五年级下册数学讲义-奥数思维训练：5余数问题(无答案)全国通用

5、余数问题

知识讲解

一、消去余数

1、出示例1：把蛋糕和面包平均分给敬老院老人。

蛋糕230块面包345个

蛋糕分到最后余2块，面包分到最后还多3个，这些蛋糕和面包最多可以分给多少位老人？

这是一道求除数的问题，设除数a。

已知：230÷a=（） (2)

345÷a=（） (3)

如果消去余数，就转化为整除问题。

230－2=228，345－3=342。228，342分别能被a整除，a最大是几呢？

（228，342）==114，最多可以分给114位老人。

如果这个敬老院的老人在50～60人之间，你能求出正确的人数和每位老人分到的蛋糕块数、面包个数吗？

2、写出除数和余数相同，被除数不同的出发算式。

（）÷5=4...2 （）÷8=（） (5)

（）÷5=7...2 （）÷8=（） (5)

（）÷5=12...2 （）÷8=（） (5)

（）÷12=（）...7 （）÷23=（） (12)

（）÷12=（）...7 （）÷23=（） (12)

（1）说说你的发现。

22÷5=4…2 22－2=5×4

37÷5=7…2 37－2=5×7

62÷5=12…2 62－2=5×12

219÷23=9…12 357－12=23×9

357÷23=15…12 357－12=23×15

被除数和余数的差是除数的倍数。

37－22=5×3 357－219=138

62－22=5×8 138÷23=6

62－37=5×5

如果两个等式除数和余数相同，被除数之间的差是除数的倍数。

（2）你能再举一些这样的例子吗？

A：被除数分别是43和75，余数都是3，除数是多少？

B：被除数分别是75、51和111，余数相同，除数是多少？

问题A：因为被除数与余数的差是除数的倍数，因此除数必定是（43－3）和（75－3）的公因数。（40，72）=8，其他的因数还有1，2，4。1，2比余数3小，不可能是除数，因此除数是4或8。

问题B：因为被除数之间的差是除数的倍数，因此除数必定是（75－51），（111－51）的公因数。（24，36，60）=12，其他公因数还有2，3，4，6。

75÷2=37…1，51÷2=25…1，111÷2=55…1。如果除数都是2，那么余数是1。

75÷3=25，51÷3=17，111÷3=37。如果都是3，那么余数是0。

75÷4=18…3，51÷4=12…3，111÷4=27…3，

75÷6=12…3，51÷6=8…3，111÷6=18…3。

如果除数都是4或6，那么余数是3。

3、巩固练习：

（1）、用一个数去除47，61，75，结果都余5。这个数是几？

（2）、用一个数去除193余4，除1087则余7。这个数是几？

（3）、69，90，125被一个数n除时，余数相同，试求n的最大值。

（4）59，97，135分别除以一个数所得余数都是2。这个数是几？

（5）59，97，135分别除以一个数所得余数相同，这个数是几？

（6）、服装批发站把453件羊毛衫，627件衬衫，725件体恤衫平均分发到零售店，结果羊毛衫余3件，衬衫缺3件，体恤衫余5件。零售店不到10个，究竟有多少个？

二、找被除数

1、例1：有一批苹果，如果6个装1袋余3个，如果8个装一袋也余3个。这批苹果有多少个？（不超过100个）

这批苹果至少的个数：[6，8]+3=27。

这批苹果还可能有的个数是：

27＋24×1=51（个） 27＋24×2=75（个）

27＋24×3=99（个）

2、巩固练习

（1）一批数大约300到400本，如果每包12本还剩11本，每包18本还缺1本，每包15本剩下14本。这批书有多少本？

（每包12本剩11本，每包15本剩14本，实际上是如果再多加1包就缺1本，与每包18本还缺1本的意思是一样的，因此，这批书的本数是300到400之间比12，15，18的公倍数少1的数。

（2）被除数和余数相同的除法算式，被除数、除数和余数之间有什么关系？

29÷6=4...5 53÷6=8 (5)

29÷8=3...5 53÷8=6 (5)

76÷6=12...4 99÷6=16 (3)

76÷8=9...4 99÷8=12 (3)

76－4=72 99－3=96

被除数和余数的差是除数的公倍数。

除数的公倍数加上余数是被除数。

（3）被除数相同的除法算式，除数分别是5，6，8，余数都是2，被除数最小是多少？被除数不超过800，还有哪些？