冀教版(2018秋)八年级数学上册授课课件：17.2 直角三角形 (共33张PPT)
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【冀教版】初中数学八年级上：17.2《直角三角形》ppt课件
证明:∵∠CEF=135°,∠ECB=
1 2
∠ACB=45°,
∴∠CEF+∠ECB=180°,∴EF∥BC.
7.如图所示,在Rt △ ABC
中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD⊥AB于D.求证AD= 1
解析:在A直B.角三角形ABC中,由∠B=30°,利用
4
在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜
4.含有30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.
检测反馈 1.在△ ABC中,满足下列条件: ①∠A=60°,∠C=30°;②∠A+∠B=∠C; ③∠A∶∠B∶∠C =3∶4∶5;④∠A=90°-∠C. 其中能确定△ ABC是直角三角形的有 ( C ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4
=CD+DE+CE=4+5+5=14.故选C.
4.如图所示, △ ABC中,∠ACB=90的长为( A )
A.20
B.15 C.10
D.18
解析:∵∠ACB=90°,CD是高, ∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°,∴∠BCD=∠A=30°, 在Rt △ BCD中,BC=2BD=2×5=10,在Rt △ ABC中, AB=2BC=2×10=20.故选A.
1 2
AB.
由(1)知∠ACD=∠DCE=30°,∴∠ACE=∠A=60°,
∴ △ ACE是等边三角形,∴AC=AE=EC= 1 AB,
∴AE=BE,即点E是AB的中点. ∴CE是AB边上的中线,且CE=
1 2
AB.
2
(2)在Rt △ ABC中,∠C=90°,∠A-∠B=30°,那么 ∠A= 60 ° ,∠B= 30 ° .
冀教版初中八年级数学上册17-2直角三角形课件
解析 (1)由题意得AB=15×2=30(海里), ∵∠NBC=60°,∠NAC=30°, ∴∠ACB=∠NBC-∠NAC=30°,∴∠ACB=∠NAC, ∴AB=BC=30海里.∴海岛B到灯塔C的距离为30海里. (2)过点C作CP⊥AN于点P. 根据垂线段最短可知线段CP的长为军舰与灯塔C的最短距 离.∵∠BPC=90°,∠NBC=60°, ∴∠PCB=180°-∠BPC-∠CBP=30°,
3
形,不符合题意;D.在△ABC中,因为∠A=∠B=2∠C,所以
∠A=∠B=72°,∠C=36°,所以△ABC不是直角三角形,符合题意. 故选D.
3.(2024河北秦皇岛青龙期末)如图,已知AC⊥BC于点C,CD⊥ AB于点D,若∠A=56°,则∠DCB的度数是 56° .
解析 ∵AC⊥BC,CD⊥AB,∴∠ACB=∠BDC=90°,∴∠A+ ∠B=90°=∠B+∠DCB,∴∠A=∠DCB=56°.
∵M是BC的中点,
∴BM=FM=1 BC,CM=EM=1 BC,∴FM=EM,
2
2
∵∠A=80°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=100°,
由(1)知BM=FM,EM=MC,
∴∠ABC=∠BFM,∠ACB=∠CEM, ∴∠BFM+∠CEM=100°, ∴∠FMB+∠EMC=360°-(∠ABC+∠ACB+∠BFM+∠CEM)= 160°, ∴∠EMF=180°-(∠FMB+∠EMC)=20°, 即∠EMF的度数为20°.
∴PB= 1 BC=15海里,15÷15=1(小时).
2
故还要航行1小时,军舰与灯塔C的距离最短.
能力提升全练
14.(2024四川绵阳三台期末,11,★★☆)如图,在等边三角形ABC中, BC=2,D是AB的中点,过点D作DF⊥AC于点F,过点F作EF⊥BC 于点E,则BE的长为 ( C )
17.2 直角三角形(课件)冀教版数学八年级上册
考
点
清
单
解
读
返回目录
续表
定义法
其他方法
三角形中有两边垂直
17.2 直角三角形
返回目录
归纳总结
考
点
（1）除了用定理判定一个三角形是直角三角形外，还可
清
单 以根据定义判定，只要求出三角形的某个角为 90°即可判
解
读 定这个三角形为直角三角形；
（2）在直角三角形中，若已知两个锐角之间的关系，结
合两锐角互余可以求出每个锐角的度数，而不必再使用三角
17.2 直角三角形
返回目录
变式衍生 2
如图，在 △ABC中，∠BAC=60°，∠B=
重
难
题 30°，AC=3，点 P 是 BC 边上的动点，则 AP 的长不可能
型 是 （
D ）
突
破
A. 3.5
B. 4.2
C. 5.8
D. 7
17.2 直角三角形
返回目录
解题通法
考
点
在例 2 中，三角形的斜边 AB 的值始终不变，要使面积
斜边中线将该直角三角形分成两个面积相等的等腰三
角形
作一个等腰直角三角形斜边上的中线，可以得到三个
注意
等腰直角三角形，并且两个小的等腰直角三角形全等
根据“三角形一边上的中线等于这条边的一半”也可
以判定这个三角形是直角三角形
该性质是求线段长度和证明线段倍分关系的重要依据
17.2 直角三角形
返回目录
归纳总结
形内角和定理求解.
17.2 直角三角形
返回目录
对点典例剖析
考
点
典例 2 具备下列条件的△ABC中，不为直角三角形的是
点
清
单
解
读
返回目录
续表
定义法
其他方法
三角形中有两边垂直
17.2 直角三角形
返回目录
归纳总结
考
点
（1）除了用定理判定一个三角形是直角三角形外，还可
清
单 以根据定义判定，只要求出三角形的某个角为 90°即可判
解
读 定这个三角形为直角三角形；
（2）在直角三角形中，若已知两个锐角之间的关系，结
合两锐角互余可以求出每个锐角的度数，而不必再使用三角
17.2 直角三角形
返回目录
变式衍生 2
如图，在 △ABC中，∠BAC=60°，∠B=
重
难
题 30°，AC=3，点 P 是 BC 边上的动点，则 AP 的长不可能
型 是 （
D ）
突
破
A. 3.5
B. 4.2
C. 5.8
D. 7
17.2 直角三角形
返回目录
解题通法
考
点
在例 2 中，三角形的斜边 AB 的值始终不变，要使面积
斜边中线将该直角三角形分成两个面积相等的等腰三
角形
作一个等腰直角三角形斜边上的中线，可以得到三个
注意
等腰直角三角形，并且两个小的等腰直角三角形全等
根据“三角形一边上的中线等于这条边的一半”也可
以判定这个三角形是直角三角形
该性质是求线段长度和证明线段倍分关系的重要依据
17.2 直角三角形
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归纳总结
形内角和定理求解.
17.2 直角三角形
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对点典例剖析
考
点
典例 2 具备下列条件的△ABC中，不为直角三角形的是
冀教版八年级数学上册17.2《直角三角形》 (共22张PPT)
么PD等于( )
4 A．1
5 B．2
6 C．4 7 D．8
〔来自?点拨?〕
知3－练
2在Rt△ABC中，∠A＝30°，那么以下结论正确 的是( D ) A．BC＝ 1 AB B．BC≠ 2AB C．当∠B1＝90°时，BC＝ AB D．当∠C2＝90°时，BC＝ 1 AB 2 1 2
〔来自?典中点?〕
C
又∠A+∠B=90º，且∠A=30º，
∴∠B=60º，
∴△BCD是等边三角形， ∴ BC CD BD 1 AB.
2
60º B
30º A
直角三角形的性质定理
在直角三角形中，如果一个锐角等 于30º，那么它所对的直角边等于斜边的 一半.
用几何语言表示为：
C
在Rt△ABC中，∠C=90º，
∵ ∠A=30º，
直角三角形的判定定理：
如果一个三角形的两个角互余，那么 这个三角形是直角三角形.
小试牛刀
(1)在直角三角形中,有一个锐角为52°,那么另一 个锐角度数为 38° .
(2)在Rt △ ABC中,∠C=90°,∠A-∠B=30°,那么 ∠A= 60 ° ,∠B= 30 ° .
(3)如下图,在△ ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边 AB上的高,
D
C
A
E
B
知识点 3 含30°角的直角三角形的性质
知3－导
证明：在直角三角形中，30°角所对的直角边 等于斜边的一半.
动脑筋？
如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90º，假设 ∠A=30º那么BC与斜边AB有什么关系呢？
取线段AB的中点D，连接CD，
即CD是Rt△ABC斜边上的中线.
那么CD=AD=BD.
冀教版八年级数学 17.2 直角三角形(学习、上课课件)
∴∠E＋∠F＝180°－12×180°＝90°. ∴△EOF 是直角三角形．
感悟新知
知识点 3 直角三角形的性质定理 2，3
知3－讲
1. 直角三角形的性质定理 2 直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半 . 几何语言： 如图 17-2-3，在 Rt △ ABC 中， ∵∠ ACB=90° ， AD=BD，
感悟新知
解题秘方：利用直角三角形的性质定理 2 求解 . 知3－练 解：∵△ BCD 沿 CD 折叠后得到△ ECD， ∴ CB=CE. ∵在 Rt △ ABC 中， ∠ ACB=90° ， E 是 AB 的
中点，∴ CE=BE=
1 2
AB.
∴ CE=CB=BE，即△ BCE 为等边三角形 .
∴∠ B=60° . ∴∠ A=90°－∠ B=30° .
1. 两个性质成立的条件都是“在直角三角形中”.
2. 两个性质是求线段长度和证明线段倍分关系的
重要依据.
3. 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成
两个面积相等的等腰三角形.
感悟新知
知3－练
例3 如图 17-2-5， CD 是 Rt △ ABC 斜边上的高，将 △ BCD沿 CD 折叠，点 B 恰 好 落 在 AB 的中点 E 处， 则∠ A 的度数为___3_0_°__ .
感悟新知
知2－练
例2 如图 17-2-2，在 Rt △ ABC 中，∠ BAC=90°， BD 平分∠ ABC，且∠ CAD= ∠ CBD，求证：△ ABD 是直角三角形 .
感悟新知
解题秘方：证明三角形中有两个角的和等于 90° 知2－练 (互余)就可判定该三角形为直角三角形 .
证明： 在 Rt △ ABC 中， ∵∠ BAC=90° ， ∴∠ BAD+ ∠ CAD=90° . ∵ BD 平分∠ ABC， ∴∠ CBD= ∠ ABD. ∵∠ CBD= ∠ CAD， ∴∠ ABD= ∠ CAD. ∴∠ BAD+ ∠ ABD=90° . ∴△ ABD 是直角三角形 .
感悟新知
知识点 3 直角三角形的性质定理 2，3
知3－讲
1. 直角三角形的性质定理 2 直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半 . 几何语言： 如图 17-2-3，在 Rt △ ABC 中， ∵∠ ACB=90° ， AD=BD，
感悟新知
解题秘方：利用直角三角形的性质定理 2 求解 . 知3－练 解：∵△ BCD 沿 CD 折叠后得到△ ECD， ∴ CB=CE. ∵在 Rt △ ABC 中， ∠ ACB=90° ， E 是 AB 的
中点，∴ CE=BE=
1 2
AB.
∴ CE=CB=BE，即△ BCE 为等边三角形 .
∴∠ B=60° . ∴∠ A=90°－∠ B=30° .
1. 两个性质成立的条件都是“在直角三角形中”.
2. 两个性质是求线段长度和证明线段倍分关系的
重要依据.
3. 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成
两个面积相等的等腰三角形.
感悟新知
知3－练
例3 如图 17-2-5， CD 是 Rt △ ABC 斜边上的高，将 △ BCD沿 CD 折叠，点 B 恰 好 落 在 AB 的中点 E 处， 则∠ A 的度数为___3_0_°__ .
感悟新知
知2－练
例2 如图 17-2-2，在 Rt △ ABC 中，∠ BAC=90°， BD 平分∠ ABC，且∠ CAD= ∠ CBD，求证：△ ABD 是直角三角形 .
感悟新知
解题秘方：证明三角形中有两个角的和等于 90° 知2－练 (互余)就可判定该三角形为直角三角形 .
证明： 在 Rt △ ABC 中， ∵∠ BAC=90° ， ∴∠ BAD+ ∠ CAD=90° . ∵ BD 平分∠ ABC， ∴∠ CBD= ∠ ABD. ∵∠ CBD= ∠ CAD， ∴∠ ABD= ∠ CAD. ∴∠ BAD+ ∠ ABD=90° . ∴△ ABD 是直角三角形 .
冀教版八年级上册数学《直角三角形》PPT教学课件
做一做
证明：在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。
已知：如图，在RtABC中，ABC 90，A 30. A
求证：BC 1 AC
2
D
B C
分析：如果中线CD=
1 2
AB,则有∠ACD= ∠A。
于是受到启发，在图中，过R
顶点C作射线CD'交AB于D'，使∠1=∠A，
则有A D' =C D' ( 等角对等边)
如果一个三角形的两个角互余， 那么这个三角形是直角三角形.
直角三角形
学习目标
• 1.掌握直角三角形的性质定理和判定 定理
• 2.掌握含30º角的直角三角形的性质
学习重点和难点
• 重点： • 直角三角形的性质定理和判定定理 • 难点： • 含30º角的直角三角形的性质
1.如图，在R
∠A+∠B= 90 °
直角三角形的性质定理：
1 2
在直角三角形12 中，斜边上的中线等于斜边的一半
∵CD是直1 角三角形ABC斜边上的中线 ∴CD= 2 AB
如图，在R
取线段AB的中点D，1连结CD，即CD为R 2
C
A
由此可得出结论：
B
D
在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°,那么它所对 的直角边等于斜边的一半
想 一 你能用等边三角形的性质来证明直角三角形的 想 这条性质吗？
1
如图，在R
2
由此可得出结论：
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么 这条直角边所对的角等于30°
例2
在A岛周围20海里（1海里=1852 m）水域内有暗礁，
一轮船由西向东航行到O处时，发现A到在北偏东60°
冀教版八年级数学上册17.2《直角三角形》课件
（3）在△ABC中， ∠C=90 °，CE是AB 边上的中线，那么与CE相等的线段是 _____，与∠A相等的角是_____，若 ∠A=35°，那么∠ECB= ______． （4）在直角三角形中，斜边及其中线之和为6， 那么该三角形的斜边长为________．
小结与复习
1.本节课我们学习了哪些内容?
CD，求证： C D 1 A B
C
2
A 提示：延长CD，使得CD=DE,
D
B
连结BE,
先证△ACD≌ △BED，然
E
后证△ACB≌ △EBC，得
AB=CE，最后说明 C D 1 A B
2
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月11日星期一2022/4/112022/4/112022/4/11 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/112022/4/112022/4/114/11/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/112022/4/11April 11, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
∠ACB=90度，CD是斜边
C
AB上的高，那么， 与∠B
互余的角有 ，与∠A互
余的角有 ，与∠B相等
的角有
，与∠A相等 A
Hale Waihona Puke DB的角有 .
A
2、如图，在△ABC中，
AD⊥BC，E、F分别是AB、 E
F
AC的中点，且DE=DF.
B
D
C
证明：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
小结与复习
1.本节课我们学习了哪些内容?
CD，求证： C D 1 A B
C
2
A 提示：延长CD，使得CD=DE,
D
B
连结BE,
先证△ACD≌ △BED，然
E
后证△ACB≌ △EBC，得
AB=CE，最后说明 C D 1 A B
2
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月11日星期一2022/4/112022/4/112022/4/11 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/112022/4/112022/4/114/11/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/112022/4/11April 11, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
∠ACB=90度，CD是斜边
C
AB上的高，那么， 与∠B
互余的角有 ，与∠A互
余的角有 ，与∠B相等
的角有
，与∠A相等 A
Hale Waihona Puke DB的角有 .
A
2、如图，在△ABC中，
AD⊥BC，E、F分别是AB、 E
F
AC的中点，且DE=DF.
B
D
C
证明：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
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＝80°，∠C＝70°.试判断△ABD的形状．
解：在△DBC中，∠DBC＝180°－ ∠BDC－∠C＝180°－80°－ 70°＝30°. ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝30°. 在△ABD中， ∵∠ADB＋∠ABD＝60°＋30°＝90°，
∴△ABD是直角三角形．
（来自《点拨》）
知1－练
1 CE= AB. 2
下面就来证明上面的“发现”.
知2－导
已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°， CD为斜边AB上的中线.
1 求证：CD= AB. 2
证明：如图，过点D，作DE∥BC，交 AC于 点E；作DF∥AC，交BC于点F.
在△AED 和△DFB 中，
∠A=∠FDB(两直线平行，同位角相等)， ∵ AD=DB(中线的概念)， ∠ADE=∠B(两直线平行，同位角相等)，
沿BE画出虚线CE， 如图(2)；将纸展开，如图(3) .
知2－导
(1)∠ECF与∠B有怎样的关系？线段EC与线段 EB有怎样的关系？ (2)由发现的上述关系以及∠A+∠B=∠ACB， ∠ACE+∠ECF=∠ACB，你能判断∠ACE与∠A的大 小关系吗？线段AE与线段CE呢? 从而你发现了什么 结论？将你的结论与大家交流. 我们发现，CE=AE=EB，即CE是AB的中线，且
A．1个
C．3个
B．2个
D．4个
2 【中考· 遵义】如图，在平行线a，b之间放置一块
直角三角板，三角板的顶点A，B分别在直线a，b
上，则∠1＋∠2的值为( A ) A．90° B．85°
C．80°
D．60°
（来自《典中点》）
知1－讲
例2
如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于 点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分 线相交于点P.试说明△EFP为直角三角形．
我们知道，有一个角等于90°的三角 形叫做直角三角形.直角三角形可以用符号 “Rt△”表示，如图，直角三角形ABC可以 表示为“Rt△ABC”. 由三角形内角和定理，容易得到： 直角三角形的性质定理. 直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形性质定理的逆命题显然也是真命题.于是， 有：直角三角形的判定定理 如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形 是直角三角形.
（来自《点拨》）
知1－讲
例1 如图，已知∠A＝32°，∠ADC＝110°，BE⊥
AC于点E，求∠B的度数．
解：∵∠A＝32°，∠ADC＝110°， ∴∠C＝180°－32°－110°＝38°. 又∵BE⊥AC，∴△BEC为直角三角形， ∴∠B＝90°－∠C＝90°－38°＝52°(直角三角
形的两个锐角互余)． 点拨：直角三角形是特殊的三角形，在直角三角形中， 可以利用直角三角形的两个锐角互余求角的度数 的问题，也可以利用三角形内角和定理来求解．
2
【中考· 咸宁】如图，直线l1∥l2，CD⊥AB于 点D，∠1＝50°，则∠BCD的度数为( C )
A．50°
B．45°
C．40°
D．30°
（来自《典中点》）
知2－导
知识点
2
直角三角形斜边上的中线性质
在一张半透明的纸上画出Rt△ABC，∠C=90°， 如图(1)；将∠B折叠，使点B与点C重合，折痕为EF，
第十七章
特殊三角形
17.2
直角三角形
1
课堂讲解 直角三角形角的性质与判定
直角三角形斜边上的中线性质 含30°角的直角三角形的性质
2
课时流程
逐点 导讲练 课堂 小结 作业 提升
这幅图画是云南西双版纳傣族干烂房，你能 从图中找出形状为直角三角形的部分吗？
知1－导
知识点
1
直角三角形的性质与判定
知2－导
∴△AED≌△DFB (ASA). ∴QE=DF，ED=FB. (全等三角形的对应边相等） 同理可证，△CDE≌△DCF. 从而，ED=FC，EC=FD. ∴ AE=EC，CF=FB.(等量代换） 又∵DE⊥AC，DF⊥BC，(两直线平行，同位角相等) ∴DE为AC的垂直平分线，DF为BC的垂直平分线. ∴AD=CD=BD(线段垂直平分线的性质定理).
×180°＝90°.
∴△EFP为直角三角形．
（来自《点拨》）
知1－讲
总 结
根据直角三角形的定义可以判定直角三角形； 由直角三角形的判定定理也可判定直角三角形．有
两个角互余，由三角形内角和定理可知第三个角是
直角，因此它的实质还是直角三角形的定义．
（来自《点拨》）
知1－练
1
如图，BD平分∠ABC，∠ADB＝60°，∠BDC
1 CD= AB. 2
知2－导
归
纳
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
知2－讲
例3 如图，BD，CE是△ABC的两条高，M，N分别 是BC，DE的中点．求证：MN⊥DE. 导引：如图，连接EM，DM，由CE与BD 为△ABC的两条高，可得△BEC与 △BDC均为直角三角形，根据M为 BC的中点，利用“直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半”可得EM为BC的一半，DM也为 BC的一半，通过等量代换可得EM＝DM，又因 为N为DE的中点，所以MN⊥DE.
（来自《点拨》）
知1－讲
总 结
直角三角形是特殊的三角形，直角三角形的
两锐角互余的本质是三角形内角和定理，是三角
形内角和定理的一种简化应用，利用这一性质， 在直角三角形中已知一锐角可求另一锐角．
（来自《点拨》）
知1－练
1 如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，则图中 与∠B互余的角有( B )
导引：判定△EFP为直角三角形，有两种方法： ①有一角是直角，②两锐角互余，即要说 明∠EPF＝90°或∠EFP＋∠FEP＝90°.
知1－讲
解： ∵AB∥CD， ∴∠BEF＋∠DFE＝180°.
∵EP为∠BEF的平分线，FP为∠EFD的平分线，
1 1 ∴∠PEF＝ ∠BEF，∠PFE＝ ∠DFE. 2 2 1 1 ∴∠PEF＋∠PFE＝ (∠BEF＋∠DFE)＝ 2 2
知1－讲
(1) “直角三角形的两个锐角互余”及“有两个角互余 的三角形是直角三角形”都可以利用三角形的内 角和定理推出．
(2)在直角三角形中，若已知两个锐角之间的关系，
结合两锐角互余可以求出每个锐角的度数，而不 必再使用三角形内角和定理求解．
(3)在判定一个三角形是直角三角形时，除利用直角
三角形的定义外，还可找出有两个锐角互余，从 而直接判定直角三角形．