武汉科技大学《机械工程控制基础》第五章 系统的稳定性-PPT精品文档66页
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机械工程控制基础第五章系统稳定性分析
条件, 既使上述条件已满足，系统仍可能不稳定，因为 它不是充分条件。
9/88
5.3 代数稳定性判据 劳斯判据
Logo
同时，如果劳斯阵列中第一 列所有项均为正号，则系统 一定稳定。
劳斯阵列为
sn a0 a2 a4 a6 s n1 a1 a3 a5 a7 s n2 b1 b2 b3 b4 s n3 c1 c2 c3 c4
由劳斯阵列的第一列看出：第一列中系数符号全为正
值，所以控制系统稳定。
16/88
Logo
5.3 代数稳定性判据 劳斯判据
例2 设控制系统的特征方程式为
s4 2s3 3s2 4s 3 0
试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。
解：首先，由方程系数可知已满足稳定的必要条件。其次，排劳
阵列
s4 1 3 3
2/88
5.1 系统稳定性的基本概念
d
o
F
Logo
b
c
M
o
稳定性的定义：若控制系统在任何足够小的初始偏差的 作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于 零，具有恢复到原来状态的性能，则该系统是稳定的， 否则，该系统为不稳定。
3/88
Logo
5.2 系统稳定的充要条件
N(s)
X i s
+
G1 s
➢ 劳斯判据还说明：实部为正的特征 根数，等于劳斯阵列中第一列的系 数符号改变的次数。
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5.3 代数稳定性判据 劳斯判据
Logo
劳斯判据的表述：
1.系统闭环传递函数特征方程式的系数没有为0的， 同时都是正数。（必要条件，要想系统稳定必 须满足这个条件）
2.劳斯阵列的第一列全部为正。（充分条件）
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5.3 代数稳定性判据 劳斯判据
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同时，如果劳斯阵列中第一 列所有项均为正号，则系统 一定稳定。
劳斯阵列为
sn a0 a2 a4 a6 s n1 a1 a3 a5 a7 s n2 b1 b2 b3 b4 s n3 c1 c2 c3 c4
由劳斯阵列的第一列看出：第一列中系数符号全为正
值，所以控制系统稳定。
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5.3 代数稳定性判据 劳斯判据
例2 设控制系统的特征方程式为
s4 2s3 3s2 4s 3 0
试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。
解：首先，由方程系数可知已满足稳定的必要条件。其次，排劳
阵列
s4 1 3 3
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5.1 系统稳定性的基本概念
d
o
F
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b
c
M
o
稳定性的定义：若控制系统在任何足够小的初始偏差的 作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于 零，具有恢复到原来状态的性能，则该系统是稳定的， 否则，该系统为不稳定。
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5.2 系统稳定的充要条件
N(s)
X i s
+
G1 s
➢ 劳斯判据还说明：实部为正的特征 根数，等于劳斯阵列中第一列的系 数符号改变的次数。
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5.3 代数稳定性判据 劳斯判据
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劳斯判据的表述：
1.系统闭环传递函数特征方程式的系数没有为0的， 同时都是正数。（必要条件，要想系统稳定必 须满足这个条件）
2.劳斯阵列的第一列全部为正。（充分条件）
机械工程控制基础课件第五章系统的稳定性
从而改变了阀芯与阀体的相对位移量，这样就组 成一个闭环系统，它保证活塞跟随阀芯的运动而 运动。
2021/3/13
2021/3/13
阀芯受外力右移，即输入位移 x i 后，控制 口2、4打开，控制口3，1关闭，压力油进 入左缸，右缸接通回油，活塞向右移动。 当外力去掉后，阀芯停止运动,活塞滞后于 阀芯,继续右移,直至控制口2关闭，回到原 来的平衡位置。
因移动的活塞有惯性，在伺服阀的平衡位置， 活塞仍不能停止，继续右移。因而使控制 口1，3打开，2，4关闭，压力油反过来进 入右缸，左缸接能回油，这使活塞反向 （向左）移动，并带动阀体左移，直至阀 体与阀芯回复到原来的平衡位置。
2021/3/13
但活塞因惯性继续左移，使油路又反向…… 这样，阀芯在原位不动的情况下，活塞与阀 体相对阀芯反复振荡。由于所选择的系统各 参数（如质量、阻尼和弹性等）不同，当系 统是线性系统时，这种振荡可能是衰减的 （减幅的），也可能是发散的（增幅的）或 等幅的，如图5.1.2（a）、（b）、（c）所 示。当这种自由振荡是增幅振荡时，就称系 统是不稳定的。
2021/3/13
方法（1）：设定常线性系统的微分方程为：
(a np n a n 1p n 1 a 1 p a 0 )x (t) （5.1.1）
(b m p m b 1p b 0)x i(t),
n m,
式中， p d ,
dt
若记
D (p ) a n p n a n 1 p n 1 a 1 p a 0 ;
第五章 系统的稳定性
系统首要条件:系统稳定。分析系统稳定性是经典控制 理论的重要组成部分，经典控制理论对于判定一个定常 线性系统是否稳定提供了多种方法。 着重介绍几种定常线性系统的稳定性判据及其使用，以及 提高系统稳定性的方法。 1.介绍线性系统稳定性的初步概念。 2.介绍Routh与Hurwitz判断； 3.阐述Nyquist稳定判据，即如何通过系统的开环频率特 性的Nyquist图来判断相应的闭环系统的稳定性。 4.介绍Bode判据，进而讨论系统相对稳定性的问题。
2021/3/13
2021/3/13
阀芯受外力右移，即输入位移 x i 后，控制 口2、4打开，控制口3，1关闭，压力油进 入左缸，右缸接通回油，活塞向右移动。 当外力去掉后，阀芯停止运动,活塞滞后于 阀芯,继续右移,直至控制口2关闭，回到原 来的平衡位置。
因移动的活塞有惯性，在伺服阀的平衡位置， 活塞仍不能停止，继续右移。因而使控制 口1，3打开，2，4关闭，压力油反过来进 入右缸，左缸接能回油，这使活塞反向 （向左）移动，并带动阀体左移，直至阀 体与阀芯回复到原来的平衡位置。
2021/3/13
但活塞因惯性继续左移，使油路又反向…… 这样，阀芯在原位不动的情况下，活塞与阀 体相对阀芯反复振荡。由于所选择的系统各 参数（如质量、阻尼和弹性等）不同，当系 统是线性系统时，这种振荡可能是衰减的 （减幅的），也可能是发散的（增幅的）或 等幅的，如图5.1.2（a）、（b）、（c）所 示。当这种自由振荡是增幅振荡时，就称系 统是不稳定的。
2021/3/13
方法（1）：设定常线性系统的微分方程为：
(a np n a n 1p n 1 a 1 p a 0 )x (t) （5.1.1）
(b m p m b 1p b 0)x i(t),
n m,
式中， p d ,
dt
若记
D (p ) a n p n a n 1 p n 1 a 1 p a 0 ;
第五章 系统的稳定性
系统首要条件:系统稳定。分析系统稳定性是经典控制 理论的重要组成部分，经典控制理论对于判定一个定常 线性系统是否稳定提供了多种方法。 着重介绍几种定常线性系统的稳定性判据及其使用，以及 提高系统稳定性的方法。 1.介绍线性系统稳定性的初步概念。 2.介绍Routh与Hurwitz判断； 3.阐述Nyquist稳定判据，即如何通过系统的开环频率特 性的Nyquist图来判断相应的闭环系统的稳定性。 4.介绍Bode判据，进而讨论系统相对稳定性的问题。
机电控制工程基础 第 5 章 控制系统的稳定性分析
消失后,系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态,则 系统是稳定的;否则,系统就不稳定。稳定性是系统去掉扰动 以后自身的一种恢复能力,所以是系统的一种固有特性。这 种固有的稳定性只取决于系统的结构参数而与初始条件及外 部作用无关。
第 5 章 控制系统的稳定性分析
下面通过图 5－1 来直观地描述稳定的概念。图 5－1 中 小球处于一种平衡状态,此时,若小球受到外界扰动而分别运 动到图中虚线小球的位置,当外力去掉后,在自身重力和惯性 的作用下,图 5－1 ( a )中的小球经过几次反复振荡后,会回到 原来的平衡位置,我们称这种小球的运动是稳定的。而图 5－ 1 ( b )中的小球在外力去掉后,无论经过多长时间都不会回到 原来的平衡位置,显然这种小球的运动是不稳定的。
(2 )劳斯表中出现全零行。这种情况表明特征方程中存 在一些绝对值相同但符号相异的特征根。如两个大小相等但 符号相反的实根或一对共轭纯虚根,或者是对称于实轴的一 对共轭复根。
第 5 章 控制系统的稳定性分析
劳斯判据:系统稳定的充要条件是劳斯表中第一列元素 都大于 0 ,否则系统不稳定。当系统不稳定时,第一列元素符 号(正负)改变的次数,等于系统特征方程中正实部根的个数。
第 5 章 控制系统的稳定性分析
第 5 章 控制系统的稳定性分析 5. 2. 3 一阶至四阶系统的劳斯稳定判定
第 5 章 控制系统的稳定性分析
第 5 章 控制系统的稳定性分析
5. 1 稳定性的基本概念 5. 2 劳斯稳定判据 5. 3 奈奎斯特稳定判据 5. 4 对数稳定判据 习题
第 5 章 控制系统的稳定性分析
5. 1 稳定性的基本概念
5. 1. 1 稳定性的定义 如果系统在扰动作用下偏离了原来的平衡状态图 5 －2 系统的脉冲响应曲线
第 5 章 控制系统的稳定性分析
下面通过图 5－1 来直观地描述稳定的概念。图 5－1 中 小球处于一种平衡状态,此时,若小球受到外界扰动而分别运 动到图中虚线小球的位置,当外力去掉后,在自身重力和惯性 的作用下,图 5－1 ( a )中的小球经过几次反复振荡后,会回到 原来的平衡位置,我们称这种小球的运动是稳定的。而图 5－ 1 ( b )中的小球在外力去掉后,无论经过多长时间都不会回到 原来的平衡位置,显然这种小球的运动是不稳定的。
(2 )劳斯表中出现全零行。这种情况表明特征方程中存 在一些绝对值相同但符号相异的特征根。如两个大小相等但 符号相反的实根或一对共轭纯虚根,或者是对称于实轴的一 对共轭复根。
第 5 章 控制系统的稳定性分析
劳斯判据:系统稳定的充要条件是劳斯表中第一列元素 都大于 0 ,否则系统不稳定。当系统不稳定时,第一列元素符 号(正负)改变的次数,等于系统特征方程中正实部根的个数。
第 5 章 控制系统的稳定性分析
第 5 章 控制系统的稳定性分析 5. 2. 3 一阶至四阶系统的劳斯稳定判定
第 5 章 控制系统的稳定性分析
第 5 章 控制系统的稳定性分析
5. 1 稳定性的基本概念 5. 2 劳斯稳定判据 5. 3 奈奎斯特稳定判据 5. 4 对数稳定判据 习题
第 5 章 控制系统的稳定性分析
5. 1 稳定性的基本概念
5. 1. 1 稳定性的定义 如果系统在扰动作用下偏离了原来的平衡状态图 5 －2 系统的脉冲响应曲线
机械控制工程基础-自动控制原理 第五章-系统的稳定性
系统的稳定性是系统的固有属性，只与系统结构参 数有关，与外部作用无关。
二、系统稳定的条件
第五章 系统的稳定性
线性定常系统的微分方程一般式为：
a0
dn dt n
xo
(t)
a1
d n1 dt n1
xo (t)
an1
d dt
xo (t) an xo (t)
dm
d m1
d
b0 dt m xi (t) b1 dt m1 xi (t) bm1 dt xi (t) bm xi (t)
劳斯表的构造：
D(s) a0sn a1sn1 a2sn2 an1s an 0
sn a0 a2 a4 … sn−1 a1 a3 a5 … sn−2 b1 b2 b3 … ┋┋ s1 …
s0 g1
b1
a1a2 a0a3 a1
b2
a1a4 a0a5 a1
自动控制原理
1
第五章 系统的稳定性
第一节 稳定性的基本概念 第二节 Routh（劳斯）稳定判据 第三节 Nyquist稳定判据 第四节 系统的相对稳定性
第五章 系统的稳定性
第一节 稳定性的基本概念
一、稳定性的概念
系统受到扰动作用时，输出偏离平衡状态，当扰动消 除后，若系统在足够长的时间内能恢复其原来的平衡状态 或趋于一个给定的新平衡状态，则该系统是稳定的。反之， 如果系统对于干扰的瞬态响应随时间的推移而不断扩大或 发生持续振荡，则系统是不稳定的。
表中：1）最左一列元素按s 的幂次排列，由高到低，只起标识作
用，不参与计算。 2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。 3）从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。
二、系统稳定的条件
第五章 系统的稳定性
线性定常系统的微分方程一般式为：
a0
dn dt n
xo
(t)
a1
d n1 dt n1
xo (t)
an1
d dt
xo (t) an xo (t)
dm
d m1
d
b0 dt m xi (t) b1 dt m1 xi (t) bm1 dt xi (t) bm xi (t)
劳斯表的构造：
D(s) a0sn a1sn1 a2sn2 an1s an 0
sn a0 a2 a4 … sn−1 a1 a3 a5 … sn−2 b1 b2 b3 … ┋┋ s1 …
s0 g1
b1
a1a2 a0a3 a1
b2
a1a4 a0a5 a1
自动控制原理
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第五章 系统的稳定性
第一节 稳定性的基本概念 第二节 Routh（劳斯）稳定判据 第三节 Nyquist稳定判据 第四节 系统的相对稳定性
第五章 系统的稳定性
第一节 稳定性的基本概念
一、稳定性的概念
系统受到扰动作用时，输出偏离平衡状态，当扰动消 除后，若系统在足够长的时间内能恢复其原来的平衡状态 或趋于一个给定的新平衡状态，则该系统是稳定的。反之， 如果系统对于干扰的瞬态响应随时间的推移而不断扩大或 发生持续振荡，则系统是不稳定的。
表中：1）最左一列元素按s 的幂次排列，由高到低，只起标识作
用，不参与计算。 2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。 3）从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。
《机械工程控制基础》(杨叔子主编)PPT第五章+系统的稳定性.
j
稳
不 s平面
定
稳
区
定
区
所以：
稳
不
定
稳
区
定
区
临界
稳定
9
5.1系统稳定性的初步概念（系统稳定的判别方法）
10
5.2 Routh（劳斯）稳定判据
Routh判据是基于方程式根与系数的关系建立的，通过对系统特 征方程式的各项系统进行代数运算，得出全部根具有负实部的条件， 从而判断系统的稳定性。
11
5.2 Routh（劳斯）稳定判据
8s3 24s
s1 16 6
s 0 16
结论：系统是不稳定的(本题是临界稳定)。 由辅助方程式可以求的系统对称于原点的 根:
(2p=4,p=2)
即：s4 6s2 8 0 (s2 2)(s2 4) 0 s1,2 j 2 s3,4 j2
这两对根是原方程的 根的一部分。
D(s) s6 2s5 8s 4 12s3 20s 2 16s 16 0
试判断系统的稳定性。 解：建立劳斯表：
s6 1 8 20 16 s5 2 12 16 0 s4 2 12 16 s3 0 0 s2
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5.2 Routh（劳斯）稳定判据
Routh表中出现某行系数全为零，这是因为在系统的特征方程中出 现了对称于原点的根（如大小相等，符号相反的实数根；一对共轭纯虚 根；对称于原点的两对共轭复数根）。
稳定指控制系统在外作用消失后自动恢复原有平衡 状态或自动地趋向于一个新的稳定平衡状态的能力。
如果系统不能恢复稳定状态，则认为系统不稳定。
2
5.1系统稳定性的初步概念
一、系统不稳定现象得发生
机械工程控制基础 第五章 系统的稳定性
相对稳定性
根据根轨迹，我们知道：对于大的K值，系统 是不稳定的。当增益减小到一定值时，系统可能稳 定。
-1
（a）
（b）
相对稳定性的概念
基于Nyquist判剧，当开环传递函数
在s平面右半部无极点时，其开环频率响应 若通过点（-1，j0），则控制系统处于临界稳定边缘
。在这种情况下若控制系统的参数发生漂移，便有可
0变化到＋∞时，开环频率特性
正、
负穿越 平面负实轴上（-1，-∞ ）段的次
数差为 ，这里 是开环传递函数极点中处
于s平面右半部的数目。否则，闭环系统不
稳定。
乃氏判剧-形式Ⅱ例子：如图所示的乃氏曲线中 ，判别哪些是稳定的，哪些是不稳定的。
解：
所以系统稳定 所以系统不稳定 所以系统不稳定
系统稳定
系统不稳定
说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的根。
改变一次
在这两种情况下, 两个大小相等符号相反的实根
表明系统在复平面内可能存在 两个共轭虚根 以虚轴对称的两对共轭复根,
此时，系统处在不稳定状态或临界稳定状态。
下面通过实例说明这时应如何排劳斯表。若遇到 第一种情况, 可用一个任意小的正数ε代替为零的元 素, 然后继续进行计算, 完成劳斯表。
形式Ⅰ
形式Ⅰ
[F(s)]
[GH(s)]
[s]
[GH(s)]
乃氏图负穿越
在乃氏图上，开环频率特性，从上半部
分穿过负实轴的
段到实轴的下半部
分，称为正穿越；开环频率特性从下半部穿
过负实轴的
段到实轴的上半部分
，称为负穿越；起始于（或终止于）
段的负实轴的正、负穿越称为正负半穿越；
乃氏图负穿越实例1
chap5 系统稳定性
a0 a1
a2 a3
a4 a5
其中,第一行为sn、sn-2、sn-4的各项系数依次排成； 第二行为sn-1、sn-3、sn-5的各项系数依次排成
控制原理
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第五章 控制系统的稳定性
5.2 routh（劳斯）稳定判据
5.2.1 routh行列式
③ 计算行列式的其余各行
s4 s3 s2 s1
30 0
0
改变符号一次
改变符号一次
0
s0
0
第一列各元素改变符号次数为2,不满足充分条件,系统不稳定。 本题的根为-1, 2, 3, -5, 有两个正实部根。 符号的改变次数 = 正实部特征根的个数
控制原理
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第五章 控制系统的稳定性
例2 设有系统的方框图如图5.2.1所示。已知=0.2, =86.6,试确 定K的值使系统稳定。 解：系统的开环及闭环传递函数分 别为:
18
控制原理
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第五章 控制系统的稳定性
例1
系统的特征方程为:
D( s) s4 s3 19 s2 11s 30 0
(1)查必要条件: 各系数符号不同,不满足必要条件,系统不稳定 (2)查Routh表第一列的系数
1 19 1 11 1( 19) (1)(11) 30 30 1 ( 30)(11) (1)(30) 12 0 30 30 0
sn s n 1 s
n2
a0 a1 b1 c1 d1 e1 f1 g1
a2 a3 b2 c2 d2 e2
a4 a5 b3 c3
c1
机械工程控制基础(系统的稳定性)5
第五章 系统的稳定性
对于特征方程的一对单复根-α+jω，相应瞬态 对于特征方程的一对单复根输出为： 输出为：
e −α t ( B cos ω t + C sin ω t ) = e −α t B 2 + C 2 sin(ω t + ϕ )
其中， 其中， 当 -α < 当 -α > 当 -α =
ϕ = arctgB/C。
a0 a1
a1a2 − a0 a3 a1
a2 a3
0
0 从而，三阶系统稳定的充要条件为： 从而，三阶系统稳定的充要条件为： 特征方程的各项系数大于零， 特征方程的各项系数大于零，且： a1a2-a0a3>0
a3
第五章 系统的稳定性
例题 系统方框图如下， 例1：系统方框图如下，试确定开环增益K为 何值时，系统稳定。 何值时，系统稳定。
列出劳斯阵列
sn sn-1
5
sn-2 sn-3
an an-6 an-1 an-7 A1 B1
an-2
…
a n-4 an-3 a nA4 B4
… …
…
A2 B2
A3 B3
……
A1 =
s2 D1 D2 s1 E1 s0 an−1anF21− an an−3 A2 = an−1an−4 − an an−3 A3 = an−1an−6 − an an−7… −
系统的特征方程为：
D ( s ) = an s n + an −1s n −1 + ⋯ + a1s + a0 =0 将上式各项同除a n并分解因式： a a a s n + n −1 s n −1 + iii+ 1 s + 0 an an an = ( s − p1 )( s − p2 )⋯ ( s − pn )
武汉科技大学《机械工程控制基础》第五章系统的稳定性
X o (s) b0sm b1sm1 ... bm1s bm B(s)
X i (s) a0sn a1sn1 ... an1s an A(s)
k
B(s)
r
a0 (s pi ) (s ( j j j ))(s ( j j j ))
i 1
j 1
k
r
x0 (t) cie pit e jt Aj sin(djt j )
Xi(s) ＋ －
K (s 1)
Xo(s)
s3 as2 2s 1
系统产生持续振荡，说明系 统为临界稳定系统，则劳斯 行列式的第一列会出现0元素。
2 K K 1 0 K 1 a(K 2) a
GB (s)
(s
K (s a)( s 2
1) K
2)
s2 K 2 0 s j K 2 j2
稳定
不稳定
线性系统的稳定性是控制系统自身的固有特性，取决于系统本身 的结构和参数，与输入无关。
以上定义只适用于线性定常系统。
5.1.1 稳定性的定义
稳定性的其他说法 ——
大范围渐近稳定：不论扰动引起的初始偏差有多大， 当扰动取消 后，系统都能够恢复到原有的平衡状态，否则就称为小范围(小偏 差)稳定。注意：对于线性系统，小范围稳定大范围稳定。
K 2, a 0.75
5.2 Routh (劳斯)稳定判据
课后作业
教材185~186 页： 5.3，5.4 5.7 (选做题)
5. 系统的稳定性
5.3 Nyquist稳定判据
Nyquist稳定性判据是利用系统开环频率特性G(j)H(j)来判断系统特征
方程1+G(s)H(s)=0 的根是否全部具有负实部，是一种几何判据，并且还 能够判断系统的相对稳定性。奈氏判据的依据是幅角原理。
机械工程控制基础ppt课件第5章：系统的稳定性
a n 4 a n 5 A3 B3 ....
a n 6 a n 7 A4 ...... ...
...... ...... ......
例 系统的特征方程为D(s)=s5+7s4+6s3+3s2+2s+1， 试判断 的稳定性 39 13 s5 s4 s3
s2 s
1
1
7
6
3
2
1
39 7
13 7
....
0
2、Routh稳定判据 Routh表中的第一列各元的符号均
为正数，则闭环系统稳定。 若第一列各
元的符号有改变，则改变的次数等于特征方 程有右根的个数。
+ s + s n 1 n 2 s n 3 s .... 0 s
n
an a n 1 A1 B1 .... f1
a n 2 a n 3 A2 B2 ....
令辅助函数 F(s)=1+GK(s)
G D ( s)H D ( s) G H ( s) H H ( s) G D ( s) H D ( s)
d x i (t ) d x i (t ) dx i ( t ) bm bm 1 b1 b0 x i ( t ) m m 1 dt dt dt
m
m 1
经过Laplace变换（考虑到初始条件）
M ( s) N ( s) X 0 ( s) X i ( s) D( s ) D( s )
[F(s)]
Ls
s-p1 p1 σ
LF
Re
z2
• 向量(s-zi)的相位角变化了-2，而其他各向 量的相位角变化为0。 • 即向量F(s)的相位角总的变化量为-2.
机械工程控制基础(第五版) 第五章系统的稳定性课件
本章难点
Nyquist判据及其应用。
5.1 系统稳定性的初步概念
5.2 Routh稳定判据
n Routh判据：通过系统特征方程的各项 系数进行代数运算，得出全部根具有 负实部的条件。从而判别系统的稳定 性，是一种时域判据。
一、系统稳定的必要条件
二、系统稳定的充要条件
三、Routh判据特殊情况
n 例5:设系统特征方程为
D(s)=s5+2s4+24s3+48s2-25s-50=0
试用Routh判据判别系统的稳定性.
解:列Routh表:
S5
1
24
-25
S4
2
48
-50
S3
0
0
0
由第二行各元构造辅助方程:
幂次)
2s4+48s2-50=0
(注意s的
取F(s)对s的导数:8s3+96s=0
S3中各元可用此方程中系数8和96代替,得Routh 表如下:
5.4 Bode稳定判据
n 一、Nyquist图和Bode图的对应关系 n 二、穿越的概念 n 三、Bode判据
一、Nyquist图和Bode图的对应关系
二、穿越的概念
三、Bode判据
5.5 系统的相对稳定性
The End！
比较这三个式子：
GB(s) GK(s)
F(s)
零点 零点
极点 极点ຫໍສະໝຸດ 零点极点n 3、幅角原理（映射定理）
二、Nyquist稳定判据
n 1、s平面封闭曲线的选择
n （3）平面[s]上，将-j∞→＋j∞→∞组成的曲线， 换成仅由虚轴（即-j∞→j∞）代表的曲线。
n 综上所述，Nyquist判据表述如下：
机械工程控制基础课件第五章
Xi (s)
若有部分闭环极点位于虚轴上，而其余极点全在[S]平面左 半部时，便会出现前边所述的临界稳定性状态，系统处于等幅 振荡状态，从设计角度不可取（很容易转化为不稳定系统）。
可知：稳定系统在幅值有界输入信号作用下，其输出必定为 幅值有界，而对于不稳定系统来说，不能断言其输出幅值为有界。
13/88
ansn an1sn1 a1s a0 0
sn an1 sn1 an
a1 an
s
a0 an
(S
S1)(S
S2)
(S Sn) 0
16/88
sn an1 sn1 an
a1 an
s
a0 an
(S
S1)(S
S2)
(S Sn) 0
an1
an
(S1
S2
n
Sn ) Si
6 Ｓ0 16
20 16 16 16
29/88
从表中可知：第1例系数无变号，说明系统无右根。 但因为s3辅行的各项系数全为0，说明虚轴上有共轭虚根。 辅助方程：
2s4 12s2 16=0 =2(s2 2)(s2 4)=0
s1,2 2 j, s3,4 2 j
系统处于临界稳定。
30/88
根落在[S]复平面的左半部分，系统即是稳定的。
(二) 线性稳定的条件：
设线性系统在初始条件为0时，输入一个理想单位脉冲
函数 ，t 这时系统的输出是单位脉冲响应。这相当于系统
在扰动信号作用下，输出信号偏离元平衡点的情形。
若线性系统的单位脉冲响应函数 x0(t) 随时间的推移趋
于0，即：lim t
x0
[二、Hurwitz判据]
设系统特征方程为：
an1 an3 an5 0
若有部分闭环极点位于虚轴上，而其余极点全在[S]平面左 半部时，便会出现前边所述的临界稳定性状态，系统处于等幅 振荡状态，从设计角度不可取（很容易转化为不稳定系统）。
可知：稳定系统在幅值有界输入信号作用下，其输出必定为 幅值有界，而对于不稳定系统来说，不能断言其输出幅值为有界。
13/88
ansn an1sn1 a1s a0 0
sn an1 sn1 an
a1 an
s
a0 an
(S
S1)(S
S2)
(S Sn) 0
16/88
sn an1 sn1 an
a1 an
s
a0 an
(S
S1)(S
S2)
(S Sn) 0
an1
an
(S1
S2
n
Sn ) Si
6 Ｓ0 16
20 16 16 16
29/88
从表中可知：第1例系数无变号，说明系统无右根。 但因为s3辅行的各项系数全为0，说明虚轴上有共轭虚根。 辅助方程：
2s4 12s2 16=0 =2(s2 2)(s2 4)=0
s1,2 2 j, s3,4 2 j
系统处于临界稳定。
30/88
根落在[S]复平面的左半部分，系统即是稳定的。
(二) 线性稳定的条件：
设线性系统在初始条件为0时，输入一个理想单位脉冲
函数 ，t 这时系统的输出是单位脉冲响应。这相当于系统
在扰动信号作用下，输出信号偏离元平衡点的情形。
若线性系统的单位脉冲响应函数 x0(t) 随时间的推移趋
于0，即：lim t
x0
[二、Hurwitz判据]
设系统特征方程为：
an1 an3 an5 0
机械工程控制基础 第五章 系统的稳定性
思路
第五章 系统第的一稳章定绪性论
闭环系统稳定
的充 要 条 件： 1 G(s)H (s) 0 的根全部具有负实部
开环频率特性 Gk ( j) 的Nyquist图的性质
分析法 实验法
G( j)H ( j) 的Nyquist曲线 Nyquist判据—几何法
闭环系统 的稳定性
数学基础：复变函数的 幅角原理
机械工程控制基础
第五章 系统第的一稳章定绪性论
[例]某水位控制系统如图，讨论该系统的稳定性。
K0 为被控对象水箱的传递函数；
s
km 为执行电动机的传递函数；
s(Tm s 1)
K1 为进水阀门的传递系数； Kp 为杠杆比； H0 为希望水位高； H 为实际水位高。
H0
_
Kp
km s(Tms 1)
共轭虚根
对称于实轴的两对共轭复根
中南大学机电工程学院
机械工程控制基础
5.3 Nyquist稳定性判据;
第五章 系统第的一稳章定绪性论 Back
5.3.1 系统各特征多项式间的关系 5.3.2 幅角原理 5.3.3 Nyquist稳定性判据 5.3.4 开环含有积分环节
中南大学机电工程学院
机械工程控制基础
i 1
j2
an1
an
(1)1
n i 1
si
各根之和
an2
an
n
(1)2 si s j
i2
每次取两根乘积之和
an3 (1)3
an
n i3
si s j sk
每次取三根乘积之和
a0
an
(1)n
n i 1
si
各根之积
第五章 系统第的一稳章定绪性论
闭环系统稳定
的充 要 条 件： 1 G(s)H (s) 0 的根全部具有负实部
开环频率特性 Gk ( j) 的Nyquist图的性质
分析法 实验法
G( j)H ( j) 的Nyquist曲线 Nyquist判据—几何法
闭环系统 的稳定性
数学基础：复变函数的 幅角原理
机械工程控制基础
第五章 系统第的一稳章定绪性论
[例]某水位控制系统如图，讨论该系统的稳定性。
K0 为被控对象水箱的传递函数；
s
km 为执行电动机的传递函数；
s(Tm s 1)
K1 为进水阀门的传递系数； Kp 为杠杆比； H0 为希望水位高； H 为实际水位高。
H0
_
Kp
km s(Tms 1)
共轭虚根
对称于实轴的两对共轭复根
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机械工程控制基础
5.3 Nyquist稳定性判据;
第五章 系统第的一稳章定绪性论 Back
5.3.1 系统各特征多项式间的关系 5.3.2 幅角原理 5.3.3 Nyquist稳定性判据 5.3.4 开环含有积分环节
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机械工程控制基础
i 1
j2
an1
an
(1)1
n i 1
si
各根之和
an2
an
n
(1)2 si s j
i2
每次取两根乘积之和
an3 (1)3
an
n i3
si s j sk
每次取三根乘积之和
a0
an
(1)n
n i 1
si
各根之积
第5章系统的稳定性
例3： 系统的特征方程为： s 4 3s3 s 2 3s 1 0 试用劳斯判据判别系统的稳定性。 解： ①由特征方程知各项系数为
a0 1, a1 3, a2 1, a3 3, a4 1
1 3 1 3 1 3 1
②
s4 s3 s2 s
0
s1 3 1
因为0<ε<1,则3-(3/ε)<0,表中第一列变号两次，故 系统有两个正根，是不稳定的。
统的稳定性。这是一种代数判据，依据根与系统的关系来 判断根的分布。
胡尔维茨n阶行列式
将系统特征方程的各系数排成如下行列式：
(1)特征方程式的各项系数均大于零，即ai>0
(2)胡尔维茨行列式中，主行列式及其对角线上各子行列式均具有正值。
例1 4 3 2 2 s s 3 s 5s 10 0 系统的特征方程为： 试用胡尔维茨判据判别系统的稳定性。 解： ①由特征方程知各项系数为： a4 2, a3 1, a2 3, a1 5, a0 10 均为正值，满足判据的必要条件ai>0， ②检验第二个条件， 1 a3 1 0
imre1k很小负穿越一次不稳定imre1k较大负正穿越各一次稳定imre1k更大正穿越一次负穿越二次不稳定已知开环乃氏图判断其闭环系统的稳定性bodenyquist轨迹与单位圆交点的频率即对数幅频特性曲线与横轴交点的频率称为剪切频率或幅值穿越频率幅值交界频率记为nyquist轨迹与负实轴交点的频率即对数相频特性曲线与横轴交点的频率称为相位穿越频率或相位交界频率记为bode图上的稳定性判据可定义为
Xo(s)
H(s)
K (s z1 )(s z2 ) ( s zm ) Gk (s) G(s) H ( s) (n m) (s p1 )(s p2 )( s pn )