数形结合思想在解题中的应用2
数形结合思想在初中数学解题中的应用
数形结合思想在初中数学解题中的应用数形结合思想是指在解决数学问题时，通过将数学概念与几何图形相互结合，相互转化和应用的思考方法。
在初中数学的教学中，数形结合思想被广泛地应用。
本文将从初中数学的各个章节对其应用进行探讨。
1. 直线与圆在初中数学的直线与圆章节中，学生需要掌握直线与圆之间的基本关系，如切线、割线等，并学习如何运用这些关系解决问题。
数形结合思想在这一章节的应用体现在，通过将直线与圆相互结合，将抽象的数学概念转化为具体的几何图形，从而帮助学生更好地理解题意和解决问题。
例如，解决“过圆O外一点P作切线，过点P作另一条直线割圆于A、B两点，连接OP 并延长交圆于C点，求证：∠OAC=∠OBC”的问题时，我们可以通过画图，在圆上标出切线和割线，将几何图形与数学概念相互联系来解决问题。
2. 三角函数在初中数学的三角函数章节中，学生需要学习正弦、余弦、正切等三角函数的基本概念和运用。
例如，在解决“证明：sin2A+cos2A=1”的问题时，我们可以画出一个以A为顶点的直角三角形，将正弦、余弦与三角形的边相互对应，从而帮助学生理解三角函数的定义和性质。
3. 平面向量例如，在解决“ABCD为平行四边形，设向量AB=a，向量AD=b，求向量AC的坐标表示”的问题时，我们可以画出平行四边形ABCD的几何图形，并通过图形将向量的定义和运算法则转化为数学表示式。
4. 二次函数例如，在解决“已知二次函数y=x²+px+q的图像过点(1，3)，且在x轴上的零点为-2和3，求p、q”的问题时，我们可以通过画出二次函数的图像，并通过图像求出零点和顶点，进而求出p、q的值。
结语数形结合思想在初中数学的教学中具有重要的应用价值，可以帮助学生更好地理解数学知识，提高解题能力和思维能力。
教师在教学中应该注重将数学概念与几何图形相互联系，设计具体、形象的教学案例，引导学生积极思考、用图解题，从而达到提高教学质量和学生学习水平的目的。
数形结合在解题中的应用(毕业论文)
数形结合在解题中的应用摘要：数形结合思想是一种非常重要的数学解题方法，是数学学习普遍适用的方法，把知识的学习、能力的提升和智力的发展有效结合.形与数常常结合在一起，在内容上相互联系，在方法上互相渗透，在一定条件下互相转化.本文在概述数形结合思想的基础上，分析了数形结合在中学数学解题中的应用，主要体现在处理集合问题、方程根的存在性问题、不等式问题、三角函数问题、求极值问题、线性规划问题和复数问题等，并针对解决不同类型的数学题目给出了详细的例题分析，最终给出了在培养学生利用数形结合思想时需注意的问题，以激发学生的学习兴趣，提高学生的解题能力和思维能力.关键词：数形结合；集合；方程；极值The combination of number and shape in the problem solving application（Mathematics and statistics of Jishou University College，Jishou Hunan 416000）Abstract: The number shape union thinking is a very important mathematical method of solving problems, is a generally applicable method of mathematics learning, to enhance the development of effective combination of intelligence and knowledge learning, ability. Form and number often together, communicate with each other in the content, permeate each other in method, transform each other under certain conditions. In this paper, based on the number and shape of thought, analysis the number shape union application in middle school mathematics, mainly set problem, in dealing with the existence of root of an equation,inequality, triangle function extremum problems, problems, linear programming problems and complex problems, and to solve different types of mathematics the title gives a detailed analysis of the example, the need to pay attention to combine ideas in training students to use number shape when the problem is given, to stimulate students' interest in learning, improve student's problem solving ability and thinking ability.Key words: The combination of number and shape,set, equation, extreme1引言我们学习数学，不仅仅是数的计算和形的研究，还有着数学思想和数学方法.好的数学思想能够引导学生使用正确的数学方法，从而准确、快速地解决数学问题，增强学生学习数学的兴趣.数形结合既是一种思想，也是一种方法.它的本质就是抽象思维与形象思维的结合，以“形”助“数”，或以“数”助“形”，使复杂问题简单化，使抽象问题直观化.所以，本文在概况数形结合思想方法的基础上，详细分析了数形结合在中学数学解题中的应用，并主要从下面几个方面进行了讨论：集合问题、方程根的存在性问题、不等式问题、三角函数问题、求极值问题、线性规划问题和复数问题等，而且还给出了各种类型对应的实际例题及其详细的求解过程.2数形结合思想方法概述主要概述数形结合的思想方法，并在此的基础上介绍数形结合思想的价值，为后面的内容“数形结合在中学数学解题中的应用”做铺垫.2.1 数形结合的思想方法中学数学研究的对象是现实世界的数量关系（数）和空间形式（形），数是数量关系的体现，而形则是空间形式的体现.数形结合思想就是通过“数”与”形”相结合来解决题目，在中学解题中有着广泛的应用，通过这个方法，我们常常能很容易的解决问题.2.2 数形结合思想的价值数形结合这种思维方法的运用，有助于我们解决中学许多数学问题，同时加深我们对数学问题本质的认识，使数学更具有创造性.数形结合在中学数学解题的整个过程中发挥着重要的作用.它有下面这些优点：第一，在解决相关的题目时，数形结合方法在思路上比较灵活，过程上很简便，方法上多样化；第二，数形结合思想方法为我们提供了很多种解决问题的道路，使我们解决问题更加灵活，也具有创造性；第三，数形结合丰富的思想内涵，能是引起大家的联想，启迪同学们的思维，拓宽解题的思路；第四，数形结合思想能提高学生数形转化能力，提高学生迁移思维的能力.3数形结合在中学数学解题中的应用接来下我主要讲述数形结合在解决集合、不等式、方程、三角函数、极值、线性规划和复数问题中的应用，并且给出了例题及详细解答过程，说明了数形结合在中学数学解题中应用非常广泛，是一种重要的解题方法.3.1 利用数形结合解决集合问题在中学数学中，集合问题是一类比较简单的题目，我们常常可以借助韦恩图或者数轴来解决这些问题，它的关键是怎么样准确将集合问题转化为图形.3.1．1利用韦恩图解决集合题目例1 有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数理化小组的人数分别为28，25，15，同时参加数理小组的8人，同时参加数化小组的6人，同时参加理化小组的7人，问同时参加数理化小组的有多少人？分析我们可用圆、、分别表示参加数理化小组的人数（如图1），则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数.解用表示集合的元素，则有：即:所以：答：即同时参加数理化小组的有1人.图1例2 例若集合且,,试求与.分析利用韦恩图把元素放入相应位置，从而写出所求集合.解如图2，我们可得：.图23.1.2 利用数轴来解决集合问题例3 已知，.（1）若,求的取值范围；（2）若,求的取值范围.分析在数轴上标出集合、所含的元素的范围，利用、的位置关系确定参数的取值范围.解（1），利用数轴得到满足的不等式组，如图三，所以实数的取值范围是.图3（2）由知，利用数轴得到满足的不等式，，或，所以实数的取值范围是.图4从上面三个实际的例题可以看出，合理、灵活、巧妙地运用数形结合来解题，可以将复杂问题简单化，化难为易，有事半功倍之效.所以，平时应该注意培养数形结合思想.3.2利用数形结合解决方程问题数形集合思想在方程的题目中经常用到，尤其是含有一次式、二次式、对数式和指数式方程，下面就是几种常见的题型中用到了数形结合.3.2.1 数形结合在含有一次、二次式的方程中的应用下面两个例题将把方程进行变换再求解，再根据相对应图形的性质来解答，这样可以加深我们对基本概念的理解，加强对基本知识与基本技能的灵活运用.例4[5] 当时，关于的方程的解的个数是多少？图5函数图像分析这道题原方程中包含有绝对值运算符号，我们直接求解比较困难，所以，我们能想到求方程解的个数等价于就其相对应函数图形的交点.解由于则令和如图5示我们把函数和的图像画出来其交点个数就是我们方程所以求得的解的个数即原方程解的个数是三个例5 当取何值时，方程有唯一解？有两解？无解？分析用换元法，令，再转化为求解二次函数与一次函数的交点的个数问题.O图6解原方程即令.则有,再令及.则方程解的个数等于直线与抛物线的交点的个数由图6可知当或时，原方程有唯一解；当时，原方程有两个不同的实数解；当或时，原方程无解.3.2.2数形结合在含对数、指数的方程的应用由于对数式、指数式形式比较特殊，所以在解决一些含对数、指数方程时，我们时常可以根据它们性质画图来解.例6.. 1个. 2个. 3个. 1个或2个或3个解出两个函数图象，由图7易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根,选（）.图7例7 方程lgx+x=3的解所在区间为（）．(0，1)．(1，2)．(2，3)．(3，+∞)分析我们可以把原方程拆分成函数与，求原方程解所在的区间也就是求这2个函数的交点所在区间.y=-x+3y=lgx图8解如图8所示，函数y=lgx与y=-x+3它们图像交点的横坐标显然在区间(1，3)内，由此可排除，至于选还是选，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了．实际上这是要比较与2的大小．当x=2时 lgx=lg2 3-x=1．由于lg2＜1因此＞2 从而判定∈(2，3)，故本题应选在上面四个例题中，我们可以知道利用数和形的各自优势，往往能使我们尽快地找到解题途径或简化解题过程，给解题带来极大的方便.3.3 数形结合在求不等式问题中的应用不等式在中学数学有着重要地位，而不等式的证明又是个难题，它的题型广泛、灵活.下面我将从运用代数式的几何意义或借助函数的图象构造几何图形入手，利用数形结合的思想来巧妙地求解不等式问题.3.3．1 构造适当的平面图形，利用三角形三边的关系来证明不等式我将举常见的两个证明题，并且给出详细解答步骤，来说明不等式和数形结合思想的巧妙结合.例8 已知实数，请证明如下不等式成立.分析：我们可以构造一个四边形，在利用勾股定理来解.证明：如图9所示，作以,为上、下底，为高的直角梯形，在图中有.图9 直角梯形BCDE则根据勾股定理有又因为，则有如下不等式的成立对上述不等式的两边平方可得到即原不等式成立得到证明.例9 已知都是正数，且，求证：.分析要从不等式的结构上观察，可以联想到三角形相似比的问题，因此我们可以构造图形来进行证明.证明如右图10所示，构造一个直角三角形，在边上取一点，并且使得，过点作，垂足为令.由于即图103.3.2 构造适当的函数，利用函数图象性质证明不等式。
浅析数形结合在高考解题中的应用
与“ ” 映 了事 物两个 方 面 的属 性． 数 学发 展 过 形 反 在 程中， 数与形 常 常结 合 在 一起 ， 内容 上 互 相 联 系 ， 方 法上互 相渗 透 ， 在一定 的条 件下 互相转 化． 谓 数 并 所 形 结合 ， 就是 根据 数与形 之 间的对应 关 系 ， 过数 与 通 形 的相互 转 化 来 解决 数 学 问题 的 一 种 重 要 思 想 方
一
共 时，＝ 与周期函 恰有５ 点 Ｙ詈 数 个交点， 程有 即方
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口 的 图象是过 点 （ ， ） 率 为 ｌ与 一１的 轴 上 ｌ Ⅱ０ 斜
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５ 数形结合在线性规划 中的应用
例５ 已知实数 ， 满足｛１ 一 则 目标 函 Ｙ ｙ ， ￣ ＜ ｒ＞ ｘｘ ２２
，
【 ≤３．
数形结合思想在解题中的应用
数形结合思想在解题中的应用2012年秋季学期，广西将进入高中新课程改革，新课程理念逐渐深入人心；学习新理念，转变旧观念正成为高中教师重要的课题.数学课程改革的重心是发展学生的广泛的数学能力，注重数学思想、方法的教学渗透,培养学生形成良好的数学素质.数形结合是高中数学中重要的思想方法，通过数形结合可沟通数与形的内在联系，把代数语言的精确刻画与几何图形的直观描述有机地结合起来，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能使高中数学中许多复杂问题迎刃而解，收到事半功倍的效果.【例1】解不等式x+2＞x.解法一：原不等式可化为x≥0x+2≥0x+2≥x2或x＜0x+2≥0，解得0≤x＜2或-2≤x＜0，∴原不等式的解集为{x|-2≤x＜2}.解法二：设y1=x+2,y2=x,在同一坐标系中作出这两个函数的图象（如图1），则不等式x+2＞x的解就是y1=x+2的图象在y2=x的上方的那一段对应的横坐标，即不等式的解集为{x|xa≤x＜xb}，其中xa=-2，解方程x+2=x得xb=2.∴原不等式的解集为{x|-2≤x＜2}.评析：比较上述两种解法，可以看到用图形直观地反映数量关系，解决问题简洁明了.【例2】设f(x)=x2-2ax+2-a，当x∈［-1,+∞］时，f(x)＞a恒成立，求实数a的取值范围.解法一：f(x)＞a在x∈［-1,+∞)上恒成立等价于x2-2ax+2-a ＞0在x∈［-1,+∞)上恒成立.设函数g(x)=x2-2ax+2-a，其图象在x∈［-1,+∞)时位于x轴上方有两种情况（如图2、图3所示）.(1)δ=4a2-4(2-a)＜0,解得-2＜a＜1；(2)δ=4a2-(2-a）≥0a＜-1g(-1)=a+3＞0，解得-3＜a≤-2.故实数a的取值范围是(-3,1).解法二：由f(x)＞a得x2+2＞a(2x+1)，设h(x)=x2+2，t(x)=a(2x+1),在同一坐标系中这两个函数的图象如图4所示，直线l1与抛物线相切，的对应值为1，直线l2经过点(- 12,0) 和点（-1，3），a的对应值为-3，符合题意的直线t(x)=a(2x+1)恒过点(-12,0)且位于l1与l2之间，故实数a的取值范围是(-3,1).图5【例3】已知：椭圆x29+y24=1 与抛物线y=x2+m有四个不同的交点，求实数m的取值范围.错解：在同一坐标系中作出椭圆和抛物线的图象（如图5），根据图象可得：m＜-2-m＜3，解得-9＜m＜-2.评析：图形的直观性给解决问题提供了很大的帮助，但离开了严格的数学推理，往往受图形直观错觉的影响得出错误的结论.图6正解：联立椭圆和抛物线的方程，得x29+y24 =1y=x2+m ，消去y,整理得9x4+(18m+4)x2+9m2-36=0，令t=x2,得9t2+(18m+4)t+9m2-36=0.设f(t)=9t2+(18m+4)t+9m2-36，根据题意知方程f(t)=0在(0,+∞)上有两个不相等的实数根（如图6），即得δ=(18m+4)2-36(9m2-36)＞0，-18m+418 ＞0，f(0)=9m2-36＞0解得-829＜m＜-2 .评析：这是一个关于图形交点的问题，求解过程却是从分析方程的根的情况入手，而在讨论方程f(t)=0在(0,+∞)上有两个不相等的实数根时，又需要利用二次函数的图象特征，这样数和形的密切结合、相互补充，使问题得到了圆满的解决.(责任编辑黄春香）。
数形结合思想在解题中的应用
数形结合思想在解题中的应用摘要：数形结合的解题思路在高中数学教学过程中占据着非常重要的地位，即使在高考时，数形结合思想的运用也是非常普遍的。
在利用数形结合思想来解决数学问题的过程中，必须认识到这一解题思想的灵魂，就是对数学知识有最基本的认知和掌握，只有熟练地运用各种数学知识、概念、公式，才有可能更好地应用数形结合的思想解决数学问题。
关键词：数形结合；高考解题；抽象概念；数学公式一、绪言新课标的背景之下，数形结合的解题思路运用非常广泛，这主要是由于这种解题方法可以将一些非常抽象的数学问题用一种生动直观的方式呈现，变抽象为形象，辅助高中生非常直观地把握数学问题的本质。
这种解题方法不仅可以调动学生学习数学的积极性，提高他们的思维能力，而且还可以使复杂的解题过程变得更为简单，减少解题过程中不必要的运算量，避免不必要的运算失误。
二、数形结合的概念以及解决问题的对象数形结合，简单地说，就是通过对数学问题的内在层次与结构进行分析，理清各个条件与结论之间的内在联系，不仅分析它的代数含义，还能指出它的几何意义，将数学问题的各种关系以及空间形式有效地结合起来，并充分地利用这种结合，找出解决问题的思路和方向，从而使问题得到顺利解决。
它的本质在于将抽象的数学语言和直观形象的图形有效地结合起来，特别是一些代数问题和形象的图表结合起来，将代数问题几何化，将抽象问题形象化。
数形结合思想在高中数学解题中的应用非常广泛，譬如说在处理函数问题的过程当中，建立有效的函数模型，结合函数的图像，求出参数的取值范围，当然也可以在这个过程之中分析方程根的有效范围，以及各量与量之间的有效关系。
除了函数问题之外，数形结合思想还可以将代数问题有效的几何化，建立几何模型，分析问题的本质，从而解决问题。
当然，也可以分析出几何问题中的斜率、截距，研究出最大最小值；最后，数形结合的思维方式还可以有效地研究图形的形状以及位置关系等，分析出图形之间的内在联系，并求出答案。
49.数形结合思想在解题中的应用(王景超)
解析： 已 知 可 联 想 到 长 方 体 的 对 角 线 与 过 同 一 由
点的三条棱所成的角 的关 系． ， ， ａ （ ７可 以看做是长方 ３
体 的一 条对 角 线 与 过 这 条 对 角 线 一 端 的 三 条 棱 所 成 的 角 ． 样 通 过 构 造 长 方 体 模 型 ， 使 问题 迎 刃 而解 ． 这 可 构 造 如 图 ５所 示 的 长 方 体 ＡＢＣ － Ｂ， ， Ｄ Ａ， ， Ｃ Ｄ，
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中 举 生 数 理 化
解 析 ： Ｆ（ ） （ ）． （ ） 由 已知 得 Ｆ（ ） 征 ： 设 二 －ｆ 二 ｇ 二 ， 二特 ０ 二 是 奇 函 数 ； １Ｆ（ ） ② 当 二 时 ， ｘ ＞０所 以 二 时 ， （ ） ＜０ 尸＜ ） ， ＜。 Ｆ 二 为增 函数 ； ③ （ ） ｆ 一３ ｇ 一３ 二０ Ｆ 一３ ＝ （ ）・ （ ） 二Ｆ（ ） ３． 根 据 ＦＣ ） ｘ 的性 质 大 致 画 出 Ｆ（ ） 图 象 ， 图 ４ 观 察 二 的 如 ． 一３Ｕ ３ 故选 Ｄ （ ） ０ ・ 知 不 等 式 Ｆ（ ） Ｏ的 解 集 是 （ ｘＧ 一二 ， ） ， ，
数形结合思想在中学数学中的解题应用
数形结合思想在中学数学中的解题应用数与形是数学的两大支柱，它们是对立的，也是统一的。
数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观。
教师要尽量发掘数与形的本质联系，促使学生善于运用数形结合的思想方法去分析问题、解决问题，从而提高学生的数学能力。
下面结合具体实例谈谈数形结合思想在解题中的应用：1.函数中的数形结合思想例1：已知：点（-1，y1）（-3，y2）（2，y3）在y=3x2+6x+2的图象上，则： y1、y2、y3 的大小关系为（）a.y1>y2>y3b.y2>y1>y3c.y2> >y1d.y3>y2>y1分析：由y=3x2+6x+2=3（x+1）2-1画出图象1，由图象可以看出：抛物线的对称轴为直线x=-1即：x=-1时，y有最小值，故排除a、b，由图象可以看出：x=2时y3的值，比x=-3时y2的值大，故选c.例2：二次函数 y=ax2+bx+c的图象的顶点在第三象限，且不经过第四象限，则此抛物线开口向，c的取值范围，b的取值范围，b2-4ac的取值范围。
解：由题意画出图象，如图：从而判断：a>0，c≥0∴对称轴：x=- 0图象与x轴有两个交点：∴△>0即b2-4ac>0例3：如图3，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点c （0，），与x轴交于两点a（x1，0）、b（x2，0）（x2>x1），且x1+x2=4，x1x2=-5.求（1）a、b两点的坐标；（2）求二次函数的解析式和顶点p的坐标；（3）若一次函数y=kx+m的图象的顶点p，把△pab分成两个部分，其中一部分的面积不大于△pab面积的，求m的取值范围。
解：（1）∵x1+x2=4x1·x2=-5且x1<x2∴x1=5，x2=-1.∴a、b两点的坐标是a（5，0），b（-1，0）（2）由a（5，0），b（-1，0），c（0，），求得y=- （x-2）2+3.∴顶点p的坐标为（2，3）；（3）由图象可知，当直线过点p（2，3）且过点m（1，0）或n （3，0）时，就把△pab分成两部分，其中一个三角形的面积是△pab的面积的 .①过n（3，0），p（2，3）的一次函数解析式为y=-3x+9；过点a（5，0），p（2，3）的一次函数解析式为y=-x+5.又一次函数y=kx+m，当x=0时，y=m，此一次函数图象与y轴的交点的纵坐标为m，观察图形变化，可得m的取值范围是5<m≤9.②过b（-1，0），p（2，3）的一次函数解析式为y=x+1；过点m （1，0），p（2，3）一次函数解析式为y=3x-3，观察图形变化，得m的取值范围是-3≤m<1.∴m的取值范围是-3≤m<1或5<m≤9.2.求最值问题：例.已知正实数x，求y= + 的最小值.分析：可以把 + 整理为 + ，即看作是坐标系中一动点（x，0）到两点（0，2）和（2，1）的距离之和，于是本问题转化为求最短距离问题.解：y= + ，令p=（x，0）、a（0，2）和b（2，1），则y=pa+pb.作b点关于x轴的对称点b’（2，-1），则y的最小值为ab’= = .3.利用方程解决几何问题例：本市新建的滴水湖是圆形人工湖.为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取a、b、c三根木柱，使得a、b之间的距离与a、c之间的距离相等，并测得bc长为240米，a到bc的距离为5米，如图1所示.请你帮他们求出滴水湖的半径.[解析]如图2，设圆心为点o，连结ob、oa，oa交线段bc于点d.因为ab=ac，所以ab= bc，∴oa⊥bc，且bd=dc= bc=120.由题意，知da=5.设ob=x米.在rt△bdo中，因为ob2=od2+bd2，所以x2=（x-5）2+120.得x=1442.5 .所以，滴水湖的半径为1442.5米.数形结合思想在对于培养和发展学生的空间观念和数感方面有很大的启发作用，利用数形结合思想进行解题可以使的有些复杂问题简单化，抽象问题具体化。
例谈数形结合思想在解题中的应用
中 的应 用
程组｛ Ｌ 戈 ： 十 ： Ｖ 一 — ３ ｊ ： ＝ ０ Ｕ 得
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曰
根据 函数的图像 ，讨论方程 的解 的个数是一种 重要 的思想方法 ，基本 思想是把方程两边 的代数式 看作是两个熟悉函数的表达式 ，然后在 同一坐标系 中作 出两个 函数的图像 ，图像 的交点个数 即为解 的 个数 。 例１（ ２ ０ １ ２ 辽 宁卷 ） 设 函数厂 （ ） （ Ｒ） 满 足 ） ＝ 厂 【 ） ， ） ＝ ２ ） ， 且 当 ∈［ ０ ， １ ］ 时， ） ， 又 函数 （ ） ＝ ｌ ｃ ｏ ｓ （ ） Ｉ ， 则 函数ｈ （ ） （ ） － ｆ （ ） 在
实数ｃ 的取 值范围 是（ 一 ， 一 ２ ］ ｕ ｆ 一 １ ， 一 ÷１ 。 故选Ｂ 。
运用 数形结 合 的思想解 决一些 抽象 的数 学 问 题， 可起到事半功倍的效果 。 一方面借助“ 形” 的生动 ｆ ｘ ＋ ｙ 一 ３≤０ 性和 直观性来 阐述 “ 数” 的联系 ， 另一 方面 ， 也借助 点（ ， ＇ ， ） 满足约束条件｛ 【 一 ２ 一 ３ ≤０ ， 则实数ｍ 的最大 “ 数” 的精确性 ， 规范性及 严密性来 阐明“ 形” 的某些 ≥ 属性。重点是研究 “ 以形助数 ” ， 在学习中要争取“ 胸 值为 （ ） 有成图” ， “ 见数想图” ， “ 依图判性” ， 以开拓 自己解题
ｒ １ １
１ ， 所 以ｍ≤Ｉ ， 故
／
－ ｙ 一 ３ ＝ ０
选Ｂ 。
一 ２ ｒ － ３ ＝ ０ 戈 ：
三、 数 形 结 合 思 想 在 求 参 数 取 值 范 围 中 的 应 用
例３ （ ２ ０ １ １ 天 津卷 ） 对 实 数ｎ 和ｂ ， 定 义 运 算
浅析数形结合思想在小学数学教学中的应用
浅析数形结合思想在小学数学教学中的应用1. 引言1.1 概述数形结合思想是指在数学教学中，将抽象的数学概念与具体的形象结合起来，通过观察、比较、绘制图形等方式来帮助学生更加直观地理解和掌握数学知识。
数形结合思想在小学数学教学中有着重要的作用，可以帮助学生从形象思维逐步转向符号思维，提高他们的数学学习兴趣和学习效果。
本文将对数形结合思想在小学数学教学中的应用进行分析和探讨，旨在为教师在教学实践中更好地运用这一思想提供参考和借鉴。
已介绍完毕，下面将继续探讨。
1.2 研究背景随着教育教学理念的不断更新和发展，人们越来越重视数学教学中数形结合思想的应用。
数形结合思想指的是将数学的抽象概念与几何图形相结合，通过具体形象的展示和实践操作，帮助学生更好地理解和掌握数学知识。
这一思想的提出源于对传统数学教学方法的反思和挑战，认为仅仅停留在抽象符号和公式的层面，不能真正激发学生的学习兴趣和培养他们的数学思维能力。
在过去的数学教学中，往往以填鸭式的教学方式为主，学生被passively 接受知识，缺乏主动探究和实践的机会。
而数形结合思想的提出，意味着教师需要更多地关注学生的个体差异和学习方式，通过多样化的教学手段和资源，激发学生的学习兴趣和潜能。
研究数形结合思想在小学数学教学中的应用，具有重要的理论和实践意义。
通过深入探讨这一教学理念的内涵和具体实践案例，可以为小学数学教学提供更加有效和具体的教学方法，促进学生数学思维能力和创新意识的培养。
1.3 研究意义数形结合思想在小学数学教学中的应用，具有重要的研究意义。
数形结合思想可以帮助学生更加深入地理解数学概念，将抽象的数学知识与具体的图形形象结合起来，使学生易于理解和记忆。
数形结合思想可以激发学生的兴趣，提高他们学习数学的积极性和主动性，培养他们的逻辑思维能力和创造性思维能力。
数形结合思想还可以帮助学生培养观察和分析问题的能力，提高他们解决实际问题的能力，促进他们综合运用数学知识的能力。
数形结合思想在解题中应用
数形结合思想在解题中的应用摘要:数形结合思想是中学数学中最重要和最常见的数学思想方法之一,数与形是中学数学研究的两类基本对象,相互独立,又互相渗透。
尤其在坐标系建立以后数与形的结合更加紧密。
从数中去认识图形,从形中去认识数。
数缺形少直观,形少数难入微。
高中数学的一些代数问题,通过研究其几何性质,能使抽象的数量关系在图形上直观地表达出来,使问题变得简单。
关键词:数形结合数学思想解题与应用所谓数形结合,就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数式的含义又揭示其几何意义,使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来,并充分利用这种“结合”,寻找解题途径,使问题得以解决。
它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。
著名数学家华罗庚先生说过“数形结合百般好,隔离分家万事休”。
高中数学的一些代数问题,通过研究其关系、性质,能使抽象的数量关系在图形上直观地表达出来,使问题变得简单。
而构造图形的关键在于敏锐的观察和合理的联想,巧用构造图形不仅可以提升学生数形互用解题的水平,而且还能培养他们不循常规、不拘常法、不落俗套的创新思维和探求精神。
纵观近几年的高考试题,巧妙地运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题可起到事半功倍的效果。
数形结合的思想方法应用是非常广泛的,在考试乃至平常的教学中常见的如解方程和解不等式问题,求函数的值域、最值问题,求复数和三角函数问题等。
运用数形结合思想不仅直观、易发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程。
所以要注意培养这种思想意识,要争取胸中有图,见数想图,以开拓自己的思维视野。
下面通过几个例题的分析给予解评。
例1.某班有50名学生报名参加a、b两项比赛,参加a项的30人,参加b项的有33人,且a、b都不参加的同学比a、b都参加的同学的三分之一多一人。
问:只参加a不参加b的学生有多少?分析:此类问题若只进行空洞的分析,很难找到我们所需的等量关系,甚至易出现多解和漏解情形。
数形结合思想在解题中的运用
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解析： （ １ ， ＋ ｏ 。 ） 。 瓜ｇ （ ） ： ， （ Ｄ０ 且ｎ ≠ ０ ） ， （ ） ＝ 则 圆 心 Ｄ到 直 线 Ｙ：
＋ 口 ， 分Ｏ ＜ 口 ＜ １ ， １ 两种情况 ， 在 同一坐标系 中画 出两
个函数的图像， 如图， 若函数 ） ＝ 一 。 有两个不同
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像， 且 图像 的最高点 为Ｓ （ ３ ， ２ 、 ／ 了） ； 赛 道 的后 一部 分 为折线段ＭＮ Ｐ ，为保证参赛运动员 的安全 ，限定 ／ ＿ Ｍ Ｎ Ｐ ＝ １ ２ ０ 。 。求Ａ， 的值和Ｍ， Ｐ 两点间的距离 。
点评 ： 本题主要 考查 圆的参数方程 ， 点 到直线 的 距离 ， 倾斜角及数形结合思想 。
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技 法 点 拨
数形结合思想在解题中白 Ｉ ） 运用
一 ～ Ｑ 一 ■ 曾雪萍
解析： Ａ： ２ Ｖ＇ － ３ － ， ｃ Ｅ Ｊ ： ， ＭＰ ＝ ５ 。依题 意 ， 有Ａ：
数形结合思想在 解题 过程 中应 用十分广 泛 ， 如 在解方程 ， 求三 角函数 、 几何 的斜率 、 距离 等 问题 中 都有充分体现。运用数形结合思想解题 ， 不仅直观 ， 易于寻找解题 途径 ， 而且能避 免复杂 的计算和推理 。 在近年来的高考题 中 ， 数形结合思想在选择题 、 填空 题、 大题 中均有 出现。复习时要 以熟练技能 、 方法 为 目标。 现通过高考真题 ， 强化数形结合这一重要 思想
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３ Ｌ Ａ Ｄ ＝ Ｂ Ｄ， 因此有 删
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点评 ： 本题 考查函数零点 的概 念 ， 指数 函数 、 一 次函数的基础知识 ， 考查 等价转化 、 数形结合 的思想 方法等。
数形结合思想在解题中的应用(包含30例子)
数形结合思想在解题中的应用(包含30例子)数形结合思想在解题中的应用（包含30例子）一、知识整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
22-+-=214x y如等式()()3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。
这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
二、例题分析 例1.的取值范围。
之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2.解不等式x x +>2解：法一、常规解法： 原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222法二、数形结合解法：令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x yx 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。
数形结合在解题中的应用
数形结合在解题中的应用咸阳彩虹学校陕西咸阳712000姻文/王常青摘要：众所周知，数学是研究数量关系和空间形式的科学。
简单地说，是研究数与形上的科学。
同样，数学高度抽象的特点，也是众所周知的，数学高度的抽象性，带来了数学的难教，难懂和难学。
正是数学科学的研究对象和特点，决定了数形结合是数学思考和研究问题的基本方法。
本文深刻的沿袭了华罗庚教授概括的数形结合方法的内涵：“数于形，本是相倚依，烟能两边分。
数缺形时少直觉，形少数时难入微。
数形结合万般好，割离分家万事难。
切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”充分阐述了数形结合在解题中的常用技巧。
关键词：形到数；数到形；形数结合一、数形结合思想数形结合思想是一种很重要的数学思想，数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面，把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把 图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，就是数形结合的思想。
数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来。
在使用的过程中，由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合的思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化。
在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系；在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系。
特别是在集合、函数、不等式、数列、向量、解析几何、导数与积分等能够用图形表述的知识点，就要用数形结合形象化，高考在选择题、填空题侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化。
二、数形结合思想在解题中的应用2.1数形结合方法在解决集合问题中的应用集合问题多与函数、方程、不等式有关，强化数形结合思想，利用韦恩图、数轴、函数图像帮助分析和理解，提高形象思维能力。
例1 设全集为R ，集合A ={|sin(2),}642y y x x p p p=-££，集合 B ={|a R Î关于x 的方程210x ax ++=的一根在(0,1)上，另一根在(1,2) 上}。
数形结合思想在解题过程中的应用
摘要近年来,随着科学研究的进步与发展,我国数学地位在教育中也有明显的提升,数学已经广泛地渗入到数学以外的学科和我们的生活中.数学的精髓不在于知识本身,而在于数学知识中所蕴含的数学思想方法.本文首先简述了数形结合思想的历史演进、地位和原则.其次,借助实例从“以形辅数”、“以数思形”和“数形并重”等对数形结合思想在不等式、方程、函数、解析几何以及微积分等方面的应用加以分析,以便人们学会正确运用抽象和概括的科学思维方法,提高人们研究问题和解决问题的能力,充分体现数形结合思想在解题中的优越性.最后,总结出数形结合思想在数学教学中的作用和意义以及对人类生活的影响.关键词：数形结合思想,以数思形,以形辅数,数形并重The application of the number form combining ideas inthe problem solving processAbstract: In recent years, with the progress of scientific research and development, the status of mathematics in China also has obvious improvement in education, mathematics has been widely penetrated into mathematics discipline and in our life. The essence of mathematics lies not in knowledge itself, but is contained in the mathematical knowledge of mathematics thinking method. This article first briefly describes several form combining ideas of historical evolution, status and principle. Secondly, with the aid of examples from "to shape and auxiliary number", "thinking" and "number form and logarithmic form combining ideas" in inequality, equation, function, the application of analytic geometry and calculus analysis, so that people learn to correctly use of abstraction and generalization of scientific thinking methods, improve the ability of people to study and solve problems, fully embody the superiority of the number form combining ideas in problem solving. Finally, summarizes several form combining ideas in mathematics teaching the role and significance as well as the impact on human life.Key words:Several form combining ideas, To the number of Si-shaped, To form secondary number, Both the number of shape目录一、引言 (1)二、数形结合思想的背景 (1)三、数形结合思想的概述及其地位 (1)四、数形结合思想的原则 (2)（一）“形”的精确性原则 (2)（二）等价性原则 (2)（三）双向性原则 (2)（四）简单性原则 (3)五、数形结合思想在解题中的应用 (3)（一）利用数形结合思想解决方程和不等式问题 (3)（二）利用数形结合思想解决数列问题 (5)（三）利用数形结合思想解决最值问题 (5)（四）利用数形结合思想解决解析几何问题 (6)（五）利用数形结合思想解决三角形问题 (6)（六）利用数形结合思想解决定积分问题 (7)（七）利用数形结合思想解决实际问题 (8)六、数形结合思想在教学中的作用和意义 (9)七、数形结合思想对人类生活的影响 (12)（一）“数形结合”的思想方法与人类生活的关系 (12)（二）“数形结合”的思想方法对人类生活影响的具体体现 (12)八、结束语 (13)参考文献 (14)一、引言数与形是数学中两个最古老,也是最基本的研究对象,它们在一定的条件下可以互相转化.数形结合是一种很重要的数学思想,它是研究与解决数学问题的重要方法,在数学中占有举足轻重的地位.把数量关系的研究转化为图形性质的研究,或把图形性质的研究转化为数量关系的研究,这种解决问题过程中“数”与“形”互相转化的研究策略,就是数形结合的思想.数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来,由“数”思“形”,由“形”思“数”,相互渗透,相互作用,根据条件和结论之间的内在联系,即分析其代数含义,又揭示其几何背景,使数量关系的精确刻画与空间形式的主观形象巧妙、和谐地结合在一起,充分利用这种结合,有利于多角度、多层次地展开思维,培养学生的观察能力、理解能力、记忆能力、逻辑能力,以及提高学生思维的广阔性、灵活性和深刻性,使思维具有发散性,开拓解题思路,从而起到优化解题途径的目的.二、数形结合思想的背景早在数学萌芽时期,人们在度量长度、面积和体积的过程中,就把数和形联系起来了.我国宋元时期,系统地引进了几何问题代数化的方法,用代数式描述某些几何特征,把图形之间的几何关系表达成代数式之间的代数关系.17世纪上半叶,法国数学家笛卡儿以坐标为桥梁,在点与数对之间、曲线与方程之间建立起对应关系,用代数方法研究几何问题,从而创立了解析几何学.后来,几何学中许多长期不能解决的问题,例如三等分任意角、化圆为方问题,最终也借助于代数方法得到了完满的解决.即使在近代和现代数学的研究中,几何问题的代数化也是一条重要的方法原则,有着广泛的应用.初等数学历来被划分为代数和几何两大分支,前者偏重于数的分析,而后者则偏重于形的研究.但是今天人们越来越认识到：仅有代数的思想而无图形的直观,或虽有直观的图形而缺少数据的分析,许多数学问题都难以高质有效的解决.形是数的翅膀,数是形的灵魂.[1]三、数形结合思想的概述及其地位“问题是数学的心脏”,提出问题并解决问题是推动数学发展的动力.数学的精髓不在于知识本身,而在于数学知识中所蕴含的数学思想方法.“欲善其事,必先利其器”,数形结合就是解决数学问题的一个有力工具,也是数学教学中极为重要的数学思想的基本方法之一,通过数形结合可以将抽象的数学语言与直观图形相结合,使抽象思维与形象思维相结合,缩短了思维链,简化了思维过程.所谓数形结合,就是将抽象的数学语言和直观的图形结合起来.一方面借助数的精确性来阐明形的某些属性,另一方面借助图形的直观性来阐明数量之间的关系.其实质就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,把代数上的“数”与几何上的“形”和谐地结合起来去认识问题以至于解决问题的一种思想.给“数”的问题以直观图形的描述,揭示出问题的几何特征,就能变抽象为直观；给“形”的问题以数的度量,分析数据之间的关系,更能从本质上认识“形”的属性.正如著名数学家华罗庚所说:“数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞,数缺形时少直观,形少数时难人微”.具体点说,就是在解决数学问题时,不能单一的从数或者形的方面去思考,而是要将两者和谐的运用,才能使问题简单化、明朗化.在现代数学教育的各个阶段,数形结合思想都是尤为重要的.利用数形结合,能有效地讲解有关基本概念、定理、培养学生的学习能力、提高学生的主观能动性、发展学生智力.解题中运用它能使复杂的问题简单化、明朗化、清晰化,提高学生思考、分析、解决问题的能力.可以说数形结合思想是师范学生应重点掌握的一种数学思想,在教学中教师应引起高度重视. 四、数形结合思想的原则为了正确地在解题中运用数形结合思想,一般要遵循以下四个原则：（一）“形”的精确性原则几何图形的优点是其具有直观性,但若构图不精确,则往往会造成视觉性的误解.（二）等价性原则等价性原则是指“数”的代数性质与“形”的几何性质的转化应是对应的,即对于所讨论的问题,形与数所反映的对应关系应具有一致性.利用数形结合解决数学问题时要注意转化的等价性,我们常常由“形”观察出“数”,由“数”构造出“形”,这中间的观察与构造并未经过严格的逻辑推理,加之审题不周到,容易造成数形转化的不等价而产生误解.（三）双向性原则双向性原则是指既进行几何直观的分析,又进行代数抽象的探索,代数表达及其运算比起几何图形及其结构有着自身固有的优越性,能克服几何直观方法的局限性.（四）简单性原则简单性原则是指数形转换时尽可能使构图简单合理,即使几何形象优美 又使代数计算简洁,明了,避免繁琐的运算.五、数形结合思想在解题中的应用对一个学生数学水平的评价,不仅要看学生对数学知识掌握多少,也要注重学生的数学技能.而提高这种能力,最好的方法就是学习和运用数形结合思想.通过以下应用来实际说明这一点.（一）利用数形结合思想解决方程和不等式问题利用二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的图像与x 轴交点的横坐标是方程0)(=x f 的实根,根据二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 与x 轴的交点情况就可以确定方程0)(=x f 的实根的情况,即通过)(0)(x f y x f =⇔=的相互转化,利用函数)(x f y =的图像可以直观解决问题.例1：a 为何值时,方程0122222=-++a ax x a 的两根在()1,1-之内？ 分析：显然02≠a ,我们可从已知方程联想到相应的二次函数=y 222122a ax x a -++的草图（如图1所示）,从图像上我们可以看出,要使抛物线与x 轴的两个交点在()1,1-之间,必须满足 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤->-0)1(0)21(0)1(f a f f , 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤->-0)1(0210)1(222a a a ,从而可解得a 的取值范围为22≥a 或22-≤a 且1±≠a .图1 图2例2:如果方程05)2(2=++++k x k x 有两个不相等的正实根,求k 的范围.y xx y 0 -1 1 1x 2x a 21-解：设5)2()(2++++=k x k x x f因为01>=a , 抛物线开口向上,如图2所示,又因为方程有两个不相等的实根.故 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->>∆020)0(0a b f 45-<<-⇒k所以当45-<<-k 时,方程有两个不相等的正根.对于一些不规则的方程,通过构造两个函数,然后,把方程的根转化为两个函数的交点问题.例3：设方程112+=-k x ,试讨论k 取不同范围的值时其不同解的个数的情况.分析：我们可把这个问题转化为确定函数121-=x y 与12+=k y 的图像（图3）交点个数的情况,因函数12+=k y 表示平行于x 轴的所有直线,从图像可以直观看出：①当1-<k 时, 1y 与2y 没有交点,这时原方程无解；②当1-=k 时,1y 与2y 有两个交点,原方程有两个不同的解；③当01<<-k 时,1y 与2y 有四个不同交点,原方程不同解的个数有四个； ④当0=k 时,1y 与2y 有三个交点,原方程不同解的个数有三个；⑤当0>k 时1y 与2y 有两个交点,原方程不同解的个数有三个.图3 图4求不等式的解集时,只要联想对应的函数的图像,确定它们的交点情况,便可直观地看出所求不等式地解集.xy1-1 1 -1 o例4：不等式x x 1>的解集是？ 分析：令x x f =)(,xx g 1)(=,在同一坐标系中画出这两函数图像.如图4所示,由图像可知：)(x f 与)(x g 的两个交点为)1,1(,)1,1(--.则不等式x x 1>的解集为(-1,0)∪(1,+∞). 这类求解像)()(x g x f >这样的不等式,跟上面所提的方程)()(x g x f =的类似,方程问题是看两个函数图像有几个交点这类的信息,而这里不等式问题的是看不同的区间内,两个函数图像谁上谁下,从而知道谁大谁小,也就是不等式的解区间,区间的端点就是方程问题所要讨论的.（二）利用数形结合思想解决数列问题等差数列的通项n a 是关于n 的函数,即()n f a n =,其图象是一群离散的点.等差数列的通项公式是)()1(11d a dn d n a a n -+=-+=,是关于n 的一次式.其各项的点(n ,n a )在同一直线上,等差数列的前n 项和公式n d a n d d n n na s n )2(22)1(121-+=++=,是关于n 的二次式,其对应点(n ,n s )在同一抛物线上,此抛物线一定过原点.而点(n ,n s n )在直线)2(21d a x d y -+=上.等比数列的通项公式n n n cq q a a ==-)1(1(q a c 1=)及前n 项和公式n n n Bq A q q a s +=--=1)1(1(0,11=+-=B A qa A ),其图像是指数型函数曲线.（三）利用数形结合思想解决最值问题例5：求函数的y =222+-x x +1362+-x x 的最小值.分析：本题难度较大,若从代数的角度思考,学生的思维受阻,不易求解且过程十分繁琐.这时利用数形结合为转化手段,引导学生探索函数背后的几何背景,巧用两点间距离公式,可化为：y =22)]1(0[)1(--+-x +22)20()3(-+-x解:如图5所示,所求函数的最小值可视为求点)0,(x p ,到)1,1(-A 及)2,3(B 的距离和的最小值.显然AB 的连线与x 轴的交点,即为所求的)0,(x p点.AB 的直线方程为:2523-=x y . 令y =0,解得35=x . 13)12()13(22min =++-==AB y 所以,当时35=x , 有最小值13=y .图5 图6（四）利用数形结合思想解决解析几何问题例6：过双曲线2x 2-y 2-8x+6=0的右焦点作直线L 交双曲线于A 、B 两点.若|AB|=4,这样的直线存在几条?分析:此题若从代数的角度去思考,则显得比较困难,无从下手,如换个角度,从数形结合方面去考虑,先画出图形,再对问题进行求解,则显得很简洁.解:如图6所示,双曲线C 的方程为121)2(22=--y x 其通径长为：422=a b 即通径所在直线符合题设条件,是所求的直线之一.又因为,双曲线的右焦点到左顶点的距离为413<+,所以当A 、B 分别在双曲线的两支上符合条件的直线有两条,故符合题意的直线有三条.（五）利用数形结合思想解决三角形问题在一些含有一般三角形的题目中,若要求其面积,都经常利用正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换来解决,但若能利用三角函数的图像及数形结合思想,则可以简化计算过程.1 2 3 A(1,-1) -1 1 2 x P B(3,2) o 1 2 -1 -2 1 2 3 y xF 2 F 1 y例7：在△ABC 中,3,3==BC A π,则△ABC 的周长为是多少？分析：本题思路一般都是用三角恒等变形和正弦定理通过一定量的计算来完成,但是注意到数形结合,可以很快解决问题.为此,延长CA 到D ,使AB AD =（如图7）,则 AC AB CD +=,6π+∠=∠CBA CBD ,由正弦定理⎪⎭⎫ ⎝⎛++=6sin sin πB AC AB D BC ,即⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+6sin 6πB AC AB . 因此,△ABC 的周长为⎪⎭⎫ ⎝⎛++6sin 63πB.图7（六）利用数形结合思想解决定积分问题例8：求二重积分dxdy y x x D⎰⎰+22,其中D 是由抛物线y=22x 和直线y x =所围成.分析：1、求出围成 D 中各曲线间的交点由 ⎪⎩⎪⎨⎧==x y x y 22得到交点为（0,0）、（2,4）2、画出草图在该步骤中,可以用刚才讲到的垂直数轴判别法.我们先取定内积分,这一点在运用该方法时很重要,内积分的积分变量取定后,才能进一步确定是做 x 轴的垂线还是 y 轴的垂线.此题,我们可取 y 为内积分的积分变量,画出草图,同时,在围成区域 D 相应的曲线标出方程,并写成关于内积分变量的表达形式.即y=22x （1）,x y =（2）（若 x 为内积分的积分变量,则写成y x =和y x 2=的形式）,利用垂直数轴判别法,过)2,0(1∈∀x 作 x 轴垂线,单位、大小、方向同 y 轴,由判别法知,对应着较大单位的交点所在的曲线方程为内积分的上限,相应的较小交点所在的曲线方程为内积分的下限.图形如下：图 83、求体积dxdy y x x D ⎰⎰+22 =dy yx x dx x x ⎰⎰+20222220arctan 42x dx π⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ 2ln 2=（七）利用数形结合思想解决实际问题在现实生活中,我们经常会遇到一些关于数学方面的问题,比如水、电费问题,打折销售问题,追击问题等等.此时若能对数学知识理解掌握好,巧用数形结合思想,在现实生活中有些问题便可迎刃而解.例9：某厂拟生产甲、乙两种试销产品,每件销售收入分别为3千元,2千元.甲、乙两种产品都需要在A 、B 两种设备上加工,在每台A 、B 上加工一件甲产品所需要的时间分别为1小时、2小时,加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时,A 、B 两种设备每月有效使用台时数分别为400和500,如何安排生产可使收入最大？解：设加工甲产品x 件,加工乙产品y 件,目标函数y x z 23+=,线性约束条件为 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤+≤+0,50024002y x y x y x ,作出可行域,如图9所示阴影部分.把yx （2,2） 2 22x y = x y =2y x z 23+=变形为平行直线系223:z x y l +-=,由图可知当l 经过可行域上点M 时,截距2z 最大. 解方程组⎩⎨⎧=+=+50024002y x y x 得)100,200(M ,80010022003max =⨯+⨯=z ,所以当生产甲产品200件,乙产品100件时,可使收入最大,最大为80万.图9六、数形结合思想在教学中的作用和意义在实际生活中,形与数是不可分离的结合在一起,这是直观与抽象、感知与思维相结合的体现.形与数的结合不仅是数学自身发展的需要,也是加深对数学知识理解,发展智力,培养能力的需要.数形结合是解决数学问题的一个有力工具,也是中学数学中极为重要的基本方法之一.[2]其在教学方面的作用有如下几个方面：（一）有助于学生形成合理、完整的数学概念.数学概念是数学逻辑思维的源头,是学生认知的基础,是学生数学思维的中心思想.但是由于数学中的概念往往是高度抽象,比较发散的.或许是一个理论,或许是一个公式,很难立刻被理解,给人一种单调、乏味的感觉.但利用数形结合的思想可以很好的帮助学生理解数学概念.1、化抽象为具体,化单调为丰富,有利于学生对数学概念的理解、记忆.这一点主要表现在以下几个方面：第一、利用数形结合,容易揭示数学概念的由来,学生易于感知和接受.第二、利用数形结合有利于学生对知识理论本质的理解,画图能力也会有明显的提升.第三、利用数形结合,为概念赋予图形信息,可以使学生通过看图形信息来加深理解其概念以及相关定理、性质的应用.2、提高和发展学生对数学结构的认知.数学结构的认知是学生头脑中的数学知识结构,即数学知识结构通过内化在学生脑海中所形成的理论内容和归纳整理.数形结合可以使学生的知识整体化、系统化,便于学生在各种知识背景下快速,有效的提取相关有用的信息,并且能从“数”与“形”两个方向去思考并解决问题.主要体现在下面几个方面:第一、数形结合加强了知识与图形之间的相互联系与转化,建立了有效的知识网络,提高了学生的数学认知层次.第二、通过数形结合不仅使学生原有的认知水平得到了明显提高,而且使学生对知识的理解更加深刻透彻,还能使学生的智力得到发展.（二）有助于拓展学生发现解决问题的的方法.1、数形结合思想对解决数学问题有着“导向功能”.我们知道,对于数学而言,具体问题,具体分析有多么重要.数形结合思想作为一种思维策略,虽然不能通过这种思想使之全部解决,但在解题过程中却可以作为寻求解法的一个途径,或在思路受阻时寻求新的突破口,所以这又是数形结合思想另一方面的积极意义.2、有助于学生积累数学理论知识、分清结构层次,简化思维过程.不同的学生对同一问题的思考方向不同,则思维过程也就不尽相同.思维能力强的学生思维过程短,思维链少,能力弱的同学往往表现出思维过程长,思维链多且无序,不能快速、清晰的表达出来.数形结合最大的特点就是模型化、直观化、明朗化,通过图形,可以快速的知道题里给出的已知条件和所隐含的条件.用简单直观的图形代替复杂的代数推理.学生的知识结构中要是有了一些丰富的图形模块和数式模块,将会快速、准确地解题.（三）有助于学生逻辑思维能力的发展.进入高中阶段的学生己完成了由直观形象思维到抽象逻辑思维的飞跃,但这并不是说我们在教学中就可以偏颇某一种思维方式.形象思维的培养在高中阶段是不容忽视的,也是很重要的.数形结合思想可以培养以下思维：1、有助于发展学生的形象思维.这一点主要表现在以下几个方面：第一、数形结合丰富了表象的储备,而表象的运动过程可促进形象思维发展.第二、数形结合有助于培养学生对图形的想象能力,促进学生形象思维的发展.2、有助于培养学生的直觉思维.运用数形结合解题能直接揭示问题的本质,直观、清楚地看到问题的结果,省掉了许多思维过程.只需稍加计算或推导,就能得到确切的答案,因此许多数学问题的解答过程都是先从几何图形的直觉感知中得到某种猜想、假设,然后再进行逻辑推理和证明,进而使问题得以解决的过程.3、有助于培养学生的抽象思维能力.这一点主要表现在以下几个方面：第一、数形结合从表面上看是代数与几何之间相结合.第二、我们知道任何的学习迁移都是通过概括这一思维过程来实现的.数形结合思想在应用的过程中,常常根据数量关系与图形特征之间的联系和规律,可以把一个形的问题等价转化迁移到与之相应的数的问题,反之数的问题等价转化迁移到与之相应的形的问题.在这方面,很好的体现了数形结合思想的等价性原则.（四）利用数形结合,唤起学生对数学美学的认识以及追求.数学本身就是一门美的学科,数学上的对称美、轮换美、简洁美、和谐美、奇异美等形式在图形上的体现更为直观、更为动人.利用数形结合,使学生具有发现美的眼睛,培养学生的审美情趣,提高审美意识和审美能力,以激励起学生学好数学的激情、动力和追求解题的艺术美,促进人的素质全面提高.美国著名数学教育家波利亚说过:“掌握数学就意味着要善于解题.”只有对数学思想、数学方法理解透彻并达到融会贯通时,才能提出新看法、巧解法.[3]我国现在不论是小学教育、中学教育、还是高中教育对数学思想的考察都十分重视,其解答过程中都蕴含着各式各样的数学思想,虽说数学思想的种类繁多,但在其中,我认为数形结合思想显得尤为重要.实际上数形结合思想的应用是很广泛的,只要我们用心去分析,动脑去思考,数学上有很多问题通过数形结合思想是很容易解决的.数形结合思想几乎贯穿了整个解析几何,可以说数形结合思想是解析几何的精髓所在.恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”.数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数意义,又揭示其几何直观,使数量关系的精确刻画与空间的直观图形巧妙、和谐地结合在一起,充分利用这种结合,寻找解题思路,使问题化难为易、化繁为简,从而得到解决.“数”与“形”是一对矛盾,是抽象与直观在数学中的体现,二者的有机结合,是数学魅力之所在.宇宙间万物无不是“数”和“形”矛盾的统一.通过代数问题与几何图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化.但在应用中也应该注意其应用的适用性、科学性、合理性等.七、数形结合思想对人类生活的影响从李文林的《数学史概论》和莫里斯·克莱因所著的《古今数学思想》两书中我们都可注意到:“数形结合”这一思想方法的产生与发展也是经历了一个曲折的变化过程,如公元前6世纪前,数学主要是关于“数”的研究与从公元前6世纪开始,希腊数学的兴起,突出了对“形”的研究,[4]最终作为人类几千年数学文化沉淀的结晶——数学中最基本的思想方法之一.这就如恩格斯所论述的那样：数学是关于现实世界的空间形式与数量关系的一门科学.然而,我认为数形结合思想的重要性不单单是体现在数学科学中,在我们的实际生活中也具有极其重要的作用.（一）“数形结合”的思想方法与人类生活的关系“我们认为,所谓数学思想是对数学知识本质的认识,是对数学规律的理性认识,是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点”.[5]既然数学思想是一种认识和观点,也就可认为它是一种观念,而“数学观念系统与数学思想系统等基本认识对数学思维过程起着定向的作用”.[6]同时,“数学方法就是数学思维结构的主要成分”,其作用是“数学思维的操作手段”,[6]亦即“数学方法是指从数学角度提出问题、解决问题的过程中所采用的各种方式、手段、途径等”.[5]综上可知数学思想对数学思维具有导向功能,而数学方法是数学思维的具体方法,也是各种具体问题的实施方式、途径.因此,“日本数学家和数学教育家米山国臧在从事了多年数学教育之后,说过一段寓意深刻的话:学生们在初中或高中所学到的数学知识在进入社会后,几乎没有什么机会应用,因而这种作为知识的数学,通常在出校门后不到一两年就忘掉了,然而不管他们从事什么工作,那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法,却长期地在他们的生活和工作中发挥着重要作用.”[7]作为数学中一个最基本的思想方法——数形结合思想,它无疑地为人类的逻辑思维提供了导航作用和各种具体的方法与途径,为人们的提供了很好的思维模式,而这种思维模式已经刻画在了人们的脑海中,人们在生活中运用时却又感受不到其重要性,也就是说“数形结合”的思想方法在默默地指导着人类生活.（二）“数形结合”的思想方法对人类生活影响的具体体现“许多数学家在创立数学的时候,不断地从一般文化中汲取营养.许多数学的本原思想和人类普通的思想是相通的.文学中的“对仗”、“物理学中的能量守恒定理”与“数学中的对称”等等思想都是相通的.[8]同样,“数形结合”的思想与人类其他的诸多思想也是相通的,不过,通过对数形结合思。
数形结合思想在初中数学解题中的应用
22教育版内容摘要：本文介绍了初中数学解题中的一种重要的思想方法——数形结合. 数形结合思想主要是利用了数的结构特征，绘制出同其相对应的数学图形，同时通过对图形特点及规律的运用，使数学问题得到解决，或是将图形转化为代数，无需进行推理，便将要解答的问题转变为数量关系.在数学教学中合理结合数形结合思想能够有效调动学生的积极性，让学生通过直观的视觉观察来理解数学的概念和知识，为学生解题提供一定的帮助.关键词：数形结合 初中数学 应用一、数形结合的本质和内涵：数形结合思想就是通过对数与形间关系的运用，对数学习题中的知识点及问题进行研究，从而使问题得到解决的一种方法.分析及研究数与形间的关系，学生会清晰地看到数与形之间在一定的状况之下是能实现转换的.它们之间具有一定的等量关联，能让学生更加深入地对知识进行理解，并解决相关问题.在初中数学中，数指的是方程、函数、指数等，形指的是函数图形与几何图形.学生若能把它们结合起来运用，就能使问题的解答更加容易，从而提升学生解题的能力。
二、数与形之间的转化：中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合.作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”.“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。
三、数形结合思想在初中数学解题中的应用：（一）数形结合思想在数与式问题中的应用。
数形结合的教学思想可以把有理数和数轴紧密联系起来.所有的有理数都可以在数轴.上找到相对应的唯一的点，如果想要对比两个有理数的大小，就可以通过比较分析在数轴上两个有理数的位置关系来得出结果.同时，依据数轴上原点与点的位a 、b ．（图略）【分析】 由上a ，b 的位置可以得到a <b．∴a =−，ab b a −=−【解】 ()a b a +−除此以外，数形结合思想还运用于一些图形类的规律题中，比如下面这个题目.【例2】 如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n 条“金鱼”需要火柴______根。
谈数形结合思想在解题中应用论文
谈数形结合思想在解题中的应用数形结合是数学中一种重要的思想方法，形是数的翅膀，数是形的灵魂。
华罗庚先生曾指出，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”。
数量关系借助几何图形可以使许多抽象问题变得直观形象，有利于解题思路的扩展，而有些涉及几何图形的问题如能借助数的辅助，转化为数量关系，则可获得简洁的解法，因此，数与形二者相结合便能优势互补，使抽象问题具体化，复杂问题简单化。
下面就几种常见的应用谈谈自己的体会。
1. 将数的问题转化为形的问题例1 已知：0求证： a2+b2+ （1-a）2+b2+ a2+（1-b）2+（1-a）2+（1-b）2≥22 。
分析一：该题若单纯地看作一个代数不等式问题，是一个很复杂的不等式证明问题，整体把握不等式左端的结构特点，可以联想到勾股定理和四条线段的长度， 2 可以联想到边为1的正方形的对角线长，不难找到下面的简单证明方法：证明：构造以1为边长的正方形如图（1）所示，则o1a= a2+（1-b）2；o1b= （1-a）2+b2；o1c=（1-a）2+（1-b）2 ；o1d=a2+b2 ；ac=bd=2 。
∵o1a+o1b+o1c+o1d=（o1a+o1c）+（o1b+o1d）≥ac+bd=2 2 （当且仅当点o，o1重合时，等号成立）∴结论成立。
分析二：该题也可以联想到两点间的距离公式，构造点的坐标，用解析几何简单地证明。
证明：在坐标系内，设o（0，0），m（1，0），n（1，1），p（0，1），q（a，b），如图（2）所示：则：|oq|= a2+b2 |mq|= （1-a）2+b2|pq|= a2+（1-b）2 |nq|= （1-a）2+（1-b）2左边=|oq|+|mq|+|pq|+|nq|=（|oq|+|nq|）+（|pq|+|mq|）=≥|on|+|pm|=2 2 =右边当q点与pm、on的交点重合时，“=”成立∴原不等式成立上面一题是一个不等式证明题，分别用平面几何和解析几何较简单地给予了证明。
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数形结合思想在解题中的应用（包含30例子）一、知识整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
如等式()()x y -+-=214223．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。
这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
二、例题分析例1.的取值范围。
之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：“数形结合”在解题中的应用原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202 解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222 法二、数形结合解法： 令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。
高中数学教学论文《数形结合思想》在解题中应用
《数形结合思想》在解题中的应用一、数形结合思想的提出在高中数学解析几何这一模块中，处理问题的方法常见有代数法和几何法。
代数法是从“数”的角度解决问题、几何法从“形”的角度解决问题，这两种方法相辅相成，相得益彰。
现举例如下：若直线k x y +=与曲线21y x -=恰有一个公共点，求k 的取值范围.解：（代数法）曲线方程可化为)0(122≥=+x y x ，把k x y +=代入)0(122≥=+x y x可得：012222=-++k kx x （0≥x ），由题意可知方程仅有一个非负根①当方程有等根时，即)1(8)2(22--=∆k k =0，可得2±=k ，当2=k 时，方程可化为012222=++x x ，得22-=x 不合题意；当2-=k 时，方程为012222=+-x x 得22=x 符合题意，可知2-=k ； ②当方程根为0=x 时，得012=-k ，1±=k ，当1-=k 时，方程为0222=-x x ，得方程两个根为01=x ，12=x 不合题意应舍去；当1=k 时，方程为0222=+x x ，得方程两个根为01=x ，12-=x 适合题意，可知1=k ； ③当方程根为一正一负时，只需021221<-=k x x ，可得11<<-k 。
综上所述：所求 k 的取值范围为2-=k 或11≤<-k 。
（几何法）曲线21y x -=是单位圆122=+y x 的右半圆（0≥x ），k 是直线k x y +=在y 轴上的截距.在同一坐标系中画出两曲线图像如图所示知：直线与曲线相切时，2-=k ，由图形：可得2-=k 或11≤<-k 。
上述两种解法可以看出利用代数法求解过程较为复杂、繁琐且容易错；而利用几何法即一种数形结合的思想方法，却能使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它在数学解题中具有极为独特的指导作用。
二、数形结合思想的概述数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石。