多元函数可微性的研究

目录

中文摘要 (2)

ABSTRACT (2)

0引言 (2)

1预备知识 (3)

1.1多元函数全微分的定义 (3)

1.2函数(),

f x y在点00

x y沿方向g可微的定义 (3)

(,)

2元函数可微的充分条件 (4)

3 多元函数可微性的充要条件 (7)

4定理的应用 (14)

4.1 定理2.1，定理2.2的应用 (14)

4.2 定理3.1，定理3.3的应用 (15)

4.3 定理3.2，定理3.4的应用 (15)

参考文献 (16)

多元函数可微性的研究

摘要： 本文针对多元函数可微性的充分条件和充要条件进行了研究。第一，对Henle 定理（二元函数可微的充分

条件）的充分条件的证明进行了改进，并将其充分条件推广到n 元，得出了从降低偏导连续的条件的多元函数可微的充分条件；第二，从多元函数可微的定义和方向导数的定义出发，并使用拼凑发得到了多元函数可微的的充要条件。

关键词：多元函数；可微；充分条件；充要条件；偏导数；连续

Study of the Differenability of a Function Many Varibles

Abstract: Based on multivariate function differentiable sex sufficient conditions and sufficient condition is studied. First,

for Henle theorem (dual function of differentiable sufficient conditions of sufficient conditions of proof), and improvements will be generalized to the sufficient condition is obtained, n-gram from reducing partial derivative continuous conditions of differentiable multiple function fully conditions; In the second place, from multiple function of differentiable definition and directional derivative definition, and use of multivariate function together hair gets the sufficient and necessary conditions of differentiable.

Key words ： function of many variables; differentiable; sufficieny; necessary and sufficient conditions, partial derivative,

continuity

0引言

众所周知，一元函数中，可微与可导是一回事，但在多元函数中情况就不同了，以二元函数为例，在现行的数学分析教材中给出了二元函数可微的充分条件和必要条件。若函数()y x f ,在点P ()00,x y 处可微，则函数()y x f ,在点()00,x y P 处连续，且在该点处,x y f f 存

在。但,x y f f 存在，且()y x f ,在点()00,x y P 处连续仅是函数()y x f ,在点()00,x y P 处可微的必

要但非充分的条件。例如：

(

)22

22

,00,

x y f x y x y +≠=+=⎪⎩

在点()0,0处,x y

f f 存在，且()y x f ,连续，但()y x f ,在()0,0处不可微

若函数()y x f ,的偏导数在点()00,x y P 的某领域内存在，且,x y f f 在该点连续，则()y x f ,在点()00,x y P 处可微。但偏导数,x y f f 在点()00,x y P 连续仅是函数()y x f ,在点()00,x y P 处

可微的充分但非必要条件。例如：

()()2222

2222

1sin ,0,00,

x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨+=⎪⎩

,x y f f 在点()0,0不连续，但()y x f ,在()0,0处可微。这说明,x y f f 在点()00,x y P 处连续作为函数()y x f ,在点()00,x y P 可微的条件较严格。在一般的教材中，对可微的充要条件也未涉及。本文的目的在于探究函数()y x f ,在点()00,x y P 处可微的较弱的充分条件和充要条件。

1预备知识

1.1多元函数全微分的定义

函数),(y x f z =在点()y x ,全微分的定义为：

设函数()y x f z ,=在点()y x ,的某一领域内有定义，若全增量 ()(),,z f x x y y f x y ∆=+∆+∆- 可表示为 ()z A x B y ορ∆=∆+∆+，

其中A 、B 不依赖于x ∆、y ∆，而仅与x 、y 有关，2

2

y x ∆+∆=ρ，且()0lim

0=→ρ

ρορ，

则称函数()y x f z ,=在点()y x ,可微分，而称y B x A ∆+∆为函数在点()y x ,的全微分，记作dz 即

y B x A dz ∆+∆=

1.2函数(),f x y 在点00(,)x y 沿方向g （g 为单位向量）可微的定义

如果存在有限极限：

()()10000000(,)lim ,,f x y f x y g f x y g ααα+-→∂⎡⎤=+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦∂，则称00(,)

f x y g

∂∂为(),f x y 在00(,)x y 沿方向g 的方向导数，且有：

()()00000000(,)

,,((,),,)f x y f x y g f x y o x y g g

ααα∂+=++⎡⎤⎣⎦∂，其中00((,),,)

0(0)o x y g ααα

+→→

2元函数可微的充分条件