人教版高一数学必修5-第二章数列总结

人教版高一数学必修5第二章数列总结

1、数列的基本概念

(1)定义：按照一定的次序排列的一列数叫做数列．

(2)通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式．

(3)递推公式：如果已知数列{a n }的第一项(或前几项)，且任何一项a n 与它前一项a n －1(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 通项公式与递推公式，是给出一个数列的两种主要方法．

2、主要公式

(1)通项公式a n 与前n 项和公式S n 间的关系：

a n ＝⎩⎪⎨

⎪⎧

S 1 n ＝1S n －S n －1

n ≥2.

(2)等差数列

a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d . S n ＝12n (a 1＋a n )，S n ＝na 1＋1

2n (n －1)d . A ＝a ＋b

2(等差中项)． （3）等比数列

a n ＝a 1q n －1，a n ＝a m ·q n －

m . S n ＝⎩⎪⎨⎪

⎧

na 1 q ＝1a 1－a n q 1－q

＝a 11－q n

1－q q ≠1

.

G ＝±ab (等比中项)．

3．主要性质

(1)若m ＋n ＝p ＋q (m 、n 、p 、q ∈N *)， 在等差数列{a n }中有：a m ＋a n ＝a p ＋a q ； 在等比数列{a n }中有：a m ·a n ＝a p ·a q .

(2)等差(比)数列依次k 项之和仍然成等差(比)．

专题一 数列的通项公式的求法

1．观察法 根据下面数列的前几项，写出数列的一个通项公式． (1)1,1，57，715，9

31，…；

2．定义法

等差数列{a n }是递增数列，前n 项和为S n ，且 a 1，a 3，a 9成等比数列，S 5＝a 25.求数列{a n }的通项公式． 3．前n 项和法

(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋3n ＋1，求通项 a n ；

(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋2，求通项 a n . 4．累加法

已知{a n }中，a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝3n (n ∈N *)，求通项 a n . 5．累乘法

已知数列{a n }，a 1＝1

3，前n 项和S n 与a n 的关系是S n ＝n (2n －1)a n ，求通项a n . 6．辅助数列法

已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)．求数列{a n }的通项公式． 7．倒数法

已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n

a n ＋1

(n ∈N *)．求通项a n .

专题二 数列的前n 项和的求法 1．分组转化求和法

如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前n 项和可考虑拆项后利用公式求解． 求和：S n ＝112＋214＋318＋…＋(n ＋1

2n )．

2．裂项求和法

对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项，常见的拆项公式有：

(1)1n n ＋k ＝1k ·(1n －1

n ＋k )； (2)若{a n }为等差数列，公差为d ， 则1a n ·a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1)； (3)

1

n ＋1＋n

＝n ＋1－n 等．

3．错位相减法

若数列{a n }为等差数列，数列{b n }是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n }，当求该数列的前n 项的和时，常常采用将{a n b n }的各项乘以等比数列{b n }的公比q ，然后错位一项与{a n b n }的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．

已知数列{a n }中，a 1＝3，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝a n ·3n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 4．分段求和法

如果一个数列是由各自具有不同特点的两段构成，则可考虑利用分段求和． 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝1(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若数列{b n }满足b n ＝3＋log 4a n ，设T n ＝|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |，求T n .

附注：常用结论

1）1+2+3+...+n =

2）1+3+5+...+(2n-1) =

3）

三、等差、等比数列的对比

（1）判断数列的常用方法

看数列是不是等差数列有以下三种方法：

①

②2()

③(为常数).

看数列是不是等比数列有以下四种方法：

①

②(，)

③(为非零常数).

④正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等比数列.

等差数列等比数列

定义

公式

1．

2．

1．

2．

性质

1．，

称为与的等差中项

1．，

称为与的等比中项