上海交通大学附属中学2021届高三上学期开学考试数学试题+PDF版含答案
上海市上海交大附中2021届高三上学期期中数学试题
上海市上海交大附中2021年高三上学期期中数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知sin α=cos(2)πα-=_________________． 2．不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_______.3．已知,a b 为两个相互垂直的不共线单位向量，k 为实数，若向量+a b 与向量ka b -垂直，则k=_____________．4．等比数列{}n a 的公比0q >，已知21a =，216n n n a a a +++=，则{}n a 的前4项和4S =__________．5．设双曲线29x －216y ＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B ，则△AFB 的面积为____．6．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2，若它们的侧面积相等，且12S S ＝94，则12V V 的值是________． 7．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 ．8．从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n=________. 9．设m ，n Z ∈，已知函数2()log (||4)f x x =-+的定义域是[],m n ，值域是[]0,2，若关于x 的方程|1|210x m -++=有唯一的实数解，则m n +=______________．10．给出下列命题：①1y =是幂函数；②函数2()2log x f x x =-的零点有且只有1；2)0x -≥的解集为[2,)+∞；④“1x <”是“2x <”的充分非必要条件；其中真命题的序号是______________．11．已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC 面积的最大值为____________.12．设函数2()1f x x =-，对任意23,),4()(1)4(2[)x x f m f x f x f m m ⎛⎫∈+∞-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是________.13．若集合{}{,,,}1,2,3,4,a b c d =且下列四个关系：①1a =；②1b ≠；③2c =；④4d ≠中有且只有一个是正确的，则符合条件的所有有序数组(,,,)a b c d 的个数是________．14．若数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足12n n n n b a a a ++=⋅⋅()*n N ∈，{}n b 的前n 项和用n S 表示，若{}n a 满足512380a a =>，则当n 等于____________时，n S 取得最大值．二、单选题15．集合{}1,0,1A =-的子集中，含有元素0的子集共有A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个16．在复平面内，复数()12z i i =+对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 17．已知定义域为R 的奇函数()y f x =有反函数()-1y f x =，那么必在函数()11y f x -=+图像上的点是（ ）.A ．()(),1f t t ---B ．()()1,f t t -+-C ．((t)1,)f t ---D ．()()1,f t t -+- 18．“对任意(0,)2x π∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件三、解答题19．设集合2{|40,}A x x x x R =+=∈，22{|2(1)10,}B x x a x a x R =+++-=∈.(1)若A B B ⋃=，求实数a 的值;(2)若A B B =，求实数a 的范围.20．设函数2()sin()2cos 1468x x f x πππ=--+． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期．（Ⅱ）若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线1x =对称，求当4[0,]3x ∈时()y g x =的最大值．21．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，AB 边（包括端点）上一点F ，BC 边（包括端点）上一点E 满足线段EF 分ABC ∆的面积为相等的两部分；（1）设BF x =，EF y =，将y 表示为x 的函数；（2）求线段EF 长的取值范围．22．已知函数()2x f x a =+的反函数是()1y f x -=，设()1,P x a y +，()2,Q x y ，()32,R a y +是()1y f x -=图象上不同的三点；（1）求()1y f x -=；（2）如果存在正实数x ，使得1y ，2y ，3y 成等差数列，试用x 表示实数a ；（3）在（2）的条件下，如果实数x 是唯一的，试求实数a 的取值范围．23．已知数列{}n a 中的相邻两项21k a -，2k a 是关于x 的方程2(32)320k k x k x k -++⋅=的两个根，且212k k a a -≤(1,2,3,)k =（1）求1a ，3a ，5a ，7a ；（2）求数列{}n a 的前2n 项和2n S ； （3）记1|sin |()32sin n f n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n nn nT a a a a a a a a +-----=++++，求n T 的最值．参考答案1．0【解析】【分析】根据诱导公式和二倍角公式化简求值即可.【详解】sin 2α=， ()22cos(2)cos 212sin 1202πααα⎡⎤⎛⎢⎥∴-=-=--=--⨯= ⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 故答案为：0【点睛】此题考查三角恒等变换，涉及二倍角公式和诱导公式的使用，关键在于熟练掌握公式的运用. 2．1|4x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ 【解析】 令()2121f x x x =+--，则由()f x 13,()21{41,(1)23,(1)x x x x -<-=--≤≤>得()f x 0>的解集为1|4x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭. 【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值，转化为代数不等式（组）3．1【详解】 因为向量+a b 与向量ka b -垂直，所以()()()22110a b ka b ka k a b b k +⋅-=+-⋅-=-=，1k ∴=． 4．152【解析】由216n n n a a a +++=得：，即，0q >，解得：q ＝2，又2a =1，所以，112a =，＝152． 5．103【分析】结合题意，绘制图形，计算直线l 的方程，计算直线BF 的方程，计算三角形面积，即可．【详解】绘制图像,如图:结合双曲线性质可得,直线l 的方程为43y x =-，直线BF 与一条渐进线平行，说明43k = 过F ()5,0，则直线BF 的方程为()453y x =-，联解这两个方程，可得B 的坐标为510,23⎛⎫- ⎪⎝⎭ 而A 的坐标为()3,0，所以110102233AFB S ∆=⋅⋅=． 【点睛】本道题考查了双曲线的性质，考查了直线与双曲线的位置关系，难度中等．6．32【解析】试题分析：设两个圆柱的底面半径分别为R ，r ；高分别为H ，h ；∵1294S S =，∴32R r ＝，它们的侧面积相等，212RH rh ππ＝∴23H h ＝，∴22122323()232V R H V r h ππ==⋅=．故答案为32． 考点：1．棱柱、棱锥、棱台的体积；2．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．7．78【解析】 平均成绩＝40100·75＋60100·80＝78.8．8【解析】试题分析：两数之和等于5的只有与两种情况，由古典概型公式得，解得．考点：古典概型的定义及概率的求法．9．1【分析】根据函数值域求出||[0,3]x ∈，根据方程唯一实数解求出2m =-，即可求解.【详解】 2()log (||4)f x x =-+的值域是[]0,2，(||4)[1,4]x ∴-+∈，||[3,0]x ∴-∈-，||[0,3]x ∴∈①关于x 的方程|1|210x m -++=有唯一的实数解，即关于x 的方程|1|21x m -=--有唯一的实数解，作出|1|2x y -=函数图象，与1y m =--有唯一实数解，即11m --=则2m =-又由函数2()log (||4)f x x =-+在()4,-0递增，在()0,4递减，()()(0)2,330f f f =-==当2()log (||4)f x x =-+定义域是[]2,n -，值域是[]0,2，得3n =即：1m n +=.故答案：1【点睛】此题考查函数与方程问题，根据方程的根的问题转化为函数问题求解，数形结合分析求解. 10．④【分析】01,0y x x ==≠，2()2log x f x x =-2)0x -≥的解集为[){}2,1+∞，“1x <”是“2x <”的充分非必要条件.【详解】①1y =是常数函数，或者考虑01,0y x x ==≠，所以不是幂函数．故错； ②根据指数函数和对数函数的图象和性质得：函数2()2log x f x x =-没有零点，故错；102)020x x x ->⎧-≥⇔⎨-≥⎩，或1x =，解得2x ≥或1x =2)0x -≥的解集为[){}2,1+∞，错；④“1x <”⇒“2x <”，但是“2x <”推不出“1x <”，因此“1x <”是“2x <”的充分不必要条件，正确.故答案为：④．【点睛】此题考查幂函数概念辨析，函数零点讨论，解不等式，根据集合的包含关系讨论充分条件和必要条件，知识容量大，综合性强.11【分析】先利用正弦定理将条件()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-中的角转化为边的关系，再利用余弦定理求解出角A 的值，再利用边a 的余弦定理和均值不等式求出bc 的最大值后即可求解出面积的最大值.【详解】因为()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，所以根据正弦定理得:(a b)()(c b)a b c +-=-，化简可得:222b c a bc +-=， 即2221cos 22b c a A bc +-==，(A 为三角形内角) 解得:60A ︒=，又224b c bc bc +-=≥，(b =c 时等号成立)故1sin 2ABC S bc A ∆=≤【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题目，解题的关键有两点，首先是利用正余弦定理实现边角之间的互化，其次是利用余弦定理和均值不等式求出三角形边的乘积的最大值.12．(,[)22-∞-⋃+∞ 【分析】根据()f x 的解析式及题干条件，整理可得22213241m m x x-≤--+在3[,)2x ∈+∞上恒成立，利用二次函数的性质可求得2321t t --+的最小值为53-，则只需求221543m m -≤-即可，化简整理，即可得答案.【详解】 由题意得22222214(1)(1)14(1)x m x x m m---≤--+-在3[,)2x ∈+∞上恒成立， 整理得22213241m m x x-≤--+在3[,)2x ∈+∞上恒成立， 令1t x=，则2(0,]3t ∈， 则22321321t t x x--+=--+， 因为2(0,]3t ∈，则2321t t --+的最小值为53-， 所以221543m m -≤-，整理可得22(31)(43)0m m +-≥，所以234m ≥，即m ≥或m ≤，故答案为：(,)22-∞-⋃+∞. 【点睛】 本题考查二次函数的性质，恒成立问题，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题. 13．6【分析】因为①1a =；②1b ≠；③2c =；④4d ≠中有且只有一个是正确的,故分四种情况进行讨论,分别分析可能存在的情况即可.【详解】若仅有①成立,则1a =必有1b ≠成立,故①不可能成立.若仅有②成立,则1a ≠,1b ≠,2c ≠,4d =成立,此时有(2,3,1,4),(3,2,1,4)两种情况.若仅有③成立,则1a ≠,1b =,2c =,4d =成立,此时仅有(3,1,2,4)成立.若仅有④成立,则1a ≠,1b =,2c ≠,4d ≠成立,此时有(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2)三种情况.综上符合条件的所有有序数组(,,,)a b c d 的个数是6个. 故答案为：6. 【点睛】本题主要考查了集合的综合运用与逻辑推理的问题,需要根据题设条件分情况讨论即可.属于中等题型. 14．16 【分析】根据512380a a =>分析出公差为负数，且前16项均为正数，从第17项开始为负数，即可分析出{}n b 的前n 项和n S 取得最大值的时刻. 【详解】512380a a =>，5538(7)a a d ∴=+，即55605da =->， 0d ∴<，又1621105d a a d =+=->，15741205da a d =+=<， 1231617180a a a a a a ∴>>>>>>>，1231417180b b b b b b >>>>>>>，151516170b a a a =<，161617180b a a a =>，15561005d a a d ∴=+=->，18591305d a a d =+=<， 1518a a ∴<-，1516b b ∴>-，15160b b +>， 1614S S ∴>，则16n =时，n S 取得最大值为16S ． 故答案为：16 【点睛】此题考查等差数列的基本性质，涉及公差对单调性的影响，通过单调性处理数列中的项的符号，易错点在于忽略掉三项乘积虽有151516170b a a a =<，但15160b b +>所以最大应该16S . 15．B 【解析】 试题分析：中含有元素的子集有：，共四个，故选B.考点：集合的子集. 16．B 【解析】试题分析：()122z i i i =+=-+，对应的点为()2,1- 考点：复数运算及相关概念 17．C 【分析】由()()f t f t -=-得1(())f f t t --=-，再由函数图象的平移规律得出答案． 【详解】()f x 定义在R 上的奇函数，()()f t f t ∴-=-，1(())f f t t -∴-=-，即(()f t -，)t -在1()y f x -=的图象上，1(1)y f x -=+图象是由1()y f x -=的图象向左平移1个单位得到的， (()1f t ∴--，)t -在1(1)y f x -=+图象上．故选C ． 【点睛】本题考查了奇函数、反函数的性质及函数图象变换，利用互为反函数的函数图象关系是关键． 18．B 【解析】当1k <时，sin cos sin 22k k x x x =，构造函数()sin 22kf x x x =-，则()cos 210f x k x =-<'．故()f x 在(0,)2x π∈单调递增，故()()022f x f ππ<=-<，则sin cos k x x x <； 当1k =时，不等式sin cos k x x x <等价于1sin 22x x <，构造函数1()sin 22g x x x =-，则()cos 210g x x =-<'，故()g x 在(0,)2x π∈递增，故()()022g x g ππ<=-<，则sin cos x x x <．综上所述，“对任意(0,)2x π∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的必要不充分条件，选B ．考点：导数的应用．19．（1）1a =；(2)1a ≤-或1a = 【分析】（1）∵A B B ⋃=，∴A ⊆B ，又B 中最多有两个元素，∴A=B ，从而得到实数a 的值；（2）求出集合A 、B 的元素，利用B 是A 的子集，即可求出实数a 的范围. 【详解】（1）∵A B B ⋃=，∴A ⊆B ，又B 中最多有两个元素， ∴A=B ，∴x=0，﹣4是方程x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0的两个根， 故a=1；（2）∵A={x|x 2+4x=0，x ∈R} ∴A={0，﹣4}，∵B={x|x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0}，且B ⊆A ．故①B=∅时，△=4（a+1）2﹣4（a 2﹣1）＜0，即a ＜﹣1，满足B ⊆A ； ②B≠∅时，当a=﹣1，此时B={0}，满足B ⊆A ；当a ＞﹣1时，x=0，﹣4是方程x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0的两个根， 故a=1；综上所述a=1或a ≤﹣1； 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．20．.u （Ⅰ）8；（Ⅱ）max 6g π==【解析】解：（Ⅰ）()f x =sincoscossincos46464x x x πππππ--3cos 424x xππ-sin()43x ππ-故()f x 的最小正周期为T =24ππ=8(Ⅱ)解法一：在()y g x =的图象上任取一点(,())x g x ，它关于1x =的对称点(2,())x g x -. 由题设条件，点(2,())x g x -在()y f x =的图象上，从而()(2)sin[(2)]43g x f x x ππ=-=--sin[]243x πππ--cos()43x ππ+当304x ≤≤时，23433x ππππ≤+≤，因此()y g x =在区间4[0,]3上的最大值为max 32g π==; 解法二：因区间4[0,]3关于x = 1的对称区间为2[,2]3，且()y g x =与()y f x =的图象关于 x = 1对称，故()y g x =在4[0,]3上的最大值为()y f x =在2[,2]3上的最大值. 由（Ⅰ）知()f xsin()43x ππ- 当223x ≤≤时，6436ππππ-≤-≤,因此()y g x =在4[0,]3上的最大值为max 6g π==21．（1）y =552x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭； （2）⎡⎣. 【分析】（1）根据面积关系，12BEFABC SS ∆列出等量关系即可，考虑定义域； （2）结合勾型函数单调性分析即可得到函数值域. 【详解】（1）设BF x =，EF y =，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，5AB ∴=，过F 作FG BE ⊥于G ，则3sin 5FG B x==，35FG x ∴=，45BG x =，则EG =，故有143113425522x x ⎫=⨯⨯⨯⎪⎪⎭． 化简得：22210016y x x =+-552x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭．y ∴=552x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭； （2）设222100()16f x y x x ==+-552x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭．f x 在52⎡⎢⎣上为减函数，在⎤⎦上为增函数，且52524f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(5)13f =，4f =，∴线段EF 长的取值范围为⎡⎣．【点睛】此题考查函数模型的应用，根据题目所给条件列出等量关系，构建函数模型，根据函数的单调性求解值域.22．（1）12()log ()fx x a -=-()x a >； （2）a x =-(0,2)(2,)x ∈+∞； （3）0a >或12a =-．【分析】（1）根据反函数的求法即可得反函数()1y fx -=；（2）根据等差中项关系列出等式，即可表示；（3）将问题转化为222(1)0x a x a -++=在(,)a +∞上由唯一解，利用方程的根的问题解决.【详解】（1）由2x y a =+，解得2log ()x y a =-，把x 与y 互换可得：12()log ()fx x a -=-()x a >；（2）12log y x =，22log ()y x a =-，32log 21y ==，1y ，2y ，3y 成等差数列，222log ()1log x a x -=+，化为2()2x a x -=，解得a x =-(0,2)(2,)x ∈+∞．（3）由2()2x a x -=，化为222(1)0x a x a -++=在(,)a +∞上有唯一解．当22(1)40a a ∆=+-=时，解得12a =-，这时方程有唯一解12x =，满足条件．当>0∆时，方程的一个根大于a ，另一个根小于a （不可能出现一个根等于a 的情形），记()222(1)g x x a x a =-++，只需()0g a <即可，解得0a >． 综上可得：0a >或12a =-． 【点睛】此题考查求反函数，结合等差中项关系建立等式解对数方程，利用根的分布解法解决方程的根的问题，综合性较强.23．（1）12a =； 34a =； 58a =；712a =； （2）2133222n n n+++-； （3）最小值16；最大值524. 【分析】（1）解出方程，分类讨论当1,2,3,4k =时方程的根，的情况即可得解； （2）利用分组求和的方法即可求解数列{}n a 的前2n 项和2n S ；（3）根据代数式关系得1|sin |()32sin n f n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的规律，求出111236T ==⨯，2123411524T a a a a =+=，结合放缩法证明不等式. 【详解】（1）方程2(32)320k kx k x k -++⋅=的两个根为：13x k =，22k x =．两项21k a -，2k a 是此方程的两个根，且212k k a a -≤， 当1k =时，13x =，22x =．12a ∴=； 当2k =时，16x =，24x =．34a ∴=； 当3k =时，19x =，28x =．58a ∴=； 当4k =时，112x =，216x =．712a ∴=． （2）2122n n S a a a =+++()23(12)222n n =⨯+++++++()2213(1)221nn n -+=+- 2133222n n n ++=+-．（3）由题：1,22,,1|sin |()32sin 2,22,,k n k n N k Zn f n n k n k n N k Zππππππ**⎧-<<∈∈⎪⎛⎫=+=⎨ ⎪<<+∈∈⎝⎭⎪⎩， ()()()()()()(1)2,22,32,41,51,61,72,f f f f f f f =======⋅⋅⋅，21232n n n a a n -=⋅，(2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n nT a a a a a a a a +-----∴=++++ (1)123456212111(1)f n n na a a a a a a a +--=+-++，111236T ∴==⨯，2123411524T a a a a =+=．当3n ≥时，2123292n nn n a a n -=⋅≥⨯2343456782121111111111166629222n n n n T a a a a a a a a -⎛⎫⎛⎫≥+-+++≥+-+++⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭ 2341111116626222n⎛⎫≥+-+++⎪⋅⎝⎭232111221111662612n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+-⋅⋅-1116626n =+>⨯， 同理可得：78(1)567821256212511(1)51112424n n n n n n f T a a a a a a a a a a a a +--⎛⎫-=--++≤-+++ ⎪⎝⎭34551111124929222n⎛⎫≤-++++ ⎪⨯⎝⎭3431112251112492912n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+⋅⨯-515249224n =-<⋅ 综上可得：15624n T ≤≤．n T ∴的最小值与最大值分别为：16；524．【点睛】此题考查根据二次方程的根分析数列的通项，根据条件求特定的项和分组求和以及等比数列求和，利用放缩法证明不等式，在学习中有必要积累常见的数列放缩方式.。
上海交通大学附属中学2023届高三上学期开学考试数学试题(解析版)
（2）求证：当且仅当 时，函数 存 最小值.
（3）已知存在 ，使得 对一切 恒成立，求满足 的 的最小值.
【答案】（1） ，
（2）证明见解析（3）
【分析】（1）根据切点坐标和导数的几何意义可得出关于 、 、 的方程组，即可解得这三个未知数的值；
（2）对 的取值进行分类讨论，利用导数分析函数 的单调性，即可得出结论；
【答案】
【分析】求导后，代入 即可得到结果.
【详解】 ， ，
即小球在 时的瞬时速度为 .
故答案为： .
8.已知方程 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是________________．
【答案】
【分析】由已知可得c=2，利用4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得m2=1，又（m2+n）（3m2﹣n）＞0，从而可求n的取值范围．
【详解】原不等式等价于 ，两边平方得 ，
整理得 ，解得 ，故原不等式的解集为 .
故答案为： .
3.已知点 ，则 的单位向量为（用坐标表示）________
【答案】
【分析】由单位向量的定义求解即可
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 的单位向量为 ，
故答案为：
4.已知 ，若实数 满足 ，则 ________
【答案】 ##-0.2
由（2）可知，当且仅当 时，函数 存在最小值，且 ，
由已知 可得 ，则 ，
所以， ，
由题意可得 ，因为 ，可得 ，
令 ，可得 ，
令 ，其中 ，
，当且仅当t= 0.5时取等，
令 ，其中 ，则 ，
所以，函数 在 上单调递增，则 ，所以， ，
所以，函数 在 上为增函数，
2021年9月上海市交通大学附属中学2022届高三上学期开学摸底考考试数学试卷及答案
2021年9月上海市交通大学附属中学2022届高三上学期开学摸底考试数学试卷★祝考试顺利★(含答案)一、填空题1．已知集合{,||,2}A a a a =-,若2A ∈,则实数a 的值为_____________．2．不等式11x<的解是___________． 3．有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是_________（结果用最简分数表示）4．若一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形,则这个圆锥的侧面积为____________．5．设地球半径为R ,若甲地在北纬45︒,东经120︒,乙地在北纬45︒,西经150︒,则甲、乙两地的球面距离为____________．6．已知无穷等比数列{}n a 的前n 项和()13n n S a n *=+∈N ,则此无穷等比数列各项和是_________．7．已知集合{1,2,4},{1,3,5},{},{}A B C x x A D x x B ===⊆=⊆,则CD =__________． 8．已知数列{}n a 为等差数列,若()1,2,n a a a b n n *==≥∈N ,则11n nb a a n +-=-()2,n n *≥∈N ．类比等差数列的上述结论,对等比数列{}()0,1,n n b b n n *>≥∈N ,若()1,3,n b c b d n n *==≥∈N ,则当3,n n *≥∈N 时可以得到1n b +=_________．9．有一道解三角形的问题,缺少一个条件,具体如下：“在ABC 中,已知a =,45B =︒,_______,求角A 的大小．”经推断缺少的条件为三角形一边的长度,且正确答案为60A =︒,试将所缺的条件补充完整． 10．下列五个命题中正确的是________（填序号）．①若ABC 为锐角三角形,且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+,则2a b =②在7(1)x -的二项展开式中,2x 项的系数为21-③函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =-关于直线1x =对称④设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若202011S S -=,则20211S > ⑤函数2()f x =的最小值为211．已知有限集{}()12,,,2,n A a a a n n *=≥∈N ,如果A 中元素(1,2,,)i a i n =满足：121222n n a a na a a na ⨯⨯⨯=+++,就称A 为n 元“均衡集”,若{}12,a a 是二元“均衡集”,则122a a +的取值范围是______________．12．已知0a >,若集合{}22222220,,A x x x a x x a a x A =---+-+--=∈R Z 中的元素有且仅有2个,则实数a 的取值范围为_____________．二、选择题13．若123314x x x x 、、、、的标准差为2,那么()()()12314353535x x x +++、、、的标准差为（ ） A ．18 B ．14 C ．6 D ．314．已知36:,:39a a b p q b ab >-+>-⎧⎧⎨⎨>->⎩⎩,则p 是q 的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要15．对平面中的任意平行四边形ABCD ,可以用向量方法证明：()22222AC BD AB BC +=+,若将上述结论类比到空间的平行六面体1111ABCD A B C D -,则得到的结论是（ ）A ．()2222112AC AC AB AD +=+ B ．()222221112AC BD AB AD AA +=++C ．()2222222111113AC BD AC DB AB AD AA +++=++ D ．()2222222111114AC BD AC DB AB AD AA +++=++ 16．已知M N P ⊆R 、、,{()0},{()0},{()()0}M x f x N x g x P x f x g x ======,则集合P 恒满足的关系为（ ）A ．P M N =B ．P ≠∅C ．P =∅D ．()P M N ⊆三、解答题17．已知函数21()1f x x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭． （1）若不等式()0f x <解集为122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭时,求实数a 的值； （2）对任意[1,2],()0a f x ∈≥恒成立,求实数x 的取值范围．18．如图所示：一吊灯的下圆环直径为4米,圆心为O ,通过细绳悬挂在天花板上,圆环呈水平状态,并且与天花板的距离（即OB ）为2米,在圆环上设置三个等分点123A A A 、、,点C 为OB 上一点（不包含端点O 、B ）,同时点C 与点123A A A B 、、、均用细绳相连接,且细绳123CA CA CA 、、的长度相等．设细绳的总长（即13CA CB +）为y 米．（1）设1()CAO rad θ∠=,将y 表示成θ的函数关系式,并指出θ的范围； （2）请你设计θ,当角θ正弦值的大小是多少时,细绳总长y 最小,并指明此时BC 应为多长（精确至0.01米）．19．设数列{}n a 的首项为1,前n 项和为n S ,若对任意的n *∈N ,均有n n k S a k +=-（k 是常数且k *∈N ）成立,则称数列{}n a 为“()P k 数列”．（1）若数列{}n a 为“(1)P 数列”,求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在数列{}n a 既是“()P k 数列”,也是“(2)P k +数列”？若存在,求出符合条件的数列{}n a 的通项公式及对应的k 的值,若不存在,请说明理由．20．已知函数()y f x =满足(3)3()f x f x =,当13x ≤<时,()1|2|f x x =--．（1）当()1,3n x n *⎡⎤∈∈⎣⎦N 时,求函数()y f x =的图像与x 轴所围成的图形面积； （2）当291,2x ⎡⎤∈⎣⎦时,求函数()y f x =的最大值； （3）当[1,)x ∈+∞时,函数()g x mx =与()y f x =的图像有交点,将从左向右的交点的横坐标依次记为1x 、2x 、3x 、…,数列{})n x n *∈N （是否可能为等比数列,若可能,请求出对应的m 值,若不可能请说明理由．21．（1）已知函数3()311f x x x =-+,试判断函数()f x 在区间[1,1]-上的单调性,并说明理由；（2）已知函数3()3||1g x x x c =--+,对于常数(1,)c ∈-+∞,试讨论函数()g x 的单调性（无需证明）；（3）已知函数3()3||1h x x x =-+,若对于函数()h x 满足()()h x a h x +>恒成立,求实数a 的取值范围．2021年9月上海市交通大学附属中学2022届高三上学期开学摸底考考试数学参考答案一、填空题1．2- 2．(,0)(1,)-∞+∞ 3．15 4．2π 5．3R π 6．1- 7．{1} 8．．c = 10．①④ 11．19,,22⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭12．[1,2) 二、选择题13．C 14．B 15．D 16．D三、解答题17．（1）12或2；（2）1,[2,)2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦⋃ 18．（1）2(3sin )20cos 4y θπθθ-⎛⎫=+<<⎪⎝⎭；（2）1sin 3θ=时,min 222y BC =+=- 19．（1）12,n n a n -*=∈N ；（2）不存在解：（1）数列{}n a 为“(1)P 数列”,则11n n S a +=-,所以121n n S a ++=-,两式相减得：212n n a a ++=,又1n =时,121a a =-,所以22a =, 故12n n a a +=对任意的n *∈N 恒成立,即12n na a +=,故数列{}n a 为等比数列,其通项公式为12,n n a n -*=∈N ．（2）假设存在这样的数列{}n a ,则有n n k S a k +=-,故有11n n k S a k +++=-,两式相减得,11n n k n k a a a ++++=-,则又332n n k n k a a a +++++=-．同理,由{}n a 是“(2)P k +数列”可得,132n n k n k a a a +++++=-,所以13n n a a ++=对任意的n *∈N 恒成立,所以22n n k n k n S a k a k S ++++=-=-=,即2n n S S +=①又2222n n k n S a k S +++=--=-,即22n n S S +-=②①②两式矛盾,故不存在数列{}n a 既是“()P k 数列”,也是“()2P k +物列”．20．（1）918n -；（2）291823-；（3）12m =或2- 21．（1）单调递减；（2）当11c -<<时,函数在(,]c -∞和[1,)+∞上递增,在[,1]c 上递减,当1c ≥时,在R 上递增；（3）a >2021年9月上海市交通大学附属中学2022届高三上学期开学摸底考考试数学试卷。
2020-2021学年上海交大附中高三(上)开学数学试卷
2020-2021学年上海交大附中高三（上）开学数学试卷试题数：21.满分：01.（填空题.0分）已知集合A={-1.0.1.2}.B={0.2.3}.则A∩B=___ ．2.（填空题.0分）已知i 是虚数单位.则复数z=（1+i ）（2-i ）的虚部是___ ．3.（填空题.0分）已知一组数据4.2a.3-a.5.6的平均数为4.则a 的值是___ ．4.（填空题.0分）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次.观察向上的点数.则点数和为5的概率是___ ．5.（填空题.0分）（x+ y 2x ）（x+y ）5的展开式中x 3y 3的系数为___ ．6.（填空题.0分）如果方程（lgx ）2+lg6•lgx+lg2•lg3=0的两根为x 1.x 2.则x 1x 2的值为___ ．7.（填空题.0分）设{a n }是公差为d 的等差数列.{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和S n =n 2-n+2n -1（n∈N*）.则d+q 的值是___ ．8.（填空题.0分）如图.六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm.高为2cm.内孔半径为0.5cm.则此六角螺帽毛坯的体积是___ cm 3．9.（填空题.0分）将函数y=3sin （2x+ π4 ）的图象向右平移 π6 个单位长度.则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是___ ．10.（填空题.0分）已知5x 2y 2+9y 4=1（x.y∈R ）.则x 2+y 2的最小值是___ ．11.（填空题.0分）在△ABC 中.AB=4.AC=3.∠BAC=90°.D 在边BC 上.延长AD 到P.使得AP=9．若 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +（ 32 -m ） PC⃗⃗⃗⃗⃗ （m 为常数）.则CD 的长度是 ___ ．12.（填空题.0分）在平面直角坐标系xOy 中.已知P （ √32 .0）.A 、B 是C ：x 2+（y- 12 ）2=36上的两个不同的动点.满足PA=PB.且 PA⃗⃗⃗⃗⃗ •PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＜a 恒成立.则实数a 最小值是___ ．13.（单选题.0分）函数y=xcosx+sinx在区间[-π.π]上的图象可能是（）A.B.C.D.14.（单选题.0分）已知A.B.C为球O的球面上的三个点.⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π.AB=BC=AC=OO1.则球O的表面积为（）A.64πB.48πC.36πD.32π15.（单选题.0分）若点P（x0.y0）（x0y0≠0）在函数y=f（x）的图象上.y=f-1（x）为函数y=f （x）的反函数．设P1（y0.x0）.P2（-y0.x0）.P3（y0.-x0）.P4（-y0.-x0）.则有（）A.点P1、P2、P3、P4有可能都在函数y=f-1（x）的图象上B.只有点P2不可能在函数y=f-1（x）的图象上C.只有点P3不可能在函数y=f-1（x）的图象上D.点P2、P3都不可能在函数y=f-1（x）的图象上16.（单选题.0分）设集合S.T.S⊆N*.T⊆N*.S.T中至少有2个元素.且S.T满足：① 对于任意的x.y∈S.若x≠y.则xy∈T；∈S．下列命题正确的是（）② 对于任意的x.y∈T.若x＜y.则yxA.若S有4个元素.则S∪T有7个元素B.若S有4个元素.则S∪T有6个元素C.若S有3个元素.则S∪T有5个元素D.若S有3个元素.则S∪T有4个元素17.（问答题.0分）在三棱锥A-BCD中.已知CB=CD= √5 .BD=2.O为BD的中点.AO⊥平面BCD.AO=2.E为AC中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；BC.设二面角F-DE-C的大小为θ.求sinθ的值．（2）若点F在BC上.满足BF= 1418.（问答题.0分）在锐角△ABC中.角A.B.C所对的边分别为a.b.c．已知2bsinA- √3 a=0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求cosA+cosB+cosC的取值范围．19.（问答题.0分）已知函数f（x）=|3x+1|-2|x-1|．（1）画出y=f（x）的图象；（2）求不等式f（x）＞f（x+1）的解集；.对于任意的x∈R.任意的a∈[-1.1]恒成立.求实数t的取值范（3）若不等式f（x）≥-t2+at−23围．20.（问答题.0分）在平面直角坐标系xOy 中.已知椭圆E ：x 24 + y 23=1的左、右焦点分别为F 1、F 2.点A 在椭圆E 上且在第一象限内.AF 2⊥F 1F 2.直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ． （1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P.直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q.求 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ • QP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上.记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1.S 2.若S 2=3S 1.求点M 的坐标．21.（问答题.0分）已知数列{a n }（n∈N*）的首项a 1=1.前n 项和为S n ．设λ和k 为常数.若对一切正整数n.均有Sn+11k -S n 1k =λan+11k 成立.则称此数列为“λ-k”数列．（1）若等差数列{a n }是“λ-1”数列.求λ的值；（2）若数列{a n }是“ √33 -2”数列.且a n ＞0.求数列{a n }的通项公式；（3）对于给定的λ.是否存在三个不同的数列{a n }为“λ-3”数列.且a n ≥0？若存在.求出λ的取值范围；若不存在.说明理由．2020-2021学年上海交大附中高三（上）开学数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.0分）已知集合A={-1.0.1.2}.B={0.2.3}.则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]{0.2}【解析】：运用集合的交集运算.可得所求集合．【解答】：解：集合B={0.2.3}.A={-1.0.1.2}.则A∩B={0.2}.故答案为：{0.2}．【点评】：本题考查集合的交集运算.考查运算能力.属于基础题．2.（填空题.0分）已知i是虚数单位.则复数z=（1+i）（2-i）的虚部是___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】：解：∵z=（1+i）（2-i）=2-i+2i+1=3+i.∴复数z=（1+i）（2-i）的虚部是1．故答案为：1．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查复数的基本概念.是基础题．3.（填空题.0分）已知一组数据4.2a.3-a.5.6的平均数为4.则a的值是___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：运用平均数的定义.解方程可得a的值．【解答】：解：一组数据4.2a.3-a.5.6的平均数为4.则4+2a+（3-a）+5+6=4×5.解得a=2．故答案为：2．【点评】：本题考查平均数的定义的运用.考查方程思想和运算能力.属于基础题．4.（填空题.0分）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次.观察向上的点数.则点数和为5的概率是___ ． 【正确答案】：[1] 19【解析】：分别求得基本事件的总数和点数和为5的事件数.由古典概率的计算公式可得所求值．【解答】：解：一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次.可得基本事件的总数为6×6=36种. 而点数和为5的事件为（1.4）.（2.3）.（3.2）.（4.1）.共4种. 则点数和为5的概率为P= 436= 19． 故答案为： 19．【点评】：本题考查古典概率的求法.考查运算能力.属于基础题． 5.（填空题.0分）（x+ y 2x ）（x+y ）5的展开式中x 3y 3的系数为___ ． 【正确答案】：[1]15【解析】：分析条件与所求.先求（x+y ）5的展开式中x 2y 3.x 4y 的系数即可求解结论．【解答】：解：因为（x+y ）5的展开式中x 2y 3.x 4y 的系数分别为C 53.C 54.所以（x+ y 2x ）（x+y ）5的展开式中x 3y 3的系数为C 53+C 55=15.故答案为：15．【点评】：本题考查二项式系数的性质.关键是熟记二项展开式的通项.是基础题． 6.（填空题.0分）如果方程（lgx ）2+lg6•lgx+lg2•lg3=0的两根为x 1.x 2.则x 1x 2的值为___ ． 【正确答案】：[1] 16【解析】：利用韦达定理以及对数的运算法则化简求解即可．【解答】：解：方程（lgx ）2+lg6•lgx+lg2•lg3=0的两根为x 1.x 2. 可得lgx 1+lgx 2=lg （x 1x 2）=-lg6． ∴x 1x 2= 16 ． 故答案为： 16【点评】：本题考查函数的零点与方程根的关系.对数运算法则的应用.考查计算能力． 7.（填空题.0分）设{a n }是公差为d 的等差数列.{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和S n =n 2-n+2n -1（n∈N*）.则d+q 的值是___ ． 【正确答案】：[1]4【解析】：由{a n +b n }的前n 项和S n =n 2-n+2n -1（n∈N*）.由{a n }是公差为d 的等差数列.设首项为a 1；求出等差数列的前n 项和的表达式；{b n }是公比为q 的等比数列.设首项为b 1.讨论当q 为1和不为1时的前n 项和的表达式.由题意可得q≠1.由对应项的系数相等可得d.q 的值.进而求出d+q 的值．【解答】：解：因为{a n +b n }的前n 项和S n =n 2-n+2n -1（n∈N*）.因为{a n }是公差为d 的等差数列.设首项为a 1；{b n }是公比为q 的等比数列.设首项为b 1. 所以{a n }的通项公式a n =a 1+（n-1）d.所以其前n 项和S a n = n [a 1+a 1+(n−1)d ]2 = d 2 n 2+（a 1- d2）n. 当{b n }中.当公比q=1时.其前n 项和S b n =nb 1.所以{a n +b n }的前n 项和S n =S a n +S b n = d2 n 2+（a 1- d2 ）n+nb 1=n 2-n+2n -1（n∈N*）.显然没有出现2n .所以q≠1. 则{b n }的前n 项和为S b n = b 1(q n −1)q−1 = b 1q n q−1 - b 1q−1 . 所以S n =S a n +S b n = d 2n 2+（a 1- d 2）n+b 1q n q−1 - b1q−1 =n 2-n+2n -1（n∈N*）. 由两边对应项相等可得： {d2=1a 1−d 2=−1q =2b 1q−1=1解得：d=2.a 1=0.q=2.b 1=1.所以d+q=4. 故答案为：4【点评】：本题考查等差数列及等比数列的综合及由前n 项和求通项的性质.属于中档题． 8.（填空题.0分）如图.六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm.高为2cm.内孔半径为0.5cm.则此六角螺帽毛坯的体积是___ cm 3．【正确答案】：[1]12 √3−π2【解析】：通过棱柱的体积减去圆柱的体积.即可推出结果．【解答】：解：六棱柱的体积为： 6×12×2×2×sin60°×2=12√3 . 圆柱的体积为：π×（0.5）2×2= π2.所以此六角螺帽毛坯的体积是：（12 √3− π2 ）cm 3. 故答案为：12 √3− π2 ．【点评】：本题考查柱体体积公式.考查了推理能力与计算能力.属于基本知识的考查． 9.（填空题.0分）将函数y=3sin （2x+ π4 ）的图象向右平移 π6 个单位长度.则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是___ ． 【正确答案】：[1]x=- 5π24【解析】：利用三角函数的平移可得新函数g （x ）=f （x- π6）.求g （x ）的所有对称轴x= 7π24+ kπ2 .k∈Z .从而可判断平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程.【解答】：解：因为函数y=3sin （2x+ π4 ）的图象向右平移 π6 个单位长度可得 g （x ）=f （x- π6 ）=3sin （2x- π3 + π4 ）=3sin （2x- π12 ）. 则y=g （x ）的对称轴为2x- π12 = π2 +kπ.k∈Z . 即x= 7π24 + kπ2 .k∈Z . 当k=0时.x= 7π24 . 当k=-1时.x= −5π24 .所以平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是x= −5π24. 故答案为：x= −5π24.【点评】：本题考查三角函数的平移变换.对称轴方程.属于中档题． 10.（填空题.0分）已知5x 2y 2+9y 4=1（x.y∈R ）.则x 2+y 2的最小值是___ ． 【正确答案】：[1] 13【解析】：用y 2表示x 2+y 2.求出y 2的范围.再利用换元法求出函数最小值．【解答】：解：由5x 2y 2+9y 4=1可得x 2= 1−9y 45y 2. 由x 2≥0可得0＜y 2≤ 13 . 于是x 2+y 2=1−9y 45y 2+y 2= 15y 2 - 4y 25 . 令y 2=t.f （t ）= 15t −4t5 （0＜t≤ 13 ）. 显然f （t ）在（0. 13 ]上单调递减.∴f （t ）的最小值为f （ 13）= 13.即x 2+y 2的最小值为 13． 故答案为： 13．【点评】：本题考查函数最值计算.属于中档题．11.（填空题.0分）在△ABC 中.AB=4.AC=3.∠BAC=90°.D 在边BC 上.延长AD 到P.使得AP=9．若 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +（ 32 -m ） PC⃗⃗⃗⃗⃗ （m 为常数）.则CD 的长度是 ___ ．【正确答案】：[1]0或 185【解析】：以A 为坐标原点.分别以AB.AC 所在直线为x.y 轴建立平面直角坐标系.求得B 与C 的坐标.再把 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标用m 表示．由AP=9列式求得m 值.然后分类求得D 的坐标.则CD 的长度可求．【解答】：解：如图.以A 为坐标原点.分别以AB.AC 所在直线为x.y 轴建立平面直角坐标系. 则B （4.0）.C （0.3）.由 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +（ 32 -m ） PC ⃗⃗⃗⃗⃗ .得 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(32−m)(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ) . 整理得： PA⃗⃗⃗⃗⃗ =−2mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(2m −3)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2m （4.0）+（2m-3）（0.3）=（-8m.6m-9）． 由AP=9.得64m 2+（6m-9）2=81.解得m= 2725 或m=0． 当m=0时. PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，−9) .此时C 与D 重合.|CD|=0； 当m= 2725 时.直线PA 的方程为y= 9−6m8mx. 直线BC 的方程为 x4+y3=1 .联立两直线方程可得x= 83 m.y=3-2m ． 即D （ 7225 . 2125）.∴|CD|= √(7225)2+(2125−3)2=185 ．∴CD 的长度是0或 185 ． 故答案为：0或 185．【点评】：本题考查向量的概念与向量的模.考查运算求解能力.利用坐标法求解是关键.是中档题．12.（填空题.0分）在平面直角坐标系xOy 中.已知P （ √32 .0）.A 、B 是C ：x 2+（y- 12 ）2=36上的两个不同的动点.满足PA=PB.且 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ •PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＜a 恒成立.则实数a 最小值是___ ． 【正确答案】：[1]49【解析】：原问题可转化为求 PA⃗⃗⃗⃗⃗ •PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值；易知PC 垂直平分AB.设PC 与AB 交于点E.CE=x （0＜x ＜6）.由勾股定理表示出AB 2、BP 2和AP 2；再在△ABP 中.由余弦定理求出cos∠APB .而 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ •PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =| PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |•| PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠APB .代入所得结论.即可得解．【解答】：解：∵PA=PB .∴PC 垂直平分AB.设PC 与AB 交于点E.如图所示.其中点C （0.12）.PC=1．设CE=x （0＜x ＜6）.则AE 2=AC 2-CE 2=36-x 2. ∴AB 2=4AE 2=4（36-x 2）.BP 2=AP 2=AE 2+EP 2=36-x 2+（1+x ）2=2x+37． ∵ PA ⃗⃗⃗⃗⃗ •PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＜a 恒成立.∴只需求出 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ •PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值即可. 在△ABP 中.由余弦定理知.cos∠APB=AP 2+BP 2−AB 22AP•BP = 2(2x+37)−4(36−x 2)2(2x+37) = 2x 2+2x−352x+37. ∴ PA ⃗⃗⃗⃗⃗ •PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =| PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |•| PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠APB=（2x+37）• 2x 2+2x−352x+37 =2x 2+2x-35. ∵0＜x ＜6.∴2x 2+2x-35＜2×62+2×6-35=49.即 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ •PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＜49. ∴a 的最小值为49． 故答案为：49．【点评】：本题考查平面向量在几何中应用.牢记平面向量数量积的定义和余弦定理是解题的基础.考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力.属于中档题． 13.（单选题.0分）函数y=xcosx+sinx 在区间[-π.π]上的图象可能是（ ）A.B.C.D.【正确答案】：A【解析】：先判断函数的奇偶性.再判断函数值的特点．【解答】：解：y=f（x）=xcosx+sinx.则f（-x）=-xcosx-sinx=-f（x）.∴f（x）为奇函数.函数图象关于原点对称.故排除C.D.当x=π时.y=f（π）=πcosπ+sinπ=-π＜0.故排除B.故选：A．【点评】：本题考查了函数图象的识别.掌握函数的奇偶性额函数值得特点是关键.属于基础题．14.（单选题.0分）已知A.B.C为球O的球面上的三个点.⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π.AB=BC=AC=OO1.则球O的表面积为（）A.64πB.48πC.36πD.32π【正确答案】：A【解析】：画出图形.利用已知条件求出OO1.然后求解球的半径.即可求解球的表面积．【解答】：解：由题意可知图形如图：⊙O1的面积为4π.可得O1A=2.则3 2 AO1=ABsin60°. 32AO1=√32AB .∴AB=BC=AC=OO1=2 √3 .外接球的半径为：R= √AO12+OO12 =4. 球O的表面积：4×π×42=64π．故选：A．【点评】：本题考查球的内接体问题.球的表面积的求法.求解球的半径是解题的关键．15.（单选题.0分）若点P（x0.y0）（x0y0≠0）在函数y=f（x）的图象上.y=f-1（x）为函数y=f （x）的反函数．设P1（y0.x0）.P2（-y0.x0）.P3（y0.-x0）.P4（-y0.-x0）.则有（）A.点P1、P2、P3、P4有可能都在函数y=f-1（x）的图象上B.只有点P2不可能在函数y=f-1（x）的图象上C.只有点P3不可能在函数y=f-1（x）的图象上D.点P2、P3都不可能在函数y=f-1（x）的图象上【正确答案】：D【解析】：存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的.然后根据反函数的性质可判定点P1、P2、P3、P4是否有可能在函数y=f-1（x）的图象上．【解答】：解：互为反函数的两个函数在各自定义域内有相同的单调性.单调函数才有反函数；存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的根据点P（x0.y0）（x0y0≠0）在函数y=f（x）的图象上.则P1（y0.x0）在反函数y=f-1（x）的图象若点P1（y0.x0）与点P3（y0.-x0）都在反函数y=f-1（x）的图象上.则相同的横坐标对应两个函数值.不符合一一对应；若点P2（-y0.x0）在反函数图象上则点（x0.-y0）在函数y=f（x）的图象上.则相同的横坐标对应两个函数值.不符合一一对应；故点P2、P3都不可能在函数y=f-1（x）的图象上故选：D．【点评】：本题主要考查了反函数.以及存在反函数的条件.同时考查了分析问题的能力.属于基础题．16.（单选题.0分）设集合S.T.S⊆N*.T⊆N*.S.T中至少有2个元素.且S.T满足：① 对于任意的x.y∈S.若x≠y.则xy∈T；∈S．下列命题正确的是（）② 对于任意的x.y∈T.若x＜y.则yxA.若S有4个元素.则S∪T有7个元素B.若S有4个元素.则S∪T有6个元素C.若S有3个元素.则S∪T有5个元素D.若S有3个元素.则S∪T有4个元素【正确答案】：A【解析】：利用特殊集合排除选项.推出结果即可．【解答】：解：取：S={1.2.4}.则T={2.4.8}.S∪T={1.2.4.8}.4个元素.排除C．S={2.4.8}.则T={8.16.32}.S∪T={2.4.8.16.32}.5个元素.排除D；S={2.4.8.16}则T={8.16.32.64.128}.S∪T={2.4.8.16.32.64.128}.7个元素.排除B；故选：A．【点评】：本题考查命题的真假的判断与应用.集合的基本运算.利用特殊集合排除选项是选择题常用方法.难度比较大．17.（问答题.0分）在三棱锥A-BCD中.已知CB=CD= √5 .BD=2.O为BD的中点.AO⊥平面BCD.AO=2.E为AC中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；BC.设二面角F-DE-C的大小为θ.求sinθ的值．（2）若点F在BC上.满足BF= 14【正确答案】：【解析】：（1）由题意画出图形.连接OC.由已知可得CO⊥BD .以O 为坐标原点.分别以OB.OC.OA 所在直线为x.y.z 轴建立空间直角坐标系.求出所用点的坐标.得到 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，0，2) . DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，1，1) .设直线AB 与DE 所成角为α.由两向量所成角的余弦值.可得直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）由BF= 14 BC.得 BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .设F （x.y.z ）.由向量等式求得F （ 34 . 12.0）.进一步求出平面DEF 的一个法向量与平面DEC 的一个法向量.由两法向量所成角的余弦值求得cosθ.再由同角三角函数基本关系式求解sinθ．【解答】：解：（1）如图.连接OC.∵CB=CD .O 为BD 的中点.∴CO⊥BD ．以O 为坐标原点.分别以OB.OC.OA 所在直线为x.y.z 轴建立空间直角坐标系． ∵BD=2.∴OB=OD=1.则OC= √BC 2−OB 2=√5−1=2 ． ∴B （1.0.0）.A （0.0.2）.C （0.2.0）.D （-1.0.0）. ∵E 是AC 的中点.∴E （0.1.1）.∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0，−2) . DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，1，1) ． 设直线AB 与DE 所成角为α. 则cosα= |AB⃗⃗⃗⃗⃗ •DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗|•|DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+4•√1+1+1=√1515 . 即直线AB 与DE 所成角的余弦值为 √1515 ； （2）∵BF= 14 BC.∴ BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 设F （x.y.z ）.则（x-1.y.z ）=（ −14 . 12 .0）.∴F （ 34 . 12 .0）．∴ DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，1，1) . DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(74，12，0) . DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，2，0) ．设平面DEF 的一个法向量为 m ⃗⃗ =(x 1，y 1，z 1) .由 {m ⃗⃗ •DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1+y 1+z 1=0m ⃗⃗ •DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =74x 1+12y 1=0 .取x 1=-2.得 m ⃗⃗ =(−2，7，−5) ； 设平面DEC 的一个法向量为 n ⃗ =(x 2，y 2，z 2) .由 {n ⃗ •DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2+z 2=0n ⃗ •DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+2y 2=0 .取x 2=-2.得 n ⃗ =(−2，1，1) ．∴|cosθ|= |m ⃗⃗⃗ •n ⃗ ||m ⃗⃗⃗ |•|n ⃗ |= √4+49+25•√4+1+1=√1313． ∴sin θ=√1−cos 2θ=√1−113=2√3913．【点评】：本题考查利用空间向量求空间角.考查空间想象能力与逻辑思维能力和运算求解能力.是中档题．18.（问答题.0分）在锐角△ABC 中.角A.B.C 所对的边分别为a.b.c ．已知2bsinA- √3 a=0． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求cosA+cosB+cosC 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据正弦定理可得sinB= √32 .结合角的范围.即可求出. （Ⅱ）根据两角和差的余弦公式.以及利用正弦函数的性质即可求出．【解答】：解：（Ⅰ）∵2bsinA= √3 a. ∴2sinBsinA= √3 sinA. ∵sinA≠0. ∴sinB= √32 .∵△ABC 为锐角三角形. ∴B= π3.（Ⅱ）∵△ABC 为锐角三角形.B= π3. ∴C= 2π3 -A.∴cosA+cosB+cosC=cosA+cos （ 2π3-A ）+cos π3=cosA- 12cosA+ √32sinA+ 12= 12cosA+ √32sinA+ 12=sin （A+ π6 ）+ 12 .△ABC 为锐角三角形.0＜A ＜ π2.0＜C ＜ π2. 解得 π6 ＜A ＜ π2 . ∴ π3 ＜A+ π6 ＜ 2π3 . ∴ √32 ＜sin （A+ π6 ）≤1. ∴ √32 + 12 ＜sin （A+ π6 ）+ 12 ≤ 32 . ∴cosA+cosB+cosC 的取值范围为（ √3+12. 32 ]．【点评】：本题考查了正弦定理.三角函数的化简.三角函数的性质.考查了运算求解能力和转化与化归能力.属于中档题．19.（问答题.0分）已知函数f （x ）=|3x+1|-2|x-1|． （1）画出y=f （x ）的图象；（2）求不等式f （x ）＞f （x+1）的解集；（3）若不等式f （x ）≥-t 2 +at −23 .对于任意的x∈R .任意的a∈[-1.1]恒成立.求实数t 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）将函数零点分段.即可作出图象； （2）由于f （x+1）是函数f （x ）向左平移了一个单位.作出图象可得答案；（3）将不等式转化为- 83 ≥-t 2+at- 23 .对任意a∈[-1.1]恒成立.函数g （a ）=-ta+t 2-2.由一次函数的性质列出不等式.即可求解【解答】：解：（1）由题设知f （x ）= {−x −3，x ≤−135x −1，−13＜x ≤1x +3，x ＞1 .y=f （x ）的图象如图所示．（2）函数y=f （x ）的图象向左平移1个单位长度后得到函数y=f （x+1）的图象.y=f （x ）的图象与y=f （x+1）的图象的交点坐标为（- 76 .- 116 ）.由图象可知当且仅当x ＜- 76时.y=f （x ）的图象在y=f （x+1）的图象上方. ∴不等式f （x ）＞f （x+1）的解集为{x|x ＜- 76}．（3）由函数图象性质可知.当x=- 13时.f （x ）取得最小值- 83. 则原问题转化为- 83 ≥-t 2+at- 23 .对任意a∈[-1.1]恒成立.记函数g （a ）=-ta+t 2-2.要使g （a ）≥0对任意a∈[-1.1]恒成立. 只需 {g (1)≥0g (−1)≥0 .解得t≤-2或 t≥2．【点评】：本题考查了绝对值函数的解法.分段作出图象是解题的关键．考查了其他不等式的解法.不等式恒成立的问题.属于中档题．20.（问答题.0分）在平面直角坐标系xOy 中.已知椭圆E ： x 24 + y 23 =1的左、右焦点分别为F 1、F 2.点A 在椭圆E 上且在第一象限内.AF 2⊥F 1F 2.直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ． （1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P.直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q.求 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ • QP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上.记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1.S 2.若S 2=3S 1.求点M 的坐标．【正确答案】：【解析】：（1）由椭圆标准方程可知a.b.c 的值.根据椭圆的定义可得△AF 1F 2的周长=2a+2c.代入计算即可．（2）由椭圆方程得A （1. 32 ）.设P （t.0）.进而由点斜式写出直线AP 方程.再结合椭圆的右准线为：x=4.得点Q 为（4. 32 • 4−t 1−t ）.再由向量数量积计算最小值即可．（3）在计算△OAB 与△MAB 的面积时.AB 可以最为同底.所以若S 2=3S 1.则O 到直线AB 距离d 1与M 到直线AB 距离d 2.之间的关系为d 2=3d 1.根据点到直线距离公式可得d 1= 35 .d 2= 95 .所以题意可以转化为M 点应为与直线AB 平行且距离为 95 的直线与椭圆的交点.设平行于AB 的直线l 为3x-4y+m=0.与直线AB 的距离为 95 .根据两平行直线距离公式可得.m=-6或12.然后在分两种情况算出M 点的坐标即可．【解答】：解：（1）由椭圆的标准方程可知.a 2=4.b 2=3.c 2=a 2-b 2=1. 所以△AF 1F 2的周长=2a+2c=6． （2）由椭圆方程得A （1. 32 ）.设P （t.0）.则直线AP 方程为y= 321−t (x −t ) .椭圆的右准线为：x= a 2c =4.所以直线AP 与右准线的交点为Q （4. 32 • 4−t1−t ）.OP ⃗⃗⃗⃗⃗ • QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（t.0）•（t-4.0- 32 • 4−t 1−t ）=t 2-4t=（t-2）2-4≥-4. 当t=2时.（ OP ⃗⃗⃗⃗⃗ •QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ）min =-4．（3）若S 2=3S 1.设O 到直线AB 距离d 1.M 到直线AB 距离d 2.则 12×|AB|×d 2= 12×|AB|×d 1.即d 2=3d 1.A （1. 32 ）.F 1（-1.0）.可得直线AB 方程为y= 34 （x+1）.即3x-4y+3=0.所以d 1= 35 .d 2= 95 . 由题意得.M 点应为与直线AB 平行且距离为 95 的直线与椭圆的交点. 设平行于AB 的直线l 为3x-4y+m=0.与直线AB 的距离为 95 .√9+16= 95.即m=-6或12.当m=-6时.直线l 为3x-4y-6=0.即y= 34 （x-2）.联立 {y =34(x −2)x 24+y 23=1 .可得（x-2）（7x+2）=0.即 {x M =2y N =0 或 {x M =−27y M =−127 . 所以M （2.0）或（- 27 .- 127 ）．当m=12时.直线l 为3x-4y+12=0.即y= 34 （x+4）.联立 {y =34(x +4)x 24+y 23=1 .可得 214x 2 +18x+24=0.△=9×（36-56）＜0.所以无解.综上所述.M 点坐标为（2.0）或（- 27 .- 127 ）．【点评】：本题考查椭圆的定义.向量的数量积.直线与椭圆相交问题.解题过程中注意转化思想的应用.属于中档题．21.（问答题.0分）已知数列{a n }（n∈N*）的首项a 1=1.前n 项和为S n ．设λ和k 为常数.若对一切正整数n.均有Sn+11k -S n 1k =λan+11k 成立.则称此数列为“λ-k”数列．（1）若等差数列{a n }是“λ-1”数列.求λ的值；（2）若数列{a n }是“ √33 -2”数列.且a n ＞0.求数列{a n }的通项公式；（3）对于给定的λ.是否存在三个不同的数列{a n }为“λ-3”数列.且a n ≥0？若存在.求出λ的取值范围；若不存在.说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由“λ-1”数列可得k=1.结合数列的递推式.以及等差数列的定义.可得λ的值；（2）运用“ √33 -2”数列的定义.结合数列的递推式和等比数列的通项公式.可得所求通项公式；（3）若存在三个不同的数列{a n }为“λ-3”数列.则S n+1 13 -S n 13 =λa n+1 13 .由两边立方.结合数列的递推式.以及t 的讨论.二次方程的实根分布和韦达定理.即可判断是否存在λ.并可得取值范围．【解答】：解：（1）k=1时.a n+1=S n+1-S n =λa n+1.由n 为任意正整数.且a 1=1.a n ≠0.可得λ=1；（2） √S n+1 - √S n = √33 √a n+1 .则a n+1=S n+1-S n =（ √S n+1 - √S n ）•（ √S n+1 + √S n ）= √33 • √a n+1 （ √S n+1 + √S n ）.因此 √S n+1 + √S n = √3 • √a n+1 .即 √S n+1 = 23 √3a n+1 .S n+1= 43 a n+1= 43 （S n+1-S n ）. 从而S n+1=4S n .又S 1=a 1=1.可得S n =4n-1.a n =S n -S n-1=3•4n-2.n≥2.综上可得a n = {1，n =13•4n−2，n ≥2.n∈N*； （3）若存在三个不同的数列{a n }为“λ-3”数列.则S n+1 13 -S n 13 =λan+1 13 . 则S n+1-3S n+1 23 S n 13 +3S n+1 13 S n 23 -S n =λ3a n+1=λ3（S n+1-S n ）.由a 1=1.a n ≥0.且S n ＞0.令p n =（S n+1S n ） 13 ＞0. 则（1-λ3）p n 3-3p n 2+3p n -（1-λ3）=0.λ=1时.p n =p n 2.由p n ＞0.可得p n =1.则S n+1=S n .即a n+1=0.此时{a n }唯一.不存在三个不同的数列{a n }.λ≠1时.令t= 31−λ3 .则p n 3-tp n 2+tp n -1=0.则（p n -1）[p n 2+（1-t ）p n +1]=0.① t≤1时.p n 2+（1-t ）p n +1＞0.则p n =1.同上分析不存在三个不同的数列{a n }；② 1＜t ＜3时.△=（1-t ）2-4＜0.p n 2+（1-t ）p n +1=0无解.则p n =1.同上分析不存在三个不同的数列{a n }；③ t=3时.（p n -1）3=0.则p n =1.同上分析不存在三个不同的数列{a n }．④ t ＞3时.即0＜λ＜1时.△=（1-t ）2-4＞0.p n 2+（1-t ）p n +1=0有两解α.β.设α＜β.α+β=t -1＞2.αβ=1＞0.则0＜α＜1＜β.则对任意n∈N*. S n+1S n =1或S n+1S n=α3（舍去）或S n+1S n=β3.由于数列{S n}从任何一项求其后一项均有两种不同的结果.所以这样的数列{S n}有无数多个.则对应的数列{a n}有无数多个．则存在三个不同的数列{a n}为“λ-3”数列.且a n≥0.综上可得0＜λ＜1．【点评】：本题考查数列的新定义的理解和运用.考查等差数列和等比数列的通项公式的运用.以及数列的递推式的运用.考查分类讨论思想.以及运算能力和推理论证能力.是一道难题．。
上海市上海交通大学附属中学2021届高三上学期开学摸底数学试题(教师版)
2020交大附中高三数学开学摸底考试卷一. 填空题1. 已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则AB =_____. 【答案】{}0,2【解析】【分析】根据集合的交集即可计算.【详解】∵{}1,0,1,2A =-,{}0,2,3B =∴{}0,2A B =故答案为：{}0,2.【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型．2. 已知i 是虚数单位，则复数()()12z i i =+-的虚部是________【答案】1【解析】【分析】利用复数的乘法运算，化简复数3i z =+,即可得答案； 【详解】2213z i i i =-++=+，∴复数z 的虚部是1，故答案为：1.【点睛】本题考查复数虚部的概念，属于基础题.3. 已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____.【答案】2【解析】【分析】根据平均数的公式进行求解即可．【详解】∵数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4∴4235620a a ++-++=，即2a =.故答案为：2.【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础．4. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____. 【答案】19【解析】【分析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可．【详解】根据题意可得基本事件数总为6636⨯=个.点数和为5的基本事件有()1,4，()4,1，()2,3，()3,2共4个.∴出现向上的点数和为5的概率为41369P ==. 故答案为：19. 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5. 25()()x x y xy ++的展开式中33x y 的系数为________ 【答案】15【解析】【分析】先把条件整理转化为求225()()x y x y ++展开式中43x y 的系数，再结合二项式的展开式的特点即可求解． 【详解】解：因为22255()()()()y x y x y x x y x x++++=； 要求展开式中33x y 的系数即为求225()()x y x y ++展开式中43x y 的系数； 展开式含43x y 的项为：2223244435515x C x y y C x y x y +=； 故25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为15； 故答案为：15.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题． 6. 如果方程2lg (lg 6)lg lg 2lg 30x x ++⋅=的两个根为1x 、2x ，那么12x x ⋅的值为________ 【答案】16【解析】【分析】先对方程进行因式分解变形得(lg lg 2)(lg lg3)0x x ++=，求出12,x x 的值，即可得答案； 【详解】(lg lg 2)(lg lg3)0x x ++=，∴lg lg 2x =-或lg lg3x =-， ∴121123x x ==，， ∴1216x x =， 故答案为：16. 【点睛】本题考查对数的运算，考查运算求解能力，属于基础题.7. 设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______．【答案】4【解析】【分析】结合等差数列和等比数列前n 项和公式的特点，分别求得{}{},n n a b 的公差和公比，由此求得d q +.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据题意1q ≠.等差数列{}n a 的前n 项和公式为()2111222n n n d d P na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， 等比数列{}n b 的前n 项和公式为()1111111n n n b q b b Q q q q q-==-+---， 依题意n n n S P Q =+，即22111212211n n b b d d n n n a n q q q ⎛⎫-+-=+--+ ⎪--⎝⎭， 通过对比系数可知111212211d d a q b q⎧=⎪⎪⎪-=-⎪⎨⎪=⎪⎪=-⎪-⎩⇒112021d a q b =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，故4d q +=.故答案为：4【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前n 项和公式，属于中档题.8. 如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半径为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.【答案】1232π【解析】【分析】 先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果. 【详解】正六棱柱体积为23622=1234⨯⨯ 圆柱体积21()222ππ⋅= 所求几何体体积为1232π 故答案为： 1232π【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题.9. 将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____. 【答案】524x π=-【解析】【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果. 【详解】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=- 72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈ 当1k =-时524x π=-故答案为：524x π=- 【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题. 10. 已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22xy +的最小值是_______． 【答案】45【解析】【分析】根据题设条件可得42215y x y -=，可得4222222114+555y y x y y y y -+=+=，利用基本不等式即可求解. 【详解】∵22451x y y +=∴0y ≠且42215y x y -= ∴422222222114144+2555555y y y x y y y y y -+=+=≥⋅=，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号. ∴22x y +的最小值为45. 故答案为：45. 【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.11. 在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．【答案】185或0 【解析】【分析】根据题设条件可设()0PA PD λλ=>，结合32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭与,,B D C 三点共线，可求得λ，再根据勾股定理求出BC ，然后根据余弦定理即可求解.【详解】∵,,A D P 三点共线，∴可设()0PA PD λλ=>， ∵32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， ∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+， 若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线， ∴321m m λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=，即32λ=， ∵9AP =，∴3AD =，∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒，∴5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC x AD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-， ∵()cos cos 0θπθ+-=，∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =， ∴CD 的长度为185. 当0m =时， 32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0， 当32m =时，32PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去. 故答案为：0或185. 【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出()0PA PD λλ=>．12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知0)P ，,A B 是221:()362C x y +-=上的两个不同的动点，满足PA PB =，且PA PB a ⋅<恒成立，则实数a 最小值是________【答案】49【解析】【分析】因为PA PB =，可知PC 是AB 的垂直平分线，1PC =，设CE x =，PA 、PB 、AB 的长即可用x 表示，再利用余弦定理表示cos APB ∠，利用数量积的定义将PA PB ⋅用x 表示，()max a PA PB >⋅，利用函数求出()max 6PA PB ⋅<，即得a 最小值. 【详解】如图圆心10,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1PC =，因为PA PB =， 所以PC 是AB 的垂直平分线，设PC 与AB 相交于点E ，则点E 是AB 的中点，设CE x =，则2236AE x =-，()22436AB x =-，()2222221237AP BP AE EP AE x x ==+=++=+ PA PB a ⋅<恒成立，所以()max a PA PB>⋅ cos PA PB PA PB APB ⋅=∠， 在APB △中，由余弦定理得：222222cos 22AP BP AB AP AB APB AP BP AP BP +--∠==⨯⨯， 所以222222cos 22AP AB AP AB PA PB PA PB APB PA PB AP BP --⋅=∠=⨯=⨯， ()()22222323743652x x x x +--==+-，因为06x <<，所以6x =时，22235236123549x x +-<⨯+-=，即()max 49PA PB ⋅<所以6a ≥，故实数a 最小值是49，故答案为：49【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的定义，余弦定理，勾股定理，恒成立问题，求二次函数的最值，属于综合性题目，属于中档题.二.选择题13. 函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]的图象大致为（ ） A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在x π=处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-，即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD 错误；且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．14. 已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π 【答案】A【解析】【分析】由已知可得等边ABC 的外接圆半径，进而求出其边长，得出1OO 的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.【详解】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意，得24,2r r ππ=∴=，ABC 为等边三角形， 由正弦定理可得2sin 6023AB r =︒=，123OO AB ∴==，根据球的截面性质1OO ⊥平面ABC ，222211111,4OO O A R OA OO O A OO r ∴⊥==+=+=，∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 15. 若点00(,)P x y 00(0)x y ≠在函数()y f x =的图像上，1()y f x -=为函数()y f x =的反函数，设100(,)P y x 、200(,)P y x -、300(,)P y x -、400(,)P y x --，则有（ ）A. 点1234,,,P P P P 有可能都在函数1()y fx -=的图像上 B. 只有点2P 不可能在函数1()y f x -=的图像上C. 只有点3P 不可能在函数1()y f x -=的图像上D. 点23,P P 都不可能在函数1()y f x -=的图像上【答案】D【解析】【分析】根据反函数存在的条件是原函数必须是一一对应的，然后根据反函数的性质可判断点1234,,,P P P P 是否在函数1()y f x -=图像上.【详解】存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的,根据点00(,)P x y 00(0)x y ≠在函数()y f x =的图象上，则100(,)P y x 在反函数1()y f x -=的图象若点100(,)P y x 与点300(,)P y x -都在反函数1()y f x -=的图象上，则相同的横坐标对应两个函数值，不符合一一对应；若点200(,)P y x -在反函数图象上则点00(,)x y -在函数()y f x =的图象上，则相同的横坐标对应两个函数值，不符合一一对应；故点23,P P 都不可能在函数1()y fx -=的图象上 故选：D ．【点睛】本题考查反函数存在的条件和函数的性质，同时考查分析问题的能力，属于基础题. 16. 设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则y x ∈S ；下列命题正确的是（ ）A. 若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B. 若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C. 若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D. 若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素 【答案】A 【解析】 【分析】分别给出具体的集合S 和集合T ，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可. 【详解】首先利用排除法：若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8ST =，包含4个元素，排除选项 C ； 若取{}2,4,8S =，则{}8,16,32T =，此时{}2,4,8,16,32ST =，包含5个元素，排除选项D ；若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128S T =，包含7个元素，排除选项B ；下面来说明选项A 的正确性：设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p <<<，*1234,,,p p p p N ∈，则1224p p p p <，且1224,p p p p T ∈，则41p S p ∈， 同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21pS p ∈，若11p =，则22p ≥，则332p p p <，故322p p p =即232p p =， 又444231p p p p p >>>，故442232p p p p p ==，所以342p p =， 故{}232221,,,S p p p =，此时522,p T p T ∈∈，故42p S ∈，矛盾，舍.若12p ≥，则32311p p p p p <<，故322111,p pp p p p ==即323121,p p p p ==， 又44441231p p p p p p p >>>>，故441331p p p p p ==，所以441p p =，故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆. 若q T ∈， 则31q S p ∈，故131,1,2,3,4i qp i p ==，故31,1,2,3,4i q p i +==， 即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =， 此时{}234456711111111,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=即S T 中有7个元素.故A 正确. 故选：A .【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.三. 解答题17. 在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD =5,BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值； （2）若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值． 【答案】（1）1515（2）23913【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.【详解】（1）连,CO BC CD BO OD CO BD ==∴⊥以,,OB OC OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,0)(0,1,1)A B C D E -∴15(1,0,2),(1,1,1)cos ,53AB DE AB DE ∴=-=∴<>== 从而直线AB 与DE 15（2）设平面DEC 一个法向量为1(,,),n x y z =11200(1,2,0),00x y n DC DC x y z n DE ⎧+=⋅=⎧⎪=∴⎨⎨++=⋅=⎪⎩⎩令112,1(2,1,1)y x z n =∴=-=∴=- 设平面DEF 一个法向量为2111(,,),n x y z =11221117100171(,,0),4244200x y n DF DF DB BF DB BC n DE x y z ⎧⎧+=⋅=⎪⎪=+=+=∴⎨⎨⋅=⎪⎩⎪++=⎩令111272,5(2,7,5)y x z n =-∴==∴=-12cos ,67813n n ∴<>== 因此12239sin 1313θ== 【点睛】本题考查利用向量求线线角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题. 18. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 30b A a -=． （I ）求角B 大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围． 【答案】（I ）3B π=；（II）13,22⎛⎤⎥⎝⎦ 【解析】 【分析】（I ）首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定∠B 的大小；（II ）结合(1)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有∠A 的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定∠A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cos cos cos A B C ++的取值范围. 【详解】（I）由2sin b A =结合正弦定理可得：2sin sin ,sin B A A B =∴= △ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ）结合(1)的结论有：12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos 222A A A =-++11cos 222A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则sin 3A π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，13sin 232A π⎤⎛⎫++∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦. 即cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤⎥⎝⎦. 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 19. 已知函数()|31|2|1|f x x x =+--.（1）画出()y f x =的图像；（2）求不等式()(1)f x f x >+的解集； （3）若不等式22()3f x t at≥-+-，对于任意的x ∈R ，任意的[1,1]a ∈-恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）图像见解析；（2）7(,)6-∞-；（3）2t ≤-或2t ≥.【解析】 【分析】（1）根据绝对值定义去掉绝对值符号化函数为函数形式，然后可分段作出函数图象；（2）把函数()y f x =的图像向左平移1个单位长度后得到函数(1)y f x =+的图像，由图象可得不等式的解；（3）首先由()f x 图象得()f x 的最小值83-，然后问题转化为282,33t at -≥-+- 对任意[]1,1a ∈-恒成立，引入函数()g a =223t at -+-，这是关于a 的一次函数，由一次函数性质易得结论． 【详解】（1）由题设知13,,31()51,1,33, 1.x x f x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪+>⎪⎪⎩()y f x =的图像如图所示.（2）函数()y f x =的图像向左平移1个单位长度后得到函数(1)y f x =+的图像，()y f x =的图像与(1)y f x =+的图像的交点坐标为711(,)66--，由图像可知当且仅当76x <-时，()y f x =的图像在(1)y f x =+的图像上方， ∴不等式()(1)f x f x >+的解集为7(,)6-∞-．（3）由函数图像性质可知，当13x =-时，()f x 取得最小值83-， 则原问题转化为282,33t at -≥-+- 对任意[]1,1a ∈-恒成立，即220t at --≥对任意[]1,1a ∈-恒成立， 记函数()22g a ta t =-+-，要使()0g a ≥对任意[]1,1a ∈-恒成立，只需()()1010g g ⎧≥⎪⎨-≥⎪⎩，即222020t t t a ⎧--≥⎨+-≥⎩，解得：2,t ≤-或2t ≥.【点睛】本题考查作含绝对值函数图象，用图象解不等式，考查不等式恒成立问题，不等式恒成立问题的关键是转化，一是转化为求出函数的最小值，二是转化为与一次函数有关的不等关系．20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，直线1AF 与椭圆E 相交于另一点B .（1）求12AF F ∆的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记OAB 与MAB △的面积分别为12,S S ，若213S S =，求点M 的坐标.【答案】（1）6；（2）4- ；（3）M 点坐标为(2,0)或212(,)77-- .【解析】 【分析】（1）由椭圆标准方程可知a ，b ，c 的值，根据椭圆的定义可得12AF F △的周长22a c =+，代入计算即可． （2）由椭圆方程得3(1,)2A ，设(,0)P t ，进而由点斜式写出直线AP 方程，再结合椭圆的右准线为：4x =，得点Q 为34(4,)21tt--，再由向量数量积计算最小值即可．（3）在计算OAB ∆与MAB ∆的面积时，AB 可以最为同底，所以若213S S =，则O 到直线AB 距离1d 与M 到直线AB 距离2d ，之间的关系为213d d =，根据点到直线距离公式可得135d =，295d =，所以题意可以转化为M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点，设平行于AB 的直线l 为340x y m -+=，与直线AB 的距离为95，根据两平行直线距离公式可得，6m =-或12，然后在分两种情况算出M 点的坐标即可．【详解】（1）由椭圆的标准方程可知，24a =，23b =，2221c a b =-=， 所以△12AF F 的周长226a c =+=．（2）由椭圆方程得3(1,)2A ，设(,0)P t ，则直线AP 方程为32()1y x t t=--，椭圆的右准线为：24a x c==，所以直线AP 与右准线的交点为34(4,)21tQ t--，(OP QP t =，0)(4t -，22340)4(2)4421tt t t t--=-=----，当2t =时，()4min OP QP =-．（3）若213S S =，设O 到直线AB 距离1d ，M 到直线AB 距离2d ，则2111||||22AB d AB d ⨯⨯=⨯⨯，即213d d =，3(1,)2A ，1(1,0)F -，可得直线AB 方程为3(1)4y x =+，即3430x y -+=，所以135d =，295d =，由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点，设平行于AB 的直线l 为340x y m -+=，与直线AB 的距离为95，95=，即6m =-或12，当6m =-时，直线l 为3460x y --=，即3(2)4y x =-， 联立223(2)4143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得(2)(72)0x x -+=，即20M N x y =⎧⎨=⎩或27127M Mx y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以(2,0)M 或2(7-，12)7-． 当12m =时，直线l 为34120x y -+=，即3(4)4y x =+， 联立223(4)4143y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得221182404x x ++=，△9(3656)0=⨯-<，所以无解， 综上所述，M 点坐标为(2,0)或2(7-，12)7-． 【点睛】本题考查椭圆的定义，向量的数量积，直线与椭圆相交问题，解题过程中注意转化思想的应用，属于中档题．21. 已知数列{}n a （*n ∈N ）的首项11a =，前n 项和为n S ，设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111kk k n nn S S a λ++-=成立，则称此数列为“~k λ”数列.（1）若等差数列{}n a 是“~1λ”数列，求λ的值； （2）若数列{}n a 是”数列，且0n a >，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“~3λ”数列，且0n a ≥？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）1λ=；（2）()()211342n n n a n -⎧=⎪=⎨⨯≥⎪⎩；（3）存在，01λ<<. 【解析】【分析】（1）根据新定义，即由11n n n S S a λ++-=，求λ，此式变形为1(1)0n a λ+-=，分析后可得． （2）根据新定义，=首先由11n n n a S S ++=-转化为{}n S 的递推关系，换元，令n b ={}n b 的递推关系，求得n b ，从而可得n S ，n a ． （3）类似（2n c，则1 1)n n c c -=≥，即333(1)(1)( 1)n n n c c c λ-=-≥．（*），分析此式中n c 的解的情况，注意到321(1)(1)n n n n c c c c -=-++，210n n c c ++>，在0λ≤或1λ=时，（*）只有一解1n c =，对应{}n a 只有一个， 在1λ>时，同样得出{}n a 只有一个，在01λ<<时，（*）有三个解，一个在(0,1)上，一个是1，一个在(1,)+∞上，即有两个不小于1的解，设在(1,)+∞上的解为t ，则1n n S S +=或31n n S t S +=，这样对数列{}n S ，由其中任一项n S 求其后一项1n S +时都有两种个解，这样所得数列{}n S 会有无数个，从而得{}n a 有无数个．由此可得结论． 【详解】（1）∵等差数列{}n a 是“λ～1”数列，则11n n n S S a λ++-=，即11n n a a λ++=， 也即1(1)0n a λ+-=，此式对一切正整数n 均成立，若1λ≠，则10n a +=恒成立，∴320a a -=，而211a a -=-，这与{}n a 是等差数列矛盾， ∴1λ=．（此时，任意首项为1的等差数列都是“1～1”数列） （2）∵数列*{}()n a n ∈N 是“”数列，-=∵0n a >，∴10n n S S +>>1=n b，则1n b -=221(1)(1)(1)3n n n b b b -=->， 解得：2n b =2=，也即14n nS S +=，∴数列{}n S 是公比为4的等比数列，∵111S a ==，∴14n n S -=．2n ≥时，12214434n n n n n n a S S ----=-=-=⨯，∴21(1),34(2).n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩ （3）设各项非负的数列*{}()n a n ∈N 为“~3λ”数列， 则11133311n n n S S a λ++-=∵0n a ≥，而11a =，∴10n n S S +≥>1=-n c，则1 1)n n c c -=≥，即333(1)(1)( 1)n n n c c c λ-=-≥．（*） ①若0λ≤或=1λ，则（*）只有一解为=1n c ，即符合条件的数列{}n a 只有一个；（此数列为1，0，0，0，…） ②若1λ>，则（*）化3232(1)(1)01n nnc c c λλ+-++=-，∵1n c ≥，∴3232101nnc c λλ+++>-，则（*）只有一解为=1n c ， 即符合条件的数列{}n a 只有一个；（此数列为1，0，0，0，…）③若01λ<<，则3232101nn c c λλ+++=-的两根分别在（0，1）与（1，+∞）内， 则方程（*）有两个大于或等于1的解：其中一个为1，另一个大于1（记此解为t ）， ∴1n n S S +=或31n n S t S +=，由于数列{}n S 从任何一项求其后一项均有两种不同结果， ∴这样的数列{}n S 有无数多个，则对应的{}n a 有无数多个；综上：能存在三个各项非负的数列{}n a 为“~3λ”数列，λ的取值范围是01λ<<． 【点睛】本题考查数列新定义，解题是把新定义进行转化，本题就是转化为已知11111kk kn nn SS a λ++-=求n a ，这样只要利用n S 与n a 的关系进行转化．考查了学生分析问题、解决问题的能力，转化与化归能力，本题属于难题．。
2021-2022学年上海交通大学附属中学高一上学期开学摸底数学试题(原卷版)
14.如图，在 中， ， ， .P是AB边上一动点， 于点D，点E在P的右侧， ，连结CE.P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动.在整个运动过程中，图中阴影部分面积 的大小变化情况（）
A.一直减小B.一直不变
C.先减小后增大D.先增大后减小
15.古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买 黄金，售货员先将 的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将 的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（）
6.已知集合 ， ，若 ，则实数m的取值构成的集合为___________.
7.若 和 或 都是假命题，则 的范围是__________
8.已知 是实数，若a，b是关于x的一元二次方程 的两个非负实根，源自 的最小值是___________.
9.如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC､BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG､BG､BE，当 时， 的面积记为 ；当 时， 的面积记为 ，……，以此类推，当 时， 的面积记为 ，则 的值为___________.
10.如图，已知圆O的面积为 ，AB为直径，弧AC的度数（劣弧AC所对圆心角的度数）为 ，弧BD的度数为 ，点P为直径AB上任一点，则 的最小值为___________.
11.设 为非空实数集满足：对任意给定的 （ 可以相同），都有 ， ， ，则称 为幸运集.
①集合 为幸运集；②集合 为幸运集；
③若集合 、 为幸运集，则 为幸运集；④若集合 为幸运集，则一定有 ；
2021届上海市上海交通大学附属中学高三上学期开学摸底数学试题(解析版)
2021届上海市上海交通大学附属中学高三上学期开学摸底数学试题一、单选题1．函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在x π=处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-， 即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称， 据此可知选项CD 错误；且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．2．已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ） A ．64π B ．48πC ．36πD ．32π【答案】A【解析】由已知可得等边ABC 的外接圆半径，进而求出其边长，得出1OO 的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论. 【详解】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意， 得24,2r r ππ=∴=，ABC 为等边三角形，由正弦定理可得2sin 6023AB r =︒=，123OO AB ∴==，根据球的截面性质1OO ⊥平面ABC ，222211111,4OO O A R OA OO O A OO r ∴⊥==+=+=， ∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.3．若点00(,)P x y 00(0)x y ≠在函数()y f x =的图像上，1()y f x -=为函数()y f x =的反函数，设100(,)P y x 、200(,)P y x -、300(,)P y x -、400(,)P y x --，则有（ ） A ．点1234,,,P P P P 有可能都在函数1()y f x -=的图像上B ．只有点2P 不可能在函数1()y f x -=的图像上C ．只有点3P 不可能在函数1()y fx -=的图像上D ．点23,P P 都不可能在函数1()y f x -=的图像上 【答案】D【解析】根据反函数存在的条件是原函数必须是一一对应的，然后根据反函数的性质可判断点1234,,,P P P P 是否在函数1()y f x -=图像上.【详解】存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的,根据点00(,)P x y 00(0)x y ≠在函数()y f x =的图象上， 则100(,)P y x 在反函数1()y fx -=的图象若点100(,)P y x 与点300(,)P y x -都在反函数1()y fx -=的图象上，则相同的横坐标对应两个函数值，不符合一一对应；若点200(,)P y x -在反函数图象上则点00(,)x y -在函数()y f x =的图象上， 则相同的横坐标对应两个函数值，不符合一一对应； 故点23,P P 都不可能在函数1()y f x -=的图象上故选：D ． 【点睛】本题考查反函数存在的条件和函数的性质，同时考查分析问题的能力，属于基础题. 4．设集合S ，T ，S ⊆N ，T ⊆N ，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足： ①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T ②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ； 下列命题正确的是（ ）A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素 【答案】A【解析】分别给出具体的集合S 和集合T ，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可. 【详解】首先利用排除法：若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8S T =，包含4个元素，排除选项 C ；若取{}2,4,8S =，则{}8,16,32T =，此时{}2,4,8,16,32S T =，包含5个元素，排除选项D ；若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128S T =，包含7个元素，排除选项B ； 下面来说明选项A 的正确性：设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p <<<，*1234,,,p p p p N ∈，则1224p p p p <，且1224,p p p p T ∈，则41p S p ∈， 同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21p S p ∈， 若11p =，则22p ≥，则332p p p <，故322p p p =即232p p =， 又444231p p p p p >>>，故442232p p p p p ==，所以342p p =， 故{}232221,,,S p p p =，此时522,p T p T ∈∈，故42p S ∈，矛盾，舍.若12p ≥，则32311p p p p p <<，故322111,p pp p p p ==即323121,p p p p ==， 又44441231p p p p p p p >>>>，故441331p p p p p ==，所以441p p =， 故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆. 若q T ∈， 则31q S p ∈，故131,1,2,3,4i q p i p ==，故31,1,2,3,4i q p i +==， 即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =， 此时{}234456711111111,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=即S T 中有7个元素.故A 正确. 故选：A . 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.二、填空题5．已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____.【答案】{}0,2【解析】根据集合的交集即可计算. 【详解】∵{}1,0,1,2A =-,{}0,2,3B = ∴{}0,2AB =故答案为：{}0,2. 【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型．6．已知i 是虚数单位，则复数()()12z i i =+-的虚部是________ 【答案】1【解析】利用复数的乘法运算，化简复数3i z =+,即可得答案； 【详解】2213z i i i =-++=+，∴复数z 的虚部是1，故答案为：1. 【点睛】本题考查复数虚部的概念，属于基础题.7．已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____. 【答案】2【解析】根据平均数的公式进行求解即可． 【详解】∵数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4∴4235620a a ++-++=，即2a =. 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础．8．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____. 【答案】19【解析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可． 【详解】根据题意可得基本事件数总为6636⨯=个.点数和为5的基本事件有()1,4，()4,1，()2,3，()3,2共4个. ∴出现向上的点数和为5的概率为41369P ==. 故答案为：19. 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．25()()x x y xy ++的展开式中33x y 的系数为________【答案】15【解析】先把条件整理转化为求225()()x y x y ++展开式中43x y 的系数，再结合二项式的展开式的特点即可求解． 【详解】解：因为22255()()()()y x y x y x x y x x++++=； 要求展开式中33x y 的系数即为求225()()x y x y ++展开式中43x y 的系数；展开式含43x y 的项为：2223244435515x C x y y C x y x y +=；故25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为15；故答案为：15.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．10．如果方程2lg (lg 6)lg lg 2lg 30x x ++⋅=的两个根为1x 、2x ，那么12x x ⋅的值为________ 【答案】16【解析】先对方程进行因式分解变形得(lg lg 2)(lg lg3)0x x ++=，求出12,x x 的值，即可得答案； 【详解】(lg lg 2)(lg lg3)0x x ++=， ∴lg lg 2x =-或lg lg3x =-，∴121123x x ==，，∴1216x x =，故答案为：16.【点睛】本题考查对数的运算，考查运算求解能力，属于基础题.11．设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______． 【答案】4【解析】结合等差数列和等比数列前n 项和公式的特点，分别求得{}{},n n a b 的公差和公比，由此求得d q +. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据题意1q ≠. 等差数列{}n a 的前n 项和公式为()2111222n n n d d P na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， 等比数列{}n b 的前n 项和公式为()1111111n n n b q b bQ q qq q-==-+---，依题意n n nS P Q=+，即22111212211n nb bd dn n n a n qq q⎛⎫-+-=+--+⎪--⎝⎭，通过对比系数可知111212211ddaqbq⎧=⎪⎪⎪-=-⎪⎨⎪=⎪⎪=-⎪-⎩⇒11221daqb=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，故4d q+=.故答案为：4【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前n项和公式，属于中档题.12．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.【答案】1232π【解析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.【详解】正六棱柱体积为23622=1234⨯⨯圆柱体积为21()222ππ⋅=所求几何体体积为1232π故答案为：1232π【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题.13．将函数y=πsin(2)43x﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.【答案】524xπ=-【解析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果. 【详解】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=-72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈当1k =-时524x π=-故答案为：524x π=-【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.14．已知22451x y y +=（,x y R ∈），则22xy +的最小值是________【答案】45【解析】由已知求得2x ，代入所求式子，整理后，运用基本不等式可得所求最小值； 【详解】解：由22451x y y +=，可得42215y x y -=，由20x ，可得2(0y ∈，1]，则44222222211411(4)555y y x y y y y y y-++=+==+ 221142455y y =，当且仅当212y =，2310x =，可得22xy +的最小值为45； 故答案为：45. 【点睛】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查转化思想和化简运算能力，属于中档题. 15．在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．【答案】185【解析】根据题设条件可设()0PA PD λλ=>，结合32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭与,,B D C 三点共线，可求得λ，再根据勾股定理求出BC ，然后根据余弦定理即可求解. 【详解】∵,,A D P 三点共线， ∴可设()0PA PD λλ=>， ∵32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+， 若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线， ∴321m m λλ⎛⎫-⎪⎝⎭+=，即32λ=， ∵9AP =，∴3AD =，∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒， ∴5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-. ∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，∵()cos cos 0θπθ+-=，∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =，∴CD 的长度为185. 当0m =时， 32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0， 当32m =时，32PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.故答案为：0或185.【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出()0PA PD λλ=>．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知0)P ，,A B 是221:()362C x y +-=上的两个不同的动点，满足PA PB =，且PA PB a ⋅<恒成立，则实数a 最小值是________ 【答案】49【解析】因为PA PB =，可知PC 是AB 的垂直平分线，1PC =，设CE x =，PA 、PB 、AB 的长即可用x 表示，再利用余弦定理表示cos APB ∠，利用数量积的定义将PA PB ⋅用x 表示，()maxa PA PB>⋅，利用函数求出()max6PA PB⋅<，即得a 最小值.【详解】如图圆心10,2C ⎛⎫⎪⎝⎭，1PC =，因为PA PB =，所以PC 是AB 的垂直平分线，设PC 与AB 相交于点E ，则点E 是AB 的中点， 设CE x =，则2236AE x =-，()22436AB x=-，()2222221237AP BP AE EP AE x x ==+=++=+PA PB a ⋅<恒成立，所以()maxa PA PB>⋅cos PA PB PA PB APB ⋅=∠，在APB △中，由余弦定理得：222222cos 22AP BP AB AP AB APB AP BP AP BP +--∠==⨯⨯， 所以222222cos 22AP AB AP AB PA PB PA PB APB PA PB AP BP --⋅=∠=⨯=⨯， ()()22222323743652x x x x +--==+-，因为06x <<，所以6x =时，22235236123549x x +-<⨯+-=， 即()max49PA PB⋅<所以6a ≥，故实数a 最小值是49，故答案为：49【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的定义，余弦定理，勾股定理，恒成立问题，求二次函数的最值，属于综合性题目，属于中档题.三、解答题17．在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=5,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=14BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．【答案】（115（2239【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.【详解】（1）连,CO BC CD BO OD CO BD ==∴⊥以,,OB OC OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,0)(0,1,1)A B C D E -∴15(1,0,2),(1,1,1)cos ,1553AB DE AB DE ∴=-=∴<>==- 从而直线AB 与DE 所成角的余弦值为1515（2）设平面DEC 一个法向量为1(,,),n x y z =11200(1,2,0),00x y n DC DC x y z n DE ⎧+=⋅=⎧⎪=∴⎨⎨++=⋅=⎪⎩⎩令112,1(2,1,1)y x z n =∴=-=∴=- 设平面DEF 一个法向量为2111(,,),n x y z =11221117100171(,,0),4244200x y n DF DF DB BF DB BC n DE x y z ⎧⎧+=⋅=⎪⎪=+=+=∴⎨⎨⋅=⎪⎩⎪++=⎩令111272,5(2,7,5)y x z n =-∴==∴=-12cos ,67813n n ∴<>== 因此12239sin 13θ== 【点睛】本题考查利用向量求线线角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题.18．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且2sin 0b A =． （I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．【答案】（I ）3B π=；（II）32⎤⎥⎝⎦【解析】（I ）首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定∠B 的大小；（II ）结合(1)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有∠A 的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定∠A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cos cos cos A B C ++的取值范围.【详解】（I）由2sin b A =结合正弦定理可得：2sin sin ,sin 2B A A B =∴= △ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ）结合(1)的结论有：12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos sin 222A A A =-++11cos 222A A =++ 1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则sin 32A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，113sin ,2232A π⎛⎤⎛⎫++∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦. 即cos cos cos A B C ++的取值范围是13,22⎛⎤⎥ ⎝⎦.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.19．已知函数()|31|2|1|f x x x=+--.（1）画出()y f x=的图像；（2）求不等式()(1)f x f x>+的解集；（3）若不等式22()3f x t at≥-+-，对于任意的x∈R，任意的[1,1]a∈-恒成立，求实数t的取值范围.【答案】（1）图像见解析；（2）7(,)6-∞-；（3）2t≤-或2t≥.【解析】（1）根据绝对值定义去掉绝对值符号化函数为函数形式，然后可分段作出函数图象；（2）把函数()y f x=的图像向左平移1个单位长度后得到函数(1)y f x=+的图像，由图象可得不等式的解；（3）首先由()f x图象得()f x的最小值83-，然后问题转化为282,33t at-≥-+-对任意[]1,1a∈-恒成立，引入函数()g a=223t at-+-，这是关于a的一次函数，由一次函数性质易得结论．【详解】（1）由题设知13,,31()51,1,33, 1.x xf x x xx x⎧--≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪+>⎪⎪⎩()y f x=的图像如图所示.（2）函数()y f x =的图像向左平移1个单位长度后得到函数(1)y f x =+的图像，()y f x =的图像与(1)y f x =+的图像的交点坐标为711(,)66--，由图像可知当且仅当76x <-时，()y f x =的图像在(1)y f x =+的图像上方， ∴不等式()(1)f x f x >+的解集为7(,)6-∞-．（3）由函数图像性质可知，当13x =-时，()f x 取得最小值83-， 则原问题转化为282,33t at -≥-+- 对任意[]1,1a ∈-恒成立，即220t at --≥对任意[]1,1a ∈-恒成立，记函数()22g a ta t =-+-，要使()0g a ≥对任意[]1,1a ∈-恒成立，只需()()1010g g ⎧≥⎪⎨-≥⎪⎩，即222020t t t a ⎧--≥⎨+-≥⎩，解得：2,t ≤-或2t ≥.【点睛】本题考查作含绝对值函数图象，用图象解不等式，考查不等式恒成立问题，不等式恒成立问题的关键是转化，一是转化为求出函数的最小值，二是转化为与一次函数有关的不等关系．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，直线1AF 与椭圆E 相交于另一点B .（1）求12AF F ∆的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB 与MAB △的面积分别为12,S S ，若213S S =，求点M 的坐标.【答案】（1）6；（2）4- ；（3）M 点坐标为(2,0)或212(,)77-- .【解析】（1）由椭圆标准方程可知a ，b ，c 的值，根据椭圆的定义可得12AF F △的周长22a c =+，代入计算即可．（2）由椭圆方程得3(1,)2A ，设(,0)P t ，进而由点斜式写出直线AP 方程，再结合椭圆的右准线为：4x =，得点Q 为34(4,)21tt--，再由向量数量积计算最小值即可．（3）在计算OAB ∆与MAB ∆的面积时，AB 可以最为同底，所以若213S S =，则O 到直线AB 距离1d 与M 到直线AB 距离2d ，之间的关系为213d d =，根据点到直线距离公式可得135d =，295d =，所以题意可以转化为M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点，设平行于AB 的直线l 为340x y m -+=，与直线AB 的距离为95，根据两平行直线距离公式可得，6m =-或12，然后在分两种情况算出M 点的坐标即可． 【详解】（1）由椭圆的标准方程可知，24a =，23b =，2221c a b =-=， 所以△12AF F 的周长226a c =+=．（2）由椭圆方程得3(1,)2A ，设(,0)P t ，则直线AP 方程为32()1y x t t=--，椭圆的右准线为：24a x c==，所以直线AP 与右准线的交点为34(4,)21tQ t--，(OP QP t =，0)(4t -，22340)4(2)4421tt t t t--=-=----，当2t =时，()4min OP QP =-．（3）若213S S =，设O 到直线AB 距离1d ，M 到直线AB 距离2d ，则2111||||22AB d AB d ⨯⨯=⨯⨯，即213d d =， 3(1,)2A ，1(1,0)F -，可得直线AB 方程为3(1)4y x =+，即3430x y -+=，所以135d =，295d =，由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点，设平行于AB的直线l 为340x y m -+=，与直线AB 的距离为95，95=，即6m =-或12，当6m =-时，直线l 为3460x y --=，即3(2)4y x =-， 联立223(2)4143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得(2)(72)0x x -+=，即20M N x y =⎧⎨=⎩或27127M Mx y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以(2,0)M 或2(7-，12)7-．当12m =时，直线l 为34120x y -+=，即3(4)4y x =+， 联立223(4)4143y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得221182404x x ++=，△9(3656)0=⨯-<，所以无解， 综上所述，M 点坐标为(2,0)或2(7-，12)7-．【点睛】本题考查椭圆的定义，向量的数量积，直线与椭圆相交问题，解题过程中注意转化思想的应用，属于中档题．21．已知数列{}n a （*n ∈N ）的首项11a =，前n 项和为n S ，设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k k n n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“~k λ”数列.（1）若等差数列{}n a 是“~1λ”数列，求λ的值； （2）若数列{}n a 是”数列，且0n a >，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“~3λ”数列，且0n a ≥？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）1λ=；（2）()()211342n n n a n -⎧=⎪=⎨⨯≥⎪⎩；（3）存在，01λ<<. 【解析】（1）根据新定义，即由11n n n S S a λ++-=，求λ，此式变形为1(1)0n a λ+-=，分析后可得．（2=11n n n a S S ++=-转化为{}n S 的递推关系，令n b =，得{}n b 的递推关系，求得n b ，从而可得n S ，n a ．（3）类似（2）的转化，令n c，则1 1)n n c c -=≥，即333(1)(1)( 1)n n n c c c λ-=-≥．（），分析此式中n c 的解的情况，注意到321(1)(1)n n n n c c c c -=-++，210n n c c ++>，在0λ≤或1λ=时，（）只有一解1n c =，对应{}n a 只有一个， 在1λ>时，同样得出{}n a 只有一个，在01λ<<时，（）有三个解，一个在(0,1)上，一个是1，一个在(1,)+∞上，即有两个不小于1的解，设在(1,)+∞上的解为t ，则1n n S S +=或31n n S t S +=，这样对数列{}n S ，由其中任一项n S 求其后一项1n S +时都有两种个解，这样所得数列{}n S 会有无数个，从而得{}n a 有无数个．由此可得结论． 【详解】（1）∵等差数列{}n a 是“λ～1”数列，则11n n n S S a λ++-=，即11n n a a λ++=， 也即1(1)0n a λ+-=，此式对一切正整数n 均成立，若1λ≠，则10n a +=恒成立，∴320a a -=，而211a a -=-，这与{}n a 是等差数列矛盾，∴1λ=．（此时，任意首项为1的等差数列都是“1～1”数列） （2）∵数列*{}()n a n ∈N 是”数列，∵0n a >，∴10n n S S +>>1=，n b =，则1n b -=221(1)(1)(1)3n n n b b b -=->， 解得：2n b =2=，也即14n nS S +=，∴数列{}n S 是公比为4的等比数列， ∵111S a ==，∴14n n S -=．2n ≥时，12214434n n n n n n a S S ----=-=-=⨯，∴21(1),34(2).n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩（3）设各项非负的数列*{}()n a n ∈N 为“~3λ”数列， 则11133311n n n S S a λ++-== ∵0n a ≥，而11a =，∴10n n S S +≥>1=n c，则1 1)n n c c -=≥，即333(1)(1)( 1)n n n c c c λ-=-≥．（） ①若0λ≤或=1λ，则（）只有一解为=1n c ，即符合条件的数列{}n a 只有一个；（此数列为1，0，0，0，…）②若1λ>，则（）化为3232(1)(1)01n nnc c c λλ+-++=-， ∵1n c ≥，∴3232101n nc c λλ+++>-，则（）只有一解为=1n c ， 即符合条件的数列{}n a 只有一个；（此数列为1，0，0，0，…）③若01λ<<，则3232101nnc c λλ+++=-的两根分别在（0，1）与（1，+∞）内， 则方程（）有两个大于或等于1的解：其中一个为1，另一个大于1（记此解为t ）， ∴1n n S S +=或31n n S t S +=，由于数列{}n S 从任何一项求其后一项均有两种不同结果，第 1 页 共 6 页 ∴这样的数列{}n S 有无数多个，则对应的{}n a 有无数多个； 综上：能存在三个各项非负的数列{}n a 为“~3λ”数列，λ的取值范围是01λ<<．【点睛】本题考查数列新定义，解题是把新定义进行转化，本题就是转化为已知11111k k k n n n S S a λ++-=求n a ，这样只要利用n S 与n a 的关系进行转化．考查了学生分析问题、解决问题的能力，转化与化归能力，本题属于难题．。
上海交通大学附属中学2021-2022学年高一上学期开学摸底数学试题(原卷版)
4.如图， 内接于 ， ， ，BD为 的直径， ，则AB等于___________.
5.把有理数a代入 得到 ，称为第一次操作，再将 作为a的值代入得到 ，称为第二次操作，…，若 ，经过第2021次操作后得到的是___________.
其中正确结论的序号是________
12.已知a，b，c不全为无理数，则关于三个数 ， ， ，下列说法正确 是___________（把所有正确选项都填上）
①可能均为有理数
②可能均为无理数
③可能恰有一个为有理数
④可能恰有两个为有理数
二､选择题（本大题满分20分，共有4题，每题5分）
13.若二次根式 有意义，且关于x的分式方程 有正数解，则符合条件的整数m的和是（）
拓展延伸：
（3）小明解决上述问题后，联想到某课外书上的某题目：如图4，已知 的半径为 （圆心为原点O），以 为直角顶点的 的另两个顶点B，C都在 上，D为BC的中点，求AD长的最大值.请你利用上面的方法和结论，求出AD长的最大值.
21.已知集合A为非空数集，定义： ，
（1）若集合 ，直按写出集合S，T（无需写计算过程）
17.已知集合 ， .
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，求实数t 取值范围.
18.如图，点 ， 在反比例函数 的图象上，经过点A､B的直线与x轴相交于点C，与y轴相交于点D.
（1）若 ，求n 值；
（2）求 的值；
（3）连接OA､OB，若 ，求直线AB的函数关系式.
19.某同学在解答题目：“化简并求值 ，其中 ”时：解答过程是： ；
10.如图，已知圆O的面积为 ，AB为直径，弧AC的度数（劣弧AC所对圆心角的度数）为 ，弧BD的度数为 ，点P为直径AB上任一点，则 的最小值为___________.
2021-2021学年上海市交大附中高三数学开学考(20219)(1)
⎨⎩n⎨ 2 ⎨2x + 3y = 4 n 交大附中高三开学考一. 填空题1. 若集合 A = {x || x - 2 | < 3} ，集合 B = {x |x - 3x> 0} ，则 A B = 2017.92. 一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是以 a 为半径的圆，则该几何体的体积是3. 已知i 是虚数单位，则-2 的平方根是4. 函数 f (x ) = x 2+1 (x < 0) 的反函数是⎧2x +3y - 3 ≤ 05. 设 x 、y 满足约束条件 ⎪2x - 3y + 3 ≥ 0 ，则 z = 2x + y 的最小值是⎪ y + 3 ≥ 0 6. 如图，四个棱长为 1 的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱， P i (i = 1, 2, ,16) 是上、下底面上其余十六个点，则 AB ⋅ AP i (i = 1, 2, ,16) 的不同值的个数为7. 数列{a n }满足 a n = a n -1 - a n -2 (n ≥ 3) ， a 1 =5 ，其前 n 项和记为 S n ，若 S 8 = 9，那么 S 100 =8. 若 a 是(2 + x )n(n ∈ N *, n ≥ 2, x ∈ R ) 展开式中 x 2 项的系数，则 lim( 2 n →∞ a 2+ 23+ ⋅⋅⋅+ a 3 2 ) =a n 5π9. 设函数 f (x ) = 2 s in(ωx +ϕ) ， x ∈ R ，其中ω> 0 ， |ϕ| <π，若 f () = 2 ， 811πf ( ) 8= 0 ，且 f (x ) 的最小正周期大于 2π，则ϕ= ⎧| x | +2, 10. 已知函数 f (x ) = ⎪x + ,x < 1 x ≥ 1，设 a ∈ R ，若关于 x 的不等式 f (x ) ≥ | x + a | 在 R 上 2 ⎩⎪ x恒成立，则 a 的取值范围是11. 函数 f (x ) =1 (x > 0) 绕原点逆时针旋转，每旋转 15°得到一个新的曲线，旋转一周共x得到 24 条曲线（不包括未旋转时的曲线），请问从中任选其二，均不是函数图像的概率是12. 已知两正实数 a 、b ，满足a + b = 4 ，则 a + a 2+1 b b 2 +1的最大值为二. 选择题13. 关于 x 、 y 的二元一次方程组 ⎧x + 5y = 0⎩，其中行列式 D x 为（）2⎨y = a (1- cos t ) x 1 P (1, 0) A B 2 0 5 A.-4 31 0 0 5 B.C.D.2 44 30 5 -4 314. “要使函数 f (x ) ≥ 0 成立，只要 x 不在区间[a , b ]内就可以了”等价于（ ）A. 如果 f (x ) ≥ 0 ，则 x ∉[a ,b ] C. 如果 f (x ) < 0 ，则 x ∈[a ,b ]B. 如果 x ∈[a ,b ] ，则 f (x ) < 0 D. 如果 x ∉[a ,b ] ，则 f (x ) ≥ 015. 参数方程 ⎧ x = a (t - sin t ) （ a > 0 ， t 为参数）所表示的函数 y = f (x ) 是（ ） ⎩A. 图像关于原点对称B. 图像关于直线 x = π对称C. 周期为 2a π的周期函数D. 周期为 2π的周期函数a2 16. 已知椭圆C : x + y= 1 ，直线l : y = - ，点 ，直线l 交椭圆C 于 、 两4 3 点，则|PA |2 +|PB |2的值为（ ）321 A.49324 B.49327 C.49330 D.49三. 解答题17. 如图，在长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， AB = 2 ， AD = 1， A 1 A = 1. （1）证明直线 BC 1 平行于平面 D 1 AC ； （2）求直线 BC 1 到平面 D 1 AC 的距离.18. ∆ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 ∆ABC 的面积为（1）求sin B ⋅sin C ；（2）若6 cos B ⋅ cos C = 1， a = 3，求 ∆ABC 的周长.a 2. 3sin An n 19. （1）请根据对数函数 f (x ) = log a x (a > 1) 来指出函数 g (x ) = log x a (a > 1) 的基本性质（结论不要求证明），并画出图像；（2）拉普拉斯称赞对数是一项“使天文学家寿命倍增”的发明. 对数可以将大数之间的乘除运算简化为加减运算， 请证明： log a ( x ⋅ y ) = log a x + log a y (a > 0, a ≠ 1, x , y > 0) ； （3）2017 年 5 月 23 日至 27 日，围棋世界冠军柯洁与 DeepMind 公司开发的程序“AlphaGo ” 了M的近似值，甲认为是1073 ，乙认为是1093. 现有两种定义：N① 若实数 x 、 y 满足| x - m | > | y - m | ，则称 y 比 x 接近 m ；② 若实数 x 、 y 、m ，且 x = 10s， y = 10t， m = 10u，满足| s - u | > | t - u | ，则称 y 比x 接近 m ；请你任．选．取．其．中．一．种．定义来判断哪个同学的近似值更接近 M N，并说明理由20. 已知数列{a }和{b }的通项公式分别为 a = 3n + 6 ， b = 2n + 7 （ n ∈ N *），将集合nnnn{x | x = a , n ∈ N *} {x | x = b , n ∈ N *}中 的 元 素 从 小 到 大 依 次 排 列 ， 构 成 数 列 c , c , c , , c , ；将集合{x | x = a , n ∈ N *} {x | x = b , n ∈ N *} 中的元素从小到大依次123nnn排列，构成数列 d 1, d 2 , d 3 , , d n , . （1）求数列{d n }的通项公式 h (n ) ； （2）求数列{c n }的通项公式 f (n ) ；（3）设数列{c n }的前 n 项和为 S n ，求数列{S n }的通项公式 g (n ) .x 2 221. 如图，已知曲线C 1 : 2- y = 1，曲线C 2 :| y | = | x | +1，P 是平面上一点，若存在过点 P 的直线与C 1 、C 2 都有公共点，则称 P 为“ C 1 - C 2 型点”.（1）证明： C 1 的左焦点是“ C 1 - C 2 型点”；（2）设直线 y = kx 与C 2 有公共点，求证： | k | > 1，进而证明原点不是“ C 1 - C 2 型点”； （3）求证：{(x , y ) || x | + | y | <1} 内的点都不是“ C 1 - C 2 型点”.x 3 ⎫ ⎨ ⎩x2018 届交大附中高三第一学期数学摸底测试时间：120 分钟 满分：150 分 姓名：命题：季风、陈云鹤 审题：王敏杰一、填空题（前 6 题，每题 4 分；后 6 题，每题 5 分，共 54 分）1、若集合 A = {x x - 2 < 3}，集合 B = ⎧x -> 0 ，则 A ⋃ B = R .⎨⎬ ⎩⎭2、一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是以 a 为半径的圆，则该几何体的体积是4πa 3.33、已知i 是虚数单位，则-2的平方根是± 2i.4、函数 f (x ) = x 2+1(x < 0) 的反函数是⎧2x +3y - 3 ≤ 0 y = - x -1(x > 1).5、设 x 、y 满足约束条件 ⎪2x - 3y + 3 ≥ 0 ⎪ y + 3 ≥ 0 ，则 z = 2x + y 的最小值是-15 .6、如图，四个棱长为 1 的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱， P i (i = 1, 2, ,16) 是上、下底面上其余十六个点，则 AB ⋅ AP i (i = 1, 2, ,16) 的不同值的个数为2.7、数列{a n } 满足 a n =a n -1 - a n -2 (n ≥ 3) ， a 1 = 5 ，其前 n 项和记为 S n ，若 S 8 = 9 那么S 100 = 3.8 、 若 a n22 23 是 (2 + x )n(n ∈ N *, n ≥ 2, x ∈ R ) 2n展 开 式 中x 2 项 的 系 数 ， 则lim( n →∞ a 2+ + ⋅⋅⋅ + a 3 ) = 8 . a n 9、设函数 f (x ) = 2sin(ωx + ϕ) ， x ∈ R ，其中ω> 0 ，|ϕ|< π .若 f (5π) = 2 ， 8 f (11π) = 0 ，且 8πf (x ) 的最小正周期大于 2π ，则ϕ= .12⎨⎪⎨2x + 3y = 4 ⎨y = a (1- cos t )+= 2 ⎧| x | +2, x < 1, x10、已知函数 f (x ) = ⎪x + ⎩ 2 , x ≥ 1. x设 a ∈ R ，若关于 x 的不等式 f (x ) ≥| + a |在 R 上恒 2成立，则 a 的取值范围是 [-2, 2].11、函数 f (x ) = 1(x > 0) 绕原点逆时针旋转，每旋转 15 度得到一个新的曲线，旋转一周x共得到 24 条曲线（不包括未旋转时的曲线），请问从中任选其二，均不是函数图像的概率是15 .9212 、 已 知 两 正 实 数 a 、 b ， 满 足a +b = 4 ， 则 a + a 2+1 b b 2 +1的 最 大 值 为5+1 .4二、选择题（每题 5 分，共 20 分）13、关于 x 、 y 的二元一次方程组 ⎧x + 5 y = 0 ⎩，其中行列式 D x 为（ C ）0 5 1 0 0 50 5 （A ）-4 3（B ）（C ）（D ）2 44 3-4 314、“要使函数 f (x ) ≥ 0成立，只要 x 不在区间[a , b ]内就可以了”等价于（ D ）（A ）如果 f (x ) ≥ 0，则 x ∉[a , b ]（B ）如果 x ∈[a , b ]，则 f (x ) < 0（C ）如果 f (x ) < 0，则 x ∈[a , b ]（D ）如果 x ∉[a , b ]，则 f (x ) ≥ 015、参数方程 ⎧ x = a (t - sin t ) （ a > 0 ， t 为参数）所表示的函数 y = f (x ) 是（ C ）⎩ （A ）图像关于原点对称 （B ）图像关于直线 x =π对称 （C ）周期为 2a π的周期函数（D ）周期为 2π的周期函数a2 16、已知椭圆C :x y 1，直线l : y = x -1，点P (1, 0) ，直线l 交椭圆C 于 A 、B 两 43点，则|PA |2 +|PB |2的值为（ B ）（A ）32149（B ）324 49（C ）327 49（D ）330 49三、解答题（14+14+14+16+18，共 76 分）217（6+8）、如图，在长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， AB = 2，AD = 1，A 1A = 1，（1）证明直线 BC 1 平行于平面 D 1 AC ；（2）求直线 BC 1到平面 D 1 AC 的距离.解：因为 ABCD - A 1B 1C 1D 1 为长方体，故 AB // C 1D 1, AB = C 1D 1 ，故 ABC 1D 1 为平行四边形，故 BC 1 // AD 1 ， ----------4 分显然 B 不在平面 D 1 AC 上，于是直线 BC 1 平行于平面 D 1 AC ， --------2 分（2）直线 BC 1 到平面 D 1 AC 的距离即为点 B 到平面 D 1 AC 的距离设为 h考虑三棱锥 ABCD 1 的体积，以面 ABC 为底面，可得V = 1 ⨯ (1 ⨯1⨯ 2) ⨯1 = 13 2 3 ---------3 分而 ∆AD C 中， AC = D C =5, AD =，故S = 3 111∆AD 1C2 -----------------2 分所以，V = 1 ⨯ 3 ⨯ h = 1 ⇒ h = 2 ，即直线 BC 到平面 D AC 的距离为 2．---------3 分3 23 31 1318（6+8）、 ∆ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 ∆ABC 的面积为（1）求sin B ⋅sin C ；（2）若6 cos B ⋅ cos C = 1, a = 3，求 ∆ABC 的周长.a 23sin A1 a2 2 2解：（1）由题意可得 S ∆ABC = 2 bc sin A =3sin A，化简可得 2a = 3bc sin A ，---3 分 根据正弦定理化简可得： 2sin 2 A = 3sin B sinCsin 2A ⇒ sinB sinC = 2 .--------3 分3（2）由⎧sin B sin C = 2 ⎪ 3⇒ cos A = - cos(B + C ) = sin B s in C - cos B cos C = 1 ⇒ A = π--3 分⎨⎪cos B cos C = ⎩12 3 633 = = log xb 2 +c 2 - a 21 2由余弦定理cos A == ⇒ (b + c ) - 9 = 3bc ------------------2 分 2bc 2又bc =4R 2sin B sin c = (a sin A)2sin B sin c = 8 所以b + c = --------------------------------------2 分 故而三角形的周长为3+ 19（4+4+6）、.--------------------1 分 （1）请根据对数函数 f (x ) = log a x (a > 1) 来指出函数 g (x ) = log x a (a > 1) 的基本性质（结论不要求证明），并画出图像.（2）拉普拉斯称赞对数是一项“使天文学家寿命倍增”的发明．对数可以将大数之间的乘除运算简化为加减运算， 请证明： log a ( x ⋅ y ) = log a x + log a y (a > 0, a ≠ 1, x , y > 0) （3）2017 年 5 月 23 日至 27 日，围棋世界冠军柯洁与 DeepMind 公司开发的程序“AlphaGo ” 进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能.围棋复杂度的上限约为 M=3361，而根N的近似值，甲认为是 1073，乙认为是 1093.现有两种定义：(I): 若实数 x , y 满足 x - m >y - m ，则称 y 比 x 接近 m .(II): 若实数 x , y , m 且 x = 10s , y = 10t , m = 10u ，满足 s - u > t - u ，则称 y 比 x接近 m .M请你任．选．取．其．中．一．种．定义来判断哪个同学的近似值更接近 N，并说明理由.1（1） 解： g (x ) log x a ，a基本性质为： 定义域：(0,1) (1, +∞) ；值域：(-∞, 0) (0, +∞) ；单调减区间(0,1)和(1, +∞)（判断奇偶性、周期性不予给分）-------------2 分（ 渐近线画出和原点挖去， 需要都画好才能给满分） -------------------2 分333361 1080 33611080 a a a n n n n （2）证明： 设N = log x , M = log y ⇒ x = a N , y = a M ⇒ x ⋅ y = a N a M= a N + M ⇒ N + M = log (x ⋅ y )即log a (x ⋅ y ) = log a x + log a y ----------------------------------------------4 分证明完毕 （3）采用定义（I ）：M 3361= ⇒ lg M= 361⋅lg 3 - 80 ≈ 92.24 ⇒ 10 73 < M < 10 93N1080NN而-----------------------2 分lg(2 ⋅3361 ) = lg 2 + 361⋅ lg 3 ≈ 172.54 < 173 = lg10173 ⇒ 2 ⋅3361 < 10173 ⇒ 2 ⋅3361 < 10173 +10153-------2 分3361 ⇒ 2 ⋅ < 1093 +1073 ⇒ -1073 1080所以甲同学的近似值更接近 M< 1093- --------------------------1 分采用定义（II ）：N----------------------------1 分M3361 N = 1080 ⇒ lg M N= 361⋅lg 3 - 80 ≈ 92.24-------------------------------------2 分甲的估值 1073 ⇒ lg1073= 73 ，乙的估值 1093 ⇒ lg1093= 93 ----------------------------2 分因为 lg1073- lg> lg1093 - lg，------------------------------------------1 分所以乙同学的近似值更接近 MN -------------------------------------------------1 分20（4+6+6）、已知数列{a }和{b }的通项公式分别为 a = 3n + 6 ，b = 2n + 7（ n ∈ N *），nnnn将集合{x | x = a , n ∈ N *} {x | x = b , n ∈ N *} 中 的 元 素 从 小 到 大 依 次 排 列 ， 构 成 数 列c 1 , c 2 , c 3 , , c n , ．将集合{x | x = a , n ∈ N *} {x | x = b , n ∈ N *} 中的元素从小到大依次排列， 构成数列M NM N⎪ 2d 1 , d 2 , d 3 , , d n , ．（1）求数列{d n }的通项公式 h (n ) ；（2）求数列{c n }的通项公式 f (n ) ；（3）设数列{c n }的前 n 项和为 S n ，求数列{S n }的通项公式 g (n ) .解 ： （ 1 ） 设 a 2n -1 = 3(2n -1) + 6 = 6n + 3 = b k = 2k + 7， 则 k = 3n - 2 ， 即a 2n -1 =b 3n -2 -------------------2 分假设 a 2n = 6n + 6 = b k = 2k + 7 ，等式左侧为偶数，右侧为奇数，矛盾，a 2n ∉{b n }1 分所以， h (n )=a 2n -1 = 6n + 3 -----------------------------------------------1 分（2） a 2n -1 = b 3n -2 < b 3n -1 < a 2n < b 3n∴ c 4n -3 = a 2n -1 ,c 4n -2 = b 3n -1 ,c 4n -1 = a 2n ,c 4n = b 3n--------------------------------2 分⎧6k + 3 (n = 4k - 3)⎪6k + 5 (n = 4k - 2)∴ 数列{c }的通项公式 f (n ) = ⎪ , k ∈ N * .-------------------4 分n⎨ 6k + 6 (n = 4k -1)等价形式：⎩⎪ 6k + 7 (n = 4k )⎧3n +15(n = 2k -1)⎧3k + 6 (n = 2k -1) ⎪ 2⎪ ⎪3n +16 f (n ) = 6k + 5 (n = 4k - 2) , k ∈ N *， f (n ) =⎪ (n = 4k - 2) , k ∈ N * ⎨ ⎨ ⎪6k + 7 (n = 4k ) ⎪ ⎩ ⎪3n +14⎩⎪ 2 (n = 4k )（3）令e n = c 4n -3 +c 4n -2 +c 4n -1 +c 4n ，由（2）得知：{e n }是等差数列---------------1 分∴①当 n = 4k (k ∈ N ) 时， S n =S 4 k = e 1 + e 2 + ⋅⋅⋅ + e k = 12k + 33k =3n 2 + 33n4②当 n = 4k -1(k ∈ N ) 时， S n =S n +1 - c n +1 =3n 2 + 33n + 24③当 n = 4k -2(k ∈ N ) 时， S n =S n + 2 - c n + 2 - c n +1 =3n 2 + 33n + 24*2**3 3 ⎪ *⎨ ⎩⎩④当 n = 4k -3(k ∈ N )时， S n =S n +3 - c n +3 - c n + 2 - c n +1 =3n 2 + 33n4----------4 分⎧3n 2 + 33n *⎪ 4，n = 4k ，4k -3(k ∈ N )∴ g (n )= ⎨3n 2 + 33n + 2，n = 4k -1，4k -2(k ∈ N ) ⎪⎩ 4 等价形式：--------------------1 分⎧12k 2 + 33k ，n = 4k ⎪ 2g (n )= ⎪12k ⎪12k 2+ 27k - 7，n = 4k -1 , k ∈ N * + 21k -13，n = 4k -2 ⎪12k 2 +15k -18，n = 4k -3x 2 221（4+6+8）、如图，已知曲线C 1 : 2- y = 1，曲线C 2 :| y |=| x | +1，P 是平面上一点，若存在过点 P 的直线与C 1 , C 2 都有公共点，则称 P 为“C 1—C 2 型点”．(1) 证明： C 1 的左焦点是“C 1—C 2 型点”；(2)设直线 y = kx 与C 2 有公共点，求证： | k |> 1，进而证明原点不是“C 1—C 2 型点”；(3)求证：{(x , y ) x + y < 1}内的点都不是“C 1—C 2 型点”．解：（1）C 1 的左焦点为 F (- 3, 0) ，-----------------1 分过 F 的直线 x = - 与 C 1 交于(-3, ±) ，与 C 2 交于(-23, ±( +1))，故 C 1 的左焦点为“C 1-C 2 型点”，且直线可以为 x = - ；-------------------------3 分（2） 直线 y = kx 与 C 2 ⎧ 有交点，则 ⎨ y = kx⇒ (| k | -1) | x |= 1，⎩| y |=| x | +1若方程组有解，则必须| k |> 1；-------------------------3 分直线 y = kx 与 C⎧ 有交点，则y = kx ⇒ (1- 2k 2 ) x 2 = 2 ，1⎨x 2- 2 y 2 = 2若方程组有解，则必须 k 2< 12 ------------------------3 分2 3 *⎣ ⎦ 0 0 1 1 故直线 y = kx 至多与曲线 C 1 和 C 2 中的一条有交点，即原点不是“C 1-C 2 型点”．（3）以 x + y = 1为边界的正方形区域记为Ω ．1）若点 P 在Ω 的边界上，则该边所在直线与C 1 相切，与C 2 有公共部分，即Ω 边界上的点都是“ C 1 - C 2 型点”；-------------------------1 分2）设 P (x 0 , y 0 )是区域Ω 内的点，即 x 0 + y 0 < 1，假设 P (x 0 , y 0 )是“ C 1 - C 2 型点”，则存在过点 P 的直线l ： y - y 0 = k (x - x 0 )与C 1 、C 2 都有公共点．i ） 若直线 l 与 C 2 有公共点， 直线 l 的方程化为y = kx + y 0 - kx 0 ，假设 k ≤ 1，则kx + y 0 - kx 0 ≤ kx + y 0 + kx 0≤ x + y 0 + x 0< x + 1，可知直线l 在C 2 : y = x +1之间，与C 2 无公共点，这与“直线l 与C 2 有公共点”矛盾，所以得到：与C 2 有公共点的直线l 的斜率 k 满足 k > 1．-------------------------2 分⎧ y = kx + y 0 - kx 0⎪ii ）假设l 与C 1 也有公共点，则方程组 ⎨ x 2⎪⎩ 2y 2= 1 有实数解．从方程组得(1 - 2k2 )x 2 - 4k (y 0 - kx 0 )x - 2 ⎡(y 0 - kx 0 )2+ 1⎤ = 0 ， ∆ = 8(y 02 - 2kx 0 y 0 + k 2 x 02 + 1- 2k 2 )= 8 ⎣⎡( y 0 - kx 0 )2 + 1- k 2 - k 2⎤⎦ ． 由k > 1 ，x 0 + y 0 < 1因为 y - kx ≤ y + k ⋅ x < y + k ⋅ (1- y ) = k + y (1- k ) < k ⇒ (y - kx )2< k 2 0所以，∆ = 8 ⎡⎣( y - kx )2 - k 2 +1- k 2⎤⎦< 0 ，即直线l 与C 没有公共点，与“直线l 与C 有公共点”矛盾，于是可知 P 不是“ C 1 - C 2 型点”．------------------------5 分证明完毕另解： ∆ = 8(y 02 - 2kx 0 y 0 + k 2 x 02 + 1- 2k 2)-x 0 ⋅ (1 - x 0 )(1 - x 0)⋅ (1 + x 0)0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 令 f (k ) = (x 2- 1)k 2 - 2kx y + y 2 ， 因 为 x + y < 1，所以 x < 1，即 x 2 -1 < 0 ．于是 可 知f (k ) 的 图 像 是 开 口 向 下 的 抛 物 线 ， 且 对 称 轴 方 程 为 k =x 0 y 0 x 2-1， 因 为 << 1，所以 f (k )在区间(-∞, -1)上为增函数，在(1, +∞)上为减函数．因为 f (1) = x - y 2-1 ≤ ( x + y )2-1 < 0， f (-1) = x + y 2-1 ≤ ( x + y )2-1< 0 ，所以对任意 k > 1，都有 f (k ) < 0 ， ∆ = 8 ⎡⎣ f (k )+ 1- k 2 ⎤⎦ < 0 ，即直线l 与C 没有公共点，与“直线l 与C 1 有公共点”矛盾，于是可知 P 不是“ C 1 - C 2 型点”．---------------------5 分证明完毕。
交大附中高三期中考(202111)
上海交大附中2021-2021学年度第一学期高三数学期中试卷2014.11一. 填空题1. 已知等比数列{}n a 满足123a a +=，236a a +=，则7a = ；2. 不等式21x≤的解集是 ； 3. 设集合2{5,log (3)}A a =+，{,}B a b =，若{2}A B =，则A B = ；4. 已知函数34()log (2)f x x =+，则方程1()4f x -=的解为x = ；5. 方程sin 2sin 3x x =的解集是 ；6. 函数2ln(23)y x x =-++的单调递减区间是 ；7. 若函数()y f x =的图像与1y x x=+的图像关于1x =轴对称，则()f x = ； 8. 已知等差数列{}n a 中，110a =，当且仅当5n =时，前n 项和n S 取得最大值，则公差d 的取值范围是 ；9. 已知函数()sin cos f x a x b x =+2([2,])x a a ∈-是奇函数，则a b += ；10. 不等式23x ax a ->-对一切34x ≤≤恒成立，则符合要求的自然数a 有 个11. 在△ABC 中，锐角B 所对的边10b =，△ABC 的面积10ABC S ∆=，外接圆半径13R =， 则△ABC 的周长ABC C ∆= ；12. 若函数()|3|log 1a f x x x =--+无零点，则a 的取值范围为 ；13. 已知log log 2a b x y ==-，若2a b +=，则x y +的取值范围为 ；14. 已知函数()f x 满足：①对任意(0,)x ∈+∞，恒有(2)2()f x f x =成立；②当(1,2]x ∈时，()2f x x =-，若()(2015)f a f =，则满足条件的最小的正实数a 是 ；二. 选择题15.“函数()f x 在[,]a b 上为单调函数”是“函数()f x 在[,]a b 上有最大值和最小值”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件16. 若110a b<<，有下面四个不等式：①||||a b >；②a b <；③a b ab +<；④33a b >； 其中不正确的不等式有（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个17. 已知数列{}n a 满足116a =，12n n a a n +-=，则{}n a n的最小值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 518. 设函数141()log ()4x f x x =-，2141()log ()4x f x x =-的零点分别为1x 与2x ，则（ ）A. 1201x x <<B. 121x x =C. 1212x x <<D. 122x x ≥三. 解答题19. 关于x 的不等式01x a x ->+的解集为P ，不等式22log (1)1x -≤的解集为Q ，若Q P ⊆， 求实数a 的取值范围；20. 已知函数2()sin cos cos f x p x x x ωωω=⋅-(0,0)p ω>>的最大值为12，最小正周期 为2π； （1）求,p ω的值与()f x 的解析式；（2）若△ABC 的三条边为,,a b c 满足2a bc =，a 边所对的角为A ，求A 的取值范围及函数()f A 的值域；21. 市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快，已知每投放a (14)a ≤≤个单位 的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x (分钟)变化的函数关系式近似为()y a f x =⋅，其中161048()154102x x f x x x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤⎪⎩，若多次投放，则某 一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4(克/升)时，它才能起到有效去污的作用；（1）若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？（2）若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放a 个单位的洗衣液，要使接下来的4分钟里能够持续有效去污，试求a 的最小值(按四舍五入精确到0.1)22. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知24a =，530S =；（1）求n a 的表达式；（2）设n A 为数列1{}n n a a -的前n 项积，是否存在实数a，使得不等式n A a 对一 切*n N ∈都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由；（3）将数列{}n a 依次按1项，2项，3项，1项，2项，3项循环地分为1()a ，23(,)a a ，456(,,)a a a ，7()a ，89(,)a a ，101112(,,)a a a ，…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{}n b ，求2014b ；23. 已知函数|21|1()x a f x e -+=，||12()x a f x e -+=()x R ∈；（1）若2a =，求12()()()f x f x f x =+在[2,3]x ∈上的最小值；（2）若1221|()()|()()f x f x f x f x -=-对于任意的实数x R ∈恒成立，求a 的取值范围；（3）当16a ≤≤时，求函数1212()()|()()|()22f x f x f x f x g x +-=-在[1,6]x ∈上的最小值；。
上海市上海交通大学附属中学2021届高三上学期摸底考试数学试题
上海市上海交通大学附属中学2021年高三上学期摸底考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．设全集{}1,3,5,7U =，集合{}1,5M a =-，M U ⊆，{}5,7U M =，则实数a 的值是____________.2．若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z =______．3．已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点为(10,0)F ，两条渐近线的方程为43y x =±，则该双曲线的标准方程为 .4．行列式240135143----的第2行第3列元素的代数余子式的值为______. 5．若变量,x y 满足约束条件1211x y x y y +≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则3z x y =-的最小值为__________．6．五位同学排成一排，其中甲、乙必须在一起，而丙、丁不能在一起的排法有________种7．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若1918a a +=，47a =，则8S =______.8．设()291(21)x x ++=21101211(2)(2)(2)a a x a x a x +++++++，则01211a a a a ++++的值为__________．9．有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为_________10．函数()22x x af x a+=-为奇函数，则实数a 的值为______.11．关于x 的方程1x ax =+有且仅有一个负根，则实数a 的取值范围是______. 12．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM ＝2MF ，则直线OM 的斜率的最大值为________. 13．已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为__________．14．在平面直角坐标系中，当P(x ，y)不是原点时，定义P 的“伴随点”为2222(,)y xP x y x y-++'；当P 是原点时，定义P 的“伴随点“为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C '定义为曲线C 的“伴随曲线”.现有下列命题： ①若点A 的“伴随点”是点A '，则点A '的“伴随点”是点A ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”C '关于y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）.二、单选题15．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件16．若P 是平面α外一点，则下列命题正确的是（ ） A ．过P 只能作一条直线与平面α相交 B ．过P 可作无数条直线与平面α垂直 C ．过P 只能作一条直线与平面α平行 D ．过P 可作无数条直线与平面α平行17．已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列,把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移6π个单位,得到函数()g x 的图象.关于函数()g x ,下列说法正确的是（ ）A ．在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数B ．其图象关于直线4πx =-对称 C ．函数()g x 是奇函数 D ．当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,函数()g x 的值域是[2,1]-18．已知符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，()f x 是R 上的增函数，()()()()1g x f x f ax a =->，则（ ）A ．()sgn sgn g x x =⎡⎤⎣⎦B ．()sgn sgn g x x =-⎡⎤⎣⎦C ．()()sgn sgn g x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦D ．()()sgn sgn g x f x =-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦三、解答题19．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若c =ABC S ∆=ABC ∆的周长. 20．如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD ．E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°.（I ）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM∥平面PBE ，并说明理由； (II)若二面角P-CD-A 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值. 21．已知3a ≥，函数(){}2min 21,242F x x x ax a =--+-，其中{},min ,,p p qp q q p q≤⎧=⎨>⎩.（Ⅰ）求使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）求()F x 在区间[]0,6上的最大值()M a .22．各项均为正数的数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有()21n n n S b b =+．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）如果等比数列{}n a 共有2016项，其首项与公比均为2，在数列{}n a 的每相邻两项i a 与1i a +之间插入i 个()*1()ii b i N -∈后，得到一个新的数列{}n c ．求数列{}n c 中所有项的和；（3）是否存在实数λ，使得存在*n N ∈，使不等式()()1182011n n n n n b n b b b λ++⎛⎫++≤+≤+ ⎪⎝⎭成立，若存在，求实数λ的范围，若不存在，请说明理由．23．如图，已知曲线221:12x C y -=，曲线，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点，则称P 为“C 1—C 2型点”．(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；(2)设直线y kx =与2C 有公共点，求证1k >，进而证明原点不是“C 1—C 2型点”； (3)求证：圆2212x y +=内的点都不是“C 1—C 2型点”．参考答案1．8或2 【分析】由{}1,3,5,7U =，M U ⊆，{}5,7UM =，可得出集合M ，在根据{}1,5M a =-得出5a -的值，从而求出a .【详解】因为{}1,3,5,7U =，M U ⊆，{}5,7UM =，所以{}1,3M =，又{}1,5M a =-，所以53a -=，所以8a =或2. 故答案为：8或2. 【点睛】本题主要考查集合间的关系，属于基础题. 2．12i - 【解析】 【分析】设复数z a bi =+，(a 、b 是实数)，则z a bi =-，代入已知等式，再根据复数相等的含义可得a 、b 的值，从而得到复数z 的值． 【详解】解：设z a bi =+，(a 、b 是实数)，则z a bi =-，232z z i +=-，2232a bi a bi i ∴++-=-， 33a ∴=，2b =-，解得1a =，2b =-， 则12z i =- 故答案为12i -． 【点睛】本题着重考查了复数的四则运算和复数相等的含义，属于基础题．3．2213664x y -=【分析】 由410,3b c a == ,22100a b =+,解出,a b 的值，从而可得结果. 【详解】 由题意得,410,3b c a == ,22100a b =+,6,8a b ∴==故该双曲线的标准方程为2213664x y -=,故答案为2213664x y -=.【点睛】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题. 4．4 【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第2行第3列后所余下的2阶行列式为第2行第3列元素的代数余子式，求出值即可． 【详解】解：由题意得第2行第3列元素的代数余子式 ()()23232414241414M +-=-=--⨯--⨯=⎡⎤⎣⎦- 故答案为：4． 【点睛】本题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行矩阵的运算，属于基础题． 5．7- 【分析】先画出二元一次不等式所表示的可行域，目标函数为截距形，3y x z =-，直线的截距越大，z 值越小，可见最优解为(2,1)-，则3z x y =-的最小值为7-.【点睛】请在此输入点睛！ 【详解】请在此输入详解！ 6．24 【分析】根据题意，先使用捆绑法，将甲乙看成一个“元素”，再将丙、丁单独排列，进而将若甲、乙与第5个元素分类讨论，分析丙丁之间的不同情况，由乘法原理，计算可得答案． 【详解】根据题意，先将甲乙看成一个“元素”，有2种不同的排法， 将丙、丁单独排列，也有2种不同的排法，若甲、乙与第5个元素只有一个在丙丁之间，则有1224C ⨯=种情况，若甲、乙与第5个元素都在丙丁之间，有2种不同的排法， 则不同的排法共有22(24)24⨯⨯+=种情况. 故答案为：24． 【点睛】本题考查排列、组合的综合运用，涉及相邻与不能相邻的特殊要求，注意处理这几种情况的特殊方法．7．64 【分析】由等差数列的性质可得：195182a a a +==，解得5a ．可得188458()4()2a a S a a +==+． 【详解】解：由等差数列的性质可得：195182a a a +==，解得59a =． 又47a =， 则188458()4()4(97)642a a S a a +==+=⨯+=． 故答案为：64． 【点睛】本题考查等差数列的下标和性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 8．-2. 【详解】令21x +=，即令1x =-得()()9201211112112a a a a ⎡⎤⎡⎤++++=-+⋅⨯-+=-⎣⎦⎣⎦.9．136+ 【解析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥， 半球的直径为棱锥的底面对角线，由棱锥的底底面棱长为1，可得2R =故2R =故半球的体积为：32 )326π⋅=，棱锥的底面面积为：1，高为1，故棱锥的体积13V =，故组合体的体积为136+即答案为136+ 【点睛】本题考查由三视图还原几何体，并求其体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键． 10．1或-1 【分析】函数2()2x x a f x a+=-为奇函数，可得2222x x x x a aa a --++=---，化简即可得出结论．【详解】解：函数2()2x x af x a+=-为奇函数，()()f x f x ∴-=-即2222x x x x a aa a--++=---，∴122122x x x x a a a a++=---， ()2120x a ∴-⋅=即210a -=1a 或1-．故答案为：1或1-． 【点睛】本题考查了奇函数的性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 11．[)1,+∞ 【分析】构造函数||y x =，1y ax =+，在坐标系内作出函数图象，通过数形结合求出a 的范围． 【详解】解：令||y x =，1y ax =+，在坐标系内作出函数图象， 方程||1x ax =+有一个负根，但没有正根， 由图象可知1a 故答案为：1a【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查数形结合思想，计算能力，属于基础题． 12．2【分析】要求直线OM 的斜率的最大值，由直线的斜率公式可知应求点M 的横、纵坐标之间的关系。
2021-2022年上海交大附中第一学期高三第一次月考数学试题
上海交大附中第一学期高三第一次月考数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题4分，共56分。
1．集合2{|1,}M y y x x R ==-+∈，2{|lg(4)}N x y x ==-，则M N ⋂= 。
2．设{|110,}A x x x N =≤≤∈，2{|280,}B x x x x R =+-=∈，全集U R =，则右图中阴影表示的集合中的元素为 。
3. 有4个命题：①很多男生爱踢足球；②所有男生都不爱踢足球；③至少有一个男生不爱踢足球；④所有女生都爱踢足球。
其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定命题的是 。
4. 函数22()1x f x x =+，则111()()()(1)(2)(3)(4)432f f f f f f f ++++++= 。
5. 不等式2(2)90x x +-≤的解集为 。
6．若点(2,4)既在函数2ax b y +=的图象上，又在它的反函数的图象上，则函数的解析式是 。
7．设函数1()2ax f x x a+=+在区间(2,)-+∞上是增函数，那么a 的取值范围是 。
8. 若221 1()log 1 1x x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩ ，1()f x -是()f x 的反函数，则1()f x -= 。
9．若1x >-，(5)(2)()1x x f x x ++=+的最小值是 。
10. 已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足1(21)()3f x f -<的x 取值范围是 。
11．函数()lg(6),()a f x x a R x=+-∈的值域为R ，则实数a 的取值范围是 。
12. 建造一个容积为318m , 深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每2m 的造价分别为200元和150元，那么水池的最低造价为 元。
13．已知函数()||,()f x x x px q x R =++∈，给出下列四个命题：①()f x 为奇函数的充要条件是0q =；②)(x f 的图象关于点(0,)q 对称；③当0p =时，方程()0f x =的解集一定。