第3章傅里叶变换
第三章――傅里叶变换周期信号的傅里叶级数分析
第三章 傅里叶变换3.1周期信号的傅里叶级数分析（一） 三角函数形式的傅里叶级数满足狄利赫里条件的周期函数()f t 可由三角函数的线性组合来表示，若()f t 的周期为1T ，角频率112T πω=，频率111f T =，傅里叶级数展开表达式为()()()0111cos sin n n n f t a a n t b n t ωω∞==++⎡⎤⎣⎦∑各谐波成分的幅度值按下式计算()0101t T t a f t dt T +=⎰()()0112cos t T n t a f t n t dt T ω+=⎰()()01012sin t T n t b f t n t dt T ω+=⎰其中1,2,n =⋅⋅⋅狄利赫里条件：（1） 在一个周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个；（2） 在一个周期内，极大值和极小值的数目应是有限个； （3） 在一个周期内，信号是绝对可积的，即()00t T t f t dt +⎰等于有限值。
（二） 指数形式的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数展开也可以表示为指数形式，即()()11jn tnn f t F n eωω∞=-∞=∑其中()011011t T jn tn t F f t e dt T ω+-=⎰ 其中n 为从-∞到+∞的整数。
（三） 函数的对称性与傅里叶系数的关系（1） 偶函数由于()f t 为偶函数，所以()()1sin f t n t ω为奇函数，则()()01112sin 0t T n t b f t n t dt T ω+==⎰所以，在偶函数的傅里叶级数中不会含有正弦项，只可能含有直流项和余弦项。
（2） 奇函数由于()f t 为奇函数，所以()()1cos f t n t ω为奇函数，则()0100110t T t a f t dt T +==⎰()()010112cos 0t T n t a f t n t dt T ω+==⎰ 所以，在奇函数的傅里叶级数中不会含有直流项和余弦项，只可能包含正弦项（3） 奇谐函数（()12T f t f t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭）半波对称周期函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次谐波的正、余弦项，而不会含有偶次谐波项，这也是奇谐函数名称的由来。
信号与系统第三章：傅里叶变换
由于这里用于系统分析的独立变量是频率，故称为频域分析。
6
3.1 信号分解为正交函数
信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的
y
概念相似。
AC1vxC2vy
C 2v y
A
v x , v y 为各相应方向的正交单位矢量。 C 1v x
❖ 1、时域分析的基本概念 系统时域响应的概念和四种主要响应形式。
❖ 2、离散系统的时域分析 差分和差分方程的含义和建立；差分方程的经典解法，以及各种响应的具体求解。
❖ 3、单位冲击响应与单位样值响应 单位冲击响应和单位样值响应的概念和实质；通过微分方程或差分方程的求解方法。
❖ 4、卷积积分 卷积积分的基本概念和意义；采用定义法和图解法进行求解的方法和步骤；卷积积分 的重要性质。
❖ 采用变换域分析的目的：主要是简化分析。这章傅里叶变 换主要从信号分量的组成情况去考察信号的特性。从而便 于研究信号的传输和处理问题。
5
本章以正弦函数或(虚指数函数)为基本信号 任意周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或虚
指数函数之和。 sin(n1t),cos(n1t),ejn1t
n0,1,2
❖ 5、卷积和 卷积和的基本概念和意义；通过定义、性质以及图解法和不进位乘法熟练进行求解的 方法和步骤。
2
第三章主要内容
❖3.1 信号分解为正交函数 (一般了解） ❖3.2 傅里叶级数 ❖3.3 周期信号的频谱 ❖3.4 非周期信号的频谱（傅里叶变换） ❖3.5 傅里叶变换的性质 ❖3.6 卷积定理 ❖3.7 周期信号的傅里叶变换 ❖ 3.8.抽样信号的傅里叶变换与取样定理
x
它们组成一个二维正交矢量集。
第3章 傅里叶变换-例题全文编辑修改
1 2
Sa
4
1 e j
π n π
n
π
sin n
4
2 n n π
1 ejnπ n π
4
2
n
sin n π 4
n
1
(1)n
n
π
方法二:利用周期信号的傅里叶级数求解
f(t)的傅里叶级数为
1
Fn T
f (t ) e jn1td t
T
12sin3212nπG12
(
t
下面用三种方法求解此题。
方法一：利用傅里叶变换的微分性质 方法二：利用傅里叶变换的积分性质 方法三：线性性质
方法一：利用傅里叶变换的微分性质
要注意直流，设fA(t)为交流分量， fD(t)为直流分量，则
f t fA t fD t
F FA ω FD ω
f t
2 1
O1
t
f (t) 3/2 D
将 f (t)看成是信号1 cos t 经过窗函数 G2π t 的
截取，即时域中两信号相乘
f (t) 1 cos t G2π(t)
根据频域卷积定理有
F
ω
1
2
F
1
cos t F
G2 π
t
1 2π
2
π
δ
ω
π
δ
ω
1
π
δ
ω
1
2
sinπ ω
ω
2sinπ ω ω ω2 1
例3-8
求信号f (t) Sa(100t)的频宽（只计正频率部分）， 若对f (t)进行均匀冲激抽样，求奈奎斯特频率fN 和奈奎斯特周期TN。
(1)要求出信号的频宽，首先应求出信号的傅里
第三章 傅里叶变换 重要公式
∞
F (ω
n=−∞
−
nω s
)
9
（2）频域冲激抽样
设 f (t ) ←→ F (ω )
∞
频域冲激抽样 F(ω)δω (ω) = F(ω) ∑δ (ω − nω1 ) n=−∞
（ ω1
=
2π T1
）
时域中以 1 为周期地重复 T1
频域中以间隔ω1 冲激抽样
∑ ∑ 1
ω1
∞ n=−∞
f
(t
−
nT1
第三章 傅里叶变换
重要概念与重要公式
一、傅里叶级数 1、三角函数形式的傅里叶级数 任何周期信号 f (t) 可以分解为
∞
∑ （1） f (t) = a0 + an cos (nω1t ) + bn sin (nω1t ) n=1
傅里叶系数：
∫ ( ) a0
=
1 T1
f t0 +T1
t0
t
dt
∫
cn
c0 = a0 =an2 + bn2
n = 1, 2,3,
ϕn
= − arctan bn an
n
= 1, 2,3,
∞
∑ （3） f (t) = d0 + dn sin (nω1t +θn ) n=1
d
n
d0 = a0 =an2 + bn2
n =1, 2,3,
= θn
a= rctan an n bn
整数倍）的线性组合。 2、信号的频谱
为了直观地表示出信号所含各频率分量振幅的大小，以频率 f（或角频率ω ）
为横坐标，以各次谐波的振幅 cn 或虚指数函数的幅度 Fn 为纵坐标，按频率高低 依次排列起来的线图，称为信号的幅度频谱，简称幅度谱。图中每条竖线代表该 频率分量的幅度，称为谱线。
通信常见函数的傅里叶变换
式中，n
arctan
bn an
cn
an2bn2
Opposite Hypotenuse
为n次谐波初始相位。 为n次谐波振幅。
！ 并非任意周期信号都能进行傅里叶级数展开！
f ( t ) 可展开为傅里叶级数的条件：
（1）f ( t 绝) 对可积，即： t2 f (t) dt t1
（2）f ( t 在) 区间内有有限个间断点；
第3章 傅里叶变换
重点：
1.傅里叶级数定义及适用条件 2.常见周期信号的频谱,非周期性信号的频谱 3.傅里叶变换的定义及适用条件及性质 4.周期信号的傅里叶变换 5.抽样定理 6.功率频谱与能量频谱 7.系统频域分析法 8.希尔伯特变换
3.1 傅里叶变换的产生
傅里叶1768年生于法国,1807年提 出“任何周期信号都可用正弦函数 级数表示”, 1822年在“热的分析 理论”一书中再次提出。1829年 狄里赫利给出傅里叶变换收敛条件。 傅里叶变换得到大规模的应用，则 是到了上世纪60年代之后。
T0 2
T0 2
(t)ejn0tdt1 T0
T0
(t)
1 T0
ejn0t
n
a0
1 T0
又
anT20 T2 T020(t)cosn0tdtT20
bn 0
T 0 ( t )
的三角傅里叶级数为：T0(t)T10 T20
cosn0t
n1
例 求下图中三角波的三角傅里叶级数。
解 （1）将周期函数 f ( t ) 在 t [0,T0]内的函数记为
第一个过零点为n =4 。 F&n 在2π/有4值1（谱线）
f (t)
1
T
2
o
第3章)傅里叶变换的性质
信号与系统讲义第三章T
3）奇谐函数信号（半波对称函数 ）
奇谐函数信号：若波形沿时间轴平移半个周期并相对于 该轴上下反转，此时波形并不发生变化，即满足：
f (t) f (t T1 ) 2
a0 0
n为偶，an bn 0
n为奇，an
4 T1
T1
2 0
f (t) cos(n1t)dt
bn
4 T1
T1
2 0
f (t) sin(n1t)dt
单边频谱图：cn ~ n1 信号的幅度谱
cn
c1 c2
c0
c3
n ~ n1 信号的相位谱
各频率分量的幅度称为为包络线。
n
0 w1 3w1
nw1
周期信号频谱图的特点： 离散性、谐波性、收敛性
w
14
二、指数形式的傅里叶级数
由三角形式的傅里叶级数：
f (t) a0 an cos(n1t) bn sin(n1t) n1
其中
n ~
1 T1
t0 T1 f (t)
t0
jn1tdt
直流分量：F0 c0 a0
16
2、傅里叶级数各系数之间的关系
e f (t)
F (n1) jn1t
n
f (t) a0 an cos(n1t) bn sin(n1t) n1
f (t) c0 cn cos(n1t n )
~
T1或
T1 2
~
T1 2
7
三角函数集是一组完备的正交函数
t0 T1
t0
cosn1t.sin m1t.dt
0
t0 T1 t0
T1
sin
n1t
sin
m1tdt
2 0
信号与系统-3章_傅里叶变换
t2 t1
f(t)cos(n1t)dt,
t2 f(t)dt, n0
t1
n0
数
bnt1 t2t1 tf2s(tin )s2i(n n(n1t)1td)tdtt22 t1
t2 t1
f(t)sin(n1t)dt
或 f(t)a 2 0n 1(a nc o sn1 t b nsinn1 t)
-T0 O T0 2T0 t
f( t) n f1 ( t n T 0 ) n [A T A 0 ( t n T 0 ) ] [ u ( t n T 0 ) u ( t ( n 1 ) T 0 ) ]
将 f ( t ) 去除直流分量，则仅剩交流分量 f A C ( t )
t2
t1
cos(n1t)cos(m1t)dt 0
sin(n1t)sin(m1t)dt
0
,
mn
（2）“单位”常数性，即当 n 0 时，有
t1 t2 c o s 2 (n1 t)d tt1 t2 s in 2 (n1 t)d t T 2 t2 2 t1
f (t)
1
T
2
o
2
谱线间隔不变 2 π
TLeabharlann 1 Fn16示意图
T
t
幅值再减小一倍
o
2π
第一个过零点再增加一倍
结论
• 由大变小，Fn 第一过零点频率增大，即 2π/
所以 f 1/ 称为信号的带宽， 确定了带宽。 • 由大变小，频谱的幅度变小。 • 由于 T 不变，谱线间隔不变，即 2π/T不变。
傅里叶变换的证明
第三章傅里叶变换§3.1 引言§3.2周期信号的傅里叶级数分析频谱分析§3.3典型周期信号的傅里叶级数频谱§3.4傅立叶变换§3.5典型非周期信号的傅里叶变换FT §3.6冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换§3.7傅里叶变换的基本性质§3.8卷积特性§3.9周期信号的傅里叶变换§3.10抽样信号的傅里叶变换§3.11抽样定理第三章复习课§3.1 引言法国数学家傅里叶有两个最主要的贡献: 1 周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信号的加权和. 2 非周期信号都可以用正弦信号的加权积分表示. 本章要点: 1 建立信号频谱的概念. 2 利用傅里叶级数的定义式分析周期信号的离散频谱. 3 利用傅里叶积分变换分析非周期信号的连续频谱. 4 理解信号时域与频域间的关系. 5 用傅里叶变换的性质进行正、逆变换. 6 掌握抽样信号频谱的计算及抽样定理. §3.2周期信号的傅里叶级数分析频谱分析周期信号的傅里叶级数两种表现形式: 1: 三角函数级数2: 指数形式一周期信号展开成三角函数形式的傅里叶级数. 1 周期信号: 2 傅里叶级数展开表达式: fwnnTtftfT1211102sin2cossincos121211110twbtwatwbtwaatf1 无限项和1110sincosnnntnwbtnwaa2 n正整数100110TttTdttfa 信号的平均值、直流分量3 1001cos12TttTndttnwtfa的偶函数是1nw4 1001sin12TttTndttnwtfb的奇函数是1nw5 补充正交三角函数系tnwtnwtwtw1111sincossincos1上的积分为零乘积在区间任何不同的两个函数的2211TT即有mnmndttmwtnwTTtt0coscos2111100mnmndttmwtnwTTtt0sinsin2111100nmdttmwtnwT tt0sincos10011所有nnba导系数利用正交函数系性质推3 满足狄利克雷条件:充分条件①在一个周期内若有间断点存在间断点数目应该是有限个②在一个周期内极大值和极小值数目应该是有限个③在一个周期内信号绝对可积100Tttdttf注:我们遇到的周期信号都能满足狄利克雷条件. 4 三角函数形式的另一种表达形式.同频率项加以合并110cosnnntnwcctf的函数都是122sincosarctannwcbcabacnnnnnnabnnnnnn5 画频谱图幅度谱、相位谱P91页图3-1 单边谱谱线:每条线代表某一频率分量的幅度. 包络线:连接各谱线顶点的曲线.反映各频率分量的幅度变化情况6 周期信号频谱特点. ①离散谱: 离散频率点上出现在111320www ②收敛性. ③谐波性: 是各谐波频率111132nwwww二指数形式的傅里叶级数1 展开式: 6111ntjnwnntjnweFenwFtf 证明:思路由三角形式→指数形式7sincos1110nnntnwbtnwaatf8sincos1111211211tjnwtjnwjtjnwtjnweetnweetnw9122011 ntjnwjbatjnwjbaeeatfnnnn令10321211njbanwFnn利用欧拉公式: 得的奇函数是的偶函数是1121111nnnnjbanwFnwbnwa把1011代入9得12111011ntjnwtjnwenwFenwFatf00Fa令111111ntjnwntjnwenwFenwFntjnwenwFtf1121式写为nFnwF1计算傅里叶系数整数1001111ndtetfFnwFTtttjnwTn 证明:把45代入10即可. 2: 000caF21nnjnnjbaeFFn21nnjnnjbaeFFnnnnnncFbaF212221nnncFF3 两种傅氏级数系数间的关系. 4 画复数频谱. P93页双边谱 5 周期复指数信号频谱图的特点: ①引入了负频率变量没有物理意义.只是数学推导的结果. ②一般是复函数nF 和相位谱合一相位幅度谱和的正负表示是实函数时可以用当0nnFF③三、函数的对称性与傅立叶系数关系是偶函数tftftf0nb是奇函数tftftf只含正弦项000naa是奇谐函数tf21Ttftf 1 只含直流项、余弦项3 2 波形沿时间轴平移半个周期并相对该轴上下反转此时波形不发生变化。
第三章傅里叶变换
则
f1 (t )
f
2
(t
)
F
1
2
F1() F2 ()
可见：频域中卷积信号的傅里叶变换等于信号傅里叶变 换的卷积并乘以 １／２π 。
对于一个线性非时变系统，若知系统的单位冲激响应为 h(t)
时，系统对于任何输入x(t) 的响应 y(t) 可以用卷积求出，即
y(t) x(t) h(t)
运用傅里叶变换的时域卷积定理，有
第三章 傅里叶变换
傅里叶生平
• 1768年生于法国
• 1807年提出“任何周 期信号都可用正弦函 数级数表示”
• 拉格朗日反对发表
• 1822年首次发表“热 的分析理论”
• 1829年狄里赫利第一 个给出收敛条件
傅里叶的两个最主要的贡献——
“周期信号都可以表示为成谐波关 系的正弦信号的加权和”——傅里 叶的第一个主要论点
假定线性时不变系统单位冲激响应为h(t)，系统频率响应为H()，即有
F [h(t)] H()
当输入为 x(t) e jk0t 时，系统输出的傅里叶变换为
Y () X ()H ()
输入信号 x(t) e jk0t 可以看成 e jk0t 与一个直流信号的乘积，根据傅里
叶变换的频移特性，有
1F 2 ()
2
Ω为模拟角频率，它与实际频率的关系：Ω=2πf
F(Ω )通常为复函数，可以写成：
F () F () e j ()
F(Ω)︱是F(Ω)的幅度函数，表示信号中各频率下谱密度的相对大小；
是F(Ω()的) 相位函数，表示信号中各频率成分的相位关系。在工程技
术中︱F(Ω)︱通常也称为幅度频谱， 为相(位)频谱，它们都是频率 Ω的连续函数。
第三章.离散时间信号的傅里叶变换
4、时域卷积定理
∞
) = x ( 0 ) + 2∑ x ( n ) cos (ω n )
n =1
y (n) = x ( n) * h ( n)
Y ( e jω ) = X ( e jω ) H ( e jω )
X I ( e jω ) = 0 x ( n) =
π∫
1
π
0
X R ( e jω ) cos (ω n ) d ω
jω jω 2 2 ⎤ X ( e jω ) = ⎡ ⎣ X R ( e ) + X I ( e )⎦
12
如果 x ( n ) 是实信号，根据DTFT的正、反变换的定义，有 如下性质： ① X ( e jω ) 的实部 X R ( e jω ) 是 ω 的偶函数，即 ② X (e
jω
= X ( e − jω )
x (t ) =
k =−∞
X ( k Ω0 ) =
1 T /2 x ( t ) e − jk Ω0t dt T ∫−T / 2
X ( k Ω 0 )代表了x ( t ) 中第k次谐波的幅度，并且它是离散的。
∑ X ( kΩ ) e
0
∞
jk Ω0 t
并非所有周期信号都可展开成傅里叶级数。一个周期信号 能展开成傅里叶级数，除满足前面指出的平方可积条件 外，还需要满足如下的Dirichlet条件： ① 在任一周期内若存在间断点，则间断点的数目应是有限 的。 ② 在任一周期内的极大值和极小值的数目应是有限的。 ③ 在一个周期内应是绝对可积的，即
第三章
离散时间信号的傅里叶变换
第三章 离散时间信号的 傅里叶变换
内容概要
1、连续时间信号的傅氏变换 2、离散时间信号的傅氏变换（DTFT） 3、连续时间信号的抽样 4、离散时间周期信号的傅氏级数 5、离散傅氏变换（DFT） 6、利用DFT计算线性卷积 7、希尔伯特变换
第三章-傅里叶变换
三、 三角函数形式的傅里叶级数（3）
f (t) a
(a
cos n t b
sin n t)
0
n1
n
1
n
1
纯余弦形式傅里叶级数
f (t) c
c
co（ s n t ）
0
n1 n
1
n
其中 c a , c
0
0
n
a2 b2 ,
n
n
n
arctg
bn an
c0称为信号的直流分量，cn cos(n1t+ n) 称
为信号的n次谐波分量。 cn0。 可见， 周期信号可分解为直流、基波和各次
谐波的线性组合。
中国民航大学 CAUC
3.2 周期信号的傅里叶级数分析
三、 三角函数形式的傅里叶级数（4）
[例] 求下图所示周期锯齿波的傅里叶级数展开式。
sin n t)
0
n1
n
1
n
1
a0、an、bn—傅里叶系数
1—基本角频率（基频）
a0—信号的直流分量
a b
n
n
a n
b n
n
n
cos1t 、 sin1t —基波
cos(n1t) 、 sin(n1t) — n次谐波
中国民航大学 CAUC
3.2 周期信号的傅里叶级数分析
3.1 信号的正交函数分解
一、正交函数(1)
1. 实变函数：若实函数f1(t) 和f2(t)在(t1 ，t2)上满足
t2 t1
f (t)f (t)dt
1
2
0
则称f1(t)与f2(t)在(t1 ，t2)上正交。 2. 复变函数：若有n个复变函数fi(t) （i=1，…，n） 在区间( t1，t2)上满足
第三章傅里叶分析
第3章 傅里叶分析3.1 傅里叶变换概述一、 时间连续、频率连续的傅里叶变换（FT ）其傅里叶变换公式为： 正变换 ⎰∞∞-Ω-=Ωdt e t x j X t j )()(反变换 ⎰∞∞-ΩΩΩ=d e j X t x t j )(21)(π时域函数的连续性造成频域函数的非周期性，而时域的非周期性造成频谱的连续性。
二、 时间连续、频率离散的傅里叶变换——傅里叶级数（FS ）周期为T 的周期性连续时间函数x (t )可展开成傅里叶级数，其系数为X (jk Ω0)，X (jk Ω0)是离散频率的非周期函数。
x (t )和X (jk Ω0)组成变换对，其变换公式为： 正变换 ⎰-Ω-=Ω2/2/00)(1)(T T tjk dt e t x Tjk X 反变换 ∑∞-∞=ΩΩ=k t jk e jk X t x 0)()(0式中，k ——谐波序号；Ω0=2π/T ——两条相邻的离散谱线之间角频率的间隔；时域函数的连续性造成频域函数的非周期性，而时域函数的周期性造成频域函数的离散化。
三、 时间离散、频率连续的傅里叶变换——序列的傅里叶变换（DTFT ） 1. DTFT 的定义序列的傅里叶变换公式为： 正变换 ∑∞-∞=-=n nj j e n x eX ωω)()( 反变换 ⎰-=ππωωωπd e e X n x n j j )(21)(注意：序列．．x(n)．．．．只有当．．．n ．为整数时才有意义，否则没有定义。
．．．．．．．．．．．．．．．．由于存在关系ωωj e z j z X e X n x DTFT ===)()()]([因此，序列的傅里叶变换也就是单位圆上的Z 变换。
时域的离散化造成频谱函数的周期性延拓，而时域的非周期性造成频域的连续性。
2. DTFT 的性质 （1） 线性定理)()()]()([2121ωωj j e bX e aX n bx n ax DTFT +=+（2） 时移定理)()]([00ωωj n j e X e n n x DTFT -=-（3） 频移定理)(])([)(00ωωω-=j n j e X e n x DTFT（4） 卷积定理注意：此处的卷积又称为线性卷积。
信号与系统 第3章傅里叶变换
傅里叶生平
1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号 都可用正弦函数级数表示” 1829年狄里赫利第一个给出 收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表“热的分析 理论”中
傅里叶的两个最主要的贡献——
―周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号的加权”—— 傅里叶的第一个主要论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”——傅里叶 的第二个主要论点
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
3.3 典型周期信号的傅里叶级数
本节以周期矩形脉冲信号为例进行分析 主要讨论：频谱的特点，频谱结构， 频带宽度，能量分布。 其他信号: 周期锯齿脉冲信号 周期三角脉冲信号 周期半波余弦信号
周期全波余弦信号请自学。
六．周期信号的功率
周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分量有效值的平 方和；也就是说，时域和频域的能量是守恒的。
证明
对于三角函数形式的傅里叶级数 平均功率
对于指数形式的傅里叶级数
总平均功率=各次谐波的平均功率之和
三角函数公式 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
例1
不满足条件1的例子如右图所示， 这个信号的周期为8，它是这样组 成的：后一个阶梯的高度和宽度是 前一个阶梯的一半。可见在一个周 期内它的面积不会超过8，但不连 续点的数目是无穷多个。
f (t ) 1
1 2
L 8 O 8
L t
例2
不满足条件2的一个函数是
f (t ) 1 L L O 1 t
第三章傅里叶变换
讨论：离散性、收敛性、谐波性
2、 频谱的初步知识——三角波频谱
f ( t ) c0 c n cosn1t n
1
jn1t
f (t ) a0 an cos(n1t ) bn sin(n1t )
n 1
ห้องสมุดไป่ตู้
1 jn1t cos(n1t ) (e e jn1t ) 2 1 sin(n1t ) (e jn1t e jn1t ) 2j
an jbn jn1t an jbn jn1t f (t ) a0 ( e e ) 2 2 n 1
t
0
E 2
F ( n1 )为纯虚函数。
其傅里叶级数表达式为：
f (t ) E 1 1 sin(w1t ) sin(2w1t ) sin(3w1t ) 2 3
（3）奇谐函数信号（半波对称函数）
奇谐函数信号：若波形沿时间轴平移半个周期 并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变 化，即满足： T1 a 0 f (t ) f (t ) 0 2
通常所遇到的周期性信号都能满足此条件，因此， 以后除非特殊需要，一般不再考虑这一条件。
二、指数形式的傅里叶级数 1、指数形式的傅里叶级数的形式
2 设f(t) 为任意周期信号（周期 1 , 角频率1 T ） T1 则其可展开为指数形式的傅里叶级数
f (t )
n
F (n )e
1 t0 T1 jn1t 记 dt 复函数：F (n1 ) Fn T t0 f (t )e 1 其中 n ~ 直流分量：F0 c0 a0
第三章 傅里叶变换
周期序列的离散傅立叶级数
X~(k)
N1 ~x (n)WNkn
N 1
x((n))
W kn
NN
N 1
x(n)
W kn N
பைடு நூலகம்n0
n0
n0
~x (n)
1 N
N 1 X~ (k )WNkn
k 0
1 N
N 1
X (k )WNkn
k 0
上式中的
X (k) X~(k)RN (k)
X (k) DFT[x(n)] x(n)WNkn
两者比较可知：
n0
,0 k N 1
X (k) X (z)
j 2 k ze N
,
0 k N 1
x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样。
X (k) X (e j ) 2 k , 0 k N 1 N
X(k) 为x(n)的傅立叶变换在区间【0，2π】上的N点等间隔采样。
结论：有限长序列的离散傅立叶变换X(k)正好是x(n)的周 期延拓序列x((n))N的离散傅立叶级数系数 X~(k) 的 主值序列。
3.2 离散傅立叶变换的基本性质
• 线性性质
若 y(n) ax1(n) bx2 (n)
则y(n)的N点（N ＝max(N1，N2)， N1，N2 为两序列的长度）DFT为：
则有
Y
(k
)
W km N
X
(k
)
3、频域循环移位定理（证明留作业）
证明 时域循环移位定理
Y (k) DFT [ y(n)]
N-1
N-1
x((n
m))N
RN
(n)WNkn
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第3章 傅里叶变换
3.1 基本要求
1. 了解函数正交的条件、完备正交函数集及信号的正交函数分解；
2. 掌握傅里叶级数(包括三角形式与指数形式)的定义、性质及将周期信号展开为傅里叶级数的方法；
3. 掌握傅里叶变换和反变换的定义、性质及计算方法；
4. 掌握信号的频域分析的概念，掌握各种信号(包括周期信号、非周期信号、抽样信号、调幅信号)频谱的特点及绘制频谱图的方法，了解信号的频域特性与时域特性的关系，深刻理解信号的频带宽度B 与信号脉冲宽度τ之间的关系，理解帕塞瓦尔定理的物理意义；
5. 了解时域抽样与频域抽样的方法及应用，掌握时域抽样定理与频域抽样定理的内容，深刻理解其物理意义。
3.2 公式摘要
3.2.1 傅立叶级数的性质（设()n f t F ↔）
1. 掌握和利用微积分特性1()()k k n f t jn F ω↔。
2. 掌握和利用反褶共轭特性(),()n n f t F f t F **---↔↔。
3. 掌握和利用时移特性100()jn t n f t t F e ω--↔。
4. 掌握和利用频移特性11()j t n f t e F ω-↔。
5. 掌握和利用功率特性2
2
()n n f t F +∞
=-∞
↔
∑。
6. 利用与单周期信号傅立叶变换关系1
01
()
n n F F T ωωω==。
3.2.2 函数对称性与傅立叶级数系数的关系
1. 若函数初看起来无任何对称性，则要注意看看去直流后的函数对称性如何。
2. 要特别注意与正弦余弦相关的某些特殊函数（如半波余弦，全波余弦等）的傅立叶系数的求解或判断有无问题。
3.2.3 求非周期信号的傅立叶变换
1. 利用时移-尺度变换特性：先将信号表示为常见信号的尺度变换或时移的线性组合，再利用性质。
2. 利用频移特性：将信号表示为()jat f t e 的线性组合后，再利用该性质。
3. 利用微积分特性：通常先对()f t 求导，先求出其导数()f t '的傅立叶变换，再利用时域积分特性求()f t 的傅立叶变换，但是需要特别注意千万不要把
()t
f d ττ-∞
'⎰
的傅立叶变换等同于()f t 的傅立叶变换，因为积分常数()f -∞未必为
0。
4. 利用时域卷积定理：将信号看成两个简单信号的卷积形式，然后利用该性质。
5. 利用频域卷积定理：将信号看成两个简单信号的乘积形式，然后利用该性质。
3.2.4 求傅立叶逆变换
1. 利用对称性：将()F ω变为()F t 在时域上求出的傅立叶变换，再利用对称性求出()f t 。
2. 利用奇偶虚实性：可用于解答给出傅立叶变换幅频特性、相频特性和时域信号奇偶虚实性条件的傅立叶逆变换。
3. 利用频域微积分特性：首先判断()F ω与哪个常见函数傅立叶变换的积分
或微分形式匹配，然后用该性质求()f t 。
4. 利用部分分式分解法化简成
1j a ω+、
1
()j πδωω
+、2()πδω和1的线性组合形式，逆变换对应()at e u t -、()u t 、1和()t δ的线性组合。
3.2.5利用傅立叶变换的性质求定积分
1. 利用零点：(0)()F f t dt +∞-∞
=⎰，1
(0)()2f F d ωωπ
+∞
-∞
=
⎰。
2. 利用能量守恒：2
2
1()()2f t dt F d ωωπ
+∞+∞
-∞
-∞
=
⎰⎰。
3. 经常用到变换对
2sin ()()c c c
c t Sa t G t ωωωωωππ
=↔。
4. 此外，还经常用到频域卷积定理（时域信号相乘）和频域微分（时域信号乘上t ）性质。
3.2.6 求周期信号和抽样信号的傅立叶变换
1. 求周期信号的傅立叶变换一般有两种解法。
一种是将信号转换为单周期信号与单位冲激序列的卷积，用时域卷积定理求；一种用周期信号的傅立叶级数求，2()2()n n F F n
T
π
ωπ
δω+∞
=-∞
=-∑。
这里，通常需要充分利用变换对22()()T T
t T ππ
δδω↔。
2. 抽样信号()()()s f t f t p t =的傅立叶变换通常采用频域卷积定理求，公式为
()()s n
s
n F P F n ωωω+∞
=-∞
=
-∑。
3.2.7 抽样定理
1. 求奈奎斯特频率的关键在于确定信号的最高频率成分。
经常用到变换对：
2sin ()()c c c
c t Sa t G t ωωωωωππ
=↔，并考虑卷积定理和频移特性对频率范围的影响。
2. 利用抽样定理思想分析具体系统，确定无失真恢复条件，计算低通滤波
器的幅值和截止频率。
3.3 考试范围
1. 周期信号的傅立叶级数
（1）利用定义求傅立叶级数。
（2）利用性质求傅立叶级数。
（3）借助单周期信号的傅立叶变换求傅立叶级数。
（4）求直流系数、谐波有效值、平均功率。
（5）证明傅立叶级数的有关性质。
（6）根据对称性判断傅立叶系数的有无。
（7）傅立叶有限级数逼近周期函数的最小方均误差的计算。
2. 非周期信号的傅立叶变换
（1）利用定义求傅立叶变换，注意傅立叶变换值(0)
F（直流项）可能需要单独求。
（2）利用各种傅立叶变换性质求傅立叶变换。
（3）利用各种傅立叶变换性质求非周期信号的各种特征量。
（4）证明傅立叶变换的各种其他性质。
3. 傅立叶逆变换
（1）利用定义求傅立叶逆变换。
（2）利用对称性求傅立叶逆变换。
（3）利用奇偶虚实性求傅立叶逆变换。
（4）利用频域微积分特性求傅立叶逆变换。
（5）利用部分分式展开法求傅立叶逆变换。
4. 频谱、带宽、脉宽、谱线间隔、包络幅度
（1）求某个频率或频带对应的频谱。
（2）求等效带宽、谱线间隔。
（3）分析带宽、脉宽、谱线间隔、包络幅度间的关系。
（4）证明有关性质。
5. 利用傅立叶变换性质求定积分或证明积分等式
6. 相关、功率谱和能量谱
（1）求自相关函数和互相关函数。
（2）求功率谱和能量谱。
（3）证明相关、功率谱及能量谱的有关性质。
7. 周期信号和抽样信号的傅立叶变换
（1）求周期信号的傅立叶变换。
（2）求抽样信号的傅立叶变换。
8. 抽样定理
（1）求奈奎斯特频率、角频率或周期。
（2）判断是否会出现频谱混叠。
（3）证明有关性质。
（4）分析具体系统，确定从抽样信号无失真恢复原始信号所用低通滤波器的幅度和截止频率。