华师大版九年级数学教学课件：22.3用一元二次方程解决简单的应用问题
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九年级数学上第22章一元二次方程22.3实践与探索3用一元二次方程解一般应用问题课华东师大
解：A 同学的说法不正确．理由如下：设这个多边 形的边数为 n，则12n(n－3)＝10，整理得 n2－3n－20 ＝0，解得 n＝3±2 89，∴符合方程 n2－3n－20＝0 的正整数 n 不存在，∴多边形的对角线不可能有 10
条，即 A 同学的说法不正确．
8．【中考·德州】为积极响应新旧动能转换，提高公司经 济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备， 每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售 价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元 时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位： 台)和销售单价x(单位：万元)成一次函数关系．
(1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
解：设年销售量 y 与销售单价 x 的函数关系式为 y＝kx＋ b(k≠0)，由题意得4405kk＋＋bb＝＝650500，，解得kb＝＝－1 01000，. ∴年销售 量 y 与销售单价 x 的函数关系式为 y＝－10x＋1 000.
(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元， 如果该公司想获得10 000万元的年利润，则该设备的 销售单价应是多少万元？
安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？ 解：设应邀请 x 支球队参加比赛， 根据题意，可列出方程x（x－ 2 1）＝28.解这个方程， 得 x1＝8，x2＝－7(舍去)． 答：应邀请 8 支球队参加比赛．
5．一个两位数，它的十位数字比个位数字小4，若把 这两个数字调换位置，所得的两位数与原两位数的 乘积等于765，求原两位数． 解：设原两位数的十位数字为x，则个位数字为x ＋4，根据题意得(10x＋x＋4)[10(x＋4)＋x]＝765， 整理得x2＋4x－5＝0，解得x1＝1，x2＝－5(舍去)， 则x＋4＝5，故原两位数为15.
条，即 A 同学的说法不正确．
8．【中考·德州】为积极响应新旧动能转换，提高公司经 济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备， 每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售 价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元 时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位： 台)和销售单价x(单位：万元)成一次函数关系．
(1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
解：设年销售量 y 与销售单价 x 的函数关系式为 y＝kx＋ b(k≠0)，由题意得4405kk＋＋bb＝＝650500，，解得kb＝＝－1 01000，. ∴年销售 量 y 与销售单价 x 的函数关系式为 y＝－10x＋1 000.
(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元， 如果该公司想获得10 000万元的年利润，则该设备的 销售单价应是多少万元？
安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？ 解：设应邀请 x 支球队参加比赛， 根据题意，可列出方程x（x－ 2 1）＝28.解这个方程， 得 x1＝8，x2＝－7(舍去)． 答：应邀请 8 支球队参加比赛．
5．一个两位数，它的十位数字比个位数字小4，若把 这两个数字调换位置，所得的两位数与原两位数的 乘积等于765，求原两位数． 解：设原两位数的十位数字为x，则个位数字为x ＋4，根据题意得(10x＋x＋4)[10(x＋4)＋x]＝765， 整理得x2＋4x－5＝0，解得x1＝1，x2＝－5(舍去)， 则x＋4＝5，故原两位数为15.
2019年秋九年级数学华师大版上册课件：22.3 实践与探索第1课时 用一元二次方程解简单问题
长率为x，则可列方程为( A )
A．80(1＋x)2＝100
B．100(1－x)2＝80
C．80(1＋2x)＝100 D．80(1＋x2)＝100
5．(2018·眉山)我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，
由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快
资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方
13．如图，要设计一幅宽20 cm，长30 cm的矩形图案，其中有两横两竖的 彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形 图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？
解：设每个横彩条的宽为 2x cm，则每个竖彩条的宽为 3x cm，根 据题意得(20－6x)(30－4x)＝(1－13)×20×30.整理得 6x2－65x＋50＝0， 解得 x1＝56，x2＝10(不合题意，舍去)．则 2x＝53，3x＝52.
答：每个横、竖彩条的宽度分别为街有店面房共100间，2015年平均每间店面房的年租金为1万 元，由于物价上涨，到2017年平均每间店面房的年租金上涨到了1.21万元， 据预测，当每间的年租金定为12100元时，可全部租出；若每间的年租金每 增加0.1万元，就要少租出10间，该商业街管委会要为租出的商铺每间每年 交各种费用0.1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用0.05万元．
3．(原创题)直角三角形的周长为 14，其斜边长为 6，则两条直角边 长分别为__4_＋___2____，__4_－___2____．
知识点2：用一元二次方程解增长(下降)率问题
4．(2018·广西)某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜
产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增
22.3 实践与探索 课件 2024-2025学年数学华东师大版九年级上册
长、面积、体积公式等列方程.
例如：如图，将一块正方形的铁皮四角各剪去一个边长
为4 cm的小正方形，做成一个无盖的盒子.已知盒子的
容积是400 cm3，求原铁皮的边长.若设原铁皮的边长为 x
cm，则可得方程为 （ x －8）2×4＝400 .
知识导航
3. 列一元二次方程解决平均增长率问题，可以运用公式
几个人？
解：（2）根据题意，得1＋ x ＋ x （1＋ x ）＝144，
整理，得 x2＋2 x －143＝0，
解得 x1＝11， x2＝－13（不合题意，舍去）.
答：在每轮传染中，平均一个人传染了11个人.
典例导思
（3）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后，一
共有多少人感染德尔塔病毒？
解：（3）144＋11×144＝1 728（人）.
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次.
典例导思
[知识总结]增长（降低）率的问题利用公式 a （1± x ）2
＝ b [其中 a 为初始数量， b 为增（或减）后的数量].
典例导思
4. 两年前生产某种药品的成本是65 400元，现在生产该
种药品的成本是55 300元.设该种药品成本的年平均下降
率为 x ，则可列方程为（ D ）
答：每件衬衫应降价20元.
典例导思
题型二 列一元二次方程解决其他问题
在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比
赛一场，共比赛36场.设有 x 个队参赛，根据题意，可列
方程为（ A ）
A. x （ x －1）＝36
C. x （ x －1）＝36
B. x （ x ＋1）＝36
D. x （ x ＋1）＝36
例如：如图，将一块正方形的铁皮四角各剪去一个边长
为4 cm的小正方形，做成一个无盖的盒子.已知盒子的
容积是400 cm3，求原铁皮的边长.若设原铁皮的边长为 x
cm，则可得方程为 （ x －8）2×4＝400 .
知识导航
3. 列一元二次方程解决平均增长率问题，可以运用公式
几个人？
解：（2）根据题意，得1＋ x ＋ x （1＋ x ）＝144，
整理，得 x2＋2 x －143＝0，
解得 x1＝11， x2＝－13（不合题意，舍去）.
答：在每轮传染中，平均一个人传染了11个人.
典例导思
（3）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后，一
共有多少人感染德尔塔病毒？
解：（3）144＋11×144＝1 728（人）.
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次.
典例导思
[知识总结]增长（降低）率的问题利用公式 a （1± x ）2
＝ b [其中 a 为初始数量， b 为增（或减）后的数量].
典例导思
4. 两年前生产某种药品的成本是65 400元，现在生产该
种药品的成本是55 300元.设该种药品成本的年平均下降
率为 x ，则可列方程为（ D ）
答：每件衬衫应降价20元.
典例导思
题型二 列一元二次方程解决其他问题
在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比
赛一场，共比赛36场.设有 x 个队参赛，根据题意，可列
方程为（ A ）
A. x （ x －1）＝36
C. x （ x －1）＝36
B. x （ x ＋1）＝36
D. x （ x ＋1）＝36
华师大版九年级数学上册《实践与探索》第1课时课件
到8 200元/m2，假设这两年某市房价的平均增长率为x，根据题意，所
列方程为( C ) A．7 600(1＋x%)2＝8 200
B．7 600(1－x%)2＝8 200
C．7 600(1＋x)2＝8 200
D．7 600(1－x)2＝8 200
9．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位
解：(1)设每年市政府投资的增长率为x，依题意得2＋2(1＋x)＋ 2(1＋x)2＝9.5，解得x＝50% (2)8＋8(1＋50%)＋8(1＋50%)2＝38万平方米，即到2016年底共 建设了38万平方米廉租房
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
(40－2x)(26－x)＝144，解得x＝2
4．(4分)县化肥厂第一季度生产a吨化肥，以后每季度比上一季度增
产x%，则第三季度生产化肥的吨数为( A．a(1＋x)2吨
B) B．a(1＋x%)2吨
C．(1＋x%)2吨
D．a＋a(x%)2吨
5．(4分)为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某 种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价 的百分率为x，则下面所列方程正确的是( A )
华东师大版九年级上册22.2一元二次方程的解法2.一元二次方程的解法二：配方法(共20张PPT)
t3 1 22
t1 2， t2 1
答：在1秒时，小球上升到10米；至最高点 后下落，在2秒时，其高度又为10米。
古题今解： 某古算书中有这样一首诗:“一群猴子分两队, 高高兴兴在游戏,八分之一再平方,蹦蹦跳跳树 林里;其余十二叽喳喳,伶俐活泼又调皮.告我总 数共多少”？ 解：设总共有 x 只猴子，
温故知新
3、用直接开平方法解一元二次方程适用于解 形如：x2=b(b≥0), (x+a)2=b(b≥0)的方程.
4、用因式分解法解满足a·b=0形式的一元二次 方程.这种方法的一般步骤：
(1)将方程化为一元二次方程的一般形式； (2)将方程的左边分解为两个一次因式的积； (3)令每一个一次因式分别为0，就得到两个
2
2
即 x 6 0或 x 6 0
2
2
x1
6 2
，x2
6 2
温故知新
分别用直接开平方法和因式分解法解方程：
(2)4(x-1)2=9
解法一： 变形，得 (x 1)2 9
4
直接开平方得
解法二：
变形，得 (x 1)2 ( 3)2 0
2
左边因式分解，得
(x 1 3)(x 1 3) 0
2
2
(1)x2 2x 5 (2)x2 4x 1 2
解：(1)方程两边同时加上1，得x2-2x+1=6 即 (x-1)2=6
直接开平方，得x-1= 6
x1 1 6， x2 1 6
(2)方程两边同时加上3，得x2+4x+4=5 即 (x+2)2=5
直接开平方，得x+2= 5
x1 2 5， x2 2 5
的解为 x1 b
b2 2a
t1 2， t2 1
答：在1秒时，小球上升到10米；至最高点 后下落，在2秒时，其高度又为10米。
古题今解： 某古算书中有这样一首诗:“一群猴子分两队, 高高兴兴在游戏,八分之一再平方,蹦蹦跳跳树 林里;其余十二叽喳喳,伶俐活泼又调皮.告我总 数共多少”？ 解：设总共有 x 只猴子，
温故知新
3、用直接开平方法解一元二次方程适用于解 形如：x2=b(b≥0), (x+a)2=b(b≥0)的方程.
4、用因式分解法解满足a·b=0形式的一元二次 方程.这种方法的一般步骤：
(1)将方程化为一元二次方程的一般形式； (2)将方程的左边分解为两个一次因式的积； (3)令每一个一次因式分别为0，就得到两个
2
2
即 x 6 0或 x 6 0
2
2
x1
6 2
，x2
6 2
温故知新
分别用直接开平方法和因式分解法解方程：
(2)4(x-1)2=9
解法一： 变形，得 (x 1)2 9
4
直接开平方得
解法二：
变形，得 (x 1)2 ( 3)2 0
2
左边因式分解，得
(x 1 3)(x 1 3) 0
2
2
(1)x2 2x 5 (2)x2 4x 1 2
解：(1)方程两边同时加上1，得x2-2x+1=6 即 (x-1)2=6
直接开平方，得x-1= 6
x1 1 6， x2 1 6
(2)方程两边同时加上3，得x2+4x+4=5 即 (x+2)2=5
直接开平方，得x+2= 5
x1 2 5， x2 2 5
的解为 x1 b
b2 2a
(新)华师大版数学九上《22.3实践与探索》课件1
得15=20 t -0.5×10 t2， 整理可得 5t2-20t+15=0.即 t2- 4t+3=0 解得 t1=1 , t2=3 两个解怎么解释呢？ 15米
检验:因为 t1=1， t2=3 符合题意.
答:经过1秒或3秒爆竹离地15米。
练习题3 某工厂1月份的产值是50000元，3月份的产值 达到60000元，这两个月的产值平均月增长的百分率 是多少？(精确到0.1%)
分售后解析价的：：为零设原 售若平得来 价一均56的 为次降(1降 (5价-1x6-)价百(x21=)百分-倍3x1)分率，的.5率为即，(1为x5-x，6)x(倍根1，-，x则据)即元一题；5次意6第(降，1二-价x)次后2元降的．价零
整理可得 x =±√31.5÷56+1. 检验解：得因即所x以为x12=：=降01x.价.2=7505的，.2百不5x=2符分=21合5率.%7题不5意可. 舍能去大于1，这 问 量与 题 关相同增 中 系？长 的 是率 数 否
解得 x1=0.25 , x2=-3.25 检验:因为 x2=-3.25不符合题意. 舍去.
所以：x1=0.25=25％ 答:这两年中获奖人次的平均年增长率为25％ 。
小结
谈谈你对本节所探讨的知 识有体会，你能否结合你的 体会编制一道应用题，在小组 内交流 。
作业
1.课本P40练习 。 2.课本P42-43习题1,2,4。
解:设这两个月平均月增长的百分率是x，根据题意， 得5000(1+x)2=6000，
整理可得 x2+15x-36=0.
解得
x1=
52 10
30
5 2 30
,x2= 10
检验:因为x2=
5
2
检验:因为 t1=1， t2=3 符合题意.
答:经过1秒或3秒爆竹离地15米。
练习题3 某工厂1月份的产值是50000元，3月份的产值 达到60000元，这两个月的产值平均月增长的百分率 是多少？(精确到0.1%)
分售后解析价的：：为零设原 售若平得来 价一均56的 为次降(1降 (5价-1x6-)价百(x21=)百分-倍3x1)分率，的.5率为即，(1为x5-x，6)x(倍根1，-，x则据)即元一题；5次意6第(降，1二-价x)次后2元降的．价零
整理可得 x =±√31.5÷56+1. 检验解：得因即所x以为x12=：=降01x.价.2=7505的，.2百不5x=2符分=21合5率.%7题不5意可. 舍能去大于1，这 问 量与 题 关相同增 中 系？长 的 是率 数 否
解得 x1=0.25 , x2=-3.25 检验:因为 x2=-3.25不符合题意. 舍去.
所以：x1=0.25=25％ 答:这两年中获奖人次的平均年增长率为25％ 。
小结
谈谈你对本节所探讨的知 识有体会，你能否结合你的 体会编制一道应用题，在小组 内交流 。
作业
1.课本P40练习 。 2.课本P42-43习题1,2,4。
解:设这两个月平均月增长的百分率是x，根据题意， 得5000(1+x)2=6000，
整理可得 x2+15x-36=0.
解得
x1=
52 10
30
5 2 30
,x2= 10
检验:因为x2=
5
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九年级数学上册22.3第1课时用一元二次方程解决简单的应用问题教学课件新版华东师大版
解得：x1=0.8m，x2=-2（不合题意,舍去）
∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m．
(2) 1.6 750 25 （天） 48
答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m；需要25 天才能挖完渠道．
8.某种药剂原售价为4元，经过两次降价， 现在每瓶售价为2.56元，问平均每次降价
如图，可将两条小道平移到边缘，从而将四小块种 植地合并成一个整体来解决.
解法二： 我们利用“图形经过移动，它的面 积大小不会改变”的道理，把纵、横两 条路移动一下，使列方程容易些（目的 是求出路面的宽，至于实际施工，仍可 按原图的位置修路）
解：设小道的宽为x m，根据题意得： （32-x）(20-x)=540 解得：x1=2;x2=50舍去 因为0＜x＜32，所以x2=50应舍去 即x=2
解:设苗圃的一边长为xm,则
x(18 x) 81
化简得，
x2 18x 81 0
2 ( x 9) 0
x1 x2 9
答:应围成一个边长为9米的正方形.
7．某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的 渠道，断面面积为1.6m2，•上口宽比渠深多2m，渠 底比渠深多0.4m． （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ （2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能
复习导入
列方程解应用题的一般步骤：
(1)
分析题意，设未知数
找出等量关系，列方程 解方程
(2)
(3) (4)
看方程的解是否符合题意
答数
(5)
探索新知
例 学校生物小组有一块长32m,宽20m的矩形 试验田,为了方便管理,准备沿平行于两边的 方向纵,横各开辟一条等宽的小道.要使种植 面积为540m2,小道的宽应是多少?
九年级上册数学华东师大版导学案 22.3 第1课时 利用一元二次方程解决几何问题
第22章一元二次方程22.3 实践与探索第1课时利用一元二次方程解决几何问题学习目标：1.学会用一元二次方程解决几何图形的实际问题（重点）;2.从实际结合问题中抽象出数学模型（难点）.自主学习一、新知预习【问题】如图，要为一幅长30cm、宽20cm的照片配一个镜框，要求镜框四边的宽度x相等，且镜框所占面积为照片面积的925，镜框的宽度应该多少厘米？解：设镜框的宽度为xcm，根据题意，得（___________）（____________）-30×20=30×20×9 25.整理，得_________________.解这个方程，得x1= ，x2= ．（不合题意，舍去）答：镜框的宽度为_______cm.合作探究一、探究过程探究点：列一元二次方程解几何图形问题【问题1】如图，用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的没有盖的长方体盒子．求截去的小正方形的边长.解：设截去的小正方形的边长x cm.则长和宽分别为（____________）cm、（____________）cm.根据题意，得_______________________.整理，得：__________________.解这个方程，得x1= ____ ，x2= ___ ．当x1＝______时,60-2x=-30＜0，_____题意，舍去.当x2＝______时, 60-2x=30，长为______cm，宽为______cm._____题意.答：截取的小正方形的边长是15 cm.【归纳总结】利用一元二次方程解决几何问题的一般步骤：①审清题意，依据几何图形的性质或数量关系找到等量关系；②设合适的未知数，并依据等量关系列出一元二次方程；③解方程；④检验解的合理性.【问题2】如图1，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽.思路提示：通过平移将小路平移到如图2所示的位置，再设未知数，列一元二次方程求解.【归纳总结】把分散的图形拼接成一个完整的、规则的图形是解决图形问题中的常用方法，也是较为简便有效的方法.【针对训练】1.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是（）A．x2+130x-1400=0B．x2+65x-350=0C．x2-130x-1400=0D．x2-65x-350=02.如图，有一矩形空地ABCD，一边靠墙，这堵墙的长为30m，另三边由一段总长度为35m 的铁丝网围成．已知矩形空地的面积是125m2，求矩形空地的长BC和宽AB．二、课堂小结一元二次方程的应用内容运用策略面积问题②等积变形；②把不规图形转换为规则图形，通常用到______进行转化.熟记常见几何图形的面积公式当堂检测1.一个矩形的周长为28cm，若它的面积为40cm2，则这个矩形的长为_______cm，宽为_______cm.2.如图，一块镶有宽度相等的花边的长方形十字绣，它的长为120cm，宽为80cm.若十字绣中央长方形的面积是6000cm2，则花边的宽为_____.3.如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为2:1.若使得彩条所占面积是图案面积的1975，则竖彩条的宽度为( )A .1cmB .2cm C.19cm D.1cm或19cm4.如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此铁皮的四个角各剪去一个边长为1m的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2m．现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购买这张矩形铁皮共花了多少元钱？参考答案自主学习一、新知预习30+2x 20+2x x2+25x-54=0 2 -27 2合作探究一、探究过程探究点：【问题1】80-2x 60-2x （80-2x）（60-2x）=1500 x2-70x+825=0 55不符合15 50 30 符合【问题2】解：设道路的宽是x米，由题意，得（32-x）（20-x）=540，解得x1=48（舍）x2=2．答：道路的宽是2米.【针对训练】二、课堂小结分割拼接当堂检测1.10 42.10 cm3.A4.解：设长方体箱子的宽为x m，则长为(x＋2)m，根据题意得x(x＋2)×1＝15，解之得x1＝－5，x2＝3.因为宽为正数，所以x＝3，即宽为3m，长为5m.则原来长方形铁皮的宽为5m，长为7m.费用为5×7×20＝700(元)．答：张大叔购买这张矩形铁皮共花了700元钱．。
九上数学(华东师大)课件-一元二次方程的简单应用
知识点二：增长(降低)率的问题
增长百分率：增长后的数＝基数×(1＋ 增长率 )2，“2”表示两次变化．降低
百分率：降低后的数＝基数×(1－ 下降率 )2，“2”表示两次变化．
3．(广西中考)某种植基地 2016 年蔬菜产量为 80 吨，预计 2018 年蔬菜产量
达到 100 吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为 x，
11．(沈阳中考)某公司今年 1 月份的生产成本是 400 万元，由于改进技术， 生产成本逐月下降，3 月份的生产成本是 361 万元．假设该公司 2、3、4 月 每个月生产成本的下降率都相同． (1)求每个月生产成本的下降率； (2)请你预测 4 月份该公司的生产成本． 解：(1)设每个月生产成本的下降率为 x，根据题意，得 400(1－x)2＝361， 解得 x1＝0.05＝5%，x2＝1.95(不合题意，舍去)．答：每个月生产成本的下 降率为 5%； (2)361×(1－5%)＝342.95(万元)．答：预测 4 月份该公司的生产成本为 342.95 万元．
会列方程解决几何图形问题．度相等 且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为 7644 平方米，则 道路的宽应为多少米？设道路的宽为 x 米，则可列方程为( C ) A．100×80－100x－80x＝7644 B．(100－x)(80－x)＋x2＝7644 C．(100－x)(80－x)＝7644 D．100x＋80x＝356
知量的值．
1．(衡阳中考)绿苑小区在规划时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为
900m2 的矩形绿地，并且长比宽多 10m.设绿地的宽为 xm，根据题意，可列
方程为( B )
A．x(x－10)＝900
B．x(x＋10)＝900
华师大版九年级上册22.3列一元二次方程解决实际问题(第1课时)课件
◆反馈演练
• 不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面 上的话，另一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二下午5时29分14秒17:29:1422.4.12
• 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月下午5时29分22.4.1217:29April 12, 2022 • 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022年4月12日星期二5时29分14秒17:29:1412 April 2022 • 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
◆反馈演练
◆要点导航
◆典例全解
▲题型一 §例题1 变式① 变式② 变式③
▲题型二 §例题2 变式④ 变式⑤
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• 不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面 上的话，另一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二下午5时29分14秒17:29:1422.4.12
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▲题型一 §例题1 变式① 变式② 变式③
华师大版九年级上册用一元二次方程解决简单的应用问题课件
这里要特别注意: 在列一元二次方程解应用题时， 由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根 是否符合实际问题的要求．
2．劲威牌衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件 150元降至96元，求平均每次降价的百分率是多少， 可列方程__1_5_0_(_1_－__x_)_2＝__9_6___．
3．为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号 令，我市某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长 方形空地，建成一个矩形花园．要求在花园中修两 条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种 植花草，如图所示，要使种植花草的面积为532m2， 那么小道进出口的宽度应为多少米？(注：所有小道 进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形)
方法一
解：设小道 的宽为xm，根据题意，得
x
32 ×20-32x-20x+x2 =540
x
解得：x₁= 50(舍去) x2 =2
20
答：小道的宽应是2m.
方法二
32
解：设小道的宽为xm，则
(20－x)(32－x)＝540，
∴x1＝2，x2＝－50(不合题意，舍去)． 答：小道的宽为2m.
试一试 如果假想把小道平移
自学互研
知识模块一 简单的几何图形问题 (一)自主探究
问题1 学校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形实验田， 为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条 等宽的小道。要使种植面积为540m2 ，小道的宽应是多少？
x
x
20
32
分析 问题中没有明确小道在实验田中的位置，试作出
图如下，不难发现小道的占地面积与位置无关.
解：设每次降价的百分率为x，根据题意，得 56(1－x)2＝31.5，
解这个方程，得 x1＝0.25，x2＝1.75.
2．劲威牌衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件 150元降至96元，求平均每次降价的百分率是多少， 可列方程__1_5_0_(_1_－__x_)_2＝__9_6___．
3．为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号 令，我市某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长 方形空地，建成一个矩形花园．要求在花园中修两 条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种 植花草，如图所示，要使种植花草的面积为532m2， 那么小道进出口的宽度应为多少米？(注：所有小道 进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形)
方法一
解：设小道 的宽为xm，根据题意，得
x
32 ×20-32x-20x+x2 =540
x
解得：x₁= 50(舍去) x2 =2
20
答：小道的宽应是2m.
方法二
32
解：设小道的宽为xm，则
(20－x)(32－x)＝540，
∴x1＝2，x2＝－50(不合题意，舍去)． 答：小道的宽为2m.
试一试 如果假想把小道平移
自学互研
知识模块一 简单的几何图形问题 (一)自主探究
问题1 学校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形实验田， 为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条 等宽的小道。要使种植面积为540m2 ，小道的宽应是多少？
x
x
20
32
分析 问题中没有明确小道在实验田中的位置，试作出
图如下，不难发现小道的占地面积与位置无关.
解：设每次降价的百分率为x，根据题意，得 56(1－x)2＝31.5，
解这个方程，得 x1＝0.25，x2＝1.75.
华师大版九年级数学教学课件：22.3用一元二次方程解决
0 x 20
x2 50不符合题意，经检验 x 2符合题意
答：所求道路的宽为2米.
试一试：
如果设想把小道平移到两边，如 20
图，小道所占的面积是否保持不 m
变？
不变
32m
问题1有了另一种解法，将四小块地合成一个整体来解决问题
解：设小道的宽为x米，根据题意得：
32 x20 x 540
解得：x1 2、x2 50
0 x 20
x2 50不符合题意，经检验 x 2符合题意
答：小道的宽应是2米。
归纳：列方程解应用题的一般步骤 第一步：分析题意 （弄清题意和题目中的已知数、
未知数，用字母表示题目中的一个未知数；）
第二步：抓住等量关系 第三步：列出方程 第四步：解这个方程，求出未知数的值；
针对练习
1.新兴电视机厂由于改进技术，
降低成本,电视机售价连续两次降
价10﹪,降价后每台售价为1000元,
问该厂的电视机每台原价应为
( )B
A 0.92×1000元
B 1000元
0.92
C 1000元 1.12
D 1.12×1000元
2.某种药剂原售价为4元, 经过两次降价, 现 在每瓶售价为2.56元,问平均每次降价百分 之几?
则二月份的利润是_____元. 500(1 10%) 三月份的利润是_____元. 500 (1 10%)2
2.某商店一月份的利润是a元，如果平均
x 每月利润的增长率为 . 则二月份的利润是_____元. a(1 x) 三月份的利润是_____元. a(1 x)2
某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降 为31.5元.已知两次降价的百分率相同，求每 次降价的百分率.
x2 50不符合题意，经检验 x 2符合题意
答：所求道路的宽为2米.
试一试：
如果设想把小道平移到两边，如 20
图，小道所占的面积是否保持不 m
变？
不变
32m
问题1有了另一种解法，将四小块地合成一个整体来解决问题
解：设小道的宽为x米，根据题意得：
32 x20 x 540
解得：x1 2、x2 50
0 x 20
x2 50不符合题意，经检验 x 2符合题意
答：小道的宽应是2米。
归纳：列方程解应用题的一般步骤 第一步：分析题意 （弄清题意和题目中的已知数、
未知数，用字母表示题目中的一个未知数；）
第二步：抓住等量关系 第三步：列出方程 第四步：解这个方程，求出未知数的值；
针对练习
1.新兴电视机厂由于改进技术，
降低成本,电视机售价连续两次降
价10﹪,降价后每台售价为1000元,
问该厂的电视机每台原价应为
( )B
A 0.92×1000元
B 1000元
0.92
C 1000元 1.12
D 1.12×1000元
2.某种药剂原售价为4元, 经过两次降价, 现 在每瓶售价为2.56元,问平均每次降价百分 之几?
则二月份的利润是_____元. 500(1 10%) 三月份的利润是_____元. 500 (1 10%)2
2.某商店一月份的利润是a元，如果平均
x 每月利润的增长率为 . 则二月份的利润是_____元. a(1 x) 三月份的利润是_____元. a(1 x)2
某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降 为31.5元.已知两次降价的百分率相同，求每 次降价的百分率.
22.3 第1课时 利用一元二次方程解决图形、数字问题 华师大版数学九年级上册课件
答：这个两个数为题时，与应用一元一次 方程一样，要注意分析题意，抓住等量关系，列出方程， 把实际问题转化为数学问题来解决。求得方程的根之后， 要注意检验是否符合题意，最后得到实际问题的解答。
小明把一张边长为10 cm 的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的 正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子，如下图。
x
整理，得x2－52x＋100=0.
解得 x1=2, x2=50(不合题意，舍去).
20
答：小道的宽为 2 m.
由此可知，小道平移后所占面积不变，列
32
x
出的方程符合题目要求，处理问题更方便。
典例精析
两个连续奇数的积为 63，求这两个数. 解：设两个奇数为 x 和 x + 2， x(x + 2) = 63 解得 x1 = -9，x2 = 7. x1 + 2 = -7，x2 + 2 = 9.
第22章 一元二次方程
22.3 实践与探索
第1课时 利用一元二次方程解决图形、数学问题
学习目标
1．能列出关于图形、数字问题的一元二次方程；（重点） 2．体会一元二次方程在实际生活中的应用；（重点、难点） 3．经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识．
观察与思考
问题1 解一元二次方程有哪些方法？ 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 问题2 解方程：
十位
个位
两位数
原两位数 5 - x 新两位数 x
x
10(5 - x) + x
5 - x 10x + 5 - x
解：由题意得 [10(5 - x) + x](10x + 5 - x) = 736， 整理得 x2 - 5x + 6 = 0， 解得 x1 = 2，x2 = 3. 答：这个两位数是 23 或 32.
小明把一张边长为10 cm 的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的 正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子，如下图。
x
整理，得x2－52x＋100=0.
解得 x1=2, x2=50(不合题意，舍去).
20
答：小道的宽为 2 m.
由此可知，小道平移后所占面积不变，列
32
x
出的方程符合题目要求，处理问题更方便。
典例精析
两个连续奇数的积为 63，求这两个数. 解：设两个奇数为 x 和 x + 2， x(x + 2) = 63 解得 x1 = -9，x2 = 7. x1 + 2 = -7，x2 + 2 = 9.
第22章 一元二次方程
22.3 实践与探索
第1课时 利用一元二次方程解决图形、数学问题
学习目标
1．能列出关于图形、数字问题的一元二次方程；（重点） 2．体会一元二次方程在实际生活中的应用；（重点、难点） 3．经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识．
观察与思考
问题1 解一元二次方程有哪些方法？ 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 问题2 解方程：
十位
个位
两位数
原两位数 5 - x 新两位数 x
x
10(5 - x) + x
5 - x 10x + 5 - x
解：由题意得 [10(5 - x) + x](10x + 5 - x) = 736， 整理得 x2 - 5x + 6 = 0， 解得 x1 = 2，x2 = 3. 答：这个两位数是 23 或 32.
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分析：若每次降价的百分率为x, 第一次降价后 每瓶零售价为 56(1 x ) 2 元 第二次降价后 每瓶零售价为 56(1 x) 元
解：设每次降价的百分 率为x, 则根据题意得
x1 0.25 、x2 1.75 56(1 x) 31.5 解这个方程得
2
因为降价的百分率不可 能大于1，所以x2 1.75 不符合题意，经检验 x 0.25 25%符合本题要求 答：每次降价的百分率 为25%。
三月份的利润是_____元.
500(1 10%)
2
2.某商店一月份的利润是a元，如果平均 每月利润的增长率为 x . 则二月份的利润是_____元. a(1 x)
三月份的利润是_____元.
a(1 x)
2
某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降 为31.5元.已知两次降价的百分率相同，求每 次降价的百分率.
2
x2 50不符合题意，经检验 x 2符合题意
答：所求道路的宽为2米.
试一试：
如果设想把小道平移到两边，如 图，小道所占的面积是否保持不 变？
20 m 32m
不变
问题1有了另一种解法，将四小块地合成一个整体来解决问题
解：设小道的宽为x米，根据题意得：
32 x 20 x 540
x
32
20
解: 如图，设道路的宽为x米， 20m 则横向的路面面积为 32x平方米 ， 20x 平方米 32m 纵向的路面面积为 。 2 32 20 32 x 20 x x 540 则有：x米 0 x 20
x 52x 100 0, x1 2, x2 50
第六步：答
针对练习
1.为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召， 我市某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形 空地，建成一个矩形花园.要求在花园中修两条纵向平 行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如 图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进 出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽 度相等，且每段小道均为平行四边形）
zxxk
解:设长方形框的边宽为xcm,依题意,得 30×20–(30–2x)(20–2x)=400 整理得 x2– 25x+100=0 得 x1=20, x2=5 当x=20时,20-2x= -20(舍去);当x=5时,20-2x=10
答:这个长方形框的框边宽为5cm
回忆:
1.某商店一月份的利润是500元，如果平 均每月利润的增长率为10﹪. 则二月份的利润是_____元. 500(1 10%)
解得：x1 2、x2 50
0 x 20
x2 50不符合题意，经检验 x 2符合题意
答：小道的宽应是 2米。
归纳：列方程解应用题的一般步骤 第一步：分析题意 （弄清题意和题目中的已知数、
未知数，用字母表示题目中的一个未知数；）
第二步：抓住等量关系
第三步：列出方程
第四步：解这个方程，求出未知数的值； 第五步：检验（检查求得的答数是否符合应用 题的实际意义）
解 设平均每次降价x%，由题意得 4(1-x%)2=2.56
3.某公司计划经过两年把某种商品的生产成本
降低19%，那么平均每年需降低百分之几?
解 设平均每年需降低x%，由题意得 (1-x%)2=1-19%
4.学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明 年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长 率.
解 设这两年的年平均增长率为x,由题意得 5(1+x)2=7.2 5.某公司一月份的营业额为100万元，第一
季度总营业额为331万元，求二、三月份
平均每月的增长率是多少？
解 设二、三两月的平均增长率为x,由题意得 100+100(1+x)+100(1+x)2=331
6.党的 十六大提出全面建设小康社会，加快社 会主义现代化 建设 ，力争国民生产总值到2020 年比2000年翻两翻，在本世纪的头20年（2001— 2020年）要实现这一目标，以十年为单位计算， 设每个十年的国民生产总值的增长率是Ⅹ 那么 Ⅹ满足的
针对练习
1.新兴电视机厂由于改进技术， 降低成本,电视机售价连续两次降 价10﹪,降价后每台售价为1000元, 问该厂的电视机每台原价应为( B ) 1000元
A 0.92×1000元 B
0.92
D 1.12×1000元
1000 元 C 1.12
2.某种药剂原售价为4元, 经过两次降价, 现 在每瓶售价为2.56元,问平均每次降价百分 之几?
A （ 1+x)2= 2 C 1+2x=2 B ( 1+x)2= 4 D (1+x)+2(1+x)2=4
总结: 1.两次增长后的量=原来的量(1+增长率)2 若原来为a,平均增长率是x,增长后的量为b 则 第1次增长后的量是a(1+x) =b 第2次增长后的量是a(1+x)2=b …… 第n次增长后的量是a(1+x)n=b 这就是重要的增长率公式.
22.3实践与探索
第1课时用一元二次方程 解决简单的应用问题
zxxk
创设情境 明确目标
一、复习 列方程解应用题的一般步骤？ 第一步：审 弄清题意和题目中的已知数、未知数，等量关系。 第二步：设 设合理的未知数
第三步：列 根据这些相等关系列出需要的代数式（简称关系式） 从而列出方程； 第四步：解 解这个方程，求出未知数的值； 第五步：答 在检查求得的答数是否符合应用题的实际意义后， 写出答案（及单位名称）。
问题1
学校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形实验田， 为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各 开辟一条等宽的小道要使种植面积为540m2 ，问道 2 路的宽为多少m ?
（1）题目中的已知量和未知量分别是什么? （2）题目中相等关系式什么? （3）设道路宽为x米，则横向小道的面积为 纵向小道的面积为 ，重叠部分面积为 x .由此可列方程： ，
设小路的宽为x米，根据题意得 （30-2x）（20-x）=532 解这个方程得：x1=1,x2=34 当x=34时，不合题意，舍去. 答：小路的宽为1米.
练习
X X
30cm
2.在长方形钢片上冲去一个 长方形，制成一个四周宽相等的 长方形框。已知长方形钢片的长 为30cm，宽为20cm,要使制成的 2 长方形框的面积为400cm ，求这 个长方形框的框边宽。
解：设每次降价的百分 率为x, 则根据题意得
x1 0.25 、x2 1.75 56(1 x) 31.5 解这个方程得
2
因为降价的百分率不可 能大于1，所以x2 1.75 不符合题意，经检验 x 0.25 25%符合本题要求 答：每次降价的百分率 为25%。
三月份的利润是_____元.
500(1 10%)
2
2.某商店一月份的利润是a元，如果平均 每月利润的增长率为 x . 则二月份的利润是_____元. a(1 x)
三月份的利润是_____元.
a(1 x)
2
某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降 为31.5元.已知两次降价的百分率相同，求每 次降价的百分率.
2
x2 50不符合题意，经检验 x 2符合题意
答：所求道路的宽为2米.
试一试：
如果设想把小道平移到两边，如 图，小道所占的面积是否保持不 变？
20 m 32m
不变
问题1有了另一种解法，将四小块地合成一个整体来解决问题
解：设小道的宽为x米，根据题意得：
32 x 20 x 540
x
32
20
解: 如图，设道路的宽为x米， 20m 则横向的路面面积为 32x平方米 ， 20x 平方米 32m 纵向的路面面积为 。 2 32 20 32 x 20 x x 540 则有：x米 0 x 20
x 52x 100 0, x1 2, x2 50
第六步：答
针对练习
1.为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召， 我市某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形 空地，建成一个矩形花园.要求在花园中修两条纵向平 行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如 图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进 出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽 度相等，且每段小道均为平行四边形）
zxxk
解:设长方形框的边宽为xcm,依题意,得 30×20–(30–2x)(20–2x)=400 整理得 x2– 25x+100=0 得 x1=20, x2=5 当x=20时,20-2x= -20(舍去);当x=5时,20-2x=10
答:这个长方形框的框边宽为5cm
回忆:
1.某商店一月份的利润是500元，如果平 均每月利润的增长率为10﹪. 则二月份的利润是_____元. 500(1 10%)
解得：x1 2、x2 50
0 x 20
x2 50不符合题意，经检验 x 2符合题意
答：小道的宽应是 2米。
归纳：列方程解应用题的一般步骤 第一步：分析题意 （弄清题意和题目中的已知数、
未知数，用字母表示题目中的一个未知数；）
第二步：抓住等量关系
第三步：列出方程
第四步：解这个方程，求出未知数的值； 第五步：检验（检查求得的答数是否符合应用 题的实际意义）
解 设平均每次降价x%，由题意得 4(1-x%)2=2.56
3.某公司计划经过两年把某种商品的生产成本
降低19%，那么平均每年需降低百分之几?
解 设平均每年需降低x%，由题意得 (1-x%)2=1-19%
4.学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明 年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长 率.
解 设这两年的年平均增长率为x,由题意得 5(1+x)2=7.2 5.某公司一月份的营业额为100万元，第一
季度总营业额为331万元，求二、三月份
平均每月的增长率是多少？
解 设二、三两月的平均增长率为x,由题意得 100+100(1+x)+100(1+x)2=331
6.党的 十六大提出全面建设小康社会，加快社 会主义现代化 建设 ，力争国民生产总值到2020 年比2000年翻两翻，在本世纪的头20年（2001— 2020年）要实现这一目标，以十年为单位计算， 设每个十年的国民生产总值的增长率是Ⅹ 那么 Ⅹ满足的
针对练习
1.新兴电视机厂由于改进技术， 降低成本,电视机售价连续两次降 价10﹪,降价后每台售价为1000元, 问该厂的电视机每台原价应为( B ) 1000元
A 0.92×1000元 B
0.92
D 1.12×1000元
1000 元 C 1.12
2.某种药剂原售价为4元, 经过两次降价, 现 在每瓶售价为2.56元,问平均每次降价百分 之几?
A （ 1+x)2= 2 C 1+2x=2 B ( 1+x)2= 4 D (1+x)+2(1+x)2=4
总结: 1.两次增长后的量=原来的量(1+增长率)2 若原来为a,平均增长率是x,增长后的量为b 则 第1次增长后的量是a(1+x) =b 第2次增长后的量是a(1+x)2=b …… 第n次增长后的量是a(1+x)n=b 这就是重要的增长率公式.
22.3实践与探索
第1课时用一元二次方程 解决简单的应用问题
zxxk
创设情境 明确目标
一、复习 列方程解应用题的一般步骤？ 第一步：审 弄清题意和题目中的已知数、未知数，等量关系。 第二步：设 设合理的未知数
第三步：列 根据这些相等关系列出需要的代数式（简称关系式） 从而列出方程； 第四步：解 解这个方程，求出未知数的值； 第五步：答 在检查求得的答数是否符合应用题的实际意义后， 写出答案（及单位名称）。
问题1
学校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形实验田， 为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各 开辟一条等宽的小道要使种植面积为540m2 ，问道 2 路的宽为多少m ?
（1）题目中的已知量和未知量分别是什么? （2）题目中相等关系式什么? （3）设道路宽为x米，则横向小道的面积为 纵向小道的面积为 ，重叠部分面积为 x .由此可列方程： ，
设小路的宽为x米，根据题意得 （30-2x）（20-x）=532 解这个方程得：x1=1,x2=34 当x=34时，不合题意，舍去. 答：小路的宽为1米.
练习
X X
30cm
2.在长方形钢片上冲去一个 长方形，制成一个四周宽相等的 长方形框。已知长方形钢片的长 为30cm，宽为20cm,要使制成的 2 长方形框的面积为400cm ，求这 个长方形框的框边宽。