c 的大小关系是________．解析：a ＝log 3π>1，b ＝log 23＝12log 23∈(12，1)，c ＝log 32＝12log 32∈(0，12)，故有a >b >c .答案：a >b >c3．若函数f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛]1,0[,4)0,1[,41x x xx，则f (log 43)＝________.解析：0<log 43<1，∴f (log 43)＝4log 43＝3.答案：3 4．如图所示，若函数f (x )＝a x－1的图象经过点(4,2)，则函数g (x )＝log a 1x ＋1的图象是________．解析：由已知将点(4,2)代入y ＝a x －1，∴2＝a 4－1，即a ＝213>1.又1x ＋1是单调递减的，故g (x )递减且过(0,0)点，∴④正确．答案：④ 5．(原创题)已知函数f (x )＝a log 2x ＋b log 3x ＋2，且f (12010)＝4，则f (2010)的值为_．解析：设F (x )＝f (x )－2，即F (x )＝a log 2x ＋b log 3x ，则F (1x )＝a log 21x ＋b log 31x＝－(a log 2x＋b log 3x )＝－F (x )，∴F (2010)＝－F (12010)＝－[f (12010)－2]＝－2，即f (2010)－2＝－2，故f (2010)＝0.答案：06．若f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a >0且a ≠1)．(1)求f (log 2x )的最小值及相应x 的值；(2)若f (log 2x )>f (1)且log 2f (x )<f (1)，求x 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝x 2－x ＋b ，∴f (log 2a )＝(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b ，∴log 2a ＝1，∴a ＝2.又∵log 2f (a )＝2，∴f (a )＝4.∴a 2－a ＋b ＝4，∴b ＝2.∴f (x )＝x 2－x ＋2.∴f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2＝(log 2x －12)2＋74.∴当log 2x ＝12，即x ＝2时，f (log 2x )有最小值74.(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ (log 2x )2－log 2x ＋2>2，log 2(x 2－x ＋2)<2.∴⎩⎪⎨⎪⎧log 2x <0或log 2x >1，0<x 2－x ＋2<4. ∴⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1或x >2，－1<x <2.∴0<x <1. B 组1．(2009年高考北京卷改编)为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点________．解析：∵y ＝lg x ＋310＝lg(x ＋3)－1，∴将y ＝lg x 的图象上的点向左平移3个单位长度得到y ＝lg(x ＋3)的图象，再将y ＝lg(x ＋3)的图象上的点向下平移1个单位长度得到y ＝lg(x ＋3)－1的图象．答案：向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度2．(2010年安徽黄山质检)对于函数f (x )＝lg x 定义域中任意x 1，x 2(x 1≠x 2)有如下结论：①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)；②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)；③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0；④f (x 1＋x 22)<f (x 1)＋f (x 2)2.上述结论中正确结论的序号是________．解析：由运算律f (x 1)＋f (x 2)＝lg x 1＋lg x 2＝lg x 1x 2＝f (x 1x 2)，所以②对；因为f (x )是定义域内的增函数，所以③正确；f (x 1＋x 22)＝lg x 1＋x 22，f (x 1)＋f (x 2)2＝lg x 1＋lg x 22＝lg x 1x 2，∵x 1＋x 22≥x 1x 2，且x 1≠x 2，∴lg x 1＋x 22>lg x 1x 2，所以④错误．答案：②③3．(2010年枣庄第一次质检)对任意实数a 、b ，定义运算“*”如下：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a >b )，则函数f (x )＝log 12(3x －2)*log 2x 的值域为________．解析：在同一直角坐标系中画出y ＝log 12(3x －2)和y ＝log 2x 两个函数的图象，由图象可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (0<x ≤1)log 12(3x －2) (x >1)，值域为(－∞，0]．答案：(－∞，0]4．已知函数y ＝f (x )与y ＝e x 互为反函数，函数y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称，若g (a )＝1，则实数a 的值为________．解析：由y ＝f (x )与y ＝e x 互为反函数，得f (x )＝ln x ，因为y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称，故有g (x )＝－ln x ，g (a )＝1⇒ln a ＝－1，所以a ＝1e.答案：1e5．已知函数f (x )满足f (2x ＋|x |)＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是________．解析：由log 2x |x |有意义可得x >0，所以，f (2x ＋|x |)＝f (1x )，log 2x |x |＝log 2x ，即有f (1x )＝log 2x ，故f (x )＝log 21x＝－log 2x .答案：f (x )＝－log 2x ，(x >0)6．(2009年高考辽宁卷改编)若x 1满足2x ＋2x ＝5，x 2满足2x ＋2log 2(x －1)＝5，则x 1＋x 2＝________.解析：由题意2x 1＋2x 1＝5，①2x 2＋2log 2(x 2－1)＝5，②所以2x 1＝5－2x 1，x 1＝log 2(5－2x 1)，即2x 1＝2log 2(5－2x 1)．令2x 1＝7－2t ，代入上式得7－2t ＝2log 2(2t －2)＝2＋2log 2(t －1)，∴5－2t ＝2log 2(t －1)与②式比较得t ＝x 2，于是2x 1＝7－2x 2.∴x 1＋x 2＝T 2.答案：727．当x ∈[n ，n ＋1)，(n ∈N )时，f (x )＝n －2，则方程f (x )＝log 2x 根的个数是________．解析：当n ＝0时，x ∈[0,1)，f (x )＝－2； 当n ＝1时，x ∈[1,2)，f (x )＝－1； 当n ＝2时，x ∈[2,3)，f (x )＝0； 当n ＝3时，x ∈[3,4)，f (x )＝1； 当n ＝4时，x ∈[4,5)，f (x )＝2；当n ＝5时，x ∈[5,6)，f (x )＝3.答案：28．(2010年福建厦门模拟)已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是________．解析：由题知，a ＝1b ，则f (x )＝(1b)x ＝b －x ，g (x )＝－log b x ，当0<b <1时，f (x )单调递增，g (x )单调递增，②正确；当b >1时，f (x )单调递减，g (x )单调递减．答案：② 9．已知曲线C ：x 2＋y 2＝9(x ≥0，y ≥0)与函数y ＝log 3x 及函数y ＝3x 的图象分别交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 12＋x 22的值为________．解析：∵y ＝log 3x 与y ＝3x 互为反函数，所以A 与B 两点关于y ＝x 对称，所以x 1＝y 2，y 1＝x 2，∴x 12＋x 22＝x 12＋y 12＝9.答案：910．已知函数f (x )＝lg kx －1x －1(k ∈R 且k >0)．(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )在[10，＋∞)上是单调增函数，求k 的取值范围．解：(1)由kx －1x －1>0及k >0得x －1k x －1>0，即(x －1k )(x －1)>0.①当0<k <1时，x <1或x >1k ；②当k ＝1时，x ∈R 且x ≠1；③当k >1时，x <1k或x >1.综上可得当0<k <1时，函数的定义域为(－∞，1)∪(1k，＋∞)；当k ≥1时，函数的定义域为(－∞，1k)∪(1，＋∞)．(2)∵f (x )在[10，＋∞)上是增函数，∴10k －110－1>0，∴k >110.又f (x )＝lg kx －1x －1＝lg(k ＋k －1x －1)，故对任意的x 1，x 2，当10≤x 1<x 2时，恒有f (x 1)<f (x 2)，即lg(k ＋k －1x 1－1)<lg(k ＋k －1x 2－1)，∴k －1x 1－1<k －1x 2－1，∴(k －1)·(1x 1－1－1x 2－1)<0，又∵1x 1－1>1x 2－1，∴k －1<0，∴k <1.综上可知k ∈(110，1)．11．(2010年天津和平质检)已知f (x )＝log a 1＋x1－x(a >0，a ≠1)．(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并给予证明；(3)求使f (x )>0的x 的取值范围．解：(1)由1＋x1－x>0 ，解得x ∈(－1,1)．(2)f (－x )＝log a 1－x1＋x＝－f (x )，且x ∈(－1,1)，∴函数y ＝f (x )是奇函数．(3)若a >1，f (x )>0，则1＋x 1－x >1，解得0<x <1；若0<a <1，f (x )>0，则0<1＋x1－x<1，解得－1<x <0.12．已知函数f (x )满足f (log a x )＝a a 2－1(x －x －1)，其中a >0且a ≠1.(1)对于函数f (x )，当x ∈(－1,1)时，f (1－m )＋f (1－m 2)<0，求实数m 的集合； (2)x ∈(－∞，2)时，f (x )－4的值恒为负数，求a 的取值范围．解：令log a x ＝t (t ∈R )，则x ＝a t ，∴f (t )＝a a 2－1(a t －a －t )，∴f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )．∵f (－x )＝a a 2－1(a －x －a x )＝－f (x )，∴f (x )是R 上的奇函数．当a >1时，a a 2－1>0，a x 是增函数，－a －x 是增函数，∴f (x )是R 上的增函数；当0<a <1，a a 2－1<0，a x 是减函数，－a －x 是减函数，∴f (x )是R 上的增函数．综上所述，a >0且a ≠1时，f (x )是R 上的增函数．(1)由f (1－m )＋f (1－m 2)<0有f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m <m 2－1，－1<1－m <1，－1<m 2－1<1.解得m ∈(1，2)．(2)∵f (x )是R 上的增函数，∴f (x )－4也是R 上的增函数，由x <2，得f (x )<f (2)， ∴f (x )－4<f (2)－4，要使f (x )－4的值恒为负数，只需f (2)－4≤0，即a a 2－1(a 2－a －2)－4≤0，解得2－3≤a ≤2＋3， ∴a 的取值范围是2－3≤a ≤2＋3且a ≠1.第三节 幂函数与二次函数的性质A 组1．若a >1且0<b <1，则不等式a log b (x －3)>1的解集为________．解析：∵a >1,0<b <1，∴a log b (x －3)>1⇔log b (x －3)>0⇔log b (x －3)>log b 1⇔0<x －3<1⇔3<x <4.答案：{x |3<x <4}2．(2010年广东广州质检)下列图象中，表示y ＝x 32的是________．解析：y ＝x 32＝3x 2是偶函数，∴排除②、③，当x >1时，32xx ＝x 31>1，∴x >x 32，∴排除①.答案：④3．(2010年江苏海门质检)若x ∈(0,1)，则下列结论正确的是__________．①2x>x 21>lg x ②2x>lg x >x 21 ③x 21>2x>lg x ④lg x >x 21>2x 解析：∵x ∈(0,1)，∴2>2x >1,0<x 21<1，lg x <0.答案：① 4．(2010年东北三省模拟)函数f (x )＝|4x －x 2|－a 恰有三个零点，则a ＝__________.解析：先画出f (x )＝4x －x 2的图象，再将x 轴下方的图象翻转到x 轴的上方，如图，y ＝a 过抛物线顶点时恰有三个交点，故得a 的值为4.答案：45．(原创题)方程x 12＝log sin1x 的实根个数是__________． 解析：在同一坐标系中分别作出函数y 1＝x 21 和y 2＝log sin1x 的图象，可知只有惟一一个交点．答案：16．(2009年高考江苏卷)设a 为实数，函数f (x )＝2x 2＋(x －a )·|x －a |.(1)若f (0)≥1，求a 的取值范围；(2)求f (x )的最小值；(3)设函数h (x )＝f (x )，x ∈(a ，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h (x )≥1的解集．解：(1)因为f (0)＝－a |－a |≥1，所以－a >0，即a <0.由a 2≥1知a ≤－1.因此，a 的取值范围为(－∞，－1]．(2)记f (x )的最小值为g (a )．则有f (x )＝2x 2＋(x －a )|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧3(x －a 3)2＋2a 23，x >a ， ①(x ＋a )2－2a 2，x ≤a ， ②(ⅰ)当a ≥0时，f (－a )＝－2a 2，由①②知f (x )≥－2a 2，此时g (a )＝－2a 2.(ⅱ)当a <0时，f (a 3)＝23a 2.若x >a ，则由①知f (x )≥23a 2；若x ≤a ，则x ＋a ≤2a <0，由②知f (x )≥2a 2>23a 2.此时g (a )＝23a 2.综上，得g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2， a ≥0，2a 23， a <0.(3)(ⅰ)当a ∈(－∞，－62]∪[22，＋∞)时，解集为(a ，＋∞)； (ⅱ)当a ∈[－22，22)时，解集为[a ＋3－2a 23，＋∞)；(ⅲ)当a ∈(－62，－22)时，解集为(a ，a －3－2a 23]∪[a ＋3－2a 23，＋∞)．B 组1．(2010年江苏无锡模拟)幂函数y ＝f (x )的图象经过点(－2，－18)，则满足f (x )＝27的x 的值是__________．解析：设幂函数为y ＝x α，图象经过点(－2，－18)，则－18＝(－2)α，∴α＝－3，∵x －3＝27，∴x ＝13.答案：132．(2010年安徽蚌埠质检)已知幂函数f (x )＝x αx 1 12f (x ) 1 22则不等式f (|x |)≤2的解集是解析：由表知22＝(12)α，∴α＝12，∴f (x )＝x 12.∴(|x |)12≤2，即|x |≤4，故－4≤x ≤4.答案：{x |－4≤x ≤4}3．(2010年广东江门质检)设k ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x (x >0)，e x (x ≤0)，F (x )＝f (x )＋kx ，x ∈R .当k ＝1时，F (x )的值域为__________．解析：当x >0时，F (x )＝1x＋x ≥2；当x ≤0时，F (x )＝e x ＋x ，根据指数函数与幂函数的单调性，F (x )是单调递增函数，F (x )≤F (0)＝1，所以k ＝1时，F (x )的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2 (x >0)，x 2＋bx ＋c (x ≤0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x 的不等式f (x )≤1的解集为__________．解析：由f (－4)＝f (0)，得b ＝4.又f (－2)＝0，可得c ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x 2＋4x ＋4≤1或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－2≤1，可得－3≤x ≤－1或x >0.答案：{x |－3≤x ≤－1或x >0}5．(2009年高考天津卷改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ， x ≥0，4x －x 2， x <0.若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是__________．解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0，的图象如图． 知f (x )在R 上为增函数． ∵f (2－a 2)>f (a )，即2－a 2>a . 解得－2<a <1. 答案：－2<a <1 6．(2009年高考江西卷改编)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的定义域为D ，若所有点(s ，f (t ))(s ，t ∈D )构成一个正方形区域，则a 的值为__________．解析：由题意定义域D 为不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集．∵ax 2＋bx ＋c ＝a (x ＋b 2a )2＋4ac －b 24a ，∵a <0，∴0≤y ≤ 4ac －b 24a，∴所有点(s ，f (t ))，(s ，t ∈D )构成一个正方形区域，意味着方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根x 1，x 2应满足|x 1－x 2|＝ 4ac －b 24a，由根与系数的关系知4ac －b 24a ＝b 2a 2－4c a ＝b 2－4aca 2，∴4a ＝－a 2.∵a <0，∴a ＝－4.答案：－47．(2010年辽宁沈阳模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2＋x ，x >0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0.若f (0)＝－2f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点的个数为__________．解析：∵f (0)＝1，∴c ＝1.又f (－1)＝－12，∴－1－b ＋1＝－12，∴b ＝12.当x >0时，g (x )＝－2＋2x ＝0，∴x ＝1；当x ≤0时，g (x )＝－x 2＋12x ＋1＋x ＝0，∴x 2－32x －1＝0，∴x ＝2(舍)或x ＝－12，所以有两个零点．答案：28．设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出下列四个命题：①c ＝0时，f (x )是奇函数；②b ＝0，c >0时，方程f (x )＝0只有一个实根；③f (x )的图象关于(0，c )对称；④方程f (x )＝0至多有两个实根．其中正确的命题是__________．解析：c ＝0时，f (－x )＝－x |－x |＋b (－x )＝－x |x |－bx ＝－f (x )，故f (x )是奇函数；b ＝0，c >0时，f (x )＝x |x |＋c ＝0，∴x ≥0时，x 2＋c ＝0无解，x <0时，f (x )＝－x 2＋c ＝0，∴x ＝－c ，有一个实数根．答案：①②③9．(2010年湖南长沙质检)对于区间[a ，b ]上有意义的两个函数f (x )与g (x )，如果对于区间[a ，b ]中的任意数x 均有|f (x )－g (x )|≤1，则称函数f (x )与g (x )在区间[a ，b ]上是密切函数，[a ，b ]称为密切区间．若m (x )＝x 2－3x ＋4与n (x )＝2x －3在某个区间上是“密切函数”，则它的一个密切区间可能是________．①[3,4] ②[2,4] ③[2,3] ④[1,4]解析：|m (x )－n (x )|≤1⇒|x 2－5x ＋7|≤1，解此绝对值不等式得2≤x ≤3，故在区间[2,3]上|m (x )－n (x )|的值域为[0,1]，∴|m (x )－n (x )|≤1在[2,3]上恒成立．答案：③10．设函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (c <b <1)，f (1)＝0，方程f (x )＋1＝0有实根．(1)证明：－3<c ≤－1且b ≥0；(2)若m 是方程f (x )＋1＝0的一个实根，判断f (m －4)的正负并加以证明．解：(1)证明：f (1)＝0⇒1＋2b ＋c ＝0⇒b ＝－c ＋12.又c <b <1，故c <－c ＋12<1⇒－3<c <－13.方程f (x )＋1＝0有实根，即x 2＋2bx ＋c ＋1＝0有实根，故Δ＝4b 2－4(c ＋1)≥0，即(c ＋1)2－4(c ＋1)≥0⇒c ≥3或c ≤－1.又c <b <1，得－3<c ≤－1，由b ＝－c ＋12知b ≥0.(2)f (x )＝x 2＋2bx ＋c ＝x 2－(c ＋1)x ＋c ＝(x －c )(x －1)，f (m )＝－1<0， ∴c <m <1，∴c －4<m －4<－3<c ，∴f (m －4)＝(m －4－c )(m －4－1)>0， ∴f (m －4)的符号为正．11．(2010年安徽合肥模拟)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且f (1)＝－a2，3a >2c >2b ，求证：(1)a >0且－3<b a <－34；(2)函数f (x )在区间(0,2)内至少有一个零点；(3)设x 1、x 2是函数f (x )的两个零点，则2≤|x 1－x 2|<574.证明：(1)∵f (1)＝a ＋b ＋c ＝－a2，∴3a ＋2b ＋2c ＝0.又3a >2c >2b ，∴3a >0,2b <0，∴a >0，b <0.又2c ＝－3a －2b ，由3a >2c >2b ，∴3a >－3a －2b >2b .∵a >0，∴－3<b a <－34.(2)∵f (0)＝c ，f (2)＝4a ＋2b ＋c ＝a －c ，①当c >0时，∵a >0，∴f (0)＝c >0且f (1)＝－a2<0，∴函数f (x )在区间(0,1)内至少有一个零点．②当c ≤0时，∵a >0，∴f (1)＝－a2<0且f (2)＝a －c >0，∴函数f (x )在区间(1,2)内至少有一个零点．综合①②得f (x )在(0,2)内至少有一个零点．(3)∵x 1、x 2是函数f (x )的两个零点，则x 1、x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，∴x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a ＝－32－b a ，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ (－b a )2－4(－32－b a)＝(b a ＋2)2＋2.∵－3<b a <－34，∴2≤|x 1－x 2|<574. 12．已知函数f (x )＝ax 2＋4x ＋b (a <0，a 、b ∈R )，设关于x 的方程f (x )＝0的两实根为x 1、x 2，方程f (x )＝x 的两实根为α、β.(1)若|α－β|＝1，求a 、b 的关系式；(2)若a 、b 均为负整数，且|α－β|＝1，求f (x )的解析式；(3)若α<1<β<2，求证：(x 1＋1)(x 2＋1)<7.解：(1)由f (x )＝x 得ax 2＋3x ＋b ＝0(a <0，a 、b ∈R )有两个不等实根为α、β，∴Δ＝9－4ab >0，α＋β＝－3a ，α·β＝ba.由|α－β|＝1得(α－β)2＝1，即(α＋β)2－4αβ＝9a 2－4ba＝1，∴9－4ab ＝a 2，即a 2＋4ab ＝9(a <0，a 、b ∈R )．(2)由(1)得a (a ＋4b )＝9，∵a 、b 均为负整数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1a ＋4b ＝－9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－9a ＋4b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，a ＋4b ＝－3，显然后两种情况不合题意，应舍去，从而有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，a ＋4b ＝－9，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.故所求函数解析式为f (x )＝－x 2＋4x －2.(3)证明：由已知得x 1＋x 2＝－4a ，x 1·x 2＝b a ，又由α<1<β<2得α＋β＝－3a <3，α·β＝ba<2，∴－1a <1，∴(x 1＋1)(x 2＋1)＝x 1·x 2＋(x 1＋x 2)＋1＝b a －4a ＋1<2＋4＋1＝7，即(x 1＋1)(x 2＋1)<7.第四节 函数的图像特征A 组1．命题甲：已知函数f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则f (x )的图象关于直线x ＝1对称．命题乙：函数f (1＋x )与函数f (1－x )的图象关于直线x ＝1对称．则甲、乙命题正确的是__________．解析：可举实例说明如f (x )＝2x ，依次作出函数f (1＋x )与函数f (1－x )的图象判断．答案：甲2．(2010年济南市高三模拟考试)函数y ＝x |x |·a x(a >1)的图象的基本形状是_____．解析：先去绝对值将已知函数写成分段函数形式，再作图象即可，函数解析式：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ax (x >0)－ax (x <0)，由指数函数图象易知①正确． 答案：①3．已知函数f (x )＝(15)x －log 3x ，若x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值为__________(正负情况)．解析：分别作y ＝(15)x 与y ＝log 3x 的图象，如图可知，当0<x 1<x 0时，(15)x1>log 3x 1，∴f (x 1)>0.答案：正值4．(2009年高考安徽卷改编)设a <b ，函数y ＝(x －a )2(x －b )的图象可能是_____．解析：∵x >b 时，y >0.由数轴穿根法，从右上向左下穿，奇次穿偶次不穿可知，只有③正确．答案：③5．(原创题)已知当x ≥0时，函数y ＝x 2与函数y ＝2x 的图象如图所示，则当x ≤0时，不等式2x ·x 2≥1的解集是__________．解析：在2x ·x 2≥1中，令x ＝－t ，由x ≤0得t ≥0， ∴2－t ·(－t )2≥1，即t 2≥2t ，由所给图象得2≤t ≤4， ∴2≤－x ≤4，解得－4≤x ≤－2. 答案：－4≤x ≤－26．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧．(2,5]∈，3－，1,2]－[∈，－32x x x x(1)画出f (x )的图象；(2)写出f (x )的单调递增区间．解：(1)函数f (x )的图象如图所示．,(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[-1,0]，[2,5]．B 组 1.(2010年合肥市高三质检)函数f (x )＝ln 1－x1＋x的图象只可能是__________．解析：本题中f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，从而排除②③选项．又由于u (x )＝－1＋21＋x在定义域{x |－1<x <1}内是减函数，而g (x )＝ln x 在定义域(0，＋∞)内是增函数，从而f (x )＝ln 1－x 1＋x ＝ln(－1＋21＋x )在定义域{x |－1<x <1}是减函数． 答案：①2．家电下乡政策是应对金融危机、积极扩大内需的重要举措．我市某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T 内完成预期的运输任务Q 0，各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如下图所示．在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是解析：运输效率是运输总量Q 与时间t 的函数的导数，几何意义为图象的切线，切线斜率的增长表明运输效率的提高，从图形看，②正确．答案：②3．如图，过原点O 的直线与函数y ＝2x 的图象交于A ，B 两点，过B 作y 轴的垂线交函数y ＝4x 的图象于点C ，若AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是__________．解析：设C (a,4a )，所以A (a,2a )，B (2a,4a )，又O ，A ，B 三点共线，所以2a a ＝4a 2a，故4a ＝2×2a ，所以2a ＝0(舍去)或2a ＝2，即a ＝1，所以点A 的坐标是(1,2)．答案：(1,2)4．已知函数f (x )＝4－x 2，g (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，当x >0时，g (x )＝log 2x ，则函数y ＝f (x )·g (x )的大致图象为__________．解析：f (x )为偶函数，g (x )是奇函数，所以f (x )·g (x )为奇函数，图象关于原点对称，当x →＋∞时，f (x )→－∞，g (x )→＋∞，所以f (x )·g (x )→－∞答案：② 5．某加油机接到指令，给附近空中一运输机加油．运输机的余油量为Q 1(吨)，加油机加油箱内余油Q 2(吨)，加油时间为t 分钟，Q 1、Q 2与时间t 的函数关系式的图象如右图．若运输机加完油后以原来的速度飞行需11小时到达目的地，问运输机的油料是否够用？________.解析：加油时间10分钟，Q 1由30减小为0.Q 2由40增加到69，因而10分钟时间内运输机用油1吨．以后的11小时需用油66吨．因69>66，故运输机的油料够用．答案：够用 6．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈(－1,1]时，f (x )＝|x |，则y ＝f (x )与y ＝log 7x 的交点的个数为__________．解析：由f (x ＋2)＝f (x )知函数y ＝f (x )为周期为2的周期函数，作图． 答案：67．函数y ＝x mn (m ，n ∈Z ，m ≠0，|m |，|n |互质)图象如图所示，则下列结论正确的是__________． ①mn >0，m ，n 均为奇数②mn <0，m ，n 一奇一偶 ③mn <0，m ，n 均为奇数 ④mn >0，m ，n 一奇一偶解析：由于幂函数在第一象限的图象趋势表明函数在(0，＋∞)上单调递减，此时只需保证mn<0，即mn <0，有y ＝x m n ＝x －|m ||n |；同时函数只在第一象限有图象，则函数的定义域为(0，＋∞)，此时|n |定为偶数，n 即为偶数，由于两个数互质，则m 定为奇数．答案：②8．(2009年高考福建卷改编)定义在R 上的偶函数f (x )的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f (x )的单调性不同的是①y ＝x 2＋1 ②y ＝|x |＋1③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0x 3＋1，x <0④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥0e －x ，x <0解析：∵f (x )为偶函数，由图象知，f (x )在(－2,0)上为减函数，而y ＝x 3＋1在(－∞，0)上为增函数．答案：③9．(2010年安徽合肥模拟)已知函数图象C ′与C ：y (x ＋a ＋1)＝ax ＋a 2＋1关于直线y ＝x 对称，且图象C ′关于点(2，－3)对称，则a 的值为__________．解析：∵C ′与C ：y (x ＋a ＋1)＝ax ＋a 2＋1关于直线y ＝x 对称，∴C ′为x (y ＋a ＋1)＝ay ＋a 2＋1.整理得，y ＋1＋a ＝1－ax －a.∵C ′关于点(2，－3)对称，∴a ＝2.答案：2 10．作下列函数的图象：(1)y ＝1|x |－1；(2)y ＝|x －2|(x ＋1)；(3)y ＝1－|x ||1－x |；(4)y ＝|log 2x －1|；(5)y ＝2|x －1|.解：(1)定义域{x |x ∈R 且x ≠±1}，且函数是偶函数．又当x ≥0且x ≠1时，y ＝1x －1.先作函数y ＝1x 的图象，并将图象向右平移1个单位，得到函数y ＝1x －1(x ≥0且x ≠1)的图象(如图(a)所示)．又函数是偶函数，作关于y 轴对称图象，得y ＝1|x |－1的图象(如图(b)所示)．(2)函数式可化为y ＝⎩⎨⎧(x －12)2－94 (x ≥2)，－(x －12)2＋94(x <2).其图象如图①所示．(3)函数式化为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 1－x (x <0)，1 (0≤x <1)，－1 (x >1).其图象如图②所示．(4)先作出y ＝log2x 的图象，再将其图象向下平移1个单位长度，保留x 轴上方的部分，将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，即得y ＝|log2x －1|的图象，如图③所示．(5)先作出y ＝2x的图象，再将其图象在y 轴左边的部分去掉，并作出y 轴右边的图象关于y 轴对称的图象，即得y ＝2|x |的图象，再将y ＝2|x |的图象向右平移1个单位长度，即得y＝2|x －1|的图象，如图④所示．11．已知函数f (x )＝－a a x ＋a(a >0且a ≠1)．(1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于点(12，－12)对称；(2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值．解：(1)证明：函数f (x )的定义域为R ，任取一点(x ，y )，它关于点(12，－12)对称的点的坐标为(1－x ，－1－y )．由已知，y ＝－a a x ＋a ，则－1－y ＝－1＋a a x ＋a ＝－a xa x ＋a.,f (1－x )＝－a a 1－x ＋a ＝－a a a x＋a ＝－a ·a x a ＋a ·a x ＝－a xa x ＋a .∴－1－y ＝f (1－x )．即函数y ＝f (x )的图象关于点(12，－12)对称．(2)由(1)有－1－f (x )＝f (1－x )．即f (x )＋f (1－x )＝－1. ∴f (－2)＋f (3)＝－1，f (－1)＋f (2)＝－1，f (0)＋f (1)＝－1. 则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝－3.12．设函数f (x )＝x ＋b ax －1(x ∈R ，且a ≠0，x ≠1a )．(1)若a ＝12，b ＝－32，指出f (x )与g (x )＝1x 的图象变换关系以及函数f (x )的图象的对称中心；(2)证明：若ab ＋1≠0，则f (x )的图象必关于直线y ＝x 对称．解：(1)a ＝12，b ＝－32，f (x )＝x －3212x －1＝2x －3x －2＝2＋1x －2，∴f (x )的图象可由g (x )的图象沿x 轴右移2个单位，再沿y 轴上移2个单位得到，f (x )的图象的对称中心为点(2,2)．(2)证明：设P (x 0，y 0)为f (x )图象上任一点，则y 0＝x 0＋bax 0－1，P (x 0，y 0)关于y ＝x 的对称点为P ′(y 0，x 0)．由y 0＝x 0＋b ax 0－1得x 0＝y 0＋bay 0－1.∴P ′(y 0，x 0)也在f (x )的图象上．故f (x )的图象关于直线y ＝x 对称.。
高三理科数学一轮单元卷：第三单元 指数函数、对数函数、幂函数 B卷
一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（B ） 第三单元 指数函数、对数函数、幂函数注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 ）A ．2B ．2C ．3D ．42．若()f x 是幂函数，且满足()()442f f =，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．4-B ．4C ．14-D ．143．函数)1(>=a a y x的图象是（ ）4．已知 1.20.6(0.6)(1.2)a a >，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(1,)+∞D ．(,1)-∞5．若关于x 的方程9(4)340x x a ++⋅+=有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,8][0,)-∞-+∞ B ．(,4)-∞- C ．[8,4)--D ．(,8]-∞-6．如果0log log >>a a y x ，且10<<a ，那么（ ） A ．1<<y xB ．1<<x yC ．1>>y xD ．1>>x y7．设2log 31=a ，31log 21=b ，0.312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<8．函数()212xx x f x =+-在其定义域内是（ ） A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数9．函数e e e -ex xx x y --+=的图像大致为（ ）10．对于01a <<，给出下列四个不等式： ①1log (1)log 1a a a a ⎛⎫+<+⎪⎝⎭； ②1log (1)log 1a a a a ⎛⎫+>+⎪⎝⎭； ③111aaaa ++<；④111aaaa++>；其中成立的是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④11．已知函数)4(log 2ax y a -=在区间]2,0[上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．)2,1()1,( --∞ B ．)1,0()0,1( -C ．)1,0()1,( --∞D ．)2,1()0,1( -12．已知函数2144()log log f x x x m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当[]2,4x ∈时，函数()f x 有最大值7，则m =（ ） A ．254B ．5C ．7D ．5-二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．已知1249a =，则32log a ＝ ．14．已知幂函数3222)1()(----=m m xm m x f 在),0(+∞上是减函数，则实数=m ．15．指数函数xa x f =)(，(0a >且)1≠a 在区间]2,1[上的最大值和最小值的差为22a ，则a 的值为 ．16．设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，若当),0(+∞∈x 时，x x f lg )(=，则满足0)(≥x f 的x 的取值范围为 ．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．(10分)设0a >且1a ≠，已知函数221x x y a a =+-在[1,1]-上的最大值为14， 求a 的值．18．(12分)已知幂函数322)(++-=m m x x f ，()m ∈Z 为偶函数，且在区间()+∞,0内是单调递增函数．（1）求函数)(x f 的解析式； （2）设函数λ-+=x x f x g 2)()(，若0)(<x g 对任意[]1,1-∈x 恒成立，求实数λ的取值范围．19．(12分)已知函数kx x f x 2)14(log )(4++=，()k ∈R 是偶函数． （1）求k 的值；（2）若方程m x f =)(有解，求实数m 的取值范围．20．(12分)已知函数11lg)(--=x kx x f ()0k >． （1）求函数)(x f 的定义域；（2）若函数)(x f 在),10[+∞上单调递增，求k 的取值范围．21．(12分)已知定义域为R 的函数()122x x bf x a+-+=+是奇函数．（1）求a ，b 的值；（2）证明：函数在R 上是减函数；（3）若对任意的t ∈R ，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围．22．(12分)已知函数2()2e 1f x x x m =-++-，2e ()g x x x=+(0)x >； （1）若函数()()2h x g x m =-有零点，求m 的取值范围； （2）若方程()()0f x g x -=有两个异相实根，求m 的取值范围．一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（B ） 第三单元 指数函数、对数函数、幂函数一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】D 【解析】D ． 2．【答案】D【解析】()f x 是幂函数，设()af x x =，（a 为常数），由()()442422a a a f f ===，解得2a =，()2f x x =，所以1124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选D ．3．【答案】B ．【解析】()()00x xx a x y a a x -⎧≥⎪==⎨<⎪⎩，∵1>a ，当0>x 时，函数x a y =递增，且1>y ，故选B ．4．【答案】B【解析】由指数函数x y 6.0=是减函数知，16.06.0002.1=<<，由指数函数x y 2.1=是增函数知，12.12.106.0=>，∴ 1.20.60.6 1.2<，考察幂函数a y x =，由 1.20.6(0.6)(1.2)a a >知，0a <，故选B ． 5．【答案】D【解析】由9(4)340x x a ++⋅+=，得()43403x x a +++=，∴()44343xxa -+=+≥，即8a ≤-，故选D ． 6．【答案】B【解析】∵0log log >>a a y x ，∴0lg lg lg lg >>yax a ，∵0lg <a ，∴0lg lg <<x y ， ∴1<<x y ，故选B ． 7．【答案】B【解析】13log 20a =<，121log 13b =>，∵0.3110122⎛⎫⎛⎫<<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴10<<c ， ∴b c a <<，故选B ． 8．【答案】B【解析】()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，关于原点对称，∵()212xx xf x ----=+- 2(211)()1221221221221212x x x x x xx x x x x x x x x x x x f x -⋅-+=-=-=-=+-=+=-----， ∴函数()f x 为偶函数，故选B ． 9．【答案】A ．【解析】函数e e e -ex x x x y --+=有意义，需使e -e0x x-≠，其定义域为{}0x x ≠，因为222e e e 121e -e e 1e 1x x x x x x x y --++===+--，所以当0x >时，2e 1x >，1>y ，且函数为减函数，故排除B 、C 、D ，故选A ． 10．【答案】D 【解析】01a <<，11a ∴>，111a a∴+<+，根据指数函数与对数函数的单调性可知 选D ．11．【答案】D ．【解析】当12>a 时，a 满足210420a a a ⎧>⎪>⎨⎪->⎩，解得21<<a ；当102<<a 时，a 满足2010420a a a ⎧<<⎪<⎨⎪->⎩，解得01<<-a ，故选D ． 12．【答案】B【解析】∵[2,4]x ∈，∴111444l o g 4l o g l o g 2x ≤≤，即1411l o g 2x -≤≤-，令14l o g t x =，则112t -≤≤-，且2221411444()log log log log f x x x m x x m t t m ⎛⎫⎛⎫=++=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设2()g t t t m =-+，其对称轴为12t =，∴()g t 在11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，则max [()](1)2g t g m =-=+，即()f x 的最大值为2m +，由题设知，27m +=， ∴5m =，故选B ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】41 【解析】∵2124293a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴423a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴32log a ＝442322lglg2133log 23424lg lg 33⎛⎫ ⎪⎝⎭===⎛⎫ ⎪⎝⎭． 14．【答案】2【解析】由112=--m m 解得2=m 或1-=m ，当2=m 时，3322-=--m m ；当1-=m 时，0322=--m m ，不符合题意，故舍去．15．【答案】2或32【解析】当1>a 时，xa x f =)(是增函数，∴222a a a =-，解得2=a ；当10<<a 时，222a a a =-，解得32=a ．16．【答案】),1[]0,1[+∞-【解析】当),0(+∞∈x ，0lg )(≥=x x f ，解得1≥x ；当)0,(-∞∈x ，)()(x f x f --=()lg 0x =--≥，解得01<≤-x ； 当0=x 时，0)0(=f ．综上可知0)(≥x f 的x 的取值范围是),1[]0,1[+∞- ．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】3a =或13a =． 【解析】2221(1)2x x x y a a y a =+-==+-，[1,1]x ∈-；（1）当1a >时，∵[1,1]x ∈-，∴1,x a a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令xt a =，则2(1)2y t =+-，1,t a a⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；∵对称轴为1t =-，∴在1,a a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上函数2(1)2y t =+-单调递增，故当t a =时，即xa a =，1x =时，y 取到最大值14，由题设知，22114a a +-=，解得3a =或5a =-(舍去)；（2）当01a <<时，∵[1,1]x ∈-，∴1,x a a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令xt a =，则2(1)2y t =+-，1,t a a⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵对称轴为1t =-，∴在1,a a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上函数2(1)2y t =+-单调递增，故当1t a=时，即1xa a =，1x =-时，y 取最大值；由题设知，212114a a+-=，解得13a =或15a =-（舍去）；综上知，3a =或13a =．18．【答案】（1）4)(x x f =；（2）3>λ． 【解析】（1）∵幂函数322)(++-=m mx x f ，()m ∈Z 在区间()+∞,0内是单调递增函数．∴0322>++-m m ，解得31<<-m ，∵m ∈Z ，∴0m =，1，2． 当0=m 时，3322=++-m m ；当1=m 时，4322=++-m m ；当2=m 时，3322=++-m m ；∵幂函数223()m m f x x -++=，m ∈Z 为偶函数，∴322++-m m 为偶数．∴1=m ，4)(x x f =．（2）λ-+=x x f x g 2)()(λ-+=x x 22，0)(<x g 对任意[]1,1-∈x 恒成立，即022<-+λx x ，[]1,1-∈x 恒成立， ∴x x 22+>λ，[]1,1-∈x 恒成立．∵1)1(222-+=+x x x ，∴当1=x 时，3)2(max 2=+x x ，∴3>λ． 19．【答案】（1）41-=k ；（2）12m ≥．【解析】（1）由函数)(x f 是偶函数可知)()(x f x f =-， 即kx x 2)14(log 4++kx x 2)14(log 4-+=-，化简得kx x x 41414log 4-=++-，∴kx xx x 414)14(4log 4-=++⋅， ∴kx x 44log 4-=，即kx x 4-=，即0)14(=+x k 对一切x ∈R 恒成立，∴41-=k ． （2）由)(x f m =x x21)14(log 4-+=xx 214log 4+=41log 22x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵2212≥+xx，∴212log 4=≥m ．20．【答案】（1）1(,1),k ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；（2）1,110⎛⎫⎪⎝⎭．【解析】（1）由011>--x kx 及0>k 得011>--x kx ．当10<<k 时，11>k ，解得1<x 或k x 1>；当1=k 时，解得x ∈R 且1≠x ；当1>k 时，11<k ，解得k x 1<或1>x ；综上，当10<<k 时，函数的定义域为1(,1),k ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；当1≥k 时，函数的定义域为1,(1,)k ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭．（2）∵函数)(x f 在),10[+∞上是增函数，∴0110110>--k ，∴101>k ．又1()lg 1k f x k x -⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，故对任意21,x x ，当2110x x <≤时，有)()(21x f x f <，则1211lg lg 11k k k k x x ⎛⎫⎛⎫--+<+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，即111121--<--x k x k ，∵111121--<--x k x k 0)1)(1())(1(2112<----⇔x x x x k ，又011>-x ，012>-x ，012>-x x，∴01<-k ，即1<k ．综上可知k 的取值范围是1,110⎛⎫⎪⎝⎭．21．【答案】（1）2a =，1b =；（2）见解析；（3）13k <-．【解析】（1）∵()f x 是R 上的奇函数，∴()00f =，即-102b a +=+，解得1b =，从而有()1212xx f x a +-+=+，又()()11f f =--知1121241a a -+-+=-++，解得2a =．当2a =，1=b 时，12221)(++-=x x x f 12121++-=x ，∴12121)(++-=--x x f x x 21221++-=121)12(21+-++-=x x 12121+-=x )(x f -=，∴()f x 是奇函数．从而，2a =，1b =符合题意．（2）证明：由（1）知)(x f 12121++-=x ，设21x x <，则-)(1x f 1211)(2x x f +=2211x +-)12)(12(222112++-=x x x x ，∵21x x <，∴02212>-xx ，∴-)(1x f 0)(2>x f ，即>)(1x f )(2x f ．∴函数()f x 在R 上为减函数．（3）∵()f x 是奇函数，∴不等式()()22220f t t f t k -+-<，⇔)2()2(22k t f t t f --<-⇔)2()2(22k t f t t f +-<-．∵()f x 是R 上的减函数，∴2222t t t k ->-+，即对一切，t ∈R 有2320t t k -->，从而4120k ∆=+<，解得13k <-．22．【答案】（1）[e,)+∞；（2）2(2e 1e ,)+-+∞．【解析】（1）∵0x >，∴2e ()2e g x x x =+≥=，当且仅当e x =时取等号，即函数()g x 的值域是[2e,)+∞，要使函数()()2h x g x m =-有零点，则只需22e m ≥，∴m 的取值范围是[e,)+∞；（2）∵方程()()0f x g x -=有两个异相实根，∴函数()f x 的图象与函数()g x 的图象 有两个不同的交点；∵222()2e 1(e)1e f x x x m x m =-++-=--+-+，∴其对称轴为e x =，开口向下，最大值为21e m -+．由（1）知，函数()g x 的值域是[2e,)+∞，即()g x 的最小值为2e ，∴21e 2e m -+>，即22e 1e m >+-，故m 的取值范围是2(2e 1e ,)+-+∞．。
高三文科数学一轮单元卷：第三单元 指数函数、对数函数、幂函数 A卷
一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ） 第三单元 指数函数、对数函数、幂函数注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列判断正确的是（ ） A ． 1.521.6 1.6>B ．0.20.30.50.5>C ．0.3 3.11.60.5<D ．23log 0.5log 2>2．幂函数()y f x =的图象经过点(，则()f x 的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．3．当01a <<时，在同一坐标系中，函数log x a y a y x -==与的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知01a <<，则2a ，2a ，2log a 的大小关系为（ ） A ．222log a a a >> B ．22log 2a a a >> C ．222log a a a >>D ．222log a a a >>5 ）A ．()1-∞，B ．()1-∞-，C ．()3+∞，D ．()1+∞，6．已知122．a =，0812．b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，62log 2c =则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．a c b <<7．关于x 的方程1204xa ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭有解，则a 的取值范围是（ ）A ．01a ≤<B ．12a ≤<C ．1a ≥D ．2a >8．已知函数()()2log 41x x a f x a a =-+，且01a <<，则使()0f x <的x 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞B ．()0,+∞C ．()2log 2,a +∞D ．(),2log 2a -∞9．函数()2ln 2f x x x =-+与()4g x x =，两函数图象所有交点的横坐标之和为（ ） A ．0B ．2C ．4D ．810．若不等式()2log 210a ax x -+>（0a >，且1a ≠）在[]1,2x ∈上恒成立，则a 的取值 范围是（ ）A ．()1,2B ．()2,+∞C ．()()0,12,+∞ D 11．已知函数()f x 为偶函数，当0x >时，()3log 0.2a f =，()0.23b f -=，()1.13c f =-，则（ ）A ． c a b >>B ． a b c >>C ． c b a >>D ． b a c >>12．设函数()21,25,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数a ，b ，c 满足()()()f a f b f c ==，则222a b c ++的取值范围是（ ）A ．()16,32B ．()18,34C ．()17,35D ．()6,7二、填空题13．已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________． 14．ln133log 18log 2e -+=__________．15．函数()20152017x f x a -=+（0a >且1a ≠）所过的定点坐标为__________． 16．已知函数()f x =()123,1ln ,1a x a x x x ⎧⎪⎨+<≥⎪⎩-，的值域为R ，那么a 的取值范围是________．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．(10分）计算题（1（218．(12 （1）求函数的定义域． （2）判断()f x 的奇偶性．（3）判断()f x 的单调性（只写出结论即可）时，函数()f x 的值域．19．(12分）已知函数()xf x a =（0a >且1a ≠）的图象经过点（1）比较()2f 与()22f b +的大小； （2）求函数()22x xg x a -=，()0x ≥的值域．20．(12分）已知函数()xf x b a =⋅(其中a ，b 为常量且0a >且1a ≠）的图象经过点()1,8A ，()3,32B ．（1）试求a ，b 的值；（2）若不等式110x xm a b ⎛⎫⎛⎫+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(],1x ∈-∞时恒成立，求实数m 的取值范围．21．(12分）已知函数()3axf x a-=（0a >且1a ≠）．（1）当2a =时，()4f x <，求x 的取值范围；（2）若()f x 在[]0,1上的最小值大于1，求a 的取值范围．22．(12分）已知函数()x f x b a =⋅（其中a ，b 为常量，且0a >，1a ≠的图象经过点()1,2A ，()3,8B ． （1）求a ，b 的值．（2）当2x ≤-时，函数11xy a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像恒在函数4y x m =+图像的上方，求实数m 的取值范围．（）定义在[],p q 上的一个函数()m x ，如果存在一个常数0M >，使得式子()()11nii i m x m xM-=-≤∑对一切大于1的自然数n 都成立，则称函数()m x 为“[],p q 上的H 函数”（其中，011)i n P x x x x x q -=<<<<<<=．试判断函数()f x 是否为“[]1,3-上的H 函数”．若是，则求出M 的最小值；若不是，则请说明理由．（注：()()()()121nin i k x k x k x k x ==+++∑）．一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（A ） 第三单元 指数函数、对数函数、幂函数一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】B【解析】 1.6x y =是单调递增函数，1.52<，所以 1.521.6 1.6<，A 不正确；0.5x y =是单调递减函数，0.20.3<，所以0.20.30.50.5>，B 正确；0.301.6 1.61>=，而 3.100.51<<，所以0.3 3.11.60.5>，C 不正确；2log 0.50<，30log 21<<，所以23log 0.5log 2<，D 不正确，故选B ． 2．【答案】D【解析】设函数()f x x α=，8α=12α=，所以()12f x x ==，故选D ．3．【答案】A【解析】∵函数xy a -=与可化为函数1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，底数11a >，其为增函数，又log a y x =，当01a <<时是减函数，两个函数是一增一减，前增后减，故选A ． 4．【答案】C【解析】由已知，根据幂函数、指数函数、对数函数的单调性，可得201a <<，122a <<，2log 0a <，由此可得22log 2a a a <<，故正确答案为C ． 5．【答案】C【解析】要使函数有意义，则2230x x -->，解得1x <-或3x >， 设223t x x =--，则函数在(]1-∞，上单调递减，在[)1+∞，上单调递增． 因为函数0.5log t 在定义域上为减函数，所以由复合函数的单调性性质可知，则此函数的单调递减区间是()3+∞，．故选C ． 6．【答案】B【解析】根据指数函数与对数函数的图象与性质可得：08081211222．．．b a -⎛⎫<==<= ⎪⎝⎭，而662log 2log 41c ==<，所以c b a <<，故选B ． 7．【答案】B【解析】1204x a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭有解等价于124x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有解，由于0x ≥，所以1014x⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，由此11224x⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭,可得关于x 的方程1204xa ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭有解，则a 的取值范围是12a ≤<，故选B ．8．【答案】D【解析】由于01a <<，且()0f x <，所以2411x x a a -+>，()2440x x x x a a a a -=->，即4x a >，log 42log 2a a x <=，故选D ．9．【答案】C【解析】由2ln 24x x x -+=，得2ln 24x x x -=-+，画出ln 2y x =-，24y x x =-+，两个函数图像如下图所示，由图可知，两个函数图像都关于直线2x =对称，故交点横坐标之和为．故选C ．10．【答案】B【解析】满足题意时，二次函数()2210f x ax x =-+>恒成立，结合0a >有：()22410a ∆=--⨯<，求解不等式有：1a >， ，函数()f x 的最小值为()11f a =-， 结合对数函数的性质可得不等式：()log 10a a ->，11a ∴->，2a >， 即a 的取值范围是()2,+∞．本题选择B 选项． 11．【答案】A 【解析】y x =在定义域内为增函数，4x y -=-在R 上为减函数，()f x ∴在()0,+∞上为增函数，函数()f x 为偶函数，且()()33log 0.2log 0.2a f f ==-，3log 0.21<-，33log 0.21>->，()0.23b f -=，0.2103-<<，()()1.1 1.133c f f =-=， 1.133>， 故 1.10.233log 0.23->->，由单调性可得()()()1.10.233log 0.23f f b f -->>=，c a b ∴>>，故选A ．12．【答案】B【解析】画出函数()f x 的图象如图所示．不妨令a b c <<，则1221a b -=-，则222a b +=．结合图象可得45c <<，故16232c <<，∴1822234a b c <++<．故选B ．二、填空题 13．【答案】-7【解析】根据题意有()()23log 91f a =+=，可得92a +=，所以7a =-，故答案是7-． 14．【答案】3【解析】ln1333318log 18log 2e log 1log 912132-+=+=+=+=，故答案为3． 15．【答案】()2015,2018【解析】当2015x =时，()2015201502015201720172018﹣f a a =+=+=， ∴()20152017﹣xf x a =+（0a >且1a ≠）过定点()2015,2018A ．故答案为()2015,2018．16．【解析】由题意得当1x ≥时，ln 0x ≥， 要使函数()f x 的值域为R ，则需满足120123ln1a a a ->-+≥⎧⎨⎩，解得三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）5；（2）3．【解析】（1()32lg5lg2=++32lg10=+321=+⨯ 5=．()()222lg52lg2lg52lg5lg2lg2=+++⨯+()()22lg5lg 2lg5lg 2=+++ ()22lg10lg10=+21=+3=．18．【答案】（1）{}|11x x -<<；（2）奇函数；（3）增函数，[]1,2-．【解析】（1 ∴此函数定义域为{}|11x x -<<．（2，∴()f x 为奇函数． （3，可得()f x 在定义域内为增函数． ∵()f x 在区间上为增函数，∴函数的值域为即[]1,2-为所求．19．【答案】（1）()()222f f b ≥+；（2）(]0,3． 【解析】（1在R 上递减，222b ≤+，∴()()222f f b ≥+．（2）∵0x ≥，∴221x x -≥-，∴∴()g x 的值域为(]0,3．20．【答案】（1）2a =，4b =；（2）34m ≤． 【解析】（1）由已知可得8b a ⋅=且323242b a a a ⋅=⇒=⇒=且4b =．（2）解：由（1）可得1124xxm ⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(],1x ∈-∞令1124xxu ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(],1x ∈-∞，只需min m u ≤，易得1124x xu ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(],1x ∈-∞，在(],1-∞为单调减函数，min 34u ∴=，34m ∴≤．21．【答案】（1（2）13a <<． 【解析】（1）当2a =时，()322242xf x -=<=，322x -<，得 （2）令3y ax =-，则3y ax =-在定义域内单调递减， 当1a >时，函数()f x 在[]0,1上单调递减，()()30min 11af x f aa -==>=，得13a <<．当01a <<时，函数()f x 在[]0,1上单调递增，()()3min 01f x f a ==>，不成立． 综上13a <<．22．【答案】（1）2a =，1b =；（2）13m <；（3）152． 【解析】（1）代入点()1,2A ，()3,8B ，得328 b a b a ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩下式除上式得24a =，∵0a >，∴2a =，1b =，()2x f x =．（2）函数11x y a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像恒在函数4y x m =+图像的上方， 代入2a =，1b =得函数112xy ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像恒在函数4y x m =+图像的上方，设()1142x g x x m ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭， ∵12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(],2-∞上单调递减，4y x =-在(],2-∞-上单调递减， ∴()g x 在(],2-∞-上为单调递减函数， ∴()()min 213g x g m =-=-，要使()g x 在x 轴上方恒成立，即130m ->恒成立，即13m <．（3）∵()2x f x =在[]1,3-上单调递增， ∴()()()()()()()()1102111|(|n ii n n i f x f x f x f x f x f x f x f x =-=-=-+-++-∑ ()()()()()()10211n n f x f x f x f x f x f x -=-+-++- ()()()()()()10211n n f x f x f x f x f x f x -=-+-++- ()()0n f x f x =-+()()31f f =--3122-=-152=． ∴M 的最小值为152．。
高三理科数学一轮单元卷：第三单元 指数函数、对数函数、幂函数 B卷
一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（B ） 第三单元 指数函数、对数函数、幂函数注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．()()()12230.25log 3log 4-+⋅的值为（ ）A ．2B ．2C ．3D ．42．若()f x 是幂函数，且满足()()442f f =，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．4-B ．4C ．14-D ．143．函数)1(>=a a y x的图象是（ ）4．已知 1.20.6(0.6)(1.2)aa>，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(1,)+∞D ．(,1)-∞5．若关于x 的方程9(4)340xxa ++⋅+=有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,8][0,)-∞-+∞UB ．(,4)-∞-C ．[8,4)--D ．(,8]-∞-6．如果0log log >>a a y x ，且10<<a ，那么（ ） A ．1<<y xB ．1<<x yC ．1>>y xD ．1>>x y7．设2log 31=a ，31log 21=b ，0.312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<8．函数()212xx xf x =+-在其定义域内是（ ） A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数9．函数e e e -ex xx x y --+=的图像大致为（ ）10．对于01a <<，给出下列四个不等式： ①1log (1)log 1a a a a ⎛⎫+<+⎪⎝⎭； ②1log (1)log 1a a a a ⎛⎫+>+⎪⎝⎭； ③111aaaa ++<；④111aaaa++>；其中成立的是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④11．已知函数)4(log 2ax y a -=在区间]2,0[上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．)2,1()1,(Y --∞ B ．)1,0()0,1(Y -C ．)1,0()1,(Y --∞D ．)2,1()0,1(Y -12．已知函数2144()log log f x x x m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当[]2,4x ∈时，函数()f x 有最大值7，则m =（ ） A ．254B ．5C ．7D ．5-二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．已知1249a =，则32log a ＝ ． 14．已知幂函数3222)1()(----=m m xm m x f 在),0(+∞上是减函数，则实数=m ．15．指数函数xa x f =)(，(0a >且)1≠a 在区间]2,1[上的最大值和最小值的差为22a ，则a 的值为 ．16．设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，若当),0(+∞∈x 时，x x f lg )(=，则满足0)(≥x f 的x 的取值范围为 ．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．(10分)设0a >且1a ≠，已知函数221xx y a a =+-在[1,1]-上的最大值为14，求a 的值．18．(12分)已知幂函数322)(++-=m m x x f ，()m ∈Z 为偶函数，且在区间()+∞,0内是单调递增函数．（1）求函数)(x f 的解析式； （2）设函数λ-+=x x f x g 2)()(，若0)(<x g 对任意[]1,1-∈x 恒成立，求实数λ的取值范围．19．(12分)已知函数kx x f x2)14(log )(4++=，()k ∈R 是偶函数．（1）求k 的值；（2）若方程m x f =)(有解，求实数m 的取值范围．20．(12分)已知函数11lg )(--=x kx x f ()0k >． （1）求函数)(x f 的定义域；（2）若函数)(x f 在),10[+∞上单调递增，求k 的取值范围．21．(12分)已知定义域为R 的函数()122x x bf x a+-+=+是奇函数．（1）求a ，b 的值；（2）证明：函数在R 上是减函数；（3）若对任意的t ∈R ，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围．22．(12分)已知函数2()2e 1f x x x m =-++-，2e ()g x x x=+(0)x >； （1）若函数()()2h x g x m =-有零点，求m 的取值范围； （2）若方程()()0f x g x -=有两个异相实根，求m 的取值范围．一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（B ） 第三单元 指数函数、对数函数、幂函数一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】D 【解析】D ． 2．【答案】D【解析】()f x 是幂函数，设()af x x =，（a 为常数），由()()442422aa a f f ===，解得2a =，()2f x x =，所以1124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选D ．3．【答案】B ．【解析】()()00x xx a x y a a x -⎧≥⎪==⎨<⎪⎩，∵1>a ，当0>x 时，函数x a y =递增，且1>y ，故选B ．4．【答案】B【解析】由指数函数xy 6.0=是减函数知，16.06.0002.1=<<，由指数函数xy 2.1=是增函数知，12.12.106.0=>，∴ 1.20.60.6 1.2<，考察幂函数a y x =，由 1.20.6(0.6)(1.2)aa>知，0a <，故选B ． 5．【答案】D【解析】由9(4)340xxa ++⋅+=，得()43403x x a +++=，∴()44343xxa -+=+≥，即8a ≤-，故选D ． 6．【答案】B【解析】∵0log log >>a a y x ，∴0lg lg lg lg >>yax a ，∵0lg <a ，∴0lg lg <<x y ， ∴1<<x y ，故选B ． 7．【答案】B【解析】13log 20a =<，121log 13b =>，∵0.3110122⎛⎫⎛⎫<<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴10<<c ， ∴b c a <<，故选B ． 8．【答案】B【解析】()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，关于原点对称，∵()212x x xf x ----=+- 2(211)()1221221221221212x x x x x xx x x x x x x x x x x x f x -⋅-+=-=-=-=+-=+=-----， ∴函数()f x 为偶函数，故选B ． 9．【答案】A ．【解析】函数e e e -ex xx x y --+=有意义，需使e -e 0x x -≠，其定义域为{}0x x ≠，因为222e e e 121e -e e 1e 1x x x x x x x y --++===+--，所以当0x >时，2e 1x >，1>y ，且函数为减函数，故排除B 、C 、D ，故选A ． 10．【答案】D【解析】01a <<Q ，11a ∴>，111a a∴+<+，根据指数函数与对数函数的单调性可知选D ．11．【答案】D ．【解析】当12>a 时，a 满足210420a a a ⎧>⎪>⎨⎪->⎩，解得21<<a ；当102<<a 时，a 满足2010420a a a ⎧<<⎪<⎨⎪->⎩，解得01<<-a ，故选D ． 12．【答案】B【解析】∵[2,4]x ∈，∴111444log 4log log 2x ≤≤，即1411log 2x -≤≤-，令14log t x =，则112t -≤≤-，且2221411444()log log log log f x x x m x x m t t m ⎛⎫⎛⎫=++=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设2()g t t t m =-+，其对称轴为12t =，∴()g t 在11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，则max [()](1)2g t g m =-=+，即()f x 的最大值为2m +，由题设知，27m +=， ∴5m =，故选B ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】41【解析】∵2124293a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴423a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴32log a ＝442322lglg2133log 23424lg lg 33⎛⎫ ⎪⎝⎭===⎛⎫ ⎪⎝⎭． 14．【答案】2【解析】由112=--m m 解得2=m 或1-=m ，当2=m 时，3322-=--m m ； 当1-=m 时，0322=--m m ，不符合题意，故舍去． 15．【答案】2或32【解析】当1>a 时，xa x f =)(是增函数，∴222a a a =-，解得2=a ；当10<<a 时，222a a a =-，解得32=a ．16．【答案】),1[]0,1[+∞-Y【解析】当),0(+∞∈x ，0lg )(≥=x x f ，解得1≥x ；当)0,(-∞∈x ，)()(x f x f --=()lg 0x =--≥，解得01<≤-x ； 当0=x 时，0)0(=f ．综上可知0)(≥x f 的x 的取值范围是),1[]0,1[+∞-Y ．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】3a =或13a =． 【解析】2221(1)2xx x y aa y a =+-==+-，[1,1]x ∈-；（1）当1a >时，∵[1,1]x ∈-，∴1,x a a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令xt a =，则2(1)2y t =+-，1,t a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；∵对称轴为1t =-，∴在1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上函数2(1)2y t =+-单调递增，故当t a =时，即xa a =，1x =时，y 取到最大值14， 由题设知，22114a a +-=，解得3a =或5a =-(舍去)；（2）当01a <<时，∵[1,1]x ∈-，∴1,x a a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令xt a =，则2(1)2y t =+-，1,t a a⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵对称轴为1t =-，∴在1,a a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上函数2(1)2y t =+-单调递增，故当1t a=时，即1xa a =，1x =-时，y 取最大值；由题设知，212114a a+-=，解得13a =或15a =-（舍去）；综上知，3a =或13a =．18．【答案】（1）4)(x x f =；（2）3>λ． 【解析】（1）∵幂函数322)(++-=m m xx f ，()m ∈Z 在区间()+∞,0内是单调递增函数．∴0322>++-m m ，解得31<<-m ，∵m ∈Z ，∴0m =，1，2． 当0=m 时，3322=++-m m ；当1=m 时，4322=++-m m ； 当2=m 时，3322=++-m m ；∵幂函数223()m m f x x-++=，m ∈Z 为偶函数，∴322++-m m 为偶数．∴1=m ，4)(x x f =．（2）λ-+=x x f x g 2)()(λ-+=x x 22，0)(<x g 对任意[]1,1-∈x 恒成立，即022<-+λx x ，[]1,1-∈x 恒成立， ∴x x 22+>λ，[]1,1-∈x 恒成立．∵1)1(222-+=+x x x ，∴当1=x 时，3)2(m ax 2=+x x ，∴3>λ．19．【答案】（1）41-=k ；（2）12m ≥．【解析】（1）由函数)(x f 是偶函数可知)()(x f x f =-， 即kx x2)14(log 4++kx x 2)14(log 4-+=-，化简得kx xx 41414log 4-=++-，∴kx xx x 414)14(4log 4-=++⋅， ∴kx x44log 4-=，即kx x 4-=，即0)14(=+x k 对一切x ∈R 恒成立，∴41-=k ． （2）由)(x f m =x x21)14(log 4-+=x x 214log 4+=41log 22x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵2212≥+xx，∴212log 4=≥m ．20．【答案】（1）1(,1),k ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U ；（2）1,110⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】（1）由011>--x kx 及0>k 得011>--x k x ． 当10<<k 时，11>k ，解得1<x 或kx 1>； 当1=k 时，解得x ∈R 且1≠x ； 当1>k 时，11<k ，解得kx 1<或1>x ； 综上，当10<<k 时，函数的定义域为1(,1),k ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U ；当1≥k 时，函数的定义域为1,(1,)k ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U ．（2）∵函数)(x f 在),10[+∞上是增函数，∴0110110>--k ，∴101>k ．又1()lg 1k f x k x -⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，故对任意21,x x ，当2110x x <≤时，有)()(21x f x f <，则1211lg lg 11k k k k x x ⎛⎫⎛⎫--+<+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，即111121--<--x k x k ， ∵111121--<--x k x k 0)1)(1())(1(2112<----⇔x x x x k ，又011>-x ，012>-x ，012>-x x ，∴01<-k ，即1<k ．综上可知k 的取值范围是1,110⎛⎫⎪⎝⎭．21．【答案】（1）2a =，1b =；（2）见解析；（3）13k <-．【解析】（1）∵()f x 是R 上的奇函数，∴()00f =，即-102ba+=+，解得1b =， 从而有()1212xx f x a+-+=+，又()()11f f =--知1121241a a -+-+=-++，解得2a =．当2a =，1=b 时，12221)(++-=x xx f 12121++-=x ，∴12121)(++-=--x x f x x 21221++-=121)12(21+-++-=x x 12121+-=x )(x f -=， ∴()f x 是奇函数．从而，2a =，1b =符合题意．（2）证明：由（1）知)(x f 12121++-=x ，设21x x <， 则-)(1x f 1211)(2x x f +=2211x +-)12)(12(222112++-=x x x x ， ∵21x x <，∴02212>-x x ，∴-)(1x f 0)(2>x f ，即>)(1x f )(2x f ． ∴函数()f x 在R 上为减函数．（3）∵()f x 是奇函数，∴不等式()()22220f t t f t k -+-<， ⇔)2()2(22k t f t t f --<-⇔)2()2(22k t f t t f +-<-．∵()f x 是R 上的减函数，∴2222t t t k ->-+，即对一切，t ∈R 有2320t t k -->，从而4120k ∆=+<，解得13k <-． 22．【答案】（1）[e,)+∞；（2）2(2e 1e ,)+-+∞．【解析】（1）∵0x >，∴2e ()2e g x x x=+≥=，当且仅当e x =时取等号， 即函数()g x 的值域是[2e,)+∞，要使函数()()2h x g x m =-有零点，则只需22e m ≥，∴m 的取值范围是[e,)+∞；（2）∵方程()()0f x g x -=有两个异相实根，∴函数()f x 的图象与函数()g x 的图象 有两个不同的交点；∵222()2e 1(e)1e f x x x m x m =-++-=--+-+， ∴其对称轴为e x =，开口向下，最大值为21e m -+．由（1）知，函数()g x 的值域是[2e,)+∞，即()g x 的最小值为2e ，∴21e 2e m -+>，即22e 1e m >+-，故m 的取值范围是2(2e 1e ,)+-+∞．。
高三一轮复习对数和指数函数试题及答案
对数函数一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内.1．对数式b a a =--)5(log 2中，实数a 的取值范围是 （ ）A ．)5,(-∞B ．(2,5)C ．),2(+∞D ． )5,3()3,2(Y2．如果lgx =lga +3lgb －5lgc ，那么（ ）A ．x =a +3b －cB ．cabx 53=C ．53cab x = D ．x =a +b 3－c 33．设函数y =lg(x 2－5x )的定义域为M ，函数y =lg(x －5)+lg x 的定义域为N ，则 （ ） A ．M ∪N=R B ．M=NC ．M ⊇ND ．M ⊆N4．若函数log 2(kx 2+4kx +3)的定义域为R ，则k 的取值范围是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛43,0 B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,0 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,0 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-∞,43]0,(Y5．下列函数图象正确的是 （ ）A B C D 6．已知函数)(1)()(x f x f x g -=，其中log 2f (x )=2x ，x ∈R ，则g(x ) （ ）A ．是奇函数又是减函数B ．是偶函数又是增函数C ．是奇函数又是增函数D ．是偶函数又是减函数 8．如果y=log 2a －1x 在(0，+∞)内是减函数，则a 的取值范围是 （ ）A ．｜a ｜＞1B ．｜a ｜＜2C ．a 2-<D ．21<<a二、填空题：请把答案填在题中横线上. 9．函数)2(log 221x y -=的定义域是 ，值域是 .10．方程log 2(2x +1)log 2(2x +1+2)=2的解为 .11．将函数xy 2=的图象向左平移一个单位，得到图象C 1，再将C 1向上平移一个单位得到图象C 2，作出C 2关于直线y =x 对称的图象C 3，则C 3的解析式为 .12．函数y=)124(log 221-+x x 的单调递增区间是 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13．已知函数)(log )1(log 11log )(222x p x x x x f -+-+-+=. (1)求函数f (x )的定义域；(2)求函数f (x )的值域.14．设函数)1lg()(2++=x x x f .(1)确定函数f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的奇偶性；(3)证明函数f (x )在其定义域上是单调增函数； (4)求函数f(x)的反函数.15．现有某种细胞100个，其中有占总数12的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？（参考数据：lg30.477,lg 20.301==）.16．如图，A ，B ，C 为函数x y 21log =的图象上的三点，它们的横坐标分别是t , t +2, t +4(t ≥1). (1)设∆ABC 的面积为S 求S=f (t ) ； (2)判断函数S=f (t )的单调性； (3) 求S=f (t)的最大值.17．已求函数)1,0)((log 2≠>-=a a x x y a 的单调区间.参考答案一、DCCB BDBD二、9． (][)2,112Y --， [)+∞,0； 10．0； 11．1)1(log 2--=x y ； 12． )2,(--∞； 三、13． 解：(1)函数的定义域为(1，p ).(2)当p ＞3时，f (x )的值域为(－∞，2log 2(p +1)－2)； 当1＜p ≤3时，f (x )的值域为(－∞，1+log2(p +1)).14．解： (1)由⎪⎩⎪⎨⎧≥+>++010122x x x 得x ∈R ，定义域为R. (2)是奇函数. (3)设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2， 则11lg )()(22221121++++=-x x x x x f x f . 令12++=x x t ，则)1()1(22221121++-++=-x x x x t t .=)11()(222121+-++-x x x x=11))(()(2221212121++++-+-x x x x x x x x=1111)((222121222121++++++++-x x x x x x x x∵x 1－x 2＜0，01121>++x x ，01222>++x x ，0112221>+++x x ，∴t 1－t 2＜0，∴0＜t 1＜t 2，∴1021<<t t ， ∴f (x 1)－f (x 2)＜lg1=0，即f (x 1)＜f (x 2)，∴ 函数f(x)在R 上是单调增函数.(4)反函数为x xy 1021102⋅-=(x ∈R).15．解：现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数， 1小时后，细胞总数为1131001002100222⨯+⨯⨯=⨯；2小时后，细胞总数为13139100100210022224⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯；3小时后，细胞总数为191927100100210024248⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯；4小时后，细胞总数为127127811001002100282816⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯；可见，细胞总数y 与时间x （小时）之间的函数关系为： 31002xy ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，x N *∈由103100102x⎛⎫⨯> ⎪⎝⎭，得83102x⎛⎫> ⎪⎝⎭，两边取以10为底的对数，得3lg 82x >，∴8lg 3lg 2x >-， ∵8845.45lg3lg 20.4770.301=≈--，∴45.45x >.16．解：（1）过A,B,C,分别作AA 1,BB 1,CC 1垂直于x 轴，垂足为A 1,B 1,C 1， 则S=S 梯形AA 1B 1B +S 梯形BB 1C 1C －S 梯形AA 1C 1C .)441(log )2(4log 232231t t t t t ++=++= （2）因为v =t t 42+在),1[+∞上是增函数,且v ≥5,[)∞++=.541在v v 上是减函数，且1<u ≤59; S ⎥⎦⎤⎝⎛=59,1log 3在u 上是增函数，所以复合函数S=f (t ) [)+∞++=,1)441(log 23在tt 上是减函数 （3）由（2）知t =1时，S 有最大值，最大值是f (1) 5log 259log 33-==17．解：由2x x ->0得0<x<1，所以函数)(log 2x x y a -=的定义域是(0,1)因为0<2x x -=4141)21(2≤+--x ， 所以，当0<a <1时, 41log )(log 2aa x x ≥- 函数)(log 2x x y a -=的值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,41log a ; 当a >1时, 41log )(log 2aa x x ≤- 函数)(log 2x x y a -=的值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-41log,a当0<a <1时，函数)(log 2x x y a -=在⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0上是减函数，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21上是增函数； 当a >1时，函数)(log 2x x y a -=在⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0上是增函数，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21上是减函数.指数函数2.函数y=32x的图象与直线y=x的位置关系是( )3.若函数y=a x+b-1(a>0且a≠1)的图象经过二、三、四象限，则一定有( )A.0<a<1且b>0B.a>1且b>0C.0<a<1且b<0D.a>1且b<04. 函数y=－e x的图象A.与y=e x的图象关于y轴对称B.与y=e x的图象关于坐标原点对称C.与y=e－x的图象关于y轴对称D.与y=e－x的图象关于坐标原点对称5. 若直线y=2a与函数y=|a x－1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是__________.6.函数⎪⎭⎫⎝⎛=21y222+-xx的递增区间是___________.题型一：指数式的运算1、已知32121=+-xx，求23222323-+-+--xxxx的值；题型二：指数方程及应用3、解方程⑴ 4x+2x-2=0 ⑵4x+|1－2x|=11.4.若函数1,0()1(),03xxxf xx⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩则不等式1|()|3f x≥的解集为____________.解：本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.（1）由01|()|301133x f x x x <⎧⎪≥⇒⇒-≤<⎨≥⎪⎩.（2）由001|()|01111133333x xx x f x x ≥⎧≥⎧⎪⎪≥⇒⇒⇒≤≤⎨⎨⎛⎫⎛⎫≥≥ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎩.∴不等式1|()|3f x ≥的解集为{}|31x x -≤≤，∴应填[]3,1-. 题型三：指数函数的图像与应用5、右图是指数函数①y=a x ,②y=b x ,③y=c x ,④y=d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是( ) A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c6、若函数m y x +=-|1|)21(的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≤－1B ．－1≤m<0C ．m ≥1D ．0<m ≤17．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2] 由f (1)＝19得a 2＝19， ∴a ＝13(a ＝－13舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|. 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2)上递减，在(2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2)上递增，在(2，＋∞)上递减．故选B.8、方程2x =2－x 的解的个数为______________. 题型四：指数函数单调性的运用 9、⑴ 函数⎪⎭⎫⎝⎛=21y 222+-x x 的单调区间是 .⑵ 函数y =262--x x 的递增区间是 .10、已知 22xx +≤2)41(-x ， 求函数y=22X X --的值域。
2019届高考数学一轮复习第三单元综合检测B卷附答案解析
第三单元指数函数、对数函数、幂函数一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1）A ．52B ．2C ．3D ．42．若()f x 是幂函数，且满足()()442f f =，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．4-B ．4C ．14-D ．143．函数)1(>=a a y x的图象是（）4．已知 1.20.6(0.6)(1.2)a a >，则a 的取值范围是（）A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(1,)+∞D ．(,1)-∞5．若关于x 的方程9(4)340x x a ++⋅+=有解，则实数a 的取值范围是（）A ．(,8][0,)-∞-+∞B ．(,4)-∞-C ．[8,4)--D ．(,8]-∞-6．如果0log log >>a a y x ，且10<<a ，那么（）A ．1<<y x B ．1<<x y C ．1>>y x D ．1>>x y 7．设2log 1=a ，31log 1=b ，0.312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．ac b <<D ．ca b <<8．函数()212x x x f x =+-在其定义域内是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数9．函数e e e -ex xx x y --+=的图像大致为（）10．对于01a <<，给出下列四个不等式：①1log (1)log 1a a a a ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭；②1log (1)log 1a a a a ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭；③111aaaa++<；④111aaaa++>；其中成立的是（）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④11．已知函数)4(log 2ax y a -=在区间]2,0[上是减函数，则实数a 的取值范围是（）．A ．)2,1()1,( --∞B ．)1,0()0,1( -C ．)1,0()1,( --∞D ．)2,1()0,1( -12．已知函数2144()log log f x x x m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当[]2,4x ∈时，函数()f x 有最大值7，则m =（）A ．254B ．5C ．7D ．5-二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．已知1249a =，则32log a ＝．14．已知幂函数3222)1()(----=m mxm m x f 在),0(+∞上是减函数，则实数=m ．15．指数函数xa x f =)(，(0a >且)1≠a 在区间]2,1[上的最大值和最小值的差为22a ，则a 的值为．16．设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，若当),0(+∞∈x 时，x x f lg )(=，则满足0)(≥x f 的x 的取值范围为．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(10分)设0a >且1a ≠，已知函数221x x y a a =+-在[1,1]-上的最大值为14，求a 的值．18．(12分)已知幂函数322)(++-=m m xx f ，()m ∈Z 为偶函数，且在区间()+∞,0内是单调递增函数．（1）求函数)(x f 的解析式；（2）设函数λ-+=x x f x g 2)()(，若0)(<x g 对任意[]1,1-∈x 恒成立，求实数λ的取值范围．19．(12分)已知函数kx x f x 2)14(log )(4++=，()k ∈R 是偶函数．（1）求k 的值；（2）若方程m x f =)(有解，求实数m 的取值范围．20．(12分)已知函数1lg)(--=x kx x f ()0k >．（1）求函数)(x f 的定义域；（2）若函数)(x f 在),10[+∞上单调递增，求k 的取值范围．21．(12分)已知定义域为R 的函数()122x x bf x a+-+=+是奇函数．（1）求a ，b 的值；（2）证明：函数在R 上是减函数；（3）若对任意的t ∈R ，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围．22．(12分)已知函数2()2e 1f x x x m =-++-，2e ()g x x x=+(0)x >；（1）若函数()()2h x g x m =-有零点，求m 的取值范围；（2）若方程()()0f x g x -=有两个异相实根，求m 的取值范围．一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（B ）第三单元指数函数、对数函数、幂函数一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【答案】D【解析】D ．2．【答案】D【解析】()f x 是幂函数，设()af x x =，（a 为常数），由()()442422a a a f f ===，解得2a =，()2f x x =，所以11f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选D ．3．【答案】B ．【解析】()()00x xx a x y a a x -⎧≥⎪==⎨<⎪⎩，∵1>a ，当0>x 时，函数x a y =递增，且1>y ，故选B ．4．【答案】B【解析】由指数函数x y 6.0=是减函数知，16.06.0002.1=<<，由指数函数x y 2.1=是增函数知，12.12.106.0=>，∴ 1.20.60.6 1.2<，考察幂函数a y x =，由 1.20.6(0.6)(1.2)a a >知，0a <，故选B ．5．【答案】D【解析】由9(4)340x x a ++⋅+=，得()43403x x a +++=，∴()44343xx a -+=+≥，即8a ≤-，故选D ．6．【答案】B【解析】∵0log log >>a a y x ，∴0lg lg lg lg >>yax a ，∵0lg <a ，∴0lg lg <<x y ，∴1<<x y ，故选B ．7．【答案】B【解析】1log 20a =<，11log 13b =>，∵0.3110122⎛⎫⎛⎫<<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴10<<c ，∴b c a <<，故选B ．8．【答案】B【解析】()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，关于原点对称，∵()212x x xf x ----=+-2(211)()122122122122121x x x x x xxx x x x x x x x x x x f x -⋅-+=-=-=-=+=+=-----，∴函数()f x 为偶函数，故选B ．9．【答案】A ．【解析】函数e e e -ex xx x y --+=有意义，需使e -e 0x x -≠，其定义域为{}0x x ≠，因为222e e e 121e -e e 1e 1x x x x x x x y --++===+--，所以当0x >时，2e 1x >，1>y ，且函数为减函数，故排除B 、C 、D ，故选A ．10．【答案】D【解析】01a << ，11a ∴>，111a a∴+<+，根据指数函数与对数函数的单调性可知选D ．11．【答案】D ．【解析】当12>a 时，a 满足210420a a a ⎧>⎪>⎨⎪->⎩，解得21<<a ；当102<<a 时，a 满足2010420a a a ⎧<<⎪<⎨⎪->⎩，解得01<<-a ，故选D ．12．【答案】B【解析】∵[2,4]x ∈，∴111log 4log log 2x ≤≤，即111log 2x -≤≤-，令1log t x =，则11t -≤≤-，且2221411444()log log log log f x x x m x x m t t m ⎛⎫⎛⎫=++=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设2()g t t t m =-+，其对称轴为12t =，∴()g t 在11,⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，则max [()](1)2g t g m =-=+，即()f x 的最大值为2m +，由题设知，27m +=，∴5m =，故选B ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．【答案】41【解析】∵2124293a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴42a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴32log a＝442322lglg2133log 224lg lg ⎛⎫ ⎪⎝⎭===⎛⎫ ⎪⎝⎭．14．【答案】2【解析】由112=--m m 解得2=m 或1-=m ，当2=m 时，3322-=--m m ；当1-=m 时，0322=--m m ，不符合题意，故舍去．15．【答案】2或32【解析】当1>a 时，xa x f =)(是增函数，∴222a a a =-，解得2=a ；当10<<a 时，222a a a =-，解得32=a ．16．【答案】),1[]0,1[+∞- 【解析】当),0(+∞∈x ，0lg )(≥=x x f ，解得1≥x ；当)0,(-∞∈x ，)()(x f x f --=()lg 0x =--≥，解得01<≤-x ；当0=x 时，0)0(=f ．综上可知0)(≥x f 的x 的取值范围是),1[]0,1[+∞- ．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【答案】3a =或13a =．【解析】2221(1)2x x x y a a y a =+-==+-，[1,1]x ∈-；（1）当1a >时，∵[1,1]x ∈-，∴1,x a a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令x t a =，则2(1)2y t =+-，1,t a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；∵对称轴为1t =-，∴在1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上函数2(1)2y t =+-单调递增，故当t a =时，即x a a =，1x =时，y 取到最大值14，由题设知，22114a a +-=，解得3a =或5a =-(舍去)；（2）当01a <<时，∵[1,1]x ∈-，∴1,x a a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令x t a =，则2(1)2y t =+-，1,t a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵对称轴为1t =-，∴在1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上函数2(1)2y t =+-单调递增，故当1t a =时，即1xa a=，1x =-时，y 取最大值；由题设知，212114a a +-=，解得13a =或15a =-（舍去）；综上知，3a =或13a =．18．【答案】（1）4)(x x f =；（2）3>λ．【解析】（1）∵幂函数322)(++-=m m xx f ，()m ∈Z 在区间()+∞,0内是单调递增函数．∴0322>++-m m ，解得31<<-m ，∵m ∈Z ，∴0m =，1，2．当0=m 时，3322=++-m m ；当1=m 时，4322=++-m m ；当2=m 时，3322=++-m m ；∵幂函数223()mm f x x-++=，m ∈Z 为偶函数，∴322++-m m 为偶数．∴1=m ，4)(x x f =．（2）λ-+=x x f x g 2)()(λ-+=x x 22，0)(<x g 对任意[]1,1-∈x 恒成立，即022<-+λx x ，[]1,1-∈x 恒成立，∴x x 22+>λ，[]1,1-∈x 恒成立．∵1)1(222-+=+x x x ，∴当1=x 时，3)2(max 2=+x x ，∴3>λ．19．【答案】（1）41-=k ；（2）12m ≥．【解析】（1）由函数)(x f 是偶函数可知)()(x f x f =-，即kx x 2)14(log 4++kx x 2)14(log 4-+=-，化简得kx xx 41414log 4-=++-，∴kx xx x 414)14(4log 4-=++⋅，∴kx x 44log 4-=，即kx x 4-=，即0)14(=+x k 对一切x ∈R 恒成立，∴41-=k ．（2）由)(x f m =x x21)14(log 4-+=x x 214log 4+=41log 22x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵2212≥+xx ，∴212log 4=≥m ．20．【答案】（1）1(,1),k⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；（2）1,110⎛⎫⎪⎝⎭．【解析】（1）由011>--x kx 及0>k 得011>--x k x ．当10<<k 时，11>k ，解得1<x 或kx 1>；当1=k 时，解得x ∈R 且1≠x ；当1>k 时，11<k ，解得kx 1<或1>x ；综上，当10<<k 时，函数的定义域为1(,1),k⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；当1≥k 时，函数的定义域为1,(1,)k ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭．（2）∵函数)(x f 在),10[+∞上是增函数，∴0110110>--k ，∴101>k ．又1()lg 1k f x k x -⎛⎫=+⎪-⎝⎭，故对任意21,x x ，当2110x x <≤时，有)()(21x f x f <，则1211lg lg 11k k k k x x ⎛⎫⎛⎫--+<+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，即1121--<--x k x k ，∵111121--<--x k x k 0)1)(1())(1(2112<----⇔x x x x k ，又011>-x ，012>-x ，012>-x x ，∴01<-k ，即1<k ．综上可知k 的取值范围是1,1⎛⎫⎪⎝⎭．21．【答案】（1）2a =，1b =；（2）见解析；（3）1k <-．【解析】（1）∵()f x 是R 上的奇函数，∴()00f =，即-102ba+=+，解得1b =，从而有()1212xx f x a+-+=+，又()()11f f =--知1121241a a -+-+=-++，解得2a =．当2a =，1=b 时，12221)(++-=x xx f 12121++-=x ，∴12121)(++-=--x x f x x 21221++-=121)12(21+-++-=x x 12121+-=x)(x f -=，∴()f x 是奇函数．从而，2a =，1b =符合题意．（2）证明：由（1）知)(x f 12121++-=x ，设21x x <，则-)(1x f 11)(2x x f +=21x +-)12)(12(222112++-=x x x x ，∵21x x <，∴02212>-x x ，∴-)(1x f 0)(2>x f ，即>)(1x f )(2x f ．∴函数()f x 在R 上为减函数．（3）∵()f x 是奇函数，∴不等式()()22220f t t f t k -+-<，⇔)2()2(22k t f t t f --<-⇔)2()2(22k t f t t f +-<-．∵()f x 是R 上的减函数，∴2222t t t k ->-+，即对一切，t ∈R 有2320t t k -->，从而4120k ∆=+<，解得13k <-．22．【答案】（1）[e,)+∞；（2）2(2e 1e ,)+-+∞．【解析】（1）∵0x >，∴2e ()2e g x x x=+≥=，当且仅当e x =时取等号，即函数()g x 的值域是[2e,)+∞，要使函数()()2h x g x m =-有零点，则只需22e m ≥，∴m 的取值范围是[e,)+∞；（2）∵方程()()0f x g x -=有两个异相实根，∴函数()f x 的图象与函数()g x 的图象有两个不同的交点；∵222()2e 1(e)1e f x x x m x m =-++-=--+-+，∴其对称轴为e x =，开口向下，最大值为21e m -+．由（1）知，函数()g x 的值域是[2e,)+∞，即()g x 的最小值为2e ，∴21e 2e m -+>，即22e 1e m >+-，故m 的取值范围是2(2e 1e ,)+-+∞．。
最新高三理科数学一轮单元卷：第三单元 指数函数、对数函数、幂函数 B卷
一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（B ） 第三单元 指数函数、对数函数、幂函数注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是1 ）A C ．3D ．42．若()f x 是幂函数，且满足()()442f =，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．4-B ．4C ．14-D ．143．函数)1(>=a a y x的图象是（ ）4．已知 1.20.6(0.6)(1.2)a a>，则a 的取值范围是（ ）A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(1,)+∞D ．(,1)-∞5．若关于x 的方程9(4)340x xa ++⋅+=有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,8][0,)-∞-+∞B ．(,4)-∞-C ．[8,4)--D ．(,8]-∞-6．如果0log log >>a a y x ，且10<<a ，那么（ ） A ．1<<y xB ．1<<x yC ．1>>y xD ．1>>x y7．设2log 31=a ，31log 21=b ，0.312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<8．函数()212x x xf x =+-在其定义域内是（ ） A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数9．函数e e e -ex xx x y --+=的图像大致为（ ）10．对于01a <<，给出下列四个不等式：①1log (1)log 1a a a a ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭； ②1log (1)log 1a a a a ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭；③111aaaa++<；④111aaaa++>；其中成立的是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④11．已知函数)4(log 2ax y a -=在区间]2,0[上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．)2,1()1,( --∞ B ．)1,0()0,1( -C ．)1,0()1,( --∞D ．)2,1()0,1( -12．已知函数2144()log log f x x x m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当[]2,4x ∈时，函数()f x 有最大值7，则m =（ ）A ．254B ．5C ．7D ．5-二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．已知1249a =，则32log a ＝ ．14．已知幂函数3222)1()(----=m mx m m x f 在),0(+∞上是减函数，则实数=m ．15．指数函数xa x f =)(，(0a >且)1≠a 在区间]2,1[上的最大值和最小值的差为22a ，则a 的值为 ．16．设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，若当),0(+∞∈x 时，x x f lg )(=，则满足0)(≥x f 的x 的取值范围为 ．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．(10分)设0a >且1a ≠，已知函数221xx y a a =+-在[1,1]-上的最大值为14，求a 的值．18．(12分)已知幂函数322)(++-=m m x x f ，()m ∈Z 为偶函数，且在区间()+∞,0内是单调递增函数．（1）求函数)(x f 的解析式； （2）设函数λ-+=x x f x g 2)()(，若0)(<x g 对任意[]1,1-∈x 恒成立，求实数λ的取值范围．19．(12分)已知函数kx x f x2)14(log )(4++=，()k ∈R 是偶函数．（1）求k 的值；（2）若方程m x f =)(有解，求实数m 的取值范围．20．(12分)已知函数11lg )(--=x kx x f ()0k >． （1）求函数)(x f 的定义域；（2）若函数)(x f 在),10[+∞上单调递增，求k 的取值范围．21．(12分)已知定义域为R 的函数()122x x bf x a+-+=+是奇函数．（1）求a ，b 的值；（2）证明：函数在R 上是减函数；（3）若对任意的t ∈R ，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围．22．(12分)已知函数2()2e 1f x x x m =-++-，2e ()g x x x=+(0)x >； （1）若函数()()2h x g x m =-有零点，求m 的取值范围； （2）若方程()()0f x g x -=有两个异相实根，求m 的取值范围．一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（B ） 第三单元 指数函数、对数函数、幂函数一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】D【解析】D ． 2．【答案】D【解析】()f x 是幂函数，设()af x x =，（a 为常数），由()()442422aa a f f ===，解得2a =，()2f x x =，所以1124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选D ．3．【答案】B ．【解析】()()00x xx a x y a a x -⎧≥⎪==⎨<⎪⎩，∵1>a ，当0>x 时，函数x a y =递增，且1>y ，故选B ．4．【答案】B【解析】由指数函数x y 6.0=是减函数知，16.06.0002.1=<<，由指数函数xy 2.1=是 增函数知，12.12.106.0=>，∴ 1.20.60.6 1.2<，考察幂函数ay x =， 由 1.20.6(0.6)(1.2)a a>知，0a <，故选B ．5．【答案】D【解析】由9(4)340x xa ++⋅+=，得()43403x x a +++=，∴()44343xxa -+=+≥，即8a ≤-，故选D ． 6．【答案】B【解析】∵0log log >>a a y x ，∴0lg lg lg lg >>yax a ，∵0lg <a ，∴0lg lg <<x y ， ∴1<<x y ，故选B ． 7．【答案】B【解析】13log 20a =<，121log 13b =>，∵0.3110122⎛⎫⎛⎫<<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴10<<c ， ∴b c a <<，故选B ． 8．【答案】B【解析】()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，关于原点对称，∵()212xx xf x ----=+- 2(211)()1221221221221212x x x x x xx x x x x x x x x x x x f x -⋅-+=-=-=-=+-=+=-----， ∴函数()f x 为偶函数，故选B ．9．【答案】A ．【解析】函数e e e -ex x x x y --+=有意义，需使e -e 0x x -≠，其定义域为{}0x x ≠，因为222e e e 121e -e e 1e 1x x x x x x xy --++===+--，所以当0x >时，2e 1x >，1>y ，且函数为减函数，故排除B 、C 、D ，故选A ． 10．【答案】D 【解析】01a <<，11a ∴>，111a a∴+<+，根据指数函数与对数函数的单调性可知 选D ．11．【答案】D ．【解析】当12>a 时，a 满足210420a a a ⎧>⎪>⎨⎪->⎩，解得21<<a ；当102<<a 时，a 满足2010420a a a ⎧<<⎪<⎨⎪->⎩，解得01<<-a ，故选D ． 12．【答案】B【解析】∵[2,4]x ∈，∴111444l o g 4l o g l o g 2x ≤≤，即1411l o g 2x -≤≤-，令14l o g t x =，则112t -≤≤-，且2221411444()log log log log f x x x m x x m t t m ⎛⎫⎛⎫=++=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设2()g t t t m =-+，其对称轴为12t =，∴()g t 在11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，则max [()](1)2g t g m =-=+，即()f x 的最大值为2m +，由题设知，27m +=， ∴5m =，故选B ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】41【解析】∵2124293a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴423a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴32log a ＝442322lglg2133log 23424lg lg 33⎛⎫ ⎪⎝⎭===⎛⎫ ⎪⎝⎭． 14．【答案】2【解析】由112=--m m 解得2=m 或1-=m ，当2=m 时，3322-=--m m ； 当1-=m 时，0322=--m m ，不符合题意，故舍去．15．【答案】2或32【解析】当1>a 时，xa x f =)(是增函数，∴222a a a =-，解得2=a ；当10<<a 时，222a a a =-，解得32=a ．16．【答案】),1[]0,1[+∞-【解析】当),0(+∞∈x ，0lg )(≥=x x f ，解得1≥x ；当)0,(-∞∈x ，)()(x f x f --=()lg 0x =--≥，解得01<≤-x ； 当0=x 时，0)0(=f ．综上可知0)(≥x f 的x 的取值范围是),1[]0,1[+∞- ．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【答案】3a =或13a =． 【解析】2221(1)2xx x y aa y a =+-==+-，[1,1]x ∈-；（1）当1a >时，∵[1,1]x ∈-，∴1,xa a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令x t a =，则2(1)2y t =+-，1,t a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；∵对称轴为1t =-，∴在1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上函数2(1)2y t =+-单调递增，故当t a =时，即x a a =，1x =时，y 取到最大值14， 由题设知，22114a a +-=，解得3a =或5a =-(舍去)；（2）当01a <<时，∵[1,1]x ∈-，∴1,xa a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令x t a =，则2(1)2y t =+-，1,t a a⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵对称轴为1t =-，∴在1,a a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上函数2(1)2y t =+-单调递增，故当1t a=时，即1x a a =，1x =-时，y 取最大值；由题设知，212114a a+-=，解得13a =或15a =-（舍去）；综上知，3a =或13a =．18．【答案】（1）4)(x x f =；（2）3>λ．【解析】（1）∵幂函数322)(++-=m m xx f ，()m ∈Z 在区间()+∞,0内是单调递增函数．∴0322>++-m m ，解得31<<-m ，∵m ∈Z ，∴0m =，1，2．当0=m 时，3322=++-m m ；当1=m 时，4322=++-m m ； 当2=m 时，3322=++-m m ；∵幂函数223()mm f x x -++=，m ∈Z 为偶函数，∴322++-m m 为偶数．∴1=m ，4)(x x f =．（2）λ-+=x x f x g 2)()(λ-+=x x 22，0)(<x g 对任意[]1,1-∈x 恒成立，即022<-+λx x ，[]1,1-∈x 恒成立， ∴x x 22+>λ，[]1,1-∈x 恒成立．∵1)1(222-+=+x x x ，∴当1=x 时，3)2(m ax 2=+x x ，∴3>λ．19．【答案】（1）41-=k ；（2）12m ≥．【解析】（1）由函数)(x f 是偶函数可知)()(x f x f =-，即kx x2)14(log 4++kx x 2)14(log 4-+=-，化简得kx x x 41414log 4-=++-，∴kx xx x 414)14(4log 4-=++⋅， ∴kx x44log 4-=，即kx x 4-=，即0)14(=+x k 对一切x ∈R 恒成立，∴41-=k ． （2）由)(x f m =x x21)14(log 4-+=x x 214log 4+=41log 22x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵2212≥+x x，∴212log 4=≥m ．20．【答案】（1）1(,1),k ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；（2）1,110⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】（1）由011>--x kx 及0>k 得011>--x k x ． 当10<<k 时，11>k ，解得1<x 或kx 1>；当1=k 时，解得x ∈R 且1≠x ； 当1>k 时，11<k ，解得kx 1<或1>x ； 综上，当10<<k 时，函数的定义域为1(,1),k ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭； 当1≥k 时，函数的定义域为1,(1,)k ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭．（2）∵函数)(x f 在),10[+∞上是增函数，∴0110110>--k ，∴101>k ．又1()lg 1k f x k x -⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，故对任意21,x x ，当2110x x <≤时，有)()(21x f x f <，则1211lg lg 11k k k k x x ⎛⎫⎛⎫--+<+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，即111121--<--x k x k ， ∵111121--<--x k x k 0)1)(1())(1(2112<----⇔x x x x k ，又011>-x ，012>-x ，012>-x x ，∴01<-k ，即1<k ．综上可知k 的取值范围是1,110⎛⎫⎪⎝⎭．21．【答案】（1）2a =，1b =；（2）见解析；（3）13k <-．【解析】（1）∵()f x 是R 上的奇函数，∴()00f =，即-102ba +=+，解得1b =，从而有()1212xx f x a+-+=+，又()()11f f =--知1121241a a -+-+=-++，解得2a =． 当2a =，1=b 时，12221)(++-=x xx f 12121++-=x ，∴12121)(++-=--x x f x x 21221++-=121)12(21+-++-=x x 12121+-=x )(x f -=， ∴()f x 是奇函数．从而，2a =，1b =符合题意． （2）证明：由（1）知)(x f 12121++-=x ，设21x x <， 则-)(1x f 1211)(2x x f +=2211x +-)12)(12(222112++-=x x x x ， ∵21x x <，∴02212>-x x ，∴-)(1x f 0)(2>x f ，即>)(1x f )(2x f ．∴函数()f x 在R 上为减函数．（3）∵()f x 是奇函数，∴不等式()()22220f t t f t k -+-<，⇔)2()2(22k t f t t f --<-⇔)2()2(22k t f t t f +-<-．∵()f x 是R 上的减函数，∴2222t t t k ->-+，即对一切，t ∈R 有2320t t k -->，从而4120k ∆=+<，解得13k <-．22．【答案】（1）[e,)+∞；（2）2(2e 1e ,)+-+∞．【解析】（1）∵0x >，∴2e ()2e g x x x=+≥=，当且仅当e x =时取等号，即函数()g x 的值域是[2e,)+∞，要使函数()()2h x g x m =-有零点， 则只需22e m ≥，∴m 的取值范围是[e,)+∞；（2）∵方程()()0f x g x -=有两个异相实根，∴函数()f x 的图象与函数()g x 的图象有两个不同的交点；∵222()2e 1(e)1e f x x x m x m =-++-=--+-+，∴其对称轴为e x =，开口向下，最大值为21e m -+．由（1）知，函数()g x 的值域是[2e,)+∞，即()g x 的最小值为2e ， ∴21e 2e m -+>，即22e 1e m >+-， 故m 的取值范围是2(2e 1e ,)+-+∞．。
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一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ） 第三单元 指数函数、对数函数、幂函数注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列判断正确的是（ ） A ． 1.521.6 1.6>B ．0.20.30.50.5>C ．0.3 3.11.60.5<D ．23log 0.5log 2>2．幂函数()y f x =的图象经过点(，则()f x 的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．3．当01a <<时，在同一坐标系中，函数log x a y a y x -==与的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知01a <<，则2a ，2a ，2log a 的大小关系为（ ） A ．222log a a a >> B ．22log 2a a a >> C ．222log a a a >>D ．222log a a a >>5．函数()()212log 23f x xx =--的单调递减区间是（ ）A ．()1-∞，B ．()1-∞-，C ．()3+∞，D ．()1+∞，6．已知122．a =，0812．b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，62log 2c =则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．a c b <<7．关于x 的方程1204xa ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭有解，则a 的取值范围是（ ）A ．01a ≤<B ．12a ≤<C ．1a ≥D ．2a >8．已知函数()()2log 41x x a f x a a =-+，且01a <<，则使()0f x <的x 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞B ．()0,+∞C ．()2log 2,a +∞D ．(),2log 2a -∞9．函数()2ln 2f x x x =-+与()4g x x =，两函数图象所有交点的横坐标之和为（ ） A ．0B ．2C ．4D ．810．若不等式()2log 210a ax x -+>（0a >，且1a ≠）在[]1,2x ∈上恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,2B ．()2,+∞C ．()()0,12,+∞D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭11．已知函数()f x 为偶函数，当0x >时，()4x f x -=，设()3log 0.2a f =，()0.23b f -=，()1.13c f =-，则（ ）A ． c a b >>B ． a b c >>C ． c b a >>D ． b a c >>12．设函数()21,25,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数a ，b ，c 满足()()()f a f b f c ==，则222a b c ++的取值范围是（ ）A ．()16,32B ．()18,34C ．()17,35D ．()6,7二、填空题13．已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________． 14．ln133log 18log 2e -+=__________．15．函数()20152017x f x a -=+（0a >且1a ≠）所过的定点坐标为__________．16．已知函数()f x =()123,1ln ,1a x a x x x ⎧⎪⎨+<≥⎪⎩-，的值域为R ，那么a 的取值范围是________． 三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．(10分）计算题（1（218．(12分）已知函数()31log 1xf x x+=-． （1）求函数的定义域． （2）判断()f x 的奇偶性．（3）判断()f x 的单调性（只写出结论即可），并求当1425x -≤≤时，函数()f x 的值域．19．(12分）已知函数()xf x a =（0a >且1a ≠）的图象经过点12,9⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）比较()2f 与()22f b +的大小； （2）求函数()22xxg x a-=，()0x ≥的值域．20．(12分）已知函数()xf x b a =⋅(其中a ，b 为常量且0a >且1a ≠）的图象经过点()1,8A ，()3,32B ．（1）试求a ，b 的值；（2）若不等式110x xm a b ⎛⎫⎛⎫+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(],1x ∈-∞时恒成立，求实数m 的取值范围．21．(12分）已知函数()3axf x a-=（0a >且1a ≠）．（1）当2a =时，()4f x <，求x 的取值范围；（2）若()f x 在[]0,1上的最小值大于1，求a 的取值范围．22．(12分）已知函数()x f x b a =⋅（其中a ，b 为常量，且0a >，1a ≠的图象经过点()1,2A ，()3,8B ． （1）求a ，b 的值．（2）当2x ≤-时，函数11xy a b⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像恒在函数4y x m =+图像的上方，求实数m 的取值范围．（）定义在[],p q 上的一个函数()m x ，如果存在一个常数0M >，使得式子()()11nii i m x m xM-=-≤∑对一切大于1的自然数n 都成立，则称函数()m x 为“[],p q 上的H 函数”（其中，011)i n P x x x x x q -=<<<<<<= ．试判断函数()f x 是否为“[]1,3-上的H 函数”．若是，则求出M 的最小值；若不是，则请说明理由．（注：()()()()121nini k x k x k x k x ==+++∑ ）．一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（A ） 第三单元 指数函数、对数函数、幂函数一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】B【解析】 1.6x y =是单调递增函数，1.52<，所以 1.521.6 1.6<，A 不正确；0.5x y =是单调递减函数，0.20.3<，所以0.20.30.50.5>，B 正确；0.301.6 1.61>=，而 3.100.51<<，所以0.3 3.11.60.5>，C 不正确；2log 0.50<，30log 21<<，所以23log 0.5log 2<，D 不正确，故选B ． 2．【答案】D【解析】设函数()f x x α=，8α=12α=，所以()12f x x ==D ．3．【答案】A【解析】∵函数xy a -=与可化为函数1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，底数11a >，其为增函数，又log a y x =，当01a <<时是减函数，两个函数是一增一减，前增后减，故选A ． 4．【答案】C【解析】由已知，根据幂函数、指数函数、对数函数的单调性，可得201a <<，122a <<，2log 0a <，由此可得22log 2a a a <<，故正确答案为C ． 5．【答案】C【解析】要使函数有意义，则2230x x -->，解得1x <-或3x >，设223t x x =--，则函数在(]1-∞，上单调递减，在[)1+∞，上单调递增． 因为函数0.5log t 在定义域上为减函数，所以由复合函数的单调性性质可知，则此函数的单调递减区间是()3+∞，．故选C ． 6．【答案】B【解析】根据指数函数与对数函数的图象与性质可得：08081211222．．．b a -⎛⎫<==<= ⎪⎝⎭，而662log 2log 41c ==<，所以c b a <<，故选B ． 7．【答案】B【解析】1204x a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭有解等价于124x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有解，由于0x ≥，所以1014x⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，由此11224x⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭,可得关于x 的方程1204xa ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭有解，则a 的取值范围是12a ≤<，故选B ．8．【答案】D【解析】由于01a <<，且()0f x <，所以2411x x a a -+>，()2440x x x x a a a a -=->，即4x a >，log 42log 2a a x <=，故选D ．9．【答案】C。