中考数学一轮总复习 第26课时 三角形(二)(无答案) 苏科版
中考数学总复习课件：第26课 直角三角形
基础落实
1．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝2，点 D 在 BC 上，∠ADC＝2∠B，
AD＝ 5，则 BC 的长为( D )
A. 3－1
B. 3＋1
C. 5－1
D. 5＋1
(第 1 题图)
(第 2 题图)
2．如图，公路 AC，BC 互相垂直，公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开．若
测得 AM 的长为 1.2 km，则 M，C 两点间的距离为( D )
A. 0.5 km
B. 0.6 km
C. 0.9 km
D. 1.2 km
3．如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，∠A＝30°，DE 垂直平分斜边 AC，交 AB 于点 D，E 是垂足，连结 CD.若 BD＝1，则 AC 的长是( A )
【例 1】 (2015·湖北)如图，在△ABC 中，∠B＝30 °，BC 的垂直平分线交 AB 于点 E，垂足为 D，CE 平
分∠ACB.若 BE＝2，则 AE 的长为( )
A. 3
B. 1
C. 2
D. 2
(例 1 题图)
解析 先根据线段垂直平分线的性质得出 BE＝CE＝2，故可得出∠B ＝∠DCE＝30°，再由角平分线定义得出∠ACB＝2∠DCE＝60°，∠ACE＝ ∠DCE＝30°，利用三角形内角和定理求出∠A＝180°－∠B－∠ACB＝90°， 然后在 Rt△ CAE 中根据 30°角所对的直角边等于斜边的一半得出 AE＝21CE＝
8．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，D 为斜边 AB 的中点，AB＝10 cm，则 CD 的长为_____5 __cm.
(第 8 题图)
(苏科版)九年级数学一轮复习教学案：全等三角形
AB C D E AB C O 1 2一、下列各题已有解答的有“病”吗？如果有“病”，请写出“病因”。
没有解答的，你认为易让别人犯错的“陷阱”在哪儿？ 1．已知△ABD ≌△ACE ，求证：△ABE ≌△ACD证明：∵△ABD ≌△ACE∴△ABD+△ADE ≌△ACE+△ADE ∴△ABE ≌△ACD▲错因分析或陷阱是 ▲正确解答是：2．如图，AO 平分∠BAC ，∠1=∠2 求证：△ABC 是等腰三角形证明：∵∠1=∠2 ∴ OB=OC∵AO 平分∠BAC ∴∠BAO=∠CAO 在△AOB ≌△AOC 中∵OB=OC 、∠BAO=∠CAO 、OA=OA ∴△AOB ≌△AOC ∴AB=AC ，即△ABC 是等腰三角形 ▲错因分析或陷阱是▲正确解答是：3．两边和第三边上的高对应相等相等的两个三角形全等(判断) 解：通过两次全等，可以证明这个命题是正确的▲错因分析或陷阱是_____________________________________________________ ▲正确解答是___________________________________________________________二、“全等三角形”给你留下多少？尝试填写下列知识点（并在脑海中构建知识体系） 1、 叫全等三角形2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边 、全等三角形的对应角 、 全等三角形的对应边上的高 、全等三角形的对应边上的中线 、全等三角形的对应角的平分线3、三角形全等的判定方法：（1） 的两个三角形全等（简记为 SSS ）（2） 的两个三角形全等（简记为 SAS ）（3） 的两个三角形全等（简记为 ASA ）（4） 的两个三角形全等（简记为 AAS ）（5） 的两个三角形全等（简记为 HL ）4、满足下面的条件的两个三角形也是全等的： （1）有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 （2）有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等（3）有两角和其中一个角的平分线对应相等的两个三角形全等（4）有两角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等（5）有两边和其中一边上的高对应相等的两个锐角（或钝角）三角形全等（6）有两边和第三条边上的高对应相等的两个锐角（或钝角）三角形全等5、角平分线的性质6、角平分线的判定7、线段垂直平分线的性质8、线段垂直平分线的判定9、 叫轴对称图形A BC DF EA B C D ADC B A E10、 那么就说这两个图形关于这条直线对称11、用坐标表示轴对称：（1）点（x, y ）关于x 轴对称的点的坐标为 （2）点（x, y ）关于y 轴对称的点的坐标为 (3) 点（x, y ）关于原点对称的点的坐标为（4）点（x, y ）关于直线x=m 对称的点的坐标为 （5）点（x, y ）关于直线y=m 对称的点的坐标为三、下列例题请先做做，看自己有无“漏洞”如果有请偿试写出“病因”例1．（2009年江苏省）如图，给出下列四组条件：①AB DE BC EF AC DF ===，，；②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，；③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，；④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，．其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（ ）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组例2、 (2009年甘肃定西)如图4，四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =∠CDA =90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE =（ ）A ．2B ．3C ．22D ．3例3、（2009年广西钦州）如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有（ ）A ．AB 垂直平分CDB ．CD 垂直平分ABC ．AB 与CD 互相垂直平分 D ．CD 平分∠ACB例4、（2009丽水市）已知命题：如图，点A ，D ，B ，E 在同一条直线上，且AD =BE ，∠A =∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个．．适当条件使它成为真命题,并加以证明.四、你能以知识点或题型给上面例题分类？你认为这些题目的典型性怎么样？你有没有发现解题规律或数学思想方法？有什么补充？请先写下来，以便交流第16课时：全等三角形班级： 姓名 学号 成绩一：选择题（6分×6）1、（09湖南怀化）如图，在Rt ABC △中， 90=∠B ，ED 是AC 的垂直平分线，交AC于点D ，交BC 于点E ．已知 10=∠BAE ，则C ∠的度数为（ ） A ． 30 B ． 40 C ． 50 D ． 60 2、（2009河池）如图，在Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ＝86点E 为AC 的中点，点F 在底边BC 上，且⊥FE BE ，则△CEF的面积是（ ）O BA P A ． 16B ． 18C ．66D ．63、如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ）A ．PA PB = B ．PO 平分APB ∠C ．OA OB =D ．AB 垂直平分OP4、点P （1，2）关于直线y=1对称的点的坐标是（ ）A ．（0，2）B ．（1，0）C ．（1，1）D ．（2，1）5、下列图形是轴对称图形的是（ ）A ．平行四边形B ．等腰三角形C ．三角形D ．梯形 6、（08湖北黄石）12．如图，在等腰三角形ABC 中，120ABC ∠=，点P 是底边AC 上一个动点，M N ， 分别是AB BC ，的中点，若PM PN +的最小值为2，则ABC △的周长是（ D ） A ．2 B ．23 C ．4 D ．423+二：填空题（8分×4）7、（2009年遂宁）已知△ABC 中，AB=BC ≠AC ，作与△ABC 只有一条公共边，且与△ABC 全等的三角形，这样的三角形一共能作出 个.8、(2009年福建省泉州市)如图，在△ABC 中，BC 边上的垂直平分线DE 交边BC 于点D ，交边AB 于点E.若△EDC 的周长为24，△ABC 与四边形AEDC 的周长之差为12，则线段DE 的长9、（2009河池）某小区有一块等腰三角形的草地，它的一边长为20m ，面积为2160m ，为美化小区环境，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则需要栅栏的长度为 _________m ．10、、(2009年咸宁市)如图，在ABC △中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，过点O 作EF BC ∥交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD AC ⊥于D ．下列四个结论：1902BOC A ∠=∠①°+； ②以E 为圆心、BE 为半径的圆与以F 为圆心、CF 为半径的圆外切；③设OD m AE AF n =+=，，则AEF S mn =△； ④EF 不能成为ABC △的中位线．其中正确的结论是_____________．（把你认为正确结论的序号都填上）三：解答题（11题10分，12题10分，13题12分）11、（2009年浙江省绍兴市）如图，在ABC △中，40AB AC BAC =∠=，°，分别以AB AC ， 为边作两个等腰直角三角形ABD 和ACE ，使90BAD CAE ∠=∠=°．（1）求DBC ∠的度数；（2）求证：BD CE =．12、(2009年安顺)如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，EA BC P MN A D F CＢ Ｏ Ｅ是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF。
2019届中考数学一轮复习讲义第27讲等腰三角形
2019届中考数学一轮复习讲义考点二十七：等腰三角形聚焦考点☆温习理解一、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2:等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°（2）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45 °②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a,底边长为b,则b<a2④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠ A ,底角为∠ B、/ C，则∠ A=180—2 ∠ B，/ B= ∠180 AC=—22、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
学！科网推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形推论2 :有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3:在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半。
二•等边三角形1•定义三条边都相等的三角形是等边三角形• 2.性质:3•判定三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.三.线段垂直平分线1•定义垂直一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线2•性质线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等3•判定到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上名师点睛☆典例分类考点典例一、等腰三角形的性质【例1】（2018黑龙江齐齐哈尔中考模拟）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的和谐分割线”.如图，线段CD是ABC的和谐分割线”，ACD为等腰三角形，CBD和ABC相【解析】试题分析：T △比CDS AEA∙G∕∙Z⅛CD=Z44h ,'∕Δ⅛CD是等腰三角形，,∕Z ADC>Z BCD J.'.Z AD OZA J即AC≠CD,①⅛AC?=AJ）时’ ZACD=ZADC=^ =67, .∖ZACE=670+4S C=113° *■②当DADC 时，ZCD=ZjL= 46 Q R √.ZACB=46" +46' =93Q J 故答案为M时或财-考点：1∙相似三角形的性质；2.等腰三角形的性质.【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和相似三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键.【举一反三】如图，AD , CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB=AC , ∠ CAD=20 ,则∠ ACE的度数是( )A. 20 °B. 35 °C. 40 °D. 70 °【来源】浙江省湖州市2018年中考数学试题【答案】B【解析】分析；先⅛据等腰三角形的⅛m及三角形内角和定S⅛⅛ZCAfr=2ZCADM0% ZB=ZACH £( IS^ZCAB) =70°.再禾U用角平分线定义即可得出ZX*E W√ACB=3實.徉解::AD 是∆ABC 的中线』AB-AC J. ZaAD=20%/.ZCAB=2ZQAD=40S ZB=ZACB=I (IS^-ZCAB) =70t.ICE是AABC的甬平分线，∕÷ ZACE=i ZACB=JS ci.Z故选:B.点睛：本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB=70是解题的关键.考点典例二、等腰三角形的多解问题1【例2】(2018黑龙江绥化中考模拟)在等腰ABC中，AD BC交直线BC于点D ,若AD -BC ,2则ABC的顶角的度数为 ____________ .【答案】30°或150°或90°. 【解析】 试题分析：①BC 为腰,1∙∙∙ AD 丄 BC 于点 D , AD= BC ,/∙∠2②BC 为底，如图3,CAD= - ×80 °90 °2腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论. 【举一反三】（湖南省衡阳市船山实验中学 2017-2018学年八年级上期末模拟）等腰三角形的一个内角为 70°它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是（）ACD=30° ,如图1 , AD 在△ABC 内部时, 顶角∠ C=30 ,如图2，AD 在△ABC 外部时,顶角∠ ACB=180 - 30o=150°,∙∙∙ AD 丄 BC 于点 D , AD= I BC,∙∙∙ AD=BD=CD , ∙∙∙ ∠ B= ∠ BAD , ∠ C= ∠ CAD , /. ∠ BAD+ ∠【点睛】题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边∙顶角∠ BAC=90 ,来源学科网ZXXMA. 35 °B. 20 °C. 35 °或20 °D. 无法确定【答案】C【解析】70°是顶角，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是35° 70°是底角，顶角是40°它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是20°.故选C.考点典例三、等边三角形的性质与判定【例3】已知:在附鳥中,悴F T&I,为的中点V-銅，：■,垂足分别为点,且册•罔•求证:1是等边三角形.【来源】浙江省嘉兴市2018年中考数学试题【答案】证明见解析MMfi】分析；由等腥三角形的性质得SUZR=NG再用HL证明I∆CTF,得到厶IYG从而得到ZAQNG即可得到结论，徉解:「密FU /.Z5=ZC.∖'DElAB f DFLBC J ,\ZD£^=ZDFO90&.丁D为的卫匚中⅛jλΣfA=DC.又YDE=D F, -IR L AAE实RlACDF (HL),--ZJi=N方-ΞZ^C?：-AA^C是等边三角形- 点睛：本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质以及直角三角形全等的判定与性质•解题的关键是证明∠ A=∠ C.【举一反三】(重庆市江津区2017-2018学年八年级上学期期末模拟 )如图所示，AABC为等边三角形，P为BC上一点，Q为AC上一点，AQ=PQ , PR=PS, PR⊥ AB于R, PS⊥ AC于S, ?则对下面四个结论判断正确的是()①点P在∠ BAC的平分线上，②AS=AR , ③QP// AR , ④厶BRP^Δ QSP.A.全部正确；B.仅①和②正确；C.仅②③正确；D.仅①和③正确【答案】A【解析】试题解析：∙∙∙PR⊥ AB于R, PS⊥ AC于S.∙∙∙∠ARP= ∠ ASP=90 .∙∙∙ PR=PS, AP=AP..∙. Rt △A RP也Rt AASP.∙∙∙ AR=AS ,故（2）正确，∠ BAP= ∠ CAP..AP是等边三角形的顶角的平分线，故（1）正确.∙AP是BC边上的高和中线，即点P是BC的中点.∙∙∙ AQ=PQ.∙点Q是AC的中点.∙PQ是边AB对的中位线.∙PQ // AB ,故（3）正确.∙.∙∠ B= ∠ C=60 ,∠ BRP= ∠ CSP=90 , BP=CP.•••△ BRPQSP,故（4）正确.•全部正确.•故选A.考点典例四、线段垂直平分线的性质运用【例3】.如图，MM中，川,小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作:①作的平分线交•于点；②作边的垂直平分线，'与！相交于点；③连接•，'.请你观察图形解答下列问题：（1） __________________________________________ 线段PA^B^C之间的数量关系是（2）若曲吭-潜，求的度数.【来源】湖北省孝感市2018年中考数学试题【答案】（1）•：'「二-b 二V; （2）80°【解析】分析：（1）根据线段的垂直平分线的性质可得：PA=PB=PC;（2）根据等腰三角形的性质得：∠ ABC= ∠ ACB=70 ,由三角形的内角和得：∠BAC=180 -2 ×0°=40°，由角平分线定义得：∠ BAD= ∠ CAD=20 ,最后利用三角形外角的性质可得结论.详解：（1）如图，PA=PB=PC ,理由是：∙∙∙ AB=AC , AM 平分∠ BAC ,∙∙∙ AD是BC的垂直平分线，∙∙∙ PB=PC ,∙∙∙ EP是AB的垂直平分线，∙PA=PB,∙PA=PB=PC ;故答案为：PA=PB=PC ;⑵ 丁AE=AG/.Z ABC-Z ACE-VO O J.∖ ZBAC=I 80o-2^70c=40e,TANl 平分ZBAC,.,.ZBAD=ZCAD=2fl D,TPA=PB=PG・∖ ZABP= Z BAP=ZACP»20C,/. ZBPc=ZABP-Z BAC+Z ACP=20 i→0fr-2 =So S.点睛：本题考查了角平分线和线段垂直平分线的基本作图、等腰三角形的三线合一的性质、三角形的外角性质、线段的垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是关键.【举一反三】（2018广西钦州市中考模拟）如图，在△ABC中，∠ ACB=90 ,分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB ）为半径作弧，两弧相交于点M和点N ,作直线MN 交AB于点D ,交BC于点巳若AC=3 , AB=5 ,则DE等于（）A. B. C.D.【答案】C【解析】根据勾股定理求出BC ,根据线段垂直平分线性质求出AE=BE ,根据勾股定理求出AE ,再根据勾股定理求出DE 即可.解：在RtABC 中，由勾股定理得：BC==4,连接AE，从作法可知：DE 是AB 的垂直评分线，根据性质AE=BE ，在Rt △ACE 中，由勾股定理得AC +CE =AE+ （4-AE ）即3=AE解得：AE=在Rt △ADEAD= AB=勾股定理得) DE +(=(解得：DE=故选C.课时作业☆能力提升一、选择题1. （2018年湖北省松滋市初级中学数学中考模拟试题（一））如图，在△ABC中，AB=AC , AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若ΔABC与ΔEBC的周长分别是40，24,则AB为（）S CA. 8B. 12C. 16D. 20【答案】C【解析】试题解析：∙∙∙DE是AB的垂直平分线，ME = RE :的周长任「Δ EHC的周长I = EE + EC + IiC =AE^ Ec [ IiC = AC + 甘：.∙. I总盒强:的周长—M 泪的周长=AB ,∣ΛZP=40-24=16.故选C.点睛：线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.2. （2017黑龙江大庆）如图，ΔABD是以BD3. 已知 汀 口耽：，用尺规作图的方法在 冋上确定一点冈，使Un ,则符合要求的作图痕迹是ΔBCD 中，∠ DBC=90° ∠ BCD=60° DC 中点为E , AD 与BE 的延长线交于点 F ,则∠ AF B 的度数为（）A. 30 °B.15 °C.45 °D.25 °【答案】B【解析】解：τ∠ DBC=90° E 为 DC 中点，∙∙∙ BE=CE=CD ,τ∠ BCD=60° Λ∠ CBE=60° ∕∙∠ DBF=30°∙∠ ABF=75° ∙∠ AFB=180° - 90° - 75°=15° 故选B .为斜边的等腰直角三角形, •••△ ABD 是等腰直角三角形，∙∠ ABD=45° , A.【答案】D【解折】分析：夷使PZPC=BC,必有PA=PB,所以选项中只有作AB 的中垂线才能满足遗个条件，故D 正确. 详解：D 选项中作的是AB 的中垂线，.∖PA=PB.'.PB-PC-BC J∕r PA+PC=BC故选D*点睛：本题主要考查了作图知识，解题的关键是根据中垂线的性质得出 PA=PB .4.（河北省故城县运河中学 2017-2018学年八年级（上）期末）等边三角形的边长为 2,则该三角形的面积为（）A. D. 3 【答案】CB.C.【解析】如图，作CD丄AB ,贝U CD是等边△ABC底边AB上的高,根据等腰三角形的三线合一，可得AD=I ,所以，在直角ΔADC中，利用勾股定理，可求出CD= =面积计算公式，解答，代入出S AABC = ×2×故选：C．5. （2017-2018 学年苏州市工业园区金鸡湖学校期末复习）如图，在于占4八、、于占4八、、边的中点，连接则下列结论①②为等边三角形.下面判断正确是( )A. ①正确B. ②正确C. ①②都正确D. ①②都不正确【答案】C【解析】试题解析：①∙∙∙BM丄AC于点M, CN丄AB于点N , P为BC边的中点,PN= ∙∙∙ PM=PN ,正确；②∙∙∙∠ A=60 , BM 丄AC 于点M , CN 丄AB 于点N ,∙∠ ABM= ∠ ACN=30 ,在 AABC 中，∠ BCN+ ∠ CBlvF 180° -60 °-30 °×2=60° , •••点P 是BC 的中点，BM 丄AC , CN 丄AB , ∙ PM=PN=PB=PC ,∙∠ BPN=2 ∠ BCN , ∠ CPM=2 ∠ CBM ,∙∠ BPN+ ∠ CPM=2 (∠ BCN+ ∠ CBM ) =2×60°=120° , ∙∠ MPN=60 ,•••△ PMN 是等边三角形，正确； 所以①②都正确.PM= BCBC ,故选C .6.在平面直角坐标系中，点 A （ J2 ,迈）,B （ 3J2 , 3丿2 ）,动点C 在X 轴上，若以A 、B 、C 三点为 顶点的三角形是等腰三 角形，则点C 的个数为（）A . 2B . 3C . 4D . 5【答案】B . 【解析】试爾分析:SC≡√∕AB 所在的M ⅛⅛Sy = X ,Λ⅛ AB 的中垂线所在的直线野二 V 丁点BZCgZ 的中点坐 ⅛⅛（2∙d, 2 如 把 x=2√∑,产 2√Σ 代AF = -K+占，解得 b=4√2, …朋的中垂线所在的S÷⅞≡y = -χ+4√2 , .'.C 1 ¢4^, O ）J決点启为圆^以期的长为半^画弧P 与-轴的交点为点55 ^B √（3√2 -√2）z + （3√2 -√2）z =4, V3√2>4,圆心，以朋的长九半径画弧 与耳轴沒有交点.综上，可得若以久趴€三点为顶点的三角形是等腰三角形P 则点f 的个数为取故选亠考点：1.等腰三角形的判定；2•坐标与图形性质；3•分类讨论；4 •综合题；5•压轴题.7（浙江省上杭县西南片区 2017-2018学年八年级上册期末模拟 ）如图，在 MBC 中，∠ B= ∠ C, AD 为AABC 的中线，那么下列结论错误的是（）A. AABD ACDB. AD为ΔABC的高线C. ADD. ΔABC是等边三角形为ΔABC的角平分线【答案】D【解析】试题解析：τ∠ B= ∠ C, ∙∙∙ AB=AC ,∙∙∙ AD是△ABC的中线，∙AD丄BC ,∠ BAD= ∠ CAD ,即AD是ΔABC的高，AD为△ABC的角平分线,∙∠ADB= ∠ ADC=9°0 ，在ΔABD和ΔACD中•••△ ABD BΔ ACD ,即选项A、B、C 都正确，根据已知只能推出AC=AB ，不能推出AC、AB 和BC 的关系，即不能得出△ABC 是等边三角形，选项D 错误，故选D ．二、填空题8. （2018广州市黄埔区中考数学一模）如图，已知ΔABC和ΔAED均为等边三角形，点D在BC边上，DE 与AB相交于点F,如果AC=12 , CD=4 ,那么BF的长度为__.答案】解析】试题分析：△ABC 和△AED 均为等边三角形，~ ?ACD, 又2017-2018 学年八年级上期末模拟 ）已知：点 P 、Q 是 △ABC 的边 BC 上的两个 ,∠BAC 的度数是（ ） 9. （ 山西省汾西县双语学校点，且 BP=PQ=QC=AP=AQA. 100 °B. 120 °C.130 °D. 150【答案】B【解析】VPctAP=AQ l l.∖ ZAP Q= ZPAQ= ZAQP=605,ZAP=BP,.∖Z B-Z TAB J Z,∖PQ-Z B÷ZPAB-SO C）,∖ZB=ZTAB=SO fi,同理ZQAC=ZC=30%.∖ZBAoZPAQ十ZPAB十ZQAOl2'O HS.故选B. I10.（浙江省宁波市东方中学2017-2018学年八年级上册期末模拟）等腰△ABC ,其中AB=AC=17cm , BC=16cm ,则三角形的面积为___________ cm2.【答案】120 【解析】利用等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高的重合的性质，勾股定理求出三角形的高AD= =15cm ，再利用三角形面积公式求S AABC = BC?AD=×16×15=120cm2故答案为：120.11.（浙江省宁波市李兴贵中学2017-2018学年八年级上册期末模拟）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°则等腰三角形顶角的度数是________[来]【答案】50或130【解析】首先根据题意画出图形,一种情况等腰三角形为锐角三角形，①如图 1 ,∙∙∙ BD 丄AC , ∠ ABD=40 ,∙∙∙∠A=50 ,即顶角的度数为50°.另一种情况等腰三角形为钝角三角形，②如图2,∙∙∙ BD 丄AC , ∠ DBA=40∙∙∙∠ BAD=50 ,∙∙∙∠ BAC=130 .故答案为：50或130.12.（浙师大附属秀洲实验学校 2017-2018学年九年级下学期第三次模拟 ）已知□ ABCD 中，AB=4, ABC 与 EDC 的角平分线交AD 边于点E , F ，且EF=3,则边AD 的长为 ___________________ .【答案】5或11;【解析】∙∙∙ BE 平分∠ ABC,∙∠ ABE= ∠ CBE ,•••四边形ABCD 是平行四边形，∙ AD // CB , CD=AB=4 ,∙∠ AEB= ∠ CBE∙∠ ABE= ∠ AEB ,∙ AE=AB=4 ,同理：DF=CD=4 ,分两种情况：∙ AD=AE+EF+DF=4+3+4=11∙ AF=1 , ∙ AD=AF+DF=1+4=5; ①如图1所示：∙∙∙ EF=3②如图2所示:■/ EF=4 ,AE=DF=4综上所述: AD的长为11或5;故答案为：5或11.13. （2017新疆建设兵团第15题）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD , CB=CD ,对角线AC , BD 相交于 点0,下列结论中：① ∠ ABC= ∠ ADC ；② AC 与BD 相互平分；③ AC ，BD 分别平分四边形 ABCD 的两组对角；1④ 四边形ABCD 的面积S= AC?BD .2试题解析：①在 △ABC 和ΔADC 中,AB AD∙∙∙ BC CD ,AC AC•••△ ABC ADC ( SSS),∙∙∙∠ ABC= ∠ ADC ,故①结论正确；②•••△ ABC BΔ ADC ,∙∠ BAC= ∠ DAC ,∙∙∙ AB=AD ,• OB=OD , AC 丄 BD ,而AB 与BC 不一定相等，所以 AO 与OC 不一定相等,故②结论不正确； ③由②可知：AC 平分四边形 ABCD 的∠ BAD 、/ BCD,1 而AB 与BC 不一定相等，所以 BD 不一定平分四边形 ABCD 的对角; 故③结论不正确；④∙∙∙ AC 丄 BD ，［来源学科网］•••四边形ABCD 1 1 1的面积 S=SSS 3 2 BD ?A O + 2 BD ?CO = 2 BD ?（AO+CO ）=AC?BD . 2故④结论正确；所以正确的有：①④考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质.14.等腰三角形 中，顶角为 ，点在以为圆心，'长为半径的圆上，且为 _________ .【来源】2018年浙江省绍兴市中考数学试卷解析【答案】 或【解析】【分析】画出示意图，分两种情况进行讨论即【解答】如图：分两种情况进行讨论■■■ ^PBC = ^ABP + ^ABC= Ilo Dl 同理：^AffP r ^^BAC ）J-ABP a■ 2.BAC = 40\ LABC = tβo"-+t>*1 Λ ^P I ffC = ^AeC-= 30°.故答案为：3^或】1孑【点评】考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，注意分类讨论思想在数学中的应用15. （2017广西贵港第16题）如图，点P 在等边 ABC 的内部，且PC 6,PA 8,PB 10 ,将线段PC绕点C 顺时针旋转60o得到P'C ,连接AP',则Sin PAP'的值为 ___________________ . 【答案】35∙∙∙ CP=CP =6,∠ PCP =60°•••△ CPP 为等边三角形，• PP =PC=6•••△ ABC 为等边三角形，• CB=CA , ∠ ACB=60 ,∙∠ PCB= ∠ P' CA在△PCB 和 ΔP ,CA 中 PC PCPCB PCACB CAτ 62+82=102,• PP 2+AP 2=P'A,∙ PB=P A=10,［来源学。
苏科版中考数学专题三角形复习讲义
苏科版中考数学专题三角形复习讲义三角形二、主要内容1、三角形中位线2、三角形全等：全等的判定，全等变换3、三角形相似：相似的判定方法，相似三角形的性质。
三、主要知识点、典型例题及解析及变式练习：知识点1三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。
（2）要会区别三角形中线与中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
知识点一：三角形问题中的结论探索【例题精讲】【例1】如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一起，且∠DAB=30°。
有以下四个结论：①AF⊥BC；②△ADG≌△ACF；③O为BC的中点；④AG：DE=3：4，其中正确结论的序号是.【课堂练习】1．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中：①BE=DC；②∠BOD=60°；③△BOD∽△COE．正确的序号是．知识点二：三角形中的平移、旋转等图形变换问题探索【例题精讲】【例1】如图(1)，Rt△ABC中，∠ACB=-90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠C AB，交CD于点E，交CB于点F（1）求证：CE=CF．（2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A’D’E’的位置，使点E’落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE'与CF有怎样的数量关系请证明你的结论．【例2】△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B．（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的4时，求线段EF的长．【例3】如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．①求证：BD⊥CF；②当AB=4，AD=3时，求线段BG的长．几何动态问题【例题精讲】例1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，点D是BC边的中点．点P从点B出发，以acm/(a＞0)的速度沿BA匀速向点A运动；点Q同时以1cm/的速度从点D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为t．(1)若a＝2，△BPQ∽△BDA，求t的值；(2)设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形．①若a=2，求PQ的长；②是否存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．【课堂练习】1.已知线段AB=6，C．D是AB上两点，且AC=DB=1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF 的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为．2、如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=a某2+b某+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG 的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．。
中考数学第一轮复习 三角形
类型之二 三角形的重要线段的应用 命题角度： 1．三角形的中线、角平分线、高 2．三角形的中位线
[2011·成都] 如图 19－1，在△ABC 中，D、E 分别是边 AC、 BC 的中点，若 DE＝4，则 AB＝___8_____.
1．三条边对应相等的两个三角形全等(简记为________)S．SS 2．两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简记为________)． ASA3．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简记为
________)．
4．两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简记为________)．
命题角度： 1．等腰三角形的性质 2．等腰三角形“三线合一”的性质 3．等腰三角形两腰上的高(中线)、两底角的平分线的性质
[2011·株洲] 如图 21－1，△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°， AC 的垂直平分线交 AB 于 E，D 为垂足，连接 EC.
__5_0_°____.
图 19－2
全等三角形
考点1 全等图形及全等三角形
1．能够完全_____重__合_的两个图形称为全等形，全等图形的形状和 ______大__小都相同．
2．能够完全______重_合_的两个三角形叫全等三角形． [注意] 完全重合有两层含义：(1)图形的形状相同；(2)图形的大小相等
大于
[总结] 任意三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角，最多有一个钝
角，最多有一个直角．
互余
类型之一 三角形三边的关系
命题角度： 1．利用三角形三边的关系判断三条线段能否组成三角形 2．利用三角形三边的关系求字母的取值范围 3．三角形的稳定性
2020年苏科版数学中考专题复习课件：三角形(共23张PPT)
是 AC＝BC .
还有其他的思路吗？
A 【分析】 在△ADC和△BEC中
∠ADC＝∠BEC=90°
在△ADC和△BEC中 ∠ADC＝∠BEC=90°
∠ACD＝∠BCE（公共角） DC＝EC
FE
ACD＝BCE
∴△ADC≌△BEC(AAS)
∠ACD＝∠BCE（公共角） ∴△ADC≌△BEC(ASA)
B
D
关系式.
S 3 t2 3 3t (0 ≤t ≤3)
2
C 小贴士：三角形面积计算抓住底边及底边上的高，运用
方程来解决.30°、45 °、60 °特殊角运用很广泛.
例题精讲 考点4：全等三角形的判定和性质
例2 如图， △ABC的两条高AD、BE相交于点F，请添加一个条件，
使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线)，你添加的条件
A
△ABC与△DEF不一定全等
B
C1 G C2
（2018无锡）已知△ABC中，AB＝10，AC＝2 7 , ∠B＝30 °
则△ABC的面积等于 10 3或15 3 .
解题小结
对应相等的元素
三角形是否全等
两边
两边及其夹角
一
一角
两边及其中一边的对角
般 两角
两角及其夹边
三
一边
两角及其中一角的对边
角
三角 形
例题精讲
设运动时间为ts 0 ≤t ≤3
例1 如图， 已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时
从A、B两点出发，分别沿AB、BC运动，点P运动的速度为1cm/s,
点Q运动的速度为2cm/s,当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，
则当△PBQ的面积为 9 3cm2时，运动的时间为（ B ）
2020年中考数学一轮复习知识点一遍过三角形 (无答案)
第1讲 角、相交线与平行线考点1 ：角的相关概念与性质知识梳理 ：1．线段：(1)定义：线段的直观形象是拉直的一段线．(2)基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短．(3)线段的和与差：已知两条线段a 和b ，且a>b ，在直线l 上画线段AB ＝a ，BC ＝b ，则线段AC 就是线段a 与b 的和，即AC ＝a ＋b ．在直线l 上画线段AB ＝a ，在AB 上画线段AD ＝b ，则线段DB 就是线段a 与b 的差，即DB ＝a －b.(4)线段的中点：线段AB 上的一点M ，把线段AB 分成两条线段AM 与MB.如果AM ＝MB ，那么点M 就叫做线段AB 的中点，此时有AM ＝MB ＝12AB ，AB ＝2AM ＝2MB. 2．直线：(1)定义：沿线段向两方无限延伸所形成的图形．(2)基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．3.射线：把线段向一方无限延伸所形成的图形.4.角的分类：周角、平角、直角之间的关系和度数1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180°，1直角＝90°，1°＝60′，1′＝60″，1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫160°，1″＝⎝ ⎛⎭⎪⎫160′. 5．角平分线的概念及性质：(1)定义：如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的角平分线．(2)性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．(3)判定：到角两边距离相等的点在角平分线上．6．余角、补角与邻补角：(1)余角：①如果两个角的和为90°，那么这两个角互为余角；②同角(等角)的余角相等．(2)补角：①如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角；②同角(等角)的补角相等．(3)邻补角：①两个角有一个公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角；②互为邻补角的两个角的和为180°.例题感受：1、（2019 吉林中考）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（）A．两点之间，线段最短B．平行于同一条直线的两条直线平行C．垂线段最短D．两点确定一条直线2、（2019•广州）如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA＝6cm，PB＝5cm，PC＝7cm，则点P到直线l 的距离是cm．3、（2019•日照）如图，已知AB＝8cm，BD＝3cm，C为AB的中点，则线段CD的长为cm．4、（2019 河南开封中考模拟）如图，点C在线段AB上，AC：BC＝3：2，点M是AB的中点，点N是BC的中点，若MN＝3cm，求线段AB的长．考点2 ：相交线知识梳理：1.相交线三线八角(如图)同位角：∠1与∠5，∠2与∠6，∠4与∠8，∠3与∠7.内错角：∠2与∠8，∠3与∠5.同旁内角：∠3与∠8，∠2与∠5．对顶角：∠1与∠3，∠2与∠4，∠5与∠7，∠6与∠8．2.垂线及其性质(1)定义：两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．(2)基本事实：经过直线上或直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直．(3)性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．(4)点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度．(5)线段垂直平分线：定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；逆定理：到一条线段的两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．例题感受：1、（2019 河北唐山中考模拟）如图所示，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝30°，则∠2的度数（）．A．45°B．60°C．50°D．30°2、（2019 山东淄博中考模拟）（填空题）如图，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起．（1）若∠DCB＝35°，求∠ACB的度数；（2）若∠ACB＝140°，求∠DCE的度数．3、（2019 河北沧州中考模拟）（1）如图1，AB∥CD，点E是在AB、CD之间，且在BD的左侧平面区域内一点，连结BE、DE．求证：∠E＝∠ABE+∠CDE．（2）如图2，在（1）的条件下，作出∠EBD和∠EDB的平分线，两线交于点F，猜想∠F、∠ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想．（3）如图3，在（1）的条件下，作出∠EBD的平分线和△EDB的外角平分线，两线交于点G，猜想∠G、∠ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想．4、（2019河南郑州中考模拟）如图，直线a∥b，直线AB与a，b分别相交于点A，B，AC⊥AB，AC交直线b 于点C．（1）若∠1＝60°，求∠2的度数；（2）若AC＝3，AB＝4，BC＝5，求a与b的距离．考点3 平行线的判定及性质知识梳理：1.平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．两条平行线之间的距离处处相等．2.平行线的性质：(1)两直线平行，同位角相等，即∠1＝∠2；(2)两直线平行，内错角相等，即∠2＝∠3；(3)两直线平行，同旁内角互补，即∠3＋∠4＝180°.3.平行线的判定：(1)基本事实：经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行；(2)同位角相等，两直线平行；(3)内错角相等，两直线平行；(4)同旁内角互补，两直线平行；(5)平行于同一条直线的两条直线平行．例题感受：1、（2019浙江宁波中考模拟）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置(∠ABC ＝30°)，其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为( )A．20°B．30°C．45°D．50°2、（2019 河北石家庄中考模拟）（改成选择题）如图所示，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝30°，求∠2的度数．3、（2019 河北沧州中考模拟）一个角的余角的3倍比这个角的补角少24°，那么这个角是多少度？4、（2019 山东青岛中考模拟）如图，BD是∠ABC的平分线，ED∥BC，∠FED＝∠BDE，试说明：EF是∠AED 的平分线．5、（2019 海南中考）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连结AC、BC．若∠ABC＝70°，则∠1的大小为（）A．20°B．35°C．40°D．70°6、（2019 河南中考）如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为（）A．45°B．48°C．50°D．58°7、（2019 广东中考）如图，已知a∥b，∠1＝75°，则∠2＝．8、（2019 湖北孝感中考）如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于点A，C，BC⊥l3交l1于点B，若∠1＝70°，则∠2的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°9、（2019 河北中考）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容则回答正确的是（）A．◎代表∠FEC B．@代表同位角C．▲代表∠EFC D．※代表AB考点4 命题与定理知识梳理：命题：判断一件事情的句子叫做命题，命题由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，命题常写成“如果……那么……”的形式．真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫做真命题．假命题：题设成立，不能保证结论一定成立的命题叫做假命题．定理：有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，推理过程叫做证明．【解题技巧】掌握命题的概念.知道命题由“条件”和“结论”两部分组成，能够初步区分命题的条件和结论，能把命题改写成“如果……那么……”的形式.我们发现由观察、实验、归纳和类比等方法得出的命题，可能是真命题，也可能是假命题. 凡是我们学过的定理、定义、性质等都是真命题。
中考数学一轮总复习 第25课时 三角形(一)(无答案) 苏科版
第25课时：三角形（一）【知识梳理】（一）三角形的相关概念：1．三角形按角分为 ， ， ． 2．三角形按边分为 .3．三角形中任意两边之和 第三边，两边之差 第三边4．三角形的内角和为 °，外角与内角的关系： ． 5． 叫三角形的中位线．6．中位线的性质： ． 7．三角形的中线、高线、角平分线都是 ．(线段、射线、直线) （二）等腰三角形的性质与判定： （三）直角三角形的性质与判定： 【课前预习】1 三角形的两个内角分别是40°和60°，则第三个内角等于______.2 已知△ABC 中，AB=6，AC=8，则BC 边的取值范围为__________.3 如图，AC∥BD，AE 平分∠BAC 交BD 于点E ，若∠1=64°，则∠2=_____．4 如图，在△ABC 中，AB=AC ，CD 平分∠ACB，∠A=36°，则∠BDC 的度数为_______．5 等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，则该三角形的一个底角为_______；若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30º，腰长为4 cm ，则其腰上的高为_______cm ．6 如图所示，将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长为_______. 【解题指导】例1如图，在Rt ABC △中，90=∠B ，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．已知10=∠BAE ，则C ∠的度数为（ ） A ．30 B ．40 C ．50 D ．60例2 如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 、CD 分別是△ABC 两个外角的平分线． （1）求证：AC=AD ；（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD 是菱形．例3 已知：如图，锐角△ABC 的两条高BD 、CE 相交于点O ，且OB=OC. （1）求证：△ABC 是等腰三角形；（2）判断点O 是否在∠BAC 的角平分线上，并说明理由。
中考数学第一轮复习 专题八 三角形(2)(无答案) 浙教版(2021年整理)
2017届中考数学第一轮复习专题八三角形（2）（无答案）浙教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017届中考数学第一轮复习专题八三角形（2）（无答案）浙教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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三角形（2）班级姓名学号一、选择题1.如图,△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A．5 B．6 C．8 D．102.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8,BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F,则线段DF的长为（）A．7 B．8 C．9 D．103.已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（）A．7 B．10 C．11 D．10或114.如图，在矩形ABCD中（AD＞AB)，点E是BC上一点,且DE=DA，AF⊥DE,垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（)A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF5。
如图，在正方形ABCD中,连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点,连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（)A．2对 B．3对 C．4对 D．5对6。
如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠BOC=120°，则tanA的值为（）A． B． C． D．7。
2021年江苏中考数学(苏科版)一轮复习课时训练(22) 相似三角形的应用
课时(二十二)相似三角形的应用夯实基础1.[2019·连云港] 在如图K22-1所示的部分象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中,根据“马走日”的规则,“马”应落在下列哪个位置处,能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似()图K22-1A.①处B.②处C.③处D.④处2.如图K22-2,△ABC中,AD是中线,BC=8,∠B=∠DAC,则线段AC的长为()图K22-2A.4B.4√2C.6D.4√33.墙壁D处有一盏灯,小明站在A处测得他的影长与身高相等,都为1.6 m,小明向墙壁走0.6 m到B处发现影子刚好落在A点,则灯泡与地面的距离CD是()图K22-3A .2 mB .2.6 mC .2.56 mD .2.8 m4.[2019·绍兴] 如图K22-4①,长、宽均为3,高为8的长方体容器,放置在水平桌面上,里面盛有水,水面高为6,绕底面一条棱进行旋转倾斜后,水面恰好触到容器口边缘,图②是此时的示意图,则图②中水面高度为 ( )图K22-4A .245 B .325C .12√3417D .20√34175.[2020·河南]如图K22-5,在△ABC 中,∠ACB=90°,边BC 在x 轴上,顶点A ,B 的坐标分别为(-2,6)和(7,0).将正方形OCDE 沿x 轴向右平移,当点E 落在AB 边上时,点D 的坐标为( )图K22-5A .32,2 B .(2,2) C .114,2D .(4,2)6.[2019·广元] 如图K22-6,过点A 0(0,1)作y 轴的垂线交直线l :y=√33x 于点A 1,过点A 1作直线l 的垂线,交y 轴于点A 2,过点A 2作y 轴的垂线交直线l 于点A 3,…,这样依次下去,得到△A 0A 1A 2,△A 2A 3A 4,△A 4A 5A 6,…,其面积分别记为S 1,S 2,S 3,…,则S 100为( )图K22-6A .(3√32)100B .(3√3)100C .3√3×4199D .3√3×23957.[2019·凉山州] 在▱ABCD 中,E 是AD 上一点,且点E 将AD 分为2∶3的两部分,连接BE ,AC 相交于F ,则S △AEF ∶S △CBF = .8.如图K22-7,放映幻灯片时,通过光源,把幻灯片上的图形放大到屏幕上.若光源到幻灯片的距离为20 cm,光源到屏幕的距离为60 cm,且幻灯片中图形的高度为6 cm,则屏幕上图形的高度为 cm .图K22-79.[2019·永州] 如图K22-8,已知点F 是△ABC 的重心,连接BF 并延长,交AC 于点E ,连接CF 并延长,交AB 于点D ,过点F 作FG ∥BC ,交AC 于点G.设三角形EFG ,四边形FBCG 的面积分别为S 1,S 2,则S 1∶S 2= .图K22-810.[2020·凉山州]如图K22-9,一块材料的形状是锐角三角形ABC ,边BC=120 mm,高AD=80 mm,把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC 上,其余两个顶点分别在AB ,AC 上,这个正方形零件的边长是多少?图K22-9拓展提升11.[2019·绵阳] 如图K22-10,在四边形ABCD中,AB∥DC,∠ADC=90°,AB=5,CD=AD=3,点E是线段CD的三等分点,且靠近点C,∠FEG的两边与线段AB分别交于点F,G,连接AC分别交EF,EG于点H,K.若BG=32,∠FEG=45°,则HK=()图K22-10A.2√23B.5√26C.3√22D.13√2612.[2019·衢州] 如图K22-11①,由两个长为2,宽为1的长方形组成“7”字图形.图K22-11(1)将一个“7”字图形按如图②摆放在平面直角坐标系中,记为“7”字图形ABCDEF,其中顶点A位于x轴上,顶点B,D位于y轴上,O为坐标原点,则OBOA的值为.(2)在(1)的基础上,继续摆放第二个“7”字图形得顶点F1,摆放第三个“7”字图形得顶点F2.依此类推,…,摆放第n个“7”字图形得顶点F n-1,…,则顶点F2019的坐标为.13.[2020·徐州]我们知道:如图K22-12①,点B把线段AC分成两部分,如果BCAB =ABAC,那么称点B为线段AC的黄金分割点.它们的比值为√5-12.图K22-12(1)在图①中,若AC=20 cm,则AB的长为cm;(2)如图②,用边长为20 cm的正方形纸片进行如下操作:对折正方形ABCD得折痕EF,连接CE,将CB折叠到CE 上,点B对应点H,得折痕CG.试说明:G是AB的黄金分割点;(3)如图③,小明进一步探究:在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E(AE>DE),连接BE,作CF⊥BE,交AB 于点F,延长EF,CB交于点P.他发现当PB与BC满足某种关系时,E,F恰好分别是AD,AB的黄金分割点.请猜想小明的发现,并说明理由.【参考答案】1.B2.B3.C[解析]利用相似三角形的相似比,列出方程,通过解方程求出灯泡与地面的距离即可.根据题意得:BG=AF=AE=1.6 m,AB=0.6 m, ∵BG ∥AF ∥CD ,∴△EAF ∽△ECD ,△ABG ∽△ACD , ∴AE ∶EC=AF ∶CD ,AB ∶AC=BG ∶CD , ∴CE=CD.设AC=x m,则CD=CE=(1.6+x )m,∴1.6x+1.6=0.6x,解得:x=0.96,∴CD=1.6+0.96=2.56(m), 故选C .4.A [解析]如图所示.设DM=x ,则CM=8-x , 根据题意得:12(8-x+8)×3×3=3×3×6,解得:x=4,∴DM=4,已知∠D=90°,由勾股定理得:BM=√BD 2+DM 2=√32+42=5,过点B 作BH ⊥AH 于H ,∵∠HBA+∠ABM=∠ABM+∠DBM=90°,∴∠HBA=∠DBM ,∴Rt△ABH∽Rt△MBD,∴BHAB =BDBM,即BH8=35,解得BH=245,即水面高度为245.故选A.5.B[解析]∵点A,B的坐标分别为(-2,6)和(7,0),∴OC=2,AC=6,OB=7,∴BC=9,正方形OCDE的边长为2.将正方形OCDE沿x轴向右平移,当点E落在AB边上时,如图,设正方形与x轴的两个交点分别为G,F.∵EF⊥x轴,EF=GF=DG=2,∴EF∥AC,D,E两点的纵坐标均为2,∴EFAC =BFBC,即26=BF9,解得BF=3.∴OG=OB-BF-GF=7-3-2=2,∴D点的横坐标为2,∴点D的坐标为(2,2).6.D[解析]由一次函数解析式可得∠A1OA0=60°,A0O=1,A0A1=√3,A0A2=3,∴S1=3√32,A2A3=4√3,A2A4=12,∴S2=24√3,S n=24S n-1,∴S n=S1·24(n-1),∴S100=3√32×2396=3√3×2395.故选D.7.4∶25或9∶25[解析]在▱ABCD中,∵AD∥BC,∴△AEF∽△CBF.如图①,当AE∶DE=2∶3时,AE∶AD=2∶5,∵AD=BC,∴AE∶BC=2∶5,∴S△AEF∶S△CBF=4∶25;如图②,当AE∶DE=3∶2时,AE∶AD=3∶5,∵AD=BC,∴AE∶BC=3∶5,∴S△AEF∶S△CBF=9∶25.故答案为4∶25或9∶25.8.189.1∶8 [解析]∵F 是△ABC 的重心,∴EF ∶BF=1∶2,∴EF ∶BE=1∶3,∵FG ∥BC ,∴△EFG ∽△EBC ,∴S △EFG S △EBC=EF BE2=19,∴S1∶S 2=1∶8.10.解:设正方形零件的边长为x mm,则KD=EF=x ,AK=80-x , ∵EF ∥BC ,∴△AEF ∽△ABC , ∵AD ⊥BC ,∴EF BC =AKAD , ∴x120=80-x 80,解得:x=48.答:正方形零件的边长为48 mm . 11.B [解析]∵∠ADC=90°,CD=AD=3, ∴AC=3√2,∵AB=5,BG=32,∴AG=72, ∵AB ∥DC , ∴△CEK ∽△AGK , ∴CEAG =CKAK =EKKG,∴172=CK AK =EKKG,∴CKAK =EK KG =27,∵CK+AK=3√2,∴CK=2√23, 过E 作EM ⊥AB 于M ,则四边形ADEM 是矩形,∴EM=AD=3,AM=DE=2, ∴MG=32,∴EG=√EM 2+MG 2=3√52, ∵EK KG =27,∴EK=√53,∵∠HEK=∠KCE=45°,∠EHK=∠CHE , ∴△HEK ∽△HCE , ∴HEHK =EC EK=√53=√5,∴设HE=3x ,HK=√5x , ∵△HEK ∽△HCE ,∴EH HC=HK EH,∴√5x+2√23=√5x3x , 解得:x=√106,∴HK=5√26, 故选B .12.(1)12 (2)6062√55,405√5 [解析](1)因为∠DBC+∠BDC=90°,∠DBC+∠OBA=90°,所以∠BDC=∠OBA ,又∠DCB=∠BOA=90°,所以△CDB ∽△OBA ,所以OB ∶OA=CD ∶CB=12.(2)过点C 作CH ⊥y 轴于H 点,过点F 作FM ⊥x 轴于M 点,连接AC ,延长HC 交FM 于N 点,因为OB ∶OA=1∶2,AB=1,所以由勾股定理得OB=√55,OA=2√55.因为∠CDH=∠ABO ,∠DHC=∠BOA=90°,CD=AB ,所以△DHC ≌ △BOA ,所以四边形OACH 为矩形,DH=√55,HC=2√55,易证△MAF ∽△OBA ,由AF=3得,AM=3√55,FM=6√55,易求 ∠FNC=90°,在直角三角形NCF 中,CN=AM=3√55,CF=√2,NF=√CF 22=√55,在直角三角形ABC 中,AC=√5,F 点的坐标为2√55+3√55,√5+√55;根据规律,F 1比F 的横坐标增加3√55个单位,纵坐标增加√55个单位,点F 1的坐标为2√55+3√55×2,√5+√55×2;F 2比F 1的横坐标增加3√55个单位,纵坐标增加√55个单位,点F 2的坐标为2√55+3√55×3,√5+√55×3;…,所以F 2019的坐标为2√55+3√55×2020,√5+√55×2020,即6062√55,405√5.13.解:(1)(10√5-10)(2)如图,延长CG 交DA 的延长线于点J ,由折叠可知:∠BCG=∠ECG , ∵AD ∥BC ,∴∠J=∠BCG=∠ECG , ∴JE=CE.由折叠可知:E ,F 分别为AD ,BC 的中点, ∴DE=AE=10,在Rt △CDE 中,由勾股定理可得:CE=2+CD 2=√102+202=10√5, ∴EJ=10√5,∴AJ=JE -AE=10√5-10, ∵AJ ∥BC ,∴△AGJ ∽△BGC ,∴AGBG =AJBC=10√5-1020=√5-12,∴BGAB =√5-12,∴G是AB的黄金分割点.(3)PB=BC.理由如下:∵E为AD的黄金分割点,且AE>DE,∴AE=√5-12a.∵CF⊥BE,∴∠ABE+∠CBE=∠CBE+∠BCF=90°,∴∠ABE=∠FCB,在△BEA和△CFB中,{∠ABE=∠BCF, AB=BC,∠A=∠FBC=90°,∴△BEA≌△CFB,∴BF=AE=√5-12a,∴AFBF =BFAB=√5-12,即F是AB的黄金分割点,∵AE∥BP,∴△AEF∽△BPF,∴AEPB =AFBF=BFAB,∵AE=BF,∴PB=AB,∴PB=BC.。
2023年中考数学一轮复习之必考点题型全归纳与分层精练-相似三角形(解析版)
专题22相似三角形【专题目录】技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件技巧2：巧作平行线构造相似三角形技巧3：证比例式或等积式的技巧【题型】一、相似图形的概念和性质【题型】二、平行线分线段成比例定理【题型】三、相似三角形的判定【题型】四、相似三角形的性质【题型】五、利用相似三角形解决实际问题【题型】六、位似图形的概念与性质【题型】七、平面直角坐标系与位似图形【考纲要求】1、了解比例线段的有关概念及其性质，并会用比例的性质解决简单的问题．2、了解相似多边形，相似三角形的概念，掌握其性质和判定并会运用．3、了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运用其性质.【考点总结】一、相似图形及比例线段解直相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.相似多边形若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形。
特征：对应角相等，对应边成比例。
比例线段的定义在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即a cb d(或a∶b＝c∶d)，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．【考点总结】二、相似三角形【技巧归纳】技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件相似三角形的四类结构图：1.平行线型．2．相交线型．角三角形的应用比例线段的性质(1)基本性质：a b ＝c d ad ＝bc ；(2)合比性质：a b ＝c d a ＋b b ＝c ＋d d ；(3)等比性质：若a b ＝c d ＝…＝m n (b ＋d ＋…＋n ≠0)，那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b.黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝BC AC ，则线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．3．子母型．4．旋转型．【类型】一、平行线型1．如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作ED ∥BC 交AB 于点D.(1)求证：AE·BC ＝BD·AC ；(2)如果S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，DE ＝6，求BC 的长．【类型】二、相交线型2．如图，点D ，E 分别为△ABC 的边AC ，AB 上的点，BD ，CE 交于点O ，且EO BO ＝DO CO，试问△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由．【类型】三、子母型3．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F.求证：AB AC ＝DF AF .【类型】四、旋转型4．如图，已知∠DAB ＝∠EAC ，∠ADE ＝∠ABC.求证：(1)△ADE ∽△ABC ；(2)AD AE ＝BD CE .参考答案1．(1)证明：∵ED ∥BC ，∴∠ADE ＝∠ABC.又∵∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ABC.∴AE AC ＝DE BC.∵BE 平分∠ABC ，∴∠DBE ＝∠EBC.∵ED ∥BC ，∴∠DE B ＝∠EBC.∴∠DBE ＝∠DEB.∴DE ＝BD.∴AE AC ＝BD BC.即AE·BC ＝BD·AC.(2)解：设h △ADE 表示△ADE 中DE 边上的高，h △BDE 表示△BDE 中DE 边上的高，h △ABC 表示△ABC 中BC 边上的高．∵S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，∴S △ADE S △BDE ＝12·DE·h △ADE 12·DE·h △BDE ＝h △ADE h △BDE ＝32.∴h △ADE h △ABC ＝35.∵△ADE ∽△ABC ，∴DE BC ＝h △ADE h △ABC ＝35.∵DE ＝6，∴BC ＝10.2．解：相似．理由如下：因为EO BO ＝DO CO，∠BO E ＝∠COD ，∠DOE ＝∠COB ，所以△BOE ∽△COD ，△DOE ∽△COB.所以∠EBO ＝∠DCO ，∠DEO ＝∠CBO.因为∠ADE ＝∠DCO ＋∠DEO ，∠ABC ＝∠EBO ＋∠CBO ，所以∠ADE ＝∠ABC.又因为∠A ＝∠A ，所以△ADE ∽△ABC.3．证明：∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，∴∠BAC ＝∠A DB ＝90°.又∵∠CBA ＝∠ABD(公共角)，∴△ABC ∽△DBA.∴AB AC ＝DB DA，∠BAD ＝∠C.∵AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，∴DE ＝EC.∴∠BDF ＝∠CDE ＝∠C.∴∠BDF ＝∠BAD.又∵∠F ＝∠F ，∴△DBF ∽△ADF.∴DB AD ＝DF AF .∴AB AC ＝DF AF.(第3题)点拨：当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似，条件又不具备成比例线段时，可考虑用中间比“搭桥”，称为“等比替换法”，有时还可用“等积替换法”，例如：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，D E ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，求证：AE·AB ＝AF·AC.可由两组“射影图”得AE·AB＝AD 2，AF·AC ＝AD 2，∴AE·AB ＝AF·AC.4．证明：(1)∵∠DAB ＝∠EAC ，∴∠DAE ＝∠BAC.又∵∠ADE ＝∠ABC ，∴△ADE ∽△ABC.(2)∵△ADE ∽△ABC ，∴AD AE ＝AB AC.∵∠DAB ＝∠EAC ，∴△ADB ∽△AEC.∴AD AE ＝BD CE.技巧2：巧作平行线构造相似三角形【类型】一、巧连线段的中点构造相似三角形1．如图，在△ABC 中，E ，F 是边BC 上的两个三等分点，D 是AC 的中点，BD 分别交AE ，AF 于点P ，Q ，求BP PQ QD.【类型】二、过顶点作平行线构造相似三角形2．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，F 为底边AB 上一点，BFAF ＝32，取CF 的中点D ，连接AD 并延长交BC 于点E ，求BE EC 的值．【类型】三、过一边上的点作平行线构造相似三角形3．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，在边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使AD ＝AE ，直线DE 和BC的延长线交于点P.求证：BP CP ＝BD EC .【类型】四、过一点作平行线构造相似三角形4．如图，在△ABC 中，点M 为AC 边的中点，点E 为AB 上一点，且AE ＝14AB ，连接EM 并延长交BC 的延长线于点D.求证：BC ＝2CD.参考答案1．解：如图，连接DF ，∵E ，F 是边BC 上的两个三等分点，∴BE ＝EF ＝FC.∵D 是AC 的中点，∴AD ＝CD.∴DF 是△ACE 的中位线．∴DF ∥AE ，且DF ＝12AE.∴DF ∥PE.∴∠BEP ＝∠BFD.又∵∠EBP 为公共角，∴△BEP ∽△BFD.∴BE BF ＝BP BD.∵BF ＝2BE ，∴BD ＝2BP.∴BP ＝PD.∴DF ＝2PE.∵DF ∥AE ，∴∠APQ ＝∠FDQ ，∠PAQ ＝∠DFQ.∴△APQ ∽△FDQ.∴PQ QD ＝AP DF.设PE ＝a ，则DF ＝2a ，AP ＝3a.∴PQQD ＝AP DF ＝3 2.∴BP PQ QD ＝53 2.2．解：如图，过点C 作CG ∥AB 交AE 的延长线于点G.∵CG ∥AB ，∴∠DAF ＝∠G.又∵D 为C F 的中点，∴CD ＝DF.在△ADF 和△GDC DAF ＝∠G ，ADF ＝∠CDG ，＝CD ，∴△ADF ≌△GDC(AAS )．∴AF ＝CG.∵BF AF ＝32，∴AB AF ＝5 2.∵AB ∥CG ，∴∠CGE ＝∠BAE ，∠BCE ＝∠ABE.∴△ABE ∽△GCE.∴BE EC ＝AB CG ＝AB AF ＝52.3．证明：如图，过点C 作CF ∥AB 交DP 于点F ，∴∠PFC ＝∠PDB ，∠PCF ＝∠PBD.∴△PCF ∽△PBD.∴BP CP ＝BD CF.∵AD ∥CF ，∴∠ADE ＝∠EFC.∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED.∵∠AED ＝∠CEP ，∴∠EFC ＝∠CEP.∴EC ＝CF.∴BP CP ＝BD EC.4．证明：(方法一)如图①，过点C 作CF ∥A B ，交DE 于点F ，(第4题①)∴∠FCD ＝∠B.又∵∠D 为公共角，∴△CDF ∽△BDE.∴CF BE ＝CD BD.∵点M 为AC 边的中点，∴AM ＝CM.∵CF ∥AB ，∴∠A ＝∠MCF.又∵∠AME ＝∠CM F ，∴△AME ≌△CMF.∴AE ＝CF.∵AE ＝14AB ，BE ＝AB －AE ，∴BE ＝3AE.∴AE BE ＝13.∵CF BE ＝CD BD，∴AE BE ＝CD BD ＝13，即BD ＝又∵BD ＝BC ＋CD ，∴BC ＝2CD.(第4题②)(方法二)如图②，过点C 作CF ∥DE ，交AB 于点F ，∴AE AF ＝AM AC.又∵点M 为AC 边的中点，∴AC ＝2AM.∴2AE ＝AF.∴AE ＝EF.又∵AE AB ＝14，∴BF EF＝2.又∵CF ∥DE ，∴BF FE ＝BC CD ＝2.∴BC ＝2CD.(第4题③)(方法三)如图③，过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F ，∴∠AEF ＝∠B.又∵∠A 为公共角，∴△AEF ∽△ABC.∴EF BC ＝AE AB ＝AF AC.由AE ＝14AB ，知EF BC ＝AE AB ＝AF AC ＝14，∴EF ＝14BC ，AF ＝14AC.由EF ∥CD ，易证得△EFM ∽△DCM ，∴EF CD ＝MF MC.又∵AM ＝MC ，∴MF ＝12MC ，∴EF ＝12CD.∴BC ＝2CD.(第4题④)(方法四)如图④，过点A 作AF ∥BD ，交DE 的延长线于点F ，∴∠F ＝∠D ，∠FAE ＝∠B.∴△AEF ∽△BED.∴AE BE ＝AF BD.∵AE ＝14AB ，∴AE ＝13BE.∴AF ＝13BD.由AF ∥CD ，易证得△AFM ∽△CDM.又∵AM ＝MC ，∴AF ＝CD.∴CD ＝13BD.∴BC ＝2CD.点拨：由已知线段的比，求证另外两线段的比，通常添加平行线，构造相似三角形来求解．技巧3：证比例式或等积式的技巧【类型】一、构造平行线法1．如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，DF 交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ，求证：AE·CF ＝BF·EC.2．如图，已知△ABC 的边AB 上有一点D ，边BC 的延长线上有一点E ，且AD ＝CE ，DE 交AC 于点F ，求证：AB·DF ＝BC·EF.【类型】二、三点定型法3．如图，在▱ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F.求证：DC AE ＝CF AD .4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，M 为BC 的中点，DM ⊥BC 交CA 的延长线于D ，交AB 于E.求证：AM 2＝MD·ME.【类型】三、构造相似三角形法5．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.求证：BP·CP＝BM·CN.【类型】四、等比过渡法6．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE.求证：(1)△DEF∽△BDE；(2)DG·DF＝DB·EF.7．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D.求证：CE2＝DE·PE.【类型】五、两次相似法8．如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，∠ABC的平分线BE交AC于E，交AD于F.求证：BF BE ＝AB BC .9．如图，在▱ABCD 中，AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，垂足分别为M ，N.求证：(1)△AMB ∽△AND ；(2)AM AB ＝MN AC .【类型】六、等积代换法10．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.求证：AE AF ＝AC AB .【类型】七、等线段代换法11．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点P 是AD 上一点，CF ∥AB ，延长BP 交AC 于点E ，交CF 于点F ，求证：BP 2＝PE·PF.12．如图，已知AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线EP 交BC 的延长线于点P.求证：PD 2＝PB·PC.参考答案1．证明：如图，过点C 作CM ∥AB 交DF 于点M.∵CM ∥AB ，∴∠FCM ＝∠B ，∠FMC ＝∠FDB.∴△CMF ∽△BDF.∴BF CF ＝BD CM.又∵CM ∥AD ，∴∠A ＝∠ECM ，∠ADE ＝∠CME.∴△ADE ∽△CME.∴AE EC ＝AD CM.∵D 为AB 的中点，∴BD ＝AD.∴BD CM ＝AD CM .∴BF CF ＝AE EC.即AE·CF ＝BF·EC.2．证明：过点D 作DG ∥BC ，交AC 于点G ，易知△DGF ∽△ECF ，△ADG ∽△ABC.∴EF DF ＝CE DG ，AB BC ＝AD DG.∵AD ＝CE ，∴CE DG ＝AD DG .∴AB BC ＝EF DF.即AB·DF ＝BC·EF.点拨：过某一点作平行线，构造出“A ”型或“X ”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题．3．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴A E ∥D C ，∠A ＝∠C.∴∠CDF ＝∠E.∴△FCD ∽△DAE.∴DC AE ＝CF AD.4．证明：∵DM ⊥BC ，∠BAC ＝90°，∴∠B ＋∠BEM ＝90°，∠D ＋∠DEA ＝90°.∵∠BEM ＝∠DEA ，∴∠B ＝∠D.又∵M 为BC 的中点，∠BAC ＝90°，∴BM ＝AM.∴∠B ＝∠BAM.∴∠BAM ＝∠D.即∠EAM ＝∠D.又∵∠AME ＝∠DMA.∴△AME ∽△DMA.∴AM MD ＝ME AM.即AM 2＝MD·ME.5．证明：如图，连接PM ，PN.∵MN 是AP 的垂直平分线，∴MA ＝MP ，NA ＝NP.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.又∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠C ＝∠1＋∠3＝60°.∴∠2＋∠4＝60°.∴∠5＋∠6＝120°.又∵∠6＋∠7＝180°－∠C ＝120°，∴∠5＝∠7.∴△BPM ∽△CNP.∴BP CN ＝BM CP.即BP·CP ＝BM·CN.6．证明：(1)∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∵DE ∥BC ，∴∠ABC ＋∠EDB ＝180°，∠ACB ＋∠FED ＝180°.∴∠FED ＝∠EDB.又∵∠EDF ＝∠DBE ，∴△DEF ∽△BDE.(2)由△DEF ∽△BDE 得DE BD ＝EF DE.即DE 2＝DB·EF.又由△DEF ∽△BDE ，得∠GED ＝∠EFD.∵∠GDE ＝∠EDF ，∴△GDE ∽△EDF.∴DG DE ＝DE DF.即DE 2＝DG·DF.∴DG·DF ＝DB·EF.7．证明：∵BG ⊥AP ，PE ⊥AB ，∴∠AEP ＝∠DEB ＝∠AGB ＝90°.∴∠P ＋∠PAB ＝90°，∠PAB ＋∠AB G ＝90°.∴∠P ＝∠ABG.∴△AEP ∽△DEB.∴AE DE ＝PE BE.即AE·BE ＝PE·DE.又∵∠CEA ＝∠BEC ＝90°，∴∠CAB ＋∠ACE ＝90°.又∵∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＋∠CBE ＝90°.∴∠ACE ＝∠CBE.∴△AEC CEB.∴AE CE ＝CE BE.即CE 2＝AE·BE.∴CE 2＝DE·PE.8．证明：由题意得∠BDF ＝∠BAE ＝90°.∵BE 平分∠ABC ，∴∠DBF ＝∠ABE.∴△BDF ∽△BAE.∴BD AB ＝BF BE.∵∠BAC ＝∠BDA ＝90°，∠ABC ＝∠DBA.∴△ABC ∽△DBA.∴AB BC ＝BD AB.∴BF BE ＝AB BC.9．证明：(1)∵四边形ABCD 为平行四边形，∴∠B ＝∠D.∵AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，∴∠AMB ＝∠AND ＝90°.∴△AMB ∽△AND.(2)由△AMB ∽△AND 得AM AN ＝AB AD，∠BAM ＝∠DAN.又AD ＝BC ，∴AM AN ＝AB BC.∵AM ⊥BC ，AD ∥BC ，∴∠MAD ＝∠AMB ＝90°.∴∠B ＋∠BAM ＝∠MAN ＋∠NAD ＝90°.∴∠B ＝∠MAN.∴△AMN ∽△BAC.∴AM AB ＝MN AC.10．证明：∵AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠AED ＝90°.又∵∠BAD ＝∠DAE ，∴△ABD ∽△ADE.∴AD AB ＝AE AD.即AD 2＝AE·AB.同理可得AD 2＝AF·AC.∴AE·AB ＝AF·AC.∴AE AF ＝AC .11．证明：连接PC ，如图所示．∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD 垂直平分BC ，∠ABC ＝∠ACB.∴BP ＝CP.∴∠1＝∠2∴∠ABC －∠1＝∠ACB －∠2，即∠3＝∠4.∵CF ∥AB ，∴∠3＝∠F.∴∠4＝∠F.又∵∠CPF ＝∠CPE ，∴△CPF ∽△EPC.∴CP PE ＝PF CP，即CP 2＝PF·PE.∵BP ＝CP ，∴BP 2＝PE·PF.12．证明：如图，连接PA ，∵EP 是AD 的垂直平分线，∴PA ＝PD.∴∠PD A ＝∠PAD.∴∠B ＋∠BAD ＝∠DAC ＋∠CAP.又∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠DAC.∴∠B ＝∠CAP.又∵∠APC ＝∠BPA ，∴△PAC ∽△PBA.∴PA PB ＝PC PA.即PA 2＝PB·PC.∵PA ＝PD ，∴PD 2＝PB·PC.【题型讲解】【题型】一、相似图形的概念和性质例1、如图，在△ABC 中，DE ∥AB ，且CD BD ＝32，则CE CA 的值为（）A ．35B ．23C ．45D ．32【答案】A【提示】根据平行线分线段成比例定理得到比例式即可解答．【详解】解：∵DE //AB ，∴32CE CD AE BD ==∴CE CA 的值为35．故答案为A ．【题型】二、平行线分线段成比例定理例2、如图，在ABC ∆中，//DE BC ，9AD =，3DB =，2CE =，则AC 的长为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C 【提示】根据平行线分线段成比例定理，由DE ∥BC 得AD AE DB EC =，然后利用比例性质求EC 和AE 的值即可【详解】∵//DE BC ，∴AD AE DB EC =，即932AE =，∴6AE =，∴628AC AE EC =+=+=．故选C ．【题型】三、相似三角形的判定例3、如图，已知DAB CAE ∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定A ABC DE ∽△△的是（）A ．AB AC AD AE =B ．AB BC AD DE =C ．B D ∠=∠D ．C AED∠=∠【答案】B【提示】利用相似三角形的判定依次判断可求解．【详解】解：∵∠DAB=∠CAE ，∴∠DAE=∠BAC ，A 、若AB AC AD AE =，且∠DAE=∠BAC ，可判定△ABC ∽△ADE ，故选项A 不符合题意；B 、若AB BC AD DE =，且∠DAE=∠BAC ，无法判定△ABC ∽△ADE ，故选项B 符合题意；C 、若∠B=∠D ，且∠DAE=∠BAC ，可判定△ABC ∽△ADE ，故选项C 不符合题意；D 、若∠C=∠AED ，且∠DAE=∠BAC ，可判定△ABC ∽△ADE ，故选项D 不符合题意；故选：B ．【题型】四、相似三角形的性质例4、如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 和AC 的中点，15BCED S =四边形，则ABC S ∆=（）A ．30B ．25C ．22．5D ．20【答案】D【提示】首先判断出△ADE ∽△ABC ，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC 的面积．【详解】解：根据题意，点D 和点E 分别是AB 和AC 的中点，则DE ∥BC 且DE=12BC ，故可以判断出△ADE ∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知ADE S ∆：ABC S ∆=1：4，则BCED S 四边形：ABC S ∆=3：4，题中已知15BCED S =四边形，故可得ADE S ∆=5，ABC S ∆=20故本题选择D【题型】五、利用相似三角形解决实际问题例5、为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A ，再在他所在的这一侧选点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，然后找出AD 与BC 的交点E ，如图所示．若测得BE ＝90m ，EC ＝45m ，CD ＝60m ，则这条河的宽AB 等于()A ．120mB ．67.5mC ．40mD ．30m【答案】A 【解析】∵∠ABE=∠DCE,∠AEB=∠CED,∴△ABE ∽△DCE,∴AB BE CD CE=.∵BE =90m ，EC =45m ，CD =60m ，∴()906012045AB m ⨯==故选A.【物高问题】【题型】六、位似图形的概念与性质例6、如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 为位似中心．已知OA ∶OD =1∶2，则△ABC 与△DEF 的面积比为（）A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶5【答案】C【提示】根据位似图形的性质即可得出答案．【详解】由位似变换的性质可知，//,//AB DE AC DF∴12OA OB OD OE ==12AC OA DF OD ∴==∴△ABC 与△DEF 的相似比为：1∶2∴△ABC 与△DEF 的面积比为：1∶4故选C ．【题型】七、平面直角坐标系与位似图形例7、如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm ．则投影三角板的对应边长为（）A ．20cmB ．10cmC ．8cmD ．3.2cm【答案】A【提示】根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解.【详解】解：设投影三角尺的对应边长为xcm ,∵三角尺与投影三角尺相似,∴8：x ＝2：5,解得x ＝20.故选:A .相似三角形（达标训练）一、单选题1．如图，已知∥DE BC ，12AD BD =，则ADE V 与ABC 的周长之比为（）A ．1:2B ．1:4C ．1:9D ．1:3【答案】D 【分析】根据平行线的性质及相似三角形的判定定理可得：ABC ADE ∽，相似三角形的对应边成比例，且周长比等于相似比，据此即可解答．【详解】解：∵∥DE BC ，∴ADE B ∠=∠，∵A A ∠=∠，∴ABC ADE ∽，∵AD ：DB =1：2，∴AD ：AB =1：3，∴13ADE ABC C C ∆∆=：：，即ADE 与ABC 的周长比为1：3．故选：D ．【点睛】题目主要考查相似三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理及其性质是解题关键．2．如图，在ABC 中，高BD 、CE 相交于点.F 图中与AEC △一定相似的三角形有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】利用相似三角形的判定方法可得AEC △∽ADB ，AEC △∽FEB ，AEC △∽FDC △，可求解．【详解】解：A A ∠=∠ ，90AEC ADB ∠=∠=︒，AEC ∴ ∽ADB ，ACE ABD ∴∠=∠，又90AEC BEC ∠=∠=︒ ，AEC ∴ ∽FEB ，ACE ACE ∠=∠ ，90AEC ADB ∠=∠=︒，AEC ∴ ∽FDC △，故选C【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．3．在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则△ADE 与△ABC 的面积之比为（）A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】B【分析】容易证明两个三角形相似，求出相似比，相似三角形的周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方．【详解】解：由题意得DE 为△ABC 的中位线，那么DE ∥BC ，DE ：BC =1：2．∴△ADE ∽△ABC ，∴△ADE 与△ABC 的周长之比为1：2，∴△ADE 与△ABC 的面积之比为：4，即14．故选：B ．【点睛】此题考查的是相似三角形的性质，三角形中位线定理，掌握相似三角形的周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解决此题关键．4．如图，D 是ABC 的边BC 上的一点，那么下列四个条件中，不能够判定△ABC 与△DBA 相似的是（）A ．C BAD∠=∠B ．BAC BDA ∠=∠C ．AC AD BC AB =D ．2AB BD BC=⋅【答案】C【分析】由相似三角形的判定定理即可得到答案．【详解】解：C BAD ∠=∠，B B ∠=∠，ABC ∽DBA ，故选项A 不符合题意；BAC BDA ∠=∠，B B ∠=∠，ABC ∽DBA ，故选项B 不符合题意；AC AD BC AB=，但无法确定ACB ∠与BAD ∠是否相等，所以无法判定两三角形相似，故选项C 符合题意；2AB BD BC =⨯即AB BC BD AB=，B B ∠=∠，ABC ∽DBA ，故选项D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．5．已知ABC ∽A B C ''' ，AD 和A D ''是它们的对应角平分线，若8AD =，12A D ''=，则ABC 与A B C ''' 的面积比是（）A ．2：3B ．4：9C ．3：2D ．9；4【答案】B【分析】根据相似三角形的性质：对应角平分线的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求解即可．【详解】ABC ∽A B C ''' ，AD 和A D ''是它们的对应角平分线，8AD =，12A D ''=，∴两三角形的相似比为：:8:122:3AD A D '=='，则ABC 与'''A B C 的面积比是：4：9．故选：B【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．二、填空题6．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE 测量建筑物的高度，已知标杆BE 高为1.5m ，测得AB ＝3m ，AC ＝10m ，则建筑物CD 的高是_____m ．【答案】5【分析】根据题意和图形，利用三角形相似的性质，可以计算出CD 的长，从而可以解答本题．【详解】∵EB ⊥AC ，DC ⊥AC ，∴EB ∥DC ，∴AEB ADC ∠=∠，ABE ACD ∠=∠，又∵A A ∠=∠，∴△ABE ∽△ACD ，∴AB AC ＝BE CD，∵BE ＝1.5m ，AB ＝3m ，AC ＝10m ，∴3 1.510CD=，解得，5CD =，即建筑物CD 的高是5m ，故答案为：5．【点睛】本题考查了相似三角形的应用、相似比等知识，正确得出相似三角形是解题的关键．7．如图所示，要使ABC ADE ～，需要添加一个条件__________（填写一个正确的即可）【答案】ADE B∠=∠【分析】根据已有条件，加上一对角相等就可以证明ABC 与ADE V 相似，依据是：两角对应相等的两个三角形相似．【详解】解：添加ADE B ∠=∠，A A∠=∠ ABC ADE∴ ～故答案为：ADE B ∠=∠．【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定方法，牢记三角形相似的判定方法是做出本题的关键．三、解答题8．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，且AD :AB =AE :AC =2:3．(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若DE=4，求BC的长．【答案】(1)见解析(2)BC=6．【分析】（1）直接根据相似三角形的判定方法判定即可；（2）利用相似三角形的性质即可求解．（1）证明：∵∠A=∠A，AD:AB=AE:EC=2:3，即23 AD AEAB EC==，∴△ADE∽△ABC；（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴AD DEAB BC=，243BC=，∴BC=6．【点睛】本题考查了三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．相似三角形（提升测评）一、单选题1．如图，在菱形ABCD中，点E在AD边上，EF∥CD，交对角线BD于点F，则下列结论中错误的是（）A ．DE DF AE BF =B ．EF DF AD DB =C ．EF DF CD BF =D ．EF DF CD DB=【答案】C【分析】根据已知及平行线分线段成比例定理进行分析，可得CD ∥BF ，依据平行线成比例的性质和相似三角形的性质即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB =CD ，∵EF ∥CD ，∴EF ∥AB ，∴DE DF AE BF =，△DEF ∽△DAB ，∴EF DF AB DB=，∵AB =AD =CD ，∴EF DF AD DB =，EF DF CD DB=，∴选项A 、B 、D 正确；选项C 错误；故选：C ．【点睛】此题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．2．如图1为一张正三角形纸片ABC ，其中D 点在AB 上，E 点在BC 上．今以DE 为折线将B 点往右折后，BD 、BE 分别与AC 相交于F 点、G 点，如图2所示．若10AD =，16AF =，14DF =，8BF =，则CG 的长度为多少？（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C 【分析】根据三角形ABC 是正三角形，可得∠A =∠B =60°，△AFD ∽△BFG ，即可求出FG =7，而AD =10，DF =14，BF =8，可得AB =32=AC ，故CG =AC -AF -FG =9．【详解】解： 三角形ABC 是正三角形，60A B ∴∠=∠=︒，AFD BFG ∠=∠ ，AFD BFG ∴∆∆∽，∴DF AF FG BF =，即14168FG =，7FG ∴=，10AD = ，14DF =，8BF =，32AB ∴=，32AC ∴=，321679CG AC AF FG ∴=--=--=；故选：C ．【点睛】本题考查等边三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，证明AFD BFG ∆∆∽，从而求出FG 的长度．3．如图，在平面直角坐标系中有A ，B 两点，其中点A 的坐标是（-2，1），点B 的横坐标是2，连接AO ，BO ．已知90AOB ∠=︒，则点B 的纵坐标是（）A ．B ．4CD ．2【答案】B 【分析】先过点A 作AC x ⊥轴于点C ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ，构造相似三角形，再利用相似三角形的性质列出比例式，计算求解即可．【详解】解：过点A 作AC x ⊥轴于点C ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ，则90ACO ODB ∠=∠=︒，90B BOD ∠+∠=︒，90AOB ∠=︒Q ，90AOC BOD ∴∠+∠=︒，B AOC ∴∠=∠，ACO ∴ ∽ODB △，AC CO OD DB∴=，又A 的坐标是()2,1-，点B 的横坐标是2，∴AC ＝1，CO ＝2，OD ＝2，122DB∴=，即4DB =，∴:B 的纵坐标是4．故选：B ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，通过作垂线构造相似三角形是解决问题的关键．4．如图，D 是ABC △的边上的一点，过点D 作BC 的平行线交AC 于点E ，连接BE ，过点D 作BE 的平行线交AC 于点F ，则下列结论错误的是（）A ．AD AF BD EF =B ．AF DF AE EB =C ．=AD AE AB AC D ．CAF FE DE B =【答案】D【分析】根据DF BE ∥，DE BC ∥找到对应线段成比例或相似三角形对应线段的比相等，判断即可．【详解】解：DF BE ∥，AD AF BD EF∴=，故A 选项比例式正确，不符合题意；DF BE ∥，ADF ABE ∴△∽△，DF AF EB AE∴=，故B 选项比例式正确，不符合题意；DE BC ∥，AD AE AB AC∴=，故C 选项比例式正确，不符合题意；DE BC ∥，DE AF BC FEAF AC =≠∴故D 选项比例式不正确，符合题意．故选D ．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，解题的关键是找准对应线段．二、填空题5．如图，小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子落在了地上和墙上，此时测得地面上的影长BD 为4m ，墙上的影子CD 长为1m ，同一时刻一根长为1m 的垂直于地面上的标杆的影长为0.5m ，则树的高度为______m ．【答案】9【分析】设地面影长对应的树高为m x ，根据同时同地物高与影长成正比列出比例式求出x ，然后加上墙上的影长CD 即为树的高度．【详解】解：设地面影长对应的树高为m x ，由题意得，140.5x =，解得8x =，墙上的影子CD 长为1m ，∴树的高度为()819m +=．故答案为：9．【点睛】本题考查利用投影求物高．熟练掌握同时同地物高与影长成正比是解题的关键．6．如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，2BC AD =，点F 在BC 的延长线上，AF 与BD 相交于点E ，与CD 边相交于点G ．如果2AD CF =，那么DEG ∆与CFG ∆的面积之比等于______．【答案】16:7##167【分析】根据ADG FCG ∆∆∽和ADE FBE ∆∆∽，根据相似三角形对应边成比例和相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解．【详解】解：AD BC ，ADG FCG ∴∆∆∽，2AD AG CF GF∴==，∴ADG ∆与CFG ∆的面积之比4:1，AD BC ，ADE FBE ∴∆∆∽，25AD AE BF EF ∴==，令GF a =，则2AG a =，设,2AE x EG a x ==-，:(2)2:5x a a x ∴+-=，67x a ∴=，68,77AE a EG a ∴==，:3:4AE EG =，∴DEG ∆与ADE ∆的面积之比是4:3，∴DEG ∆与CFG ∆的面积之比是16:7．故答案为：16:7．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握并运用：相似三角形对应边成比例、相似三角形三、解答题7．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC =1，CE =3，连接AF 交CG 于点K ，H 是AF 的中点，连接CH ．(1)求tan ∠GFK 的值；(2)求CH 的长．【答案】(1)12(2)CH =【分析】（1）由正方形的性质得出AD =CD =BC =1，CG =FG =CE =3，,AD BC GF BE ∥∥，∠G =90°，证出ADK FGK V :V ，得出比例式求出3342GK DG ==，即可得出结果；（2）由正方形的性质求出AB =BC =1，CE =EF =3，∠E =90°，延长AD 交EF 于M ，连接AC 、CF ，求出AM =4，FM =2，∠AMF =90°，根据正方形性质求出∠ACF =90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出12CH AF =，根据勾股定理求出AF ，即可得出结果．（1）解：∵四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形，∴AD =CD =BC =1，CG =FG =CE =3，,AD BC GF BE ∥∥，∠G =90°，∴DG =CG -CD =2，AD GF ∥，∴ADK FGK V :V ，∴DK ：GK =AD ：GF =1：3，∴3342GK DG ==，∴312tan 32GK GFK FG ∠===；（2）解：∵正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC =1，CE =3，∴AB =BC =1，CE =EF =3，∠E =90°，延长AD 交EF 于M ，连接AC 、CF ，如图所示：则AM =BC +CE =1+3=4，FM =EF-AB =3-1=2，∠AMF =90°，∵四边形ABCD 和四边形GCEF 是正方形，∴∠ACD =∠GCF =45°，∴∠ACF =90°，∵H 为AF 的中点，∴12CH AF =，在Rt △AMF 中，由勾股定理得：22224225AF AM FM =+=+=，∴152CH AF ==．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线性质；本题有一定难度，特别是（2）中，需要通过作出辅助线运用直角三角形斜边上的中线性质才能得出结果．8．如图所示，BEF 的顶点E 在矩形ABCD 对角线AC 的延长线上，13BC AB AE ==，，与FB 交于点G ，连接AF ，满足ABF ∽CEB ，其中A 对应C B ，对应E F ，对应B(1)求证：30FAD ∠=︒．(2)若13CE =，求tan FEA ∠的值．【答案】(1)见解析937【分析】（1）由相似可得FAB BCE ∠∠=，再由矩形的性质得AD BC ∥90DAB ABC ∠∠==︒，，从而可求得180FAD DAB DAC ∠∠∠++=︒，则有FAD BAC ∠∠=，即可求得FAD ∠的度数；（2）结合（1）可求得73AE =，再由相似的性质求得33AF =tan FEA ∠的值．（1）ABF ∽CEB ，FAB BCE ∠∠∴=，四边形ABCD 是矩形，∴90AD BC DAB ABC ∠=∠=︒∥，，DAC ACB ∴∠=∠，180BCE ACB ∠∠+=︒ ，180FAB DAC ∠∠∴+=︒，即180FAD DAB DAC ∠∠∠++=︒，90180FAD DAC ∠∠∴+︒+=︒，90FAD DAC ∠∠∴+=︒，90DAB ∠=︒ ，90BAC DAC ∠∠∴+=︒，FAD BAC ∠∠∴=，在Rt ABC中，tan 3BC BAC AB ∠== ，30BAC ∴∠=︒，30FAD ∠∴=︒；（2）由（1）得9030ABC BAC ∠∠=︒=︒，，2212AC BC ∴==⨯=，17233AE AC CE ∴=+=+=，ABF ∽CEB ，AF AB BC CE∴=，即113AF =，∴=AF 由（1）得：90FAD DAC ∠∠+=︒，则90FAE ∠=︒，在Rt FAE中，tan 3AF FEA AE ∠==【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，解答的关键是结合图形及相应的性质求得FAD BAC ∠∠=．。
江苏省昆山市兵希中学九年级数学总复习：一轮复习第26课时：三角形(二)
初三第一轮复习第26课时：三角形（二）【知识梳理】1．全等三角形: 、 的三角形叫全等三角形.2. 三角形全等的判定方法有: 、 、 、 .直角三角形全等的判定除以上的方法还有 .3. 全等三角形的性质：全等三角形 ， .4. 全等三角形的面积 、周长 、对应高、 、 相等. 【课前预习】1、如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 是CD 延长线上的任意一点，连接BE 交AD 于点O ，如果△ABO≌△DEO，则需要添加的条件是 （图中不能添加任何点或线）2、如图，已知∠1=∠2=90°，AD=AE ，那么图中有 对全等三角形．3、如图，AC 是正方形ABCD 的对角线，AE 平分∠BAC ，EF ⊥AC 交AC 于点F.图中与线段BE 相等的多有线段是 .4、如图所示．△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，DE⊥AB 于E ，且DE ＝2㎝， AB ＝9㎝，BC ＝6㎝，则△ABC 的面积为 .5、如图所示．P 是∠AOB 的平分线上的一点，PC ⊥AO 于 C ，PD ⊥OB 于D ， 写出图中一组相等的线段 ． 【解题指导】例1 如图11-113所示，BD ，CE 分别是△ABC 的边AC 和AB 上的高， 点P 在BD 的延线上，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB ． （1）求证AP ＝AQ ； （2）求证AP ⊥AQ ．例2 如图所示，已知四边形纸片ABCD 中，AD ∥BC ，将∠ABC ，∠DAB 分别对折，如果两条折痕恰好相交于DC 上一点E ，点C ，D 都落在AB 边上的F 处，你能获得哪些结论?例3 如图所示，在△ABD 和△ACE 中，有下列四个论断：①AB ＝AC ；②AD ＝AE ； ③∠B ＝∠C ；④BD ＝CE ．请以其中三个论断作为条件．余下一个作为结论，写出一个正确的数学命题（用序号⊗⊗⊗⇒⊗的形式写出）： ．例4 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B 、C 、E 在同一条直线上，连结DC ．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DC BE ⊥．图1图2B【巩固练习】1、如图，在边长为4的等边三角形ABC 中，AD 是BC 边上的高，点E 、F 是AD 上的两点，则图中阴影部分的面积是 .2、如图，点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，点A 、D 在直线BE 的两侧，AB∥DE，BF=CE ，请添加一个适当的条件 ，使得AC=DF ．3、已知△ABC 中，AB=BC≠AC，作与△ABC 只有一条公共边，且与△ABC 全等的三角形，这样的三角形一共能作出 个.4、如图，四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE= .5、已知：如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，BC=DC ，CF 平分∠BCD，DF∥AB，BF 的延长线交DC 于点E ．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE【课后作业】 班级 姓名 一、必做题:1．如图1所示，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，∠A ＝80°∠ACB ＝60°，那么∠BDC 等于 °图 1 图 2 图 3图42．如图2所示，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C ，AE ＝AF ，则下列结论：①EM ＝FN ；②CD ＝DN ；③∠FAN ＝∠EAM ；④△CAN ≌△BAM ．其中正确的有 . 3．已知如图3所示的两个三角形全等，则∠a 的度数是 °4．如图4所示,在等腰梯形ABCD 中,AB ＝DC,AC ，BD 交于点O ，则图中全等三角形共有 对.5．如图5所示，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，且AD ＝3，则第1题图 第2题图 第4题图点D 到BC 的距离是 .图 5 图 6 图7图86．如图6所示，尺规作图作∠AOB 的平分线的方法如下：以O 为 圆心，任意长为半径画弧交OA ，OB 于C ，D ，再分别以点C ，D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ．连接CP ，DP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是 .7．如图7所示，已知CD ＝AB ，若运用“SAS ”判定△ADC ≌△CBA ，从图中可以得到的条件是 ，需要补充的直接条件是 ．8．如图8所示，已知BF ⊥AC ，DE ⊥AC ，垂足分别为F ，E ，且BF ＝DE ，又AE ＝CF ，则AB 与CD 的位置关系是 ．9．如图所示，已知点B ，E ，C ，F 在同一条直线上，AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，AC ∥DF ．（1）求证△ABC ≌△DEF ；（2）求证BE ＝CF ．10．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ．CE ⊥BE ，CE 与AB 相交于点F ，AD ⊥CF 于点D ，且 AD 平分∠FAC ．请写出图中的两对全等三角形，并选择其中一对加以证明．二、选做题11．如图9所示，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ．E ，F 分别是CD ，AD 上的点，且CE ＝AF 如果∠AED ＝62°，那么∠DBF 等于 （ ） 12．如图10，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝60°，AC ＝2．按以下步骤作图：①以A 为圆心，以小于AC 长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点E ，D ；②分别以D ，E 为圆心，以大于12DE 长为半径画弧，两弧相交于点P ；③连接AP 交BC 于点F ．那么： （1）AB 的长等于 ；（2）∠CAF ＝ ．13．如图11所示，DA ⊥AB ，EA ⊥AC ，AB ＝AD ，AC ＝AE ，BE 和CD 相交于O ，AB 和CD 相交于P ，则∠DOE 的度数是 ．图9 图10 图1114．如图所示．在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AC 上一点，连接EB ，ED ． （1）求证△BEC ≌△DEC ；（2）延长BE 交AD 于F ，当∠BED ＝120°时，求∠EFD 的度数．15．（1）如图所示，在正方形ABCD 中，M 是BC 边（不含端点B ，C ）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN＝90°，求证AM ＝MN．下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．证明：在边AB上截取AE＝MC，连接ME．在正方形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°∴∠NMC＝180°－∠AMN－∠AMB＝180°－∠B－∠AMB＝∠MAB．下面请你完成余下的证明过程．（在同一三角形中，等边对等角）（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图所示），N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN＝60°时，结论AM＝MN是否还成立?请说明理由．（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD… X”，请你作出猜想：当∠AMN＝时，结论AM＝MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）。
苏科版九年级数学下册第六章《相似三角形的期末复习(二)》优质课课件
G
E
B
C
D
拓展. 如图：D为△ABC的底边BC的延
长线上一点，直线DF 交AC于E,且
∠FEA=∠AFE .求证：BD·CE=CD·BF
A
方法三：过点B作BG∥DF,
交DF的延长线于G
G
则△DCE∽ △DBG
故
DC DB
=
CE BG
再证BG=BF 即可
F E
B
C
D
1.通过本节课的学习，你有什么收 获？还有什么困惑吗？
“相似三角形”复习(二)
学科网
一生能有几个冲刺？……
1、判定两个三角形相似的常用方法
(1)两角对应相等,两三角形相似
(2)两边对应成比例且夹角相等,两三角 形相似 (3)三边对应成比例,两三角形相似 (4)平行于三角形一边的直线和其他两边（ 或两边的延长线）相交，所构成的三角形与 原三角形相似
(5)直角边和斜边对应成比例,两直角三角形相似
1、先看这些线段确定哪两个可能相似的三 角形；
2、再找这两个三角形相似所需要的条件；
3、如这两个三角形不相似，则采用其它办 法（如找中间比代换等）；
（注意：当无法用三角形相似来证明线段成 比例时，可试着用引平行线的方法。）
学科网
例1
已知：如图，在Rt⊿ABC中， ∠ BAC=90º，AD⊥BC于点D， 直线EF过点A，BE⊥EF于点E， CF⊥EF于点F.
AB CD EF
还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理 由；（2）请找出S△ABD，S△BED和S△BDC之间的关系式，并 给出证明。
A
A
E
C
E
C
B
F
DB
中考数学第一轮复习 第26课 圆的计算课件 苏科版
【例题解析】
例1.如图，在矩形ABCD中，AB=1， AD= 3 ，以BC的中点E为圆心的弧MPN 与AD相切，求图中阴影局部的面积？
第八页，编辑于星期五：十六点 十分。
2. 如图，Rt△ABC中∠C=90º, AC＝3, BC＝4,假 设以C为圆心，CA为半径的圆交AB于D，求AD 的长
第九页，编辑于星期五：十六点 十分。
例3.如图，在正方形铁皮上剪下一个圆形 和扇形，使之恰好围成一个圆锥模型，假 设正方形的边长为2，求小圆和扇形的半 径。
第十页，编辑于星期五：十六点 十分。
小结：
同学们，通过这节课的复习，你有 什么收获？
第十一页，编辑于星期五：十六点 十分。
宇宙之大，粒子之微， 火箭之速，化工之巧； 地球之变，生物之谜， 日用之繁，无处不用数学。
初三数学总复习 第26课时 圆的有关计算
第一页，编辑于星期五：十六点 十分。
【知识回忆】
1.一个扇形的圆心角为60º，半径为2，那么这
个扇形所对的弧长为 ，扇形的面积
为.
2．⊙O的弦AB所对的劣弧为圆的三分之一 ，
圆的半径为4cm那么AB= cm.
3. ΔABC中，∠A=30º，∠C=90º，BC=3，那
11.如图,
(1)假设点O是△ABC的外心, ∠A=70º,那么
∠BOC=
º.
(2)假设点O是△ABC的内心, ∠A=70º,那么
∠BOC= º.
12、母线为5cm的圆锥的全面积为14∏cm2,那么 这个圆锥的底面半径为 cm.
第六页，编辑于星期五：十六点 十分。
13．如图,庆祝祖国六十华诞，某单位排练的节 目需用到如以以下图的扇形布扇，布扇完全翻 开后，外侧两竹条AB、AC夹角为120°，AB 的长为30cm，贴布局部BD的长为20cm，那么 贴布局部的面积约为__________cm2。〔∏取 3〕
【中考复习】苏教版2023学年中考数学专题复习 三角形
三角形一．选择题（共10小题）1．如图, 已知BG是∠ABC的平分线, DE⊥AB于点E, DF⊥BC于点F, DE＝5, 则DF的长度是（）A．3B．4C．5D．62．下列图形中有稳定性的是（）A．平行四边形B．三角形C．长方形D．正方形3．如图, 在△ABC中, CD为边AB的中线, 若AB＝12, 则AD＝（）A．2B．3C．4D．64．在等腰三角形中, 有一个角是50°, 它的一条腰上的高与底边的夹角是（）A．25°B．25°或40°C．40°或30°D．50°5．已知等腰三角形的两边长分别为5和11, 则它的周长等于（）A．21B．21或27C．55D．276．如图, 已知AD＝AE, BE＝CD, ∠1＝∠2＝100°, ∠BAC＝80°, 则∠CAE的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．50°7．如图, 在△ABC中, ∠ACB＝90°, AC＝BC, 直线l过点C且与AB相交, AE⊥l, 垂足为点E, BD⊥l, 垂足为点D．若AE＝5, BD＝3, 则ED的长是（）A．1B．2C．3D．48．下列哪个图形具有稳定性（）A．B．C．D．9．根据下列已知条件, 能画出唯一的△ABC的是（）A．AB＝3, BC＝4, AC＝7B．AB＝4, BC＝3, ∠A＝30°C．∠A＝60°, ∠B＝45°, AC＝4D．∠A＝∠B, AB＝610．如图, 已知∠1＝∠2, 下列添加的条件不能使△ADC≌△CBA的是（）A．AB∥DC B．AB＝CD C．AD＝BC D．∠B＝∠D二．填空题（共5小题）11．如图, 点A、D、B、E在同一直线上, △ABC≌△DEF, AB＝5, BD＝3, 则AE＝．12．如图, 已知：BD是∠ABC的平分线, DE⊥BC于E, S△ABC＝30cm2, AB＝12cm, BC＝18cm, 则DE的长为cm．13．如图, 是有一个公共顶点O的两个全等正五边形, 若将它们的其中一边都放在直线a上, 则∠AOB的度数为°．14．在△ABC中, ∠B＝30°, ∠C＝90°, AC＝5cm, 则AB＝cm．15．如图, 等边△ABC的边长为8．P, Q分别是边AC, BC上的点, 连结AQ, BP交于点O, AP ＝CQ, 则∠AOB＝；若BQ＝5, 则AQ＝．三．解答题（共6小题）16．如图, 已知∠AOC＝∠BOC, 点P在OC上, PD⊥OA, PE⊥OB, 垂足分别为D, E．求证：OD＝OE．17．如图, △EFG的三个顶点E, G和F分别在平行线AB, CD上, FH平分∠EFG, 交线段EG于点H, 若∠AEF＝39°, ∠BEG＝52°, 求∠EHF的大小．18．如图, 在△ABC中, AD平分∠BAC, P为线段AD上的一点, PE⊥AD交直线BC于点E．若∠E＝25°, ∠ACB＝85°, 求∠B的度数．19．如图, 在四边形ABCD中, AC⊥BC, AB＝13, BC＝12, CD＝3, AD＝4．（1）求AC的长；（2）求四边形ABCD的面积．20．如图, AB＝AC, AC的垂直平分线交AB于D, 交AC于E．（1）若∠A＝50°, 求∠BCD的度数；（2）若AE＝7, △BCD的周长为23, 求△ABC的周长．21．已知：AO＝DO, EO＝FO, BE＝CF, AB＝CD．请证明：△AOB≌△DOC．2023年中考数学专题复习--三角形参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图, 已知BG是∠ABC的平分线, DE⊥AB于点E, DF⊥BC于点F, DE＝5, 则DF的长度是（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据角平分线的性质定理解答即可．【解答】解：∵BG是∠ABC的平分线, DE⊥AB, DF⊥BC,∴DF＝DE＝5,故选：C．【点评】本题考查的是角平分线的性质, 掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．2．下列图形中有稳定性的是（）A．平行四边形B．三角形C．长方形D．正方形【分析】根据三角形具有稳定性, 四边形不具有稳定性即可得出答案．【解答】解：三角形具有稳定性, 四边形不具有稳定性,故选：B．【点评】本题考查了三角形的稳定性, 掌握三角形具有稳定性是解题的关键．3．如图, 在△ABC中, CD为边AB的中线, 若AB＝12, 则AD＝（）A．2B．3C．4D．6【分析】根据三角形中线的概念解答即可．【解答】解：∵CD为边AB的中线,∴D为AB的中点,∴AD＝AB＝6．故选：D．【点评】本题考查了三角形中线的概念, 三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．4．在等腰三角形中, 有一个角是50°, 它的一条腰上的高与底边的夹角是（）A．25°B．25°或40°C．40°或30°D．50°【分析】根据题意先画出图形, 再分两种情况：50°为底角和50°为顶角求出答案．【解答】解：当50°为顶角时,∵∠A＝50°,∠B＝∠ACB＝65°,∴∠BCD＝25°；当50°为底角时,∵∠B＝∠ACB＝50°,∴∠BCD＝40°．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理, 是基础知识要熟练掌握．注意分类讨论思想的应用．5．已知等腰三角形的两边长分别为5和11, 则它的周长等于（）A．21B．21或27C．55D．27【分析】分两种情况：当等腰三角形的腰长为5, 底边长为11时, 当等腰三角形的腰长为11, 底边长为5时, 然后分别进行计算即可解答．【解答】解：分两种情况：当等腰三角形的腰长为5, 底边长为11时,∵5+5＝10＜11,∴不能组成三角形,当等腰三角形的腰长为11, 底边长为5时,则它的周长＝11+11+5＝27,综上所述：则它的周长等于27,故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质, 三角形的三边关系, 分两种情况进行计算是解题的关键．6．如图, 已知AD＝AE, BE＝CD, ∠1＝∠2＝100°, ∠BAC＝80°, 则∠CAE的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．50°【分析】先利用平角定义求出∠ADE＝80°, ∠AED＝80°, 从而利用三角形内角和定理求出∠DAE＝20°, 进而可得∠BAD+∠CAE＝60°, 然后利用等式的性质可得BD＝CE, 从而利用SAS证明△ADB≌△AEC, 最后利用全等三角形的性质可得∠BAD＝∠CAE＝30°, 即可解答．【解答】解：∵∠1＝∠2＝100°,∴∠ADE＝180°﹣∠1＝80°, ∠AED＝180°﹣∠2＝80°,∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝20°,∵∠BAC＝80°,∴∠BAD+∠CAE＝∠BAC﹣∠DAE＝60°,∵BE＝CD,∴BE﹣DE＝CD﹣DE,∴BD＝CE,在△ADB和△AEC中,,∴△ADB≌△AEC（SAS）,∴∠BAD＝∠CAE＝30°,故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质, 等腰三角形的性质, 熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．7．如图, 在△ABC中, ∠ACB＝90°, AC＝BC, 直线l过点C且与AB相交, AE⊥l, 垂足为点E, BD⊥l, 垂足为点D．若AE＝5, BD＝3, 则ED的长是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据垂直的定义及直角三角形的性质推出∠AEC＝∠CDB＝90°, ∠BCD＝∠CAE, 利用AAS证明△ACE≌△CBD, 根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°, AE⊥l, BD⊥l,∴∠ACE+∠BCD＝90°, ∠AEC＝∠CDB＝90°,∴∠ACE+∠CAE＝90°,∴∠BCD＝∠CAE,在△ACE和△CBD中,,∴△ACE≌△CBD（AAS）,∴AE＝CD＝5, CE＝BD＝3,∴DE＝CD﹣CE＝2,故选：B．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质, 利用AAS证明△ACE≌△CBD是解题的关键．8．下列哪个图形具有稳定性（）A．B．C．D．【分析】根据三角形具有稳定性判断即可．【解答】解：A、图形不具有稳定性, 本选项不符合题意；B、图形不具有稳定性, 本选项不符合题意；C、图形具有稳定性, 本选项符合题意；D、图形不具有稳定性, 本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是三角形的性质, 熟记三角形具有稳定性是解题的关键．9．根据下列已知条件, 能画出唯一的△ABC的是（）A．AB＝3, BC＝4, AC＝7B．AB＝4, BC＝3, ∠A＝30°C．∠A＝60°, ∠B＝45°, AC＝4D．∠A＝∠B, AB＝6【分析】根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系理逐个判断即可．【解答】解：A、3+4＜7, 不符合三角形的三边关系定理, 不能画出三角形, 故本选项不符合题意；B、AB＝4, BC＝3, ∠A＝30°, 不符合全等三角形的判定定理, 不能画出唯一的三角形,故本选项不符合题意；C、∠A＝60°, ∠B＝45°, AC＝4, 符合全等三角形的判定定理AAS, 能画出唯一的三角形, 故本选项符合题意；D、∠A＝∠B, AB＝6, 不符合全等三角形的判定定理, 不能画出唯一的三角形, 故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和三角形三边关系定理, 能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键, 注意：全等三角形的判定定理有SAS, ASA, AAS, SSS, 两直角三角形全等还有HL．10．如图, 已知∠1＝∠2, 下列添加的条件不能使△ADC≌△CBA的是（）A．AB∥DC B．AB＝CD C．AD＝BC D．∠B＝∠D【分析】由全等三角形的判定依次判断可求解．【解答】解：A、由AB∥CD, 可得∠DCA＝∠CAB, 且∠1＝∠2, AC＝AC, 能判定△ADC ≌△CBA（ASA）, 故选项A不符合题意；B、由AB＝CD, 且∠1＝∠2, AC＝AC, 不能判定△ADC≌△CBA, 故选项B符合题意；C、由AD＝BC, 且∠1＝∠2, AC＝AC, 能判定△ADC≌△CBA（SAS）, 故选项C不符合题意；D, 由∠B＝∠D, 且∠1＝∠2, AC＝AC, 能判定△ADC≌△CBA（AAS）, 故选项D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定, 熟练运用全等三角形的判定方法是本题的关键．二．填空题（共5小题）11．如图, 点A、D、B、E在同一直线上, △ABC≌△DEF, AB＝5, BD＝3, 则AE＝7．【分析】求出AD的长, 再根据全等三角形对应边相等可得DE＝AB, 然后根据AE＝AD+DE代入数据计算即可得解．【解答】解：∵AB＝5, BD＝3,∴AD＝AB﹣BD＝5﹣3＝2,∵△ABC≌△DEF,∴DE＝AB＝5,∴AE＝AD+DE＝2+5＝7．故答案为：7．【点评】本题考查了全等三角形的性质, 熟记性质并准确识图, 理清图中线段之间的关系是解题的关键．12．如图, 已知：BD是∠ABC的平分线, DE⊥BC于E, S△ABC＝30cm2, AB＝12cm, BC＝18cm, 则DE的长为2cm．【分析】过点D作DF⊥AB于F, 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF, 再根据S△ABC＝S△ABD+S△BCD列出方程求解即可．【解答】解：如图, 过点D作DF⊥AB于F,∵BD是∠ABC的平分线, DE⊥BC,∴DE＝DF,S△ABC＝S△ABD+S△BCD,＝AB•DF+BC•DE,＝×12•DE+×18•DE,＝15DE,∵S△ABC＝30cm2,∴15DE＝30,解得DE＝2cm．故答案为：2．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质, 三角形的面积, 熟记性质并作辅助线是解题的关键．13．如图, 是有一个公共顶点O的两个全等正五边形, 若将它们的其中一边都放在直线a上, 则∠AOB的度数为108°．【分析】根据正五边形的性质和图形全等的性质得到∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝108°, 再利用邻补角的定义计算出∠OCD＝∠ODC＝72°, 接着根据三角形内角和定理计算出∠COD＝36°, 然后利用周角的定义计算出∠AOB的度数．【解答】解：如图,∵两图形为全等的正五边形,∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝108°,∴∠OCD＝∠ODC＝180°﹣108°＝72°,∴∠COD＝180°﹣72°﹣72°＝36°,∴∠AOB＝360°﹣∠1﹣∠3﹣∠COD＝360°﹣108°﹣108°﹣36°＝108°．故答案为：108．【点评】本题考查了全等图形：掌握全等图形的定义和正五边形的性质是解决问题的关键．14．在△ABC中, ∠B＝30°, ∠C＝90°, AC＝5cm, 则AB＝10cm．【分析】利用含30度角的直角三角形的性质, 即可解决问题．【解答】解：∵∠ACB＝90°, ∠B＝30°, AC＝5cm,∴AB＝2AC＝10cm,故答案为：10．【点评】本题考查含30度角的直角三角形的性质, 解题的关键是熟练掌握基本知识, 属于中考常考题型．15．如图, 等边△ABC的边长为8．P, Q分别是边AC, BC上的点, 连结AQ, BP交于点O, AP ＝CQ, 则∠AOB＝120°；若BQ＝5, 则AQ＝7．【分析】由“SAS”可证△ABP≌△ACQ, 由全等三角形的性质可得∠ABP＝∠CAQ, 由外角的性质可求出∠AOB＝120°, 过点A作AD⊥BC于D, 求出AD和DQ的长, 由勾股定理可得出答案．【解答】解：∵△ABC是等边三角形,∴AB＝AC, ∠BAC＝∠C＝60°,在△ABP与△ACQ中,,∴△ABP≌△ACQ（SAS）,∴∠ABP＝∠CAQ,∴∠BOQ＝∠ABO+∠BAQ＝∠CAQ+∠BAQ＝∠BAC＝60°,∴∠AOB＝120°；过点A作AD⊥BC于D,∵BC＝8, △ABC是等边三角形,∴BD＝CD＝4, ∠ABD＝60°,∴AD＝＝＝4,∵BQ＝5,∴DQ＝1,∴AQ＝＝＝7,故答案为：120°, 7．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质, 等边三角形的性质, 直角三角形的性质, 证明三角形全等是解题的关键．三．解答题（共6小题）16．如图, 已知∠AOC＝∠BOC, 点P在OC上, PD⊥OA, PE⊥OB, 垂足分别为D, E．求证：OD＝OE．【分析】证明△POD≌△POE, 根据全等三角形的性质证明结论．【解答】证明：∵PD⊥OA, PE⊥OB,∴∠PDO＝∠PEO＝90°,在△POD和△POE中,,∴△POD≌△POE（AAS）,∴OD＝OE．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质, 掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．17．如图, △EFG的三个顶点E, G和F分别在平行线AB, CD上, FH平分∠EFG, 交线段EG于点H, 若∠AEF＝39°, ∠BEG＝52°, 求∠EHF的大小．【分析】利用∠AEF＝39°, ∠BEG＝52°, 可以求出∠FEG＝89°, 再利用FH平分∠EFG, 可以求出∠EFH的度数, 最后利用三角形的内角和即可求解．【解答】解：∵∠AEF＝39°, ∠BEG＝52°,∴∠FEG＝180°﹣∠AEF﹣∠BEG＝89°,∵AB∥CD,∴∠EFG＝∠AEF＝39°,∵FH平分∠EFG,∴∠EFH＝,在△EFH中,则∠EHF＝180°﹣∠EFH﹣∠FEG＝180°﹣19.5°﹣89°＝71.5°．答：∠EHF的度数为71.5°．【点评】本题主要考查三角形的内角和定理和角平分线的定义, 解题的关键是熟练掌握三角形的内角和是180°18．如图, 在△ABC中, AD平分∠BAC, P为线段AD上的一点, PE⊥AD交直线BC于点E．若∠E＝25°, ∠ACB＝85°, 求∠B的度数．【分析】先根据直角三角形的性质求出∠ADE的度数, 再根据三角形的内角和定理求得∠DAC的度数, 再根据角平分线的定义求得∠BAC的度数, 从而根据三角形的内角和定理即可得解．【解答】解：∵PE⊥AD,∴∠E+∠ADE＝90°,∵∠E＝25°,∴∠ADE＝90°﹣∠E＝65°,∵∠ACB＝85°,∴∠DAC＝180°﹣∠ADE﹣∠ACB＝30°,∵AD平分∠BAC,∴∠BAC＝2∠DAC＝60°,∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠BAC＝35°．【点评】此题主要考查了三角形内角和定理, 角平分线的定义, 解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．19．如图, 在四边形ABCD中, AC⊥BC, AB＝13, BC＝12, CD＝3, AD＝4．（1）求AC的长；（2）求四边形ABCD的面积．【分析】（1）根据垂直定义可得∠ACB＝90°, 然后在Rt△ABC中, 利用勾股定理进行计算即可解答；（2）先利用勾股定理的逆定理证明△ADC是直角三角形, 从而可得∠D＝90°, 然后根据四边形ABCD的面积＝△ADC的面积+△ABC的面积, 进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵AC⊥BC,∴∠ACB＝90°,∵AB＝17, BC＝8,∴AC＝＝＝5,∴AC的长为5；（2）∵AD2+CD2＝42+32＝25, AC2＝52＝25,∴AD2+CD2＝AC2,∴△ADC是直角三角形,∴∠D＝90°,∴四边形ABCD的面积＝△ADC的面积+△ABC的面积＝AD•CD+AC•BC＝×4×3+12×5＝6+30＝36,∴四边形ABCD的面积为36．【点评】本题考查了勾股定理, 勾股定理的逆定理, 熟练掌握勾股定理, 以及勾股定理的逆定理是解题的关键．20．如图, AB＝AC, AC的垂直平分线交AB于D, 交AC于E．（1）若∠A＝50°, 求∠BCD的度数；（2）若AE＝7, △BCD的周长为23, 求△ABC的周长．【分析】（1）先利用等腰三角形的性质, 以及三角形内角和定理可得∠B＝∠ACB＝65°, 再利用线段垂直平分线的性质可得AD＝CD, 从而可得∠ACD＝∠A＝50°, 然后利用角的和差关系进行计算即可解答；（2）利用线段垂直平分线的性质可得AD＝DC, AC＝2AE＝14, 再根据已知△BCD的周长为23, 可得BC+AB＝23, 然后利用三角形的周长公式进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵AB＝AC, ∠A＝50°,∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝65°,∵DE垂直平分线AC,∴AD＝CD,∴∠ACD＝∠A＝50°,∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝65°﹣50°＝15°,∴∠BCD的度数为15°；（2）∵DE垂直平分线AC, AE＝7,∴AD＝DC, AC＝2AE＝14,∵△BCD的周长为23,∴BC+CD+DB＝23,∴BC+AD+BD＝23,∴BC+AB＝23,∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝14+23＝37,∴△ABC的周长为37．【点评】本题考查了等腰三角形的性质, 线段垂直平分线的性质, 熟练掌握等腰三角形的性质, 以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．21．已知：AO＝DO, EO＝FO, BE＝CF, AB＝CD．请证明：△AOB≌△DOC．【分析】先证明BO＝CO, 然后根据“SAS”可判断：△AOB≌△DOC．【解答】证明：∵EO＝FO, BE＝CF,∴EO+BE＝FO+CF,即BO＝CO,在△AOB和△DOC中,,∴△AOB≌△DOC（SAS）．【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法, 取决于题目中的已知条件．。
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第26课时：三角形（二）
【知识梳理】
1．全等三角形: 、的三角形叫全等三角形.
2. 三角形全等的判定方法有: 、、、 .直角三角形全等的判定除以上的方法还有 .
3. 全等三角形的性质：全等三角形， .
4. 全等三角形的面积、周长、对应高、、相等.
【课前预习】
1、如图，四边形ABCD是平行四边形，E是CD延长线上的任意一点，连接BE交AD于点O，如果△ABO≌△DEO，则需要添加的条件是（图中不能添加任何点或线）
2、如图，已知∠1=∠2=90°，AD=AE，那么图中有对全等三角形．
3、如图，AC是正方形ABCD的对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC交AC于点F.图中与线段BE相等的多有线段是 .
4、如图所示．△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，且DE＝2㎝，
AB＝9㎝，BC＝6㎝，则△ABC的面积为 .
5、如图所示．P是∠AOB的平分线上的一点，PC⊥AO于 C，PD⊥OB于D，
写出图中一组相等的线段．
【解题指导】
例1 如图11-113所示，BD，CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB．
（1）求证AP＝AQ；
（2）求证AP⊥AQ．
例2 如图所示，已知四边形纸片ABCD中，AD∥BC，将∠ABC，∠DAB 分别对折，如果两条折痕恰好相交于DC上一点E，点C，D都落在AB边上的F处，你能获得哪些结论?
B
例3 如图所示，在△ABD 和△ACE 中，有下列四个论断：①AB ＝AC ；②
AD ＝AE ； ③∠B ＝∠C ；④BD ＝CE ．请以其中三个论断作为条件．余
下一个作为结论，写出一个正确的数学命题（用序号⊗⊗⊗⇒⊗的形
式写出）： ．
例4 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由
它抽象出的几何图形，B 、C 、E 在同一条直线上，连结DC ．
（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
（2）证明：DC BE ⊥．
【巩固练习】
1、如图，在边长为4的等边三角形ABC 中，AD 是BC 边上的高，点E 、F 是AD 上的
两点，则图中阴影部分的面积是 .
2、如图，点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，点A 、D 在直线BE 的两侧，AB∥DE，BF=CE ，
请添加一个适当的条件 ，使得AC=DF ．
3、已知△AB C 中，AB=BC≠AC，作与△ABC 只有一条公共边，且与△ABC 全等的三角形，这样的三角形一共能作出 个.
4、如图，四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE= .
5、已知：如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，BC=DC ，CF 平分∠BCD，DF∥AB，BF 的延长线交DC 于点E ． 求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE
图1 图2
第1题图 第2题图 第4题图
【课后作业】 班级 姓名
一、必做题:
1．如图1所示，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，∠A ＝80°∠ACB ＝60°，那么∠BDC 等于 °
图1 图2 图3 图4
2．如图2所示，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C ，AE ＝AF ，则下列结论：①EM ＝FN ；②CD ＝DN ；③∠FAN ＝∠EAM ；④△CAN ≌△BAM ．其中正确的有 .
3．已知如图3所示的两个三角形全等，则∠a 的度数是 °
4．如图4所示,在等腰梯形ABCD 中,AB ＝DC,AC ，B D 交于点O ，则图中全等三角形共有 对.
5．如图5所示，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，且AD ＝3，则 点D 到B C 的距离是 .
图5 图6 图7 图8
6．如图6所示，尺规作图作∠AOB 的平分线的方法如下：以O 为 圆心，任意长为半径画弧交OA ，OB 于C ，D ，再分别以点C ，D 为圆心，以大于12
CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ．连接CP ，DP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是 .
7．如图7所示，已知CD ＝AB ，若运用“SAS ”判定△ADC ≌△CBA ，从图中可以得到的条件是 ，需要补充的直接条件是 ．
8．如图8所示，已知BF ⊥AC ，DE ⊥AC ，垂足分别为F ，E ，且BF ＝DE ，又AE ＝CF ，则AB 与CD 的位置关系是 ．
9．如图所示，已知点B ，E ，C ，F 在同一条直线上，A B ＝DE ，
∠A ＝∠D ，AC ∥DF ．
（1）求证△ABC ≌△DEF ；（2）求证BE ＝CF ．
10．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ．CE ⊥BE ，CE
与AB 相交于点F ，AD ⊥CF 于点D ，且 AD 平分∠FAC ．请写出图中的
两对全等三角形，并选择其中一对加以证明．
二、选做题
11．如图9所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D．E，F分别是CD，AD上的点，且CE＝AF如果∠AED＝62°，那么∠DBF等于（）
12．如图10，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC ＝2．按以下步骤作图：
①以A为圆心，以小于AC长为半径画弧，分别交AC，AB于点E，D；②分别以D，E为圆心，以
大于1
2
DE长为半径画弧，两弧相交于点P；③连接AP交BC于点F．那么：
（1）AB的长等于；（2）∠CAF＝．
13．如图11所示，DA⊥AB，EA⊥AC，AB＝AD，AC＝AE，BE和CD相交于O，AB和CD相交于P，则∠DOE的度数是．
图9 图10 图11
14．如图所示．在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB，ED．
（1）求证△BEC≌△DEC；
（2）延长BE交AD 于F，当∠BED＝120°时，求∠EFD的度数．
15．（1）如图所示，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B，C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN＝90°，求证AM＝MN．
下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外
的方法证明．
证明：在边AB上截取AE＝MC，连接ME．在正方形ABCD中，∠B＝∠
BCD＝90°∴∠NMC＝180°－∠AMN－∠AMB＝180°－∠B－∠AMB＝
∠MAB．下面请你完成余下的证明过程．（在同一三角形中，等边对等角）
（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图所示），N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN＝60°时，结论AM＝MN是否还成立?请说明理由．
（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD… X”，请你作
出猜想：当∠AMN＝时，结论AM＝MN仍然成立．（直接写出答案，
不需要证明）。