2001年全国初中数学联赛第一试
历年初中数学竞赛真题库含答案
1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试 一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．１． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223y xy x y xy x +--+的值是（A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35． 答（ ）２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是（A ） 10； （B ）12；（C ） 16； （D ）18． 答（ ）３． 方程012=--x x 的解是（A ）251±； （B ）251±-； （C ）251±或251±-； （D ）251±-±． 答（ ）４．已知：)19911991(2111n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（Ａ）11991-； （Ｂ）11991--；（Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ． 答（ ）５． 若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除． 答（ ）６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么d c b a +++的最大值是（Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ）７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是（Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ）８． 在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =， 60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则（Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤21； 答（ ）11=S 3S =132=S（C ）c > 2； （D ）c = 2． 答（ ） 二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ．２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+acb 32 ． 3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，qpn m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则４．四边形ABCD 中，∠ ABC 135=，∠BCD 120=，AB 6=，BC 35-=，CD = 6，则AD = ．第二试x + y ， x － y ， x y ，yx四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y ）．二、ΔABC 中，AB ＜AC ＜BC ，D 点在BC 上，E 点在BA 的延长线上，且BD ＝BE ＝AC ，ΔBDE 的外接圆与ΔABC 的外接圆交于F 点（如图）．求证：BF ＝AF ＋CF三、将正方形ABCD 分割为 2n 个相等的小方格（n 是自然数），把相对的顶点A ，C 染成红色，把B ，D 染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定. 3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7. 答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4. 答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xk y 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是(A)21S S > (B)21S S = (C)21S S < (D)不确定答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3. 答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD ,AB=2CD , ︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , FA=AB .则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:10 答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11. 答( ) 二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则xx x x 44211+-++的最大值是__________.3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(baa b . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求：M 和N. 1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ;2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是 (A)Ⅰ,Ⅱ都对 (B)Ⅰ对,Ⅱ错 (C)Ⅰ错,Ⅱ对. (D)Ⅰ,Ⅱ都错. 3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论: Ⅰ.y 没有最小值;Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值;Ⅲ.有有限多个x (不止一个)使y 取到最大值; Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值. 其中正确的是(A)Ⅰ (B)Ⅱ (C)Ⅲ (D)Ⅳ 4.实数54321,,,,x x x x x 满足方程组其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是(A)54321x x x x x >>>>; (B)53124x x x x x >>>>; (C)52413x x x x x >>>>; (D)24135x x x x x >>>>. 5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解(A)等于4 (B)小于4 (C)大于5 (D)等于5 6.在ABC ∆中,BC AO O A =∠,,是垂心是钝角, 则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是 (A)22-(B)22(C)23 (D)21-. 答( )7.锐角三角ABC 的三边是a , b , c ,它的外心到三边的距离分别为m , n , p ,那么m :n :p 等于(A)cb a1:1:1; (B)c b a :: (C)C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin . 答( ) 8.13333)919294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+ 答( ) 二.填空题1. 当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最小值是___________.2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.3.若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =____________.4.锐角三角形ABC 中,︒=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB ,AC 分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE与四边形BDEC ,设它们的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________.第二试一.设H 是等腰三角形ABC 垂心,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小,这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.ABC ∆中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点D , E , 使线段DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最小长度.三.已知方程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021>''x x . (1)求证:;0,0,0,02121<'<'<<x x x x (2)求证:1-b ≤c ≤1+b ; (3)求c b ,所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题 第一试(4月3日上午8：30—9：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分.一、选择题（本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A ，B 、C ，D ，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.〔答〕( )2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,zA．都不小于0 B．都不大于0C．至少有一个小0于D．至少有一个大于0 〔答〕( )3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长A．等于4 B．等于5C．等于6 D．不能确定〔答〕( )A．1 B．-1 C．22001D．-22001〔答〕( )5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A．4对B．8对C．12对D．16对〔答〕( )〔答〕( )7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。
2001年学生获奖情况
江苏省中学生英语能力竞赛初中组一等奖
王玲
江苏省中学生英语能力竞赛初中组三等奖
季宗杰
江苏省中学生英语能力竞赛初中组三等奖
张培燕
江苏省中学生英语能力竞赛初中组三等奖
王刚
江苏省中学生英语能力竞赛初中组三等奖
唐晓新
江苏省初中数学竞赛一等奖
范健
江苏省初中数学竞赛三等奖
王圆圆
江苏省初中数学竞赛三等奖
姚芳芳
高静怡
江苏省物理竞赛二等奖
高明峰
江苏省物理竞赛二等奖
尤晓军
江苏省物理竞赛三等奖
唐晓新
化学竞赛全国一等奖
姚芳芳
化学竞赛江苏省二等奖
胡晓军
化学竞赛江东省二等奖
胡枫
化学竞赛江苏省三等奖
刘洪
化学竞赛无锡市二等奖
邵峰
化学竞赛无锡市二等奖
华冬
化学竞赛无锡市三等奖
陈尤佳
化学竞赛无锡市三等奖
高丽峰
化学竞赛无锡市三等奖
吴艳玲
无锡市信息技术奥数三等奖
徐骏
无锡市信息技术奥数三等奖
2004年学生获奖情况
姓名
获奖情况
陆洲
初中英语竞赛江苏省二等奖
顾银丹
初中英语竞赛江苏省二等奖
颜杰
初中英语竞赛江苏省二等奖
徐超
初邵波
初中英语竞赛江苏省三等奖
孙芳
初中英语竞赛江苏省三等奖
朱洁瑜
初中英语竞赛江苏省三等奖
化学竞赛
省三等奖
尤维杰三（3）
十六届初中物理竞赛
省一等奖
顾梦迪
十六届初中物理竞赛
省二等奖
坎朱明二（2）
中学生读写大赛
省优胜奖500强
历年初中数学竞赛真题库含答案
1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．１． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223yxy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35． 答（ ）２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是（A ） 10； （B ）12；（C ） 16； （D ）18．答（ ）３． 方程012=--x x 的解是（A ）251±； （B ）251±-； （C ）251±或251±-； （D ）251±-±． 答（ ）４．已知：)19911991(2111n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（Ａ）11991-； （Ｂ）11991--；（Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ．答（ ）５． 若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．答（ ）６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是（Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１．答（ ）７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3．答（ ）８． 在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =， 60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则 （Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤21； 答（ ）（C ）c > 2； （D ）c = 2．答（ ）二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ． ２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+ac b 32 ．3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，qpn m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则 =++q p n m 22)2( ．４．四边形ABCD 中，∠ ABC 135=，∠BCD 120=，AB 6=，BC 35-=，CD = 6，则AD = ．第二试x + y ， x － y ， x y ， yx 四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y ）．二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．求证：BF＝AF＋CF三、将正方形ABCD分割为2n个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定.3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7.答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xk y 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是 (A)21S S > (B)21S S =(C)21S S < (D)不确定 答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3.答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD ,︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , FA=AB .则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3(C)2:5 (D)3:10答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.答( )二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则x x x x 44211+-++的最大值是__________.3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(ba ab . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求：M 和N.1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ;2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是(A )Ⅰ,Ⅱ都对 (B )Ⅰ对,Ⅱ错 (C )Ⅰ错,Ⅱ对. (D )Ⅰ,Ⅱ都错.3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论:Ⅰ.y 没有最小值;Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值;Ⅲ.有有限多个x (不止一个)使y 取到最大值;Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值.其中正确的是(A )Ⅰ (B )Ⅱ (C )Ⅲ (D )Ⅳ4.实数54321,,,,x x x x x 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++.;;;;52154154354324321321a x x x a x x x a x x x a x x x a x x x其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是(A)54321x x x x x >>>>; (B )53124x x x x x >>>>;(C )52413x x x x x >>>>; (D )24135x x x x x >>>>.5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解(A )等于4 (B )小于4 (C )大于5 (D )等于56.在ABC ∆中,BC AO O A =∠,,是垂心是钝角,则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是 (A)22- (B)22 (C)23 (D)21-. 答( )7.锐角三角ABC 的三边是a , b , c ,它的外心到三边的距离分别为m , n ,p ,那么m :n :p 等于 (A)c b a 1:1:1; (B)c b a :: (C)C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin .答( )8.13333)919294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+答( )二.填空题1. 当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最小值是___________. 2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.3.若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =____________.4.锐角三角形ABC 中,︒=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB , AC分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE 与四边形BDEC ,设它们的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________. 第二试一.设H 是等腰三角形ABC 垂心,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小,这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.ABC ∆中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点D , E , 使线段DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最小长度.三.已知方程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021>''x x . (1)求证:;0,0,0,02121<'<'<<x x x x (2)求证:1-b ≤c ≤1+b ; (3)求c b ,所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题第一试(4月3日上午8：30—9：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分.一、选择题（本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A，B、C，D，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.〔答〕( )2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,zA．都不小于0B．都不大于0C．至少有一个小0于D．至少有一个大于0〔答〕( )3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长A．等于4B．等于5C．等于6D．不能确定〔答〕( )A．1 B．-1 C．22001D．-22001〔答〕( )5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A．4对B．8对C．12对D．16对〔答〕( )〔答〕( )7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。
2001年全国初中数学联赛第一试试题
2001年全国初中数学联赛第一试试题一、选择题（每小题6分，共36分）1. 若｜x －2｜＋｜y ＋3｜＝0，则x y的值是＿＿＿。
2．若a 、b 为实数，则下列命题中正确的是＿＿。
A a>b ⇒a 2>b 2B a ≠b ⇒a 2≠b 2C |a|>b ⇒a 2>b 2D a>|b|⇒a 2>b 23．若关于x 的一元二次方程(b －c)x 2+(a －b)x+c －a=0有相等的二实根，则a 、b 、c 间的关系是＿＿＿。
A 0c b a D 2ba c C 2ca b B 2cb a =+++=+=+= 4．若4x 3－x ＝1，则8x 4+12x 3－2x 2－5x ＋5的值是＿＿。
A 2 B 4 C 6 D 85．若等腰梯形的较长的底边及对角线的长都是10，且较短的底边与等腰梯形的高相等，则较短的底边的长是＿＿＿。
A 5 B 6 C 7 D 86．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，A 为大圆上一点，过A 作小圆的割线AXY ，若AX ·AY ＝3，则此图中圆环的面积为＿＿。
A 3π B 6π C 9π D 不能确定 二、填空题（每小题9分，共54分）1．把多项式b 2－c 2＋a(a+2b)分解因式，得＿＿＿＿＿＿。
2．若方程2x 2＋3x+5m=0的一根大于1，另一根小于1，则m 的取值范围是＿＿＿。
3．已知菱形的周长为2p ，两条对角线之和为m 那么这个菱形的面积为＿＿＿。
4．甲、乙两种茶叶以x ∶y 之比（以重量计）混合，甲种茶叶的原价为50元/千克，乙种茶叶的原价为40元/千克。
若甲的价格增加10％，而乙的价格减少15％，则混合茶叶每千克的价格不变，这时，x ∶y5．如图：在△ABC 中,∠A ＝90°，AD ⊥BC 于D ，P 为AD 的中点，BP 交AC 于E ，EF ⊥BC 于F ， 若AE ＝3，EC ＝12，则EF ＝＿＿＿＿。
2001年TI杯全国初中数学竞赛试卷B卷
2001年TI 杯全国初中数学竞赛试卷B 卷分别次射击中第第第在第次必须射击进行打靶训练某个学生参加军训分共分每小题小题本题共解答题三的取值范围是那么且满足已知实数的横坐标点取最小值时那么当和的距离分别为到定点轴上的动点中在直角坐标系的值应该确定为那么总金额最大为了使该商品的销售则售出的数量就将减少如果单价上涨销售某种商品于那么这个梯形的面积等的线段为边作梯形用长为的值为则若那么已知分共分每小题小题本题共填空题二不能确定之间的大小关系是与则且满足是正数若等于则且交于点与若如图的值为则中间竖排若干个下各横排两个其中上个全等的矩形若将正方形分成如图或或的值为那么且是质数如果都是整数至少有一个整数至少有两个整数都不是整数那么是三个任意整数如果得化简分共分每小题小题本题共选择题一,9,8,7,6.10,,.13)60,20,3(..___________,,1,.12.___________,,)1,2(),5,5()0,(,.11.____________,.150%,,.10.____________,5,4,4,1.9.__________,28,14.8.___________,2323,2323.7)30,5.6(.)()()()((),111)(111(12345,,.616)(12)(7)(6)()(,3,4,,2,,.512)(10)(8)(6)()(,,,,,.4222123)(22125)(222125)(22123)()(,013,013,,.3)()()()()(2,2,2,,,.247)(87)(2)(812)()(,)2(2)2(22.122)30,5,6(.22222222221134t b a ab t b ab a b a x M MQ MP MQ MP Q P x M x xoy m mm y x x xy y y xy x y xx y y x D b a C b a B ba Ab a b a b a D C B A DC AD PD PB D PB AC ACB APB PB PA D C B A k k D C B A baa b m b b m a a b a D C B A ac c b b a c b a D C B A n n n nn --==++=++=++=++=+-+=+-=<=>-+=⋅==∠=∠=+=+-=+-+++---++++.,11311,,)2(.)1(.011)72(1)1(.1511211:,,,⊙,⊙,⊙,,⊙,.14)1.0?(10,8.810.59,3.9,1.8,4.8,0.922112122的值求且为若原方程的两个实数根的取值范围求有实数根的方程已知关于求证于点并交两点于交的割线作过点的两条切线是外一点是已知点如图环确到每次射击所得环数都精环次射击中至少要得多少那么他在第环次射击的平均环数超过如果他要使环数次射击所得的平均高于前次射击所得的平均环数他的前环环环环得了a x x x x x x a x x a x x a x PB PA PC C ST B A O PAB O P O PT PS O P =-+-=+⎪⎭⎫⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛+=。
2001年全国初中数、理、化竞赛获奖情况.
李红庆
王成雄
全国高中数学（海南赛区）
全国二等奖
李红庆
谢海平
全国高中数学（海南赛区）
全国三等奖
李红庆
王帮旭
全国高中数学（海南赛区）
全国三等奖
李红庆
黄扬帆
全国高中物理（全国）
全国二等奖
李东火
刘晓江
全国高中物理（海南赛区）
全国一等奖
李东火
何建安
全国高中物理（海南赛区）
全国一等奖
李东火
谢海平
全国高中物理（海南赛区）
全国三等奖
李东火
姚狄
全国高中物理（海南赛区）
全国三等奖
李东火
全国初中化学（海南赛区）
全国一等奖
刘茜
杨志恒
全国初中化学（海南赛区）
全国二等奖
刘茜
吉祥
全国初中化学（海南赛区）
全国三等奖
刘茜
武文嘉
全国初中化学（海南赛区）
全国三等奖
刘茜
2001年全国高中数、理、化、生竞赛获奖情况
学生姓名
竞赛类型
获奖等级
指导教师
邱宇
全国高中数学（海南赛区）
全国一等奖
李红庆
刘晓江
全国高中数学（海南赛区）全源自一等奖齐小菊、陈大恒王延秀
全国初中数学（海南赛区）
全国二等奖
齐小菊、陈大恒
谢泽
全国初中数学（海南赛区）
全国二等奖
齐小菊、陈大恒
黄帆
全国初中数学（海南赛区）
全国二等奖
齐小菊、陈大恒
侯科新
全国初中数学（海南赛区）
全国三等奖
齐小菊、陈大恒
武洹宇
全国初中数学（海南赛区）
全国初中数学竞赛试题及答案
全国初中数学竞赛试题及答案This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.2001年全国初中数学联赛一、选择题（每小题7分，共42分）1、a ，b ，c 为有理数，且等式62532+=++c b a 成立，则2a +999b +1001c 的值是（ ）（A ） 1999（B ）2000（C ）2001（D ）不能确定2、若1≠ab ，且有5a 2+2001a +9=0及05200192=++b b ，则ba 的值是（ ） （A ）59（B ）95（C ）52001-（D ）92001- 3、已知在△ABC 中，∠ACB =900，∠ABC =150，BC =1，则AC 的长为（ ） （A ）32+（B ）32-（C ）30⋅（D ）23-4、如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的一点，下面四种情况中，△ABD ∽△ACB 不一定成立的情况是（ ）（A ）BD AB BC AD •=• （B ）AC AD AB •=2（C ）∠ABD =∠ACB （D ）BD AC BC AB •=•5、①在实数范围内，一元二次方程02=++c bx ax 的根为a ac b b x 242-±-=；②在△ABC 中，若222AB BC AC >+，则△ABC 是锐角三角形；③在△ABC 和111C B A ∆中，a ，b ，c 分别为△ABC 的三边，111,,c b a 分别为111C B A ∆的三边，若111,,c c b b a a >>>，则△ABC 的面积S 大于111C B A ∆的面积1S 。
以上三个命题中，假命题的个数是（ ） （A ）0（B ）1（C ）2（D ）36、某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过200元，则不予折扣；②如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠。
2001年全国初中数学竞赛(答案)
答：B
设小矩形的长为 ，宽为 ，根据题意，可得
解得
几何计数
5、如图，若PA=PB， AC与PB交于点D，且PB=4，
PD=3，则 等于（）
A、6 B、7
C、12 D、16
答：B
如图，以点P为圆心，PA为半径作圆，
因为 ，所以点C的圆周上，延长BP交⊙P于点E，由相交弦定理，得 。
由勾股定理，得
（10分）
利用切割线定理和相交弦定理，有
（20分）
证法二：连PO交ST于点D，则 ，连SO，作 ，垂直为点E，则E为AB中点，于是
因为C，E，O，D四点共圆，所以
又 ∽
而由切割线定理知
圆切割线相似三角形
15、已知关于 的方程 的实数根。
（1）求 的取值范围。（2）若原方程的两个实数根为 ，且 ，求 的值。
于是可知 是关于 的方程 的两个实数根
综上所述， 的取值范围是
解法二：由
（当 时等号成立）
代数最值基本不等式
三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分）
13、某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次，在第6、第7、第8、第9次射击中，分别得了9.0环、8.4环、8.1环、9.3环，他的前9次射击所得的平均环数高于前5次射击所得的平均环数。如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环，那么他在第10次射击中至少要得多少环？（每次射击所得环数都精确到0.1环）
题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
C
B
B
B
A
1、化简： ，得（）
A、 B、 C、 D、
答：C
将原式化简，
[2001全国赛]2001年初中数学联赛(初三)第一、二试(含答案)
![[2001全国赛]2001年初中数学联赛(初三)第一、二试(含答案)](https://img.taocdn.com/s3/m/8051eac2d5bbfd0a7956739d.png)
2001年初中数学联赛（初三）供题人：王盛裕（浙江省宁波市镇海外语实验学校 315200）第一试一. 选择题（以下每题给出的四个结论中仅有一个是正确的） 1. a b c ，，为有理数，且等式a b c ++=+23526成立，则29991001a b c ++的值是（ ）A. 1999B. 2000C. 2001D. 不能确定的2. 若a b ⋅≠1，且有52001902a a ++=及92001502b b ++=，则ab的值是（ ） A.95 B. 59 C. -20015 D. -20019 3. 已知在∆ABC 中，∠=︒∠=︒=ACB ABC BC 90151，，，则AC 的长为（ ）A. 23+B. 23-C. 0.3D. 32-4. 如图1，在∆ABC 中，D 是边AC 上一点，下面四种情况中，∆∆ABD ACB ∽不一定成立的情况是（ ）A. AD BC AB BD ⋅=⋅B. AB AD AC 2=⋅ C. ∠=∠ABD ACB D. AB BC AC BD ⋅=⋅AD BC图15. （1）在实数范围内，一元二次方程ax bx c 20++=的根为x b b aca=-±-242；（2）在∆ABC 中，若AC BC AB 222+>，则∆ABC 是锐角三角形；（3）在∆ABC 和∆A B C 111中，a b c 、、分别为∆ABC 的三边，a b c 111、、分别为∆A B C 111的三边，若a a b b c c >>>111，，，则∆ABC 的面积S A B C >∆111的面积S 1。
以上三个命题中，假命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 某商场对顾客实行优惠，规定：（1）如一次购物不超过200元，则不予折扣；（2）如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；（3）如一次购物超过500元的，其中500元按第（2）条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠。
2001数学联赛详细答案(数学试题 竞赛模拟)
2001年全国高中数学联合竞赛试题第一试（10月14日上午8：00 9：40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的．请将正确答案的代表字母填在题后的括号内．每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分．1．已知a 为给定的实数，那么集合{}R x a x x x M ∈=+--=,023|22的子集的个数为 （A ） 1 （B ） 2 （C ） 4 （D ）不确定 【答】（ ） 2． 命题1 长方体中，必存在到各顶点距离相等的点;命题2 长方体中，必存在到各棱距离相等的点; 命题3 长方体中，必存在到各面距离相等的点.以上三个命题中正确的有 （A ） 0个 （B ） 1个 （C ） 2个 （D ） 3个 【答】（ ） 3．在四个函数y=sin|x|，y=cos|x|，y=|ctgx|，y=lg|sinx|中以为周期、在(0,)2π上单调递增的偶函数是 【答】（ ） （A ） y=sin|x| （B ） y=cos|x| （C ） y=|ctgx| （D ） y=lg|sinx|4．如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k 的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是 （A ）k=38（B ）0<k≤12 （C ） k≥12（D ） 0<k≤12或k=38 【答】（ ） 5．若()100021x x ++的展开式为220000122000a a x a x a x ++++，则03691998a a a a a +++++的值为 【答】（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是 【答】（ ） （A ） 2枝玫瑰价格高 （B ） 3枝康乃馨价格高 （C ） 价格相同 （D ） 不确定二、填空题（满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上．7．椭圆θρcos 21-=的短轴长等于 ．8．若复数z 1，z 2满足| z 1|=2，| z 2|=3，123322z z i -=-，则z 1·z 2= ． 9．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则直线A 1C 1与BD 1的距离是 ．10. 不等式232log 121>+x 的解集为 ．11．函数232+-+=x x x y 的值域为 ．12．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则有 种栽种方案．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．设{}n a 为等差数列， {}n b 为等比数列，且211b a =，222b a = ，23312,()b a a a =<,又12lim ()1n n b b b →+∞+++=．试求{a n }的首项与公差．14．设曲线C 1：1222=+y ax （a 为正常数）与C 2：y 2=2（x+m ） 在x 轴上方仅有一个公共点P ．(1) 求实数m 的取值范围（用a 表示）； (2) O 为原点，若C 1与x 轴的负半轴交于点A ，当102a <<时，试求ΔOAP 的面积的最大值（用a 表示）．15．用电阻值分别为a 1、a 2、a 3、a 4、a 5、a 6 (a 1>a 2>a 3>a 4>a 5>a 6) 的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论．2001`年全国高中数学联合竞赛加试试题（10月14日上午10：00 12：00）考生注意：(1) 本试卷共三大题，全卷满分150分． 一．（本题满分50分）如图，△ABC 中，O 为外心，三条高AD 、BE 、CF 交于点H ，直线ED 和AB 交于点M ，FD 和AC 交于点N ．求证：(1) OB ⊥DF ，OC ⊥DE ；(2) OH ⊥MN ．二．（本题满分50分）设0≥i x （i=1，2，…，n ）且∑∑=≤<≤=+ni nj k j k ix x j kx11212，求∑=ni i x 1的最大值与最小值．三．（本题满分50分）将边长为正整数m ，n 的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形．每个正方形的边均平行于矩形的相应边．试求这些正方形边长之和的最小值．2001年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准一． 选择题：1．C 2．B 3．D 4．D 5．C 6．A二．填空题：7． 332 8． i 13721330+- 9． 6610．()()∞+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,42,11,07211． ()∞+⎪⎭⎫⎢⎣⎡,223,1 12． 732三．解答题：13．设所求公差为d ，∵a 1＜a 2，∴d ＞0．由此得412121)()2(d a d a a +=+ 化简得：0422121=++d d a a解得：1)22(a d ±-= ……………………………………………………… 5分而022<±-，故a 1＜0 若1)22(a d --=，则22122)12(+==a a q若1)22(a d +-=，则22122)12(-==a a q ……………………………… 10分但12)(21+=++++∞→n n b b b lim 存在，故| q |＜1，于是2)12(+=q 不可能．从而2)12)(222(12)12(121221=+-=⇒+=--a a所以222)22(,211-=+-=-=a d a ……………………………… 20分14．解：(1)由⎪⎩⎪⎨⎧+==+)(212222m x y y a x 消去y 得：0222222=-++a m a x a x ①设222222)(a m a x a x x f -++=，问题(1)化为方程①在x ∈(－a ，a )上有唯一解或等根．只需讨论以下三种情况：1°△＝0得：212+=a m ，此时x p ＝－a 2，当且仅当－a ＜－a 2＜a ，即0＜a ＜1时适合；2°f (a )f (－a )＜0，当且仅当－a ＜m ＜a ；3°f (－a )＝0得m ＝a ，此时x p ＝a －2a 2，当且仅当－a ＜a －2a 2＜a ，即0＜a ＜1时适合．f (a )＝0得m ＝－a ，此时x p ＝－a －2a 2，由于－a －2a 2＜－a ，从而m ≠－a ． 综上可知，当0＜a ＜1时，212+=a m 或－a ＜m ≤a ；当a ≥1时，－a ＜m ＜a ．……………………………………………… 10分(2)△OAP 的面积p ay S 21= ∵0＜a ＜21，故－a ＜m ≤a 时，0＜m a a a 2122-++-＜a ， 由唯一性得 m a a a x p 2122-++-=显然当m ＝a 时，x p 取值最小．由于x p ＞0，从而y p ＝221ax p -取值最大，此时22a a y p -=，∴2a a a S -=．当212+=a m 时，x p ＝－a 2，y p ＝21a -，此时2121a a S -=．下面比较2a a a -与2121a a -的大小：令22121a a a a a -=-，得31=a故当0＜a ≤31时，2a a a -≤2121a a -，此时2121a a S max -=．当2131<<a 时，22121a a a a a ->-，此时2a a a S m ax -=．……… 20分15．解：设6个电阻的组件(如图3)的总电阻为R FG ，当R i ＝a i ，i ＝3，4，5，6，R 1、R 2是a 1、a 2的任意排列时，R FG 最小 ……………………………………………… 5分证明如下：1．设当两个电阻R 1、R 2并联时，所得组件阻值为R ，则21111R R R +=．故交换二电阻的位置，不改变R 值，且当R 1或R 2变小时，R 也减小，因此不妨取R 1＞R 2．2．设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为R AB 2132312132121R R R R R R R R R R R R R R AB +++=++=显然R 1＋R 2越大，R AB 越小，所以为使R AB 最小必须取R 3为所取三个电阻中阻值最小的—个．3．设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为R CD43243142142324131214111R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R AB CD ++++++=+=若记∑≤<≤=411,j i jiRR S∑≤<<≤=412k j i k j i R R R S ，则S 1、S 2为定值，于是4313212R R S R R R S R CD --=只有当R 3R 4最小，R 1R 2R 3最大时，R CD 最小，故应取R 4＜R 3，R 3＜R 2，R 3＜R l ，即得总电阻的阻值最小 …………………………………………………………………… 15分4°对于图3把由R1、R2、R3组成的组件用等效电阻R AB代替．要R FG最小，由3°必需使R6＜R5；且由1°应使R CE最小．由2°知要使R CE最小，必需使R5＜R4，且应使R CD最小．而由3°，要使R CD最小，应使R4＜R3＜R2且R4＜R3＜R1，这就说明，要证结论成立……………………………………………………………20分2001年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准一．证明：(1)∵A、C、D、F四点共圆∴∠BDF＝∠BAC又∠OBC ＝21(180°－∠BOC )＝90°－∠BAC ∴OB ⊥DF ．(2)∵CF ⊥MA∴MC 2－MH 2＝AC 2－AH 2 ① ∵BE ⊥NA∴NB 2－NH 2＝AB 2－AH 2 ② ∵DA ⊥BC∴BD 2－CD 2＝BA 2－AC 2 ③ ∵OB ⊥DF∴BN 2－BD 2＝ON 2－OD 2 ④ ∵OC ⊥DE∴CM 2－CD 2＝OM 2－OD 2 ⑤ …………………………………… 30分 ①－②＋③＋④－⑤，得NH 2－MH 2＝ON 2－OM 2 MO 2－MH 2＝NO 2－NH 2∴OH ⊥MN …………………………………………………………………… 50分另证：以BC 所在直线为x 轴，D 为原点建立直角坐标系，设A (0，a )，B (b ，0)，C (c ，0)，则 ba k c a k AB AC -=-=, ∴直线AC 的方程为)(c x c a y --=，直线BE 的方程为)(b x acy -=由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=)()(c x c a y b x a c y 得E 点坐标为E (2222222,c a abc ac c a bc c a +-++) 同理可得F (2222222,ba abcab b a c b b a +-++) 直线AC 的垂直平分线方程为)2(2cx a c a y -=-直线BC 的垂直平分线方程为2cb x +=由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-2)2(2c b x c x a c a y 得O (a a bc c b 2,22++)bca ac abc b b a abc ab k abac a bc b a a bc k DFOB+-=+-=-+=-+=222222,22 ∵1-=DF OB k k ∴OB ⊥DF 同理可证OC ⊥DE ．在直线BE 的方程)(b x acy -=中令x ＝0得H (0，a bc -) ∴ac ab bc a c b a bca a bc k OH ++=+++=32222 直线DF 的方程为x bca acab y +-=2由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=)(2c x c a y x bca ac ab y 得N (22222222,2c bc a ac abc c bc a bc c a -+--++) 同理可得M (22222222,2bbc a ab abc b bc a c b b a -+--++) ∴bca acab bc a bc a b c bc a c b a k MN3)3)()(())((222222++-=++-+-= ∵k OH ·k MN ＝－1，∴OH ⊥MN ．二．解：先求最小值，因为∑∑∑∑=≤<≤==⇒≥+=ni inj k j k ni i n i i xx x jkx x 11122112)(≥1等号成立当且仅当存在i 使得x i ＝1，x j ＝0，j ＝i ∴∑=ni ix1最小值为1． …………………………………………………………… 10分再求最大值，令k k y k x =∴∑∑=≤<≤=+nk nj k j kky kyky11212①设∑∑====nk nk k k y k x M 11， 令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++n n n n a y a y y a y y y 22121 则① 122221=+++n a a a …………………………………………………… 30分令1-n a ＝0，则∑=+-=nk k k a a k M 11)(∑∑∑∑∑=====+--=--=-=nk nk nk nk nk k k k k k a k k a k a k a k a k 111111)1(1由柯西不等式得： 212121])1([)(])1([121212∑∑∑===--=--≤nk nk k nk k k a k k M等号成立 222221)1()1(1--==--==n n a k k a a n k 222222221)1()1()12(1--=--++-++++⇔k k a n n a a a kn21])1([112∑=----=⇔nk k k k k k a (k =1，2，…，n )由于a 1≥a 2≥…≥a n ，从而0])1([)11(21121≥---++-=-=∑=+nk k k k k k k k k a a y ，即x k ≥0所求最大值为21])1([12∑=--nk k k …………………………………………… 50分三．解：记所求最小值为f (m ，n )，可义证明f (m ，n )＝rn ＋n －(m ，n ) (*)其中(m ，n ) 表示m 和n 的最大公约数 ……………………………………… 10分 事实上，不妨没m ≥n(1)关于m 归纳，可以证明存在一种合乎题意的分法，使所得正方形边长之和恰为rn ＋n －(m ，n )当用m ＝1时，命题显然成立．假设当，m ≤k 时，结论成立(k ≥1)．当m ＝k ＋1时，若n ＝k ＋1，则命题显然成立．若n ＜k ＋1，从矩形ABCD 中切去正方形AA 1D 1D (如图)，由归纳假设矩形A 1BCD 1有一种分法使得所得正方形边长之和恰为m —n ＋n —(m －n ，n )＝m －(m ，n )，于是原矩形ABCD 有一种分法使得所得正方形边长之和为rn ＋n －(m ，n ) …………………………………… 20分(2)关于m 归纳可以证明(*)成立．当m ＝1时，由于n ＝1，显然f (m ，n )＝rn ＋n －(m ，n ) 假设当m ≤k 时，对任意1≤n ≤m 有f (m ，n )＝rn ＋n－(m ，n )若m ＝k ＋1，当n ＝k ＋1时显然f (m ，n )＝k ＋1＝rn ＋n －(m ，n )．当1≤n ≤k 时，设矩形ABCD 按要求分成了p 个正方形，其边长分别为a l ，a 2，…，a p 不妨a 1≥a 2≥…≥a p显然a 1＝n 或a 1＜n ．若a 1＜n ，则在AD 与BC 之间的与AD 平行的任一直线至少穿过二个分成的正方形 (或其边界)．于是a 1＋a 2＋…＋a p 不小于AB 与CD 之和．所以a 1＋a 2＋…＋a p ≥2m ＞rn ＋n －(m ，n )若a 1＝n ，则一个边长分别为m －n 和n 的矩形可按题目要求分成边长分别为a 2，…a p 的正方形，由归纳假设a 2＋…＋a p ≥m －n ＋n －(m －n ，n ))＝rn －(m ，n )从而a 1＋a 2＋…＋a p ≥rn ＋n －(m ，n )于是当rn ＝k ＋1时，f (m ，n )≥rn ＋n －(m ，n )再由(1)可知f (m ，n )＝rn ＋n －(m ，n )． …………………………………………50分A A 1 Bn。
2001年全国高中数学联赛试卷一试答案
2001年全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准一． 选择题：1．C 2．B 3．D 4．D 5．C 6．A二．填空题：7．332 8．i13721330+-9．6610．),4()2,1()1,0(72∞+ 11．),2[)23,1[∞+ 12． 732三．解答题：13．设所求公差为d ，∵a 1＜a 2，∴d ＞0．由此得412121)()2(d a d a a +=+ 化简得：0422121=++d d a a 解得：1)22(a d ±-= ……………………………………………………… 5分而022<±-，故a 1＜0若1)22(a d --=，则22122)12(+==a a q若1)22(a d +-=，则22122)12(-==a a q ……………………………… 10分但12)(21+=++++∞→n n b b b lim 存在，故| q |＜1，于是2)12(+=q 不可能．从而2)12)(222(12)12(121221=+-=⇒+=--a a所以222)22(,211-=+-=-=a d a ……………………………… 20分14．解：(1)由⎪⎩⎪⎨⎧+==+)(212222m x y y a x 消去y 得：0222222=-++a m a x a x ①设222222)(a m a x a x x f -++=，问题(1)化为方程①在x ∈(－a ，a )上有唯一解或等根． 只需讨论以下三种情况：1°△＝0得：212+=am ，此时x p ＝－a 2，当且仅当－a ＜－a 2＜a ，即0＜a ＜1时适合；2°f (a )f (－a )＜0，当且仅当－a ＜m ＜a ；3°f (－a )＝0得m ＝a ，此时x p ＝a －2a 2，当且仅当－a ＜a －2a 2＜a ，即0＜a ＜1时适合． f (a )＝0得m ＝－a ，此时x p ＝－a －2a 2，由于－a －2a 2＜－a ，从而m ≠－a ． 综上可知，当0＜a ＜1时，212+=am 或－a ＜m ≤a ；当a ≥1时，－a ＜m ＜a ．……………………………………………… 10分(2)△OAP 的面积p ay S 21=∵0＜a ＜21，故－a ＜m ≤a 时，0＜m a a a 2122-++-＜a ，由唯一性得 m a a a x p 2122-++-=显然当m ＝a 时，x p 取值最小．由于x p ＞0，从而y p ＝221ax p -取值最大，此时22a a y p -=，∴2aa a S -=．当212+=a m 时，x p ＝－a 2，y p ＝21a -，此时2121aa S -=．下面比较2a a a -与2121aa -的大小：令22121aa a a a -=-，得31=a故当0＜a ≤31时，2a a a -≤2121a a -，此时2121aa S max -=．当2131<<a 时，22121aa a a a ->-，此时2a a a S max -=．……… 20分15．解：设6个电阻的组件(如图3)的总电阻为R FG ，当R i ＝a i ，i ＝3，4，5，6，R 1、R 2是a 1、a 2的任意排列时，R FG 最小 …………………………………………………… 5分证明如下：1．设当两个电阻R 1、R 2并联时，所得组件阻值为R ，则21111R R R +=．故交换二电阻的位置，不改变R 值，且当R 1或R 2变小时，R 也减小，因此不妨取R 1＞R 2．2．设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为R AB2132312132121R R R R R R R R R R R R R R AB +++=++=显然R 1＋R 2越大，R AB 越小，所以为使R AB 最小必须取R 3为所取三个电阻中阻值最小的—个．3．设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为R CD43243142142324131214111R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R ABCD++++++=+= 若记∑≤<≤=411,j i j iR RS∑≤<<≤=412k j i k j i R R R S ，则S 1、S 2为定值，于是4313212R R S R R R S R CD --=只有当R 3R 4最小，R 1R 2R 3最大时，R CD 最小，故应取R 4＜R 3，R 3＜R 2，R 3＜R l ，即得总电阻的阻值最小 ………………………………………………………………………… 15分4°对于图3把由R 1、R 2、R 3组成的组件用等效电阻R AB 代替．要使R FG 最小，由3°必需使R 6＜R 5；且由1°应使R CE 最小．由2°知要使R CE 最小，必需使R 5＜R 4，且应使R CD 最小． 而由3°，要使R CD 最小，应使R 4＜R 3＜R 2且R 4＜R 3＜R 1，这就说明，要证结论成立………………………………………………………………20分2001年全国高中数学联合竞赛 加试参考答案及评分标准一．证明：(1)∵A 、C 、D 、F 四点共圆 ∴∠BDF ＝∠BAC 又∠OBC ＝21(180°－∠BOC )＝90°－∠BAC∴OB ⊥DF ．(2)∵CF ⊥MA∴MC 2－MH 2＝AC 2－AH 2 ① ∵BE ⊥NA∴NB 2－NH 2＝AB 2－AH 2 ② ∵DA ⊥BC∴BD 2－CD 2＝BA 2－AC 2 ③ ∵OB ⊥DF∴BN 2－BD 2＝ON 2－OD 2 ④∵OC ⊥DE∴CM 2－CD 2＝OM 2－OD 2 ⑤ …………………………………… 30分 ①－②＋③＋④－⑤，得NH 2－MH 2＝ON 2－OM 2 MO 2－MH 2＝NO 2－NH 2∴OH ⊥MN …………………………………………………………………… 50分另证：以BC 所在直线为x 轴，D 为原点建立直角坐标系， 设A (0，a )，B (b ，0)，C (c ，0)，则 ba k ca k AB AC -=-=,∴直线AC 的方程为)(c x ca y --=，直线BE 的方程为)(b x a c y -=由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=)()(c x c a y b x ac y 得E 点坐标为E (2222222,c a abc ac c a bc c a +-++) 同理可得F (2222222,ba abc ab ba cb b a +-++)直线AC 的垂直平分线方程为)2(2c x ac a y -=-直线BC 的垂直平分线方程为2c b x +=由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-2)2(2cb xc x a c a y 得O (a a bc c b 2,22++) bca ac ab cb b a abc ab k abac abc bcb a abc k DF OB+-=+-=-+=-++=222222,22∵1-=DF OB k k ∴OB ⊥DF 同理可证OC ⊥DE ．在直线BE 的方程)(b x ac y -=中令x ＝0得H (0，abc -)∴acab bc a cb a bc a abc k OH ++=+++=32222直线DF 的方程为x bca ac ab y +-=2由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=)(2c x c a y x bca ac ab y 得N (22222222,2c bc a ac abc c bc a bc c a -+--++)同理可得M (22222222,2bbc a ababc bbc a c b b a -+--++)∴bca ac ab bc a bc a b c bc a c b a k MN 3)3)()(())((222222++-=++-+-=∵k OH ·k MN ＝－1，∴OH ⊥MN ．二．解：先求最小值，因为∑∑∑∑=≤<≤==⇒≥+=ni inj k j k ni ini i xx x jk x x 11122112)(≥1等号成立当且仅当存在i 使得x i ＝1，x j ＝0，j ＝i∴∑=ni i x 1最小值为1． …………………………………………………………… 10分再求最大值，令k k y k x =∴∑∑=≤<≤=+nk nj k j kk y kyky 11212①设∑∑====n k nk k ky k xM 11， 令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++n n n n a y a y y a y y y 22121 则①⇔122221=+++n a a a …………………………………………………… 30分令1-n a ＝0，则∑=+-=nk k k a a k M 11)(∑∑∑∑∑=====+--=--=-=nk nk n k n k nk k k k k k a k k a k a k a k a k 111111)1(1由柯西不等式得：212121])1([)(])1([121212∑∑∑===--=--≤nk nk knk k k a k k M等号成立⇔222221)1()1(1--==--==n n a k k a a nk222222221)1()1()12(1--=--++-++++⇔k k a n n a a a kn21])1([112∑=----=⇔nk k k k k k a (k =1，2，…，n )由于a 1≥a 2≥…≥a n ，从而0])1([)11(221121≥---++-=-=∑=+nk k k k k k k k k a a y ，即x k ≥0所求最大值为21])1([12∑=--nk k k …………………………………………… 50分三．解：记所求最小值为f (m ，n )，可义证明f (m ，n )＝rn ＋n －(m ，n ) (*)其中(m ，n ) 表示m 和n 的最大公约数 …………………………………………… 10分 事实上，不妨没m ≥n(1)关于m 归纳，可以证明存在一种合乎题意的分法，使所得正方形边长之和恰为rn ＋n －(m ，n ) 当用m ＝1时，命题显然成立．假设当，m ≤k 时，结论成立(k ≥1)．当m ＝k ＋1时，若n ＝k ＋1，则命题显然成立．若n ＜k ＋1，从矩形ABCD 中切去正方形AA 1D 1D (如图)，由归纳假设矩形A 1BCD 1有一种分法使得所得正方形边长之和恰为m —n ＋n —(m －n ，n )＝m －(m ，n )，于是原矩形ABCD 有一种分法使得所得正方形边长之和为rn ＋n －(m ，n ) …………………………………… 20分(2)关于m 归纳可以证明(*)成立．当m ＝1时，由于n ＝1，显然f (m ，n )＝rn ＋n －(m ，n ) 假设当m ≤k 时，对任意1≤n ≤m 有f (m ，n )＝rn ＋n －(m ，n )若m ＝k ＋1，当n ＝k ＋1时显然f (m ，n )＝k ＋1＝rn ＋n －(m ，n )．当1≤n ≤k 时，设矩形ABCD 按要求分成了p 个正方形，其边长分别为a l ，a 2，…，a p 不妨a 1≥a 2≥…≥a p 显然a 1＝n 或a 1＜n ． 若a 1＜n ，则在AD 与BC 之间的与AD 平行的任一直线至少穿过二个分成的正方形 (或其边界)．于是a 1＋a 2＋…＋a p 不小于AB 与CD 之和． 所以a 1＋a 2＋…＋a p ≥2m ＞rn ＋n －(m ，n )若a 1＝n ，则一个边长分别为m －n 和n 的矩形可按题目要求分成边长分别为a 2，…a p 的正方形，由归纳假设a 2＋…＋a p ≥m －n ＋n －(m －n ，n ))＝rn －(m ，n ) 从而a 1＋a 2＋…＋a p ≥rn ＋n －(m ，n )于是当rn ＝k ＋1时，f (m ，n )≥rn ＋n －(m ，n )再由(1)可知f (m ，n )＝rn ＋n －(m ，n )． ………………………………………… 50分A A 1B n。
2001年全国高中数学联合竞赛一试试题解析
S△OAP
=
1
√ a1
−
a2.
2√
当 −a < m ⩽ a 时 (设 C1 与 C2 的交点为 B)，则 xB = −a2 + a a2 − 2m + 1.
第5页 共7页
由于
0
<
a
<
1 2
⇒
−a
<
m
⩽
a⩽ …
1 2
⇒
xB
⩾
0，
且 m = a 时 xB 最小 ⇒ yB =
1
−
x2B a2
最大.
此时
S△OAB
6(cos α
−
cos β)
=
3 ,
cos α − cos β
=
−2 sin
α+
β
sin
α−β
=
1 ,
6(sin α − sin β)
=
2 −1
⇒
sin α − sin β
=
2 cos
α
2 +β
sin
2 α−β
=
4 1 −
2
2
6
9
⇒
tan
α
+β 2
=
3 2
⇒
cos(α + β) = sin(α + β) =
6. 已知 6 枝玫瑰与 3 支康乃馨的价格之和大于 24 元，而 4 枝玫瑰与 5 支康乃
馨的价格之和小于 22 元. 则 2 枝玫瑰的价格和 3 支康乃馨的价格比较结果是
() A. 2 枝玫瑰价格高
B. 3 支康乃馨价格高
C. 价格相同 解答
D. 不确定
2001年全国初中数学联赛
2001年全国初中数学联赛
佚名
【期刊名称】《《中等数学》》
【年(卷),期】2001(000)003
【摘要】第一试一、选择题（满分42分，每小题7分）1．a、b、c为有理数，且等式a＋b2＋c3＝5＋26成立．则2a＋999b ＋1001c的值是（）．（A）1999 （B）2000 （C）2001 （D）不能确定 2．若ab≠1，且有5a2＋2001a＋
9＝0及9b2＋2001b＋5＝0 ，则(a)/(b)的值是（）．（A）(9)/(5) （B）(5)/(9 ) （C）－(2001)/(5) （D）－(2001[ 〗9)
【总页数】4页(P28-31)
【正文语种】中文
【中图分类】O12
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2001年全国初中数学联赛第一试一、选择题（每小题7分，共42分）1、a，b，c为有理数，且等式a + b√2 + c√3 = √(5 + 2√6) 成立，则2a + 999b + 1001c 的值是（）（A）1999 （B）2000 （C）2001 （D）不能确定2、若ab≠1，且有5a2 + 2001a + 9 = 0及9b2 + 2001b + 5 = 0，则a/b 的值是（）（A）9/5 （B）5/9 （C）-2001/5 （D）-2001/93、已知在△ABC中，∠ACB=900，∠ABC=150，BC=1，则AC的长为（）（A）2 + √3 （B）2 - √3 （C）3/10 （D）√3 - √24、在△ABC中，D是边AC上的一点，下面四种情况中，△ABD∽△ACB不一定成立的情况是（）（A）AD·BC = AB·BD （B）AB2 = AD·AC （C）∠ABD = ∠ACB （D）AB·BC = AC·BD5、①在实数范围内，一元二次方程ax2 + bx + c = 0 的根为x = -b/2a ±√(b2-4ac)/2a；②在△ABC中，若AC2 + BC2 ＞AB2，则△ABC是锐角三角形；③在△ABC和△A'B'C'中，a，b，c分别为△ABC的三边，分别为的三边，若a＞a'，b＞b'，c＞c'，则△ABC的面积S大于△A'B'C'的面积S'。
以上三个命题中，假命题的个数是（）（A）0（B）1（C）2（D）36、某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过200元，则不予折扣；②如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠。
某人两次去购物，分别付款168元和423元；如果他只去一次购物同样的商品，则应付款是（）（A）522.8元（B）510.4元（C）560.4元（D）472.8二、填空题（每小题7分，共28分）1、已知点P在直角坐标系中的坐标为（0，1），O为坐标原点，∠QPO=1500，且P到Q的距离为2，则Q的坐标为______。
2、已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为______ 。
3、已知x,y是正整数，并且xy+x+y=23 则x2+y2= ______ 。
（非原题）4、一个正整数，若分别加上100和168，则可得到两个完全平方数，这个正整数为_______ 。
2008年全国初中数学联赛2008年4月13日上午8：30—9：30一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1、设a 2 + 1 = 3 a，b 2 + 1 = 3 b，且a ≠ b，则代数式+ 的值为（）（A）5 （B）7 （C）9 （D）112、如图，设AD，BE，CF为△ABC的三条高，若AB = 6，BC = 5，EF = 3，则线段BE的长为（）（A）（B）4 （C）（D）3、从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（）（A）（B）（C）（D）4、在△ABC中，∠ABC = 12°，∠ACB = 132°，BM和CN分别是这两个角的外角平分线，且点M，N分别在直线AC和直线AB上，则（）（A）BM > CN （B）BM = CN （C）BM < CN （D）BM和CN的大小关系不确定5、现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r，则r 的最小值为（）（A）( ) 3 （B）( ) 4 （C）( ) 5 （D）6、已知实数x，y满足( x – ) ( y – ) = 2008，则3 x 2 – 2 y 2 + 3 x – 3 y – 2007的值为（）（A）– 2008 （B）2008 （C）– 1 （D）1二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1、设a = ，则= 。
2、如图，正方形ABCD的边长为1，M，N为BD所在直线上的两点，且AM = ，∠MAN = 135°，则四边形AMCN的面积为。
3、已知二次函数y = x 2 + a x + b的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m，n，且| m | + | n | ≤ 1。
设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p，q，则| p | + | q | = 。
4、依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是。
答案：B、D、C、B、B、D；– 2、、、1。
2003年全国初中数学联赛一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1. 2√(3-2√2) + √(17-12√2) 等于A.5-4√2B.4√2-1C.5D.12.在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是A.0B.1C.3D.53.若函数y = kx (k＞0) 与函数y = 1/x 的图象相交于A，C两点，AB垂直x轴于B，则△ABC的面积为A.1B.2C.kD.k24.满足等式x√y + y√x - √(2003x) - √(2003y) + √(2003xy) = 2003 的正整数对的个数是A.1B.2C.3D.45.设△ABC的面积为1，D是边AB上一点，且AD/AB = 1/3．若在边AC上取一点E，使四边形DECB的面积为3/4，则CE/EA 的值为A. 1/2B.1/3C.1/4D.1/56.如图，在平行四边形ABCD中，过A，B，C三点的圆交AD于E，且与CD 相切．若AB=4，BE=5，则DE的长为A.3B.4C.15/4D.16/5二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1.抛物线y = ax2 +bx +c 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若△ABC 是直角三角形，则ac=__________．2.设m 是整数，且方程3x2 + mx - 2 = 0 的两根都大于-9/5 而小于3/7，则m = ____________．3.如图AA'，BB'，分别是∠EAB，∠DBC的平分线．若AA' = BB' = AB，则∠BAC的度数为_____________．4.已知正整数a，b之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a，b中较大的数是_________．2007年全国初中数学联赛第一试一、选择题(每小题7分，共42分)1．已知满足则的值为( )．(A)1 (B) (C) (D)2．当分别取值2，…，2006，2007时，计算代数式的值，将所得的结果相加，其和等于( )．(A)-1 (B)l (C)0 (D)20073．设是的三边长，二次函数在时取最小值．则△ABC是( )．(A)等腰三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)直角三角形4．已知锐角△ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆的半径．则∠A的度数是( )．(A)30°(B)45°(C)60°(D)75°5．设K是△ABC内任意一点，△KAB、△KBC、△KCA的重心分别为D、E、F．则S△DEF：S△ABC的值为( )．(A) (B) (C) (D)6．袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球．现从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是( )．(A) (B) (C) (D)二、填空题(每小题7分，共28分)1．设，是的小数部分，是的小数部分．则 .2．对于一切不小于2的自然数，关于的一元二次方程的两个根记作．则= .3．已知直角梯形ABCD的四条边长分别为AB=2，BC=CD=10，AD=6，过B、D两点作圆，与BA的延长线交于点E，与CB的延长线交于点F．则BE-BF的值为。
4．若和均为四位数，且均为完全平方数，则整数的值为。
第二试A卷一、(20分)设为正整数，且如果对一切实数，二次函数的图像与轴的两个交点间的距离不小于，求的值．二、(25分)如图l，四边形ABCD是梯形，点E是上底边AD上一点，CE的延长线与BA的延长线交于点F．过点E作BA的平行线交CD的延长线于点M，BM与AD交于点N．证明：∠AFN=∠DME．三、(25分)已知是正整数．如果关于的方程的根都是整数，求的值及方程的整数根．B卷一、(20分)设为正整数，且二次函数的图像与轴的两个交点间的距离为，二次函数的图像与轴的两个交点间的距离为．如果对一切实数恒成立，求的值。
二、(25分)同A卷第二题．三、(25分)设是正整数，二次函数反比例函数．如果两个函数的图像的交点都是整点(横、纵坐标都是整数的点)，求的值．C卷一、(20分)同B卷第一题．二、(25分)同A卷第二题．三、(25分)设是正整数．如果二次函数和反比例函数的图像有公共整点(横、纵坐标都是整数的点)，求的值和对应的公共整点．2006年全国初中数学联赛第一试一、选择题(每小题7分，共42分)1．已知四边形ABCD为任意凸四边形，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点用S、p分别表示四边形ABCD的面积和周长；S1、p1，分别表示四边形EFGH的面积和周长．设．则下面关于的说法中，正确的是( )．(A) 均为常值(B) 为常值，不为常值(C) 不为常值，为常值(D) 均不为常值2．已知为实数，且是关于的方程的两根．则的值为( )．(A) (B) (C) (D)13．关于的方程仅有两个不同的实根．则实数的取值范围是( )．(A)a＞0 (B)a≥4 (C)2＜a＜4 (D)0＜a＜44．设则实数的大小关系是( )．(A) (B) (C) (D)5．为有理数，且满足等式,则的值为( )．(A)2 (B)4 (C)6 (D)86．将满足条件―至少出现一个数字0且是4的倍数的正整数‖从小到大排成一列数：20，40，60，80，100，104，…．则这列数中的第158个数为( )．(A)2000 (B)2004 (C)2008 (D)2012二、填空题(每小题7分，共28分)1．函数的图像与轴交点的横坐标之和等于．2．在等腰中，AC=BC=1，M是BC的中点，CE⊥AM于点E，交AB于点F，则S△MBF= 。
3．使取最小值的实数的值为．4．在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点坐标分别为O(0，0)、A(100，0)、B(100，100)、C(0，100)．若正方形0ABC内部(边界及顶点除外)一格点P满足。