随机数学选讲
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k 1
n
( k 2 / n 2 1 ) n
k 1
n
3 2
1 2
0
练习：
1.已知X ~ N (0,1), 求Y | X | 和Z | X | 的概率密度 与数学期望 .
1 2
2.设某电话总机要为2000个用户服务，在最忙时， 平均每户有3%的时间占线，假设各户是否打电话是 相互独立的，问若想以99%的可能性满足用户的要 求，最少需要多少条线路？
lim
n
1
2 Bn
E | X k k | 2 0
k 1
n
则有 1 lim P n Bn ( X k k ) x ( x ) k 1
n
例5.设X 1 , X 2 ,..., X n ,... 独立随机变量序列，其 分布律为 1 1 P ( X n n ) P ( X n n ) , 试证明 时中心 2 2 n 1 p p 1 极限定理成立。 ( lim k /n , p 1)
E g( X , Y ) g( x i , y j )p ij (离散)
j 1 i 1
g(x, y ) f ( x, y )dxdy (连续)
例1.计算几何分布 ~ g ( p)的数学期望 其分布 X , 律为 p k q k 1 p, k 1,2,
身高在168cm以下的概率为 p P ( X 168) P ( X 168 168
) (
)
其估计值为 ˆ 168 168 172.70 ˆ p ( ) ( ) ( 1.172) ˆ 4.01
1 (1.172) 1 0.879 0.121
购买三种糕点的顾客的比例为25%，50%，25%，且
相互独立，求商店售出1000块糕点的平均价格在1.96
~2.04元之间的概率。
例5. 某产品的次品率为p(未知)，抽取样品用频率 来估计概率p,为了以90%以上的把握保障误差在 1%范围内，应抽查多少产品？若已知p=0.1呢？
怎么破
林德贝格中心极限定理
2 设{ X n }为独立随机变量序列， k k , DX k k , EX 2 2 B n k , 若对任意 0, 林德贝格条件成立 k 1 n
1 lim 2 2 n B n 则有 1 lim P n Bn
k 1 n
n
| x k |Bn
n
德莫佛-拉普拉斯定理:
设 n , n 1, 2, 独立同服从二项分布B(n, p), 则对于y R, 恒有 n np lim P y (y) n np(1 p)
例4. 商店出售价格为1元、2元、3元三种糕点，其中
解：EX k q k 1 p
k 1
q p( q ) p( ) 1 q k 1
k
1 1 p 2 p (1 q )
例2 . 求伽玛分布的数学期望。
p x p 1 e x , x 0, f ( x ) ( p) 0, x 0.
解：EX x f(x)dx 0 x k e x dx
k k -
1
k
0
t e dt( 做变换t x )
k t
1
k
( k 1)
k!
k
, k 1,2,...
例4.(一种验血新技术)普查某种疾病，有N个人去验 血(N很大)，两种办法: (1)每个人分别化验,需N次； (2)k个人一组混合化验，如果呈阴性，一次即可， 如果呈阳性，则需对该组每个人重新化验一次，共 k+1次。每个人阳性反应的概率为p，且反应独立， 比较两种方法的优劣，并计算最优的k值。
则称随机变量 服从正态分布 ( , 2 ). X N
EX表示X的期望 2 DX E ( X EX ) 2 表示X的方差
密度曲线：
(1) f ( h) f ( h)
( 2) 最大值 f( ) 1 2 .
应用背景： 同类产品的抗压强度、口径、长度等指标； 同一种生物体的身长、体重等指标； 测量同一物体的误差、弹着点的偏差； 某个地区的年降水量、农作物产量等等。 研究历史： 1733年 A.德莫弗求二项分布的渐近公式 C.F.高斯研究天文学和测量误差 P.S.拉普拉斯将之与中心极限定理联系起来
1 4000 E H ( x ) f ( x )dx 2000 H ( x )dx 2000
独立同分布中心极限定理:
设X k , k 1,2,... 独立同分布随机变量序 列，且 E ( X k ) , D( X k ) 2 .令Yn
则有 lim Fn ( y ) lim P(Yn y) ( y )，y R
n n
X
k 1
n
k
n ，
解：EX
-
xf(x)dx
0
x
p
( p )
x p 1 e x dx
( p 1) ( p )
p 1
( p 1)
0
x ( p 1)1 e x dx
p
例3. 设X ~ e( ), 其密度函数为 : e -x , x 0, f(x) 0, x 0. 求EX k .
( x) 1 ( x).
正态分布的概率计算：
例1 若X ~ N( , 2 ), 则可计算
P ( X ) P ( 1 X
1)
(1) ( 1) 2(1) 1 0.6827
P (2 X 2 ) 2(2) 1 0.9772
3. 若X i ~ N( i , i2 ), i 1,2,..., n, 相互独立， 则 k i X i ~ N( k i i , k i2 i2 ).
i 1 i 1 i 1 n n n
1.2 中心极限定理及其应用 中心极限定理
1. 是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布 为极限的一组定理 2. 这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础
k
例5. 某商品的市场需求量X服从[2000,4000](吨)上的 均匀分布，每售出一吨挣3万元，售不出去则每吨需 保养费1万元，问应组织多少吨货源能使收益最大化
解：设y为进货量， [2000,4000], 收益为，则 y
3 y, X y H(X ) 3 X ( y X ), X y 于是
( x k )dFk ( x ) 0
( X k k ) x ( x ) k 1
李雅普诺夫中心极限定理
2 设{ X n }为独立随机变量序列， k k , DX k k , EX 2 B k , 若对任意 0, 李雅普诺夫条件成立 2 n k 1 n
h 172 2.33 h 186(厘米) 6
例3.某地抽样调查了100名18岁男大学生身高, 其均值为172.70cm，标准差s为4.01cm,估计该 地18岁男大学生身高在168cm以下者占的比例。
解：假定身高 ~ N ( , 2 ), 依题意则有 X ˆ ˆ X 172.70, s 4.01
3. 给出了大量随机变量之和近似服从正态分布的 条件
发展历史：
1.第一个中心极限定理是1733年法国数学家棣莫弗 研究投币问题时发现的,他用正态分布估计正面数 2.法国数学家拉普拉斯在1812年发表的巨著《分 析概率论》，指出二项分布可用正态分布逼近。 3.十九世纪末中心极限定理的重要性才被世人所知 4.1901年，俄国数学家里雅普诺夫用普通的随机变 量定义中心极限定理并在数学上进行了精确的证明
3. 抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个， 就认为这批产品不能够接受，问应检查多少个产品 可使次品率为10%的产品不被接受的概率达到0.9？
4.设X 1 , X 2 ,...为独立随机变量序列， 它们一致有界，即 存在常数 0, 使 a P (| X n | a) 1, n 1,2,... 1 又 lim B , 证明当n 时， n Bn
P (3 X 3 ) 2(3) 1 0.9987
例2 公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头机 会在0.01以下设计的，设男子身高XN(172,62)(厘 米），问车门高度应为多少？
解：设车门高度为h,按题意有 P(X>h)<0.01
h 172 P ( X h) 1 F (h) 1 ( ) 0.01 6 h -172 即 Φ( ) > 0.99,查表可得 6
随机数学选讲
目录： 1.正态分布与中心极限定理 2.随机变量的数学期望及应用 3.条件概率与条件数学期望 4.大数定律与蒙特卡洛方法
第一章 正态分布与中心极限定理
1.1 正态分布的基本分布理论
定义：若随机变量 的概率密度为 X f (x) 1 2
( x )2 2 2
e
, x ,
k 1 k 1
学期望.
定义2 : 设X的概率密度为 , 若积分 |x|f(x) f(x) dx
-
收敛, 则称E(X)
-
xf(x)dx为X的数学期望 .
随机变量函数的期望公式：
E g( X ) g(xk )p k (离散)
k 1
-
g(x)f(x)dx (连续)
1 1 k P( X ) q , P( X 1 ) 1 qk k k 1 k 1 1 k k EX q (1 ) (1 q ) 1 q k k k
N 1000 , p 0.001 , k 10 ; 1 当q 0时，方法（ 2 ）可减少验血次数。 k N 5000, p 0.0004, k 16. 1 k 如p 0.1, 取k 4, 则q 0.4, ( 2)可减少40%的工作量 k
标准正态分布与标准化变换
标准正态分布 X ~ N (0,1) :
命题1： X ~ N( , ), 则Y 若
2
X
(Y
X
~ N (0,1).
称为标准化变换 )
F ( x) P( X x) P( (
X
x
x
)
)
命题2：标准正态分布的对称性
正态分布的性质：
1. 若X ~ N( , ), 则aX b ~ N(a b, a )
2 2 2
2 2. 若X ~ N( 1 , 12 ), Y ~ N( 2 , 2 ), 且X和Y独立， 2 则 X Y ~ N( 1 2 , 12 2 ).
n Leabharlann k 1p1
1 证明：取 1，当 时可证李雅普诺夫条件 成立 2
1 lim 3 n B n
E | X k k | 3 lim k 3 /( k 2 )
k 1 n k 1 k 1
n
n
n
3 2
lim
n
k 3 / n 3 1
2 n
(X
k 1
n
k
- k )的分布函数
关于x R一致收敛于 (0,1)的分布函数。 N （应用李雅普诺夫中心 极限定理）
第二章 数学期望及其应用
2.1 数学期望的计算
定义1 : 设离散型随机变量 的分布律为: X P X x k p k , k 1, 2 , 若级数 | x k | p k 收敛, 则称 E(X) x k p k 为X的数
n
( k 2 / n 2 1 ) n
k 1
n
3 2
1 2
0
练习：
1.已知X ~ N (0,1), 求Y | X | 和Z | X | 的概率密度 与数学期望 .
1 2
2.设某电话总机要为2000个用户服务，在最忙时， 平均每户有3%的时间占线，假设各户是否打电话是 相互独立的，问若想以99%的可能性满足用户的要 求，最少需要多少条线路？
lim
n
1
2 Bn
E | X k k | 2 0
k 1
n
则有 1 lim P n Bn ( X k k ) x ( x ) k 1
n
例5.设X 1 , X 2 ,..., X n ,... 独立随机变量序列，其 分布律为 1 1 P ( X n n ) P ( X n n ) , 试证明 时中心 2 2 n 1 p p 1 极限定理成立。 ( lim k /n , p 1)
E g( X , Y ) g( x i , y j )p ij (离散)
j 1 i 1
g(x, y ) f ( x, y )dxdy (连续)
例1.计算几何分布 ~ g ( p)的数学期望 其分布 X , 律为 p k q k 1 p, k 1,2,
身高在168cm以下的概率为 p P ( X 168) P ( X 168 168
) (
)
其估计值为 ˆ 168 168 172.70 ˆ p ( ) ( ) ( 1.172) ˆ 4.01
1 (1.172) 1 0.879 0.121
购买三种糕点的顾客的比例为25%，50%，25%，且
相互独立，求商店售出1000块糕点的平均价格在1.96
~2.04元之间的概率。
例5. 某产品的次品率为p(未知)，抽取样品用频率 来估计概率p,为了以90%以上的把握保障误差在 1%范围内，应抽查多少产品？若已知p=0.1呢？
怎么破
林德贝格中心极限定理
2 设{ X n }为独立随机变量序列， k k , DX k k , EX 2 2 B n k , 若对任意 0, 林德贝格条件成立 k 1 n
1 lim 2 2 n B n 则有 1 lim P n Bn
k 1 n
n
| x k |Bn
n
德莫佛-拉普拉斯定理:
设 n , n 1, 2, 独立同服从二项分布B(n, p), 则对于y R, 恒有 n np lim P y (y) n np(1 p)
例4. 商店出售价格为1元、2元、3元三种糕点，其中
解：EX k q k 1 p
k 1
q p( q ) p( ) 1 q k 1
k
1 1 p 2 p (1 q )
例2 . 求伽玛分布的数学期望。
p x p 1 e x , x 0, f ( x ) ( p) 0, x 0.
解：EX x f(x)dx 0 x k e x dx
k k -
1
k
0
t e dt( 做变换t x )
k t
1
k
( k 1)
k!
k
, k 1,2,...
例4.(一种验血新技术)普查某种疾病，有N个人去验 血(N很大)，两种办法: (1)每个人分别化验,需N次； (2)k个人一组混合化验，如果呈阴性，一次即可， 如果呈阳性，则需对该组每个人重新化验一次，共 k+1次。每个人阳性反应的概率为p，且反应独立， 比较两种方法的优劣，并计算最优的k值。
则称随机变量 服从正态分布 ( , 2 ). X N
EX表示X的期望 2 DX E ( X EX ) 2 表示X的方差
密度曲线：
(1) f ( h) f ( h)
( 2) 最大值 f( ) 1 2 .
应用背景： 同类产品的抗压强度、口径、长度等指标； 同一种生物体的身长、体重等指标； 测量同一物体的误差、弹着点的偏差； 某个地区的年降水量、农作物产量等等。 研究历史： 1733年 A.德莫弗求二项分布的渐近公式 C.F.高斯研究天文学和测量误差 P.S.拉普拉斯将之与中心极限定理联系起来
1 4000 E H ( x ) f ( x )dx 2000 H ( x )dx 2000
独立同分布中心极限定理:
设X k , k 1,2,... 独立同分布随机变量序 列，且 E ( X k ) , D( X k ) 2 .令Yn
则有 lim Fn ( y ) lim P(Yn y) ( y )，y R
n n
X
k 1
n
k
n ，
解：EX
-
xf(x)dx
0
x
p
( p )
x p 1 e x dx
( p 1) ( p )
p 1
( p 1)
0
x ( p 1)1 e x dx
p
例3. 设X ~ e( ), 其密度函数为 : e -x , x 0, f(x) 0, x 0. 求EX k .
( x) 1 ( x).
正态分布的概率计算：
例1 若X ~ N( , 2 ), 则可计算
P ( X ) P ( 1 X
1)
(1) ( 1) 2(1) 1 0.6827
P (2 X 2 ) 2(2) 1 0.9772
3. 若X i ~ N( i , i2 ), i 1,2,..., n, 相互独立， 则 k i X i ~ N( k i i , k i2 i2 ).
i 1 i 1 i 1 n n n
1.2 中心极限定理及其应用 中心极限定理
1. 是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布 为极限的一组定理 2. 这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础
k
例5. 某商品的市场需求量X服从[2000,4000](吨)上的 均匀分布，每售出一吨挣3万元，售不出去则每吨需 保养费1万元，问应组织多少吨货源能使收益最大化
解：设y为进货量， [2000,4000], 收益为，则 y
3 y, X y H(X ) 3 X ( y X ), X y 于是
( x k )dFk ( x ) 0
( X k k ) x ( x ) k 1
李雅普诺夫中心极限定理
2 设{ X n }为独立随机变量序列， k k , DX k k , EX 2 B k , 若对任意 0, 李雅普诺夫条件成立 2 n k 1 n
h 172 2.33 h 186(厘米) 6
例3.某地抽样调查了100名18岁男大学生身高, 其均值为172.70cm，标准差s为4.01cm,估计该 地18岁男大学生身高在168cm以下者占的比例。
解：假定身高 ~ N ( , 2 ), 依题意则有 X ˆ ˆ X 172.70, s 4.01
3. 给出了大量随机变量之和近似服从正态分布的 条件
发展历史：
1.第一个中心极限定理是1733年法国数学家棣莫弗 研究投币问题时发现的,他用正态分布估计正面数 2.法国数学家拉普拉斯在1812年发表的巨著《分 析概率论》，指出二项分布可用正态分布逼近。 3.十九世纪末中心极限定理的重要性才被世人所知 4.1901年，俄国数学家里雅普诺夫用普通的随机变 量定义中心极限定理并在数学上进行了精确的证明
3. 抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个， 就认为这批产品不能够接受，问应检查多少个产品 可使次品率为10%的产品不被接受的概率达到0.9？
4.设X 1 , X 2 ,...为独立随机变量序列， 它们一致有界，即 存在常数 0, 使 a P (| X n | a) 1, n 1,2,... 1 又 lim B , 证明当n 时， n Bn
P (3 X 3 ) 2(3) 1 0.9987
例2 公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头机 会在0.01以下设计的，设男子身高XN(172,62)(厘 米），问车门高度应为多少？
解：设车门高度为h,按题意有 P(X>h)<0.01
h 172 P ( X h) 1 F (h) 1 ( ) 0.01 6 h -172 即 Φ( ) > 0.99,查表可得 6
随机数学选讲
目录： 1.正态分布与中心极限定理 2.随机变量的数学期望及应用 3.条件概率与条件数学期望 4.大数定律与蒙特卡洛方法
第一章 正态分布与中心极限定理
1.1 正态分布的基本分布理论
定义：若随机变量 的概率密度为 X f (x) 1 2
( x )2 2 2
e
, x ,
k 1 k 1
学期望.
定义2 : 设X的概率密度为 , 若积分 |x|f(x) f(x) dx
-
收敛, 则称E(X)
-
xf(x)dx为X的数学期望 .
随机变量函数的期望公式：
E g( X ) g(xk )p k (离散)
k 1
-
g(x)f(x)dx (连续)
1 1 k P( X ) q , P( X 1 ) 1 qk k k 1 k 1 1 k k EX q (1 ) (1 q ) 1 q k k k
N 1000 , p 0.001 , k 10 ; 1 当q 0时，方法（ 2 ）可减少验血次数。 k N 5000, p 0.0004, k 16. 1 k 如p 0.1, 取k 4, 则q 0.4, ( 2)可减少40%的工作量 k
标准正态分布与标准化变换
标准正态分布 X ~ N (0,1) :
命题1： X ~ N( , ), 则Y 若
2
X
(Y
X
~ N (0,1).
称为标准化变换 )
F ( x) P( X x) P( (
X
x
x
)
)
命题2：标准正态分布的对称性
正态分布的性质：
1. 若X ~ N( , ), 则aX b ~ N(a b, a )
2 2 2
2 2. 若X ~ N( 1 , 12 ), Y ~ N( 2 , 2 ), 且X和Y独立， 2 则 X Y ~ N( 1 2 , 12 2 ).
n Leabharlann k 1p1
1 证明：取 1，当 时可证李雅普诺夫条件 成立 2
1 lim 3 n B n
E | X k k | 3 lim k 3 /( k 2 )
k 1 n k 1 k 1
n
n
n
3 2
lim
n
k 3 / n 3 1
2 n
(X
k 1
n
k
- k )的分布函数
关于x R一致收敛于 (0,1)的分布函数。 N （应用李雅普诺夫中心 极限定理）
第二章 数学期望及其应用
2.1 数学期望的计算
定义1 : 设离散型随机变量 的分布律为: X P X x k p k , k 1, 2 , 若级数 | x k | p k 收敛, 则称 E(X) x k p k 为X的数