数学222反证法课件【精选】
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人教a版数学【选修2-2】2.2.2《反证法》ppt课件
成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
推理与证明
第二章 2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反证法
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
巩固提高学案
4
备 选 练 习
自主预习学案
理解反证法的概念，掌握反证法的特点及证题的步骤．
重点：反证法概念的理解以及反证法的证题步骤． 难点：反证法的应用．
已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2. [解析] 假设p＋q>2，那么p>2－q，所以p3>(2－q)3＝8－12q ＋6q2－q3，将p3＋q3＝2代入消去p，得6q2－12q＋6<0，即 6(q－1)2<0.这与6(q－1)2≥0矛盾，故假设错误．所以p＋q≤2. [点评] 本题已知条件为p、q的三次幂，而结论中只有p，q 的一次幂，若直接证明，应考虑到用立方根，同时用放缩法 ，但很难证，故考虑采用反证法.
[方法规律总结] 用反证法证明数学命题的步骤 第一步：审题，分清命题的条件和结论； 第二步：反设，做出与命题结论相矛盾的假设； 第三步：归谬，由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾 的结果； 第四步：下结论，断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做 的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真 ．
典例探究学案
用反证法证明直接证明不易入手的问题
求证：若两条平行直线 a、b 中的一条与平面 α 相交，则另一条也与平面 α 相交．
[分析] 直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反 证法，注意该命题的反面情形不止一种，需一一驳倒，才能 推出命题结论正确．
[解析] 不妨设直线a与平面α相交，b与a平行，从而要证b 也与平面α相交．假设b不与平面α相交，则必有下面两种情 况：(1)b在平面α内．由a∥b，a⊄平面α，得a∥平面α，与题 设矛盾． (2)b∥平面α. 则平面α内有直线b′，使b∥b′. 而a∥b，故a∥b′，因为a⊄平面α，所以a∥平面α，这也与 题设矛盾． 综上所述，b与平面α只能相交．
人教A版 · 选修2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
推理与证明
第二章 2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反证法
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
巩固提高学案
4
备 选 练 习
自主预习学案
理解反证法的概念，掌握反证法的特点及证题的步骤．
重点：反证法概念的理解以及反证法的证题步骤． 难点：反证法的应用．
已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2. [解析] 假设p＋q>2，那么p>2－q，所以p3>(2－q)3＝8－12q ＋6q2－q3，将p3＋q3＝2代入消去p，得6q2－12q＋6<0，即 6(q－1)2<0.这与6(q－1)2≥0矛盾，故假设错误．所以p＋q≤2. [点评] 本题已知条件为p、q的三次幂，而结论中只有p，q 的一次幂，若直接证明，应考虑到用立方根，同时用放缩法 ，但很难证，故考虑采用反证法.
[方法规律总结] 用反证法证明数学命题的步骤 第一步：审题，分清命题的条件和结论； 第二步：反设，做出与命题结论相矛盾的假设； 第三步：归谬，由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾 的结果； 第四步：下结论，断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做 的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真 ．
典例探究学案
用反证法证明直接证明不易入手的问题
求证：若两条平行直线 a、b 中的一条与平面 α 相交，则另一条也与平面 α 相交．
[分析] 直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反 证法，注意该命题的反面情形不止一种，需一一驳倒，才能 推出命题结论正确．
[解析] 不妨设直线a与平面α相交，b与a平行，从而要证b 也与平面α相交．假设b不与平面α相交，则必有下面两种情 况：(1)b在平面α内．由a∥b，a⊄平面α，得a∥平面α，与题 设矛盾． (2)b∥平面α. 则平面α内有直线b′，使b∥b′. 而a∥b，故a∥b′，因为a⊄平面α，所以a∥平面α，这也与 题设矛盾． 综上所述，b与平面α只能相交．
人教A版选修(2-2)2.2.2《反证法》课件(23张ppt)
因此，a、b、c 中至少有一个大于 0.
用反证法证明唯一性问题
结论以“有且只有一个”、“只有一个”、 “唯一存在”等形式出现的命题，由于 反设结论易于导出矛盾，所以用反证 法证其唯一性简单明了． 【方法引导】 证明“有且只有一个” 的问题，需要证明两个命题，即存在 性和唯一性．
【例3】求证方程2x＝3有 且仅有一个实根．
矛盾，假设不成立.
∴PB≠PC
A
P C
全课总结
1、知识小结： 反证法证明的思路：假设命题不成
立→正确的推理,得出矛盾→肯定待定命 题的结论
2、难点提示: 利用反证法证明命题时,一定要准确
而全面的找出命题结论的反面。
注意:用反证法证题时,应注意的事项 :
（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止 否定不当或有所遗漏；
三个判别式都小于0 → a的范围 → 与已知a≥－1矛盾 → 否定假设 → 肯定结论
【证明】 假设三个方程都没有实根，则 三个方程中：它们的判别式都小于 0，即：
4a2－4－4a＋3<0
a－12－4a2<0
⇒
2a2＋4×2a<0
－23<a<12 a>13或a<－1 －2<a<0
⇒－32<a<－1，这与已知 a≥－1 矛盾，所以
（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题 的真伪性；
（3）在推理过程中，要充分使用已知条件， 否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是 错误的。
独立 作业
作业： 练习：学案中巩固提高
习题91页：A组
谢谢大家
a不垂直于b
2.已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。 求证：PB≠PC
用反证法证明唯一性问题
结论以“有且只有一个”、“只有一个”、 “唯一存在”等形式出现的命题，由于 反设结论易于导出矛盾，所以用反证 法证其唯一性简单明了． 【方法引导】 证明“有且只有一个” 的问题，需要证明两个命题，即存在 性和唯一性．
【例3】求证方程2x＝3有 且仅有一个实根．
矛盾，假设不成立.
∴PB≠PC
A
P C
全课总结
1、知识小结： 反证法证明的思路：假设命题不成
立→正确的推理,得出矛盾→肯定待定命 题的结论
2、难点提示: 利用反证法证明命题时,一定要准确
而全面的找出命题结论的反面。
注意:用反证法证题时,应注意的事项 :
（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止 否定不当或有所遗漏；
三个判别式都小于0 → a的范围 → 与已知a≥－1矛盾 → 否定假设 → 肯定结论
【证明】 假设三个方程都没有实根，则 三个方程中：它们的判别式都小于 0，即：
4a2－4－4a＋3<0
a－12－4a2<0
⇒
2a2＋4×2a<0
－23<a<12 a>13或a<－1 －2<a<0
⇒－32<a<－1，这与已知 a≥－1 矛盾，所以
（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题 的真伪性；
（3）在推理过程中，要充分使用已知条件， 否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是 错误的。
独立 作业
作业： 练习：学案中巩固提高
习题91页：A组
谢谢大家
a不垂直于b
2.已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。 求证：PB≠PC
高中数学 2.2.2 反证法课件 新人教A版 选修22
[提示] 假设C没有撒谎，则C真．那么A假且B假；由A 假，知B真．这与B假矛盾．那么假设C没有撒谎不成立；则C必 定(bìdìng)是在撒谎．
第四页，共36页。
2．已知正整数a，b，c满足a2＋b2＝c2，求证：a，b，c不 可能都是奇数．
[问题(wèntí)1] 你能利用综合法和分析法证明该问题(wèntí) 吗？
第二十一页，共36页。
用反证法证明唯一性命题的适用 类型
(1)当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在” 等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，所以用反证 法证明唯一性就非常简单明了．
(2)用反证法证题时，一定要处理好推出矛盾这一步骤，因 为反证法的核心就是从求证的结论反面出发，导出矛盾的结果 (jiē guǒ)，因此如何导出矛盾，就成为了关键所在，对于证题 步骤，绝不可死记，而要具有全面扎实的基础知识，灵活运用．
第十三页，共36页。
合作(hézuò)探究 课 堂互动
第十四页，共36页。
用反证法证明(zhèngmíng)否(肯)定式命题 平面上有四个点，假设无三点共
线，证明以每三点为顶点的三角形不可能(kěnéng)都是锐角三 角形．
[思路点拨]
第十五页，共36页。
第十六页，共36页。
1. 结 论 中 含 有 “ 不 ” “ 不 是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较 具体(jùtǐ)，适于应用反证法．
2．用反证法证明问题的一般步骤： (1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立． (2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾． (3)从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
第十七页，共36页。
1．求证：不论 x，y 取何非零实数，等式1x＋1y＝x＋1 y总不 成立．
第四页，共36页。
2．已知正整数a，b，c满足a2＋b2＝c2，求证：a，b，c不 可能都是奇数．
[问题(wèntí)1] 你能利用综合法和分析法证明该问题(wèntí) 吗？
第二十一页，共36页。
用反证法证明唯一性命题的适用 类型
(1)当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在” 等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，所以用反证 法证明唯一性就非常简单明了．
(2)用反证法证题时，一定要处理好推出矛盾这一步骤，因 为反证法的核心就是从求证的结论反面出发，导出矛盾的结果 (jiē guǒ)，因此如何导出矛盾，就成为了关键所在，对于证题 步骤，绝不可死记，而要具有全面扎实的基础知识，灵活运用．
第十三页，共36页。
合作(hézuò)探究 课 堂互动
第十四页，共36页。
用反证法证明(zhèngmíng)否(肯)定式命题 平面上有四个点，假设无三点共
线，证明以每三点为顶点的三角形不可能(kěnéng)都是锐角三 角形．
[思路点拨]
第十五页，共36页。
第十六页，共36页。
1. 结 论 中 含 有 “ 不 ” “ 不 是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较 具体(jùtǐ)，适于应用反证法．
2．用反证法证明问题的一般步骤： (1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立． (2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾． (3)从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
第十七页，共36页。
1．求证：不论 x，y 取何非零实数，等式1x＋1y＝x＋1 y总不 成立．
课件8：2.2.2 反证法
2．反证法证题与“逆否命题法”是否相同？ 反证法的理论基础是逆否命题的等价性，但其证明思路 不完全是证明一个命题的逆否命题．反证法在否定结论 后，只要找到矛盾即可，可以与题设矛盾，也可以与假 设矛盾，与定义、定理、公式、事实矛盾．因此，反证 法与证明逆否命题是不同的．
当堂检测
1．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，
第一步应假设
( B)
A．三角形中至少有一个直角或钝角
B．三角形中至少有两个直角或钝角
C．三角形中没有直角或钝角
D．三角形中三个角都是直角或钝角
2．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，
应先假设这个三角形中
( B)
A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°
探究点三 用反证法证明否定性命题 例 2 求证： 2不是有理数． 证明：假设 2是有理数．于是，存在互质的正整数 m，n， 使得 2＝mn ，从而有 m＝ 2n， 因此 m2＝2n2， 所以 m 为偶数．于是可设 m＝2k(k 是正整数)，从而有
即 n2＝2k2， 所以 n 也为偶数．这与 m，n 互质矛盾． 由上述矛盾可知假设错误，从而 2不是有理数．
证明：假设 a，b，c 都不大于 0，即 a≤0，b≤0，c≤0， 所以 a＋b＋c≤0，
而 a＋b＋c＝(x2－2y＋π2)＋(y2－2z＋π3)＋(z2－2x＋π6) ＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3， 所以 a＋b＋c>0，这与 a＋b＋c≤0 矛盾， 故 a、b、c 中至少有一个大于 0.
2.2.2 反证法
学习要求 1．了解反证法是间接证明的一种基本方法． 2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．
人教B版选修2-2高中数学2.2.2《反证法》ppt课件
4
(1 c)a > 4 ,
则三式相乘：
1
(1 a)b•(1 b)c•(1 c)a < 64
①
又∵0 < a, b, c < 1
所以
0
(1
a)a
(1
a) 2
a
2
1 4
同理：(1 b)b 1 (1 c)c 1
4
4
பைடு நூலகம்
以上三式相乘：
(1 a)a•(1 b)b•(1 c)c≤ 1 与①矛盾
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/10
最新中小学教学课件
16
谢谢欣赏！
2019/8/10
最新中小学教学课件
17
64
∴原式成立。
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
是令p=2l，l是正整数，代入①式，
得q2=2l2，
②
②式表明q2是偶数，所以q也是偶数，这样
p，q都有公因数2，这与p，q互质矛盾，
因此 2是有理数不成立，于是 2 是无理数.
例2．证明质数有无穷多个。
证明：假定质数只有有限多个，设全体质 数为p1，p2，p3，……，pn，
令p= p1p2p3……pn+1，显然p不含因数p1， p2，p3，…，pn，p要么是质数，要么含有 除p1，p2，p3，…，pn之外的质因数。
选修12222反证法课件-PPT文档资料
指“否定结论 ( 假设 )”；第二个否定是指“逻辑推理结
果否定了假设”．反证法属于“间接证明方法”，书写 格式易错之处是“假设”错写成“设”．
2019/3/26
常见的“结论词”与“反设词”如下：
原结论词 反设词 一个也没有 至少有两个 至多有n－1 个 至少有n＋1 个 原结论词 反设词
至少有一 个
2019/3/26
证明；(存在性）a≠0，方程ax=b至少有一 个根x=b/a。 （以下为唯一性） 证 ： 假 设 方 程 a x + b = 0 ( a ≠ 0 ) 至 少 存 在 两 个 根 ，
则 a x= ， a x= ∴ ax 1 b 2 b 1 =ax 2
不 妨 设 其 中 的 两 根 分 别 为 x ， x 且 x ≠ x 1 2 1 2
2019/3/26
• 3 ．反证法适宜证明存在性、唯一性、带有“至少有一
个”或“至多有一个”等字样的一些数学问题． • 4．用反证法证明不等式，常用的否定形式有：“≥”的 反面为“ <”；“ ≤ ”的反面为“ >”；“ >”的反面为 “≤”；“<”的反面为“≥”；“≠”的反面为“＝”； “＝”的反面为“≠”或“>及<”． • 5 ．反证法属于逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原 理上，即“否定之否定等于肯定”，其中第一个否定是
2019/3/26
教学目标 • 1．知识与技能 结合实例的间接证明的一种基本方法 ——反证法；了解反证法 的思考过程与特点． • 2．过程与方法 了解反证法的特点、增强应用反证法证明的能力． • 3．情感、态度与价值观
培养学生的数学素养，发展学生的数学思维能力．
• 本节重点：反证法概念的理解以及反证法的解题 步骤． • 本节难点：应用反证法解决问题．
2.2.2反证法PPT优秀课件
从 而 有 4 k 2= 2 n 2 ， 即 n 2= 2 k 2
∴n2也是偶数，这 与 m ， n 互 质 矛 盾 ！
假设不成立，故 2 是无理数。
2021/5/26
5
我思，故我在
反思1：
用反证法证题的一般步骤是什么？
（1）假设命题的结论不成立；即假设结论的反面成立。
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
假设命题结论的反面成立，经过正确的 推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从 而证明原命题成立,这样的的证明方法叫 反证法。
反证法的思维方法：正难则反
2021/5/26
3
我试试
例1用反证法证明：
如果a>b>0，那么 a > b
证 ： 假 设 a >b 不 成 立 ， 则 a ≤ b 若a= b， 则 a=b,与 已 知 a>b矛 盾 ,
（3）由矛盾判定假设1/5/26
6
反思2：
1、用反正法证明时，导出矛盾有那几种可能？ （1）与原命题的条件矛盾；
（2）与假设矛盾。 （3）与定义、公理、定理、性质矛盾；
（4）与客观事实矛盾.
2、你认为反证法的使用情形有那些？
（1）难于直接使用已知条件导出结论的命题；
2、已知函y数ax x2(a1) x1
(1)证明：函f (数 x)在区间（ 1,－ )上为增函 （2)用反证法证明： f(x方 ＝ )0没 程有负根
3、已知a+b+c>0，ab+ac+bc>0，abc>0，求证：
2021/5/2a6 >0，b>0，c>0．
10
我很强
2021/5/26
11
∴n2也是偶数，这 与 m ， n 互 质 矛 盾 ！
假设不成立，故 2 是无理数。
2021/5/26
5
我思，故我在
反思1：
用反证法证题的一般步骤是什么？
（1）假设命题的结论不成立；即假设结论的反面成立。
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
假设命题结论的反面成立，经过正确的 推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从 而证明原命题成立,这样的的证明方法叫 反证法。
反证法的思维方法：正难则反
2021/5/26
3
我试试
例1用反证法证明：
如果a>b>0，那么 a > b
证 ： 假 设 a >b 不 成 立 ， 则 a ≤ b 若a= b， 则 a=b,与 已 知 a>b矛 盾 ,
（3）由矛盾判定假设1/5/26
6
反思2：
1、用反正法证明时，导出矛盾有那几种可能？ （1）与原命题的条件矛盾；
（2）与假设矛盾。 （3）与定义、公理、定理、性质矛盾；
（4）与客观事实矛盾.
2、你认为反证法的使用情形有那些？
（1）难于直接使用已知条件导出结论的命题；
2、已知函y数ax x2(a1) x1
(1)证明：函f (数 x)在区间（ 1,－ )上为增函 （2)用反证法证明： f(x方 ＝ )0没 程有负根
3、已知a+b+c>0，ab+ac+bc>0，abc>0，求证：
2021/5/2a6 >0，b>0，c>0．
10
我很强
2021/5/26
11
高中数学 222 反证法课件 新人教版选修22
规律技巧 1反证法是利用原命题的否定不成立则原命题 一定成立来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列 出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完 全的.
2否定性的问题常用反证法，结论中以“至多”，“至 少”形式出现，也常用反证法.
第二十六页，共33页。
随堂训练
1.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条
第十四页，共33页。
【证明】 证法1：假设a＋b>2，则 a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)>2(a2－ab＋b2)． ∵a3＋b3＝2，∴a2－ab＋b2<1. ∴1＋ab>a2＋b2≥2ab. ∴ab<1. ∴a2＋b2<1＋ab<2. ∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab<2＋2ab<4. ∴a＋b<2这与假设相矛盾，故a＋b≤2.
求证：四边形ABCD不可能是平行四边形． 【分析】 解答本题的关键在于通过假设，根据平行四边 形对边所在直线的斜率相等，推出结论与已知条件相矛盾，从 而肯定原命题正确．
第二十三页，共33页。
【证明】 由题意得，直线AB的斜率为 kAB＝xy22－－xy11＝y12＋py2，同理kBC＝y32＋py2， kCD＝y42＋py3，kDA＝y12＋py4. 假设四边形ABCD为平行四边形，则有kAB＝kCD，kBC＝kDA. 即有yy23＋ ＋yy12＝ ＝yy31＋ ＋yy44， ，① ② 由①－②，得y1－y3＝y3－y1，
件使用( )
①结论相反的判断，即假设 ②原命题的条件 ③公理、
定理、定义等 ④原结论
A．①②
B．①②④
C．①②③
D．②③
答案 C
第二十七页，共33页。
高中数学A版2.2.2反证法优秀课件
【过程与方法】
1. 通过丰富的实例，让学生合作探讨，从中 体会反证法的思想.
2. 结合实例，让学生们归纳总结应用反证法 解题的情形.
【情感态度与价值观】
培养学生的逆向思维，使思维发散， 培养学生观察的能力、归纳总结的能力.
教学重难点
重点
结合已经学过的数学案例，了解间接证明 的一种基本方法——反证法；了解反证法的思 考过程、特点.
_已__知__直__线__平__行__”矛盾.
矛盾
所以假_设___不__成__立_ ,即求证的命题正确. 命题成立
知识要点
一、提出假设
假设待证命题不成立，或是 命题的反面成立.
二、推理论证
以假设为条件，结合已知条件 推理，得出与已知条件或是正确命 题相矛盾的结论.
三、得出矛盾
这与“......”相矛盾.
回顾 比较两种证明方法的特点
下面我们用反证法来证明此题.
已知：如图，直线l1,l2,l3在
l1
同一平面内,且l1∥l2,l3 ∥ l1，
l2
P
求证：l3∥l2
l3
证明：假设l3∥l2，即l3与l2相交，记交点为P
而l1∥l2,l3 ∥ l1
这与“经过直线外一点有且只有一条直
线与已知直线平行”相矛盾，
四、结论成立
所以假设不成立，所求证的 命题成立.
练一练
写出下列各结论的反面： （1）a//b；
a∥b
（2）a≥0；
a<0
（3）b是正数；
b是0或负数
（4）a⊥b
a不垂直于b
例题1
求证:在同一平面内,如果两条直线都 和第三条直线平行,那么这两条直线也 互相平行.
已知：如图，直线l1,l2,l3在同一平面内,且 l1∥l2,l3 ∥ l1，
§222反证法
上述证明方法叫做反证法. 假设命题结论的反面成立，经过正确
的推理，引出矛盾，因此说明假设错误， 从而证明原命题成立，这样的的证明方法 叫反证法。
反证法的思维方法：
正难则反
例1.已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根.
证明:假设方程ax+b=0(a≠0)至少存在两个根， 不妨设其中的两根分别为x1，x2且x1≠x2
则ax1=b，ax2=b
∴ax1-ax2=0 ∴a(x1-x2)=0 ∵x1≠x2 , x1- x2 ≠0
∴a=0 与已知a≠0矛盾, 故假设不成立，结论成立。
例2.证明:圆的两条不全是直径的相交弦 不能互相平分.
已知:在⊙O中,弦AB、CD相交于P， 且AB、CD不全是直径 求证：AB、CD不能互相平分.
反证法的基本步骤： (1)假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立; (2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； (3)从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论 正确. 归谬矛盾： (1)与已知条件矛盾； (2)与已有公理、定理、定义矛盾； (3)自相矛盾.
作业： P91练习：1、2
习题2.2 A组4
a //
例4. 求证：2是无理数
证：假设 2是有理数，
则存在互质的整数m，n使得 2 = m ，
∴ m = 2n ∴ m2 = 2n2
n
∴ m2是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N）
从而有4k2 = 2n2，即n2 = 2k2 ∴ n2也是偶数， 从而n必是偶数 这与m，n互质矛盾！
x y 2 这与条件x y 2矛盾
所以，原结论成立
小结 1.反证法是一种间接证明的方法,是解决某些 “疑难”问题的有力工具.
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2.2.2 反证法
一般地，从要证明的结论出发，逐步
寻求推证过程中，使每一步结论成立的充
分条件，直至最后，把要证明的结论归结
为判定一个明显成立的条件（已知条件、
定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法源自做分析法．特点：执果索因.
用框图表示分析法
得到一个明显
Q P1
P1 P2
P2 P3
…
成立的结论
若 a < b，则a < b, 与已知a > b矛盾, 故假设不成立，结论 a > b成立。
例3：证明：圆的两条不全是直径的相交
弦不能互相平分. 已知：在⊙O中,弦AB、CD相交于P，且
AB、CD不全是直径
求证：AB、CD不能互相平分。
C
A
P
B
O
D
作业
1:若p1 p2 = 2(q1 + q2),证明:关于x的方程 x2 + p1x + q1 = 0与x2 + p2x + q2 = 0中至少有一 个有实根.
反证法的思维方法：
正难则反
反证法的基本步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成------立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 -----论正确 归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
应用反证法的情形：
2:若a,b,c均为实数,且a = x2 - 2y + ,
2
b = y2 - 2z + ,c = z2 - 2x + ,
3
6
求证 : a,b,c中至少有一个大于0.
复习
经过证明 的结论
思考题:甲、乙、丙三箱共有小球384个,先 由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内,所放个 数分别为乙、丙箱内原有个数,继而由乙箱 取出若干个球放进甲、丙两箱内,最后由丙 箱取出若干个球放进甲、乙两箱内,方法同 前.结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、 乙、丙三箱原有小球数
甲:208个,乙:112个,丙:64个
(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论． （3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷 多个” ---类命题； （4）结论为 “唯一”类命题；
例1：用反证法证明： 如果a>b>0，那么 a > b 证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
若 a = b，则a = b,与已知a > b矛盾,
思考？
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说 C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定 是在撒谎，为什么？
分析:假设C没有撒谎, 则C真. - - -- -那么A假且B假;
由A假, 知B真. 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立; 则C必定是在撒谎.
反证法：
假设命题结论的反面成立，经过正确的 推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而 证明原命题成立,这样的的证明方法叫反 证法。
一般地，从要证明的结论出发，逐步
寻求推证过程中，使每一步结论成立的充
分条件，直至最后，把要证明的结论归结
为判定一个明显成立的条件（已知条件、
定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法源自做分析法．特点：执果索因.
用框图表示分析法
得到一个明显
Q P1
P1 P2
P2 P3
…
成立的结论
若 a < b，则a < b, 与已知a > b矛盾, 故假设不成立，结论 a > b成立。
例3：证明：圆的两条不全是直径的相交
弦不能互相平分. 已知：在⊙O中,弦AB、CD相交于P，且
AB、CD不全是直径
求证：AB、CD不能互相平分。
C
A
P
B
O
D
作业
1:若p1 p2 = 2(q1 + q2),证明:关于x的方程 x2 + p1x + q1 = 0与x2 + p2x + q2 = 0中至少有一 个有实根.
反证法的思维方法：
正难则反
反证法的基本步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成------立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 -----论正确 归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
应用反证法的情形：
2:若a,b,c均为实数,且a = x2 - 2y + ,
2
b = y2 - 2z + ,c = z2 - 2x + ,
3
6
求证 : a,b,c中至少有一个大于0.
复习
经过证明 的结论
思考题:甲、乙、丙三箱共有小球384个,先 由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内,所放个 数分别为乙、丙箱内原有个数,继而由乙箱 取出若干个球放进甲、丙两箱内,最后由丙 箱取出若干个球放进甲、乙两箱内,方法同 前.结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、 乙、丙三箱原有小球数
甲:208个,乙:112个,丙:64个
(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论． （3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷 多个” ---类命题； （4）结论为 “唯一”类命题；
例1：用反证法证明： 如果a>b>0，那么 a > b 证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
若 a = b，则a = b,与已知a > b矛盾,
思考？
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说 C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定 是在撒谎，为什么？
分析:假设C没有撒谎, 则C真. - - -- -那么A假且B假;
由A假, 知B真. 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立; 则C必定是在撒谎.
反证法：
假设命题结论的反面成立，经过正确的 推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而 证明原命题成立,这样的的证明方法叫反 证法。