任意角的概念和弧度制
角的概念与弧度制
1、任意角的概念：设角的顶点在坐标原点，始边与 x 轴正半 轴重合，终边在坐标平面内， (1)从运动的角度看，可分为正角、负角和零角． (2)从终边位置来看，可分为象限角和轴线角． 象限角：若角 的终边落在第 k 象限，则称 为第 k 象限角； 注：若角 的终边在坐标轴上，则角 不属于任何象限角； (3)若 α 与 β 角的终边相同， 则 β 用 α 表示为 β＝α＋2kπ(k ∈Z)．
)
练习 1： （1）给出下列四个命题： ①－
5 12
是第四象限角；
② 5 是第三象限角；
4
③475°是第二象限角； 其中正确的命题有
④－ 7 是第一象限角；
4
9π (2)下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是( 4 A．2kπ＋45° (k∈Z) C．k· 360° －315° (k∈Z) 9π B．k· 360° ＋ (k∈Z) 4 9π D．kπ＋ (k∈Z) 4
)
例 2、分别写出终边在四个象限的角的集合
练习 2、已知角 是第二象限角，求： （1）角 是第几象限的角；
2
（2）角 2 终边的位置。
例 3、已知扇形的圆心角是 α，半径为 R，弧长为 l. (1)若 α＝60° ，R＝10 cm，求扇形的弧长 l 及该弧所在弓形的 面积； ； (2)若扇形的周长为 20 cm， 当扇形的圆心角 α 为多少弧度时， 这个扇形的面积最大；
弧长 l＝|α|r 1 1 S＝ lr＝ |α|r21)锐角是第一象限角，反之亦然．( (2)终边在 x )
.(
π 轴上的角的集合是 αα＝kπ＋2，k∈Z
)
π (3)将分针拨快 10 分钟，则分针转过的角度是 .( 3 (4)第一象限的角一定不是负角．( )
第4章 三角函数、解三角形 第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数
因此 cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.
索引
(3)函数 y＝ 2cos x－1的定义域为__2__k_π_－__π3_，__2_k_π_＋__π3__(k_∈__Z__) _.
解析 ∵2cos x－1≥0， ∴cos x≥21. 由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴 影部分所示)， ∴x∈2kπ－π3，2kπ＋π3 (k∈Z).
索引
2.弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于__半__径__长__的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作
rad. (2)公式
角 α 的弧度数公式 角度与弧度的换算
|α|＝rl(弧长用 l 表示)
1°＝1π80
180° rad；1 rad＝___π___
弧长公式 扇形面积公式
弧长 l＝_|_α_|_r_ S＝__12_lr__＝__12_|_α_|r2
索引
感悟提升
应用弧度制解决问题时应注意： (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度. (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
索引
训练1 (1)(2021·长沙质检)已知弧长4π的弧所对的圆心角为2弧度，则这条弧所
在的圆的半径为( D )
A.1
B.2
C.π
D.2π
解析 ∵弧长4π的弧所对的圆心角为2弧度，
∴4rπ＝2，解得 r＝2π， ∴这条弧所在的圆的半径为2π.
索引
10π (2)在单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为______9__，由该弧及半径围成的
5π 扇形的面积为______9__. 解析 单位圆半径 r＝1，200°的弧度数是 200×1π80＝109π. ∴l＝109π，S 扇形＝12lr＝21×109π×1＝59π.
任意角和弧度制的概念
任意角和弧度制角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形。
1.任意角，包括正角、负角和零角。
我们规定：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作任何旋转，就称它形成了一个零角，这样零角的始边与终边重合。
如果α是零角，那么α=0°。
设α，β是任意两个角，如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α=β。
我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β。
类似于实数a的相反数是-a，我们引入角α的相反角的概念。
我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角。
角α的相反角记为-α。
角的减法可以转化为角的加法。
在直角坐标系内讨论角。
为了方便，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限就说这个角是第几象限角。
如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限。
2.弧度制角可以用度为单位进行测量，1度的角等于周角的1/360，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。
另一种度量角的单位制是弧度制。
如图，射线OA 绕断点O 旋转到OB 形成角α，在旋转过程中，射线OA 上的一点P （不同于点O ）的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α。
设︒=n α，r OP =，点P 所形成的圆弧的长为l 。
由180r n l π=，于是180πn r l =。
根据上面公式可以发现，圆心角α所对的弧长与半径的比值，只与α的大小有关。
也就是说这个比值随尔法的确定而唯一确定，这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角。
我们规定：长度等于半径长的圆弧，所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad 表示，读作弧度。
我们把半径为1的圆叫做单位圆。
根据上述规定，在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角为α rad,那么rl=α。
其中α的正负由角α的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。
第1讲 任意角和弧度制三角函数的概念
第四章 三角函数、解三角形 第1讲 任意角和弧度制、三角函数的概念1．角的概念(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的□1端点旋转所成的图形． (2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为□2正角、□3负角、□4零角．按终边位置不同分为□5象限角和轴线角．(3)相反角：我们把射线OA 绕端点O 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为□6－α．(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义把长度等于□7半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad 表示． (2)公式3．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，α∈R ，它的终边OP 与单位圆相交于点P (x ，y )， 则sin α＝□9y ，cos α＝□10x ，tan α＝y x (x ≠0). (2)任意角的三角函数的定义(推广)：设P (x ，y )是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O 的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0).4．三角函数在各象限的符号规律常用结论►(1)三角函数在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦． (2)象限角(3)轴线角1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)小于90°的角是锐角．( )(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.( ) (3)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( ) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( ) 2．(教材改编)67°30′化为弧度是( ) A ．3π8B ．38C ．673π1 800D ．6731 8003．(教材改编)已知α是第一象限角，那么α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第二象限角D ．第一或第三象限角4．(教材改编)已知角θ的终边经过点P (－12，5)，则sin θ＋cos θ＝ ．关键能力 互动探究 命题点1 任意角及其表示例1 (1)集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( C )(2)(2024·河北唐山质检)在[－720°，0°]范围内所有与45°终边相同的角为 ． 命题点睛►(1)表示区间角的三个步骤①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；②再按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x |α＜x ＜β}，其中β－α＜360°；③最后令起始、终止边界的对应角α，β加上360°的整数倍，即得区间角的集合． (2)象限角的两种判断方法①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；②转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角．针对训练1．(多选)下列命题正确的是( )A ．终边落在x 轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2k π，k ∈Z }B ．终边落在y 轴上的角的集合为{α|α＝90°＋k π，k ∈Z }C ．第三象限角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|π＋2k π≤α≤3π2＋2k π，k ∈ZD ．在－900°≤x <0°范围内所有与30°角终边相同的角为－690°和 －330°2．终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3．命题点2 弧度制及其应用例2 已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝π3，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)若扇形的周长是20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ (3)若α＝π3，R ＝2 cm ，求扇形的弧所在的弓形的面积．命题点睛►应用弧度制解决问题时的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 针对训练(多选)中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形(如图)的面积为S 1，圆心角为α1，扇形所在圆面中剩余部分的面积为S 2，圆心角为α2，当S 1与S 2的比值为5－12≈0.618(黄金分割比)时，折扇看上去较为美观，那么( )A ．α1≈127.5°B ．α1≈137.5°C ．α2＝(5－1)πD ．α1α2＝5－12命题点3 三角函数的定义及其应用角度1 三角函数的定义例3 (1)已知角α的终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫35，m 5，则sin α的值是( ) A ．±45B ．±35C ．34D ．－34(2)如果点P 在角23π的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标是( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(－3，1)D ．(－3，－1) 角度2 三角函数的符号例4 (1)点P (sin 100°，cos 100°)在( ) A ．第一象限内 B ．第二象限内 C ．第三象限内D ．第四象限内 (2)已知sin θ<0，tan θ<0，则角θ的终边位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限命题点睛►1．三角函数定义的应用(1)找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，直接利用三角函数的定义，确定这个角的三角函数值．(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值．2．要判断三角函数的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再确定三角函数在各象限的符号．如果不能确定角所在象限，那么就要进行分类讨论求解．针对训练1．(2023·黑龙江哈尔滨期中)已知角α的终边经过点P (－3，4)，则sin α－cos α－11＋tan α的值为( )A ．－65B ．1C ．2D ．32．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，若A (－1，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－31010，则y ＝( )A ．3B ．－3C ．1D ．－13．(2024·福建福州质检)若α是第二象限角，则下列不等式正确的是( ) A ．cos (－α)>0 B ．tan α2>0C ．sin 2α>0D ．sin (－α)>0 课时作业 [基础巩固练]1．下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )2．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，其终边经过点P (1，2)，则sin α＝( ) A ．255B ．55 C ．2D ．123．点A (sin 1 240°，cos 1 240°)在直角坐标平面上位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限4．(2023·天津河东一模)在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为( ) A ．4 B ．22 C ．2D ．15．(2024·河南郑州质检)已知α是第二象限角，则点(cos (sin α)，sin (cos α))所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限6．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角一定是第一象限角或第二象限角；③无论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二象限角或第三象限角．其中正确命题的序号是( )A ．②④⑤B ．③⑤C ．③D ．①③⑤7．(多选)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，终边上有一点P (1，2sin α)，且|α|<π2，则角α的可能取值为( )A ．－π3B ．0C ．π6D ．π38．已知角α的终边经过点(2a －1，4)，且cos α＝－35，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－1C ．2D ．1 9．若角α的终边与函数5x ＋12y ＝0(x <0)的图象重合，则2cos α＋sin α＝ ． 10．用弧度制表示终边落在如图所示的阴影部分内(含边界)的角θ的集合是11．α为第二象限角，且⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2在第 象限． 12．(2024·山东德州质检)已知扇形的圆心角为23π，面积为3π，则该扇形的周长为 ．[能力提升练]13．(多选)在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点P (－1，m )(m >0)，则下列各式的值一定为负的是( )A ．sin α＋cos αB ．sin α－cos αC ．sin αcos αD ．sin αtan α14．(2023·山西长治模拟)水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力材料(SIM)所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴由线段AB ，AC 和圆的优弧BC 围成，其中AB ，AC 恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为1，点A 到圆弧所在圆的圆心的距离为2，则该封闭图形的面积为( A )A ．3＋2π3B ．23＋2π3C ．23＋π3D ．3＋π315．(2023·黑龙江牡丹江三模)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ⎝⎛⎭⎫35，45，将线段OA 绕原点顺时针旋转π3得到线段OB ，则点B 1016．若点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0，2π)内α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4．。
任意角和弧度制、三角函数的概念
π
3π
所以 kπ+2 < 2<kπ+ 4 (k∈Z).
π
3π
当 k=2n(n∈Z)时,2nπ+2 < 2<2nπ+ 4 , 2是第二象限角;
3π
7π
当 k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+ 2 < 2 <2nπ+ 4 , 2是第四象限角.
综上可知,当 α 是第三象限角时,2是第二或第四象限角.
4
3
3
3
是真命题;-400°=-360°-40°,从而-400°是第四象限角,故③是真命
题;-315°=-360°+45°,从而-315°是第一象限角,故④是真命题.
π
π
(2)集合 π + ≤ ≤ π + ,∈Z 中的角的终边所表示的范围(阴影
4
2
部分)是( C )
π
π
当 k=2n(n∈Z)时,2nπ+ ≤ ≤2nπ+ ,
3
3
3
4π
,k∈Z}.
3
= 2π +
解题心得1.角的终边在一条直线上比在一条射线上多一种情况.
2.判断角β所在的象限,先把β表示为β=2kπ+α,α∈[0,2π),k∈Z,再判断角α所
在的象限即可.
3.确定角 kα, (k≥2,且 k∈N*)的终边的位置:先用终边相同角的形式表示出
角 α 的范围,再写出 kα 或 的范围,最后根据 k 的可能取值讨论确定角 kα 或
∴终边在直线 y= 3x 上的角的集合为 =
任意角和弧度制
2．终边相同的角 所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合 S＝ {β|_β_＝__α_＋__k_·_3_6_0_°_，__k_∈__Z__}，即任一与角 α 终边相同的角，都可 以表示成角 α 与整数个周角的和．
3．轴线角的集合 角 α 终边的位置
在 x 轴的非负半轴上 在 x 轴的非正半轴上 在 y 轴的非负半轴上 在 y 轴的非正半轴上
2100
6600
-1500
特别地，当一条射线没有作任何旋转时， 我们也认为这时形成了一个角，并把这个角 叫做零度角（0º）．
角的记法：角α或可以简记成∠α.
⑶角的概念扩展的意义：
用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大 了
① 角有正负之分; 如：=210, = 150, =660.
② 角可以任意大; 实例：体操动作：旋转2周（360×2=720）
内、向外转体1080º；
生活中很多实例会不在该范围。 经过1小时，时针、分针、秒针各转了多 少度？ 这些例子不仅不在范围[0º, 360º) ，而且 方向不同，有必要将角的概念推广到任意角， 想想用什么办法才能推广到任意角？ 关键是用运动的观点来看待角的变化。
2．角的概念的推广
⑴“旋转”形成角
一条射线由原来的位置OA，
2．将射线 OM 绕端点 O 按逆时针方向旋转 120°所得的角为( )
A．120°
B．－120°
C．240° 答案：A
D．－240°
3．时钟经过 1 小时，时针转动的角的大小是________． 解析：时钟是顺时针转，故形成的角是负角，又经过 12 个小时时针 转动一个周角，故经过 1 个小时时针转动周角的112，所以转动的角的 大小是－112×360°＝－30°. 答案：－30°
5.1 任意角和弧度制-教师版
1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }. 2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式角α的弧度数公式 |α|＝lr(弧长用l 表示)角度与弧度的换算1°＝180πrad ；1 rad ＝180π° 弧长公式 弧长l ＝|α|r 扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 2知识梳理例题解析例1写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．【答案】{β|β＝k ·360°－1 910°，k ∈Z }；元素β见解析 【解析】与α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k ·360°－1910°，k ∈Z }． ∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k ·360°－1 910°＜360°(k ∈Z )，∴1111363636k ≤< (k ∈Z )，故取k ＝4,5,6.k ＝4时，β＝4×360°－1910°＝－470°； k ＝5时，β＝5×360°－1910°＝－110°； k ＝6时，β＝6×360°－1910°＝250°.例2写出终边在直线3y x =上的角的集合. 【答案】{|=,}6k k Z πββπ+∈【解析】直线3y x =的倾斜角为6πα=，所以终边在直线y x =上的角为=2,6k k Z πβπ+∈或7=2,6k k Z πβπ+∈， =2(21),66k k k Z ππβπππ++=++∈，综合得终边在直线y x =上的角为=,6k k Z πβπ+∈，所以终边在直线3y x =上的角的集合为{|=,}6k k Z πββπ+∈.例3已知α为第二象限角，则2α是第几象限角？ 【答案】第一或第三象限角 【解析】∵α是第二象限角，∴+2+22k k k Z ππαππ<<∈，，∴++422k k k Z παπππ<<∈，.当k 为偶数时，2α是第一象限角；当k 为奇数时，2α是第三象限角． 所以2α第一或第三象限角. 点睛:确定2()*n n N nα≥∈，终边位置的方法步骤：(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围； (2)写出nα的范围；(3)根据k 的可能取值讨论确定nα的终边所在位置例4已知如图．（1）写出终边落在射线OA 、OB 上的角的集合； （2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．【答案】（1）终边落在射线OA 上的角的集合为{}210360,k k Z αα=+⋅∈，终边落在射线OB 上的角的集合为{}300360,k k Z αα=+⋅∈；（2）{}210360300360,k k k Z αα+⋅≤≤+⋅∈. 【解析】（1）终边落在射线OA 上的角的集合是{}210360,k k Z αα=+⋅∈，终边落在射线OB 上的角的集合{}300360,k k Z αα=+⋅∈； （2）终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是{}210360300360,k k k Z αα+⋅≤≤+⋅∈.例5已知扇形AOB 的圆心角α为23π，半径长R 为6，求： （1）弧AB 的长； （2）扇形所含弓形的面积.【答案】（1）4π；（2）12π－ 【解析】 （1）l ＝α·R ＝23π×6＝4π， 所以弧AB 的长为4π. （2）S 扇形OAB ＝12lR ＝12×4π×6＝12π. 如图所示，过点O 作OD ⊥AB ，交AB 于点D ，23π＝120°，所以∠AOD ＝60°，∠DAO ＝30°， 于是有S △OAB ＝12×AB ×OD＝12×2×6cos 30°×3＝.所以弓形的面积为S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－所以弓形的面积是12π－例6已知一扇形的圆心角为(0)αα>，所在圆的半径为R .（1）若60α︒=，10R cm =，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大?【答案】（1）103cm π，()2503cm π⎛- ⎝；（2）2rad α=.【解析】（1）设扇形的弧长为l ，弓形面积为S ，则603πα︒==，10R =，101033l cm ππ=⨯=，()221105*********S cm ππ⎛=⨯⨯-=- ⎝.（2）设扇形弧长为l ，则220l R +=，即10202101l R R π⎛⎫=-<<⎪+⎝⎭，∴扇形面积2211(202)10(5)2522S IR R R R R R ==-⋅=-+=--+， ∴当5R cm =时，S 有最大值225cm ，此时10l cm =，2rad lRα==. 因此当2rad α=时，这个扇形面积最大. 点睛:12,2C l R S lR =+=当周长C 为定值时可得面积()211222S C R R R CR =-=-+ 当面积S 为定值时可得周长22SC R R=+.1．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是( ) A ．120° B ．－120° C ．240° D ．－240°【答案】D【解析】按顺时针方向旋转形成的角是负角，排除A 、C ；又由题意知旋转的角度是240°，排除B.故选D.随堂检测2．给出下列四个结论：①－15°角是第四象限角；②185°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－350°角是第一象限角．其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】①－15°角是第四象限角；②因为180°<185°<270°，所以185°角是第三象限角；③因为475°＝360°＋115°，90°<115°<180°，所以475°角是第二象限角；④因为－350°＝－360°＋10°，所以－350°角是第一象限角．所以四个结论都是正确的．3．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B＝()A．{－36°，54°}B．{－126°，144°}C．{－126°，－36°，54°，144°}D．{－126°，54°}【答案】C【解析】令k＝－1,0,1,2，则A，B的公共元素有－126°，－36°，54°，144°.4．已知角α＝45°，β＝315°，则角α与β的终边()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线y＝x对称D．关于原点对称【答案】A【解析】因为β＝315°＝360°－45°，所以315°角与－45°角的终边相同，所以α与β的终边关于x轴对称．5．若α与β终边相同，则α－β的终边落在()A．x轴的非负半轴上B．x轴的非正半轴上C ．y 轴的非负半轴上D ．y 轴的非正半轴上【答案】A【解析】∵α＝β＋k ·360°，k ∈Z ，∴α－β＝k ·360°，k ∈Z ，∴其终边在x 轴的非负半轴上． 6．(多选)已知角2α的终边在x 轴的上方，那么角α可能是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【答案】AC【解析】因为角2α的终边在x 轴的上方，所以k ·360°<2α<k ·360°＋180°，k ∈Z ，则有k ·180°<α<k ·180°＋90°，k ∈Z .故当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ·360°<α<n ·360°＋90°，n ∈Z ，α为第一象限角；当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，n ·360°＋180°<α<n ·360°＋270°，n ∈Z ，α为第三角限角．故选A 、C.7．若角α与角x ＋4π有相同的终边，角β与角x －4π有相同的终边，那么α与β间的关系为( ) A ．α＋β＝0B ．α－β＝0C ．α＋β＝2k π(k ∈Z )D ．α－β＝2π＋2k π(k ∈Z ) 【答案】D【解析】∵α＝x ＋4π＋2k 1π(k 1∈Z )，β＝x －4π＋2k 2π(k 2∈Z )，∴α－β＝2π＋2(k 1－k 2)π(k 1∈Z ，k 2∈Z )．∵k 1∈Z ，k 2∈Z ，∴k 1－k 2∈Z .∴α－β＝2π＋2k π(k ∈Z )． 8.已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M 带着从动轮N 转动(如图所示)，设主动轮M 的直径为150 mm ，从动轮N 的直径为300 mm ，若主动轮M 顺时针旋转2π，则从动轮N 逆时针旋转( )A.8π B ．4π C.2π D ．π【答案】B【解析】设从动轮N 逆时针旋转θ rad ，由题意，知主动轮M 与从动轮N 转动的弧长相等，所以θπ⨯=⨯230022150，解得θ＝4π，选B. 9．若α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则α＝________. 【答案】270°【解析】∵5α＝α＋k ·360°，k ∈Z ，∴α＝k ·90°，k ∈Z . 又∵180°<α<360°，∴α＝270°.10.集合{α|k ·180°≤α≤k ·180°＋45°，k ∈Z }中角表示的范围(用阴影表示)是图中的________(填序号)．【答案】②【解析】集合{α|k ·180°≤α≤k ·180°＋45°，k ∈Z }中，当k 为偶数时，此集合与{α|0°≤α≤45°}表示终边相同的角，位于第一象限；当k 为奇数时，此集合与{α|180°≤α≤225°}表示终边相同的角，位于第三象限．所以集合{α|k ·180°≤α≤k ·180°＋45°，k ∈Z }中角表示的范围为图②所示．11．一条铁路在转弯处呈圆弧形，圆弧的半径为2km ，一列火车以30km /h 的速度通过，10s 间转过_______弧度．【答案】124【解析】10s间列车转过的弧长为10130(km)360012⨯=，转过的角1112224α==（弧度）．故答案为：1 2412.已知圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数的绝对值为______；若圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么这段弧所对圆心角的弧度数的绝对_____.【答案】【解析】设圆半径为r，这段弧所对圆心角的弧度数为θ，则圆外切正三角形的边长为r，∴||rθ==；，周长为，即圆弧长为，∴||rθ==13．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．【解析】由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z，∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°.取k＝1，得α＋β＝80°.①∵α－β＝670°＋k·360°，k∈Z，α，β都是锐角，∴－90°<α－β<90°.取k＝－2，得α－β＝－50°.②由①②，得α＝15°，β＝65°.14.如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx＝45°，点P从点A处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转．已知点P 在1秒内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A ，求θ，并判断θ所在的象限．【解析】根据题意知，14秒钟后，点P 在角14θ＋45°的终边上，所以45°＋k ·360°＝14θ＋45°，k ∈Z .又180°<2θ＋45°<270°， 即67.5°<θ<112.5°，∴67.5°<71800⋅k <112.5°.又k ∈Z ，∴k ＝3或4，∴所求的θ的值为75400或77200.∵0°<75400<90°，90°<77200<180°，∴θ在第一象限或第二象限．15.已知扇形AOB 的圆心角α为23π，半径长R 为6，求： （1）弧AB 的长； （2）扇形所含弓形的面积.【解析】（1）l ＝α·R ＝23π×6＝4π， 所以弧AB 的长为4π. （2）S 扇形OAB ＝12lR ＝12×4π×6＝12π. 如图所示，过点O 作OD ⊥AB ，交AB 于点D ，23π＝120°，所以∠AOD ＝60°，∠DAO ＝30°， 于是有S △OAB ＝12×AB ×OD＝12×2×6cos 30°×3＝.所以弓形的面积为S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－所以弓形的面积是12π－16，宽为1dm 的长方形在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方形的底边与桌面所成的角为6π，求点A 走过的路程及走过的弧所在扇形的总面积．【解析】如图:在扇形1ABA 中，圆心角为2π，弧长()1dm 22l AB πππ=⨯==，面积()21112dm 22S AB πππ=⨯⨯=⨯⨯=． 在扇形12A CA 中，圆心角为2π， 弧长()211dm 222l AC πππ=⨯=⨯=，面积()221111dm 2244S AC πππ=⨯⨯=⨯⨯=， 在扇形23A DA 中，圆心角为263ππππ--=，弧长()3233dm 333l A D πππ=⨯=⨯=， 面积()232131323dm 2332S A D πππ=⨯⨯=⨯⨯=． 综上，点A 走过的路程()()1239233dm 236l l l l ππππ+=++=++=， 点A 走过的弧所在扇形的总面积()21237dm 424ππππ=++=++=S S S S一、单选题1．300-化为弧度是（ ）课后练习A ．43π-B ．53π-C ．23π-D ．56π-【答案】B 【解析】300530023603ππ-=-⨯=-2．下列各角中，与2019°终边相同的角为（ ） A ．41° B ．129°C ．219°D ．﹣231°【答案】C 【解析】因为20195360219=⨯+，所以219与2019°终边相同. 故选：C.3．若α是第四象限角，则180°＋α一定是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【答案】B 【解析】∵α是第四象限角，∴k ·360°－90°<α<k ·360°.∴k ·360°＋90°<180°＋α<k ·360°＋180°. ∴180°＋α在第二象限， 故选B.4．一个扇形的圆心角为150°，面积为53π，则该扇形半径为（ ）A ．4B ．1C D ．2【答案】D 【解析】圆心角为51506πα==，设扇形的半径为R ， 2215152326S R R ππα=⋅⇒=⨯，解得2R =. 故选：D5．在0360~︒︒的范围内，与510︒-终边相同的角是（ ）A ．330︒B ．210︒C ．150︒D ．30︒【答案】B 【解析】因为510720210︒-=-+,则在0360~︒︒的范围内，与510︒-终边相同的角是210︒, 故选：B.6．已知扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，则此扇形的面积为（ ）． A ．8cm 2 B ．10cm 2C ．12cm 2D ．14cm 2【答案】A 【解析】设扇形的半径为r cm ，∵扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ， ∴2412r r +=，得2r，∴此扇形的面积214282S =⨯⨯=（cm 2），故选：A ．7．已知集合A ＝{α|α小于90°}，B ＝{α|α为第一象限角}，则A ∩B ＝( ) A ．{α|α为锐角} B ．{α|α小于90°} C ．{α|α为第一象限角} D ．以上都不对【答案】D【解析】∵A ＝{α|α小于90°}，B ＝{α|α为第一象限角}， ∴A ∩B ＝{小于90°且在第一象限的角}，对于A ：小于90°的角不一定是第一象限的，不正确，比如﹣30°；对于B ：小于90°的角且在第一象限的角不一定是0°～90°的角，不正确，例如﹣300°； 对于C ：第一象限的角不一定是小于90°的角且在第一象限的角，不正确，例如380°， 故选D ．8．已知半径为1的扇形面积为38π，则扇形的圆心角为（ ） A ．316π B ．38π C ．34π D ．32π 【答案】C【解析】由212S r α=得231182πα=⨯⨯，所以34πα=， 故选：C.9.已知某扇形的半径为4cm ，圆心角为2rad ，则此扇形的面积为（ ） A ．232cm B ．216cmC ．28cmD ．24cm【答案】B【解析】由题意，某扇形的半径为4cm ，圆心角为2rad ， 根据扇形的面积公式，可得22211241622S r cm α==⨯⨯= 所以此扇形的面积为216cm . 故选：B.10．将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆所示就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图所示是分别以A 、B 、C 为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线Γ（又称莱洛三角形），下列关于曲线Γ的描述中，正确的有（ ） （1）曲线Γ不是等宽曲线；（2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB 的长； （3）曲线Γ是等宽曲线且宽为弧AB 的长； （4）在曲线Γ和圆的宽相等，则它们的周长相等； （5）若曲线Γ和圆的宽相等，则它们的面积相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽为1，则圆的半径为12， （1）根据定义，可以得曲线Γ是等宽曲线，错误； （2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB 的长，正确； （3）根据（2）得（3）错误；（4）曲线Γ的周长为1326ππ⨯⨯=，圆的周长为122ππ⨯=，故它们的周长相等，正确；（5）正三角形的边长为1，则三角形对应的扇形面积为2166ππ⨯=，正三角形的面积1112S =⨯⨯=，则一个弓形面积6S π=则整个区域的面积为3(62ππ+= 而圆的面积为2124ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，不相等，故错误； 综上，正确的有2个， 故选：B. 二、多选题11.下列四个选项正确的有（ ） A ．75-︒角是第四象限角 B ．225︒角是第三象限角 C ．475︒角是第二象限角 D ．315-︒是第一象限角【答案】ABCD对于A 如图1所示，75-︒角是第四象限角； 对于B 如图2所示，225︒角是第三象限角；对于C 如图3所示，475︒角是第二象限角； 对于D 如图4所示，315-︒角是第一象限角. 故选：ABCD .12．下列与412︒角的终边相同的角是（ ） A ．52︒ B ．778︒C ．308-︒D ．1132︒【答案】ACD 【解析】因为41236052=︒︒+︒，所以与412︒角的终边相同角为36052,k k Z β=⨯︒+︒∈，当1k =-时，308β=-︒，当0k =时，52β=︒，当2k =时，772β=︒，当3k =时，1132β=︒，当4k =时，1492β=︒， 综上，选项A 、C 、D 正确. 故选：ACD.13．下列条件中，能使α和β的终边关于y 轴对称的是（ ）A ．90αβ+=B ．180αβ+=C ．()36090k k Z αβ︒︒+=⋅+∈D ．()360k k Z αβ︒+=⋅∈E.()()21180k k Z αβ+=+⋅∈ 【答案】BE【解析】假设α、β为0180内的角，如图所示，因为α、β的终边关于y 轴对称，所以180αβ︒+=，所以B 满足条件； 结合终边相同的角的概念，可得()()36018021180Z k k k αβ+=⋅+=+⋅∈，所以E 满足条件，ACD 都不满足条件． 故选：BE.14．设α是第三象限角，则2α所在象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】BD【解析】α是第三象限角，360180360270k k α∴⋅︒+︒<<⋅︒+︒，k Z ∈， 则180901801352k k α⋅︒+︒<<⋅︒+︒，k Z ∈，令2k n =，n Z ∈ 有360903601352n n α⋅︒+︒<<⋅︒+︒，n Z ∈；在二象限；21k n =+，n z ∈， 有3602703603152n n α⋅︒+︒<<⋅︒+︒，n Z ∈；在四象限；故选：B D ．三、填空题15．已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么α∈________.【答案】{}|180********,n n n αα⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈Z .【解析】在0360范围内，终边落在阴影内的角α满足：30150α<<或210330α<<∴满足题意的角α为：{}{}30360150360210360330360k k k k αααα+⋅<<+⋅⋃+⋅<<+⋅ {}{}302180150218021021803302180k k k k αααα=+⋅<<+⋅⋃+⋅<<+⋅ {}()(){}3021801502180302118015021180k k k k αααα=+⋅<<+⋅⋃++⋅<<++⋅{}30180150180n n αα=+⋅<<+⋅，k Z ∈，n Z ∈本题正确结果：{}30180150180,n n n Z αα+⋅<<+⋅∈16．已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为 ．【答案】4【解析】设扇形半径为r ，弧长为l ，则142{2lr l r ==，解得4{2l r ==．17．一个面积为1的扇形，所对弧长也为1，则该扇形的圆心角是________弧度【答案】12【解析】设扇形的所在圆的半径为r ，圆心角为α，因为扇形的面积为1，弧长也为1，可得21121r r αα⎧⋅=⎪⎨⎪=⎩，即221r r αα⎧⋅=⎨=⎩，解得12,2r α==.故答案为：1218.24︒=_________弧度；49π弧度=________. 【答案】215π 80° 【解析】 根据角度制与弧度制的互化公式1801,1180rad ππ==，可得2180241245ππ︒==⨯，441808099π=⨯=. 故答案为：215π，80. 19．（1）给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角或直角或锐角.其中正确说法的序号为________.(把正确说法的序号都写上)（2）将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________.【答案】② 120-︒【解析】（1）①锐角的范围为()0,90︒︒是第一象限的角，命题①正确；②第一象限角的范围为()()360,90360k k k Z ⋅︒︒+⋅︒∈，故第一象限角可以为负角，故②错误；③根据任意角的概念，可知小于180°的角，可以为负角，故③错误；（2）将时针拨快20分钟，则分针顺时针转过120︒，即转过的度数为120-︒故答案为：120-︒20.《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的弧AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB 长是__________，弧田的面积是__________．【答案】 12π﹣【解析】∵如图，弧田的弧AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6，过O 作OC AB ⊥，交AB 于D ，根据圆的几何性质可知，OC 垂直平分AB .∴α＝∠AOB ＝46π＝23π，可得∠AOD ＝3π，OA ＝6，∴AB ＝2AD ＝2OA sin3π＝2×6∴弧田的面积S ＝S 扇形OAB ﹣S △OAB ＝12⨯4π×6﹣132⨯＝12π﹣故答案为：12π﹣21．已知扇形的周长为40，当它的圆心角为____时，扇形的面积最大，最大面积为____.【答案】2 100【解析】设扇形半径为r ，则其弧长为402r -，4020,20r r -><，∴020r <<． ∴221(402)20(10)1002S r r r r r =-=-+=--+， ∴10r =时，max 100S =．此时圆心角为40210210-⨯=． 故答案为：2；100．。
任意角、弧度制、三角函数定义
任意角、弧度制、三角函数定义、同角三角函数关系式任意角和弧度制1．角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内绕着从一个位置到另一个位置所成的图形．2.终边相同的角象限角与终边落在坐标轴上的角终边落在坐标轴上的角经常用到，下表是终边落在x轴、y轴各半轴上的角，请完成下表.下表是终边落在各个象限的角的集合，请补充完整.写出终边落在x轴上的角的集合S.写出终边落在y轴上的角的集合T.3．1弧度的角：把长度等于的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号表示，读作．4．弧度制：用作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．5．角的弧度数的规定：一般地，正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个，零角的弧度数是.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是.这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定．6．角度与弧度的互化：360°＝rad；180°＝rad；1°＝rad≈0.017 45 rad.7.弧长公式和扇形面积公式，任意角的三角函数1．任意角三角函数的定义单位圆定义法：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： 叫做α的正弦， 记作sin α，即sin α＝ ； 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝ ；y x叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝ (x ≠0)．终边定义法：设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则有sin α＝___，cos α＝___，tan α＝___ (x ≠0)，其中r ＝x 2＋y 2>0.2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号3．诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值 ，即：sin(α＋k ·2π)＝ ，cos(α＋k ·2π)＝ ，tan(α＋k ·2π)＝ ，其中k ∈Z.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( )(3)角α终边上点P 的坐标为(－12，32)，那么sin α＝32，cos α＝－12；同理角α终边上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，那么sin α＝y 0，cos α＝x 0.( )(4)α∈(0，π2)，则tan α>α>sin α.( )(5)α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( )【典型例题】例1 (1)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________．(2)若角α在第三象限，则α2在第________象限．跟踪训练1 (1)设集合M ＝{x |x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z }，那么( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅(2)集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是( )（3）．角－870°的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（4）．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是 ( ) A ．2k π＋45°(k ∈Z ) B ．k ·360°＋94π(k ∈Z ) C ．k ·360°－315°(k ∈Z ) D ．k π＋5π4(k ∈Z )例2 已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝60°，R ＝10cm ，求扇形的弧长l ；(2)已知扇形的周长为10cm ，面积是4cm 2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？跟踪训练2：(1)将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是 ( ) A.π3 B.π6 C ．－π3 D ．－π6(2)已知扇形的周长为4cm ，当它的半径为________cm 和圆心角为________弧度时，扇形面积最大． （3）．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin2 C.2sin1D ．2sin1例3 把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z)的形式，并指出是第几象限角： (1)－1 500°； (2)23π6； (3)－4. 跟踪训练3 将－1 485°化为2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z)的形式例4 已知角α的终边上一点P (－15a,8a ) (a ∈R 且a ≠0)，求α的各三角函数值．跟踪训练4 已知角θ的终边上一点P (x,3) (x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ.例5 求下列各式的值．(1)cos 25π3＋tan ()－15π4； (2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°.跟踪训练5 求下列各式的值．(1)cos ()－23π3＋tan 17π4； (2)sin 630°＋tan 1 125°＋tan 765°＋cos 540°.例6 判断下列各式的符号：(1)sin α·cos α(其中α是第二象限角)； (2)sin 285°cos(－105°)； (3)sin 3·cos 4·tan ⎝⎛⎭⎫－23π4.跟踪训练6 (1)若sin αcos α<0，则α是第_________象限角．(2)代数式：sin 2·cos 3·tan 4的符号是________．例7 (1)已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32(2)点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为 ( )A.⎝⎛⎭⎫－12，32B.⎝⎛⎭⎫－32，－12C.⎝⎛⎭⎫－12，－32 D .⎝⎛⎭⎫－32，12例8 (1)若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角(2)设θ是第三象限角，且||cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角专项基础训练1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为( ) A.π3 B.π2C. 3 D ．2 3．设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α等于( )A.43B.34 C ．－34 D ．－434．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( )A ．sin α＋cos α＜0B ．tan α－sin α＜0C ．cos α－tan α＜0D ．tan αsin α＜0 5．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角； ②三角形的内角是第一象限角或第二象限角； ③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．46．已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________．7．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为________．8．设角α是第三象限角，且||sin α2＝－sin α2，则角α2是第________象限角．9．一个扇形OAB 的面积是1cm 2，它的周长是4cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .10．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ.11．已知圆O ：x 2＋y 2＝4与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动π2弧长到达点N ，以ON 为终边的角记为α，则tan α等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2 12．给出下列各函数值： ①sin(－1000°)；②cos(－2200°)；③tan(－10)， 其中符号为负的是( )A ．①②B ．②C ．③D ．①③13．已知点P (sin α－cos α，2)在第二象限，则α的一个变化区间是( )A.()－π2，π2B.()－π4，3π4C.()－3π4，π4D.()π2，π14．在直角坐标系中，O 是原点，A 点坐标为(3，－1)，将OA 绕O 逆时针旋转450°到B 点，则B 点的坐标为____________．15．如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求点P ，点Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．。
1.1.2弧度制
弧度的概念
思考：在平面几何中，1°的角是怎样定义的？
将圆周分成360等份，每一段圆弧所对的圆心 角就是1°的角.
即：规定把周角的
1 360 作为1度的角，
用度做单位来度量角的制度叫做角度制．
弧度制定义：
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做１弧度的角。 用弧度来度量角的单位制叫做弧度制． rad 符号： 读作：弧度。
π ∴ 1°= —— rad ≈ 0．01745 rad 180
周角的弧度数是2π 角度制下的度数是360° ∴ 360°= 2π rad； 180°= π rad.
180 1 rad =（——）°≈ 57．30°= 57°18′ π
常规写法 ① 用弧度数表示角时，常常把弧度数
写成多少的形式，不必写成小数．
练习：将弧度转化为角度，角度转化为弧度
7 （ 1） = 15 ° （2） =－157° 30 ′； 8 12
13 （ 3） = 390 ° （4）36°= 6 5
7π （6）37°30′= （5）－105°= 12
5π 24
练习：与角－1825º 的终边相同，且绝对值最
5 － 25º 小的角的度数是＿＿＿，即＿＿＿弧度。 36
随堂练习
1、 直径为20cm的圆中，求下列各圆
4π 心所对的弧长⑴ 3
⑵ 165o
解： r = 10cm
4π 40π （1）l = α ×r = ´ 10 = (cm) 3 3
π 11π （2） 165 = ´ 165(rad) = rad 180 12
o
11π 55π 所以l = ´ 10 = (cm) 12 6
② 弧度与角度不能混用．
特殊角的弧度数
24任意角与弧度制知识点总结
y sin x 的图象。
③五点法：在函数 y sin x ， x 0，2 的图象上，起关键作用的点有以下五个：
0，0， 2 ，1，，0， 32 ，1，2，0
必修四第一章知识点总结
一、意角的概念
（1）、角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 （2）、角的分类 ①按逆时针方向旋转形成的角叫做正角。 ②按顺时针方向旋转形成的角叫做负角。 ③如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。这样，零角的始边与终 边重合。 这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角。
量角的单位制
无关
以省略
有关
五、任意角的三角函数
（1）、直角坐标系内用点的坐标表示锐角三角函数
设锐角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，那么它的终边在第一象
限。在 的终边上任取一点 P a，b ，它与原点的距离 r a2 b2 0 ，过 P 作 x 轴的
垂线，垂足为 M ，则线段 OM 的长度为 a ， MP 的长度为 b 。根据初中学过的三角函数定
（4）、正弦函数、余弦函数的奇偶性
正弦函数 y sin x （ x R ）是奇函数，余弦函数 y cos x （ x R ）是偶函数。
（5）、正弦函数、余弦函数的单调性 ①由正弦曲线和余弦曲线可得正弦函数和余弦函数的单调性如下：
函数
y
sin
x
在
2k
2
，2k
2
3 2
sin
，
高中数学5.1任意角和弧度制
高中数学5.1 任意角和弧度制一、概述高中数学中，三角函数是一个重要内容。
而在学习三角函数之前，我们需要先了解一些基本概念，比如任意角和弧度制。
本文将围绕着这两个概念展开讲解，帮助读者更好地理解和掌握这些内容。
二、任意角的概念1. 任意角是指不限制在0°到360°之间的角。
在平面直角坐标系中，任意角可以被表示为一个终边落在坐标轴上的角。
这意味着任意角可以包括整个360°的范围。
2. 我们通常用θ来表示任意角，其实任意角可以被表示为θ＝360k ＋α，其中k是整数，α是小于360°的正角，它是唯一的。
三、弧度制的概念1. 弧度制是另一种角度的度量方式，它是以圆的半径长为单位进行度量的。
一个圆的全周长为2πr，所以一个圆的一周等于2π弧度。
2. 我们知道360°等于2π弧度，所以1°等于π/180弧度。
角度和弧度之间可以通过π进行转换。
3. 弧度制适合用于求解圆的性质问题，因为它更直接地与圆的半径有关，可以简化很多计算，并且更具有普适性。
四、任意角与弧度的转换1. 已知一个角的度数，求其对应的弧度。
我们可以根据1°等于π/180弧度的关系，进行计算转换。
30°对应的弧度是30°×π/180=π/6弧度。
2. 已知一个角的弧度，求其对应的度数。
同样可以根据π弧度等于180°进行转换计算。
π/3弧度对应的度数是π/3÷π×180°=60°。
五、扩展知识1. 在解决某些三角函数的问题时，可能会遇到弧度制和角度制混用的情况。
在这种情况下，我们需要先将角度统一转换为弧度，然后再进行计算。
2. 在高等数学中，弧度制被广泛应用于导数、积分和微分等计算中。
了解弧度制可以为后续高等数学的学习奠定坚实基础。
六、总结任意角和弧度制是高中数学中一个基础而重要的知识点，它为后续学习三角函数和高等数学打下了基础。
1.1任意角的概念与弧度制
角应包括正角、 角应包括正角、负角和零角
为了研究问题方便，我们常在直角坐标系内讨论角， 为了研究问题方便，我们常在直角坐标系内讨论角， 为此使角的顶点与原点重合 角的始边与x轴的正半轴 角的顶点与原点重合， 为此使角的顶点与原点重合，角的始边与 轴的正半轴 重合． 重合． 二、象限角 角的终边(除端点外 在第几象限， 除端点外)在第几象限 角的终边 除端点外 在第几象限，我们就说这个角 是第几象限角． 是第几象限角． 中的30° 图1-9中的 °， 中的 390°，-330°角， ° ° 都是第一象限角； 都是第一象限角； 中的300°， 图1-10中的 中的 ° -60°角，都是第 ° 四象限角； 四象限角；585° ° 角是第三象限角。 角是第三象限角。 终边在坐标轴的角，称为象限界角， 终边在坐标轴的角，称为象限界角，它不属于象限角
5 (1){α | 2kπ − < α ≤ 2kπ + π , k ∈ Z} 6 12 3π 3 (2){α | 2kπ − < α < 2kπ + π , k ∈ Z} 4 4 1 π (3){α | kπ + ≤ α ≤ kπ + π , k ∈ Z} 6 2
所以扇形的面积为 所以扇形的面积为 l 1 | n | πR2 1 1 2 S= ⋅ ⋅πR = lR= | α | R2 角度制： = 角度制： S R 2π 2 360 2
几个需要注意的问题： 几个需要注意的问题： 1. 在表示角的集合时，一定要使用统一单位（统一制度）， 在表示角的集合时，一定要使用统一单位（统一制度）， 只能用角度制或弧度制的一种，绝对不能混用； 只能用角度制或弧度制的一种，绝对不能混用； 2. 用弧度制表示终边相同的角 2kπ + α ( k ∈ Z) 时，是π的 偶数倍， 的整数倍； 偶数倍，而不是π 的整数倍； 3. 1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的 弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧） 弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角 大小， 所对的圆心角（或该弧） 大小，而1 °是圆的 1/360 所对的圆心角（或该弧）的大 小； 4. 不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是 不管是以“弧度”还是以“ 一个与半径的大小无关的定值； 一个与半径的大小无关的定值； 5. 用弧度单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不 用弧度单位表示角的大小时， 弧度” 理解为sin（ 弧度）；一般弧度表示时 弧度）；一般弧度表示时， 写，如sin2理解为 （2弧度）；一般弧度表示时，常写 理解为 成多少π 的形式； 但以度为单位，不能省略； 的形式； 但以度为单位，不能省略；
任意角和弧度制
任意角和弧度制引言在数学中，角度是一种度量物体之间相对位置的方式。
角度可以用度数或弧度来表示，其中度数是最常见的方式，而弧度则是一种更为抽象的度量方式。
本文将介绍任意角的概念以及如何在度数和弧度制之间进行转换。
任意角的定义在平面几何中，任意角可以由一个初始边和一个终边确定。
初始边是角的起点，终边是从起点开始沿着给定的方向确定的线段。
终边最终与一个固定点相交，这个点称为角的顶点。
任意角任意角在度数制中，一个圆周被划分为360度，这意味着一个完整的圆是360度。
任意角可以包含大于360度或小于0度的值。
弧度制相对于度数制，弧度制是一种更为抽象和自然的度量方式。
弧度是一种无单位的度量，它表示沿着圆周上一个圆心角所对应的弧长。
在弧度制中，一个完整的圆的弧长为2π，因此一个直角（90度）对应的弧度为π/2，一周（360度）对应的弧度为2π。
根据这个比例，我们可以通过下面的公式将度数转换为弧度：弧度 = （度数 / 360）* 2π度数到弧度的转换示例我们来看一个具体的例子，假设有一个角度为45度的角，我们想将其转换为弧度。
根据上面的公式，我们可以进行如下计算：弧度= (45 / 360) * 2π计算结果为：弧度= (0.125) * 2π = 0.25π因此，45度的角度转换为弧度为0.25π。
弧度到度数的转换示例同样地，我们可以将一个给定的弧度转换为度数。
假设我们有一个弧度为π/4的角度，我们想将其转换为度数。
根据上述的公式，我们可以进行如下计算：度数 = (弧度/ 2π) * 360计算结果为：度数= (π/4 / 2π) * 360 = (0.25) * 360 = 90度因此，弧度为π/4的角度转换为度数为90度。
结论在本文中，我们介绍了任意角的概念以及如何在度数和弧度制之间进行转换。
度数制是最常见的角度度量方式，而弧度制是一种更为抽象和自然的度量方式。
转换度数到弧度和弧度到度数可以通过简单的公式实现。
任意角的概念与弧度制
任意角的概念与弧度制1、角的概念的推广：角可以看作平面内一条射线绕端点从一个位置(始边)旋转到另一个位置(终边)形成的图形.规定按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角：射线没有旋转时称零角.任意角的概念与弧度制1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.正角:按逆时针方向旋转所形成的角.负角:按顺时针方向旋转所形成的角.零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.要点诠释：角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义.2.终边相同的角、象限角终边相同的角为角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.要点诠释：(1)终边相同的前提是：原点，始边均相同；(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(3)终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍.3、终边相同的角与象限角：与角终边相同的角构成一个集合，；顶点与坐标原点重合，始边与轴正半轴重合，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角．知识点二：弧度制弧度制(1)长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).(2)弧度与角度互换公式：1rad=≈57.30°=57°18′，1°=≈0.01745(rad)(3)弧长公式：(是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：.要点诠释：(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.(2)角的弧度数的绝对值是：，其中，是圆心角所对的弧长，是半径.3、弧度制的概念及换算：规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作rad.注意在用弧度制时，“弧度”或“rad”可以略去不写.在半径为的圆中，弧长为的弧所对圆心角为，则所以，rad，(rad)，1(rad).4、弧度制下弧长公式：；弧度制下扇形面积公式.类型一：象限角1．已知角；(1)在区间内找出所有与角有相同终边的角；(2)集合，,那么两集合的关系是什么？解析：(1)所有与角有相同终边的角可表示为：，则令，得解得，从而或代回或.(2)因为表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合;而集合表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：.总结升华：(1)从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角有相同终边的角，然后列出一个关于的不等式，找出相应的整数，代回求出所求解；(2)可对整数的奇、偶数情况展开讨论.2．已知“是第三象限角，则是第几象限角?思路点拨：已知角的范围或所在的象限，求所在的象限是常考题之一，一般解法有直接法和几何法，其中几何法具体操作如下：把各象限均分n等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循环一周，则原来是第几象限的符号所表示的区域即为(n∈N*)的终边所在的区域.解法一：因为是第三象限角，所以，∴，∴当k=3m(m∈Z)时，为第一象限角；当k=3m＋1(m∈Z)时，为第三象限角，当k=3m＋2(m∈Z)时，为第四象限角，故为第一、三、四象限角.解法二：把各象限均分3等份，再从x轴的正向的上方起依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并依次循环一周，则原来是第Ⅲ象限的符号所表示的区域即为的终边所在的区域.由图可知，是第一、三、四象限角.总结升华：(1)要分清弧度制与角度制象限角和终边在坐标轴上的角；(2)讨论角的终边所在象限，一定要注意分类讨论，做到不重不落，尤其对象限界角应引起注意.举一反三：【变式1】集合，，则( )A、B、C、D、【答案】C思路点拨：( 法一) 取特殊值-1，-3，-2，-1，0，1，2，3，4(法二)在平面直角坐标系中，数形结合(法三)集合M变形，集合N变形，是的奇数倍，是的整数倍，因此.【变式2】设为第三象限角，试判断的符号.解析：为第三象限角，当时，此时在第二象限.当时，此时在第四象限.综上可知：类型二：扇形的弧长、面积与圆心角问题3．已知一半径为r的扇形，它的周长等于所在圆的周长的一半，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？解：设扇形的圆心角是，因为扇形的弧长是，所以扇形的周长是依题意，得≈≈总结升华：弧长和扇形面积的核心公式是圆周长公式和圆面积公式，当用圆心角的弧度数代替时，即得到一般的弧长公式和扇形面积公式：举一反三：【变式1】一个扇形的周长为，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积.思路点拨：运用扇形的面积公式和弧长公式建立函数关系，运用函数的性质来解决最值问题.解：设扇形的半径为，则弧长为，于是扇形的面积当时，(弧度)，取到最大值，此时最大值为.故当扇形的圆心角等于2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是.总结升华：求扇形最值的一般方法是根据扇形的面积公式，将其转化为关于半径(或圆心角)的函数表达式，进而求解.1、角度制与弧度制的互化：(1)；(2).解：为第三象限；为轴上角为第二象限；为第三象限角小结：[1]用弧度表示角时，“弧度”两字不写，可写“”；[2]角度制化弧度时，分数形式，且“”不取近似值.2、用角度和弧度分别写出分别满足下列条件的角的集合：(1)第一象限角；(2)锐角；(3)小于的角；(4)终边与角的终边关于轴对称的角；(5)终边在直线上的角.解：(1)或；(2)或；(3)或；(4)分析：因为所求角的终边与角的终边关于轴对称，可以选择代表角，因此问题转化为写出与角的终边相同的角的集合即；(5)或.注意：角度制与弧度制不能混用！3、若是第二象限角，则是第几象限角？反之，是第二象限角，是第几象限角？解：若是第二象限角，则，两边同除以2，得当为奇数时，是第三象限角；当为偶数时，是第一象限角反之，若是第二象限角，则两边同乘以2，得所以是第一或第二象限角或终边在轴正半轴上的轴上角.注意：数形结合.。
任意角与弧度制
任意角与弧度制弧度制简介弧度（radian）是角度的一种度量单位，它是利用圆的半径的长度，构造一个弧所对应的圆心角的度量方式。
在弧度制中，一个圆的一周定义为2π弧度。
弧度制的好处在于，它能更精确地描述角度的大小，并且可以简化许多角度运算的公式。
角度与弧度之间的转换角度与弧度之间的转换可以通过以下公式实现：弧度=角度180×π角度=弧度π×180例如，将一个角度为60度转换为弧度制：弧度=60180×π=π3同样地，将一个弧度为2的角度转换为角度制：角度=2π×180≈114.59任意角的定义在三角函数中，我们常常遇到各种各样的角度。
除了常见的45度、60度、90度等特殊角外，我们还需要对任意角进行定义。
任意角指的是不在坐标轴上的角。
对于任意角而言，可以使用“终边”和“旋转方向”来表示。
终边是指从坐标轴的正半轴开始，按逆时针方向旋转到达角度位置的线段。
旋转的方向可以是逆时针（正方向）或顺时针（负方向）。
通过这种方式，我们可以通过终边的位置和旋转方向，唯一确定一个任意角。
任意角的三角函数在三角函数中，我们常常利用和45度角以及相关特殊角的关系，来求解任意角的三角函数值。
对于一个任意角θ，它的正弦、余弦、正切等三角函数可以表示为：sinθ=y rcosθ=x rtanθ=y x其中，r表示终边到原点的距离，x和y分别表示终边上一点的横坐标和纵坐标。
任意角的三角函数和单位圆利用单位圆，我们可以更直观地理解任意角的三角函数。
单位圆是一个半径为1的圆形，在坐标系中的心率原点(0,0)为圆心。
以点P为例，它位于单位圆上与x轴正半轴的交点处。
终边上的点与单位圆的切线OT之间的夹角就是任意角θ。
那么点P的坐标可以表示为(cosθ,sinθ)。
通过单位圆，我们可以更方便地确定任意角的三角函数值，并且掌握它们的一些重要性质和特点。
总结任意角是指不在坐标轴上的角度，可以通过终边和旋转方向来唯一确定。
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AB 任意角的概念和弧度制
一基本知识回顾
1 角
正角 负角
零角
2 象限角
3设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，
这个集合可记为： 4角度制
弧度制
二者区别：
5 1 弧度
6 圆心角的弧度数的计算公式：
7 ≈=180
10π
8 ≈=0)180(1π
rad 9 扇形面积公式：
二 典例分析
例 1 分别写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中适合
00720360≤≤-α的元素α写出来。
① 100 0 ② -1200 ③-380020'
例2 如图，扇形AOB中， AB所对的圆心角是600，半径为50米，求 AB 长
例3判断下列说法的对与错
⑴第一象限的角一定是锐角。
⑵终边相同的角一定相等
⑶相等的角，终边一定相同⑷小于900的角一定是锐角。
⑸在半径不同的同心圆中，同一个圆心角所对的弧长与相应的半径的比值不相等。
对应练习：1下列各命题中，真命题是：
（A）一弧度就是一度的圆心角所对的弧（B）一弧度是长度为半径的弧（C）一弧度是一度的弧与一度的角之和（D）一弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位。
2下列各命题中，假命题是：
（A）“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
（B）011
11rad
3602
的角是周角的，的角是周角的
（C）1rad的角比10的角大。
（D）用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关。
例4 解答下列各题：
（1）已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2,求扇形圆心角的弧度数。
（2）已知一扇形的圆心角是720半径等于20cm,求扇形的面积。
（3）已知一扇形的周长为40cm,当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
三巩固提高。