第五章_弯曲应力

I z y 2 dA y 2 dA I zI I zII
AI AII
平行移轴公式 已知：A，Iz 求：Iz1
I Z 1 y12 dA
A
I Z 1 y a dA
2 A
y 2 dA 2a ydA a 2 dA
A A A
I Z1 I z a2 A
M y zdA 0
A
(d)
y E A z E dA A yzdA 0

A
yzdA称为横截面对y, z轴的惯性积,
通常以I yz表示
(3) 以式(b)代入(e)： E
y

(b)
M z ydA M
A
(e)
y E y E dA y 2 dA M A A
第五章 弯曲应力 (Bending Stresses)
§5-1 梁弯曲时的正应力
§5-2 惯性矩的计算
§5-3 梁弯曲时的强度计算
§5-4 提高梁抗弯能力的措施
*§5-6 梁弯曲时的切应力
§5-1 梁弯曲时的正应力

横截面上正应力
M y dA
A
y z

横截面上切应力
Q dA
解：（1）计算截面的惯性矩
加焊两块盖板后，中性轴z的位置保持不变，设工字 钢对z轴的惯性矩为I’z，每个盖板对z轴的惯性矩为I”z， 则截面对z轴的惯性矩为
I z I ' z 2I "z 自型钢规格表查得 ' z 32240108 m4 I
由平行移轴公式 0.1 0.013 I " z I z1 a 2 A 0.232 0.1 0.01 12 2590108 m 4
故I z I 'z 2I "z 42820 108 m4
（2）校核强度
M
max
Q G l 1 70 15 10.5 223 kN .m
4 4
M max ymax 2231000 0.235 max 122MPa 140MPa 8 Iz 4282010 表明, 经加固后起重量可提高 70kN 到
1
My Iz
(5-3)
My Iz
(5-3)


讨论：

My Iz
(5-3)



对于具有纵向对称面的其他截面形式的同样可以 使用； 对于非纯弯曲，对于跨长与截面高之比大于5的 梁，式(5-3)的计算结果误差很小。在工程实际中， 式(5-3)可以足够精确地推广应用于剪切弯曲的情 况； 不适用于非平面弯曲； 如梁的材料不服从胡克定律或正应力超过了材料 的比例极限，式(5-3)不再适用； 只适用于直梁，而不适用于曲梁，但可近似地用 于曲率半径较梁高大得多的曲梁，对变截面梁也 可近似的应用。
解：（1）作弯矩图，求最大弯矩
M
max
Q G l 1 70 15 10.5 223 kN .m
4 4
（2）校核强度 由表查得45a号工字钢的抗弯截系数
Wz 1430106 m3
故梁的最大工作应力为：
M max 2231000 max 156MPa 140MPa 6 Wz 143010 故不安全, 不能将起重量提高到 kN 70
例5-7 一T形截面铸铁梁。已知P1=8kN，P2=20kN, a=0.6m; 横截面的惯性矩Iz=5.33X106(mm4)；材料的抗 拉强度σb=240MPa，抗压强度σbc=600MPa，取安全系 数n=4，试校核梁的强度。
解：（1）作弯矩图 （2）确定许用应力 分别为： 材料的许用拉应力和许用压应力
（3）求整个截面对中性轴的惯性矩为：
I z I zI I zII 840 103 520 103 1360 103 mm4
作业：
5-2、5-9 (a),(e)
§5-3 梁弯曲时的强度计算
梁纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式：
My Iz
(5-3)
最大正应力位于最大弯矩所在截面上距中性轴最远的地方：
解得 : b 121.6m m
最后选用 250mm2的截面 125
例5-5 一起重量原为50kN的单梁吊车，其跨度l=10.5m, 由45a 号工字钢制成。为发挥其潜力，现拟将起重量提高到 Q=70kN，试校核梁的强度。若强度不够，再计算其可能承 载的起重量。梁的材料为Q235A钢，许用应力[σ]=140MPa； 电葫芦自重为G=15kN，梁自重不计。
M max ymax max Iz
(5-8)
Iz Wz ymax
Wz称为抗弯截面系数，是衡量横截面抗弯强度的一个几何量， 其值与横截面的形状及尺寸有关，单位为m3 或mm3
对于矩形截面：
bh 2 Wz 6 Wz
对于圆形截面：
d 3
32
0.1d 3
对于空心圆形截面：
Wz

A
y 2 dA称为横截面z轴的惯性矩, 是一个仅与横截面的形状
及尺寸有关的几何量， 代表横截面的一个几何性质， 单 位为m 4或mm4
令： I y 2 dA z
A
则有 EI z M

可得梁弯曲时中性层的曲率为：
M EI z
表明：在指定的横截面处，中性层的曲率与该截面上的弯 矩M成正比，与EIz成反比。在同样的弯矩作用下， EIz愈 大，则曲率愈小，即梁愈不易变形，故EIz称为梁的抗弯 刚度。 梁纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式：
T max
M max 3000 y1 0.0152 178 106 Pa Iz 25.6 10 8
下缘受最大压应力
C max
M max 3000 y2 0.0328 385 106 Pa Iz 25.6 10 8
§5-2 惯性矩的计算
1、简单截面的惯性矩 （1）矩形截面
（3）计算承载能力 梁允许的最大弯矩为
M max Wz 200kN .m 则由M max
Q G l 得
4
4 M max Q G 61.3kN l
故按梁的强度，原吊车只允许吊运61.3kN的重量
例5-6 在上例中，为使吊车的起重量提高到70kN，可在工字 梁上、下翼缘上加焊两块盖板。现设盖板的截面尺寸为： 100X10(mm2)，试校核加焊盖板后梁的强度。
整个截面的形心C至z’轴 的距离为：
Ai yi y 'C A 1200 50 1200 10 30mm 1200 1200
(2) 求各组成部分对中性轴z 的惯性矩 设两矩形的形心 轴为z1和z2，它们对中性轴z 的距离分别为：
aI CCI 20mm, aII CCII 20mm
I P D 4 Iz Iy 2 64
对于外径为D内径为d的圆环形截面
IP Iz Iy D 4 d 4 2 64 或 I P D 4 1 4 Iz Iy 2 64 d 式中 D
2、组合截面的惯性矩 平行移轴公式
组合截面对某一轴的惯性矩等于其各个组成部分对同一轴 的惯性矩之和。

240 60MPa t n 4 c 600 c 150 MPa n 4 （3）校核强度 M A y1 4.8 103 80 10 3 72MPa c 截面A下边缘处： c 6 12 Iz 5.33 10 10
M A y2 4.8 103 40 10 3 36MPa t 截面A上边缘处： t 6 12 Iz 5.33 10 10 M C y1 3.6 103 80 10 3 54MPa t 截面C下边缘处： t 6 12 Iz 5.33 10 10
D 3
32
1 0.1D 1
4 3 4
最大正应力的计算式可表为：
M max max Wz
梁弯曲的正应力强度条件：
M max max Wz
例5-3 一矩形截面木梁，已知P=10kN, a=1.2m; 木材的许用 应力[σ]=10Mpa，设梁横截面的高宽比为h/b=2 ，试选择 梁的截面尺寸；
A
在AC、DB两段梁内， 横截面上同时存在 弯矩M和切力Q，这 种弯曲称为横力弯 曲或剪切弯曲；
在CD段梁内各横截 面上，切力Q为零弯 矩M为常量，这种 弯曲称为纯弯曲；
1、变形几何条件
取长为dx的微段梁来分析； 取横截面的对称轴为y轴， 并取z轴与截面的中性轴 重合。研究距中性层y处 纵向纤维ab的变形。
同理：
I y1 I y b 2 A
例5-2 已知一T字形截面，求其对中性轴Z的惯性矩
解：（1）确定形心和中性轴 的位置 将截面划分为I, II两个矩形， 取与截面底边相重合的z’轴为 参考轴。
AI 20 60 1200mm2 60 50mm 2 AII 60 20 1200mm2 y ' I 20 20 y ' II 10mm 2
E
可得：
E
y

(b)
3、静力学关系
截面上各处的法向内力元 素构成了一个空间平行力 系，它可能组成三个内力： 平行于x轴的轴力N，对y 轴和z轴的力偶矩My和Mz
N dA 0
A
(c)
(d) (e)
M y zdA 0
A
M z ydA M
A
(1) 以式(b)代入(c)：
对z轴的惯性矩：
I z y dA
2 A
h 2 h 2
y y bdy b 3