第三讲 用概率分布描述

pi
随机变量X 随机变量X的数学期望（均值）
设 x1, x2 ,LxN 为该变量的N个取值，则数学期望是指所有可能 为该变量的N 结果的加权平均值，权重为各个可能结果的发生概率，若用表示随 机变量X 机变量X的数学期望，则数学期望表示为：
µx = E( X ) = p1x1 + p2x2 + L+ pN xN = ∑pi xi
σ = var(X ) = E(X − E(X )) = ∑pi (xi − µx )2
2 x 2 i=1 N
对于连续随机变量情形，方差为：
σ = var(X ) = ∫ (x − µx )2 f (x)dx
2 x −∞ ∞
10件产品中有2件次品，从中任取2件， 10件产品中有2件次品，从中任取2 设X为取得的次品个数，其为离散型随 机变量，其分布为：
某航空公司的订票处平均每小时接 到42次订票电话，那么10分钟内恰 42次订票电话，那么10分钟内恰 好接到6 好接到6次电话的概率是多少？接 到6次以下电话的概率是多少？
=POISSON(6,420/60,0) =POISSON(6,420/60,1)
超几何分布Excel函数 超几何分布Excel函数 HYPGEOMDIST
重要概率分布
离散型随机变量 连续型随机变量
二项分布
正态分布
χ 2分布
泊松分布 t分布 分布 超几何分布 F分布 分布
二项分布
如果事件发生的概率是p，若n 如果事件发生的概率是p，若n次独立重复试验中 发生k 发生k次的概率是： n−k k k P( X = k) = b(k, n, p) = Cn p (1 − p) 则称随机变量X 则称随机变量X（n次试验中有k次发生）服从二 次试验中有k 项分布，记作X~B(n,p) 项分布，记作X~B(n,p) 。 期望： E( X ) = np 方差： D( X ) = np(1 − p)
随机变量的分布
随机变量是变量数值具有随机性的变量。 随机变量是变量数值具有随机性的变量。 离散型随机变量只能取有限多个数值. 离散型随机变量只能取有限多个数值. 连续型随机变量可以取某一区间范围内 的任意值。 的任意值。
例如根据人口普查数据， 例如根据人口普查数据，我国的 出生婴儿男、女性比重如表 出生婴儿男、
婴儿的性别情况表 0 1 性别X
（男) （男) （女) （女)
概率P
0.517
0.483
离散型随机变量概率分布
一般地，假定随机变量的所有取值为x 一般地，假定随机变量的所有取值为x1，x2，……， ……， xk ，对应发生的概率分别为p(x1) p(x2) …… ，对应发生的概率分别为p(x p(xk)，可以以下列分布列表示。 离散型随机变量概率分布的表格形式
正态分布
实践中许多连续型随机变量的频率密度直方图形状是 中间高，两边低，左右对称的， 如长度、重量、噪声等的随机波动都可以用正态分布 来描述。学习成绩、男女比例、炮弹弹着点的坐标、 某月的平均气温、雨量等
正态分布密度
f (x) =
1
σ 2π
e
−( x−µ)2 /(2σ 2 )
标准正态分布密度
f (x) =
A
概率的基本性质
1. P(Φ)=0， P( )=1 P(Φ)=0， 2. 有限可加性：当n个事件A1，A2 ，A3…，An两两互不相容时， 有限可加性： 个事件A1， A3… An两两互不相容时 两两互不相容时， P(A1∪...∪An)=P(A1)+...+P(An)。 P(A1∪...∪An)=P(A1)+...+P(An)。 3. 对于任意一个事件A：P(A)=1－P(非A) 对于任意一个事件A P(A)=1－P(非 4. 当事件A，B满足A包含于B时：P(B－A)=P(B)－P(A)，P(A)≤P(B)。 当事件A 满足A包含于B P(B－A)=P(B)－P(A)，P(A)≤P(B)。 5. 对于任意一个事件A，有 0≤ P(A) ≤1。 对于任意一个事件A ≤1。 6. 对任意两个事件A和B，P(B－A)=P(B)－P(AB)． 对任意两个事件A P(B－A)=P(B)－P(AB)． 7. 加法公式：对任意两个事件A和B，P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)。 加法公式：对任意两个事件A P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)。 当事件A 互不相容时P(A∪ 当事件A和B互不相容时P(A∪B)=P(A)+P(B) 这里 ：事件（AB）表示A和B同时发生。若A和B相互独立： P(AB)= 事件（AB）表示A 同时发生。 相互独立： P(A)· P(A)·P(B)
µ= 0 ，σ=1
1 2π
e
−x2 / 2
µ不
假定有10只股票，获利股票3 假定有10只股票，获利股票3只,亏损股 7只，但你并不知道哪几只获利。现欲 在这10只股票中选购4 在这10只股票中选购4只。 3只获利股都被选中的概率： =HYPGEOMDIST(3,4,3,10) 有2只获利股都被选中的概率： =HYPGEOMDIST(2,4,3,10)
按纯收入分组( 按纯收入分组(元)
f (x)
概率密度函数
概率密度 函数满足 以下的基本性质： 1. f(x)≥0 ≥0 2. ∫
∞
f(x)
面积为1
f (x)dx =1
o x
−∞
3.利用概率密度可确 3.利用概率密度可确 定随机变量落在某 个范围内的概率。
对于任意实数a 对于任意实数a 、b , (a < b )， 有 )，
利用概率知识帮助判案
在瑞典的一次庭审中，管理泊车的警察作证说他记录 了一辆车某一边的两个轮胎气阀的位置。后来等他重 新回到该处时，气阀还在原来的位置。（这个警察的 做法是把气阀的位置记成最接近的“钟点” 做法是把气阀的位置记成最接近的“钟点”位置。例 如在下图中，气阀是在“10:00” 如在下图中，气阀是在“10:00”和“3:00”。）在这 3:00” 种情况下他开了一张超时泊车的罚单。但是车主却声 称他已经在其间用过车子，只不过停回到了原来的泊 车位。
有人投掷一枚硬币，随着投掷次数 n 的 有人投掷一枚硬币， 增大，出现正面（或反面） 增大，出现正面（或反面）的频率稳定在 1/2左右 1/2左右。 左右。
正面/ 正面/试验次数
1.00 0.75 0.50 0.25 0.00 0 25 50 试验的次数 75 100 125
概率的统计定义
在一定条件下，重复做n次试验，m 在一定条件下，重复做n次试验，m为n次试验 中事件A发生的次数，如果随着n 中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，频 率m/n逐渐稳定在某一数值p附近，则数值p发生的概率，
X p（X）
0 p1
1 p2
2 p3
3 p4
【实例】 实例】
每次抛两个硬币，记录正、反面结果。结果可记录为： 1.硬币1正面朝上，硬币2正面朝上：2个正面 1.硬币1正面朝上，硬币2正面朝上：2 2.硬币1正面朝上，硬币2反面朝上：1个正面 2.硬币1正面朝上，硬币2反面朝上：1 3.硬币1反面朝上，硬币2正面朝上：1个正面 3.硬币1反面朝上，硬币2正面朝上：1 4.硬币1反面朝上，硬币2反面朝上：0个正面 4.硬币1反面朝上，硬币2反面朝上：0 在此，正面数是一个随机变量，记为X 在此，正面数是一个随机变量，记为X，我们通常对 X的每个取值的概率感兴趣。X的取值为0、1、2。其 的每个取值的概率感兴趣。X的取值为0 分布列可表示为：
：
上表数据的直方图
如果样本量很大，组段很多，矩形顶端组成的阶梯型曲线可变成光滑的分 布曲线。
连续型随机变量的概率分布
可采用一个函数拟合这一光滑曲线。这种函数称为概 可采用一个函数拟合这一光滑曲线。这种函数称为 率密度函数。
25
户 数 比 重 (%)
20 15 10 5
←
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 →
X p（X）
0 0.25
1 0.5
2 0.25
离散型随机变量分布的性质
(1)
0 ≤ p(xi ) ≤1
(i =1, 2, 3......)
(2)
∑ p(xi ) =1
所有 i x
调查某市150户家庭， 调查某市150户家庭，获得家庭人均收入数据 户家庭 如下（上组限不在内）： 如下（上组限不在内）：
【例题】 ：据经验统计，甲运动员投篮命中（A）概 例题】 据经验统计，甲运动员投篮命中（ 率为80%，乙运动员投篮命中（ 概率为90%， 率为80%，乙运动员投篮命中（B）概率为90%，若 两人各独立投一次，有下列结果： 两人各独立投一次，有下列结果：
1）两人都投中的概率： 两人都投中的概率： P(AB)= P(A)·P(B)=80%×90%=72% P(A)·P(B)=80%× 2）两人都投不中的概率 P(非A非B)=（1－P(A))(1－P(B)） =20%＊10% P(非 B)=（ P(A))(1－P(B)） =20%＊ 3）甲投中乙投不中的概率 P(A)·(1－P(B))=80%× P(A)·(1－P(B))=80%×10%=8% 4）乙投中而甲投不中的概率 (1－ P(A))·P(B)=20%×90%=18% (1－ P(A))·P(B)=20%× 5) 甲乙至少有一人投中的概率 P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)=80%+90%－ P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)=80%+90%－72%=98%
二项分布实例
现有5 现有5只动物注射了半数致死量的毒物， 试分别计算死亡动物数X 试分别计算死亡动物数X＝0, 1, 2, 3, 4, 5 的概率。（提示：p=0.5） 的概率。（提示：p=0.5）