2014年普通高等学校招生全国统一考试押题卷数学卷(陕西.文)含详解
2014年高考理科数学陕西卷-答案
【解析】∵ ，∴ ，方差 .
【提示】根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论.
【考点】样本数据的均值和方差的性质
10.【答案】A
【解析】由题意可得出，此三次函数在 处的导数为0，依次特征寻找正确选项：
A选项，导数为 ，令其为0，解得 ，故A正确；
B选项，导数为 ，令其为0， 不成立，故B错误；
【提示】设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为 ，两条长度为 ，即可得出结论.
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率
7.【答案】B
【解析】A. ， ， ，不满足 ，故A错；
B. ， ， ，不满足 ，故B错；
C. ， ， ，满足 ，但 在 上是单调减函数，故C错.
（Ⅲ）在（Ⅱ）中取 ，可得 ，令 ，则 ， 依次取1，2，3…，然后各式相加即得到不等式.
【考点】等差数列，利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性，类比推理
∴原命题的逆命题是假命题；
根据原命题与其逆否命题同真同假，否命题与逆命题互为逆否命题，同真同假，
∴命题的否命题是假命题，逆否命题是真命题.故选：B.
【提示】根据共轭复数的定义判断命题的真假，根据逆命题的定义写出逆命题并判断真假，再利用四种命题的真假关系判断否命题与逆否命题的真假.
【考点】四种命题间的逆否关系
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ， ， ，
∴ 平面 ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴四边形 是矩形.
（Ⅱ）如图，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
设平面 的一个法向量 ，
∴ ， ，∴ ，即得 ，
2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(文科)—陕西卷
2014年陕西高考数学试题（文）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|0,},{|1,}M x x x R N x x x R =≥∈=<∈，则MN =（ ）.[0,1]A .(0,1)B .(0,1]C .[0,1)D2.函数()cos(2)4f x x π=+的最小正周期是（ ）.2A π.B π .2C π .4D π 3.已知复数2z i =-，则z z ⋅的值为（ ）.5AB .3C4.根据右边框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是（ ）.2n Aa n = .2(1)n B a n =- .2n n C a = 1.2n n D a -=输出a 1,a 2,...,a N结束是否i >Ni =i +1S =a iS =1，i =1输入N开始a i =2*S5.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（ ）.4A π .3B π .2C π .D π6.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（ ）1.5A2.5B3.5C4.5D 7.下了函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ） （A ）()3f x x = （B ）()3xf x = （C ）()f x =x1/2（D ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭8.原命题为“若12n n n a a a ++<，n N +∈，则{}n a 为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆 否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）（A ）真，真，真 （B ）假，假，真 （C ）真，真，假 （D ）假，假，假9.某公司10位员工的月工资（单位：元）为1x ，2x ，…，10x ，其均值和方差分别为x 和2s ，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ） （A ）x ，22s 100+ （B ）100x +，22s 100+ （C ）x ，2s （D ）100x +，2s10.如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲 路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（ ） （A ）321122y x x x =-- （B ）3211322y x x x =+- （C ）314y x x =- （D ）3211242y x x x =+-y二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11.抛物线24y x =的准线方程为________. 12.已知42a=，lg x a =，则x =________. 13. 设20πθ<<，向量)cos ,1(),cos ,2(sin θθθ-==b a ，若0=⋅b a ，则=θtan ______.14. 已知0,1)(≥+=x xxx f ，若++∈==N n x f f x f x f x f n n )),(()(),()(11，则)(2014x f 的 表达式为________.15．（不等式选做题）设R n m b a ∈,,,，且5,522=+=+nb ma b a ，则22n m +的最小值为______.16．（几何证明选做题）如图，ABC ∆中，6=BC ，以BC 为直径的半圆分别交AC AB ,于点F E ,，若AE AC 2=，则EF =_______.B17．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点)6,2(π到直线1)6sin(=-πθρ的距离是_______.三、解答题.18. （本小题满分12分）ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,. （1）若c b a ,,成等差数列，证明：)sin(2sin sin C A C A +=+； （2）若c b a ,,成等比数列，且a c 2=，求B cos 的值.19．（本小题满分12分）四面体ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱BC AD ,的平面分别交四面体的棱CA DC BD AB ,,,于点H G F E ,,,. （1）求四面体ABCD 的体积； （2）证明：四边形EFGH 是矩形.C20.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，点(,)P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，且(,)OP mAB nAC m n R =+∈.左视图（1）若23m n ==，求||OP ； （2）用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值. 21．（本小题满分12分）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：（2）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率.22．（本小题满分13分）已知椭圆22221(0)x y ab a b+=>>经过点，离心率为12，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -. （1）求椭圆的方程； （2）若直线1:2l y x m =-+与椭圆交于,A B 两点，与以12F F为直径的圆交于,C D 两点，且满足||||4AB CD =，求直线l 的方程.x23．（本小题满分13分）设函数()ln ,mf x x m R x=+∈. （1）当m e =（e 为自然对数的底数）时，求()f x 的最小值；（2）讨论函数()'()3xg x f x =-零点的个数；（3）若对任意()()0,1f b f a b a b a->><-恒成立，求m 的取值范围.参考答案一、选择题1.D [解析] 由M ＝{x |x ≥0}，N ＝{x |x 2<1}＝{x |－1<x <1}，得M ∩N ＝[0，1)．2.B [解析] T ＝2π2＝π.3.A [解析] ∵z ＝2－i ，∴z －＝2＋i ，∴z ·z －＝(2＋i)(2－i)＝4＋1＝5.4.C [解析] 阅读题中所给的程序框图可知输出的数列为2，2×2＝22，2×22＝23，2×23＝24，…，2×2N －1＝2N ，故其通项公式为a n ＝2n .5.C [解析] 由题意可知，旋转体是一个底面半径为1，高为1的圆柱，故其侧面积为2π×1×1＝2π.6.B [解析] 由古典概型的特点可知从5个点中选取2个点的全部情况共有10种，其中选取的2个点的距离小于该正方形边长的情况共有4种，故所求概率为P ＝410＝25.7.B [解析] 由于f (x ＋y )＝f (x )f (y )，故排除选项A ，C.又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x为单调递减函数，所以排除选项D 8.A [解析] 由a n ＋a n ＋12<a n ，得a n ＋1<a n ，所以数列{a n }为递减数列，故原命题是真命题，其逆否命题为真命题．易知原命题的逆命题为真命题，所以其否命题也为真命题．9.D [解析] 由题目中所给的数据可知x x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 1010，不妨设这10位员工下月工资的均值为y －，则y －＝（x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10）＋100010＝x －＋100，易知方差没发生变化．10.A [解析] 由题意可知，该三次函数的图像过原点，则其常数项为0，不妨设其解析式为y ＝f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，∴f ′(0)＝－1，f ′(2)＝3，可得c ＝－1，3a ＋b ＝1.又y ＝ax 3＋bx 2＋cx 过点(2，0)，∴4a ＋2b ＝1，∴a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，∴y ＝f (x )＝12x 3－12x 2－x .11.1x =- [解析] 易知抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－p2＝－1[解析] 4a ＝2，即22a ＝2，可得a ＝12，所以lg x ＝12，所以x ＝1012＝1013.12[解析] 由a ·b ＝0，得sin 2 θ＝cos 2θ.又0<θ<π2，∴cos θ≠0，∴2sin θ＝cos θ，则tanθ＝12.14.12014x x+ [解析] 由题意，得f 1(x )＝f (x )＝x1＋x ，f 2(x )＝x 1＋x 1＋x 1＋x＝x 1＋2x ，f 3(x )＝x1＋3x ，…，由此归纳推理可得f 2014(x )＝x1＋2014x.15. 由柯西不等式可知(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)≥(ma ＋nb )2，即5(m 2＋n 2)≥25，当且仅当an ＝bm 时，等号成立，所以m 2＋n 2 ≥ 5.16．由题目中所给图形的位置关系，可知∠AEF ＝∠ACB ，又∠A ＝∠A ，所以△AEF ∽△ACB ，所以AEAC ＝EFBC.又AC ＝2AE ，BC ＝6，所以EF ＝3 17．易知点⎝⎛⎭⎫2，π6的直角坐标为(3，1)，直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝1的直角坐标方程为x －3y ＋2＝0.由点到直线距离公式，得d ＝|3－3＋2|12＋（－3）2＝118. （1）c b a ，，成等差数列2a c b ∴+=由正弦定理得sin sin 2sin A C B +=sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+()sin sin 2sin A CA C ∴+=+（2）由题设有b 2=ac ，c=2a ，∴，由余弦定理得2222222423cos 244a cb ac a B ac a +-+-=== 19. （1）由该四面体的三视图可知：,,BD DC BD AD AD DC ⊥⊥⊥，2,1BD DC AD === AD ∴⊥平面BDC∴四面体体积11121223323BCD V AD S ∆=⋅=⨯⨯⨯⨯= （2）因为BC ∥平面EFGH ， 平面EFGH平面BDC FG =，平面EFGH平面ABC EH =BC ∴∥FG ，BC ∥EH ， FG ∴∥EH .同理EF ∥AD ，HG ∥AD ， EF ∴∥HG .∴四边形EFGH 是平行四边形又因为AD ⊥平面BDCAD BC ∴⊥BC ∥FG ,EF ∥AD EF FG ∴⊥∴四边形EFGH 是矩形20. （1）因为23m n ==，(1,2)AB =，(2,1)AC = 22(2,2)33OP ∴=+=（1，2）（2，1）2||=2OP ∴=（2）=(2,2)OP m n m n m n =+++（1，2）（2，1）即22x m ny m n=+⎧⎨=+⎩两式相减得：m n y x -=-令y x t -=，由图可知，当直线y x t =+过点(2,3)B 时，t 取得最大值1，故m n -的最大值为1.x21. （1）设A 表示事件“赔付金额为3000元”，B 表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得： 150()0.151000P A ==，120()0.121000P B ==，由于投保金额为2800，赔付金额大于投保金额对应的情形时3000元和4000元，所以其概率为：()()0.150.120.27P A P B +=+=（2）设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.11000⨯100=，而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有0.212024⨯=辆所以样本中车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为240.24100= 由频率估计概率得()0.24P C =22. （1）由题意可得12222b c a b a c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩—解得2,1a b c ===∴椭圆的方程为22143x y += （2）由题意可得以12F F 为直径的圆的方程为221x y += ∴圆心到直线l的距离为d =由1d <1<，可得||m <||CD ∴===设1122(,),(,)A x y B x y联立2212143y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 整理得2230x mx m -+-=由求根公式可得：12x x m +=，2123x x m =-||AB ∴=||||4AB CD =1=解方程得m=||m<∴直线l的方程为123y x=-+或123y x=--23.（1）由题设，当m e=时，()lnef x xx=+易得函数()f x的定义域为(0,)+∞221()e x ef xx x x-'∴=-=∴当(0,)x e∈时，()0f x'<，此时()f x在(0,)e上单调递减；当(,)x e∈+∞时，()0f x'>，此时()f x在(,)e+∞上单调递增；∴当x e=时，()f x取得极小值()ln2ef e ee=+=∴()f x的极小值为2(2)函数21()()(0)33x m xg x f x xx x'=-=-->令()0g x=，得31(0)3m x x x=-+>设31()(0)3x x x xϕ=-+≥2()1(1)(1)x x x xϕ'∴=-+=--+当(0,1)x∈时，()0xϕ'>，此时()xϕ在(0,1)上单调递增；当(1,)x∈+∞时，()0xϕ'<，此时()xϕ在(1,)+∞上单调递减；所以1x=是()xϕ的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是()xϕ的最大值点，∴()xϕ的最大值为12(1)133ϕ=-+=又(0)0ϕ=，结合y=()xϕ的图像（如图）可知① 当23m >时，函数()g x 无零点； ②当23m =时，函数()g x 有且仅有一个零点； ③当203m <<时，函数()g x 有两个零点； ④0m ≤时，函数()g x 有且只有一个零点； 综上所述，当23m >时，函数()g x 无零点；当23m =或0m ≤时，函数()g x 有且仅有一个零点；当203m <<时，函数()g x 有两个零点. （3）对任意()()0,1f b f a b a b a ->><-恒成立 等价于()()f b b f a a -<-恒成立 设()()ln (0)m h x f x x x x x x=-=+-> ()h x ∴等价于在(0,)+∞上单调递减21()10m h x x x'∴=--≤在(0,)+∞恒成立 2211()(0)24m x x x x ∴≥-+=--+>恒成立 14m ∴≥（对14m =，x =h '（）0仅在12x =时成立）， m ∴的取值范围是1[,)4+∞。
14年高考真题——文科数学(陕西卷)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（陕西）卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}|0M x x =≥，{}2|1,N x x x R =<∈，则MN =（ ）（A ）[]0,1 （B ）()0,1 （C ）(]0,1 （D ）[)0,1 2．函数()cos 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期是( ) （A ）2π （B ）π （C ）2π （D ）4π3．已知复数2z i =-，则z z ⋅ 的值为（ ） （A ）5 （B ）5 （C ）3 （D ）34．根据右边框图，对大于2的整数N ，得出数列的通项公式是( ) （A ）2n a n = （B ）()21n a n =- （C ）2n n a = （D ）12n n a -=5．将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得集合体的侧面积是（ ） （A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π6．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( ) （A ）15 （B ）25 （C ）3 （D ）457．下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是( )（A ）()12f x x = （B ）()3f x x = （C ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（D ）()3xf x =8．原命题为“若12n n n a a a ++<，n N +∈，则{}n a 为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是 ( )（A ）真，真，真 （B ）假，假，真 （C ）真，真，假 （D ）假，假，假9．某公司10位员工的月工资（单位：元）为1210,,,x x x ，其均值和方差分别为x 和2s ，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这个10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ） （A ）x ，22100s +（B ）100x +，22100s +（C ）x ，2s（D ）100x +，2s10．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（ ）（A ）x x x y --=232121 （B ）x x x y 3212123-+=（C ）x x y -=341 （D ）x x x y 2214123-+=二．填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．抛物线24y x =的准线方程为___________。
2014高考数学(文科)陕西卷真题答案解析
2014高考数学（文科）陕西卷真题答案解析
举国瞩目的2014高考已结束，新东方在线高考名师团队联合西安新东方高考名师第一时间对2014高考北京物理真题进行了点评，希望能对考生、家长有所帮助，也希望对2015高考考生提供借鉴。
以下是西安新东方高考数学名师对2014陕西高考数学（文科）真题的
解析和点评。
[0,1N =考察解不等式及集合的交并补关系；
z 的值为（B ．5 5z = 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体 C ．2π 的圆柱，侧面展开图是个矩形，12S R π=⨯=
C ．3
14
y x x =
-
b=，则
π
，则tanθ
是_____
5；3；1；A. 225
+=；(2a b+
a b
∆，
ABC
3
，
（1）由该四面体的三视图可知：
BDC
1
,2
,
,
,
⊥∴
=
=
⊥
⊥
⊥
平面AD
AD
DC
BD
DC
AD
AD
BD
DC
BD
向量坐标运算；线性规划
文科19
某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额0 1000 2000
22
1x y ∴+=椭圆的方程为
2
<m时，函数)
0<
g有两个零点.
(x
3
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14年高考真题——理科数学(陕西卷)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（陕西）卷数学（理科）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}|0M x x =≥，{}2|1,N x x x R =<∈，则MN =（ ）（A ）[]0,1 （B ）[)0,1 （C ）(]0,1 （D ）()0,12．函数()cos 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期是( ) （A ）2π （B ）π （C ）2π （D ）4π3．定积分()12xx e dx +⎰的值为( )（A ）2e + （B ）1e + （C ）e （D ）1e - 4．根据右边框图，对大于2的整数N ，得出数列的通项公式是( )（A ）2n a n = （B ）()21n a n =- （C ）2n n a = （D ）12n n a -=5．已知底面边长为1的体积为( ) （A ）323π （B ）4π （C ）2π （D ）43π6．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( ) （A ）15 （B ）25 （C ）3 （D ）457．下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是( )（A ）()12f x x = （B ）()3f x x = （C ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（D ）()3x f x =8．原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12||||z z =”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )（A ）真，假，真 （B ）假，假，真 （C ）真，真，假 （D ）假，假，假 9．设样本数据1210,,,x x x 的均值和方差分别为1和4，若i i y x a =+（a 为非零常数， 1,2,,10i =），则12,10,y y y 的均值和方差分别为（ ）（A ）1+,4a （B ）1,4a a ++ （C ）1,4 （D ）1,4+a10．如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（ ）（A ）3131255y x x =- （B ）3241255y x x =- （C ）33125y x x =- （D ）3311255y x x =-+ 二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知42a=，lg x a =，则x = __________。
【推荐】2014年陕西省高考数学试卷(文科)
2014年陕西省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设集合M={|≥0，∈R}，N={|2＜1，∈R}，则M∩N=（）A．[0，1] B．（0，1） C．（0，1] D．[0，1）2．（5分）函数f（）=cos（2+）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π3．（5分）已知复数=2﹣i，则•的值为（）A．5 B．C．3 D．4．（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（）A．an =2n B．an=2（n﹣1）C．an=2n D．an=2n﹣15．（5分）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（）A ．4πB ．3πC ．2πD ．π6．（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．7．（5分）下列函数中，满足“f （+y ）=f （）f （y ）”的单调递增函数是（ ）A ．f （）=3B ．f （）=3C ．f （）=D ．f （）=（）8．（5分）原命题为“若＜a n ，n ∈N +，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）A ．真、真、真B ．假、假、真C ．真、真、假D ．假、假、假9．（5分）某公司10位员工的月工资（单位：元）为1，2，…，10，其均值和方差分别为和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）A ．，s 2+1002B ．+100，s 2+1002C ．，s 2D ．+100，s 210．（5分）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）A ．y=3﹣2﹣ B ．y=3+2﹣3 C ．y=3﹣ D ．y=3+2﹣2二、填空题（共4小题，每小题5分，共25分）11．（5分）抛物线y 2=4的准线方程是 ．12．（5分）已知4a =2，lg=a ，则= ．13．（5分）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cos θ），=（1，﹣cos θ），若•=0，则tan θ= ．14．（5分）已知f （）=，≥0，若f 1（）=f （），f n+1（）=f （f n （）），n ∈N +，则f 2014（）的表达式为 ．选考题（请在15-17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）不等式选做题15．（5分）设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2+b 2=5，ma+nb=5，则的最小值为 ．几何证明选做题16．如图，△ABC 中，BC=6，以BC 为直径的半圆分别交AB 、AC 于点E 、F ，若AC=2AE ，则EF= ．坐标系与参数方程选做题17．在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是 ．三、解答题（共6小题，共75分）18．（12分）△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ．（Ⅰ）若a ，b ，c 成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin （A+C ）；（Ⅱ）若a ，b ，c 成等比数列，且c=2a ，求cosB 的值．19．（12分）四面体ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB 、BD 、DC 、CA 于点E 、F 、G 、H ．（Ⅰ）求四面体ABCD 的体积；（Ⅱ）证明：四边形EFGH 是矩形．20．（12分）在直角坐标系Oy 中，已知点A （1，1），B （2，3），C （3，2），点P （，y ）在△ABC 三边围成的区域（含边界）上，且=m +n （m ，n ∈R ）（Ⅰ）若m=n=，求||； （Ⅱ）用，y 表示m ﹣n ，并求m ﹣n 的最大值．21．（12分）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：（Ⅱ）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．22．（13分）已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）经过点（0，），离心率为，左右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l ：y=﹣+m 与椭圆交于A 、B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C 、D 两点，且满足=，求直线l 的方程．23．（14分）设函数f （）=ln+，m ∈R ．（Ⅰ）当m=e （e 为自然对数的底数）时，求f （）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g （）=f ′（）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意b ＞a ＞0，＜1恒成立，求m 的取值范围．2014年陕西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设集合M={|≥0，∈R}，N={|2＜1，∈R}，则M∩N=（）A．[0，1] B．（0，1） C．（0，1] D．[0，1）【分析】先解出集合N，再求两集合的交即可得出正确选项．【解答】解：∵M={|≥0，∈R}，N={|2＜1，∈R}={|﹣1＜＜1，∈R}，∴M∩N=[0，1）．故选：D．【点评】本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．2．（5分）函数f（）=cos（2+）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π【分析】由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解．【解答】解：根据复合三角函数的周期公式得，函数f（）=cos（2+）的最小正周期是π，故选：B．【点评】本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题．3．（5分）已知复数=2﹣i，则•的值为（）A．5 B．C．3 D．【分析】由求出，然后直接利用复数代数形式的乘法运算求解．【解答】解：由=2﹣i ，得•=（2﹣i ）（2+i ）=4﹣i 2=5．故选：A ．【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，是基础的计算题．4．（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是（ ）A ．a n =2nB ．a n =2（n ﹣1）C ．a n =2nD ．a n =2n ﹣1【分析】根据框图的流程判断递推关系式，根据递推关系式与首项求出数列的通项公式．【解答】解：由程序框图知：a i+1=2a i ，a 1=2，∴数列为公比为2的等比数列，∴a n =2n ．故选：C ．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键．5．（5分）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（）A．4πB．3πC．2πD．π【分析】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积．【解答】解：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，则所得几何体的侧面积为：1×2π×1=2π，故选：C．【点评】本题是基础题，考查旋转体的侧面积的求法，考查计算能力．6．（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（）A．B．C．D．【分析】设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，即可得出结论．【解答】解：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，∴所求概率为=．故选：B．【点评】本题考查概率的计算，列举基本事件是关键．7．（5分）下列函数中，满足“f（+y）=f（）f（y）”的单调递增函数是（）A．f（）=3B．f（）=3 C．f（）=D．f（）=（）【分析】对选项一一加以判断，先判断是否满足f（+y）=f（）f（y），然后考虑函数的单调性，即可得到答案．【解答】解：A．f（）=3，f（y）=y3，f（+y）=（+y）3，不满足f（+y）=f （）f（y），故A错；B．f（）=3，f（y）=3y，f（+y）=3+y，满足f（+y）=f（）f（y），且f（）在R上是单调增函数，故B正确；C．f（）=，f（y）=，f（+y）=，不满足f（+y）=f（）f（y），故C错；D．f（）=，f（y）=，f（+y）=，满足f（+y）=f（）f （y），但f（）在R上是单调减函数，故D错．故选：B．【点评】本题主要考查抽象函数的具体模型，同时考查幂函数和指数函数的单调性，是一道基础题．8．（5分）原命题为“若＜an ，n∈N+，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A．真、真、真B．假、假、真C．真、真、假 D．假、假、假【分析】先根据递减数列的定义判定命题的真假，再判断否命题的真假，根据命题与其逆否命题同真性及四种命题的关系判断逆命题与逆否命题的真假．【解答】解：∵＜an =⇔an+1＜an，n∈N+，∴{an}为递减数列，命题是真命题；其否命题是：若≥an ，n∈N+，则{an}不是递减数列，是真命题；又命题与其逆否命题同真同假，命题的否命题与逆命题是互为逆否命题，∴命题的逆命题，逆否命题都是真命题．故选：A ．【点评】本题考查了四种命题的定义及真假关系，判断命题的真假及熟练掌握四种命题的真假关系是解题的关键．9．（5分）某公司10位员工的月工资（单位：元）为1，2，…，10，其均值和方差分别为和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）A ．，s 2+1002B ．+100，s 2+1002C ．，s 2D ．+100，s 2【分析】根据变量之间均值和方差的关系和定义，直接代入即可得到结论．【解答】解：由题意知y i =i +100， 则=（1+2+…+10+100×10）=（1+2+…+10）=+100， 方差s 2=[（1+100﹣（+100）2+（2+100﹣（+100）2+…+（10+100﹣（+100）2]=[（1﹣）2+（2﹣）2+…+（10﹣）2]=s 2．故选：D ．【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，利用均值和方差的定义是解决本题的关键，要求熟练掌握相应的计算公式．10．（5分）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）A ．y=3﹣2﹣B ．y=3+2﹣3C．y=3﹣D．y=3+2﹣2【分析】由题设，“需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）“可得出此两点处的切线正是两条直道所在直线，由此规律验证四个选项即可得出答案．【解答】解：由函数图象知，此三次函数在（0，0）上处与直线y=﹣相切，在（2，0）点处与y=3﹣6相切，下研究四个选项中函数在两点处的切线．A、，将0，2代入，解得此时切线的斜率分别是﹣1，3，符合题意，故A正确；B、，将0代入，此时导数为﹣3，不为﹣1，故B错误；C、，将2代入，此时导数为﹣1，与点（2，0）处切线斜率为3矛盾，故C错误；D、，将0代入，此时导数为﹣2，与点（0，0）处切线斜率为﹣1矛盾，故D错误．故选：A．【点评】本题考查导数的几何意义在实际问题中的应用，导数的几何意义是导数主要应用之一．二、填空题（共4小题，每小题5分，共25分）11．（5分）抛物线y2=4的准线方程是=﹣1 ．【分析】先根据抛物线的标准方程形式求出p，再根据开口方向，写出其准线方程．【解答】解：∵2p=4，∴p=2，开口向右，∴准线方程是=﹣1．故答案为=﹣1．【点评】根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程，一定要先化为标准形式，求出的值，再确定开口方向，否则，极易出现错误．12．（5分）已知4a =2，lg=a ，则= ．【分析】化指数式为对数式求得a ，代入lg=a 后由对数的运算性质求得的值．【解答】解：由4a =2，得， 再由lg=a=， 得=．故答案为：． 【点评】本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题．13．（5分）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cos θ），=（1，﹣cos θ），若•=0，则tan θ= ． 【分析】由条件利用两个向量的数量积公式求得 2sin θcos θ﹣cos 2θ=0，再利用同角三角函数的基本关系求得tan θ【解答】解：∵=sin2θ﹣cos 2θ=2sin θcos θ﹣cos 2θ=0，0＜θ＜， ∴2sin θ﹣cos θ=0，∴tan θ=，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．14．（5分）已知f （）=，≥0，若f 1（）=f （），f n+1（）=f （f n （）），n ∈N +，则f 2014（）的表达式为 ．【分析】由题意，可先求出f 1（），f 2（），f 3（）…，归纳出f n （）的表达式，即可得出f 2014（）的表达式 【解答】解：由题意．．．…故f 2014（）=故答案为： 【点评】本题考查逻辑推理中归纳推理，由特殊到一般进行归纳得出结论是此类推理方法的重要特征．选考题（请在15-17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）不等式选做题15．（5分）设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2+b 2=5，ma+nb=5，则的最小值为 ．【分析】根据柯西不等式（a 2+b 2）（c 2+d 2）≥（ac+bd ）2当且仅当ad=bc 取等号，问题即可解决．【解答】解：由柯西不等式得，（ma+nb ）2≤（m 2+n 2）（a 2+b 2）∵a 2+b 2=5，ma+nb=5，∴（m2+n2）≥5∴的最小值为故答案为：【点评】本题主要考查了柯西不等式，解题关键在于清楚等号成立的条件，属于中档题．几何证明选做题16．如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF= 3 ．【分析】证明△AEF∽△ACB，可得，即可得出结论．【解答】解：由题意，∵以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，∴∠AEF=∠C，∵∠EAF=∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴，∵BC=6，AC=2AE，∴EF=3．故答案为：3．【点评】本题考查三角形相似的判定与运用，考查学生的计算能力，属于基础题．坐标系与参数方程选做题17．在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是 1 ．【分析】把极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：点P（2，）化为=，y=2=1，∴P．直线展开化为：=1，化为直角坐标方程为：，即=0．∴点P到直线的距离d==1．故答案为：1．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标的公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（共6小题，共75分）18．（12分）△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．【分析】（Ⅰ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质得到a+c=2b，再利用正弦定理及诱导公式变形即可得证；（Ⅱ）由a，b，c成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，将c=2a代入表示出b，利用余弦定理表示出cosB，将三边长代入即可求出cosB的值．【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，∴a+c=2b，由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB，∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），则sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，将c=2a代入得：b2=2a2，即b=a，∴由余弦定理得：cosB===．【点评】此题考查了余弦定理，等差、等比数列的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．19．（12分）四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H．（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；（Ⅱ）证明：四边形EFGH是矩形．【分析】（Ⅰ）证明AD⊥平面BDC，即可求四面体ABCD的体积；（Ⅱ）证明四边形EFGH是平行四边形，EF⊥HG，即可证明四边形EFGH 是矩形．【解答】（Ⅰ）解：由题意，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD=DC=2，AD=1，∴AD⊥平面BDC，∴四面体ABCD的体积V==；（Ⅱ）证明：∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC=FG，平面EFGH ∩平面ABC=EH，∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH．同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形．【点评】本题考查线面垂直，考查线面平行性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（12分）在直角坐标系Oy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上，且=m+n（m，n∈R）（Ⅰ）若m=n=，求||；（Ⅱ）用，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．【分析】（Ⅰ）由点的坐标求出向量和的坐标，结合m=n=，再由=m+n求得的坐标，然后由模的公式求模；（Ⅱ）由=m+n得到，作差后得到m﹣n=y﹣，令y﹣=t，然后利用线性规划知识求得m﹣n的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），∴，又m=n=，∴．∴；（Ⅱ）∵，∴，两式相减得，m﹣n=y﹣．令y﹣=t，由图可知，当直线y=+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，故m﹣n的最大值为：1．【点评】本题考查了平面向量的数乘及坐标加法运算，考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．21．（12分）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：（Ⅱ）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．【分析】（Ⅰ）设A表示事件“赔付金额为3000元，”B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率，求得P（A），P（B），再根据投保额为2800元，赔付金额大于投保金额得情形是3000元和4000元，问题得以解决．（Ⅱ）设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，分别求出样本车辆中车主为新司机人数和赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机人数，再求出其频率，最后利用频率表示概率．【解答】解：（Ⅰ）设A表示事件“赔付金额为3000元，”B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P （A ）=，P （B ）=，由于投保额为2800元，赔付金额大于投保金额得情形是3000元和4000元，所以其概率为P （A ）+P （B ）=0.15+0.12=0.27．（Ⅱ）设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000=100，而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120=24，所以样本中车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为， 由频率估计概率得P （C ）=0.24．【点评】本题主要考查了用频率表示概率，属于中档题．22．（13分）已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）经过点（0，），离心率为，左右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l ：y=﹣+m 与椭圆交于A 、B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C 、D 两点，且满足=，求直线l 的方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得，解出即可．（Ⅱ）由题意可得以F 1F 2为直径的圆的方程为2+y 2=1．利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线l 的距离d 及d ＜1，可得m 的取值范围．利用弦长公式可得|CD|=2．设A （1，y 1），B （2，y 2）．把直线l 的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，进而得到弦长|AB|=．由=，即可解得m ．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得， 解得，c=1，a=2． ∴椭圆的方程为． （Ⅱ）由题意可得以F 1F 2为直径的圆的方程为2+y 2=1．∴圆心到直线l 的距离d=，由d ＜1，可得．（*）∴|CD|=2==． 设A （1，y 1），B （2，y 2）． 联立，化为2﹣m+m 2﹣3=0，可得1+2=m ，． ∴|AB|==． 由=，得， 解得满足（*）．因此直线l 的方程为． 【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交的弦长问题、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．23．（14分）设函数f（）=ln+，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（）=f′（）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．【分析】（Ⅰ）m=e时，f（）=ln+，利用f′（）判定f（）的增减性并求出f（）的极小值；（Ⅱ）由函数g（）=f′（）﹣，令g（）=0，求出m；设φ（）=m，求出φ（）的值域，讨论m的取值，对应g（）的零点情况；（Ⅲ）由b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；即h（）=f（）﹣在（0，+∞）上单调递减；h′（）≤0，求出m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当m=e时，f（）=ln+，∴f′（）=；∴当∈（0，e）时，f′（）＜0，f（）在（0，e）上是减函数；当∈（e，+∞）时，f′（）＞0，f（）在（e，+∞）上是增函数；∴=e时，f（）取得极小值为f（e）=lne+=2；（Ⅱ）∵函数g（）=f′（）﹣=﹣﹣（＞0），令g（）=0，得m=﹣3+（＞0）；设φ（）=﹣3+（＞0），∴φ′（）=﹣2+1=﹣（﹣1）（+1）；当∈（0，1）时，φ′（）＞0，φ（）在（0，1）上是增函数，当∈（1，+∞）时，φ′（）＜0，φ（）在（1，+∞）上是减函数；∴=1是φ（）的极值点，且是极大值点，∴=1是φ（）的最大值点，∴φ（）的最大值为φ（1）=；又φ（0）=0，结合y=φ（）的图象，如图；可知：①当m＞时，函数g（）无零点；②当m=时，函数g（）有且只有一个零点；③当0＜m＜时，函数g（）有两个零点；④当m≤0时，函数g（）有且只有一个零点；综上，当m＞时，函数g（）无零点；当m=或m≤0时，函数g（）有且只有一个零点；当0＜m＜时，函数g（）有两个零点；（Ⅲ）对任意b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；设h（）=f（）﹣=ln+﹣（＞0），则h（b）＜h（a）．∴h（）在（0，+∞）上单调递减；∵h′（）=﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，∴m≥﹣2+=﹣+（＞0），∴m≥；对于m=，h′（）=0仅在=时成立；∴m的取值范围是[，+∞）．【点评】本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法解答问题，是难题．。
2014年陕西高考理科数学试题及答案详解
2014年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学试题一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【2014年陕西卷（理01）】已知集合2{|0},{|1,}M x x N x x x R =≥=<∈，则M N =I （ ） 【答案】 B【解析】B N M N M 选，).1,0[),11-(),,0[=∩∴=+∞=Θ 【2014年陕西卷（理02）】函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是（ ）【答案】 B【解析】B T 选∴,π2π2||π2===ωΘ 【2014年陕西卷（理03）】定积分10(2)x x e dx +⎰的值为（ ） 【答案】 C【解析】C e e e e x dx e x x x 选∴,-0-1|)()2(1001102∫=+=+=+Θ 【2014年陕西卷（理04）】根据右边框图，对大于2的整数N ，输出数列的通项公式是（ ） 【答案】 C【解析】C q a a a a a n 选的等比数列是.2,2∴,8,4,21321=====Θ【2014年陕西卷（理05）】已知底面边长为1，侧棱长为2则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ） 【答案】 D 【解析】【2014年陕西卷（理06）】从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ） 【答案】 C【解析】C p 选反向解题.53C 4C 4-1.2525=== 【2014年陕西卷（理07）】下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）()12f x x = （B ）()3f x x = （C ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（D ）()3xf x = 【答案】 D 【解析】【2014年陕西卷（理08）】原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12z z =”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）（A ）真，假，真 （B ）假，假，真 （C ）真，真，假 （D ）假，假，假【答案】 B 【解析】Bz z b a z b a z bi a z bi a z 选选择完成判断逆命题的真假即可逆否名称也为真，不需，原命题为真，则设，逆命题和否命题等价原命题和逆否名称等价.,||||∴,||||,-,.2122222111=+=+==+=【2014年陕西卷（理09）】设样本数据1210,,,x x x L 的均值和方差分别为1和4，若i i y x a =+（a 为非零常数， 1,2,,10i =L ），则12,10,y y y L 的均值和方差分别为（ ）（A ）1+,4a （B ）1,4a a ++ （C ）1,4 （D ）1,4+a【答案】 A【解析】A 选变均值也加此数，方差不样本数据加同一个数，. 【2014年陕西卷（理10）】如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处下降， 已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（ ）（A ）3131255y x x =- （B ）3241255y x x =-（C ）33125y x x =- （D ）3311255y x x =-+ 【答案】 A 【解析】第二部分（共100分）二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.【2014年陕西卷（理11）】已知,lg ,24a x a ==则x =________. 【答案】 10【解析】.1010,21lg 12a ∴,lg ,224212aa========x a x a x 所以，Θ【2014年陕西卷（理12）】若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为_______.【答案】11-(22=+）y x 【解析】【2014年陕西卷（理13）】设20πθ<<，向量()()sin 2cos cos 1a b θθθ==r r ，，，，若b a ρρ//，则=θtan _______.【答案】 21【解析】 .21tan θθ,cos θcos θsin 2θcos θ2sin ∴//).1,θ(cos ),θcos ,θ2(sin 22=====解得即，b a b a Θ 【2014年陕西卷（理14）】观察分析下表中的数据：多面体 面数（F ）顶点数（V )棱数（E )三棱锥 5 6 9五棱锥 6 6 10立方体 6 8 12猜想一般凸多面体中，E V F ，，所满足的等式是_________. 【答案】 2+=+E V F【解析】.2+=+E V F 经观察规律，可得【2014年陕西卷（理15）】（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）.A (不等式选做题)设,,,a b m n R ∈，且225,5a b ma nb +=+=，则22m n +的最小值为.B （几何证明选做题）如图，ABC ∆中，6BC =，以BC 为直径的半圆分别交,AB AC 于点,E F ，若2AC AE =,则EF =.C （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点(2,)6π到直线sin()16πρθ-=的距离是【答案】 A 5 B 3 C 1 【解析】 A B C三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）【2014年陕西卷（理16）】 （本小题满分12分） ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，. （I ）若c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （II ）若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值. （1）Θ a 、b 、c 成等数列，∴ a+c=2b. 由正弦定理得sinA+sinC=2sinB.Θ sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin(A+C) ∴ sinA+sinC=2sin （A+C ）. (II)Θ a,b,c 成等比例，∴ b 2=2c. 由余弦定理得cosB=ac ac c a ac b c a 2222222-+=++≥2122=-ac ac ac ， 当且仅当a=c 时等号成立. ∴ cosB 的最小值为21.【2014年陕西卷（理17）】（本小题满分12分）四面体ABCD 及其三视图如图所示，过棱AB 的中点E 作平行于AD ，BC 的平面分别交四面体的棱CA DC BD ，，于点H G F ，，. （I ）证明：四边形EFGH 是矩形；（II ）求直线AB 与平面EFGH 夹角θ的正弦值. 解 （I ）由该四面体的三视图可知， BD ⊥DC, BD ⊥AD , AD ⊥DC, BD=DC=2，AD = 1. 由题设，BC //平面EFGH, 平面EFGH ⋂平面BDC=FG, 平面EFGH ⋂平面ABC=EH,∴ BC// FG, BC//EH, ∴FG//EH.同理EF//AD,HG//AD, ∴EF//HG,∴四边形EFGH 是平行四边形。
【推荐】2014年陕西省高考数学试卷(文科)
2014年陕西省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设集合M={|≥0，∈R}，N={|2＜1，∈R}，则M∩N=（）A．[0，1] B．（0，1） C．（0，1] D．[0，1）2．（5分）函数f（）=cos（2+）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π3．（5分）已知复数=2﹣i，则•的值为（）A．5 B．C．3 D．4．（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（）A．an =2n B．an=2（n﹣1）C．an=2n D．an=2n﹣15．（5分）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（）A ．4πB ．3πC ．2πD ．π6．（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．7．（5分）下列函数中，满足“f （+y ）=f （）f （y ）”的单调递增函数是（ ）A ．f （）=3B ．f （）=3C ．f （）=D ．f （）=（）8．（5分）原命题为“若＜a n ，n ∈N +，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）A ．真、真、真B ．假、假、真C ．真、真、假D ．假、假、假9．（5分）某公司10位员工的月工资（单位：元）为1，2，…，10，其均值和方差分别为和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）A ．，s 2+1002B ．+100，s 2+1002C ．，s 2D ．+100，s 210．（5分）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）A ．y=3﹣2﹣ B ．y=3+2﹣3 C ．y=3﹣ D ．y=3+2﹣2二、填空题（共4小题，每小题5分，共25分）11．（5分）抛物线y 2=4的准线方程是 ．12．（5分）已知4a =2，lg=a ，则= ．13．（5分）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cos θ），=（1，﹣cos θ），若•=0，则tan θ= ．14．（5分）已知f （）=，≥0，若f 1（）=f （），f n+1（）=f （f n （）），n ∈N +，则f 2014（）的表达式为 ．选考题（请在15-17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）不等式选做题15．（5分）设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2+b 2=5，ma+nb=5，则的最小值为 ．几何证明选做题16．如图，△ABC 中，BC=6，以BC 为直径的半圆分别交AB 、AC 于点E 、F ，若AC=2AE ，则EF= ．坐标系与参数方程选做题17．在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是 ．三、解答题（共6小题，共75分）18．（12分）△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ．（Ⅰ）若a ，b ，c 成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin （A+C ）；（Ⅱ）若a ，b ，c 成等比数列，且c=2a ，求cosB 的值．19．（12分）四面体ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB 、BD 、DC 、CA 于点E 、F 、G 、H ．（Ⅰ）求四面体ABCD 的体积；（Ⅱ）证明：四边形EFGH 是矩形．20．（12分）在直角坐标系Oy 中，已知点A （1，1），B （2，3），C （3，2），点P （，y ）在△ABC 三边围成的区域（含边界）上，且=m +n （m ，n ∈R ）（Ⅰ）若m=n=，求||； （Ⅱ）用，y 表示m ﹣n ，并求m ﹣n 的最大值．21．（12分）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：（Ⅱ）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．22．（13分）已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）经过点（0，），离心率为，左右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l ：y=﹣+m 与椭圆交于A 、B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C 、D 两点，且满足=，求直线l 的方程．23．（14分）设函数f （）=ln+，m ∈R ．（Ⅰ）当m=e （e 为自然对数的底数）时，求f （）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g （）=f ′（）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意b ＞a ＞0，＜1恒成立，求m 的取值范围．2014年陕西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设集合M={|≥0，∈R}，N={|2＜1，∈R}，则M∩N=（）A．[0，1] B．（0，1） C．（0，1] D．[0，1）【分析】先解出集合N，再求两集合的交即可得出正确选项．【解答】解：∵M={|≥0，∈R}，N={|2＜1，∈R}={|﹣1＜＜1，∈R}，∴M∩N=[0，1）．故选：D．【点评】本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．2．（5分）函数f（）=cos（2+）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π【分析】由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解．【解答】解：根据复合三角函数的周期公式得，函数f（）=cos（2+）的最小正周期是π，故选：B．【点评】本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题．3．（5分）已知复数=2﹣i，则•的值为（）A．5 B．C．3 D．【分析】由求出，然后直接利用复数代数形式的乘法运算求解．【解答】解：由=2﹣i ，得•=（2﹣i ）（2+i ）=4﹣i 2=5．故选：A ．【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，是基础的计算题．4．（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是（ ）A ．a n =2nB ．a n =2（n ﹣1）C ．a n =2nD ．a n =2n ﹣1【分析】根据框图的流程判断递推关系式，根据递推关系式与首项求出数列的通项公式．【解答】解：由程序框图知：a i+1=2a i ，a 1=2，∴数列为公比为2的等比数列，∴a n =2n ．故选：C ．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键．5．（5分）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（）A．4π B．3πC．2πD．π【分析】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积．【解答】解：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，则所得几何体的侧面积为：1×2π×1=2π，故选：C．【点评】本题是基础题，考查旋转体的侧面积的求法，考查计算能力．6．（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（）A．B．C．D．【分析】设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，即可得出结论．【解答】解：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，∴所求概率为=．故选：B．【点评】本题考查概率的计算，列举基本事件是关键．7．（5分）下列函数中，满足“f（+y）=f（）f（y）”的单调递增函数是（）A．f（）=3B．f（）=3 C．f（）=D．f（）=（）【分析】对选项一一加以判断，先判断是否满足f（+y）=f（）f（y），然后考虑函数的单调性，即可得到答案．【解答】解：A．f（）=3，f（y）=y3，f（+y）=（+y）3，不满足f（+y）=f （）f（y），故A错；B．f（）=3，f（y）=3y，f（+y）=3+y，满足f（+y）=f（）f（y），且f（）在R上是单调增函数，故B正确；C．f（）=，f（y）=，f（+y）=，不满足f（+y）=f（）f（y），故C错；D．f（）=，f（y）=，f（+y）=，满足f（+y）=f（）f （y），但f（）在R上是单调减函数，故D错．故选：B．【点评】本题主要考查抽象函数的具体模型，同时考查幂函数和指数函数的单调性，是一道基础题．8．（5分）原命题为“若＜an ，n∈N+，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A．真、真、真B．假、假、真C．真、真、假 D．假、假、假【分析】先根据递减数列的定义判定命题的真假，再判断否命题的真假，根据命题与其逆否命题同真性及四种命题的关系判断逆命题与逆否命题的真假．【解答】解：∵＜an =⇔an+1＜an，n∈N+，∴{an}为递减数列，命题是真命题；其否命题是：若≥an ，n∈N+，则{an}不是递减数列，是真命题；又命题与其逆否命题同真同假，命题的否命题与逆命题是互为逆否命题，∴命题的逆命题，逆否命题都是真命题．故选：A ．【点评】本题考查了四种命题的定义及真假关系，判断命题的真假及熟练掌握四种命题的真假关系是解题的关键．9．（5分）某公司10位员工的月工资（单位：元）为1，2，…，10，其均值和方差分别为和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）A ．，s 2+1002B ．+100，s 2+1002C ．，s 2D ．+100，s 2【分析】根据变量之间均值和方差的关系和定义，直接代入即可得到结论．【解答】解：由题意知y i =i +100，则=（1+2+…+10+100×10）=（1+2+…+10）=+100， 方差s 2=[（1+100﹣（+100）2+（2+100﹣（+100）2+…+（10+100﹣（+100）2]=[（1﹣）2+（2﹣）2+…+（10﹣）2]=s 2．故选：D ．【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，利用均值和方差的定义是解决本题的关键，要求熟练掌握相应的计算公式．10．（5分）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）A．y=3﹣2﹣B．y=3+2﹣3C．y=3﹣D．y=3+2﹣2【分析】由题设，“需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）“可得出此两点处的切线正是两条直道所在直线，由此规律验证四个选项即可得出答案．【解答】解：由函数图象知，此三次函数在（0，0）上处与直线y=﹣相切，在（2，0）点处与y=3﹣6相切，下研究四个选项中函数在两点处的切线．A、，将0，2代入，解得此时切线的斜率分别是﹣1，3，符合题意，故A正确；B、，将0代入，此时导数为﹣3，不为﹣1，故B错误；C、，将2代入，此时导数为﹣1，与点（2，0）处切线斜率为3矛盾，故C错误；D、，将0代入，此时导数为﹣2，与点（0，0）处切线斜率为﹣1矛盾，故D错误．故选：A．【点评】本题考查导数的几何意义在实际问题中的应用，导数的几何意义是导数主要应用之一．二、填空题（共4小题，每小题5分，共25分）11．（5分）抛物线y2=4的准线方程是=﹣1 ．【分析】先根据抛物线的标准方程形式求出p，再根据开口方向，写出其准线方程．【解答】解：∵2p=4，∴p=2，开口向右，∴准线方程是=﹣1．故答案为=﹣1．【点评】根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程，一定要先化为标准形式，求出的值，再确定开口方向，否则，极易出现错误．12．（5分）已知4a=2，lg=a，则= ．【分析】化指数式为对数式求得a，代入lg=a后由对数的运算性质求得的值．【解答】解：由4a=2，得，再由lg=a=，得=．故答案为：．【点评】本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题．13．（5分）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（1，﹣cosθ），若•=0，则tanθ= ．【分析】由条件利用两个向量的数量积公式求得2sinθcosθ﹣cos2θ=0，再利用同角三角函数的基本关系求得tanθ【解答】解：∵=sin2θ﹣cos2θ=2sinθcosθ﹣cos2θ=0，0＜θ＜，∴2sinθ﹣cosθ=0，∴tanθ=，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．14．（5分）已知f （）=，≥0，若f 1（）=f （），f n+1（）=f （f n （）），n ∈N +，则f 2014（）的表达式为 ．【分析】由题意，可先求出f 1（），f 2（），f 3（）…，归纳出f n （）的表达式，即可得出f 2014（）的表达式 【解答】解：由题意．．．…故f 2014（）=故答案为： 【点评】本题考查逻辑推理中归纳推理，由特殊到一般进行归纳得出结论是此类推理方法的重要特征．选考题（请在15-17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）不等式选做题15．（5分）设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2+b 2=5，ma+nb=5，则的最小值为 ．【分析】根据柯西不等式（a 2+b 2）（c 2+d 2）≥（ac+bd ）2当且仅当ad=bc 取等号，问题即可解决．【解答】解：由柯西不等式得，（ma+nb）2≤（m2+n2）（a2+b2）∵a2+b2=5，ma+nb=5，∴（m2+n2）≥5∴的最小值为故答案为：【点评】本题主要考查了柯西不等式，解题关键在于清楚等号成立的条件，属于中档题．几何证明选做题16．如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF= 3 ．【分析】证明△AEF∽△ACB，可得，即可得出结论．【解答】解：由题意，∵以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，∴∠AEF=∠C，∵∠EAF=∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴，∵BC=6，AC=2AE，∴EF=3．故答案为：3．【点评】本题考查三角形相似的判定与运用，考查学生的计算能力，属于基础题．坐标系与参数方程选做题17．在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是 1 ．【分析】把极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：点P（2，）化为=，y=2=1，∴P．直线展开化为：=1，化为直角坐标方程为：，即=0．∴点P到直线的距离d==1．故答案为：1．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标的公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（共6小题，共75分）18．（12分）△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．【分析】（Ⅰ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质得到a+c=2b，再利用正弦定理及诱导公式变形即可得证；（Ⅱ）由a，b，c成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，将c=2a代入表示出b，利用余弦定理表示出cosB，将三边长代入即可求出cosB的值．【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，∴a+c=2b，由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB，∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），则sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，将c=2a代入得：b2=2a2，即b=a，∴由余弦定理得：cosB===．【点评】此题考查了余弦定理，等差、等比数列的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．19．（12分）四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H．（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；（Ⅱ）证明：四边形EFGH是矩形．【分析】（Ⅰ）证明AD⊥平面BDC，即可求四面体ABCD的体积；（Ⅱ）证明四边形EFGH是平行四边形，EF⊥HG，即可证明四边形EFGH 是矩形．【解答】（Ⅰ）解：由题意，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD=DC=2，AD=1，∴AD⊥平面BDC，∴四面体ABCD的体积V==；（Ⅱ）证明：∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC=FG，平面EFGH ∩平面ABC=EH，∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH．同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形．【点评】本题考查线面垂直，考查线面平行性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（12分）在直角坐标系Oy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上，且=m+n（m，n∈R）（Ⅰ）若m=n=，求||；（Ⅱ）用，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．【分析】（Ⅰ）由点的坐标求出向量和的坐标，结合m=n=，再由=m+n求得的坐标，然后由模的公式求模；（Ⅱ）由=m+n得到，作差后得到m﹣n=y﹣，令y﹣=t，然后利用线性规划知识求得m﹣n的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），∴，又m=n=，∴．∴；（Ⅱ）∵，∴，两式相减得，m﹣n=y﹣．令y﹣=t，由图可知，当直线y=+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，故m﹣n的最大值为：1．【点评】本题考查了平面向量的数乘及坐标加法运算，考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．21．（12分）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：（Ⅱ）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．【分析】（Ⅰ）设A表示事件“赔付金额为3000元，”B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率，求得P（A），P（B），再根据投保额为2800元，赔付金额大于投保金额得情形是3000元和4000元，问题得以解决．（Ⅱ）设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，分别求出样本车辆中车主为新司机人数和赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机人数，再求出其频率，最后利用频率表示概率．【解答】解：（Ⅰ）设A 表示事件“赔付金额为3000元，”B 表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P （A ）=，P （B ）=，由于投保额为2800元，赔付金额大于投保金额得情形是3000元和4000元，所以其概率为P （A ）+P （B ）=0.15+0.12=0.27．（Ⅱ）设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000=100，而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120=24，所以样本中车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为， 由频率估计概率得P （C ）=0.24．【点评】本题主要考查了用频率表示概率，属于中档题．22．（13分）已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）经过点（0，），离心率为，左右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l ：y=﹣+m 与椭圆交于A 、B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C 、D 两点，且满足=，求直线l 的方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得，解出即可．（Ⅱ）由题意可得以F 1F 2为直径的圆的方程为2+y 2=1．利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线l 的距离d 及d ＜1，可得m 的取值范围．利用弦长公式可得|CD|=2．设A （1，y 1），B （2，y 2）．把直线l 的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，进而得到弦长|AB|=．由=，即可解得m ．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得， 解得，c=1，a=2． ∴椭圆的方程为． （Ⅱ）由题意可得以F 1F 2为直径的圆的方程为2+y 2=1．∴圆心到直线l 的距离d=， 由d ＜1，可得．（*）∴|CD|=2==．设A （1，y 1），B （2，y 2）． 联立，化为2﹣m+m 2﹣3=0，可得1+2=m ，． ∴|AB|==． 由=，得， 解得满足（*）．因此直线l的方程为．【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交的弦长问题、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．23．（14分）设函数f（）=ln+，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（）=f′（）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．【分析】（Ⅰ）m=e时，f（）=ln+，利用f′（）判定f（）的增减性并求出f（）的极小值；（Ⅱ）由函数g（）=f′（）﹣，令g（）=0，求出m；设φ（）=m，求出φ（）的值域，讨论m的取值，对应g（）的零点情况；（Ⅲ）由b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；即h（）=f（）﹣在（0，+∞）上单调递减；h′（）≤0，求出m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当m=e时，f（）=ln+，∴f′（）=；∴当∈（0，e）时，f′（）＜0，f（）在（0，e）上是减函数；当∈（e，+∞）时，f′（）＞0，f（）在（e，+∞）上是增函数；∴=e时，f（）取得极小值为f（e）=lne+=2；（Ⅱ）∵函数g（）=f′（）﹣=﹣﹣（＞0），令g（）=0，得m=﹣3+（＞0）；设φ（）=﹣3+（＞0），∴φ′（）=﹣2+1=﹣（﹣1）（+1）；当∈（0，1）时，φ′（）＞0，φ（）在（0，1）上是增函数，当∈（1，+∞）时，φ′（）＜0，φ（）在（1，+∞）上是减函数；∴=1是φ（）的极值点，且是极大值点，∴=1是φ（）的最大值点，∴φ（）的最大值为φ（1）=；又φ（0）=0，结合y=φ（）的图象，如图；可知：①当m＞时，函数g（）无零点；②当m=时，函数g（）有且只有一个零点；③当0＜m＜时，函数g（）有两个零点；④当m≤0时，函数g（）有且只有一个零点；综上，当m＞时，函数g（）无零点；当m=或m≤0时，函数g（）有且只有一个零点；当0＜m＜时，函数g（）有两个零点；（Ⅲ）对任意b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；设h（）=f（）﹣=ln+﹣（＞0），则h（b）＜h（a）．∴h（）在（0，+∞）上单调递减；∵h′（）=﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，∴m≥﹣2+=﹣+（＞0），∴m≥；对于m=，h′（）=0仅在=时成立；∴m的取值范围是[，+∞）．【点评】本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法解答问题，是难题．。
2014年陕西高考文科数学试题及答案
文科数学一、 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求（本大题共10小题，每小题共5分，共计50分）1. 设集合Ｍ＝｛ｘ｜ｘ≥０ Ｘ∈Ｒ｝．Ｎ＝｛Ｘ｜Ｘ２＜１ Ｘ∈Ｒ｝。
则Ｍ∩Ｎ=（ ） （ D ）(A) []0,1 (B) ()0,1 (C) (]0,1 (D) [)0,1 2．函数()cos(2)4f x x π=+的最小正周期是 （ B ）(A)2π(B ) π (C) 2π (D) 4π 3. 已知复数z=2-i ，则 z ⋅z 的值为( A ）(A) 5 (B )5 (C)3 (D)34.根据右边框图，对于大于2的整数N,输出的数列通项公式是 （ C ）(A) 2n n α= (B ) 2(1)n n α=- (C) 2n n α= (D) 12n n α-=5.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得集合体的侧面积是 （ C ）(A) 4π (B ) 3π (C) 2π (D) π6.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形 的边长的概率为 （ B ） (A)15 (B ) 25 (C) 35 (D) 457.下列函数中，满足 f(x+y)=f(x)f(y) 的单调递增函数是（ B ）(A) f(x)=x 3 (B ) f(x)=3x (C) f(x) =12x (D) f(x)=x⎪⎭⎫⎝⎛218.原命题为 “+++∈<N n a a a n n n ,21则{}n a 为递减数列，”关于其逆命题，否命题，逆否命题的判断依次如下，正确的是 ( A )(A)真，真，真 (B )假，假，真 (C)真，真，假 (D)假，假，假，9.某公司10位员工的月工资（单位：元）为X 1,X 2,X 3……..X 10 的均值和方差分别是2s x 和，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10为员工斜月的公司的均值和方差分别为 （ D ）(A)22100,+s x (B ),100+x 22100+s (C)x ，2s (D) x +100，2s10.如图，维修一跳公路需要一段环湖曲线路段与两条直道平滑连接（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为 （ A ）(A)y=x x x --232121 (B )y=x x x 3212123-+ (C) y=x x -341 (D) y=x x x 2214123-+二、填空题：吧答案填写在答题卡相应题号的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共计25分）11.抛物线x y 42=的准线方程式为1x =-12.已知,24=αα=x lg ，则x =13.设20πθ<<，向量)cos ,2(sin θθ=a ，b=(1,-cos θ),若0=⋅b a ,则tan =θ1214.已知)(x f =,0,1≥+x xx若)()(1x f x f = ,++∈=N n x f f x f n n )),(()(1，则2014f （x ）的表达式为12014xx+15.（考生注意：在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A.（不等式选做题）设n m b a ,,,R ∈,且5,522=+=+nb ma b a ，则22n m +B.(几何证明选做题)如图△ABC 中BC ＝6，以BC 为直径的半圆分别交AB 、AC 于E 、F ，若AC ＝2AE ，则EF ＝ 3C. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点（2，6π）到直线ρsin(6-πθ)=1的距离是 1 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共计6小题，共计75分）16.（本小题满分12分）17.（本题满分12 分）四面体ABCD 及其三视图 如图所示，平行于棱AD,BC 的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA 于点 E,F,G,H.)(I 求四面体 ABCD 的体积：（∏）证明四边形EFGH 是矩形，解 (I)由该四面体的三视图可知， （II ）BC ∥平面EFGH,平面EFGH 平面BDC=FG,平面EFGH 平面ABC=EH∴BC ∥FG ,BC ∥EH, ∴ FG ∥EH 同理EF ∥AD, HG ∥AD ∴EF ∥HG, ∴四边形EFGH 是平行四边形又,AD BDC ∴⊥平面 ∴AD ⊥BC, ∴ EF ⊥FG, ∴四边形EFGH 是矩形。
15.2014年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）（答案版）
2014年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）数 学（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }，则M ∩N ＝( ) A ．[0，1] B ．[0，1) C ．(0，1] D ．(0，1)2．函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的最小正周期是( ) A. π2B ．πC ．2πD ．4π3．定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1 4．根据如图所示的框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是( )A ．a n ＝2nB ．a n ＝2(n －1)C ．a n ＝2nD ．a n ＝2n －15．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )A. 32π3 B ．4πC ．2π D. 4π36． 从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于．．．该正方形边长的概率为 ( )A. 15B. 25C. 35D. 457． 下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )·f (y )”的单调递增函数是( )A ．f (x )＝21x B ．f (x )＝x 3 C ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x D ．f (x )＝3x8．原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假9．设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1，2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( )A ．1＋a ，4B ．1＋a ，4＋aC ．1，4D ．1，4＋a是 ,,N a结束10． 如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为 ( )A ．y ＝1125x 3－35xB ．y ＝2125x 3－45xC ．y ＝3125x 3－xD ．y ＝－3125x 3＋15x二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上） 11．已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________．12．若圆C 的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为 ___________________________．13．设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________．14．15．(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题评分)A ．(不等式选做题)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为________．B ．(几何证明选做题)如图1-3，△ABC 中，BC ＝6，以BC 为直径的半圆分 别交AB ，AC 于点E ，F ，若AC ＝2AE ，则EF ＝________． C ．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝1的距离是________． 三、解答题（本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．(本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1) 若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2) 若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．17．(本小题满分12分)四面体ABCD 及其三视图如图所示，过棱AB 的中点E 作平行于AD ，BC 的平面分别交四面体的棱BD ，DC ，CA 于点F ，G ，H .(1) 证明：四边形EFGH 是矩形；(2) 求直线AB 与平面EFGH 夹角θ的正弦值．18．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1) 若P A →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2) 设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．19．(本小题满分12分)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：(1) 设X(2) 若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于．．．2000元的概率．20．(本小题满分13分)如图所示，曲线C由上半椭圆C1：y2a2＋x2b2＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为3 2.(1) 求a，b的值；(2) 过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程．21．(本小题满分14分)设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．(1) 令g1(x)＝g(x)，g n＋1(x)＝g(g n(x))，n∈N＋，求g n(x)的表达式；(2) 若f(x)≥ag(x) 恒成立，求实数a的取值范围；(3) 设n∈N＋，比较g(1)＋g(2)＋…＋g(n)与n－f(n)的大小，并加以证明．参考答案一、选择题1—10 B B C C D C D B A A1．[解析] 由M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }＝{x |－1<x <1，x ∈R }，得 M ∩N ＝[0，1)．2．[解析] 已知函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的周期为T ＝2πω，故函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.3．[解析] ⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )10＝(12＋e 1)－(02＋e 0)＝e .4．[解析] 阅读题中所给的程序框图可知，对大于2的整数N ，输出数列：2，22＝22，222＝23，223＝24，…，22N －1＝2N ，故其通项公式为a n ＝2n .5．[解析] 设该球的半径为R ，根据正四棱柱的外接球的直径长为正四棱柱的体对角线长，可得(2R )2＝(2)2＋12＋12，解得R ＝1，所以该球的体积为V ＝43πR 3＝43π.6．[解析] 利用古典概型的特点可知从5个点中选取2个点的全部情况有C 25＝10(种)，选取的2个点的距离不小于该正方形边长的情况有：选取的2个点的连线为正方形的4条边长和2条对角线长，共有6种．故所求概率P ＝610＝35.7．[解析] 由于f (x ＋y )＝f (x )f (y )，故排除选项A ，C.又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 为单调递减函数，所以排除选项B.8．[解析] 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝a －b i ，且a ，b ∈R ，则|z 1|＝|z 2|＝a 2＋b 2，故原命题为真，所以其否命题为假，逆否命题为真．当z 1＝2＋i ，z 2＝－2＋i 时，满足|z 1|＝|z 2|，此时z 1，z 2不是共轭复数，故原命题的逆命题为假．9．[解析] 由题意可知x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 1010＝1，故y －＝（x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10）＋10a10＝1＋a .数据x 1，x 2，…，x 10同时增加一个定值，方差不变．故选A.10．[解析] 设该三次函数的解析式为y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d .因为函数的图像经过点(0，0)，所以d ＝0，所以y ＝ax 3＋bx 2＋cx .又函数过点(－5，2)，(5，－2)，则该函数是奇函数，故b ＝0，所以y ＝ax 3＋cx ，代入点(－5，2)得－125a －5c ＝2.又由该函数的图像在点(－5，2)处的切线平行于x 轴，y ′＝3ax 2＋c ，得当x ＝－5时，y ′＝75a ＋c ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧－125a －5c ＝2，75a ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1125，c ＝－35.故该三次函数的解析式为y ＝1125x 3－35x .二、填空题11. 10 12．x 2＋(y －1)2＝1 13. 1214．F ＋V －E ＝215．A. 5 B ．3 C ．111. [解析] 由4a ＝2，得a ＝12，代入lg x ＝a ，得lg x ＝12，那么x ＝1012＝10.12．[解析] 由圆C 的圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，得圆C 的圆心为(0，1)．又因为圆C 的半径为1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.13. [解析] 因为向量a ∥b ，所以sin 2θ－cos θ·cos θ＝0，又cos θ≠0，所以2sin θ＝cos θ，故tan θ＝12.14．[解析] 由题中所给的三组数据，可得5＋6－9＝2，6＋6－10＝2，6＋8－12＝2，由此可以猜想出一般凸多面体的顶点数V 、面数F 及棱数E 所满足的等式是F ＋V －E ＝2.15． [解析] A ．由柯西不等式可知(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)≥(ma ＋nb )2，代入数据，得m 2＋n 2≥5，当且仅当an ＝bm 时，等号成立，故m 2＋n 2 的最小值为 5.B ．由题意，可知∠AEF ＝∠ACB ，又∠A ＝∠A ，所以△AEF ∽ACB ，所以AEAC＝EFBC.因为AC ＝2AE ，BC ＝6，所以EF ＝3. C ．点⎝⎛⎭⎫2，π6的极坐标可化为x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，即点⎝⎛⎭⎫2，π6在平面直角坐标系中的坐标为(3，1)．直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝ρsin θcos π6－ρcos θsin π6＝1，即该直线在直角坐标系中的方程为x －3y ＋2＝0，由点到直线的距离公式得所求距离为d ＝|3－3＋2|12＋（－3）2＝1.三、解答题16．解：(1)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立，∴cos B 的最小值为12.17．解：(1)证明：由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1.由题设，BC ∥平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BDC ＝FG ， 平面EFGH ∩平面ABC ＝EH ，∴BC ∥FG ，BC ∥EH ，∴FG ∥EH . 同理EF ∥AD ，HG ∥AD ，∴EF ∥HG . ∴四边形EFGH 是平行四边形．又∵AD ⊥DC ，AD ⊥BD ，∴AD ⊥平面BDC ，∴AD ⊥BC ，∴EF ⊥FG ， ∴四边形EFGH 是矩形．(2)方法一：如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (0，0，1)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，DA ＝(0，0，1)，BC ＝(－2，2，0)，BA ＝(－2，0，1)． 设平面EFGH 的法向量n ＝(x ，y ，z )，∵EF ∥AD ，FG ∥BC ，∴n ·DA ＝0，n ·BC ＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，－2x ＋2y ＝0，取n ＝(1，1，0)， ∴sin θ＝|cos 〈BA →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪BA ·n |BA ||n |＝25×2＝105.方法二：如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系， 则D (0，0，0)，A (0，0，1)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，∵E 是AB 的中点，∴F ，G 分别为BD ，DC 的中点，得E ⎝⎛⎭⎫1，0，12，F (1，0，0)，G (0，1，0)．∴FE →＝⎝⎛⎭⎫0，0，12，FG ＝(－1，1，0)， BA ＝(－2，0，1)．设平面EFGH 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则n ·FE ＝0，n ·FG ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧12z ＝0，－x ＋y ＝0，取n ＝(1，1，0)，∴sin θ＝|cos 〈BA →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA ·n |BA →||n |＝25×2＝105.18．解：(1)方法一：∵P A →＋PB →＋PC →＝0，又P A →＋PB →＋PC →＝(1－x ，1－y )＋(2－x ，3－y )＋(3－x ，2－y )＝(6－3x ，6－3y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2， 即OP →＝(2，2)，故|OP →|＝2 2.方法二：∵P A →＋PB →＋PC →＝0， 则(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)＝0，∴OP →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝(2，2)，∴|OP →|＝2 2.(2)∵OP →＝mAB →＋nAC →，∴(x ，y )＝(m ＋2n ，2m ＋n )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减得，m －n ＝y －x ，令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.19．解：(1)设A 表示事件“作物产量为300 kg”，B 表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P (A )＝0.5，P (B )＝0.4， ∵利润＝产量市场价格－成本， ∴X 所有可能的取值为50010－1000＝4000，5006－1000＝2000， 30010－1000＝2000，3006－1000＝800.P (X ＝4000)＝P (A )P (B )＝(1－0.5)(1－0.4)＝0.3，P (X ＝2000)＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝(1－0.5)0.4＋0.5(1－0.4)＝0.5， P (X ＝800)＝P (A )P (B )＝0.50.4＝0.2， 所以X 的分布列为(2) 设C i 表示事件“第i 3)， 由题意知C 1，C 2，C 3相互独立，由(1)知，P (C i )＝P (X ＝4000)＋P (X ＝2000)＝0.3＋0.5＝0.8(i ＝1，2，3)， 3季的利润均不少于2000元的概率为P (C 1C 2C 3)＝P (C 1)P (C 2)P (C 3)＝0.83＝0.512； 3季中有2季利润不少于2000元的概率为P (C 1C 2C 3)＋P (C 1C 2C 3)＋P (C 1C 2C 3)＝30.820.2＝0.384，所以，这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为0.512＋0.384＝0.896. 20．解：(1)在C 1，C 2的方程中，令y ＝0，可得b ＝1，且A (－1，0)，B (1，0)是上半椭圆C 1的左、右顶点．设C 1的半焦距为c ，由c a ＝32及a 2－c 2＝b 2＝1得a ＝2，∴a ＝2，b ＝1.(2)方法一：由(1)知，上半椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1(y ≥0)．易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)， 代入C 1的方程，整理得(k 2＋4)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0.(*) 设点P 的坐标为(x P ，y P )，∵直线l 过点B ，∴x ＝1是方程(*)的一个根．由求根公式，得x P ＝k 2－4k 2＋4，从而y P ＝－8kk 2＋4，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－4k 2＋4，－8k k 2＋4. 同理，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1）（k ≠0），y ＝－x 2＋1（y ≤0），得点Q 的坐标为(－k －1，－k 2－2k )．∴AP →＝2k k 2＋4(k ，－4)，AQ →＝－k (1，k ＋2)．∵AP ⊥AQ ，∴AP ·AQ ＝0，即－2k 2k 2＋4[k －4(k ＋2)]＝0，∵k ≠0，∴k －4(k ＋2)＝0，解得k ＝－83. 经检验，k ＝－83符合题意，故直线l 的方程为y ＝－83(x －1)．方法二：若设直线l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，比照方法一给分．21．解：由题设得，g (x )＝x1＋x(x ≥0)．(1)由已知，g 1(x )＝x 1＋x ， g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x 1＋x 1＋x 1＋x＝x1＋2x ，g 3(x )＝x 1＋3x ，…，可得g n (x )＝x1＋nx .下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，g 1(x )＝x1＋x，结论成立．②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x )＝x1＋kx .那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k （x ）1＋g k （x ）＝x 1＋kx 1＋x 1＋kx＝x1＋（k ＋1）x ，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln(1＋x )≥ax1＋x恒成立．设φ(x )＝ln(1＋x )－ax1＋x(x ≥0)，则φ′(x )＝11＋x －a（1＋x ）2＝x ＋1－a （1＋x ）2，当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)， ∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0， ∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a ≤1时，ln(1＋x )≥ax1＋x恒成立(仅当x ＝0时等号成立)．当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )<0，∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a －1)<φ(0)＝0.即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0，故知ln(1＋x )≥ax1＋x不恒成立．综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋nn ＋1，比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln(n ＋1)． 证明如下：方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x ，x >0.令x ＝1n ，n ∈N ＋，则1n ＋1<ln n ＋1n .下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，12<ln 2，结论成立． ②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln(k ＋1)． 那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln(k ＋2)，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)， 在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x 1＋x，x >0. 令x ＝1n ，n ∈N ＋，则ln n ＋1n >1n ＋1.故有ln 2－ln 1>12， ln 3－ln 2>13， ……ln(n ＋1)－ln n >1n ＋1， 上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1， 结论得证．方法三：如图，⎠⎛0n x x ＋1d x 是由曲线y ＝x x ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积，而12＋23＋…＋n n ＋1是图中所示各矩形的面积和，∴12＋23＋…＋n n ＋1>⎠⎛0n x x ＋1d x ＝ ⎠⎛0n⎝⎛⎭⎫1－1x ＋1d x ＝n －ln (n ＋1)， 结论得证．。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷·全真模拟）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把选择题答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束时，监考人将第Ⅰ卷的机读答题卡和第Ⅱ卷的答题卡一并收回． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 343V R π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)k kn kn n P k C P P -=-一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的．1．已知全集U =N ，集合{1,3,5,7,9}A =，{0,3,6,9}B =，则()A B =N ð （A ）{1,2,3}（B ）{1,3,9}（C ）{3,5,7}（D ）{1,5,7}2．已知i 是虚数单位，复数()2(4)2i z m m =-++（其中m ∈R ）是纯虚数，则m = （A ）－2（B ）2（C ）2±（D ）4±3．已知命题p ：“若直线ax +y +1=0与直线ax －y +2=0垂直，则a =1”；命题q ：“1122a b >”是“a b >”的充要条件，则 （A ）p 真，q 假（B ）“p q ∧”真（C ）“p q ∨”真（D ）“p q ∨”假4．含有数字0，1，2，且有两个相同数字1或2的四位数的个数为 （A ）12（B ）18 （C ）24 （D ）365．已知1()3nn a =，把数列{}n a 的各项排列成如图的三角形状，记(,)A m n 表示第m 行的第n 个数，则(10,12)A =（ ） 第5题图（A ）931()3B ．921()3（C ）941()3 （D ）1121()36．在抛物线y 2=2px （p >0）上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为（A ）1x =（B ）12x =（C ）1x =- （D ）12x =- 7．已知向量a ，b 不共线，设向量AB k =-a b ，2CB =+a b ，3CD =-a b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值为 （A ）10 （B ）2 （C ）－2 （D ）－10 8．如果执行右面所示的程序框图，那么输出的S = （A ）2352 （B ）2450 （C ）2550（D ）2652 第8题图 9．某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按40个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20台．已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如右表所示．该家电生产企业每周生产产品的最高产值为（A ）1050千元（B ）430千元（C ）350千元（D ）300千元10．已知函数23420122013()123420122013x x x x x f x x =+-+-+⋅⋅⋅-+，234()1234x x x g x x =-+-+-2012201320122013x x +-，若函数()f x 有唯一零点1x ，函数()g x 有唯一零点2x ，则有（ ）（A ）12(0,1),(1,2)x x ∈∈ （B ）12(1,0),(1,2)x x ∈-∈ （C ）12(0,1),(0,1)x x ∈∈ （D ）12(1,0),(0,1)x x ∈-∈第Ⅱ卷(非选择题 共100分)注意事项：1．第Ⅱ卷共2页，请用0.5mm 的黑色墨水签字笔在答题卡上作答，不能直接答在此试题卷上． 2．答卷前将答题卡密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案直接填在题目中的横线上．11．在二项式61(2)x x+的展开式中，常数项为_________.12．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，形成三棱锥C ABD -的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为.第12题图13．在钝角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，b =1，cB =30°，则△ABC 的面积等于___________．14．若函数()y f x =对定义域的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的2x ，使12()()1f x f x =成立，则称该函数为“依赖函数”．给出以下命题：①21y x =是“依赖函数”；②2sin y x =+（[,]22x ππ∈-）是“依赖函数”；③2xy =是“依赖函数”；④ln y x =是“依赖函数”；⑤()y f x =，()y g x =都是“依赖函数”，且定义域相同，则()()y f x g x =⋅是“依赖函数”．其中所有真命题的序号是_____________． 15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）A ．（选修4—5 不等式选讲）若不等式︱a x +2︱＜6的解集为（-1,2），则实数a 等于___ ；B ．(选修4—1 几何证明选讲）如图：EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝460，∠DCF ＝320，则∠A 的 度数是 ；C ．（选修4—4坐标系与参数方程）在极坐标下，点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,2π到直线024sin =+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθρ的距离__ . 第15题（B ）图 三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周末时间进行了一次社会实践活动，且每个小 组有5名同学，在实践活动结束后，学校团委会对该班的所有同学都进行了测评，该班的A 、B 两个 小组所有同学所得分数（百分制）的茎叶图如图所示，其中B 组一同学的分数已被污损，但知道B 组 学生的平均分比A 组学生的平均分高1分．（Ⅰ）若在A ，B 两组学生中各随机选1人，求其得分均超过86分的概率；（Ⅱ）若校团委会在该班A ，B 两组学生得分超过80分的同学中随机挑选3人参加下一轮的参观学习活动，设B 组中得分超过85分的同学被选中的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．第16题图17．（本小题满分12分）设函数()cos(2)sin 26f x x x π=++．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若11()263f πα-=，且(,)2παπ∈，求()f α的值．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令12log n n n b na a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式219(1)(2)32n n n S T t n -+-<+对任意*n ∈N 恒成立，求实数t 的取值范围．19．（本小题满分12分）如图，边长为a 的正方形ABCD 中，点E 、F 分别在AB 、BC 上，且12BE BF BC ==，将△AED 、△CFD分别沿DE 、DF 折起，使A 、C 两点重合于点A '，连结A 'B ．第19题图（Ⅰ）判断直线EF 与A 'D 的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）求二面角F －A 'B －D 的大小．20．（本小题满分13分）如图，已知点M 在圆O ：224x y +=上运动，MN ⊥y 轴（垂足为N ），点Q 在NM 的延长线上，且||2||QN MN =．（Ⅰ）求动点Q 的轨迹方程；（Ⅱ）直线1:2l y x m =+与（Ⅰ）中动点Q 的轨迹交于两个不同的点A 和B ，圆O 上存在两点C 、D ，满足||||CA CB =，||||DA DB =． （ⅰ）求m 的取值范围；（ⅱ）求当||||CD AB 取得最小值时直线l 的方程．第20题图21．（本小题满分14分）已知函数()ln()f x a x b =+，()e 1x g x a =-（其中0a ≠，0b >），且函数()f x 的图象在点(0,(0))A f 处 的切线与函数()g x 的图象在点(0,(0))B g 处的切线重合． （Ⅰ）求实数a ，b 的值；（Ⅱ）若0x ∃，满足00()1x mg x ->+m 的取值范围； （Ⅲ）若210x x >>，试探究21()()f x f x -与21()g x x -的大小，并说明你的理由．。
2014学年高考理科数学年陕西卷答案
【提示】判定命题 p，q 的真假，利用复合命题的真假关系即可得到结论.
【考点】命题的真假判断，命题连接词
7.【答案】B
【解析】由三视图可知该几何体是由一个直三棱柱去掉一个三棱锥所得，三棱柱的底面是一个两直角边长
分别为 3 和 4 的直角三角形，高为 5，截去的锥体的底面是两直角边的边长分别为 3 和 4 的直角三角形，高
联立求出公共点的坐标，即可求出极径. 【考点】直线的参数方程 16.【答案】 -1 a 1
2 【解析】令 f (x) | 2x 1| | x 2 | ，则①当 x 2 时， f (x)= 2x 1 x 2 3x 1 5 ；
4 / 11
②当 -2 x 1 时， f (x) 2x 1 x 2 x 3 ，故 5 f (x) 5 ；
△PAB∽△PCA ， AB PB ，即 AB PB CA 38 4 .故答案为：4.
CA PA
PA 6
【提示】通过弦切角定理知 PAB PCA ，又 APB CPA ，得到△PAB∽△PCA ， AB PB ，由此 CA PA
求得 AB. 【考点】切割线定理，弦切角定理，相似三角形 15.【答案】 5
2
8
由1 S 2 ， a 2RsinA，b 2RsinB，c 2RsinC ，得1 1 bcsin A 2 . 2
由正弦定理得 a 2RsinA，b 2RsinB，c 2RsinC ，所以1 R2 sin Asin BsinC 2 ， 所以1 R2 2 ，即 2 R 2 2 ，所以 bc(b c) abc 8R3sinAsinBsinC R3 8 .故选：A.
【解析】不妨设 P 为双曲线右支上一点，根据双曲线的定义有 PF1 PF2 2a ，联立 PF1 PF2 3b ，平
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(陕西卷,解析版)
2014年陕西高考文科数学试题〔文〕一．选择题：本大题共10小题，每一小题5分，共50分.在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.集合2{|0},{|1,}M x x N x x x R =≥=<∈，如此M N =〔 〕.[0,1]A .(0,1)B .(0,1]C .[0,1)D【答案】 D 【解析】D N M N M 选，).1,0[∩∴),11-(),∞,0[==+=2.函数()cos(2)4f x x π=+的最小正周期是〔 〕 .2A π.B π.2C π.4D π【答案】 B 【解析】B T 选∴,π2π2||π2===ω复数 Z = 2 - 1，如此Z .z 的值为〔 〕 A.5 B.5 C.3 D.3 【答案】 A 【解析】A z z i z i z 选.514,2∴,-2=+=+==4.根据右边框图，对大于2的整数N ，得出数列的通项公式是〔 〕.2n A a n =.2(1)n B a n =-.2n n C a =1.2n n D a -=【答案】 C 【解析】Cq a a a a a n 选的等比数列是.2,2∴,8,4,21321=====将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得集合体的侧面积是〔 〕A.4πB.8πC.2πD.π 【答案】 C 【解析】C r S r 选个圆：，则侧面积为，高为为旋转体为圆柱，半径.2ππ*22112==6.从正方形四个顶点与其中心这5个点中，任取2个点，如此这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为〔 〕1.5A 4.5D【答案】 B 【解析】如下函数中，满足“()()()f x y f x f y +=〞的单调递增函数是〔 〕〔A 〕()12f x x = 〔B 〕()3f x x = 〔C 〕()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 〔D 〕()3xf x =【答案】 B 【解析】B y f x f y x f B D y x y x y x 选而言，对不是递增函数只有.333)()(,3)(.++=•=•=+8.原命题为“假设12,z z 互为共轭复数，如此12z z =〞，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的答案是〔 〕〔A 〕真，假，真 〔B 〕假，假，真 〔C 〕真，真，假 〔D 〕假，假，假 【答案】 A 【解析】9.某公司10位员工的月工资〔单位:元〕为x1，x2，''',x10 ，其均值和方差分别为x 和s2，假设从下月起每位员工的月工资增加100元，如此这个10位员工下月工资的均值和方差分别为〔 〕〔A 〕x ，s2+1002 〔B 〕x +100, s2+1002 〔C 〕 x ,s2 〔D 〕x +100, s2【答案】 D 【解析】D 选不变均值也加此数，方差也样本数据加同一个数，.10.如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道为某三次函数图像的一局部，如此该函数的解析式为〔 〕x x x y --=232121 〔B 〕x x x y 3212123-+= 〔C 〕x x y -=341 〔D 〕xx x y 2214123-+=【答案】 A 【解析】填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上〔本大题共5小题，每一小题5分，共25分〕.抛物线24y x =的准线方程为___________. 【答案】 -1x = 【解析】.-1x (1,0),∴,42==准线方程焦点x y,lg ,24a x a ==如此x =________.【答案】 10【解析】.1010,21lg 12a ∴,lg ,224212aa========x a x a x 所以，13. 设20πθ<<，向量)cos ,1(),cos ,2(sin θθθ-==b a ，假设0=⋅b a ，如此=θtan ______. 【答案】 21【解析】.21tan θθ,cos θcos θsin 20,θcos -θ2sin ∴0).θcos -,1(),θcos ,θ2(sin 22====•==解得即，b a b a f 〔x 〕=x x+1，x ≥0, f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n ∈N+, 如此f2014(x)的表达式为__________.【答案】 x x20141+【解析】.20141)(,31211,21)(,2111,1)(∴)),(()(,,1)()(,20143211x xx f x x xx x xx f x x x x x x x f x f f x f x x x f x f n n +=+=+++=+=+++==+==+经观察规律，可得15.〔考生注意：请在如下三题中任选一题作答，如果多做，如此按所做的第一题评分〕.A (不等式选做题)设,,,a b m n R ∈，且225,5a b ma nb +=+=，的最小值为.B 〔几何证明选做题〕如图，ABC ∆中，6BC =，以BC 为直径的半圆分别交,AB AC 于点,E F ，假设2AC AE =,如此EF =.C 〔坐标系与参数方程选做题〕在极坐标系中，点(2,)6π到直线sin()16πρθ-=的距离是【答案】 A 5 B 3 C 1 【解析】 A5.≤5)φθsin(∴5)φθsin(5os θ5θsin 5,os θ5,θsin 5∴,52222222222的最小值为所以，，则设n m n m n m n m c n m nb ma c b a b a ++=++=++=+=+===+B.3,2,6∴Δ=∴===ΔEF AE AC BC CB EFAC AE ACB AEF ，且相似与C1|1323-3|023-1,3(∴,2-3121os θρ-23θsin ρ)6π-θsin(ρ,1,3()6π,2(=++==+==••=d y x x y c 的距离）到直线点即对应直线）对应直角坐标点极坐标点16. 〔本小题总分为12分〕ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，. 〔I 〕假设c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； 〔II 〕假设c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值. 【答案】 〔1〕 省略 〔2〕43【解析】 〔1〕C)sin(A 2sinC sinA .∴C),sin(A sinB sinC.sinA 2sinB c,a b 2∴,,+=++=+=+= 即成等差，c b a〔2〕.43cosB 434a 2a -4a a 2ac b -a cosB a 2b .∴2ac b ∴,,2222222222==+=+====所以，，，且成等比，c a c c b a〔本小题总分为12分〕四面体ABCD 与其三视图如下列图，平行于棱BC AD ,的平面分别交四面体的棱CA DC BD AB ,,,于点H G F E ,,,.〔1〕求四面体ABCD 的体积； 〔2〕证明：四边形EFGH 是矩形.【答案】 〔1〕 32〔2〕 省略【解析】 〔1〕32ABCD 32122213131BCD -A .BCD -A AD ∴BCD ⊥AD DC,⊥BD Δ,ΔΔBCD -A 的体积为所以，四面体的体积所以，三棱锥的高为三棱锥面且为等腰由题知，=••••=•=AD S V RT BCD BCD〔2〕.FG.⊥BCD ⊥,//∴,,AD//HG AD//EF,∴ADHG ADEF EFGH ⊂HG EF,EFGH,AD//HC AH EH//BC,∴EHBC EFGH,⊂EH EFGH,//B BCD⊥AD DC,⊥BD Δ,Δ为矩形所以，四边形，即面，且且共面和，面面同理且共面面面面且为等腰由题知，EHGF EF EF HG EF HG EF GC DG FB DF C RT BCD ====18.〔本小题总分为12分〕在直角坐标系xOy 中，点)2,3(),3,2(),1,1(C B A ，点),(y x P 在ABC ∆三边围成的 区域〔含边界〕上，且(,)OP mAB nAC m n R =+∈.假设23m n ==，求||OP ；〔2〕用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值.【答案】 〔1〕 22 〔2〕 m-n=y-x, 1【解析】 〔1〕22|OP |22|OP |∴(2,2),OP ∴(2,2))3,3(32)]1,2()2,1[(32)AC AB (32AC AB OP ∴32),,(),2,3(),3,2(),11(22==+====+=+=+===所以，，y x n m n m y x P C B A 〔2〕1---.1-)3,2(.,,-.--.2,2),1,2()2,1(y)x,(∴,AC AB OP 最大值为，所以，取最大值时，经计算在三个顶点求线性规划问题，可以代含边界内的最大值，属在三角形即求解得即n m x y n m x y B C B A ABC x y x y n m n m y n m x n m n m ==+=+=+=+=〔本小题总分为12分〕某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进展抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：〔I 〕假设每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；〔II 〕在样本车辆中，车主是新司机的占10％，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20％，估计在已投保车辆中，新司机赔获金额为4000元的概率。
2014年陕西卷高考数学计算题真题解析
2014年陕西卷高考数学计算题真题解析一、选择题部分1. 解析根据题意，已知有两个集合A和B，满足A={x|x=2k+1, k∈N*}，B={x|x=3k+2, k∈N*}。
我们需要求出A和B的交集。
首先列举几个A 和B的元素：A={1, 3, 5, 7, 9, ...}B={2, 5, 8, 11, 14, ...}从中可以观察到，A和B的交集中的元素必须满足3k+2=2m+1的关系，其中k和m为正整数。
化简上述等式得到3k-2m=1，这是一个二元一次方程。
穷举法可以帮助我们找到其正整数解。
将k的值从1开始代入方程，得到3*1-2m=1，解得m=1。
此时k 和m都是1，满足要求。
因此，A和B的交集为{5}，选项B是正确答案。
2. 解析根据题意，已知一次函数y=ax+b与直线y=x-3相交于两个不同点P 和Q。
我们需要求出这两个点的坐标。
首先，我们可以将这个问题转化为一个二元一次方程组的求解问题。
联立y=ax+b和y=x-3两条直线的方程，可以得到如下方程组：ax+b=x-3 (1)ax+b=-x-3 (2)为了解方程组，我们需要求出a和b的值。
将(1)式中的y用x和a、b来表示，得到ax+b=x-3。
进一步化简为ax-x+b=-3，即(x-1)a+b=-3。
同样地，将(2)式中的y用x和a、b来表示，得到ax+b=-x-3。
进一步化简为ax+x+b=-3，即(x+1)a+b=-3。
现在我们得到了方程组的两个方程，我们需要求解a和b的值。
利用高斯消元法可以解得a=-1，b=2。
代入y=ax+b中，可以得到P(-1, -2)和Q(1, -2)。
因此，选项A是正确答案。
二、填空题部分3. 解析根据题意，已知数列的通项公式为an=n2+5n。
我们需要求出数列的前n项和。
通常，我们可以利用等差数列的求和公式来解决这个问题。
对于等差数列an，其前n项和Sn为Sn=n(a1+an)/2。
在这个问题中，我们知道数列的首项a1=6。
2014年普通高等学校招生全国统一考试陕西卷数学文
2014年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）数学文一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)1.设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=( )A. [0，1]B. (0，1)C. (0，1]D. [0，1)解析：∵M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}={x|-1＜x＜1，x∈R}，∴M∩N=[0，1). 答案：D.2.函数f(x)=cos(2x+)的最小正周期是( )A.B.πC. 2πD.4π解析：根据复合三角函数的周期公式得，函数f(x)=cos(2x+)的最小正周期是π，答案：B.3.已知复数z=2-i，则z•的值为( )A. 5B.C. 3D.解析：由z=2-i，得z·=(2-i)(2+i)=4-i2=5.答案：A.4.根据如图框图，对大于2的正数N，输出的数列的通项公式是( )A. a n=2nB. a n=2(n-1)C.a n=2nD. a n=2n-1解析：由程序框图知：a i+1=2a i，a1=2，∴数列为公比为2的等边数列，∴a n=2n.答案：C.5.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )A.4πB. 3πC. 2πD. π解析：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，则所得几何体的侧面积为：1×2π×1=2π，答案：C.6.从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( )A.B.C.D.解析：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，∴所求概率为=.答案：B.7.下列函数中，满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是( )A.f(x)=x3B. f(x)=3xC. f(x)=xD. f(x)=()x解析：A.f(x)=x3，f(y)=y3，f(x+y)=(x+y)3，不满足f(x+y)=f(x)f(y)，故A错；B.f(x)=3x，f(y)=3y，f(x+y)=3x+y，满足f(x+y)=f(x)f(y)，且f(x)在R上是单调增函数，故B正确；C.f(x)=，f(y)=，f(x+y)=，不满足f(x+y)=f(x)f(y)，故C错；D.f(x)=，f(y)=，f(x+y)=，满足f(x+y)=f(x)f(y)，但f(x)在R上是单调减函数，故D错.答案：B.8.原命题为“若＜a n，n∈N+，则{a n}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A. 真、真、真B. 假、假、真C. 真、真、假D. 假、假、假解析：∵＜a n⇔a n+1＜a n，n∈N+，∴{a n}为递减数列，命题是真命题；其否命题是：若≥a n，n∈N+，则{a n}不是递减数列，是真命题；又命题与其逆否命题同真同假，命题的否命题与逆命题是互为逆否命题，∴命题的逆命题，逆否命题都是真命题.答案：A.9.某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( ) A.，s2+1002B.+100，s2+1002C. ，s2D. +100，s2解析：由题意知y i=x i+100，则=(x1+x2+…+x10+100×10)=(x1+x2+…+x10)=+100，方差s2=[(x1+100-(+100)2+(x2+100-(+100)2+…+(x10+100-(+100)2]=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x10-)2]=s2，答案：D.10.如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)，已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A. y=x3-x2-xB. y=x3+x2-3xC. y=x3-xD. y=x3+x2-2x解析：由函数图象知，此三次函数在(0，0)上处与直线y=-x相切，在(2，0)点处与y=3x-6相切，下研究四个选项中函数在两点处的切线.A选项，，将0，2代入，解得此时切线的斜率分别是-1，3，符合题意，故A对；B选项，，将0代入，此时导数为-3，不为-1，故B错；C选项，，将2代入，此时导数为-1，与点(2，0)处切线斜率为3矛盾，故C 错；D选项，，将0氏入，此时导数为-2，与点(0，0)处切线斜率为-1矛盾，故D错.答案：A二、填空题(共4小题，每小题5分，共25分)11.抛物线y2=4x的准线方程是.解析：∵2p=4，∴p=2，开口向右，∴准线方程是x=-1.答案：x=-1.12.已知4a=2，lgx=a，则x= .解析：由4a=2，得，再由lgx=a=，得x=.故答案为：.13.设0＜θ＜，向量=(sin2θ，cosθ)，=(1，-cosθ)，若•=0，则tanθ= . 解析：∵=sin2θ-cos2θ=2sinθcosθ-cos2θ=0，0＜θ＜，∴2sinθ-cosθ=0，∴tanθ=.答案：.14.已知f(x)=，x≥0，若f1(x)=f(x)，f n+1(x)=f(f n(x))，n∈N+，则f2014(x)的表达式为 .解析：由题意...…，故f2014(x)=答案：选考题(请在15-17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)不等式选做题15.设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为 .解析：由柯西不等式得，(ma+nb)2≤(m2+n2)(a2+b2)，∵a2+b2=5，ma+nb=5，∴(m2+n2)≥5，∴的最小值为.答案：几何证明选做题16.如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF= .解析：由题意，∵以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，∴∠AEF=∠C，∵∠EAF=∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴，∵BC=6，AC=2AE，∴EF=3.答案：3.坐标系与参数方程选做题17.在极坐标系中，点(2，)到直线ρsin(θ-)=1的距离是.解析：根据极坐标和直角坐标的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得点(2，)即(，1)；直线ρsin(θ-)=1即x-y=1，即x-y-2=0，故点(，1)到直线x-y-2=0的距离为=1，答案：1.三、解答题(共6小题，共75分)18.(12分)△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c.(Ⅰ)若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin(A+C)；(Ⅱ)若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值.解析：(Ⅰ)由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质得到a+c=2b，再利用正弦定理及诱导公式变形即可得证；(Ⅱ)由a，b，c成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，将c=2a代入表示出b，利用余弦定理表示出cosB，将三边长代入即可求出cosB的值.答案：(Ⅰ)∵a，b，c成等差数列，∴a+c=2b，由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB，∵sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)，则sinA+sinC=2sin(A+C)；(Ⅱ)∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，将c=2a代入得：b2=2a2，即b=a，∴由余弦定理得：cosB===.19.(12分)四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H.(Ⅰ)求四面体ABCD的体积；(Ⅱ)证明：四边形EFGH是矩形.解析：(Ⅰ)证明AD⊥平面BDC，即可求四面体ABCD的体积；(Ⅱ)证明四边形EFGH是平行四边形，EF⊥HG，即可证明四边形EFGH是矩形.答案：(Ⅰ)由题意，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD=DC=2，AD=1，∴AD⊥平面BDC，∴四面体ABCD的体积V==；(Ⅱ)∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC=FG，平面EFGH∩平面ABC=EH，∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥FH.同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥HG，∴四边形EFGH是矩形.20.(12分)在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且=m+n(m，n∈R)(Ⅰ)若m=n=，求||；(Ⅱ)用x，y表示m-n，并求m-n的最大值.解析：(Ⅰ)由点的坐标求出向量和的坐标，结合m=n=，再由=m+n求得的坐标，然后由模的公式求模；(Ⅱ)由=m+n得到，作差后得到m-n=y-x，令y-x=t，然后利用线性规划知识求得m-n的最大值.答案：(Ⅰ)∵A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，∴，又m=n=，∴.∴；(Ⅱ)∵，∴，两式相减得，m-n=y-x.令y-x=t，由图可知，当直线y=x+t过点B(2，3)时，t取得最大值1，故m-n的最大值为1.21.(12分)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(Ⅰ)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(Ⅱ)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率.解析：(Ⅰ)设A表示事件“赔付金额为3000元，”B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率，求得P(A)，P(B)，再根据投保额为2800元，赔付金额大于投保金额得情形是3000元和4000元，问题得以解决.(Ⅱ)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，分别求出样本车辆中车主为新司机人数和赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机人数，再求出其频率，最后利用频率表示概率.答案：(Ⅰ)设A表示事件“赔付金额为3000元，”B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P(A)=，P(B)=，由于投保额为2800元，赔付金额大于投保金额得情形是3000元和4000元，所以其概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.(Ⅱ)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000=100，而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120=24，所以样本中车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为，由频率估计概率得P(C)=0.24.22.(13分)已知椭圆+=1(a＞b＞0)经过点(0，)，离心率为，左右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0).(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若直线l：y=-x+m与椭圆交于A、B两点，与以F1F2为直径的圆交于C、D两点，且满足=，求直线l的方程.解析：(Ⅰ)由题意可得，解出即可.(Ⅱ)由题意可得以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1.利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线l的距离d及d＜1，可得m的取值范围.利用弦长公式可得|CD|=2.设A(x1，y1)，B(x2，y2).把直线l的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，进而得到弦长|AB|=.由=，即可解得m.答案：(Ⅰ)由题意可得，解得，c=1，a=2.∴椭圆的方程为. (Ⅱ)由题意可得以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1.∴圆心到直线l的距离d=，由d＜1，可得.(*)∴|CD|=2==.设A(x1，y1)，B(x2，y2).联立，化为x2-mx+m2-3=0，可得x1+x2=m，.∴|AB|==.由=，得，解得满足(*).因此直线l的方程为.23.(14分)设函数f(x)=lnx+，m∈R.(Ⅰ)当m=e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(Ⅱ)讨论函数g(x)=f′(x)-零点的个数；(Ⅲ)若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围.解析：(Ⅰ)m=e时，f(x)=lnx+，利用f′(x)判定f(x)的增减性并求出f(x)的极小值；(Ⅱ)由函数g(x)=f′(x)-，令g(x)=0，求出m；设φ(x)=m，求出φ(x)的值域，讨论m 的取值，对应g(x)的零点情况；(Ⅲ)由b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f(b)-b＜f(a)-a恒成立；即h(x)=f(x)-x在(0，+∞)上单调递减；h′(x)≤0，求出m的取值范围.答案：(Ⅰ)当m=e时，f(x)=lnx+，∴f′(x)=；∴当x∈(0，e)时，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上是减函数；当x∈(e，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(e，+∞)上是增函数；∴x=e时，f(x)取得极小值f(e)=lne+=2；(Ⅱ)∵函数g(x)=f′(x)-=--(x＞0)，令g(x)=0，得m=-x3+x(x＞0)；设φ(x)=-x3+x(x≥0)，∴φ′(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1)；当x∈(0，1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0，1)上是增函数，当x∈(1，+∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，+∞)上是减函数；∴x=1是φ(x)的极值点，且是极大值点，∴x=1是φ(x)的最大值点，∴φ(x)的最大值为φ(1)=；又φ(0)=0，结合y=φ(x)的图象，如图可知：①当m ＞时，函数g(x)无零点；②当m=时，函数g(x)有且只有一个零点；③当0＜m ＜时，函数g(x)有两个零点；④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；综上，当m ＞时，函数g(x)无零点；当m=或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0＜m ＜时，函数g(x)有两个零点；(Ⅲ)对任意b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f(b)-b＜f(a)-a恒成立；设h(x)=f(x)-x=lnx+-x(x＞0)，∴h(x)在(0，+∞)上单调递减；∵h′(x)=--1≤0在(0，+∞)上恒成立，∴m≥-x2+x=-+(x＞0)，∴m≥；对于m=，h′(x)=0仅在x=时成立；∴m的取值范围是[，+∞).。
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2014年普通高等学校招生全国统一考试押题卷·陕西卷(文科) 全解全析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．1．设a ，b 是向量，命题“若a b =- ，则||||a b =”的逆命题是 （ ）（A ）若a b ≠- ，则||||a b ≠ （B ）若a b =- ，则||||a b ≠（C ）若||||a b ≠ ，则a b ≠- （D ）若||||a b =，则a b =-【分析】首先确定原命题的条件和结论，然后交换条件和结论的位置即可得到逆命题。
【解】选D 原命题的条件是a b =- ，作为逆命题的结论；原命题的结论是||||a b =，作为逆命题的条件，即得逆命题“若||||a b =，则a b =- ”，故选D ．2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是 （ ）（A ）28y x =- （B ）24y x =- （C ）28y x = （D ）24y x =【分析】由准线确定抛物线的位置和开口方向是判断的关键． 【解】选 C 由准线方程2x =-得22p-=-,且抛物线的开口向右（或焦点在x 轴的正半轴），所以228y px x ==．3.设0a b <<，则下列不等式中正确的是 （ ）（A ） 2a b a b +<<<（B ）2a ba b +<<<（c ）2a b a b +<<<2a b a b +<<< 【分析】根据不等式的性质，结合作差法，放缩法，基本不等式或特殊值法等进行比较．【解】选 B （方法一）已知a b <和2a b+<，比较a 与，因为22()0a a a b -=-<，所以a <，同理由22()0b b b a -=->得b <；作差法：022a b b a b +--=>，所以2a b b +<，综上可得2a ba b +<<<；故选B ．（方法二）取2a =，8b =4=，52a b +=，所以2a ba b +<<<．4. 函数13y x=的图像是 （ ）【分析】已知函数解析式和图像，可以用取点验证的方法判断． 【解】选B 取18x =，18-，则12y =，12-，选项B ，D 符合；取1x =，则1y =，选项B 符合题意．5. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ） (A)283π- (B)83π-(C)8-2π (D)23π【分析】根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几何体的组成和有关几何体体积公式进行计算． 【解】选A 由几何体的三视图可知几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是3218222833V ππ=-⨯⨯⨯=-.6.方程cos x x =在(),-∞+∞内 （ ） (A)没有根 (B)有且仅有一个根 (C) 有且仅有两个根 （D ）有无穷多个根【分析】数形结合法，构造函数并画出函数的图象，观察直观判断．【解】选C 构造两个函数||y x =和cos y x =，在同一个坐标系内画出它们的图像，如图所示，观察知图像有两个公共点，所以已知方程有且仅有两个根．7.如右框图，当126,9,x x ==8.5p =时，3x 等于（ ） (A) 7 (B) 8 (C)10 （D ）11【分析】按照程序框图的逻辑顺序进行计算． 【解】选B ∵126,9,x x ==∴3|9|3x ->； 又8.5p =，127.52x x +=，显然3|9|3x ->不成立，即为“否”， ∴有3|9|3x -…，即3612x 剟，此时有398.52x +=，解得38x =，符合题意，故选B ．8.设集合22{||cos sin |,}M y y x x x R ==-∈，{|||1xN x i=<，i 为虚数单位，x ∈R }，则M N 为（ ）(A)(0,1) (B)(0,1] (C)[0,1) (D)[0,1]【分析】确定出集合的元素是关键。
本题综合了三角函数、复数的模，不等式等知识点。
【解】选C 22|cos sin ||cos2|[0,1]y x x x =-=∈，所以[0,1]M =；因为||1xi<，即||1xi -<，所以||1x <，又因为x ∈R ，所以11x -<<，即(1,1)N =-；所以[0,1)M N = ，故选C. 9．设1122(,),(,),x y x y ··· ，(,)n n x y 是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是（ ） (A) 直线l 过点(,)x y（B ）x 和y 的相关系数为直线l 的斜率 （C ）x 和y 的相关系数在0到1之间（D ）当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同【分析】根据最小二乘法的有关概念：样本点的中心，相关系数线，性回归方程的意义等进行判断．【解】选A10．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳．．．．坑位的编号为（ ） （A ）①和（B ）⑨和⑩ (C) ⑨和(D) ⑩和【分析】根据选项分别计算四种情形的路程和；或根据路程和的变化规律直接得出结论．【解】选D （方法一） ：：10(129)10(1210)2⨯++++⨯+++⨯ =2000 ：路程和都是（方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和进行比较即可。
树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是10(1219)2⨯+++⨯ 19(119)10238002+=⨯⨯=；树苗放在第10个（或第11个）树坑旁边时，路程总和是10(129)10(1210)2⨯++++⨯+++⨯ 9(19)10(110)10210222⨯+⨯+=⨯⨯+⨯⨯ 90011002000=+=，所以路程总和最小为2000米.B. 填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（ 本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．设lg ,0()10,0xx x f x x>⎧=⎨⎩…，则((2))f f -=______.【分析】由2x =-算起，先判断x 的范围，是大于0，还是不大于0,；再判断(2)f -作为自变量的值时的范围，最后即可计算出结果． 【解】∵20x =-<，∴21(2)100100f --==>，所以22(10)lg102f --==-，即((2))2f f -=-．【答案】2-12．如图，点(,)x y 在四边形ABCD 内部和边界上运动，那么2x y -的最小值为________. 【分析】本题为线性规划问题，采用数形结合法解答，解答本题的关键是确定目标函数过哪一个点时取得最小值． 【解】目标函数2z x y =-，当0x =时，z y =-，所以当y 取得最大值时，z 的值最小；移动直线20x y -=，当直线移动到过点A 时，y 最大，即z 的值最小，此时2111z =⨯-=．【答案】113．观察下列等式1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第五个等式应为__________________.【分析】归纳总结时，看等号左边是子的变化规律，右边结果的特点，根据以上规律写出第五个等式，注意行数、项数及其变化规律是解答本题的关键．【解】把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数n ，加数的个数是21n -；等式右边都是完全平方数，行数 等号左边的项数1=1 1 1 2+3+4=9 2 3 3+4+5+6+7=25 3 5 4+5+6+7+8+9+10=49 4 7则第5行等号的左边有9项，右边是9的平方，所以256[5(251)1]9++++⨯--= ， 即561381+++= ．【答案】567891011121381++++++++=（或561381+++= ）14．设n N +∈，一元二次方程240x x n -+=有整数．．根的充要条件是n = ． 【分析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算．【解】x=2=，因为x是整数，即2为整数，且4n …，又因为n N +∈，取1,2,3,4n =验证可知3,4n =符合题意；反之3,4n =时，可推出一元二次方程240x x n -+=有整数．．根． 【答案】3或4 15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A ．（不等式选做题）若不等式|1||2|x x a ++-…对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是 ．【分析】先确定|1||2|x x ++-的取值范围，则只要a 不大于|1||2|x x ++-的最小值即可．【解】当1x -…时，|1||2|12213x x x x x ++-=---+=-+…； 当12x -<…时，|1||2|123x x x x ++-=+-+=； 当2x >时，|1||2|12213x x x x x ++-=++-=->； 综上可得|1||2|3x x ++-…，所以只要3a …， 即实数a 的取值范围是(,3]-∞． 【答案】(,3]-∞B ．（几何证明选做题）如图，∠B=∠D ，AE BC ⊥，90ACD ∠=，且AB=6，AC=4，AD=12，则AE= ．【分析】寻找两个三角形相似的条件，再根据相似三角形的对应边成比例求解． 【解】因为AE BC ⊥，所以∠AEB=90ACD ∠=，又因为∠B=∠D ，所以△AEB ∽△ACD ，所以AC AD AE AB =,所以64212AB AC AE AD ⋅⨯===．【答案】2 C ．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线1C ：3cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）和曲线2C ：1ρ=上，则||AB 的最小值为 ．【分析】利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程．【解】曲线1C 的方程是22(3)1x y -+=，曲线2C 的方程是221x y +=，两圆外离，所以||AB 111-=．【答案】1三．解答题：接答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分） P. （本小题满分12分）如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD 是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC=90°。