21-利率期限结构模型[金融计算与建模]
利率期限结构模型(ppt文档)
为了解决这一问题，应该对短期债券赋予较高的权重，而对长期 债券赋予较低的权重，从而允许长期债券存在较高的误差。在Bolder和 Streliski (1999)的论文中，设定了如下的权重系数：
wj
1/ Durj 1/ Durj
而将参数
的估计过程定义为：
ˆ*
arg min
n
w2j
D10
(s)
a3
b3s
c3 s 2
d3s3
s [0, 5] s [5,10] s [10,30]
其中，函数必须满足以下的7个约束条件：
D(i) 0
D5i
(5)
D(i) 5
(5)
(10) D10i (10)
D0
(0)
1
i 0,1, 2
从而，我们可以将互相独立的参数缩减到5个：
0
1
1
exp(
1
)
2
1
exp(
1
)
exp
1
1
1
这就是Nelson-Siegel模型的基本表达形式。当固定 0 时，通过 1和2 的不同组合，利用这个模型，可以推出四种不同形状的零
s
推导出的附息债券理论价格。
显然，债券样本中长期品种的价格波动性应大于短期品种，而由此带来 的结果是：以上述方法中表示长期债券的定价误差往往大于短期债券。 这就是在进行收益率曲线拟合时无法避免的样本异方差特征，导致的结 果往往是收益率曲线在远端出现“过度拟合”（Over fitting）的情况， 而在近端则无法很好地表现短期债的实际情况。
利率期限结构模型讲解
利率期限结构模型简介
利率期限结构相关符号表：
B(t , T ) :
在未来时间T到期的零息票债券在时间t的价格，即在未来时间T 支付单位1的债券在时间t的价格。
ˆ (t , ) 起息日为时间t，剩余到期期限为 年的零息票债券利率。有： R
B(t , t ) 1 ˆ (t , )] [1 R
通常，使用静态模型拟合利率期限结构的具体过程如下：
首先，从市场上选出一组无违约风险的附息债券。设该组附息债券在时 s t ，j表示 间t的市场价格为 Pt j ，在时间s的现金流入为 Fs( j )，其中， 该组的第j支债券。 由于期限结构指的是零息债券的收益率与其到期日间之关系，因此必须 先调整“息票效应”（Coupon Effect）。息票效应是指：对于剩余到 期期限相同的债券来说，它们的到期收益率不仅与当前的利率期限结构 有关，还与它们的票面利率水平有关。对于相同的即期利率期限结构而 言，到期收益率是这些即期利率的加权平均，而权重是各个现金流的现 值。
ˆ j F ( j ) f (s t; ) P t s
s
于是，假想出贴现函数 B(t, s) f (s t; 1 ) 或零息票债券利率
R(t , s t ) g (s t; 2 )的具体形式，其中 和 为参数向量。然后 2 1 利用假想出的具体形式，来推导附息债券的理论价格，当推导出的 理论价格与给定的市场价格最为接近时，就可以估计出由 1 和 2 构成的参数向量，即：
R(t , ) 起息日为时间t，剩余到期期限为
年的连续复合利率。有：
B(t , t ) exp[ R(t , )]
F (t , s, T s) 在时间t计算的，起息日为时间s，剩余到期期限为T-s的远
利率期限结构理论
传统的利率期限结构理论
短期利率的期望值可以通过远期利率基于 三种不同的理论来估计。
➢ 市场期望理论 ➢ 流动性偏好理论 ➢ 市场分割理论
未来利率期限结构
当前零息债券的价格
当前不同期限债券的到期收益率
当前利率期限结构
远期利率 未来短期利率的期望值
三种不同的假定：
（1）市场期望理论 （2）流动性偏好理论 （3）市场分割理论
三名美国经济学家提出 。
②局部均衡分析： Ho-Lee模型 创始人是两个韩国人托马斯·侯（Thomas.y.ho）和李尚宾（Sangbing Lee
市场期望理论
假设条件：
1. 投资者风险中性 ▪ 仅仅考虑（到期）收益率而不管风险。 ▪ 或是在无风险的确定性环境下。
2. 所有市场参与者都有相同的预期，金融市场 是完全竞争的；
▪ 长期债券收益要高于短期债券收益，因为 短期债券流动性高，易于变现。而长期债 券流动性差，人们购买长期债券在某种程 度上牺牲了流动性，因而要求得到补偿。
由于投资者不愿意投资长期债券，因此为了吸引投资者， 投资两年期债券的收益，应高于先投资1年期债券后， 再在下1年再投资1年期债券的收益，即
(1 y2l )2 (1 y1)(1 E(r2))
3. 在投资人的资产组合中，期限不同的债券是 完全替代的。
▪ 在上述的假定下，投资于两年到期的债券的总报 酬率，应等于首先投资于1年到期的债券，随后 再转投资于另一个1年到期的债券所获得的总报 酬率，即
(1 y2)2 (1 y1)(1 E(r2))
第1年投资（已知）
第2年投资（预期）
根据远期利率公式有 (1 y2 )2 (1 y1)(1 f2 )，则
给和需求，从而形成不同的市场，它们之间不能互相替代。根据供求 量的不同，它们的利率各不相同。
利率期限结构
利率期限结构(term structure),是某个时点不同期限的利率所组成的一条曲线.因为在某个时点,零息票债券的到期收益率等于该时期的利率,所以利率期限结构也可以表示为某个时点零息票债券的收益率曲线(yield curve).它是资产定价、金融产品设计、保值和风险管理、套利以及投机等的基准.因此,对利率期限结构问题的研究一直是金融领域的一个基本课题.利率期限结构是一个非常广阔的研究领域,不同的学者都从不同的角度对该问题进行了探讨,从某一方面得出了一些结论和建议.根据不同的角度和方向,这些研究基本上可以分为5类:1)利率期限结构形成假设;2)利率期限结构静态估计;3)利率期限结构自身形态的微观分析;4)利率期限结构动态模型;5)利率期限结构动态模型的实证检验.1利率期限结构形成假设利率期限结构是由不同期限的利率所构成的一条曲线.由于不同期限的利率之间存在差异,所以利率期限结构可能有好几种形状:向上倾斜、向下倾斜、下凹、上凸等.为了解释这些不同形状的利率期限结构,人们就提出了几种不同的理论假设.这些假设包括:市场预期假设(expectation hy-pothesis),市场分割假设(market segmentation hy-pothesis)和流动性偏好假设(liquidity preference hy-pothesis).为了对这些假设进行验证,不同的学者从不同的角度进行了分析.不同的学者利用不同的方法,使用不同国家的数据对利率期限结构形成假设进行了检验.在3个假设中,市场预期假设是最重要的假设,所以大多数的研究都是立足于市场预期假设,并在此基础上考虑流动性溢酬.4)中国市场.庄东辰[19]和宋淮松[20]分别利用非线性回归和线性回归的方法对我国的零息票债券进行分析.唐齐鸣和高翔[21]用同业拆借市场的利率数据对预期理论进行了实证.实证结果表明:同业拆借利率基本上符合市场预期理论,即长短期利率的差可以作为未来利率变动的良好预测,但是短期利率也存在着一些过度反应的现象.此外,还有杨大楷、杨勇[22],姚长辉、梁跃军[23]对国债收益率的研究.但这些研究大部分都是停留在息票债券的到期收益率上,没有研究真正意义上的利率期限结构.2利率期限结构静态估计当市场上存在的债券种类有限时(特别对债券市场不发达国家而言),如何根据有效的债券价格资料对整个利率期限结构进行估计,是进行债券研究的一个重要内容.不同的学者提出了不同的估计方法,其核心就是对贴现函数δ(m)的估计.郑振龙和林海[31]利用McCulloch[25]样条函数和息票剥离法对我国市场利率期限结构进行了静态估计,构造出中国真正的市场利率期限结构.朱世武和陈健恒[32]则使用Nelson-Siege-Svensson[33]方法对我国交易所市场的利率期限结构进行了估计.郑振龙和林海[34]估计出中国债券市场的违约风险溢酬并进行了分析.林海和郑振龙[35]对中国市场利率的流动性溢酬进行了估计和分析.林海和郑振龙[36]对这些问题进行了统一和归纳,并分析了其在中国金融市场的具体运用.3利率期限结构自身形态微观分析利率期限结构的变动也有平行移动和非平行移动.由于利率直接和债券的收益率相关,这些不同方式的移动对债券组合的收益会产生很大的影响,并进而影响债券组合管理的技术.为了衡量利率期限结构的形状变动对债券投资组合的影响并在此基础上进行有效的管理,达到“免疫”的目的,众多的学者对利率期限结构本身的形态作了大量的分析,并对利率期限结构的平行移动和非平行移动条件下的债券组合套期保值的问题进行了深入研究. Zimmermann[40],D'Ecclesia&Zenios[41], Sherris[42],Martellini&Priaulet[43],Maitland[44], Schere&Avellaneda[45]分别对德国、瑞士、意大利、澳大利亚、法国、南非、拉美等国家和地区的利率期限结构进行了主成分和因子分析.朱峰[46]和林海[47]对中国的市场利率期限结构进行了主成分分析,并在此基础上对中国债券组合的套期保值提出了若干建议.4利率期限结构动态模型4.1基本利率期限结构动态模型根据利率期限结构模型的推导过程,可以分为两种类型:第一种类型就是一般均衡模型(Equilibriummodel),根据市场的均衡条件求出利率所必须遵循的一个过程,在这些模型中,相关的经济变量是输入变量,利率水平是输出变量;另一种类型是无套利模型(No arbitrage model),通过相关债券等资产之间必须满足的无套利条件进行分析,此时利率水平是一个输入变量,相关金融工具的价格是输出变量.必须特别指出的是,这些模型都是建立在风险中性世界中,所描述的均是风险中性世界中的利率变动行为.而实证检验都是利用现实世界的利率数据进行的.因此,在将现实世界中的估计结果运用于衍生产品定价时,必须先利用模型相对应的风险价格②通过Girsanov定理将现实世界转换为风险中性世界,然后再利用风险中性世界中的相应结果进行定价.1)一般均衡模型.主要包括Vasicek[66]模型和Cox,Ingersoll&Ross(CIR)[67,68]模型,此外还有Rendleman&Barter[69],Brennan&Schwartz[55]等.2)无套利模型.主要包括HJM[70]模型,Ho&Lee[71]以及Hull&White[72]模型.此外,还有Black,Derman&Toy[73]等.4.2一般化扩展模型1)仿射模型(Affine Model)2)二次高斯模型(Quadratic Gaussian model)3)非线性随机波动模型(Nonlinear StochasticV olatility Model)4)存在跳跃的利率期限结构模型(Diffusion-jump Model)5)机制转换模型(Regime ShiftModel)5利率期限结构动态模型的实证检验在对利率期限结构模型的理论研究基础之上,众多的学者都对不同的期限结构模型进行了实证检验,以对不同的模型进行判别和比较.实证分析可以分成几个类别:(1)对利率单位根问题的检验;(2)对不同期限结构模型的比较研究;(3)对某个特定期限结构模型的分析;(4)对模型可靠性的分析.5.1对利率单位根的检验Wang&Zhang[89]对利率的单位根问题进行了实证分析,以对利率市场的有效性进行验证5.2对不同期限结构模型的比较研究Durham[92]利用Durham&Gallant[93]的计量分析方法对不同的期限结构模型进行了实证检验. 陈典发[108]对Vasicek模型中参数和实际市场数据的一致性问题进行了研究,并探讨了它在公司融资决策中的应用.谢赤和吴雄伟[109]通过一个广义矩方法,使用中国货币市场的数据,对Vasicek模型和CIR模型进行了实证检验.6利率期限结构研究现状总结性分析根据上面对利率期限结构的文献回顾,可以从中发现利率期限结构研究目前的发展方向.(1)在利率期限结构形成假设方面,市场分割假设逐渐地被人们所遗忘,因为随着市场的发展,技术的进步,市场交易规模的扩大,市场已经逐渐形成一个统一的整体;而且市场预期假设如果没有同流动性溢酬相结合,都会被市场资料所拒绝.流动性溢酬呈现出不断变化的特征.因此,今后的研究方向应该是在市场预期假设的模型框架中引入流动性溢酬假设.(2)在利率期限结构静态估计方面,基本上采用样条函数和息票剥离法.为了保证估计的精确性,样条函数的选择越来越复杂.(3)在利率期限结构自身微观形态分析方面,如何通过对久期的进一步修正,从而使之能够地在利率期限结构非平行移动条件下更为有效地达到套期保值的效果,是该领域未来重要的研究方向.但是由于主成分分析受数据的影响很大,结果很不稳定,所以对主成分分析可靠性的检验,也是一个重要的研究内容.(4)根据对利率期限结构动态模型的实证分析,可以发现:1)不同的模型,不同的计量分析方法,不同的数据,所得出的实证结果都会产生差异.因此,对不同的市场,重要的是模型的适用性.2)实证分析也得出一些基本一致的结论:a.漂移率的假设不会对利率期限结构模型产生太大的影响;b.波动率是利率期限结构模型的重要因素;c.多因子模型要比单因子模型表现得好,但是多因子要牺牲自由度,因此,根据实证结果,两因子模型可能是一个比较好的模型.d.利率一般服从一个均值回归过程.3)基于概率密度预测(density forecast)的样本外检验是利率期限结构实证分析未来的发展方向.4)目前大部分对动态模型的检验都是直接利用实际数据在现实世界中进行的,对现实世界和风险中性世界的差异并未引起足够的重视.1.4 利率期限结构模型的最新进展近年来在HJM 模型类的推动下，利率期限结构理论研究的各种新模型层出不穷，如市场模型、随机弦模型、随机域模型、跳跃过程模型和随机折现因子模型等。
利率期限结构模型：理论与实证
利率期限结构模型:理论与实证利率期限结构是指某个时点不同期限的即期利率与到期期限的关系及变化规律，要彻底搞清楚这个概念，就必须从理论和实证两个方面去理解，下面就让店铺带着大家一起去了解一下利率期限结构模型:理论与实证的相关知识吧。
什么是利率期限结构严格地说，利率期限结构是指某个时点不同期限的即期利率与到期期限的关系及变化规律。
由于零息债券的到期收益率等于相同期限的市场即期利率，从对应关系上来说，任何时刻的利率期限结构是利率水平和期限相联系的函数。
因此，利率的期限结构，即零息债券的到期收益率与期限的关系可以用一条曲线来表示，如水平线、向上倾斜和向下倾斜的曲线。
甚至还可能出现更复杂的收益率曲线，即债券收益率曲线是上述部分或全部收益率曲线的组合。
收益率曲线的变化本质上体现了债券的到期收益率与期限之间的关系，即债券的短期利率和长期利率表现的差异性。
利率期限结构的理论利率的期限结构理论说明为什么各种不同的国债即期利率会有差别，而且这种差别会随期限的长短而变化。
1、预期假说利率期限结构的预期假说首先由欧文·费歇尔(Irving Fisher)(1896年)提出，是最古老的期限结构理论。
预期理论认为，长期债券的现期利率是短期债券的预期利率的函数，长期利率与短期利率之间的关系取决于现期短期利率与未来预期短期利率之间的关系。
如果以Et(r(s))表示时刻t对未来时刻的即期利率的预期，那么预期理论的到期收益可以表达为：因此，如果预期的未来短期债券利率与现期短期债券利率相等，那么长期债券的利率就与短期债券的利率相等，收益率曲线是一条水平线;如果预期的未来短期债券利率上升，那么长期债券的利率必然高于现期短期债券的利率，收益率曲线是向上倾斜的曲线;如果预期的短期债券利率下降，则债券的期限越长，利率越低，收益率曲线就向下倾斜。
这一理论最主要的缺陷是严格地假定人们对未来短期债券的利率具有确定的预期;其次，该理论还假定，资金在长期资金市场和短期资金市场之间的流动是完全自由的。
利率期限结构模型
R(t , ) 起息ห้องสมุดไป่ตู้为时间t，剩余到期期限为
年的连续复合利率。有：
B(t , t ) exp[ R(t , )]
F (t , s, T s) 在时间t计算的，起息日为时间s，剩余到期期限为T-s的远
期利率。有：
B f (t , s, T ) B(t , T ) exp[(T s) F (t , s, T s)] B(t , s)
静态利率期限结构模型
静态利率期限结构模型概述
静态利率期限结构模型以当天市场的债券价格信息为基础，构 造利率曲线函数，利用所构造的利率曲线得到理论价格来逼近债券 的市场价格，从而得出符合当天价格信息的利率期限结构。 静态利率期限结构模型最为常见的有样条函数模型和节约型模 型，样条函数模型主要包括多项式样条法、指数样条法和B样条法， 节约型模型的主要代表是Nelson-Siegel模型及其扩展模型。
s [0, T1 ] s [T1 , T2 ] s [T2 , T3 ]
模型中，除了 ai , bi , ci , di 外， u也是一个参数，并且有明显的经济含 义。Vasicek and Fong (1982)证明了如下等式：
u lim f (0, s )
s
即，u可以被认为是当前的起息日为未来无限远时的瞬间远期利率。
0
Nelson-Siegel模型及其扩展形式
Nelson-Siegel模型可以由一个公式来说明，该公式的形式与那些描述 动态利率的普通微分方程的解的表达式十分类似。该公式为：
f (0, ) 0 1 exp( ) 2 exp( ) 1 1 1
wj
1/ Dur
1/ Durj
利率及利率期限结构
利率及利率期限结构利率是指借贷双方的利益关系中由借款方向贷款方支付的一种代价，是资金交易中的重要因素之一、利率的大小和变动对个人、企业和国家经济发展都有很大的影响。
利率期限结构是指一定时期内不同借贷期限的利率水平之间的关系。
在市场经济中，利率期限结构反映了市场上不同期限的借贷利率的变化和相互关系。
对于借款人和投资人来说，利率期限结构对选择借贷和投资期限有重要的指导作用。
利率期限结构通常呈现出以下几种形态：正常的正斜率、倒斜率和平坦的水平。
正常的正斜率是指较短期限的借贷利率低于较长期限的借贷利率，这是由于长期借贷存在更高的风险和不确定性。
倒斜率则是指较短期限的借贷利率高于较长期限的借贷利率，这通常是一种非常罕见的情况，可能出现在经济不稳定或信贷紧缩的情况下。
平坦的水平是指不同期限的借贷利率基本上相等或非常接近，这可能是市场对未来的经济发展没有明确的预期，或者是货币储备过剩导致无法有效地分配资金。
利率期限结构的研究对于各类金融机构和市场参与者非常重要。
首先，它对于市场参与者的资金配置和投资决策有重要的指导作用。
如果利率期限结构保持正常的正斜率，那么短期投资可能会取得较好的回报，而长期投资可能会有较高的风险。
反之，如果利率期限结构出现倒斜率，那么短期投资可能会带来更大的风险和不确定性。
其次，利率期限结构也对货币政策和金融稳定具有很大的影响。
利率期限结构的演变可以反映市场对未来经济发展的预期，央行可以通过利率调整来引导市场的风险偏好和资金配置。
此外，利率期限结构的变动也可能反映市场对货币政策的反应，央行可以通过观察和分析利率期限结构的变化来评估货币政策的效果和市场预期。
最后，利率期限结构的变动也对实体经济有着重要的影响。
利率的大小和变动直接关系到个人、企业和国家的借贷成本和投资回报率。
如果利率期限结构保持正常的正斜率，那么企业可以通过选择不同期限的借贷来降低成本或提高回报。
而如果利率期限结构出现倒斜率，那么企业可能面临借贷成本上升和资金获取困难的问题。
一般利率期限结构模型
一般化模型设置
• 最大化：
Et [ jU (Ct j )]
• 约束条件：
j 0
Wt 1 (Wt Ct ) Rt 1
• 这是一个秉赋经济状态，投资者除了投资收益之外， 没有其他收入，如工资收入等。这个问题涉及到多 期优化，因此必须用动态优化的方法进行求解。动 态优化的方法可以参考蒋中一（1999）、斯托基和 卢卡斯（1999）。
Dai and Singleton(2002)
• 直接假设：
dMt rt dt t ' dW (t ), Mt
W (t ) 是N个独立的布朗运动变量。 rt 为瞬时利率。 • 其中， t代表风险的市场价格。而且，
rt r (Y (t ),t ), t (Y (t ),t ), dY (t ) uYP (Y , t )dt YP (Y , t )dW (t )
动态优化求解
• 构建贝尔曼动态方程：
V (Wt , Ct ) U (Ct ) EtV ((Wt Ct )Rt 1, Ct t ) Et Rt 1V1 (Wt 1, Ct 1 )
• 包络条件为
V1 (Wt , Ct ) U ' (Ct )
一般利率期限结构模型
林海 （厦门大学金融系，361005）
内容提要
• 主要利用一般资产定价中随机贴现因子的 概念对利率的变动情况进行理论上的分析。 通过这种分析方法，就可以将不同种类的 利率期限结构模型归纳到一个统一的框架 中来。本文的思想主要来源于 Cochrane(2000)、Dai and Singleton(2002) 等。本文主要分为几个部分：第一部分是 理论框架的提出；第二部分是对不同的利 率期限结构模型进行归纳、总结。
企业一般利率期限结构模型
随机贴现因子 （stochastic discount factor）
• 由于债券，包括无违约风险（default free）债券， 属于资产的一种。因此，对债券的分析可以用一 般资产的定价理论来进行分析和研究。这个一般 资产定价理论是在一个代表性投资者为实现自身 效用函数最大化的条件下所进行的投资决策而导 致的某种资产收益之间的均衡关系。原来有关一 般资产定价的原理有CAPM、APT等， Cochrane(2000)用一个随即贴现因子的概念将这 些理论统一到一个定价模型框架之中，从而形成 一个最一般化的资产定价模型。
另一个简单例子：
• CIR(1980), Ahn and Gao(1999)
Y (t) r(t) urQ (a br(t))r(t);
r r(t)3/ 2; t 1 / r(t) 2 r(t) urP urQ rt k( r(t))r(t)dt r(t)1.5 dW (t)
• 不要对随机因子进行太多的假设，比如，条件正态分布架 设、无关因子剔除等。
• 通过一个一般化的模型假设，既首先假设市场存在的波动 源的个数，然后将所有的因子都和这些波动源联系起来进 行分析。在上述问题中，可以假设市场存在两个不确定性 源，其中一个只对随机贴现因子产生影响，另一个同时对 随机贴现因子和状态变量产生影响。此时关系仍然是一个 线形关系，但是是以矩阵形式表现出来的线形。这方面的 思想和工作直接得益于Dai and Singleton(2002)。在他们 的文献中，直接应用了多因子的贴现因子的连续动态变化 过程，而不是随机贴现因子的对数。
Duarte(2001)
• 假设：
t 10 S(t)1
• 在这条件下，风险价格就可以随着时间的变化而变化。
• 同时， uYP(t) uYQ Y (t)t 0 YY(t) S(t) 10 S(t)1
利率期限结构课件
市场供求关系是影响利率期限结构的重要因素， 长期债券相对于短期债券风险更大，因此需要更 高的收益率来吸引投资者。
02 经济预期
经济预期也是影响利率期限结构的重要因素，如 果预期未来经济形势好，长期债券收益率会相对 较高。
03 通货膨胀
通货膨胀对利率期限结构的影响主要体现在预期 通货膨胀率上，如果预期通货膨胀率上升，长期 债券收益率也会相应上升。
金融衍生品定价
期权定价
利率期限结构提供了隐含波动率等参 数，用于期权定价模型，如布莱克-舒 尔斯模型。通过这些模型可以计算期 权的理论价值。
利率期货定价
利率期限结构用于确定期货合约的理 论价格。期货合约的未来现金流可以 通过利率期限结构折现到当前价值， 从而计算出期货合约的理论价值。
06
未来研究方向
3
股票市场与货币政策的关系
货币政策通过利率传导机制影响股票市场，央行 可以通过调整利率来调节股票市场的资金供求关 系。
利率期限结构与货币政策
01
货币政策目标与利率期限结构
央行通过货币政策操作影响利率期限结构，以实现经济增长、物价稳定
等政策目标。
02
利率传导机制
央行通过调整短期利率，影响长期利率，进而影响实体经济，这是货币
02
利率期限结构的理论模型
预期理论
总结词
预期理论认为长期债券的利率等于未来短期利率的预期平均值。
详细描述
预期理论认为，投资者会根据对未来短期利率的预期来决定是否购买长期债券。因此，长期债 券的利率应该等于未来短期利率的预期平均值。如果未来短期利率的预期值上升，长期债券的 利率也会相应上升。
市场分割理论
偏好理论认为，投资者对不同期限的债券有不同的风险偏好。对于风险厌恶程度较高的投资者来说，他们更倾向 于购买短期债券；而对于风险偏好较高的投资者来说，他们更倾向于购买长期债券。因此，长期债券的利率与未 来短期利率的关系取决于投资者的风险偏好。
利率期限结构理论与模型研究评析
三、 现代利率期限结构理论模型及相关的实证研究
众所周知， 现代利率期限结构的理论研究是与衍生证券的定价紧密相关的。 布莱 78"# 年， 克和斯克尔斯提出了经典的期权定价模型， 为金融衍生品定价做出了开创性的贡献。 在该模型 的启发下， 理论界对利率衍生品也开展了大量研究， 由于市场化后的利率运动过程表现出一定 的随机性， 对利率衍生品的定价前提是要描述利率的动态变化过程。因此， 理论界建立了很多 利率期限结构模型来描述利率的动态行为，这些模型大致可分为一般均衡模型和无套利模 型。另外， 经济学家们还利用从市场中收集到的数据作了很多实证研究， 以检验这些模型的评析。 （ 一） 均衡模型 在均衡模型中， 市场风险价格及利率的期限结构是由模型内生确定的， 利率水平是输出变 量。 该类模型有比较明确的表达式， 并且是一个不必与现行观察到的收益率曲线保持一致的模 型。比较著名的均衡模型有 9-06:&/ 与 ;<= 模型。 7$ 9-06:&/ 模型 78"" 年 9-06:&/ 首次建立了其模型，在该模型中，短期利率 . 遵循的风险中性过程是：+. > * ? @ - > A B . > * ? ? +* C !+D。式中， - 为均值回复速度， A 为长期均衡的利率水平， ! 为利率的波动 率， 短期利率以速率 - 拉向长期均衡的利率水 -， A 和 ! 均为常数。这个模型考虑了均值回复， 平 A， 这个“ 拉力” 服从正态分布的随机项 !+D。 从这个利率模型推导出的债券价格可知， 只要选 . > * ? 的值决定了 * 时刻期限结构的水平， 择出参数 -， 整个期限结构就可以表示为 . > * ? 的函数。 它的形状可以向上倾斜、 向下倾斜 A 和 !， 或者稍为“ 隆起” 。 9-06:&/ 模型中所有的参数都假设为常数，不随时间变化，因此没有考虑利率水平对波动 率变动的影响及波动率自身的 EF=;1 效应。 该模型的另外一个缺陷是在模拟计算过程中， 利
利率期限结构模型分析
（ 一） Ｎ Ｓ 模型
Ｎｅ ｌ ｓ ｏ ｎ ＆Ｓ ｉ ｅ ｇ ｅ ｌ （ １ ９ ８ ７ ） 最 先 提 出 了Ｎｅ ｌ ｓ ｏ ｎ —Ｓ ｉ ｅ ｇ ｅ ｌ （ ＮＳ ） 模型 ， 该模 型符 合 传 统 的 预 期理 论 的思 想 ， 利 用 二 阶 微分 方 程 推 导 得 出 ， 并 采用 最 小 二 乘 法 对参 数 Ｄ ０ 、ｐ １ 、Ｄ ２ （ 水 平 因子 、 斜率 因 子 、
面两 式 ：
罔 ｆ ， Ｉ ｆ ｆ ｏ ， ｕ ） ￣
１ ３ １ 、Ｄ ２ 、ｎ， 但 是 却 可 以灵 活 拟 合 出 利率 期 限结 构 ， 通 过 拟 合 得
到 不 同变 化 趋 势 的 收 益 率 曲 线 。指 数 函 数 的 衰减 速 度 由 ｎ的 大小 决定 ， 而且 ， 如 果 ｎ小 ， 就对 长期 国 债 利率 的拟 合 效 果更 好 ， 如果 ｎ 大， 就 对 短 期 的 拟 合效 果 好 。同 时 Ｔ １ 还决定了 Ｄ ２ 的 因子 载 荷何 时
别作 出图形 ， 在 图形的基础上 解释说 明。 关键 词 ： 利率期 限结构 ； Ｎ Ｓ ； Ｎ Ｓ Ｓ
一Leabharlann 刖 吾 随着 期 限 的增 加 ， 即
针对 国 债 利 率 期 限结 构 模 型 的研 究 ， 本 文在 此讨 论 的 有 两 种 模型， 分 别 是 ＮＳ 模 型 和 ＮＮＳ 模型， 解 释 说 明不 同模 型 的 拟 合 精 度。
由此 可 以看 出 ， ０ ２ 的 因子 载 荷 先 变 大 ， 后变小 ， 该 参数 对 短 期 及 长期 的 影 响 较 小 ， 影 响主 要 针对 中期 ， 所以 ， ｐ ２ 以显示 中期 特 征
的 经 济 学 含 义 明 晰 、曲 线 足 够 灵 活 ，可 以描 绘 各 种 形 状 等 等 ， 该 模 型 很 适 合 国债 数 量 较 少 的金 融 市 场 。 先 设 国债 的 瞬 时远 期 利 率 为 ：
利率期限结构的模型分析
利率期限结构的模型分析摘要：利率期限结构是资产定价、金融产品设计、保值和风险管理、套利以及投机等的基准，所以利率期限结构模型以及利率行为的特点一直以来就是金融学研究的重点。
随着我国债券市场的发展、金融创新的不断深入以及利率市场化进程的逐步推进，利率期限结构问题研究的重要性日益凸显。
本文即分析利率期限结构的四个模型，并运用Matlab软件分别作出图形，在图形的基础上解释说明。
关键词：利率期限结构多项式指数NS NSS一、前言利率期限结构是指某个时点不同期限的即期利率与到期期限的关系及变化规律，一般由债券市场的实际交易价格确定。
在成熟金融市场中，国债利率期限结构不但能够反映国债市场各期限国债的供求关系、市场利率的总体水平和变化方向，是市场重要的定价基准，而且是精细化设计国债及其衍生产品，科学制定财政和货币政策，完善国债发行和管理的重要依据。
2000年以后，随着国债发行机制的日趋规范和完善，期限结构的不断丰富，国债市场的日臻成熟，利率市场化水平的显著提高，鉴于此，我们开展了国债利率期限结构模型的研究，本文在此讨论的有四种模型，分别是多项式样条模型、指数样条模型、NS模型和NNS 模型，解释说明不同模型的拟合精度。
利率期限结构是利率水平与期限相联系的函数，收益率曲线的变化本质上体现了债券的到期收益率与期限之间的关系。
即债券的短期利率和长期利率表现的差异性。
而利率期限结构所研究的就是决定长期利率和短期利率关系的原因到底是什么。
随着对利率期限结构研究的发展，理论界也形成了不同的理论流派。
（一）预期理论：预期理论提出了以下命题：长期债券的利率等于在其有效期内人们所预期的短期利率的平均值。
这一理论关键的假定是，债券投资者对于不同到期期限的债券没有特别的偏好，因此如果某债券的预期回报率低于到期期限不同的其他债券，投资者就不会持有这种债券。
具有这种特点的债券被称为完全替代品。
在实践中，这意味着如果不同期限的债券是完全替代品，这些债券的预期回报率必须相等。
21利率期限结构模型[金融计算与建模].pptx
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Pˆt j )2 n
多项式样条法
多项式样条函数假设折现因子是到期期限s的多项式 分段连续函数 D(s) 。 在运用此函数时，仔细选择多项式的阶数是至关重要 的。阶数的多少决定了利率曲线的平滑程度和拟合程 度，同时也影响到待估参数的数量。本书将多项式样 条函数的阶数定为3。这是因为，当多项式样条函数 为二阶时，D(s) 的二阶导数 D(2) (s)是离散的；当阶数过 高（四阶或五阶）时，验证三阶或四阶导数是否连续 的难度将增大，待估参数的数量也将增大。
b1s c1s2 d1s3 b2s c2s2 d2s
3
D10
(
s)
a3
b3s
c3 s 2
d3s3
s [0, 5] s [5,10] s [10,30]
其中，函数必须满足以下的7个约束条件：
D(i) 0
D5i
(5)
D(i) 5
(5)
(10) D10i (10)
D0
(0)
1
i 0,1, 2
Bi (n,T ) 重组树中，在第i种状态下，剩余到期期限为T的贴现债券在时间 n的均衡价格。注意，与 B(t,T ) 的定义不同，此处T表示的是剩 余到期期限，而非到期日。
利率期限结构的概念
利率（interest rate）是经济和金融领域的一个核心变量，它实 质上是资金的价格，反映了资金的供求关系。
从而，我们可以将互相独立的参数缩减到5个：
D0
(s)
1
b1s
c1s 2
d1s3
D(s)
D5
(s)
1
b1s
c1s 2
d1
s
3
s
53
d
D10
(s)
一般利率期限结构模型
dr(t) k ( r(t))dt a br(t)dW (t)
• 这就是单因子的一般化CIR模型。如果放宽状态 变量的数量，就可以变为多因子的CIR模型。
• 如果 b 0, 就变成Vasicek 模型。
通过对状态变量和风险价格的假设：
• 我们就可以将各种各样的线性期限机构模型包 括进来。
它做出任何假设，只要能够保证状态变量在现实 世界中是线性的。 • 在Ahh, Dittmar and Gallant(2002)中，假设
t 0YY(t),
uYPuYQ (0YY(t))
• 在风险中性世界和现实世界中都是高斯过程。
当只有一个状态变量时，
• 利率满足方程：
r(t)ab(Y t)c(Y t)2
对
2
采取同样操作，因为它也是常数，只影响
水平，不影响形状。
因此，更为合理的模型安排是：
• 不要对随机因子进行太多的假设，比如，条件正态分布架 设、无关因子剔除等。
• 通过一个一般化的模型假设，既首先假设市场存在的波动 源的个数，然后将所有的因子都和这些波动源联系起来进 行分析。在上述问题中，可以假设市场存在两个不确定性 源，其中一个只对随机贴现因子产生影响，另一个同时对 随机贴现因子和状态变量产生影响。此时关系仍然是一个 线形关系，但是是以矩阵形式表现出来的线形。这方面的 思想和工作直接得益于Dai and Singleton(2002)。在他们 的文献中，直接应用了多因子的贴现因子的连续动态变化 过程，而不是随机贴现因子的对数。
（三）非线性随机波动模型
• 假设： • 状态变量的波动率为非线性； • 风险的市场价格为非线性； • 状态变量的飘移率也是非线性。 • 一个例子：Anderson and Lund(1997,1998)
利率的期限结构
利率的期限结构一、利率期限结构的形式债务凭证的期限不同，利率也不同。
利率和债务凭证期限之间的关系，叫做利率的期限结构(term structure of interest rate )。
对于不同的债务凭证来说，利率期限结构可能是不同的。
概括来说，利率的期限结构有三种形式:第一种是利率不随着债务凭证期限的变化而变化。
不论债务凭证的期限是短是长，利率都保持不变。
这种利率期限结构叫做水平的期限结构(flat term structure)。
第二种是利率随着债务凭证期限的延长而提高。
债务凭证的期限越长，利率就越高。
这种利率期限结构叫做上升的期限结构(rising termstructure)。
第三种是利率随着债务凭证期限的延长而下降。
债务凭证的期限越长，利率就越低。
这种利率期限结构叫做下降的期限结构(declining term structure)。
投资者在投资侦务凭证的时候，最关心的是债务凭证的收益率。
虽然债务凭证的收益率和利率有所不同，但是它们存在着正相关的关系。
因此，在研究利率的期限结构时，实际上分析的是收益率的期限结构。
二、利率期限结构的理论解释利率的期限结构的理论有三种:市场预期理论，流动偏好理论和市场分割理论。
1.市场预期理论市场预期理论(The Market Expection Theory)是由费雪(IFisher)在18%年出版的(升值与利息》中提出来的。
希克斯(J. R. Hicks)等人对该理论的发展做出过贡献。
市场预期理论假定，债券投资者只关心如何获得最大利益，而不关心他所持有的债券的期限。
因此，不同期限的债券是可以相互替换的。
购买一张2年期限的债券(上海公积金提取)和先后购买两张1年期限的债券相比较，如果前者的收益率高于后者，投资者将选择前者;如果前者的收益率低于后者，投资者将选择后者。
市场预期理论据此提出，利率的期限结构是由人们对未来市场利率变化的预期决定的。
假设某投资者准备使用100美元进行为期2年的投资时，他可以有两种选择:第一种是购买一张2年期限的债券;第二种是先购买一张1年期限的债券，等待第一年结束时再购买一张I年期限的债券。
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(Ti ) 分 别 为 D (T i )
的一阶导数和二阶导数。
例如，考虑30年期的贴现率函数，可以用三次多项式分段 拟合如下：
D 0 ( s ) a1 b1 s c1 s 2 d 1 s 3 2 3 D ( s ) D 5 ( s ) a 2 b2 s c 2 s d 2 s 2 3 D 1 0 ( s ) a 3 b3 s c 3 s d 3 s s [0, 5] s [5,1 0 ] s [1 0, 3 0 ]
利率期限结构模型
多项式样条法（McCulloch，1971，1975） 样条函数模型 静态模型 指数样条法（Vasicek&Fong，1982） B样条法,（Steeley，1991） Nelson-Siegel模型（Nelsen &Siegel，1987） 节约型模型 Svensson扩展模型（Svensson，1994）
ln B ( t , T ) T
|T t
R t 起息日为时间t，剩余到期期限为 t 年的连续复合利率。有：
R t R ( t , t )
(t , T )
贴现债券价格 B ( t , T ) 在时间t的预期瞬间收益。 贴现债券价格 B ( t , T ) 在时间t的瞬时波动。
F (t , s , T s )
在时间t计算的，起息日为时间s，剩余到期期限为T-s的远 期利率。有：
B (t , s , T )
f
B (t , T ) B (t , s )
ex p [ ( T s ) F ( t , s , T s )]
f (t , s )
在时间t计算的，起息日为时间s的瞬时远期利率。有：
f ( t , s ) lim F ( t , s , T s )
T s 0
f (t , s )
ln B ( t , s ) s
rt
即期利率，时间t计算的，剩余到期期限无限小时的零息票债 券的连续符合内部收益率。有：
rt lim R ( t , )
0
rt
其中，函数必须满足以下的7个约束条件：
D 0( i ) (5) D 5( i ) (5) i i D 5 (1 0 ) D 1 0 (1 0 ) D (0 ) 1 0
i 0,1, 2
从而，我们可以将互相独立的参数缩减到5个：
D 0 ( s ) 1 b1 s c1 s 2 d 1 s 3 3 3 D 5 ( s ) 1 b1 s c1 s 2 d 1 s 3 s 5 d 2 s - 5 D (s) 3 2 3 D 1 0 ( s ) 1 b1 s c1 s d 1 s s 5 3 3 3 d 2 s - 5 s 10 d 3 s -10
同样，指数样条法也必须满足如下约束条件：
D (0 ) 1 D (T ) D i 1 (T i ) i i 1 1 D i (Ti ) D i 1 (Ti ) 2 2 D i (Ti ) D i 1 (Ti )
其中，D (1) (Ti ), D ( 2 ) (Ti ) 分 别 为 D (Ti ) 的一阶导数和二阶导数。 选择样条函数的分段数量和取样条分界点在指数样条法中也同样 十分重要，其方法可以参见多项式样条法。并且，指数样条模型 也容易导致远期利率曲线不稳定。不同于多项式样条法的是，其 参数估计必须采用非线性最优化。
推导出的附息债券理论价格。
显然，债券样本中长期品种的价格波动性应大于短期品种，而由此带来 的结果是：以上述方法中表示长期债券的定价误差往往大于短期债券。 这就是在进行收益率曲线拟合时无法避免的样本异方差特征，导致的结 果往往是收益率曲线在远端出现“过度拟合”（Over fitting）的情况， 而在近端则无法很好地表现短期债的实际情况。 为了解决这一问题，应该对短期债券赋予较高的权重，而对长期 债券赋予较低的权重，从而允许长期债券存在较高的误差。在Bolder和 Streliski (1999)的论文中，设定了如下的权重系数：
ˆ arg m in
*
R ( t , s t ) g ( s t ; 2 ) 的具体形式，其中
(P
j 1
n
j
t
ˆj 2 Pt )
ˆ 其中，Pt 是从模型
j
ˆj Pt
s
Fs
( j)
f (s t; )
或模型
ˆj Pt
s
Fs
( j)
ex p [ ( s t ) g ( s t ; )]
Vasicek模型（Vasicek，1977）
均衡模型 CIR模型（Cox、Ingersoll&Ross，1985） 动态模型 套利模型 Ho-Lee模型（Ho&Lee，1986） Hull-White模型（Hull&White，1990） HJM模型（Heath, Jarrow&Morton，1992）
第21章 利率期限结构模型
清华大学经管学院 朱世武 Zhushw@ Resdat样本数据： SAS论坛：
利率期限结构模型简介
利率期限结构相关符号表：
B (t , T ) :
在未来时间T到期的零息票债券在时间t的价格，即在未来时间T 支付单位1的债券在时间t的价格。
s 0, 5 s 5,1 0
s 1 0, 3 0
指数样条法
指数样条函数是Vasicek and Fong (1982)提出的。与在多项式样条函数 部分所述的原因相同，也采用三阶指数形式样条函数，其形式为：
D 1 ( s ) a1 b1 e u s c1 e 2 u s d 1 e 3 u s us 2 us 3us c2e d 2e D 2 ( s ) a 2 b2 e D (s) us 2 us 3us c3e d 3e D 3 ( s ) a 3 b3 e ...........
通常，使用静态模型拟合利率期限结构的具体过程如下：
首先，从市场上选出一组无违约风险的附息债券。设该组附息债券在时 s 间t的市场价格为 Pt j ，在时间s的现金流入为 F s( j )，其中， t ，j表示 该组的第j支债券。 由于期限结构指的是零息债券的收益率与其到期日间之关系，因此必须 先调整“息票效应”（Coupon Effect）。息票效应是指：对于剩余到 期期限相同的债券来说，它们的到期收益率不仅与当前的利率期限结构 有关，还与它们的票面利率水平有关。对于相同的即期利率期限结构而 言，到期收益率是这些即期利率的加权平均，而权重是各个现金流的现 值。
(2)
一般选用如下形式的多项式样条函数：
D 1 ( s ) a1 b1 s c1 s 2 d 1 s 3 2 3 D 2 ( s ) a 2 b2 s c 2 s d 2 s D (s) 2 3 D 3 ( s ) a 3 b3 s c 3 s d 3 s ...........
静态利率期限结构模型
静态利率期限结构模型概述
静态利率期限结构模型以当天市场的债券价格信息为基础，构 造利率曲线函数，利用所构造的利率曲线得到理论价格来逼近债券 的市场价格，从而得出符合当天价格信息的利率期限结构。 静态利率期限结构模型最为常见的有样条函数模型和节约型模 型，样条函数模型主要包括多项式样条法、指数样条法和B样条法， 节约型模型的主要代表是Nelson-Siegel模型及其扩展模型。
ˆj Pt
s
Fs
( j)
f (s t; )
于是，假想出贴现函数 B ( t , s )
f ( s t ; 1 ) 或零息票债券利率
1
和 2 为参数向量。然后 利用假想出的具体形式，来推导附息债券的理论价格，当推导出的 理论价格与给定的市场价格最为接近时，就可以估计出由 1 和 2 构成的参数向量，即：
ˆ R ( t , ) 起息日为时间t，剩余到期期限为 年的零息票债券利率。有：
B (t , t )
R (t , )
1
ˆ [1 R ( t , )]
起息日为时间t，剩余到期期限为 年的连续复合利率。有：
B ( t , t ) exp[ R ( t , )]
s [0, T1 ] s [T1 , T 2 ] s [T 2 , T3 ]
注意，对于即期贴现率函数 D ( s ) 来说，显然有 D (0) 1 。另外，为 了保证分段函数的平滑性以及在分段点的平滑过渡，必须保证贴现函 数在整个定义域内连续且一、二阶可导，还需要满足如下约束条件：
D i (Ti ) D i 1 (Ti ) 1 1 D i (Ti ) D i 1 (Ti ) 2 2 D i (Ti ) D i 1 (Ti )
利率期限结构的概念
利率（interest rate）是经济和金融领域的一个核心变量，它实 质上是资金的价格，反映了资金的供求关系。 利率期限结构（term structure of interest rates），又称收益率 曲线（yield curve），是指在相同风险水平下，利率与到期期限 之间的关系，或者说是理论上的零息债券利率曲线。
(t , T )
ˆ W , W 标准布朗运动。
( t , T ) 瞬间远期利率 f ( t , T ) 的波动。有：
(t , T )
V (t , )
(t , T ) T
R (t , )
贴现债券利率