数列极限(1)

x→∞
lin (3x-2)/x=3
例2 利用定义证明lin (1/2)x=0
x→∞
证明：设y=f(x)= (1/2)x,对于任意给定的 >0，要使|f(x)-0|=| (1/2)x -0|= (1/2)x < ， 只要取2x>1/ ，x>lg(1/ )/lg2( <1)就可以 了. 因此，对于任意给定的 >0，取正整数 X=lg(1/ )/lg2，当X>N时， |f(x)-0|= | (1/2)x -0|< 恒成立， ∴ lin (1/2)x=0
定义3 如果当时函数f (x) 无限接近于一个确定的常数A，那么A就叫做函数f (x) 当的极限．记作 lim f ( x) A或f ( x) A( x x0 )
x x0
例3
( x 1) 求 lim x 1
．
lim (ax b) ax 0 b 一般地， x x
0
x2 1 当x 1 时的极限 例4 求函数 g ( x) x 1
第二章
1. 2. 3. 4.
极限与连续
5.
6.
本章基本要求： 理解数列极限与函数极限的定义； 掌握收敛数列的性质和函数极限的性质； 掌握已学过的求极限的方法； 理解一元函数连续性的定义（点、区间）， 掌握间断点的概念及其分类； 了解初等函数的连续性，掌握利用函数的连 续性求极限的方法； 能正确叙述和简单应用闭区间上连续函数的 性质。
．
•函数在点x0的左、右极限
定义4 如果当 x x 时，函数 f(x)无限接近于一个确定的常数A，那么 0 f ( x) A或f ( x) A( x x0 ) A就叫做函数f(x) 在点x0的右极限，记作： xlim x
0
如果当 x x0时，函数f(x) 无限接近于一个确定的常数A，那么A就 叫做函数f(x) 在点x0的左极限，记作 lim f ( x) A或f ( x) A( x x0 )
n→∞ n→∞
数列极限定义的几何意义：
若lin Xn= a，则对于任给>0，无论它多么小，
n→∞
都存在一个正整数N，在{X n}中，从第N+1项开始 以后所有各项全部落在a的领域中，在这个领域之外， 最多只有{X n}的有限项X1 ， X2 ， . . . ，X N 。 a-
2
X N＋2
a+
定理3 若linf(x)=A且f(x)>=0 （或f(x) <=0 ）
x x。
则 A >=0 （或A <= 0 ） 即 linf(x)=A f(x) >=0 A >=0 x x。 f(x) <= 0 A < =0
•x → ∞时,函数f(x)的极限
定义1 如果当x的绝对值无限增大时，函数f（x）无限接近于一个确定的常 数A，那么称A为函数f(x)当时的极限,记为 lim f ( x) A或当 x 时, f ( x) A y
1、数列定义
一个定义在正整数集合N+上的函数f(n)，当自 变量按正整数１,２,3,…依次增大的顺序取值时， 函数值按相应的顺序排成一串数 f(1),f(2),f(3),…,f(n),…称为一个无穷数列，简称 数列，数列中的每一个数称为数列的项，通常用 X1、X2、X3、… 、X n，其中Xn=f(n)，简写成 {X n}， X n称为数列的通项。例如 an=1/2n an =1/n
定理1 linf(x) =A成立的充分必要条件是 linf(x)= linf(x) =A 。 x x+ 。 x x 。 x x。
定理2若linf(x)=A，而且A >0或 (A &l|x-x 。| < 时， f(x)>0或f(x) <0 即若linf(x)=A A >0 f(x) >0 x x。 A < 0 f(x) < 0
0 1/16,1/8,1/4
X
0 1/50 ,1/10,1/2 1
x
2、有界数列：若存在正数M，对所有的n都满足| Xn | ≤ M，则称数列{X n}为有界数列，否则称为无 界数列。如数列 {（-1）n /2n }、 { 1/n }、{n/(n +1)}是有界数列；数列{ 2n -1}、 { n2 }、 {2n } 是无界数列。 若X n ≥ A，称{X n}为有下界A ，是{X n}的一个下 界 若X n ≤ B，称{X n}为有上界B，是{X n}的一个上 界
y
f ( x)与 lim f ( x)
x
例2
x x x lim e , lim e , lim e 求 x x x
y=e-
x
练习：
x
lim e x , lim e x , lim e x
x x
0 x
图1-9
•x → x0 时函数f(x)的极限
3、单调数列：数列{X n}若满足X1 ≤ X2 ≤ X 3≤. . . ≤ X n ≤ X n+1 ≤ . . . ，称数列{X n}为单 调增数列；若满足X1 ≥ X2 ≥ X 3 ≥. . . X n ≥ X n+1 ≥ . . . ，称数列{X n} ，称数列{X n}为单调减数列， 单调增数列与单调减数列统称单调数列。
x
1 例1 考察当 x 时函数 f ( x) 的变化趋势． x
0
x
x 时，函数 定义2 如果当 f（x）无限接近于一个确定的常数 A，那么 lim f ( x) A或当 x 时, f ( x) A 称A为函数f（x）当时的极限,记为 x
x 时，函数f（x）无限接近于一个确定的常数 A，那么 如果当 f ( x) A或当 x 时, f ( x) A 称A为函数f（x）当时的极限,记为 xlim
x x0
结论：
(1) lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A
x x0 x x0 x x0
- /2
/2
x
所谓函数的极限,就是函数的变化趋势,但 是函数的变化趋势是由自变量的变化决定的.
自变量的变化趋势有两种情况:
X
X。（X≠X。）
X +。
若X只取比X。大的值趋向X。，记为X
若X只取比X。小的值趋向X。，记为X
X-。
X
∞ （X的绝对值无限变大）
+∞
若X只取正值无限变大，记为X
若X只取负值，而绝对值无限变大，记为X
lim arctan x

2
x
,
x
lim arctan x

2
,
结论：
(1) lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A
x x x
f ( x) A, lim f ( x) B ,但Ａ≠Ｂ或 xlim (2)当 xlim x lim f ( x ) 就不存在． 至少有一个不存在时, x
4、子列：将数列{X n}在保持原有顺序情况下， 任取其中无穷多项所构成的新数列称为数列{X n} 的子数列，简称子列。如{X2n-1}、 {X2n}均为 {Xn}的子数列，子数列一般记为{Xnk}： Xn1， Xn2，. . . ，Xnk， . . . ，其中n1<n2< . . . <nk< nk+1< . . . ，而nk的下标K是子数列的项的序号 （即子列的第K项的序号）。
x→∞
利用定义证明极限：lin f(x)=A
x → a(∞)
证明过程的一般步骤： 1. 设Y= f(x)； 2. 任意给定() >0,要使| f(x)-A|< ,只 需X > （ ）； 3. 取正整数N= （ ）,当n>N时， | f(x)-A|< 恒成立； 4.这就证明了lin f(x)=A
第一节、数列的极限
极限概念是由于求实际问题的精确解答而产生 的。 中国古代数学家刘微（公½元三世纪）利用圆内 接正多边形来推算圆面积的方法---割圆术，就 是极限思想在几何学上的应用。
s= Ʃ an hn/2 当n → ∞ ， hn →R， Ʃ an /2 →2R/2= R s= lin Ʃ an hn/2 = R.R = R2 n→∞ hn an
X3 X N X
X2 X1 X N ＋1 X N ＋3 a
例1 利用定义证明lin (3x-2)/x=3
x→∞
证明：设y=f(x)=(3x-2)/x,对于任意给定的 >0， 要使|f(x)-3|=|(3x-2)/x-3|=|-2/x|=2/x< ， 只要取x>2/ 就可以了. 因此，对于任意给定的 >0，取正整数N≧2/ ， 当n>N时， |f(x)-3|< 恒成立，所以f(x)=(3x2)/x以3为极限，即
左右极限概念---定义
如果当x从x的左侧(x<x。)趋于x。时,f(x)以A为 极限，即对于任意给定的 >0，总存在一个正数 ， 使当0<x。-x< 时|f(x)-A|< 恒成立，则称A为x x 。 时的左极限，记做linf(x)=A或f(x-0)=A。 x x- 。
如果当x从x的右侧(x>x。)趋于x。时,f(x)以A为极 限，即对于任意给定的 >0，总存在一个正数 ， 使当0<x。-x< 时|f(x)-A| <恒成立，则称A为x x。 时的右极限，记做linf(x)=A或f(x+0)=A。 x x+ 。
2、函数的极限
半径为R的园的面积S= R2，这个公式是怎么求 出来的？
当X 0时，函数Y=X+2 的变化趋势如何？
y