2016-2017学年江苏省南京师大附中高三(上)期中数学试卷和答案(文科)

2016-2017学年江苏省南京师大附中高三（上）期中数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案填在答卷纸相应位置上.1．（5分）已知集合U={1，2，3，4}，A={1，3}，B={1，3，4}，则A∩（∁U B）=．2．（5分）若复数z满足，则的共轭复数是．3．（5分）已知一组数据3，5，4，7，6，那么这组数据的方差为．4．（5分）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中2只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．5．（5分）如图，矩形ABCD由两个正方形拼成，则∠CAE的正切值为．6．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的k的值是．7．（5分）若实数x，y满足条件，则z=3x﹣4y的最大值是．8．（5分）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为．9．（5分）已知cos（）=，则cos（）﹣sin2（α﹣）=．10．（5分）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且=，=，则•的值为．11．（5分）等比数列{a n}的首项为2，公比为3，前n项和为S n，若log3[a n （S4m+1）]=9，则+的最小值是．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（4，0），若直线x﹣y+m=0上存在点P，使得2PA=PB，则实数m的取值范围是．13．（5分）已知函数f（x）=，g（x）=kx+1，若方程f（x）﹣g（x）=0有两个不同实根，则实数k的取值范围为．14．（5分）已知不等式（ax+3）（x2﹣b）≤0对任意x∈（0，+∞）恒成立，其中a，b是整数，则a+b的取值的集合为．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=．（1）求角A的值；（2）若△ABC的面积为，且a=，求△ABC的周长．16．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（1）求证：平面PAC⊥平面PCD；（2）求证：CE∥平面PAB．17．（14分）如图，在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料A（点A，B在直径上，点C，D在半圆周上），并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）．（1）若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？（2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B，C是椭圆=1（a＞b＞0）上不同的三点，，B（﹣2，﹣2），C在第三象限，线段BC的中点在直线OA上．（1）求椭圆的标准方程；（2）求点C的坐标；（3）设动点P在椭圆上（异于点A，B，C）且直线PB，PC分别交直线OA于M，N两点，证明为定值并求出该定值．19．（16分）已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3…a n=（n∈N*）．若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．（Ⅰ）求a n和b n；（Ⅱ）设c n=（n∈N*）．记数列{c n}的前n项和为S n．（i）求S n；（ii）求正整数k，使得对任意n∈N*均有S k≥S n．20．（16分）已知函数f（x）=x2﹣2alnx（a∈R），g（x）=2ax．（1）求函数f（x）的极值；（2）若a＞0，函数h（x）=f（x）﹣g（x）有且只有一个零点，求实数a的值；（3）若0＜a＜1，对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f （x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，求a的取值范围．2016-2017学年江苏省南京师大附中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案填在答卷纸相应位置上.1．（5分）已知集合U={1，2，3，4}，A={1，3}，B={1，3，4}，则A∩（∁U B）=∅．【解答】解：∵集合U={1，2，3，4}，B={1，3，4}，∴∁U B={2}，∵A={1，3}，∴A∩（∁U B）=∅，故答案为：∅2．（5分）若复数z满足，则的共轭复数是1+i．【解答】解：∵，∴﹣i•i=﹣i（1+i），则=1﹣i则的共轭复数是1+i．故答案为：1+i．3．（5分）已知一组数据3，5，4，7，6，那么这组数据的方差为2．【解答】解：一组数据3，5，4，7，6，这组数据的平均数==5，这组数据的方差S2=[（3﹣5）2+（5﹣5）2+（4﹣5）2+（7﹣5）2+（6﹣5）2]=2．故答案为：2．4．（5分）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中2只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．【解答】解：袋中有形状、大小都相同的4只球，其中2只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，基本事件总数n==6，这2只球颜色不同，包含的基本事件个数m=C=4，∴这2只球颜色不同的概率p==．故答案为：．5．（5分）如图，矩形ABCD由两个正方形拼成，则∠CAE的正切值为．【解答】解：因为矩形ABCD由两个正方形拼成，设正方形的边长为1，则在Rt△CAD中，=2，，所以⇔⇒．故答案为：6．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的k的值是3．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=1，k=1S=2，不满足条件S＞10，k=2，S=6不满足条件S＞10，k=3，S=15满足条件S＞10，退出循环，输出k的值为3．故答案为：3．7．（5分）若实数x，y满足条件，则z=3x﹣4y的最大值是﹣1．【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x﹣4y得y=，平移直线y=，则由图象可知当直线y=，当经过点A时，直线的截距最小，此时z最大．由，解得，即A（1，1），此时最大值z=3×1﹣4×1=﹣1，故答案为：﹣18．（5分）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为．【解答】解：双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，由渐近线过点（3，﹣4），可得﹣4=﹣，即b=a，c===a，可得e==．故答案为：．9．（5分）已知cos（）=，则cos（）﹣sin2（α﹣）=．【解答】解：cos（）=cos[π﹣（﹣α）]=﹣cos（﹣α）=﹣sin2（α﹣）=sin2[﹣（﹣α）]=1﹣cos2（﹣α）=1﹣（﹣）2=∴cos（）﹣sin2（α﹣）=﹣﹣=﹣．故答案为：﹣10．（5分）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且=，=，则•的值为．【解答】解：∵AB=2，BC=1，∠ABC=60°，∴BG==，CD=2﹣1=1，∠BCD=120°，∵=，=，∴•=（+）•（+）=（+）•（+）=•+•+•+•=2×1×cos60°+×2×1×cos0°+×1×1×cos60°+××1×1×cos120°=1+=，故答案为：11．（5分）等比数列{a n}的首项为2，公比为3，前n项和为S n，若log3[a n （S4m+1）]=9，则+的最小值是 2.5．【解答】解：∵等比数列{a n}的首项为2，公比为3，前n项和为S n，∴a n=2•3n﹣1；S n=3n﹣1，∵log3[a n•（S4m+1）]=9，∴（n﹣1）+4m=9，∴n+4m=10，∴+=（n+4m）（+）=（17+）≥（17+8）=2.5，当且仅当m=n=2时取等号，∴+的最小值是2.5．故答案为：2.5．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（4，0），若直线x﹣y+m=0上存在点P，使得2PA=PB，则实数m的取值范围是[﹣2，2] ．【解答】解：设P（x，x+m），∵2PA=PB，∴4|PA|2=|PB|2，∴4（x﹣1）2+4（x+m）2=（x﹣4）2+（x+m）2，化为（x+m）2=4﹣x2，∴4﹣x2≥0，解得x∈[﹣2，2]，∴m=﹣x±，令x=2cosθ，θ∈[0，π]，∴m=﹣2cosθ±2sinθ=±2sin（θ±）∈[﹣2，2]，实数m的取值范围是[﹣2，2]，故答案为[﹣2，2]．13．（5分）已知函数f（x）=，g（x）=kx+1，若方程f（x）﹣g （x）=0有两个不同实根，则实数k的取值范围为（，1）∪（1，e﹣1]；．【解答】解：∵g（x）=kx+1，∴方程f（x）﹣g（x）=0有两个不同实根等价为方程f（x）=g（x）有两个不同实根，即f（x）=kx+1，则等价为函数f（x）与函数y=kx+1有两个不同的交点，当1＜x≤2，则0＜x﹣1≤1，则f（x）=f（x﹣1）=e x﹣1，当2＜x≤3，则1＜x﹣1≤2，则f（x）=f（x﹣1）=e x﹣2，当3＜x≤4，则2＜x﹣1≤3，则f（x）=f（x﹣1）=e x﹣3，…当x＞1时，f（x）=f（x﹣1），周期性变化；函数y=kx+1的图象恒过点（0，1）；作函数f（x）与函数y=kx+1的图象如下，C（0，1），B（2，e），A（1，e）；故k AC=e﹣1，k BC=；在点C处的切线的斜率k=e0=1；结合图象可得，当k∈（1，e一1]时，k取中间值，交点在f（x）=e x上两点，定点（0，1），另一点在第一象限A点下方．当k∈（，1）时，任取k为中间值，则交点过C，另一点在笫二象限，点c 的左下方．当k∈（0，]，交点有3点以上，与f（x）、f（x一1）都有交点．当k∈（一∞，e一1）时，与f（x）只交于点C．综上要使两个函数有两个交点，则实数k的取值范围为（，1）∪（1，e﹣1]；故答案为：（，1）∪（1，e﹣1]；14．（5分）已知不等式（ax+3）（x2﹣b）≤0对任意x∈（0，+∞）恒成立，其中a，b是整数，则a+b的取值的集合为{﹣2，8} ．【解答】解：当b≤0 时，由（ax+3）（x2﹣b）≤0得到ax+3≤0 在x∈（0，+∞）上恒成立，则a不存在；当b＞0 时，由（ax+3）（x2﹣b）≤0，可设f（x）=ax+3，g（x）=x2﹣b，又g（x）的大致图象如下，那么由题意可知：再由a，b 是整数得到或因此a+b=8或﹣2．故答案为{﹣2，8}二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=．（1）求角A的值；（2）若△ABC的面积为，且a=，求△ABC的周长．【解答】解：（1）由=，利用正弦定理可得2sinBcosA﹣sinCcosA=sinAcosC，化为2sinBcosA=sin（C+A）=sinB，∵sinB≠0，∴cosA=，∵A∈（0，π），∴A=．（2）∵A=，△ABC的面积为=bcsinA=bc×，∴bc=2，∵a=，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：5=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣6，∴解得：b+c=，∴△ABC的周长l=a+b+c=+．16．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（1）求证：平面PAC⊥平面PCD；（2）求证：CE∥平面PAB．【解答】证明：（1）因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，…（2分）又∠ACD=90°，则CD⊥AC，而PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC，因为CD⊂平面ACD，…（4分）所以，平面PAC⊥平面PCD．…（7分）（2）证法一：取AD中点M，连EM，CM，则EM∥PA．因为EM⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，所以EM∥平面PAB．…（9分）在Rt△ACD中，AM=CM，所以∠CAD=∠ACM，又∠BAC=∠CAD，所以∠BAC=∠ACM，则MC∥AB．因为MC⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以MC∥平面PAB．…（12分）而EM∩MC=M，所以平面EMC∥平面PAB．由于EC⊂平面EMC，从而EC∥平面PAB．…（14分）（2）证法二：延长DC，AB交于点N，连PN．因为∠NAC=∠DAC，AC⊥CD，所以C为ND的中点．而E为PD中点，所以EC∥PN．因为EC⊄平面PAB，PN⊂平面PAB，所以EC∥平面PAB．…（14分）17．（14分）如图，在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料A（点A，B在直径上，点C，D在半圆周上），并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）．（1）若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？（2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？【解答】解：（1）连接OC，设BC=x，则AB=2，（其中0＜x＜30），∴S=2x=2 ≤x2+（900﹣x2）=900，当且仅当x2=900﹣x2，即x=15时，S取最大值900；∴取BC=15cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900cm2．（2）设圆柱底面半径为r，高为x，则AB=2=2πr，解得r=，∴V=πr2h=（900x﹣x3），（其中0＜x＜30）；∴V′=（900﹣3x2），令V′（x）=0，得x=10；因此V（x）=（900x﹣x3）在（0，10 ）上是增函数，在（10，30）上是减函数；∴当x=10时，V（x）取得最大值V（10）=，∴取BC=10cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为cm3．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B，C是椭圆=1（a＞b＞0）上不同的三点，，B（﹣2，﹣2），C在第三象限，线段BC的中点在直线OA上．（1）求椭圆的标准方程；（2）求点C的坐标；（3）设动点P在椭圆上（异于点A，B，C）且直线PB，PC分别交直线OA于M，N两点，证明为定值并求出该定值．【解答】解：（1）由已知，将，B（﹣2，﹣2）代入椭圆方程：，解得，∴椭圆的标准方程为；…（4分）（2）解：设点C（m，n）（m＜0，n＜0），则BC中点为（，）．由已知，求得直线OA的方程：x﹣2y=0，从而m=2n﹣2．①又∵点C在椭圆上，∴m2+4n2=20．②由①②，解得：n=2（舍），n=﹣1，从而m=﹣4．∴点C的坐标为（﹣4，﹣1）．…（8分）（3）证明：设P（x0，y0），M（2y1，y1），N（2y2，y2）．∵P，B，M三点共线，则=整理得y1=．…（10分）∵P，C，N三点共线，则=，整理得y2=．…（12分）∵点C在椭圆上，∴x02+4y02=20，x02=20﹣4y02，从而y1y2===2×=．…（14分）∴•=5y1y2=．∴•为定值，定值为．…（16分）19．（16分）已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3…a n=（n∈N*）．若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．（Ⅰ）求a n和b n；（Ⅱ）设c n=（n∈N*）．记数列{c n}的前n项和为S n．（i）求S n；（ii）求正整数k，使得对任意n∈N*均有S k≥S n．【解答】解：（Ⅰ）∵a1a2a3…a n=（n∈N*）①，当n≥2，n∈N*时，②，由①②知：，令n=3，则有．∵b3=6+b2，∴a3=8．∵{a n}为等比数列，且a1=2，∴{a n}的公比为q，则=4，由题意知a n，∴q＞0，∴q=2．＞0∴（n∈N*）．又由a1a2a3…a n=（n∈N*）得：，，∴b n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅱ）（i）∵c n===．∴S n=c1+c2+c3+…+c n====；（ii）因为c1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0；当n≥5时，，而=＞0，得，所以，当n≥5时，c n＜0，综上，对任意n∈N*恒有S4≥S n，故k=4．20．（16分）已知函数f（x）=x2﹣2alnx（a∈R），g（x）=2ax．（1）求函数f（x）的极值；（2）若a＞0，函数h（x）=f（x）﹣g（x）有且只有一个零点，求实数a的值；（3）若0＜a＜1，对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f （x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=，当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，f（x）无极值，当a＞0时，x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）递减，x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，∴f（x）有极小值f（）=a﹣alna，综上：a≤0时，f（x）无极值，a＞0时，f（x）极小值=a﹣alna，无极大值；（2）令h（x）=x2﹣2alnx﹣2ax，则h′（x）=，∵a＞0，令h′（x）=0，解得x0=，∴h（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，∴h（x）在x0处取得极小值h（x0）=0，∴﹣2alnx0﹣2ax0=0且2﹣2ax0﹣2a=0，联立可得：2lnx0+x0﹣1=0，令m（x）=2lnx+x﹣1得m′（x）=+1＞0，故m（x）在（0，+∞）递增又m（1）=0，x0=1，即=1，解得：a=；（3）不妨令1≤x1＜x2≤2，则由（1）得f（x1）＜f（x2）∴|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）⇔f（x2）﹣f（x1）＞g（x2）﹣g（x1）⇔f（x2）﹣g（x2）＞f（x1）﹣g（x1），则h（x）在[1，2]递增，∴h′（x）=≥0在[1，2]恒成立，即2x2﹣2ax﹣2a≥0在[1，2]恒成立，∴a≤在[1，2]恒成立，令t=x+1∈[2，3]，则=t+﹣2≥，∴0＜a≤，∴a的范围是（0，]．。