2016春八年级数学下册 18.2《勾股定理的逆定理》勾股定理的逆定理(第1课时)课件 (新版)沪科版
《18.2勾股定理的逆定理》作业设计方案-初中数学沪科版12八年级下册
《勾股定理的逆定理》作业设计方案（第一课时）一、作业目标1. 掌握勾股定理的逆定理的基本内容。
2. 理解勾股定理的逆定理在几何图形中的应用。
3. 培养学生的逻辑推理能力和空间想象能力。
二、作业内容1. 知识点复习：回顾勾股定理的基本内容，明确直角三角形三边关系。
2. 预习新知：学习勾股定理的逆定理，即若三角形三边满足一定关系，则该三角形为直角三角形。
重点掌握“两短边的平方和等于最长边的平方”这一条件。
3. 练习题：- 完成课本上的相关练习题，包括判断题、选择题和证明题。
- 结合生活中的实例，如建筑物的斜边与两直角边关系等，进行讨论与解析。
- 完成一份简单的逆定理应用报告，以小组为单位，收集至少三个生活中运用勾股定理逆定理的实例，并分析其应用过程。
三、作业要求1. 认真复习和预习，做好笔记，标记疑难问题。
2. 练习题要求独立完成，不能抄袭他人答案。
如有不懂的问题，可以请教同学或家长。
3. 应用报告需小组合作完成，每个学生至少要负责一个实例的收集与分析。
报告中要注明每个实例的具体情况、如何运用逆定理以及应用的意义。
4. 作业需按时提交，不迟到、不早退。
四、作业评价1. 练习题完成情况：评价学生是否正确理解和掌握了勾股定理的逆定理，以及其应用方法。
2. 应用报告评价：评价学生小组合作的情况、实例收集的多样性和分析的深度。
3. 课堂表现评价：评价学生在课堂上的参与度、发言情况和思维活跃度。
4. 综合评价：综合以上各项评价，给出学生本次作业的总体评价。
五、作业反馈1. 针对学生在练习题和报告中的错误和不足，进行及时的讲解和指导，帮助学生改正错误，提高其解题能力和应用能力。
2. 对于表现优秀的学生和小组，给予表扬和鼓励，激发学生的学习积极性和团队合作精神。
3. 针对学生在课堂上的表现和作业完成情况，及时与家长进行沟通，共同关注学生的学习进步，为下一步的教学工作做好准备。
以上是“初中数学课程《勾股定理的逆定理》作业设计方案（第一课时）”的部分内容。
精品 八年级数学下册 勾股定理逆定理
18.2勾股定理逆定理例1.如图，四边形ABCD，已知∠A=900，AB=3，BC=12，CD=13，DA=4.求四边形的面积。
例2.如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17.求△ABC的面积。
例3.已知△ABC中，AB=17cm，BC=30cm，BC上的中线AD=8cm，请你判断△ABC的形状，并说明理由．例4.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.例5.如图，等腰△ABC中，底边BC=20，D为AB上一点，CD=16，BD=12，求△ABC的周长。
例6.在正方形ABCD 中, E 为AB 的中点, F 为AD 上一点, 且AF=AD 41, 求证: ∠FEC=90︒例7.有一只喜鹊正在一棵高3 m 的小树的树梢上觅食，它的巢筑在距离该树24 m 且高为14 m 的一棵大树上，巢距离大树顶部1m ，这时，它听到巢中幼鸟求助的叫声，便立即赶过去．如果它飞行的速度为5m/s ，那么它至少需要几秒才能赶回巢中?课堂练习：1.下列三角形中,是直角三角形的是( )A.三角形的三边满足关系a+b=cB.三角形的三边长分别为32,42,52C.三角形的一边等于另一边的一半D.三角形的三边长为7,24,25 2.三角形的三边长为a 、b 、c ，且满足等式(a+b)2-c 2=2ab ，则此三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形 3.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.三内角之比为1∶2∶3B.三边长的平方之比为1∶2∶3C.三边长之比为3∶4∶5D.三内角之比为3∶4∶5 4.三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形.5.适合下列条件的△ABC 中,直角三角形的个数为（ ） （1）31=a ，41=b ，51=c （2）b a =，︒=∠45A （3）︒=∠︒=∠58,32B A （4）7=a ，24=b ，25=c （5）25=a ,2=b ,3=c A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 6.如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是（ ）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对7.如图，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，若AD=2BD ，AC=6，BC=3，则BD 的长为（ ）A ．3B ．12C ．1D ．48.如图，一电线杆AB 高为10米，当太阳光线与地面夹角为600时，其影长AC 约为（3≈1.732，保留三个有效数字）（ ） A ．5.00米 B ．8.66米 C ．17.3米 D ．5.77米 9.三角形的三边长分别是15，36，39，这个三角形是 三角形。
人教版八年级下册数学 专题：第18章勾股定理知识点与常见题型总结
八年级下册第18章.勾股定理知识点与常见题型总结１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCB A方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． ９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：ABC30°D CB A ADB CCB DA题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长 分析：直接应用勾股定理222a b c += 解：⑴2210AB AC BC =+=⑵228BC AB AC =-=题型二：应用勾股定理建立方程 例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解 解：⑴224AC AB BC =-=， 2.4AC BCCD AB⋅==DBAC⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21EDCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒ ∴ 1.5DE CD == 在BDE ∆中2290,2BED BE BD DE ∠=︒=-=Rt ACD Rt AED ∆≅∆ AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4. （ 2014•安徽省,第8题4分）如图，Rt △ABC 中，AB =9，BC =6，∠B =90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（ ）A ．B ．C ．4 D ． 5考点： 翻折变换（折叠问题）．分析： 设BN =x ，则由折叠的性质可得DN =AN =9﹣x ，根据中点的定义可得BD =3，在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得关于x 的方程，解方程即可求解．解答：解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD=3，在Rt△ABC中，x2+32=（9﹣x）2，解得x=4．故线段BN的长为4．故选：C．点评：考查了翻折变换（折叠问题），涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大．例5.已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。
沪科版八年级数学下册目录
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数学教材是八年级数学学习的重要组成部分，其中课本目录收录了哪些知识呢?小编整理了关于沪科版八年级数学下册的目录，希望对大家有帮助!
沪科版八年级数学下册课本目录
第16章二次根式
16.1 二次根式
16.2二次根式的运算
第17章一元二次方程
17.1 一元二次方程
17.2一元二次方程的解法
17.3一元二次方程的根的判别式
17.4一元二次方程的根与系数的关系
17.5 一元二次方程的应用
第18章勾股定理
18.1 勾股定理
18.2 勾股定理的逆定理
第19章四边形
19.1 多边形内角和
19.2平行四边形
19.3 矩形菱形正方形
19.4 中心对称图形
19.5梯形
第20章数据的初步分析
20.1数据的频数分布
20.2数据的集中趋势与离散程度
20.3综合与实践体重指数
泸科版八年级数学下册知识点：二次根式的加法和减法
1 同类二次根式
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
2 合并同类二次根式
把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。
二次根式的混合运算
1确定运算顺序
2灵活运用运算定律
3正确使用乘法公式
4大多数分母有理化要及时
5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化。
18.2 勾股定理的逆定理(一)38
班级：组别：姓名：钢屯中学八年级导学案（2011-2012学年度第二学期）学科：数学编号：38个性天地课题18.2 勾股定理的逆定理（一）课型自学课总课时38 主创人刘国利教研组长签字王廷臣领导签字个性天地学习目标：1.探究勾股定理的逆定理的证明方法．2.给出三边能判断是否为直角三角形．3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
学习重点：掌握勾股定理的逆定理及简单应用。
学习难点：勾股定理的逆定理的证明。
学法指导：1、学生独立阅读课本P73—P75，探究课本基础知识，提升自己的阅读理解能力。
2、完成导学案设置的问题，由组长组织对学与群学，进行知识汇报，展示讨论。
3、教师巡视，及时指导、帮助学生解决疑难问题。
导学流程：一、旧知回顾勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。
二、基础知识探究1.用尺规画△ABC，使（1）a=6,b=8,c=10 (2) a=5,b=12,c=13测量出∠C的值。
观察以上结果，你有什么发现？2、猜想：如果三角形的三边长a,b,c满足＿＿＿＿＿＿，那么这个三角形就是直角三角形。
3. 证明猜想：阅读课本74页例1以上的部分内容．能结合图形说出勾股定理逆定理的证明思路．4.此定理与勾股定理之间有怎样的关系？（1）什么叫互为逆命题（2）什么叫互为逆定理（3）任何一个命题都有 ____，但任何一个定理未必都有 __．6.说出下列命题的逆命题。
这些命题的逆命题成立吗？（1）两直线平行，内错角相等；（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；（3）全等三角形的对应角相等；（4）角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
三、综合应用探究1.判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：⑴a=15,b=8,c=17; ⑵a=13,b=14,c=15.分析：（1）用两个短边的平方和与长边的平方进行比较．（2）解题过程要规范？解：2.思考：什么是勾股数？我们知道3、4、5是一组勾股数，那么3k、4k、5k（k是正整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果a、b、c是一组勾股数，那么ak、bk、ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？比一比看谁能说出的勾股数多？四、达标反馈1、在△ABC中，满足下列条件但不是直角三角形的是（）A.∠A=∠B-∠C;B.∠A:∠B:∠C=1:3:4;C.a:b:c=1:2:3；D.a2+b2=c2。
第18章 勾股定理的逆定理及全章复习
18.2 勾股定理的逆定理（一）教学目标1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。
2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。
3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
重点：掌握勾股定理的逆定理及简单应用。
难点：勾股定理的逆定理的证明。
教学过程：一.预习新知（阅读教材P73 — 75 , 完成课前预习）1.三边长度分别为3 cm 、4 cm 、5 cm 的三角形与以3 cm 、4 cm 为直角边的直角三角形之间有什么关系？你是怎样得到的？2.你能证明以6cm 、8cm 、10cm 为三边长的三角形是直角三角形吗？3.如图18.2-2，若△ABC 的三边长a 、b 、c 满足222c b a =+，试证明△ABC 是直角三角形，请简要地写出证明过程．4.此定理与勾股定理之间有怎样的关系？ （1）什么叫互为逆命题（2）什么叫互为逆定理（3）任何一个命题都有 _____，但任何一个定理未必都有 __ 5.说出下列命题的逆命题。
这些命题的逆命题成立吗？ （1） 两直线平行，内错角相等；（2） 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； （3） 全等三角形的对应角相等；（4） 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
二．课堂展示例1：判断由线段a 、b 、c 组成的三角形是不是直角三角形： （1）17,8,15===c b a ； （2）15,14,13===c b a ． （3）25,24,7===c b a ； （4）5.2,2,5.1===c b a ；三.随堂练习1.完成书上P75练习1、2图18.2-22.如果三条线段长a,b,c 满足222b c a -=，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？3.A,B,C 三地的两两距离如图所示，A 地在B 地的正东方向，C 地在B 地的什么方向？4.思考：我们知道3、4、5是一组勾股数，那么3k 、4k 、5k （k 是正整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果a 、b 、c 是一组勾股数，那么ak 、bk 、ck （k 是正整数）也是一组勾股数吗？四.课堂检测1.若△ABC 的三边a ，b ，c 满足条件a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c ，试判定△ABC 的形状．2.一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为多少米？此三角形的形状为？3.已知：如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，且CD 2=AD ·BD 。
八年级数学下册《勾股定理》知识点总结
3．S梯形=（a+b）h=Lh（a、b为梯形的底，h为梯形的高,L为梯形的中位线）
四常识：
※1．若n是多边形的边数，则对角线条数公式是：
2．规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”
3．如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系
4．常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形……；仅是中心对称图形的有：平行四边形……；是双对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆……注意：线段有两条对称轴
∠AB=90°
D⊥AB
6、常用关系式
由三角形面积公式可得：AB D=A B
7、直角三角形的判定
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，有关系，那么这个三角形是直角三角形。
8、命题、定理、证明
（2）、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30°
可表示如下：B= AB
∠=90°
（3）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
∠AB=90°
可表示如下：D= AB=BD=AD
D为AB的中点
、摄影定理
在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项
常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。
结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
《勾股定理的逆定理》优质公开课1
第十七章
17.2.1 勾股定理的逆定理
学习目标
1.能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是 否为直角三角形.
2.灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题. 3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关 系．
导入新知
同学们，古埃及人曾经用下面的 方法画直角：将一根长绳打上等距离 的13个结，然后用桩钉成一个三角形 (如图)，他们认为其中一个角便是直 角．你知道这是什么道理吗？
新知小结
用数学几何知识解决生活实际问题的关键是：建模 思想，即将实际问题转化为数学问题；这里要特别注意 弄清实际语言与数学语言间的关系；如本例中：“点与 点之间的最短路线”就是“连接这两点的线段”，“点 与直线的最短距离”就是“点到直线的垂线段的长”．
巩固新知
1 如果三条线段长a，b，c满足a2=c2–b2，这三 条线段组成的三角形是不是直角三角形？为 什么？
导引：根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原命题 的题设和结论互换，写出原命题的逆命题，最后判 断逆命题的真假．
解：(1)原命题是真命题．逆命题为：如果两条直线只有 一个交点，那么它们相交．逆命题是真命题．
(2)原命题是假命题．逆命题为：如果a2＞b2，那么a ＞b.逆命题是假命题．
(3)原命题是真命题．逆命题为：如果两个数的和为 零，那么它们互为相反数．逆命题是真命题．
A．1个 便是直角．你知道这是什么道理吗？
B．2个
C．3个 D．4个
合作探究
知识点 3 勾 股 数
1. 勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个 正整数． 常见的勾股数有：3，4，5；5，12，13； 8，15，17；7，24，25；9，40，41；….
2．判断勾股数的方法： (1)确定是否是三个正整数； (2)确定最大数； (3)计算：看较小两数的平方和是否等于最大数的
八年级数学下册勾股定理知识点(含答案)
勾股定理知识点一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。
）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
（4）利用勾股定理，作出长为n的线段。
18.2勾股定理的逆定理
(4)全等三角形的对应角相等．
逆命题:对应角相等的两个三角形是全等三角形. 不成立
感悟: 一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题. 原命题成立时, 逆命题有时成立, 有时不成立
例题解析
例1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
∴△ABC是直角三角形
想一想:
互逆命题与互逆定理有何关系?
试一试
说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗? (1)两条直线平行，内错角相等．
逆命题: 内错角相等，两条直线平行. 成立
(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等．
逆命题:如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等.不成立
(3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
例2 一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中 ∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各边 尺寸如图右所示，这个 零件符合要求吗？
C D A B 13 D 4 5 A 3 B 12
C
练一练
1.三角形三边长a、b、c满足条件（ a + b ）2-c2=2ab,则 此三角形是（ B ）
A.锐角三角形 C.钝角三角形
如果三角形的三边长a、b、c满足
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。且边c所 对的角为直角。
勾股定理
互逆命题 定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b， 斜边为c，那么 a2 + b2 = c2
定理与逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它 是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个 定理称另一个定理的逆定理. 我们已经学习了一些互逆的定理,如: 勾股定理及其逆定理, 两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.
沪科版数学八年级下册1勾股定理的逆定理课件
再见!
谢谢
逆定理： 如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，
那么这个三角形是直角三角形．
作用： 判定一个三角形三边满足什么条件时为直角三角形．
知识运用
1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
(1) a＝15 , b ＝8 , c＝17 (2) a＝13 , b ＝15 , c＝14
分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是
。你能写出常用的勾股数吗？
3，4，5； 5，12，13；
手拉手
五一二,记一生
6，8，10； 7，24，25；
8莲，藕15池，。17
企鹅是二百五
；9，40，41
八月十五在一起, 酒 适时 适宜
拓展提升
判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
（1） a= ，41b=4，c=5．
（2）a=m2-n2，b=m2+n2，c=2mn（m＞n，m、n是正整数）
(2)∵a2 = (m2 - n2 )2 = m4 - 2m2n2 + n4, b2 = (m2 + n2 )2 = m4 + 2m2n2 + n4, c2 = (2mn )2 = 4m2n2 又∵152m4 - 2m2n2 + n4 + 4m2n2
= m4 + 2m2n2 + n4 ∴ a2 + c2 = b2 即: 三角形是直角三角形
知识盘点
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b， 斜边为c，那么a2+b2=c2．
勾股定理的逆命定题理： 定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2
， 那两么个这个命三题角的形题是设直与角结三论角正形好．相反，像这样的两个命 题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那 么另一个命题叫做它的逆命题．
【考点训练】第18章勾股定理18.2勾股定理的逆定理：勾股定理的应用-1
百货，则阿虎向西直走多少公尺后，他与神仙百货的距离为340公尺？（公尺？（ ）A ． 100 B ． 180 C ． 220 D ． 260 2．（2013•安顺）如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）A ．8米 B ． 10米C ． 12米D ． 14米3．（2011• 【考点训练】勾股定理的应用-1一、选择题（共5小题）1．（2011•台湾）已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160公尺，再向东直走80公尺后，可到神仙金华）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街金华）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程路程约为（约为（ ） A ．600m B ．500m C ． 400m D ． 300m 4．（2013•济南）如图，小亮将升旗的济南）如图，小亮将升旗的绳子绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m 处，发现此时绳子末端距离地面2m ，则旗杆的高度为（，则旗杆的高度为（滑轮滑轮上方的部分忽略不计）为（上方的部分忽略不计）为（ ）A ．12m B ． 13m C ． 16m D ． 17m 5．（2013•鄂州）如图，已知鄂州）如图，已知直线直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB=．试在直线a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足MN ⊥a 且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时AM+NB=（ ）A．6B．8C．10 D．12 _________米．米．_________．（参考数据：=1.41，=1.73（参考数据：≈1.73，≈1.41，≈2.24）10．（2013•鄂州）小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高．小明说：“这楼起码20层！”小华却不以为然：“20层？我看没有，数数就知道了！”小明说：“有本事，你不用数也能明白！”小华想了想说：“没问题！让我们来量一量吧！”小明、小华在楼体两侧各选A、B两点，测量数据如图，其中其中矩形矩形CDEF表示楼体，AB=150米，CD=10米，∠A=30°，∠B=45°，（A、C、D、B四点在同一四点在同一直线直线上）问：上）问：（1）楼高多少米？）楼高多少米？（2）若每层楼按3米计算，你支持小明还是小华的观点呢？请说明理由．A ． 100 B ． 180 C ． 220 D ． 260 考点： 勾股定理的应用．专题： ．点评： 本题考查了勾股定理的应用，解答关键是根据题意画出图形，运用数形结合的思想，可直观解答．本题考查了勾股定理的应用，解答关键是根据题意画出图形，运用数形结合的思想，可直观解答．A ．8米 B ． 10米 C ． 12米 D ． 14米数形结合．分析： 根据题意，画出图形，先设AE 的长是x 公尺，如图可得，BC=160公尺，AB=340公尺，利用勾股定理，可解答．可解答．解答： 解：设阿虎向西直走了x 公尺，如图，公尺，如图，由题意可得，AB=340，AC=x+80，BC=160，利用勾股定理得，（x+80）2+1602=3402，整理得，x 2+160x ﹣83600=0，x 1=220，x 2=﹣380（舍去），∴阿虎向西直走了220公尺．公尺．故选C考点： 勾股定理的应用．专题： 应用题．应用题． 分析： 根据“两点之间两点之间线段线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行小鸟沿着两棵树的树梢进行直线直线飞行，飞行，所行的所行的所行的路程路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．两点之间的距离求出．解答： 解：如图，设大树高为AB=10m ，小树高为CD=4m ，过C 点作CE ⊥AB 于E ，则EBDC 是矩形，连接AC ，∴EB=4m ，EC=8m ，AE=AB ﹣EB=10﹣4=6m ，在Rt △AEC 中，AC==10m ，故选B ．A ． 600m B ． 500m C ． 400m D ． 300m 点评： 本题考查正确运用本题考查正确运用勾股定理勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．3．（2011•金华）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街金华）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程路程约为（约为（ ）考点： 勾股定理的应用；勾股定理的应用；全等三角形全等三角形的判定与性质．专题： 计算题；压轴题．；压轴题．分析： 由于BC ∥AD ，那么有∠DAE=∠ACB ，由题意可知∠ABC=∠DEA=90°，BA=ED ，利用AAS 可证△ABC ≌△DEA ，于是AE=BC=300，再利用勾股定理可求AC ，即可求CE ，根据图可知从B 到E 的走法有两种，分别计算比较即可．有两种，分别计算比较即可．解答： 解：如右图所示，解：如右图所示，∵BC ∥AD ，∴∠DAE=∠ACB ，又∵BC ⊥AB ，DE ⊥AC ，∴∠ABC=∠DEA=90°，又∵AB=DE=400m ，∴△ABC ≌△DEA ，∴EA=BC=300m ，在Rt △ABC 中，AC==500m ，∴CE=AC ﹣AE=200，从B 到E 有两种走法：①BA+AE=700m ；②BC+CE=500m ，∴最近的路程是500m ．故选B ．点评： 本题考查了本题考查了平行线的性质平行线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是证明△ABC ≌△DEA ，并能比较从B 到E 有两种走法．有两种走法．A ． 12m B ． 13m C ． 16m D ． 17m x ，可得AC=AD=x ，AB=（x ﹣2）m ，BC=8m ，在Rt △ABC 中利用勾股定理可求出x．4．（2013•济南）如图，小亮将升旗的济南）如图，小亮将升旗的绳子绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m 处，发现此时绳子末端距离地面2m ，则旗杆的高度为（，则旗杆的高度为（滑轮滑轮上方的部分忽略不计）为（上方的部分忽略不计）为（ ）考点： 勾股定理的应用．专题： 应用题．应用题．分析： 根据题意画出示意图，设旗杆高度为解答： 解：设旗杆高度为x ，则AC=AD=x ，AB=（x ﹣2）m ，BC=8m ，在Rt △ABC 中，AB 2+BC 2=AC 2，即（x ﹣2）2+82=x 2，解得：x=17，即旗杆的高度为17米．米．故选D ．点评： 本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线垂线．5．（2013•鄂州）如图，已知鄂州）如图，已知直线直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB=．试在直线a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足MN ⊥a 且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时AM+NB=（ ）A ．6 B ． 8 C ． 10 D ． 12 考点： 勾股定理的应用；勾股定理的应用；线段线段的性质：两点之间线段最短；平行线之间的距离．专题： 压轴题．压轴题．N 作NM ⊥直线a ，连接AM ， ∵A 到直线a 的距离为2，a 与b 之间的距离为4，∴AA ′分析： MN 表示表示直线直线a 与直线b 之间的距离，是定值，只要满足AM+NB 的值最小即可，作点A 关于直线a 的对称点A ′，连接A ′B 交直线b 与点N ，过点N 作NM ⊥直线a ，连接AM ，则可判断四边形AA ′NM 是平行四边形，得出AM=A ′N ，由两点之间，由两点之间线段线段最短，可得此时AM+NB 的值最小．过点B 作BE ⊥AA ′，交AA ′于点E ，在Rt △ABE 中求出BE ，在Rt △A ′BE 中求出A ′B 即可得出AM+NB ．解答： 解：作点A 关于直线a 的对称点A ′，连接A ′B 交直线b 与点N ，过点=MN=4，∴四边形AA ′NM 是平行四边形，是平行四边形，∴AM+NB=A ′N+NB=A ′B ，过点B 作BE ⊥AA ′，交AA ′于点E ，易得AE=2+4+3=9，AB=2，A ′E=2+3=5，在Rt △AEB 中，BE==， 在Rt △A ′EB 中，A ′B==8．故选B ．点评： 本题考查了本题考查了勾股定理勾股定理的应用、平行线之间的距离，解答本题的关键是找到点M 、点N 的位置，难度较大，注意掌握两点之间线段最短．注意掌握两点之间线段最短．的高度为的高度为 10 考点： 勾股定理的应用．分析： 如图，根据已知条件知AB+1﹣BC=11米，再由，∠BAC=30°，得到BC=AB ，接着就可以求出旗杆BC的高度．的高度．解答： 解：如图，依题意得AB+1﹣BC=11米，米，而在Rt △ABC 中，∠BAC=30°，∴BC=AB ，∴BC=10米．米．故填空答案：10．a ，b 的两个小正方形，使得a 2+b 2=52．①a ，b 的值可以是的值可以是 3，4 （提示：答案不惟一）（写出一组即可）；专题： 压轴题；开放型．压轴题；开放型．点评： 此题比较简单，直接利用直角三角形中30°的角所对的边等于的角所对的边等于斜边斜边的一半就可以求出结果．的一半就可以求出结果．7．（2009•天津）如图，有一个边长为5的正方形纸片ABCD ，要将其剪拼成边长分别为②请你设计一种具有一般性的②请你设计一种具有一般性的裁剪裁剪方法，在图中画出裁剪线，并拼接成两个小正方形，同时说明该裁剪方法具有一般性：般性：图中的点E 可以是以BC 为直径的为直径的半圆半圆上的任意一点（点B ，C 除外）．BE ，CE 的长分别为两个小正方形的边长的长分别为两个小正方形的边长 ．考点： 勾股定理的应用．分析： ①使得a 2+b 2=52．由直角三角形勾股定理的很容易．由直角三角形勾股定理的很容易联想联想到a 、b 的值是3、4；②要求设计一般性的剪裁，则先分割出来一个边长为4的正方形，再把剩下的部分分为两个边长为1的正方形和两个长为3宽为1的矩形，四个四边形拼成一个边长为3的正方形．的正方形．解答： 解：①要使得a 2+b 2=52．考虑到直角三角形的特殊情况，a ，b 的取值可以使3，4一组（答案不唯一）；②裁剪线及拼接方法如图所示：②裁剪线及拼接方法如图所示：按照上图所示剪裁，先剪一个边长是4的正方形；剩下的剪三个边长为1的正方形和两个长为3宽为1的矩形，然后将这些拼接成边长为3的正方形即可．的正方形即可．点评： 本题考查了学生的空间想象能力和发散思维能力．解决本题的关键是紧紧抓住a 2+b 2=52这个已知条件及剪拼过程拼过程面积面积不变的这个线索．不变的这个线索．8．（2009•河池）某小区有一块河池）某小区有一块等腰三角形等腰三角形的草地，它的一边长为20m ，面积为160m 2，为美化小区环境，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则需要栅栏的长度为这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则需要栅栏的长度为 20+4或40+16或40+8 m ．考点： 勾股定理的应用；等腰三角形的性质．专题： 压轴题；分类讨论．压轴题；分类讨论．分析： 分20m 是底边和腰两种情况讨论；当是腰时又可以分为钝角三角形和是底边和腰两种情况讨论；当是腰时又可以分为钝角三角形和锐角锐角三角形两种情况，再次分情况讨；①当高在三角形的外部时，论．论．解答： 解：（1）当20是等腰三角形的底边时，的底边时，根据根据面积面积求得底边上的高AD 是16，再根据等腰三角形的三线合一，知：底边上的高也是底边上的再根据等腰三角形的三线合一，知：底边上的高也是底边上的中线中线，即底边的一半BD=10，根据根据勾股定理勾股定理即可求得其腰长AB===2，此时三角形的，此时三角形的周长周长是20+4；（2）当20是腰时，由于高可以在三角形的内部，也可在三角形的外部，又应分两种情况．是腰时，由于高可以在三角形的内部，也可在三角形的外部，又应分两种情况．根据面积求得腰上的高是16在R T △ADC 中，AD==12，从而可得BD=32，进一步根据勾股定理求得其底边是BC===16，此时三角形的周长是40+16； ②当高在三角形的内部时，②当高在三角形的内部时，根据勾股定理求得AD==12，BD=AB ﹣AD=8， 在R T △CDB 中，BC=是=8，此时三角形的周长是40+8；故本题答案为：20+4或40+16或40+8．点评： 此题的难点在于情况较多，注意每一种情况运用勾股定理进行计算．此题的难点在于情况较多，注意每一种情况运用勾股定理进行计算．（参考数据：=1.41，=1.73°，∠EBD=15°，在Rt考点： 勾股定理的应用．分析： 过点D 作DE ⊥AB 于点E ，证明△BCD ≌△BED ，在Rt △ADE 中求出DE ，继而得出CD ，计算出AC 的长度后，在Rt △ABC 中求出BC ，继而可判断是否超速．，继而可判断是否超速．解答： 解：过点D 作DE ⊥AB 于点E ，∵∠CDB=75°，∴∠CBD=15△CBD 和Rt △EBD 中，中，∵，∴△CBD ≌△EBD ，∴CD=DE ，在Rt △ADE 中，∠A=60°，AD=40米，米，则DE=ADsin60°=20米，米，故AC=AD+CD=AD+DE=（40+20）米，）米，在Rt △ABC 中，BC=ACtan ∠A=（40+60）米，）米，则速度==4+6≈12.92米/秒，秒，∵12.92米/秒=46.512千米/小时，小时，∴该车没有超速．∴该车没有超速．点评： 本题考查了本题考查了解直角三角形解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，解答本题的关键是构造直角三角形，求出求出BC 的长度，需要多次解直角三角形，有一定难度．角形，有一定难度．10．（2013•鄂州）小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高．小明说：“这楼起码20层！”小华却不以为然：“20层？我看没有，数数就知道了！”小明说：“有本事，你不用数也能明白！”小华想了想说：“没问题！让我们来量一量吧！”小明、小华在楼体两侧各选A 、B 两点，测量数据如图，其中其中矩形矩形CDEF 表示楼体，AB=150米，CD=10米，∠A=30°，∠B=45°，（A 、C 、D 、B 四点在同一四点在同一直线直线上）问：上）问：（1）楼高多少米？）楼高多少米？（2）若每层楼按3米计算，你支持小明还是小华的观点呢？请说明理由．（参考数据：≈1.73，≈1.41，≈2.24）考点：勾股定理的应用．应用题．专题：应用题．分析：（1）设楼高为x，则CF=DE=x，在Rt△ACF和Rt△DEB中分别用x表示AC、BD的值，然后根据AC+CD+BD=150，求出x的值即可；的值即可；（2）根据（1）求出的楼高x，然后求出20层楼的高度，比较x和20层楼高的大小即可判断谁的观点正确．米，解答：解：（1）设楼高为x米，则CF=DE=x米，∵∠A=30°，∠B=45°，∠ACF=∠BDE=90°，米，∴AC=x米，BD=x米，∴x+x=150﹣10，解得x==70（﹣1）（米），）米．∴楼高70（﹣1）米．米，（2）x=70（﹣1）≈70（1.73﹣1）=70×0.73=51.1米＜3×20米，层．∴我支持小华的观点，这楼不到20层．思想求解，难度一般．方程思想求解，难度一般．点评：本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用方程。
人教版数学八年级下册17.2《勾股定理的逆定理》要点讲解
勾股定理的逆定理要点讲解一、勾股定理的逆定理1 .勾股定理的逆定理“如果直角三角形两直角边分别为a、b 、c，且满足a2＋b2＝c2．那么这个三角形是直角三角形．” 我们在判断一个三角形是不是直角三角形时，可直接运用这个逆定理．如图1所示，在△ABC中，如果AC2＋BC2＝AB2，那么△ABC就是直角三角形．2.勾股定理的逆定理与勾股定理的联系与区别联系：（1）两者都与a2＋b2＝c2有关，（2）两者所讨论的问题都是直角三角形区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个直角三角形三边的数量关系，“a2＋b2＝c2”；勾股定理的逆定理则是以“一个三角形的三边满足a2＋b2＝c2”为条件，进而得到这个三角形是直角三角形，是判别一个三角形是否是直角三角形的一个方法．特别说明：勾股定理的逆定理和勾股定理一样，不是凭空想象出来的，而是古代科学家们在实践中逐步发现和认识的，所以我们在学习勾股定理时，也应通过实践来认识和理解它．如通过勾股数画图、剪纸、户外实践等活动认识和理解逆定理，这样才能使我们的印象深刻，认识清楚，理解透彻．二、勾股定理的逆定理的应用勾股定理的逆定理是判断一个三角形是不是直角三角形的重要依据，是运用直角三角形各种性质的先决条件，它体现了数形结合的重要数学思想，在生产实践与现实生活中有着广泛的应用．例2 如图2所示，在△ABD中，∠A 是直角，AB＝3，AD ＝4，BC＝12，DC＝13，△DBC是直角三角形吗？为什么？图2分析：要判断△DBC是不是直角三角形，首先要有它的三条边，而其中的BD边需要通过Rt△BAD得到，所以，解答这个问题的步骤应是，先由Rt△BAD 中的AB、AD求得BD，再根据勾股定理的逆定理进行判定．解：是直角三角形．理由：在Rt△BAD中，根据勾股定理，得BD2＝AD2＋AB2＝33＋42＝25，所以BD＝5 ．在△DBC中，BD2＋BC2＝25＋144＝169＝132＝CD2．所以△DBC是直角三角形．例3 如图3所示，在某市的地图上有三个景点A、B、C，已知景点A、B 之间的距离为0.4cm，景点C、B之间的距离为0.3cm，景点A、C之间的距离为0.5cm，问这三个景点为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？分析：要判别三角形是不是直角三角形只要验证AB2＋BC2＝AC2即可．解：因为0.3 2＋0.42＝0.52，所以这个三角形一定是直角三角形．说明：在运用勾股定理的逆定理判断三角形是不是直角三角形时，一是要根据三角形中的三条边，看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方；二是注意将一组勾股数同时扩大或缩小同样的倍数所得数仍是勾股数．。
18.2勾股定理的逆定理(1)[精选文档]
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（1）a=6，b=8，c=10； （2）a=5，b=12，c=13；
（3）a=5，b=7，c=9； （4）a=8，b=15，c=17；
尝试应用
4.说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗? (1)两条直线平行，内错角相等． (2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等． (3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等． (4)全等三角形的对应角相等． 5.如图所示△ABC三边a,b,c为边向外作正方形， 若S1+S2=S3成立，则△ABC是什么三角形？为什么？
情境引入
用一根钉上13个等距离结的细绳子，让同学操作， 用钉子钉在第一个结上，再钉在第4个结上，再钉在第8个结 上，最后将第十三个结与第一个结钉在一起．然后用角尺量 出最大角的度数．可以发现这个三角形是直角三角形．
课中探究
探究一：动手实践.
（一）、画一画．画出边长分别是下列各组数的三角形（单位：厘米）.
作用：根据边的 数量关系判定是 否是直角三角形.
尝试应用
1.“如果同旁内角互补，那么两条直线平行”的题设是
_____, 结论是 ，逆命题是_______.
2.“对顶角相等”的的题设是 结论是
，逆命题
是_______.
3. 已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、
c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？
（1）：3、4、5 ；（2）：3、6、8；（3）：6、8、10
（二）、量一量.用你的量角器分别测量一下小组内同学画出的三个三角形的
最大角的度数，并判断上述你们所画的三角形的形状：（按角分类）
（三）、算一算．请比较上述每个三角形的两条较短边的平方和与最长边的
平方之间的大小关系. 你能发现什么规律？
人教版初二数学下册：勾股定理的逆定理(基础)知识讲解
勾股定理的逆定理（基础）【学习目标】1. 掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．2. 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.3. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围. 【要点梳理】【高清课堂 勾股定理逆定理 知识要点】 要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1） 首先确定最大边（如c ）.（2） 验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.要点诠释：当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222a b c +>时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.要点三、互逆命题如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题. 要点四、勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：① 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）22121n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长； （2）2222,21,221n n n n n ++++（n 是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）2222,,2m n m n mn -+ （,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三条边长；【典型例题】类型一、原命题与逆命题1、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1．原命题：猫有四只脚．2．原命题：对顶角相等.3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端点的距离相等． 4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等． 【答案与解析】1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．•（正确）4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．（正确）【总结升华】掌握原命题与逆命题的关系. 原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误. 举一反三：【变式】下列命题中，其逆．命题成立的是______________．（只填写序号） ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a b c ，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形． 【答案】①④提示：①的逆命题“两直线平行，同旁内角互补”显然正确；②的逆命题“如果两个角相等，那么它们是直角”很明显是错误的；③的逆命题“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等”，两个实数可以互为相反数，所以该命题不正确；④的逆命题“如果三角形是直角三角形，那么三角形的三边长a b c ，，满足222a b c +=”也是正确的. 类型二、勾股定理的逆定理2、判断由线段a b c ，，组成的三角形是不是直角三角形．（1）a ＝7，b ＝24，c ＝25； （2）a ＝43，b ＝1，c ＝34； （3）22a m n =-，22b m n =+，2c mn =(0m n >>)；【思路点拨】判断三条线段能否组成直角三角形，关键是运用勾股定理的逆定理：看较短的两条线段的平方和是否等于最长线段的平方．若是，则为直角三角形，反之，则不是直角三角形．【答案与解析】解：（1）∵ 2222724625a b +=+=，2225625c ==，∴ 222a b c +=．∴ 由线段a b c ，，组成的三角形是直角三角形．（2）∵ a b c >>，222239251141616b c ⎛⎫+=+=+=⎪⎝⎭，2241639a ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴ 222b c a +≠．∴ 由线段a b c ，，组成的三角形不是直角三角形．（3）∵ 0m n >>，∴ 222m n mn +>，2222m n m n +>-．∵2222224224224224()(2)242a c m n mn m m n n m n m m n n +=-+=-++=++，22224224()2b m n m m n n =+=++，∴ 222a cb +=．∴ 由线段a b c ，，组成的三角形是直角三角形．【总结升华】解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大，然后再利用勾股定理的逆定理进行判断，即首先确定最大边，然后验证2c 与22a b +是否具有相等关系，再根据结果判断是否为直角三角形． 举一反三：【变式1】判断以线段a b c ，，为边的△ABC 是不是直角三角形，其中a =b =2c =．【答案】解：由于a c b >>，因此a 为最大边，只需看2a 是否等于22b c +即可．∵ 227a ==，223b ==，2224c ==，∴ 222a b c =+，∴ 以线段a b c ，，为边能构成以a 为斜边的直角三角形． 【变式2】（2014春•永州校级期中）下列四组数：①5，12，13；②7，24，25；③1，2，4；④5，6，8．其中可以为直角三角形三边长的有 ．（把所有你认为正确的序号都写上）【答案】①②；解：①∵52+122=132，能构成直角三角形；②72+242=252，能构成直角三角形； ③12+22≠42，不能构成直角三角形；④52+62≠82，不能构成直角三角形．所以①②．故答案为：①②．3、（2015春•大石桥市校级期末）已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，求四边形ABCD的面积．【思路点拨】先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．【答案与解析】解：连接AC．∵∠ABC=90°，AB=1，BC=2，∴AC==，在△ACD中，AC2+CD2=5+4=9=AD2，∴△ACD是直角三角形，∴S四边形ABCD=AB•BC+AC•CD，=×1×2+××2，=1+．故四边形ABCD的面积为1+．【总结升华】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状是解答此题的关键．举一反三：【变式】如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD 中点，试判断EC与EB的位置关系，并写出推理过程．【答案】 解：EC ⊥EB ．过点C 作CF ⊥AB 于F ，则四边形AFCD 是矩形，在Rt △BCF 中，可得CF ＝22． 则AD ＝CF ＝22，故DE ＝AE ＝12AD ＝2． 在Rt △ABE 和Rt △DCE 中，2226EB AE AB =+=，2223EC DE CD =+=．∴ 229EB EC +=．∵ BC ＝3，∴ 222EB EC BC +=． ∴ ∠CEB ＝90°，∴ EB ⊥EC ． 类型三、勾股定理逆定理的实际应用4、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【思路点拨】我们可以根据题意画出如图所示的图形，可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船所成的角，就能知道“海天”号的航向了． 【答案与解析】解：根据题意可画出上图，PQ ＝16×1.5＝24，PR ＝12×1.5＝18，QR ＝30， 在△PQR 中，22222418576324900PQ PR +=+=+=，∴ 222PQ PR QR +=．∴△PQR是直角三角形且∠RPQ＝90°．又∵“远航”号沿东北方向航行，可知∠QPN＝45°，∴∠RPN＝45°．由此可知“海天”号沿西北方向航行．也可沿东南方向航行．【总结升华】根据勾股定理的逆定理，可判断一个角是不是90°，这里需注意与东北方向成90°角的有两个方向，即西北方向或东南方向．附录资料：菱形（基础）=【学习目标】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．【要点梳理】【高清课堂特殊的平行四边形（菱形）知识要点】要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.【典型例题】类型一、菱形的性质1、（2016•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF ⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．【思路点拨】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．【答案与解析】证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF与Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴DF=BE．【总结升华】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．举一反三：【变式1】（2015•温州模拟）如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且∠AED=50°，则∠CBO=度．【答案】50；解：在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠CDO=∠AED=50°，CD=CB，∠BCO=∠DCO，∴在△BCO和△DCO中，，∴△BCO ≌△DCO （SAS ）， ∴∠CBO=∠CDO=50°．【高清课堂 特殊的平行四边形（菱形） 例1】【变式2】菱形ABCD 中，∠A ∶∠B ＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于( )． A.21 B.4 C.1 D.2【答案】C ；提示：由题意，∠A ＝30°，边长为2，菱形的高等于12×2＝1. 类型二、菱形的判定2、如图所示，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，DE ∥AC ，DF ∥BC ，四边形DECF 是菱形吗?试说明理由．【思路点拨】由菱形的定义去判定图形，由DE ∥AC ，DF ∥BC 知四边形DECF 是平行四边形，再由∠1＝∠2＝∠3得到邻边相等即可． 【答案与解析】解：四边形DECF 是菱形，理由如下： ∵ DE ∥AC ，DF ∥BC∴ 四边形DECF 是平行四边形． ∵ CD 平分∠ACB ，∴ ∠1＝∠2 ∵ DF ∥BC ， ∴ ∠2＝∠3， ∴ ∠1＝∠3． ∴ CF ＝DF ，∴ 四边形DECF 是菱形． 【总结升华】在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，再由一对邻边相等来判定它是菱形． 举一反三：【变式】如图所示，AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD ，分别交AB 于E ，交AC 于F ，则四边形AEDF 是菱形吗?请说明理由．【答案】解：四边形AEDF是菱形，理由如下：∵ EF垂直平分AD，∴△AOF与△DOF关于直线EF成轴对称．∴∠ODF＝∠OAF，又∵ AD平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE，∴∠ODF＝∠OAE．∴ AE∥DF，同理可得：DE∥AF．∴四边形AEDF是平行四边形，∴ EO＝OF又∵AEDF的对角线AD、EF互相垂直平分．∴AEDF是菱形．3、如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，CE平分∠ACD，交AD于点G，交AB于点E，EF⊥BC于点F．求证：四边形AEFG是菱形．【思路点拨】由角平分线性质易知AE＝EF，欲证四边形AEFG是菱形，只要再证四边形AEFG是平行四边形或AG＝GF＝AE即可．【答案与解析】证明：方法一：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴ AE＝AG．∴ EF AG．∴四边形AEFG是平行四边形．又∵ AE＝AG，∴四边形AEFG是菱形．方法二：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∴∠3＝∠4．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴ AE＝AG．在△AEG和△FEG中，AE＝EF，∠3＝∠4，EG＝EG，∴△AEG≌△FEG．∴ AG＝FG．∴ AE＝EF＝FG＝AG．∴四边形AEFG是菱形．【总结升华】判定一个四边形是菱形，关键是把已知条件转化成判定方法所需要的条件．举一反三：【变式】如图所示，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G．(1)求证：DE∥BF；(2)若∠G＝90°，求证四边形DEBF是菱形．【答案】证明：(1)ABCD中，AB∥CD，AB＝CD∵ E、F分别为AB、CD的中点∴ DF＝12DC，BE＝12AB∴ DF∥BE．DF＝BE∴四边形DEBF为平行四边形∴ DE∥BF(2)证明：∵ AG∥BD∴∠G＝∠DBC＝90°∴△DBC为直角三角形又∵ F为边CD的中点．∴ BF＝12DC＝DF又∵四边形DEBF为平行四边形∴四边形DEBF是菱形类型三、菱形的应用4、如图所示，是一种长0.3m，宽0.2m的矩形瓷砖，E、F、G、H分别为矩形四边BC、CD、DA、AB的中点，阴影部分为淡黄色花纹，中间部分为白色，现有一面长4.2 m，宽2.8m的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖．试问：(1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块?(2)全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形?【答案与解析】解：墙壁长4.2m，宽2.8m，矩形瓷砖长0.3m，宽0.2m，4.2÷0.3＝14，2.8÷0.2＝14，则可知矩形瓷砖横排14块，竖排14块可毫无空隙地贴满墙面．(1)则至少需要这种瓷砖14×14＝196(块)．(2)每块瓷砖中间有一个白色菱形，则共有196个白色的菱形，它的面积等于瓷砖面积的一半．另外在同一个顶点处的瓷砖能够拼成一个淡黄色花纹的菱形，它的面积也等于瓷砖面积的一半，有花纹的菱形横排有13个，竖排也有13个，则一共有淡黄色花纹菱形13×13＝169个，面积相等的菱形一共有196＋169＝365(个)．【总结升华】菱形可以看作是由直角三角形组成的，因而铺满墙面后，要计算空白菱形的个数和阴影菱形的个数．将相同的图形拼在一起，在顶点周围的几个图形也能拼成一定的图案，不要忽略周围图形的拼接．。
八年级下册数学勾股定理的逆定理1
勾股定理的逆定理1知识点1.勾股定理的逆定理 考点1.直角三角形的判别方法例1.判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形：（1）在△ABC 中，∠A=25°，∠C=65°； （2）在△ABC 中，AC=12，AB=20，BC=16； （3）一个三角形的三边长a 、b 、c 满足222c a b =-.练习：判断下列下列三角形的形状.（1）在△ABC 中，AC=5，AB=12， BC =13;（2）一个三角形三边长之比为1:1：.2考点2.利用三角形三边关系判定直角三角形.1.三边组成直角三角形的条件.例2.下面给出几组数：①7,8,9；②12,9,15；③均为正整数，n m mn n m n m ,(2,,2222-+ m>n);④2,1,222++a a a .以它们为边长的三角形一定是直角三角形的是（ ）.练习：在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a,b,c,且,))((2c b a b a =-+则（ ）. A.∠A 为直角 B.∠C 为直角 C.∠B 为直角D.△ABC 不是直角三角形2.从三边满足的关系式中判断三角形的形状.例3.已知a,b,c 为△ＡＢＣ的三边长，且满足.ABC ,442222的形状试判断△b a c b c a -=-练习：已知ａ、ｂ、ｃ是△ＡＢＣ的三边长，且满足关系式：.ABC ,0222的形状试判断△=-+--b a b a c３．通过求三角形三边长判断三角形的形状例４．如图，Ｅ、Ｆ分别是正方形ＡＢＣＤ中ＢＣ和ＣＤ边上的点，且ＡＢ＝４，ＣＥ＝BC41，Ｆ为ＣＤ的中点，连接ＡＦ、ＡＥ，问：△ＡＥＦ是什么三角形？请说明理由．练习：如图，在四边形ＡＢＣＤ中，∠C是直角，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD.考点3.勾股定理及其逆定理的综合应用例5.如图，在△ABC中，AB=17，BC=16，BC边上的中线AD等于15，证明：AB=AC. 练习：如图，在四边形ABCD中，已知AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠B=90°，求：∠DAB的度数.考点4.勾股定理及其逆定理的实际应用某校把一块三角形的废地开辟为植物园，如图，测得AC=80m，BC=60m，ＡＢ＝１００ｍ．（１）若入口Ｅ在边ＡＢ上，且与Ａ，Ｂ的距离相等．求从入口Ｅ到出口Ｃ的最短路线的长（提示：直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半）；（２）若线段ＣＤ是一条小渠，且点Ｄ在边ＡＢ上，点Ｄ距点Ａ多远时，水渠的距离最短？。
八年级数学下册教学课件《勾股定理的逆定理》
活动一：引用故事，导入新课
【故事导入】
据说，古埃及人用右图的方法画直 角：把一根长绳打上等距离的 13 个结， 然后以 3 个结间距、4 个结间距、5 个 结间距的长度为边长，用木桩钉成一个 三角形，其中一个角便是直角.
你知道为什么吗？今天我们就来学习其中的原因.
活动二：问题引入，自主探究
B
C a
① A′
c b
直角三角形吗？
B′
C′
a
②
根据勾股定理，A′B′2 = B′C′2 + A′C′2 = a2 + b2 = c2. ∴ A′B′ = c .在△ABC 和△A′B′C′ 中，
A c
b
BC = a = B′C′，AC = b = A′C′， AB = c = A′B′， ∴△ABC ≌△ A′B′C′（SSS）. ∴∠C=∠C′=90°，
探究点 1 勾股定理的逆定理
类似古埃及人画直角的故事，我们准备三根绳子来模仿 操作，看看能否得到和古埃及人相同的结果.
（1）让一根绳子的一端与 0 刻度线重合，分别在 3 cm，
7 cm，12 cm 处做标记，得到长度分别为 3 cm，4 cm，5 cm
的三段，然后以这三段为边围成一个三角形，量量看是不是
求四边形 ABCD 的面积.
解：∵AD = 8，AB = 6，BD = 10，CD = 26，BC = 24，
∴ AB2 +AD2 = BD2， BD2 +BC2 = CD2 .
∴△ABD 和△BDC 都是直角三角形，
且∠A = 90°，∠DBC = 90°.
∴ S四边形ABCD = S△ABD + S△BDC =
勾股定理逆定理证明过程
勾股定理逆定理证明过程嘿，咱今天就来唠唠勾股定理逆定理的证明过程。
你想啊，勾股定理咱都熟，那它的逆定理是啥呢？就是如果一个三角形的三边满足两短边的平方和等于长边的平方，那它就是直角三角形。
这可神奇了呢！咱先画个三角形 ABC，三条边分别是 a、b、c，其中 c 是最长边。
然后咱就假设 a²+b²=c²。
这时候，咱弄个直角三角形 DEF，让它的两条直角边和三角形ABC 的 a、b 一样长。
那你说，这个直角三角形 DEF 的斜边是不是就是根号下 a²+b²呀？对呀，可不就是嘛！但咱前面不是假设了 a²+b²=c²嘛，那也就是说三角形 ABC 的长边 c 和直角三角形 DEF 的斜边是一样长的呀！这意味着啥？这就意味着三角形 ABC 和直角三角形 DEF 全等呀！为啥呢？三边都相等呀！那既然全等，三角形 ABC 不就是直角三角形了嘛！你看，这不就证明出来了嘛！是不是挺有意思的？就好像搭积木一样，一块一块的，就把这个证明过程给搭起来了。
你再想想，如果没有这个逆定理，那咱咋判断一个三角形是不是直角三角形呀？总不能瞎猜吧！所以说，这个逆定理可重要了呢！咱平时生活中其实也能看到类似的情况呀。
比如说，你看一个东西，乍一看不知道它是啥，但你通过一些特征，就能判断出来它是啥。
这和证明勾股定理逆定理不是一个道理嘛！哎呀，数学可真是无处不在呀！这小小的勾股定理逆定理证明过程，都能让咱发现这么多有趣的地方。
所以呀，可别小瞧了数学，它里面的奥秘多着呢！咱得好好去探索，去发现，说不定哪天就能发现一个大宝藏呢！你说，要是以后遇到一个三角形，咱就能马上判断出它是不是直角三角形，那多牛呀！这可都是因为咱学会了勾股定理逆定理的证明过程呀！总之，这个证明过程就像是一把钥匙，能打开我们对三角形认识的新大门。
好好去理解它，你会发现数学的世界真的很精彩！。