北师大七年级数学-- 完全平方公式
北师大版七年级数学下册1.6《完全平方公式》教案
（2）完全平方公式的性质与证明：学生需要了解完全平方公式的性质，如对称性、可逆性等，并学会运用这些性质解决实际问题。
举例：证明(a+b)²=(b+a)²，让学生通过具体例子，理解并掌握完全平方公式的性质。
其次，在新课讲授环节，我发现学生们对于完全平方公式的推导过程存在一定的难度。为此，我采用了图形演示和实际操作的方式，帮助他们更好地理解公式。从学生的反馈来看，这种方法是有效的。在以后的教学中，我将继续探索更多直观、易懂的教学方法，降低学生的理解难度。
此外，在实践活动和小组讨论环节，学生们积极参与，课堂氛围活跃。这表明学生们喜欢通过合作交流来解决问题。但同时，我也注意到有些学生在讨论过程中较为被动，可能是因为他们对知识点掌握不够熟练。针对这一问题，我将在接下来的教学中加强对这些学生的个别辅导，帮助他们提高自信心和参与度。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了完全平方公式的基本概念、推导过程、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对完全平方公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
解决方法：提供丰富的例题和练习，指导学生识别何时使用完全平方公式，并教授分解因式的方法。
（3）完全平方公式的性质证明：对于初中生来说，用代数方法证明完全平方公式的性质具有一定难度。
解决方法：采用分步指导，逐步引导学生完成证明过程，强调证明过程中的逻辑推理。
北师大数学七年级下册第一单元1
完全平方公式知识点1 完全平方公式222a b a ab b-=-+，()2()2a b a ab b+=++；222即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍.【典例】例1化简：（x﹣2）2+（x+3）（x+1）．【方法总结】本题主要考查了完全平方公式，多项式乘多项式，熟记相关公式和运算法则是解题的关键．例2已知a+b＝8，ab＝15，求下列式子的值：（1）a2+b2；（2）（a﹣b）2．【方法总结】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．例3下面是小颖化简整式的过程，仔细阅读后解答所提出的问题．解：x（x+2y）﹣（x+1）2+2x＝（x2+2xy）﹣（x2+2x+1）+2x第一步＝x2+2xy﹣x2+2x+1+2x第二步＝2xy+4x+1第三步（1）小颖的化简过程从第步开始出现错误，错误的原因是．（2）写出此题正确的化简过程．【方法总结】本题考查完全平方公式，整式的加减以及单项式乘多项式，解答本题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．例4已知（x﹣p）2＝x2+mx+36，则m＝．【方法总结】本题考查了完全平方公式的运用，能熟练地运用公式进行计算是解此题的关键．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．【随堂练习】1．已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝1，求x2+y2与xy的值．2．计算：（2x﹣3）2﹣（x﹣3）（2x+1）．3．已知x+y＝7，xy＝﹣8，求（1）x2+y2的值；（2）（x﹣y）2的值．知识点2 利用完全平方公式进行整式与数的运算利用完全平方公式进行整式与数的运算是完全平方公式的一种实际应用，主要考察对公式222a b a ab b()2-=-+的掌握情况.()2a b a ab b+=++；222【典例】例1计算：2002﹣400×199+1992．【方法总结】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．例2已知实数m，n满足m+n＝3，mn＝﹣3．（1）求（m﹣2）（n﹣2）的值；（2）求m﹣n的值．【方法总结】本题考查了完全平方公式：灵活运用完全平方公式是解决此类问题的关键．完全平方公式为：（a±b）2＝a2±2ab+b2．【随堂练习】1．若（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝11，则a2+b2＝．2．已知x﹣y＝3，x2+y2﹣3xy＝4．求下列各式的值：（1）xy；（2）x3y+xy3．知识点3 完全平方式完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A=B2，则称A是完全平方式．a2±2ab+b2=（a±b）2完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用-，后边的符号都用+）”【典例】1．要使x2+kx+4是完全平方式，那么k的值是（）A．k＝±4B．k＝4C．k＝﹣4D．k＝±2【方法总结】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．例2已知x2﹣2mx+9是完全平方式，则m的值为（）A．±3B．3C．±6D．6【方法总结】本题考查了完全平方公式，注意符合条件的答案有两个，以防漏解．【随堂练习】1．已知y2﹣6y+m是完全平方式，则m＝（）A．6B．﹣6C．9D．﹣9 2．若二次三项式x2﹣8x+m2是一个完全平方式，则m的值是（）A．±4B．4C．±8D．8 3．下列各式是完全平方式的是（）A．x2﹣x+14B．1+4x2C．a2+ab+b2D．x2+2x﹣1知识点4 完全平方公式的几何背景（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．（2）常见验证完全平方公式的几何图形（a+b）2=a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）【典例】例1 有一张边长为a的正方形桌面，因实际需要，需将正方形边长增加b，木工师傅设计了如图所示的方案，该方案能验证的等式是（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab+b2【方法总结】考查完全平方公式的几何背景，通过不同方法计算面积，通过面积之间的关系得出等式是常用的方法．例2如图，将一个边长为a+b的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，请用两种方法表示该图形的总面积（用含a、b的代数式表示出来）；（2）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝57，ab＝12，求a+b的值．【方法总结】本题考查对完全平方公式几何意义的理解，关键是从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，并能对整式结论变式应用．例3如图1在一个长为2a，宽为2b的长方形图中，沿着虚线用剪刀均分成4块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中阴影部分的正方形边长为．（2）请你用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，并用等式表示．（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝28，求图中阴影部分面积．【方法总结】本题考查完全平方公式的背景及其应用，将同一个图形的面积用两种方法表示是求解本题的关键．例4如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成相等的四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．（1）图②中阴影部分的正方形的边长等于；（2）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积：方法一：；方法二：；（3）根据（2），直接写出（m﹣n）2，（m+n）2，mn这三个代数式之间的等量关系．（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：对于任意的有理数x和y，若x+y＝9，xy＝18，求x﹣y的值．【方法总结】本题考查完全平方公式的几何背景，用不同方法表示同一个图形的面积是得出结论的关键．【随堂练习】1．如图所示的四边形均为矩形或正方形，下列等式能够正确表示该图形面积关系的是（ ）A ．（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2B ．（a +b ）2＝a 2+2ab ﹣b 2C ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab +b 2D ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab ﹣b 22．如图，将长方形ABCD 的各边向外作正方形，若四个正方形周长之和为24，面积之和为12，则长方形ABCD 的面积为（ ）A ．4B ．32C ．5D ．63．图（1）是一个长为2a ，宽为2b （a ＞b ）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形． （1）图2中间空白的部分的面积是 ；（2）观察图2，请你写出代数式（a +b ）2、（a ﹣b ）2、ab 之间的等量关系式 ；（3）根据你得到的关系式解答下列问题：若x +y ＝﹣4，xy ＝3，求x ﹣y 的值．4．请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图①中条件，请用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和；（2）在（1）的条件下，如图②，两个正方形边长分别为a，b，如果a+b＝ab＝9，求阴影部分的面积．综合运用1．若4x2﹣2kx+1是完全平方式，则常数k的值为（）A．2B．﹣2C．±2D．±42．已知关于x的多项式16x2+mx+1是一个完全平方式，则常数m的值是．3．计算：（2x﹣3y）（3x+2y）﹣（2x﹣3y）2．4．计算：（a﹣2b﹣1）2．5．已知a+b＝7，ab＝﹣2．求：（1）a2+b2的值；（2）（a﹣b）2的值．6．图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中的阴影部分的面积为；（2）观察图2，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是；（3）若x+y＝﹣6，xy＝2.75，求x﹣y；（4）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢？7.如图，正方形ABCD中，点G是边CD上一点（不与端点C，D重合），以CG为边在正方形ABCD外作正方形CEFG，且B、C、E三点在同一直线上，设正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b（a＞b）．（1）求图1和图2中阴影部分的面积S1、S2（用含a，b的代数式表示）；（2）如果a+b＝8，ab＝6，求S1的值；（3）当S1＝S2时，求a与b满足的数量关系．8．1）请写出三个代数式（a+b）2、（a﹣b）2和ab之间数量关系式．（2）应用上一题的关系式，计算：xy＝﹣3，x﹣y＝4，试求x+y的值．（3）如图：线段AB＝10，C点是AB上的一点，分别以AC、BC为边长在AB的异侧做正方形ACDE和正方形CBGF，连接AF；若两个正方形的面积S1+S2＝32，求阴影部分△ACF面积．。
2024北师大版数学七年级下册1.6.2《完全平方公式》教案2
2024北师大版数学七年级下册1.6.2《完全平方公式》教案2一. 教材分析《完全平方公式》是北师大版数学七年级下册第1章第6节的内容，本节课主要让学生掌握完全平方公式的概念和运用。
完全平方公式是初中数学中的一个重要概念，也是解决二次方程和二次不等式问题的关键。
通过对完全平方公式的学习，学生可以更好地理解和运用二次方程和二次不等式，为后续的学习打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了有理数的乘法、完全平方数等知识，对于二次方程和二次不等式有一定的了解。
但学生对于完全平方公式的理解和运用还不够熟练，需要通过本节课的学习来进一步掌握。
三. 教学目标1.让学生理解完全平方公式的概念，掌握完全平方公式的运用。
2.培养学生解决二次方程和二次不等式的能力。
3.培养学生合作学习、积极思考的能力。
四. 教学重难点1.完全平方公式的概念和运用。
2.解决二次方程和二次不等式。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究完全平方公式。
2.采用案例分析法，让学生通过具体案例理解完全平方公式的运用。
3.采用小组合作学习，培养学生合作学习的能力。
六. 教学准备1.PPT课件2.相关案例和练习题3.笔记本和文具七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT课件，展示一些生活中的完全平方现象，如正方形的面积公式等，引导学生对完全平方公式产生兴趣，激发学生的学习热情。
2.呈现（10分钟）通过PPT课件，呈现完全平方公式的定义和公式，让学生初步了解完全平方公式的概念。
3.操练（10分钟）让学生通过PPT上的练习题，运用完全平方公式进行计算，巩固对完全平方公式的理解和运用。
4.巩固（10分钟）让学生分组讨论，总结完全平方公式的运用方法和注意事项，加深对完全平方公式的理解和运用。
5.拓展（10分钟）通过PPT上的案例分析，让学生运用完全平方公式解决实际问题，提高学生解决二次方程和二次不等式的能力。
6.小结（5分钟）让学生对自己在本节课中学到的知识进行总结，提高学生的自我学习能力。
北师大版七年级下册 第4讲 乘法公式一完全平方公式--提高班
第4讲 乘法公式一完全平方公式----⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩完全平方公式利用公式进行数的运算乘法公式完全平方公式利用公式进行整式的运算完全平方公式几何背景知识点1 完全平方公式222()2a b a ab b +=++；222()2a b a ab b -=-+，即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍.【典例】1.x 2﹣4x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A. 2 B . ﹣2 C. 2和﹣2 D. 4【答案】C.【解析】解：∵x 2﹣4x+m 2=x 2﹣2×2×x +m 2， ∴m 2=22，解得m=2或﹣2． 故选：C【方法总结】满足222a ab b ++的式子是完全平方式，这个三项式中，有两个是数（或式子）的平方，另外一个是这两个数（或式子）的2倍（或2倍的相反数）．【随堂练习】1．（2018春•灌云县期末）已知（a+b ）2=17，（a ﹣b ）2=13，求a 2+b 2与ab 的值． 【解答】解：由（a+b ）2=17可得：a 2+2ab+b 2=17①， 由（a ﹣b ）2=13可得：a 2﹣2ab+b 2=13②， ①+②得：a 2+b 2=15，①﹣②得：ab=1．2．（2018春•高新区校级期中）已知a+b=5，ab=﹣14，求：①（a﹣b）2②a2+b2；【解答】解：①∵a+b=5，ab=﹣14，∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=52﹣4×（﹣14）=25+56=81；②∵a+b=5，ab=﹣14，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=52﹣2×（﹣14）=25+28=53．知识点2 利用完全平方公式进行数的运算利用完全平方公式进行数的运算是完全平方公式的一种实际应用，主要考察对公式222a b a ab b-=-+的掌握情况.()2()2a b a ab b+=++；222【典例】1.利用完全平方公式计算1012+992得（）A. 2002B. 2×1002C. 2×1002十1D. 2×1002+2【答案】D.【解析】解：1012+992=（100+1）2+（100﹣1）2=1002+200+1+1002﹣200+1=2×1002+2．故选：D【方法总结】此题主要考察完全平方公式的实际应用.222a b a ab b()2-=-+，()2+=++；222a b a ab b即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍.本题主要是利用完全平方公式进行一些复杂数的运算，它需要把复杂的数变成整百（或整十）和某个数（尽可能小一些）的和或差的形式，再利用公式进行运算.备注：变形的目的是使计算量尽可能小，基本在口算范畴内的才算基本符合.【随堂练习】1．（2017•福州模拟）已知（x﹣2015）2+（x﹣2017）2=100，则（x﹣2016）2= _____．【解答】解：设x﹣2016=a，则（a+1）2+（a﹣1）2=100，则2a2+2=100，解得：a2=49，故（x﹣2016）2=49．故答案为：49．2．（2017春•宝丰县月考）利用乘法公式计算：1012+992=_____．【解答】解：原式=（101+99）2﹣2×101×99=2002﹣2×（100+1）×（100﹣1）=40000﹣2×9999=40000﹣19998=20002，故答案为：200023．（2015秋•丛台区期末）计算：1022﹣2×102×104+1042的结果为____．【解答】解：原式=（102﹣104）2=（﹣2）2=4，故答案为：4知识点3 利用完全平方公式进行整式的运算利用完全平方公式进行整式的运算是完全平方公式的一种实际应用，主要考察对公式222()2-=-+的掌握情况.a b a ab b+=++；222()2a b a ab b【典例】1.已知a﹣=2，则a2+的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】D.【解析】解：把a﹣=2，两边平方得：（a﹣）2=a2+﹣2=4，则a2+=6．故选：D【方法总结】此题主要考察完全平方公式的运用.当题干中出现“a+”（或者a - ），问题中出现“a2+”时，一般将a+完全平方，这样就可以得到（a﹣）2= a2+- 2、（a+）2= a2++ 2，从而得到a2+的值. 另外，如果题干中出现诸如“a2+a+1=0”的话，对式子“a2+a+1=0”左右两边同除a（由式子易得a≠0），可得到a+1+=0，即a+=-1，从而进行下面的计算.2.（3x+4y﹣6）2展开式的常数项是多少？【解析】解：题干是对一个三项式进行平方，可以先对3x+4y﹣6做一个简单的分组，分为3x+4y和-6，这样式子就变成（3x+4y﹣6）2=[（3x+4y）﹣6]2，然后再按照完全平方公式进行计算，计算如下：（3x+4y﹣6）2=[（3x+4y）﹣6]2=（3x+4y）2﹣2（3x+4y）×6+62=9x2+24xy+16y2﹣36x﹣48y+36，常数项为36.【方法总结】完全平方公式一般是对两个数（或式子）的和（或差）进行平方，但是有时也可以对三项式（或者多项式）进行平方运算，例如(a+b+c) 2，可以根据实际情况对a，b，c进行简单的分组，例如a和b一组，c一组，则式子可变形为[（a+b）+c] 2,然后再利用完全平方公式，可得[（a+b）+c] 2=（a+b）2+c2+2（a+b）c，最后根据具体题意进行其他的计算.【随堂练习】1．（2017秋•河口区期末）若4x2+kxy+9y2是一个完全平方式，则k的值为___．【解答】解：∵4x2+kxy+9y2是一个完全平方式，∴k=±12，故答案为：±122．（2018春•玄武区期末）如果4x2﹣mxy+9y2是一个完全平方式，则m=___．【解答】解：∵4x2﹣mxy+9y2是一个完全平方式，∴﹣mxy=±2×2x×3y，∴m=±12．3．（2018春•成都期中）若多项式a2+2ka+1是一个完全平方式，则k的值是___．【解答】解：∵a2+2ka+1是一个完全平方式，∴2ka=±2a•1，解得：k=±1，故答案是：±1．知识点4 完全平方公式的应用【典例】1.设一个正方形的边长为a cm，若边长增加3cm，则新正方形的面积增加了（）A. 9 cm2B. 6a cm2C. （6a+9）cm2D. 无法确定【答案】C.【解析】解：根据题意得：（a+3）2﹣a2=a2+32+6a﹣a2=6a+9，即新正方形的面积增加了（6a+9）cm2，故选：C【方法总结】此题主要考察完全平方公式的实际用，利用完全平方公式来解决一些实际问题.增加的面积就是用变化后的正方形面积减去变化前正方形的面积，变化后面积是（a+3）2，变化前的面积是a2，两者相减，利用完全平方公式即可计算出结果. 对于面积类问题，我们首先得按照题意列出式子，然后再利用完全平方公式进行相应的计算即可.2.若2a2+4ab+2b2 =18，则（a+b）2﹣4的值为（）A. 15B. 5C. 12D. 10【答案】B.【解析】解：∵2a2+4ab+2b2 =18∴a2+2ab+b2=9∵（a+b）2= a2+2ab+b2∴原式=a2+2ab+b2﹣4，=9﹣4，=5．故选：B【方法总结】问题当中出现了完全平方，可以先利用完全平方公式展开，然后再根据题干中的条件，进行相应的变形.3.如图的图形面积由以下哪个公式表示（）A. a2﹣b2=a（a﹣b）+b（a﹣b）B. （a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C. （a+b）2=a2+2ab+b2D. a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）【答案】C.【解析】解：根据图形可得出：大正方形面积为：（a+b）2，大正方形面积等于4个小图形的面积和等于a2+b2+ab+ab，∴可以得到公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．故选：C【方法总结】这类题需要注意一点：不管用什么方法思路计算图形的面积，图形面积始终不变．2.如图①，把一个长为2m，宽为2n（m＞n）的矩形两次对折后展开，再用剪刀沿图中折痕剪开，把它分成四块完全相同的小矩形，最后按如图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A. 2mB. （m+n）2C. （m﹣n）2D. m2﹣n2【答案】C.【解析】解：由题意可得，正方形的边长为（m+n），故正方形的面积为（m+n）2，又∵原矩形的面积为4mn，∴中间空的部分的面积=（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2．故选：C【方法总结】此类题属于利用完全平方公式求图形的面积，这类题，先按照题意列出相应的关系式，然后再利用完全平方公式进行相应的计算即可.【随堂练习】1．（2018春•叶县期中）如图，它是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，然后按图（2）形状拼成一个正方形．（1）你认为图（2）中的阴影部分的正方形边长为_____（2）请用两种不同的方法表示图（2）阴影部分的面积；方法一：____ 方法二：______（3）观察图（2），写出三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系．（4）根据（3）题中的等量关系，解决下列问题：若a+b=7，ab=5，求（a﹣b）2的值．【解答】解：（1）图中阴影部分的面积为（m﹣n）2或（m+n）2﹣4mn，故答案为：（m﹣n）2或（m+n）2﹣4mn；（2）方法一：∵图2中阴影部分为正方形边长为：m﹣n∴图2中阴影部分的面积是：（m﹣n）2方法二：图2中阴影部分的面积=边长为（m+n）的正方形的面积﹣4个小长方形的面积和即：（m﹣n）2﹣4mn（3）关系为：（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；（4）∵（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；∴有（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab又∵a+b=7，ab=5∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=72﹣4×5=49﹣20=29．2．（2017春•杭州期中）如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中间的小正方形（即阴影部分）面积可表示为_____．（2）观察图2，请你写出三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系式：________．（3）根据（2）中的结论，若x+y=﹣6，xy=2.75，则x﹣y=_____．（4）有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图3所示，它表示了（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2．试画出一个几何图形，使它的面积能表示为（m+n）（m+2n）=m2+3mn+2n2．【解答】解：（1）图②中阴影部分的边长都等于小长方形的长减去小长方形的宽，即m﹣n，由图可知，阴影部分的四个角都是直角，故阴影部分是正方形，其边长为m﹣n，则其面积为（m﹣n）2，故答案为：（m﹣n）2；（2）大正方形的面积边长的平方，即（m+n）2，或小正方形面积加4个小长方形的面积，即4mn+（m﹣n）2，故可得：（m+n）2=（m﹣n）2+4mn，故答案为：（m+n）2=（m﹣n）2+4mn；（3）由（2）知（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=36﹣4×2.75=25，∴x﹣y=±5，故答案为：±5；（4）如图所示：综合运用1.若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于______【答案】7或﹣1【解析】解：∵x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，∴m﹣3=±4，解得：m=7或﹣1，2.已知（2008﹣a）2+（2007﹣a）2=1，则（2008﹣a）•（2007﹣a）= ．【答案】0【解析】解：∵（2008﹣a）2+（2007﹣a）2=1，∴（2008﹣a﹣2007+a）2=（2008﹣a）2﹣2（2008﹣a）（2007﹣a）+（2007﹣a）2即（2008﹣a﹣2007+a）2=1﹣2（2008﹣a）（2007﹣a），整理得﹣2（2008﹣a）（2007﹣a）=0，∴（2008﹣a）（2007﹣a）=0．3.如图，边长为（a+2）的正方形纸片剪出一个边长为a的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为2，则另一边长是________【答案】2a+2【解析】解：依题意得剩余部分面积为：（a+2）2﹣a2=a2+4a+4﹣a2=4a+4，∵拼成的矩形一边长为2，∴另一边长是（4a+4）÷2=2a+2．4.利用完全平方公式计算：（1）982（2）10032．【解析】解：（1）982=（100﹣2）2，=10000﹣400+4，=9604；（2）10032=（1000+3）2，=1000000+6000+9，=1006009．5.运用完全平方公式计算（1）（a+b+c）2；（2）（a+2b﹣1）2；【解析】解：（1）（a+b+c）2=（a+b）2+2c（a+b）+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2；（2）（a+2b﹣1）2=（a+2b）2﹣2（a+2b）+1=a2+4ab+4b2﹣2a﹣4b+1；6.已知，，求x2+的值．【解析】解：将x+=9两边平方得：（x+）2=81，整理得：x2++2=81，则x2+=79．。
北师大版七年级数学下册《完全平方公式》
做一做
一块完边长全为a平米的方正方公形实式验田，
要将其边长增加 b 米。形成四
块实验田，以种植不同的新品
种(如图1—6).
b
用不同的形式表示实验
田的总面积, 并进行比较.
探索: 你发现了什么?a
法一
直 接 求
总面积=(a+b) 2；
间
法二
接 求
总面积=a2+ ab+ ab+b2.
a
图1—6
公式: (a+b)2=a2+ 2 ab + b2.
(2) 某同学写出=了如下的算式:
(a−b)2=[a+(−b)]2 他是怎么想的?
利用两数和的 (a−b)2= [a+(−b)]2
平方 推证 = a 2 + 2a (−b)+ (−b)2
= a2 − 2ab + b2.
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a−b)2= a2 −2ab+b2
结构特征: 左边是 两数和 (差) 的平方; 右边是 两数的平方和 加上 (减去) 这两数乘积的两倍.
有一位老人非常喜欢孩子，每当有 孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果 招待他们。 来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖 ，来两个孩子，老人就给每个孩子两块 糖，来三个，就给每人三块糖，……
(1) 第一天有 a 个男孩一起去了老人家
，老人一共给了这些孩子多少块糖？
a2
合作探究：
有一位老人非常喜欢孩子，每当有 孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果 招待他们。 来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖 ，来两个孩子，老人就给每个孩子两块 糖，来三个，就给每人三块糖，……
北师大版七年级下册数学《第一章 整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解!
北师大版七年级下册数学《第一章整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解！1.完全平方公式：(a+b)2=a2+b2+2ab (a-b)2=a2+b2-2ab两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
2.派生公式：(a+b)2-2ab=a2+b2(a-b)2+2ab=a2+b2(a-b)2+(a+b)2=2(a2+b2) (a+b)2-(a-b)2=4ab考点解析完全平方公式是进行代数运算与变形的重要知识基础。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，叫做完全平方公式。
为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
理解公式左右边特征(一)学会推导公式(这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的)，真实体会随意“创造”的不正确性;(二)学会用文字概述公式的含义：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.都叫做完全平方公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式.(三)这两个公式的结构特征是：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍;2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这里说项时未包括其符号在内);3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等数学式.(四)两个公式的统一：因为所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。
这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。
《完全平方公式》
完全平方公式（第1课时）教学设计博爱县光智中学芦瑜珍一、教材分析本课时是北师大版数学七年级（下）第一章整式乘除的第 8节《完全平方公式》第1课时，是在学习了整式乘除及平方差公式后学习的。
通过本章的学习，学生已基本上完成了对整式的四则运算的学习和探究。
而整式的四则运算，在“数与式”学习中具有很重要的作用，是因式分解、分式的运算等知识的学习基础。
而完全平方公式作为整式运算中的一个重要公式，既是对整式乘法的继续和深化，也为后续的学习奠定基础。
因此，本节课具有很好的承上启下的作用。
二、教学任务分析本节课教学内容是初中数学《数与式》的部分内容，在新课标中对本部分内容的要求为“能推导乘法公式，了解公式的几何背景，并能运用公式进行简单计算。
建立符号意识，初步形成几何直观、发展推理能力，在数学活动中能清晰的表达自己的想法。
”根据新课标的要求，结合对教材的理解，确定以下的教学目标。
1、知识与技能：理解公式的本质，从不同的层次上理解完全平方公式，并会运用公式进行简单的计算，了解完全平方公式的几何背景。
2、过程与方法：经历探索完全平方公式的过程，并从推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展逻辑推理能力和有条理的表达能力，培养学生的数形结合意识。
3、情感与态度：在学习中使学生体会学习数学的乐趣，培养学习数学的信心，感受数学的内在美。
三、重点：理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点.难点：会运用公式进行简单的运算.四、教法学法分析教法：探究法、讨论法、讲授法、练习法．学法：自主探究法、合作交流法．五、教学过程设计本节课按照复习回顾、情境导入、新知探究、巩固训练、课堂小结五个环节展开教学。
第一环节复习回顾活动内容：复习已学过的平方差公式以及多项式乘多项式。
1、平方差公式如何用字母表示？如何用文字语言叙述？平方差公式：（a+b）（a-b）=a2 -b2 ;文字语言：两数和与这两数差的积,等于这两数的平方的差.公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积，右边是两数的平方差。
北师大七年级数学教案-完全平方公式
《完全平方公式》說課稿一、教材分析[說課內容]：我使用的教材是義務教育課程標準實驗教科書《數學》（北師大版）。
所說的課題是七年級下冊第一章《整式的運算》的第8節《完全平方公式》。
教材的地位和作用：完全平方公式是初中數學中的重要公式，在整個中學數學中有著廣泛的應用，重要的數學方法“配方法”的基礎也是依據完全平方公式的。
而且它在整式乘法，因式分解，分式運算及其它代數式的變形中都起著十分重要的作用。
本節內容共安排兩個課時，這次說課是其中第一個課時。
完全平方公式這一教學內容是學生在已經掌握單項式乘法、多項式乘法及平方差公式基礎上的拓展，教材從具體到抽象，由直觀圖形引導學生觀察、實驗、猜測、進而論證，最後建立數學模型，逐步培養學生的邏輯推理能力和建模思想。
[教學目標和要求]：由課標要求以及學生的情況我將三維目標定義為以下三點：知識與技能目標：瞭解公式的幾何背景，理解並掌握公式的結構特徵，能利用公式進行計算。
過程與方法目標：在學習的過程中使學生體會數、形結合的優勢，進一步發展符號感和推理能力，培養學生數學建模的思想。
情感與態度目標：體驗數學活動充滿著探索性和創造性，並在數學活動中獲得成功的體驗與喜悅，樹立自信心。
教學的重點與難點：根據對學生學習過程分析及課標要求我把重點定為：完全平方公式的結構特點及公式的直接運用。
而難點應為完全平方公式的應用以及對公式中字母a、b的廣泛含義的理解與正確應用。
在教學過程中多處留有空白點以供學生獨立研究思考。
二、教法與學法（1）多媒體輔助教學，將知識形象化、生動化，激發學生的興趣。
（2）教學中逐步設置疑問，引導學生動手、動腦、動口，積極參與知識全過程。
（3）由易到難安排例題、練習，符合七年級學生的認知結構特點。
（4）課堂中，對學生以激勵為主，表揚為輔，樹立其學習的自信心。
三、教學過程四、設計說明與評價我將本節課定位為探究式教學活動，通過對教材進行適當的整合，讓學生帶著原有的知識背景、生活體驗和理解走進學習活動，並通過自己的主動探索，與同學合作交流、反思等，構建對知識的形成和運用。
北师大版七年级初一上册 第一单元 1.6.1《完全平方公式》课件
A．2
B．1
C．－2
D．－1
知3－练
6 若a－b＝1，ab＝6，则a＋b等于( D )
A．5
B．－5
C．± 13
D．±5
7
已知a＋
1 a
＝4，则a2＋
1 a2
的值是(
C)
A．4
B．16
C．14
D．15
知3－练
8 【2016·白银】若x2＋4x－4＝0，则3(x－2)2
－6(x＋1)(x－1)的值为( B )
例4 计算：
知2－讲
(1) (x+3)2－x2 ； (2) (a+b+3)(a+b－3)；
(3) (x+5)2－(x－2) (x－3) .
解：(1) (x+3)2－x2= x2+6x+9－x2 =6x+9
(2) (a+b+3)(a+b－3)= [(a+b) +3] [(a+b)－3] = (a+b)2－32 =a2+2ab+b2－9；
知3－练
1 利用整式乘法公式计算： (1)962；(2)(a－b－3) (a－b＋3)．
解：(1)962＝(100－4)2 ＝1002－2×100×4＋42 ＝9 216.
(2)(a－b－3)(a－b＋3)＝(a－b)2－32 ＝a2－2ab＋b2－9.
知3－练
2 若(a＋b)2＝(a－b)2＋A，则A为( C )
把(a＋b)2，ab分别看成一个整体，则(a－b)2＝ (a＋b)2－4ab＝1，所以a－b＝1或a－b＝－1.本 题不能确定a，b的大小关系，所以a－b可以为 正，也可以为负．解题时容易错误地认为完全 平方公式中的a－b(或a＋b)必须大于0，而漏掉 a－b＝－1的情况．
北师大版七年级数学下《完全平方公式》
例题讲解
⑵ (a+b+3)(a-b-3)
解：原式=[a+(b+3)][a-(b+3)] = a2-(b+3)2 =a2-(b2+6b+9) =a2-b2-6b-9
跟踪练习一
计算下列各题. ⑴ （x-2)(x+2) - (x+3)2
⑵ (a+b+3)(a+b-3)
例题讲解
例2、已知x2+mx+9是完全平方式，求m 的值.
1.6 完全平方公式(2)
复习回顾
1、完全平方公式是什么？
复习回顾
两数和的平方ห้องสมุดไป่ตู้
（a+b）2＝ a2 +2ab+b2
两数和的平方，等于这两数的平 方和，加上这两数积的2倍.
复习回顾
两数差的平方
（a － b）2＝ a2 － 2ab + b2
两数差的平方，等于这两数的平 方和，减去这两数积的2倍.
完全平方公式的数学表达式：
（a ± b）2＝ a2 ± 2ab + b2 口诀
首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方 完全平方公式的文字叙述：
两个数的和（或差）的平方，等于它们 的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
复习回顾
2.填空.
⑴（ x + 3）2=（ x）2+2·x·3+（3 ）2 ⑵ （3x - 2y）2=（3x）2-2（3x）（2y）+（2y）2
2、已知 a ，求
a的2 值a12.
随堂测试
解答下列各题 (1)1022 ； (2) (x − 2y)2
(3) (2x+5y)2 ⑷ (n +1)2 − （n-2）2 ⑸已知x2+2kx+16是完全平方式，则k= .
北师大版七年级数学课件《完全平方公式(第1课时)》
+y2
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(-x +y)2 =x2 -2xy +y2 (2x +y)2 =4x2+4xy +y2
巩固练习
变式训练
利用完全平方公式计算：
(1)(5－a)2；
(2)(－3m－
4n)2；
(3)解(－：3(a1＋)(b5)－2.a)2＝25－10a＋a2；
=16x2+40xy+25y2；
（3）( mn-a)2=(mn)2-2·mn·a+a2=m2n2-2amn+a2．
巩固练习
变式训练
下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2 ×
(x +y)2 =x2+2xy +y2
(2)(x -y)2 =x2 -y2 ×
(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2×
变式训练
（1）已知x+y=10,xy=24,则x2+y2=_5_2___ （2）已_如_知_果__xx2+k1xx+8110是, 运x用2 完x全12 平则方98式得到的结果，
则k=__1_8_或__-18
如果x2+6x+m2是完全平方式，则m的值是___3_或_-3
（3）已知ab=2,(a+b)2=9,则(a-b)2的值为1 ______
（1） （p-1)2=(p-1)(p-1)=p2-2p+1
.
（2） （m-2)2=(m-2)(m-2)=m2-4m+4
七年级数学北师大版下册初一数学--第一单元 《完全平方公式》第一课时参考课件
结果不同： 即 (a b)2＝a2 2ab+b2;
平方差公式的结果 是两项， 即 (a+b)(a−b)＝a2−b2.
在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的 两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2； 首项、末项是乘积被平方时要注意添括号, 是运用 完全平方公式进行多项式乘法的关键.
语言表述:
两数和(差)的平方等于这两数的平方和加 上(减去)这两数乘积的两倍. (a−b)2 = a2 −ab −b(a−b) = a2−2ab+b2 .
例题解析
1 2
注意 使用完全平方公式与平方差公式的使用一样, 先把要计算的式子与完全平方公式对照, 明确个是 a , 哪个是 b.
解：(1) (2x−3)2 = (2x )2 − 2 • 2x • 3+ 32 = 4x2 − 12x + 9 ;
1.8 完全平方公式（一）
回顾 & 思考☞
平方差公式 (a+b)(a−b)= a2 − b2
公式的结构特征: 左边是 两个二项式的乘积, 即两数和与这两数差的积. 右边是 两数的平方差.
应用平方差公式的注意事项:
☾ 弄清在什么情况下才能使用平方差公式:
对于一般两个二项式的积, 看准有无相等的“项”和 符号相反的“项”; 仅当把两个二项式的积变 成公式标准形式后，才能使用平方差公式。
解题规律:
当所给的二项式的符号相同时，就用“和”的完全平方式； 当所给的二项式的符号不同时，就用“差”的完全平方式。
6.填空： 1) a2+ 2ab +b2=(a+b)2 2) a2+ (-2ab)+b2=(a - b)2 3) 4a2+ 4ab +b2=(2a+b)2 4) 4a2+ (-4ab) +b2=(2a - b)2 5) (2a )2+4ab+b2=( 2a +b)2 6) a2-8ab+16b2=( a-4b )2 7.如果 x2 +mx+4是完全平方式,那么 m的值是多少?
北师大七年级数学教案-完全平方公式
《完全平方公式（一）》說課稿一、說教材1、地位和作用“完全平方公式”是七年級《數學》下冊第一章第八節內容，它分為兩課時，本節是第一課時，它是“整式運算”這一章中重要的內容之一，它起到承上啟下的作用，既是整式相乘的應用，又為以後學習配方法打下扎實的基礎。
2、課程目標：（1）、知識目標：經歷探索推導完全平方公式的過程，形成數形結合思想，進一步發展符號感。
掌握完全平方公式的結構特點，並能利用公式熟練進行運算。
（2）、能力目標：培養學生發散性思維能力和推理能力，培養學生語言表達能力，動手實踐能力，以及合作交流能力。
（3）情感目標：讓學生在探索的過程中，體會科學發現探索方法，在合作交流中，體會團結合作精神。
能從多角度思考問題，敢於發表自己的觀點。
3、教學重點、難點：重點：完全平方公式的結構特點及公式的直接運用。
難點：對公式中a、b含義的理解與正確應用。
4、教材安排：本節課先從通過計算和比較試驗田的面積引出完全平方公式。
直接讓學生運用多項式乘法法則推導完全平方公式。
並通過數形結合思想，讓學生理解完全平方公式及其結構特點。
最後通過變式訓練進行練習和鞏固。
二、說教學方法及教學手段：本節課引導學生從已有的知識和生活經驗出發，提出開放性的問題讓學生進行合作探索，讓學生經歷知識的形成與應用，從而更好地理解數學知識的意義。
本節課教學中，對於不同的內容選擇了不同的方法。
對於求實驗田的總面積，進行開放性教學,引導學生利用拼圖等方法合作探究多種方法求解；運用多項式相乘推導公式，讓學生獨立探索；對於完全平方公式的運用，採用變式訓練，促進學生靈活掌握。
為了提高課堂教學效果，本節課將借助於多媒體課件輔助教學。
三、說學法教給學生良好的學習方法比直接教給學生知識更重要。
數學教學是師生之間、學生之間交往互動與共同發展的過程，學生的學是中心，會學是目的，因此在教學中要不斷指導學生學會學習，又要給學生自主探索和合作交流時間。
本節課先從實際出發，創設有助於學生發散性思考的問題情境，引導學生自己積極思考探索，讓學生經歷“觀察、類比、發現、歸納”的過程，從而培養學生動手實踐的能力，提高口頭表達能力及邏輯推理能力，使學生真正成為學習的主體。
北师大版七年级数学下册《1.6 完全平方公式》教案
北师大版七年级数学下册《1.6 完全平方公式》教案一. 教材分析《1.6 完全平方公式》是北师大版七年级数学下册的教学内容。
本节课主要介绍完全平方公式，即 (a±b)² = a²±2ab+b²。
完全平方公式是初中学段数学的重要知识点，也是后续学习二次函数、解一元二次方程等知识的基础。
通过学习完全平方公式，学生可以更好地理解平方运算，提高解决问题的能力。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了有理数的乘方、平方根等基础知识，具备一定的运算能力。
但部分学生对完全平方公式的理解和运用还不够熟练，容易混淆。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习需求，针对性地进行辅导，提高学生对完全平方公式的掌握程度。
三. 教学目标1.理解完全平方公式的含义和推导过程；2.能够运用完全平方公式进行计算和解决问题；3.培养学生的运算能力、逻辑思维能力和创新意识。
四. 教学重难点1.完全平方公式的推导过程；2.完全平方公式的运用和灵活运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究完全平方公式的推导过程；2.运用实例讲解法，让学生通过具体例子理解完全平方公式的应用；3.采用分组合作法，培养学生的团队协作能力和沟通能力；4.运用激励评价法，激发学生的学习兴趣和自信心。
六. 教学准备1.准备相关的基础知识课件，以便引导学生复习和回顾；2.准备完全平方公式的推导过程课件，以便讲解和展示；3.准备一些典型例题和练习题，以便进行课堂练习和巩固；4.准备分组合作的学习任务，以便学生进行团队协作。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件回顾有理数的乘方、平方根等基础知识，为学生学习完全平方公式做好铺垫。
2.呈现（10分钟）利用课件展示完全平方公式的推导过程，引导学生了解完全平方公式的来源和含义。
3.操练（10分钟）运用实例讲解法，让学生通过具体例子理解完全平方公式的应用。
然后，让学生进行课堂练习，运用完全平方公式计算相关问题。
北师大版数学七年级下册第一章6完全平方公式(共38张PPT)
图1-6-2
6 完全平方公式
答案
D
S1=
1 2
b(a+b)×2+
1 2
ab×2+(a-b)2=a2+2b2,
S2=(a+b)2-S1=(a+b)2-(a2+2b2)=2ab-b2,
1 16
=9
950
1 16
.
6 完全平方公式
栏目索引
1.如果ax2+2x+
1 2
=
2x
1 2
2
+m,则a,m的值分别是
(
)
A.2,0 B.4,0
C.2, 1
4
D.4, 1
4
答案 D ∵ax2+2x+ 1 =4x2+2x+ 1 +m,∴a=4,1 +m=1 ,∴m=1 .故选D.
2
4
42
4
6 完全平方公式
正解 原式=[-(2a+3b)]2=(2a+3b)2=(2a)2+2·2a·3b+(3b)2=4a2+12ab+9b2. 错解提示 只注意了中间的符号为“-”,就盲目套用公式是出错的根本 原因.
完全平方公式
272教育版■文/夏夕雅教材分析：本节课内容是北师大版七年级数学上册第一章第6节完全平方公式第二课时完全平方公式的应用。
本课是在学习了整式的加减乘除，平方差公式和初步认识了完全平方公式的基础上，进一步深入学习与训练。
对简化运算，公式推导变形，以及后期学习逆运算因式分解，求解二次方程以及二次函数等的学习有着非常重要的作用，因此，本节课在数学学习中有着非常重要的地位。
教学目标：预习目标：1.完全平方公式的基本特征（首平方，尾平方，二倍乘积放中央）；2. 两个公式中的字母都能表示什么？3. 理解 与a2+b2的关系；课堂目标：1.知识与技能：（1）通过举例，进一步巩固完全平方公式，体会符号运算对解决问题的作用；（2）会用完全平方公式进行乘法运算；（3）会综合运用平方差公式和完全平方公式进行整式的简便运算。
过程与方法：（1）在练习中培养学生的逻辑思维能力；（2）通过完全平方公式逆运算及公式特征的辨析，发展学生的数学运算能力；（3）通过游戏增加课堂的趣味性，让学生在思维导图中学会课上与课下学习内容做到兼容，体会归纳整理的能力。
情感态度价值观：经历在现实情境中进一步认识完全平方公式的过程，感受数学运算的多样性，注意学生的学习积极性、主动性参与课堂的调动，增强学生学习数学的信心。
教学重难点：重点：完全平方公式的学习与理解；难点：对公式的理解与灵活运用。
学习者特征分析：学生对完全平方公式有了基本的认知与了解，但是对变式训练并不能敏感的捕捉关键信息，如符号与2倍项的易错辨析，总是出现是似而非或差不多的心态，对公式的变化以及数形结合亟待加强。
教学过程：一、课前：1.完全平方公式的基本特征（首平方，尾平方，二倍乘积放中央）；2. 两个公式中的字母都能表示什么？3. 与a2+b2的关系。
课前预习本课视频+预习题目，软件后台实时监控督促，获取学生数据。
课前在家，在软件上进行预习（视频+基础过关题）二、课中：环节一： 1.预习汇报（学习大数据通告）（图略）；2.自主预习大数据答疑：针对本节课同学们容易出现的问题提前进行预设，在预习中带领同学们归纳出本课的易错点：1.符号错误；2.2倍项错误；3.完全平方公式与平方差综合运用（图略）；3.类型归纳：（错误集中展示，目的在于从预习提前出示本课重难点）（图略）再次强调本课的重难点及容易出现错误的部分进行归纳，让学生在错误中学会成长，学会感恩自己的错误，排除畏惧的心理，勇于挑战，增强信心。
北师大版数学七年级下册1.6 完全平方公式(第2课时)同步课件
北师大版 七年级下册
1.6 完全平方公式 （第2课时）
教学目标
1.能够运用完全平方公式进行简便运算。 2.会在多项式、单项式的混合运算中，正确运用完全平方公式。 3.掌握完全平方公式的几种变形，并且会应用变形公式解题。 4.感受整体思想、数形结合思想。
温故知新
1.完全平方公式： (a+b) 2=a2+2ab+b2 (a－b) 2=a2－2ab+b2
归纳总结
归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2 ② 符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2 ③ 指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4 ④ 系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2 ⑤ 换式变化，[xy+(z+m)][xy-(z+m)]=(xy)2-(z+m)2= x2y2-(z2+2zm+m2)=x2y2z2-2zm-m2 ⑥ 增项变化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2 =x2-2xy +y2-z2 ⑦ 连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4 ⑧ 逆用公式变化，(x-y+z)2-(x+y-z)2=[(x-y+z)+(x+y-z)][(x-y+z)-(x+y-z)]
解：1972 =(200-3)2 =2002-2×200×3+32 =40000-1200+9 =38809
通过上面的计算， 你发现了什么？
归纳总结
数学北师大七年级下册完全平方公式
1.6 完全平方公式 第1课时 完全平方公式 一、教学目标1．掌握完全平方公式的推导过程熟记两个完全平方公式，并掌握它们之间的异同；2．能熟练运用完全平方公式进行乘法运算，能进行一些简便运算及化简求值；3.了解完全平方公式的几何意义，能根据几何图形写出完全平方公式。
二、教学重点：熟练运用完全平方公式进行乘法运算及化简求值。
三、教学难点：运算的准确性及用图形的方式理解公式。
四、新授课程1、探索公式问题１.利用多项式乘多项式法则，计算下列各式，你又能发现什么规律？（1）()()()=++=+1112p p p __________________________.（2）()____________22=+m ＝_______________________.(3) ()()()=--=-1112p p p _____ _______________.(4) ()____________22=-m =_________________________.(5) ()____________2=+b a =_________________________ .(6) ()____________2=-b a =________________________. 问题２.上述六个算式有什么特点？结果又有什么特点？问题3．尝试用你在问题３中发现的规律，直接写出()2b a +和()2b a -的结果.即：2()a b +＝ 2()a b -＝问题4：问题3中得的等式中，等号左边是 ，等号的右边： ，把这个公式叫做（乘法的）完全平方公式问题5. 得到结论:(1)用文字叙述：（2）完全平方公式的结构特征：问题6：请思考如何用图１５.２－２和图１５.２－３中的面积说明完全平方公式吗？问题8. 找出完全平方公式与平方差公式结构上的差异2、例题分析例１：判断正误：对的画“√”，错的画“×”，并改正过来.(1)(a +b )2=a 2+b 2； （ ）(2)(a -b )2=a 2-b 2； （ ）(3)(a +b )2=(-a -b )2； （ ）(4)(a -b )2=(b -a )2. （ ）例2.利用完全平方公式计算(1) ()24n m + (2)221⎪⎭⎫ ⎝⎛-y (3) (x +6)2 (4) (-2x +3y )(2x -3y )例3.运用完全平方公式计算：(5) 2102 (6) 2993、达标训练（1）、运用完全平方公式计算：① (2x -3)2 ② (x +6y )2 ③（-x + 2y ）2④（-x - y ）2 ⑤ (-2x +5)2 ⑥(x -y )2（2）.先化简，再求值：()()()2112322,,22x y x y x y x y +-+-==-其中。
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一般地,我们有 (a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b) 2 = a2-2ab +b2.
即两数和(或差)的平方,等于它们的平方和, 加(或减)它们的积的2倍. 这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.
2 (a+b) =
2 a
2 +2ab+b
公式特点： (a-b)2= a2 - 2ab+b2
1、积为二次三项式； 2、积中两项为两数的平方和； 3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中 间的符号相同。 4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和 多项式。
2 2 ) =x -
2·x·2y +( 2y =x2 - 4xy+4y2
2 )
2.运用完全平方公式计算:
(1) (4m+n)2; (2) (y解: (1) (4m+n) 2= (4m)2 + 2•(4m)•n+n2 = 16m2+8mn +n2; 1 1 1 2 (2) (y - ) = y2 - 2•y• + ( 2 )2 2 2
2+2p+1 p = (p+1) (p+1) = ______
m2+4m+4 (2) (m+2) 2 = _________; (3) (n+3)2= _________; n2+6n+9 (4) (p-1)2
2-2p+1 p = (p-1 ) (p-1) = ________;
m2-4m+4 (5) (m-2)2 = __________.
首平方，尾平方， 积的2倍在中央
随堂演练
例1.运用完全平方公计算⑴(x+2y)2,⑵(x-2y)2
( a+
解: ⑴
2 2 b) =a +2
a b+
2 b2+ 2 x(x+2y) =2· x· 2y + (2y)2
=x2+4xy+4y2 2 2 2 (a - b ) =a - 2 a b + b
⑵(x - 2y
6.完全平方公式 第1课时 完全平方公式
北师大版 七年级下册
回顾旧知———平方差公式 2 2 ( a + b )( a – b )=a - b
(2x2+y)(-2x2+y)
那么(a+b)(a+b)和(a-b)(a-b)是否 也能用一个公式来表示呢？
探究：计算下列各式,你能发现什么规律?
(1)
(p+1)2
2-6n+9 (6) (n-3)2 = n __________.
猜想 (a+b)2= a2+2ab+b2 2 - 2ab+b2 2 a (a -b) =
你能证明你的猜想吗？动手算一算
(a+b)2= a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2
(a -b)2= a2-ab-ab+b2 =a2 -2ab+b2 你的猜想正确吗？ 下面就让我们一起来给这个公式起个名字！
1 2
)2.
1 = y2-y + 4
课堂小结
通过这节课的学习活动， 你有什么收获？
作业 Page 26
知识技能：1、计算（1-4）
青年最主要的任务是学习。 —— 朱德