平行四边形和三角形的中位线专题培优教程文件

平行四边形和三角形的中位线（二）
1、如图，过□ABCD内一点P作边的平行线EF、GH，若S四边形PHCF
＝5，S四边形PGAE＝3，则S△PBD＝_________．
2、如图，□ABCD中，M、N分别是AD、AB上的点，且BM＝ND，
其交点为P，求证：∠CPB＝∠CPD．
3、已知等腰△EAD和等腰△CAB，EA＝ED，CA＝CB，∠AED＝∠ACB＝α，以线段AC、AE为边作平行四边形ACFE，连接BF、DF．
（1）如图1，当α＝90°，且A、D、C不在一条直线上时，求∠DFB的度数；
（2）如图2，当0°＜α＜90°，且A、D、C不在一条直线上时，求∠DFB的度数．
4、如图1,在△OAB中,∠OAB=900,∠AOB=300，OB=8.以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，
D 是OB 的中点，连接AD 并延长交OC 于E. (1)求证：四边形ABC
E 是平行四边形；
(2)如图2，将图1中的四边形ABCO 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为FG ，求OG 的长。

5、如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AE 平分∠BAC ，交CD 于K ，交BC 于E ，F 为BE 上一点且BF ＝CE ，求证：FK ∥AB ．
6、四边形ABCD 中，AD ∥BC ，（1）如图1，若E 、F 分别是AB 、CD 的中点，求证：EF=
2
1
(AD+BC) （2）如图,2，若G 、H 分别是AB 、CD 的中点，求证：GH<
2
1
(AB+CD) （3）如图3，连接AC 、BD ，若M 、N 分别是AC 、BD 的中点，求证：MN<2
1
(BC —AD)
7、如图,点P是四边形ABCD的对角线BD的中点,E,F分别是AB,CD的中点,AD=BC,∠CBD=45∘.∠ADB=105∘，试探究EF与PF之间的数量关系，并证明。

8、如图，将△ABC的边AB绕点A顺时针旋转角α得到线段AD，同时边AC绕点A逆时针旋转角α得线段AE（α≠180°－∠BAC），连接BD、CE，分别作BD、BC、CE中点，M、P、N，连接MP、PN．
（1）如图1，若α＝60°时，∠MPN＝________；
（2）改变旋转方向，如图2，边AB绕点A逆时针旋转角α得AD，边AC绕点A顺时针旋转角α得到线段AE，其余条件不变，写出∠MPN与α之间的关系，并证明．
9、如图，在△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰Rt △ABM 和等腰Rt △CAN ，P 是边BC 的中点，求证：PM ＝PN ．
10、如图，在△ABC 中，D 、E 是AC 、BC 的中点，BF ＝3
1
AB ，BD 与FC 相交于G ，连接EG ，求证：EG ∥AC ．
11、已知在△ABC 中，AF 、BE 分别是中线，且相交于点P ，记AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，如图． (1) 求证：AP ＝2PF ，BP ＝2PE ；
(2) 如图(2)，若AF ⊥BE 于P ，试探究a 、b 、c 之间的数量关系；
(3) 如图(3)，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 、G 分别是AD 、BC 、CD 的中点，BE ⊥EG ，AD ＝4，AB ＝6，求AF 的长．
12、如图，△ABC中，∠ACB=900,BC=6,AC=8，将△ABC绕C点按逆时针方向旋转角得到△DEC，设AD交EB于P，Q是BC的中点，连接PQ，在旋转过程中，求：（1）∠BPA的度数(2)PQ 的最大值
反馈练习
1．如图，□ABCD的周长为32cm，AB：BC＝5：3，AE⊥CB的延长
线于E ，AF ⊥CD 的延长线于F ，∠EAF ＝2∠C ，求AB 、BC 、AE 、AF 的长．
2、如图，□ABCD 中，∠A 与∠D 的平分线交于点E ，∠B 与∠C 的平分线交于点F ，求证：EF ＋BC ＝AB
3、如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD ＝BC ，∠PEF ＝18°，求∠EPF ．
4、已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝7，AD 是角平分线，CM ⊥AD 于M ，且N 是BC 的中点。

求MN 的长。

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12
A B
C
M
N
5、已知M是线段AB的中点，从AB上另一点C任意引线段CD，设CD的中点为N，BD的中点为P，MN的中点为Q，求证：直线PQ平分线段AC．。