浙教版八年级数学上册基础训练1-5三角形全等的判定(三)
浙教版数学(八上)巩固练习 1.5 全等三角形的判定(解析版)
第1章三角形的初步认识1.5 三角形全等的判定知识提要1.三角形全等的判定：（1）三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）；（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）；（3）两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等（简写“角边角”或“ASA”）；（4）两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）；2．三角形的稳定性：当三角形的三条边长确定时，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫做三角形的稳定性．3．垂直平分线的概念、性质：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．4．角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．练习一、选择题1．（2019春•顺德区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，不能判定∥ABD∥∥CDB 的条件是（B）A．AB＝CD B．AD＝BC C．AD∥BC D．∥A＝∥C【答案】解：∥AB∥CD，∥∥ABD＝∥CDB，而BD＝DB，∥当AB＝CD时，根据“SAS”可判断∥ABD∥∥CDB；当∥A＝∥C时，根据“AAS”可判断∥ABD∥∥CDB；当∥ADB＝∥CBD或AD∥BC时，根据“ASA”可判断∥ABD∥∥CDB．故选：B．2．如图，已知AD＝BC，∥1＝∥2，则下列说法正确的是（D）A．BD＝AC B．∥D＝∥C C．∥DAB＝∥CBA D．以上说法都不对【答案】解：由AD＝BC，∥1＝∥2，AB＝BA，无法得出∥ADB与∥BCA全等，所以无法得出BD＝AC，∥D＝∥C，∥DAB＝∥CBA，故选：D．3.（2019春•市中区期末）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长至D，使CD＝CA，连接BC并延长至E，使CE＝CB，连接ED．若量出DE＝58米，则A，B间的距离即可求．依据是（A）A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA解：在∥ABC和∥DEC中，，∥ABC∥∥DEC（SAS），∥AB＝DE＝58米，4.（2019春•普宁市期末）如图，已知∥B＝∥D，那么添加下列一个条件后，能判定∥ABC∥∥ADC的是（A）A.∥BAC＝∥DAC B．AC＝ACC．AB＝AD D．CB＝CD【答案】解：A、添加∥BAC＝∥DAC，根据AAS，能判定∥ABC∥∥ADC，故A选项符合题意；B、AC是公共边，属于已知条件，不能判定∥ABC∥∥ADC，故B选项不符合题意；C、添加AB＝AD，根据SSA，不能判定∥ABC∥∥ADC，故C选项不符合题意；D、添加CB＝CD时，根据SSA，不能判定∥ABC∥∥ADC，故D选项不符合题意；故选：A．5．(泰州中考)如图，在∥ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是( D)A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对【解】∥D是BC的中点，∥BD＝CD.又∥AB＝AC，AD＝AD，∥∥ABD∥∥ACD(SSS)，∥∥BDO＝∥CDO＝90°.∥EF垂直平分AC，∥OA＝OC，AE＝CE.又∥OE＝OE，∥∥AOE∥∥COE(SSS)．∥BD＝CD，∥BDO＝∥CDO，OD＝OD，∥∥BOD∥∥COD(SAS)．∥AC＝AB，OA＝OA，OC＝OB，∥∥AOC∥∥AOB(SSS)．综上所述，共有4对全等三角形．6．（2019春•张店区期末）如图，AB＝DB，∥ABD＝∥CBE，∥BE＝BC，∥∥D＝∥A，∥∥C＝∥E，∥AC＝DE，能使∥ABC∥∥DBE的条件有（C）个．A．1B．2C．3D．4【答案】解：∥AB＝DB，∥ABD＝∥CBE，∥∥ABC＝∥DBE，∥BE＝BC，利用SAS可得∥ABC∥∥DBE；∥∥D＝∥A，利用ASA可得∥ABC∥∥DBE；∥∥C＝∥E，利用AAS可得∥ABC∥∥DBE；7.（2018秋•和平区期末）已知AD是∥ABC的边BC上的中线，AB＝12，AC＝8，则边BC及中线AD的取值范围分别是（）A．4＜BC＜20，2＜AD＜10B．4＜BC＜20，4＜AD＜20C．2＜BC＜10，2＜AD＜10D．2＜BC＜10，4＜AD＜20【答案】解：如图所示，在∥ABC中，则AB﹣AC＜BC＜AB+AC，即12﹣8＜BC＜12+8，4＜BC＜20，延长AD至点E，使AD＝DE，连接BE，∥AD是∥ABC的边BC上的中线，∥BD＝CD，又∥ADC＝∥BDE，AD＝DE∥∥ACD∥∥EBD（SAS），∥BE＝AC，在∥ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即AB﹣AC＜AE＜AB+AC，12﹣8＜AE＜12+8，即4＜AE＜20，∥2＜AD＜10．故选：A．8.（2018秋•天河区期末）如图，已知AB＝AC，AF＝AE，∥EAF＝∥BAC，点C、D、E、F共线．则下列结论∥∥AFB∥∥AEC；∥BF＝CE；∥∥BFC＝∥EAF；∥AB＝BC．正确的是（A）A．∥∥∥B．∥∥∥C．∥∥D．∥∥∥∥【答案】解：∥∥EAF＝∥BAC，∥∥BAF＝∥CAE，∥AF＝AE，AB＝AC，∥∥FAB∥∥EAC（SAS），故∥正确，∥BF＝EC，故∥正确，∥∥ABF＝∥ACE，∥∥BDF＝∥ADC，∥∥BFC＝∥DAC，∥∥DAC＝∥EAF，∥∥BFC＝∥EAF，故∥正确，无法判断AB＝BC，故∥错误，故选：A．9.如图，已知AE∥AB 且AE ＝AB ，BC∥CD 且BC ＝CD ，按照图中所标注的数据，则图中阴影部分的面积S 是( A )A. 50B. 62C. 65D. 68【解】 ∥EF∥AC ，BG∥AC ，∥∥EFA ＝∥AGB ＝90°，∥FEA ＋∥EAF ＝90°. ∥EA∥AB ，∥∥EAB ＝90°，∥∥EAF ＋∥GAB ＝90°，∥∥FEA ＝∥GAB.又∥AE ＝BA ，∥∥EFA∥∥AGB(AAS)，∥AF ＝BG ，EF ＝AG. 同理，∥BGC∥∥CHD ，∥GC ＝HD ，BG ＝CH ， ∥FH ＝FA ＋AG ＋GC ＋CH ＝3＋6＋4＋3＝16， ∥S 阴影＝12×(6＋4)×16－12×3×4×2－12×6×3×2＝50.二、填空题1．如图，在∥ABC 中，∥C ＝90°，E 为边AB 的中点，ED∥AB ，交BC 于点D ，且∥CAD∥∥BAD ＝1∥7，则∥BAC ＝48°．2. 如图，在∥ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∥BAC ，交BC 于点D ，DE∥AB 于点E ，DF∥AC 于点F ，有下列结论：∥DE ＝DF ；∥BD ＝CD ；∥AD 上任意一点到AB ，AC 的距离相等；∥AD 上任意一点到点B ，C 的距离相等．其中正确的是∥∥∥∥(填序号)．3．如图，在∥ABC中，AB＝8，AC＝6，AD是BC边上的中线，则AD长的取值范围是1<AD<7．【解】延长AD至点E，使DE＝AD，连结CE.∥AC＋CE＞AE，且可证CE＝AB，∥AC＋AB＞2AD，∥AD＜7.∥AB－AC＜2AD，∥AD＞1.∥1＜AD＜7.4. 在如图所示的4×4正方形网格中，∥1＋∥2＋∥3＋∥4＋∥5＋∥6＋∥7＝315°．【解】由图可知，∥1所在的最大的直角三角形与∥7所在的最大的直角三角形全等，∥∥1＋∥7＝90°.同理，∥2＋∥6＝90°，∥3＋∥5＝90°.又∥∥4＝45°，∥∥1＋∥2＋∥3＋∥4＋∥5＋∥6＋∥7＝315°.三、解答题1. 如图，∥ABC的两条角平分线BD，CE交于点O，∥A＝60°.求证：CD＋BE＝BC.【解】在BC上取一点F，使BF＝BE，连结OF.∥BD，CE分别平分∥ABC，∥ACB，∥∥ABD＝∥CBD，∥ACE＝∥BCE.∥BE＝BF，∥EBO＝∥FBO，BO＝BO，∥∥EBO∥∥FBO(SAS)，∥∥EOB＝∥FOB.∥∥A＝60°，∥∥ABC＋∥ACB＝120°，∥∥OBC＋∥OCB＝120°÷2＝60°，∥∥COB＝120°，∥∥EOB＝∥DOC＝60°，∥∥FOB＝∥EOB＝60°，∥∥FOC＝∥COB－∥FOB＝60°，∥∥FOC＝∥DOC.又∥OC＝OC，∥FCO＝∥DCO，∥∥OFC∥∥ODC(ASA)，∥CD＝CF，∥BC＝BF＋CF＝BE＋CD.2．如图，在∥ABC中，∥A＝90°，AB＝AC，∥ABC的平分线BD交AC于点D，CE∥BD，交BD的延长线于点E.试猜想CE与BD的数量关系，并说明理由．【解】CE＝12BD.理由如下：延长CE交BA的延长线于点F.∥BE平分∥ABC，∥∥EBC＝∥EBF.∥CE∥BD，∥∥BEC＝∥BEF＝90°.又∥BE＝BE，∥∥BEC∥∥BEF(ASA)，∥CE＝FE＝12CF.∥∥ABD＋∥ADB＝∥ACF＋∥CDE＝90°，∥ADB＝∥CDE，∥∥ABD＝∥ACF.又∥AB＝AC，∥BAD＝∥CAF＝90°，∥∥BAD∥∥CAF(ASA)，∥BD＝CF，∥CE＝12CF＝12BD.3．（2019春•牡丹区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F．（1）求证：∥DAE∥∥CFE；（2）若AB＝BC+AD，求证：BE∥AF．【答案】证明：（1）∥DAE∥∥CFE理由如下：∥AD∥BC（已知），∥∥ADC＝∥ECF（两直线平行，内错角相等），∥E是CD的中点（已知），∥DE＝EC（中点的定义）．∥在∥ADE与∥FCE中，，∥∥ADE∥∥FCE（ASA）；（2）由（1）知∥ADE∥∥FCE，（3）∥AE＝EF，AD＝CF，∥AB＝BC+AD，∥AB＝BC+CF，即AB＝BF，在∥ABE与∥FBE中，，∥∥ABE∥∥FBE（SSS），∥∥AEB＝∥FEB＝90°，∥BE∥AE；4．问题情境：如图1，在直角三角形ABC中，∥BAC=90°，AD∥BC于点D，可知：∥BAD=∥C（不需要证明）；特例探究：如图2，∥MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∥MAN的边AM、AN上，且AB=AC，CF∥AE于点F，BD∥AE于点D．证明：∥ABD∥∥CAF；归纳证明：如图3，点B，C在∥MAN的边AM、AN上，点E，F在∥MAN内部的射线AD上，∥1、∥2分别是∥ABE、∥CAF的外角．已知AB=AC，∥1=∥2=∥BAC．求证：∥ABE∥∥CAF；拓展应用：如图4，在∥ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∥1=∥2=∥BAC．若∥ABC的面积为15，则∥ACF与∥BDE的面积之和为____________．解：特例探究：∥CF∥AE，BD∥AE，∥MAN=90°，∥∥BDA=∥AFC=90°，∥∥ABD+∥BAD=90°，∥BAD+∥CAF=90°，∥∥ABD=∥CAF，在∥ABD和∥CAF中，∥∥∥ABD∥∥CAF（AAS）；归纳证明：∥∥1=∥2=∥BAC，∥1=∥BAE+∥ABE，∥BAC=∥BAE+∥CAF，∥2=∥FCA+∥CAF，∥∥ABE=∥CAF，∥BAE=∥FCA，在∥ABE和∥CAF中，∥∥∥ABE∥∥CAF（ASA）；拓展应用：∥∥ABC的面积为15，CD=2BD，∥∥ABD的面积是：×15=5，由上题易得∥ABE∥∥CAF，∥∥ACF与∥BDE的面积之和等于∥ABE与∥BDE的面积之和，即等于∥ABD的面积是5．。
1.5 三角形全等的判定(三) 八年级数学上册基础训练 浙教版(Word版,含答案)
1.5 三角形全等的判定（三）1．如图，某同学不小心将一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是(C)A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去,(第1题)),(第2题)) 2．如图，点B，E在线段CD上，若∠C＝∠D，则添加下列条件，不一定能使△ABC≌△EFD的是(C)A. BC＝FD，AC＝EDB. ∠A＝∠DEF，AC＝EDC. AC＝ED，AB＝EFD. ∠ABC＝∠EFD，BC＝FD3．根据下列已知条件，能画出唯一△ABC的是(C)A. AB＝3，BC＝4，∠C＝50°B. AB＝4，BC＝3，∠A＝30°C. ∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4D. ∠C＝90°，AB＝64．如图，AD和CB相交于点E，BE＝DE，请添加一个条件，使△ABE≌△CDE，你所添加的条件是∠B＝∠D(答案不唯一)(只添一个即可)．,(第4题)),(第5题)) 5．如图，∠BAC＝∠DAE，∠ABD＝∠ACE，AB＝A C.求证：BD＝CE.【解】∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE.又∵AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，∴△ABD≌△ACE(ASA)．∴BD＝CE.(第6题)6．如图，在△ABD 和△ACE 中，有下列判断：①AB ＝AC ；②∠B ＝∠C ；③∠BAC ＝∠EAD ；④AD ＝AE .请用其中的三个判断作为条件，余下的一个判断作为结论(用序号⊗⊗⊗⇒⊗的形式)，写出一个由三个条件能推出结论成立的式子，并说明理由．【解】 ①②③⇒④或①③④⇒②或②③④⇒①. 如证①②③⇒④.证明：∵∠BAC ＝∠EAD ，∴∠BAD ＝∠CAE . 又∵∠B ＝∠C ，AB ＝AC ， ∴△BAD ≌△CAE (ASA )．∴AD ＝AE .(第7题)7．如图，已知∠CAB ＝∠DBA ，∠CBD ＝∠DA C.求证：BC ＝A D. 【解】 ∵∠DBA ＝∠CAB ，∠CBD ＝∠DAC ， ∴∠CBA ＝∠DA B.在△BCA 与△ADB 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠CAB ＝∠DBA ，BA ＝AB ，∠CBA ＝∠DAB ，∴△BCA ≌△ADB (ASA )．∴BC ＝A D.(第8题)8．如图，E 是BC 边上一点，AB ⊥BC 于点B ，DC ⊥BC 于点C ，AB ＝BC ，∠A ＝∠CBD ，AE 与BD 交于点O ，有下列结论：①AE ＝BD ；②AE ⊥BD ；③BE ＝CD ；④△AOB 的面积等于四边形CDOE 的面积．其中正确的结论有(D )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解】 易证△ABE ≌△BCD (ASA )， 可得AE ＝BD ，BE ＝CD ，S △ABE ＝S △BCD ， 得S △ABE －S △BOE ＝S △BCD －S △BOE ， 即S △AOB ＝S 四边形CDOE ，故①③④正确． 由∠A ＝∠CBD ，∠ABD ＋∠CBD ＝90°， 可得∠A ＋∠ABD ＝90°，∴∠AOD ＝90°，即AE ⊥BD ，故②正确．(第9题)9．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：AC 垂直平分B D.【解】 在△ABC 和△ADC 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2，AC ＝AC ，∠3＝∠4，∴△ABC ≌△ADC (ASA )．∴AB ＝A D.在△AOB 和△AOD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠1＝∠2，AO ＝AO ，∴△AOB ≌△AOD (SAS )． ∴OB ＝OD ，∠AOB ＝∠AO D. 又∵∠AOB ＋∠AOD ＝180°， ∴∠AOB ＝∠AOD ＝90°，即AO ⊥B D. ∴AC 垂直平分B D.10．如图，线段AC 与线段BD 相交于点O ，连结AB ，BC ，CD ，∠A ＝∠D ，OA ＝O D.求证：∠1＝∠2.(第10题)【解】 在△AOB 和△DOC 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠D ，OA ＝OD ，∠AOB ＝∠DOC ， ∴△AOB ≌△DOC (ASA )． ∴AB ＝DC ，OB ＝OC ，∴OA ＋OC ＝OD ＋OB ，即AC ＝D B. 在△ABC 和△DCB 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝DB ，AB ＝DC ，BC ＝CB ，∴△ABC ≌△DCB (SSS )．∴∠1＝∠2.11．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过点C 作AE 的垂线CF ，垂足为F ，过点B 作BD ⊥BC ，交CF 的延长线于点D.(1)求证：AE ＝C D.(2)若AC ＝12 cm ，求BD 的长．(第11题)【解】 (1)∵AF ⊥DC ， ∴∠AFC ＝90°.∴∠EAC ＋∠DCA ＝90°.∵∠ACB ＝90°，即∠DCA ＋∠DCB ＝90°， ∴∠EAC ＝∠DC B.∵BD ⊥BC ，∴∠DBC ＝90°＝∠EC A. 在△ACE 和△CBD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ECA ＝∠DBC ，AC ＝CB ，∠EAC ＝∠DCB ，∴△ACE ≌△CBD (ASA )．∴AE ＝C D. (2)∵△ACE ≌△CBD ，∴CE ＝B D. ∵E 为BC 的中点，∴CE ＝12B C.∴BD ＝12BC ＝12AC ＝6 cm.(第12题)12．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，CE⊥BD ，交BD 的延长线于点E .试猜想CE 与BD 的数量关系，并说明理由．【解】 CE ＝12B D.理由如下：(第12题解)延长CE 交BA 的延长线于点F ，如解图． ∵BE 平分∠ABC ，∴∠1＝∠2. ∵CE ⊥BD ，∴∠BEC ＝∠BEF ＝90°. 又∵BE ＝BE ，∴△BEC ≌△BEF (ASA )． ∴CE ＝FE ＝12CF .∵∠1＋∠4＝∠3＋∠5＝90°，∠4＝∠5， ∴∠1＝∠3.又∵∠BAD ＝∠CAF ＝90°，AB ＝AC ， ∴△BAD ≌△CAF (ASA )．∴BD ＝CF . ∴CE ＝12CF ＝12BD.。
2019秋浙教版八年级上册数学同步测试题：1.5三角形全等的判定【含答案】
1.5三角形全等的判定第1课时“边边边”知识点1.三角形全等的判定(SSS)1．如图1所示，如果AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，则下列结论正确的是(A)图1A．△ABC≌△A′B′C′B．△ABC≌△C′A′B′C．△ABC≌△B′C′A′D．这两个三角形不全等2．下列三角形中，与图2中△ABC全等的是__③__．3．如图3所示，AD＝BC，AC＝BD，用三角形全等的判定“SSS”可证明__△ADC__≌__△BCD__或__△ABD__≌__△BAC__．图3知识点2.三角形的稳定性4．[2018春·泉港区期末]如图4，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是(C)图4A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．三角形具有稳定性D．两直线平行，内错角相等知识点3.三角形全等的判定与性质的综合5．在△ABC和△A1B1C1中，AB＝A1B1，BC＝B1C1，AC＝A1C1，且∠A＝110°，∠B＝40°，则∠C1＝(C)A．110°B．40°C．30°D．20°6．如图5所示，在△ABC和△DBC中，已知AB＝DB，AC＝DC，则下列结论中错误的是(D)图5A．△ABC≌△DBCB．∠A＝∠DC．BC是∠ACD的平分线D．∠A＝∠BCD7．如图6，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，连结AC，求证：∠ACD ＝∠CAB.图6证明：在△ADC 与△CBA 中，⎩⎨⎧CD ＝AB ，AD ＝CB ，AC ＝CA ，∴△ADC ≌△CBA (SSS )，∴∠ACD ＝∠CAB .8．雨伞的截面如图7所示，伞骨AB ＝AC ，支撑杆OE ＝OF ，AE ＝13AB ，AF ＝13AC ，当O 沿AD 滑动时，雨伞开闭，问雨伞开闭的过程中，∠BAD 与∠CAD 有何关系？请说明理由．图7解：∠BAD ＝∠CAD .理由：∵AB ＝AC ，AE ＝13AB ，AF ＝13AC ，∴AE ＝AF .在△AOE 和AOF 中，⎩⎨⎧AO ＝AO ，AE ＝AF ，OE ＝OF ，∴△AOE ≌△AOF (SSS )，∴∠EAO ＝∠F AO ，即∠BAD ＝∠CAD . 知识点4.尺规作角平分线9．[2018春·历城区期末]如图8，作∠AOB 的角平分线的作图过程如下，作法：图8(1)在OA和OB上，分别截取OD，OE，使OD＝OE；(2)分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C；(3)作射线OC，OC就是∠AOB的平分线．用三角形全等判定法则解释其作图原理，最为恰当的是__SSS__．【易错点】证明两个三角形全等时，对于有公共部分的角或线段，错把不是对应的边或角当成三角形的对应边或对应角．10．如图9，AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD，∠2＝110°，∠BAE＝60°，下列结论错误的是(C)图9A．△ABE≌△ACDB．△ABD≌△ACEC．∠ACE＝30°D．∠1＝70°第2课时“边角边”与线段的垂直平分线的性质知识点1.三角形全等的判定(SAS)1．如图1中全等的三角形是(D)①②③④图1A．①和②B．②和③C．②和④D．①和③2．如图2所示，在△ABD和△ACE中，AB＝AC，AD＝AE，要证△ABD≌△ACE，需补充的条件是(C)A．∠B＝∠C B．∠D＝∠EC．∠DAE＝∠BAC D．∠CAD＝∠DAC图2 图33．如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，若连结AC，BD相交于点O，则图中全等三角形共有(C)A．1对B．2对C．3对D．4对4．已知：如图4，OA＝OB，OC平分∠AOB，求证：△AOC≌△BOC.图4证明：∵OC 平分∠AOB ， ∴∠AOC ＝∠BOC . 在△AOC 和△BOC 中，⎩⎨⎧OA ＝OB ，∠AOC ＝∠BOC ，OC ＝OC ，∴△AOC ≌△BOC (SAS )．知识点2.利用“SAS ”判定三角形全等证明线段或角相等5．如图5，在△ABC 和△ABD 中，AC 与BD 相交于点E ，AD ＝BC ，∠DAB ＝∠CBA ，求证：AC ＝BD .图5证明：在△ADB 和△BCA 中，⎩⎨⎧AD ＝BC ，∠DAB ＝∠CBA ，AB ＝BA ，∴△ADB ≌△BCA (SAS )，∴AC ＝BD .6．如图6，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，点M ，N 分别在AB ，AC 边上，AM ＝2MB ，AN ＝2NC .求证：DM ＝DN .图6证明：∵AM ＝2MB ，∴AM ＝23AB ，同理，AN ＝23AC ， 又∵AB ＝AC ，∴AM ＝AN . ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠MAD ＝∠NAD .在△AMD 和△AND 中，⎩⎨⎧AM ＝AN ，∠MAD ＝∠NAD ，AD ＝AD ，∴△AMD ≌△AND ，∴DM ＝DN .知识点3.利用“SAS ”判定三角形全等来解决实际问题7．如图7所示，有一块三角形镜子，小明不小心将它打破成Ⅰ，Ⅱ两块，现需配成同样大小的一块．为了方便起见，需带上__Ⅰ__块，其理由是__两边及其夹角分别相等的两个三角形全等__．图7知识点4.线段的垂直平分线的性质8．[2017秋·浉河区期末]如图8，DE 是△ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC ＝8，AB ＝10，则△EBC 的周长是( C ) A ．13B ．16C ．18D ．20【解析】 ∵DE 是△ABC 中AC 边的垂直平分线，∴EA ＝EC ，∴△EBC 的周长＝BC ＋BE ＋EC ＝BC ＋BE ＋EA ＝BC ＋BA ＝18.图8 图99．如图9，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC 于D，若△DBC的周长为35 cm，则BC的长为(C)A．5 cm B．10 cmC．15 cm D．17.5 cm【解析】∵△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝35 cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∴BC＋AD＋CD＝35 cm，∵AC＝AD＋DC＝20 cm，∴BC＝35－20＝15 cm.【易错点】“SSA”不能判定两个三角形全等．10．下列条件能够判断△ABC与△A′B′C全等的是(D)A．∠A＝∠A′B．AB＝A′B′，∠B＝∠B′，AC＝A′C′C．AB＝A′B′，AC＝A′C′D．AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′【解析】A．已知条件为一组对应角相等，不符合全等三角形的判定定理，无法证明两个三角形全等，故此选项错误；B．已知条件为边边角，不符合全等三角形的判定定理，无法证明两个三角形全等，故此选项错误；C．已知条件为两条边对应相等，不符合全等三角形的判定定理，无法证明两个三角形全等，故此选项错误；D．由边角边定理可证两个三角形全等，故此选项正确．第3课时“角边角”知识点三角形全等的判定(ASA)1．如图1，已知△ABC三条边、三个角，则甲、乙两个三角形中和△ABC全等的图形是(B)图1A．甲B．乙C．甲和乙都是D．都不是2．如图2所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是__ASA__．图23．如图3，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AC＝AD.图3证明：∵∠3＝∠4，∴∠ABC＝∠ABD.在△ABC和△ABD中，⎩⎨⎧∠1＝∠2，AB ＝AB ，∠ABC ＝∠ABD ，∴△ABC ≌△ABD (ASA )，∴AC ＝AD .4．[2018秋·延庆区期中]如图4，AB ＝AC ，点D ，E 分别在AB ，AC 上，CD ，BE 交于点F ，且∠B ＝∠C .求证：△ABE ≌△ACD .图4证明：在△ABE 与△ACD 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠A ，AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，∴△ABE ≌△ACD (ASA )．5．[2018秋·金坛区期中]如图5，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ，∠1＝∠2.求证：△ABC ≌△ADE .图5证明：∵∠1＝∠2，∴∠DAC ＋∠1＝∠2＋∠DAC ， ∴∠BAC ＝∠DAE ，在△ABC 和△ADE 中，⎩⎨⎧∠B ＝∠D ，AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAE ，∴△ABC ≌△ADE (ASA )．【易错点】错用判定三角形全等的判定方法．6．已知：如图6，∠AOD ＝∠BOC ，∠A ＝∠C ，O 是AC 的中点．求证：△AOB ≌△COD .图6证明：∵∠AOD ＝∠BOC ，∴∠AOD ＋∠DOB ＝∠BOC ＋∠BOD ， 即∠AOB ＝∠COD ，∵O 是AC 的中点，∴AO ＝CO ，在△AOB 与△COD 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠C ，AO ＝CO ，∠AOB ＝∠COD ，∴△AOB ≌△COD .第4课时 “角角边”与角平分线的性质知识点1.三角形全等的判定(AAS )1．如图1，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠C ＝∠D .求证：△ABC ≌△AED .图1证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠EAC ＝∠2＋∠EAC ，即∠BAC ＝∠EAD . 又∵∠C ＝∠D ，AB ＝AE ，∴△ABC ≌△AED (AAS )．2．如图2，已知：在△AFD 和△CEB 中，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，AE ＝CF ，∠B ＝∠D ，AD ∥BC .求证：AD ＝BC .图2证明：∵AE ＝CF ，∴AF ＝CE . ∵AD ∥BC ，∴∠A ＝∠C . 在△AFD 和△CEB 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠C ，∠B ＝∠D ，AF ＝CE ，∴△AFD ≌△CEB (AAS )，∴AD ＝BC . 知识点2.三角形全等判定方法的选用3．如图3，已知∠ABC ＝∠BAD ，添加下列条件还不能判定△ABC ≌△BAD 的是( A )A ．AC ＝BDB ．∠CAB ＝∠DBAC ．∠C ＝∠DD ．BC ＝AD图3图44．如图4所示，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，D 为BC 边的中点，过点D 分别向AB ，AC 作垂线段，则能够说明△BDE ≌△CDF 的理由是( D ) A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS知识点3.角平分线的性质5．如图5，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 于点D ，PD ＝6，则点P 到边OB 的距离为( A )图5A ．6B ．5C ．4D ．36．[2019·辽阳模拟]如图6，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC 于点E ，AB ＝7，DE ＝4，则S △ABD ＝( C ) A ．28 B ．21 C ．14D ．7图6第6题答图【解析】 如答图，作DH ⊥BA 于H .∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC ，DH ⊥AB ， ∴DH ＝DE ＝4，∴S △ABD ＝12×7×4＝14，故选C.7．如图7，已知BD 为∠ABC 的平分线，AB ＝BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ，PN ⊥CD 于N ，求证：PM ＝PN .图7证明：∵BD 为∠ABC 的平分线， ∴∠ABD ＝∠CBD ， 在△ABD 和△CBD 中，⎩⎨⎧AB ＝CB ，∠ABD ＝∠CBD ，BD ＝BD ，∴△ABD ≌△CBD (SAS )，∴∠ADB ＝∠CDB ， ∵点P 在BD 上，且PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，∴PM ＝PN .【易错点】对于全等三角形开放性问题，常常不能正确选用判定方法． 8. 如图8，在△ABC 和△DEF 中，∠B ＝∠DEF ，AB ＝DE ，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC ≌△DEF ，这个条件是( D )图8A ．∠A ＝∠DB ．BC ＝EF C ．∠ACB ＝∠FD ．AC ＝DF【解析】 ∵∠B ＝∠DEF ，AB ＝DE ，∴添加∠A ＝∠D ，利用ASA 可得△ABC ≌△DEF ；∴添加BC＝EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；∴添加∠ACB＝∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF；添加AC＝DF不能证明△ABC≌△DEF，故选D.。
2022-2023年浙教版八年级数学上册《1-5三角形全等的判定》解答题专题训练(附答案)
2022-2023年浙教版八年级数学上册《1.5三角形全等的判定》解答题专题训练（附答案）1．已知：如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD．求证：OB＝OC．2．如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE．求证：BC＝BE．3．如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，BF＝EC．求证：Rt△ABC≌Rt△DEF．4．如图所示，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC 上，且AE＝CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF．5．如图，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，且BD＞CE．求证：BD＝EC+ED．6．如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，BE，CD交于O点，且AO平分∠BAC．求证：OB＝OC．7．如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF＝CE．求证：△ABE≌△CDF．8．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE＝AB．求证：△CED≌△ABC．9．已知：点A，D，C，B在同一条直线上，DF∥CE，DF＝CE，AD＝BC．求证：（1）CF＝DE；（2）AF∥EB．10．如图，在等腰△ABC中，BA＝BC，点F在AB边上，延长CF交AD于点E，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE．（1）求证：AD＝CE；（2）若∠ABC＝30°，∠AFC＝45°，求∠EAC的度数．11．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1＝∠2，AB＝ED，求证：DB＝CD．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE与AD交于点F，G为△ABC外一点，满足∠ACG＝∠ABE，∠F AG＝∠BAC，连接EG．（1）求证：△ABF≌△ACG；（2）求证：BE＝CG+EG．13．已知：如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝45°，高AD与高BE相交于点F，G为BF的中点．求证：（1）DG＝DE；（2）∠DEG＝∠DEC．14．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，且BF＝AC，DF＝DC．（1）求证：△BDF≌△ADC．（2）已知AC＝5，DF＝3，求AF的长．15．如图，在△ABC中，∠A＝∠ACB，CD平分∠ACB，点E为CD延长线上一点，过点E 作EF∥AC交AB于点F，连接CF．（1）若CD＝DE，求证：AD＝DF；（2）若∠ABC＝∠ECF＝24°，求∠CFE的度数．16．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数．17．如图，CB为∠ACE的平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC相交于点D．（1）求证：AB＝FE；（2）若ED⊥AC，AB∥CE，求∠A的度数．18．如图，AB＝AC，直线l经过点A，BM⊥l，CN⊥l，垂足分别为M、N，BM＝AN．（1）求证：MN＝BM+CN；（2）求证：∠BAC＝90°．19．如图，在△ABC中，点D为AB边上一点，DE∥BC交AC于点E，点F为BC延长线上一点，BF＝AD，∠ACF＝∠ADF．（1）求证：AE＝FD；（2）若∠FDB＝80°，∠B＝70°，求∠1的度数．20．已知：如图，BD、CE是△ABC的高，BD、CE交于点F，BD＝CD，CE平分∠ACB．（1）如图1，试说明BE＝CF．（2）如图2，若点M在边BC上（不与点B重合），MN⊥AB于点N，交BD于点G，请直接写出BN与MG的数量关系，并画出能够说明该结论成立的辅助线，不必书写过程．21．已知：如图，AD、BF相交于O点，OA＝OD，AB∥DF，点E、C在BF上，BE＝CF．（1）求证：△ABO≌△DFO；（2）判断线段AC、DE的关系，并说明理由．22．如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）证明：△ADE≌△CFE；（2）若AB＝AC，CE＝5，CF＝7，求DB的长．参考答案1．证明：∵∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，BC＝BC，∴Rt△BAC≌Rt△CDB（HL）∴∠ACB＝∠DBC．∴∠OCB＝∠OBC．∴OB＝OC（等角对等边）．2．证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）．∴CD＝EF．∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL）．∴BD＝BF．∴BD﹣CD＝BF﹣EF．即BC＝BE．3．证明：∵BF＝EC，∴BF+FC＝FC+EC，即BC＝EF，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABC和△DEF都是直角三角形，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．4．证明：在Rt△ABE和Rt△CBF中，∵，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）．5．证明：∵∠BAC＝90°，CE⊥AE，BD⊥AE，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠BAD+∠DAC＝90°，∠ADB＝∠AEC＝90°．∴∠ABD＝∠DAC．∵在△ABD和△CAE中，∴△ABD≌△CAE（AAS）．∴BD＝AE，EC＝AD．∵AE＝AD+DE，∴BD＝EC+ED．6．证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°．∵AO平分∠BAC，∴∠1＝∠2．在△AOD和△AOE中，，∴△AOD≌△AOE（AAS）．∴OD＝OE．在△BOD和△COE中，，∴△BOD≌△COE（ASA）．∴OB＝OC．7．证明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠DCF，∵AF＝CE，∴AF﹣EF＝CE﹣EF，即AE＝CF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）．8．证明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，∴∠DEC＝∠B＝90°，∵CD∥AB，∴∠A＝∠DCE，在△CED和△ABC中，，∴△CED≌△ABC（ASA）．9．证明：（1）∵DF∥CE，∴∠FDC＝∠ECD，在△FDC和△ECD中，，∴△FDC≌△ECD（SAS），∴CF＝DE；（2）∵△FDC≌△ECD，∴∠FCD＝∠EDC，∵AD＝BC，∴AD+DC＝BC+DC，∴AC＝BD，在△F AC和△EBD中，，∴△F AC≌△EBD（SAS），∴∠A＝∠B，∴AF∥EB．10．（1）证明：∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABC+∠ABE＝∠DBE+∠ABE，∴∠ABD＝∠CBE．在△ADB和△CEB中，，∴△ADB≌△CEB（SAS），∴AD＝CE；（2）解：∵BA＝BC，∠ABC＝30°，∴∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣30°）＝75°，∵∠AFC＝45°，∴∠BCE＝∠AFC﹣∠ABC＝45°﹣30°＝15°，∵△ADB≌△CEB，∴∠BAD＝∠BCE＝15°，∴∠EAC＝∠BAD+∠BAC＝15°+75°＝90°．11．证明：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠EDC，在△ABD和△EDC中，，∴△ABD≌△EDC（AAS），∴DB＝CD．12．（1）证明：∵∠BAC＝∠F AG，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠F AG﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAG，在△ABF和△ACG中，，∴△ABF≌△ACG（ASA）；（2）证明：∵△ABF≌△ACG，∴AF＝AG，BF＝CG，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAG，∵∠BAD＝∠CAG，∴∠CAD＝∠CAG，在△AEF和△AEG中，，∴△AEF≌△AEG（SAS）．∴EF＝EG，∴BE＝BF+FE＝CG+EG．13．证明：（1）AD⊥BD，∠BAD＝45°，∴AD＝BD，∵∠BFD＝∠AFE，∠AFE+∠CAD＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠BFD＝∠ACD，在△BDF和△ACD中，，∴△BDF≌△ACD（AAS），∴BF＝AC，∵G为BF的中点．∴DG＝BF，∵AB＝CB，BE⊥AC，∴E为AC的中点．∴DE＝AC，∴DG＝DE；（2）由（1）知：∠DBG＝∠DAE，BG＝BF，AE＝AC，BF＝AC，∴BG＝AE，在△BDG和△ADE中，，∴△BDG≌△ADE（SAS），∴∠BDG＝∠ADE，∴∠DGB＝∠DBG+∠BDG，∵∠DEC＝∠DAE+∠ADE，∴∠DGB＝∠DEC，∵DG＝DE，∴∠DGE＝∠DEG，∴∠DEG＝∠DEC．14．（1）证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△BDF和Rt△ADC中，，∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）．（2）解：∵Rt△BDF≌Rt△ADC，∴DC＝DF．在Rt△ADC中，（AF+3）2+32＝52，∴AF＝1或AF＝7（舍）∴AF＝1．15．（1）证明：∵EF∥AC，∴∠A＝∠EFD，∠ACD＝∠E，在△ADC和△FDE中，，∴△ADC≌△FDE（AAS），∴AD＝DF；（2）解：∵∠A＝∠ACB，∠ABC＝∠ECF＝24°，∴∠A＝∠ACB＝＝78°，∴∠ACE＝∠BCE＝39°，∵EF∥AC，∴∠A＝∠EFD＝78°，∠ACD＝∠E＝39°，∵∠ECF＝24°，∴∠CFE＝180°﹣∠ECF﹣∠E＝180°﹣24°﹣39°＝117°．16．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠1＝∠EAC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠2＝30°，∵∠1＝25°，∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°．17．证明：（1）∵CB为∠ACE的角平分线，∴∠ACB＝∠FCE，在△ABC与△FEC中，，∴△ABC≌△FEC（AAS），∴AB＝FE；（2）∵AB∥CE，∴∠B＝∠FCE，∴∠E＝∠B＝∠FCE＝∠ACB，∵ED⊥AC，即∠CDE＝90°，∴∠E+∠FCE+∠ACB＝90°，即3∠ACB＝90°，∴∠B＝30°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣30°＝120°．18．证明：（1）∵BM⊥直线l，CN⊥直线l，∴∠AMB＝∠CNA＝90°，在Rt△AMB和Rt△CNA中，，∴Rt△AMB≌Rt△CNA（HL），∴BM＝AN，CN＝AM，∴MN＝AM+AN＝BM+CN；（2）由（1）得：Rt△AMB≌Rt△CNA，∴∠BAM＝∠ACN，∵∠CAN+∠ACN＝90°，∴∠CAN+∠BAM＝90°，∴∠BAC＝180°﹣90°＝90°．19．（1）证明：∵∠ACF＝∠ADF，∴∠B+∠A＝∠B+∠F，∴∠A＝∠F，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，在△ADE和△FBD中，，∴△ADE≌△FBD（ASA），∴AE＝FD；（2）解：∵∠FDB＝80°，∠B＝70°，∴∠F＝30°，∴∠ACF＝∠ADF＝∠B+∠F＝100°，∴∠1＝∠F+∠ACF＝130°．20．解：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠BDC＝∠AEC＝90°，∴∠A+∠ABD＝90°，∠A+∠ACE＝90°，∴∠ABD＝∠ACE，在△ABD和△FCD中，，∴△ABD≌△FCD（ASA），∴AB＝CF，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE＝22.5°，在△ACE和△BCE中，，∴△ACE≌△BCE（ASA），∴AE＝BE，∴BE＝AB＝CF；（2）BN＝MG，理由如下：如图，过点M作MH∥AC，交AB于H，交BD于P，∵BD＝CD，BD⊥CD，∴∠DBC＝∠DCB＝45°，∵MH∥AC，∴∠PMB＝∠DCB＝∠PBM＝45°，∠BPM＝∠BDC＝90°，∴BP＝PM，∵∠BHP+∠HBP＝90°，∠BHP+∠HMN＝90°，∴∠HBP＝∠HMN，在△BHP和△MGP中，，∴△BPH≌△MPG（ASA），∴GM＝BH，∵MN⊥AB，CE⊥AB，∴MN∥CE，∴∠BMN＝∠BCE＝∠ACB＝22.5°，∴∠BMN＝∠HMN＝22.5°，在△BMN和△HMN中，，∴△BMN≌△HMN（ASA）∴BN＝NH，∴BN＝BH＝MG．21．（1）证明：∵AB∥DF，∴∠B＝∠F，∠BAO＝∠FDO，在△ABO和△DFO中，，∴△ABO≌△DFO（AAS）；（2）解：AC＝DE，AC∥DE，理由如下：∵△ABO≌△DFO，∴BO＝FO，∵BE＝CF，∴EO＝CO，在△AOC和△DOE中，，∴△AOC≌△DOE（SAS），∴AC＝DE，∠DAC＝∠ADE，∴AC∥DE．22．（1）证明：∵E是边AC的中点，∴AE＝CE．又∵CF∥AB，∴∠A＝∠ACF，∠ADF＝∠F，在△ADE与△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS）．（2）解：∵△ADE≌△CFE，CF＝7，∴CF＝AD＝7，∵AB＝AC，E是边AC的中点，CE＝5，∴AC＝2CE＝10．∴AB＝10，∴DB＝AB﹣AD＝10﹣7＝3．。
三角形全等的判定 浙教版八年级数学上册达标测试题(含答案)
1.5三角形全等的判定自主达标测试题一．选择题（共8小题，满分40分）1．下列说法正确的是（）A．全等三角形是指形状相同的两个三角形B．全等三角形的周长和面积分别相等C．全等三角形是指面积相等的两个三角形D．所有的等边三角形都是全等三角形2．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（）A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙3．如图，AB＝AC，若要使△ABE≌△ACD，则添加的一个条件不能是（）A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．BD＝CE D．∠ADC＝∠AEB 4．一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整四碎片（如图所示），聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（）A．带其中的任意两块去都可以B．带1、2或2、3去就可以了C．带1、4或3、4去就可以了D．带1、4或2、4或3、4去均可5．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝60°，∠C＝25°，则∠BED的度数是（）A．70°B．85°C．65°D．以上都不对6．如图，AB＝AD，AE平分∠BAD，则图中有（）对全等三角形．A．2B．3C．4D．57．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．在图中，要测量工件内槽宽AB，只要测量A′B′就可以，这是利用什么数学原理呢？（）A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS8．如图，Rt△ABC中，CD⊥AB于D，E在AC上，过E作EF⊥AB于F，且EF＝EC，连接BE交CD于G．结论：①∠CEB＝∠BEF②CG＝EF③∠BGC＝∠AEB④∠AEF＝2∠ABE以上结论正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4二．填空题（共7小题，满分35分）9．如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE；②BC＝DE；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E，其中能使△ABC≌△AED的条件是．（填写序号）10．如图，AD＝BD，AD⊥BC，垂足为D，BF⊥AC，垂足为F，BC＝6cm，DC＝2cm，则AE＝cm．11．如图，△ABC中，AB＝4，AC＝7，M是BC的中点，AD平分∠BAC，过M作MF∥AD，交AC于F，则FC的长等于．12．如图，AB⊥AC，垂足为A，CD⊥AC，垂足为C，DE⊥BC，且AB＝CE，若BC＝5cm，则DE的长为cm．13．如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD＝AE，AB＝AC．若∠B＝20°，则∠C＝°．14．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD ⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论是．15．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，B、D、E三点在一条直线上．若∠3＝55°，∠2＝30°，则∠1的度数为．三．解答题（共6小题，满分45分）16．如图，在等腰△ABC中，BA＝BC，点F在AB边上，延长CF交AD于点E，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE．（1）求证：AD＝CE；（2）若∠ABC＝30°，∠AFC＝45°，求∠EAC的度数．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE与AD交于点F，G为△ABC外一点，满足∠ACG＝∠ABE，∠F AG＝∠BAC，连接EG．（1）求证：△ABF≌△ACG；（2）求证：BE＝CG+EG．18．已知：如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝45°，高AD与高BE相交于点F，G为BF的中点．求证：（1）DG＝DE；（2）∠DEG＝∠DEC．19．如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，且AB＝AD，AC＝AE，连接CD，EB．（1）求证：∠CAD＝∠EAB；（2）求证：CF＝EF．20．在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且ED＝EF，∠DEF＝∠B．（1）如图1，求证：BC＝BD+CF；（2）如图2，连接CD，若DE∥AC，求证：CD平分∠ACB．21．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于点H，D为AH上一点，且BD＝AC，直线BD与AC交于点E，连接EH．（1）求证：DH＝CH；（2）判断BE与AC的位置关系，并证明你的结论；（3）求∠BEH的度数．参考答案一．选择题（共8小题，满分40分）1．解：A、全等三角形的形状相同，但形状相同的两个三角形不一定是全等三角形．故该选项错误；B、全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，则全等三角形的周长和面积一定相等，故B正确；C、全等三角形面积相等，但面积相等的两个三角形不一定是全等三角形．故该选项错误；D、两个等边三角形，形状相同，但不一定能完全重合，不一定全等．故错误．故选：B．2．解：图甲不符合三角形全等的判定定理，即图甲和△ABC不全等；图乙符合SAS定理，即图乙和△ABC全等；图丙符合AAS定理，即图丙和△ABC全等；故选：B．3．解：A、添加∠B＝∠C可利用ASA定理判定△ABE≌△ACD，故此选项不合题意；B、添加BE＝CD不能判定△ABE≌△ACD，故此选项符合题意；C、添加BD＝CE可得AD＝AE，可利用利用SAS定理判定△ABE≌△ACD，故此选项不合题意；D、添加∠ADC＝∠AEB可利用AAS定理判定△ABE≌△ACD，故此选项不合题意；故选：B．4．解：带③、④可以用“角边角”确定三角形，带①、④可以用“角边角”确定三角形，带②④可以延长还原出原三角形，故选：D．5．解：在△AOD和△BOC中，∴△AOD≌△BOC（SAS）∴∠C＝∠D．∵∠C＝25°，∴∠D＝25°．∵∠O＝60°，∠C＝25°，∴∠OBC＝95°．∴∠OBC＝∠BED+∠D＝95°，∴∠BED＝70°．故选：A．6．解：∵AB＝AD，AE平分∠BAD，且AE、AC为公共边，∴△DAC≌△BAC，△DAE≌△BAE（SAS），∴DE＝BE，DC＝BC，EC为公共边，∴△DCE≌△BCE（SSS）．所以共有3对三角形全等．故选：B．7．解：连接AB，A′B′，如图，∵点O分别是AA′、BB′的中点，∴OA＝OA′，OB＝OB′，在△AOB和△A′OB′中，，∴△AOB≌△A′OB′（SAS）．∴A′B′＝AB．故选：B．8．解：∵AC⊥BC，EF⊥AB，EF＝EC，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠EFB＝∠ECB＝90°，∴∠FEB＝∠CEB，故①正确；或者：在Rt△BEC和Rt△BEF中，，∴Rt△BEC≌Rt△BEF（HL），∴∠FEB＝∠CEB，故①正确；∵∠FEB＝∠CEB＝90°﹣∠EBF，∠BGD＝∠CGE＝90°﹣∠GBD，∴∠CEB＝∠CGE，∴CE＝CG，∵EF＝EC，∴CG＝EF，故②正确；∵∠BGC＝180°﹣∠CGE，∠AEB＝180°﹣∠CEG，∠CEG＝∠CGE，∴∠BGC＝∠AEB，故③正确；∵∠AEF＝90°﹣∠A，∠ABC＝90°﹣∠A，∴∠AEF＝∠ABC，∵∠ABC＝2∠ABE，∴∠AEF＝2∠ABE，故④正确．综上所述：正确的结论有①②③④，共4个，故选：D．二．填空题（共7小题，满分35分）9．解：已知∠1＝∠2，AC＝AD，由∠1＝∠2可知∠BAC＝∠EAD，加①AB＝AE，就可以用SAS判定△ABC≌△AED；加③∠C＝∠D，就可以用ASA判定△ABC≌△AED；加④∠B＝∠E，就可以用AAS判定△ABC≌△AED；加②BC＝ED只是具备SSA，不能判定三角形全等．其中能使△ABC≌△AED的条件有：①③④；故答案为①③④．10．解：∵BF⊥AC，∴∠C+∠FBC＝90°，∵AD⊥BC，∴∠C+∠DAC＝90°，∴∠DAC＝∠FBC，在△BDE和△ADC中，∴△BDE≌△ADC（ASA），∴CD＝DE＝2cm，∵BC＝6cm，DC＝2cm，∴BD＝AD＝4cm，∴AE＝4﹣2＝2（cm）．故答案为：2．11．解：如图，延长FM到N，使MN＝MF，连接BN，延长MF交BA延长线于E，∵M是BC中点，∴BM＝CM，∠BMN＝∠CMF，∴△BMN≌△CMF，∴BN＝CF，∠N＝∠MFC，又∵∠BAD＝∠CAD，MF∥AD，∴∠E＝∠BAD＝∠CAD＝∠CFM＝∠AFE＝∠N，∴AE＝AF，BN＝BE，∴AB+AC＝AB+AF+FC＝AB+AE+FC＝BE+FC＝BN+FC＝2FC，∴FC＝（AB+AC）＝5.5．故答案为5.5．12．解：∵AB⊥AC，CD⊥AC，DE⊥BC，∴∠ACD＝∠BAC＝∠1＝90°，∴∠B+∠BCA＝90°，∠DEC+∠BCA＝90°，∴∠DEC＝∠B，在△ACB与△CDE中，∴△ACB≌△CDE（ASA），∴DE＝BC＝5cm．故答案为：5．13．解：在△BAE和△CAD中，，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴∠B＝∠C，∵∠B＝20°，∴∠C＝20°，故答案为20．14．解：∵BF∥AC，∴∠C＝∠CBF，∵BC平分∠ABF，∴∠ABC＝∠CBF，∴∠C＝∠ABC，∴AB＝AC，∵AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD，AD⊥BC，故②③正确，在△CDE与△DBF中，，∴△CDE≌△DBF，∴DE＝DF，CE＝BF，故①正确；∵AE＝2BF，∴AC＝3BF，故④正确；故答案为：①②③④15．解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠2，∵∠3＝∠ABD+∠1，∴∠1＝∠3﹣∠2＝55°﹣30°＝25°．故答案为：25°．三．解答题（共6小题，满分45分）16．（1）证明：∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABC+∠ABE＝∠DBE+∠ABE，∴∠ABD＝∠CBE．在△ADB和△CEB中，，∴△ADB≌△CEB（SAS），∴AD＝CE；（2）解：∵BA＝BC，∠ABC＝30°，∴∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣30°）＝75°，∵∠AFC＝45°，∴∠BCE＝∠AFC﹣∠ABC＝45°﹣30°＝15°，∵△ADB≌△CEB，∴∠BAD＝∠BCE＝15°，∴∠EAC＝∠BAD+∠BAC＝15°+75°＝90°．17．（1）证明：∵∠BAC＝∠F AG，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠F AG﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAG，在△ABF和△ACG中，，∴△ABF≌△ACG（ASA）；（2）证明：∵△ABF≌△ACG，∴AF＝AG，BF＝CG，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAG，∵∠BAD＝∠CAG，∴∠CAD＝∠CAG，在△AEF和△AEG中，，∴△AEF≌△AEG（SAS）．∴EF＝EG，∴BE＝BF+FE＝CG+EG．18．证明：（1）AD⊥BD，∠BAD＝45°，∴AD＝BD，∵∠BFD＝∠AFE，∠AFE+∠CAD＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠BFD＝∠ACD，在△BDF和△ACD中，，∴△BDF≌△ACD（AAS），∴BF＝AC，∵G为BF的中点．∴DG＝BF，∵AB＝CB，BE⊥AC，∴E为AC的中点．∴DE＝AC，∴DG＝DE；（2）由（1）知：∠DBG＝∠DAE，BG＝BF，AE＝AC，BF＝AC，∴BG＝AE，在△BDG和△ADE中，，∴△BDG≌△ADE（SAS），∴∠BDG＝∠ADE，∴∠DGB＝∠DBG+∠BDG，∵∠DEC＝∠DAE+∠ADE，∴∠DGB＝∠DEC，∵DG＝DE，∴∠DGE＝∠DEG，∴∠DEG＝∠DEC．19．证明：（1）在Rt△ABC和Rt△ADE中，，∴Rt△ABC≌Rt△ADE（HL），∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAB＝∠DAE﹣∠DAB，∴∠CAD＝∠EAB．（2）在△ACD与△AEB中，∴△ADC≌△ABE（SAS），∴CD＝BE，∠ACD＝∠AEB．∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴∠ACB＝∠AED．∠ACB﹣∠ACD＝∠AED﹣∠AEB，∴∠DCF＝∠BEF．∠DFC＝∠BFE，∴△DFC≌△BFE（AAS），∴CF＝EF．20．证明：（1）如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠DEC＝∠DEF+∠FEC＝∠EDB+∠B，∵∠DEF＝∠B，∴∠BDE＝∠FEC，∵ED＝EF，∴△BDE≌△CEF（AAS），∴BD＝EC，BE＝CF，∴BC＝BE+EC＝BD+CF；（2）如图2中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠ACB，∠EDC＝∠ACD，∴∠B＝∠DEB，∴DB＝DE，由（1）可知，BD＝EC，∴DE＝EC，∴∠EDC＝∠BCD，∴CD平分∠ACB．21．（1）证明：∵AH⊥BC，∴∠AHB＝∠AHC＝90°∵∠ABC＝45°，∴∠BAH＝45°＝∠ABC，∴AH＝BH，在Rt△BHD和Rt△AHC中，，∴Rt△BHD≌Rt△AHC（HL），∴DH＝CH；（2）解：BE⊥AC．由（1）可知△BHD≌△AHC，∴∠DBH＝∠CAH．∵∠CAH+∠C＝90°，∴∠DBH+∠C＝90°，∴∠BEC＝90°，∴BE⊥AC；（3）解：过点H作HF⊥HE，交BE于F点，∴∠FHE＝90°，即∠AHE+∠DHF＝90°．又∵∠BHF+∠DHF＝90°，∴∠AHE＝∠BHF，在△AHE和△BHF中，，∴△AHE≌△BHF（ASA），∴EH＝FH．∴△FHE是等腰直角三角形，∴∠BEH＝45°．。
八年级数学上册1.5三角形全等的判定同步练习(新版)浙教版【含解析】
1.5 三角形全等的判定一、选择题（共15小题；共75分）1. 作∠AOB的平分线时，以O为圆心，某一长度为半径作弧，与OA，OB分别相交于点C，D，然后分别以C，D为圆心，适当的长度为半径作弧，使两弧相交于一点，则这个适当的长度为( )A. 大于12CD B. 等于12CDC. 小于12CD D. 以上答案都不对2. 如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是( )A. 8B. 6C. 4D. 23. 小冬不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1，2，3，4的四块），你认为将其中的哪一块带去，能配一块与原来一样大小的三角形么?应该带 ( )A. 第1块B. 第2块C. 第3块D. 第4块4. 如图，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D，E两点．若BC边长为8 cm，则△ADE的周长为( )A. 8 cmB. 16 cmC. 4 cmD. 不能确定5. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．做法中用到三角形全等的判定方法是 ( )A. SSSB. SASC. ASAD. HL6. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90∘，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为9，则BE=( )A. 2B. 3C. 4D. 57. 如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，AD是BC边上的中线，则AD长的取值范围是( )A. 6<AD<8B. 2<AD<4C. 1<AD<7D. 无法确定8. 如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE= 2，则△BCE的面积等于 ( )A. 10B. 7C. 5D. 49. △ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是 ( )A. 1<AB<29B. 4<AB<24C. 5<AB<19D. 9<AB<1910. 如图，在△ABC中，∠C=90∘，∠B=30∘，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是( )① AD是∠BAC的平分线；② ∠ADC=60∘；③点D在AB的垂直平分线上．A. 0B. 1C. 2D. 311. 如右图所示，三角形ABC的面积为1 cm2．AP垂直∠B的平分线BP于P．则与三角形PBC的面积相等的长方形是 ( )A. B.C. D.12. 已知△ABC，求作一点P，使点P到∠A两边的距离相等，且PB=PC，下列确定点P的方法，正确的是 ( )A. P为∠A，∠B两角平分线的交点B. P为AC，AB两边的垂直平分线的交点C. P为AC，AB两边上的高的交点D. P为∠A的平分线与边BC的垂直平分线的交点13. 如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD⊥BC于点D，则下列结论不一定成立的是( )A. AD=BDB. BD=CDC. ∠BAD=∠CADD. AB=AC14. 如图所示，m∥n，点B，C是直线n上两点，点A是直线m上一点，在直线m上另找一点D，使得以点D，B，C为顶点的三角形和△ABC（AB≠AC）全等，这样的点D ( )A. 不存在B. 有1个C. 有3个D. 有无数个15. 如图，已知在△ABC中，BD是AC边上的高线，CE平分∠ACB，交BD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于 ( )A. 10B. 7C. 5D. 3二、填空题（共15小题；共75分）16. 补全"求作∠AOB的平分线"的作法：①在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD=OE．②分别以D，E为圆心，以为半径画弧，两弧在∠AOB内交于点C．③作射线OC即为∠AOB的平分线．17. 如图，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB，则有△ABC≌，理由是，且有∠ACB=，AC=．18. 在△ABC和△DEF中，AB=4，∠A=35∘，∠B=70∘，DE=4，∠D=35∘，∠E=70∘，根据可判定△ABC≌△DEF．19. 如图，∠E=∠F=90∘，∠B=∠C，AE=AF，则下列结论中正确的是（将你认为正确的序号都填上）．（1）∠1=∠2；（2）BE=CF；（3）△ACN≌△ABM；（4）CD=BD．20. 工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC .由此做法得△MOC≌△NOC的依据是 .21. 如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点分别以E，F为圆心，大于12M．若∠ACD=114∘，则∠MAB的度数为．22. 如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是45 cm2，AB=16 cm，AC=14 cm，则DE=．23. 如图，△ABC中，∠C=90∘，AB的中垂线DE交AB于E，交BC于D，若AB=10，AC=6，则△ACD的周长为24. 如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE，则∠ACE=∘．25. 如图所示，已知 AE 平分 ∠BAC ，BE ⊥AE 于 E ，ED ∥AC ，∠BAE =36∘，那么∠BED = ．26. 如图，在 Rt △ABC ，∠A =90∘，∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D ，AD =3，BC =10，则 △BDC 的面积是 ．27. 如图所示，直线 a 经过正方形 ABCD 的顶点 A ，分别过正方形的顶点 B ，D 作 BF ⊥a 于点 F ，DE ⊥a 于点 E ，若 DE =8，BF =5，则 EF 的长为 ．28. 如图， AD ⊥BC 于点 D ， D 为 BC 的中点，连结 AB ， ∠ABC 的平分线交 AD 于点 O ，连结OC ，若 ∠AOC =125∘ ，则 ∠ABC = ．29. 完成下面的证明过程． 已知：如图所示，OA =OB ，AC =BC ． 求证：∠AOC =∠BOC ． 证明：在 △AOC 和 △BOC 中， {OA = ( ),AC = ( ),OC = ( ),∴ ≌ ( SSS )．∴∠AOC =∠BOC （）．30. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3 cm，△ABD的周长为10 cm，那么△ABC的周长为cm．三、解答题（共5小题；共65分）31. 如图，已知BE，CF分别是△ABC的AC，AB边上的高线，在BE的延长线上取点P，使PB=AC，在CF的延长线上取点Q，使QC=AB .求证：AQ⊥AP .32. 某校实验课程改革，初三年级设罝了A，B，C，D四门不同的拓展性课程如图，锐角△ABC中，∠BAC=60∘，O是BC边上的一点，连接AO，以AO为边向两侧作等边△AOD和等边△AOE，分别与边AB，AC交于点F，G．求证：AF=AG．33. 如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．Ⅰ作∠BDC的平分线DE，交BC于点E．（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；Ⅱ在（1）的条件下，直线DE与AC的位置关系是 .34. 如图，△ABC的角平分线BE，CF交于点O，那么点O到△ABC三边的距离相等．为什么?35. 如图，在△ABC中，∠C=90∘，D是AB边上的一点，MD⊥AB，且MD=AC，过点M作ME∥BC交AB于点E求证：△ABC≌△MED．答案第一部分1. A2. C3. B4. A5. A6. B7. C8. C9. D 10. D11. B 12. D 13. A 14. B 15. C第二部分16. 大于12DE的长为半径17. △DCB；SAS；∠DBC；DB18. ASA19. （1）（2）（3）（4）20. SSS21. 33∘22. 3 cm23. 1424. 9025. 126∘26. 1527. 1328. 70∘29. OB；已知；BC；已知；OC；公共边；△AOC；△BOC；全等三角形的对应角相等30. 16第三部分31. 因为BE，CF为△ABC的高线，所以∠AEB=90∘，∠AFC=90∘ .所以∠PBA+∠FAE=90∘，∠ACQ+∠FAE=90∘ .所以∠PBA=∠ACQ .在△ABP和△QCA中，{PB=AC,∠PBA=∠ACQ, AB=QC,所以△ABP≌△QCA( SAS)．所以∠APB=∠QAC .所以∠APB+∠PAE=∠QAC+∠PAE，即180∘−∠AEP=∠QAP . 所以∠QAP=90∘，即AQ⊥AP .32. ∵△AOD和△AOE是等边三角形，∴∠E=∠AOF=60∘，AE=AO，∠OAE=60∘，∵∠BAC=60∘，∴∠FAO=∠EAG=60∘−∠CAO，在△AFO和△AGE中，{∠FAO=∠EAG AO=AE∠AOF=∠E，∴△AFO≌△AGE（ASA），∴AF=AG．33. （1）射线DE即为所求．（2）DE∥AC34. 过点O作OG⊥BC，OH⊥AC，OI⊥AB，垂足分别为G，H，I．∵CF平分∠ACB，OG⊥BC，OH⊥AC，∴OG=OH（角平分线上的点到角两边的距离相等）．∵BE平分∠ABC，OG⊥BC，OI⊥AB，∴OG=OI（角平分线上的点到角两边的距离相等）．∴OG=OH=OI，即点O到△ABC三边的距离相等．35. ∵ME∥BC，∴∠B=∠MED．∵MD⊥AB，∴∠MDE=90∘=∠C．又AC=MD，∴△ABC≌△MED(AAS)．。
浙教版数学八年级上册1.5《三角形全等的判定》(第3课时)教案
浙教版数学八年级上册1.5《三角形全等的判定》（第3课时）教案一. 教材分析《三角形全等的判定》是浙教版数学八年级上册第1.5节的内容，这部分内容是在学生已经掌握了三角形的基本概念、性质以及三角形相似的基础上进行学习的。
通过这部分的学习，使学生能够掌握三角形全等的判定方法，为进一步研究三角形的性质和解决相关问题打下基础。
二. 学情分析学生在学习这部分内容时，已经具备了一定的几何基础，对于三角形的相关概念和性质有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，往往还不能灵活运用所学的知识。
因此，在教学过程中，要注重引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握三角形全等的判定方法，能够运用所学的知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.重点：三角形全等的判定方法。
2.难点：如何运用三角形全等的判定方法解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设置问题，引导学生观察、操作、推理，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
同时，学生进行小组合作学习，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。
六. 教学准备1.教具准备：三角板、直尺、圆规等。
2.教学素材：相关例题和练习题。
3.教学环境：教室。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾三角形的相关概念和性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过讲解和示范，介绍三角形全等的判定方法。
引导学生观察、操作、推理，使学生掌握三角形全等的判定方法。
3.操练（10分钟）教师提出相关问题，引导学生运用所学的知识解决问题。
教师巡回指导，解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）教师学生进行小组合作学习，让学生通过实际操作，进一步巩固三角形全等的判定方法。
三角形全等的判定 浙教版八年级数学上册同步达标测试题(含答案)
1.5三角形全等的判定同步达标测试题一．选择题（共8小题，满分32分）1．如图，点A、B、C、D在一条直线上，点E、F在AD两侧，BF∥CE，BF＝CE，添加下列条件不能判定△ACE≌△DBF的是（）A．AE＝DF B．AB＝CD C．∠E＝∠F D．AE∥DF2．根据下列图中所给定的条件，找出全等的三角形（）A．①和②B．②和③C．①和③D．①和④3．如图，一块三角形的玻璃碎成3块（图中所标1、2、3），小华带第3块碎片去玻璃店，购买形状相同、大小相等的新玻璃，这是利用三角形全等中的（）A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS4．如图，AD∥BC，AB∥DC，则全等三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对5．如图，△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，BE＝CF，若∠A＝50°，则∠DEF的度数是（）A．75°B．70°C．65°D．60°6．如图，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝m，BF＝n，EF＝f，则AD的长为（）A．m+f B．n+f C．m﹣n+f D．m+n﹣f7．如图，已知∠EAC＝∠BAD，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠D．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE、下列说法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共8小题，满分32分）9．下列结论：①周长相等的两个等边三角形全等；②周长相等的两个等腰三角形全等；③面积相等的两个等边三角形全等；④面积相等的两个等腰三角形全等；其中所有正确结论的序号是．10．如图，在△ABC与△ADC中，已知∠BAC＝∠DAC，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ADC，（1）若以“SAS”为依据，则需添加一个条件是．（2）若以“AAS”为依据，则需添加一个条件是．（3）若以“ASA”为依据，则需添加一个条件是．11．如图，AB∥DC，AD∥BC，AC与BD交于点O，EF经过点O，与AD、BC分别交于点E和F，则图中共有对全等三角形．12．如图，方格纸中△ABC的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形，图中与△ABC全等的格点三角形共有个（不含△ABC）．13．如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为cm．14．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝65°，BD＝CE，BE＝CF，则∠DEF的度数是．15．如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为时，能够使△BPE 与△CQP全等．16．如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm．∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设运动时间为t（s），则当点Q的运动速度为cm/s时，△ACP与△BPQ有可能全等．三．解答题（共8小题，满分56分）17．如图，在△ABC中，O为BC中点，BD∥AC，直线OD交AC于点E．（1）求证：△BDO≌△CEO；（2）若AC＝6，BD＝4，求AE的长．18．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．求证：∠ABD＝∠ACE．19．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E是线段AD上的点，且AD＝BD，DE＝DC．（1）求证：∠EBD＝∠CAD；（2）若AC＝13，DE＝5，求BD的长．20．如图，在△ABC中，D为BC上一点，BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AE＝AF．求证：AB＝AC．21．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF．（1）求证：△ADE≌△ADF；（2）已知AC＝18，AB＝12，求BE的长．22．在①AD＝AE，②∠ABE＝∠ACD，③FB＝FC这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．问题：如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在AB边上（不与点A，点B重合），点E在AC边上（不与点A，点C重合），连接BE，CD，BE与CD相交于点F．若，求证：BE＝CD．23．如图1，AD为△ABC的中线，延长AD至E，使DE＝AD．（1）试证明：△ACD≌△EBD；（2）如图2，AD为△ABC中线，BM交AD于G，交AC于M，若AM＝GM，∠AGM＝∠MAG，求证：BG＝AC．24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝∠C＝50°，点D在线段BC上运动（D不与B，C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA＝120°时，∠EDC＝；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数，若不可以，请说明理由．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：∵BF∥CE，∴∠ACE＝∠DBF，又BF＝CE，∴若添加AE＝DF，则不能判定△ACE≌△DBF，故选项A符合题意；若添加AB＝CD，则AC＝DB，可以判断△ACE≌△DBF（SAS），故选项B不符合题意；若添加∠E＝∠F，可以判断△ACE≌△DBF（ASA），故选项C不符合题意；若添加AE∥DF，则∠A＝∠D，可以判断△ACE≌△DBF（AAS），故选项D不符合题意；故选：A．2．解：根据题意得，△ABC≌△HNM．故选：D．3．解：1、2块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第3块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．故选：B．4．解：有△AOD≌△COB，△AOB≌△COD，△ABC≌△CDA，△ABD≌△CDB，4对全等三角形，理由是：∵AD∥BC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，AO＝OC，OB＝OD，在△AOD和△COB中∴△AOD≌△COB（SSS），同理△AOB≌△COD（SSS），△ABC≌△CDA，△ABD≌△CDB．故选：C．5．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△DBE和△ECF中，，∴△DBE≌△ECF（SAS），∴∠EFC＝∠DEB，∵∠A＝50°，∴∠C＝（180°﹣50°）÷2＝65°，∴∠CFE+∠FEC＝180°﹣65°＝115°，∴∠DEB+∠FEC＝115°，∴∠DEF＝180°﹣115°＝65°，故选：C．6．解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°，∴∠A＝∠C，在△ABF与△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（AAS），∴AF＝CE＝m，BF＝DE＝n，∵EF＝f，∴AD＝AF+DF＝m+（n﹣f）＝m+n﹣f，故选：D．7．解：∵∠EAC＝∠BAD，∴∠EAC+∠BAE＝∠BAD+∠BAE，即∠BAC＝∠EAD，当AB＝AE时，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（SAS）；当BC＝ED时，不能判断△ABC≌△AED．当∠C＝∠D时，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（ASA）；当∠B＝∠D，而AC＝AD，所以∠B与∠D不是对应角，所以不能判断△ABC≌△AED．故选：C．8．解：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，又∠CDE＝∠BDF，DE＝DF，∴△BDF≌△CDE，故④正确；由△BDF≌△CDE，可知CE＝BF，故①正确；∵AD是△ABC的中线，∴△ABD和△ACD等底等高，∴△ABD和△ACD面积相等，故②正确；由△BDF≌△CDE，可知∠FBD＝∠ECD∴BF∥CE，故③正确．故选：D．二．填空题（共8小题，满分32分）9．解：①周长相等的两个等边三角形全等，符合题意；②周长相等的两个等腰三角形不一定全等，如两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，故周长相等的两个等腰三角形不一定全等，不符合题意；③面积相等的两个等边三角形全等，符合题意；④面积相等的两个等腰三角形不一定全等，如两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，故周长相等的两个等腰三角形不一定全等，不符合题意；故答案为：①③．10．解：（1）添加条件AB＝AD，在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△ADC（SAS），故答案为：AB＝AD；（2）添加条件∠B＝∠D，在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△ADC（AAS），故答案为：∠B＝∠D；（3）添加∠ACB＝∠ACD，在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△ADC（ASA），故答案为：∠ACB＝∠ACD．11．解：有6对全等三角形，△ABC≌△CDA，△ABD≌△CDB，△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，△AOE≌△COF，△DOE≌△BOF，∵AB∥DC，AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∠DCA＝∠BAC，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（ASA），∴AD＝CB，AB＝CD，同理△ABD≌△CDB，在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（AAS），同理△AOD≌△COB，∴AO＝CO，BO＝DO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），同理△DOE≌△BOF，故答案为：6．12．解：在图中画出格点三角形DEF，使得△DEF≌△ABC，如图1，当BC和EF重合时，则点D在点A右侧一个单位，满足条件，如图2，图3，当BC和EF平行时，则EF在线段BC上方两个单位，此时D点在线段BC中间的两个格点上，共有两个，综上可知最多可画3个格点三角形，故答案为：3．13．解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；由题意得：AD＝EC＝9cm，DC＝BE＝21cm，∴DE＝DC+CE＝30（cm），答：两堵木墙之间的距离为30cm．故答案为：30．14．解：在△DBE和△ECF中，，∴△DBE≌△ECF（SAS），∴∠BDE＝∠FEC，∵∠DEF+∠FEC＝∠B+∠BDE，∴∠DEF＝∠B＝65°，故答案为：65°．15．解：设点P运动的时间为t秒，则BP＝3t，CP＝8﹣3t，∵∠B＝∠C，∴①当BE＝CP＝5，BP＝CQ时，△BPE与△CQP全等，此时，5＝8﹣3t，解得t＝1，∴BP＝CQ＝3，此时，点Q的运动速度为3÷1＝3厘米/秒；②当BE＝CQ＝5，BP＝CP时，△BPE与△CQP全等，此时，3t＝8﹣3t，解得t＝，∴点Q的运动速度为5÷＝厘米/秒；故答案为：3厘米/秒或厘米/秒．16．解：设点Q的运动速度是xcm/s，∵∠CAB＝∠DBA，∴△ACP与△BPQ全等，有两种情况：①AP＝BP，AC＝BQ，则1×t＝4﹣1×t，解得：t＝2，则3＝2x，解得：x＝1.5；②AP＝BQ，AC＝BP，则1×t＝tx，4﹣1×t＝3，解得：t＝1，x＝1，故答案为：1或1.5．三．解答题（共8小题，满分56分）17．（1）证明：∵O为BC的中点，∴BO＝CO，∵BD∥AC，∴∠C＝∠OBD，∠CEO＝∠BDO，在△BDO和△CEO中，，∴△BDO≌△CEO（AAS）；（2）解：∵△BDO≌△CEO，∴BD＝CE，∵BD＝4，∴CE＝4，∵AC＝6，∴AE＝6﹣4＝2．18．证明：在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE．19．（1）证明：∵AD⊥BC，∴∠BDE＝∠ADC＝90°．在△BDE和△ADC中，，∴△BDE≌△ADC（SAS），∴∠EBD＝∠CAD；（2）解：∵∠ADC＝90°，AC＝13，DC＝DE＝5，∴AD＝＝＝12，∴AD＝BD＝12．20．证明：连接AD，如图所示：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD，在Rt△AED和Rt△AFD中，，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴DE＝DF，在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE＝CF，∵AE＝AF，∴AE+BE＝AF+CF，∴AB＝AC．21．（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E＝∠DFC＝∠DF A＝90°，在Rt△EBD与Rt△EBD中，∴Rt△EBD≌Rt△EBD（HL）；∴DE＝DF，在Rt△AED与Rt△AFD中，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）；（2）解：∵Rt△AED≌Rt△AFD，∴AE＝AF，∴AF＝12+BE，∵AC＝AF+FC∴AC＝AB+BE+FC，∴18＝12+BE+CF，∵BE＝CF．∴18＝12+2BE，∴BE＝3．22．证明：选择条件①的证明为：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD；选择条件②的证明为：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA），∴BE＝CD；选择条件③的证明为：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∵FB＝FC，∴∠FBC＝∠FCB，∴∠ABC﹣∠FBC＝∠ACB﹣∠FCB，即∠ABE＝∠ACD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA），∴BE＝CD．故答案为①AD＝AE（②∠ABE＝∠ACD或③FB＝FC）23．（1）证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△ACD和△EBD中，，∴△ACD≌△EBD（SAS）．（2）证明：延长AD到F，使AD＝DF，连接BF，∵AD是△ABC中线，∴BD＝DC，∵在△ADC和△FDB中，，∴△ADC≌△FDB（SAS），∴BF＝AC，∠CAD＝∠F，∵AM＝GM，∴∠CAD＝∠AGM，∵∠AGM＝∠BGF，∴∠BGF＝∠CAD＝∠F，∴BG＝BF＝AC，即BG＝AC．24．解：（1）∵在△BAD中，∠B＝∠C＝∠50°，∠BDA＝120°，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣50°﹣120°＝10°；∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣120°﹣50°＝10°．故答案为：10°，小；（2）当DC＝4时，△ABD≌△DCE，理由：∵∠C＝50°，∴∠DEC+∠EDC＝130°，又∵∠ADE＝50°，∴∠ADB+∠EDC＝130°，∴∠ADB＝∠DEC，又∵AB＝DC＝4，在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS），即当DC＝4时，△ABD≌△DCE．（3）当∠BDA的度数为100°或115°时，△ADE的形状是等腰三角形，∵∠BDA＝100°时，∴∠ADC＝80°，∵∠C＝50°，∴∠DAC＝50°，∴∠DAC＝∠ADE，∴△ADE的形状是等腰三角形；∵当∠BDA的度数为115°时，∴∠ADC＝65°，∵∠C＝50°，∴∠DAC＝65°，∵∠ADE＝50°，∴∠AED＝65°，∴∠DAC＝∠AED，∴△ADE的形状是等腰三角形．。
2019—2020年最新浙教版八年级数学上册《三角形全等的判定》同步练习题及答案.docx
浙教版八年级上1.5《三角形全等的判定》同步练习一、选择题1．下列各组图形中，一定全等的是（）A．两个等边三角形B．有个角是45°的两个等腰三角形C．腰和顶角对应相等的两个等腰三角形D．各有一个角是40°，腰长都为30cm的两个等腰三角形2．下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（）A．AAS B．SSA C．SAS D．SSS3．两边和一角对应相等的两个三角形（）A．全等B．不全等C．不一定全等D．以上判断都不对4．在△ABC和△DEF中，下列条件中，能根据它判定△ABC≌△DEF的是（）A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D B．∠A=∠D，∠C=∠F，AC=EFC．AB=DE，BC=EF，△ABC的周长=△DEF的周长D．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F5．如图1，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若边BC•长为8cm，则△ADE的周长为（）A．不能确定B．8cm C．16cm D．4cm6．如图，能运用“ASA”定理证明△AOB≌△DOC的是( )A．AO＝DO，∠A＝∠D B．AO＝DO，∠B＝∠CC．AO＝DO，BO＝CO D．AO＝DO，AB＝CD7．如图3，CD是AB的垂直平分线，若AC＝1.6 cm，BD＝2.3 cm，则四边形ABCD的周长是( )A．3.9 cm B．7.8 cm C．4 cm D．4.6 cm8．如图1，AD平分∠BAC，AB=AC，连接BD、CD，并延长交AC、AB于F、E，•则图形中全等三角形有（）A．2对B．3对C．4对D．5对二、填空题9．如图2，BC⊥AC，BD⊥AD，垂足分别是C和D，若要根据AAS定理，使△ABC•≌△A BD（AAS），应补上条件________或___________．10．如图3，已知∠1=∠2，∠3=∠4，说明A D=BC的理由．解：∵_________，__________（已知）∴∠1+∠3=_________．即_______=_______．在_________和________中∴△_______≌△_______（）∴AD=BC（）11．如果点P是三角形三条角平分线的交点，则点P到三角形_______的距离相等．12.如图，AB＝AC，DE垂直平分AB交AB于点D，交AC于点E，若△ABC 的周长为28，BC＝8，求△BCE的周长．三、简答题13．如图，已知M是AB的中点，∠1=∠2，∠C=∠D．说出下列判断正确的理由：（1）△AMC≌△BMD；（2）AC=BD．14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作AE•的垂线CF，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于点D．（1）试说明：AE=CD；（2）AC=12cm，求BD的长．15．如图，在△ABD和△ACE中，有下列4个诊断：①AB=AC，②∠B=∠C，•③∠BAC=∠EAD，④AD=AE．请以其中三个诊断作条件，余下一个诊断作为结论（用序号○×○×○× ○×的形式）写出一个由三个条件能推出结论成立的式子，并说明原因．16．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，BD平分∠CBA，DE⊥AB于E，试说明：AD+DE=BE．17．如图，在五边形ABCDE中，∠B=∠E，∠C=∠D，AM⊥CD于M，BC=DE，试说明M为CD的中点．答案:1.5（3）1.C 2.B 3.C 4.C 5.B 6.C 7.B 8.D9．∠CAB=∠BAD ∠CBA=∠DBA10．∠1=∠2 ∠3=∠4 ∠2+∠4 ∠DAB ∠CBA △BCA △ADB ∠1=∠2已知AB=BC 公共边相等∠CBA=∠DAB 已证BCA ADB ASA 全等三角形对应边相等11．三边12．1813．M为AB的中点∴AM=•BM又∵∠1=∠2 ∠C=∠D∴△ACM≌△BDM（AAS）∴AC=BD14．（1）∠DCB+∠DCA=•∠EAC+∠ACF=90°∴∠EAC=∠DCB，则△DCB≌△EAC（AAS）∴AE=CD（2）•由△DCB≌△EAC得∴CE=DB∵E为BC的中点∴DB=12BC=12AC=6cm •15．•如①②③ ④•∵∠BAC=∠EAD ∴∠BAD=∠CAE又∵∠B=∠C AB=AC∴△BAD≌△CAE ∴AD=•AE •16．证△BCD≌△BED，得BC=BE，DC=DE∴AD+DE=AD+DC=AC=BC=BE17．延长AB、AE交CD的延长线于H、F ∠ABC=∠AED ∠BCD=∠EDC ∴∠HBC=∠FED ∠BCH=∠EDF又BC=DF ∴△B CH≌△EDF（AAS）∴CH=DF 在△AMH与△AMF中，∠H=∠F ∠AMH=•∠AMF AM=AM ∴△AMH≌△AMF（AAS）∴HM=FH∴CM=DM。
专题1.5 全等三角形的判定【八大题型】(举一反三)(浙教版)(原卷版)
专题1.5 全等三角形的判定【八大题型】【浙教版】【题型1 全等三角形的判定条件】 (1)【题型2 证明两个三角形全等】 (2)【题型3 全等三角形的判定与性质（证两次全等）】 (3)【题型4 全等三角形的判定与性质（证垂直）】 (4)【题型5 全等三角形的判定与性质（多结论）】 (5)【题型6 全等三角形的判定与性质（探究角度之间的关系）】 (6)【题型7 全等三角形的判定与性质（探究线段之间的关系）】 (8)【题型8 全等三角形的应用】 (9)【题型1 全等三角形的判定条件】【例1】（2022春•顺德区期末）如图，∠A＝∠D＝90°，给出下列条件：①AB＝DC，②OB＝OC，③∠ABC＝∠DCB，④∠ABO＝∠DCO，从中添加一个条件后，能证明△ABC≌△DCB的是（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④【变式1-1】（2021秋•庐阳区期末）如图，点B、E在线段CD上，若∠A＝∠DEF，则添加下列条件，不一定能使△ABC≌△EFD的是（）A．∠C＝∠D，AC＝DE B．BC＝DF，AC＝DEC．∠ABC＝∠DFE，AC＝DE D．AC＝DE，AB＝EF【变式1-2】（2021秋•源汇区校级期末）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件之一：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式1-3】（2022秋•佳木斯期末）在△ABC和△DEF中，其中∠C＝∠F，则下列条件：①AC＝DF，∠A＝∠D；②AC＝DF，BC＝EF；③∠A＝∠D，∠B＝∠E；④AB＝DE，∠B＝∠E；⑤AC＝DF，AB＝DE．其中能够判定这两个三角形全等的是（）A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤【题型2 证明两个三角形全等】【例2】（2022春•鼓楼区校级期末）如图，点A，E，F，B在同一直线上，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E，F，AE＝BF，∠A＝∠B．求证：△ADF≌△BCE．【变式2-1】（2021秋•肥西县期末）已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝65°，∠D＝115°，求证：△ABC≌△EAD．【变式2-2】（2021秋•信州区校级期中）如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，分别过点B、C作BE ⊥AD于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：△BDE≌△CDF．【变式2-3】（2022•河源模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点M为对角线AC上一点，连接BM，若AC＝BC，∠AMB＝∠BCD，求证：△ADC≌△CMB．【题型3 全等三角形的判定与性质（证两次全等）】【例3】（2022春•徐汇区校级期末）如图，已知AE∥DF，OE＝OF，∠B＝∠C，求证：AB＝CD．【变式3-1】（2021春•横山区期中）如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，连接BD，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF．【变式3-2】（2021秋•石阡县期末）如图，AB＝AC，E、D分别是AB、AC的中点，AF⊥BD，垂足为点F，AG⊥CE，垂足为点G，试判断AF与AG的数量关系，并说明理由．【变式3-3】（2021秋•沂源县期末）如图，AD＝AC，AB＝AE，∠DAB＝∠CAE．（1）△ADE与△ACB全等吗？说明理由；（2）判断线段DF与CF的数量关系，并说明理由．【题型4 全等三角形的判定与性质（证垂直）】【例4】（2022秋•孟津县期末）如图，BM，CN分别是钝角△ABC的高，点Q是射线CN上的点，点P在线段BM上，且BP＝AC，CQ＝AB，请问AP与AQ有什么样的关系？请说明理由．【变式4-1】（2022春•金牛区校级期中）如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE 上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连结AD、AG．（1）求证：∠ABE＝∠ACG；（2）试判：AG与AD的关系？并说明理由．【变式4-2】（2021春•亭湖区校级期末）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．BE⊥AC，垂足为G，AB ＝CF，BE＝AC．（1）求证：AE＝AF；（2）AE与AF有何位置关系．请说明理由．【变式4-3】（2021春•泰兴市期末）如图，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AD上，DE＝DC，BD＝AD，点F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使FM＝EF，连接CM．（1）求证：BE＝AC；（2）试判断线段AC与线段MC的关系，并证明你的结论．【题型5 全等三角形的判定与性质（多结论）】【例5】（2022春•九龙坡区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，过点A作AF ∥BC且AF＝AD，点E是AC上一点且AE＝AB，连接EF，DE．连接FD交BE于点G．下列结论中正确的有（）个．①∠F AE＝∠DAB；②BD＝EF；③FD平分∠AFE；④S四边形ABDE＝S四边形ADEF；⑤BG＝GE．A．2B．3C．4D．5【变式5-1】（2021秋•垦利区期末）如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM ⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论：①AP＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝30°；④AM＝AN．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【变式5-2】（2021春•锦州期末）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD（OA＜OC），∠AOB ＝∠COD＝α，直线AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD，②∠OAM＝∠OBM，③∠AMB＝α，④OM平分∠BOC，其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1【变式5-3】（2021春•江北区校级期末）如图，已知AB＝AC，点D、E分别在AC、AB上且AE＝AD，连接EC，BD，EC交BD于点M，连接AM，过点A分别作AF⊥CE，AG⊥BD，垂足分别为F、G，下列结论：①△EBM≌△DCM；②∠EMB＝∠F AG；③MA平分∠EMD；④若点E是AB的中点，则BM+AC ＞EM+BD；⑤如果S△BEM＝S△ADM，则E是AB的中点；其中正确结论的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个【题型6 全等三角形的判定与性质（探究角度之间的关系）】【例6】（2022春•杏花岭区校级期中）已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．（1）如图1，当点D在BC上时，求证：BD＝CE；（2）如图2，当点D、E、C在同一直线上，且∠BAC＝α，∠BAE＝β时，求∠DBC的度数（用含α和β的式子表示）．【变式6-1】（2022•南京模拟）在△ABC中，AB＝AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC＝90°时，那么∠DCE＝度；（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接写出此时α与β之间的数量关系（不需证明）．【变式6-2】（2022秋•江夏区期末）已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE，连接DC与BE，G、F分别是DC与BE的中点．（1）如图1，若∠DAB＝60°，则∠AFG＝；（2）如图2，若∠DAB＝90°，则∠AFG＝；（3）如图3，若∠DAB＝α，试探究∠AFG与α的数量关系，并给予证明．【变式6-3】（2021秋•肥西县期末）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，连接AD，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝26°，则∠DCE＝．（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．【题型7 全等三角形的判定与性质（探究线段之间的关系）】【例7】（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，延长BD 交AC于E，G、F分别在BD、BC上，连接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE．（1）当∠A＝80°时，求∠EDC的度数；（2）求证：CF＝FG+CE．【变式7-1】（2022•黄州区校级模拟）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠F AE的度数；（3）求证：CD＝2BF+DE．【变式7-2】（2021秋•两江新区期末）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC＝DE，BC＝BE．（1）求证：AB＝BD；（2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK＝DG+KG．【变式7-3】（2022春•济南期中）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）【题型8 全等三角形的应用】【例8】（2022春•二七区期末）为了测量一池塘的两端A，B之间的距离，同学们想出了如下的两种方案：方案①如图1，先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至点D，BC至点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距离就是AB的长；方案②如图2，过点B作AB的垂线BF，在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过D作BD的垂线DE，在垂线上选一点E，使A、C、E三点在一条直线上，则测出DE的长即是AB的距离．问：（1）方案①是否可行？请说明理由；（2）方案②是否可行？请说明理由；（3）小明说在方案②中，并不一定需要BF⊥AB，DE⊥BF，只需要就可以了，请把小明所说的条件补上．【变式8-1】（2021春•普宁市期末）学校为开展数学实践活动，成立了以小明为首的户外测量小组，测量小组带有测量工具：绳子、拉尺、小红旗、测角器（可测量两个点分别到测量者连线之间的夹角大小）．小明小组的任务是测量某池塘不能直接到达的两个端点A、B之间的距离．（1）小明小组提出了测量方案：在池塘南面的空地上（如图），取一个可直接到达A、B的点C，用绳子连接AC和BC，并利用绳子分别延长AC至D、BC至E，使用拉尺丈量CD＝CA、CE＝CB，确定D、E两个点后，最后用拉尺直接量出线段DE的长，则端点A、B之间的距离就是DE的长．你认为小明小组测量方案正确吗？请说明理由．（2）你还有不同于小明小组的其他测量方法吗？请写出其中一个完整的测量方案（在备用图1中画出简图，但不必说明理由）．（3）假设池塘南面（即点D、E附近区域）没有足够空地（或空地有障碍物或不可直达等不可测量情况），而点B的右侧区域有足够空地并可用于测量，请你设计一个可行的测量方案（在备用图2中画出图形），并说明理由．【变式8-2】（2022春•金乡县期中）如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小明家所在单元楼AB的高度，首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小华在自己家阳台C处测得E处的俯角为∠1，小明站在E处测得眼睛F到AB楼端点A的仰角为∠2，发现∠1与∠2互余，已知EF＝1米，BE＝CD＝20米，BD＝58米，试求单元楼AB的高．【变式8-3】（2022春•郑州期末）阅读并完成相应的任务．如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的B点（AB与堤岸垂直）停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案．课题测凉亭与游艇之间的距离测量工具皮尺等测量方案示意图（不完整）测量步骤①小明沿堤岸走到电线杆C旁（直线AC与堤岸平行）；②再往前走相同的距离，到达D点；③他到达D点后向左转90度直行，当自己，电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时小明位于点E处．测量数据AC＝20米，CD＝20米，DE＝8米（1）任务一：根据题意将测量方案示意图补充完整．（2）任务二：①凉亭与游艇之间的距离是米．②请你说明小明方案正确的理由．。
新浙教版八年级上1.5三角形全等的判定(3)
F
问题 与解决
如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为两块,他是否可以 只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的 三角形模具吗?如果可以,带哪块去合适?你能说明其中理 由吗?
② ①
根据ASA公理，已知三角形的两个角和它们的夹边就 能作出这个三角形.
试一试：
如图,已知∠1=∠2, ∠3=∠4。说出下列判断成立的 理由： △ABC≌ △ ABD
A
1 2
B
D
E
C
我们知道，要判定两个三角形全等，需要3个条件。 前面我们已经讨论过： 三个角（AAA）×
√ 三条边（SSS） √ 两边及其夹角（SAS） 两边及一角 × 两边及பைடு நூலகம்边的对角（SSA）
两角及一边 两角及其夹边（ASA）
？
两角及一角的对边（AAS）
有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形一定 全等吗？请用量角器和刻度尺画Δ ABC，使BC=3， ∠B=400、 ∠C=600 将你画的三角形与其他同学画的三 角形比较，你发现了什么？
A
有两个角和这两个角的夹边对 应相等的两个三角形全等。 （简写成“角边角”或 “ASA”）
C
600 3cm
400
B
有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三 角形全等 (ASA)
A
在△ABC和△DEF中 ∠B=∠E (已知)
B C
BC= EF
(已知)
(已知) E
D
∠C= ∠ F
∴ΔABC≌ΔDEF（ASA）
D A 2 1 B 4 3 C
变式1：如图，EF//BC,AF=DC,再添加什么条件，能使AB=DE.
E A F C B D
A
浙教版初中数学八年级上册 1.5 三角形全等的判定同步练习题测试卷题
重点知识精选
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1.5 三角形全等的判定
一、选择题：
1、下 列各组条件中能判定△ABC≌△DEF 的是（ ）
A、AB=DE，BC=EF,∠A=∠D
B、∠A=∠D，∠C=∠ F,AC=EF
C、AB=DE,BC=EF,ΔABC 的周长等于 ΔDEF 的周长 D、∠ A=∠D，∠B=∠ E, ∠C=∠F
)个.
A. 4 B. 3 C. 2
D. 1
C
E 1 A 2
B
D
5、如图,已知 ∠1=∠2,AC=AD,增加下列条件:①AB=AE,②BC=ED,③∠C=∠D,④ ∠B=∠E,其
中能使 ΔABC≌ΔAED 的条件有(
)个.
A.4
B.3
C.2
D.1
C
E
1 A
2 B
D
6、在△ABC 和△ A‘B’C‘ 中，①AB= A‘B’,②BC= B’C‘③AC= A‘C‘ ④∠A=∠ A‘ ⑤∠B=∠ B’
C、∠A=∠A / ，AB= A / B / ，BC= B / C / D、AB= A / B / , AC=A / C / ,BC= B / C /
4、如图,已知∠1=∠2,AC=AD,增加下列条件:①AB=AE,②BC=ED,③∠C=∠D,④ ∠B=∠E,其
中能使 ΔABC≌ΔAED 的条件有(
已知： EG∥AF 求证：
相信自己，就能走向成功的第一步 教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。数学思维
可以让他们更理性地看待人生
6、如图，Rt ABC 中，直角边 、 ，斜边
7、如图，AB BE 于 B，DE BE 于 E，
浙教版初中数学八年级上册 1.5 三角形全等的判定(第3课时) 课件
5．(4分)如图所示，AB∥CD，AD∥BC，BE ＝DF，则图中全等三角形共有( B )
A．2对 C．4对
B．3对 D．5对
6．(10分)判断下列条件能否判定△ABC≌△DEF，并说
明理由． (1)∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠D； (2)∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E. 解：(1)不能判定，因为不是两角及其夹边对应相等 (2)能判定，因为是两角及其夹边对应相等
第7题图
第8题图
ABC
ABD
ABC
ABD ABC AD=AC
10．(10分)已知BE∥DF，∠A＝∠C，AE＝CF，那么△ADF 和△CBE全等吗？请说明理由．
解：△ADF≌△CBE， 理由∵BE∥DF， ∴∠BEC＝∠DFA， ∵AE＝CF， ∴AE＋EF＝CF＋EF， 即AF＝CE， 又∵∠A＝∠C. ∴△ADF≌△CBE
11．(10分)如图，已知AB∥DC，AD∥BC.求证： △ABD≌△CDB.
证明：∵AB∥DC，AD∥BC， ∴∠4＝∠2，∠1＝∠3， 又∵BD＝DB， ∴△ABD≌△CDB
12．(10分)八年级数学兴趣小组要测量河中浅滩B(可看成一点)与对岸 A的距离，先在另一岸边确定点C，使C，A，B在同一条直线上，再在 AC的垂直方向上作线段CD，取它的中点O.然后作DF垂直于CD，使F， O，A在同一条直线上，在DF上取一点E，使E，O，B也在同一条直线 上，那么EF的长就是浅滩B与对岸A的距离，你能说出同学们这样做的
浙教版八年级数学上册.5 三角形全等的判定(三)
1．5三角形全等的判定(三)1. 在△ABC和△DEF中，已知AB＝4，∠A＝35°，∠B＝70°，DE＝4，∠D＝__35°__，∠E＝70°，可以根据__ASA__判定△ABC≌△DEF.(第2题)2. 如图，∠B＝∠DEF，AB＝DE.要证明△ABC≌△DEF，若以“ASA”为依据，需添加的条件是∠A ＝∠D．3．如图，点B在AE上，且∠CAB＝∠DAB，要使△ABC≌△ABD，可补充的一个条件是(写一个即可)：AC＝AD或∠C＝∠D等．(第3题)(第4题)4．如图，在△AEB和△AFC中，BE与AC交于点M，与CF交于点D，AB与CF交于点N，∠E ＝∠F＝90°，∠EAC＝∠F AB，AE＝AF.给出下列结论：①∠B＝∠C；②CD＝DN；③BE＝CF；④△CAN≌△BAM.其中正确的结论是(A)A．①③④B．②③④C．①②③D．①②④5．如图，已知∠A＝∠D，∠1＝∠2，要利用“ASA”得到△ABC≌△DEF，还应给出的条件是(D) A．∠E＝∠B B．ED＝BCC．AB＝EF D．AF＝CD(第5题)(第6题)6．如图，一块玻璃碎成三片，现要去玻璃店配一块一模一样的玻璃，最省力的办法是带哪块去(C) A. ① B. ②C. ③D. ①②③7．在△ABC与△A1B1C1中，下列不能判定△ABC≌A1B1C1的是(B)A．AB＝A1B1，BC＝B1C1，∠B＝∠B1B．AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠C＝∠C1C．∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，BC＝B1C1D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，AC＝A1C18．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是(B)(第8题)A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙(第9题)9．如图，AC和BD交于点O，AO＝CO，AB∥CD.求证：BO＝DO.【解】∵AB∥CD，∴∠A ＝∠C.在△ABO 和△CDO 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠C ，AO ＝CO ，∠AOB ＝∠COD ，∴△ABO ≌△CDO(ASA)，∴BO ＝DO.(第10题)10．如图，已知AB ∥CD ，∠M ＝∠Q ，P ，N 是MQ 与CD ，AB 的交点，A 是MD 上一点，C 是BQ 上一点，MN ＝PQ.求证：AM ＝CQ. 【解】 ∵AB ∥CD ， ∴∠MNA ＝∠MPD.又∵∠QPC ＝∠MPD(对顶角相等)， ∴∠MNA ＝∠QPC.在△NAM 和△PCQ 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠MNA ＝∠QPC ，MN ＝QP ，∠M ＝∠Q ，∴△NAM ≌△PCQ(ASA)．∴AM ＝CQ.(第11题)11．如图，已知点B ，C ，F ，E 在同一条直线上，FB ＝CE ，AB ∥ED ，AC ∥FD ，求证：AB ＝DE.【解】 ∵AB ∥ED ， ∴∠B ＝∠E.∵AC ∥FD ，∴∠ACF ＝∠DFC ，∴∠1＝∠2. ∵FB ＝CE ，∴FB －CF ＝CE －CF ，∴BC ＝EF. 在△ABC 和△DEF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，∠1＝∠2，∴△ABC ≌△DEF(ASA)， ∴AB ＝DE.(第12题)12．如图，AB ⊥BC 于点B ，DC ⊥AC 于点C ，过点D 作DE ⊥BC 于点F ，DE 与AC 交于点E ，AB ＝EC ，试判断AC 与ED 的数量关系，并说明理由． 【解】 AC ＝ED.理由如下： ∵AB ⊥BC ，DE ⊥BC ， ∴AB ∥DE ，∴∠A ＝∠DEC.∵AB ⊥BC ，CD ⊥AC ，∴∠B ＝∠DCE ＝90°. 在△ABC 和△ECD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠DEC ，AB ＝EC ，∠B ＝∠DCE ，∴△ABC ≌△ECD (ASA )，∴AC ＝ED.(第13题)13．如图，E 是△ABC 外一点，点D 在BC 边上，DE 交AC 于点F ，∠1＝∠2＝∠3，AC ＝AE.求证：BC ＝DE.【解】 ∵∠2＝∠3，∠AFE ＝∠DFC(对顶角相等)， ∴∠C ＝∠E.又∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD ，即∠BAC ＝∠DAE. 在△ABC 和△ADE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠C ＝∠E ，AC ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，∴△ABC ≌△ADE(ASA)，∴BC ＝DE.初中数学试卷金戈铁骑 制作。
浙教版八年级数学上册.5 三角形全等的判定.docx
1.5 三角形全等的判定专题一利用全等探究线段数量关系1. 如图，已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D．PC和PD有怎样的数量关系，证明你的结论．2. 如图，已知AB＝DC，AC＝BD，AC、BD相交于点E，过E点作EF∥B C，交CD于F.⑴根据给出的条件，可以直接证明哪两个三角形全等？并加以证明．⑵EF平分∠DEC吗？为什么？3. 如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；（2）求证：BG2-GE2=EA2．专题二综合探究题4. （1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC 上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．课时笔记【知识要点】1. 全等三角形的判定三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）；两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）；两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）；两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）．2. 三角形的稳定性当三角形的三条边长确定时，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫做三角形的稳定性.3. 线段的垂直平分线的概念与性质概念：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线.性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.4. 角平分线的性质角平分线上的点到角两边的距离相等.【温馨提示】1. 线段的垂直平分线是一条直线，不是射线也不是线段.2. 证明两个三角形全等，需写出所需的三组条件，并用大括号括在一起，注意对应位置.3. 书写证明过程要注意格式，即：①准备条件：把题中没有直接的条件证明出来；②指明范围：在哪两个三角形中；③摆齐条件：把要证明的两个三角形全等的条件按顺序摆好；④得出结论：得出三角形全等的纵论．【方法技巧】1. 要说明两条线段相等的方法可以通过说明三角形全等来解决.2. 要充分挖掘隐含条件，如公共边，当公共边是对应边时，它们是相等的．3. 需要抓住图形特征，有时需运用等式的性质创造对应边相等的条件，从而证两个三角形全等．参考答案：1. 解：PC=PD．证明：如图，作PE⊥OC于E，PF⊥OB于F．可得∠PEC=∠PFD=90°，PE=PF．又∵∠CPE＋∠EPD=∠FPD＋∠EPD=90°，∴∠EPC =∠FPD．∴△CPE≌△DPF（ASA）．∴PC=PD．1.解：⑴可以直接证明△ABC≌△DCB．∵AB＝DC，AC＝BD，BC=CB，∴△ABC≌△DCB．⑵∵△ABC≌△DCB，∴∠ACB =∠DBC．又∵EF∥B C，∴∠ACB =∠FEC，∴∠DBC =∠DEF，即∠FEC =∠DEF．∴EF平分∠DEC．2.证明：（1）BH=AC.∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°.∵∠ABC=45°，∴∠BCD=180°-90°-45°=45°=∠ABC.∴DB=DC，∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠HBD=90°，∴∠HBD=∠ACD.在△DBH和△DCA中∴△DBH≌△DCA（ASA），∴BH=AC．（2）连接CG，∵∠ABC=45°，CD⊥AB，∴∠BCD=90°−∠ABC=45°=∠ABC，∴DB=CD.∵F为BC的中点，∴DF垂直平分BC.∴BG=CG.∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，∴EC=EA.在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG2-GE2=CE2.∵CE=AE，BG=CG，∴BG2-GE2=EA2．3.解：（1）AF=BD.证明如下：∵△ABC是等边三角形（已知），∴BC=AC，∠BCA=60°（等边三角形的性质）.同理知，DC=CF，∠DCF=60°.∴∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA，即∠BCD=∠ACF.在△BCD和△ACF中，∴△BCD≌△ACF（SAS）.∴BD=AF（全等三角形的对应边相等）.（2）证明过程同（1），证得△BCD≌△ACF（SAS），则AF=BD（全等三角形的对应边相等），所以当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，AF=BD仍然成立.（3）Ⅰ．AF+BF′=AB.证明如下：由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），则BD=AF；同理△BCF′≌△ACD，则BF′=AD.∴AF+BF′=BD+AD=AB；Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立．新的结论是AF=AB+BF′.证明如下：在△BCF′和△ACD中，∴△BCF′≌△ACD（SAS）.∴BF′=AD（全等三角形的对应边相等）.又由（2）知，AF=BD,∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′．初中数学试卷。
新浙教版八年级数学上册练习：1.5三角形全等的判定一练习
1.5 三角形全等的判定（一）A 组1．下列命题中，正确的是(A )A ． 三条边对应相等的两个三角形全等B ． 周长相等的两个三角形全等C ． 三个角对应相等的两个三角形全等D ． 面积相等的两个三角形全等2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，EB ＝EC ，点E 在AD 上，依据“SSS”可以直接判定(B )A ． △ADB ≌△ADC B ． △ABE ≌△ACEC ． △BDE ≌△CDED ． 以上都不对, (第2题)) , (第3题))3．工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M ，N 重合，过角尺顶点C 作射线OC ． 由此作法得△MOC ≌△NOC 的依据是__SSS __．4．如图，已知AB ＝AC ，BE ＝CD ，要使△ABE≌△ACD，依据“SSS”还需添加的一个条件是：AE ＝AD 或CE ＝BD ．(第4题)(第5题)5．如图，AB ＝AE ，AC ＝AD ，BD ＝CE ．求证：△ABC≌△AED．【解】 ∵BD＝CE ，∴BD －CD ＝CE －CD ，即BC ＝ED ．在△ABC 和△AED 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AE ，AC ＝AD ，BC ＝ED ，∴△ABC ≌△AED(SSS)．(第6题)6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ．分别以点B ，C 为圆心，BC 长为半径在BC 下方画弧，设两弧交于点D ，与AB ，AC 的延长线分别交于点E ，F ，连结AD ，BD ，CD ．求证：AD 平分∠BAC．【解】 由作图可知，BD ＝CD ．在△ABD 和△ACD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，BD ＝CD ，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD(SSS)，∴∠BAD ＝∠CAD，即AD 平分∠BAC．(第7题)7．如图，点B ，F ，C ，E 在同一条直线上，BF ＝EC ，AB ＝DE ，AC ＝DF ．求证：AB∥DE．【解】 ∵BF＝EC ，∴BF ＋FC ＝EC ＋FC ，即BC ＝EF ．在△ABC 和△DEF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∴△ABC ≌△DEF(SSS)，∴∠B ＝∠E，∴AB ∥DE ．B 组8．在如图所示的4×4正方形网格中，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝315°．【解】 由图可知，∠1所在的最大的直角三角形与∠7所在的最大的直角三角形全等， ∴∠1＋∠7＝90°．同理，∠2＋∠6＝90°，∠3＋∠5＝90°．又∵∠4＝45°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝315°．, (第8题)) ,(第9题))9．在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC 是格点三角形(即顶点恰好是正方形的顶点)，则与△ABC 有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是__4__．【解】 以BC 边为公共边的三角形有3个，以AB 边为公共边的三角形有0个，以AC 边为公共边的三角形有1个，共3＋0＋1＝4(个)．(第10题)10．如图，在四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，连结AC ，AE ．若AB ＝AC ，AE ＝CD ，AD ＝CE ，则图中的全等三角形有几对？【解】 ∵E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ．在△ABE 和△ACE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，AE ＝AE ，BE ＝CE ，∴△ABE ≌△ACE(SSS)．在△ACE 和△CAD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝CD ，AC ＝CA ，CE ＝AD ，∴△ACE ≌△CAD(SSS)．∴△ABE ≌△CAD ．∴共有3对．(第11题)11．如图，已知AB ＝DC ，DB ＝AC ．(1)求证：∠ABD＝∠DCA．注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据．(2)在(1)的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？【解】 (1)连结AD ．在△BAD 和△CDA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DC ，DB ＝AC ，AD ＝DA ，∴△BAD ≌△CDA(SSS)，∴∠ABD ＝∠DCA(全等三角形的对应角相等)．(2)作辅助线的意图是构造全等三角形．数学乐园(第12题)12．在学习了利用尺规作一个角的平分线后，爱钻研的小聪发现，只有一把刻度尺也可以作出一个角的平分线．他是这样作的(如图)：(1)分别在∠AOB 的两边OA ，OB 上各取一点C ，D ，使得OC ＝OD ．(2)连结CD ，并量出CD 的长度，取CD 的中点E ．(3)过O ，E 两点作射线OE ，则OE 就是∠AOB 的平分线．请你说出小聪这样作的理由．【解】 ∵E 是CD 的中点，∴CE ＝DE ．在△OCE 和△ODE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝DE ，OC ＝OD ，OE ＝OE ，∴△OCE ≌△ODE(SSS)．∴∠COE ＝∠DOE，即OE 是∠AOB 的平分线．。
浙教版八年级数学上册.5 三角形全等的判定(三)
1．5 三角形全等的判定(三)1. 在△ABC和△DEF中，已知AB＝4，∠A＝35°，∠B＝70°，DE＝4，∠D＝__35°__，∠E＝70°，可以根据__ASA__判定△ABC≌△DEF.(第2题)2. 如图，∠B＝∠DEF，AB＝DE.要证明△ABC≌△DEF，若以“ASA”为依据，需添加的条件是∠A＝∠D．3．如图，点B在AE上，且∠CAB＝∠DAB，要使△ABC≌△ABD，可补充的一个条件是(写一个即可)：AC＝AD或∠C＝∠D等．(第3题) (第4题)4．如图，在△AEB和△AFC中，BE与AC交于点M，与CF交于点D，AB与CF交于点N，∠E＝∠F＝90°，∠EAC＝∠FAB，AE＝AF.给出下列结论：①∠B＝∠C；②CD＝DN；③BE＝CF；④△CAN≌△BAM.其中正确的结论是(A)A．①③④ B．②③④C．①②③ D．①②④5．如图，已知∠A＝∠D，∠1＝∠2，要利用“ASA”得到△ABC≌△DEF，还应给出的条件是(D) A．∠E＝∠B B．ED＝BCC．AB＝EF D．AF＝CD(第5题) (第6题)6．如图，一块玻璃碎成三片，现要去玻璃店配一块一模一样的玻璃，最省力的办法是带哪块去(C) A. ① B. ②C. ③D. ①②③7．在△ABC与△A1B1C1中，下列不能判定△ABC≌A1B1C1的是(B)A．AB＝A1B1，BC＝B1C1，∠B＝∠B1B．AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠C＝∠C1C．∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，BC＝B1C1D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，AC＝A1C18．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是(B)(第8题)A．甲和乙 B．乙和丙C．只有乙 D．只有丙(第9题)9．如图，AC和BD交于点O，AO＝CO，AB∥CD.求证：BO＝DO. 【解】∵AB∥CD，∴∠A＝∠C.在△ABO和△CDO中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠C ，AO ＝CO ，∠AOB ＝∠COD ，∴△ABO ≌△CDO(ASA)，∴BO ＝DO.(第10题)10．如图，已知AB ∥CD ，∠M ＝∠Q ，P ，N 是MQ 与CD ，AB 的交点，A 是MD 上一点，C 是BQ 上一点，MN ＝PQ.求证：AM ＝CQ. 【解】 ∵AB ∥CD ， ∴∠MNA ＝∠MPD.又∵∠QPC ＝∠MPD(对顶角相等)， ∴∠MNA ＝∠QPC.在△NAM 和△PCQ 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠MNA ＝∠QPC ，MN ＝QP ，∠M ＝∠Q ，∴△NAM ≌△PCQ(ASA)．∴AM ＝CQ.(第11题)11．如图，已知点B ，C ，F ，E 在同一条直线上，FB ＝CE ，AB ∥ED ，AC ∥FD ，求证：AB ＝DE. 【解】 ∵AB ∥ED ， ∴∠B ＝∠E.∵AC ∥FD ，∴∠ACF ＝∠DFC ，∴∠1＝∠2. ∵FB ＝CE ，∴FB －CF ＝CE －CF ，∴BC ＝EF. 在△ABC 和△DEF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，∠1＝∠2，∴△ABC ≌△DEF(ASA)， ∴AB ＝DE.(第12题)12．如图，AB ⊥BC 于点B ，DC ⊥AC 于点C ，过点D 作DE ⊥BC 于点F ，DE 与AC 交于点E ，AB ＝EC ，试判断AC 与ED 的数量关系，并说明理由． 【解】 AC ＝ED.理由如下： ∵AB ⊥BC ，DE ⊥BC ， ∴AB ∥DE ，∴∠A ＝∠DEC.∵AB ⊥BC ，CD ⊥AC ，∴∠B ＝∠DCE ＝90°. 在△ABC 和△ECD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠DEC ，AB ＝EC ，∠B ＝∠DCE ，∴△ABC ≌△ECD (ASA )，∴AC ＝ED .(第13题)13．如图，E 是△ABC 外一点，点D 在BC 边上，DE 交AC 于点F ，∠1＝∠2＝∠3，AC ＝AE.求证：BC ＝DE.【解】 ∵∠2＝∠3，∠AFE ＝∠DFC(对顶角相等)， ∴∠C ＝∠E.又∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD ，即∠BAC ＝∠DAE. 在△ABC 和△ADE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠C ＝∠E ，AC ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，∴△ABC≌△ADE(ASA)，∴BC＝DE.初中数学试卷。
浙教版八年级数学上册.5 三角形全等的判定
1.5 三角形全等的判定一、选择题（共10小题；共50分）1. 如图所示，点在的边上，且，则点在 ( )的垂直平分线上．A. B. C. D. 不能确定2. 能判定的条件是A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，3. 在和中，已知，，要判定这两个三角形全等，还需要条件A. B. C. D.4. 如图，要测量河两岸相对的两点、间的距离，先在过点的的垂线上取两点、，使，再在过的垂线上取点，使、、在一条直线上，这时，．测得的长就是、的距离，这里判断的理由是A. B. C. D.5. 如图，已知，分别是的外角，的平分线，，，垂足分别为，，那么与的大小关系是 ( )A. B. C. D. 无法确定6. 如图所示，四边形中，平分，于点，，下列结论：其中正确的是① ；② ；③ ；④ ．A. ②B. ①②③C. ①②④D. ①②③④7. 如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是① 是的平分线；② ；③点在的垂直平分线上．A. B. C. D.8. 如图，在中的垂直平分线交于点，交线段于点．，，则的周长是A. B. C. D.9. 已知，的周长相等，现有两个判断：①若，，则；②若，，则，对于上述的两个判断，下列说法正确的是 ( )A. ①正确，②错误B. ①错误，②正确C. ①，②都错误D. ①，②都正确10. 如图所示，在和中，，，，，，三点在同一条直线上，连接，．下列结论正确的有①②③④A. 个B. 个C. 个D. 个二、填空题（共10小题；共50分）11. 三角形的三条交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等．12. 如图，与相交于点，且，请添加一个条件：，使得．13. 如图所示，是四边形的的平分线上一点，于点，，则点到的距离是．14. 补全"求作的平分线"的作法：①在和上分别截取，，使．②分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧在内交于点．③作射线即为的平分线．15. 如图所示，在中，，，分别过点，作过点的直线的垂线，，若，，则．16. 完成下面的证明过程．已知：如图所示，，．求证：．证明：在和中，．（）．17. 如图，已知，，，，则．18. 在中，，的垂直平分线交于点，交于，若的周长为，且，则．19. 如图所示，已知平分，于，，，那么．20. 如图，在中，，平分，，，则的面积是．三、解答题（共5小题；共65分）21. 如图，是的平分线，，垂足为，，垂足为，且．求证：．22. 如图，已知，交于点，且．试用两种方法证明．23. 如图，在中，，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，连接，与，分别交于点，，连接，则：Ⅰ；Ⅱ；（填”“”“”“）Ⅲ当，时，的周长．24. 如图，已知在中，．Ⅰ作图：在上有一点，连接，并在的延长线上取点，使，连接，作的平分线，交于点（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；Ⅱ在（1）的条件下，连接，求证：．25. 如图，在中，，，，垂足分别为点，，点为中点，与，分别交于点，，．Ⅰ线段与相等吗，若相等给予证明，若不相等请说明理由；Ⅱ求证：．答案第一部分1. B2. D3. C4. B5. B6. C7. D8. D9. D 10. D第二部分11. 边的垂直平分线12. 答案不唯一，如13.14. 大于的长为半径15.16. ；已知；；已知；；公共边；；；全等三角形的对应角相等17.18.19.20.第三部分21. 是的平分线，，，．在和中，．．22. 方法一：连接 .在和中，.．方法二：连接 .在和中，.， .．23. （1）．（2）．（3）．24. （1）作图如下.（2），，．是的平分线，．在和中，，．25. （1），，，，，，，在和中，，，，，（2）连接CG．为的中点，，垂直平分，，，，在和中，，，，，．在中，由勾股定理得，初中数学试卷灿若寒星制作。
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1.5 三角形全等的判定（三）
1．如图，某同学不小心将一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是(C)
A．带①去B．带②去
C．带③去D．带①和②去
,(第1题)),(第2题)) 2．如图，点B，E在线段CD上，若∠C＝∠D，则添加下列条件，不一定能使
△ABC≌△EFD的是(C)
A. BC＝FD，AC＝ED
B. ∠A＝∠DEF，AC＝ED
C. AC＝ED，AB＝EF
D. ∠ABC＝∠EFD，BC＝FD
3．根据下列已知条件，能画出唯一△ABC的是(C)
A. AB＝3，BC＝4，∠C＝50°
B. AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C. ∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4
D. ∠C＝90°，AB＝6
4．如图，AD和CB相交于点E，BE＝DE，请添加一个条件，使△ABE≌△CDE，你所添加的条件是∠B＝∠D(答案不唯一)(只添一个即可)．
,(第4题)),(第5题)) 5．如图，∠BAC＝∠DAE，∠ABD＝∠ACE，AB＝A C.求证：BD＝CE.
【解】∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE.
又∵AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，
∴△ABD≌△ACE(ASA)．∴BD＝CE.
(第6题)
6．如图，在△ABD 和△ACE 中，有下列判断：
①AB ＝AC ；②∠B ＝∠C ；③∠BAC ＝∠EAD ；④AD ＝AE .
请用其中的三个判断作为条件，余下的一个判断作为结论(用序号⊗⊗⊗⇒⊗的形式)，写出一个由三个条件能推出结论成立的式子，并说明理由．
【解】①②③⇒④或①③④⇒②或②③④⇒①.
如证①②③⇒④.
证明：∵∠BAC ＝∠EAD ，∴∠BAD ＝∠CAE .
又∵∠B ＝∠C ，AB ＝AC ，
∴△BAD ≌△CAE (ASA )．∴AD ＝AE .
(第7题)
7．如图，已知∠CAB ＝∠DBA ，∠CBD ＝∠DA C.求证：BC ＝A D.
【解】∵∠DBA ＝∠CAB ，∠CBD ＝∠DAC ，
∴∠CBA ＝∠DA B.
在△BCA 与△ADB 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠CAB ＝∠DBA ，BA ＝AB ，∠CBA ＝∠DAB ，
∴△BCA ≌△ADB (ASA )．∴BC ＝A D.。