取整函数

取整函数

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下取整函数

上取整函数

在数学和计算机科学中，取整函数是一类将实数映射到相近的整数的函数。[1]

常用的取整函数有两个，分别是下取整函数和上取整函数。

下取整函数在数学中一般记作或者E(x)，在计算机科学中一般记作 floor(x) ，表示不超过x的整数中最大的一个。

举例来说，，，，。对于

非负的实数，其下取整函数的值一般叫做它的整数部分或取整部分。而叫做x

的小数部分。每个分数都可以表示成其整数部分与一个真分数的和，而实数的整数部分和小数部分是与此概念相应的拓延。

下取整函数的符号也会用方括号表示，如[2.3]=2，称作高斯符号。而(x)则被用来表示一个数的小数部分，如(2.3)=0.3。

上取整函数在数学中一般记作，在计算机科学中一般记作ceil(x)，表示不小于x 的整数中最小的一个。

举例来说，，，，。

计算机中的上取整函数和下取整函数的命名来自于英文的ceiling(天花板)和

floor(地板)，相关的记法由肯尼斯·艾佛森于1962年引入。[2]

[编辑]性质

对于下取整函数，有如下性质。

•按定义：

等号成立当且仅当x为整数。

•设 x 和 n 为正实数，则：

•下取整函数为等幂运算: .

•对任意的整数k和任意实数x，

•一般的数值修约规则可以表述为将x映射到 floor(x + 0.5)；

•下取整函数不是连续函数，但是上半连续的。作为一个分段的常数函数，在其导数有定义的地方，下取整函数导数为零。

•设x为一个实数，n为整数，则由定义，n≤x当且仅当n≤ floor(x)。

•用下取整函数可以写出若干个素数公式，但没有什么实际价值。

•对于非整数的x，下取整函数有如下的富里叶展开：

•对于互素的正整数m和n，有：

•根据Beatty定理，每个正无理数都可以通过下取整函数制造出一个整数集的分划。

•最后，对于每个正整数k，其数位长度为：

对于上取整函数：

•显然有：

•以及：

•对于整数k有：

.

[编辑]其它等式

•设x为一个实数，n为整数，则

•对于两个相反数的下取整函数，有：

如果x为整数，则E(x) + E( −x) = 0 否则E(x) + E( −x) = − 1