重庆市区县2019-2020学年高二下学期期末考试数学(文)试题Word版含解析
重庆市2019-2020学年度高二第二学期期末联合检测试题 数学【含解析】
重庆市2019-2020学年度高二第二学期期末联合检测试题 数学【含解析】一､选择题1.已知集合{}12,3,5,7,|12A B x x ⎧⎫==<⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ） A. {2} B. {}3C. {}2,3D. {}5,7【答案】D 【解析】 【分析】解不等式112x <-得到集合B ，然后计算A B 即可. 【详解】解不等式112x <-得2x <或3x >，所以()(),23,B =-∞⋃+∞， 又因为{}2,3,5,7A =，所以{}5,7A B =.故选：D.【点睛】本题主要考查分式不等式的解集，与集合的交集运算，属于基础题. 2.复数103i-的共轭复数是（ ） A. 3i + B. 3i -C. 3i -+D. 3i --【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，化简求得1033i i=+-，再结合共轭复数的概念，即可求解. 【详解】根据复数的除法运算，可得()()()103103333i i i i i ⋅+==+--+， 所以复数103i-的共轭复数是3i -. 故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及共轭复数的定义及应用，其中解答中熟记复数的除法运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.3.在研究某地区高中学生体重与身高间的相关关系的过程中，不会使用到的统计方法是（ ） A. 随机抽样 B. 散点图C. 回归分析D. 独立性检验【答案】D 【解析】 【分析】由于独立性检验研究的是两个分类变量间的关系，所以即可得到答案.【详解】因为已经确定了某地区高中学生体重与身高间具有相关关系，所以不会使用到的统计方法是独立性检验. 故选：D【点睛】此是考查几种统计方法的区别，属于基础题. 4.命题“2,20x R x ∀∈+>”的否定为（ ） A. 2,20x R x ∀∈+< B. 2,20x R x ∃∈+ C. 2,20x R x ∃∈+ D. 2,20x R x ∀∈+【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“2,20x R x ∀∈+>”的否定为“2,20x R x ∃∈+≤”. 故选：B.【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系，准确改写是解答的关键，属于基础题.5.已知函数()sin f x a x b =+的导函数为fx ，若13f π⎛⎫= ⎪⎭'⎝，则a =（ ）A. 4B. 2C. 1D.12【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求得()cos f x a x '=，再根据13f π⎛⎫=⎪⎭'⎝即可求得a . 【详解】解：由题意知：()cos f x a x '=.因为13f π⎛⎫= ⎪⎭'⎝，所以cos 13a π=，解得2a =.故选：B.【点睛】本题主要考查导数的运算，考查学生的计算能力，属于基础题. 6.设随机变量X 服从正态分布()21,(0)N σσ>，若(0)0.15P X <=，则(02)P X ≤≤=（ ）A. 0.35B. 0.6C. 0.7D. 0.85【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性得到(2)(0)0.15P X P X >=<=，再利用概率和为1得到选项. 【详解】随机变量X 服从正态分布()21,(0)N σσ>，因为(0)0.15P X <=，所以(0)(>2)0.15P X P X <==，所以(02)120.150.7P X ≤≤=-⨯=， 故选：C.【点睛】本题考查了正态分布的概率计算，正确利用正态分布的对称性是解题的关键，属于常考题型. 7.从3位男生､4位女生中选3人参加义工活动，要求男女生都要有，则不同的选法种数为（ ） A. 24 B. 30 C. 36 D. 40【答案】B 【解析】 【分析】选取的3人中既有男生又有女生，包括2名男生1名女生和1名男生2名女生两种情况，分别运用组合计数原理可得选项.【详解】选取的3人中既有男生又有女生，包括2名男生1名女生和1名男生2名女生两种情况，若3人中有2名男生1名女生，有421312C C ⋅=种选法； 若3人中有1名男生2名女生，有431218C C ⋅=种选法；所以不同的选法共有12+1830=种. 故选：B.【点睛】本题考查组合的应用，进行合理地分类是解决本题的关键，属于基础题. 8.5(21)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为（ ） A. 80- B. 20-C. 120D. 200【答案】C 【解析】 【分析】由5(21)(2)x x -+得555(21)(2)2(2)(2)x x x x x -+=+-+，所以只要求出52(2)x x +和5(2)x +中的3x 的系数，作差即可.【详解】解：因为555(21)(2)2(2)(2)x x x x x -+=+-+，所以5(21)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为332255222120C C ⋅-=.故选：C【点睛】此题考查求二项展开式的系数，属于基础题.9.甲､乙､丙三人参加学业水平测试，已知他们通过测试的概率分别为112,,323，且每人是否通过测试相互独立，则这三人中至少有一人通过测试的概率为（ ） A.19B.12C.78D.89【答案】D 【解析】 【分析】先求得三人都没通过测试的概率，由此求得三人中至少有一人通过测试的概率. 【详解】所求事件的对立事件为“三人均未通过测试”，概率为21113239⨯⨯=，故至少一人通过测试的概率为18199-=. 故选：D【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，属于基础题.10.己知曲线()(ln )xf x x a x e =+在点(1,)e 处的切线经过坐标原点，则a =（ ）A. e -B. 2-C. 1-D. 2e -【答案】C 【解析】 【分析】求出()ln )=(1x af x x a x e x'+++，由导数的几何意义，利用切线过原点得到斜率相等可得. 【详解】()(ln )(ln )()(1l =)+n x x xa f x x a x e x a x e x a x e x'''=+++++，∴(1)(2)f a e '=+，由题知(2)10e a e -=+-，故1a =-. 故选：C【点睛】本题考查导数的几何意义.根据导数的几何意义求参数值的思路,根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点既在曲线上又在切线上构造方程组求解．11.已知函数3()(0)f x ax bx c bc =++<，则函数()y f x =的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】由3()f x c ax bx -=+是奇函数，其图象关于点()0,c 对称，故,A C 错误.由选项,B D 中的图象可知，函数()f x 有两个极值点，且0a >.由'2()3f x ax b =+，可得0b <.由0bc <，可得0c >，即得答案.【详解】3()f x c ax bx -=+是奇函数，∴函数()y f x c =-的图象关于点()0,c 对称，故,A C 错误.选项,B D 中，由图象可知，函数()f x 有两个极值点，且0a >.'2()3,0f x ax b b =+∴<.0,0bc c <∴>.选项B 中， 0c <，故B 错误； 选项D 中，0c >，故选项D 是可能. 故选：D .【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查利用导数研究函数的图象，属于中档题. 12.已知fx 是定义在R 上的偶函数()f x 的导函数，当0x <时，()2()xf x f x '<，且(1)0f =，若00.5.30.5log 3,0.5,log 0.2a b c ===，则（ ）A. ()()()f a f b f c >>B. ()()()f b f a f c >>C. ()()()f c f a f b >>D. ()()()f c f b f a >>【答案】B 【解析】 【分析】把0x <，()2()xf x f x '<转化为24()2()0x f x xf x x->'，构造新函数2()()f x g x x =，可得()g x 在(,0)-∞上单调递增，通过()f x 为偶函数得出()g x 也是偶函数，进而得出()g x 在(0,)+∞上单调递减，判断,,a b c 的取值范围，通过()g x 的单调性比较即可得出答案.【详解】解：当0x <时，224()2()()2(),()2()0,0x f x xf x xf x f x x f x xf x x-∴-''∴'>， ∴2()0f x x '⎛⎫> ⎪⎝⎭，令2()()f x g x x =， ∴()g x 在(,0)-∞上单调递增，又()f x 为偶函数，∴()g x 也是偶函数，∴()g x 在(0,)+∞上单调递减，又()()110g f ==，故当()1,1x ∈-时()0g x >，当(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞时()0<g x ，0.52log 3log 3(2,1)a ==-∈--，0.30.310.5(0,1)2b ==∈，0.52log 0.2log 5(2,3)c ==∈， 故()0()()g b g a g c >>>， 即222()()()0f b f a f c b a c>>>，故()0,()0,()0f b f a f c ><<， 又2201a c<<，∴22()()()a f a f c f c c >>，()()()f b f a f c ∴>>.故选：B.【点睛】本题主要考查构造新函数，由导数判断单调性，利用函数单调性比较大小，属于难题. 二､填空题13.复数(1)z i i =--的虚部为________. 【答案】1- 【解析】 【分析】把复数z 化成(),z a bi a b R =+∈的形式，即得复数z 的虚部. 【详解】2(1)1z i i i i i =--=--=-，∴复数z 的虚部为1-.故答案为：1-.【点睛】本题考查复数的有关概念，属于基础题.14.已知具有相关关系的两个变量,x y 的一组观测数据如下表所示，若据此利用最小二乘估计得到回归方程ˆ0.70.35yx =+，则m =_______. x3 45 6 y2.5m44.5【答案】3 【解析】 【分析】根据题意计算样本中心点，代入回归方程即可得到答案. 【详解】解：3456 4.54x +++==， 2.54 4.51144m my ++++==，所以样本中心点为：114.5,4m +⎛⎫⎪⎝⎭. 因为回归方程ˆ0.70.35yx =+，样本中心点在回归方程上， 所以110.7 4.50.354m+=⨯+，解得：3m =. 故答案为：3.【点睛】本题主要考查根据样本中心点在回归方程上求参数，考查学生的计算能力，属于基础题. 15.某旅馆有三人间､两人间､单人间各一间可入住，现有三个成人带两个小孩前来投宿，若小孩不单独入住一个房间(必须有成人陪同)，且三间房都要安排给他们入住，则不同的安排方法有______种. 【答案】18 【解析】 【分析】按照题目要求,先排列大人必各住一个房间,由排列数公式计算,再排列两个小孩的房间,分两种情况,最后由分步计数原理可得答案.【详解】由题分析知，三个大人必各住一个房间，两个小孩可以同住三人间或三人间､两人间各一人，所以不同的安排方法有()3232118A A ⨯+=种.【点睛】本题考查排列组合的应用,以及排列数的计算,涉及到分步计数原理,属于基础题. 16.每次同时抛掷质地均匀的硬币4枚，抛n 次()*2,n n N∈，各次结果相互独立，记出现至少有1枚硬币面朝上的次数为X ，若()5E X >，则n 的最小值为________. 【答案】6 【解析】 【分析】先计算出实验一次，至少有1枚硬币正面朝上的概率，根据二项分布期望公式列不等式，解不等式求得n 的最小值.【详解】实验一次，至少有1枚硬币正面朝上的概率为41151216⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由题知15~,16X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则15516EX n =>，即163n >，所以正整数n 的最小值为6. 故答案为：6【点睛】本小题主要考查二项分布的识别和二项分布期望的有关计算，属于中档题.三､解答题17.已知二项式2nx x ⎛⎝的展开式中各项二项式系数的和为256，其中实数a 为常数.（1）求n 的值；（2）若展开式中二项式系数最大的项的系数为70，求a 的值. 【答案】（1）8n =；（2）12a =±. 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数和列方程，解方程求得n 的值.（2）根据二项式系数最大项为70，结合二项式展开式的通项公式列方程，解方程求得a 的值. 【详解】（1）由题知，二项式系数和122256n n n n n nC C C C ++++==，故8n =；（2）二项式系数分别为01288888,,,,C C C C ，根据其单调性知其中48C 最大，即为展开式中第5项，∴44482()70C a -⋅⋅=，即12a =±. 【点睛】本小题主要考查二项式展开式有关计算，属于中档题. 18.（1）已知z C ∈，解关于z 的方程(3)13z i z i -⋅=+；（2）已知32i +是关于x 的方程220x ax b ++=在复数集内的一个根，求实数a ，b 的值. 【答案】（1）1z =-或13i -+；（2）12,26a b =-=. 【解析】 【分析】（1）设,z a bi z a bi =+=-，代入(3)13z i z i -⋅=+，化简后利用向量相等的知识列方程组，解方程组求得,a b 的值，由此求得z .（2）根据虚根成对以及根与系数关系列方程组，解方程组求得,a b 的值.【详解】（1）设z a bi =+，则(3)()13a bi i a bi i +--=+，即223313a b b ai i +--=+∴223133a b b a ⎧+-=⎨-=⎩，解得10a b =-⎧⎨=⎩，或13a b =-⎧⎨=⎩∴1z =-或13i -+；（2）由题知方程在复数集内另一根为32i -，故323262(32)(32)132ai i b i i ⎧-=++-=⎪⎪⎨⎪=+-=⎪⎩，即12,26a b =-=.【点睛】本小题主要考查复数运算，考查复数相等的概念，属于中档题.19.已知函数32()1f x x x x =--+.（1）求()f x 在点(0,(0))f 处的切线； （2）求()f x 在区间[0,2]上的最大值和最小值. 【答案】（1）1x y +=；（2）最大值为3，最小值为0. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数,求出切点坐标以及切线的斜率,借助于点斜式方程写出切线; （2）判断出函数的单调性,求出极值和端点值,通过比较可得出最值.【详解】（1）2()321,(0)1f x x x f ''=--=-，又()01f =，所以切线方程为11(0)y x -=-⋅-，即1x y +=；（2）由（1）知()01f x x '>⇒>或13x <-，∴()f x 在[0,1]上单减，在[1,2]上单增，又(0)1,(1)0,(2)3f f f ===，∴()f x 在[0,2]上的最大值为3，最小值为0.【点睛】本题考查导数的应用,考查利用导数研究函数的切线方程,单调性以及函数的最值,考查学生的运算能力与逻辑思维,属于中档题.20.新冠病毒肆虐全球，尽快结束疫情是人类共同的期待，疫苗是终结新冠疫情最有力的科技武器，为确保疫苗安全性和有效性，任何疫苗在投入使用前都要经过一系列的检测及临床试验，周期较长.我国某院士领衔开发的重组新冠疫苗在动物猕猴身上进行首次临床试验.相关试验数据统计如下：没有感染新冠病毒 感染新冠病毒 总计没有注射重组新冠疫苗 10 x A 注射重组新冠疫苗 20 yB总计303060已知从所有参加试验的猕猴中任取一只，取到“注射重组新冠疫苗”猕猴的概率为512. （1）根据以上试验数据判断，能否有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效？（2）若从上述已感染新冠病毒的猕猴中任取三只进行病理分析，求至少取到两只注射了重组新冠疫苗的猕猴的概率.附：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b a c c d b d -==+++++++ ()2P K k0.05 0.010 0.005 0.001 k3.8416.6357.87910.828【答案】（1）有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效；（2）13203. 【解析】 【分析】（1）先求出,x y ，再根据独立性检验可得结论； （2）由组合的应用和古典概率公式可求得其概率. 【详解】（1）由题知2056012y +=，即5y =，∴25x =，35A =，25B =， ∴2260(1052520)10815.42910.828352530307K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，故有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效；（2）由题知试验样本中已感染新冠病毒的猕猴有30只，其中注射了重组新冠疫苗的猕猴有5只，则213525533013203C C C P C +==. 【点睛】本题考查补全列联表，独立性检验，以及组合的应用和古典概率公式，求解时注意“至少”，“至多”等，属于中档题.21.某学校组织教职工运动会，新增加的“趣味乒乓球单打”是这届运动会的热门项目.比赛规则如下：两人对垒，开局前抽签决定由谁先发球(机会均等)，此后均由每个球的赢球者发下一个球.对于每一个球，若发球者赢此球，发球者得1分，对手得0分；若对手赢得此球，发球者得0分，对手得2分；有一人得6分及以上或是两人分差达3分时比赛均结束，得分高者获胜.己知在选手甲和乙的对垒中，甲发球时甲赢得此球的概率是0.6，乙发球时甲赢得此球的概率是0.5，各球结果相互独立. （1）假设开局前抽签结果是甲发第一个球，求三次发球后比赛结束的概率；（2）在某局3∶3平后，接下来由甲发球，两人又打了X 个球后比赛结束，求X 的分布列及数学期望. 【答案】（1）0216．；（2）分布列答案见解析，2.944. 【解析】 【分析】（1）由题意分析可得，不会出现一方连续两次得2分的情况，所以三次发球能结束比赛必是两人分差达3分，然后分别讨论甲乙赢得比赛情况，计算总得分，找到符合题意的情况，计算概率即可.（2）利用二叉树表呈现打X 个球和甲乙得分情况，可得X 的所有可能取值为2，3，4，分别计算概率、列分布列求期望.【详解】（1）因为由赢球者发下一个球，故不会出现一方连续两次得2分的情况，所以三次发球能结束比赛必是两人分差达3分：①若第一个球甲赢，则甲得1分，故后两个球只能都是甲赢，这种情况的概率为0.60.60.60.216⨯⨯=； ②若第一个球乙赢，则乙得2分，且由乙发第二个球，此球，若乙赢则比赛结束，不符合题意；若甲赢，两人2∶2，第三个球结束分差不可能达3分，也不符合题意； 故所求概率为0.216.（2）分析接下来的比赛过程中甲､乙的得分情况： 标记甲赢为事件A ，乙赢为事件B1234(6:3)(5:3)(7:5)(5:5)(5:6)(4:3)(6:5)(4:5)(4:6)A A A B B A A B B ⎧⎧⎪⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎨⎩⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩； 123(6:5)(5:5)(3:5)(5:7)(3:6)A A B B B ⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩故X 的所有可能取值为2，3，4，(2)0.40.50.2P X ==⨯=，(3)0.6(0.60.60.41)0.40.510.656P X ==⨯⨯+⨯+⨯⨯=，(4)0.60.60.410.144P X ==⨯⨯⨯=，X 的分布列为 X234P0.2 0.656 0.14420.230.65640.144 2.944EX =⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查了随机事件独立性的综合应用、分布列和数学期望等基本数学知识，考查了理解辨析、分类讨论、数学运算能力和逻辑推理能力，属于中档题目. 22.已知函数2()ln 2f x x a x x =--，a R ∈.（1）若函数()f x 在(0,)+∞内单调递增，求a 的取值范围； （2）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，求()()1212f x f x x x +的取值范围. 【答案】（1）12a ≤-；（2）(,32ln 2)-∞--. 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，根据题意，得到()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，即222a x x ≤-恒成立，进而可求出结果；（2）先由题意，根据（1）得到2220x x a --=在(0,)+∞内有两个不等实根1x ，2x ，且102a -<<，则121x x =+，122a x x =-，不妨假设12x x <，则1102x <<， 将()()1212f x f x x x +化为()()111121ln 2ln 13x x x x -+--， 令1()(1)ln ln(1)02g x x x x x x ⎛⎫=-+-<< ⎪⎝⎭，对其求导，用导数的方法求出取值范围，即可得出结果.【详解】（1）由题意，2222()22a x x af x x x x--'=--=，0x >，因为函数()f x 在(0,)+∞内单调递增，所以()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，即222a x x ≤-恒成立，而22111222222x x x ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭，∴12a ≤-； （2）因为函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，所以由（1）可得：2220x x a --=在(0,)+∞内有两个不等实根1x ，2x ，且102a -<<，则121x x =+，122ax x =-，不妨假设12x x <，则1102x <<， ∴()()12121212121212ln ln ln ln 223f x f x x x x x x a x a a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--+--=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()12122112111112ln ln 322ln 2ln 321ln 2ln 13x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫=-++=+-=-+-- ⎪⎝⎭，令1()(1)ln ln(1)02g x x x x x x ⎛⎫=-+-<<⎪⎝⎭， 则1112()ln ln(1)ln 11(1)x x xg x x x x x x x x --⎛⎫'=-++--=-+ ⎪--⎝⎭， 显然111x->，120x ->， 故()0g x '>，∴()g x 单调递增， 又11ln 22g ⎛⎫=⎪⎝⎭，0x →时()g x →-∞， ∴1(),ln 2g x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，∴()()1212(,32ln 2)f x f x x x +∈-∞--. 【点睛】本题主要考查由函数在给定区间的单调性求参数的问题，以及求函数值域的问题，熟记导数的方法研究函数单调性以及极值、最值等即可，属于常考题型.。
重庆市2019-2020高二下学期月考数学(文)试卷
高二（文科）下期数学测试题参考公式：a bx y +=∧，∑∑==--=ni ini ii xn xyx n yx b 1221，xb y a -=一、选择题（每一小题5分，本题60分）:1．设集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{x |x 2＝x }，则A ∩B ＝( )A ．{1}B ．{－1}C ．{0,1}D ．{－1,0}2．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇等于( )A.r 22B.l 22C.lr2 D ．不可类比 3．根据给出的数塔猜测1 234 567×9＋8＝( ) 1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111A ．11 111 110B ．11 111 111C ．11 111 112D ．11 111 113 4复数5i －2＝( )A ．－2－iB ．－2＋IC ．2＋iD ．2－i5．若p ：x <2；q ：－1<x <2，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B 必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．函数y ＝x (3－x )＋x －1的定义域为( )A ．[1，＋∞)B ．[3，＋∞)C ．[0,3]D ． [1,3]7. 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－xC ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x ＋1x8．已知复数z 满足z i ＝i ＋m (m ∈R )，若z 的虚部为1，则复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．当n ＝4时，执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为( )A ．9B ．15C ．31D ．6310．函数 f(x)=x 2-4x+5在区间 [0,m]上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是（ ）A . ),2[+∞B .[2,4]C .(]2,∞-D 。
重庆市2019-2020学年下学期高二(期末)联合检测试卷数学试题
2020年春高二（下）联合检测试卷数学数学测试卷共4页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合1{2,3,5,7},12A B xx ⎧⎫==<⎨⎬-⎩⎭，则A B ⋂=（ ）A ．{2}B ．{}3C ．{}2,3D ．{}5,7 2．复数103i-的共轭复数是（ ） A ．3i + B ．3i - C ．3i -+ D ．3i --3．在研究某地区高中学生体重与身高间的相关关系的过程中，不会使用到的统计方法是（ ） A ．随机抽样 B ．散点图 C ．回归分析 D ．独立性检验 4．命题“2,20x R x ∀∈+>”的否定为（ ） A ．2,20x R x ∀∈+< B ．2,20x R x ∃∈+ C ．2,20x R x ∃∈+ D ．2,20x R x ∀∈+ 5．已知函数()sin f x a x b =+的导函数为()f x '，若13f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭，则a =（ ） A ．4 B ．2 C ．1 D ．126．设随机变量X 服从正态分布()21,(0)N σσ>，若(0)0.15P X <=，则(02)P X =（ ） A ．0.35 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.857．从3位男生、4位女生中选3人参加义工活动，要求男女生都要有，则不同的选法种数为（ ） A ．24 B ．30 C ．36 D ．408．5(21)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为（ ） A ．80- B ．20- C ．120 D ．2009．甲、乙、丙三人参加学业水平测试，已知他们通过测试的概率分别为112,,323，且每人是否通过测试相互独立，则这三人中至少有一人通过测试的概率为（ ） A ．19 B ．12 C ．78 D ．8910．己知曲线()(ln )xf x x a x e =+在点()1,e 处的切线经过坐标原点，则a =（ ）A ．e -B ．2-C ．1-D ．2e -11．已知函数3()(0)f x ax bx c bc =++<，则函数()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知()f x '是定义在R 上的偶函数()f x 的导函数，当0x <时，()2()xf x f x '<，且(1)0f =，若30.30,0log 3,0.5,log 0.2a b c ︒===，则（ ）A ．()()()f a f b f c >>B ．()()()f b f a f c >>C ．()()()f c f a f b >>D ．()()()f c f b f a >> 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．复数(1)z i i =--的虚部为________．14．已知具有相关关系的两个变量x ，y 的一组观测数据如下表所示，若据此利用最小二乘估计得到回归方程ˆ0.70.35yx =+，则m =_______．15．某旅馆有三人间、两人问、单人间各一间可入住，现有三个成人带两个小孩前来投宿，若小孩不单独入住一个房间（必须有成人陪同），且三间房都要安排给他们入住，则不同的安排方法有______种． 6．每次同时抛掷质地均匀的硬币4枚，抛n 次()*2,n n N ∈，各次结果相互独立，记出现至少有1枚硬币面朝上的次数为X ，若5EX >，则n 的最小值为________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知二项式n⎛⎝的展开式中各项二项式系数的和为256，其中实数a 为常数．（1）求n 的值；（2）若展开式中二项式系数最大的项的系数为70，求a 的值． 18．（12分）（1）已知z C ∈，解关于z 的方程(3)13z i z i -⋅=+；（2）已知32i +是关于x 的方程220x ax b ++=在复数集内的一个根，求实数a ，b 的值． 19．（12分）已知函数32()1f x x x x =--+． （1）求()f x 在点(0,(0))f 处的切线；（2）求()f x 在区间[0,2]上的最大值和最小值． 20．（12分）新冠病毒肆虐全球，尽快结束疫情是人类共同的期待，疫苗是终结新冠疫情最有力的科技武器，为确保疫苗安全性和有效性，任何疫苗在投入使用前都要经过一系列的检测及临床试验，周期较长．我国某院士领衔开发的重组新冠疫苗在动物猕猴身上进行首次临床试验．相关试验数据统计如下：已知从所有参加试验的猕猴中任取一只，取到“注射重组新冠疫苗”猕猴的概率为512． （1）根据以上试验数据判断，能否有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效？（2）若从上述已感染新冠病毒的猕猴中任取三只进行病理分析，求至少取到两只注射了重组新冠疫苗的猕猴的概率．附：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b a c c d b d -==+++++++21．（12分）某学校组织教职工运动会，新增加的“趣味乒乓球单打”是这届运动会的热门项目．比赛规则如下：两人对垒，开局前抽签决定由谁先发球（机会均等），此后均由每个球的赢球者发下一个球．对于每一个球，若发球者赢此球，发球者得1分，对手得0分；若对手赢得此球，发球者得0分，对手得2分；有一人得6分及以上或是两人分差达3分时比赛均结束，得分高者获胜．己知在选手甲和乙的对垒中，甲发球时甲赢得此球的概率是0.6，乙发球时甲赢得此球的概率是0.5，各球结果相互独立． （1）假设开局前抽签结果是甲发第一个球，求三次发球后比赛结束的概率；（2）在某局3∶3平后，接下来由甲发球，两人又打了X 个球后比赛结束，求X 的分布列及数学期望． 22．（12分）已知函数2()ln 2,f x x a x x a R =--∈．（1）若函数()f x 在(0,)+∞内单调，求a 的取值范围； （2）若函数()f x 存在两个极值点12,x x ，求()()1212f x f x x x +的取值范围． 2020年春高二（下）联合检测试卷数学参考答案一、选择题1～6 DBDBBC 7～12 BCDCDB第8题提示：555(21)(2)2(2)(2)x x x x x -+=+-+，这两项展开后均有3x ，系数为332255222120C C ⋅-=．第9题提示：所求事件的对立事件为“三人均未通过测试”，概率为21113239⨯⨯=，故至少一人通过测试的概率为18199-=． 第10题提示：()1ln x a f x x a x e x ⎛⎫'=+++ ⎪⎝⎭，∴(1)(2)f a e '=+，由题知0(2)10e a e -=+-，故1a =-． 第11题提示：2()3f x ax b '=+，显然若()f x 存在极值点，极值点必有两个，且互为相反数，故A 、C 都是错的；对于选项B 、D ：由图象的单调性知0a >，0b <，则0c >，即函数图象与y 轴的交点应在正半轴上，选项B 是错的，选项D 是可能的．第12题提示：当0x <时，224()2()()2()()2()00x f x xf x xf x f x x f x xf x x '-''<⇒->⇒>，即2()0f x x '⎛⎫> ⎪⎝⎭，令2()()f x g x x =，则()g x 在(,0)-∞上单调递增，又()f x 为偶函数，∴()g x 也是偶函数，故()g x 在(0,)+∞上单调递减，又()()110g f ==，故当()1,1x ∈-时()0g x >， 当(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞时()0g x <，0.52log 3log 3(2,1)a ==-∈--，0.30.310.5(0,1)2b ==∈，0.52log 0.2log 5(2,3)c ==∈，故()0()()g b g a g c >>>， 即222()()()0f b f a f c b a c >>>，故()0,()0,()0f b f a f c ><<，又2201a c <<， ∴22()()()a f a f c f c c>>，故选B ．二、填空题13．1- 14．3 15．18 16．6第15题提示：由题分析知，三个大人必各住一个房间，两个小孩可以同住三人间或三人间、两人间各一人，所以不同的安排方法有()3232118A A ⨯+=种．第16题提示：抛一次硬币，至少有1枚硬币正面朝上的概率为41151216⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由题知15~,16X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则15516EX n =>，即163n >，所以正整数n 的最小值为6． 三、解答题 17．（10分）解析：（1）由题知，二项式系数和0122256nn n n n n C C C C ++++==，故8n =； 5分（2）二项式系数分别为01288888,,,,C C C C ，根据其单调性知其中48C 最大， 8分即为展开式中第5项，∴44482()70C a -=，即12a =±． 10分 18．（12分）解析：（1）设z a bi =+，则(3)()13a bi i a bi i +--=+，即223313a b b ai i +--=+， 2分∴223133a b b a ⎧+-=⎨-=⎩，解得103a b =-⎧⎨=⎩或，∴1z =-或13i -+； 6分（2）由题知方程在复数集内另一根为32i -，故323262(32)(32)132ai i b i i ⎧-=++-=⎪⎪⎨⎪=+-=⎪⎩，即12,26a b =-=． 12分 19．（12分）解析；（1）2()321,(0)1f x x x f ''=--=-，又()01f =，所以切线方程为11(0)y x -=-⋅-，即1x y +=； 4分（2）由（1）知()01f x x '>⇒>或13x <-，∴()f x 在[0,1]上单减，在[1,2]上单增， 8分 又(0)1,(1)0,(2)3f f f ===，∴()f x 在[0,2]上的最大值为3，最小值为0． 12分 20．（12分） 解析：（1）由题知2056012y +=，即5y =，∴25x =，35A =，25B =， 2分 ∴2260(1052520)10810.828352530307K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯， 故有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效； 6分（2）由题知试验样本中已感染新冠病毒的猕猴有30只，其中注射了重组新冠疫苗的猕猴有5只，则213525533013203C C C P C +==． 12分 21．（12分）解析：（1）因为由赢球者发下一个球，故不会出现一方连续两次得2分的情况，所以三次发球能结束比赛必是两人分差达3分：①若第一个球甲赢，则甲得1分，故后两个球只能都是甲赢，这种情况的概率为0.60.60.60.216⨯⨯=；②若第一个球乙赢，则乙得2分，且由乙发第二个球，此球，若乙赢则比赛结束，不符合题意；若甲赢，两人2∶2，第三个球结束分差不可能达3分，也不符合题意； 故所求概率为0.216． 6分 （2）分析接下来的比赛过程中甲、乙的得分情况：故X 的所有可能取值为2，3，4， 7分(2)0.40.50.2P X ==⨯=，(3)0.6(0.60.60.41)0.40.510.656P X ==⨯⨯+⨯+⨯⨯=，(4)0.60.60.410.144P X ==⨯⨯⨯=，X 的分布列为11分20.230.65640.144 2.944EX =⨯+⨯+⨯=． 12分22．（12分）解析：（1）2222()22,0a x x af x x x x x--'=--=>，由题知()0f x '≥恒成立， 即222a x x -恒成立，而22111222222x x x ⎛⎫-=--- ⎪⎝⎭，∴12a -； 4分（2）由题知2220x x a --=在(0,)+∞内有两个不等实根12,x x ，则102a -<<， 且12121,2a x x x x +==-，不妨假设12x x <，则1102x <<， 5分 ∴()()12121212121212ln ln ln ln 223f x f x x x x x x a x a a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--+--=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()12122112111112ln ln 322ln 2ln 321ln 2ln 13x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫=-++=+-=-+-- ⎪⎝⎭， 9分令1()(1)ln ln(1)02g x x x x x x ⎛⎫=-+-<<⎪⎝⎭，则1112()ln ln(1)ln 11(1)x x xg x x x x x x x x --⎛⎫'=-++--=-+ ⎪--⎝⎭，显然111,120x x ->->， 故()0g x '>，∴()g x 单调递增，11ln ,022g x ⎛⎫=→⎪⎝⎭时()g x →-∞， ∴1(),ln2g x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭， ∴()()1212(,32ln 2)f x f x x x +∈-∞--． 12分。
2019-2020学年重庆市育才中学高二下学期期末考试数学试题 Word版
12019-2020学年重庆市育才中学高二下学期期末考试数学试题数学试题卷共6页，考试时间120分钟，满分150分。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷、答题卡一并收回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将正确答案的代号填涂在答题卡上.1.已知i 为虚数单位，若2 1im i++是纯虚数，则实数m 的值为 A ．12 B ．2 C ．2- D ．12-2.某物体的运动方程为2122st t =-+，其中位移s 的单位是米，时间t 的单位是秒，那么该物体在3秒时的瞬时速度大小是A ．9米/秒B ．10米/秒C ．12米/秒D ．13米/秒3.262()x x-的展开式中的常数项为A ．240B ．240-C ．480D ． 480- 4. 从 5名志愿者中选出 3人分别从事翻译、导游、导购三项不同工作，则选派方案共有A ．10种B ．20种C ．60种D ．120种5.若()5234501234512x a a x a x a x a x a x -=+++++，则012345a a a a a a +++++=A. 1B. 32C. 81D. 2436.已知某批零件的长度误差ξ（单位：mm ）服从正态分布2(0,3)N ，若(33)0.6826P ξ-<≤=，(66)0.9544P ξ-<≤=，现从中随机抽取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率(36)P ξ<<= A. 0.1359B. 0.2718C. 0.3174D. 0.0456[机密]2020年 7月11日前27．5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5G 技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司于2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为0.042y x a =+.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则该款5G 手机市场占有率能超过0.5% 的最早时间是（精确到月）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月8. 从1,2,3,4,5,6,7中任取两个不同的数，事件A =“取到的两个数之和为偶数”，事件B =“取到的两个数均为偶数”，则()|P B A =A.25B.27C.14D.139. 在10个排球中有6个正品，4个次品.从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为A.435 B. 542 C. 1942 D. 82110．如图所示的五个区域中，中心区域E 是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色．．．．．．．．．，有四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为 A ．84 B ．72C ．64D ．560.020 1 2 3 45 x 0.200.150.100.05y(单位:%)0.05 0.10.150.18 A DE B C311．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在1x =-处取得极大值，则函数()y xf x '=的图象可能是A B C D12. 已知函数()()xf x x k e k =-+，k Z ∈，()lng x x x x =-，若1(0,)x ∃∈+∞，2(0,)x ∀∈+∞，不等式21()5()0f x g x ->成立，则k 的最大值为A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应的位置上． 13. 已知函数()2sin xf x e x =-，则(0)f '=_______.14. 已知i 为虚数单位，实数x ，y 满足2(4)(1)x i i y i +=+-，则||x yi -=______.15. 某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点（洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道）进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为_________.（用数字作答）16. 已知函数3()2f x x ax a =++,过点(1,0)M -引曲线:()C y f x =的两条切线，这两条切线与y 轴分别交于,A B 两点，且||||MA MB =，则a = ，设0x 是函数()f x 的极大值点，则0x = ．三、解答题：共70分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上．17．（本小题满分10分）已知函数321()33f x x ax x =--在点(1,(1))f 处的切线与直线450x y +-=平行．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[4,4]-的最大值和最小值．-1 O xy-1 O xy-1 O xy-1 O xy18.（本小题满分12分）为了调查某社区居民每天参加健身的时间，某机构在该社区随机采访男性、女性各50名，其中每人每天的健身时间不少于1小时称为“健身族”，否则称其为“非健身族”，调查结果如下：（Ⅰ）若居民每人每天的平均键身时间不少于60分钟，则称该社区为“健身社区”.已知被随机采访的男性健身族，男性非健身族，女性健身族，女性非健身族每人每天的平均健身时间分别是1.2小时，0.8小时，1.5小时，0.7小时，试估计该社区可否称为“健身社区”？（Ⅱ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过5%的情况下认为“健身族”与“性别”有关？参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.参考数据：4519.（本小题满分12分）某地盛产脐橙，该地销售脐橙按照等级分为四类：珍品、特级、优级和一级（每箱重量为5kg ），某采购商打算在该地采购一批脐橙销往外地，并从采购的这批脐橙中随机抽取50箱，利用脐橙的等级分类标准得到的数据如下表：（Ⅰ）用分层抽样的方法从这50箱脐橙中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，ξ表示随机抽取的3箱中是特级的箱数，求ξ的分布列及数学期望()E ξ； （Ⅱ）利用样本估计总体，该地提出两种购销方案供采购商参考:方案一：不分等级卖出，价格为20元/kg ； 方案二：分等级卖出，分等级的脐橙价格如下：从采购商节约资金的角度考虑，应该采用哪种方案？20．（本小题满分12分）已知函数()21xf x e x =--（e 为自然对数的底数）． （Ⅰ）当[0,)x ∈+∞时，求证：()1f x ≥； （Ⅱ）设2()(1)()g x x m x f x =+--，若关于x 的不等式()0g x ≤对于任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围．621. （本小题满分12分）“蛟龙号”载人潜水艇执行某次任务时从海底带回来某种生物.甲、乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况的研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为14，乙组能使生物成活的概率为13，假定试验后生物成活，则称该次试验成功，如果生物不成活，则称该次试验失败. （Ⅰ）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；（Ⅱ）如果乙小组成功了4次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率；（Ⅲ）若甲、乙两小组各进行2次试验，记试验成功的总次数为随机变量X ，求X的分布列与数学期望()EX .22. （本小题满分12分）已知函数()ln f x x a x =-．（Ⅰ）函数()f x 在点(1,(1))f 的切线经过点5(2,)2-，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间(1,)+∞上存在零点，求实数a 的取值范围．72019—2020学年度(下)高中学业质量调研抽测高二数学参考答案及评分意见一、选择题： 1-5：C B A C D ； 6-10：A C D B A ； 11-12:C B . 二、填空题：13. 1-；14. 15.36； 16. a =274-（3分），0x=2分） 三、解答题：17.解:（Ⅰ）由321()33f x x ax x =--，得2()23f x x ax '=--， ……………………1分(1)22f a '=--. ……………………………………………………………2分由题意，得224a --=-， ∴1a =. …………………………………………4分（Ⅱ）321()33f x x x x =--，2()23f x x x '=--， 由2()230f x x x '=-->，得1x <-或3x >， 由2()230f x x x '=--<，得13x -<<， …………………………………………6分∵[4,4]x ∈-，∴()f x 的单调递增区间为(4,1)--，(3,4)，递减区间为(1,3)-. ∴()f x 的极大值为5(1)3f -=，极小值为(3)9f =-. ……………………………8分又76(4)3f -=-，20(4)3f =-， ∴函数()f x 在区间[4,4]-的最大值为53，最小值为763-． ……………………10分818.解（Ⅰ）随机抽样的100名居民每人每天的平均健身时间为1.2400.810 1.5300.7201.15100⨯+⨯+⨯+⨯=小时， ……………………………4分由此估计该小区居民每人每天的平均健身时间为1.15小时，因为1.15小时60>分钟，所以该社区可称为“健身社区”. ……………………6分（Ⅱ）由联立表可得，()()()()()()22210040203010100 4.7627030505021n ad bc k a b c d a c b d -⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯. ………10分∵4.762 3.840>，所以能在犯错误概率不超过5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关. ……………12分19.解：（Ⅰ）用分层抽样的方法从这50箱脐橙中抽取10箱，其中特级品为3箱,非特级品为7箱,…1分ξ表示随机抽取的是特级的箱数，则ξ的取值为0,1,2,3. ………………………2分则03373107(0)24C C P C ξ=== ， 123731021(1)40C C P C ξ===， 21373107(2)40C C P C ξ===， 333101(3)120C P C ξ===. ξ的分布列为：9……………………………………………6分721719()012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. …………………………………………8分（Ⅱ）设方案二的单价为η，则η 的期望为：1331()2520151017.5510105E η=⨯+⨯+⨯+⨯=. …………………………………………11分()17.520E η=<,从采购商的角度考虑，应该采用方案二. …………………………………12分20．解：（Ⅰ）由()21xf x e x =--，∵[0,)x ∈+∞， ∴0()212110x f x e e '=-≥-=>. …………………………………………………2分 ∴()f x 在[0,)+∞上单调递增， …………………………………………………3分 ∴()(0)1f x f ≥=． …………………………………………………4分（Ⅱ）由2()(1)()g x x m x f x =+--，得2()12xg x x mx e =++-. ∵2120x x mx e ++-≤在(0,)x ∈+∞上恒成立，即221x e x m x--≤在(0,)x ∈+∞上恒成立. …………………………………6分10当(0,)x ∈+∞时，设22121()()x x e x e t x x x x x--==-+， 2222(1)1(1)(21)()(1)x x e x x e x t x x x x----'=--=. ……………………………7分由（Ⅰ）知()(0)1f x f ≥=210x e x -->在(0,)+∞上恒成立， 令()0t x '=得1x =，∴当(0,1)x ∈时，()0t x '<，()t x 单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0t x '>，()t x 单调递增， ………………………………………9分 ∴min ()(1)22t x t e ==-. ……………………………………………………………11分 ∴22m e ≤-. ……………………………………………………………12分21.解：（Ⅰ）记至少两次试验成功为事件A ，则()232333131544432P A C C ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴甲小组做三次试验，至少两次试验成功的概率为532. …………………………3分 （Ⅱ）由题意知，乙小组第四次成功前共进行了6次试验，其中三次成功三次失败，且恰有两次连续失败，共有2412A =种情况.记乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败为事件B ，则()331213212333729P B ⎛⎫⎛⎫=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率为1132729. …………………6分 （Ⅲ）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4. 则()22323610431444P X ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()221122132312605144343314412P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯== ⎪ ⎝⎭⎝⨯⨯⨯⎪⎭，()222211221213123137243443343144P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⨯⨯⨯+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⨯， ()221122112131105343344314472P X C C ⎛⎫⨯⨯⨯⎛⎫==⨯+⨯⨯==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()22111443144P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴X 的概率分布为：………………………………………………11分 ∴数学期望()3660371017012341441441441441446E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. …………………12分22.解：（Ⅰ）由函数()ln f x x a x =，(0,)x ∈+∞，(1)0f =，()f x '=， 1(1)2f a '=-.在点(1,(1))f 的切线方程为1()(1)2y a x =--，代入点5(2,)2- 得3a =. ……………3分12262)()022x f x x x-+'===，得4x =，当(0,4)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当(4,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，()f x 的极小值为(4)26ln 2f =-. ……………………………………5分 （Ⅱ），令，因为，当 时，，所以，所以在上为增函数，则. …………………7分当时，，所以，所以在上为增函数，则，所以在上没有零点. ………………………8分 当时，即，因为在上为增函数，则存在唯一的，使得，且当时，，当时，.所以，当时，，为减函数， 当时，，为增函数，当时，， ………………………………………11分因为，当趋于时，趋于，所以在内，一定存在一个零点.，所以．…………………12分13。
2019-2020学年重庆市高二下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年重庆市高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{2，3，5，7}，B＝{x|＜1}，则A∩B＝（）A．{2}B．{3}C．{2，3}D．{5，7}2．复数的共轭复数是（）A．3+i B．3﹣i C．﹣3+i D．﹣3﹣i3．在研究某地区高中学生体重与身高间的相关关系的过程中，不会使用到的统计方法是（）A．随机抽样B．散点图C．回归分析D．独立性检验4．命题“∀x∈R，x2+2＞0”的否定是（）A．∃x∈R，x2+2＞0B．∃x∈R，x2+2≤0C．∀x∈R，x2+2≤0D．∀x∈R，x2+2＜05．已知函数f（x）＝a sin x+b的导函数为f'（x），若，则a＝（）A．4B．2C．1D．6．设随机变量X服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若P（X＜0）＝0.15，则P（0≤X ≤2）＝（）A．0.35B．0.6C．0.7D．0.857．从3位男生、4位女生中选3人参加义工活动，要求男女生都要有，则不同的选法种数为（）A．24B．30C．36D．408．（2x﹣1）（x+2）5的展开式中，x3的系数是（）A．200B．120C．80D．409．甲、乙、丙三人参加学业水平测试，已知他们通过测试的概率分别为，且每人是否通过测试相互独立，则这三人中至少有一人通过测试的概率为（）A．B．C．D．10．已知曲线f（x）＝（x+alnx）e x在点（1，e）处的切线经过坐标原点，则a＝（）A．﹣e B．﹣2C．﹣1D．e﹣211．已知函数f（x）＝ax3+bx+c（bc＜0），则函数y＝f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．12．已知f′（x）是定义在R上的偶函数f（x）的导函数，当x＜0时，xf′（x）＜2f（x），且f（1）＝0，若a＝log0.53，b＝0.50.3，c＝log0.50.2，则（）A．f（a）＞f（b）＞f（c）B．f（b）＞f（a）＞f（c）C．f（c）＞f（a）＞f（b）D．f（c）＞f（b）＞f（a）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．复数z＝i（﹣i﹣1）的虚部为．14．已知具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据如表所示，若据此利用最小二乘估计得到回归方程＝0.7x+0.35，则m＝．x3456y 2.5m4 4.515．某旅馆有三人间、两人间、单人间各一间可入住，现有三个成人带两个小孩前来投宿，若小孩不单独入住一个房间（必须有成人陪同），且三间房都要安排给他们入住，则不同的安排方法有种．16．每次同时抛掷质地均匀的硬币4枚，抛n次（n≥2，n∈N*），各次结果相互独立，记出现至少有1枚硬币面朝上的次数为X，若EX＞5，则n的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知二项式的展开式中各项二项式系数的和为256，其中实数a为常数．（1）求n的值；（2）若展开式中二项式系数最大的项的系数为70，求a的值．18．（1）已知z∈C，解关于z的方程（z﹣3i）•＝1+3i；（2）已知3+2i是关于x的方程2x2+ax+b＝0在复数集内的一个根，求实数a，b的值．19．已知函数f（x）＝x3﹣x2﹣x+1．（1）求f（x）在点（0，f（0））处的切线；（2）求f（x）在区间[0，2]上的最大值和最小值．20．新冠病毒肆虐全球，尽快结束疫情是人类共同的期待，疫苗是终结新冠疫情最有力的科技武器，为确保疫苗安全性和有效性，任何疫苗在投入使用前都要经过一系列的检测及临床试验，周期较长．我国某院士领衔开发的重组新冠疫苗在动物猕猴身上进行首次临床试验．相关试验数据统计如表：没有感染新冠病毒感染新冠病毒总计没有注射重组新冠疫10x A苗注射重组新冠疫苗20y B总计303060已知从所有参加试验的猕猴中任取一只，取到“注射重组新冠疫苗”猕猴的概率为．（1）根据以上试验数据判断，能否有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效？（2）若从上述已感染新冠病毒的猕猴中任取三只进行病理分析，求至少取到两只注射了重组新冠疫苗的猕猴的概率．附：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.050.0100.0050.001 k 3.841 6.6357.87910.828 21．某学校组织教职工运动会，新增加的“趣味乒乓球单打”是这届运动会的热门项目．比赛规则如下：两人对垒，开局前抽签决定由谁先发球（机会均等），此后均由每个球的赢球者发下一个球．对于每一个球，若发球者赢此球，发球者得1分，对手得0分；若对手赢得此球，发球者得0分，对手得2分；有一人得6分及以上或是两人分差达3分时比赛均结束，得分高者获胜．已知在选手甲和乙的对垒中，甲发球时甲赢得此球的概率是0.6，乙发球时甲赢得此球的概率是0.5，各球结果相互独立．（1）假设开局前抽签结果是甲发第一个球，求三次发球后比赛结束的概率；（2）在某局3：3平后，接下来由甲发球，两人又打了X个球后比赛结束，求X的分布列及数学期望．22．已知函数f（x）＝x2﹣alnx﹣2x，a∈R．（1）若函数f（x）在（0，+∞）内单调，求a的取值范围；（2）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2，求+的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{2，3，5，7}，B＝{x|＜1}，则A∩B＝（）A．{2}B．{3}C．{2，3}D．{5，7}【分析】求出集合B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{2，3，5，7}，B＝{x|＜1}＝{x|x＜2或x＞3}，∴A∩B＝{5，7}．故选：D．2．复数的共轭复数是（）A．3+i B．3﹣i C．﹣3+i D．﹣3﹣i【分析】根据复数的运算法则进行化简，结合共轭复数的定义进行求解即可．解：＝＝＝3+i，则复数的共轭复数为3﹣i，故选：B．3．在研究某地区高中学生体重与身高间的相关关系的过程中，不会使用到的统计方法是（）A．随机抽样B．散点图C．回归分析D．独立性检验【分析】根据题意，分别判断题目中是统计方法是否在研究学生体重与身高间的相关关系的过程中使用到即可．解：利用随机抽样得出样本数据，利用散点图判断学生体重与身高间的相关关系强弱，利用回归分析判断建立的模型效果是否合适；独立性检验是研究两个变量之间是否有关系的判断问题，所以不会用到独立性检验．故选：D．4．命题“∀x∈R，x2+2＞0”的否定是（）A．∃x∈R，x2+2＞0B．∃x∈R，x2+2≤0C．∀x∈R，x2+2≤0D．∀x∈R，x2+2＜0【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，x2+2＞0”的否定是：∃x∈R，x2+2≤0．故选：B．5．已知函数f（x）＝a sin x+b的导函数为f'（x），若，则a＝（）A．4B．2C．1D．【分析】可以求出导函数f′（x）＝a cos x，从而得出，然后求出a的值即可．解：f′（x）＝a cos x，∴，∴a＝2．故选：B．6．设随机变量X服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若P（X＜0）＝0.15，则P（0≤X ≤2）＝（）A．0.35B．0.6C．0.7D．0.85【分析】由已知求得正态分布曲线的对称轴方程，再由已知结合正态分布曲线的对称性求解．解：由随机变量X服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），可知正态分布曲线的对称轴方程为x＝1，又P（X＜0）＝0.15，∴P（X＞2）＝0.15，则P（0≤X≤2）＝1﹣[P（X＜0）+P（X＞2）]＝1﹣0.3＝0.7．故选：C．7．从3位男生、4位女生中选3人参加义工活动，要求男女生都要有，则不同的选法种数为（）A．24B．30C．36D．40【分析】根据题意，分2种情况讨论：①选出的3人为1男2女，②选出的3人为2男1女，分别求出每种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案．解：根据题意，要求选出的3人男女生都要有，分2种情况讨论：①选出的3人为1男2女，有C31C42＝18种选法，②选出的3人为2男1女，有C32C41＝12种选法，则有18+12＝30种不同的选法；故选：B．8．（2x﹣1）（x+2）5的展开式中，x3的系数是（）A．200B．120C．80D．40【分析】把（x+2）5按照二项式定理展开，可得（2x﹣1）（x+2）5的展开式中含x3项的系数．解：由于（2x﹣1）（x+2）5＝（2x﹣1）（x5+10x4+40x3+80x2+80x+32），∴含x3项的系数为2×80﹣40＝120，故选：B．9．甲、乙、丙三人参加学业水平测试，已知他们通过测试的概率分别为，且每人是否通过测试相互独立，则这三人中至少有一人通过测试的概率为（）A．B．C．D．【分析】所求事件的对立事件为“三人均未通过测试”，由此能求出至少一人通过测试的概率．解：所求事件的对立事件为“三人均未通过测试”，概率为p＝，故至少一人通过测试的概率为p＝．故选：D．10．已知曲线f（x）＝（x+alnx）e x在点（1，e）处的切线经过坐标原点，则a＝（）A．﹣e B．﹣2C．﹣1D．e﹣2【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝1处的导数，再由题意结合两点求斜率列式求得a值．解：由f（x）＝（x+alnx）e x，得，∴f'（1）＝（a+2）e，由题知，解得：a＝﹣1．故选：C．11．已知函数f（x）＝ax3+bx+c（bc＜0），则函数y＝f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】先对函数f（x）求导得f'（x）＝3ax2+b，根据f'（x）＝0的根的情况可判断函数的极值点情况；再根据函数的单调性分析a、b、c的符号，从而得解．解：f'（x）＝3ax2+b，若f（x）存在极值点，则极值点必有两个，且互为相反数，故选项A、C都是错误的；对于选项B、D，由图象可知函数均是先单调递增，再单调递减，再单调递增，所以a ＞0，b＜0，因为bc＜0，所以c＞0，即函数图象与y轴的交点应在正半轴上，即选项B是错误的．故选：D．12．已知f′（x）是定义在R上的偶函数f（x）的导函数，当x＜0时，xf′（x）＜2f（x），且f（1）＝0，若a＝log0.53，b＝0.50.3，c＝log0.50.2，则（）A．f（a）＞f（b）＞f（c）B．f（b）＞f（a）＞f（c）C．f（c）＞f（a）＞f（b）D．f（c）＞f（b）＞f（a）【分析】令，根据函数的奇偶性和单调性求出g（b）＞0＞g（a）＞g（c），从而判断结论．解：当x＜0时，，即，令，则g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，又f（x）为偶函数，∴g（x）也是偶函数，故g（x）在（0，+∞）上单调递减，又g（1）＝f（1）＝0，故当x∈（﹣1，0）∪（0，1）时，g（x）＞0，当x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，g （x）＜0，a＝log0.53＝﹣log23∈（﹣2，﹣1），，c＝log0.50.2＝log25∈（2，3），故g（b）＞0＞g（a）＞g（c），即，故f（b）＞0，f（a）＜0，f（c）＜0，又，∴，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．复数z＝i（﹣i﹣1）的虚部为﹣1．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵z＝i（﹣i﹣1）＝1﹣i，∴复数z＝i（﹣i﹣1）的虚部为﹣1．故答案为：﹣1．14．已知具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据如表所示，若据此利用最小二乘估计得到回归方程＝0.7x+0.35，则m＝3．x3456y 2.5m4 4.5【分析】利用回归直线经过样本中心，然后求解m即可．解：由题意可知＝，＝，因为回归直线经过样本中心，所以，解得m＝3．故答案为：3．15．某旅馆有三人间、两人间、单人间各一间可入住，现有三个成人带两个小孩前来投宿，若小孩不单独入住一个房间（必须有成人陪同），且三间房都要安排给他们入住，则不同的安排方法有18种．【分析】根据题意，分2步进行分析：①分析易得三个大人必各住一个房间，由排列数公式可得其安排方法数目，②分情况讨论两个小孩的安排方法，由分步计数原理计算可得答案．解：由题分析知，三个大人必各住一个房间，有A33种安排方法，两个小孩有2种情况：可以同住三人间或三人间、两人间各一人，有1+A22种安排方法所以不同的安排方法有种；故答案为：1816．每次同时抛掷质地均匀的硬币4枚，抛n次（n≥2，n∈N*），各次结果相互独立，记出现至少有1枚硬币面朝上的次数为X，若EX＞5，则n的最小值为6．【分析】求出硬币面朝上的概率，得到独立重复实验的概型，求出期望，列出不等式求解即可．解：抛一次硬币，至少有1枚硬币正面朝上的概率为，由题知，则，即，所以正整数n的最小值为6．故答案为：6．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知二项式的展开式中各项二项式系数的和为256，其中实数a为常数．（1）求n的值；（2）若展开式中二项式系数最大的项的系数为70，求a的值．【分析】（1）直接根据二项式系数的特点即可求n；（2）直接根据二项式系数的特点即可求出对应项的项数，进而求出对应项的系数，即可求解结论．解：（1）由题知，二项式系数和，故n＝8；（2）二项式系数分别为，根据其单调性知其中最大，即为展开式中第5项，∴，即．18．（1）已知z∈C，解关于z的方程（z﹣3i）•＝1+3i；（2）已知3+2i是关于x的方程2x2+ax+b＝0在复数集内的一个根，求实数a，b的值．【分析】（1）利用待定系数法，代入结合复数相等进行求解即可．（2）根据实系数虚根必共轭，然后利用根与系数之间的关系进行求解即可．解：（1）设z＝a+bi，则（a+bi﹣3i）（a﹣bi）＝1+3i，即a2+b2﹣3b﹣3ai＝1+3i，∴，得，∴z＝﹣1或﹣1+3i；（2）在实系数方程中，虚根必为共轭复数根，则方程在复数集内另一根为3﹣2i，故，即a＝﹣12，b＝26．19．已知函数f（x）＝x3﹣x2﹣x+1．（1）求f（x）在点（0，f（0））处的切线；（2）求f（x）在区间[0，2]上的最大值和最小值．【分析】（1）求出函数的导数，求出切点坐标，切线的斜率，然后求解切线方程．（2）判断函数的单调性，求出极值以及端点值，然后求解最值．【解答】解；（1）函数f（x）＝x3﹣x2﹣x+1，所以f'（x）＝3x2﹣2x﹣1，f'（0）＝﹣1，又f（0）＝1，所以切线方程为y﹣1＝﹣1•（x﹣0），即x+y＝1；（2）由（1）知f'（x）＞0⇒x＞1或，∴f（x）在[0，1]上单减，在[1，2]上单增，又f（0）＝1，f（1）＝0，f（2）＝3，∴f（x）在[0，2]上的最大值为3，最小值为0．20．新冠病毒肆虐全球，尽快结束疫情是人类共同的期待，疫苗是终结新冠疫情最有力的科技武器，为确保疫苗安全性和有效性，任何疫苗在投入使用前都要经过一系列的检测及临床试验，周期较长．我国某院士领衔开发的重组新冠疫苗在动物猕猴身上进行首次临床试验．相关试验数据统计如表：没有感染新冠病毒感染新冠病毒总计没有注射重组新冠疫10x A苗注射重组新冠疫苗20y B总计303060已知从所有参加试验的猕猴中任取一只，取到“注射重组新冠疫苗”猕猴的概率为．（1）根据以上试验数据判断，能否有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效？（2）若从上述已感染新冠病毒的猕猴中任取三只进行病理分析，求至少取到两只注射了重组新冠疫苗的猕猴的概率．附：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.050.0100.0050.001 k 3.841 6.6357.87910.828【分析】（1）由题意列方程求出y、x和A、B的值；计算K2，对照附表得出结论；（2）由题意计算所求的概率值即可．解：（1）由题知，解得y＝5，所以x＝30﹣5＝25，A＝10+25＝35，B＝20+5＝25；所以，故有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效；（2）由题知试验样本中已感染新冠病毒的猕猴有30只，其中注射了重组新冠疫苗的猕猴有5只，所以．21．某学校组织教职工运动会，新增加的“趣味乒乓球单打”是这届运动会的热门项目．比赛规则如下：两人对垒，开局前抽签决定由谁先发球（机会均等），此后均由每个球的赢球者发下一个球．对于每一个球，若发球者赢此球，发球者得1分，对手得0分；若对手赢得此球，发球者得0分，对手得2分；有一人得6分及以上或是两人分差达3分时比赛均结束，得分高者获胜．已知在选手甲和乙的对垒中，甲发球时甲赢得此球的概率是0.6，乙发球时甲赢得此球的概率是0.5，各球结果相互独立．（1）假设开局前抽签结果是甲发第一个球，求三次发球后比赛结束的概率；（2）在某局3：3平后，接下来由甲发球，两人又打了X个球后比赛结束，求X的分布列及数学期望．【分析】（1）由赢球者发下一个球，不会出现一方连续两次得2分的情况，从而三次发球能结束比赛必是两人分差达3分，由此能求出三次发球后比赛结束的概率．（2）分析接下来的比赛过程中甲、乙的得分情况，得到X的所有可能取值为2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．解：（1）因为由赢球者发下一个球，故不会出现一方连续两次得2分的情况，所以三次发球能结束比赛必是两人分差达3分：①若第一个球甲赢，则甲得1分，故后两个球只能都是甲赢，这种情况的概率为0.6×0.6×0.6＝0.216；②若第一个球乙赢，则乙得2分，且由乙发第二个球，此球，若乙赢则比赛结束，不符合题意；若甲赢，两人2：2，第三个球结束分差不可能达3分，也不符合题意；故三次发球后比赛结束的概率为0.216．（2）分析接下来的比赛过程中甲、乙的得分情况：故X的所有可能取值为2，3，4，P（X＝2）＝0.4×0.5＝0.2，P（X＝3）＝0.6×（0.6×0.6+0.4×1）+0.4×0.5×1＝0.656，P（X＝4）＝0.6×0.6×0.4×1＝0.144，X的分布列为X234P0.20.6560.144 EX＝2×0.2+3×0.656+4×0.144＝2.944．22．已知函数f（x）＝x2﹣alnx﹣2x，a∈R．（1）若函数f（x）在（0，+∞）内单调，求a的取值范围；（2）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2，求+的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为a≤2x2﹣2x恒成立，求出a的范围即可；（2）求出+的解析式，令g（x）＝（1﹣x）lnx+xln（1﹣x），（0＜x ＜），根据函数的单调性求出g（x）的范围，从而求出问题的答案．解：（1）f′（x）＝2x﹣﹣2＝（x＞0），由题意得f′（x）≥0恒成立，即a≤2x2﹣2x恒成立，而2x2﹣2x＝2﹣≥﹣，∴a≤﹣；（2）由题意知2x2﹣2x﹣a＝0在（0，+∞）内有2个不等实根x1，x2，则﹣＜a＜0，且x1+x2＝1，x1x2＝﹣，不妨设x1＜x2，则0＜x1＜，∴+＝（x1﹣a﹣2）+（x2﹣a﹣2）＝﹣3﹣a（+）＝﹣3+2x1x2（+）＝2x2lnx1+2x1lnx2﹣3＝2（1﹣x1）lnx1+2x1ln（1﹣x1）﹣3，令g（x）＝（1﹣x）lnx+xln（1﹣x），（0＜x＜），则g′（x）＝﹣lnx++ln（1﹣x）﹣＝ln（﹣1）+，显然﹣1＞1，1﹣2x＞0，故g′（x）＞0，g（x）递增，而g（）＝ln＝﹣ln2，x→0时，g（x）→﹣∞，故g（x）∈（﹣∞，﹣ln2），∴+∈（﹣∞，﹣3﹣2ln2）．。
2019-2020学年重庆市渝北区、合川区、江北区等七区高二下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年重庆市合川区、渝北区、江北区等七区高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣4|x|≤0}，B＝{x|x＞0}，则A∩B＝（）A．（0，4]B．[0，4]C．[0，2]D．（0，2]2．已知i是虚数单位，复数z满足z（3+4i）＝1+i，则z的共轭复数在复平面内表示的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量＝（，﹣1），＝（cos A，sin A）．若⊥，且αcos B+b cos A＝c sin C，则角A，B的大小分别为（）A．，B．，C．，D．，4．“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础刘徽把圆内接正多边形的面积直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据．如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（参考数据＝2.0946）（）A．3.1419B．3.1417C．3.1415D．3.14135．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A．P1＝P2＜P3B．P2＝P3＜P1C．P1＝P3＜P2D．P1＝P2＝P36．已知﹣1＜a+b＜3，且2＜a﹣b＜4，则2a+3b的范围是（）A．B．C．D．7．已知a∈R，b∈R，则“直线ax+2y﹣1＝0与直线（a+1）x﹣2ay+1＝0垂直”是“a＝3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且＝2，抛物线的准线l与x轴交于C，△ACF的面积为8，则|AB|＝（）A．6B．9C．9D．69．已知函数f（x）在定义域上是单调函数，且f[f（x）﹣2020x]＝2021，当g（x）＝sin x ﹣cos x﹣kx在上与f（x）在R上的单调性相同时，实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．C．D．10．已知函数f（x）＝lnx+1，，若f（m）＝g（n）成立，则m﹣n的最小值是（）A．B．C．D．11．设F（c，0）为双曲线E：的右焦点，以F为圆心，b为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，线段FP的中点为D，△POF的外心为I，且满足，则双曲线E的离心率为（）A．B．C．2D．12．已知f（x）＝+cos x（x∈R），∀x∈[1，4]，f（mx﹣lnx﹣2）≤2f（2）﹣f（2+lnx ﹣mx），则实数m的取值范围是（）A．[]B．[]C．[]D．[]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．记S n是等差数列{a n}前n项的和，T n是等比数列{b n}前n项的积，设等差数列{a n}公差d≠0，若对小于2019的正整数n，都有S n＝S2019﹣n成立，则推导出a1010＝0，设正项等比数列{b n}的公比q≠1，若对于小于23的正整数n，都有T n＝T23﹣n成立，则b12＝．14．某高校大一新生中五名同学打算参加学校组织的“小草文学社”“街舞俱乐部”“足球之家”、“骑行者”四个社团．若每个社团至少一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，其中同学甲不参加“街舞俱乐部”，则这五名同学不同的参加方法有种．15．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中AB＝2，AA1＝3，O为上底面中心．设正四棱柱ABCD ﹣A1B1C1D1与正四棱锥O﹣A1B1C1D1的侧面积分别为S1，S2，则＝．16．如图，在三棱锥A﹣BCD中，点E在BD上，EA＝EB＝EC＝ED，BD＝CD，△ACD为正三角形，点M，N分别在AE，CD上运动（不含端点），且AM＝CN，则当四面体C﹣EMN的体积取得最大值时，三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“Z拓展”．如数列1，2第1次“Z拓展”后得到数列1，3，2，第2次“Z拓展”后得到数列1，4，3，5，2．设数列a，b，c经过第n次“Z拓展”后所得数列的项数记为P n，所有项的和记为S n．（Ⅰ）求P1，P2；（Ⅱ）若P n≥2020，求n的最小值；（Ⅲ）是否存在实数a，b，c，使得数列{S n}为等比数列？若存在，求a，b，c满足的条件；若不存在，说明理由．18．新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性，对于a份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验n次．二是混合检验，将其中k份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这k份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时k份血液检验的次数总共为k+1次．某定点医院现取得4份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一，逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验．假设在接受检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为P＝．（Ⅰ）求把2份血液样本混合检验结果为阳性的概率；（Ⅱ）若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由．19．某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）、凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管、考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：①凳子高度为30cm，②三根细钢管相交处的节点O与凳面三角形ABC重心的连线垂直于凳面和地面．（1）若凳面是边长为20cm的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为45°，确定节点O分细钢管上下两段的比值（精确到0.01）；（2）若凳面是顶角为120°的等腰三角形，腰长为24cm，节点O分细钢管上下两段之比为2：3、确定三根细钢管的长度（精确到0.1cm）．20．已知椭圆的左，右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），点P在椭圆E上，PF2⊥F1F2，且|PF1|＝3|PF2|．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设直线l：x＝my+1（m∈R）与椭圆E相交于A，B两点，与圆x2+y2＝a2相交于C，D两点，求|AB|•|CD|2的取值范围．21．已知函数（e为自然对数的底数），其中a＞0．（1）在区间上，f（x）是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．（2）若函数f（x）的两个极值点为x1，x2（x1＜x2），证明：．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知点A为圆C：（x﹣1）2+y2＝1上的动点，O为坐标原点，过P（0，4）作直线OA 的垂线（当A、O重合时，直线OA约定为y轴），垂足为M，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M的轨迹的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程为，连接OA并延长交l于B，求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|．（1）当a＝﹣1时，求不等式f（x）≤|2x+1|﹣1的解集；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣|x+3|的值域为A，且[﹣2，1]⊆A，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2﹣4|x|≤0}，B＝{x|x＞0}，则A∩B＝（）A．（0，4]B．[0，4]C．[0，2]D．（0，2]【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：A＝{x|﹣4≤x≤4}；∴A∩B＝（0，4]．故选：A．2．已知i是虚数单位，复数z满足z（3+4i）＝1+i，则z的共轭复数在复平面内表示的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．解：复数z满足z（3+4i）＝1+i，∴z（3+4i）（3﹣4i）＝（1+i）（3﹣4i），∴5z＝7﹣i，∴z＝﹣i．∴＝+i．则复平面内表示z的共轭复数的点在第一象限．故选：A．3．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量＝（，﹣1），＝（cos A，sin A）．若⊥，且αcos B+b cos A＝c sin C，则角A，B的大小分别为（）A．，B．，C．，D．，【分析】根据向量数量积判断向量的垂直的方法，可得cos A﹣sin A＝0，分析可得A，再根据正弦定理可得，sin A cos B+sin B cos A＝sin2C，有和差公式化简可得，sin C＝sin2C，可得C，再根据三角形内角和定理可得B，进而可得答案．解：根据题意，，可得＝0，即cos A﹣sin A＝0，∴A＝，又由正弦定理可得，sin A cos B+sin B cos A＝sin2C，sin A cos B+sin B cos A＝sin（A+B）＝sin C＝sin2C，C＝，∴B＝．故选：C．4．“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础刘徽把圆内接正多边形的面积直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据．如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（参考数据＝2.0946）（）A．3.1419B．3.1417C．3.1415D．3.1413【分析】由几何概型中的面积型及正六边形、圆的面积公式得：＝0.8269，所以＝0.8269，又＝2.0946，所以π≈3.1419，得解．解：由几何概型中的面积型可得：＝0.8269，所以＝0.8269，又＝2.0946，所以π≈3.1419，故选：A．5．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A．P1＝P2＜P3B．P2＝P3＜P1C．P1＝P3＜P2D．P1＝P2＝P3【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论．解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即P1＝P2＝P3．故选：D．6．已知﹣1＜a+b＜3，且2＜a﹣b＜4，则2a+3b的范围是（）A．B．C．D．【分析】由题意将2a+3b用（a+b）和（a﹣b）分别表示出来，然后根据﹣1＜a+b＜3且2＜a﹣b＜4，求出2a+3b的取值范围．解：设2a+3b＝x（a+b）+y（a﹣b），∴解得∴﹣＜（a+b）＜，﹣2＜﹣（a﹣b）＜﹣1．∴﹣＜（a+b）﹣（a﹣b）＜，即﹣＜2a+3b＜．7．已知a∈R，b∈R，则“直线ax+2y﹣1＝0与直线（a+1）x﹣2ay+1＝0垂直”是“a＝3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据直线垂直求出a的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：若“直线ax+2y﹣1＝0与直线（a+1）x﹣2ay+1＝0垂直”，则a（a+1）﹣2a×2＝0，即a（a﹣3）＝0，得a＝0或a＝3，则“直线ax+2y﹣1＝0与直线（a+1）x﹣2ay+1＝0垂直”是“a＝3”的必要不充分条件，故选：B．8．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且＝2，抛物线的准线l与x轴交于C，△ACF的面积为8，则|AB|＝（）A．6B．9C．9D．6【分析】设焦点F的坐标及直线AB的方程，与抛物线联立，求出两根之和及两根之积，由且＝2，可得A，B的纵坐标的关系，代入两根之和及两根之积中可得斜率的值，再由抛物线的性质可得三角形ACF的面积，再由题意可得p的值，由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离求出弦长AB的值．解：由抛物线的方程可得焦点F（，0），有题意可得直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为：x＝my+，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线与抛物线联立可得：，整理可得y2﹣2mpy﹣p2＝0，y1+y2＝2mp，y1y2＝﹣p2，因为＝2，即（﹣x1，﹣y1）＝2（x2﹣，y2），所以可得：y1＝﹣2y2，所以，可得：＝，所以|m|＝，所以|y2|＝＝，|y1|＝2|y2|＝p，所以S△CFA＝|CF|•|y1|＝＝8，解得：p＝4，所以抛物线的方程为：y2＝8x，所以|AB|＝x1+x2+p＝m（y1+y2）+2p＝2m2p+2p＝2•4+8＝9，故选：B．9．已知函数f（x）在定义域上是单调函数，且f[f（x）﹣2020x]＝2021，当g（x）＝sin x ﹣cos x﹣kx在上与f（x）在R上的单调性相同时，实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．C．D．【分析】先根据所给f（x）的等式，求出f（x），判断其单调性，化简g（x），由题意，求导使其导函数恒大于等于零，解出．解：∵函数f（x）在定义域上是单调函数，且f[f（x）﹣2020x]＝2021，∴f（x）﹣2020x为定值，设f（x）﹣2020x＝t，则f（t）＝2021，且f（t）﹣2020t＝t，∴2021﹣2020t＝t，解之得t＝1，∴f（x）＝2020x+1，f（x）在R上的单调递增，∵g（x）＝sin x﹣cos x﹣kx＝﹣kx，∴g'（x）＝2cos（x﹣）﹣k，∵g（x）＝sin x﹣cos x﹣kx在上与f（x）在R上的单调性相同，∴g'（x）＝2cos（x﹣）﹣k≥0，在上恒成立，∴2cos（x﹣）≥k，在上恒成立，∴，∴≤cos（x﹣）≤1，∴≤2cos（x﹣）≤2，∴．故选：B．10．已知函数f（x）＝lnx+1，，若f（m）＝g（n）成立，则m﹣n的最小值是（）A．B．C．D．【分析】根据f（m）＝g（n）＝t得到m，n的关系，利用消元法转化为关于t的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论．解：不妨设f（m）＝g（n）＝t，lnm+1＝＝t，（t＞0）即有m＝e t﹣1，n＝+ln，可得m﹣n＝e t﹣1﹣﹣ln（t＞0），令h（t）＝e t﹣1﹣﹣ln（t＞0），h′（t）＝e t﹣1﹣，h′（t）在（0，+∞）上是增函数，且h′（1）＝0，∴当t＞1时，h′（t）＞0，当0＜t＜1时，h′（t）＜0，即当t＝1时，h（t）取得极小值同时也是最小值，此时h（1）＝1﹣﹣ln＝+2ln2，即m﹣n的最小值为+2ln2．故选：B．11．设F（c，0）为双曲线E：的右焦点，以F为圆心，b为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，线段FP的中点为D，△POF的外心为I，且满足，则双曲线E的离心率为（）A．B．C．2D．【分析】根据O，I，D三点共线可得OD⊥PF，设双曲线左焦点为F′，求出PF′，根据PF′﹣PF＝2a得出a，b的关系，从而可求出双曲线的离心率．解：∵（λ≠0），∴O，I，D三点共线，∵I是△POF的外心，∴OD⊥PF，设双曲线的左焦点为F′，连接PF′，则OD∥PF′，OD＝PF′，∵OF＝c，PF＝b，∴OD＝＝，∴PF′＝2OD＝，又P在双曲线的右支上，∴PF′﹣PF＝2a，即﹣b＝2a，∴4c2﹣b2＝4a2+b2+4ab，即2b2＝4ab，∴b＝2a，∴双曲线的离心率e＝＝．故选：D．12．已知f（x）＝+cos x（x∈R），∀x∈[1，4]，f（mx﹣lnx﹣2）≤2f（2）﹣f（2+lnx ﹣mx），则实数m的取值范围是（）A．[]B．[]C．[]D．[]【分析】利用奇偶性的定义可知f（x）＝+cos x在为R上的偶函数，再利用导数可知f（x）在区间[0，+∞）单调递增，于是∀x∈[1，4]，f（mx﹣lnx﹣2）≤2f（2）﹣f（2+lnx﹣mx）⇔f（mx﹣lnx﹣2）≤f（2），即|mx﹣lnx﹣2|≤2，等价转化为∀x∈[1，4]，≤m≤恒成立，不等号两侧分别构造函数，求得构造的左侧函数的最大值及右侧的函数的最小值，即可求得实数m的取值范围．解：∵f（﹣x）＝+cos（﹣x）＝+cos x＝f（x）（x∈R），∴f（x）＝+cos x为R上的偶函数，又f′（x）＝﹣sin x，f″（x）＝﹣cos x≥•2﹣cos x＝1﹣cos x≥0，∴f′（x）＝﹣sin x在R上单调递增，又f′（0）＝0，∴当x≥0时，f′（x）≥0，∴f（x）＝+cos x在区间[0，+∞）单调递增．∴∀x∈[1，4]，f（mx﹣lnx﹣2）≤2f（2）﹣f（2+lnx﹣mx）⇔2f（mx﹣lnx﹣2）≤2f（2）⇔f（mx﹣lnx﹣2）≤f（2）．∴|mx﹣lnx﹣2|≤2，∴﹣2≤mx﹣lnx﹣2≤2，∴∀x∈[1，4]，≤m≤恒成立，令g1（x）＝，则g1′（x）＝，当x∈[1，e]时，g1′（x）＞0，当x∈（e，4]时，g1′（x）＜0，∴g1（x）极大值＝g1（x）最大值＝g1（e）＝；令g2（x）＝，g2′（x）＝＝﹣＜0，g（x）在区间[1，4]单调递减，∴g2（x）极小值＝g2（x）最小值＝g2（4）＝＝1+，∴≤m≤1+，故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．记S n是等差数列{a n}前n项的和，T n是等比数列{b n}前n项的积，设等差数列{a n}公差d≠0，若对小于2019的正整数n，都有S n＝S2019﹣n成立，则推导出a1010＝0，设正项等比数列{b n}的公比q≠1，若对于小于23的正整数n，都有T n＝T23﹣n成立，则b12＝1．【分析】先根据S n＝S2011﹣n可得S2011﹣n﹣S n＝a n+1+a n+2+…+a2011﹣n＝0，即a1006＝0，可得＝b n+1b n+2…b23﹣n＝1，然后根据等比数列的性质可知结论．解：假设n≤2019﹣n，∵S n＝S2019﹣n，∴S2019﹣n﹣S n＝a n+1+a n+2+…+a2019﹣n＝0，a n+1与a2019﹣n的等差中项为a1010，则a1010＝0；∵T n＝T23﹣n，∴＝b n+1b n+2…b23﹣n＝1，∵b n+1与b23﹣n的等比中项为b12，根据等比数列{b n}的性质可知b n+1b n+2…b23﹣n＝b1223﹣2n＝1．∴b12＝1．故答案为：1．14．某高校大一新生中五名同学打算参加学校组织的“小草文学社”“街舞俱乐部”“足球之家”、“骑行者”四个社团．若每个社团至少一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，其中同学甲不参加“街舞俱乐部”，则这五名同学不同的参加方法有180种．【分析】利用间接法，先求出甲参加“街舞俱乐部”，再用总的方法，排除即可．解：同学甲参加“街舞俱乐部”的有种，所以同学甲不参加“街舞俱乐部”的方法数为．故答案为：180．15．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中AB＝2，AA1＝3，O为上底面中心．设正四棱柱ABCD ﹣A1B1C1D1与正四棱锥O﹣A1B1C1D1的侧面积分别为S1，S2，则＝．【分析】由题意画出图形，求出正四棱锥的斜高，再分别求出正四棱柱与正四棱锥的侧面积，则答案可求．解：如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝3，则正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧面积分别为S1＝4×2×3＝24；正四棱锥O﹣A1B1C1D1的斜高为．∴正四棱锥O﹣A1B1C1D1的侧面积S2＝．∴＝．故答案为：．16．如图，在三棱锥A﹣BCD中，点E在BD上，EA＝EB＝EC＝ED，BD＝CD，△ACD为正三角形，点M，N分别在AE，CD上运动（不含端点），且AM＝CN，则当四面体C﹣EMN的体积取得最大值时，三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为32π．【分析】设ED＝a，则CD＝a．可得CE⊥ED．当平面ABD⊥平面BCD时，当四面体C﹣EMN的体积才有可能取得最大值，设AM＝x．则四面体C﹣EMN的体积＝（a﹣x）××a×x×＝ax（a﹣x）．利用基本不等式的性质可得最大值，进而得出结论．解：设ED＝a，则CD＝a．可得CE2+DE2＝CD2，∴CE⊥ED．当平面ABD⊥平面BCD时，当四面体C﹣EMN的体积才有可能取得最大值，设AM＝x．则四面体C﹣EMN的体积＝（a﹣x）××a×x×＝ax（a﹣x）≤a＝，当且仅当x＝时取等号．解得a＝2．此时三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积＝4πa2＝32π．故答案为：32π．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“Z拓展”．如数列1，2第1次“Z拓展”后得到数列1，3，2，第2次“Z拓展”后得到数列1，4，3，5，2．设数列a，b，c经过第n次“Z拓展”后所得数列的项数记为P n，所有项的和记为S n．（Ⅰ）求P1，P2；（Ⅱ）若P n≥2020，求n的最小值；（Ⅲ）是否存在实数a，b，c，使得数列{S n}为等比数列？若存在，求a，b，c满足的条件；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）因原数列有3项，经第1次拓展后增加两项，可得项数P1；经第2次拓展后增加4项，可得项数P2．（Ⅱ）因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，由数列经第n次拓展后的项数为P n，则经第n+1次拓展后增加的项数为P n﹣1，可得P n+1＝P n+（P n﹣1）＝2P n ﹣1，变形利用等比数列的通项公式即可得出．（Ⅲ）设第n次拓展后数列的各项为a，a1，a2，a3，…，a m，c．可得S n＝a+a1+a2+a3+…+a m+c，因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，可得S n+1＝a+（a+a1）+a1+（a1+a2）+a2+（a2+a3）+…+a m+（a m+c）+c，可得S n+1＝3S n﹣（a+c），变形利用等比数列的通项公式即可得出．解：（Ⅰ）因原数列有3项，经第1次拓展后的项数P1＝3+2＝5；经第2次拓展后的项数P2＝5+4＝9．（Ⅱ）因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，由数列经第n次拓展后的项数为P n，则经第n+1次拓展后增加的项数为P n﹣1，所以P n+1＝P n+（P n﹣1）＝2P n﹣1所以P n+1﹣1＝2P n﹣2＝2（P n﹣1），由（Ⅰ）知P1﹣1＝4，所以，由，即2n+1≥2019，解得n≥10所以n的最小值为10．（Ⅲ）设第n次拓展后数列的各项为a，a1，a2，a3，…，a m，c所以S n＝a+a1+a2+a3+…+a m+c因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，所以S n+1＝a+（a+a1）+a1+（a1+a2）+a2+（a2+a3）+…+a m+（a m+c）+c即S n+1＝2a+3a1+3a2+…+3a m+2c所以S n+1＝3S n﹣（a+c），得由S1＝2a+3b+2c，则若使S n为等比数列，则或所以，a，b，c满足的条件为或者．18．新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性，对于a份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验n次．二是混合检验，将其中k份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这k份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时k份血液检验的次数总共为k+1次．某定点医院现取得4份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一，逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验．假设在接受检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为P＝．（Ⅰ）求把2份血液样本混合检验结果为阳性的概率；（Ⅱ）若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由．【分析】（Ⅰ）该混合样本阴性的概率是（）2＝，根据对立事件原理，能求出阳性的概率．（Ⅱ）方案一：逐个检验，检验次数为4，方案二：每组2个样本检验时，若阴性则检测次数为1，概率为，若阳性，则检测次数为3，概率为，设方案二的检验次数记为ξ，则ξ的可能取值为2，4，6，求出分布列，得到E（ξ）＝，方案三：混在一起检验，设方案三的检验次数记为η，η的可能取值为1，5，由分布列求出E（η）＝，从而选择方案三最“优”．解：（Ⅰ）该混合样本阴性的概率是（）2＝，根据对立事件原理，阳性的概率为1﹣＝．（Ⅱ）方案一：逐个检验，检验次数为4，方案二：由（Ⅰ）知，每组2个样本检验时，若阴性则检测次数为1，概率为，若阳性，则检测次数为3，概率为，设方案二的检验次数记为ξ，则ξ的可能取值为2，4，6，其分布列为：ξ246P∴E（ξ）＝＝，方案三：混在一起检验，设方案三的检验次数记为η，η的可能取值为1，5，其分布列为：η15PE（η）＝1×+5×＝，∵E（η）＜E（ξ）＜4，故选择方案三最“优”．19．某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）、凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管、考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：①凳子高度为30cm，②三根细钢管相交处的节点O与凳面三角形ABC重心的连线垂直于凳面和地面．（1）若凳面是边长为20cm的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为45°，确定节点O分细钢管上下两段的比值（精确到0.01）；（2）若凳面是顶角为120°的等腰三角形，腰长为24cm，节点O分细钢管上下两段之比为2：3、确定三根细钢管的长度（精确到0.1cm）．【分析】（1）设△ABC的重心为H，连接OH，根据∠OBH就是OB与平面ABC所成的角，建立BH与OH的等量关系，解之即可；（2）设∠B＝120°，△ABC的重心为H，求出OH，分别在Rt△AHO，Rt△CHO，Rt △BHO中求出OA、OB、OC，再根据比例关系求出所求即可．解：（1）设△ABC的重心为H，连接OH由题意可得，设细钢管上下两段之比为λ已知凳子高度为30、则∵节点O与凳面三角形ABC重心的连线与地面垂直，且凳面与地面平行∴∠OBH就是OB与平面ABC所成的角，亦即∠OBH＝45°∵BH＝OH，∴解得即节点O分细钢管上下两段的比值约为0.63（2）设∠B＝120°，∴AB＝BC＝24，设△ABC的重心为H，则，由节点O分细钢管上下两段之比为2：3，可知OH＝12设过点A、B、C的细钢管分别为AA'、BB'、CC'，则，，∴对应于A、B、C三点的三根细钢管长度分别为60.8cm，36.1cm和60.8cm20．已知椭圆的左，右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），点P在椭圆E上，PF2⊥F1F2，且|PF1|＝3|PF2|．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设直线l：x＝my+1（m∈R）与椭圆E相交于A，B两点，与圆x2+y2＝a2相交于C，D两点，求|AB|•|CD|2的取值范围．【分析】（Ⅰ）由焦点的坐标及PF2⊥F1F2，且|PF1|＝3|PF2|求出a的值，再有a，b，c 之间关系求出b的值，进而求出椭圆的标准方程；（Ⅱ）直线与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长AB，再求圆心O到直线l的距离，由半个弦长，半径和圆心到直线的距离构成直角三角形可得弦长CD，进而求出|AB|•|CD|2的表达式，进而可得取值范围．解：（Ⅰ）因为P在椭圆上，所以|PF1|+|PF2|＝2a，又因为|PF1|＝3|PF2|，所以|PF2|＝，|PF1|＝，因为PF2⊥F1F2，所以|PF2|2+|F1F2|2＝|PF1|2，又|F1F2|＝2，所以a2＝2，b2＝a2﹣c2＝1，所以椭圆的标准方程为：+y2＝1；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程：，整理可得（2+m2）y2+2my﹣1＝0，y1+y2＝，y1y2＝，所以弦长|AB|＝|y1﹣y2|＝，设圆x2+y2＝2的圆心O到直线l的距离为d＝，所以|CD|＝2＝2，所以|AB|•|CD|2＝4＝＝（2﹣），因为0，∴，∴4≤|AB|•|CD|2，所以|AB|•|CD|2的取值范围[4，16）．21．已知函数（e为自然对数的底数），其中a＞0．（1）在区间上，f（x）是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．（2）若函数f（x）的两个极值点为x1，x2（x1＜x2），证明：．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的单调性，进而可求最值；（2）由极值存在的条件及方程的根与系数关系，把不等式的左面式子进行变形后构造函数，结合导数研究新函数的范围可证．解：（1）由条件可知，函数在（﹣∞，0）上有意义，，a＞0，令f′（x）＝0可得，＜0，＞0，x＜x1时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x1＜x＜0时，f′（x）＜0，函数单调递减，由，可得f（﹣a）＝0，当x＜﹣a时，f（x）＞0，当﹣a＜x＜0时，f（x）＜0，因为﹣a﹣x1＝﹣a+＝＞0，所以x1＜﹣a＜0，又函数在（x1，0）上单调递减且＜0，所以f（x）在（]上有最小值f（﹣）＝﹣e，（2）由（1）可知a＞0时，f（x）存在两个极值点为x1，x2（x1＜x2），故x1，x2是x2+ax﹣a＝0的根，所以x1+x2＝x1x2＝﹣a，且x1＜x2＜1，因为＝，同理f（x2）＝（1﹣x1），∴lnf（x2）＝ln（1﹣x1）+x2，lnf（x1）＝ln（1﹣x2）+x1，∴＝＝，又1＝，由（1）知，1﹣x1＞1﹣x2＞0，设m＝1﹣x1，n＝1﹣x2，令h（t）＝lnt﹣，t≥1，则＞0，所以h（t）在（1，+∞）上单调递增，h（t）＞h（1）＝0，即lnt＞，令t＝则从而．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知点A为圆C：（x﹣1）2+y2＝1上的动点，O为坐标原点，过P（0，4）作直线OA的垂线（当A、O重合时，直线OA约定为y轴），垂足为M，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M的轨迹的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程为，连接OA并延长交l于B，求的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．（2）利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）设点M的极坐标为（ρ，θ），所以根据题意，在△OPM中，有ρ＝4sinθ，所以点M的极坐标方程为：ρ＝4sinθ．（2）设射线OA：θ＝α，（α∈（）），圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．由得到|OA|＝ρ1＝2cosα．由得：，所以＝＝＝．由于α∈（），所以，当，即，故．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|．（1）当a＝﹣1时，求不等式f（x）≤|2x+1|﹣1的解集；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣|x+3|的值域为A，且[﹣2，1]⊆A，求a的取值范围．【分析】（1）将a＝﹣1代入f（x）中，然后由f（x）≤|2x+1|﹣1，利用零点分段法解不等式即可；（2）根据条件分a＜﹣3和a≥﹣3两种情况，由[﹣2，1]⊆A建立关于a的不等式，然后求出a的取值范围．解：（1）当a＝﹣1时，f（x）＝|x+1|．∵f（x）≤|2x+1|﹣1，∴当x≤﹣1时，原不等式可化为﹣x﹣1≤﹣2x﹣2，∴x≤﹣1；当时，原不等式可化为x+1≤﹣2x﹣2，∴x≤﹣1，此时不等式无解；当时，原不等式可化为x+1≤2x，∴x≥1，综上，原不等式的解集为{x|x≤﹣1或x≥1}．（2）当a＜﹣3时，，∴函数g（x）的值域A＝{x|3+a≤x≤﹣a﹣3}．∵[﹣2，1]⊆A，∴，∴a≤﹣5；当a≥﹣3时，，∴函数g（x）的值域A＝{x|﹣a﹣3≤x≤3+a}．∵[﹣2，1]⊆A，∴，∴a≥﹣1，综上，a的取值范围为（﹣∞，﹣5]∪[﹣1，+∞）．。
2019-2020年高二下学期期末数学试卷(文科)含解析
2019-2020年高二下学期期末数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞04．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．58．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.0049．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=_______．12．函数y=的值域为_______．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是_______．14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于_______．15．已知函数则的值为_______．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行_______次才停止；若运算进行3次才停止，则x的取值范围是_______．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？20．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．2015-2016学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出不等式x（x﹣2）＜0的解集，即求出A，再由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由x（x﹣2）＜0得，0＜x＜2，则A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，∴A∩B═{x|1＜x＜2}=（1，2），故选D．2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即a n2﹣a n﹣12=3从而利用等差数列通项公式an2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1=20，得解，n=7【解答】解：数列…，各项的平方为：2，5，8，11，…则a n2﹣a n﹣12=3，又∵a12=2，∴a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，令3n﹣1=20，则n=7．故选B．3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0 C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞0【考点】四种命题的真假关系．【分析】注意判断区分∃和∀．【解答】解：A错误，因为，不存在x0∉ZB错误，因为C错误，x=3时不满足；D中，△＜0，正确，故选D答案：D4．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】导数的运算．【分析】先求原函数的导函数，再把x=1的值代入即可．【解答】解：∵y′=，∴y′|x=1==1．故选：A．5．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．【分析】把a=﹣2代入复数，可以得到复数是纯虚数，当复数是纯虚数时，得到的不仅是a=﹣2这个条件，所以得到结论，前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：a=﹣2时，Z=（22﹣4）+（﹣2+1）i=﹣i是纯虚数；Z为纯虚数时a2﹣4=0，且a+1≠0∴a=±2．∴“a=2”可以推出“Z为纯虚数”，反之不成立，故选A．6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】a=30.2＞1，利用换底公式可得：b=log64=，c=log32=，由于1＜log26＜log29，即可得出大小关系．【解答】解：∵a=30.2＞1，b=log64=，c=log32==，∵1＜log26＜log29，∴1＞b＞c，则a＞b＞c，故选：B．7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．5【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．8．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004【考点】独立性检验的应用．【分析】本题考查的知识点是独立性检验公式，我们由列联表易得：a=11，b=34，c=8，d=37，代入K2的计算公式：K2=即可得到结果．【解答】解：由列联表我们易得：a=11，b=34，c=8，d=37则K2===0.6004≈0.60故选A9．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【考点】抽象函数及其应用．【分析】首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B 选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C 选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D 选项正确；故选C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=﹣1+i．【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果．【解答】解：∵复数z满足（1﹣i）z=2i，则z====﹣1+i，故答案为：﹣1+i．12．函数y=的值域为{y|y≠2} ．【考点】函数的值域．【分析】函数y===2+，利用反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：函数y===2+，当x＞1时，＞0，∴y＞2．当x＜1时，＜0，∴y＜2．综上可得：函数y=的值域为{y|y≠2}．故答案为：{y|y≠2}．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是P＞Q．【考点】不等式比较大小．【分析】利用作差法，和平方法即可比较大小．【解答】解：∵P=﹣1，Q=﹣，∴P﹣Q=﹣1﹣+=（+）﹣（+1）∵（+）2=12+2，（ +1）2=12+2∴+＞+1，∴P﹣Q＞0，故答案为：P＞Q14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于0.9．【考点】线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵==1.5，==3，∴这组数据的样本中心点是（1.5，3）把样本中心点代入回归直线方程，∴3=1.4×1.5+a，∴a=0.9．故答案为：0.9．15．已知函数则的值为﹣．【考点】函数的值；函数迭代．【分析】由题意可得=f（﹣）=3×（﹣），运算求得结果．【解答】解：∵函数，则=f（﹣）=3×（﹣）=﹣，故答案为﹣．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行4次才停止；若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是（10，28] ．【考点】循环结构．【分析】本题的考查点是计算循环的次数，及变量初值的设定，在算法中属于难度较高的题型，处理的办法为：模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中各变量的值进行管理，并分析变量的变化情况，最终得到答案．【解答】解：（1）程序在运行过程中各变量的值如下表示：x x 是否继续循环循环前5∥第一圈15 13 是第二圈39 37 是第三圈111 109 是第四圈327 325 否故循环共进行了4次；（2）由（1）中数据不难发现第n圈循环结束时，经x=（x0﹣1）×3n+1：x 是否继续循环循环前x0/第一圈（x0﹣1）×3+1 是第二圈（x0﹣1）×32+1 是第三圈（x0﹣1）×33+1 否则可得（x0﹣1）×32+1≤244且（x0﹣1）×33+1＞244解得：10＜x0≤28故答案为：4，（10，28]三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．【分析】（1）使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组，解此不等式组求出x范围就是函数的定义域；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．【解答】解：（1）由题得，使解析式有意义的x范围是使不等式组成立的x范围，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）函数f（x）为奇函数，证明：由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣log a（1+x）+log a（1﹣x）=﹣[log a（1+x）﹣log a （1﹣x）]=﹣f（x）所以函数f（x）为奇函数．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先将命题p，q分别化简，然后根据若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，判断出p，q一真一假，分类讨论即可．【解答】解：由题意命题P：x2+mx+1=0有两个不等的实根，则△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2，命题Q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根，则△＜0，解得﹣3＜m＜﹣1，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假，（1）当P真q假时：，解得m≤﹣3，或m＞2，（2）当P假q真时：，解得﹣2≤m＜﹣1，综上所述：m的取值范围为m≤﹣3，或m＞2，或﹣2≤m＜﹣1．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域．【解答】解：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积（0＜x＜60）．（0＜x＜60）令=0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V（40）=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm320．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，又切点（1，2），所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1）），即3x﹣y﹣1=0故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max．g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g （x）max=2由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，，所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（I）由{a n}伴随数列{b n}的定义可得前5项为1，1，1，2，3．（II）由a n=3n﹣1≤m，可得n≤1+log3m，m∈N*，分类讨论：当1≤m≤2时，m∈N*，b1=b2=1；当3≤m≤8时，m∈N*，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20时，m∈N*，b9=b10=…=3；即可得出数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【解答】解：（Ⅰ）数列1，4，5，…的伴随数列{b n}的前5项1，1，1，2，3；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m（m∈N*）．∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1；当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20，m∈N*时，b9=b10=…=b20=3．∴b1+b2+…+b20=1×2+2×6+3×12=50．2016年9月9日。
2019-2020年高二下学期期末考试数学(文)试题 精校电子版含答案
2019-2020年高二下学期期末考试数学（文）试题精校电子版含答案数学（文史类）测试卷共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2. 答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3. 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5. 考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）函数在点处的切线的斜率为（A）（B）（C）（D）（2）已知函数，则（A）（B）（C）（D）（3）已知幂函数的图象经过点，则的值为（A）（B）（C）（D）（4）将函数的图象先向右平移个单位，再向下平移个单位得到函数的图象，则函数的解析式为（A）（B）（C）（D）（5）已知,“”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（6）一个几何体的三视图如题(6)图所示， 则该几何体的侧面积为（A ） （B ）（C ） （D ）（7）对给出的下列命题：①；②；③；④若，则．其中是真命题的是 （A ）①③ （B ）②④ （C ）②③（D ）③④（8）若函数有小于零的极值点，则实数的取值范围是（A ）（B ）（C ）（D ）（9）在某县客车临时停靠站，每天均有上、中、下等级的客车各一辆开往城区．某天李先生准备从该站点前往城区办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车的顺序，为了尽可能乘到上等车，他采取如下策略：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，那么李先生乘到上等车的概率为 （A ） （B ） （C ）（D ）（10）若使成立，则实数的取值范围是（A ）（B ）（C ）（D ） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上． （11）已知集合，，{(,)|,}U B x y x A y A =∈∈ð，则中元素的个数为 . （12）“函数在上是增函数”的一个充分不必要条件是 .（13）已知映射,其中,对应法则若对实数,在集合中不存在原象,则的取值范围是 . （14）已知函数，若且，则的最小值为 .（15）已知函数满足(2)(1)(3)(0)f f f f >>>，则实数的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．2 22 正视图 222侧视图俯视图题(6)图（16）（本小题满分13分）（Ⅰ）解关于的不等式；（Ⅱ）记（Ⅰ）中不等式的解集为，函数的定义域为，求．（17）（本小题满分13分） 已知定义在上函数为奇函数． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函数的值域．（18）（本小题满分13分）甲袋中装有个编号分别为的红球，乙袋中装有个编号分别为的白球，个球的大小形状完全相同．（Ⅰ）若从甲、乙两袋中各随机地摸出个球，写出所有可能结果，并求摸出的个球编号相同的概率；（Ⅱ）若把甲袋中的球全部倒入乙袋，再从乙袋中随机地摸出个球，求摸出的个球编号之和为奇数的概率．（19）(本小题满分12分）如题（19）图，正方体的棱长为. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求四面体的体积.题(19)图1C（20）（本小题满分12分）设函数，其中．（Ⅰ）若在其定义域内是单调函数，求的取值范围；（Ⅱ）若在内存在极值，求的取值范围.（21）（本小题满分12分）已知，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为．（Ⅰ）求的范围；（Ⅱ）设椭圆与双曲线的公共点分别为、，、分别是椭圆和双曲线上不同于、的两个动点，且满足：，其中．记直线、、、的斜率分别为，若，求．高xx 级高二下期末考试参考答案（文科）一、选择题 BACCB DDBCC 二、填空题11. 12. （注：填的任一真子集即可） 13. 14. 15. 三、解答题16.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题………………6分（Ⅱ）由解得，即，所以．………13分 17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由为上的奇函数，知，由此解得，故.（Ⅱ）设的值域为，则当且仅当关于的方程有根，当时，根为符合； 当时，，于是且； 综上，值域为.18．（本小题满分13分）解：记甲袋中的3个球为，乙袋中的3个球为（Ⅰ）所有可能结果为：433323423222413121B A B A B A B A B A B A B A B A B A ,,,,,,,,，共9种其中编号相同的有2种，所以所求概率为； …………6分（Ⅱ）所有可能结果除了上述的9种，还要加上434232323121B B B B B B A A A A A A ,,,,,，共15种其中编号之和为奇数的有9种，所以所求概率为．…………13分19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由1111////BC B C AD B C ⇒⇒平行四边形，，又平面，平面，所以平面……6分 （Ⅱ）11333112143233A CB D V V a a a a a a -=-⨯⨯⨯⨯=-=正方体……………12分20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）x e a ax ax x f )()(132+++=' 在上单调，则当时，，符合；当时，即； ；（Ⅱ）要使在内存在极值，由（Ⅰ）知首先有或，另外还需要方程 0132=+++=a ax ax x g )(的根在内 对称轴 只需解得或 或．21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）易知12e e ===212223e a b e >⇒>=………………5分 （Ⅱ）易知公共点A 、B 坐标为、，令 则、 、(),AQ BQ AP BP λ+=+u u u r u u u r u u u r u u u r Q 得因为P 、Q 分别在椭圆、双曲线上2222111122222122222222221122221121111{{x y x y x a b a b a x y x y a ba b λλλ+=+=∴⇒⇒=--=-= 由于2212225.5y yk k x a x a+=∴+=+-， 即有，可化为11221225x y a x λ=-. 将带入.得=5. 又因为111134221112y y x yk k x a x a x a+=+=+-- ………………12分。
2019-2020学年重庆市主城区七校高二下学期期末联考数学试题 Word版
绝密★启用前重庆市主城区七校2019-2020学年下学期期末联考高二数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题.（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（改编）若21i z i =+（其中i 是虚数单位）,则z =（ ）A ．4B ．2C ．1 D2．为对某组数据进行分析，建立了四种不同的模型进行拟合，现用回归分析原理，计算出四种模型的相关指数R 2分别为0.97，0.86，0.65，0.55，则拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R 2的值是（ ）A ．0.55B ．0.86C ．0.65D ．0.973．在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布N (100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则ξ在(0,80)内的概率为（ ）A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.24．（改编）曲线y ＝x 2＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为（ ）A ．3x －y －2＝0B ．x －3y ＋2＝0C ．3x ＋y －4＝0D ．x ＋3y －4＝05．（改编）某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B ，C ，D 中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有（ ）A ．180种B ．360种C ．720种D ．960种6．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X ，已知E (X )＝3，则D (X )＝（ ）A ．85B ．65C ．45D ．257．（改编）某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x(万元)4 2 35 销售额y(万元)49 26 39 54根据上表可得回归方程+=a x b y 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元8．（改编）我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼-15飞机准备着舰。
重庆市万州区2019-2020学年数学高二下期末检测试题含解析
重庆市万州区2019-2020学年数学高二下期末检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．定义运算()()a a b a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12xf x =⊕的图象是（ ）．A ．B ．C ．D ．2．设函数()x f x xe =，则（ ） A ．1x =为()f x 的极大值点 B ．1x =为()f x 的极小值点 C ．1x =-为()f x 的极大值点 D ．1x =-为()f x 的极小值点3．若不等式()()2210a axx -++≤对一切()0,2x ∈恒成立,则a 的取值范围是 ( )A ．13,⎛⎤--∞ ⎥ ⎝⎦B ．13,⎡⎫++∞⎪⎢⎪⎣⎭ C ．1313,,⎛⎤⎡⎫-+-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭D ．1313,⎡⎤--⎢⎥⎣⎦4．某同学将收集到的6组数据对，制作成如图所示的散点图（各点旁的数据为该点坐标），并由这6组数据计算得到回归直线l ：y bx a =+$$$和相关系数r ．现给出以下3个结论：①0r >；②直线l 恰过点D ；③1b>$． 其中正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③5．一盒中装有5张彩票，其中2 张有奖，3张无奖，现从此盒中不放回地抽取2次，每次抽取一张彩票．设第1次抽出的彩票有奖的事件为A ，第2次抽出的彩票有奖的事件为B ，则()P B A =( ) A ．23B ．25C ．13D ．146．函数12sin()24y x π=+的周期，振幅，初相分别是（ ）A ．,2,44ππB ．4,2,4ππ--C ．4,2,4ππD ．2,2,4ππ7．实验女排和育才女排两队进行比赛，在一局比赛中实验女排获胜的概率是23，没有平局.若采用三局两胜制，即先胜两局者获胜且比赛结束，则实验女排获胜的概率等于（ ） A ．49B ．2027C ．827D ．16278．—个盒子里装有相同大小的红球、白球共30个,其中白球4个.从中任取两个,则概率为1102264264230C C C C C +的事件是( ). A ．没有白球 B ．至少有一个白球 C ．至少有一个红球D ．至多有一个白球9．直线3y x =-与x a y e +=相切,实数a 的值为（ ） A ．4 B ．4-C ．2D ．2-10．复数21ii-的虚部为（ ） A ．iB ．i -C ．1D ．-111．复数z 满足，则复数z ＝( )A ．1－iB ．1＋2iC ．1＋iD ．－1－i12．从5名男同学，3名女同学中任选4名参加体能测试，则选到的4名同学中既有男同学又有女同学的概率为( )A ．2829 B ．2729C ．1114D ．1314二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．已知，将按从小到大的顺序用不等号“”连接为__________．14．设正方形ABCD 的中心为O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点的三角形中任意取出两个，则它们面积相等的概率为________15．已知a 常数，则12lim 2nn n nnn a C C C →+∞++++=L ______．16．若"2x >"是"x m >"的必要不充分条件,则m 的取值范围是____． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．某机构对某市工薪阶层的收入情况与超前消费行为进行调查，随机抽查了200人，将他们的月收入（单位：百元）频数分布及超前消费的认同人数整理得到如下表格：（1）根据以上统计数据填写下面22⨯列联表，并回答是否有99%的把握认为当月收入以8000元为分界点时，该市的工薪阶层对“超前消费”的态度有差异；（2）若从月收入在[)60,70的被调查对象中随机选取2人进行调查，求至少有1个人不认同“超前消费”的概率.参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++（其中n a b c d=+++）.附表：18．某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响，随机选取100名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试. 测试的方案：电脑模拟驾驶，以某速度匀速行驶，记录下驾驶员的“停车距离”（驾驶员从看到意外情况到车子完全停下所需要的距离）.无酒状态与酒后状态下的试验数据分别列于表1和表2.表1表2统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值例如区间(]1,2的中点值为1.5)作为代表；（1）根据最小二乘法，由表2的数据计算y 关于x 的回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）该测试团队认为：驾驶员酒后驾车的平均“停车距离”y 大于无酒状态下（表1）的停车距离平均数的3倍，则认定驾驶员是“醉驾”.请根据（1）中的回归方程，预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”？回归方程ˆˆˆy bx a =+中.()()()1122211,ˆˆˆn ni i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b a y bx x x x nx====---⋅===---∑∑∑∑. 19．（6分）在极坐标系中，圆的方程为.以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线的参数方程为（为参数）.（1）求圆的标准方程和直线的普通方程；（2）若直线与圆交于两点，且，求实数的取值范围.20．（6分）已知函数21()2ln (2)2f x x a x a x =-+-，其中a R ∈，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴. （1）求实数a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间. 21．（6分）求函数1tan 24y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调区间.22．（8分）已知函数()2ln 1f x x ax x =-+-- . （1）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）函数()f x 在(2,4)上是减函数，求实数a 的取值范围.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】 【分析】 【详解】由已知新运算a b ⊕的意义就是取得,a b 中的最小值，因此函数()1,0122,0xxx f x x >⎧=⊕=⎨≤⎩， 只有选项A 中的图象符合要求，故选A. 2．D 【解析】试题分析：因为()xf x xe =，所以()()()=+=+1,=0,x=-1x x xf x e xe ex f x 令得''．又()()()()()>0:>-1;<0<-1,--1-1+f x x f x x f x ]Z 由得由得：所以在，，在，∞'∞'，所以1x =-为()f x 的极小值点．考点：利用导数研究函数的极值；导数的运算法则．点评：极值点的导数为0 ，但导数为0的点不一定是极值点． 3．C 【解析】 【分析】本题是通过x 的取值范围推导出a 的取值范围，可先将a 与x 分别放于等式的两边，在通过x 的取值范围的出a 的取值范围。
重庆市渝北区2019-2020学年数学高二下期末学业质量监测试题含解析
重庆市渝北区2019-2020学年数学高二下期末学业质量监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知12P(B|A)=,P(A)=35,则()P AB 等于( ) A ．56B ．910C ．215D ．115【答案】C 【解析】分析：根据条件概率的计算公式，即可求解答案. 详解：由题意，根据条件概率的计算公式()()|()P AB P B A P A =， 则()()()122|3515P AB P B A P A =⋅=⨯=，故选C. 点睛：本题主要考查了条件概率的计算公式的应用，其中熟记条件概率的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2．设P 是双曲线2221(0)9x y a a -=>上一点，双曲线的一条渐近线方程为1320,x y F -=、2F 分别是双曲线的左、右焦点，若15PF =，则2PF =（ ） A ．1或9 B ．6C ．9D ．以上都不对【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的一条渐近线方程为320x y -=求出a ，由双曲线的定义求出2PF ，判断点P 在左支上，即求2PF . 【详解】双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为3y x a=±， 又双曲线的一条渐近线方程为320x y -=， 33,2,2a c a ∴=∴=∴==由双曲线的定义可得1224PF PF a -==，又15PF =， 2254,1PF PF ∴-=∴=或29PF =.152PF a c =<+=+∴Q 点P 在左支上，122,9PF PF PF ∴<∴=.故选：C . 【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，属于基础题.3．一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示(均为真角三角形),则该三棱锥的体积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．24【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图知，三棱锥的一条长为6的侧棱与底面垂直，底面是直角边为2、4的直角三角形，利用棱锥的体积公式计算即可. 【详解】由三视图知三棱锥的侧棱AO 与底OCB 垂直，其直观图如图， 可得其俯视图是直角三角形，直角边长为2，4，6OA ∴=，∴棱锥的体积11246832V =⨯⨯⨯⨯=，故选B.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.4．等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( )A ．8B ．10C ．12D ．14【答案】C 【解析】试题分析：假设公差为d ,依题意可得1323212,22d d ⨯+⨯⨯=∴=.所以62(61)212a =+-⨯=.故选C. 考点：等差数列的性质.5．函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴Q 为奇函数，舍去A,1(1)0f e e -=->∴Q 舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>Q ， 所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．6．椭圆3cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)的离心率是( ) A 7B 7C 7 D 7【分析】先求出椭圆的普通方程，再求其离心率得解. 【详解】椭圆3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩的标准方程为221916x y +=，所以.所以e ＝4. 故答案为A 【点睛】(1) 本题主要考查参数方程和普通方程的互化，考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. (2)在椭圆中，222,.c c a b e a=-= 7．,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，3sin 5α=-，则()cos α-的值为（ ）A ．45-B ．45C ．35D ．35-【答案】B 【解析】 【分析】利用同角三角函数的平方关系计算出cos α的值，再利用诱导公式可得出()cos α-的值. 【详解】,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭Q ，cos 0α∴>，且4cos 5α===， 由诱导公式得()4cos cos 5αα-==，故选B. 【点睛】本题考查同角三角函数的平方关系，同时也考查了诱导公式的应用，在利用同角三角函数基本关系求值时，先要确定角的象限，确定所求三角函数值的符号，再结合相应的公式进行计算，考查运算求解能力，属于基础题.8．已知命题p ：124x -≥，命题q ：x a >，且q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[3,)+∞ B ．(,3]-∞C ．[1,)-+∞D ．(,1]-∞-【答案】A首先对两个命题进行化简，解出其解集，由q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，可以得到关于a 的不等式，解不等式即可求出a 的取值范围 【详解】由命题p ：124x -≥解得3x >或1x <-，则13p x ⌝-≤≤：，命题q ：x a >，q x a ：⌝≤， 由q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，所以3a ≥ 故选A 【点睛】结合“非”引导的命题考查了必要不充分条件，由小范围推出大范围，列出不等式即可得到结果，较为基础。
2019-2020学年重庆市渝北区数学高二第二学期期末学业质量监测试题含解析
2019-2020学年重庆市渝北区数学高二第二学期期末学业质量监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知函数f （x ）＝（mx ﹣1）e x ﹣x 2，若不等式f （x ）＜0的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数m 的取值范围（ ） A ．2211,12e e ⎛⎫++⎪⎝⎭ B ．2211,12e e ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭ C ．323121,32e e ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭ D ．323121,32e e ⎛⎫++⎪⎝⎭ 2．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ） A ．49125B ．48125C ．1625D ．9253．设x 0是函数f （x ）＝lnx+x ﹣4的零点，则x 0所在的区间为（ ） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）4．集合{}22A x x =-≤≤，{}0,2,4B =，则A B =I （ ） A ．{}0B ．{}02，C ．[]0,2D ．{}012，， 5．不相等的三个正数a 、b 、c 成等差数列，并且x 是a 、b 的等比中项，y 是b 、c 的等比中项，则x 2、b 2、y 2三数( )A ．成等比数列而非等差数列B ．成等差数列而非等比数列C ．既成等差数列又成等比数列D ．既非等差数列又非等比数列 6．曲线2y x=与直线1y x =-及直线1x =所围成的封闭图形的面积为( ) A ．34 B ．52C ．42ln 2-D ．12ln 22-7．球面上有三个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的16，经过这3个点的小圆周长为4π，那么这个球的半径为（ ）A ．B ．C ．2D 8．双曲线2212y x -=的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y =C ．y x =±D ．2y x =±9．一个口袋内装有大小相同的6个白球和2个黑球，从中取3个球，则共有（ ）种不同的取法 A ．B ．C ．D ．10．正六边形ABCDEF 的边长为2，以顶点A 为起点，其他顶点为终点的向量分别为12345,,,,,a a a a a u v u u v u u v u u v u u v；以顶点D 为起点，其他顶点为终点的向量分别为12345,,,,,b b b b b u v u u v u v u u v u u v．若,P Q 分别为()()•i j k r s t a a a b b b ++++u v u u v u u v u u v u v u v的最小值、最大值，其中{}{}{}{},,1,2,3,4,5,,,1,2,3,4,5i j k r s t 刎，则下列对,P Q 的描述正确的是（ ） A ．00P Q ＜，＜B ．00P Q ＝，＞C ．00P Q ＜，＞D ．00P Q ＜，＝11．如图所示正方形ABCD ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，则向正方形内随机掷一点P ，该点落在阴影部分内的概率为（ ）A ．18B ．16C ．15D ．1412．已知命题p ：∃ m ∈R ，使得()f x = ()21m - 221m m x -+是幂函 数，且在()0+∞，上单调递增．命题q ：“∃ x ∈R ，21x x -<”的否定是“∀ x ∈R ，21x x ->”，则下列命题为真命题的是 （ ） A ．()p q ⌝∨B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ∧⌝D ．p q ∧二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11B C 和11C D 的中点，点1A 到平面DBEF 的距离为________________． 14．函数()2ln 2f x x x =+--的零点个数为__________.15．如图,在平面四边形ABCD 中, O 是对角线AC 的中点,且10OB =，6OD =. 若28DA DC ⋅=-u u u v u u u v,则BA BC u u u v u u u v⋅的值为____________.16．如图所示，满足如下条件： ①第n 行首尾两数均为n ；②表中的递推关系类似“杨辉三角”. 则第n 行的第2个数是__________．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．设{a n }是等差数列，a 1=–10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值．18．已知函数ln ()1xf x x =-. （1）若不等式ln ()2af x a ≥在[,2](0)x a a a e ∈<≤上有解，求a 的取值范围；（2）若21111()[ln(1)ln(1)ln(1)]1222n g n m n =++++++≤+L 对任意的*n N ∈均成立，求m 的最小值. 19．（6分）已知数列}{n a 满足：2312121...(327)8n n n a a a ++++=-，*n N ∈. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设3log nn a b n =，求12231111...n n b b b b b b ++++. 20．（6分）已知定义域为R 的函数()122x x bf x a+-+=+是奇函数．（1）求,a b 的值；（2）已知()f x 在定义域上为减函数，若对任意的t R ∈，不等式()()2220(f t t f t k k -+-<为常数）恒成立,求k 的取值范围.21．（6分）设()()1122,,,A x y B x y 是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>上的两点，已知向量11,x y m b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭v ，22,x y n b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭v ，若0m n ⋅=u v v 且椭圆的离心率32e =，短轴长为2，O 为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线AB 过椭圆的焦点(0,)F c （c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值； （3）试问：AOB ∆的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.22．（8分）小明某天偶然发现班上男同学比女同学更喜欢做几何题，为了验证这一现象是否具有普遍性，他决定在学校开展调查研究：他在全校3000名同学中随机抽取了50名，给这50名同学同等难度的几何题和代数题各一道，让同学们自由选择其中一道题作答，选题人数如下表所示，但因不小心将部分数据损毁，只是记得女生选择几何题的频率是2.（1）根据题目信息补全上表；（2）能否根据这个调查数据判断有97.5%的把握认为选代数题还是几何题与性别有关？ 参考数据和公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++. 参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】 【分析】令()0f x <，化简得21x x mx e-<，构造函数()()21,x x g x mx h x e =-=，画出两个函数图像，结合两个函数图像以及不等式解的情况列不等式组，解不等式组求得m 的的取值范围. 【详解】()210xmx e x --<有两个正整数解即21x x mx e-<有两个不同的正整数解，令()()21,x x g x mx h x e =-=，()()2'22x xx x x x h x e e--==，故函数()h x 在区间(),0-∞和()2,+∞上递减，在()0,2上递增，画出()(),g x h x 图像如下图所示，要使21x x mx e -<恰有两个不同的正整数解等价于()()()()234212233931m g h e g h m e ⎧-<⎪⎧<⎪⎪⇒⎨⎨≥⎪⎩⎪-≥⎪⎩解得32312132m e e +≤<+ 故323121,32m e e ⎡⎫∈++⎪⎢⎣⎭，选C.【点睛】本小题主要考查不等式解集问题，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 2．B 【解析】 【分析】根据题意得到2234155p C ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，计算得到答案. 【详解】播下3粒种子恰有2粒发芽的概率223414855125p C ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B . 【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力. 3．C【解析】 【分析】由函数的解析式可得()()20,30f f <>，再根据函数的零点的判定定理，求得函数的零点所在的区间，得到答案． 【详解】因为0x 是函数()ln 4f x x x =+-的零点，由()()2ln 220,3ln310f f =-<=->， 所以函数()f x 的零点0x 所在的区间为()2,3， 故选C ． 【点睛】本题主要考查了函数的零点的判定定理的应用，其中解答中熟记零点的存在定理，以及对数的运算性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 4．B 【解析】由{}22A xx =-≤≤，{}0,2,4B =得{}02A B ⋂=，，故选B. 5．B 【解析】 由已知条件，可得由②③得22{x a b y c b==代入①，得22x y b b+＝2b ， 即x 2＋y 2＝2b 2.故x 2、b 2、y 2成等差数列， 故选B. 6．D 【解析】联立曲线与两条直线的方程组成的方程组可得三个交点分别为()()()1,0,1,2,2,1，结合图形可得封闭图形的面积为212112ln22S x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭⎰，应选答案D ． 7．B 【解析】 【分析】 【详解】解:8．B 【解析】 【分析】先判断双曲线的焦点位置，然后得到渐近线方程的一般形式，再根据,a b 的值直接写出渐近线方程. 【详解】因为双曲线的焦点在y 轴上，所以双曲线的渐近线方程为ay x b=±， 又因为2,1a b ==，所以渐近线方程为2y x =±.故选：B. 【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解，难度较易.双曲线的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，若焦点在x 轴上，则渐近线方程为b y x a =±，若焦点在y 轴上，则渐近线方程为ay x b=±；求解双曲线渐近线方程的另一种方法：直接将双曲线方程中的1变为0，由此得到的,x y 关系式即为渐近线方程.9．D 【解析】 【分析】直接由组合数定义得解． 【详解】由题可得：一个口袋内装有大小相同的8个球中， 从中取3个球，共有种不同的取法.故选D【点睛】本题主要考查了组合数的定义，属于基础题． 10．A 【解析】 【分析】利用向量的数量积公式，可知只有0AF DE AB DC ⋅=⋅>u u u r u u u r u u u r u u u r，其余数量积均小于等于0，从而得到结论． 【详解】由题意，以顶点A 为起点，其他顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a u r u u r u u r u u r u u r， 以顶点D 为起点，其他顶点为终点的向量分别为12345,,,,b b b b b u r u u r u r u u r u u r，则利用向量的数量积公式，可知只有0AF DE AB DC ⋅=⋅>u u u r u u u ru u u r u u u r，其余数量积均小于等于0，又因为,P Q 分别为()()i j k r s t a a a b b b ++⋅++u r u u r u u r u u r u r u r的最小值、最大值，所以0,0P Q <<，故选A ． 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，分析出向量数量积的正负是关键，着重考查了分析解决问题的能力，属于中档试题． 11．D 【解析】 【分析】根据正方形的对称性求得阴影部分面积占总面积的比例，由此求得所求概率. 【详解】根据正方形的对称性可知，阴影部分面积占总面积的四分之一，根据几何概型概率计算公式可知点落在阴影部分内的概率为14，故选D. 【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，属于基础题. 12．C 【解析】 【分析】利用复合命题的真值表进行判断即可，注意p 中的幂函数的系数为1，而q 中的小于的否定是大于或等于． 【详解】命题:p 令211m -=，解得1m =，则()2f x x =为幂函数，且在()0,∞+上单调递增，因此p 是真命题，命题:q “x R ∃∈，21x x -< ”的否定是“x R ∀∈，21x x -≥”，因此q 是假命题， 四个选项中的命题为真命题的是()p q ∧⌝，其余的为假命题，故选C ． 【点睛】（1）幂函数的一般形式是a y x =，而指数函数的一般形式是()0,1xy aa a =>≠；（2）我们要熟悉常见词语的否定，若“大于”的否定是“小于或等于”，“都是”的否定是“不都是”，“至少有一个”的否定是“一个都没有”等．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．1 【解析】 【分析】以D 点为原点，1,,DA DC DD 的方向分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出各顶点的坐标，进而求出平面BDEF 的法向量，代入向量点到平面的距离公式，即可求解． 【详解】以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz ，则1(1,0,1)A ，(1,1,0)B ，1(0,,1)2F ，所以(1,1,0)DB =u u u r ，1(0,,1)2DF =u u u r ，1(1,0,1)A D =--u u u u r ，设 (,,)x y z =m 是平面BDFE 的法向量，则m DB m DF ⎧⊥⎨⊥⎩u u u v u u u v ，即0102m DB x y m DF y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u vu u u v ， 令1y =，可得112x z =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，故1(1,1,)2m =--，设点A 在平面BDFE 上的射影为H ，连接1A D ，则1A D 是平面BDFE 的斜线段，所以点1A 到平面BEFE的距离1111A D m d m+⋅===u u u u v．【点睛】本题主要考查了空间向量在求解距离中的应用，对于利用空间向量求解点到平面的距离的步骤通常为：①求平面的法向量；②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解．着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 14．2【解析】 【分析】根据图像与函数的单调性分析即可. 【详解】()2ln 2f x x x =+--的零点个数即2ln 2x x +=+的根的个数,即2y x =+与ln 2y x =+的交点个数.又当0x →时22y x =+→,ln 2y x =+→-∞,此时2y x =+在ln 2y x =+上方.当1x =时, 23y x =+=,ln122y =+=,此时2y x =+在ln 2y x =+下方.又对2y x =+求导有'22y x =+,对ln 2y x =+求导有1'y x=,故随x 的增大必有122x x <+,即2y x =+的斜率大于ln 2y x =+的斜率. 故在1x >时, 2y x =+与ln 2y x =+还会有一个交点.分别作出图像可知有两个交点.故答案为：2 【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数的问题,需要根据题意分析函数斜率的变化规律与图像性质.属于中档题. 15．36 【解析】分析：利用极化恒等式可快速解决此题详解：如图，O 为BC 中点，2EF EG EM u u u r u u u r u u u u r += (1) 2EG EF MG u u u r u u u r u u u u r-= (2)把(1)式和(2)式两边平方相减得：22EF EG EM MG u u u r u u u rn =-该结论称为极化恒等式所以在本题中运用上述结论可轻松解题，所以2228DA DC DO AO ⋅=-=-u u u v u u u v所以264AO = 2236BA BC BO AO ⋅=-=u u u v u u u v点睛：极化恒等式是解决向量数量积问题的又一个方法，尤其在一些动点问题中运用恰当可对解题思路大大简化，要注意应用.16．222n n -+ 【解析】【分析】归纳前几行的第二个数，发现，第n 行的第2个数可以用[123(1)]1n +++⋯+-+来表示，化简上式由此可以得到答案．【详解】由图表可知第n 行的第2个数为：2(1)2[123(1)]1122n n n n n --++++⋯+-+=+=． 故答案为：222n n -+． 【点睛】本题是一道找规律的题目，考查归纳推理，掌握归纳推理找规律的方法是解题的关键．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（Ⅰ）212n a n =-；（Ⅱ）30-.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列通项公式可得{}n a 的通项公式；(Ⅱ)首先求得n S 的表达式，然后结合二次函数的性质可得其最小值.【详解】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为234+10+8+6a a a ，，成等比数列，所以2324(+8)(+10)(+6)a a a =，即2(22)(34)d d d -=-，解得2d =，所以102(1)212n a n n =-+-=-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知212n a n =-, 所以22102121112111()224n n S n n n n -+-=⨯=-=--； 当5n =或者6n =时，n S 取到最小值30-.【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.18．（1）ln 202a <≤；（2）1e. 【解析】【分析】 （1）先求()f x 的最大值max ()f x ，然后通过不等式max ln ()2a f x a≥寻找a 的范围． （2）由（1）知当(0,)x ∈+∞时，1()()1f x f e e ≤=-,这样可得ln x x e≤，于是由 1102n ⎛⎫+> ⎪⎝⎭且112n e ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭，得11()12ln[1()]2n n e++≤，()g n 可放大为21111()[ln(1)ln(1)ln(1)]1222n g n n ∴=+++++++L 2111111[111][1()](1)222(1)2n n n e n e n ≤++++⋯++=+-++111[1]2(1)n e n e=-<+ ，放缩的目的是为了和可求．因此m 的范围可得．【详解】（1）21ln ()x f x x -'=，由定理可知， 函数()f x 的单调递增区间为(0,)e ，递减区间为(,)e +∞ . 故max ln(2)1,022()11,2a e a a f x e a e e⎧⎛⎫-<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-<< ⎪⎪⎝⎭⎩， 由题意可知，当max ln 2ln 0,()1222e a a a f x a a<≤=-≥， 解得ln 22a ≤，故ln 202a <≤；当max 1ln ()122e a a e f x e a <<=-≥，，由ln x y x=函数的单调性， 可知在2e x e <<恒单调增，且恒大于零，故1ln 12a e a-≥无解； 综上：ln 202a <≤； (2)当(0,)x ∈+∞时，1()()1f x f e e≤=-, ln 111x x e ∴-≤-,ln x x e ∴≤， 1102n ⎛⎫+> ⎪⎝⎭Q 且112ne ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭， 11()12ln[1()]2n n e+∴+≤ ， 21111()[ln(1)ln(1)ln(1)]1222n g n n ∴=+++++++L 2111111[111][1()](1)222(1)2n n n e n e n ≤++++⋯++=+-++ 111[1]2(1)n e n e=-<+ ， 1m e ∴≥ ，m 的最小值为1e. 【点睛】本题考查用导数研究证明不等式，研究不等式恒成立问题．解题中一要求有较高的转化与化归能力，二要求有较高的运算求解能力．第（1）小题中在解不等式max ln ()2a f x a≥时还要用到分类讨论的思想，第（2）小题用到放缩法，而且这里的放缩的理论根据就是由第（1）小题中函数()f x 的性质确定的，发现问题解决问题的能力在这里要求较高，本题难度较大．19．（1）213n n n a +=；（2）3(23)n n + 【解析】【分析】（1）先计算1a ，再分别取,1n n -时两个等式相减得到213n n n a +=，计算得到213n n n a +=. （2）先计算(21)n b n =-+，11111()22123n n b b n n +=-++，利用裂项求和得到答案. 【详解】（1）5111(327)278a =-=，当2n ≥时，1212112121(...)(...)n n n n n n a a a a a a a --=+++-+++ 23212111(327)(327)388n n n +++=---=. 当1n =时，nn a =213n +也成立. nn a ∴=213n +, 213n n na +=.（2）3log (21)n n a b n n==-+， 111111()(21)(23)22123n n b b n n n n +==-++++Q ， 122311*********...[()()...()]235572123n n b b b b b b n n +∴+++=-+-++-++ 111()23233(23)n n n =-=++. 【点睛】本题考查了数列的通项公式，裂项求和，意在考查学生对于数列公式和方法的灵活运用及计算能力. 20．解：（1）因为()f x 是奇函数，所以(0)f =0， 即111201,().2222xx b b f x +--=⇒=∴=++………………………3 （2）由（1）知11211()22221x x x f x +-==-+++，………………………5 设12x x <，则211212121122()()2121(21)(21)x x x x x x f x f x --=-=++++. 因为函数y=2x 在R 上是增函数且12x x <， ∴2122x x ->0.又12(21)(21)x x ++>0 ，∴12()()f x f x ->0，即12()()f x f x >，∴()f x 在(,)-∞+∞上为减函数.另法：或证明f′(x)p 0 (9)（3）因为()f x 是奇函数，从而不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-， (3)因为()f x 为减函数，由上式推得2222t t k t ->-．即对一切t ∈R 有2320t t k -->， 从而判别式14120.3k k ∆=+<⇒<- (13)【解析】定义域为R 的奇函数()00f =，得b=1，在代入1，-1，函数值相反得a; ()()22220f t t f t k -+-<()()()()22222222f t t f t k f t t f t k ∴-<--∴-<-+,通常用函数的单调性转化为自变量的大小关系．（1）Q ()f x 是奇函数，∴()00f =，┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分即102b a -+=+∴1b =∴()1212x x f x a +-+=+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分 Q ()()11f f =--∴1121241a a-+-+=-++┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分 ∴2a =┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分（2）由（1）知由上式易知()f x 在R 上为减函数． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分又因为()f x 为奇函数，从而不等式()()22220f t t f t k -+-<， 等价于()()()222222f t t f t k f t k -<--=-+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分 Q ()f x 为减函数∴2222t t t k ->-+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分即对一切t R ∈都有2320t t k -->┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分∴4120k ∆=+<∴13k <-┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分 21．（Ⅰ）2214y x +=；（Ⅱ）2k =±（Ⅲ）三角形的面积为定值1． 【解析】试题分析：（1）根据条件可得213a b c ===，，，再设直线AB 的方程为：3y kx =立方程组，利用韦达定理和已知条件m n ⊥u r r，即可求出k 的值；（2）先考虑直线AB 斜率不存在的情况，即12x x =，12y y =，根据m n ⊥u r r ，求得1x 和1y 的关系式，代入椭圆的方程求得A 点的横坐标和纵坐标的绝对值，进而求得△AOB 的面积的值；当直线AB 斜率存在时，设出直线AB 的方程，与椭圆联立方程组，利用韦达定理表示出12x x +和12x x ⋅，再利用m n ⊥u r r，弦长公式及三角形面积公式求得答案.试题解析：（1）由题可得：2a =，1b =，所以，椭圆的方程为2214y x += 设AB的方程为：y kx =+2214y x +=得：()22410k x ++-=∴12x x +=，12214x x k -=+，0∆> ∵m n v v ⊥，∴0m n v v ⋅=，即：2121212144y y k x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭)12304x x ++=即222413044444k k k +-⎛⎫-+⋅+= ⎪++⎝⎭，解得：2k =± （2）①直线AB 斜率不存在时，即12x x =，12y y =∵m n ⊥u r r∴0m n ⋅=u r r ，即221104y x -= 又∵A 点在椭圆上∴221114y x +=，即2112x =∴12x =，1y = ∴1121111=2122S x y y x y -=⋅=，故AOB ∆的面积为定值1 ②当直线AB 斜率存在时，设AB 的方程为y kx m =+， 联立2214y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()2224240k x kmx m +++-= ∴12224km x x k -+=+，212244m x x k -=+，0∆> ∴121122AOB S m x x m ∆=-==所以三角形的面积为定值1.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的定值问题，解题时要注意解题技巧的运用，如常用的设而不求，整体代换的方法；探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个这个值与变量无关；②直接推理、计算，借助韦达定理，结合向量所提供的坐标关系，然后经过计算推理过程中消去变量，从而得到定值. 22．（1）见解析；（2） 有97.5%的把握认为选代数题还是几何题与性别有关【解析】【分析】（1）女生中选几何题的有22085⨯=人，由此补全列联表即可（2）计算2k 的值，对照临界值表下结论即可【详解】（1）由已知女生共20人，所以女生中选几何题的有22085⨯=（人）， 故表格补全如下：（2）由列联表知2250(221288)50 5.556 5.024*********k ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯ 故有97.5%的把握认为选代数题还是几何题与性别有关【点睛】本题考查独立性检验，考查能力，是基础题。
重庆市渝北区2019-2020学年数学高二第二学期期末学业质量监测试题含解析
重庆市渝北区2019-2020学年数学高二第二学期期末学业质量监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．设有1n +个不同颜色的球，放入n 个不同的盒子中，要求每个盒子中至少有一个球，则不同的放法有（ ） A ．()1!n +种 B ．()1!n n ⋅+种 C ．()11!2n +种 D ．()11!2n n ⋅+种 2． “0x ∀>，2sin x x >”的否定是( ) A ．0x ∀>，2sin x x < B ．0x ∀>，2sin x x ≤ C ．00x ∃≤，002sin x x ≤D ．00x ∃>，002sin x x ≤3．若,,a b c v v v 均为单位向量，且·0a b =v v ，则a b c +-v v v 的最小值为（ ）A 1B ．1C 1D4．已知函数ln ()xf x x=，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<5．《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有这样一道题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其译文是“现有从高到低依次为大夫、不更、簪裹、上造、公士的五个不同爵次的官员，共猎得五只鹿，要按爵次高低分配（即根据爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列），问各得多少鹿？”已知上造分得23只鹿，则大夫所得鹿数为（ ） A ．1只B ．43只 C ．53只 D ．2只6．六安一中高三教学楼共五层，甲、乙、丙、丁四人走进该教学楼2~5层的某一层楼上课，则满足且仅有一人上5楼上课，且甲不在2楼上课的所有可能的情况有（ ）种 A ．27B ．81C ．54D ．1087．将6位女生和2位男生平分为两组，参加不同的两个兴趣小组，则2位男生在同一组的不同的选法数为（ ） A ．70B ．40C ．30D ．208．已知某人每天早晨乘坐的某一班公共汽车的准时到站的概率为35，则他在3天乘车中，此班车恰有2天准时到站的概率为（ ） A ．36125B ．54125C ．81125D ．2712592()(1)x f x e x =-+，则()f x 的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．43B ．53C ．73D ．5211．下面几种推理过程是演绎推理的是 （ ）．A ．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B ．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分D ．在数列{a n }中，a 1＝1,23a =,36a =,410a =，由此归纳出{a n }的通项公式 12．若直线l ：12x ty at=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)经过坐标原点，则直线l 的斜率是A ．2-B ．1-C ．1D ．2二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．已知函数()32xxf x x x e e -=-+-+，若()()220f af a +-≥，则实数a 的取值范围是____14．观察以下各等式：223sin 30cos 60sin 30cos604︒+︒+︒︒=， 223sin 20cos 50sin 20cos504︒+︒+︒︒=，223sin 15cos 45sin15cos 454︒+︒+︒︒=，分析上述各式的共同特点，则能反映一般规律的等式为__________．15．用五种不同的颜色给图中A 、B 、C 、D 、E 、F 六个区域涂色，要求有公共边的区域不能涂同一种颜色且颜色齐全，则共有涂色方法__________种．16．过坐标原点O 作曲线:C xy e =的切线l ，则曲线C 、直线l 与y 轴所围成的封闭图形的面积为______三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数321()(,)3f x x ax bx a b R =++∈在3x =-处取得极大值为9. （1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 在区间[3,3]-上的最值. 18．已知函数()1122f x x x m =--的最大值为4. （1）求实数m 的值；（2）若0,02m m x ><<，求222x x +-的最小值.19．（6分）男生4人和女生3人排成一排拍照留念. （1）有多少种不同的排法（结果用数值表示）？（2）要求两端都不排女生，有多少种不同的排法（结果用数值表示）？ （3）求甲乙两人相邻的概率.（结果用最简分数表示） 20．（6分）设()()2cos 21f x kx x k x =++-，x ∈R ．（1）证明：对任意实数k ，函数()f x 都不是奇函数； （2）当12k =时，求函数()f x 的单调递增区间． 21．（6分）某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益（单位：万元）绘制成如图所示的频率分布直方图.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.广告投入x /万元 1 2 3 4 5（Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；（Ⅱ）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到上表： 表中的数据显示x 与y 之间存在线性相关关系，求y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）若广告投入6万元时，实际销售收益为7.3万元，求残差e$. 附：()()()1122211n niii ii i nni i i i x x y y x y nx ybx xx nx====---==--∑∑∑∑$，a y bx =-$$22．（8分）设函数2()(2)ln ()f x ax a x x a R =---∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 恰有两个零点，求a 的取值范围.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】 【分析】要求每个盒子中至少有一个球，可将两个颜色的球捆绑在一起．再全排列． 【详解】将两个颜色的球捆绑在一起，再全排列得21!(1)!2n nC n n +=+ 选D 【点睛】将两个颜色的球捆绑在一起．再全排列．本题为选择题还可取特值：令n =1,只有一种放法，排除AB ，令n =2有6中放法，选D 2．D 【解析】 【分析】通过命题的否定的形式进行判断． 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，故“0x ∀>， 2sin x x >”的否定是“0x ∃>， 2sin x x ≤”.【点睛】本题考查全称命题的否定，属基础题. 3．A 【解析】 【分析】 【详解】0,a b a b ⋅=∴+==v v v v Q ∴()()22222232a b c a b c a b a b c a b c +-=+++⋅-+⋅=-+⋅v v v v v v v v v v v v v v则当c v 与a b +vv 同向时()a b c +⋅r r r 最大，a b c +-v v v 最小，此时()a b c +⋅r r r ，所以a b c +-≥v v v-1，所以a b c +-v v v 1，故选A点睛：本题考查平面向量数量积的性质及其运算律，考查向量模的求解，考查学生分析问题解决问题的能力，求出a b +v v ，表示出a b c +-v v v ，由表达式可判断当c v 与a b +vv 同向时，a b c +-v v v 最小.4．D 【解析】 【分析】 可以得出11ln 32,ln 251010a c ==，从而得出c ＜a ，同样的方法得出a ＜b ，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】()ln 2ln 322210a f ===, ()1ln 255ln 5510c f ===,根据对数函数的单调性得到a>c, ()ln 333b f ==,又因为()ln 2ln8226a f ===，()ln 3ln 9336b f ===，再由对数函数的单调性得到a<b,∴c ＜a ，且a ＜b ；∴c ＜a ＜b ． 故选D ． 【点睛】考查对数的运算性质，对数函数的单调性．比较两数的大小常见方法有：做差和0比较，做商和1比较，或者构造函数利用函数的单调性得到结果. 5．C 【解析】 【分析】则答案可求． 【详解】设爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列{a n }，则423a =，则12348355a a a a a a ++++==， ∴3a =1，则431d 3a a =-=- ，∴13523a a d =-=．∴大夫所得鹿数为53只．故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，属于基础题． 6．B 【解析】 【分析】以特殊元素甲为主体，根据分类计数原理，计算出所有可能的情况，求得结果. 【详解】甲在五楼有种情况， 甲不在五楼且不在二楼有种情况， 由分类加法计数原理知共有种不同的情况，故选B. 【点睛】该题主要考查排列组合的有关知识，需要理解排列组合的概念，根据题目要求分情况计数，属于简单题目. 7．C 【解析】 【分析】先确定与2位男生同组的女生，再进行分组排列，即得结果 【详解】2位男生在同一组的不同的选法数为222262C C A 30=，选C.【点睛】本题考查分组排列问题，考查基本分析求解能力，属基础题. 8．B 【解析】由题意，恰有2天准时到站的概率为223325455125C ⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选择B 。
重庆市长寿区2019-2020学年新高考高二数学下学期期末监测试题
同步测试一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知tan 3a =，则21cos sin 22a a +=（） A ．25-B ．3C ．3-D ．252．在某项测量中，测量结果()2~0,X N σ，且0σ>，若X 在()0,1内取值的概率为0.3,则X 在()1,+∞内取值的概率为（ ） A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.43．在等差数列{}n a 中，1236a a a ++=，则2a 为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．54．已知定义在R 上的增函数f(x)，满足f(－x)＋f(x)＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f(x 1)＋f(x 2)＋f(x 3)的值 ( ) A ．一定大于0 B ．一定小于0 C ．等于0D ．正负都有可能5．已知(1,cos )a a =，(sin ,1)b a =，且0απ<<，若a b ⊥，则α=（ ） A ．23πB ．34π C ．4π D ．6π 6．执行如图所示的程序框图，则输出的A =（ ）A ．116B ．132C ．164D ．1128A ．9a ≤B ．8a ≥C ．9a ≥D ．10a ≥8．某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，销售价为8元，每天售出的第20个及之后的半价出售.该商场统计了近10天这种商品的销量，如图所示，设x(个)为每天商品的销量，y(元)为该商场每天销售这种商品的利润.从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率是( )A ．B ．C ．D ．9．一根细金属丝下端挂着一个半径为1cm 的金属球，将它浸没底面半径为2cm 的圆柱形容器内的水中，现将金属丝向上提升，当金属球被拉出水面时，容器内的水面下降了（） A ．43cm B ．316cm C ．34cm D ．13cm10．二项式61(2)x x-展开式中的常数项为（ ） A ．960- B ．160- C ．160D ．96011．5(21)(1)x x ++的展开式中5x 的系数为（ ） A ．1B ．9C ．10D ．1112．对于函数x y e =，曲线x y e =在与坐标轴交点处的切线方程为1y x =+，由于曲线x y e =在切线1y x =+的上方，故有不等式1x e x ≥+．类比上述推理：对于函数()ln 0y x x =>，有不等式（ ）A ．ln 1(0)x x x ≤->B ．ln 1(0)x x x ≥+>C ．ln 1(0)x x x ≥->D ．ln 1(0)x x x ≤->二、填空题：本题共4小题13．已知复数z 满足()1213i z i +=-（i 是虚数单位），则z =______．14．已知ABP △的顶点A ，B 分别为双曲线22:1169x y C -=左、右焦点，顶点P 在双曲线C 上，则sin sin sin A BP-的值等于__________．甲、乙各分得一张电影票，且甲所得电影票的编号总大于乙所得电影票的编号，则不同的分法共有______________种．16．已知等比数列{}n a为递增数列.若10a>，且4652()5a a a+=，则数列{}n a的公比q=__________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019-2020学年重庆市合川区高二(下)期末数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年重庆市合川区高二(下)期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.集合A ={x|x 2−x −2≤0}，B ={0,1}，则集合A ∩B 中元素的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 42.设复数z 满足z(1+i)=3−i(其中i 为虚数单位)，则z =( )A. 1−2iB. 1+2iC. 2+iD. 2−i3.已知向量a ⃗ =(2,4)与向量b ⃗ =(−4,y)垂直，则y =( )A. −2B. −1C. 1D. 24.在区间(−π2,π2)上随机地取一个数x ，则事件“tanx ≥√3”发生的概率为( )A. 16B. 13C. 23D. 565.某中学高一年级有280人，高二年级有320人，高三年级有400人，为了解学校高中学生视力情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为50的样本，则高一年级应抽取的人数为( )A. 14B. 16C. 28D. 406.已知变量x ，y 满足条件{x −y ≤03x −y −2≥0x +y −6≥0，则目标函数z =2x +y( )A. 有最小值3，最大值9B. 有最小值9，无最大值C. 有最小值8，无最大值D. 有最小值3，最大值87.已知直线m ，n 和平面α，n ⊂α，则“m//n ”是“m//α”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.在同一坐标系中，方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +by 2=0(a >b >0)的曲线大致是 ( )A.B.C. D.9.如图，半圆的圆心在直角坐标原点，点A，D，E的坐标分别为A(2,0)，D(1,0)，E(−1,0)，且点B在半圆上自点D逆时针向点E 运动，三角形ABC是等腰直角三形，∠BAC是直角，则四边形OACB的面积的最大值是()A. 52+√5 B. 2+2√5 C. 52+2√5 D. 2+√510.已知函数，，若对任意，存在，使，则实数的取值范围是()A. B. C. D.11.已知双曲线my2−x2=1(m∈R)与椭圆y25+x2=1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为()A. y=±√3xB. y=±√33x C. y=±13x D. y=±3x12.若函数在内单调递增，则的取值范围为()A. B.C. D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.{a n}为等差数列，则使等式|a1|+|a2|+⋯+|a n|=|a1+1|+|a2+1|+⋯+|a n+1|=|a1+3|+|a2+3|+⋯+|a n+3|=|a1+5|+|a2+5|+⋯+|a n+5|=2019能成立的数列{a n}的项数n的最大值是______．14.某学校要安排2位数学老师、2位英语老师和1位化学老师分别担任高三年级中5个不同班级的班主任，每个班级安排1个班主任，由于某种原因，数学老师不担任A班的班主任，英语老师不担任B班的班主任，化学老师不担任C班和D班的班主任，则共有______种不同的安排方法．(用数字作答)15.已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的表面积为．16.已知正三棱锥P−ABC中，E、F分别是AC，PC的中点，若EF⊥BF，AB=2，则三棱锥P−ABC的外接球的表面积为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的各项均不为零，设数列{a n}的前n项和为S n，数列{a n2}的前n项和为T n，且3S n2−4S n+T n=0(n∈N∗).(1)求a1，a2的值；(2)设b n=(2n−1)2n，求数列{b n}前n项和B n；(3)证明：数列{a n}是等比数列．18.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们的培训期间参加的若干次预赛成中随机抽取8次，记录如下甲：82，91，79，78，95，88，83，84；乙：92，95，80，75，83，80，90，85．(1)画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图；(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学角度，你认为派哪位学生参加合请说明理由．(3)若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．19.已知等边△ABC中，D、E分别为边AB和AC上的中点，沿DE将△ABC折起至△PDE的位置，使得平面PDE⊥平面DECB，M为PC的中点．(1)求证：ME//平面PBD；(2)求直线PB与平面BCDE所成角的余弦值．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√63，点P(√32,√32)在C上(Ⅰ)求椭圆C 的方程(Ⅱ)与圆x 2+y 2=b 2相切的直线l 与C 交于不同的两点M ，N ，当|MN|=√3时，求直线l 的斜率．21. 已知函数f(x)=ln(x−a)x．(Ⅰ)若a =1，确定函数f(x)的零点；(Ⅱ)若a =−1，证明：函数f(x)是(0,+∞)上的减函数；(Ⅲ)若曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x −y =0平行，求a 的值．22. 在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为{y =1+tsinαx=tcosα，其中t 为参数，α∈(0,π2)，再以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ+2sinθ=ρ，其中ρ≥0，θ∈R ，直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点． (1)求OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值； (2)已知点A(0,1)，且|AP|=2|AQ|，求直线l 的普通方程．23. [选修4−4:坐标系与参数方程]已知函数f(x)=|3x +1|−2|x −1|． (1)画出y =f(x)的图像;(2)求不等式f(x)>f(x +1)的解集．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵集合A={x|x2−x−2≤0}={x|−1≤x≤2}，B={0,1}，∴A∩B={0,1}，∴集合A∩B中元素的个数是2．故选：B．求出集合A，得到A∩B，再得到集合A∩B中元素的个数．本题考查一元二次不等式的解法和交集的运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：解：∵z(1+i)=3−i，∴z=3−i1+i =(3−i)(1−i)(1+i)(1−i)=1−2i，故选：A．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3.答案：D解析：解：因为平面向量a⃗=(2,4)与向量b⃗ =(−4,y)垂直，所以a⃗⋅b⃗ =0，即2×(−4)+4×y=0，解得：y=2．故选：D．根据两个向量垂直可得a⃗⋅b⃗ =0，再利用向量的坐标表示出两个向量的数量积，进而得到关于y的方程并且求出y的数值．本题主要考查向量的数量积运算及向量垂直的充要条件，本题属于基础题只要计算正确即可得到全分．4.答案：A解析：解：事件“tanx≥√3”在区间(−π2,π2)上的x∈[π3,π2)，长度为π2−π3=π6，区间(−π2,π2)的长度为π2−(π2)=π，∴在区间(−π2,π2)上随机地取一个数x，事件“tanx≥√3”发生的概率为16．故选：A．先化简不等式，确定事件“tanx ≥√3”在区间(−π2,π2)上的x ∈[π3,π2)，根据几何概型利用长度之比可得结论．本题考查几何概型，考查三角函数的化简，考查学生的计算能力，属于中档题．5.答案：A解析：解：根据题意，得； 抽取样本的比例是50280+320+400=120，∴从高一学生中应抽取的人数为280×120=14． 故选：A ．先求出抽取样本的比例是多少，再计算从高一学生中应抽取的人是多少． 本题考查了分层抽样方法的应用问题，是容易题目．6.答案：C解析：解：作出不等式对应的平面区域(阴影部分)， 由z =2x +y ，得y =−2x +z ，平移直线y =−2x +z ，由图象可知当直线y =−2x +z 经过点A 时，直线y =−2x +z 的截距最小，此时z 最小．无最大值． 由{3x −y −2=0x +y −6=0，解得{x =2y =4，即A(2,4)．此时z 的最小值为z =2×2+4=8， 故选：C ．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最值．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．7.答案：D解析：解：直线m ，n 和平面α，n ⊂α，则“m//n ”与“m//α”相互推不出． ∴“m//n ”是“m//α”的既不充分也不必要条件． 故选：D ．根据线面平行的判定与性质定理可得：直线m ，n 和平面α，n ⊂α，则“m//n ”与“m//α”相互推不出．即可判断出关系．本题考查了线面平行的判定与性质定理、简易逻辑判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.答案：D解析：解：由a>b>0，椭圆a2x2+b2y2=1，即x21a2+y21b2=1，焦点在y轴上；抛物线ax+by2=0，即y2=−abx，焦点在x轴的负半轴上；分析可得，D符合，故选：D．根据题意，a>b>0，可以整理椭圆a2x2+b2y2=1与抛物线ax+by2=0变形为标准形式，可以判断其焦点所在的位置，进而分析选项可得答案．本题考查由椭圆、抛物线的方程判断图象的方法，注意先判断曲线的形状，再分析焦点等位置．9.答案：A解析：本题考查任意角的三角函数的定义，求得四边形OACB的面积S=52+√5sin(θ+φ)是关键，着重考查余弦定理与辅助角公式的应用，考查三角函数的最值，属于中档题．利用余弦定理可求得AB2=5−4cosθ，于是S△ABC=12AB2=52−2cosθ，设B(cosθ,sinθ)，易求S△AOB=sinθ，四边形OACB的面积S=52−2cosθ+sinθ=52+√5sin(θ+φ)，从而可得答案．解：设∠BOA=θ，由余弦定理得，AB2=OB2+OA2−2OB⋅OAcosθ=1+4−2×1×2cosθ=5−4cosθ；∵三角形ABC是等腰直角三形，∠BAC是直角，∴S△ABC=12AB2=52−2cosθ；又B(cosθ,sinθ)，∴S△AOB=12×OA×OB×sinθ=12×2×1×sinθ=sinθ；∴四边形OACB的面积为S=52−2cosθ+sinθ=52+√5sin(θ+φ)(其中tanφ=−2)，∵由题意得0≤θ≤π，∴当θ+φ=π2时，sin(θ+φ)取得最大值1，即S取得最大值52+√5，∴S max=52+√5，故选：A．10.答案：D解析：首先对f(x)进行求导，利用导数研究函数f(x)的最值问题，根据题意对任意x1∈(0,2)，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)，只要f(x)的最小值大于等于g(x)的最小值即可，对g(x)的图象进行讨论根据对称轴研究g(x)的最值问题，从而进行求解；解：依题意得若f′(x)>0，1<x<3，f(x)为增函数；若f′(x)<0，x>3或0<x<1，f(x)为减函数；f(x)在x∈(0,2)上有极值，f(x)在x=1处取极小值也是最小值f(x)min=f(1)=1∵g(x)=x2−2mx+4=(x−m)2+4−m2，对称轴x=m，x∈[1,2]，当m<1时，g(x)在x=1处取最小值g(x)min=g(1)=1−2m=4=5−2m；当1<m<2时，g(x)在x=m处取最小值g(x)min=g(m)=4−m2；当m>2时，g(x)在[1,2]上是减函数，g(x)min=g(2)=4−4m+4=8−4m；∵对任意x1∈(0,2)，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)，∴只要f(x)的最小值大于等于g(x)的最小值即可，当m<1时，1≥5−2b，解得m≥2，故m无解；当1<m<2时，1≥4−m2，解得，故选D．11.答案：A解析：确定椭圆、双曲线的焦点坐标，求出m 的值，即可求出双曲线的渐近线方程． 本题考查椭圆、双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础． 解：椭圆y 25+x 2=1的焦点坐标为(0,±2)．双曲线my 2−x 2=1(m ∈R)的焦点坐标为(0,±√1m+1)，∵双曲线my 2−x 2=1(m ∈R)与椭圆y 25+x 2=1有相同的焦点，∴√1m+1=2，解得m =13，∴双曲线的渐近线方程为y =±√3x. 故选A ．12.答案：A解析：试题分析：因为，由函数在上单调递增，可知在恒成立，即在恒成立，而在上单调递减，所以，故选A ．考点：1.导数在单调性上的应用；2.不等式的恒成立问题．13.答案：40解析：解：a n }为等差数列，则使等式|a 1|+|a 2|+⋯+|a n |， =|a 1+1|+|a 2+1|+⋯+|a n +1|， =|a 1+3|+|a 2+3|+⋯+|a n +3|， =|a 1+5|+|a 2+5|+⋯+|a n +5|，则：数列{a n }中的项一定满足{a k >o a k−1<0，或者，{a k <0a k−1>0，且项数n 为偶数，设n =2k ，等差数列的公差为d ，首项为a 1， 不妨设{a k+1>0a k <0，则：a 1<0，d >0， 且：a k +5<0，由{a k+1>0a k +5<0， 可得d >5，所以：|a 1|+|a 2|+..+|a n |=−a 1−a 2−a 3−⋯−a k +a k+1+a k+2+⋯+a 2k ，=−2(a 1+a 2+a 3+⋯+a k )+(a 1+a 2+a 3+⋯+a k +a k+1+⋯+a 2k )=−2(ka 1+n(n−1)2d)+(2ka 1+2k(2k+1)2d)，=k 2d =2019， 由于：d >5，所以：k 2d =2019>5d 2， 解得：k 2<403.8， 故：k ≤20， 故：n ≤40．首先利用已知条件建立数列{a n }中的项一定满足既有正项又有负项，不妨设满足而判断数列中的项为偶数项，利用凑配法和关系式的变换求出n 的最大值．本题考查的知识要点：数列的通项公式的应用，数列的求和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．14.答案：32解析：解：根据题意，分6种情况讨论：①，若两位数学老师分别分到B 、C 两个班，有A 22A 21A 22=8种分法； ②，若两位数学老师分别分到B 、D 两个班，有A 22A 21A 22=8种分法； ③，若两位数学老师分别分到B 、E 两个班，有A 22A 22=4种分法； ④，若两位数学老师分别分到C 、D 两个班，有A 22A 22=4种分法； ⑤，若两位数学老师分别分到C 、E 两个班，有A 22A 22=4种分法； ⑥若两位数学老师分别分到D 、E 两个班，有A 22A 22=4种分法；则一共有8+8+4+4+4+4=32种安排方法； 故答案为：32．根据题意，按数学老师的安排情况分6种情况讨论，分别求出每一种情况的安排方法数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，关键是依据题意，对于受到限制的元素进行分类讨论．15.答案：2√23π解析：本题考查了圆锥的表面积，属于基础题．由于圆锥侧面展开图是一个圆心角为23π，半径为3的扇形，可知圆锥的母线长，底面周长即扇形的弧长，由此可以求同底面的半径r，求出底面圆的面积，再由ℎ=√l2−r2求出圆锥的高，然后代入圆锥的体积公式求出体积．解：∵圆锥侧面展开图是一个圆心角为120°半径为3的扇形∴圆锥的母线长为l=3，底面周长即扇形的弧长为2π3×3=2π，∴底面圆的半径r=1，可得底面圆的面积为π×r2=π，又圆锥的高ℎ=√l2−r2=√9−1=2√2，故圆锥的体积为V=13×π×2√2=2√23π，故答案为2√23π.16.答案：6π解析：证明以PA、PB、PC为从同一点P出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的体对角线就是外接球的直径，求出半径即可求解球的表面积．本题考查几何体的外接球的表面积的求法，判断几何体与球的关系，求出球的半径是解题的关键．解：∵E、F分别是AC，PC的中点，∴EF//PA，∵P−ABC是正三棱锥，∴PA⊥BC(对棱垂直)，∴EF⊥BC，又EF⊥BF，而BF∩BC=B，∴EF⊥平面PBC，∴PA⊥平面PBC，∴∠APB=∠APC=∠BPC=90°，以PA、PB、PC为从同一点P出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的体对角线就是外接球的直径，又AB=2，∴PA=√2，∴2R=√3PA=√6，∴R=√62，∴三棱锥P−ABC的外接球的表面积为：4πR2=4π×(√62)2=6π．故答案为：6π．17.答案：解(1)：∵3S n2−4S n+T n=0，令n=1，得3a12−4a1+a12=0∵a1≠0，∴a1=1．令n=2，得2(1+a2)2−4(1+a2)+(1+a22)=0即2a22+a2=0∵a2≠0，∴a2=−12；(2)∵b n=(2n−1)2n，∴B n=1⋅2+3⋅22+5⋅23+⋯+(2n−1)n⋅2n，①2B n=1⋅22+3⋅23+5⋅24+⋯+(2n−1)⋅2n+1，②①−②，得−B n=2+2(22+23+⋯+2n)−(2n−1)⋅2n+1=2+2⋅4(1−2n−1)1−2−(2n−1)⋅2n+1=−6+2n+2−(2n−1)⋅2n+1=−6−(2n−3)⋅2n+1，∴B n=(2n−3)⋅2n+1+6．证明(3)∵3S n2−4S n+T n=0，①∴3S n+12−4S n+1+T n+1=0，②②−①得：3(S n+1+S n)a n+1−4a n+1+a n+12=0，∵a n+1≠0，∴3(S n+1+S n)−4+a n+1=0，③3(S n+S n−1)−4+a n=0，④当n≥2时，③−④得：3(a n+1+a n)+a n+1−a n=0，即a n+1=−12a n，∵a n≠0，∴a n+1a n =−12．又由(1)知，a 1=1，a 2=−12， ∴a 2a 1=−12．∴数列{a n }是以1为首项，以−12为公比的等比数列．解析：(1)由3S n 2−4S n +T n =0，令n =1，可得a 1=1，令n =2，得a 2=−12；(2)利用错位相减法求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)由3S n 2−4S n +T n =0，得3S n+12−4S n+1+T n+1=0，两式作差得3(S n+1+S n )−4+a n+1=0，有3(S n +S n−1)−4+a n =0，进一步得到a n+1=−12a n ，得数列{a n }是以1为首项，以−12为公比的等比数列．本题考查数列递推式，考查数列的函数特性，数列的前n 项和的求法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属于中档题．18.答案：解：(1)茎叶图如图(2)方法一：(根据成绩稳定的优秀学生参加原则)x 甲.=x 乙.=85，但S 甲2<S 乙2 所以选派甲合适(6分)方法二：(根据高分产生概率高的学生参加原则)假设含9(0分)为高分，则甲的高分率为28，乙的高分率为38， 所以派乙合适．或：假设含8(5分)为高分，则甲的高分率为38，乙的高分率为12， 所以派乙合适．(3)甲高于8(0分)的频率为68=34(7分)ξ的可能取值为0、1、2、3∵ξ～B(3,34)，∴P(ξ=k)=C 3k(34)k (14)3−k ，(k =0,1，2，3)∴ξ的分布列为∴Eξ=3×34=94(12分)解析：(1)用茎叶图表示两组数据，首先要先确定“茎”值，再将数据按“茎”值分组分类表示在“叶”的位置．(2)选派学生参加大型比赛，根据不同的标准选派的方法也不一样①是要寻找成绩优秀的学生，就要分析两名学生的平均成绩②若平均成绩相等，再由茎叶图或是由方差(标准差)分析出成绩相比稳定的学生参加③为了追求高分产生的概率，也可以从高分产生的概率方面对两人进行比较． (3)数学期望的计算，可先由给定数据列出分布列，再根据数学期望的计算公式给出结果． 根据新高考服务于新教材的原则，作为新教材的新增内容--“茎叶”图是新高考的重要考点，同时(2)中概率、数学期望的计算也是高考的热点．对于“茎叶图”学习的关键是学会画图、看图和用图，对于概率要多练习使用列举法表示满足条件的基本事件个数．对于数学期望的计算则要熟练掌握运算方法和步骤．19.答案：(1)证明：取PB 中点N ，连接MN 、ND 、ME ，因为M 是PC 中点，所以MN 是三角形PBC 的中位线，所以MN//BC ，且MN =12BC ， 且在三角形ABC 中，D 、E 是AB 、AC 中点，所以DE 是三角形ABC 的中位线，所以DE//BC ，且DE =12BC ，所以MN//DE ，且MN =DE ，所以四边形DEMN 是平行四边形，所以ME//DN ， 且MN ⊄平面PBD ，DN ⊂平面PBD ， 所以ME//平面PBD ．(2)解：因为平面PDE⊥平面BCED，且PD=PE，所以，取DE中点Q，连接PQ，则有PQ⊥DE，所以PQ⊥平面BCED，连接QB，则QB为PB在底面上的射影，则∠PBQ即为所求线面角，设AB=4a，则PD=PE=2a，PQ=√3a，BQ=√4+3a=√7a，所以tan∠PBQ=PQBQ =√3√7，所以cos∠PBQ=√7√10=√7010．解析：(1)第一问根据题目当中的中点提示信息，模拟线段平移至平面PBD时可以容纳，故可以尝试用平行四边形法证明；(2)第二问根据面面垂直的信息快速找出垂线段与射影，即可求出线面角．(1)第一问考查平行四边形法证线面平行，属于基础题；(2)第二问考查线面角的求解，属于中档题．20.答案：解：(Ⅰ)由题意，有e2=1−b2a2=23，得a2=3b2，即椭圆C的方程为x23b2+y2b2=1．∵点P在C上，将点P(√32,√32)的坐标代入，得b2=1，进而a2=3，∴椭圆C的方程为x23+y2=1；(Ⅱ)当直线l的斜率不存在时，不妨设l的方程为x=1，代入x23+y2=1，得M(1,√63)，N(1,−√63)，|MN|=2√63≠√3，不合题意．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m，由题意，有√1+k2=1，即m2=k2+1．将y=kx+m代入x23+y2=1，得(1+3k2)x2+6kmx+3m2−3=0，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1+x2=−6km1+3k2，x1x2=3m2−31+3k2，∴|MN|=√1+k2|x1−x2|=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2=√1+k2×2√3(3k2+1−m2)1+3k2=2√6|k|√1+k21+3k2=√3，整理，得k4−2k2+1=0，解得k2=1，k=±1．综上，可知直线l的斜率为±1．解析：(Ⅰ)由题意得到a，b的关系，得到椭圆C的方程为x23b2+y2b2=1.把点P(√32,√32)代入求得b2=1，进而得a2=3，则椭圆方程可求；(Ⅱ)若直线l的斜率不存在时，不妨设l的方程为x=1，代入x23+y2=1，求得|MN|=2√63≠√3，不合题意．若直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m，由题意，有|m|√1+k2=1得到m与k的关系．联立直线方程和椭圆方程，由弦长公式得到|MN|=2√6|k|√1+k21+3k2=√3，解方程求得k的值．本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，训练了弦长公式的应用，是中档题．21.答案：解：(Ⅰ)a=1时，f(x)=ln(x−1)x，令f(x)=0，即ln(x−1)=0，即x−1=1，解得：x=2，故函数的零点是1；(Ⅱ)当a=−1时，f(x)=ln(x+1)x，∴函数的定义域为(−1,0)∪(0,+∞)，∴f′(x)=x−(x+1)ln(x+1)(x+1)x2，设g(x)=x−(x+1)ln(x+1)，∴g′(x)=1−[ln(x+1)+1]=−ln(x+1)，∴g′(x)<0在(0,+∞)上恒成立，∴g(x)在(0,+∞)上为减函数，∴g(x)<g(0)=0，∴f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立，∴f(x)在(0,+∞)上为减函数．(Ⅲ)∵f′(x)=x−(x−a)ln(x−a)(x−a)x2，∴k=f′(1)=1−(1−a)ln(1−a)1−a，∵y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x−y=0平行∴1−(1−a)ln(1−a)1−a=1，即ln(1−a)=a1−a ，分别画出y =ln(1−x)与y =x1−x 的图象， 由图象可知交点为(0,0) ∴解得a =0．解析：(Ⅰ)代入a 的值，令f(x)=0，解出即可；(Ⅱ)先求导，得到f′(x)，再构造函数g(x)=x −(x +1)ln(x +1)，求出g(x)的最大值为0，继而得到f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立，问题得以证明；(Ⅲ)欲求a 的值，根据在点(1,f(1))处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x =1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，解方程即可得．本题考查导数和函数的单调性最值的关系，以及导数的几何意义，考查了不等式的证明问题，培养了学生的转化能力，运算能力，处理问题的能力，属于难题22.答案：解：(1)直线l 的普通方程为y =tanα⋅x +1，曲线C 的极坐标方程可化为x 2=2y ，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，联立l 与C 的方程得：x 2−2tanα⋅x −2=0， ∴x 1x 2=−2，则y 1y 2=x 122 ⋅ x 222=(x 1x 2)24=1，∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=−1． (2)将直线l 的参数方程代入抛物线C 的普通方程， 得cos 2α⋅t 2−2sinα⋅t −2=0， 设交点P ，Q 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1+t 2=2sinαcos 2α，t 1t 2=−2cos 2α， 由|AP|=2|AQ|得，t 1=−2t 2，联立解得tan 2α=14，又α∈(0, π2)，所以tanα=12． 直线l 的普通方程为y =12x +1.(或x −2y +2=0)解析：(1)联立l 与C 的方程得：x 2−2tanα⋅x −2=0，利用向量数量积公式，求OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值； (2)已知点A(0,1)，且|AP|=2|AQ|，利用参数的几何意义，即可求直线l 的普通方程．本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，考查向量的数量积公式的运用，属于中档题．23.答案：解：(1)函数f(x)=|3x+1|−2|x−1|=，图像如图所示：(2)函数f(x+1)的图像即为将f(x)的图像向左平移一个单位所得，如图，联立y=−x−3和y=5x+ 4解得交点横坐标为x=−，原不等式的解集为．解析：本题考查解绝对值不等式，考查了运算求解能力及数形结合的思想，难度一般．。
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重庆市区县2019-2020学年高二下学期期末考试数学（文）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.己知复数z 满足(12)5i z -=，则z =A. 12i + C. 5D. 25【答案】B 【解析】 【分析】先计算复数z 再计算z . 【详解】5(12)51212i z z i i-=⇒==+-z ==故答案选B【点睛】本题考查了复数的化简，复数的模，属于基础题型.2.若集合{}{}20,230A x x B x x x =>=+-<，则AB =（ ）A. （－3，0）B. （－3，1）C. （0，1）D. （0，3）【答案】C 【解析】 【分析】求出集合B 中元素，然后根据交集运算计算． 【详解】由题意{|31}B x x =-<<，∴{|01}A B x x =<<．故选C ．【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题．3.命题“2,2xx R x ∃∈<”的否定为（ ）A. 2,2x x R x ∃∈> B. 2,2x x R x ∀∈<C. 2,2x x R x ∃∈≥D. 2,2x x R x ∀∈≥【答案】D 【解析】 【分析】根据命题的否定的定义写出结论，注意存在量词与全称量词的互换． 【详解】命题“2,2xx R x ∃∈<”的否定为“2,2x x R x ∀∈≥”． 故选D ．【点睛】本题考查命题的否定，解题时一定注意存在量词与全称量词的互换．4.函数()2ln f x x x =-的单调递减区间是（ ） A. （－∞，2） B. （0，2）C. （0，+∞）D. （2，+∞）【答案】B 【解析】 【分析】 求出导函数'()f x ，由'()0f x <确定减区间．【详解】由已知22'()1x f x x x-=-=， 定义域为(0,)+∞，由'()0f x <得02x <<． ∴()f x 的减区间为(0,2)． 故选B ．【点睛】本题考查导数与函数的单调性，属于基础题．5.己知变量x ，y 的取值如下表：由散点图分析可知y 与x 线性相关，且求得回归方程为ˆ0.7y x a =+，据此预测：当9x =时，y 的值约为 A. 5.95 B. 6.65C. 7.35D. 7【答案】B 【解析】 【分析】先计算数据的中心点，代入回归方程得到ˆa，再代入9x =计算对应值. 【详解】34564.54x +++==2.534 4.53.54y +++==数据中心点为(4.5,3.5)代入回归方程ˆˆ3.50.7 4.50.35aa =⨯+⇒= 0.70.35y x =+当9x =时，y 的值为6.65 故答案选B【点睛】本题考查了数据的回归方程，计算数据中心点代入方程是解题的关键，意在考查学生的计算能力.6.己知命题P ：单位向量的方向均相同，命题q ：实数a 的平方为负数。
则下列说法正确的是 A. p q ∨是真命题 B. p q ∧是真命题C. (p)q ⌝∨是假命题D. p (q)∧⌝是假命题【答案】D 【解析】 【分析】先判断命题P ，命题q 均为假.再逐项判断每个选项的正误. 【详解】命题P ：单位向量的方向可以是任意的，假命题 命题q ：实数a 的平方为非负数，假命题p q ∨为假命题，A 错误 p q ∧为假命题，B 错误(p)q ⌝∨是真命题，C 错误 p (q)∧⌝是假命题，D 正确故答案选D【点睛】本题考查了命题的判断，正确判断命题的正误是解决此类题型的关键.7.执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A. －58B. －59C. －179D. －180【答案】A 【解析】 【分析】模拟程序运行，观察变量的变化情况． 【详解】程序运行时，变量值变化：1,0n S ==，满足条件；1S =-，2n =，满足条件； 5S =-，3n =，满足条件；18S =-，4n =，满足条件； 58S =-，5n =，不满足条件；退出循环，输出58S =-． 故选A ．【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构．解题时只要模拟程序运行，观察变量值，判断循环条件．8.在一次随机试验中，已知A ， B ， C 三个事件发生的概率分别为0.2， 0.3， 0.5，则下列说法一定正确的是（ ）A. B 与C 是互斥事件B. A ＋B 与C 是对立事件C. A ＋B ＋C 是必然事件D. ()0.3P A B 0.5≤+≤【解析】 【分析】三个事件,,A B C 之间没有任何关系．根据事件和的概率性质可判断D 正确．【详解】A,B ， C 三个事件发生的概率分别为0.2， 0.3， 0.5，不能确定它们之间有任何关系，故选项A 、B 、C 均错，而()()()0.20.30.5P A B P A P B +≤+=+=，()max{(),()}0.3P A B P A P B +≥=，D 正确． 故选D ．【点睛】本题考查事件之间的关系，要注意事件的关系与它们的概率之间没有必然的联系，掌握互斥事件与对立事件的定义是解题基础．9.规定()()a ab a b b a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，设函数11()22x xf x --=⊗，若存在实数x 0，对任意实数x 都满足0()()f x f x ≤，则0x =（ ）A.12B. 1D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据新定义求出函数()f x ，然后确定函数的单调性，求得最小值点． 【详解】据题意1x ≥时，1()2x f x -=，单调递增，当1x <时，1()2xf x -=，单调递减，所以1x =时()(1)1f x f ==最小值，所以01x =．故选B ．【点睛】本题考查新定义，解题关键是理解新定义，把新定义问题转化为我们熟悉的函数的最值．10.已知函数21()ln 2f x x a x =-在[)1,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 A. 1a < B. 1a ≤C. 0a ≤D. 01a ≤≤【答案】B 【解析】函数在[)1,+∞上单调递增，等价与导函数在[)1,+∞大于等于0恒成立，即21a x a ≤⇒≤. 【详解】函数21()ln 2f x x a x =-在[)1,+∞上单调递增 2'()01af x x a x a x=-≥⇒≤⇒≤ 故答案选B【点睛】本题考查了函数的单调性，转化为导数大于等于0是解题的关键，忽略掉等号是容易犯的错误.11.定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)+ f(x+1)=0，且在[－1， 0]上单调递减，则（ ）A. f f f <<-B. f f f -<<C. f f f <<-D. f f f -<<【答案】A 【解析】 【分析】由已知确定函数是周期函数且确定出周期，然后结合偶函数性质化函数值为变量在已知区间[1,0]-上的函数值，再比较大小．【详解】由题意知:2T =,结合图像知，()f x 在[0, 1]上单增，[1, 2]上单减, :又1),2)(22)f f f f f f f -====221<.所以2)(21)f f f <<.故选：A【点睛】本题考查函数的周期性与单调性、奇偶性，解题时注意已知条件与周期的关系：函数()f x 满足()()f x a f x +=-戒1()()f x a f x +=，则()f x 是周期函数，且2a 是它的一个周期．12.己知0a b >>，c ，d 为实数，若函数32()f x ax bx cx d =+++在R 上单调递增，则ca b+的取值范围是（ ） A. （0，16） B. （0，+∞） C. （16，+∞） D. （6，+∞）【解析】 【分析】求出导函数'()f x ，题意说明'()0f x ≥在R 上恒成立，由此可得,,a b c 的一个不等关系，23b c a≥，这样223()c b a b a ab ≥++，再化为ab 的代数式，结合二次函数和反比例函数性质可得取值范围. 【详解】222()32041203b f x ax bx c b ac c a'=++⇒∆=-⇒,所以()222133c b a ba aba ab b =+⎡⎤+⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦因为0a b >>,所以分母可以趋于+∞，故0ca b>+. 故选：B【点睛】本题考查导数与函数的单调性的关系，考查不等式的性质.解题中注意对齐次公式的处理方法.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.复数1z i=（i 为虚数单位）的共扼复数是________________ 【答案】i 【解析】 【分析】先计算复数z ，再计算其共轭复数. 【详解】1z i z i i==-⇒= 故答案为i【点睛】本题考查了共轭复数，属于基础题型.14.数据3，4，3，2，1，5的标准差为【解析】 【分析】先求均值，再求方差，从而得标准差. 【详解】由题意均值为34321536x +++++==，方差为222222215[(33)(43)(33)(23)(13)(53)]63s =-+-+-+-+-+-=，∴3s ==。
故答案为3. 【点睛】本题考查标准差的概念，可先计算均值，再计算方差，然后得标准差，属于基础题.15.己知函数()()2f x f '1e x 1x =+-，其()f 'x 是()f x 的导函数，则f (1)＝【答案】2e1e- 【解析】 【分析】 求出'()f x ，令1x =后可解得'(1)f ，然后代入()f x 计算出(1)f【详解】22e ()(1)e 2(1)(1)1e 1exf x f x f f '''=+⇒=⇒=-- 故答案为2e1e- 【点睛】本题考查导数的运算，属于基础题型.16.数列1，－2，2，－3，3，－3，4，－4，4，－4，5，－5，5，－5，5…的项正负交替，且项的绝对值为1的有1个，2的有2个，…，n 的有n 个，则该数列第2019项是 。
【答案】64 【解析】 【分析】将绝对值相同的数字分为一组，则每组数字个数构成等差数列n a n =，然后计算原第2019项在这个数列的第几项，再根据题意可得.【详解】将绝对值相同的数字分为一组，则每组数字个数构成等差数列n a n =， 因为(1)6364201963201622n n n +⨯⇒⇒=， 则2019项前共包含63个完整组，且第63组最后一个数字为第2016项 故2019项为第64组第3个数字，由奇偶交替规则，其为64. 故答案为64.【点睛】本题考查数列创新问题，解题关键是把绝对值相同的数字归为一组，通过组数来讨论原数列中的项，这借助于等差数列就可完成,本题考查了转化思想.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。