2017-2018学年北京市东城区第二十七中学高三数学上期中考试(理)试题(附答案)
北京市东城区171中学2017届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版缺答案
北京市第一七一中学2017届高三第二次月考试题数学学科（理）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．复数i(i+1)等于（ ）．A ．1i +B ．1i --C ．1i -D ．1i -+2．下列函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞上是单调减函数的是（ ）．A ．12y x =B ．cos y x =C ．||2x y =-D ．ln |1|y x =+3．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若3a =，2b =，1cos()3A B +=，则c =（ ）．A ．4 BC ．3 D4．阅读如图所示的程序框图，如果输入的n 的值为6，那么运行相应程序，输出的n 的值为（ ）．A ．3B ．5C ．10D ．165．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“2cos a b C =”是“ABC △中等腰三角形”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．设函数212log ,0()log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．(1,0)(0,1)- B ．(,1)(0,1)-∞- C ．(,1)(1,)-∞-∞D ．(1,0)(1,)-+∞7．设函数sin cos y x x x =+的图象上的点00(,)x y 处的切线的斜率为k ，若0()k g x =，则函数0()k g x =的图象大致为（ ）．A．B．C．D．8．为了平衡膳食小王同学在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小王同学在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有（ ）．A ．50种B ．51种C ．140种D ．141种二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知集合2{|4}A x x =<，{0,1,2}B =，则A B =___________．10．从某校高三学生中随机抽取100名同学，将他们的考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图（如图）．则图中a =___________，由图中数据可估计此次成绩平均分为___________．频率(分)a11．新年联合会某游艺项目：随机地往半径为1的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于12，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于14，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于14且小于12，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为___________．12．如图，AB 与圆O 相切于点B ，过点A 作圆O 的割线交圆O 于C ，D 两点，BC AD ⊥，22AB AC ==，则圆O 的直径等于___________．OB AC D13．函数()sin()(,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示，其中A 、B 两点距离为5，则ωϕ+=___________．14．已知点(1,1)A -，(1,1)B ，点(,)P m n 是直线2y x =-上的点，设()APB f m =∠，则下列说法正确的有___________．（填上所有正确命题的序号）①存在实数t 使得函数()()F m f m t =-有4个零点．②存在实数t 使得函数()()F m f m t =-有2个零点．③当1m =时，APB ∠最大．④当0m =时，APB ∠最大．17．（本小题共14分）为庆祝里约奥运会我国乒乓球队包揽四金，学校组织甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止；设甲在每局中获取的概率1()2p p >，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59． （Ⅰ）求p 的值．（Ⅱ）投ξ表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．18．（本小题共13分）已知关于x 的函数()(0)e xax a f x a -=≠． （Ⅰ）当1a =-时，求函数()f x 的极值． （Ⅱ）若函数()()1F x f x =+没有零点，求实数a 取值范围．。
2017-2018北京东城东直门中学高三上期中【理】数学真题卷
北京市东直门中学2017-2018年度高三第一学期期中试题（数学 理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1．设集合{}|1P x x =>，{}2|0Q x x x =->，则下列结论正确的是（ ）．A ．P Q =B ．P Q =RC ．Q P ÜD ．P Q Ü【答案】D【解析】∵集合{}|1P x x =>，集合{}{2|0|0Q x x x x x =->=<或}1x >，∴P Q Ü．故选D ．2．复数z 满足i 3i z ⋅=-，则在复平面内，复数z 对应的点位于（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】∵i 3i z ⋅=-，∴223i (3i)i 3i i 13i 1i 1z ---====---， ∴其对应的点是(1,3)--，位于第三象限．故选C ．3．如果平面向量(2,0)a =，(1,1)b =，那么下列结论中正确的是（ ）．A ．||||a b =B ．22a b ⋅=C ．()a b b -⊥D ．a b ∥【答案】C【解析】由平面向量(2,0)a =，(1,1)b =知： 在A 中，||2a =，||2b =， ∴||||a b ≠，故A 错误； 在B 中，2a b ⋅=，故B 错误； 在C 中，(1,1)a b -=-， ∴()110a b b -⋅=-=， ∴()a b b -⊥，故C 正确； 在D 中，∵2011≠， ∴a 与b 不平行，故D 错误． 综上所述． 故选C ．4．设函数π()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，下面结论中正确的是（ ）．A ．函数()f x 满足π()2f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．图象C 关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向右平移π3个单位得到 D ．函数()f x 在区间ππ,122⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数【答案】B【解析】A 项．∵π()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴πππsin 2πsin 2()233f x x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 错误；B 项．∵πππsin 2sin 00663f ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()f x 的图象C 关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称，故B 正确；C 项．∵ππ()sin 2sin 236f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴()f x 的图象C 由函数()sin 2g x x =的图象向右平移π6个单位得到，故C 错误； D 项，当ππ,122x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，ππ2π2,323x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴函数()f x 在区间ππ,122⎛⎫- ⎪⎝⎭上先增后减，故D 错误．5．在ABC △中，π4A =，BC ，则“AC ”是“π3B =”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由正弦定理可得sin sin AC BCB A=， ∴若π3B =，则πsin sin 34AC =得π3πsin 4AC ==若ACπsin 4=，得πsin B ==π3B =或2π3，充分性不成立，∴“AC =”是“π3B =”的必要不充分条件． 故选B ．6．已知函数x y a =，b y x =，log c y x =的图象如图所示，则（ ）．A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C【解析】根据函数的图象知，函数x y a =是指数函数， 且当1x =时，(1,2)y a =∈；函数b y x =是幂函数，且2x =时，2(1,2)b y =∈， ∴(0,1)b ∈；函数log c y x =是对数函数，且当2x =时，log 2(0,1)c y =∈， ∴2c >．综上所述，a ，b ，c 的大小是c a b >>． 故选C ．7．已知函数,0,()0.x x f x x -<⎧⎪=≥若关于x 的方程()(1)f x a x =+有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(0,)+∞C ．(0,1)D ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】作出函数()y f x =的图象，如图所示，作出函数(1)y a x =+，则直线恒过点(1,0)-，关于x 的方程()(1)f x a x =+有三个不相等的实数根，即为直线与曲线y 相交时， 当()f x 的图象有三个交点，当直线与曲线y =相切时，设切点为(m ， 则12y '=则切线斜率为12a =，又(1)a m += 由此解得12a =（负值舍去）， 所以实数a 的取值范围是10,2⎛⎫⎪⎝⎭．故选D ．8．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，E ，F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线E ，F 的平面分别与棱BB '，DD '交于M ，N ，设BM x =，(0,1)x ∈，给出以下四个命题：①四边形MENF 为平行四边形；②若四边形MENF 面积()S f x =，(0,1)x ∈，则()f x 有最小值； ③若四棱锥A MENF -的体积()V p x =，(0,1)x ∈，则()p x 是常函数； ④若多面体ABCD MENF -的体积()V h x =，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()h x 为单调函数．其中假命题．．．为（ ）． A ．① B ．② C ．③ D ．④【答案】D【解析】对于①，∵平面ADD A ''∥平面BCC B ''， ∴EN MF ∥， 同理：FN EM ∥，∴四边形MENF 为平行四边形，故①正确；对于②，四边形MENF 的面积1()()2S f x EF MN ==⨯，当M 为BB '的中点时，即12x =时，MN 最短，此时面积最小，故②正确；对于③，连接AF ，AM ，AN ，则四棱锥分割为两个小棱锥，它们是以AEF 为底，以M ，N 为顶点的两个小棱锥， 因为AEF △的面积是个常数，M ，N 到平面AEF 的距离和是个常数， 所以四棱锥C MENF '-的体积()V P x =是常函数，故③正确；对于④，多面体ABCD MENF -的体积11()22ABCD A B C D V h x V ''''-===为常数函数，故④错误．综上所述，假命题为④．故选D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分9．已知命题:0p c ∃>，方程20x x c -+=有解，则p ⌝为__________． 【答案】0c ∀>，方程20x x c -+=无解【解析】在否定特称命题时，需将存在量词改为全称量词，同时否定结论， 故命题:0p c ∃>，方程20x x c -+=有解，则p ⌝为：0c ∀>，方程20x x c -+=无解．10．已知π02α-<<，且4cos 5α=，则πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于__________． 【答案】17【解析】∵π02α-<<，且4cos 5α=，∴3sin 5α==-，3tan 4α=-，∴π1tan 1tan 41tan 7ααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭．11．若||3a =，||2b =，且a 与b 的夹角为π3，则||a b -=__________．【解析】由题意可得π||||cos ,32cos 33a b a b a b ⋅=⋅=⨯⨯=， ∴222||29467a b a b a b -=+-⋅=+-=， ∴||7a b -=．12．ππ(sin )d x x x -+=⎰__________． 【答案】0【解析】π2π22ππ111(sin )d cos πcos ππcos(π)0222x x x x x --⎛⎫⎛⎫+=-=----= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰．13．如图，11AB C △，122C B C △，233C B C △是三个边长为2的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边33B C 上有2个不同的点1P ，2P ，则212()AB AP AP ⋅+=__________．【答案】36【解析】∵11AB C △，122C B C △，233C B C △是三个边长为2的等边三角形，且有一条边在同一直线上， ∴四边形121AC B B 为菱形， ∴21π6B AC ∠=，211AB B C ⊥， ∴213AB PC ⊥，23AB BC ⊥，∴21223313223π()(2)226cos 366AB AP AP AB AC C P C P AB AC ⋅+=⋅++=⋅=⨯⨯=．14．已知函数()f x 的定义域为R ，a ∀，b ∈R ，若此函数同时满足： ①当0a b +=时有()()0f a f b +=；②当0a b +>时有()()0f a f b +>，则称函数()f x 为Ω函数． 在下列函数中：①sin y x x =+；②133xxy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；③0,01,0x y x x=⎧⎪=⎨-≠⎪⎩ 是Ω函数的为__________（填出所有符合条件的函数序号）．【答案】①②【解析】若()f x 为Ω函数，则由0a b +=时有()()0f a f b +=可得()f x 为奇函数， 又0a b +>时，()()0f a f b +>，故a b >-时，()()f a f b >-， 即()()f a f b >-， 故()f x 为增函数，∴若函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且单调递增，则函数()f x 为Ω函数． 易知，①②③都是奇函数，当sin y x x =+时，1cos 0y x '=-≥； 当133xxy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，ln 3(33)0x x y -'=⋅+>；∴①②都在定义域R 上单调递增；③在定义域R 上没有单调性．故是Ω函数的为：①②．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()cos (sin )f x x x x =，x ∈R ． （1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间．（2）设0α>，若函数()()g x f x α=+为奇函数，求α的最小值． 【答案】见解析．【解析】解：（1）∵()cos (sin )f x x x x =-，2sin cos x x x =+，1sin 22x x =， πsin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==， 令πππ2π22π232k x k -++≤≤，k ∈Z ，得5ππππ1212k x k -+≤≤，k ∈Z ，∴函数()f x 的单调递增区间是5πππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．（2）由题意得，π()()sin 223g x f x x αα⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，∵函数()g x 为奇函数，且x ∈R ， ∴(0)0g =，即πsin 203α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴π2π3k α+=，k ∈Z ， 解得ππ26k α=-，k ∈Z ， 又∵0α>，∴α的最小值为π3． 16．（本小题满分13分）如图所示，在四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，且1AD =，3CD =，cos B ．（1）求ACD △的面积．（2）若BC =AB 的长． 【答案】见解析．【解析】解：（1）∵2C B ∠=∠，cos B =∴21cos cos22cos 13D B B ==-=-，sin D =又∵1AD =，3CD =，∴ACD △的面积11sin 1322S AD CD D =⋅⋅=⨯⨯=． （2）在ACD △中，由余弦定理得：2222cos 12AC AD DC AD DC D =+-⋅⋅=，∴AC =又∵BC =， ∴由正弦定理得sin sin AC AB B ACB=∠，sin(π2)ABB =-，sin 2ABB=，2sin cos ABB B=，即2cos AB B =，∴4AB B ===． 17．（本小题满分13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A ，B 两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A ，B 两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下，（1）该卖场有56台A 型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数．（2）从A 型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X ，求X 的分布列及其数学期望．（3）设A ，B 两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a ，b 的值（结论不要求证明）． 【答案】见解析．【解析】解：（1）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时，因此，估计56台A 型手机中有556407⨯=台手机的待机时间不少于123小时． （2）由题意，X 可能的取值为0，1，2，3，4711(0)C 35P X ===，133447C C 12(1)C 35P X ===，223447C C 18(2)C 35P X ===， 3447C 4(3)C 35P X ===， ∴X 的分布列为：数学期望121846012()012335353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯==． （3）124a =，125b =． 18．（本小题满分14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，四边形ABEF 为直角梯形，且AF BE ∥，AB BE ⊥，平面ABCD 平面ABEF AB =，22AB BE AF ===．（1）求证：AC ∥平面DEF ．（2）若二面角D AB E --为直二面角， （i ）求直线AC 与平面CDE 所成角的大小．（ii ）棱DE 上是否存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ？若存在，求出DPDE的值；若不存在，请说明理由． 【答案】见解析．【解析】（1）证明：连接BD 交AC 于O ， ∵四边形ABCD 为正方形， ∴D 是BD 中点，设G 是DE 的中点，连接OG ，FG ，则OG BE ∥，且12OG BE =， ∵四边形ABEF 为直角梯形，且AF BE ∥，22BE AF ==，∴AF BE ∥，且12AF BE =， ∴AF OG ∥，且AF OG =，∴四边形AOGF 为平行四边形， ∴AO FG ∥，即AC FG ∥，又∵AC ⊄平面DEF ，FG ⊂平面DEF ， ∴AC ∥平面DEF ．（2）（i ）由已知，AF BE ∥，AB BE ⊥， ∴AF AB ⊥，∵二面角D AB E --为直二面角， ∴平面ABCD ⊥平面ABEF ， ∴AF ⊥平面ABCD ， ∴AF AD ⊥，AF AB ⊥， 又四边形ABCD 为正方形， ∴AB AD ⊥，∴AD ，AB ，AF 两两垂直，以A 为原点，AD ，AB ，AF 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 如图所示，由22AB BE AF ===得：(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,2,0)C ，(2,0,0)D ，(0,2,2)E ，(0,0,1)F ． ∴(2,2,0)AC =，(0,2,0)CD =，(2,0,2)CE =-． 设平面CDE 的一个法向量为(,,)n x y z =，则： 00n CD n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20220y x z -=⎧⎨+=⎩， 取1x =，则0y =，1z =-， ∴(1,0,1)n =，设直线AC 与平面CDE 所成的角为θ，则有：1sin |cos ,|2AC n θ===， ∵090θ︒≤≤， ∴30θ=︒，即直线AC 与平面CDE 所成角的大小为30︒． （ii ）假设棱DE 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ， 设(01)DPDEλλ=≤≤，则DP DE λ=， 设(,,)P x y z ，则(2,,)DP x y z =-， ∵(2,2,2)DE =-， ∴(2,,)(2,2,2)x y z λ-=-， ∴22x λ-=-，2y λ=，2z λ=， 解得22x λ=-，2y λ=，2z λ=，即P 点坐标为(22,2,2)λλλ-，∵(0,2,0)B ，∴(22,22,2)BP λλλ--，又(2,0,1)DF =-，(0,2,1)EF =--，∴00BP DF BP EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2(22)202(22)20λλλλ--+=⎧⎨---=⎩， 解得23λ=． ∵2[0,1]3∈， ∴DE 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ，且23DP DE =．19．（本小题满分14分）已知函数2()e ()x f x x ax a =++．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程．（2）求()f x 的单调区间．（3）求证：当4a ≥时，函数()f x 存在最小值．【答案】见解析．【解析】解：（1）当1a =时，2()e (1)x f x x x =++，2()e (32)x f x x x '=++， ∴(0)1f =，(0)2f '=，∴曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为：12(0)y x -=-，即21y x =+．（2）由2()e ()x f x x ax a =++得2()e [(2)2]e ()(2)x x f x x a x a x a x '=+++=++， 令()0f x '=，解得：2x =-或x a =，①当2a -=-，即2a =时，2()e (2)0x f x x '=+≥，()f x 在R 上单调递增； ②当2a ->-，即2a <时，令()0f x '>，得2x <-或x a >-；令()0f x '<，得2x a -<<-，∴()f x 的单调增区间是(,2)-∞-和(,)a -+∞，单调减区间是(2,)a --；③当2a -<-，即2a >时，令()0f x '>，得x a <-或2x >-；令()0f x '<，得2a x -<<-，∴()f x 的单调增区间是(,)a -∞-和(2,)-+∞，单调减区间是(,2)a --．综上所述，当2a =时，函数()f x 在R 上递增；当2a <时，()f x 的单调增区间是(,2)-∞-和(,)a -+∞，单调减区间是(2,)a --； 当2a >时，()f x 的单调增区间是(,)a -∞-和(2,)-+∞，单调减区间是(,2)a --． （3）由（1）得：当4a ≥时，函数()f x 在[),x a ∈-+∞上有()(2)f x f -≥， 且2(2)e (4)0f a --=-≤，∵4a ≥，∴(,)x a ∈-∞-时，()0x x a +≥，e 0x >，()e [()]0x f x x x a a =++>，∴4a ≥时，函数()f x 存在最小值(2)f -．20．（本小题满分13分）已知集合{}123,,,,n A a a a a =，其中i a ∈R ，1i n ≤≤，2n >．()l A 表示(1)i j a a i j n +<≤≤中所有不同值的个数．（1）设集合{}2,4,6,8P =，{}2,4,8,16Q =，分别求()l P 和()l Q ．（2）若集合{}2,4,8,,2n A =，求证：(1)()2n n l A -=． （3）()l A 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）由246+=，268+=，2810+=，4610+=，4812+=，6814+=得()5l P =， 由246+=，2810+=，21618+=，4812+=，41620+=，81624+=得()6l Q =．（2）证明：∵(1)i j a a i j n +<≤≤最多有2(1)C 2n n n -=个值， ∴(1)()2n n l A -≤， 又集合{}2,4,8,,2n A =，任取i j a a +，(1,1)k l a a i j n k l n +<<≤≤≤≤，当j l ≠时，不妨设j l <，则22j i i j j l k l a a a a a a ++<=<+≤，即i j k l a a a a +≠+，当j l =，i k ≠时，i j k l a a a a +≠+，∴当且仅当i k =，j l =时，i j k l a a a a +=+，即所有(1)i j a a i j n +<≤≤的值两两不同， ∴(1)()2n n l A -=． （3）()l A 存在最小值，且最小值为23n -， 不妨设123n a a a a <<<<，可得1213121n n n n a a a a a a a a a a -+++<<+<<<<+， ∴(1)i j a a i j n +<≤≤中至少有23n -个不同的数，即()23l A n -≥， 取{}1,2,3A n =，则{}3,4,5,21i j a a n +∈-，即i j a a +的不同值共有23n -个， 故()l A 的最小值为23n -．。
北京市东城区2017-2018学年高三上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析
北京市东城区2017-2018学年高三上学期期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={0，1}，B={x|x2≤4}，则A∩B=（）A．{0，1} B．{0，1，2} C．{x|0≤x＜2} D．{x|0≤x≤2}2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）（文）若a∈R，则“a2＞a”是“a＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a9=4，则S11等于（）A．12 B．18 C．22 D．445．（5分）当n=4时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．6B．8C．14 D．306．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）＞，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．7．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标为分别为（0，0，2），（2，2，0），（0，2，0），（2，2，2）．画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，则得到正视图可以为（）A．B．C．D．8．（5分）已知圆O：x2+y2=2，直线l：x+2y﹣4=0，点P（x0，y0）在直线l上．若存在圆C 上的点Q，使得∠OPQ=45°（O为坐标原点），则x0的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点到其准线的距离为1，则该抛物线的方程为．10．（5分）若实数x，y满足则z=3x﹣y的最大值为．11．（5分）在△ABC中，a=3，，B=60°，则c=；△ABC的面积为．12．（5分）已知向量，不共线，若（λ+）∥（﹣2），则实数λ=．13．（5分）已知函数f（x）是R上的奇函数，且f（x+2）为偶函数．若f（1）=1，则f（8）+f（9）=．14．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=AD=2，M，N分别为线段AC上的点．若∠MBN=30°，则三棱锥M﹣PNB体积的最小值为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及解析式；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．16．（13分）已知数列{a n}是等差数列，满足a2=3，a5=6，数列{b n﹣2a n}是公比为3等比数列，且b2﹣2a2=9．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和S n．17．（14分）如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段PC上存在点D，使得BD⊥AC，并求的值．18．（14分）已知函数f（x）=ax﹣（2a+1）lnx﹣，g（x）=﹣2alnx﹣，其中a∈R（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当a＞0时，求f（x）的单调区间；（3）若存在x∈，使不等式f（x）≥g（x）成立，求a的取值范围．19．（13分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，求证：|PA|2+|PB|2为定值．20．（13分）对于数列A：a1，a2，a3（a i∈N，i=1，2，3），定义“T变换”：T将数列A变换成数列B：b1，b2，b3，其中b i=|a i﹣a i+1|（i=1，2），且b3=|a3﹣a1|．这种“T变换”记作B=T（A）．继续对数列B进行“T变换”，得到数列C：c1，c2，c3，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（Ⅰ）试问A：2，6，4经过不断的“T变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（Ⅱ）设A：a1，a2，a3，B=T（A）．若B：b，2，a（a≥b），且B的各项之和为2012．（ⅰ）求a，b；（ⅱ）若数列B再经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值，并说明理由．北京市东城区2017-2018学年高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={0，1}，B={x|x2≤4}，则A∩B=（）A．{0，1} B．{0，1，2} C．{x|0≤x＜2} D．{x|0≤x≤2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中不等式变形得：（x﹣2）（x+2）≤0，解得：﹣2≤x≤2，即B=，∵A={0，1}，∴A∩B={0，1}．故选：A．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限．解答：解：∵复数===，∴复数对应的点的坐标是（，）∴复数在复平面内对应的点位于第一象限，故选A．点评：本题考查复数的实部和虚部的符号，是一个概念题，在解题时用到复数的加减乘除运算，是一个比较好的选择或填空题，可能出现在2017-2018学年高考题的前几个题目中．3．（5分）（文）若a∈R，则“a2＞a”是“a＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：运用充分必要条件定义判断求解．解答：解：∵a∈R，当a2＞a时，即a＞1或a＜0，a＞1不一定成立当a＞1时，a2＞a成立，∴充分必要条件定义可判断：“a2＞a”是“a＞1”的必要不充分条件，故选：B点评：本题考查了充分必要条件定义，很容易判断．4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a9=4，则S11等于（）A．12 B．18 C．22 D．44考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质结合已知求得a6，再由S11=11a6得答案．解答：解：在等差数列{a n}中，由a3+a9=4，得2a6=4，a6=2．∴S11=11a6=11×2=22．故选：C．点评：本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．5．（5分）当n=4时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．6B．8C．14 D．30考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，s的值，当k=5＞4，退出循环，输出s 的值为30．解答：解：由程序框图可知：k=1，s=2k=2，s=6k=3，s=14k=4，s=30k=5＞4，退出循环，输出s的值为30．故选：D．点评：本题主要考察了程序框图和算法，正确理解循环结构的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．6．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）＞，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：将变量a按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件进行合并．解答：解：当a≤0时，2a＞，解得，﹣1＜a≤0；当a＞0时，＞，解得，0＜a＜．∴a∈（﹣1，0]∪（0，），即为a∈（﹣1，）．故选D．点评：本题考查了分段函数已知函数值求自变量的范围问题，以及指数不等式与对数不等式的解法，属于常规题．7．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标为分别为（0，0，2），（2，2，0），（0，2，0），（2，2，2）．画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，则得到正视图可以为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx平面为投影面，则得到正视图即可．解答：解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（0，2，0），（2，2，2）．几何体的直观图如图，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为：故选A．点评：本题考查几何体的三视图的判断，根据题意画出几何体的直观图是解题的关键，考查空间想象能力．8．（5分）已知圆O：x2+y2=2，直线l：x+2y﹣4=0，点P（x0，y0）在直线l上．若存在圆C 上的点Q，使得∠OPQ=45°（O为坐标原点），则x0的取值范围是（）A．B．C．D．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：根据条件若存在圆C上的点Q，使得∠OPQ=45°（O为坐标原点），等价PO≤2即可，求出不等式的解集即可得到x0的范围解答：解：圆O外有一点P，圆上有一动点Q，∠OPQ在PQ与圆相切时取得最大值．如果OP变长，那么∠OPQ可以获得的最大值将变小．可以得知，当∠OPQ=45°，且PQ与圆相切时，PO=2，而当PO＞2时，Q在圆上任意移动，∠OPQ＜45°恒成立0．因此满足PO≤2，就能保证一定存在点Q，使得∠OPQ=45°，否则，这样的点Q是不存在的；∵点P（x0，y0）在直线x+2y﹣4=0上，∴x0+2y0﹣4=0，即y0=∵|OP|2=x02+y02=x02+（）2=x02﹣2x0+4≤4，∴x02﹣2x0≤0，解得，0≤x0≤，∴x0的取值范围是故选：B点评：本题考查点与圆的位置关系，利用数形结合判断出PO≤2，从而得到不等式求出参数的取值范围是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点到其准线的距离为1，则该抛物线的方程为y2=2x．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：首先，写出该抛物线的焦点坐标和准线方程，然后，根据它们之间的距离为为p，根据题意，得p=1，从而得到其方程．解答：解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为（，0），准线方程为x=﹣，它们之间的距离为p，根据题意，得p=1，所以抛物线的标准方程为：y2=2x故答案为：y2=2x．点评：本题重点考查了抛物线的定义、简单几何性质等知识，属于中档题．10．（5分）若实数x，y满足则z=3x﹣y的最大值为11．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x﹣y得y=3x﹣z，平移直线y=3x﹣z由图象可知当直线y=3x﹣z经过点A时，直线y=3x﹣z的截距最小，此时z最大，由，解得，即A（3，﹣2），此时z=3×3﹣（﹣2）=9+2=11，故答案为：11点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．11．（5分）在△ABC中，a=3，，B=60°，则c=4；△ABC的面积为3．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：根据已知和余弦定理可求c的值，从而有三角形的面积公式解得所求．解答：解：由余弦定理可得：cosB=，代入已知可得：=，解得c=4，c=﹣1（舍去），∴S△ABC=acsinB=3，故答案为：4，3．点评：本题主要考察了余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．12．（5分）已知向量，不共线，若（λ+）∥（﹣2），则实数λ=﹣．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：用向量共线的充要条件是存在实数λ，及向量相等坐标分别相等列方程求解即可．解答：解：∵向量，不共线，若（λ+）∥（﹣2），∴λ+=k（﹣2），k﹣λ=0且1+2k=0解得k=﹣，故答案为：﹣．点评：考查向量共线的充要条件的应用．考查计算能力．13．（5分）已知函数f（x）是R上的奇函数，且f（x+2）为偶函数．若f（1）=1，则f（8）+f（9）=1．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意可得f（0）=0，f（﹣x）=﹣f（x），f（x+2）=f（﹣x+2）；即f（x）=﹣f（﹣x），f（x）=f（﹣x+4）；从而交替使用以化简．解答：解：∵f（x）是R上的奇函数，且f（x+2）为偶函数，∴f（0）=0，f（﹣x）=﹣f（x），f（x+2）=f（﹣x+2）；即∴f（x）=﹣f（﹣x），f（x）=f（﹣x+4）；故f（8）+f（9）==f（﹣8+4）+f（﹣9+4）=f（﹣4）+f（﹣5）=﹣（f（4）+f（5））=﹣（f（0）+f（﹣1））=﹣f（﹣1）=f（1）=1；故答案为：1．点评：本题考查了函数的性质的应用，属于基础题．14．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=AD=2，M，N分别为线段AC上的点．若∠MBN=30°，则三棱锥M﹣PNB体积的最小值为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：设∠MBH=α，∠NBH=β，根据三角函数关系得到，根据三棱锥的体积公式，结合三角函数的辅助角公式进行求解即可．解答：解：由题意值V M﹣PNB=V P﹣MNB=S△MNB=×，过B作BH⊥AC于H，如图：易知，当MN取最小值时，M，N一定在点H两边，不妨设∠MBH=α，∠NBH=β，由BH=知，V M﹣PNB==，，∴V M﹣PNB======，当且仅当时，取等号．故答案为：点评：本题主要考查空间三棱锥的体积的计算，利用三角函数法，结合三角函数辅助角公式以及三角函数的有界性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及解析式；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）由图先求得A，T，ω的值，当x=时，f（x）=﹣1，可得φ的值，从而可求f（x）的解析式．（2）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）=sin（2x﹣），由x∈，可得﹣≤2x﹣≤，即可求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．解答：解：（1）由图可知，A=1，==，T=π，所以ω=2．当x=时，f（x）=﹣1，可得sin（2×+φ）=﹣1．∵|φ|＜∴φ=∴求f（x）的解析式为：f（x）=sin（2x+）；（2）由（1）知f（x）=sin（2x+）．将函数y=f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数y=g（x）=sin=sin（2x﹣）的图象，故g（x）=sin（2x﹣），∵x∈，∴﹣≤2x﹣≤当2x﹣=，即x=时，g（x）有最大值为1；当2x﹣=﹣，即x=0时，g（x）有最小值为﹣；点评：本题主要考察了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．16．（13分）已知数列{a n}是等差数列，满足a2=3，a5=6，数列{b n﹣2a n}是公比为3等比数列，且b2﹣2a2=9．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）分解等差数列和等比数列的性质建立方程关系即可求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）利用分组求和法即可求数列{b n}的前n项和S n．解答：解：（Ⅰ）由a2=3，a5=6得，解得a1=2，d=1，则a n=2+n﹣1=n+1．∵数列{b n﹣2a n}是公比为3等比数列，且b2﹣2a2=9．∴b1﹣2a1=b1﹣4=3，解得b1=7，则b n﹣2a n=3•3n﹣1=3n，则b n=2a n+3n=2（n+1）+3n；（Ⅱ）∵b n=2a n+3n=2（n+1）+3n；∴数列{b n}的前n项和S n=+（3+32+33+…+3n]=+=n（3+n）+（3n﹣1）．点评：本题主要考查数列的通项公式以及数列和的求解，利用分组求和法以及等比数列和等差数列的求和公式是解决本题的关键．17．（14分）如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段PC上存在点D，使得BD⊥AC，并求的值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明AM⊥平面PBC；（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）根据向量关系，以及直线垂直，利向量法进行求解即可．解答：证明：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．因为BC⊥AB，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB．又AM⊂平面PAB，所以AM⊥BC．因为PA=AB，M为PB的中点，所以AM⊥PB．又PB∩BC=B，所以AM⊥平面PBC．（Ⅱ）如图，在平面ABC内，作AZ∥BC，则AP，AB，AZ两两互相垂直，建立空间直角坐标系A﹣xyz．则A（0，0，0），P（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，1），M（1，1，0）．，，设平面APC的法向量为，则即令y=1，则z=﹣2．所以=（0，1，﹣2）．由（Ⅰ）可知=（1，1，0）为平面的法向量，设，的夹角为α，则cosα=．因为二面角A﹣PC﹣B为锐角，所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．（Ⅲ）设D（u，v，w）是线段PC上一点，且，（0≤λ≤1）．即（u﹣2，v，w）=λ（﹣2，2，1）．所以u=2﹣2λ，v=2λ，w=λ．所以．由，得．因为，所以在线段PC存在点D，使得BD⊥AC．此时=．点评：本题主要考查空间位置关系的判断，以及利用向量法求二面角的大小以及空间线面垂直的判定，考查学生的推理能力．18．（14分）已知函数f（x）=ax﹣（2a+1）lnx﹣，g（x）=﹣2alnx﹣，其中a∈R（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当a＞0时，求f（x）的单调区间；（3）若存在x∈，使不等式f（x）≥g（x）成立，求a的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数单调性的性质．专题：导数的综合应用．分析：（1）把a=2代入函数解析式，求导后求得x=1处的导数值，进一步求得f（1），然后利用直线方程的点斜式求得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求出原函数的导函数=．然后分a=，a＞，0＜a＜三种情况求解函数的单调区间；（3）把f（x）≥g（x）转化为ax﹣lnx≥0，分离参数a得，构造函数，求函数h（x）在上的最小值得a的取值范围．解答：解：（1）当a=2时，f（x）=2x﹣5lnx﹣，，f′（1）=﹣1，又f（1）=0，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=﹣1×（x﹣1），即x+y﹣1=0；（2）=．当a=时，f′（x）≥0恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上为增函数；当a＞时，当x∈时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数；当x∈时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当0＜a＜时，当时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数；当x∈时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；（3）f（x）≥g（x）等价于ax﹣（2a+1）lnx﹣≥﹣2alnx﹣，即ax﹣lnx≥0，分离参数a得，．令，若存在x∈，使不等式f（x）≥g（x）成立，即a≥h（x）min．，当x∈（0，e）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数．而h（）=﹣e，h（e2）=．∴h（x）在上的最小值为﹣e，∴a≥﹣e．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了数学转化思想方法，是压轴题．19．（13分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，求证：|PA|2+|PB|2为定值．考点：椭圆的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程即可得到a=2，b=1，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）设P（m，0）（﹣2≤m≤2），设直线l的方程是y=（x﹣m）与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，再利用两点间的距离公式即可证明．解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），由短轴长为2，离心率为，则b=1，=，a2﹣b2=c2，解得a=2，c=，即有椭圆方程为+y2=1；（Ⅱ）证明：设P（m，0）（﹣2≤m≤2），∴直线l的方程是y=（x﹣m），联立椭圆x2+4y2=4，⇒2x2﹣2mx+m2﹣4=0（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程（*）的两个根，∴x1+x2=m，x1x2=，∴|PA|2+|PB|2=（x1﹣m）2+y12+（x2﹣m）2+y22=（x1﹣m）2+（x1﹣m）2+（x2﹣m）2+（x2﹣m）2=====5（定值）．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、两点间的距离公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．20．（13分）对于数列A：a1，a2，a3（a i∈N，i=1，2，3），定义“T变换”：T将数列A变换成数列B：b1，b2，b3，其中b i=|a i﹣a i+1|（i=1，2），且b3=|a3﹣a1|．这种“T变换”记作B=T（A）．继续对数列B进行“T变换”，得到数列C：c1，c2，c3，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（Ⅰ）试问A：2，6，4经过不断的“T变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（Ⅱ）设A：a1，a2，a3，B=T（A）．若B：b，2，a（a≥b），且B的各项之和为2012．（ⅰ）求a，b；（ⅱ）若数列B再经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值，并说明理由．考点：递归数列及其性质；数列的函数特性；数列的求和．专题：新定义．分析：（Ⅰ）首先要弄清“T变换”的特点，其次要尝试着去算几次变换的结果，看一下有什么规律，显然只有当变换到数列的三项都相等时，再经过一次“T变换”才能得到数列的各项均为零，否则“T变换”不可能结束．（Ⅱ）中（i）的解答要通过已知条件得出a是B数列的最大项，从而去掉绝对值符号得到数列A是单调数列，得到答案．（ii）的解答要抓住B经过6次“T 变换”后得到的数列也是形如“b，2，b+2”的数列，与数列B“结构”完全相同，且最大项减少12，从而数列和减少24，经过6×83+4=502次变换后使得各项的和最小，于是k的最小值为502．解答：（本小题满分13分）（Ⅰ）解：数列A：2，6，4不能结束，各数列依次为4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；…．以下重复出现，所以不会出现所有项均为0的情形．…（3分）（Ⅱ）解：（ⅰ）因为B的各项之和为2012，且a≥b，所以a为B的最大项，所以|a1﹣a3|最大，即a1≥a2≥a3，或a3≥a2≥a1．…（5分）当a1≥a2≥a3时，可得由a+b+2=2012，得2（a1﹣a3）=2012，即a=1006，故b=1004．…（7分）当a3≥a2≥a1时，同理可得a=1006，b=1004．…（8分）（ⅱ）方法一：由B：b，2，b+2，则B经过6次“T变换”得到的数列分别为：b﹣2，b，2；2，b﹣2，b﹣4；b﹣4，2，b﹣6；b﹣6，b﹣8，2；2，b﹣10，b﹣8；b﹣12，2，b﹣10．由此可见，经过6次“T变换”后得到的数列也是形如“b，2，b+2”的数列，与数列B“结构”完全相同，但最大项减少12．因为1006=12×83+10，所以，数列B经过6×83=498次“T变换”后得到的数列为8，2，10．接下来经过“T变换”后得到的数列分别为：6，8，2；2，6，4；4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2，…从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小．所以经过498+4=502次“T变换”得到的数列各项和最小，k的最小值为502．…（13分）方法二：若一个数列有三项，且最小项为2，较大两项相差2，则称此数列与数列B“结构相同”．若数列B的三项为x+2，x，2（x≥2），则无论其顺序如何，经过“T变换”得到的数列的三项为x，x﹣2，2（不考虑顺序）．所以与B结构相同的数列经过“T变换”得到的数列也与B结构相同，除2外其余各项减少2，各项和减少4．因此，数列B：1004，2，1006经过502次“T变换”一定得到各项为2，0，2（不考虑顺序）的数列．通过列举，不难发现各项为0，2，2的数列，无论顺序如何，经过“T变换”得到的数列会重复出现，各项和不再减少．所以，至少通过502次“T变换”，得到的数列各项和最小，故k的最小值为502．…（13分）点评：此题需要较强的逻辑思维能力及计算能力，通过计算发现和归纳出其规律，进而得出答案．。
2018届北京市东城区二十二中高三上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
北京22中2017—2018学年度第一学期期中试卷高三年级数学学科（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的．选出符合要求的一项填在答题卡上．）1. ）．A. B. C. D.【答案】BB。
2. 下列函数为奇函数的是（）．【答案】D【解析】A、B不具有对称性，C为偶函数，D为奇函数，故选D。
3. ）．【答案】AA．考点：平面向量数量积．4. ）．C.【答案】B【解析】4，故选B。
5. 若“是的（）．A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】CC。
6. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）．【答案】AA。
7. ，若，，，取值范围是（）．【答案】A【解析】，所以A。
点睛：本题考查函数与方程的关系、不等式的性质。
本题中，先将函数图象画出，得到如图图象，由图象8. 一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均不正确，第五次输入密码正确，手机解锁，事后发现前四次输入的密码中，每次都有两个数字正确，但它们各自的位置均不正确．已知前四次输入密码分别为，则正确的密码中一定含有数字（）．D.【答案】D【解析】首先考虑题目要求：位置不对，那么：第一位只能是0、2、4、5、8、9，第二位只能是0、2、5、7、8、9，第三位只能是1、2、4、5、8、9，第四位只能是1、2、4、5、8、9。
那么四位数可选的数字排除后是0、1、2、4、5、6、7、8、9.其次考虑题目中有两位数字正确，那么：（1）可选的数字中2、5、8、9即可排除，四位可选数字为0、1、4、6、7，第一位可选0、4、7，第二位可选4、6、7，第三位可选1、4，第四位可选1、4。
（2）根据出现频次，可排除0、6。
即四位可选数字为1、4、7、8，第一位可选7、8，第二位可选4、7，第三位可选1，第四位可选8。
故密码中一定含有数字1、7，应选答案D.点睛：本题的求解过程即是推理的过程，求解时先依据题设条件将符合题设的数字一一列举出来，然后再进行分析筛选，确定出可选的数字和可能出现的数字，最后确定一定出现出数字从而使得问题获解。
2018届北京东城北京二中高三上学期期中考试数学(理)试题(含解析)
北京二中2017-2018学年度第一学段高三年级学段考试试卷理科数学（I 卷）一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分， 1．已知集合1|02x A x x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，集合B N =，则A B 等于（）．A ．{}1,0,1-B ．{}1C ．{}0,1D ．{}1,0-【答案】C【解析】∵集合{}1|0|122x A x x x x +⎧⎫=<=-<<⎨⎬-⎩⎭，集合B N =， ∴{}0,1A B = ． 故选C2．已知向量(1,2)a = ，(,2)b x =- ，且a b⊥，则||a b + 等于（）．AB ．5C ．D 【答案】B【解析】∵(1,2)a = ，(,2)b x =- ，且a b ⊥，∴40x -=，得4x =，∴(1,2)a = ，(4,2)b =-，(5,0)a b += ，∴||5a b +=． 故选B ．3．设复数z 满足(12i)2i z -=+（其中i 为虚数单位），则z 的模为（）． A．1BCD ．3【答案】A【解析】由题意，复数2i (2i)(12i)5ii 12i (12i)(12i)5z +++====---+，∴z 的模||1z =．故选A ．4．执行如图所示的程序框图，若输入的5n =，则输出的结果为（）．A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】模拟执行程序，可得5n =，i 1=，执行循环体， 不满足n 是偶数，16n =，不满足条件1n =，i 2=； 满足条件n 是偶数，8n =，不满足条件1n =，i 3=； 满足条件n 是偶数，4n =，不满足条件1n =，i 4=；满足条件n 是偶数，2n =，不满足条件1n =，i 5=；满足条件n 是偶数，1n =，满足条件1n =，退出循环，输出i 的值5． 故选B ．5．已知π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3tan(π)4α-=-，则sin cos αα+等于（）．A ．15±B ．15-C ．15D ．75-【答案】B【解析】∵3tan(π)tan 04αα-==-<，且π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴4cos 5α=-，3sin 5α=，∴1sin cos 5αα++-．故选B ．6．下列命题中正确的是（）．A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B ．“0a >，0b >”是“2b aa b+≥”的充分必要条件 C ．命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠或2x ≠，则2320x x -+≠”D ．命题0:p x ∃∈R ，使得20010x x +-<，则:p x ⌝∀∈R ，使得210x x +-≥【答案】D【解析】A 项．若p q ∨为真命题，则p ，q 中至少有一个为真，则p q ∧为真假不确定，故A 错误；B 项．若0a >，0b >，则22ba ab+≥，当且仅当a b =时取得等号，反之，若2b a a b+≥，即2220a b ab ab +-≥，即2()0a b ab-≥，即有0ab >， 则“0a >，0b >”是“2b aa b+≥”的充分不必要条件，故B 错误；C 项．命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠或2x ≠，则2320x x -+≠”故C 错误；D 项．命题0:p x ∃∈R ，使得20010x x +-<，则:p x ⌝∀∈R ，使得210x x +-≥，故D 正确．故选D ．7．函数1()cos (ππf x x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭≤≤且0)x ≠的图象可能为（）．A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】对于函数1()cos (ππf x x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭≤≤且0)x ≠，它的定义域关于原点对称，且1()cos f x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，故函数()()f x f x -=-，所以()f x 的奇函数，故它的图象关于原点对称，排除A 、B ， 又当πx =时，11(π)πcos ππ0ππf ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，排除C ．故选D ．8．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．A ．2号学生进入30秒跳绳决赛B ．5号学生进入30秒跳绳决赛C ．8号学生进入30秒跳绳决赛D ．9号学生进入30秒跳绳决赛 【答案】B【解析】由于这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，故编号为1，2，3，4，5，6，7，8的学生进入立定跳远决赛，又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则3，6，7号同学必进入30秒跳绳决赛，剩下1，2，4，5，8号同学的成绩分别为：63，a ，60，63，1a -有且只有3人进入30秒跳绳比赛，故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛，则5号学生进入30秒跳绳决赛．故选B ．二、填空题（每小题5分，共30分） 9．已知正方形ABCD 边长为2，E 为AB 边上一点，则ED EC ⋅的最小值为__________．【答案】3【解析】以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴建立如图所示直角坐标系， 则由正方形边长为2得(2,0)C ，(2,2)D ，设(0,)E y ，（其中02y ≤≤），则(2,2)ED y =- ，(2,)EC y =-， ∴2222(2)()24(1)3ED EC y y y y y ⋅=⨯+-⨯-=-+=-+，故当1y =时，ED EC ⋅ 取得最小值，ED EC ⋅的最小值为3．10．10(e 2)d x x x +=⎰__________．【答案】e【解析】1201(e 2)d (e )e 11e 0x x x x x +=+=+-=⎰．11．已知数列{}n a 满足11a =，且1()(*)n n n a n a a n +=-∈N ，则2a =__________；n a =__________． 【答案】2；n【解析】由1()n n n a n a a +=-得11n n n a a n++=， 又11a =，∴2122a a ==， 由11n n n a a n ++=，得11n na n a n ++=， ∴212a a =，3232a a =，4343a a =， ，11n n a n a n -=-，∴324112313412231n n n a a a a na a n a a a a n -=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=- ．12．设函数()1||xf x x =+，则使得2(2)(36)f x x x ->-成立的x 的取值范围是__________． 【答案】(,2)(3,)-∞+∞【解析】∵函数()1||x f x x =+为奇函数，当0x >时，1()111x f x x x==-++，可得()f x 在(0,)+∞上单调递增，∴由奇函数的性质，可得()f x 在R 上单调递增，∴由2(2)(36)f x x x ->-，可得2236x x x ->-，即2560x x -+>， 解得2x <或3x >，故x 的取值范围是(,2)(3,)-∞+∞ ．13．已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件3()2f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，且函数34y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数，给出以下四个命题：①函数()f x 是周期函数；②函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；③函数()f x 是偶函数；④函数()f x 在R 上是单调函数．在述四个命题中，正确命题的序号是__________（写出所有正确命题的序号）． 【答案】①②③【解析】对于①，∵3(3)(3)2f x f x f ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，∴函数()f x 是以3为周期的周期函数，故①正确；对于②，∵34y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数，∴其图象关于原点对称，又函数()f x 的图象是由34y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移34个单位长度得到，所以函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故②正确； 对于③，由②知，对于任意的x ∈R ，都有3344f x f x ⎛⎫⎛⎫--=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，用34x +换x ，可得：3()02f x f x ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭， ∴33()22f x f x f x ⎛⎫⎛⎫--=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意的x ∈R 都成立，令32t x =+，则()()f t f t -=，∴函数()f x 是偶函数，故③正确；对于④，由③知()f x 是偶函数，偶函数的图象关于y 轴对称， ∴()f x 在R 上不是单调函数，故④错误． 综上所述，正确命题的序号是①②③．14．已知1x ，2x 是函数()2sin 2cos2f x x x m =+-在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的两个零点，则12sin()x x += __________．【解析】由1x ，2x 是函数()2sin 2cos2f x x x m =+-在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的两个零点，可得：11222sin2cos22sin2cos2m x x x x =+=+，即为：12122(sin 2sin 2)cos2cos2x x x x +=-+，即有121221214cos()sin()2sin()sin()x x x x x x x x +-=-+-， 由12x x ≠，可得12sin()0x x -≠，可得2112sin()2cos()x x x x +=+，又221212sin ()cos ()1x x x x +++=，可得21220sin ()25x x +=， ∵12[0,π]x x +∈，∴12sin()x x +=三、解答题（共80分）15．（本小题满分13分）已知向量2(cos ,cos )a x x = ，(sin ,b x = ，且函数()f x a b =⋅ ． （1）求函数()f x 的最大值以及取最大值时x 的取值集合．（2）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3a =，b c +=求ABC △的面积． 【答案】见解析．【解析】（1）由题意，211()sin cos sin 221)sin 2222f x a b x x x x x x x =⋅=-=+=-πsin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当ππ22π32x k -=+，k ∈Z ，即5ππ12x k =+，k ∈Z 时，()f x 取最大值1，∴函数()f x 的最大值为1，此时x 的取值集合为5π|π,12x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ．（2）∵πsin 23A f A ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴πsin 03A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵A 为ABC △的内角， ∵π3A =， 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-即2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，又3a =，b c +=9123bc =-， 得1bc =，∴ABC △的面积11sin 122S bc A ==⨯=．16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 和1的等差中项，等差数列{}n b 满足11b a =，43b S =． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式．（2）设11n n n c b b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证12n T <． 【答案】见解析．【解析】（1）∵n a 是n S 和1和等差中项， ∴21n n S a =-，当1n =时，11121a S a ==-，得11a =，当2n ≥时，111(21)(21)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-， ∴12n n a a -=，即12nn a a -=， ∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴12n n a -=，设{}n b 的公差为d ，则由111b a ==，431247b S ==++=，得2d =， ∴1(1)221n b n n =+-⨯=-， 综上所述，12n n a -=，21n b n =-． （2）证明：111111(21)(21)22121n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭， ∴111111123352121n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， ∵*n ∈N ， ∴1021n >+， ∴11112212n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭， 即12n T <． 17．（本小题满分13分）某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名、4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．（1）求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率．（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列和均值． 【答案】见解析．【解析】（1）由题意，参加集训的男、女学生各有6人，参赛学生全从B 中抽出的概率为：33343366C C 1C C 100=，故A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为：1991100100-=． （2）由题意X 的可能取值为：1，2，3，133346C C 1(1)C 5P X ===，223346C C 3(2)C 5P X ===，313346C C 1(3)C 5P X ===， 故X 的分布列为：均值131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=．18．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD =︒∠，Q 为AD 的中点． （1）若PA PD =，求证：平面PQB ⊥平面PAD ．（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，且2P A P D A D ===，点M 在线段PC 上，试确定点M 的位置，使二面角M BQ C --大小为60︒，并求出PMPC的值．【答案】见解析． 【解析】（1）证明：∵PA PD =，Q 为AD 的中点， ∴PQ AD ⊥，又∵底面ABCD 为菱形，60BAD =︒∠， ∴ABD △是等边三角形， ∵Q 是AD 中点， ∴BQ AD ⊥， 又∵PQ BQ Q = ， ∴AD ⊂平面PQB ， ∵AD ⊂平面PAD ，∴平面PQB ⊥平面PAD ．（2）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PQ AD ⊥， ∴PQ ⊥平面ABCD ，以Q 为坐标原点，分别以QA ，QB ，QP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，Q P CBADC则由题意知：(0,0,0)Q，P，B，(C -， 设(01)PM PC λλ=<<，则(2))M λλ=--，平面CBQ 的一个法向量是1(0,0,1)n =，设平面MQB 的一个法向量2(,,)n x y z =， 则2200QM n QB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2)00x y z y λλ⎧--=⎪=，取2332n λλ-⎛=⎝ ， ∵二面角M BQ C --的大小为60︒，∵21121||2||||n n n n ⋅=⋅， 解得13λ=，此时13PM PC =． 19．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1(1,0)F -，2(1,0)F，点A ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的标准方程．（2）是否存在斜率为2的直线l ，使得当直线l 与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线53y =上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM NQ =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【答案】见解析．【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2C ，则1C =，∵A ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上，∴122||||a AF AF =+=∴a 2221b a c =-=，故椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）假设这样的直线存在，设直线l 的方程为2y x t =+，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，35,3P x ⎛⎫⎪⎝⎭，44(,)Q x y ，MN 的中点为00(,)D x y ，由22222y x t x y =+⎧⎨+=⎩，消去x ，得229280y ty t -+-=， ∴1229ty y +=，且22436(8)0t t ∆=-->，故12029y y ty +==且33t -<<， 由PM NQ =，知四边形PMQN 为平行四边形，而D 为线段MN 的中点，因此D 为线段PQ 的中点， ∴405329y t y +==，得42159t y -=， 又33t -<<，可得4713y -<<-，∴点Q 不在椭圆上， 故不存在满足题意的直线l ． 20．（本小题共14分）已知函数()ln(1)f x x x =--，22()()2x x ag x a x ++=∈+R ． （1）求函数()f x 的单调区间及最值．（2）若对0x ∀>，()()1f x g x +>恒成立，求a 的取值范围． （3）求证：1111ln(1)35721n n ++++<++ ，(*)n ∈N ． 【答案】见解析．【解析】（1）()f x 的定义域为(1,)-+∞，1()111x f x x x '=-=-++， 令()0f x '>得10x -<<，令()0f x '<，得0x >， ∴()f x 的单调增区间是(1,0)-，单调减区间是(0,)+∞， max ()(0)0f x f ==，无最小值．（2）若对0x ∀>，()()1f x g x +>恒成立，则对0x ∀>，22ln(1)12x x ax x x +++-+>+恒成立， 即对0x ∀>，(2)[1ln(1)]a x x >+-+恒成立，令()(2)[1ln(1)]h x x x =+--，则21()1ln(1)ln(1)11x h x x x x x +'=-+-=---++， 当0x >时，显然1()ln(1)01h x x x '=-+-<+， ∴()h x 在(0,)+∞上是减函数， ∴当0x >时，()(0)2h x h <=， ∴2a ≥，即a 的取值范围是[2,)+∞．（3）证明：由（2）知，当2a =，0x >时，2ln(1)12x x ++>+，即ln(1)2xx x +>+， 在上式中，令1(*)x k k =∈N ，得11ln 12k kk k+>+，即11ln 21k k k +>+，依次令1k =，2，3， ，n ，得21ln13>，31ln25>，41ln37>，11ln21nn n+>+，将这n个式子左右两边分别相加得1111ln(1)35721 nn+>++++，即1111ln(1)35721nn++++<++，(*)n∈N．。
D_北京市东城东直门中学2017-2018学年高三上期中数学试题(精品解析)
北京市东直门中学2017-2018年度高三第一学期期中试题（数学理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1.设集合，，则下列结论正确的是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】∵集合，集合或，∴．故选．2.复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（）．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】试题分析：由得，对应点为，位于第三象限，选C.考点：复数运算3.如果平面向量，，那么下列结论中正确的是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】由平面向量，知：在中，，，∴，故错误；在中，，故错误；在中，，∴，∴，故正确；在中，∵，∴与不平行，故错误．综上所述．故选．4.设函数的图象为，下面结论中正确的是（）．A. 函数满足B. 图象关于点对称C. 图象可由函数的图象向右平移个单位得到D. 函数在区间上是增函数【答案】B【解析】项．∵，∴，故错误；项．∵，∴的图象关于点对称，故正确；项．∵，∴的图象由函数的图象向右平移个单位得到，故错误；项，当时，，∴函数在区间上先增后减，故错误．故选B.点睛：本题考查的是三角函数的图象变换.三角函数中函数图象的平移变化是常考知识点，也是易错题型.首项必须看清题目中是由哪个函数平移，平移后是哪个函数；其次，在平移时，还要注意自变量x的系数是否为1，如果x有系数，需要将系数提出来求平移量，平移时遵循“左加右减”.5.在中，，，则“”是“”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由正弦定理可得，∴若，则，得，必要性成立；若，则，得，或，充分性不成立，∴“”是“”的必要不充分条件．故选．6.已知函数，，的图象如图所示，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由图象有,所以最小,对于,看图象有,所以对于,看图象有,所以,故,选C.考点：基本初等函数的图象.7.已知函数若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：分段函数和过定点的直线在如图位置时恰好相切，此时有两个交点，若直线斜率变大，则只存在一个交点，若直线斜率减小，则会出现三个交点，如下图所示：计算切线斜率，假设直线与的切点为，对函数求导可得，那么可以得到如下三个方程：，讲后两个方程代入到第一个方程中，得到，即，解得，从而斜率，根据分析可知，若要有三个交点，则斜率，故选D.考点：1函数图像;2数形结合思想.8.如图所示，正方体的棱长为，，分别是棱，的中点，过直线，的平面分别与棱，交于，，设，，给出以下四个命题：①四边形为平行四边形；②若四边形面积，，则有最小值；③若四棱锥的体积，，则是常函数；④若多面体的体积，，则为单调函数．其中假命题为（）．A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】D【解析】对于①，∵平面平面，∴，同理：，∴四边形为平行四边形，故①正确；对于②，四边形的面积，当为的中点时，即时，最短，此时面积最小，故②正确；对于③，连接，，，则四棱锥分割为两个小棱锥，它们是以为底，以，为顶点的两个小棱锥，因为的面积是个常数，，到平面的距离和是个常数，所以四棱锥的体积是常函数，故③正确；对于④，多面体的体积为常数函数，故④错误．综上所述，假命题为④．故选．点睛：本题考查空间立体几何中的面面平行关系以及空间几何体的体积公式，本题把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高，对于几何体的体积的求解要会有体积分割法，或等价转化．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分9.已知命题方程有解，则为__________．【答案】, 方程无解【解析】根据全称命题和存在性命题之间的关系，可知命题的否定：“，方程”．10.已知，且，则的值等于__________．【答案】【解析】∵，且，∴，，∴．故答案为：.11.若，，且与的夹角为，则__________．【答案】【解析】由题意可得，∴，∴．故答案为：.12.________.【答案】0【解析】试题分析：方法一：，故填.方法二：由于定积分性质可知，对于奇函数，若积分对应的区间关于原点对称，那么积分的结果一定为（通过图像也可以判别），故填.考点：定积分运算.13.如图，，，是三个边长为的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边上有个不同的点，，则__________．【答案】36【解析】∵，，是三个边长为的等边三角形，且有一条边在同一直线上，∴四边形为菱形，∴，，∴，，∴．故选D.点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝|a||b|cos θ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义.本题就是利用几何意义处理的.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.14.已知函数的定义域为，，，若此函数同时满足：①当时，有；②当时，有，则称函数为函数．在下列函数中：①；②；③是函数的为__________．（填出所有符合要求的函数序号）【答案】①②【解析】对于①，函数为奇函数，当，即时，有，所以。
北京市东城区第171中学2018届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版 含解析
北京东城区第一七一中学2017—2018学年度高三数学（理科）期中考试试题一、本大题共8小题，每小题5分，共40分1. 已知是虚数单位，复数（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】，故选D.2. 已知集合，集合，则（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】由中的不等式变形得：，得到，由中的不等式变形得：，得到，即，则，故选A.3. 在极坐标系中，点到直线的距离是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】点到直线分别化为直角坐标系下的坐标与方程：，直线点到直线的距离，点到直线的距离是，故选C.4. 已知中，，则（）．A. B. C. D.【答案】A5. 已知不等式组，表示的平面区域的面积等于，则的值为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：4过定点表示直线的下方，，则由图象可知，由，解得，即，则的面积，故，故选B.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6. 《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍:底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈)，那么该刍甍的体积为（左视图为正视图，右图为左视图，下图为俯视图）（）．A. 立方丈B. 立方丈C. 立方丈D. 立方丈【答案】B【解析】由已知可将刍甍切割成一个三棱柱和一个四棱锥，三棱柱的体积为3，四棱锥的体积为2，则刍甍的体积为5.故选B.7. 在平行四边形中，对角线与交于点，，则（）．A. B. C. D. 或【答案】B【解析】如图所示，平行四边形中，对角线与交于点，根据向量加法原理可得，故选B.8. 设函数，则“”是“与”都恰有两个零点的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为，所以开口向上，有两个零点，最小值必然小于，当取得最小值时，，即，令，则，必有两个零点，同理，由于是对称轴，开口向上，，必有两个零点，所以“”是“与”都恰有两个零点的充要条件，故选C.【方法点睛】本题通过充分条件与必要条件考查二次函数的图象与性质，属于难题题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.本题中，不但要理解充分条件与必要条件的基本含义，更要熟练掌握二次函数的图象与性质，以及二次函数与一元二次方程的关系.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9. 在的展开式中，含的项的系数是__________．【答案】10【解析】展开式中含项的系数分别为，系数的和为，故答案为.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.10. 设是等差数列的前项和，若，，则公差__________．__________．【答案】(1). 2(2). 40【解析】由题意，，①，②②-①得，，即，由等差数列的前项和公式和性质可得：，故答案为.11. 过点的直线将圆分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线的方程是__________．【答案】【解析】由条件知点在圆内，故当劣弧最短时，应与圆心与点的连线垂直，设圆心为，则直线的斜率的方程为，即，故答案为.12. 若函数是奇函数，则__________．【答案】【解析】设，则，结合奇函数的性质可得：，故答案为.。
北京东城区北京市第二中学2017届高三上学期期中考试数学理试卷含答案
2016～2017学年北京东城区北京市第二中学高三上学期理科期中数学试卷选择1。
已知全集U= R ，则正确表示集合M= ｛−1， 0， 1｝和N= ｛x|x 2+ x = 0｝关系的韦恩（Venn ）图是（ ）．A. B. C 。
D.2. 已知向量a = (1, 2），b = （1， 0)，c = (3， 4）,若 为实数，（a + λb ）//c ， 则λ等于( ）．A 。
21 B 。
41 C.2 D 。
1 3. 函数31lg )(--=x x x f 的零点所在区间为（ )．A. (0, 1)B. （1, 2)C. (2, 3） D 。
（3， +∞)4. 已知角α在第二象限且53sin =α，则)2cos()4cos(21παπα+-+等于（ )．A 。
2B 。
4 C. 34D. 34- 5。
若函数x a x x f +=2)(（a ∈ R),则下列结论正确的是（ ）．A 。
∀a ∈R ，f (x ）在(0， +∞)上是增函数 B. ∀a ∈R ，f （x)在（0， +∞)上是减函数C. ∃a ∈R ，f (x)是偶函数 D 。
∃a ∈R ，f (x ）是奇函数6。
已知函数x x x f -+=)1ln(1)(，则f （x ）的图像大致为（ ）．A. B。
C。
D。
7. 已知定义在R上的函数f （x)是偶函数，在［0，+∞)上是减函数，并且有f (2) = 0,则使得f (x − 1) 〈0的一个必要不充分条件是（）．A. （−∞, −2) ∪(2, +∞）B。
(−∞，−1）∪（2，+∞） C. (−∞，−2） D. (−∞，−1) ∪(3，+∞）8。
非空集合G关于运算⊕满足：（1)对任意a，b∈G,都有a⊕b ∈G；（2）存在c∈G,使得对一切a∈G，都有c⊕a = a，则称G关于运算⊕为“融洽集",现给出下列集合和运算：①G = {二次三项式｝，⊕为多项式的加法．②G = ｛偶数｝，⊕为整数的乘法．③G = {平面向量｝,⊕为平面向量的加法．④G = ｛非负整数｝，⊕为整数的加法．其中G关于运算⊕为“融洽集”的是（）．A. ①② B. ②④ C. ②③ D. ③④填空9. 设等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若a3+ a6= 12,S4= 8，则a9的值是．10. 已知｜a｜= 1，|b｜= 2，且a⊥（a−b)，则向量与向量的夹角为．11。
2017-2018学年北京二十七中高二(上)期中数学试卷(理科)
2017-2018学年北京二十七中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知数列，则0.96是该数列的第（）A．20项B．22项C．24项D．26项2．（5分）已知：0＜x＜1，则函数y=x（1﹣x）的最大值为（）A．B．C．D．3．（5分）已知x1，x2∈R，则“x1＞1且x2＞1”是“x1+x2＞2且x1x2＞1”的（）A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n．且S3=6，a3=0，则公差d等于（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣25．（5分）某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为2km和3km，测得灯塔A在观察站C北偏西30°，灯塔B在观察站C北偏东30°，则两灯塔A，B间的距离为（）A．B．4km C．D．6．（5分）在等比数列{a n}中，已知a1=1，a4=8，若a3，a5分别为等差数列{b n}的第2项和第6项，则数列{b n}的前7项和为（）A．49 B．70 C．98 D．1407．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc．若sin B•sin C=sin2A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形8．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为（）A．尺B．尺C．尺D．尺9．（5分）不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．[﹣2，2]C．（﹣2，2]D．（﹣∞，﹣2）10．（5分）大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前20项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…则此数列的第20项为（）A．220 B．200 C．180 D．16211．（5分）已知函数f（x）=4x2﹣1，若数列{}前n项和为S n，则S2015的值为（）A．B．C．D．12．（5分）若两个正实数x，y满足+=1，且不等式x+＜m2﹣3m有解，则实数m的取值范围（）A．（﹣1，4）B．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）C．（﹣4，1）D．（﹣∞，0）∪（3，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上13．（5分）设变量x，y满足约束条件，则的最大值为．14．（5分）数列{a n}是等差数列，S n是它的前n项和，已知S3=10，S9=60，则S6=．15．（5分）已知0＜x＜1，则x（3﹣2x）的最大值为．16．（5分）如图为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架三角形支架形状如图，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，则AC最短为米．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a=1，，．（1）求sinA的值；（2）求△ABC的面积．18．（12分）已知数列{a n}是单调递增的等差数列，首项a1=2，且a2，a4，S4﹣4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cosB；（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．20．（12分）已知a＞0且a≠1，命题P：函数y=log a（x+1）在区间（0，+∞）上为减函数；命题Q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴相交于不同的两点．若“P ∨Q”为真，“P∧Q”为假，求实数a的取值范围．21．（12分）在△ABC中，A，B，C是三内角，a，b，c分别是A，B，C的对边，已知2（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，△ABC的外接圆的半径为．（1）求角C；（2）求△ABC面积的最大值．22．（12分）已知各项都是正数的数列{a n}的前n项和为S n，，n∈N*（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足：b1=1，b n﹣b n﹣1=2a n（n≥2），求数列的前n项和T n；（3）在（2）的条件下，若对任意的n（n≥2，n∈N*）恒成立，求λ的取值范围．2017-2018学年北京二十七中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知数列，则0.96是该数列的第（）A．20项B．22项C．24项D．26项【分析】本题通过观察可知：原数列的通项公式为a n=，从而利用=0.96，解得n=24．【解答】解：∵数列，∴a n=，令=0.96，则n=24．则0.96是该数列的第24项．故选：C．【点评】本题通过观察法，考查了数列的概念及简单表示法，属于基础题．2．（5分）已知：0＜x＜1，则函数y=x（1﹣x）的最大值为（）A．B．C．D．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵0＜x＜1，则函数y=x（1﹣x）=，当且仅当x=时取等号．故选：B．【点评】本题考查了基本不等式的性质差，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）已知x1，x2∈R，则“x1＞1且x2＞1”是“x1+x2＞2且x1x2＞1”的（）A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】x1，x2∈R，则“x1＞1且x2＞1”⇒“x1+x2＞2且x1x2＞1”，反之不成立，例如取x1=10，x2=．即可判断出结论．【解答】解：x1，x2∈R，则“x1＞1且x2＞1”⇒“x1+x2＞2且x1x2＞1”，反之不成立，例如取x1=10，x2=．∴“x1＞1且x2＞1”是“x1+x2＞2且x1x2＞1”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n．且S3=6，a3=0，则公差d等于（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【分析】由题意可得a1和d的方程组，解方程组可得．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n．且S3=6，a3=0，∴S3=3a1+d=6，a3=a1+2d=0，解方程组可得a1=4，d=﹣2故选：D．【点评】本题考查等差数列的求和公式和通项公式，属基础题．5．（5分）某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为2km和3km，测得灯塔A在观察站C北偏西30°，灯塔B在观察站C北偏东30°，则两灯塔A，B间的距离为（）A．B．4km C．D．【分析】根据题意，△ABC中，AC=2km，BC=3km，∠ACB=60°，利用余弦定理可求得AB的长【解答】解：由题意，△ABC中，AC=2km，BC=3km，∠ACB=60°，利用余弦定理可得：AB2=22+32﹣2×2×3×cos60°=7，∴AB=km．故选：C．【点评】本题以方位角为载体，考查三角形的构建，考查余弦定理的运用，属于基础题．6．（5分）在等比数列{a n}中，已知a1=1，a4=8，若a3，a5分别为等差数列{b n}的第2项和第6项，则数列{b n}的前7项和为（）A．49 B．70 C．98 D．140【分析】利用等比数列通项公式求出公比q=2，由a3，a5分别为等差数列{b n}的第2项和第6项，得到，=16，再由数列{b n}的前7项和，能求出结果．【解答】解：∵在等比数列{a n}中，a1=1，a4=8，∴，解得q=2，∵a3，a5分别为等差数列{b n}的第2项和第6项，∴，=16，∴数列{b n}的前7项和：==70．故选：B．【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列、等差数列的性质的合理运用．7．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc．若sin B•sin C=sin2A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【分析】b2+c2=a2+bc，利用余弦定理可得cosA=，可得．由sin B•sin C=sin2A，利正弦定理可得：bc=a2，代入b2+c2=a2+bc，可得b=c．【解答】解：在△ABC中，∵b2+c2=a2+bc，∴cosA===，∵A∈（0，π），∴．∵sin B•sin C=sin2A，∴bc=a2，代入b2+c2=a2+bc，∴（b﹣c）2=0，解得b=c．∴△ABC的形状是等边三角形．故选：C．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为（）A．尺B．尺C．尺D．尺【分析】利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：由题意可得：每天织布的量组成了等差数列{a n}，a1=5（尺），S30=9×40+30=390（尺），设公差为d（尺），则30×5+=390，解得d=．故选：C．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．（5分）不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．[﹣2，2]C．（﹣2，2]D．（﹣∞，﹣2）【分析】这是一道类似二次不等式在x∈R恒成立求参数的问题，应首先考虑a ﹣2是否为零．【解答】解：①当a=2时，不等式恒成立．故a=2成立②当a≠2时，要求解得：a∈（﹣2，2）综合①②可知：a∈（﹣2，2]故选：C．【点评】本题考查类似二次函数在R上的恒成立问题，容易忘记考虑系数为零的情况．10．（5分）大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前20项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…则此数列的第20项为（）A．220 B．200 C．180 D．162【分析】0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶数项的通项公式：a2n=2n2．即可得出．【解答】解：由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶数项的通项公式：a2n=2n2．则此数列第20项=2×102=200．故选：B．【点评】本题考查了数列递推关系、通项公式、归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）已知函数f（x）=4x2﹣1，若数列{}前n项和为S n，则S2015的值为（）A．B．C．D．【分析】由f（x）=4x2﹣1得到，然后利用裂项相消法求得S2015的值．【解答】解：由f（x）=4x2﹣1，得=，∴S2015==．故选：D．【点评】本题考查数列的函数特性，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题．12．（5分）若两个正实数x，y满足+=1，且不等式x+＜m2﹣3m有解，则实数m的取值范围（）A．（﹣1，4）B．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）C．（﹣4，1）D．（﹣∞，0）∪（3，+∞）【分析】将不等式有解，转化为求∴（x+）min＜m2﹣3m，利用“1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解出关于m的一元二次不等式的解集即可得到答案．【解答】解：∵不等式有解，∴（x+）min＜m2﹣3m，∵x＞0，y＞0，且，∴x+=（x+）（）=+2=4，当且仅当，即x=2，y=8时取“=”，∴（x+）min=4，故m2﹣3m＞4，即（m+1）（m﹣4）＞0，解得m＜﹣1或m＞4，∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了基本不等式在最值中的应用，不等式的有解问题．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．对于不等式的有解问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解．属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上13．（5分）设变量x，y满足约束条件，则的最大值为6．【分析】由约束条件作差可行域，利用的几何意义，即可行域内的动点与原点连线的斜率，求其最大值得答案．【解答】解：由约束条件作差可行域如图，联立，解得，∴A（1，6），的几何意义为可行域内的动点与原点连线的斜率，由图可知，当动点为A时，可行域内的动点与原点连线的斜率最大，最大值为．故答案为：6．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．（5分）数列{a n}是等差数列，S n是它的前n项和，已知S3=10，S9=60，则S6=30．【分析】在等差数列{a n}中，由等差数列的性质可得S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差数列，然后利用等差中项的概念结合已知求解．【解答】解：在等差数列{a n}中，由等差数列的性质可得S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差数列，∴2S6﹣2S3=S3+S9﹣S6，得，又S3=10，S9=60，则．故答案为：30．【点评】本题考查等差数列的性质，关键的对性质的记忆与应用，是中档题．15．（5分）已知0＜x＜1，则x（3﹣2x）的最大值为．【分析】由题意可得0＜x＜1，则3﹣2x＞0，x（3﹣2x）=2x（﹣x），运用基本不等式的变形，即可得到所求最大值．【解答】解：0＜x＜1，则3﹣2x＞0，x（3﹣2x）=2x（﹣x）≤2•（）2=，当且仅当x=时，等号成立，则x（3﹣2x）的最大值为，故答案为：．【点评】本题函数的最值的求法，注意运用基本不等式，正确变形和运用满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于基础题．16．（5分）如图为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架三角形支架形状如图，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，则AC最短为2+米．【分析】设BC的长度为x米，AC的长度为y米，依据题意可表示出AB的长度，然后代入到余弦定理中求得x和y的关系式，利用基本不等式求得y的最小值，并求得取等号时x的值．【解答】解：设BC的长度为x米，AC的长度为y米，则AB的长度为（y﹣0.5）米，在△ABC中，依余弦定理得：AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos∠ACB即（y﹣0.5）2=y2+x2﹣2yx×，化简，得y（x﹣1）=x2﹣，∵x＞1，∴2﹣1＞0因此y=，y=（x﹣1）++2≥+2当且仅当x﹣1=时，取“=”号，即x=1+时，y有最小值2+．故答案为：2+．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用以及基本不等式求最值问题．考查了考生利用数学模型解决实际问题的能力．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a=1，，．（1）求sinA的值；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）运用同角的平方关系可得sinC，再由正弦定理计算即可得到所求值；（2）运用余弦定理，解方程可得b，再由三角形的面积公式S=absinC，计算即可得到所求值．【解答】解：（1）a=1，，，可得sinC==，由正弦定理可得sinA===；（2）由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC，即为2=1+b2﹣b，即2b2﹣3b﹣2=0，解得b=2（负的舍去），则△ABC的面积为S=absinC=×1×2×=．【点评】本题考查正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18．（12分）已知数列{a n}是单调递增的等差数列，首项a1=2，且a2，a4，S4﹣4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）利用已知条件，列出方程，求出数列的公差，然后求解通项公式．（2）化简数列的通项公式，利用拆项法，通过等差数列以及等比数列求和求解即可．【解答】解：（1）由题意，得：，即（2+3d）2=（d+2）•（6d+4）…（2分）化简，得：3d2﹣4d﹣4=0，解得：…（4分）∵数列{a n}是单调递增的等差数列∴d＞0，∴d=2…（5分）∴a n=2+（n﹣1）×2=2n…（6分）；（2）由（1）得，…（7分）∴=（2+4+6+…+2n）+（21+22+23+…+2n）…（8分）=…（10分）=n2+n+2n+1﹣2∴．…（12分）【点评】本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，数列求和的方法，考查计算能力．19．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cosB；（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．【分析】（1）利用三角形的内角和定理可知A+C=π﹣B，再利用诱导公式化简sin （A+C），利用降幂公式化简8sin2，结合sin2B+cos2B=1，求出cosB，（2）由（1）可知sinB=，利用勾面积公式求出ac，再利用余弦定理即可求出b．【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2，∴sinB=4（1﹣cosB），∵sin2B+cos2B=1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B﹣1=0，∴16（cosB﹣1）2+（cosB﹣1）（cosB+1）=0，∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，∴cosB=；（2）由（1）可知sinB=，∵S=ac•sinB=2，△ABC∴ac=，∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2××=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，∴b=2．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式，二倍角公式和同角的三角函数的关系，属于中档题20．（12分）已知a＞0且a≠1，命题P：函数y=log a（x+1）在区间（0，+∞）上为减函数；命题Q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴相交于不同的两点．若“P ∨Q”为真，“P∧Q”为假，求实数a的取值范围．【分析】先求出命题P，Q为真命题时对应的等价条件，然后利用“P∨Q”为真，“P∧Q”为假，确定a的取值范围．【解答】解：∵a＞0且a≠1，∴命题P为真，则0＜a＜1 …（2分）命题Q为真，则，得a＞或0＜a＜，…（5分）若“P∨Q”为真，“P∧Q”为假，∴命题P、Q一个为真，一个为假若P真Q假，则，则≤a＜1 …（7分）若P假Q真，则，解得a＞…（9分）∴实数a的取值范围是…（10分）【点评】本题考查了复合命题的真假判断以及应用，要求熟练掌握复合命题与简单命题的真假关系，属于基础题．21．（12分）在△ABC中，A，B，C是三内角，a，b，c分别是A，B，C的对边，已知2（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，△ABC的外接圆的半径为．（1）求角C；（2）求△ABC面积的最大值．【分析】（1）根据正余弦定理化简，即可求解C；（2）根据余弦定理，结合基本不等式的求解ba的最大值即可求解△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）由正弦定理：可得a=sinA•2，b=sinB，2（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，可得：sin2A﹣sin2C=sinAsinB﹣sin2B即a2﹣c2=ba﹣b2由余弦定理得：cosC==∵0＜C＜π，∴C=；（2）由（1）可知a2﹣c2=ba﹣b2，c=sinC=，∴由余弦定理得b2+a2﹣6=ba，即ba+6≥2ab，当且仅当a=b=取等号∴ba≤6，那么ABC面积为S=basinC=故ABC面积的最大值．【点评】本题考查了正余弦定理的灵活应用和计算能力，基本不等式求解最值问题．属于中档题．22．（12分）已知各项都是正数的数列{a n}的前n项和为S n，，n∈N*（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足：b1=1，b n﹣b n﹣1=2a n（n≥2），求数列的前n项和T n；（3）在（2）的条件下，若对任意的n（n≥2，n∈N*）恒成立，求λ的取值范围．【分析】（1）求出首项，通过，推出数列{a n}是以为首项，为公差的等差数列，然后求解通项公式．=2a n（n≥2），推出b n﹣b n﹣1=n，通过累加法求出通项公式，（2）利用b n﹣b n﹣1然后求解数列的和．（3）由，得：，分离变量，然后利用基本不等式求解最值即可．【解答】解：（1）n=1时，，∴…（1分）…（2分）∴，＞0，∴…（3分）∵a n＞0，∴a n+a n﹣1∴数列{a n}是以为首项，为公差的等差数列∴…（4分）=n，（2）b n﹣b n﹣1…b3﹣b2=3，b2﹣b1=2两边累加，得：b n﹣b1=2+3+…+n，解得：…（5分）∴…（6分）∴…（8分）（3）由，得：，得…（9分）∵，当且仅当n=4时，等号成立…（10分）∴，∴有最大值…（11分）∴…（12分）【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，数列求和以及数列与不等式的应用，基本不等式求解最值，考查计算能力．。
北京东城27中高三上期中试卷数学 word含解析-word文档资料
北京市第27中学2019-2019学年第一学期期中试卷高三 数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设13log 2a =，121log 3b =，0.312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 大小关系是（ ）．A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】A【解析】由指数函数和对数函数的性质可知： 0.3110122c ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴a c b <<．故选A ． 2．如图，在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是A 和B ，则21z z 等于（ ）．A ．2B ．1C ．5D【答案】D【解析】1i z =，22i z =-，∴221i i(i)1i i i z z z z z ---===---，∴21z z ==D ． 3．如果0x ≠，那么函数22643y x x=--有（ ）．A．最小值4-B．最大有4+C．最大值4-D．最小值4+【答案】C【解析】∵0x ≠，∴20x >，∴2263x x +=≥， ∴函数22643y x x=--有最大值4-C ． 4．“x ∀∈R ，210x ax ++≥成立”是“||2a <”的（ ）．A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若对x ∀∈R ，210x ax ++≥成立，则240a ∆=-≤，22a -≤≤， ∴x ∀∈R ，210x ax ++≥成立是||2a <的必要不充分条件．故选B ． 5．将函数cos y x =的图象上所有的点向右平行移动π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（ ）．A ．1πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．1πcos 212y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．πcos 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由cos y x =的图象向右平行移动π6个单位长度，得到πcos 6y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得到πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．故选C ．6．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位数偶数的个数为（ ）．A ．324B ．328C ．360D ．648【答案】B【解析】0在末尾时有2972A =个，0不在末尾时有111488256C C C =个， 所以总共72256328+=个．故选B ．7．已知定义域为R 的函数()f x 在区间(8,)+∞上为减函数，且函数(8)y f x =+为偶函数，则（ ）．A ．(6)(7)f f >B ．(6)(9)f f >C ．(7)(9)f f >D ．(7)(10)f f >【答案】D【解析】函数()y f x =由(8)y f x =+向右平移8个单位所得， 所以函数()y f x =关于8x =对称， 又因为()f x 在区间(8,)+∞上递减， 所以()f x 在(,8)-∞上递增，所以(6)(7)(9)f f f <=，(7)(9)(10)f f f =>．故选D ．8．函数()f x 的定义域为[1,1]-，图象如图1所示；函数()g x 的定义域为[2,2]-，图象如图2所示，方程(())0f g x =有m 个实数根，方程(())0g f x =有n 个实数根，则m n +=（ ）．A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】C【解析】由图象可以知道，若(())0f g x =， 则()1g x =-或()0g x =或()1g x =，当()1g x =-时，1x =-或1；当()0g x =，2x =-或0或2； 当()1g x =时，2x =或2-，故7m =，故(())0g f x =， 则()0g x =，1x =-或0或1，故3n =， ∴10m n +=．故选C ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．化简22log 3333log 5272lg 2log 10-++=__________． 【答案】7【解析】22log 3333log 5272lg 2log 10-++10．已知π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．【答案】17【解析】∵π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，则43cos tan 54αα=-=-，11．在极坐标中，设0ρ>，02πθ<≤，曲线2ρ=与曲线sin 2ρθ=交点的极坐标为__________．【答案】π2,2⎛⎫⎪⎝⎭【解析】将2ρ=代入sin 2ρθ=，sin 1θ=，故交点的极坐标为π2,2⎛⎫⎪⎝⎭．12．已知二次函数()y f x =的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为__________． 【答案】43【解析】设()(1)(1)f x a x x =+-，0a <， 又点(0,1)在函数()f x 的图象上， 所以1a =-，2()1f x x =-+，由定积分几何意义，围成图形的面积为：13．已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧⎪=⎨⎪-<⎩≥，若函数()()g x f x k =-有两个零点，则实数k 的取值范围是__________． 【答案】(0,1)【解析】作出函数()f x 的图象如图所示，若函数()()g x f x k =-有两个零点， 则函数()f x 的图象与y x =的图象有两个交点，故01k <<．14．如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈，记水轮上的点P 到水面的距离为d 米（P 在水面下则d 为负数），如果d （米）与时间t （秒）之间满足关系式：ππsin()0,0,22d A t k A ωϕωϕ⎛⎫=++>>-<< ⎪⎝⎭，且当P 点从上面上浮现时开始计算时间，那么以下结论中：正确结论的序号是__________． 【答案】①②④【解析】由图可知d 的最大值为15，最小值为5-， 所以：155A k A k +=⎧⎨-+=-⎩，解得10A =，5k =，故①④正确；又因为每分钟转4圈，∴函数的周期为15S ，2π15ω=，故②正确， 又当0t =时，0d =，所以10sin450+=，1sin 2ϕ=-，∴π6ϕ=-，故③错误． 综上所述，正确结论的序号是①②④．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本大题满分13分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，60A =︒，32b c =，ABC S △． （Ⅰ）求b 的值． （Ⅱ）求sin B 的值． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）∵60A =︒，ABC S △，∴6bc =，又∵32b c =，∴由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即2232367a =+-=，∴a =由正弦定理得sin sin a b A B =2sin B=，解得sin B =16．（本小题满分13分）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天． （Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率．（Ⅱ）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望． （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）设“此人到达当日空气重度污染”为事件A ， 由图可以看出3月1日到3月13日期间共有2天属于重度污染，故2()13P A =． （Ⅱ）由题意可知x 的所有可能取值为0，1，2．①当此人在3月4号，5号，8号，9号，10号这5天的某一天到达该城市时，停留的2天都不是优良天气，故5(0)13P X ==； ②当此人在3月3号，6号，7号，11号这4天中的某一天到达该城市时，停留的2天中的1天不是优良天气1天是优良天气，故4(1)13P X ==； ③当此人在3月1号，2号，12号，13号这4天中的某一天到达该城市时，停留的2天都是优良天气，故4(2)13P X ==． 故x 的分布列为：（Ⅲ）由图判断从3月5 17．（本小题满分14分）已知函数2π()2cos 214f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递减区间． （Ⅱ）求()f x 在区间ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范围．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）∵2π()2cos 214f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∴()f x 的最小正周期2ππ42T ==，∵令π22k +，π3ππ4322k x +<+，k ∈Z ， 解得ππ7ππ242242k k x +<<+，k ∈Z ， ∴()f x 的单调递减区间是ππ7ππ,242242k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，()k ∈Z ．故()f x 的取值范围是[2]． 18．（本小题共13分）已知函数()1ln f x ax x =--，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间．（Ⅱ）若函数()f x 在1x =处取得极值，(0,)x ∀∈+∞，()2f x bx -≥恒成立，求实数b 的取值范围． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）在区间(0,)+∞上，11()ax f x a x x-'=-=，①若a ≤0，则()0f x '<，()f x 在(0,)+∞单调递减， ②若0a >，令()0f x '=得1x a=， 令()0f x '>，解得1x a >，()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 令()0f x '<，解得1x a <，∴()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 综上所述，①当0a ≤时，()f x 的单调减区间(0,)+∞，无单调增区间；②当0a >时，()f x 的单调减区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间是1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（Ⅱ）∵函数()f x 在1x =处取得极值， ∴(1)0f '=，解得1a =，由已知()2f x bx -≥，则1ln x xb x+-≥， 令1ln 1ln ()1x x x g x x x x +-==+-，则2211ln ln 2()x x g x x x x--'=--=， 令()0g x '>，则2e x >，令()0g x '<，则2e x <， ∴g()x 在2(0,e )上单调递减，在2(e ,)+∞上单调递增，故实数b 的取值范围是21,1e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦．19．（本小题共13分）已知函数()f x 定义在(0,)+∞上，且满足：①(2)1f =；②()()()f xy f x f y =+；③()()x y f x f y ⇔≥≥． （Ⅰ）求(4)f 的值．（Ⅱ）如果()(3)2f x f x +-≤，求x 的取值范围．（Ⅲ）如果定义域改为{}|0x x ≠，请在满足题干条件②的情况下，判断函数的奇偶性，并说明理由． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）∵函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，且(2)1f =，∴令2x =，2y =，则(4)(2)(2)2f f f =+=． ∴函数()f x 在(0,)+∞上单调递增， ∴030(3)4x x x x >⎧⎪->⎨⎪-⎩≤，解得34x <≤． （Ⅲ）令1x =，1y =，则(1)(1)(1)f f f =+，故(1)0f =， 令1x =-，1y =-，则(1)(1)(1)f f f =-+-，故(1)0f -=， 令x x =，1y =-，则()()(1)f x f x f -=+-，即()()f x f x -=， ∴函数为偶函数． 20．（本小题共14分）已知函数()e x f x ax =-（e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）当2a =时，求曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程． （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间．（Ⅲ）已知函数()f x 在0x =处取得极小值，不等式()f x mx <的解集为P ，若1|22M x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭≤≤，且M P ≠∅，求实数m 的取值范围．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）当2a =时，()e 2x f x x =-，(0)1f =， 所以曲线()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为：1y x =-+．当0a ≤时，()0f x '>恒成立，此时()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞，无单调减区间； 当0a >时，令()0f x '<，则ln x a <，令()0f x '>则ln x a >； 此时，()f x 的单调增区间为(ln ,)a +∞，单调减区间为(,ln )a -∞， 综上所述，0a ≤时，()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞，无单调减区间，0a >时，()f x 的单调增区间为(ln ,)a +∞，单调减区间(,ln )a -∞．（Ⅲ）由题意知(0)0f '=，得1a =，经检验此时()f x 在0x =处取得极小值， ∵MP ≠∅，∴()f x mx <在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，即1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使()f x mx <成立，即1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦使e x xm x ->成立，∴mine x x m x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，令e ()1x g x x =-，2(1)e ()xx g x x -'=， ∴()g x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[1,2]上单调递增，故实数m 的取值范围是(e 1,)-+∞．。
北京东城27中学高三上学期期中考试数学(理)试题
北京市第二十七中学2017—2018学年第一学期 高三年级其中数学（理）试卷 2017.11一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合{}2|1A x x =<，{}B a =，若A B =∅，则a 的取值范围是（ ）． A ．(,1)(1,)-∞-+∞ B ．(,1][1,)-∞-+∞C ．(1,1)-D ．[1,1]-【答案】B【解析】解：{}:|11A x x -<<，{}B a ，A B =∅， ∴(,1][1,)a ∈-∞-+∞，故选B ．2．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（ ）．A ．3y x =B ．ln()y x =-C ．y =D ．2y x x=+【答案】D【解析】解：C 、B 不是奇函数，A 在R 上单调递增，无极值， 故选D ．3．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）．A ．2B ．32C ．53D ．85【答案】C【解析】解：03k =<，继续，011k =+=，1121s +==，继续，112k =+=，21322s +==，继续， 213k =+=，3152332s +==，停业． 故选C ．输出s 为53．4．下列函数()f x 图像中，满足1(3)(2)4f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭的只可能是（ ）．A．B ．C．D．【答案】D【解析】解：∵1(3)(2)4f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，说明()f x 在定义域上不是单调递增或递减， 由图像排除AB ，且C 项不符合1(3)4f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故选：D ．5．将函数cos y x =的图像上所有的点向右平行移动π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ）． A ．1πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．1πcos 212y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D πcos 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】解：π612ππcos cos cos 266y x y x y x ⎛⎫⎛⎫=→=-−−−−→=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭右移单位横坐标缩短为原来的．【注意有文字】 故选C ．6．设m 、n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅<”的（ ）． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：若存在0λ<，使得m n λ=，则2||0m n n λ⋅=<， 若0m n ⋅<，并不能得到m 与n 共线，可能两向量夹角为钝角， 故“存在负数λ，使m n λ=”是“0m n ⋅<”的充分不必要条件． 故选A ．7．对于函数()=lg |2|1f x x -+，有如下三个命题： ①(2)f x +是偶函数；②()f x 在区间(,2)-∞上是减函数，在区间(2,)+∞上是增函数； ③(+2)()f x f x -在区间(2,)+∞上是增函数． 其中正确的命题的序号是（ ）． A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③ 【答案】A【解析】解：①()(2)lg ||1g x f x x =+=+， ()()g x g x =-，正确．②∵函数|2|t x =-在(,2)-∞上是减函数，在(2,)+∞上是增函数，且lg y t =在(0,)+∞上是增函数，∴()f x 在(,2)-∞是减函数，在(2,)+∞是增函数，正确． ③(2)()lg ||lg |2|f x f x x x +-=-- lg2xx =- 2lg 12x =+-， 在(2,)+∞是减函数，错误． 故选A ．8．已知函数21,0()=(1),0x x f x f x x -⎧-⎨->⎩≤，若方程()=f x x a +有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．[0,)+∞B ．(0,1)C ．(,1)-∞D ．(,1]-∞【答案】D【解析】解：()f x 图像如图所示，1a <，()f x 与y x a =+图像有两个交点，符合题意． 故选D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 9．命题“0π0,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，00tan sin x x >”的否定是__________．【答案】π0,2x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，0tan sin x x ≤【解析】解：特称命题变否定时，“∀”需改成“∃”．10．已知平面向量(3,1)a =，(,3)b x =，且a b ⊥，则实数x 的值为__________． 【答案】1-【解析】解：∵a b ⊥， ∴0a b ⋅=， 即3130x +⨯=， 解出1x =-．11．函数2y x x =-的图像与x 轴所围成的封闭图形的面积等于__________． 【答案】16【解析】解：函数2y x x =-开口向下，与x 轴围成的封闭图形面积为1232011()d 0236x x x x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭⎰．12．已知函数2()1f x ax bx =++（a 、b 为实数，0a ≠，x ∈R ），若(1)0f -=，且函数()f x 的值域为(0,)+∞，则()f x 的表达式=__________． 当[2,2]x ∈-时，()()g x f x kx =-是单调函数，则实数k 的取值范围是__________． 【答案】221x x ++【解析】解：∵2()1(0)f x ax bx a =++≠，(1)10f a b -=-+=， ∴1a b =-①，又∵222()22b b b f x a x x a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22122b b a x a a ⎛⎫=++-⎪⎝⎭， 2min ()104b f x a=-=②，联立①②解出1a =，2b =， ∴2()21f x x x =++．13．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y （万元）与机器运转时间x （年数，*x ∈N ）的关系为21825y x =-+-，则当每台机器__________年时，年平均利润最大，最大值是__________万元． 【答案】5；8 【解析】解：2518y x x x=-+- 2518x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭8≤．当且仅当5x =时，等号成立， 当25x x=时，max 8y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即机器运转5年时，年平均利润最大为8万元/年．14．函数()f x 的导函数为()f x '，若对于定义域内任意1x ，212()x x x ≠，有121212()()2f x f x x x f x x -+⎛⎫'= ⎪-⎝⎭恒成立，则称()f x 为恒均变函数，给出下列函数： ①()23f x x =+； ②2()23f x x x =-+； ③1()f x x=； ④()e x f x =．其中为恒均变函数的序号是__________．（写出所有．．满足条件的函数的序号） 【答案】①②【解析】解：①()23f x x =+， 12121212()()222f x f x x x x x x x --==--，1222x x f +⎛⎫'= ⎪⎝⎭．符合要求． ②2()23f x x x =-+，22211221212()()(2)(2)f x f x x x x x x x x x ----=--121212()(2)x x x x x x -+-=-，12121222222x x x x f x x ++⎛⎫'=⋅-=+- ⎪⎝⎭．符合要求．③1()f x x=， 121212121211()()1f x f x x x x x x x x x ---==--，12221212142()2x x f x x x x +-⎛⎫'== ⎪+⎝⎭+⎛⎫⎪⎝⎭．不符合要求． ④()e x f x =12121212()()e e x x f x f x x x x x --=--，12122e 2x x x xf ++⎛⎫'= ⎪⎝⎭．不符合要求．综上所述，符合要求有①②．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15．（本小题满分13分） 已知函数π()sin sin 3f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求π6f ⎛⎫⎪⎝⎭．（Ⅱ）求()f x 的单调增区间． 【答案】（Ⅰ）π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（Ⅱ）单调递增区间为5ππ2π,2π66k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z【解析】解：（Ⅰ）∵π()sin sin 3f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ππsin sin cos sin cos 33x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1sin 2x x = πsin 3x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππsin 162f ⎛⎫== ⎪⎝⎭．（2）∵πππ5π2π2ππ2π2π23266k x k k x k -+++-++≤≤≤≤，即()f x 单调递增区间为5ππ2π,2π66k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ．16．（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴为始作边两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆交于A 、B 两点，已知A 、B． （Ⅰ）求tan()αβ+的值． （Ⅱ）求2+αβ的值．【答案】（Ⅰ）tan()3αβ+=（Ⅱ）32π4αβ+=【解析】解：（Ⅰ）∵在单位圆中，cos α=sin α=，cos β=，sin β ∴sin tan 2cos ααα==， sin 1tan cos 7βββ==，tan tan tan()31tan tan αβαβαβ++==-．（Ⅱ）∵4sin22sin cos 5ααα==，3|cos25α， 2α为钝角，故cos 20α<，3cos25α=-，∴sin(2)αβ+sin 2cos sin cos2αββα=+4355⎛⎫=+- ⎪⎝⎭=，(2)αβ+为钝角，∴32π4αβ+=．17．（本小题满分13分） 已知曲线:e ax C y =．（Ⅰ）若曲线C 在点(0,1)处的切线为2y x m =+，求实数a 和m 的值．（Ⅱ）对任意实数a ，曲线C 总在直线:l y ax b =+的上方，求实数b 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）2a =，1m = （Ⅱ）1b <【解析】解：（Ⅰ）∵(0,1)在切线2y x m =+上， ∴1201m =-⨯=， 又∵e ax y a '=，当0x =时，0e 2y a a '===， ∴2a =，1m =．（Ⅱ）由题知：e 0ax ax b -->，恒成立， ∴e ax b ax <-，令ax t =， 设()t f t a t =-，()e 1t f t '=-， 令()0f t '>，0t >，()0f t '<，0t <，∴()f t 在(,0)-∞单调递减， 在(0,)+∞单调递增， ∴0min ()(0)e 01f t f ==-=， ∴1b <． 18．（本小题满分13分）已知在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，60A =︒，32b c =，ABC S =△． （Ⅰ）求b 的值． （Ⅱ）求sin B 的值． 【答案】（Ⅰ）2b =（Ⅱ）sin B =【解析】解：（Ⅰ）∵60A =︒，sin A ， 1sin 2ABC S bc A =△1322b b =⨯⨯2= ∴24b =，2b =． （Ⅱ）∵60A =︒，1cos 2A =， 2221cos 22b c a A bc +-==，代入2b =，332c b ==，解出a = 又∵sin sin a bA B=，∴sin sin b A B a ==19．（本小题满分14分）已知函数()()e x f x x a =+，其中e 是自然数的底数，a ∈R ． （Ⅰ）求实数()f x 的单调区间．（Ⅱ）当1a <时，试确定函数2()()g x f x a x =--的零点个数，并说明理由． 【答案】（Ⅰ）单调递增区间(2,)a -+∞；单调递减区间(,2)a -∞- （Ⅱ）一个零点【解析】解：（Ⅰ）∵()()e x f x x a =+，()e (2)x f x x a '=+， 令()0f x '>，解出2x a >-，()0f x '<，解出2x a <-，∴()f x 的单调递减区间为(,2)a -∞-， 单调递增区间为(2,)a -+∞． （Ⅱ）2()e x a g x x x -=-()e x a x x -=-，当0x =时，(0)0g =，现考虑函数e x a y x -=-的零点，令x a t -=，则x a t =+， 令()e ()t h t t a =-+，考虑函数e t y =与y t a =+的交点， 当两者只有一个交点时，（即两者相切）， e 1t =，解得0t =，此时1a =，已知1a <，故函数e t y =与y t a =+无交点， 故只存在0x =一个零点．20（本小题满分14分） 已知集合{}12,,,(2)k A a a a k =≥，其中(1,2,,)i a i k ∈=Z ，由A 中的元素构成两个相应的集合：{}(,)|,,S a b a A b A a b A =∈∈+∈，{}(,),,T a b a A b A a b A =∈∈-∈．其中(,)a b 是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ． 若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P ．（Ⅰ）检验集合{}0,1,2,3与{}1,2,3-是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ．（Ⅱ）对任何具有性质P 的集合A ，证明k(1)2k n -≤． （Ⅲ）判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论． 【答案】（Ⅰ）集合{}0,1,2,3不具有性质P ， 集合{}1,2,3-具有性质P ， 相应集合(1,3)S =-，(3,1)-， 集合(2,1)T =-，(2,3) （Ⅱ）略 （Ⅲ）m n =【解析】解：（Ⅰ）由题目的约束条件可知，集合{}0,1,2,3中，0A ∈，不符合性质P 的要求，其不具有性质P ， 而集合{}1,2,3-符合性质P 要求， 相应的集合(1,3)S =-，(3,1)-， 集合(2,1)T =-，(2,3)． （Ⅱ）证明：∵A 中元素构成的有序数对(,)ai aj ，一共存在2k 个， 且0A ∉，故(,)T(1,2)ai aj i k ∉=，∵a A ∈时，a A -∉，∴(,)ai aj T ∈时，(,)ai aj T ∉，∴集合T 中元素个数最多为21(1)()22k k k k --=个，故(1)2k k n -≤，证毕． （Ⅲ）m n =，证明如下：①对于(,)a b S ∈，由定义知a A ∈，b A ∈，且a b A +∈， ∴(,)a b b T +∈，如果(,)a b 与()c d +是S 的不同元素， 那么a c =与b d =中至少有一个不成立， ∴a b c d +=+与b d =中至少有一个不成立， ∴(,)a b b +与(,)c d d +也是T 的不同元素，即S 中元素的个数，不多于T 中元素的个数，m n ≤． ②对于(,)a b T ∈，由定义知a A ∈，b A ∈，且a b A -∈， ∴(,)a b b S -∈，如果(,)a b 与(,)c d 是T 中不同元素， 那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d -=-与b d =中也至少有一个不成立， ∴(,)a b b -与(,)c d d -也是S 的不同元素， ∴T 中元素个数不多于S 中元素的个数， 即n m ≤．综合①②可知m n =．。
2017届北京市东城区重点中学高三上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2017届北京市东城区重点中学高三上学期期中考试数学（理）试题（解析版）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1. 已知集合，，若，则的取值范围为（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，，由，得，故选．点睛：在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】．是增函数，非奇非偶，．在定义域内既有增区间也有减区间，．定义域为，非奇非偶，．故选：B3. 若向量，满足，且，则向量，的夹角为（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意得，，即，∴，计算得出，则向量，的夹角是，故选：C．4. 已知命题，，那么下列结论正确的是（）.A. 命题，B. 命题，C. 命题，D. 命题，【答案】B【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题，并将结论加以否定，所以命题考点：全称命题与特称命题5. 已知，，下列四个条件中，使成立的必要而不充分的条件是（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：，反之不成立，因此是的必要不充分条件考点：充分条件与必要条件点评：若命题成立，则是的充分条件，是的必要条件6. 已知向量，，则下列向量可以与垂直的是（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】∵向量，，∴，∵，，，，∴向量可以与垂直，故选：．7. 为了得到函数的图像，只需把函数的图像（）.A. 向右平移个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位D. 向左平移个单位【答案】D【解析】分别把两个函数解析式简化为，函数，又，可知只需把函数的图象向左平移个长度单位，得到函数的图象，故选：8. 已知数列满足，，定义数列，使得，，若，则数列的最大项为（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】∵数列满足，，∴数列是首项为，公差为的等差数列，∴，∵，∴的最后一个正项是，∴中，当时，数列取最大项．故选．点睛：等差数列，其通项是关于的一次型函数，当时，是关于的单调增函数，当时，是关于的单调减函数，当时，是常函数.本题解题的关键是明确在何时发生转折，由正到负或由负到正.二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9. 已知，，，则，，的大小关系为__________.【答案】【解析】∵，∴，∴，即，∵，∴．∴，，的大小关系为．故答案为：．10. 若，则的值是__________.【答案】【解析】把两边平方得：，即，，．解得：．故答案为：．点睛：利用sin2＋cos2＝1可以实现角的正弦、余弦的互化，利用＝tan可以实现角的弦切互化；应用公式时注意方程思想的应用：对于sin＋cos，sin cos，sin－cos这三个式子，利用(sin±cos)2＝1±2sin cos，可以知一求二；注意公式逆用及变形应用：1＝sin2＋cos2，sin2＝1－cos2，cos2＝1－sin2.11. 计算__________.【答案】【解析】故答案为：12. 如图，正方形中，为的中点，若，则的值为__________.【答案】【解析】由题意正方形中，为的中点，可知：．则的值为：．故答案为：13. 函数的部分图像如图所示，其中、两点间距离为，则__________.【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：14. 设函数的定义域为，若函数满足下列两个条件，则称在定义域上是闭函数.①在上是单调函数；②存在区间，使在上值域为.如果函数为闭函数，则的取值范围是__________.【答案】【解析】若函数为闭函数，则存在区间，在区间上，函数的值域为，即，∴，是方程的两个实数根，即，是方程的两个不相等的实数根，当时，解得；当时，解得无解．综上，可得．故答案为：．点睛：本题充分体现了方程、不等式、函数的联系，由闭函数转化为方程有解，方程有解转化为解不等式组，从而得到了答案.这种问题最简单的体现“三个”二次的关系.三、解答题（共6小题，满分80分）15. 已知等差数列满足：，，其中为数列的前项和.（I）求数列的通项公式.（II）若，且，，成等比数列，求的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)4.【解析】试题分析：（1）利用等差数列基本公式求数列的通项公式；（2）利用等比中项构建关于的方程，解之即可.试题解析：（I）设等差数列的首项为，公差为，由，，得，解得．∴．（II），由，，成等比数列，得，解得．16. 已知的三个内角分别为，，，且.（I）求的度数.（II）若，，求的面积.【答案】（I）（II）【解析】试题分析：（1）由内角和定理及商数关系可得，从而得到的度数；（2）由余弦定理，求出，进而得到的面积.试题解析：（I）∵，∴，∴，又∵为三角形内角，∴，∴，而为三角形内角，∴，综上所述，的度数为．（II）由余弦定理，，，，∴，∴，∴或（舍去），∴，综上所述，的面积为．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.17. 已知函数，.（I）当时，求函数的单调区间.（II）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ)单调递增区间是，单调递减区间是．(Ⅱ)或．【解析】试题分析：（1）当时，,解导不等式，得到函数的单调区间；（2）函数在区间上是减函数，推得在上恒成立，即在上恒成立，利用“三个”二次的关系得到实数的取值范围.试题解析：（I）当时，，定义域是．，由，解得；由，解得；所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是．（）因为函数在区间上是减函数，所以在上恒成立，则，即在上恒成立．①当时，，所以不成立．②当时，，，对称轴．，即，解得．综上所述，实数的取值范围为，．18. 已知函数.（I）求的值.（II）求函数的最小正周期及单调递减区间.【答案】（I）（II）见解析【解析】试题分析：（1）把代入函数，即可求得的值；（2）明确函数的定义域，化简函数可得：，从而得到函数的最小正周期及单调递减区间.试题解析：（I）由函数的解析式可得：．（II）∵，得，，故的定义域为．因为，，所以的最小正周期为．由，，，得，，，所以，的单调递减区间为，，．19. 设函数.（I）时，求函数的增区间.（II）当时，求函数在区间上的最小值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)答案见解析.【解析】试题分析：（1）时，，由得到函数的增区间；（2）当时，，利用对勾函数的图像与性质，对分类讨论，即可得到函数在区间上的最小值试题解析：（I），．则，（此处用“”同样给分）注意到，故，于是函数的增区间为．（写为同样给分）（II）当时，．，当且仅当时，上述“”中取“”．①若，即当时，函数在区间上的最小值为；②若，则在上为负恒成立，故在区间上为减函数，于是在区间上的最小值为．综上所述，当时，函数在区间上的最小值为．当时，函数在区间上的最小值为．点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．20. 设满足以下两个条件的有穷数列，，，为阶“期待数列”：①；②.（）分别写出一个单调递增的阶和阶“期待数列”.（）若某阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式.（）记阶“期待数列”的前项和为，试证：.【答案】(1)三阶：，，四阶：，，，．(2)；(3)证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）借助新定义利用等差数列，写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（Ⅱ）利用某阶“期待数列”是等差数列，通过公差为0，大于0．小于0，分别求解该数列的通项公式；（Ⅲ）判断k=n时，，然后证明k＜n时，利用数列求和以及绝对值三角不等式证明即可.试题解析：（）三阶：，，四阶：，，，．（）设等差数列，，，，公差为，∵，∴，∴，即，∴且时与①②矛盾，时，由①②得：，∴，即，由得，即，∴，令，∴，时，同理得，即，由得即，∴，∴时，．（）当时，显然成立；当时，根据条件①得，，即，，∴，∴．。
2017-2018北京东城汇文中学高三上期中【理】数学真题卷
2017-2018学年度第一学期北京汇文中学期中考试高三年级数学（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．设集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =，{}3,4,5B =，则()U A B = ð（）．A ．{}2,6B ．{}3,6C ．{}1,3,4,5D ．{}1,2,4,6【答案】A【解析】∵集合{}1,3,5A =，{}3,4,5B =， ∴{}1,3,4,5A B = ， 又∵{}1,2,3,4,5,6U =， ∴{}()2,6U A B = ð．故选A ．2．设x ∈R ，则“|2|1x -<”是“220x x +->”的（）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】不等式|2|1x -<的解集是{}|13x x <<， 不等式220x x +->的解集是{|2x x <-或}1x >， ∵{}{|13|2x x x x <<<-Ü或}1x >，∴“|2|1x -<”是“220x x +->”的充分不必要条件． 故选A ．3．若复数21iz =-，其中i 为虚数单位，则共轭复数z =（）．A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】B 【解析】∵复数22(1i)1i 1i (1i)(1i)z +===+--+， ∴1i z =-． 故选B ． 4．已知向量(1,)a m = ，(3,2)b =- ，则()a b b +⊥，则m =（）．A ．8-B ．6-C ．6D ．8【答案】D【解析】(1,)a m = ，(3,2)b =-， ∴(4,2)a b m +=-，又∵()a b b +⊥ ， ∴122(2)0m --=， 解得：8m =． 故选D ．5．设函数2()cos sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（）．A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关【答案】B【解析】2cos2111()cos sin sin cos2sin 222x f x x b x c b x c x b x c +=++=++=+++， 当0b =时，11()cos222f x x c =++，此时最小正周期是π；当0b ≠时，最小正周期是2π，而c 不影响周期．故选B ．6．如图，点D 是线段BC 的中点，6BC =，且||||AB AC AB AC +=- ，则||AD =（）．A ．6B．C ．3D ．32【答案】C【解析】由题意，22||||AB AC AB AC +=- ，得0AB AC ⋅=，∴AB AC ⊥，又∵点D 是BC 的中点，∴1||||32AD BC == ． 故选C ．7．函数log (3)1a y x =+-（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为（）．A ．6B ．8C．D ．32【答案】B【解析】函数log (3)1a y x =+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点(2,1)--， ∴(2,1)A --，∵点A 在直线10mx ny ++=上， ∴210m n --+=，即21m n +=， ∵0mn >， ∴0m >，0n >，∴12124(2)2248n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=+++= ⎪⎝⎭≥， 当且仅当14m =，12n =时取等号， ∴12m n +的最小值是8． 故选B ．8．若函数|1||1|3e sin(1)()ex x x f x --⋅--=在区间[3,5]-上的最大值、最小值分别为p 、q ，则p q +的值为（）． A ．2 B ．1 C ．6 D ．3 【答案】C【解析】令1x t -=，则||||3e sin ()e t t t f t ⋅-=，[4,4]t ∈-，∵||||||3e sin sin ()3e e t t t t tf t ⋅-==-，∴()3f t -是奇函数， ∴min max ()3()30f t f t -+-=， 即min max ()()6f t f t +=，∴函数()f x 在区间[3,5]-上的最大值与最小值之和为6， 即6p q +=． 故选C ．9．已知数列{}n a 的通项公式2(313)n n a n =-，则数列的前n 项和n S 的最小值是（）．A ．3SB ．4SC ．5SD ．6S【答案】B【解析】令2(313)0n n a n =-≥，解得133n ≥， ∴数列{}n a 的前4项皆小于0，从第5项开始大于0， ∴数列的前n 项和n S 的最小值是4S ． 故选B ．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域{(,)|1A x y x y =+≤，且}0,0x y ≥≥，则平面区域{}(,)|(,)B x y x y x y A +-∈的面积为（）．A ．2B ．1C ．12D ．14【答案】B【解析】令x y μ=+，V x y =-，则100V V μμμ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≥≥，作出可行域如图所示：∴平面区域B 的面积12112S =⨯⨯=．故选B ．二、填空题（本大题8小题，每小题3分，共24分）11．函数()y f x =的图像与函数3log (0)y x x =>的图像关于直线0x =对称，则()f x =__________． 【答案】3log ()(0)y x x =-<【解析】由图象的对称性可知，()y f x =与()y f x =-的图像关于y 轴对称， 故若函数()y f x =的图象与函数3log (0)y x x =>的图象关于直线0x =对称， 则3()log ()(0)f x x x =-<．12．函数y __________． 【答案】[2,1]-【解析】要使函数有意义，则220x x --≥， 即220x x +-≤，即(1)(2)0x x -+≤， 解得21x -≤≤，故函数y =[2,1]-．13．323d x x -⎰的值=__________．【答案】18【解析】3233331d |9(9)183x x x --==--=⎰．14．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4c o s 5A =，5cos 13C =，1a =，则b =__________． 【答案】2113【解析】由题意知，3sin 5A =，12sin 13C =，3541263sin sin()sin cos cos sin 51351365B AC A C A C =+=+=⨯+⨯=，由正弦定理得，sin sin a bA B=，故631sin 21653sin 135a Bb A⨯===．15．已知0.223a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 3b =，1ln 2c =，则a ，b ，c 由小到大的顺序为__________．【答案】c a b <<【解析】由指数函数和对数函数的性质可得：0.22(0,1)3a ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，2log 3(1,)b =∈+∞，1ln (,0)2c =∈-∞，故c a b <<．16．设a ∈R ，若0x >时均有2[(1)1](1)0a x x ax ----≥，则a =__________．【答案】32【解析】当1a =时，代入题中不等式显然不成立，当1a ≠时，令1(1)1y a x =--，21y x ax 2=--，它们都过定点(0,1)-， 考查函数1(1)1y a x =--，令0y =，得11x a =-， ∴1(1)1y a x =--与x 轴交点为1,01a ⎛⎫⎪-⎝⎭， ∵0x >时，均有2[(1)1](1)0a x x ax ----≥， ∴221y x ax =-=也过点1,01a ⎛⎫⎪-⎝⎭， ∴211011a a a ⎛⎫--= ⎪--⎝⎭， 解得32a =，或0a =（舍去）， 故32a =．17．数列{}n a 满足13a =，24a =，2n a += 则（1）3a =__________．（2）此数列最多有__________项． 【答案】（1（2）49【解析】（1）由题意，3a = （2）由2n a +，得221211n n n n a a a a +++⋅=⋅-， 又13a =，24a =，∴数列{}21n n a a +⋅是首项为48，公差为1-的等差数列， ∴2148(1)490n n a a n n +=--=-≥，∴49n ≤，即此数列最多有49项．18．记{}ave ,,a b c 表示实数a ，b ，c 的平均数，{}max ,,a b c 表示实数a ，b ，c 的最大值，设11ave 2,,122A x x x ⎧⎫=-++⎨⎬⎩⎭，11max 2,,122M x x x ⎧⎫=-++⎨⎬⎩⎭，若3|1|M A =-，则x 的取值范围是__________．【答案】{|4x x =-或}2x ≥【解析】作出11max 2,,122M x x x ⎧⎫=-++⎨⎬⎩⎭的图象如图所示，由题意1113A =⨯-，故,03|1|||,0x x A x x x -<⎧-==⎨⎩≥，∵3|1|M A =-，∴当0x <时，122x x -=-+，得4x =-；当01x <≤时，122x x =-+，得43x =，舍去；当12x <≤时，112x x =+，得2x =，舍去；当2x ≥时，x x =，恒成立，综上所述，x 的取值范围是{|4x x =-或}2x ≥．三、解答题（本大题共5小题，共46分，写出必要的解答过程） 19．已知二次函数()f x 满足条件(0)1f =及(1)()2f x f x x +-=． （1）求()f x ．（2）求()f x 在区间[1,1]-上的最大值和最小值． 【答案】见解析．【解析】解：（1）设2()f x ax bx c =++，则22(1)()(1)(1)()22f x f x a x b x c ax bx c ax a b x +-=++++-++=++=， ∴220a a b =⎧⎨+=⎩，解得：11a b =⎧⎨=-⎩，12x +1又(0)1f c ==， ∴2()1f x x x =-+．（2）由（1）知，2213()124f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，∴()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()f x 在区间[1,1]-上的最小值min 13()24f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，最大值max ()(1)3f x f =-=．20．如图，在ABC △中，ACB ∠为钝角，2AB =，BC =π6A =，D 为AC延长线上一点，且1CD =．（1）求BCD ∠的大小． （2）求BD ，AC 的长． 【答案】见解析．【解析】解：（1）在ABC △中，2AB =，π6A =，BC = 由正弦定理可得sin sin AB BC ACB A=∠，即2sin sin 6ACB =∠∴π2sinsin ACB ∠==，∵ACB ∠为锐角，∴3π4ACB ∠=， ∴π4BCD ∠=．（2）在BCD △中，由余弦定理可知2222cos BD CB DC CB DC BCD =+-⋅⋅∠，即222π1)21)cos24244BD =+-⋅=++=， ∴2BD =，在ABC △中，由余弦定理可知：2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅，即222π222cos6AC AC =+-⋅⋅⋅，整理得220AC -+=，解得1AC或1AC ，DB∵ACB ∠为钝角， ∴2AC AB <=，∴1AC =，综上所述，2BD =，1AC ．21．设不等式22ln 3x x x ax -+-≥对一切(0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】(],4-∞．【解析】解：不等式22ln 3x x x ax -+-≥对一切(0,)x ∈+∞恒成立等价于32ln a x x x++≤， 令3()2ln h x x x x=++，(0,)x ∈+∞，则2223(3)(1)()1x x h x x x x +-'=+-=，当(0,1)x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增， ∴()h x 在(0,)+∞上的最小值min ()(1)4h x h ==， ∴4a ≤，即实数a 的取值范围是(],4-∞．22．已知函数1()ln ()f x a x a x=+∈R ．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程．（2）如果函数()()2g x f x x =-在(0,)+∞上单调递减，求a 的取值范围． （3）当0a >时，讨论函数()y f x =零点的个数． 【答案】见解析．【解析】解：（1）当2a =时，1()2ln f x x x =+，221()f x x x'=-， ∴(1)1f =，(1)1f '=，∴()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为：11y x -=-，即0x y -=． （2）函数()()2g x f x x =-在(0,)+∞上单调递减， 等价于21()20a g x x x '=--≤在(0,)+∞上恒成立， 即12(0)a x x x+>≤恒成立，∵12x x +≥12x x=，即x =时，等号成立．∴a ≤，即a 的取值范围是(-∞． （3）2211()a ax f x x x x-'=-=，令()0f x '=，得1x a=， 当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，∴min 11()ln (1ln )f x f a a a a a a ⎛⎫==+=- ⎪⎝⎭．①当0e a <<时，min ()0f x >，()f x 在定义域内无零点； ②当e a =时，min ()0f x =，则()f x 在定义域内有唯一的零点； ③当e a >时，min ()0f x <， 由(1)10f =>，所以()f x 在增区间1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内有唯一零点；21(2ln )f a a a a⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 设()2ln h a a a =-，则2()1h a a'=-，∵e a >，∴()0h a '>，∴()h a 在(e,)+∞上单调递增， ∴()(e)0h a h >>，即210f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，∴()f x 在减区间10,a ⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一的零点，则e a >时，()f x 在定义域内有两个两点，综上所述：当0e a <<时，()f x 在定义域内无零点； 当e a =时，()f x 在定义域内有唯一的两点； 当e a >时，()f x 在定义域内有两个零点．23．若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得数列{}n a 的前n 项和n m S a =，则称{}n a 是“回归数列”． （1）①前n 项和为2n n S =的数列{}n a 是否是“回归数列”？并请说明理由． ②通项公式为2n b n =的数列{}n b 是否是“回归数列”？并请说明理由；（2）设{}n a 是等差数列，首项11a =，公差0d <，若{}n a 是“回归数列”，求d 的值．（3）是否对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“回归数列”{}n b 和{}n c ，使得()n n n a b c n =+∈N *成立，请给出你的结论，并说明理由． 【答案】见解析．【解析】解：（1）①当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=， 当1n =时，112a S ==， 当2n ≥时，1n n S a +=，∴数列{}n a 是“回归数列”． ②2n b n =，前n 项和2(22)(1)2n n nS n n n n +==+=+， ∵(1)n n +为偶数， ∴存在2(1)m n n =+， 即(1)2n n m +=，使m n b S =， ∴数列{}n b 是“回归数列”． （2）1(1)(1)22n n n n n S na d n d --=+=+， 对任意n ∈N *，存在m ∈N *，使n m S a =， 即(1)1(1)2n n n d m d -+=+-， 取2n =时，得1(1)d m d +=-，解得12m d=+， ∵0d <， ∴2m <， 又m ∈N *， ∴1m =， ∴1d =-．（3）设等差数列{}n a 的公差为d ，令111(1)(2)n b a n a n a =--=-， 对n ∀∈N *，11n n b b a +-=-，令1(1)()n c n a d =-+，则对n ∀∈N *，11n n c c a d +-=+， 则1(1)n n n b c a n d a +=+-=，且数列{}n b 和{}n c 是等差数列，数列{}n b 的前n 项和11(1)2n n n T na a -=+⋅， 令1(2)n T m a =-，则(3)22n n m -=+， 当1n =时，1m =； 当2n =时，1m =．当3n ≥时，n 与3n -的奇偶性不同， 故(3)n n -为非负偶数，∴m ∈N *，∴对n ∀∈N *，都可找到m ∈N *，使n n T b =成立， 即{}n b 为“回归数列”． 数列{}n c 的前n 项和1(1)()2n n n R a d -=+， ∴1(1)()m n c m a d R =-+=，则(1)12n n m -=+， ∵对n ∀∈N *，(1)n n -为非负偶数，∴m ∈N *，∴对n ∀∈N *，都可找到m ∈N *，使得n m R c =成立， 即{}n c 为“回归数列”， 故命题得证．。
北京市东城北京二中高三数学上学期期中试题 理(含解析)
北京二中2017-2018学年度第一学段高三年级学段考试试卷理科数学（I 卷）一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分， 1．已知集合1|02x A x x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，集合B N =，则A B I 等于（）．A ．{}1,0,1-B ．{}1C ．{}0,1D ．{}1,0-【答案】C【解析】∵集合{}1|0|122x A x x x x +⎧⎫=<=-<<⎨⎬-⎩⎭，集合B N =， ∴{}0,1A B =I ． 故选C2．已知向量(1,2)a =r ，(,2)b x =-r ，且a b r r⊥，则||a b +r r 等于（）．A B ．5C ．D 【答案】B【解析】∵(1,2)a =r ，(,2)b x =-r ，且a b r r ⊥，∴40x -=，得4x =， ∴(1,2)a =r ，(4,2)b =-r ，(5,0)a b +=r r，∴||5a b +=r r． 故选B ．3．设复数z 满足(12i)2i z -=+（其中i 为虚数单位），则z 的模为（）．A ．1BCD ．3【答案】A【解析】由题意，复数2i (2i)(12i)5ii 12i (12i)(12i)5z +++====---+，∴z 的模||1z =． 故选A ．4．执行如图所示的程序框图，若输入的5n =，则输出的结果为（）．A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】模拟执行程序，可得5n =，i 1=，执行循环体， 不满足n 是偶数，16n =，不满足条件1n =，i 2=； 满足条件n 是偶数，8n =，不满足条件1n =，i 3=； 满足条件n 是偶数，4n =，不满足条件1n =，i 4=； 满足条件n 是偶数，2n =，不满足条件1n =，i 5=；满足条件n 是偶数，1n =，满足条件1n =，退出循环，输出i 的值5． 故选B ．5．已知π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3tan(π)4α-=-，则sin cos αα+等于（）．A ．15±B ．15-C ．15D ．75-【答案】B【解析】∵3tan(π)tan 04αα-==-<，且π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴4cos 5α=-，3sin 5α=，∴1sin cos 5αα++-．故选B ．6．下列命题中正确的是（）．A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B ．“0a >，0b >”是“2b aa b+≥”的充分必要条件 C ．命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠或2x ≠，则2320x x -+≠”D ．命题0:p x ∃∈R ，使得2010x x +-<，则:p x ⌝∀∈R ，使得210x x +-≥ 【答案】D【解析】A 项．若p q ∨为真命题，则p ，q 中至少有一个为真，则p q ∧为真假不确定，故A 错误；B 项．若0a >，0b >，则22b a a b +=≥，当且仅当a b =时取得等号，反之，若2b a a b +≥，即2220a b ab ab +-≥，即2()0a b ab-≥，即有0ab >， 则“0a >，0b >”是“2b aa b+≥”的充分不必要条件，故B 错误； C 项．命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠或2x ≠，则2320x x -+≠”故C 错误；D 项．命题0:p x ∃∈R ，使得20010x x +-<，则:p x ⌝∀∈R ，使得210x x +-≥，故D 正确．故选D ．7．函数1()cos (ππf x x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭≤≤且0)x ≠的图象可能为（）．A．B．C ．D ．【答案】D【解析】对于函数1()cos (ππf x x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭≤≤且0)x ≠，它的定义域关于原点对称，且1()cos f x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，故函数()()f x f x -=-，所以()f x 的奇函数，故它的图象关于原点对称，排除A 、B ， 又当πx =时，11(π)πcos ππ0ππf ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，排除C ．故选D ．8．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．6人，则A ．2号学生进入30秒跳绳决赛B ．5号学生进入30秒跳绳决赛C ．8号学生进入30秒跳绳决赛D ．9号学生进入30秒跳绳决赛 【答案】B【解析】由于这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，故编号为1，2，3，4，5，6，7，8的学生进入立定跳远决赛，又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则3，6，7号同学必进入30秒跳绳决赛，剩下1，2，4，5，8号同学的成绩分别为：63，a ，60，63，1a -有且只有3人进入30秒跳绳比赛，故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛，则5号学生进入30秒跳绳决赛． 故选B ．二、填空题（每小题5分，共30分）9．已知正方形ABCD 边长为2，E 为AB 边上一点，则ED EC ⋅u u u r u u u r的最小值为__________．【答案】3【解析】以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴建立如图所示直角坐标系， 则由正方形边长为2得(2,0)C ，(2,2)D ，设(0,)E y ，（其中02y ≤≤），则(2,2)ED y =-u u u r ，(2,)EC y =-u u u r，∴2222(2)()24(1)3ED EC y y y y y ⋅=⨯+-⨯-=-+=-+u u u r u u u r，故当1y =时，ED EC ⋅u u u r u u u r 取得最小值，ED EC ⋅u u u r u u u r的最小值为3．10．10(e 2)d x x x +=⎰__________． 【答案】e【解析】1201(e 2)d (e )e 11e 0x x x x x +=+=+-=⎰．11．已知数列{}n a 满足11a =，且1()(*)n n n a n a a n +=-∈N ，则2a =__________；n a =__________．【答案】2；n【解析】由1()n n n a n a a +=-得11n n n a a n++=， 又11a =，∴2122a a ==， 由11n n n a a n++=，得11n n a n a n ++=，∴212a a =，3232a a =，4343a a =，L L ，11n n a na n -=-，∴324112313412231n n n a a a a na a n a a a a n -=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=-L L ．12．设函数()1||xf x x =+，则使得2(2)(36)f x x x ->-成立的x 的取值范围是__________． 【答案】(,2)(3,)-∞+∞U 【解析】∵函数()1||x f x x =+为奇函数，当0x >时，1()111x f x x x==-++，可得()f x 在(0,)+∞上单调递增，∴由奇函数的性质，可得()f x 在R 上单调递增，∴由2(2)(36)f x x x ->-，可得2236x x x ->-，即2560x x -+>，解得2x <或3x >，故x 的取值范围是(,2)(3,)-∞+∞U ．13．已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件3()2f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，且函数34y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数，给出以下四个命题： ①函数()f x 是周期函数；②函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；③函数()f x 是偶函数；④函数()f x 在R 上是单调函数．在述四个命题中，正确命题的序号是__________（写出所有正确命题的序号）． 【答案】①②③【解析】对于①，∵3(3)(3)2f x f x f ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，∴函数()f x 是以3为周期的周期函数，故①正确；对于②，∵34y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数，∴其图象关于原点对称，又函数()f x 的图象是由34y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移34个单位长度得到，所以函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故②正确；对于③，由②知，对于任意的x ∈R ，都有3344f x f x ⎛⎫⎛⎫--=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，用34x +换x ，可得：3()02f x f x ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭， ∴33()22f x f x f x ⎛⎫⎛⎫--=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意的x ∈R 都成立，令32t x =+，则()()f t f t -=，∴函数()f x 是偶函数，故③正确； 对于④，由③知()f x 是偶函数，偶函数的图象关于y 轴对称， ∴()f x 在R 上不是单调函数，故④错误． 综上所述，正确命题的序号是①②③．14．已知1x ，2x 是函数()2sin2cos2f x x x m =+-在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的两个零点，则12sin()x x +=__________．【解析】由1x ，2x 是函数()2sin2cos2f x x x m =+-在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的两个零点，可得：11222sin 2cos22sin 2cos2m x x x x =+=+，即为：12122(sin 2sin 2)cos2cos2x x x x +=-+，即有121221214cos()sin()2sin()sin()x x x x x x x x +-=-+-， 由12x x ≠，可得12sin()0x x -≠，可得2112sin()2cos()x x x x +=+，又221212sin ()cos ()1x x x x +++=，可得21220sin ()25x x +=， ∵12[0,π]x x +∈，∴12sin()x x +．三、解答题（共80分）15．（本小题满分13分）已知向量2(cos ,cos )a x x =r ，(sin ,b x =r ，且函数()f x a b =⋅r r ． （1）求函数()f x 的最大值以及取最大值时x 的取值集合．（2）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3a =，b c +=求ABC △的面积． 【答案】见解析． 【解析】（1）由题意，211()sin cos sin 21)sin 222f x a b x x x x x x x =⋅=-=+=r rπsin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当ππ22π32x k -=+，k ∈Z ，即5ππ12x k =+，k ∈Z 时，()f x 取最大值1，∴函数()f x 的最大值为1，此时x 的取值集合为5π|π,12x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ．（2）∵πsin 23A f A ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴πsin 03A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵A 为ABC △的内角， ∵π3A =， 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-即2222()3a b c bc b c bc =+-=+-， 又3a =，b c +=9123bc =-， 得1bc =，∴ABC △的面积11sin 122S bc A ==⨯=．16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 和1的等差中项，等差数列{}n b 满足11b a =，43b S =． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）设11n n n c b b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证12n T <． 【答案】见解析．【解析】（1）∵n a 是n S 和1和等差中项， ∴21n n S a =-，当1n =时，11121a S a ==-，得11a =，当2n ≥时，111(21)(21)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-， ∴12n n a a -=，即12nn a a -=， ∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴12n n a -=，设{}n b 的公差为d ，则由111b a ==，431247b S ==++=，得2d =， ∴1(1)221n b n n =+-⨯=-， 综上所述，12n n a -=，21n b n =-． （2）证明：111111(21)(21)22121n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭， ∴111111123352121n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭L111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， ∵*n ∈N ，∴1021n >+， ∴11112212n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭， 即12n T <．17．（本小题满分13分）某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名、4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队． （1）求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率．（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列和均值．【答案】见解析．【解析】（1）由题意，参加集训的男、女学生各有6人，参赛学生全从B 中抽出的概率为：33343366C C 1C C 100=， 故A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为：1991100100-=． （2）由题意X 的可能取值为：1，2，3，133346C C 1(1)C 5P X ===，223346C C 3(2)C 5P X ===，313346C C 1(3)C 5P X ===，故X 的分布列为：均值131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=．18．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD =︒∠，Q 为AD 的中点． （1）若PA PD =，求证：平面PQB ⊥平面PAD ．（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，且2PA PD AD ===，点M 在线段PC 上，试确定点M 的位置，使二面角M BQ C --大小为60︒，并求出PMPC的值．Q P CBAD【答案】见解析． 【解析】C（1）证明：∵PA PD =，Q 为AD 的中点， ∴PQ AD ⊥，又∵底面ABCD 为菱形，60BAD =︒∠， ∴ABD △是等边三角形， ∵Q 是AD 中点， ∴BQ AD ⊥， 又∵PQ BQ Q =I ， ∴AD ⊂平面PQB ， ∵AD ⊂平面PAD ， ∴平面PQB ⊥平面PAD ．（2）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =，PQ AD ⊥， ∴PQ ⊥平面ABCD ，以Q 为坐标原点，分别以QA ，QB ，QP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则由题意知：(0,0,0)Q，P，B，(C -， 设(01)PM PC λλ=<<u u u u r u u u r，则(2))M λλ=--，平面CBQ 的一个法向量是1(0,0,1)n =r，设平面MQB 的一个法向量2(,,)n x y z =r，则2200QM n QB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r ru u u r r，即2)00x y z y λλ⎧-+-=⎪=，取2332n λλ-⎛= ⎝r ， ∵二面角M BQ C --的大小为60︒，∵21121||2||||n n n n ⋅==⋅r r r r 解得13λ=，此时13PM PC =．19．（本小题共14分） 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ，点A ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程．（2）是否存在斜率为2的直线l ，使得当直线l 与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线53y =上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM NQ =u u u u r u u u r ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【答案】见解析．【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2C ，则1C =，∵A ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上，∴122||||a AF AF =+=+=，∴a =2221b a c =-=，故椭圆C 的方程为2212x y +=． （2）假设这样的直线存在，设直线l 的方程为2y x t =+，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，35,3P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，44(,)Q x y ，MN 的中点为00(,)D x y ， 由22222y x t x y =+⎧⎨+=⎩，消去x ，得229280y ty t -+-=， ∴1229t y y +=，且22436(8)0t t ∆=-->，故12029y y ty +==且33t -<<，由PM NQ =u u u u r u u u r ，知四边形PMQN 为平行四边形， 而D 为线段MN 的中点，因此D 为线段PQ 的中点， ∴405329yt y +==，得42159t y -=，又33t -<<，可得4713y -<<-，∴点Q 不在椭圆上，故不存在满足题意的直线l ．20．（本小题共14分）已知函数()ln(1)f x x x =--，22()()2x x ag x a x ++=∈+R ．（1）求函数()f x 的单调区间及最值．（2）若对0x ∀>，()()1f x g x +>恒成立，求a 的取值范围． （3）求证：1111ln(1)35721n n ++++<++L ，(*)n ∈N ．【答案】见解析．【解析】（1）()f x 的定义域为(1,)-+∞，1()111xf x x x '=-=-++，令()0f x '>得10x -<<，令()0f x '<，得0x >，∴()f x 的单调增区间是(1,0)-，单调减区间是(0,)+∞， max ()(0)0f x f ==，无最小值．（2）若对0x ∀>，()()1f x g x +>恒成立，则对0x ∀>，22ln(1)12x x ax x x +++-+>+恒成立，即对0x ∀>，(2)[1ln(1)]a x x >+-+恒成立， 令()(2)[1ln(1)]h x x x =+--，则21()1ln(1)ln(1)11x h x x x x x +'=-+-=---++，当0x >时，显然1()ln(1)01h x x x '=-+-<+，∴()h x 在(0,)+∞上是减函数，∴当0x >时，()(0)2h x h <=，∴2a ≥，即a 的取值范围是[2,)+∞．（3）证明：由（2）知，当2a =，0x >时，2ln(1)12x x ++>+，即ln(1)2x x x +>+， 在上式中，令1(*)x k k =∈N ，得11ln 12k k k k+>+，即11ln 21k k k +>+，依次令1k =，2，3，L ，n ， 得21ln 13>，31ln 25>，41ln 37>，L 11ln 21n n n +>+，将这n 个式子左右两边分别相加得1111ln(1)35721n n +>++++L ， 即1111ln(1)35721n n ++++<++L ，(*)n ∈N ．。
北京市东城区27中2017届高三上学期期中考试数学(理)试题
北京市第27中学2016-2017学年第一学期期中试卷高三数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设13log 2a，121log 3b，0.312c ，则a ，b ，c 大小关系是（）．A ．acbB ．abcC ．ba cD ．bca2．如图，在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是A 和B ，则21z z 等于（）．123123123123xy O A BA ．2B ．1C ．5D ．53．如果0x ，那么函数22643y x x有（）．A ．最小值462B ．最大有462C ．最大值462D ．最小值4624．“x R ，210xax ≥成立”是“||2a ”的（）．A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件5．将函数cos y x 的图象上所有的点向右平行移动π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）．A ．1πcos26y xB ．1πcos212yxC．πcos 26yxD ．πcos 23yx6．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位数偶数的个数为（）．A ．324B ．328C ．360D ．6487．已知定义域为R 的函数()f x 在区间(8,)上为减函数，且函数(8)y f x为偶函数，则（）．A ．(6)(7)f f B ．(6)(9)f f C ．(7)(9)f f D ．(7)(10)f f 8．函数()f x 的定义域为1,1，图象如图1所示；函数()g x 的定义域为2,2，图象如图2所示，方程(())0f g x 有m 个实数根，方程(())0g f x 有n 个实数根，则m n（）．1111图1xO y 221111图2xOy A ．6B ．8C ．10D ．12二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．化简22log 3333log 5272lg 2log 10__________．10．已知π,π2，3sin 5，则πtan4__________．11．在极坐标中，设0，02π≤，曲线2与曲线sin2交点的极坐标为__________．12．已知二次函数()yf x 的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为__________．111xy13．已知函数32,2()(1),2x f x xx x≥，若函数()()g x f x k 有两个零点，则实数k 的取值范围是__________．。
北京市东城北京二中2018届高三数学上学期期中试题 理(含解析)
北京二中2017-2018学年度第一学段高三年级学段考试试卷理科数学（I 卷）一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分， 1．已知集合1|02x A x x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，集合B N =，则A B 等于（）．A ．{}1,0,1-B ．{}1C ．{}0,1D ．{}1,0-【答案】C【解析】∵集合{}1|0|122x A x x x x +⎧⎫=<=-<<⎨⎬-⎩⎭，集合B N =， ∴{}0,1AB =．故选C2．已知向量(1,2)a =，(,2)b x =-，且a b ⊥，则||a b +等于（）．A B ．5C ．D 【答案】B【解析】∵(1,2)a =，(,2)b x =-，且a b ⊥， ∴40x -=，得4x =，∴(1,2)a =，(4,2)b =-，(5,0)a b +=， ∴||5a b +=． 故选B ．3．设复数z 满足(12i)2i z -=+（其中i 为虚数单位），则z 的模为（）．A ．1BCD ．3【答案】A【解析】由题意，复数2i (2i)(12i)5ii 12i (12i)(12i)5z +++====---+，∴z 的模||1z =． 故选A ．4．执行如图所示的程序框图，若输入的5n =，则输出的结果为（）．A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】模拟执行程序，可得5n =，i 1=，执行循环体， 不满足n 是偶数，16n =，不满足条件1n =，i 2=； 满足条件n 是偶数，8n =，不满足条件1n =，i 3=； 满足条件n 是偶数，4n =，不满足条件1n =，i 4=； 满足条件n 是偶数，2n =，不满足条件1n =，i 5=；满足条件n 是偶数，1n =，满足条件1n =，退出循环，输出i 的值5． 故选B ．5．已知π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3tan(π)4α-=-，则sin cos αα+等于（）．A ．15±B ．15-C ．15D ．75-【答案】B【解析】∵3tan(π)tan 04αα-==-<，且π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴4cos 5α=-，3sin 5α=，∴1sin cos 5αα++-．故选B ．6．下列命题中正确的是（）．A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B ．“0a >，0b >”是“2b aa b+≥”的充分必要条件 C ．命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠或2x ≠，则2320x x -+≠”D ．命题0:p x ∃∈R ，使得2010x x +-<，则:p x ⌝∀∈R ，使得210x x +-≥ 【答案】D【解析】A 项．若p q ∨为真命题，则p ，q 中至少有一个为真，则p q ∧为真假不确定，故A 错误；B 项．若0a >，0b >，则22b a a b +=≥，当且仅当a b =时取得等号，反之，若2b a a b +≥，即2220a b ab ab +-≥，即2()0a b ab-≥，即有0ab >， 则“0a >，0b >”是“2b aa b+≥”的充分不必要条件，故B 错误； C 项．命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠或2x ≠，则2320x x -+≠”故C 错误；D 项．命题0:p x ∃∈R ，使得20010x x +-<，则:p x ⌝∀∈R ，使得210x x +-≥，故D 正确．故选D ．7．函数1()cos (ππf x x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭≤≤且0)x ≠的图象可能为（）．A．B．C ．D ．【答案】D【解析】对于函数1()cos (ππf x x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭≤≤且0)x ≠，它的定义域关于原点对称，且1()cos f x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，故函数()()f x f x -=-，所以()f x 的奇函数，故它的图象关于原点对称，排除A 、B ， 又当πx =时，11(π)πcos ππ0ππf ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，排除C ．故选D ．8．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．6人，则A ．2号学生进入30秒跳绳决赛B ．5号学生进入30秒跳绳决赛C ．8号学生进入30秒跳绳决赛D ．9号学生进入30秒跳绳决赛 【答案】B【解析】由于这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，故编号为1，2，3，4，5，6，7，8的学生进入立定跳远决赛，又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则3，6，7号同学必进入30秒跳绳决赛，剩下1，2，4，5，8号同学的成绩分别为：63，a ，60，63，1a -有且只有3人进入30秒跳绳比赛，故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛，则5号学生进入30秒跳绳决赛． 故选B ．二、填空题（每小题5分，共30分）9．已知正方形ABCD 边长为2，E 为AB 边上一点，则ED EC ⋅的最小值为__________． 【答案】3【解析】以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴建立如图所示直角坐标系， 则由正方形边长为2得(2,0)C ，(2,2)D ，设(0,)E y ，（其中02y ≤≤），则(2,2)ED y =-，(2,)EC y =-，∴2222(2)()24(1)3ED EC y y y y y ⋅=⨯+-⨯-=-+=-+， 故当1y =时，ED EC ⋅取得最小值，ED EC ⋅的最小值为3．10．10(e 2)d x x x +=⎰__________．【答案】e【解析】1201(e 2)d (e )e 11e 0x x x x x +=+=+-=⎰．11．已知数列{}n a 满足11a =，且1()(*)n n n a na a n +=-∈N ，则2a =__________；n a =__________．【答案】2；n【解析】由1()n n n a n a a +=-得11n n n a a n++=， 又11a =，∴2122a a ==， 由11n n n a a n++=，得11n n a n a n ++=，∴212a a =，3232a a =，4343a a =，，11n n a na n -=-， ∴324112313412231n n n a a a a na a n a a a a n -=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=-．12．设函数()1||xf x x =+，则使得2(2)(36)f x x x ->-成立的x 的取值范围是__________． 【答案】(,2)(3,)-∞+∞ 【解析】∵函数()1||x f x x =+为奇函数，当0x >时，1()111x f x x x==-++，可得()f x 在(0,)+∞上单调递增，∴由奇函数的性质，可得()f x 在R 上单调递增，∴由2(2)(36)f x x x ->-，可得2236x x x ->-，即2560x x -+>，解得2x <或3x >，故x 的取值范围是(,2)(3,)-∞+∞．13．已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件3()2f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，且函数34y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数，给出以下四个命题： ①函数()f x 是周期函数；②函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；③函数()f x 是偶函数；④函数()f x 在R 上是单调函数．在述四个命题中，正确命题的序号是__________（写出所有正确命题的序号）． 【答案】①②③【解析】对于①，∵3(3)(3)2f x f x f ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，∴函数()f x 是以3为周期的周期函数，故①正确；对于②，∵34y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数，∴其图象关于原点对称，又函数()f x 的图象是由34y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移34个单位长度得到，所以函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故②正确；对于③，由②知，对于任意的x ∈R ，都有3344f x f x ⎛⎫⎛⎫--=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，用34x +换x ，可得：3()02f x f x ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭， ∴33()22f x f x f x ⎛⎫⎛⎫--=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意的x ∈R 都成立，令32t x =+，则()()f t f t -=，∴函数()f x 是偶函数，故③正确； 对于④，由③知()f x 是偶函数，偶函数的图象关于y 轴对称， ∴()f x 在R 上不是单调函数，故④错误． 综上所述，正确命题的序号是①②③．14．已知1x ，2x 是函数()2sin2cos2f x x x m =+-在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的两个零点，则12sin()x x +=__________．【解析】由1x ，2x 是函数()2sin2cos2f x x x m =+-在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的两个零点，可得：11222sin 2cos22sin 2cos2m x x x x =+=+，即为：12122(sin 2sin 2)cos2cos2x x x x +=-+，即有121221214cos()sin()2sin()sin()x x x x x x x x +-=-+-， 由12x x ≠，可得12sin()0x x -≠，可得2112sin()2cos()x x x x +=+，又221212sin ()cos ()1x x x x +++=，可得21220sin ()25x x +=， ∵12[0,π]x x +∈，∴12sin()x x +．三、解答题（共80分） 15．（本小题满分13分）已知向量2(cos ,cos )a x x =，(sin ,b x =，且函数()f x a b =⋅． （1）求函数()f x 的最大值以及取最大值时x 的取值集合．（2）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3a =，b c +=求ABC △的面积． 【答案】见解析． 【解析】（1）由题意，211()sin cos sin 21)sin 222f x a b x x x x x x x =⋅=-=+=πsin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当ππ22π32x k -=+，k ∈Z ，即5ππ12x k =+，k ∈Z 时，()f x 取最大值1，∴函数()f x 的最大值为1，此时x 的取值集合为5π|π,12x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ．（2）∵πsin 23A f A ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴πsin 03A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵A 为ABC △的内角， ∵π3A =， 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-即2222()3a b c bc b c bc =+-=+-， 又3a =，b c +=9123bc =-， 得1bc =，∴ABC △的面积11sin 122S bc A ==⨯=．16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 和1的等差中项，等差数列{}n b 满足11b a =，43b S =． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）设11n n n c b b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证12n T <． 【答案】见解析．【解析】（1）∵n a 是n S 和1和等差中项， ∴21n n S a =-，当1n =时，11121a S a ==-，得11a =，当2n ≥时，111(21)(21)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-， ∴12n n a a -=，即12nn a a -=， ∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴12n n a -=，设{}n b 的公差为d ，则由111b a ==，431247b S ==++=，得2d =， ∴1(1)221n b n n =+-⨯=-， 综上所述，12n n a -=，21n b n =-． （2）证明：111111(21)(21)22121n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭， ∴111111123352121n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， ∵*n ∈N ，∴1021n >+， ∴11112212n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭， 即12n T <．17．（本小题满分13分）某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名、4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队． （1）求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率．（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列和均值．【答案】见解析．【解析】（1）由题意，参加集训的男、女学生各有6人，参赛学生全从B 中抽出的概率为：33343366C C 1C C 100=， 故A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为：1991100100-=． （2）由题意X 的可能取值为：1，2，3，133346C C 1(1)C 5P X ===，223346C C 3(2)C 5P X ===，313346C C 1(3)C 5P X ===，故X 的分布列为：均值131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=．18．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD =︒∠，Q 为AD 的中点． （1）若PA PD =，求证：平面PQB ⊥平面PAD ．（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，且2PA PD AD ===，点M 在线段PC 上，试确定点M 的位置，使二面角M BQ C --大小为60︒，并求出PMPC的值．Q P CBAD【答案】见解析． 【解析】C（1）证明：∵PA PD =，Q 为AD 的中点， ∴PQ AD ⊥，又∵底面ABCD 为菱形，60BAD =︒∠， ∴ABD △是等边三角形， ∵Q 是AD 中点， ∴BQ AD ⊥， 又∵PQBQ Q =，∴AD ⊂平面PQB ， ∵AD ⊂平面PAD ， ∴平面PQB ⊥平面PAD ．（2）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PQ AD ⊥，∴PQ ⊥平面ABCD ，以Q 为坐标原点，分别以QA ，QB ，QP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则由题意知：(0,0,0)Q，P，B，(C -， 设(01)PM PC λλ=<<，则(2))M λλ=--， 平面CBQ 的一个法向量是1(0,0,1)n =， 设平面MQB 的一个法向量2(,,)n x y z =，则2200QM n QB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2)00x y z y λλ⎧-+-=⎪=，取2332n λλ-⎛= ⎝， ∵二面角M BQ C --的大小为60︒， ∵21121||2||||n n n n ⋅==⋅⎛ 解得13λ=，此时13PM PC =．19．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ，点A ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的标准方程．（2）是否存在斜率为2的直线l ，使得当直线l 与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线53y =上找到一点P，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM NQ =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【答案】见解析．【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2C，则1C =，∵A ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上， ∴122||||2a AF AF =+==， ∴a =2221b a c =-=，故椭圆C 的方程为2212x y +=． （2）假设这样的直线存在，设直线l 的方程为2y x t =+，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，35,3P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，44(,)Q x y ，MN 的中点为00(,)D x y ， 由22222y x t x y =+⎧⎨+=⎩，消去x ，得229280y ty t -+-=， ∴1229t y y +=，且22436(8)0t t ∆=-->，故12029y y t y +==且33t -<<， 由PM NQ =，知四边形PMQN 为平行四边形， 而D 为线段MN 的中点，因此D 为线段PQ 的中点， ∴405329y t y +==，得42159t y -=， 又33t -<<，可得4713y -<<-， ∴点Q 不在椭圆上，故不存在满足题意的直线l ．20．（本小题共14分）已知函数()ln(1)f x x x =--，22()()2x x a g x a x ++=∈+R ． （1）求函数()f x 的单调区间及最值．（2）若对0x ∀>，()()1f x g x +>恒成立，求a 的取值范围．（3）求证：1111ln(1)35721n n ++++<++，(*)n ∈N ． 【答案】见解析．【解析】（1）()f x 的定义域为(1,)-+∞，1()111x f x x x'=-=-++， 令()0f x '>得10x -<<，令()0f x '<，得0x >，∴()f x 的单调增区间是(1,0)-，单调减区间是(0,)+∞， max ()(0)0f x f ==，无最小值．（2）若对0x ∀>，()()1f x g x +>恒成立，则对0x ∀>，22ln(1)12x x a x x x +++-+>+恒成立， 即对0x ∀>，(2)[1ln(1)]a x x >+-+恒成立， 令()(2)[1ln(1)]h x x x =+--，则21()1ln(1)ln(1)11x h x x x x x +'=-+-=---++， 当0x >时，显然1()ln(1)01h x x x '=-+-<+， ∴()h x 在(0,)+∞上是减函数，∴当0x >时，()(0)2h x h <=，∴2a ≥，即a 的取值范围是[2,)+∞．（3）证明：由（2）知，当2a =，0x >时，2ln(1)12x x ++>+，即ln(1)2x x x +>+， 在上式中，令1(*)x k k =∈N ，得11ln 12k k k k+>+，即11ln 21k k k +>+，依次令1k =，2，3，，n ， 得21ln 13>，31ln 25>，41ln 37>，11ln 21n n n +>+，将这n 个式子左右两边分别相加得1111ln(1)35721n n +>++++，即1111ln(1)35721n n ++++<++，(*)n ∈N ．。
2017-2018北京东城汇文中学高三上期中【理】数学解析版
2017-2018学年度第一学期北京汇文中学期中考试高三年级数学（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．设集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =，{}3,4,5B =，则()U A B =ð（ ）．A ．{}2,6B ．{}3,6C ．{}1,3,4,5D ．{}1,2,4,6【答案】A【解析】∵集合{}1,3,5A =，{}3,4,5B =， ∴{}1,3,4,5AB =， 又∵{}1,2,3,4,5,6U =， ∴{}()2,6U AB =ð．故选A ．2．设x ∈R ，则“|2|1x -<”是“220x x +->”的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】不等式|2|1x -<的解集是{}|13x x <<， 不等式220x x +->的解集是{|2x x <-或}1x >， ∵{}{|13|2x x x x <<<-Ü或}1x >，∴“|2|1x -<”是“220x x +->”的充分不必要条件． 故选A ．3．若复数21iz =-，其中i 为虚数单位，则共轭复数z =（ ）．A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】B 【解析】∵复数22(1i)1i 1i (1i)(1i)z +===+--+， ∴1i z =-． 故选B ．4．已知向量(1,)a m =，(3,2)b =-，则()a b b +⊥，则m =（ ）．A ．8-B ．6-C ．6D ．8【答案】D【解析】(1,)a m =，(3,2)b =-， ∴(4,2)a b m +=-， 又∵()a b b +⊥， ∴122(2)0m --=， 解得：8m =．故选D ．5．设函数2()cos sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ）．A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关【答案】B【解析】2cos2111()cos sin sin cos2sin 222x f x x b x c b x c x b x c +=++=++=+++， 当0b =时，11()cos222f x x c =++，此时最小正周期是π；当0b ≠时，最小正周期是2π，而c 不影响周期．故选B ．6．如图，点D 是线段BC 的中点，6BC =，且||||AB AC AB AC +=-，则||AD =（ ）．A ．6B ．C ．3D ．32【答案】C【解析】由题意，22||||AB AC AB AC +=-，得0AB AC ⋅=， ∴AB AC ⊥，又∵点D 是BC 的中点，∴1||||32AD BC ==． 故选C ．7．函数log (3)1a y x =+-（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为（ ）．A ．6B ．8C ．D ．32【答案】B【解析】函数log (3)1a y x =+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点(2,1)--， ∴(2,1)A --，∵点A 在直线10mx ny ++=上， ∴210m n --+=，即21m n +=， ∵0mn >， ∴0m >，0n >，∴12124(2)2248n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=+++= ⎪⎝⎭≥， 当且仅当14m =，12n =时取等号， ∴12m n +的最小值是8． 故选B ．8．若函数|1||1|3e sin(1)()ex x x f x --⋅--=在区间[3,5]-上的最大值、最小值分别为p 、q ，则p q +的值为（ ）． A ．2 B ．1 C ．6 D ．3【答案】C【解析】令1x t -=，则||||3e sin ()e t t t f t ⋅-=，[4,4]t ∈-，∵||||||3e sin sin ()3e e t t t t tf t ⋅-==-，∴()3f t -是奇函数，∴min max ()3()30f t f t -+-=， 即min max ()()6f t f t +=，∴函数()f x 在区间[3,5]-上的最大值与最小值之和为6， 即6p q +=． 故选C ．9．已知数列{}n a 的通项公式2(313)n n a n =-，则数列的前n 项和n S 的最小值是（ ）．A ．3SB ．4SC ．5SD ．6S【答案】B【解析】令2(313)0n n a n =-≥，解得133n ≥， ∴数列{}n a 的前4项皆小于0，从第5项开始大于0， ∴数列的前n 项和n S 的最小值是4S ． 故选B ．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域{(,)|1A x y x y =+≤，且}0,0x y ≥≥，则平面区域{}(,)|(,)B x y x y x y A +-∈的面积为（ ）．A ．2B ．1C ．12D ．14【答案】B【解析】令x y μ=+，V x y =-，则100V V μμμ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≥≥，作出可行域如图所示：∴平面区域B 的面积12112S =⨯⨯=．故选B ．二、填空题（本大题8小题，每小题3分，共24分）11．函数()y f x =的图像与函数3log (0)y x x =>的图像关于直线0x =对称，则()f x =__________． 【答案】3log ()(0)y x x =-<【解析】由图象的对称性可知，()y f x =与()y f x =-的图像关于y 轴对称， 故若函数()y f x =的图象与函数3log (0)y x x =>的图象关于直线0x =对称， 则3()log ()(0)f x x x =-<．12．函数y =__________． 【答案】[2,1]-【解析】要使函数有意义，则220x x --≥， 即220x x +-≤，即(1)(2)0x x -+≤， 解得21x -≤≤，故函数y =[2,1]-．13．323d x x -⎰的值=__________．【答案】18【解析】3233331d |9(9)183x x x --==--=⎰．14．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4c o s 5A =，5cos 13C =，1a =，则b =__________．【答案】2113【解析】由题意知，3sin 5A =，12sin 13C =，3541263sin sin()sin cos cos sin 51351365B AC A C A C =+=+=⨯+⨯=，由正弦定理得，sin sin a bA B=，故631sin 21653sin 135a Bb A⨯===．15．已知0.223a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 3b =，1ln 2c =，则a ，b ，c 由小到大的顺序为__________．【答案】c a b <<【解析】由指数函数和对数函数的性质可得：0.22(0,1)3a ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，2log 3(1,)b =∈+∞，1ln (,0)2c =∈-∞，故c a b <<．16．设a ∈R ，若0x >时均有2[(1)1](1)0a x x ax ----≥，则a =__________．【答案】32【解析】当1a =时，代入题中不等式显然不成立，当1a ≠时，令1(1)1y a x =--，21y x ax 2=--，它们都过定点(0,1)-， 考查函数1(1)1y a x =--，令0y =，得11x a =-， ∴1(1)1y a x =--与x 轴交点为1,01a ⎛⎫⎪-⎝⎭， ∵0x >时，均有2[(1)1](1)0a x x ax ----≥， ∴221y x ax =-=也过点1,01a ⎛⎫⎪-⎝⎭， ∴211011a a a ⎛⎫--= ⎪--⎝⎭， 解得32a =，或0a =（舍去）， 故32a =．17．数列{}n a 满足13a =，24a =，2n a += 则（1）3a =__________．（2）此数列最多有__________项． 【答案】（1（2）49【解析】（1）由题意，3a === （2）由2n a +=221211n n n n a a a a +++⋅=⋅-， 又13a =，24a =，∴数列{}21n n a a +⋅是首项为48，公差为1-的等差数列， ∴2148(1)490n n a a n n +=--=-≥，∴49n ≤，即此数列最多有49项．18．记{}ave ,,a b c 表示实数a ，b ，c 的平均数，{}max ,,a b c 表示实数a ，b ，c 的最大值，设11ave 2,,122A x x x ⎧⎫=-++⎨⎬⎩⎭，11max 2,,122M x x x ⎧⎫=-++⎨⎬⎩⎭，若3|1|M A =-，则x 的取值范围是__________．【答案】{|4x x =-或}2x ≥【解析】作出11max 2,,122M x x x ⎧⎫=-++⎨⎬⎩⎭的图象如图所示，由题意1113A =⨯-，故,03|1|||,0x x A x x x -<⎧-==⎨⎩≥，∵3|1|M A =-，∴当0x <时，122x x -=-+，得4x =-；当01x <≤时，122x x =-+，得43x =，舍去；当12x <≤时，112x x =+，得2x =，舍去；当2x ≥时，x x =，恒成立，综上所述，x 的取值范围是{|4x x =-或}2x ≥．三、解答题（本大题共5小题，共46分，写出必要的解答过程） 19．已知二次函数()f x 满足条件(0)1f =及(1)()2f x f x x +-=． （1）求()f x ．（2）求()f x 在区间[1,1]-上的最大值和最小值． 【答案】见解析．【解析】解：（1）设2()f x ax bx c =++，则22(1)()(1)(1)()22f x f x a x b x c ax bx c ax a b x +-=++++-++=++=， ∴220a a b =⎧⎨+=⎩，解得：11a b =⎧⎨=-⎩，又(0)1f c ==， ∴2()1f x x x =-+．（2）由（1）知，2213()124f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，∴()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()f x 在区间[1,1]-上的最小值min 13()24f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，最大值max ()(1)3f x f =-=．20．如图，在ABC △中，ACB ∠为钝角，2AB =，BC =π6A =，D 为AC 延长线上一点，且1CD =．（1）求BCD ∠的大小． （2）求BD ，AC 的长． 【答案】见解析．【解析】解：（1）在ABC △中，2AB =，π6A =，BC =，由正弦定理可得sin sin AB BC ACB A=∠，即2sin sin 6ACB =∠∴π2sinsinACB ∠==，∵ACB ∠为锐角，∴3π4ACB ∠=， ∴π4BCD ∠=．（2）在BCD △中，由余弦定理可知2222cos BD CB DC CB DC BCD =+-⋅⋅∠，即222π1)21)cos24244BD =+-⋅=++=， ∴2BD =，在ABC △中，由余弦定理可知：2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅，即222π222cos6AC AC =+-⋅⋅⋅，整理得220AC -+=，解得1AC =或1AC =，∵ACB ∠为钝角， ∴2AC AB <=，∴1AC -，综上所述，2BD =，1AC =．21．设不等式22ln 3x x x ax -+-≥对一切(0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】(],4-∞．【解析】解：不等式22ln 3x x x ax -+-≥对一切(0,)x ∈+∞恒成立等价于32ln a x x x++≤， 令3()2ln h x x x x=++，(0,)x ∈+∞， 则2223(3)(1)()1x x h x x x x +-'=+-=，当(0,1)x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增， ∴()h x 在(0,)+∞上的最小值min ()(1)4h x h ==， ∴4a ≤，即实数a 的取值范围是(],4-∞．22．已知函数1()ln ()f x a x a x=+∈R ．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程．（2）如果函数()()2g x f x x =-在(0,)+∞上单调递减，求a 的取值范围． （3）当0a >时，讨论函数()y f x =零点的个数． 【答案】见解析．【解析】解：（1）当2a =时，1()2ln f x x x =+，221()f x x x'=-， ∴(1)1f =，(1)1f '=，∴()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为：11y x -=-，即0x y -=． （2）函数()()2g x f x x =-在(0,)+∞上单调递减， 等价于21()20a g x x x '=--≤在(0,)+∞上恒成立， 即12(0)a x x x+>≤恒成立，∵12x x +=≥，当且仅当12x x =，即2x =时，等号成立．∴a ≤，即a 的取值范围是(-∞． （3）2211()a ax f x x x x-'=-=，令()0f x '=，得1x a=， 当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，∴min 11()ln (1ln )f x f a a a a a a ⎛⎫==+=- ⎪⎝⎭．①当0e a <<时，min ()0f x >，()f x 在定义域内无零点； ②当e a =时，min ()0f x =，则()f x 在定义域内有唯一的零点； ③当e a >时，min ()0f x <， 由(1)10f =>，所以()f x 在增区间1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内有唯一零点；21(2ln )f a a a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 设()2ln h a a a =-，则2()1h a a'=-，∵e a >，∴()0h a '>，∴()h a 在(e,)+∞上单调递增， ∴()(e)0h a h >>，即210f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，∴()f x 在减区间10,a ⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一的零点，则e a >时，()f x 在定义域内有两个两点，综上所述：当0e a <<时，()f x 在定义域内无零点； 当e a =时，()f x 在定义域内有唯一的两点； 当e a >时，()f x 在定义域内有两个零点．23．若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得数列{}n a 的前n 项和n m S a =，则称{}n a 是“回归数列”． （1）①前n 项和为2n n S =的数列{}n a 是否是“回归数列”？并请说明理由． ②通项公式为2n b n =的数列{}n b 是否是“回归数列”？并请说明理由；（2）设{}n a 是等差数列，首项11a =，公差0d <，若{}n a 是“回归数列”，求d 的值．（3）是否对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“回归数列”{}n b 和{}n c ，使得()n n n a b c n =+∈N *成立，请给出你的结论，并说明理由． 【答案】见解析．【解析】解：（1）①当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=， 当1n =时，112a S ==， 当2n ≥时，1n n S a +=，∴数列{}n a 是“回归数列”． ②2n b n =，前n 项和2(22)(1)2n n nS n n n n +==+=+， ∵(1)n n +为偶数， ∴存在2(1)m n n =+， 即(1)2n n m +=，使m n b S =， ∴数列{}n b 是“回归数列”． （2）1(1)(1)22n n n n n S na d n d --=+=+， 对任意n ∈N *，存在m ∈N *，使n m S a =， 即(1)1(1)2n n n d m d -+=+-， 取2n =时，得1(1)d m d +=-，解得12m d=+， ∵0d <， ∴2m <， 又m ∈N *， ∴1m =， ∴1d =-．（3）设等差数列{}n a 的公差为d ，令111(1)(2)n b a n a n a =--=-， 对n ∀∈N *，11n n b b a +-=-，令1(1)()n c n a d =-+，则对n ∀∈N *，11n n c c a d +-=+， 则1(1)n n n b c a n d a +=+-=，且数列{}n b 和{}n c 是等差数列，数列{}n b 的前n 项和11(1)2n n n T na a -=+⋅， 令1(2)n T m a =-，则(3)22n n m -=+， 当1n =时，1m =； 当2n =时，1m =．当3n ≥时，n 与3n -的奇偶性不同， 故(3)n n -为非负偶数， ∴m ∈N *，∴对n ∀∈N *，都可找到m ∈N *，使n n T b =成立， 即{}n b 为“回归数列”． 数列{}n c 的前n 项和1(1)()2n n n R a d -=+， ∴1(1)()m n c m a d R =-+=，则(1)12n n m -=+， ∵对n ∀∈N *，(1)n n -为非负偶数，∴m ∈N *，2017-2018北京东城汇文中学高三上期中【理】数学解析版11 / 11 ∴对n ∀∈N *，都可找到m ∈N *，使得n m R c =成立， 即{}n c 为“回归数列”，故命题得证．。
北京东城27中高三上期中试卷数学word含解析
北京东城27中高三上期中试卷数学word 含解析高三 数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设13log 2a =，121log 3b =，0.312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 大小关系是（ ）．A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】A【解析】由指数函数和对数函数的性质可知： 0.30110122c ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴a c b <<．故选A ．2．如图，在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是A 和B ，则21z z 等于（ ）．A ．2B ．1C ．5D【答案】D【解析】2i =-，∴221i i(i)1i i i z z z z z ---===---， ∴21z z ==D ．3．假如0x ≠，那么函数22643y x x =--有（）．A ．最小值4-B．最大有4+C ．最大值4-D ．最小值4+【答案】C【解析】∵0x ≠，∴20x >，∴2263x x +≥，∴函数22643y xx =--有最大值4-C ．4．“x ∀∈R ，210x ax ++≥成立”是“||2a <”的（）．A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若对x ∀∈R ，210x ax ++≥成立，则240a ∆=-≤，22a -≤≤，∴x ∀∈R ，210xax ++≥成立是||2a <的必要不充分条件．故选B ．5．将函数cos y x =的图象上所有的点向右平行移动π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原先的12（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（ ）．A ．1πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．1πcos 212y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．πcos 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 【答案】C【解析】由cos y x =的图象向右平行移动π6个单位长度， 得到πcos 6y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原先的12倍，得到πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．故选C ． 6．用0到9那个10数字，能够组成没有重复数字的三位数偶数的个数为（ ）．A ．324B ．328C ．360D ．648 【答案】B【解析】0在末尾时有2972A =个，0不在末尾时有111488256C C C =个，因此总共72256328+=个．故选B ．7．已知定义域为R 的函数()f x 在区间(8,)+∞上为减函数，且函数(8)y f x =+为偶函数，则（ ）．A ．(6)(7)f f >B ．(6)(9)f f >C ．(7)(9)f f >D ．(7)(10)f f >【答案】D【解析】函数()y f x =由(8)y f x =+向右平移8个单位所得， 因此函数()y f x =关于8x =对称， 又因为()f x 在区间(8,)+∞上递减， 因此()f x 在(,8)-∞上递增，因此(6)(7)(9)f f f <=，(7)(9)(10)f f f =>． 故选D ．8．函数()f x 的定义域为[1,1]-，图象如图1所示；函数()g x 的定义域为[2,2]-，图象如图2所示，方程(())0f g x =有m 个实数根，方程(())0g f x =有n 个实数根，则m n +=（ ）．A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】C【解析】由图象能够明白，若(())0f g x =， 则()1g x =-或()0g x =或()1g x =，当()1g x =-时，1x =-或1；当()0g x =，2x =-或0或2； 当()1g x =时，2x =或2-，故7m =，故(())0g f x =， 则()0g x =，1x =-或0或1，故3n =， ∴10m n +=．故选C ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．化简22log 3333log 5272lg 2log 10-++=__________．【答案】7 【解析】22log 3333log 5272lg 2log 10-++10．已知π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________． 【答案】17 【解析】∵π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，则43cos tan 54αα=-=-， 11．在极坐标中，设0ρ>，02πθ<≤，曲线2ρ=与曲线sin 2ρθ=交点的极坐标为__________．【答案】π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】将2ρ=代入sin 2ρθ=，sin 1θ=， 故交点的极坐标为π2,2⎛⎫⎪⎝⎭．12．已知二次函数()y f x =的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为__________．【答案】43【解析】设()(1)(1)f x a x x =+-，0a <， 又点(0,1)在函数()f x 的图象上，因此1a =-，2()1f x x =-+， 由定积分几何意义，围成图形的面积为： 13．已知函数32,2()(1),2x f x xx x ⎧⎪=⎨⎪-<⎩≥，若函数()()g x f x k =-有两个零点，则实数k 的取值范畴是__________．【答案】(0,1)【解析】作出函数()f x 的图象如图所示，若函数()()g x f x k =-有两个零点， 则函数()f x 的图象与y x =的图象有两个交点，故01k <<．14．如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈，记水轮上的点P 到水面的距离为d 米（P 在水面下则d 为负数），假如d （米）与时刻t （秒）之间满足关系式：ππsin()0,0,22d A t k A ωϕωϕ⎛⎫=++>>-<< ⎪⎝⎭，且当P 点从上面上出现时开始运算时刻，那么以下结论中：正确结论的序号是__________． 【答案】①②④【解析】由图可知d 的最大值为15，最小值为5-， 因此：155A k A k +=⎧⎨-+=-⎩，解得10A =，5k =，故①④正确；又因为每分钟转4圈，∴函数的周期为15S ，2π15ω=，故②正确，又当0t =时，0d =，因此10sin450+=，1sin 2ϕ=-，∴π6ϕ=-，故③错误． 综上所述，正确结论的序号是①②④．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本大题满分13分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，60A =︒，32b c =，ABC S △．（Ⅰ）求b 的值． （Ⅱ）求sin B 的值． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）∵60A =︒，ABC S =△，∴6bc =，又∵32b c =， ∴由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即2232367a=+-=，∴a =sin sin a b A B =2sin B =，解得sin B =16．（本小题满分13分）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率．（Ⅱ）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望．（Ⅲ）由图判定从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）设“此人到达当日空气重度污染”为事件A ，由图能够看出3月1日到3月13日期间共有2天属于重度污染， 故2()13P A =．（Ⅱ）由题意可知x 的所有可能取值为0，1，2．①当此人在3月4号，5号，8号，9号，10号这5天的某一天到达该都市时，停留的2天都不是优良天气，故5(0)13P X ==；②当此人在3月3号，6号，7号，11号这4天中的某一天到达该都市时，停留的2天中的1天不是优良天气1天是优良天气，故4(1)13P X ==；③当此人在3月1号，2号，12号，13号这4天中的某一天到达该都市时，停留的2天差不多上优良天气，故4(2)13P X ==．故x 的分布列为：（Ⅲ）由图判定从3月5日开始连续三天的空气质量指数波动最大，因此方差最大．17．14分）已知函数2π()2cos 214f x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递减区间．（Ⅱ）求()f x 在区间ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范畴．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）∵2π()2cos 214f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ ∴()f x 的最小正周期2ππ42T ==， ∵令π22k+，π3ππ4322k x +<+，k ∈Z ，解得ππ7ππ242242k k x +<<+，k ∈Z ， ∴()f x 的单调递减区间是ππ7ππ,242242k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，()k ∈Z ．故()f x 的取值范畴是[2]．18．（本小题共13分）已知函数()1ln f x ax x =--，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间．（Ⅱ）若函数()f x 在1x =处取得极值，(0,)x ∀∈+∞，()2f x bx -≥恒成立，求实数b 的取值范畴．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）在区间(0,)+∞上，11()ax f x a x x -'=-=，①若a ≤0，则()0fx '<，()f x在(0,)+∞单调递减， ②若0a >，令()0f x '=得1x a =， 令()0f x '>，解得1x a >，()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 令()0f x '<，解得1x a <，∴()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，综上所述，①当0a ≤时，()f x 的单调减区间(0,)+∞，无单调增区间； ②当0a >时，()f x 的单调减区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间是1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（Ⅱ）∵函数()f x 在1x =处取得极值，∴(1)0f'=，解得1a =， 由已知()2f x bx -≥，则1ln x xbx +-≥， 令1ln 1ln ()1x x xg x x x x +-==+-，则2211ln ln 2()x x g x x x x --'=--=， 令()0g x '>，则2e x >，令()0g x '<，则2e x <，∴g()x 在2(0,e )上单调递减，在2(e ,)+∞上单调递增， 故实数b 的取值范畴是21,1e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦． 19．（本小题共13分）已知函数()f x 定义在(0,)+∞上，且满足：①(2)1f =；②()()()f xy f x f y =+；③()()x y f x f y ⇔≥≥．（Ⅰ）求(4)f 的值．（Ⅱ）假如()(3)2f x f x +-≤，求x 的取值范畴．（Ⅲ）假如定义域改为{}|0x x ≠，请在满足题干条件②的情形下，判定函数的奇偶性，并说明理由．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）∵函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，且(2)1f =， ∴令2x =，2y =，则(4)(2)(2)2f f f =+=．∴函数()f x 在(0,)+∞上单调递增， ∴030(3)4x x x x >⎧⎪->⎨⎪-⎩≤，解得34x <≤．（Ⅲ）令1x =，1y =，则(1)(1)(1)f f f =+，故(1)0f =， 令1x =-，1y =-，则(1)(1)(1)f f f =-+-，故(1)0f -=， 令x x =，1y =-，则()()(1)f x f x f -=+-，即()()f x f x -=， ∴函数为偶函数． 20．（本小题共14分） 已知函数()e x f x ax =-（e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）当2a =时，求曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程． （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间．（Ⅲ）已知函数()f x 在0x =处取得极小值，不等式()f x mx <的解集为P ，若1|22M x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭≤≤，且M P ≠∅，求实数m 的取值范畴．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）当2a =时，()e 2xf x x =-，(0)1f =， 因此曲线()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为：1y x =-+． 当0a ≤时，()0f x '>恒成立，现在()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞，无单调减区间；当0a >时，令()0fx '<，则ln x a <，令()0fx '>则ln x a >；现在，()f x 的单调增区间为(ln ,)a +∞，单调减区间为(,ln )a -∞， 综上所述，0a ≤时，()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞，无单调减区间，0a >时，()f x 的单调增区间为(ln ,)a +∞，单调减区间(,ln )a -∞．（Ⅲ）由题意知(0)0f '=，得1a =，经检验现在()f x 在0x =处取得极小值， ∵MP ≠∅，∴()f x mx <在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，即1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使()f x mx <成立，即1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦使e x x m x ->成立， ∴min e x x m x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，令e ()1x g x x =-，2(1)e ()x x g x x -'=， ∴()g x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[1,2]上单调递增，故实数m 的取值范畴是(e 1,)-+∞．。
【配套K12】[学习]北京市东城北京二中2018届高三数学上学期期中试题 理(含解析)
![【配套K12】[学习]北京市东城北京二中2018届高三数学上学期期中试题 理(含解析)](https://img.taocdn.com/s3/m/3b825c541711cc7931b716c4.png)
北京二中2017-2018学年度第一学段高三年级学段考试试卷理科数学（I 卷）一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分， 1．已知集合1|02x A x x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，集合B N =，则A B 等于（）．A ．{}1,0,1-B ．{}1C ．{}0,1D ．{}1,0-【答案】C【解析】∵集合{}1|0|122x A x x x x +⎧⎫=<=-<<⎨⎬-⎩⎭，集合B N =， ∴{}0,1A B =． 故选C2．已知向量(1,2)a =，(,2)b x =-，且a b ⊥，则||a b +等于（）．A B ．5C ．D 【答案】B【解析】∵(1,2)a =，(,2)b x =-，且a b ⊥， ∴40x -=，得4x =，∴(1,2)a =，(4,2)b =-，(5,0)a b +=， ∴||5a b +=． 故选B ．3．设复数z 满足(12i)2i z -=+（其中i 为虚数单位），则z 的模为（）．A ．1BCD ．3【答案】A【解析】由题意，复数2i (2i)(12i)5ii 12i (12i)(12i)5z +++====---+，∴z 的模||1z =． 故选A ．4．执行如图所示的程序框图，若输入的5n =，则输出的结果为（）．A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】模拟执行程序，可得5n =，i 1=，执行循环体， 不满足n 是偶数，16n =，不满足条件1n =，i 2=； 满足条件n 是偶数，8n =，不满足条件1n =，i 3=； 满足条件n 是偶数，4n =，不满足条件1n =，i 4=； 满足条件n 是偶数，2n =，不满足条件1n =，i 5=；满足条件n 是偶数，1n =，满足条件1n =，退出循环，输出i 的值5． 故选B ．5．已知π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3tan(π)4α-=-，则sin cos αα+等于（）．A ．15±B ．15-C ．15D ．75-【答案】B【解析】∵3tan(π)tan 04αα-==-<，且π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴4cos 5α=-，3sin 5α=，∴1sin cos 5αα++-．故选B ．6．下列命题中正确的是（）．A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B ．“0a >，0b >”是“2b aa b+≥”的充分必要条件 C ．命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠或2x ≠，则2320x x -+≠”D ．命题0:p x ∃∈R ，使得2010x x +-<，则:p x ⌝∀∈R ，使得210x x +-≥ 【答案】D【解析】A 项．若p q ∨为真命题，则p ，q 中至少有一个为真，则p q ∧为真假不确定，故A 错误；B 项．若0a >，0b >，则22b a a b +≥，当且仅当a b =时取得等号，反之，若2b a a b +≥，即2220a b ab ab +-≥，即2()0a b ab-≥，即有0ab >， 则“0a >，0b >”是“2b aa b+≥”的充分不必要条件，故B 错误； C 项．命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠或2x ≠，则2320x x -+≠”故C 错误；D 项．命题0:p x ∃∈R ，使得20010x x +-<，则:p x ⌝∀∈R ，使得210x x +-≥，故D 正确．故选D ．7．函数1()cos (ππf x x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭≤≤且0)x ≠的图象可能为（）．A．B．C ．D ．【答案】D【解析】对于函数1()cos (ππf x x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭≤≤且0)x ≠，它的定义域关于原点对称，且1()cos f x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，故函数()()f x f x -=-，所以()f x 的奇函数，故它的图象关于原点对称，排除A 、B ， 又当πx =时，11(π)πcos ππ0ππf ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，排除C ．故选D ．8．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．6人，则A ．2号学生进入30秒跳绳决赛B ．5号学生进入30秒跳绳决赛C ．8号学生进入30秒跳绳决赛D ．9号学生进入30秒跳绳决赛 【答案】B【解析】由于这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，故编号为1，2，3，4，5，6，7，8的学生进入立定跳远决赛，又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则3，6，7号同学必进入30秒跳绳决赛，剩下1，2，4，5，8号同学的成绩分别为：63，a ，60，63，1a -有且只有3人进入30秒跳绳比赛，故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛，则5号学生进入30秒跳绳决赛． 故选B ．二、填空题（每小题5分，共30分）9．已知正方形ABCD 边长为2，E 为AB 边上一点，则ED EC ⋅的最小值为__________． 【答案】3【解析】以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴建立如图所示直角坐标系， 则由正方形边长为2得(2,0)C ，(2,2)D ，设(0,)E y ，（其中02y ≤≤），则(2,2)ED y =-，(2,)EC y =-，∴2222(2)()24(1)3ED EC y y y y y ⋅=⨯+-⨯-=-+=-+， 故当1y =时，ED EC ⋅取得最小值，ED EC ⋅的最小值为3．10．10(e 2)d x x x +=⎰__________． 【答案】e【解析】1201(e 2)d (e )e 11e 0x x x x x +=+=+-=⎰．11．已知数列{}n a 满足11a =，且1()(*)n n n a na a n +=-∈N ，则2a =__________；n a =__________．【答案】2；n【解析】由1()n n n a n a a +=-得11n n n a a n++=， 又11a =，∴2122a a ==， 由11n n n a a n ++=，得11n na n a n ++=，∴212a a =，3232a a =，4343a a =，，11n n a na n -=-， ∴324112313412231n n n a a a a na a n a a a a n -=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=-．12．设函数()1||xf x x =+，则使得2(2)(36)f x x x ->-成立的x 的取值范围是__________． 【答案】(,2)(3,)-∞+∞ 【解析】∵函数()1||x f x x =+为奇函数，当0x >时，1()111x f x x x==-++，可得()f x 在(0,)+∞上单调递增，∴由奇函数的性质，可得()f x 在R 上单调递增，∴由2(2)(36)f x x x ->-，可得2236x x x ->-，即2560x x -+>，解得2x <或3x >，故x 的取值范围是(,2)(3,)-∞+∞．13．已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件3()2f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，且函数34y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数，给出以下四个命题： ①函数()f x 是周期函数；②函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；③函数()f x 是偶函数；④函数()f x 在R 上是单调函数．在述四个命题中，正确命题的序号是__________（写出所有正确命题的序号）． 【答案】①②③【解析】对于①，∵3(3)(3)2f x f x f ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，∴函数()f x 是以3为周期的周期函数，故①正确；对于②，∵34y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数，∴其图象关于原点对称，又函数()f x 的图象是由34y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移34个单位长度得到，所以函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故②正确；对于③，由②知，对于任意的x ∈R ，都有3344f x f x ⎛⎫⎛⎫--=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，用34x +换x ，可得：3()02f x f x ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭， ∴33()22f x f x f x ⎛⎫⎛⎫--=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意的x ∈R 都成立，令32t x =+，则()()f t f t -=，∴函数()f x 是偶函数，故③正确；对于④，由③知()f x 是偶函数，偶函数的图象关于y 轴对称， ∴()f x 在R 上不是单调函数，故④错误． 综上所述，正确命题的序号是①②③．14．已知1x ，2x 是函数()2sin 2cos2f x x x m =+-在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的两个零点，则12sin()x x +=__________．【解析】由1x ，2x 是函数()2sin 2cos2f x x x m =+-在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的两个零点，可得：11222sin 2cos22sin 2cos2m x x x x =+=+，即为：12122(sin 2sin 2)cos2cos2x x x x +=-+，即有121221214cos()sin()2sin()sin()x x x x x x x x +-=-+-， 由12x x ≠，可得12sin()0x x -≠，可得2112sin()2cos()x x x x +=+，又221212sin ()cos ()1x x x x +++=，可得21220sin ()25x x +=， ∵12[0,π]x x +∈，∴12sin()x x +=三、解答题（共80分） 15．（本小题满分13分）已知向量2(cos ,cos )a x x =，(sin ,b x =，且函数()f x a b =⋅． （1）求函数()f x 的最大值以及取最大值时x 的取值集合．（2）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3a =，b c +=求ABC △的面积． 【答案】见解析． 【解析】（1）由题意，211()sin cos sin 221)sin 2222f x a b x x x x x x x =⋅=-=+=-πsin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当ππ22π32x k -=+，k ∈Z ，即5ππ12x k =+，k ∈Z 时，()f x 取最大值1-，∴函数()f x 的最大值为1，此时x 的取值集合为5π|π,12x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ．（2）∵πsin 23A f A ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴πsin 03A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵A 为ABC △的内角， ∵π3A =， 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-即2222()3a b c bc b c bc =+-=+-， 又3a =，b c +=9123bc =-， 得1bc =，∴ABC △的面积11sin 122S bc A ==⨯．16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 和1的等差中项，等差数列{}n b 满足11b a =，43b S =． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）设11n n n c b b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证12n T <． 【答案】见解析．【解析】（1）∵n a 是n S 和1和等差中项， ∴21n n S a =-，当1n =时，11121a S a ==-，得11a =，当2n ≥时，111(21)(21)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-， ∴12n n a a -=，即12nn a a -=， ∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴12n n a -=，设{}n b 的公差为d ，则由111b a ==，431247b S ==++=，得2d =， ∴1(1)221n b n n =+-⨯=-， 综上所述，12n n a -=，21n b n =-． （2）证明：111111(21)(21)22121n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭， ∴111111123352121n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， ∵*n ∈N ，∴1021n >+， ∴11112212n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭， 即12n T <．17．（本小题满分13分）某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名、4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队． （1）求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率．（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列和均值．【答案】见解析．【解析】（1）由题意，参加集训的男、女学生各有6人，参赛学生全从B 中抽出的概率为：33343366C C 1C C 100=， 故A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为：1991100100-=． （2）由题意X 的可能取值为：1，2，3，133346C C 1(1)C 5P X ===，223346C C 3(2)C 5P X ===，313346C C 1(3)C 5P X ===，故X 的分布列为：均值131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=．18．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD =︒∠，Q 为AD 的中点． （1）若PA PD =，求证：平面PQB ⊥平面PAD ．（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，且2PA PD AD ===，点M 在线段PC 上，试确定点M 的位置，使二面角M BQ C --大小为60︒，并求出PMPC的值．Q P CBAD【答案】见解析． 【解析】C（1）证明：∵PA PD =，Q 为AD 的中点， ∴PQ AD ⊥，又∵底面ABCD 为菱形，60BAD =︒∠， ∴ABD △是等边三角形， ∵Q 是AD 中点， ∴BQ AD ⊥， 又∵PQBQ Q =，∴AD ⊂平面PQB ， ∵AD ⊂平面PAD ， ∴平面PQB ⊥平面PAD ．（2）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PQ AD ⊥，∴PQ ⊥平面ABCD ，以Q 为坐标原点，分别以QA ，QB ，QP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则由题意知：(0,0,0)Q，P，B，(C -， 设(01)PM PC λλ=<<，则(2))M λλ=--， 平面CBQ 的一个法向量是1(0,0,1)n =， 设平面MQB 的一个法向量2(,,)n x y z =，则2200QM n QB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2)00x y z y λλ⎧-+-=⎪=，取2332n λλ-⎛= ⎝， ∵二面角M BQ C --的大小为60︒， ∵21121||2||||n n n n ⋅==⋅⎛， 解得13λ=，此时13PM PC =．19．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ，点A ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的标准方程．（2）是否存在斜率为2的直线l ，使得当直线l 与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线53y =上找到一点P，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM NQ =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【答案】见解析．【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2C，则1C =，∵A ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上， ∴122||||a AF AF =+==， ∴a =2221b a c =-=，故椭圆C 的方程为2212x y +=． （2）假设这样的直线存在，设直线l 的方程为2y x t =+，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，35,3P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，44(,)Q x y ，MN 的中点为00(,)D x y ， 由22222y x t x y =+⎧⎨+=⎩，消去x ，得229280y ty t -+-=， ∴1229t y y +=，且22436(8)0t t ∆=-->，故12029y y t y +==且33t -<<， 由PM NQ =，知四边形PMQN 为平行四边形，而D 为线段MN 的中点，因此D 为线段PQ 的中点， ∴405329y t y +==，得42159t y -=， 又33t -<<，可得4713y -<<-， ∴点Q 不在椭圆上，故不存在满足题意的直线l ．20．（本小题共14分）已知函数()ln(1)f x x x =--，22()()2x x a g x a x ++=∈+R ． （1）求函数()f x 的单调区间及最值．（2）若对0x ∀>，()()1f x g x +>恒成立，求a 的取值范围．（3）求证：1111ln(1)35721n n ++++<++，(*)n ∈N ． 【答案】见解析．【解析】（1）()f x 的定义域为(1,)-+∞，1()111x f x x x'=-=-++， 令()0f x '>得10x -<<，令()0f x '<，得0x >，∴()f x 的单调增区间是(1,0)-，单调减区间是(0,)+∞，max ()(0)0f x f ==，无最小值．（2）若对0x ∀>，()()1f x g x +>恒成立，则对0x ∀>，22ln(1)12x x a x x x +++-+>+恒成立， 即对0x ∀>，(2)[1ln(1)]a x x >+-+恒成立， 令()(2)[1ln(1)]h x x x =+--，则21()1ln(1)ln(1)11x h x x x x x +'=-+-=---++， 当0x >时，显然1()ln(1)01h x x x '=-+-<+， ∴()h x 在(0,)+∞上是减函数，∴当0x >时，()(0)2h x h <=，∴2a ≥，即a 的取值范围是[2,)+∞．（3）证明：由（2）知，当2a =，0x >时，2ln(1)12x x ++>+，即ln(1)2x x x +>+， 在上式中，令1(*)x k k =∈N ，得11ln 12k k k k+>+，即11ln 21k k k +>+， 依次令1k =，2，3，，n ， 得21ln 13>，31ln 25>，41ln 37>，11ln 21n n n +>+， 将这n 个式子左右两边分别相加得1111ln(1)35721n n +>++++， 即1111ln(1)35721n n ++++<++，(*)n ∈N ．。
北京东城27中2016-2017学年高三上期中试卷数学【理科】 word含解析
北京市第27中学2016-2017学年第一学期期中试卷高三 数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设13log 2a =，121log 3b =，0.312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 大小关系是（ ）．A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】A【解析】由指数函数和对数函数的性质可知： 1133log 2log 10a b =<==，112211log log 132b =>=， 0.3110122c ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴a c b <<．故选A ．2．如图，在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是A 和B ，则21z z 等于（ ）．A ．2B ．1C ．5D【答案】D【解析】1i z =，22i z =-，∴221i i(i)1i i iz z z z z ---===---，∴21z z ==D ．3．如果0x ≠，那么函数22643y x x=--有（ ）．A．最小值4-B．最大有4+C．最大值4-D．最小值4+【答案】C【解析】∵0x ≠，∴20x >，∴2263x x +=≥，∴22226643434y x x x x ⎛⎫=--=-+- ⎪⎝⎭≤∴函数22643y x x=--有最大值4-C ．4．“x ∀∈R ，210x ax ++≥成立”是“||2a <”的（ ）．A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若对x ∀∈R ，210x ax ++≥成立，则240a ∆=-≤，22a -≤≤， ∴x ∀∈R ，210x ax ++≥成立是||2a <的必要不充分条件．故选B ．5．将函数cos y x =的图象上所有的点向右平行移动π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（ ）．A ．1πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．1πcos 212y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．πcos 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由cos y x =的图象向右平行移动π6个单位长度， 得到πcos 6y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得到πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．故选C ．6．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位数偶数的个数为（ ）．A ．324B ．328C ．360D ．648【答案】B【解析】0在末尾时有2972A =个，0不在末尾时有111488256C C C =个， 所以总共72256328+=个．故选B ．7．已知定义域为R 的函数()f x 在区间(8,)+∞上为减函数，且函数(8)y f x =+为偶函数，则（ ）．A ．(6)(7)f f >B ．(6)(9)f f >C ．(7)(9)f f >D ．(7)(10)f f >【答案】D【解析】函数()y f x =由(8)y f x =+向右平移8个单位所得， 所以函数()y f x =关于8x =对称， 又因为()f x 在区间(8,)+∞上递减， 所以()f x 在(,8)-∞上递增，所以(6)(7)(9)f f f <=，(7)(9)(10)f f f =>．故选D ．8．函数()f x 的定义域为[1,1]-，图象如图1所示；函数()g x 的定义域为[2,2]-，图象如图2所示，方程(())0f g x =有m 个实数根，方程(())0g f x =有n 个实数根，则m n +=（ ）．A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】C【解析】由图象可以知道，若(())0f g x =， 则()1g x =-或()0g x =或()1g x =，当()1g x =-时，1x =-或1；当()0g x =，2x =-或0或2； 当()1g x =时，2x =或2-，故7m =，故(())0g f x =， 则()0g x =，1x =-或0或1，故3n =，∴10m n +=．故选C ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．化简22log 3333log 5272lg 2log 10-++=__________． 【答案】7【解析】22log 3333log 5272lg 2log 10-++233lg 2lg593lg109317=-++=-+=-+=．10．已知π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．【答案】17【解析】∵π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，则43cos tan 54αα=-=-，π3tan tan1π144tan π3471tan tan 144ααα+-+⎛⎫+=== ⎪⎝⎭-+．11．在极坐标中，设0ρ>，02πθ<≤，曲线2ρ=与曲线sin 2ρθ=交点的极坐标为__________．【答案】π2,2⎛⎫⎪⎝⎭【解析】将2ρ=代入sin 2ρθ=，sin 1θ=， ∵02πθ<≤，∴π2θ=，图1图2故交点的极坐标为π2,2⎛⎫⎪⎝⎭．12．已知二次函数()y f x =的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为__________．【答案】43【解析】设()(1)(1)f x a x x =+-，0a <， 又点(0,1)在函数()f x 的图象上， 所以1a =-，2()1f x x =-+，由定积分几何意义，围成图形的面积为：1231114(1)133S x dx x x -⎛⎫=-+=-+= ⎪-⎝⎭⎰．13．已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧⎪=⎨⎪-<⎩≥，若函数()()g x f x k =-有两个零点，则实数k 的取值范围是__________． 【答案】(0,1)【解析】作出函数()f x 的图象如图所示，若函数()()g x f x k =-有两个零点， 则函数()f x 的图象与y x =的图象有两个交点，故01k <<．14．如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈，记水轮上的点P 到水面的距离为d 米（P 在水面下则d 为负数），如果d （米）与时间t （秒）之间满足关系式：ππsin()0,0,22d A t k A ωϕωϕ⎛⎫=++>>-<< ⎪⎝⎭，且当P 点从上面上浮现时开始计算时间，那么以下结论中：①10A =；②2π15ω=；③π6ϕ=；④5k = 正确结论的序号是__________．【答案】①②④【解析】由图可知d 的最大值为15，最小值为5-， 所以：155A k A k +=⎧⎨-+=-⎩，解得10A =，5k =，故①④正确；又因为每分钟转4圈，∴函数的周期为15S ，2π15ω=，故②正确， 又当0t =时，0d =，所以10sin450+=，1sin 2ϕ=-，∴π6ϕ=-，故③错误． 综上所述，正确结论的序号是①②④．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本大题满分13分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，60A =︒，32b c =，ABC S △． （Ⅰ）求b 的值． （Ⅱ）求sin B 的值． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）∵60A =︒，ABC S △，∴11sin 6022S bc bc =︒==， ∴6bc =，又∵32b c =，∴2b =，3c =．（Ⅱ）∵2b =，3c =，60A =︒， ∴由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-， 即2232367a =+-=，∴a = 由正弦定理得sin sin a b A B =2sin B=，解得sin B =16．（本小题满分13分）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．P d10m5m（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率．（Ⅱ）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望． （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）设“此人到达当日空气重度污染”为事件A ， 由图可以看出3月1日到3月13日期间共有2天属于重度污染，故2()13P A =． （Ⅱ）由题意可知x 的所有可能取值为0，1，2．①当此人在3月4号，5号，8号，9号，10号这5天的某一天到达该城市时，停留的2天都不是优良天气，故5(0)13P X ==； ②当此人在3月3号，6号，7号，11号这4天中的某一天到达该城市时，停留的2天中的1天不是优良天气1天是优良天气，故4(1)13P X ==； ③当此人在3月1号，2号，12号，13号这4天中的某一天到达该城市时，停留的2天都是优良天气，故4(2)13P X ==． 故x 的分布列为：∴54412()01213131313E X =⨯+⨯+⨯=． （Ⅲ）由图判断从3月5日开始连续三天的空气质量指数波动最大，因此方差最大． 17．（本小题满分14分）已知函数2π()2cos 214f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递减区间． （Ⅱ）求()f x 在区间ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范围．【答案】见解析日期空气质量指数【解析】（Ⅰ）∵2π()2cos 214f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭π4sin 42sin 43x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．∴()f x 的最小正周期2ππ42T ==， ∵令π22k +，π3ππ4322k x +<+，k ∈Z ， 解得ππ7ππ242242k k x +<<+，k ∈Z ， ∴()f x 的单调递减区间是ππ7ππ,242242k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，()k ∈Z ． （Ⅱ）∵ππ64x -≤≤，∴ππ4π4333x -+≤≤，∴πsin 413x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤，∴π2sin 423x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤，故()f x 的取值范围是[2]．18．（本小题共13分）已知函数()1ln f x ax x =--，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间．（Ⅱ）若函数()f x 在1x =处取得极值，(0,)x ∀∈+∞，()2f x bx -≥恒成立，求实数b 的取值范围． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）在区间(0,)+∞上，11()ax f x a x x-'=-=，①若a ≤0，则()0f x '<，()f x 在(0,)+∞单调递减， ②若0a >，令()0f x '=得1x a=， 令()0f x '>，解得1x a >，()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 令()0f x '<，解得1x a <，∴()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 综上所述，①当0a ≤时，()f x 的单调减区间(0,)+∞，无单调增区间；②当0a >时，()f x 的单调减区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间是1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（Ⅱ）∵函数()f x 在1x =处取得极值， ∴(1)0f '=，解得1a =，由已知()2f x bx -≥，则1ln x xb x+-≥， 令1ln 1ln ()1x x x g x x x x +-==+-，则2211ln ln 2()x x g x x x x--'=--=，令()0g x '>，则2e x >，令()0g x '<，则2e x <， ∴g()x 在2(0,e )上单调递减，在2(e ,)+∞上单调递增，∴2min 21g()(e )1e x g ==-， ∴211e b -≤， 故实数b 的取值范围是21,1e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦．19．（本小题共13分）已知函数()f x 定义在(0,)+∞上，且满足：①(2)1f =；②()()()f xy f x f y =+；③()()x y f x f y ⇔≥≥． （Ⅰ）求(4)f 的值．（Ⅱ）如果()(3)2f x f x +-≤，求x 的取值范围．（Ⅲ）如果定义域改为{}|0x x ≠，请在满足题干条件②的情况下，判断函数的奇偶性，并说明理由． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）∵函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，且(2)1f =， ∴令2x =，2y =，则(4)(2)(2)2f f f =+=． （Ⅱ）∵()()x y f x f y ⇔≥≥， ∴函数()f x 在(0,)+∞上单调递增， ∴()(3)2[(3)](4)f x f x f x x f -⇔-+≤≤， ∴030(3)4x x x x >⎧⎪->⎨⎪-⎩≤，解得34x <≤． （Ⅲ）令1x =，1y =，则(1)(1)(1)f f f =+，故(1)0f =， 令1x =-，1y =-，则(1)(1)(1)f f f =-+-，故(1)0f -=， 令x x =，1y =-，则()()(1)f x f x f -=+-，即()()f x f x -=， ∴函数为偶函数． 20．（本小题共14分）已知函数()e x f x ax =-（e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）当2a =时，求曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程． （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间．（Ⅲ）已知函数()f x 在0x =处取得极小值，不等式()f x mx <的解集为P ，若1|22M x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭≤≤，且M P ≠∅，求实数m 的取值范围．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）当2a =时，()e 2x f x x =-，(0)1f =， ()e 2x f x '=-，(0)1f '=-，所以曲线()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为：1y x =-+． （Ⅱ）()e x f x a '=-，当0a ≤时，()0f x '>恒成立，此时()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞，无单调减区间； 当0a >时，令()0f x '<，则ln x a <，令()0f x '>则ln x a >； 此时，()f x 的单调增区间为(ln ,)a +∞，单调减区间为(,ln )a -∞， 综上所述，0a ≤时，()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞，无单调减区间，0a >时，()f x 的单调增区间为(ln ,)a +∞，单调减区间(,ln )a -∞．（Ⅲ）由题意知(0)0f '=，得1a =，经检验此时()f x 在0x =处取得极小值， ∵MP ≠∅，∴()f x mx <在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，即1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使()f x mx <成立，即1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦使e x xm x ->成立，∴mine x x m x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，令e ()1x g x x =-，2(1)e()x x g x x -'=， ∴()g x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[1,2]上单调递增，min ()(1)e 1g x g ==-，∴e 1m >-， 故实数m 的取值范围是(e 1,)-+∞．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
北京市第二十七中学
2017—2018学年第一学期高三年级其中数学（理）试卷
2017.11
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的1．已知集合2
|1A x x
，B
a ，若A B
，则a 的取值范围是（
）．A ．(
,1)
(1,
)
B ．(
,1]
[1,
)C ．(1,1)
D ．[1,1]
【答案】B 【解析】解：:|11A x x ，B a ，A
B
，
∴(
,1]
[1,
)a
，
故选B ．
2．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（）．A ．3
y
x
B ．ln()
y
x C ．||
y
x D ．2y
x
x
【答案】D 【解析】解：
C 、B 不是奇函数，
A 在R 上单调递增，无极值，
故选D ．
3．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（
）．A ．2
B ．
32
C ．
53
D ．
85
【答案】 C 【解析】解：0
3k
，继续，011k
，1121s ，继续，112k
，21322s
，继续，
213k
，3
152
33
2
s
，停业．
故选C ．输出s 为
53．
4．下列函数
()f x 图像中，满足
1(3)
(2)4
f
f f 的只可能是（
）．
A ．
x
y
O
B ．
x
y
O
C ．
x
y
O
D ．
x
y
O
【答案】D 【解析】解：∵
1(3)
(2)4
f
f f ，
说明()f x 在定义域上不是单调递增或递减，由图像排除AB ，且C 项不符合1
(3)4
f f ，
故选：D ．
5．将函数cos y
x 的图像上所有的点向右平行移动
π
6
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12
（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（
）．
A ．1πcos
2
6
y
x
B ．1πcos
2
12
y
x
C ．πcos 26
y
x
D πcos 23
y
x
【答案】C 【解析】解：π6
1
2
ππcos cos cos 26
6
y
x
y x
y x
右移单位
横坐标缩短
为原来的
．【注意有文字】
故选C ．
6．设m 、n 为非零向量，则“存在负数，使得m n ”是“0m n ”的（）．
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】解：若存在0，使得m
n ，则2
||
0m n
n ，
若0m n
，并不能得到
m 与n 共线，可能两向量夹角为钝角，故“存在负数，使m
n ”是“0m n
”
的充分不必要条件．故选A ．
7．对于函数()=lg |2|1f x x
，有如下三个命题：
①(2)f x
是偶函数；
②()f x 在区间(,2)上是减函数，在区间
(2,
)上是增函数；
③(+2)
()f x f x 在区间(2,)上是增函数．其中正确的命题的序号是（）．
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①②③
【答案】A 【解析】解：①()
(2)
lg ||1g x f x
x ，
()
()g x g x ，正确．
②∵函数|2|t x 在(
,2)上是减函数，在
(2,
)上是增函数，且
lg y
t 在(0,
)上是增
函数，∴()f x 在(,2)是减函数，在(2,)是增函数，正确．
③(2)
()
lg ||lg |2|
f x f x x x lg
2x x
2lg 12x
，在(2,
)是减函数，错误．
故选A ．
8．已知函数
2
1,0
()=
(1),0
x
x f x f x x
≤，若方程()=f x x a 有且只有两个不相等的实数根，则实
数a 的取值范围是（）．
A ．[0,
)
B ．(0,1)
C ．(
,1)
D ．(
,1]
【答案】D 【解析】解：()f x 图像如图所示，
1a
，()f x 与y
x
a 图像有两个交点，符合题意．
故选D ．
x
y
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分
9．命题“0
π
0,
2
x ，00tan sin x x ”的否定是__________．
【答案】
π
0,2
x
，0
tan sin x x ≤【解析】解：特称命题变否定时，
“”需改成“”．
10．已知平面向量(3,1)a
，(,3)b x ，且a b ，则实数x 的值为__________．
【答案】
1
【解析】解：∵a b ⊥，
∴0a b
，
即3130x ，
解出1x
．
11．函数2
y x
x 的图像与x 轴所围成的封闭图形的面积等于
__________．
【答案】
16
【解析】解：函数2
y x x 开口向下，与x 轴围成的封闭图形面积为
1
2
3
2
11()d 0
23
6
x
x
x x x
．
12．已知函数2
()1f x ax
bx （a 、b 为实数，0a
，x R ），
若(1)
0f ，且函数()f x 的值域为(0,
)，则()f x 的表达式=__________．
当[2,2]x 时，()()
g x f x kx 是单调函数，则实数
k 的取值范围是__________．
【答案】2
21
x
x 【解析】解：∵2
()
1(0)f x ax
bx a
，(1)
10f a
b ，
∴1a
b ①，
又∵2
2
2
()
22b b b f x a x
x
a a
a
2
2
1
22b b
a x
a
a
，
2
min
()1
04b
f x a
②，
联立①②
解出1a ，2b ，∴2
()
21f x x
x ．
13．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y （万
元）与机器运转时间
x （年数，*x
N ）的关系为2
18
25y x
，则当每台机器__________
年时，年平均利润最大，最大值是__________万元．
【答案】5；8【解析】解：
2518
y x x x
2518
x x
8≤．
当且仅当5x 时，等号成立，当25x
x
时，
max
8y x ，
即机器运转5年时，年平均利润最大为
8万元/年．。